例析如何利用圆求物理极值第一期
方法案例物理解题中求极值的常用方法
校干市掉吃阳光实验学校案例51 物理解题中求极值的常用方法二运用数学工具处理物理问题的能力是高考考查的五种能力之一，其中极值的计算在教频繁出现。
因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，该得到足够。
另外很多学生数、理结合能力差，这里正是数理结合的“切人点〞。
学生求极值，方法较少，教师该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。
求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面对数学方法求解物理极值问题作些说明。
1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,假设a>0,那么当x=-a b2时,y有极小值，为y min =a b ac 442-； 假设a<0,那么当x=-ab2时,y有极大值，为y max =ab ac 442-；2、利用一元二次函数判别式求极值 对于二次函数y=ax 2+bx+c ，用判别式法 利用Δ＝b 2-4ac ≥0。
(式中含y) 假设y ≥A ，那么y min ＝A 。
假设y ≤A ，那么y max ＝A 。
3、利用配方法求极值对于二次函数y=ax 2+bx+c ，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：〔1〕当x ＝A 时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = －( x －A )2+常数。
〔2〕当x ＝A 时，常数为极大值。
4、利用均值理法求极值 均值理可表述为≥+2ba ab ，式中a 、b 可以是单个变量，也可以是多项式。
当a ＝b 时， (a+b)min ＝2ab 。
当a ＝b时， (a+b) max ＝2)(2b a +。
5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。
假设所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos 〞的形式，那么y=21Asin2α，在α=45º时，y 有极值2A。
对于复杂的三角函数，例如y=asin θ+bcos θ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cos θ，变成同名的三角函数，比方sin(θ+ф) 。
圆中最值问题10种求法
圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策,主要原因就是对求最值的方法了解不多,思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图:⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB，∠AOC=60°,P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]:延长AO交⊙O于D,连接CD交⊙O于P,即此时PA+PC最小,且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D,连接CD交OB于P连接PA,过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中 cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图:在直角坐标系中，点A的坐标为（－3，－2）,⊙A的半径为1,P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q,则PQ长度的最小值为 .[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=,求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2。
解:连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2） ,根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6,D为PB的中点,一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2 C．3 D．3［分析］：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值,要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2,连接AB根据题意得:弧AC的长为2πr=2π·2=4π,PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C。
高中物理求极值方法与常用结论总结
