河北省曲周县2017届高三数学下学期第一次模拟考试试题 理 精

河北省曲周县2017届高三数学下学期第一次模拟考试试题理（扫描版）
理科数学参考答案
一．选择题：
DADBD ADBAD CB
二．填空题： （13）－2 （14） 1 2
（15）2或6 （16）(3，41)
三．解答题： （17）解：
（Ⅰ）由已知B ＝5π6，a 2＋b 2
＝6ab 结合正弦定理得：
4sin 2
A －26sin A ＋1＝0，于是sin A ＝6±2
4
． …4分 因为0＜A ＜
π 6，所以sin A ＜ 1
2，取sin A ＝6－24
…6分
（Ⅱ）由题意可知S △ABC ＝ 1 2ab sin C ＝312
c 2
，得：
1 2ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝3
12(4ab －2ab cos C )． 从而有：3sin C ＋cos C ＝2，即sin (C ＋ π 6)＝1
又 π 6＜C ＋ π 6＜7π6，所以，C ＝ π 3．
…12分
（18）解：
（Ⅰ）b ˆ＝n
i ＝1
∑x i y i －n ·x -y
-n i ＝1
∑x 2i －nx
-2＝2794－7×8×42708－7×82
＝1.7 …3分
a ˆ＝y -－
b ˆx -＝28.4
所以，y 关于x 的线性回归方程是y ˆ＝1.7x ＋28.4
…6分 （Ⅱ）∵0.75＜0.97，∴对数回归模型更合适. …9分
当x ＝8万元时，预测A 超市销售额为47.2万元．
…12分
（19）解：
（Ⅰ）连接AC 1，BC 1，则N ∈AC 1且N 为AC 1的中
点，
又∵M 为AB 的中点，∴MN ∥BC 1， 又BC 1⊂平面BB 1C 1C ，MN ⊄平面BB 1C 1C ，
故MN ∥平面BB 1C 1C ． …4分 （Ⅱ）由A 1A ⊥平面ABC ，得AC ⊥CC 1，BC ⊥CC 1． 以C 为原点，分别以CB ，CC 1，CA 所在直线为x 轴，
y 轴，z 轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
设CC 1＝2λ（λ＞0）， 则M (1，0，1)，N (0，λ，1)，B 1(2，2λ，0)，
CM →＝(1，0，1)，MN →＝(－1，λ，0)，NB 1→＝(2，λ，－1)． 取平面CMN 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由CM →·m ＝0，MN →·m ＝0得：
⎩⎨⎧x ＋z ＝0，
－x ＋λy ＝0，
令y ＝1，得m ＝(λ，1，－λ) 同理可得平面B 1MN 的一个法向量为n ＝(λ，1，3λ) …8分
∵平面CMN ⊥平面B 1MN ，∴ m ·n ＝λ2
＋1－3λ2
＝0
解得λ＝
22，得n ＝(22，1，32
2
)，又AB →＝(2，0，－2)， 设直线AB 与平面B 1MN 所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|n ·AB →||n ||AB →|＝66
． 所以，直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值是66
． …12分
（20）解：
（Ⅰ）由e 2
＝
c 2 a 2＝ 1 2，得 b 2
a 2＝ 1 2
，
将Q 代入椭圆C 的方程可得b 2＝4，所以a 2
＝8，
故椭圆C 的方程为x 28＋y 2
4
＝1．
…4分
（Ⅱ）当直线PN 的斜率k 不存在时，PN 方程为：x ＝2或x ＝－2， 从而有|PN |＝23，
所以S ＝ 1 2|PN |·|OM |＝ 1
2
×23×22＝26．
…5分
当直线PN 的斜率k 存在时，
设直线PN 方程为：y ＝kx ＋m （m ≠0），P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
将PN 的方程代入C 整理得：(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2
－8＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2
－8
1＋2k
2，
…6分
y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝
2m
1＋2k
2， 由OM →＝OP →＋ON →得：M (－4km 1＋2k 2，2m
1＋2k 2)，
将M 点坐标代入椭圆C 方程得：m 2
＝1＋2k 2
．
…8分
点O 到直线PN 的距离d ＝|m |
1＋k
2
， |PN |＝1＋k 2
|x 1－x 2|，
S ＝d ·|PN |＝|m |·|x 1－x 2|＝1＋2k 2·|x 1－x 2|＝16k 2－8m 2＋32＝26．
综上，平行四边形OPMN 的面积S 为定值26． …12分 （21）解：
（Ⅰ）f '(x )＝cos x ＋1
cos 2x
－2 …2分
因为x ∈(－
π 2， π
2
)，所以cos x ∈(0，1]，于是 f '(x )＝cos x ＋1cos 2x －2≥cos 2x ＋1
cos 2x －2≥0（等号当且仅当x ＝0时成立）．
故函数f (x )在(－
π 2， π
2
)上单调递增． …4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f (x )在(0，
π
2)上单调递增，又f (0)＝0，所以f (x )＞0， （ⅰ）当m ≤0时，f (x )＞0≥mx 2
成立． …5分 （ⅱ）当m ＞0时，
令p (x )＝sin x －x ，则p '(x )＝cos x －1， 当x ∈(0，
π
2
)时，p '(x )＜0，p (x )单调递减，又p (0)＝0，所以p (x )＜0， 故x ∈(0，
π
2
)时，sin x ＜x ．（*）
…7分
由（*）式可得f (x )－mx 2
＝sin x ＋tan x －2x －mx 2
＜tan x －x －mx 2
，
令g (x )＝tan x －x －mx 2，则g '(x )＝tan 2
x －2mx
由（*）式可得g '(x )＜x 2cos 2x －2mx ＝x
cos 2x
(x －2m cos 2
x )，
…9分
令h (x )＝x －2m cos 2
x ，得h (x )在(0，
π
2
)上单调递增， 又h (0)＜0，h (
π 2)＞0，所以存在t ∈(0， π
2
)使得h (t )＝0，即x ∈(0，t )时，h (x )＜0， 所以x ∈(0，t )时，g '(x )＜0，g (x )单调递减，又g (0)＝0，所以g (x )＜0，
即x ∈(0，t )时，f (x )－mx 2＜0，与f (x )＞mx 2
矛盾．
综上，满足条件的m 的取值范围是(－∞，0]． …12分 （22）解：
（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝1，将⎩⎨
⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ
代入x 2＋y 2
＝1得
t 2－4t sin φ＋3＝0（*）
由16sin 2
φ－12＞0，得|sin φ|＞
3
2
，又0≤φ＜π， 所以，φ的取值范围是( π 3，2π
3
)； …5分
（Ⅱ）由（*）可知，t 1＋t 2
2＝2sin φ，代入⎩⎨⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ
中，
整理得P 1P 2的中点的轨迹方程为
⎩⎨⎧x ＝sin 2φ，y ＝－1－cos 2φ (φ为参数， π 3＜φ＜2π3) …10分
（23）解：
（Ⅰ） 1 x ＋ 1
y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy
＝2，
当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．
所以 1 x ＋ 1
y
的最小值为2．
…5分
（Ⅱ）不存在．
因为x 2＋y 2
≥2xy ，
所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2
)＝2(x ＋y )， 又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2．
从而有(x ＋1)(y ＋1)≤[(x ＋1)＋(y ＋1) 2]2
＝4，
因此不存在x ，y ，满足(x ＋1)(y ＋1)＝5．。