直角三角形的边角关系

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第1章直角三角形的边角关系

知识点方向角的定义及应用
1.航海问题. 2.导航问题.
知识点利用三角函数解决实际问题
三角函数最早的研究可以追溯到公元前2000年,在埃及数学和巴比伦数学中,主要用于测量.例如:如果知道测量点距泰姬陵的位置与仰角的大小,则可以轻松地求得泰姬陵的高度.
知识点利用三角函数解决实际问题
在常见图形中解直角三角形时,常以“公共边”为桥梁,分别在两个直角三角形中,选择恰当的三角函数,构建关系式进行求解.
知识点解直角三角形的类型与解法
如图所示的是意大利的比萨斜塔,设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的交点为A ,过B点向垂直中心线作垂线,垂足为C,在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=5.2 m,AB=54.5 m,显然可以求出∠A的正弦值,利用计算器求出∠A的度数.
知识点解直角三角形的类型与解法
知识点锐角的正弦、余弦
为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A)为30°,为使出水口的高度为35 m,显然可利用∠A的正弦求出需要准备的水管长度.
知识点锐角的正弦、余弦
锐角的正弦和余弦是在直角三角形中定义的,sin A的值随着∠A 的增大而增大,cos A的值随着∠A的增大而减小.
第一章直角三角形的边角关系
6 利用三角函数测高
知识点测量倾斜角
俗话说:工欲善其事,必先利其器,为了测量仰角和俯角,如果没有专门的仪器,可以自制一个简易测倾器,简易测倾器由铅垂、度盘、支杆组成, 可以按如图所示的步骤组装一个简易测倾器.
知识点测量物体的高度
“不登山可以知道山高,不过河可以知道河宽.” 为了测量东方明珠塔的高度,小林和同学们在距离东方明珠塔 200 m处的地面上,用高1.20 m的测倾器测得东方明珠塔顶的仰角为 60°48',小林和同学利用解直角三角形的知识马上得出东方明珠塔的高度约为359.06 m.

三角形的边角关系

三角形的边角关系三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。

边和角之间存在着一系列重要的关系，这些关系对于解决三角形相关问题和证明三角形性质非常重要。

本文将深入探讨三角形的边角关系，包括角度和边长之间的关系以及三角形中的一些特殊边角关系。

一、角度和边长的关系1. 三角形内角和角度和为180度三角形的三个内角之和恒为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

这一特性是三角形的重要基本属性，可以通过三角形内角和定理来证明。

2. 同位角和对应角当两条平行线被一条截线所穿过时，截线与平行线所夹的内、外角成对应角关系。

同位角是指两条平行线被第三条截线所穿过后所得到的对应内角，它们的度数相等。

对应角是指两条平行线被第三条截线所穿过后所得到的两个内角，它们的度数相等。

3. 三角形的外角和三角形的一个外角等于其余两个内角的和。

假设三角形的内角为∠A、∠B、∠C，其对应的外角为∠D、∠E、∠F，则有∠D = ∠A +∠B，∠E = ∠B + ∠C，∠F = ∠C + ∠A。

二、三角形的特殊边角关系1. 等边三角形等边三角形的三条边长度相等，三个内角也相等，每个角都是60度。

等边三角形具有对称性和稳定性，在建筑、设计和工程等领域有广泛应用。

2. 等腰三角形等腰三角形的两条边长度相等，两个底角也相等。

底角是等腰三角形两边的夹角，顶角是等腰三角形的顶点处的角，它恒为60度。

等腰三角形也常见于建筑和工程设计中。

3. 直角三角形直角三角形的一个内角为90度，称为直角，另外两个内角为锐角。

直角三角形是解决三角函数问题的基础，它的边角关系可以通过勾股定理得到。

4. 三角形边长关系在三角形中，两边之和大于第三边，且两边之差小于第三边。

这一关系称为三角形的两边之和大于第三边定理和两边之差小于第三边定理。

5. 等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它同时具有等腰和直角的性质。

在等腰直角三角形中，两个锐角相等，且每个锐角为45度。

直角三角形的边角关系

直角三角形的边角关系
直角三角形的角关系:任意两条边的长度之和大于第三条边，任意两条边的长度之差小于第三条边。

斜边的平方等于两条直角边的平方和。

直角三角形的判断:有一个直角的三角形是直角三角形；两个锐角互补的三角形是直角三角形；如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

直角三角形的性质:1。

角的性质:直角三角形的两个锐角是互补的。

2.边的性质:直角三角形的三条边满足勾股定理，这是直角三角形最重要的性质。

3.斜边上的高度:直角三角形的斜边上的高度高于两个直角除以斜边的乘积，这是一种很常见的求高度线的方法。

4.斜边上的中线:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，常用于几何计算和证明。

5、一副直角三角形包含两个特殊的三角形，含30°角的直角三角形和等腰直角三角形，在含有30°角的直角三角形中，30°角所对应的直角边是斜边的一半。

6、HL定理，判断两个直角三角形全等的特殊定理，本质是全等三角形的SSS定理，注意本定理只能在直角三角形中才能运用。

直角三角形的边角关系(含答案)