高中物理求极值方法与常用结论总结（一）利用分式的性质求极值[例1] 物体A放在水平面上，作用在A上的推力F与水平方向成30º角，如图示。
使A作匀速直线运动。
试问，当物体A与水平面之间的摩擦系数μ为多大时，不管F增大到多大，都可以使A在水平面上，作匀速直线运动?解：A受力如图所示，由已知，A处于平衡状态，有：Fcosα=fFcos30º=μ（G+Fsin30º），得F=由已知当公式的分母为零，即F→∞的匀速运动时sin30º－μcos30º=0时得μ=tg30º=0.58，则F→∞，此时都可以使A在水平面上作匀速直线运动。
（二）利用一元二次方程求根公式求极值有些问题，通过分析列关系式，最后整理出关于一个未知量的一元二次方程。
它的根就可能是要求的极值。
这种方法应用是很普遍的。
（三）利用一元二次方程判别式△=b2－4ac≥O求极值[例2] 一个质量为M的圆环，用细线悬挂着。
将两个质量为m的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图（a）所示。
今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。
证明，当m>M 时，圆环能升起。
证明：取小球为研究对象，受力如图（a）。
由牛顿第二定律，得所mgcosθ+N=由机械能守恒定律，得mgR（1－cosθ）=由此二式得N=2mg－3mgcosθ（1）上式中，N>0，即cosθ<以环为研究对象，受力图如（b），在竖直方向，由牛顿第二定律，有T+2N’cosθ—Mg=Ma当环恰好能上升时，a=0，可得2N’cosθ=Mg （3）将（1）代入（3）式中，其中N’为（a）图中N的反作用力。
有2（2mg－3mgcosθ）cosθ=Mg 即6mcos2θ－4mcosθ+M=0 （4）（4）式是关于cosθ的一元二次方程。
cosθ为实数，则△≥0，即（4m）2－4（6m）M≥0，可得m≥M 当m=M时，T恰好为零，但不升起，所以取m>M为升起条件。
微讲座4——求极值的六种方法
微讲座(四)——求极值的六种方法从近几年高考物理试题来看，考查极值问题的频率越来越高，由于这类试题既能考查考生对知识的理解能力、推理能力，又能考查应用数学知识解决问题的能力，因此必将受到高考命题者的青睐.下面介绍极值问题的六种求解方法.一、临界条件法对物理情景和物理过程进行分析，利用临界条件和关系建立方程组求解，这是高中物理中最常用的方法．(2014·高考安徽卷)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s 2.则ω的最大值是( )A. 5 rad/sB. 3 rad/s C ．1.0 rad/s D ．0.5 rad/s二、二次函数极值法对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a ＞0时，y 有最小值y min ＝4ac －b 24a ，当a ＜0时，y 有最大值y max ＝4ac －b 24a.也可以采取配方法求解．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a ＝3 m/s 2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v 自＝6 m/s 的速度匀速驶来，从旁边超过汽车．试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？三、三角函数法某些物理量之间存在着三角函数关系，可根据三角函数知识求解极值． (2013·高考山东卷)如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33.重力加速度g 取10 m/s 2.(1)求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小；(2)拉力F 与斜面的夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？四、图解法此种方法一般适用于求矢量极值问题，如动态平衡问题，运动的合成问题，都是应用点到直线的距离最短求最小值．质量为m 的物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，用图解法求维持物体做匀速运动的最小拉力．五、均值不等式法任意两个正整数a 、b ，若a ＋b ＝恒量，当a ＝b 时，其乘积a ·b 最大；若a ·b ＝恒量，当a ＝b 时，其和a ＋b 最小．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d 后落地，如图所示．已知握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为34d ，重力加速度为g .忽略手的运动半径和空气阻力．(1)求绳断时球的速度大小v 1和球落地时的速度大小v 2. (2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？六、判别式法一元二次方程的判别式Δ＝b 2－4ac ≥0时有实数根，取等号时为极值，在列出的方程数少于未知量个数时，求解极值问题常用这种方法．