圆锥曲线部分龙岩市历年期末考题

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福建省龙岩一中高三数学圆锥曲线专项训练(1) 新人教版

期末圆锥曲线复习1. 已知中心在原点的椭圆C 的左焦点为)0,3(-，右顶点为（2，0）．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线m x y l +=:与椭圆C 有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅（其中O 为原点）, 求实数m 的取值范围.解：（1）设椭圆方程为12222=+by a x ).0(>>b a由已知得.1,134,3,22222==-=-===b c a b c a 得再由故椭圆C 的方程为.1422=+y x ……………………………4分（2）将得代入1422=++=y x m x y .0)1(48522=-++m mx x 由直线l 与椭圆C 交于不同的两点得01680)1(8064222>-=--=∆m m m 即.52<m ① ………………………………6分设),(),,(B B A A y x B y x A ，则,5)1(4,582-=-=+m x x m x x B A B A …8分 ,22>+>⋅B A B A y y x x 得由而2)(2))((m x x m x x m x m x x x y y x x B A B A B A B A B A B A +++=+++=+.585)58(5)1(42222-=+-⨯+-⨯=m m m m m于是,25852>-m 即5182>m ② …………………………………10分由①、②得.55182<<m故m 的取值范围为310((,55-……………………………12分 2. 已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，且抛物线y x 242-=的焦点是椭圆M 的一个焦点，又点)2,1(A 在椭圆M 上。

（I ）求椭圆M 的方程；（II ）已知直线l 的方向向量为l 若直线),2,1(与椭圆M 交于B 、C 两点，求△ABC 面积的最大值。

解：（I ）由已知抛物线的焦点为.12),2,0(2222=-+-a x a y 故椭圆方程为 ).(14,045,1212)2,1(222422舍或解得整理得代入方程得将点===+-=-+a a a a a a A 故所求椭圆方程为.12422=+x y …………6分（II ）设直线BC 的方程为),,(),,(,22211y x C y x B m x y 设+=代入椭圆方程并化简得,0422422=-++m mx x…………9分22163||3||,44,22,8,0)8(8)4(168221221212222m x x BC m x x m x x m m m m -⋅=-=-=-=+<>-=--=∆故由可得由又点A 到BC 的距离为3||m d =， …………11分).0(2,2162,22)216(22414)216(||21222222>∆±=-==-+⋅≤-=⋅=∆满足时取等号即当且仅当故m m m m m m m d BC S ABC 所以△ABC 面积的最大值为.2…………13分3. 已知点()0,1A 、()0,1B -，P 是一个动点，且直线PA 、PB 的斜率之积为12-. （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设()2,0Q ，过点()1,0-的直线l 交C 于M 、N 两点，QMN ∆的面积记为S ，若对满足条件的任意直线l ，不等式tan S MQN λ≤恒成立，求λ的最小值. 解：（Ⅰ）设动点P 的坐标为(),x y ，则直线,PA PB 的斜率分别是11,y y x x-+. 由条件得1112y y x x-+?-.即()22102x y x +=?. 所以动点P 的轨迹C 的方程为()22102x y x +=?. ………………………5分注：无0x ¹扣1分. （Ⅱ）设点,M N 的坐标分别是()()1122,,,x y x y .当直线l 垂直于x 轴时，21212111,,2x x y y y ==-=-=. 所以()()()1122112,,2,2,QM x y QN x y x y =-=-=--. 所以()22111722QM QNx y ?--=. …………………7分当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为()1y k x =+,由221,2(1)x y y k x ìïï+=ïíïï=+ïî得()2222124220k x k x k +++-=. 所以 2122, 21422212221k k x x k k x x +-=+-=+. ………………9分所以()()()12121212122224QM QNx x y y x x x x y y ?--+=-+++.因为()()11221,1y k x y k x =+=+，所以()()()()2221212217131712422212QM QNk x x k x x k k ?++-+++=-<+. 综上所述⋅的最大值是217. ………………………………………11分因为tan S MQN λ≤恒成立,即1sin ||||sin 2cos MQN QM QN MQN MQNλ⋅≤恒成立. 由于()2171302212QM QNk ?->+. 所以cos 0MQN >.所以2QM QN λ⋅≤恒成立. ………………………………13分所以λ的最小值为174. …………………………14分注：没有判断MQN Ð为锐角，扣1分.4. 已知直线l 与抛物线24x y =相切于点P （2，1），且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为（2，0）。