第十四章直角三角形的边角关系基础知识梳理1．锐角三角函数．在Rt△ABC中，∠C是直角，如图所示．（1）正切：∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=AA∠∠的对边的邻边．（2）正弦：∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=A∠的对边邻边．（3）余弦：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=A∠的邻边邻边．（4）锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（5）锐角的正弦和余弦之间的关系．任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．即：如果∠A+∠B=90°，那么sinA=cos（90°-A）=cosB；cosA=sin（•90•°-•A）•=sinB．（6）一些特殊角的三角函数值（如下表）．三角函数角sin cos tan30°12323345°2222160°32123（7）已知角度可利用科学计算器求得锐角三角函数值；同样，•已知三角函数值也可利用科学计算器求得角度的大小．（8）三角函数值的变化规律．①当角度在0°～90°间变化时，正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．②当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（•或增大）．（9）同角三角函数的关系．①sin2A+cos2A=1；②tanA=sincosAA．2．运用三角函数解直角三角形．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．（1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）．（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．（3）边角之间的关系：sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab．所以，在直角三角形中，只要知道除直角外的两个元素（其中至少有一个是边），•就可以求出其余三个未知元素．解直角三角形的基本类型题解法如下表所示：类型已知条件解法两边两直角边a，bc=22a b+，tanA=ab，B=90°-A一直角边a，斜边cb=22c a-，sinA=ac，B=90°-A一边、一锐角一直角边a，锐角AB=90°-A，b=tanaA，c=sinaA斜边a，锐角A B=90°-A，a=c·sin，b=c·cosA注意：解直角三角形需要注意的问题：（1）尽量使用原始数据，使计算更加准确；（2）不是解直角三角形的问题，添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题；（3）恰当使用方程或方程组的方法解决一些较复杂的解直角三角形的问题；（4）在选用三角函数式时，尽量做乘法，避免做除法，以使运算简便；（5）必要时画出图形，分析已知什么，求什么，它们在哪个三角形中，•应当选用什么关系式进行计算；（6）添加辅助线的过程应书写在解题过程中．3．解直角三角形的实际问题．解直角三角形的实际问题涉及到如下概念和术语．（1）坡度、坡角．如图所示，坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i表示，即i=hl．坡面与水平面的夹角记作α（叫做坡角），则i=hl=tanα．（2）仰角、俯角．当从低处观测高处的目标时，视线和水平线所成的锐角称为仰角．当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．如图所示．（3）方位角和方向角．①方位角：正北方向顺时针旋转与已知射线所成的角叫做方位角．如图所示的∠α（0°<α<360°）．②方向角：正北或正南方向与已知射线所成的锐角叫做方向角．如图14-5所示的∠β（0°<β<90°），若∠β=30°，则方向角可记作南偏西30°．（4）燕尾槽的深度、燕尾角．燕尾槽的横断面如图所示，AE是燕尾槽的深度，AD是外口宽，BC是里口宽，∠B是燕尾角．考点与命题趋向分析（一）能力1．通过实例认识锐角三角函数（sinA ，cosA ，tanA ），知道30°，45°，60•°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．2．运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题．（二）命题趋向分析1．三角函数是代数与几何衔接点之一，是三角学的基础，近年来锐角三角函数常与四边形、相似形、坐标系、圆等相结合出题，多涉及实际应用问题，如梯子的倾斜程度、坡度等问题．【例1】（2004年河南省）如图1，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时梯子的倾斜角为75°．如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB 是________米．(1) (2) 【分析一】AB=AC+CB=tan 75a ︒+tan 45b︒．如图2，在Rt △ACB 中，∠C=90°．∠A=15•°，•∠ABC=75°，在∠ABC 内部作∠ABD=15°，则∠BDC=30°，∠DBC=60°，设BC=1，则BD=2，3， ∵∠A=∠ABD=15° ∴AD=BD=2 ∴3 ∴tan75°=AC BC23+3∴∴sin75°=ACAB 如图1所示：NB=CB=b 米∴b 米∴米在Rt △MAC 中，sin75°=AMMC∴4a=（）b解得-1）a∴AB=AC+CB=tan 75a ︒+tan 45b︒+b=（a+）a=a （米）【分析二】在图1中连MN ，可由MC=NC ，∠MCN=60°得等边三角形MCN ，作MH•⊥BN 于H ．由∠A=∠MHB=90°，∠MCA=∠MNH=75°，MC=MN ．可证△MAC ≌△MHN ，得AM=MH ．•再证四边形MABH 为矩形，可得AB=MH=AM=a 米．【解】此空应填a ．2．涉及特殊角的三角函数值的应用题是近年中考中的热点，•对学生的综合能力要求较高，要勤于观察生活中的数学现象，并善于将生活中的实际问题转化为数学问题并加以解决．【例2】（2004年哈尔滨市）如图，在测量塔高AB 时，•选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C 、D 两点，用测角仪器测得塔顶A 的仰角分别是30°和60°．•已知测角器高CE=1.5m ，CD=30m ．求塔高AB ．（答案保留根号）【分析】由CD=30m ，可求EG=30m ，考虑到∠AGF 是△AEG 的外角，可知EG=AG ，故AG=30m ，在Rt △AGF 中可求AF 长．AB=AF+FB 问题得以解决．【解】由题意可知：EG=CD=30米 ∵∠AEG=30°，∠AGF=60°∴∠EAG=30°∴EG=AG=30米在Rt△AFG中，sin60°=AF AG∴AF=AG·sin60°=30×32=153（米）∴AB=AF+FB=153+32（米）答：塔高AB为（153+32）米．【规律总结】本题发现EG=AG=30米，以及熟记特殊角三角函数值是关键．3．近10年来含特殊角的三角函数值的应用问题中中考中呈现上升趋势，•这类考题往往给定一些角的三角函数值供考生选用，且这类题多以中档解答题为主，望读者引起注意．【例3】（2004年沈阳市）某地一居民楼，窗户朝南，窗户的高度为h米，•此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β（如图1）．小明想为自己家的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，•又能最大限度地使冬天温度的阳光射入室内．小明查阅了有关资料，获得了所在地区∠α和∠β的相应数据：∠α=24°36′，∠β=73°30′，小明又量得窗户的高AB=1.65米．若同时满足下面两个条件：（1）•当太阳光与地面夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内；（2）•当太阳光与地面夹角为β时，要想使太阳光刚好不射入室内．请你借助图形（如图2），帮助小明算一算，•遮阳篷BCD中，BC和CD的长各是多少？（精确到0.01米）以下数据供计算中选用:sin24°36′=0.416 cos24°36′=0.909tan24°36′=0.458 cot24°36′=2.184sin73°30′=0.959 cos73°30′=0.284tan73°30′=3.376 cot73°30′=0.296【分析】图中有两个直角三角形，即△BCD 和△ACD ．•利用这两个直角三角形求解．另外题中所给数据中cot24°36′实际上是tan24°36′的倒数，今后我们会学习到．【解】∵在Rt △BCD 中，tan ∠CDB=BCCD，∠CDB=∠α ∴BC=CD ·tan ∠CDB=CD ·tan α ∵在Rt △ACD 中，tan ∠CDA=ACCD，∠CDA=∠β ∴AC=CD ·tan ∠CDA=CD ·tan β ∵AB=AC-BC=CD ·tan β-CD ·tan α =CD （tan β-tan α） ∴CD=tan tan AB βα-= 1.653.3760.458-≈0.57（米）∴BC=CD ·tan ∠CDB ≈0.57×0.458≈0.26（米）答：BC 的长约为0.26米，CD 的长约为0.57米．【规律总结】本题的解决关键是把∠α、∠β置于两个直角三角形中，另外要细心体会把实际问题转化为数学模型的过程和方法．4．运用解直角三角形知识解决实际问题是近年中考的热点题型，•主要涉及测量（特别是底部不可到达的物体的高度的测量）、航空、航海、工程等领域，且说理性题（如船会不会触礁，速度应提高多少，巡逻艇能否追上走私船等）比重有所加大．这类题主要考查学生应用相关知识解决实际问题的能力．【例4】（2003年青岛）如图14-11所示，•人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O 点的正北方向10海里处的A 点有一涉嫌走私船只，正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26•海里/时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问（1）需要几小时才能追上？（点B 为追上时的位置）（2）确定巡逻艇追赶方向（精确到0.1°）（参考数据：sin66.8°≈0.9191，cos66.8°≈0.3939，•sin67.•4•°≈0.•9231，cos67.4°≈0.3843，sin68.4°≈0.9298，cos68.4°≈0.3681，•sin70.•6•°≈0.9432，cos70.6°≈0.3322）．【分析】由于已知速度，本题第（1）问可利用直角△ABO 的各边长列方程求解，•第（2）问可利用sin ∠AOB=ABOB，求出∠AOB 的度数．【解】（1）设需要t 小时才能追上，则AB=24t ，OB=26t ．在Rt △ABO 中，OB 2=AB 2+OA 2，即（26t ）2=（24t ）2+102，解得t=±1，t=-1不合题意，舍去，∴t=1，即需要1小时才能追上．（2）在Rt △ABO 中 ∵sin ∠AOB=AB OB =2426t t =1213≈0.9231， ∴∠AOB ≈67.4°即巡逻艇的追赶方向是北偏东67.4°．解题方法与技巧1．数形结合思想．【例1】已知tan α=34，求sin cos sin cos αααα+-的值．【分析】利用数形结合思想，将已知条件tan α=34用图形表示．【解】如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=α，设BC=3k ，AC=4k ，则AB=22AC BC +=22(4)(3)k k +=5k ．∴sin α=BC AB =35k k =35 cos α=4455AC k AB k ==， ∴原式=34553455+-=-7.方法2：转化思想【例2】已知tan α=34，求sin cos sin cos αααα+-的值．【分析】可将所求式子的分子、分母都除以cos ，转化为含有sin cos αα的式子，•再利用tan α=sin cos αα进行转化求解．【解】将式子sin cos sin cos αααα+-的分子、分母都除以cos α，得原式＝31tan143tan114αα++=--＝-7【规律总结】因为tanα=34所以α不等于90°，所以cosα≠0，因此分子分母可以同时除以cosα．实现转化的目的．方法3：方程思想【例3】去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B•两地之间修筑一条笔直的公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的西偏北45°的C处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？【分析】过C作AB的垂线段CM，把AM、BM用含x的代数式3x，x表示，利用AM+MB=2列方程得，3x+x=2，解出CM的长与0.7千米进行比较，本题要体会设出CM的长，列方程解题的思想方法．【解】作CM⊥AB，垂足为M，设CM为x千米，在Rt△MCB中，∠MCB=∠MBC=45°，则MB=CM=x千米．在Rt△AMC中，∠CAM=30°，∠ACM=60°tan∠ACM=AM CM∴AM=CM·tan60°=3x千米∵AM+BM=2千米∴3x+x=2∴x=3-1≈1.732-2=0.732∴CM长约为0.732千米，大于0.7千米∴这条公路不会穿过公园．方法4：建模思想【例4】如图所示，一艘轮船以20里/时的速度由西向东航行，•途中接到台风警报，台风中心正以40里/时的速度由南向北移动，距离台风中心2010•里的圆形区域（包括边界）都属台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A•正南方向的B处，且AB=100里．（1）若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，•试求轮船最初遇到台风的时间；若不，请说明理由．（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60里的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，问船速至少应提高多少？（取整数，13≈3.6）【分析】本题是航海问题，把航海问题抽象成纯数学问题，建立起“解直角三角形”的“数学模型”．【解】（1）设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时，轮船位于C 处，台风中心移到E处，连结CE，则有AC=20t，AE=AB-EB=100-40t，EC=2010在Rt△ACE中，AE2+AC2=EC2∴（20t）2+（100-40t）2=（2010）2∴t2-4t+3=0△=（-4）2-4×1×3=4>0∴途中会遇到台风解方程①得t1=1，t2=3∴最初遇到台风的时间为1小时．（2）设台风抵达D港的时间为t小时，此时台风中心至M点，过D作DF⊥AB，垂足为F，连结DM．在Rt△ADF中，AD=60，∠FAD=60°∴DF=303，FA=30又FM=FA+AB-BM=130-40tMD=2010∴（303）2+（130-40t）2=（2010）2整理，得4t2-26t+39=0解之得t1=13134-，t2=13134+∴台风抵达D港的时间为13134-小时，到D港的速度为60÷13134-≈25.5（海里/时）．因此为使台风抵达D 港之前轮船到D 港，轮船应提高6海里/时．方法5：说理性问题的解法【例5】如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500m 为半径的圆形区域为居民区，•取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB=400m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？【分析】说明输水路线是否穿过居民区，应过A 作MN 的垂线段AH ，计算出AH 的长，然后把AH 与500m 比较大小．