(原创题)如图所示，顶角为2θ的光滑绝缘圆锥，置于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B ，现有质量为m ，带电量为－q 的小球，沿圆锥面在水平面内做圆周运动，求小球做圆周运动的最小半径．1.(单选)(2015·广州模拟)如图所示，船在A 处开出后沿直线AB 到达对岸，若AB 与河岸成37°角，水流速度为4 m/s ，则船从A 点开出的最小速度为( )A ．2 m/sB ．2.4 m/sC ．3 m/sD ．3.5 m/s2．(单选)如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A 点处放置一光滑的木板AB ，B 端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC 所成角度为α，一小物块自A 端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为( )A ．α＝θB ．α＝θ2C ．α＝θ3 D ．α＝2θ3．(原创题)如图，有几个底边长度均为L 、倾角不同的光滑斜面，将一物体从斜面顶端由静止释放滑到底端，当倾角α为多少时用时最短？最短时间为多少？4.一质量为m 的小球在光滑的水平面上以速度v 0匀速运动，从t ＝0时刻开始小球受到恒力F 作用，F 与v 0之间的夹角如图所示．求：(1)小球速度的最小值；(2)小球速度最小时的位移的大小．5.(原创题)一人在距公路垂直距离为h 的B 点(垂足为A )，公路上有一辆以速度v 1匀速行驶的汽车向A 点行驶，当汽车距A 点距离为L 时，人立即匀速跑向公路拦截汽车，求人能拦截住汽车的最小速度．6．甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L 1＝11 m 处，乙车速度v 乙＝60 m/s ，甲车速度v 甲＝50 m/s ，此时乙车离终点线尚有L 2＝600 m ，如图所示．若甲车加速运动，加速度a ＝2 m/s 2，乙车速度不变，不计车长．求：(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？ (2)到达终点时甲车能否超过乙车？7.质量分别为M 、m 的斜面体A 、B 叠放在光滑水平面上，斜面体倾角为α，两者之间的动摩擦因数为μ(μ＜tan α)，今用水平外力F 推B ，使两者不发生滑动，求F 的取值范围，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．(已知：m ＝3 kg ，M ＝8 kg ，μ＝0.5，α＝37°.)。
高中物理极值问题求解的数学和物理方法例析(1)
求解高中物理极值问题的数学和物理方法例析高中物理思想方法之一物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。
物理极值问题是物理计算中的基本问题之一。
为了迅速的求出不同情况下的物理量的最大值和最小值，不仅要弄清物理基本概念，掌握基本的物理规律，还要熟悉解决物理极值的各种方法。
中学物理《考试大纲》中对学生应用数学方法具解决物理问题的能力作出了明确要求，要求考生有“应用数学处理物理问题的能力”．高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识考查数学能力是高考命题的永恒主题．因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，所以极值的计算在教学中频繁出现。
应该得到足够重视。
求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考， 数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透、贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效的方法，为物理学中的数量分析和计算提供有力工具．下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。
1、利用一元二次方程配方法求极值对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,若a>0,函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：则当x=A=-ab2时,y 有极小值，为y min =a b ac 442-；若a<0,者函数解析式经配方可变为y = －( x －A )2+常数。
则当x=A=-ab2时,y 有极大值，为y max =a b ac 442-；例题1、在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H 的平台上A 点由静止出发，沿着动摩擦因数为的滑道向下运动到B 点后水平滑出，最后落在水池中。
设滑道的水平距离为L ，B 点的高度h 可由运动员自由调节（取）。
