关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用

关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用

“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，（关于“一线三等角”模型详见比例与相似高级教程（六）：相似三角形的“一线三等角”模型），即三个等角角度为90o，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型。

“一线三垂直”的性质：

1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；

2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。

“一线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的地位，常出现的图例有以下几种：

其中，在“变形2”模型下，根据相似原理，推理出了著名的“射影定理”这里主要讨论

有一对对应边相等的情况。

【例1】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CE于点D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长为多少？

，△ACE ≌△CBD ，于是CD=AE=5cm ，【提示】根据“一线三垂直”模型的性质

CE=BD=2cm ，DE=5-2=3 （cm）

【例2】如图，在△ABC 中，CA=CB ，点D为B C 中点，CE⊥AD 于点E，交AB 于

D F。求证：A D=CF+DF.

点F，连接

【解析】此题乍一看起来和【例1】相同，却不能照搬照抄。

”到直线CF 上。如图，过

点 B 作

“转化

要把

从要证明的结论来看，需

A D 这条线段

BG ⊥CB ，交CF 的延长线于点G。

则易证△ACD ≌△CBG ，于是AD=CG=CF+FG ；

BG=CD=BD ，BF=BF ，∠DBF= ∠GBF=45o ，

故△BDF ≌△BGF ，于是FD=FG ，所以AD=CF+DF 。

关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用

（二）

“一线三垂直”的性质：

1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；

2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。

过B，C向过A点的直线作

【例3】如图，在△A BC中，AB=AC，∠BAC=90o，分别

为E，F。

垂线，垂足分别

（1）如图1，过点A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=EB+CF；

（2）如图2，过点A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3.求EF的长。

【提示】（1）图1是“一线三垂直”的基础模型，△A BE≌CAF；

（2）图2是“一线三垂直”的变形4，和【例1】相同。

【例4】如图，已知△A EB中，∠AEB=90o，以AB为边向外作正方形ABCD，连接

AC、BD，交于点O，连接E O。若BE=2，EO=3√2，求五边形AEBCD的面积。

【解析】因为∠ABC=∠AEB=90o，故构造“一线三垂直”模型，如图。

点P，连接O P。

过点 C 作CP⊥EB ，交EB 延长线于

则根据“一线三垂直”模型的性质，△AEB ≌△BPC ，

∴BP=AE ；

∵∠AOB= ∠AEB=90o ，

∴A 、E、B、O 四点共圆（详见“四点共圆”在解题中的妙用（一）），∴∠BEO= ∠BAO=45o ；

同理∠BPO= ∠BCO=45o ，故△EOP 为等腰直角三角形；

∵EO=3√2，∴EP=6 ，BP=4 ，

根据勾股定理，AB2=16+4=20 ，即S 正方形ABCD=20 ，

S△AEB=4×2÷2=4 ，∴S 五边形AEBCD=20+4=24.

关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（三）

【例5】已知△ABC 中，∠ACB=90o ，AC=BC ，CD 为AB 边上的中线，点 E 为BC 边上任意一点（不与A、D、B 重合），BF ⊥CE 于点F，交CD 于点G，AH ⊥CE，

交CE 延长线于点H，交CD 延长线于点M 。

求证：（1）CG=AE ；（2）DE=DM 。

【提示】（1）根据“一线三垂直”模型，△ACH ≌△CBF ，

∴∠ACE= ∠CBG ，又∠CAE= ∠BCG=45o ，AC=BC ，

∴△ACE ≌△BCG ；

（2）由“一线三垂直”模型可知，∠ACE= ∠CBG ，BF=CH ，

∴∠HCM= ∠FBE ，又∠BFE= ∠CHM=90o ，

∴△CHM ≌△BFE ，BE=CM ，从而DE=DM 。

同时我们也应该注意到：△ACM ≌△CBE ；

△ADM ≌△CDE ≌△BDG ；△AHE ≌△CFG ；

DM=DG=DE ；△GEM 为等腰直角三角形等。

构造“一线三垂直”模型，是作辅助线常用的一种手段。

【例6】如图，直线l1∥l2∥l3，且l1 到l2 的距离为3，l2 到l3 的距离为4，等腰直

角△ABC 的直角顶点 C 在l2 上，点 A 、B 分别在l1、l3 上。求△ABC 的面积。

【提示】过点 C 作l2 的垂线，分别交l1 和l3 于点D、E，构造“一线三垂直”模型，

则CD=3 ，AD=CE=4 ，AC=5.

（四）

关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用

【例7】（2018 初二希望杯练习题）如图，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC，∠BCD=90o ，AB=BC+AD ，∠DAC=45 o ，E 为CD 上一点，且∠BAE=45 o ，若CD=4 ，求△ABE 的面积。

【解析】如图，过点 E 作EG⊥AE ，交AB 延长线于点G，过点G 作GH⊥DC，交DC 延长线于点H，构造“一线三垂直”模型；过点G 作GK ⊥BC 于点K，过点 B 作BF ⊥AD 于点F。

则△ADE ≌△EHG ，DE=GH ；AD=EH=CD ，

∴DE=CH ，故四边形CKGH 为正方形。

AF=4-BC ，AB=4+BC ，BF=4 ，

∴（4+BC ）2=（4-BC ）2+42，

解得：BC=1 ，所以AB=5 ；

设DE=x ，则BK=1-x ，GK=x ，AE2=x2+42

∵△AEG 为等腰直角三角形，∴AG2 =2AE2 ，

（5+BG ）2=2（x2+42），将BG 代入，化简得：

（7x-4 ）2=0 ，x=4/7 ，

∴△ABE 面积=梯形ABCD 面积-△ADE 面积-△BCE 面积

=（1+4 ）×4÷2-4 ×4/7 ÷2-1 ×(4-4/7) 2÷=50/7 。

。

段

在直角坐标系中构造“一线三垂直”模型，是解决坐标问题的一种有效手

【例8】如图，在直角坐标系中，点 A （1，2），点B（0，-1），已知△ABC 为等腰直角三角形，求点 C 的坐标。