【解】过A 作AH ⊥MN ，垂足为H ∵MK ∥BG∴∠GBH=∠KMH=30°又∵∠GBA=75°，∠HBA=45° ∴∠BAH=45° ∴AH=BH设AH 为xm ，则BH=xm ，在Rt △MHA 中，∠HMA=∠KMA-∠KMB=60°-30°=30°． ∵tan ∠HMA=AHMH∴MH=tan 30x =33x =3x∵MB=MH-BH∴3x-x=400 解得x=200（3+1）∴AH ≈546.4m>500m答：输水路线不会穿过居民区．【规律总结】此题是说理性问题，这类题要求学生对基本概念、基本定理、基本思路有清醒的认识，能根据实际问题进行相关的计算，并利用计算所得结果说明问题的原因、依据．方法6：探索性问题【例6】某学校为了改善教职工居住条件，•准备在教学楼（正楼）的正南方向建一座住宅楼（正楼），要求住宅楼与教学楼等高，均为15.6米，已知该地区冬至正午时分太阳高度最低，太阳光线与水平线的夹角为30°，如果住宅楼与教学楼间相距19.2米，如图1所示．（1）此时住宅楼的影子落在教学楼上有多高？（精确到0.1米）（2）要使住宅楼的影子刚好落在教学楼的墙角，则两楼间的距离应是多少？•（精确到0.1米）【分析】（1）如图所示，设冬至正午太阳最低时，住宅楼顶A•点的影子落在教学楼上的C 处，那么CD 的长就是影子落在教学楼上的高度．（2）如图2所示，BC 的长就是两楼间的距离．(1) (2) 【解】（1）如图1所示，作CE ⊥AB 于E ，在Rt △ACE 中，∠ACE=30°，EC=19.2， ∴AE=EC ·tan30°=19.2319.2 1.7323⨯≈11.1 CD=EB=AB-AE≈15.6-11.1=4.5（米）∴住宅楼的影子落在教学楼上约有4.5米高（2）如图2所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=30° BC=tan 30AB ︒3315.6×1.732≈27.0（米）∴要使冬至正午的太阳能够照到教学楼的墙角，两楼间的距离至少应为27.0米．【规律总结】此题为探索性题，结论没有直接给出，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等活动，逐步确定结论．方法7：开放性问题【例7】某处有一天线，高度超过10米，底部四周有铁丝网围墙，•使得不能直接到达天线底部，数学小组的同学们只有测倾器和测量长度用的量绳，请你为他们设计一个能测得天线高度的方案（包括测量方法，并推导计算公式）．【分析】本题是一道开放性试题，是近年来有关解直角三角形的中考试题中，开放程度很高的题目，着重考查学生如何借助解直角三角形知识解决这类测量问题．解题中要注意测量工具所能测得的数据，以免审题失误．【解】如图所示，测倾器离地面b 米，在点B 处测得天线顶端仰角为α，从B•点向前走a 米，到达点C ，在点C 处测得天线顶端仰角为β，设AG 为x 米．在Rt △AGC 中，CG=tan tan AG xββ= 在Rt △AGB 中，BG=tan tan AG xαα=∵BC=BG-CG ∴tan x α-tan x β=a∴x=11()tan tan aαβ-=tan tan tan tan a αββα-∴AM=AG+GM=tan tan tan tan a αββα-+b【规律总结】对于开放性问题，一般都有多种解题方法，首先应对解直角三角形知识有关的基本图形非常熟悉，然后才能给出设计方案，选择适合自己的解题方法，灵活巧妙地解答问题．方法8：综合性问题【例8】如图所示，已知A 为∠POQ 的边OQ 上一点，以A•为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且∠MAN=∠POQ=α（α为锐角），当∠MAN 以点A 为旋转中心，AM 边从与AO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN 保持不变）时，M 、N 两点在射线OP 上同时以不同的速度向右平移，设OM=x ，ON=y （y>x ≥0），△AOM•的面积为S ，且cos α，OA 是方程2z 2-5z+2=0的两个根．（1）当∠MAN 旋转30°（即∠OAM=30°）时，求点N 移动的距离；（2）求证：AN 2=ON ·MN ；（3）试求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围．（4）试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围．【分析】本题把解直角三角形与一元二次方程、相似三角形、平移、旋转、函数等知识糅合在一起，形成一道综合性很强的考题．本题从解一元二次方程入手，逐步挖掘隐含条件，构造直角三角形，将其转化为解直角三角形问题．【解】（1）解方程2z2-5z+2=0，得z1=12，z2=2∵α为锐角∴O<cosα<1∴OA=2，cosα=1 2∴α=60°，即∠POQ=∠MAN=60°∴ON=OA=2，如图14-20所示．当AM旋转到AM′时，点N移动到N′∴∠M′N′A=30°，∠OAN′=90°，在Rt△OAN′中，ON′=2AO=2×2=4，∴MN′=ON′-ON=4-2=2∴点N移动距离为2（2）如图1所示，在△OAN和△AMN中，∠AON=∠MAN，∠ANO=∠MNA，∴△AON•∽△MAN，∴ANMN=ONAN，∴AN2=ON·MN(1) (2) （3）如图2所示，过A作AH⊥OP于点H．∵MN=ON-OM=x-y，∴AN2=ON·MN=y（y-x）=y2-xy在Rt△AOH中，OH=OA·cos60°=2×12=1∴AH=OA·sin60°3∴HN=ON-OH=y-1在△ANH中，AN2=AH2+HN2=32+（y-1）2=y2-2y+4，∴y2-xy=y2-2y+4，整理得y=42x．∵y>O ∴2-x>O ∴x<2 又∵x ≥O∴x 的取值范围是O ≤x<2（4）如图2所示，在△AOM 中，OM 边上的高AH 为，∴S=12OM ·AH=12·x 2x∵S 是x ∴S 随x 的增大而增大∴O ≤ 【规律总结】本题通过作OM 边上的高AH ，从而将其转化为解直角三角形问题，在解有关综合性问题时，要注意挖掘隐含条件，合理运用相应知识，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系沟通各知识点间的联系．中考试题归类解析（一）锐角三角函数【例1】（2003，大连）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则B 的值为（） A ．45 B ．35 C ．43 D ．34【思路分析】由勾股定理可知AB=5，根据锐角三角函数的定义可知cosB=35BC AB 解：答案B 【例2】（2003，南京）在△ABC 中，∠C=90°，tanA=1，那么cotB 等于（）A C ．1 D ．3【思路分析】由互为余角的三角函数关系可知：cotB=tanA=1 解：答案C【规律总结】本题也可由tanA=1得到∠A=45•°，•所以∠B=•45•°，• 故cotB=cot45°＝1【例3】（2003，黄冈）已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（） A ．0°∠A ≤60° B ．60°≤A ∠90° C ．0°∠A ≤30° D ．30°≤A ∠90°【思路分析】锐角三角函数的余弦值随角度的增大而减小，因为∠A 为锐角，所以O<cosA ≤12，即cos90°<cosA ≤cos60°，所以60°≤A<90° 解：答案B【例4】（2004，山西）计算：sin 248°+sin 242°-tan44•°·•tan45•°·•tan46•°=_______．【思路分析】利用互为余函数的关系化为同角函数，再利用同角三角函数公式就可求出值．【解】sin 248°+sin 242°-tan44°·tna45°tan46°=sin 248°+cos 248°-tan44°·cot44°tan45° =1-1×1 =0 故应填：0【规律总结】解决这样的问题一是要善于互化函数，往公式上靠，二是特殊角的三角函数值要记住．【例5】（2004，宁波）计算：（π-3）°-（12）-2+（-1）3-sin 245° 【思路分析】按运算法则和运算顺序直接计算即可．【解】（π-3）°-（12）-2+（-1）3-sin 245° =1-211()2+（-1）3-（2）2 =1-4-1-12=-412【规律总结】在中考题中象这样代数值的运算和三角函数值的运算结合在一起的比较多．（二）解直角三角形【例1】已知如图所示，在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．【求证】S △ABC =12absinc=12bcsinA=12casinB ．【思路分析】要求面积关键是作高，构造出直角三角形利用锐角三角函数的定义加以理解．【证明】过A 点作AD ⊥BC 垂足为D 在Rt △ABD 中，sinB=ADAB∴AD=AB ·sinB=c ·sinB∴S=12AD ·BC=12ac ·sinB 同理可证，S=12absinc=12bcsinA【例2】如图，若CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AD=3，CD=4，则BC=_____．【思路分析】先利用勾股定理求出AC 长再利用相似比就可求出BC 【解】∵AC 2=AD 2+DC 2 而AD=3 CD=4 ∴AC=3234+=5 Rt △CDA ∽Rt △BDCAD CD =ACBCBC=542033AC CD AD ⨯⨯==故应填：203【规律总结】：本题也可以利用射影定理去解．【例3】一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，周围4.8海里范围内是水产养殖场，渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C•在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东（即BD ）方向航行，这艘船是否有进入养殖场的危险．【思路分析】是否有进入养殖场的危险就是看C 点到BD 的距离是多少，•如果大于4．8海里就没有进入养殖场的危险，否则就有危险．【解】过C 点作BD 的垂线与BD 交于E 点 ∠BAC=60°-45°=15° ∠BCA=45°-30°=15° 在Rt △CBE 中， sin ∠CBE=CEBCCE=BC·sin∠CBE=10×1 2=5（海里）∵4.8<5∴没有进入养殖场的危险．【规律总结】这种类型题关键是要构建直角三角形计算距离，再根据距离大小来判断是否有危险．中考试题集萃（一）填空题1．（2004，宁波）sin45°=________．2．（2004，衡阳）∠A为锐角，若cosA=13，则sin（90°-A）=_______．3．（2004，芜湖）在直角三角形ABC中，∠C=90°，已知sinA=35，则cosB=________．4．（2004，常州）若∠α′的余角是30°，则∠α′=_______°，sin∠α′=________． 5．（2004，江西）在△ABC中，若AC=2，BC=7，AB=3，则cosA=________．6．（2004，沈阳）在Rt△ABC中∠C=90°，tanA=23，AC=4，则BC=_______．7．（2004，上海）在△ABC中，∠A=90°，设∠B=θ，AC=b，则AB=______．（用b和θ的三角比表示）8．（2004，深圳）计算：3tan30°+cot45°-2tan45°+2cos60°=________．9．（2004，西宁）某人沿倾斜角为β的斜坡走了100m，则他上升的高度是______m． 10．（2004，潍坊）某落地钟钟摆的摆长为0.5m，来回摆动的最大夹角为20°，已知在钟摆的摆运过程中，摆锤离地面的最低高度为am，最大高度为bm，则b-a=_______m（不取近似值）．（二）选择题1．小强和小明去测量一座古塔的高度（如图）他们在离古塔60m•的A处，用测角仪器测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.5m，则古塔BE的高为（• ）A．（203-1.5）m B．（203+1.5）mC．31.5m D．28.5m2．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值（）A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化3．用科学计算器计算锐角α的三角函数值时，•不能直接计算出来的三角函数值是（）A ．cot αB ．tan αC ．cos αD ．sin α 4．计算sin30°·cot45°的结果是（）A ．12B ．2C ．6D ．45．=（）A ．1-3 B -1 C ．3-1 D ． 6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，cosA=1213，则tanA 等于（） A ．513 B ．1312 C ．125 D ．5127．已知α为锐角，tan αcos α等于（）A ．12B ．2C 8．在△ABC 中，∠C=90°，sinA=，则cosB 的值为（）A ．12B ．2C ．2D ．39．在△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，CA=4，那么sinA 等于（） A ．34 B ．43 C ．35 D ．45（三）解答题1．（2004，芜湖）在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12，，AB=10，•求△ABC 的面积．2．（2004，大连）如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D是AB的中点，•中柱CD=1m，∠A=72°，求跨度AB的长（精确到0.01m）．3．（2004，南京）如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°，已知AB=20m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度．（结果保留根号）．4．（2004，贵阳）某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高6m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时，问：（1）超市以上的居民住房采光是否有影响？为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（•结果保留整数，•参考数据：sin32°≈53100，cos32°≈106125，tan32°≈58）5．（2004，济南）如图表示一山坡路的横截面，•CM•是一段平路，•它高出水平地面24m，从A到B，从B到C是两段不同坡角的山坡路，山坡路AB的路面长100m，•把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI=5°．（精确到0.01m）（1）求山坡路AB的高度BE．（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？（sin5°=0.0872，cos5°=0.9962，sin12°=0.2079，cos12°=0.9781）答案:一、填空题1．222．133．354．60°，325．236．837．b·cos或tanb83．100sinβ 10．12（1-cos10°）•二、选择题1．B 2．D 3．A 4．A 5．A 6．D 7．A 8．C 9．C 三、解答题1253 32．3.93m3．解：作CD⊥AB，垂足为D，设气球离地面的高度是xm在Rt△CBD中，∠CAD=45°∴AD=CD=x在Rt△CBD中，∠CBD=60°∴cot60°=BD CD∴BD=3 3∵AB=AD-BD，∴20=x-33x∴x=30+103．答：气球离地面的高度是（30+103）m．4．（1）如图设CE=x米，则AF=（20-x）米，tan32°=AFEF，即20-x=15·tan32°x=11∵11>6，∴居民住房的采光有影响．（2）如图：tan32°=ABBF，BF=20×85=32两楼应相距32米．5．（1）在Rt△ABE中BE=ABsin∠BAE=100sin5°=100×0.0872=8.72（米）．（2）在Rt△CBH中CH=CF-HF=15.28BC=sin CH CBH ∠=15.28sin12︒≈73.497在Rt△DBI中DB=sin DIDBI∠=15.28sin5︒≈175.229∴DB-BC≈175.229-73.497=101.732≈101.73（米）．。