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。

各城区高三上学期期末圆锥曲线汇编及答案精选文档

各城区高三上学期期末圆锥曲线汇编及答案精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-圆锥曲线一．选填练习1．“10m >”是“”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2.已知直线0-+=x y m 与圆22:1+=O x y 相交于,A B 两点，且∆OAB 为正三角形，则实数m 的值为（A ）23 （B）2（C ）23或23- （D ）26或26- 3. 设a ∈R ,则“1a =”是 “直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 4.在极坐标系Ox 中，方程sin ρθ=表示的曲线是(A) 直线(B) 圆(C) 椭圆(D)双曲线5.若x ，y 满足110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =-的最大值是(A) 2- (B) 1- (C) 1 (D) 26.设m 是不为零的实数，则“0m >”是“方程221x y m m-=表示双曲线”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7.已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（A（B）（C或（D）8．已知a ∈R ，那么“直线1y ax =-与42y ax =-+垂直”是“12a =”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知点()2,1A -，点),(y x P 满足线性约束条件20,10,24,x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩O 为坐标原点，那么OP OA ⋅的最小值是A. 11B. 0C. 1-D. 5-10．在极坐标系中，已知点A 是以2,6π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆上的点，那么点A 到极点的最大距离是_____.11．已知A ，B 是函数2x y =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（A ）(,1)-∞- （B ）(,2)-∞- （C ）(1,)-+∞ （D ）(2,)-+∞12．已知M 为曲线C ：3cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点．设O 为原点，则OM 的最大值是（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）413.已知点F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点，点M 在抛物线C 上，则下列说法错误．．的是（A ）使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有4个（B ）使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个（C ）使得4MKF π∠=的点M 有且仅有4个（D ）使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个14.点(2,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是______________ .（11）设抛物线C ：24y x =的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直线和抛物线C 交于A ，B 两点，则OA OB += ．15.过双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的一个焦点F 作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A ，O 为坐标原点，若OF OA 21=，则此双曲线的离心率为 (A) 2(B) 3(C) 2 (D) 516.能够说明“方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--的曲线是椭圆”为假命题的一个m 的值是．17. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分18. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C ，则双曲线C 的渐近线方程为 .19.．已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线28y x=的焦点重合，一条渐近线方程为0x y+=，则双曲线C的方程是．20．若变量x，y满足约束条件40,540,540,x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则22x y+的最小值为．21．已知双曲线C：2221(0)yx bb-=>的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则b= ；若双曲线1C与C不同，且与C有相同的渐近线，则1C的方程可以为．（写出一个答案即可）22．已知点(,)M x y的坐标满足条件10,10,10.xx yx y-⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥设O为原点，则OM的最小值是____．二．大题练习（本小题14分）已知椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的离心率等于22，经过其左焦点(1,0)F-且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于,M N两点．(Ⅰ) 求椭圆C的方程；(Ⅱ) O为原点，在x轴上是否存在定点Q，使得点F到直线QM，QN的距离总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．2.本小题13分）已知椭圆的右焦点与短轴两个端点的连线互相垂直.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点为椭圆的上一点，过原点且垂直于的直线与直线交于点，求面积的最小值.3．CY （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)5x y C b b b+=>的一个焦点坐标为(2,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(3,0)E ，过点(1,0)的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于,M N两点，直线ME 与直线5x =相交于点F ，试证明：直线FN 与x 轴平行． 4. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N .（Ⅰ）求焦点F 的坐标；（Ⅱ）求证：FT MN ；（Ⅲ）求线段FN 的长.（本小题13分）已知椭圆C ：2229x y +=，点(2,0)P . （Ⅰ）求椭圆C 的短轴长与离心率；（Ⅱ）过（1，0）的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，设MN 的中点为T ，判断||TP 与||TM 的大小，并证明你的结论.6. （本小题14分）已知椭圆22:13+=x y C m m，直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）当2∆=OPQ S 时，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为.N 若λ=PN BQ ，求λ的值.7．SJS （本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率等于12，(2,3)P 、(2,3)Q -是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.8．