求：（1）运动员到达B 点的速度与高度h 的关系；（2）运动员要达到最大水平运动距离，B 点的高度h 应调为多大？对应的最大水平距离为多少？（3）若图中H ＝4m ，L ＝5m ，动摩擦因数，则水平运动距离要达到7m ，h 值应为多少？答案详解（1）由A 到B 过程中，①（2）平抛运动过程②解得当时，x有最大值，（3）=2③可得到④求出解析:过程分析：运动员在AB段做匀加速运动，重力做正功，摩擦力做负功。
高中物理求极值方法与常用结论总结
高中物理求极值方法与常用结论总结高中物理中，求极值是一个重要的数学应用问题。
很多物理问题都需要通过求极值来进行分析和解决，因此掌握求极值方法和常用结论是十分重要的。
下面将为你总结高中物理求极值的方法和常用结论。
一、求极值的方法1.寻找最值法：通过寻找物理问题的最大值或最小值来求出极值。
2.解析法：通过建立数学模型，对其求导或使用其他数学方法得出极值。
3.几何方法：通过几何图形的性质和分析来求出极值。
二、常用结论1.极大值与极小值：对于一元函数f(x)，若在x=a处，f'(a)=0，并且在a点左侧由正变负，在a点右侧由负变正，则a称为f(x)的极大值点；若在x=b处，f'(b)=0，并且在b点左侧由负变正，在b点右侧由正变负，则b称为f(x)的极小值点。
2.拐点与拐点性质：对于函数f(x)，若在x=c处f''(c)=0，并且在c点左侧由负变正，在c点右侧由正变负，则c称为f(x)的拐点。
拐点的性质为：由凹变凸的拐点称为极小值点，由凸变凹的拐点称为极大值点。
3.一元二次函数的最值结论：一元二次函数y=ax^2+bx+c（其中a≠0）的最值点可以通过如下结论求得：当a>0时，最小值为：y_min=c-b^2/(4a)当a<0时，最大值为：y_max=c-b^2/(4a)4.相对速度最小值结论：当两个运动着的物体相对于一些静止参考系运动时，它们的相对速度最小值出现在它们的运动方向夹角为0°或者180°时。
5.成千上万法：在解决物理问题中，当数据较多时，可以通过逐个数值代入进行计算。
6.速度为零但加速度不为零时的移动物体：当一个物体在其中一时刻速度为零（静止），但加速度不为零时，可以通过如下结论求出物体在这一时刻的位置：位移s = (1/2)at^2，其中a为加速度，t为时间。
7.物体自由落体的最高点：自由落体的物体在竖直上抛运动中，最高点时速度为零，也就是物体停止上升，准备掉下来。
自用教案：物理极值的几种数学求法
物理极值的几种数学求法河南省汝阳县实验高中——师儆愈高中物理中有许多极值类问题，为使同学们能够全面了解极值类问题的求法，现做简单归纳如下：【典例解析】 一、利用三角函数求极值1、利用三角函数的有界性求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的有界性求极值。
若所求物理量表达式可化为“ααcos sin A y =”的形式，可变为α2sin 21A y =，当︒=45α时，y 有极值2A。
2、利用“化一”法求三角函数极值对于复杂的三角函数，例如θθcos sin b a y +=，要求极值时,先需要把不同名的三角函数θsin 和θcos ，变成同名的三角函数，这个工作叫做“化一”。
)cos sin (cos sin 222222θθθθbabba ab a b a y ++++=+=)cos sin sin (cos 22θφθφ++=b a ab b a =++=φφθtan )sin(22其中 故y 的极大值为22b a +。
【类型Ⅰ】三角函数()θθθθ2sin 2cos sin AA f ==（其中θ为锐角）。
当 45=θ时，三角函数()θf 取最大值()2max Af =θ。
【例1-1】如图所示,底边恒定为b,当斜面与底边所成夹角θ为多大时,物体沿此光滑斜面由静止从顶端滑到底端所用时间才最短?此题的关键是找出物体从斜面顶端滑至底端所用时间与夹角的关系式,这是一道运动学和动力学的综合题,应根据运动学和动力学的有关知识列出物理方程。
【解析】设斜面倾角为θ时，斜面长为S ，物体受力如图所示，由图知θcos bS =由匀变速运动规律得：221at S =由牛顿第二定律提：mgsin θ=ma …………③一.数学方法 几何法：切割线定理求极值函数法均值不等式法正弦定理法根的判别式法 三角函数法利用三角函数的有界性求极值利用三角函数 “化一”法求三角函数极值二次函数顶点法 二次函数法 配方法 求导数法联立解得：θθθ2sin 4cos sin 22g bg b aSt ===可见，在90°≥θ≥0°内，当2θ=90°时，sin2θ有最大值，t 有最小值。
高考物理力学求极值的常用方法
中学物理力学求极值的常用方法一、知识要点1．极值问题：指极小值和极大值。
注：极值不一定是最值。
2．求极值问题的两个途径：物理过程或物理状态的极值通常与某一临界值有关，巧妙地建立一个含极值条件的物理模型，则可快捷地解决问题。
（1）物理方法：从物理过程的分析着手求解极值问题。
（2）数学方法：从数学方法角度思考，借助于代数、函数或函数图像知识求解极值问题。