直角三角形的边角关系

直角三角形的边角关系直角三角形是一种特殊的三角形，它的一个角是90度，另外两个角是锐角。

直角三角形的边角关系是指三条边和三个角之间的关系。

边角定义在直角三角形中，我们通常将底边称为底边，直角所对的边称为斜边，另外一个边称为高。

以直角三角形ABC为例，边AB为底边，边AC为高，边BC为斜边。

直角三角形中的两个锐角分别称为锐角A和锐角B。

锐角A位于底边AB的顶点A，锐角B位于直角C的顶点B。

边角关系直角三角形的边角关系非常重要，它们之间存在着多个重要的数学关系。

下面是直角三角形的边角关系的详细介绍：边与角的关系1. 底边与斜边的关系：根据勾股定理，底边的平方加上高的平方等于斜边的平方。

用公式表示为：AB² + AC² = BC²2. 斜边与锐角的关系：在直角三角形中，斜边与锐角的关系可以用三角函数来表示。

以锐角A为例，斜边BC与锐角A的正弦比等于底边AB 与斜边BC的比值，用公式表示为：sin(A) = AB / BC角与角的关系1. 直角和锐角的关系：直角是直角三角形的特殊角，它的度数为90度。

而锐角是小于90度的角。

2. 锐角之间的关系：直角三角形中的两个锐角之和等于90度。

用公式表示为：A +B = 90°边与角之间的关系1. 高与锐角的关系：直角三角形中的高与锐角之间存在正弦和余弦的关系。

以锐角A为例，高AC与锐角A的正弦比等于底边AB与斜边BC的比值，用公式表示为：sin(A) = AC / BC2. 底边与锐角的关系：直角三角形中的底边与锐角之间存在正切关系。

以锐角A 为例，底边AB与锐角A的正切比等于高AC与底边AB的比值，用公式表示为：tan(A) = AC / AB总结直角三角形的边角关系是数学中一种重要的关系，它涉及到边与角之间的联系。

通过掌握这些关系，我们可以在解决三角形相关问题时更加方便和高效。

一个直角三角形中，底边与斜边的关系可以由勾股定理给出，斜边与锐角之间的关系可以用正弦比来表示，高与锐角之间的关系可以用正弦比来表示，底边与锐角的关系可以用正切比来表示。

