关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用

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2021年中考复习讲义初中几何典型模型一：一线三垂直模型

初中数学典型模型之一： “三垂直模型”介绍

总体解题思路：只要出现此典型图形，一般都要证三角形全等或相似，再根据全等或相似性质解题.

（一）基本图形： 1.“三垂”

例1.如图，矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF ⊥EC ，EF=EC ，DE=2，矩形的周长为16，则AE=__ 解析：如图1，典型的“三垂直模型”，由于有等边（EF=EC ）先证△AEF ≌△DCE ， ∴AE=DC ，∴AD-DC=2，∵AD+DC=8，∴AD=5，DC=3，∴AE=3

例2.一块矩形木板ABCD ，长AD=3cm,宽AB=2cm,小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C 上，另一条直角边与AB 边交于点E ，三角板的直角顶点P 在AD 边上移动（不含端点A,D ），当线段BE 最短时，AP=_______

解析：如图1，典型的“三垂直模型”，由于没有等边，先证△AEP ∽△DPC ， ∴

AP CD

AE PD

。当题目出现线段最值时，初三的数学中有两种解题方法：

①几何论证方法；②代数论证方法-----通过设未知数，把几何中的线段关系

转化成二次函数形式，运用二次函数求最值的方法解题；（详见“动态问题下求线段长”），此题可采用代数论证方法，设BE =y,AP =x ，∴x

2−y 3−x

, ∴y =x 2−3x +4=(x −32

)2+74

, ∴a =1>0 , ∴x =32

时，y 最小值=7

2.两种变化图形

（1）“交叉型”三垂直模型（2）“L 型”三垂直模型

A B

C D

F 图1

A B

D E 证明：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A 又∵∠B=∠C ，

专题04 “一线三垂直”模型及其变形的应用(专项训练)(解析版)

专题04 “一线三垂直”模型及其变形的应用（专项训练）

1．如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB ＝4，则BD的长为．

【解答】解：∵BE⊥AD，

∴∠EBD＝∠CAD＝90°，

∴∠BDE+∠ADC＝90°，∠BDE+∠E＝90°，

∴∠E＝∠ADC，

在△ACD和△BDE中，

，

∴△ACD≌△BDE（AAS），

∴BE＝AD，

∴BD＝AD﹣AB＝BE﹣AB＝7﹣4＝3，

故答案为：3．

2．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∵△AEF是等腰直角三角形，

∴AE＝EF，∠AEF＝90°，

∴∠FEC+∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠FEC，

在△ABE和△ECF中，

，

∴△ABE≌△ECF（AAS），

∴AB＝CE，BE＝CF，

∵点F是CD的中点，

∴CF＝CD，

∴BE＝CF＝AB，

∵BE+CE＝BC＝12，

∴AB+AB＝12，

∴AB＝8，

故答案为：8．

3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①△ADC≌△CEB；

②DE＝AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？

专题07 一线三垂直与一线三等角(解析版)

专题07一线三垂直与一线三等角

一、基础知识回顾

1）三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°

2）1平角=180度

二、模型的概述：

1）一线三垂直模型

[模型概述]只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。

基础构造1构造2

一线三垂直模型一：如图AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD+EC

证明：∵CE⊥DE，AD⊥DE，AB⊥BC∴∠CEB=∠ADB=∠ABC=90°

∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3

在∆ABD和∆BCE中，

∠1=∠3

∠CEB=∠ADB=90°∴∆ABD≌∆BCE（AAS）∴AD=BE,EC=BD

AB=BC则DE=BE+BD=AD+EC

一线三垂直模型二：如图AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD-EC

证明：∵CE⊥DE，AD⊥DE，AB⊥BC∴∠CEB=∠ADB=∠ABC=90°

∴∠A+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°∴∠A=∠CBE

在∆ABD和∆BCE中，

∠A=∠CBE

∠CEB=∠ADB=90°∴∆ABD≌∆BCE（AAS）∴AD=BE,EC=BD

AB=BC

则DE=BE-BD=AD-EC

一线三垂直其它模型

1）图1，已知∠AOC=∠ADB=∠CED=90°，AB=DC，得∆ADB≌∆DEC

2）图2，延长DE交AC于点F，已知∠DBE=∠ABC=∠EFC=90°，AC=DE，得∆ABC≌∆DBE

初中数学经典几何模型03-一线三垂直模型构造全等三角形(含答案)

初中数学经典几何模型

专题03 一线三垂直模型构造全等三角形

【专题说明】

一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

【知识总结】

过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）

常见的两种图形：

图1 图2

1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.