二、应试策略1．用二次函数求极值的方法求极值一元二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0），当x=-ab2时，y 有极小值y 极=a b ac 442-，用a>0时y 有极小值，a<0时y 有极大值。
例1．一辆小汽车从静止开始以3 m/s 2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s 的速度从车旁边匀建驶过(1)汽车从开始运动后在追上自行车之前经多多长时间两者距最远？此最远距离是多少’ (2)汽车什么时候追上自行车？此时汽车的速度是多少？解析：设汽车在追上自行车之前经t 时间两车相距最远，则△S ＝S 2-S 1，S 2=V 0t ，2121at s = 得2236t t s -=∆ (1)当s s a b t 2362==-=时，△S 极=ma b ac 6460442322=⨯--=-或m t t s 62362=-=∆ (2)汽车追上自行车时两车位移相等，即△S ＝0，得t’=4s 。
v t =at’=12m/s答案：(1)2S ，6m ；(2)12m/s 。
---可以利用配方法求解点评：本题可以用v-t 图象求解，也可以用相距最远时二者速度相等这个结论来求解。
2．利用一元二次方程根的判别式求极值将二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0），转化为二次方程ax 2＋bx ＋c －y=0，其判别式Δ＝b 2－4aC≥0，x 有实数解，若y≥A ，则y min ＝A ；若y≤A ，则y max ＝A 。
Δ≤0，方程无实数解。
例2．一个质量为M 的圆环，用细线悬挂着。
圆周运动的临界、极值问题
圆周运动的临界、极值问题 【重点和难点】 1、水平面内圆周运动的临界极值问题 （1）与摩擦力有关的临界问题（2）与弹力有关的临界问题2、竖直平面内圆周运动的绳、杆模型 的临界极值问题【自主学习】一 ．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F m ＝m rv 2，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
二 与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
三、两个典型模型1、绳球（内环）模型（已知绳长L ，小球质量m ，线速度V ）1）画出小球的受力示意图2）写出小球过最高点的动力学方程3）若小球刚好过最高点，F =拉 ，此时 V=2、杆球（圆管）模型 （已知杆长L ，小球质量m ，线速度V ）1）若小球刚好过最高点，杆对球的作用力F = ，方向 此时 V=2）若v gL =，则杆对球的作用力F = 。
3）若v gL >，则杆对球的作用力F = ，方向 。
4）若0v gL <<，则杆对球的作用力F = ，方向 。
【典例学习】【典例1】 (多选) 如图，两个质量均为m 的小木块a 和b ( 可视为质点 )放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。
若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ( )A ．b 一定比a 先开始滑动B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．ω＝lkg 2是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝l kg 32 时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC解析 木块a 、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力F f m ＝km g 相同。
用动态圆分析带电粒子在磁场中的运动的极值问题
用动态圆分析带电粒子在磁场中运动的极值问题带电粒子在磁场中运动的极值问题是学生普遍认为的学习的难点。
中学阶段，考虑到带电粒子以速度V 垂直于磁场方向进入有界匀强磁场，在只受洛仑兹力作用时，粒子做匀速圆 周运动的这一特点，而极问题又涉及到 粒子的初速度的大小、方向，以及磁场的形状、边界等条件的约束。
能否从分析带电粒子在磁场中所做圆运动轨迹的变化出发，运用直观的几何知识来简单地解决具体问题呢？为了突破这一难点，本文就用动态圆分析带电粒子在磁场中运动的极值问题，谈谈个人的教学体会。
应用这个方法的思考过程如下：建立物理图景（通过动态圆）→由渐变到突变（约束条件）→临界状态（运用几何知识）→寻求极值。
下面通过具体实例说明这个方法的运用。
【例1】如图1所示，经X 轴的上方（0≥y ）存在着垂直纸面向外的磁场，磁感应强度为B ，在原点O 处有一离子源向X 轴上方任意方向发射质量为m ，电量为q 的正离子，速率都为V 。
对那些在XOY 平面内运动的离子，在磁场中可能达到的最大位移X= ，最大位移Y= 。
（重力不计） 【分析与解答】由于离子在O 点向X 轴上方任意方向以相同的速率V 发射，很容易确定全部离子在磁场中做圆周运动的动态圆的圆心，都 在以O 为圆心、半径为Bqmv r =的半圆周ADC弧上，如左图。