直角三角形的边角关系

直角三角形的边角关系[知识链接]知识讲解:1．直角三角形中的边角关系(1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2 (2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90°(3)边角之间的关系：sinA ＝cosB ＝c a ， cosA ＝sinB ＝c btanA ＝cotB ＝b a ， cotA ＝tanB ＝ab锐角三角函数的概念如图，在ABC 中，∠C 为直角，则锐角A 的各三角函数的定义如下：(1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA ＝ca(2)角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA ＝c b(3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA ＝ba(4)角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cotA ＝ab2．三角函数的关系(1)同角的三角函数的关系1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A A cos sin ，cotA ＝AAsin cos(2)互为余角的函数之间的关系 sin(90°－A)＝cosA ， cos(90°－A)＝sinA tan(90°－A)＝cotA ， cot(90°－A)＝tanA 3．一些特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°sinα0 1cosα 1 0tanα0 1 -----cotα----- 1 05．锐角α的三角函数值的符号及变化规律.(1)锐角α的三角函数值都是正值(2)若0＜α＜90° 则sinα，tanα随α的增大而增大，cosα，cotα随α的增大而减小.6．解直角三角形(1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角.(2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的过程叫做解直角三角形.7．解直角三角形的应用，解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几个概念：(1)仰角、俯角视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角(2)坡度．坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示，h即i＝l(3)坡角h 坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝i＝l(4)方位角从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角.例题选讲：1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知∠A、c, 则a=__________;b=_________.(2)已知∠A、b, 则a=__________;c=_________.(3)已知∠A、a，则b=__________;c=_________.(4)已知a、b，则c=__________.(5)已知a、c，则b=__________.2、在下列直角三角形中，不能解的是（）A 、已知一直角边和所对的角B 、已知两个锐角C 、已知斜边和一个锐角D 、已知两直角边3、如图，在△ABC 中，已知AC=6，∠C=75°，∠B=45°，求△ABC 的面积.4、求证:平行四边形ABCD 的面积S=AB ·BC ·sinB(∠B 为锐角).5、山顶上有一旗杆，在地面上一点A 处测得杆顶B 的俯角α =600，杆底C 的俯角β =450，已知旗杆高BC=20米，求山高CD.课堂练习1、如图：P 是∠α的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），则sin （900 - α）＝_____________.2、下列说法正确的是( )A 、a 为锐角则 0≤sina ≤1B 、cos30°＋cos30°＝cos60°C 、若tanA ＝cot(90°－B), 则∠A 与∠B 互余D 、若α1，α2为锐角，且α1＜α2则c osα1＞c osα2 3、已知0°＜α＜45° 则s inα，c osα的大小关系为( )A 、s inα＞c osαB 、s inα＜c osαC 、s inα≥c osαD 、s inα≤c osα．4、∠C ＝90° 且tanA ＝31，则cosB 的值为( )A 、1013 B 、310 C 、1010 D 10103 5、直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ＝10，∠B ＝90°，∠C ＝30°则AB ＝( )A 、53B 、5C 、25D 2356、一个三角形的一边长为2，这边上的中线长为1，另两边长之和为1＋，则这个三角形的面积为( )A. 1B.23C. D.437、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域.如图，设A 、B 是我们的观察站，A 和B 之间的距离为160海里，海岸线是过A 、B 的一条直线.一外国船只在P 点，在A 点测得∠BAP=450，同时在B 点测得6BCACDABAB CDABP∠ABP=600，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域. 本课小结本章的重点是直角三角形中锐角三角函数的定义，特殊锐角的三角函数值，及互余两角的三角函数关系，运用这些知识解直角三角形的实际应用，既是重点也是难点.解直角三角形四类基本问题的方法是：(1)已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a)：由sinA ＝ca，求A, B ＝90°－A ， b ＝(2)已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A)； B ＝90°－A ， a ＝c·sinA ， b ＝c·cosA(3)已知一直角边和一锐角(如a ，A)： B ＝90°－A ，b ＝a·cotA ， c ＝Aasin(4)已知两直角边(如a ，b)： c ＝，由tanA ＝ba，求A, B ＝90°－A解直角三角形的思路是：(1)解直角三角形的方法可以概括为“有弦(斜边)用弦(正弦，余弦)，无弦用切(正切，余切)，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；既可由已知数据又可由中间数据求解时，取原始数据，忌用中间数据.(2)解含有非基本元素的直角三角形(即直角三角形的中线，高，角平分线，周长，面积等)一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为基本元素间的关系式，再通过解方程组求解.解直角三角形在实际应用中的解题步骤如下：(1)审题：要弄清仰角，俯角，坡度，坡角，水平距离，垂直距离，水平等概念的意义，要审清题意.(2)画图并构造要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形(包括正方形).(3)选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错.(4)按照题中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位.。

直角三角形的边角关系--知识点

直角三角形的边角关系知识考点知识讲解:1.锐角三角函数的概念如图，在ABC 中，∠C 为直角，则锐角A 的各三角函数的定义如下：(1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA ＝a c (2)角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA ＝bc (3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作t an A ，即t an A ＝ab (4)角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作c ot A ，即c ot A ＝ba 2.直角三角形中的边角关系(1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2(2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90°(3)边角之间的关系：sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝bc t an A ＝c ot B ＝a b ， cot A ＝t an B ＝ba3.三角函数的关系(1)同角的三角函数的关系1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝12)倒数关系：t an A·c ot A ＝13)商的关系：t an A ＝sinA cosA ，c ot A ＝cosA sinA(2)互为余角的函数之间的关系sin(90°－A)＝cosA ， cos(90°－A)＝sinAt an (90°－A)＝c ot A ， cot (90°－A)＝t an A4．一些特殊角的三角函数值0°30° 45° 60° 90° sin α0 1 cos α1 0 tan α0 1 ----- cot α----- 15．锐角α的三角函数值的符号及变化规律.(1)锐角α的三角函数值都是正值(2)若0＜α＜90°则sinα，tanα随α的增大而增大，cosα，cotα随α的增大而减小.6．解直角三角形(1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角.(2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的过程叫做解直角三角形.7．解直角三角形的应用，解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几个概念：(1)仰角、俯角视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角(2)坡度=坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示，即i=hl(3)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝i=hl (4)方位角:从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角.。

直角三角形的三边关系.doc

直角三角形的三边关系(复习)一.知识要点1.直角三角形边角关系.(1)三边关系：勾股定理：。

2+歹=疽(2)三角关系：ZA+ZB+ZC=180° ，ZA+ZB =ZC=90° .(3)边角美系 tanA二一，s inA——, cosA——， b c c2.解法分类：(1)已知斜边和一个锐角解直角三角形；(2)已知一条直角边和一个锐角解直角三角形;(3)已知两边解直角三角形.3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几个概念：(1)仰、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方叫做仰角，在水平线下方叫做俯角(2)坡度：坡面的铅直高度h与水平宽度1的比叫做坡度，常用字母i表示，即i=，(3)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母a表示，则tan(x=¥(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。

的角o(5)方位角：从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角。

二、课堂练习1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A (3, 0)点 B (0, -4),贝ij cosZOAB 等于2、.如图ZXABC电匕C=90° ,A B=8,tanA=4/3 B则AC的长是3、在 RtAABC 中ZC=90° sinA= 4/5则cosB的值等于t4、在正方形网格中，AABC的位置如图所示，则sinB的值为 A C5、如图，在四边形ABCD中，E、F分别是 AB、AD 的中点，若 EF二2, BC二5, CD二3,则tanC等于6.如图，在矩形ABCD中，DE1AC于E,设匕 ADE 二。

，且 cosa = 2, AB 二 4,则 AD 的长为57.如图4,已知正方形刃时的边长为2,如果将线段以绕着点〃旋转后，点〃落在似的延长线上的〃'处，那么tan匕BAD'等于8.比较下列三角函数值的大小：sin40°sin50°9.若是锐角，cosA > VT ,则匕A应满足10.已知ZA为锐角且sinA=1/4,则( )A. 0°< ZA<30°B. 30°< ZA<45°图4C. 45°< ZA<60°D. 60°< ZA<90°11、计算：(-r2-(V3-V2)° +2sin30°+|-312、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域。

《锐角三角函数》直角三角形的边角关系

锐角三角函数的定义与三角形边的关系
总结词
锐角三角函数的定义与三角形边的关系是密切相关的。锐角三角函数是描述直角三角形中锐角与边之间的比例关系的函数。
详细描述
锐角三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示直角三角形中锐角与边的比例关系。这些函数可以帮助我们解决与直角三角形相关的问题，例如找到未知边的长度或确定三角形的形状。
建筑结构设计
建筑结构设计中，利用直角三角形的边角关系可以提高建筑物的稳定性和抗震性能。
工程测量
工程测量中，利用直角三角形的边角关系可以确定地形的形状和大小。
航海中如何利用直角三角形定位
航道导航
航海中，利用直角三角形可以计算船只的位置和航向，以确保航行安全。
海洋资源调查
为了确定海洋资源的分布和位置，利用直角三角形进行海洋资源调查。
三角形的面积公式
总结词
三角形的面积公式是计算三角形面积的基本方法，它基于三角形的底和高来计算面积。
VS
详细描述
三角形的面积公式是：面积 = (底 × 高) / 2。这个公式可以帮助我们计算任何三角形的面积，只要我们知道三角形的底和高。这个公式在几何学中非常有用，因为它可以帮助我们解决与三角形面积相关的问题。
性质
正切函数随着角度的增加而增加，没有极限值。
02
直角三角形的边角关系
勾股定理
总结词
勾股定理是直角三角形中一个非常重要的边角关系，它表明直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
详细描述
勾股定理是几何学中一个基本的定理，它告诉我们，如果一个三角形是直角三角形，那么它的两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理在解直角三角形的问题中非常有用，因为它可以帮助我们找到未知边的长度。