当α=45°时，求△EAD的面积.

当α=30°时，求△EAD的面积

当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.

2、如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG 交于点P，求证：BC=2AP

3、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点

E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由.

4、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是△ABC的高AD、BE的交点，已知CD=4，AF=2，则线段BC 的长为（）

5、如图所示，直线α经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B,D作DE⊥α于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（）

一线三垂直模型的应用技巧

一线三垂直模型是指在制图中，正视图的三条垂直线能够构成一个等腰直角三角形，这种模型适用于以下应用技巧：

1. 定位标高点：利用垂直线的高度来确定标高点，可以采用标注高度的方式快速定位建筑物或地形的高度。

2. 确定尺寸和比例：在制图过程中，通过修改垂直线的长度来调整尺寸和比例，以确保图纸的尺寸与比例的准确性。

3. 实现构图对称性：利用三垂直线的对称性，构图更易对称，令图纸更美观。

4. 精确表示立体配合关系：通过垂直线的位置和长度，可以精确表示建筑物或物品间的立体配合关系，便于设计和制造。

5. 改进制图流程：采用一线三垂直模型，可以简化制图流程，减少出错率，提高制图效率。

关于一线三垂直模型及其在平面几何中的应用

“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况;“一线三等角”模型详见;即三个等角角度为90o;于是有三组边相互垂直;所以称为“一线三垂直”模型..

“一线三垂直”的性质：

1;模型中必定存在至少两个三角形相似;三对等角;三对成比例的边长；2;当模型中有一组对应边长相等时;则模型中必定存在全等三角形..

“一线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的地位;常出现的图例有以下几种：

其中;在“变形2”模型下;根据相似原理;推理出了着名的“射影定理”这里主要讨论有一对对应边相等的情况..

例1如图;在等腰直角三角形ABC中;∠ACB=Rt∠;AC=BC;AE⊥CE于点E;BD⊥CE于点D;AE=5cm;BD=2cm;则DE的长为多少

提示根据“一线三垂直”模型的性质;△ACE≌△CBD;于是CD=AE=5cm;CE=BD=2cm;DE=5-2=3cm

例2如图;在△ABC中;CA=CB;点D 为BC中点;CE⊥AD于点E;交AB于点F;连接DF..求证：AD=CF+DF.

解析此题乍一看起来和例1相同;却不能照搬照抄..

从要证明的结论来看;需要把AD这条线段“转化”到直线CF上..如图;过点B作BG⊥CB;交CF的延长线于点G..

则易证△ACD≌△CBG;于是AD=CG=CF+FG；

BG=CD=BD;BF=BF;∠DBF=∠GBF=45o;

故△BDF≌△BGF;于是FD=FG;所以AD=CF+DF..

“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用二

“一线三垂直”的性质：

“一线三垂直”模型专题知识解读

【专题说明】

一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90°，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

【方法技巧】

模型1 “全等型”一线三垂直模型

如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA

图1

应用：

（1）通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；

（2）平面直角坐标系中有直角求点的坐标，可以考虑作辅助线构造“三垂直”

作辅助线的程序：过直角顶点再直角外部作水平线或竖直线，过另外两个顶点向上述直线作垂线段，即可得到“三垂直”模型。如下图所示

模型2 “相似型”一线三垂直模型

如图2，ABD ADE C B ∆⇒∠=∠=∠∽DCE ∆（一线三直角）

应用：（1）“相似型”三垂直基本应用

C D E B

（2）平面直角坐标系中构造“相似型”三垂直。作辅助线方法和模型1一样（3）平面直角坐标系中运动成直角

【典例分析】

【应用1 “全等型”三垂直基本应用】

【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，

求证：①△ADC≌△CEB；

②DE＝AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．

【解答】（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE．

关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用

“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，（关于“一线三等角”模型详见比例与相似高级教程（六）：相似三角形的“一线三等角”模型），即三个等角角度为90º，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型。

“一线三垂直”的性质：

1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；

2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。

“一线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的地位，常出现的图例有以下几种：

其中，在“变形2”模型下，根据相似原理，推理出了著名的“射影定理”这里主要讨论有一对对应边相等的情况。

【例1】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CE于点D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长为多少？

【提示】根据“一线三垂直”模型的性质，△ACE≌△CBD，于是CD=AE=5cm，CE=BD=2cm，DE=5-2=3（cm）

【例2】如图，在△ABC中，CA=CB，点D 为BC中点，CE⊥AD于点E，交AB于点F，连接DF。求证：AD=CF+DF.