很显然，沿Y 轴入射以D 为圆心做圆周运动的离子将在X 轴上有最大位移X ，且X=OP=2Bqmvr 2=；同理沿X 轴负方向入射的离子，在Y 轴上有最大的位移Y ，且Y=OQ=2Bqmvr 2=。
【点评】离子以相同的速率、不同方向射入磁场，动态圆的圆心在半个圆周上。
【例2】如图,在边界为AA /、DD /狭长区域内，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，磁场区域宽度为d 。
电子以不同的速率V 从边界AA /的S 处沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向跟AA /的夹角为θ.已知电子的质量为m ，带电量为e 。
2025高考物理总复习用“动态圆”思想处理临界、极值问题
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直
适用条件
线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运
动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝mqBv0，如图 所示
考点一 “平移圆”
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上， 轨迹圆圆心共线
该直线与入射点的连线平行
界定方法
将半径为 R＝mqBv0 的圆进行平移，从而探索粒子的临界 条件，这种方法叫“平移圆”法
< 考点三 >
“放缩圆”
考点三 “放缩圆”
粒子源发射速度方向一定、大小不同的同种带电粒子进入匀 适用条件 强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半
径随速度的示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动 半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动 轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 轨迹圆圆 心共线
mv qL
C.在磁场中运动时间最长的粒子将从OB之间离开磁场
√D.粒子在磁场中运动的最长时间小于
πL 3v
考点二 “旋转圆”
根据牛顿第二定律 qvB＝mvr2，解得 B＝2qmLv，故 A、B 错误； 粒子轨迹如图所示，由图可知，粒子在磁场 中运动时间最长时，轨迹与AC边相切，在磁 场中运动时间最长的粒子将从AD之间离开磁 场，C错误；
第十一章
磁场
第 专题强化：用“动态圆”
4 课
思想处理临界、极值问题
时
目标 1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题。 要求 2.会用平移圆法、旋转圆法、放缩圆法分析临界问题。
内
考点一 “平移圆”
容
索
考点二 “旋转圆”
引
考点三 “放缩圆”
中学物理中的一些极值问题
中学物理中的一些极值问题
中学物理课程中的一些极值问题，是学生能够完全掌握物理知识，进行正确判断、分析和综合运用的关键。
然而，学生对极值问题的认识往往停留在物理原理的定义和例题的解法上，无法把物理知识灵活地运用在极值问题中，甚至不知道该如何处理极值问题。
首先，极值问题涉及到极值理论，即利用微分的原理寻找函数的极值点，将其分为最大值最小值问题。
其次，要熟悉极值问题的基本公式，熟悉利用极值公式解决物理问题的方法。
同时，要掌握一些常见的极值技巧，如换元法、特征值法、四元数等。
接下来，要学会思考，在处理极值问题时，要从整体上把握问题出发点、结束点，把握解题目标，全面深入地掌握一个题目可能涉及到的物理知识。
思考过程中，要发挥主观能力，创造出合理的论述，关联概念，变换角度、物理参数，不断推移和推理，以达到解决问题的目的。
最后，注意形式，把题目一定要加以全面记录，给出准确明确的答案，把解题过程简明扼要地表达出来，形成解题结果，以便于老师和同学正确地阅读和理解。
总之，极值问题是学习物理知识的重要内容，学生在解决极值问题时，要熟悉极值理论、掌握极值公式、熟练运用极值技巧，掌握物理知识，运用思维和分析能力，认真审题，形成准确、规范的解题过程和结果。
只有通过努力总结归纳，才能对此有深入的认识，掌握此项技能，做到极致。
圆形有界电场极值问题
圆形有界电场极值问题介绍在物理学中，电场是描述电荷间相互作用的一个重要概念。
在许多情况下，我们需要研究电场的性质和特征。
圆形有界电场是其中一个经典的问题，它涉及到圆形区域内电场的极值问题。
本文将深入探讨圆形有界电场的极值问题，并给出详细的解析过程。
圆形有界电场的定义圆形有界电场是指一个由一个圆形区域内的电荷分布所产生的电场。
该电场在圆形区域内是有界的，即在圆形区域外电场强度为零。
圆形有界电场的数学描述为了方便研究，我们可以将圆形区域内的电荷分布抽象为一个线性电荷分布。
假设圆形区域内的电荷线密度为λ，圆的半径为R。
我们希望求解圆心处的电场强度E。
解析过程为了求解圆形有界电场的极值问题，我们可以使用静电学的基本原理和数学方法。
下面将给出详细的解析过程。