九年级第一章直角三角形的边角关系

九年级下册第一章直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一) 一知识要点1. 能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等正切的定义:在Rt △ABC 中,锐角A 的与锐角A 的比叫做∠A 的正切，记作tanA,即 tanA=2. 能够用正切进行简单的计算. 二、典型例题与分析例1：如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?跟踪练习1、在Rt △ABC 中,锐角A 的对边和邻边同时扩大100 倍,tanA 的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定 2、已知∠A,∠B 为锐角(1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.例2：在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.随堂练习(见课本P 6 1、2)3、补充:在等腰△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.三、拓展训练例3如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)四、中考链接1：若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高_______米2、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.§1.2从梯子的倾斜程度谈起(2)正弦与余弦一．知识要点：1.正弦,余弦的定义（1）.在Rt△ABC中,锐角A的与的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=（2）.在Rt△ABC中,锐角A的与的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=总结：①锐角三角函数的定义.锐角A的, , 都叫做∠A的三角函数.②定义中应该注意的几个问题（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).（2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号；（3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.（4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.（5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.练习：如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A的三个三角函数值.二．典型例题与分析：例1.如图:在Rt△ABC中,∠B=090,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.跟踪练习：1．如图，已知直角三角形A B C中，斜边A B的长为m，40B∠=，则直角边B C的长是（）A．s in40m B．co s40mC．tan40m D．ta n40m2.如图, ∠C=90°CD⊥AB.（1）SinB=()()=()()=()()（2）若BD=6,CD=12.求cosA的值.3.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.三．基础练习：A BC 1．已知△ABC 中，90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 2.在Rt ABC ∆中，90=∠C ，如果2=AB ，1=BC ，那么Bsin的值是（）A.21B.23C.33D.33.在R t A B C △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A =4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离A C =3米，3c o s 4B AC ∠=，则梯子A B 的长度为米．5.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则tan α的值是（）Ａ．12Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2四．知识延伸1.如图，P 是∠α的边OA 上一点，且点 P 的坐标为（3，4），则sin α= ( ) A ．35B ．45C ．34D ．432．如图，A D C D ⊥，13A B =，12B C =，3C D =，4A D =，则sin B =（） A ．513B ．1213C ．35D ．453.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将A B C △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为D E ，则tan C B E ∠的值是（） A ．247B ．3C ．724D ．134.如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cosE 的值等于（） A. 12223五．中考链接 1．正方形网格中，A O B ∠如图放置，则co s A O B∠的值为（） 55Ｃ．12Ｄ．22.如图，在A B C △中，90A C B ∠=，C D A B ⊥于D ，若A C =A B =tan B C D ∠的值为（）2333.如图，在A B C ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别在A C 、A B 上，B D 平分A B C ∠，D E A B ⊥，6A E =，3c o s 5A =.求（1）D E 、C D 的长；（2）tan D B C ∠的值.§1.3 300，450，600角的三角函数值(1)D ABCABO第1题一、知识要点（1）直角三角形中的边角关系（2）特殊角300,450,600角的三角函数值. （3）互余两角之间的三角函数关系. （4）同角之间的三角函数关系二、典型例题例1：(1)sin300﹢cos450(2) sin 2600+cos 2600﹣tan450跟踪练习：(1)sin600﹣cos450; (2)cos600+tan600例2：如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).跟踪练习：2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶梯的长度是多少?例3、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C 的对边分别是a,b,c.求证:sin 2A+cos 2A=1C跟踪练习：1.tan α×tan300 =1,且α为锐角。

直角三角形边角关系

直角三角形边角关系直角三角形边角关系是指在一个直角三角形中，它的三条边和三个内角之间存在着明确的联系。

这些联系可以用数学表达式来表示，使得我们能够使用数学方法去求解一个直角三角形的边长和角度。

任意一个直角三角形都有三条边：a、b、c，三个内角：α、β、γ，其中α=90°代表直角，另外两个角为锐角。

由于直角三角形的特殊性，它的三条边和三个内角之间存在着明确的联系，以下是三角形边角关系的具体表达式：1. 三角形的周长：a+b+c = L2. 三角形的面积：S = ab*sin(γ)/23. 三角形内角和：α + β + γ = 180°4. 根据勾股定理：a^2 + b^2 = c^25. 根据余弦定理：cosα = (b^2+c^2-a^2)/2bc6. 根据正弦定理：sinα = (2S)/(bc)根据上述六个公式可以求解出任意一个直角三角形的三边长和三个角度的大小。

在求解时，可以先从周长求起，然后依次利用勾股定理、正弦定理和余弦定理，去求解三角形的三条边和三个角度的大小。

例如，已知直角三角形的三边a=4，b=5，c=6，求α、β、γ三个角度的大小，我们可以按照以下步骤求解：1. 先求出三角形的面积S：S = ab*sin(γ)/2 =4×5×sin(γ)/2 2. 根据正弦定理求出γ的大小：sinγ = 2S/bc = 2×20/(4×5) = 0.8 3. 根据余弦定理求出α的大小：cosα = (b^2+c^2-a^2)/2bc = (5^2+6^2-4^2)/2×5×6 = 0.6 4. 由三角形内角和的公式求出β的大小：α + β + γ = 180°，因此β = 180°-90°-γ = 180°-90°-0.8 = 89.2°上述步骤即可求出直角三角形α、β、γ三个角度的大小，分别为α=53.13°，β=89.2°，γ=37.67°。

直角三角形的边角关系课件

我们将介绍如何使用平面向量来进行三角函数的计算，讲解向量的定义、性质和运算。
三角函数在物理中的应用
我们将研究三角函数在物理领域的应用，如弹道问题和三棱镜的折射问题等。
三角函数在工程中的应用
我们将展示三角函数在工程和测绘领域的应用，如大坝高度计算和水泵流量计算等。
总结
1 重点内容回顾
2 重点难点总结
直角三角形的边角关系 ppt课件
本课程介绍直角三角形的定义、性质和边角关系。我们将推导和应用三角函数公式，探索三角函数在物理和工程领域的应用。
直角三角形的定义和性质
定义
什么是直角三角形？我们如何识别直角三角形以及该如何判断三角形的各条边的关系？
性质
直角三角形有哪些性质？我们如何运用这些性质解决简单和复杂的问题？
我们还会介绍三角函数的周期性、奇偶性和单调性等特征。
边角关系公式的推导及应用
1
正弦函数公式的推导及应用
正弦定理是如何推导出来的？它具有
余弦函数公式的推导及应用
2
什么样的应用？我们将通过实例来展现其作用。
我们将学习余弦定理的推导和应用，
并研究它在工程领域和物理领域的实
际应用。
3
正切函数公式的推导及应用
三角形全等定理
我们如何使用三角形全等定理来证明两个三角形之间的关系？
正弦、义及图像，怎样求一条直线的斜率，和如何运用正弦函数求角度及长度。
正切函数
正切函数定义、图像和性质。我们会讲解如何求角度、切线、以及速度和时间的关系。
余弦函数
余弦函数定义及图像，以及如何求角度和长度。
正切函数公式是如何推导出来的？我们还将讨论它在微积分中的应用。
利用三角函数解题的步骤与实战演练

直角三角形边角之间的关系

直角三角形边角之间的关系直角三角形，嘿，大家都知道吧，那个三条边的家伙，永远有一个角是90度，简直就像是三角形界的明星，吸引了所有人的目光。

说起这个，我想起小时候学数学时，那些枯燥的公式，让我觉得跟吃药一样难受。

不过，咱们今天可不是来谈公式的，而是来聊聊这个三角形背后的那些奇妙的关系。

想想看，直角三角形的两条直角边就像是一对好朋友，永远都在一起，互相支撑。

而那条最长的边，嘿，叫做斜边，它就像是那个高高在上的大哥，稳稳地扛着整个三角形。

再说说这个三角形的角吧，直角占了一个，剩下两个角加起来可得出90度，真是个有趣的事儿。

两条直角边的角度如果一个大一个小，那就意味着斜边对的角是最大的。

没错，这就像是生活中的各种关系，有时候强强联手，有时候弱弱相依，都是为了找到那种完美的平衡。

记得有一次，我和朋友们一起去爬山，那时候我就发现，直角三角形的角度就像山路的坡度，一步一步往上走，真的是气喘吁吁，但只要坚持，总能看到山顶的风景。

嘿，你有没有注意到，直角三角形里有个著名的勾股定理，这可是三角形界的终极真理啊！简单来说，就是a² + b² = c²，听起来像是魔法咒语，其实说的是直角边的平方和等于斜边的平方。