【解析】此题乍一看起来和【例1】相同，却不能照搬照抄。

从要证明的结论来看，需要把AD这条线段“转化”到直线CF上。如图，过点B作BG⊥CB，交CF的延长线于点G。

则易证△ACD≌△CBG，于是AD=CG=CF+FG；

BG=CD=BD，BF=BF，∠DBF=∠GBF=45º，

故△BDF≌△BGF，于是FD=FG，所以AD=CF+DF。

一线三垂直模型

第2题图
微专题一线三垂直模型
①证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＋∠BCD＝90°，
∵∠ACE＋∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD，
在△CAE与△BCD中，
CEA BDC CAE BCD
，
AC CB
∴△CAE≌△BCD(AAS)，
∴EC＝BD；
微专题一线三垂直模型
②解：由①知：BD＝CE＝a，CD＝AE＝b，
证明：(1)∵BE⊥AP，CF⊥AP， ∴∠AEB＝∠CFA＝90°. ∴∠FAC＋∠ACF＝90°. ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE＋∠FAC＝90°，
第1题图
ຫໍສະໝຸດ Baidu
微专题一线三垂直模型
∴∠BAE＝∠ACF.
在△ABE和△CAF中，
AEB CFA BAE ACF
，
AB CA
∴△ABE≌△CAF(AAS)；
∴ ＝S1梯形a2A＋EDaBb＝＋121
(a＋b)(a＋b) b2.
又 ∴∵212Sa梯2形＋AaEDbB＋＝212S△bA2E＝C＋abS＋△B12CDc＋2. S△ABC＝12
ab＋1 ab＋ 1
2
2
c2＝ab＋1
2
c2.
整理，得a2＋b2＝c2.
(2)EF＝CF－BE.
(2)∵△ABE≌△CAF，
∴AE＝CF，BE＝AF.

2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版) 一线三等角模型的综合应用(解析版)

一线三等角模型的综合应用

模型一一线三垂直全等模型

如图一 ∠D=∠BCA=∠E=90° BC=AC 。结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA 模型二一线三等角全等模型

如图二 ∠D=∠BCA=∠E BC=AC 。结论：△BEC ≌△CDA

图一图二

应用：①通过证明全等实现边角关系的转化便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

【类型一：标准“K ”型图】

【典例1】在△ABC 中 ∠ACB ＝90° AC ＝BC 直线MN 经过点C 且AD ⊥MN 于D BE ⊥MN 于E ．

（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时

求证：①△ADC ≌△CEB ；

②DE ＝AD +BE ；

（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时求证：DE ＝AD ﹣BE ；

（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时请直接写出DE AD BE

之间的等量C

D E

关系．

【解答】解：（1）①∵AD⊥MN BE⊥MN

∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB

∴∠CAD+∠ACD＝90°∠BCE+∠ACD＝90°

∴∠CAD＝∠BCE

∵在△ADC和△CEB中

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

②∵△ADC≌△CEB

∴CE＝AD CD＝BE

∴DE＝CE+CD＝AD+BE；

（2）证明：∵AD⊥MN BE⊥MN

∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°

∴∠CAD＝∠BCE

∵在△ADC和△CEB中

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

∴CE＝AD CD＝BE

∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；

（3）当MN旋转到题图（3）的位置时AD DE BE所满足的等量关系是：DE＝BE

中考必会几何模型：K型(一线三垂直)模型

K 型（一线三垂直）

模型讲解

【结论】如图所示，AB ⊥BC ，AB=BC ，AD ⊥DE ，CE ⊥DE ，则△ABD ≌△BCE ，DE=AD+CE.

【证明】∵AB ⊥BC ， ∴∠ABC=90°，∴∠ABD+∠EBC=90°. ∵AD ⊥DE ，CE ⊥DE ，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°,

∴∠ABD+∠DAB = 90°，∠DAB=∠EBC.