步骤1：确定圆心处的电场强度根据电场的叠加原理，我们可以将圆形区域内的电荷线密度分解为许多小的电荷元素。
假设圆形区域上的一小段弧长为ds，对应的电荷元素为dq。
根据库仑定律，电荷元素dq对圆心处的电场强度的贡献为： dE = k * dq / r^2其中，k为电场常数，r为圆心到电荷元素dq的距离。
步骤2：积分求和为了得到圆心处的电场强度E，我们需要将所有电荷元素dq的贡献进行积分求和。
考虑到圆形的对称性，我们可以将电场强度E在水平方向上的分量与垂直方向上的分量分开计算。
水平方向假设圆心处的水平方向上的电场强度为Ex，根据对称性，我们可以得出Ex = 0。
垂直方向假设圆心处的垂直方向上的电场强度为Ey，我们可以将圆形区域分成许多小的电荷元素dq。
根据对称性，每个电荷元素dq对Ey的贡献在垂直方向上是相等的。
因此，我们只需要考虑一个电荷元素dq对Ey的贡献即可。
步骤3：计算电场强度根据步骤2的分析，我们可以得到圆心处的电场强度E的表达式为： E = 2 * Ey为了计算Ey，我们需要将圆形区域上的电荷线密度λ表示为弧长ds的函数。
假设圆形区域上的弧长为s，我们可以得到：ds = R * dθ其中，θ为圆心角。
用多种方法解变速圆周运动中的一条极值问题
用多种方法解变速圆周运动中的一条极值问题如图一所示：用长为L 的细绳，拴着一个质量为m 的小球，细绳的一端悬在天花板上的O 点，用手提着小球将绳拉至水平位置，然后将球无初速释放，问小球从静止开始释放到摆动至最低点的过程中，摆动至何位置，小球的竖直分速度最大？最大竖直分速度是多少？ 解法一（用和积不等式求极值）：设小球摆至绳与竖直方向的夹角为θ时，小球的竖直分速度最大。
对小球＋绳＋地球系统，在上述过程中，用机械能守恒定律，求小球的线速度V:21sin 2m gL m v θ=v = (1)则其竖直分速度的大小为： (3)3a b c ++⎛⎫≤⎪⎝⎭∴当222sin cos θθ=时，即cot arc θ=为m ax y v =解法二（用微分法求极值）：由解法一的（3）式y v =当()()()/23sin cos cos 2sin cos sin 0θθθθθθθ⋅=+-=即当cot θ=m ax y v =解法三：（用物理方法求极值）要小球在竖直方向的分速度最大，其竖直方向上的合外力必等于零。
由圆周运动知识得：2sin 2sin LvT mg mmg θθ-=＝此时绳对小球的拉力：3sin T mg θ= 要小球的竖直分速度最大，有：y T m g = 即：23sin m g m g θ=m图一sin θcos cos y v v θθ====≤===得：sin 3θ=c o s 3θ=代入（3）式求得小球在竖直方向的最大速度为：m ax y v ==。
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山西教育
高 考 理 科 200 5 /12
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空区域内带电粒子具有各个方向的速度， 试计算： （ 1） 粒子沿 环状的 半径方 向射入 磁场， 不 能穿 越磁场的最大速度． （ 2） 所有粒子不能穿越磁场的最大速度． 解析 ： （1） 要粒子 沿 环 状的 半 径 方 向射 入 磁 场， 不 能 穿 越磁 场， 则粒子 的临界轨迹 一 定是与 外圆 相切 ,轨 迹如图 4 所示．
% 由 #$%2=& %% ， 得 %2= #$!2 =1.0 ×107 !#$ !2 & 7
所 以 所 有 粒 子不 能 穿 越 磁 场 的 最 大 速度 为 %2 = 1.0 ×10 7!# $ 点评： 当粒子以 %2 的速度沿与内圆相切方向射 入磁场且轨道与外圆相切时， 则以 %2 速度沿各方向 射入磁场区的粒子都不能 穿出磁场边界， 此圆的半 径对 应的速 度即为所 有粒子 不能穿 越磁场 的最大 速度． 三、 利用圆心角求极值 【 例 3】 如图 6 所示， 三个同样的带电粒子， 分 别以速度 %1 、 %2、 %3 沿水平方向从 同一点射入同一匀 强磁 场中， 且离 开磁场 时， 与水平 边界线 的夹角依 次为： !1=90 !、 !2=60! 、 !3=30! . 若依 次以 ’ 1、 ’ 2、 ’3 表示 每个粒子在磁场中的运动 时间， 下 列说法正确的是 （ ） A. 时间 ’ 1 最长， 时间 ’3 最短 B. 时间 ’3 最长， 时间 ’ 1 最短 C. 时间 ’1 = ’2 = ’ 3 D. 时间 ’ 1= ’ 2＜’3
④
点评： 此题需要根据 ! 粒子 在磁场中做圆周运 动的规律， 利用平面作 图法， 找 出与 "# 相交两边缘 的圆，这两个圆与 "# 的交点间长度即为 "# 上被 ! 粒子 打中的区 域的长度 . 确定方 法如下 ： -1 为圆弧 与 "# 切点， -2 为 "# 上右侧距 % 点为 2 * 的点． 二、 利用圆半径求极值 【例 2】 核 聚变 反应 需要 几百 万度 以上 的高 温， 为把高温条件下高速运动的离 子约束在小范围 内 （否则不可能发生核反应） ， 通 常采用磁约束的方 法 （托卡马克装置） ．如 图 3 所示， 环状匀强磁场围 成中空区域， 中空区域中的带电 粒子只要速度不是 很大， 都不会穿出磁场的外边缘 而被约束在该区域 内. 设环 状磁场的 内半 径 *1=0.5m， 外 半 径 *2=1.0m，磁 场的 磁 感 应强度 ! =1.0T， 若 被束 缚 带 电 粒子 的 荷 质 比 为 ’ = 4 ×10 7C / kg， 中 (