那次我在计算的时候，真是一脸懵逼，不过当我终于算出来的时候，心里那种成就感，简直比中头奖还爽。

就像我们生活中遇到的难题，经过一番努力，终于找到了答案，那种喜悦可不是说说而已的。

再聊聊这两条直角边吧，咱们叫它们“邻边”，一条是“对边”，另一条是“邻边”，它们就像是一对兄弟，互相帮助。

想象一下，如果一条边特别长，另一条边短，那么直角三角形就会显得不那么平衡，就像生活中，有时候我们必须找到那种和谐的关系，才能让事情进展得更顺利。

举个简单的例子，朋友聚会时，总是得有人负责聊天，有人负责点菜，缺一不可，这样聚会才能热闹非凡。

而那条斜边，真是它们的“大哥”，稳重得很。

记得我在初中时，老师说过，斜边总是最长的，简直就像生活中的那些大事，总要占据更大的空间。

直角三角形边角关系

直角三角形的边角关系【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则∠A 的正弦可表示为：sinA= ，∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tan A= ，它们统称为∠A 的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2、取值范围 <sinA< ， cosA< ，tanA> 】二、特殊角的三角函数值：在理解的基础上结合表格进行记忆2、正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：Rt ∠ABC 中，∠C=900 三边分别为a 、b 、c⑴三边关系： ⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示，则i=tanα=h l。

⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA 表示 OB 表示 OC 表示 OD 表示 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点，选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解出数学问题答案，从而得到实际问题的答案铅直水平线【名师提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （2013•贵阳）如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为（12，5），则tan α等于（）A ． 5B ．12C ．5D ．12考点二：特殊角的三角函数值考点四：解直角三角形的应用的坡比为从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A．/小时 B．30海里/小时 C．/小时 D．/小时地北偏西7.．（2013•枣庄）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？【备考真题过关】一、选择题中，∠C=90°，若A．B．C．D．A．B．0 C．D．2A．30°B．45°C．60°D．90°5．（2013•宁夏）如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（）A．m B．25m C．D m6．（2013•山西）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m 到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A．m B．m C．D二、填空题是AB。

直角三角形边角关系

1、三角函数的定义（重点）例1 方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm ，CD=6cm斜立在墙上，其中BE=6cm ，DE=2cm ，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。

本节作业：1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC=53，求CD 的长。

2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），求sina 、tana 的值。

3、（2008·浙江中考）在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是多少？4、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=31，求tanA 的值。

5、在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=125，周长为30，求△ABC 的面积。

2、30°，45°，60°角的三角函数值（重点）例题求下列各式的值。

（1）︒︒-︒60tan 30sin 60sin ；（2）︒-+︒-︒45sin 22460tan 460tan 21、求下列各式的值。

（1）︒+︒+︒45tan 30tan 330sin 2；（2）︒⋅︒+︒30cos 60tan 45cos 2。

2、 △ABC 表示光华中学的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮，已知某种草皮每平方米售价为a 元，则购买这种草皮至少花费多少元？3、（2008·成都中考）2︒45cos 的值等于________。

4、（2008·义乌中考）计算3845cos 260sin 3+︒-︒。

5、（2009深圳）计算：202( 3.14)45π---︒6、（2010深圳）( 13 )－2－2sin45º＋ (π －3.14)0＋ 12 8＋(－1)3．例3某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图。

BC//AD ，斜坡AB 长22m ，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡。

.直角三角形地边角关系

教学过程一、复习预习复习勾股定理，复习直角三角形边与角的关系，学会掌握为什么是0.618，台风问题等等二、知识讲解1.直角三角形的边角关系（如图）（1）边的关系（勾股定理）：；（2）角的关系： =∠C=900；（3）边角关系：①：00901230C BC AB A ⎫∠=⎪⇒=⎬∠=⎪⎭②：锐角三角函数：∠A 的 =A a sin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的 =A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的 =A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值． 2.三角函数的大小比较 (1) 同名三角函数的大小比较①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而，随角的减小而． ②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而，随角的减小而。