在△ABD 和△BCE 中，

{∠ADB =∠BEC

∠DAB =∠EBC

AB =BC

∴△ABD ≌△BCE(AAS)，

∴AD=BE ，DB=CE ，

∴DE=BE+DB=AD+CE.

其他形状的K型（一线三等角）模型

【结论】如图所示，AB⊥BC，AB=BC，AD⊥DE，CE⊥DE，则△ABD ≌△BCE，DE = AD - CE.

典型例题

典例1

如图所示，AC=CE，∠ACE=90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB=5cm，DE=3cm，则BD=( ).

A.6 cm

B.8 cm

C.10 cm

D.4 cm

典例2

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE 于点D. 若DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是( ).

A.6 cm

B.1.5 cm

C.3 cm

D.4.5 cm

初露锋芒

1. 如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E. 若CE=5，AD=3，则DE的长是________.

2.如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，A(0，3)，C(1，0)，则点B 的坐标为________.

初中几何一线三垂直模型构造全等三角形

一线三垂直模型构造全等三角形

【模型说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90º，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。【知识总结】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线.过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）.

常见的两种图形：

【典型例题1】

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.

当α=45°时，求△EAD的面积.当α=30°时，求△EAD的面积当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD 的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.

【答案解析】

∵AD∥BC,DG⊥BC

∴∠GDF=90°

又∵∠EDC=90°

∴∠1=∠2

在△CGD和△EFD中

∠DGC=∠DFE

∠1=∠2

CD=DE

∴△DCG≌△DEF

更多内容见公众号：初中数学解题思路

∴EF=CG

∵AD∥BC,AB⊥BC,

AD=2，BC=3

∴BG=AD=2

∴CG=1，EF=1，△EAD的面积与α无关

【典型例题2】如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P，求证：BC=2AP

【答案解析】

过点G作GM⊥AP于点M,过点E作EN⊥AP交AP的延长线于点N

∵四边形ACFG是正方形.

更多内容见公众号：初中数学解题思路

一线三垂直模型经典例题

一、问题描述：

在平面几何中，一线三垂直模型是常见的几何模型之一。通过该模型，我们可以分析得到一些有趣的性质和结论。本文将介绍一道经典

的例题，通过解答该题目，我们可以更好地理解和应用一线三垂直模型。

二、例题背景：

考虑一个三角形ABC，其中点D是边BC上的一点。假设通过点D 分别作AD线段的垂直平分线和BD线段的垂直平分线，分别与AB、AC相交于点E和F。我们需要证明EF与BC平行。

三、解题过程：

1. 建立坐标系：

假设点A的坐标为(0, 0)，点B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(c, d)。由于点D是边BC上的一点，所以点D的坐标可以表示为(Dx, 0)，其