2 由图中知 !12+"12 = （"2- !1） ， 得 !1 =0.375 ! 2 由 #$%1=& %1 ， 得 %1= #$!" =1.5 ×10 7!# $ !1 &
命题研究
解析： 带电粒子在匀强磁场 中作匀速圆周运动 的 角速度 " = 2 # = #$ ， 它与 速率 、 半径 无关 ．所 ( & 以， 比 荷相 同 的 粒子 ， 在 同 一 匀 强磁 场 中 的 角频 率 相等 ， 根据 速度 的偏 向角 ! = " ’ 可 知， 偏 向角 大 则运 动时间长 ，反之则运 动时间短 . 同时可 得： ’ 1∶’ 2∶’ 3 = 3∶4∶5 ， 故选项 B 正确． 点评：速度的偏向角 等于所夹圆弧的圆 心角， 并与时 间成正比； 当偏向角 !＜180° 时， 偏向角等 于弦切角 （ $） 的 2 倍； 当偏向角 %＞180 °时， 偏向角 等于 （ 360- 2$） ．利用 上述 特点可 以简 捷地找 出涉 及运动时间的极值问题． 四、 利用圆的切线求极值 【例 4】 小船在静水中的速度 %1=2!#$， 河水流 动的 速度为 %2 =4!#$， 河宽为 50m， 求小船 过河时的 最小位移． 解析： 以 %2 沿水流方向 的矢尖为圆心， 以 %1 的 大小为半 径画圆， 如图 7 所示. 当 % 与圆相切， 即 %1 垂直 % 时， ! 最大， 船被冲至下游的距离最小. 此时， 船头与河岸夹角 为 sin!= %1 =0.5 %2
命题研究 !"#$%"&’#(")
例 析
如 极值 值 如何 何利 利用 用圆 圆求 求物 物理 理极
! 刘殿岩
如图 2 所示．
物理 极值问 题牵涉到 在一定 条件 下寻求 最佳 结果， 通常难度较大， 技巧性 较强. 利 用几何法求极 值问题时， 其特点是简便、 直 观， 能 把物体运动中较 为复杂 的极值问题，转 化为简单的 几何问题 去解. 利用 几何中 的圆求 物理极值 是高中 物理中 最常见 的方法， 本文就此方法进行总结， 以就教于读者． 一、 利用圆弧求极值 【例 1】 （2004 年广东 卷）如 图 1 所示， 真 空室 内存 在匀强磁场 ， 磁场方 向垂直于 纸面向 里， 磁感 应强度的大小 ! =0.60T，磁场内有一块平面感光板 "# ，板面与磁场 方向 平行， 在距 "# 的 距离 $ =16cm 处 ， 有 一个 点 状 的 ! 放 射 源 %， 它 向各个方向发射 ! 粒 子， ! 粒子的速度都 是 &=3.0 ×106 m/s. 已 知 ! 粒子的电荷与质 量 之 比 ’ =5.0 × ( 10 C/kg，现只考 虑在图纸平面中运动的 ! 粒子 ， 求 "# 上被 ! 粒子打中的区域的长度． 解析： ! 粒子带正电， 故在磁场中沿逆时针方向 做匀速圆周运动， 用 ) 表示轨道半径， 有 ’&! =( & *
! 7
2 ,-1= " *2-（ $ - *）
②
再考虑 , 的右侧. 任 何 ! 粒子在运动中离 % 的 距离不可能超过 2*，以 2 * 为半径、 % 为圆心作圆， 交 "# 于 , 右侧的 -2 点， 此即右侧能打到的最远点.
2 2 由图中几何关系得 ,-2= " （1*） -$
③
所求长度为 -1- 2 = ,-1+,-2 代入数值得 -1- 2=20cm
所以粒子沿环状的半 径方向射入磁场， 不能穿 越磁场的最大速度为 %1=1.5 ×10 !# $． （ 2） 当 粒子以 %2 的 速 度 沿 与内 圆 相 切 方 向 射 入 磁场 且 轨 道 与 外圆相切时， 则以 %2 速 度 沿 各 方向 射 入 磁 场 区 的 粒 子都 不 能 穿 出 磁 场 边 界， 如 图 5 所 示． 由图中知 !2= "2- "1 =0.25 ! 2
*+
①
& 由此得 *= （ ’+(） ! 代入数值， 得 *=10cm 可见， 2 *＞$＞*. 因朝不同方 向发射的 ! 粒 子的圆轨迹 都过 % ， 由此可知，某一圆轨迹在如图 2 中 , 左侧与 "# 相 切，此切点 -1 就是 ! 粒子能打中的左侧最远点.为 定出 -1 点的位置，可作平行于 "# 的直线 ./ ， ./ 到 "# 的距离为 *，以 % 为圆心， * 为半径，作弧交 ./ 于 0 点， 过 0 作 "# 的垂线， 它与 "# 的交点即为 -1，
此时小船过河时的位移为： )= * =100 ! $&’! 点评 ： 首 先从本 题的解 答过程 可看出 ， 小 船合 运 动的 速度 方向 就是 其真 实运 动的 位移 方向 . 其 次， 要使小 船过河 的位移 最小， 则小 船的合 速度应 沿垂直 河岸方向 ， 但由 于 %1 小于 %2， 此时小 船不可 能沿垂直河岸方向过河， 而是斜向 下游．这就只能 要求 小船的 合速度 方向与河 水流动 的速度 方向夹 角 ! 最大， 则船被冲至下游的距离最小． 200 5 /12 高 考 理科 山西教育