(2) 异名三角函数的大小比较①tanA ＞SinA ，由定义知tanA= ，sinA= ；因为b ＜c ，所以tanA ＞sinA ②cotA ＞cosA ．由定义知cosA= ，cotA= ；因为 a ＜c ，所以cotA ＞cosA ． ③若0○＜A ＜45○，则cosA ＞sinA ，cotA ＞tanA ；若45○＜A ＜90○，则cosA ＜sinA ，cotA ＜tanA3、运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题 1、实际问题中有关名词、术语的意义：①仰角与俯角：在进行测量时，从下往上看，视线与的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 .如图1.②坡角与坡度：坡面与的夹角叫做坡角，图2中的 α 是坡角；坡面的垂直高度h 和的比叫做坡度.即坡度αtan ==lhi三、例题精析【例1】等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（）．（A ）513（B ）1213 （C ）1013（D ）512课堂训练题在△ABC 中，若三边BC ,CA,AB 满足 BC ：CA ：AB=5：12：13，则cosB= （） A.125B.512 C.135 D.1312【例2】已知1sin 2A =，且∠A 为锐角，则∠A=（） A.30° B.45° C.60° D.75°课堂训练题 cos30°=( )A .12B .2 C .2【例3】王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100 m 到B 地，再从B 地向正南方向走200 m 到C 地，此时王英同学离A 地（）（A ）350 m（B ）100 m （C ）150 m （D ）3100 m【解题思路】作出如图所示的图形，则∠BAD ＝90°－60°＝30°，AB ＝100，所以BD ＝50，cos30°＝ADAB，所以AD ＝CD ＝200－50＝150，在Rt △ADC 中，AC .课堂训练题在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A 点出发，要到距离A 点1000m 的C 地去，先沿北偏东70︒方向到达B 地，然后再沿北偏西20︒方向走了500m 到达目的地C ,此时小霞在营地A 的（）A. 北偏东20︒方向上B. 北偏东30︒方向上C. 北偏东40︒方向上D. 北偏西30︒方向上【例4】如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，F 是高AD 和BE 的交点，CD=4，则线段DF 的长度为( )A． B ．4 C．．课堂训练题如图6-32，在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ∶AC 等于（）（A ）2:3（B ）3:3 （C ）1∶2 （D ）1:2【例5】如图，在高出海平面100米的悬崖顶A 处，观测海平面上一艘小船B ，并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC = 米．课堂训练题如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A 出发，沿与地面成30︒角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B 处），80AB =米，则孔明从A 到B 上升的高度BC 是米．【例6】如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度.已知在离地面1500 m ，高度C 处的飞机，测量人员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB 的长.∵OA 350033150030tan 1500=⨯=⨯=， OB=OC=1500， ∴AB=635865150035001500=-≈-(m). 即隧道AB 的长约为635m.课堂训练题某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD 的高度．如示意图，由距CD 一定距离的A 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为β，在A 和C 之间选一点B ，由B 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为α．测得A ，B 之间的距离为4米，tan 1.6α=，tan 1.2β=，试求建筑物CD 的高度．【例7】如图，一条小船从港口A 出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B 处，然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达C 处．问此时小船距港口A 多少海里？（结果精确到1海里）友情提示：以下数据可以选用：sin 400.6428≈，cos 400.7660≈，tan 400.8391≈，1.732．解：过B 点作BE AP ⊥，垂足为点E ；过C 点分别作CD AP ⊥，CF BE ⊥，垂足分别为点D F ，，则四边形CDEF 为矩形．CD EF DE CF ∴==，， 30QBC ∠=，60CBF ∴∠=．2040AB BAD =∠=，，cos 40200.766015.3AE AB ∴=⨯≈≈； sin 40200.642812.85612.9BE AB =⨯=≈≈． 1060BC CBF =∠=，，sin 60100.8668.668.7CF BC ∴=⨯=≈≈； cos60100.55BF BC ==⨯=．12.957.9CD EF BE BF ∴==-=-=． 8.7DE CF =≈，15.38.724.0AD DE AE ∴=++=≈．ACDBE F β αGFP 北4030∴由勾股定理，得25AC ==．即此时小船距港口A 约25海里.课堂训练题如图所示，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东︒30，在M 的南偏东︒60方向上有一点A ，以A 为圆心，500米为半径的圆形区域为居民区，则MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东︒75.已知=MB 水路线是否会穿过居民区？【例8】如图，某货船以20海里/16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.海里/时的速度由A 向北偏西60°方向移动.距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响.（1）问B 处是否会受到台风的影响？请说明理由.（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（供选用的数据：2≈1.4，3≈1.7）【参考答案】解：（1）过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D.依题意得：∠BAC=30°，Rt △ABD 中，BD=AB=×20×16=160＜200， ∴B 处会受到台风的影响.（2）以点B 为圆心，200海里为半径画圆交AC 于E 、F （如图），由勾股定理可求得：DE=120，AD=1603，AE=AD －DE=1603－120，∵40120－ 3160=3.8（小时）∴该船应在3.8小时内卸完货物. 课堂训练题如图，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A 点测得该岛在北偏东60°方向上，航行半小时后到B 点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁. （1）试说明B 点是否在暗礁区域外；（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由.课后自我检测A 类题（10道题）1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若43tanA ，则sin A ＝（）A.34 B.43 C.35 D.53 2.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则tan2A＝ .3.计算3cos60cot 30+的值是（） A.27 B.65 C.23 D.223+ 4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，31tan =A ，AC ＝6，则BC 的长为（） A.6 B.5 C.4 D.25.△ABC 中，∠A 、∠B 均为锐角，且0)3sin 2(3tan 2=-+-A B ，试确定△ABC 的形状.6.已知正方形ABCD 的两条对角线相交于O ，P 是OA 上一点，且∠CPD ＝60°，则PO ∶AO ＝ .7.在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，已知∠ACD 的正弦值是32，则ABAC的值是（） A.52 B.53 C.25D.328.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝52，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6，求AB 的长.9.某水库大坝横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝3米，斜坡AD ＝16米，坝高8米，斜坡BC 的坡度i ＝1∶3，求斜坡AB 的坡角和坝底宽AB .10.在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点A 处观测到河对岸水边处有一点C ，并测得∠CAD ＝45°，在距离A 点30米的B 处测得∠CBD ＝30°，求河宽CD （结果可带根号）.B 类题（10道题）1.某人沿倾斜角为β的斜坡前进100米，则他上升的高度为（）A.βsin 100米 B.βsin 100米 C.βcos 100米 D.βcos 100米2.10)1α+=，则锐角α的度数是（）A.20°B.30°C.40°D.50° 3.已知cos α＜0.5，那么锐角α的取值范围是（）A.60°＜α＜90°B.0°＜α＜60°C.30°＜α＜90°D.0°＜α＜30°4.△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，则CBCD等于（） A.cosB B.tanA C.cosA D.sinA 5.已知等腰梯形ABCD 中，AD ＋BC ＝18cm ，sin ∠ABC ＝352，AC 与BD 相交于点O ，∠BOC ＝120°，试求AB 的长.6.如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米.现将梯子的底端A 向外移动到A '，使梯子的底端A '到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降到B '，那么B B '（） A.等于1米 B.大于1米C.小于1米D.不能确定7.如图，已知四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，∠BAD ＝75°，∠D ＝60°，求CD 的长.8.如图，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为45°和60°，试求塔高与楼高（精确到0.01米）.（参考数据：2＝1.41421…，3＝1.73205…）9.如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO ＝450米，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为30α=，45β=，求大桥AB 的长（精确到1米，选用数据：2＝1.41，3＝1.73）10.一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东60°方向，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东30°方向，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？C 类题（10道题）1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子不一定成立的是（）A.cosA ＝cosBB.cosA ＝sinBC.sinA ＝cosBD.2cos 2sinB AC += 2.已知，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝45°，AC ＝2，则AB 的长为 . 3.如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A.αsin 1 B.αcos 1C.αsinD.14.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 的对边分别是a 、b ，且满足022=--b ab a ，则tanA 等于（） A.1 B.251+ C.251- D.251± 5.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，E 为AC 上一点，且AE ∶EC ＝3∶1，EF ⊥AB 于F ，连结FC ，则tan ∠CFB ＝（）A.361 B.321 C.334 D.3416.已知m =+ααcos sin ，n =⋅ααcos sin ，则m 与n 的关系是（） A.n m = B.12+=n m C.122+=n m D.n m 212-=。

解直角三角形的边角关系

解直角三角形的边角关系解直角三角形的边角关系-解直角三角形常用公式-直角三角形的判定方法-手机版移动版一、直角三角形的判定方法判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：若a²+b²=c²，则以a、b、c为边的三角形是以c 为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。

判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。

判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。

那么判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。

判定7：一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。

（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。

）二、解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

三、解直角三角形——锐角三角形函数（1）互余角的三角函数值之间的关系：若∠ a+∠ b=90°，那么sina=cosb或sinb=cosa（2）同角的三角函数值之间的关系：①sin^2a+cos^2a=1②tana=sina/cosa③tana=1/tanb④a/sina=b/sinb=c/sinc（3）锐角三角函数随角度的变化规律：角a的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小。

直角三角形的定义有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形（rt△）（英文：right triangle）。

四、解直角三角形概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

第七讲：Rt△的边角关系

第七讲直角三角形的边角关系一、知识点快速归纳理解：考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、射影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即casin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即cbcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b atan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30°45°60° 90° sinα21 22 23 1cos α 123 22 21 0tan α 0 33 13不存在cot α 不存在 3133 04、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系： sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系： 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系： tanA •tan(90°—A)=1 （4）弦切关系： tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c（1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系：ba B ab Bc a B c b B a b A b a A c b A c a A ========cot ,tan ,cos ,sin ;cot ,tan ,cos ,sin二、知识点练习题方式方法及技巧渗透1．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（） A ．（53332+）m B ．（3532+）m C ． 533m D ．4m 2．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =51，则AD 的长为（）（A ） 2 （B ）3 （C ）2 （D ）13．已知在ABC △中，90C ∠=o，设sinB n =，当B ∠是最小的内角时，n 的取值范围是（）A ．202n <<B ．102n << C ．303n << D ．302n << 4．如图，小正方形的边长都为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°5．如图，已知一商场自动扶梯的长z 为10米，该自动扶梯到达的高度h 为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tan θ的值等于( )6．如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ．则DM +CN 的值为（用含a 的代数式表示）( )A ．aB ．a 54C ．a 22D ． a 23 7．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，则tanB ＝（） A ．43 B ．34 C ．35 D ．458．在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（）A ．12B ．22C ．32D ．33aNM CDAB（第6题）BA ED C30°第1题第2题CA第4题图第5题图9．计算2sin 45°的结果等于（）A ．2B ．1C ．22 D ．21 10．在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A 的值是( )A ．12B ．2C ．5D ．5 11．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，则cosB 的值等于（） A ．53 B. 54 C. 43D. 5512．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，则tanB ＝（） A ．43 B ．34 C ．35 D ．4513．在7,35,90,==∠=∠∆AB B C ABC Rt οο中，则BC 的长为（）（A ）ο35sin 7（B ）ο35cos 7（C ）ο35cos 7 （D ）．ο35tan 714．如上右第9题图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD=CD 54cos =∠DCA ，BC=10，则AB 的值是（） A ．9 B ．8 C ．6 D ．315．如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于（）(A) m ·sin α米 (B) m ·tan α米 (C) m ·cos α米 (D) αtan m米16．如图，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则A ∠tan 的值是（）A ．56 B ．65 C ．3102 D ．1010317．sin30︒的值等于（）（A ）12（B ）2 （C ）3 （D ）118．已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（） A ．43B ．45C ．54D ．3419．如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O 点20 m 的点A 处，测得楼顶B 点的仰角∠OAB A BC m α(第15题图)D BC E ＝65°，则这幢大楼的高度为（）（结果保留3个有效数字）．（A ）42.8 m（B ）42.80 m （C ）42.9 m （D ）42.90 m20．如图，在正方形ABCD 中，O 是CD 边上一点，以O 为圆心，OD 为半径的半圆恰好与以B 为圆心，BC 为半径的扇形的弧外切，则∠OBC 的正弦值为．21．如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．22．已知：如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，∠A=600 ，AD=5cm ，DC=6cm ，AB=10cm 。

直角三角形的边角关系

第1章 直角三角形的边角关系

三角形的边角关系

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直角三角形的边角关系(含答案)

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直角三角形的边角关系--知识点

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《锐角三角函数》直角三角形的边角关系

九年级 第一章 直角三角形的边角关系

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直角三角形边角之间的关系

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第七讲：Rt△的边角关系

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九年级第一章直角三角形的边角关系