中b > Dx > c。

2. 确定点E和F的坐标：

由于AE是AD的垂直平分线，所以AE与AD垂直且AE=ED。我

们需要找出点E的坐标。

首先，由于AD是垂直于BC的，所以它的斜率为NaN（不确定）。由于AE是AD的垂直平分线，所以AE的斜率为0。

令点E的坐标为(E, 0)，则斜率0可以表示为(E - Dx) / (0 - Dx) = 0，解得E = Dx。

因此，点E的坐标为(E, 0) = (Dx, 0)。

同理，我们可以得到点F的坐标为(F, 0) = (Dx, 0)。

3. 确定线段EF的斜率：

根据点E和F的坐标，我们可以计算线段EF的斜率：

斜率k = (F - E) / (0 - Dx) = (0 - Dx - Dx) / (0 - Dx) = 2。

4. 确定线段BC的斜率：

根据点B和C的坐标，我们可以计算线段BC的斜率：

【万能解题模型】12 一线三垂直模型及其变形的应用(课件)中考数学

应用一：“相似型”三垂直基本应用 4．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，当直角三角板 MPN 的直角顶点 P 在 BC 边上移动时，直角边 MP 始终经过点 A，设直角三角板的另一直角边 PN 与 CD 相交于点 Q.BP＝x，CQ＝y，那么 y 与 x
之间的函数关系式是 y＝－14x2＋32x
(2)(1)中的结论不成立，MN＝BN－AM. 理由如下：∵AM ⊥M N，BN⊥M N， ∴∠AM C ＝∠C NB＝90°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠M AC ＋∠AC M ＝90°，∠NC B＋∠AC M ＝90°. ∴∠M AC ＝∠NC B. 又∵AC ＝BC ，∴△AM C ≌△C NB(AAS)． ∴AM ＝C N，M C＝NB. ∵M N＝C M －C N，∴M N＝BN－AM .
应用一：“全等型”三垂直基本应用
1．如图 1，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点 C 在△ABC 外作直线 MN，AM⊥MN 于点 M，BN⊥MN 于点 N.
(1)求证：MN＝AM＋BN. (2)如图 2，若过点 C 在△ABC 内作直线 MN，AM⊥MN 于点 M，BN ⊥MN 于点 N，则(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．
5．如图，等腰直角△ABC 的直角边长为 3，P 为斜边 BC 上一点，且 BP＝1，D 为 AC 上一点．若∠APD＝45°，

一线三垂直与一线三等角(解析版)

一线三垂直与一线三等角

一、基础知识回顾

1)三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°

2)1平角=180度

二、模型的概述：

1)一线三垂直模型

[模型概述]只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。根据全等三角形倒边，

得到线段之间的数量关系。

基础构造1构造2

一线三垂直模型一：如图AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE= AD+EC

证明：∵CE⊥DE，AD⊥DE，AB⊥BC

∴∠CEB=∠ADB=∠ABC=90°

∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°

∴∠1=∠3

在∆ABD和∆BCE中，

∠1=∠3

∠CEB=∠ADB=90°

AB=BC

∴∆ABD≌∆BCE(AAS)

∴AD=BE,EC=BD

则DE=BE+BD=AD+EC

一线三垂直模型二：如图AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE= AD-EC

证明：∵CE⊥DE，AD⊥DE，AB⊥BC

∴∠CEB=∠ADB=∠ABC=90°

∴∠A+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°

∴∠A=∠CBE

在∆ABD和∆BCE中，

∠A=∠CBE

∠CEB=∠ADB=90°

AB=BC

∴∆ABD≌∆BCE(AAS)

∴AD=BE,EC=BD

则DE=BE-BD=AD-EC

一线三垂直其它模型

1)图1，已知∠AOC=∠ADB=∠CED=90°，AB=DC，得∆ADB≌∆DEC

2)图2，延长DE交AC于点F，已知∠DBE=∠ABC=∠EFC=90°，AC=DE，得∆ABC≌∆DBE

2023年中考数学几何模型之一线三垂直模型(讲+练)(解析版)

专题05一线三垂直模型

模型一、一线三垂直模型（全等三角形）

如图所示，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA

例.如图，将边长为5正方形OACD 放在平面直角坐标系中，О是坐标原点，点D 的坐标为横坐标为3，求A

的坐标．

【答案】(4,3)

【详解】解：如图，过点A 作AB x 轴于点B ，过点D 作DE x 轴于点E ，∴90ABO OED

∵四边形OACD 是正方形，∴OA OD ，90AOD ，∴90DOE AOB ，又∵90OAB AOB ，∴OAB DOE ，

在ABO 和OED 中，90ABO OED OAB DOE OA DO

，∴ ABO OED AAS ≌，∴AB OE ，

OB DE ，

∵正方形边长为5，点D 的横坐标为3，即5OD ，3OE ，

∴4DE ∴3AB OE ，4OB DE ，又∵点A 在第二象限，∴点A 的坐标为 4,3 ，答：点A 的坐标为 4,3

．

【变式训练1】如图，90ACB ，AC BC ，AD CE ，BE CE ，垂足分别为D ，

E ，若9AD ，6DE ，求BE

的长．

【答案】3

【详解】解：∵BE CE ，AD CE ，∴90E ADC ，∴90EBC BCE ．∵90BCE ACD ，∴EBC DCA ．

在CEB △和ADC 中，E ADC

EBC ACD BC AC

，∴CEB △≌ADC （AAS ），

∴BE CD ，9AD CE ，∴963BE CD CE DE ．

【变式训练2】如图， 4,0,0,6A B ，以B 点为直角顶点在第一象限作等腰直角ABC ，则C 点的坐标为