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率等于12，(2,3)P 、(2,3)Q -是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值.9．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y kx =C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．10．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q 在椭圆C 上．试问直线40x y +-=上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．11．（本题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>过点()0,1-，离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点(),0P m ，过点()1,0作斜率为()0k k ≠直线l ，与椭圆交于M ，N 两点，若x 轴平分MPN ∠ ，求m 的值．圆锥曲线答案一．选填练习1. A2. D3. C4. B5. D6. A7. D8. B9. C 10. 3 11 B 12. D 13. C 14.2 15. C 16. (,1]{2}[3,)m ∈-∞+∞17. B 18. y x =± 19. 22122x y -= 20. 8 21. 1，222x y -=等二．大题练习1.（本题满分共14分）解：（I）由题意得221 1.a ab ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得 1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的方程为2212x y +=.（II ）当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =+≠.由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(12)4(22)0k x k x k +++-=. 易得0∆>.设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122212241222.12k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，设(,0)Q t .由点,M N 在x 轴异侧，则问题等价于“QF 平分MQN ∠”，且12,x t x t ≠≠，又等价于“12120QM QN y yk k x t x t+=+=--”，即1221()()0y x t y x t -+-=. 将1122(1),(1)y k x y k x =+=+代入上式，整理得12122()(1)20x x x x t t ++--=. 将①②代入上式，整理得20t +=，即2t =-，所以(20)Q -，.当直线MN 的斜率不存在时，存在(20)Q -，也使得点F 到直线QM ，QN 的距离相等.故在x 轴上存在定点(20)Q -，，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等.2（共13分）解：（Ⅰ）由题意，得解得．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设，，则．当时，点，点坐标为或，． ① ②当时，直线的方程为．即，直线的方程为．点到直线的距离为，．所以，．又，所以且，当且仅当，即时等号成立，综上，当时，取得最小值1.3. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知222,5.c a b =⎧⎨=⎩所以225,1a b ==.所以椭圆C 的方程为2215x y +=. （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，此时MN x ⊥轴.设(1,0)D ，直线5x =与x 轴相交于点G ，易得点(3,0)E 是点(1,0)D 和点(5,0)G 的中点，又因为||||MD DN =，所以||||FG DN =.所以直线//FN x 轴.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1122(,),(,)M x y N x y .因为点(3,0)E ，所以直线ME 的方程为11(3)3y y x x =--. 令5x =，所以11112(53)33F y y y x x =-=--. 由22(1),55y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 得2222(15)105(1)0k x k x k +-+-=. 显然0∆>恒成立.所以22121222105(1),.5151k k x x x x k k -+==++ 因为1211211221112(3)2(1)(3)2(1)333F y y x y k x x k x y y y x x x -------=-==--- 22221212115(1)10[35][3()5]515133k k k k x x x x k k x x --⨯+-++++==--22221516510513k k k k k x --++=⋅=+- 所以2F y y =. 所以直线//FN x 轴.综上所述，所以直线//FN x 轴. 4. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==.则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FTMN .（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)NN NN y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02NNx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NNy y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）.即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分 5. （本小题13分）解：（Ⅰ）C ：221992x y +=，故29a =，292b =，292c =，有3a =，b c ==椭圆C的短轴长为2b =离心率为c e a ==.……………..5分（Ⅱ）方法1：结论是：||||TP TM <.当直线l 斜率不存在时，:1l x =，||0||2TP TM =<=……………..7分当直线l 斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y2229(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，整理得：2222(21)4290k x k x k +-+-= ……………..8分 22222(4)4(21)(29)64360k k k k ∆=-+-=+>故2122421k x x k +=+，21222921k x x k -=+ ……………..9分PM PN ⋅1212(2)(2)x x y y =--+ 21212(2)(2)(1)(1)x x k x x =--+-- 2221212(1)(2)()4k x x k x x k =+-++++2222222294(1)(2)42121k k k k k k k -=+⋅-+⋅++++226521k k +=-+ 0<……………..1 故90MPN ∠>︒，即点P 在以MN 为直径的圆内，故||||TP TM <（Ⅱ）方法2：结论是：||||TP TM <.当直线l 斜率不存在时，:1l x =，||0||2TP TM =<=……………..7分当直线l 斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)T T T x y2229(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，整理得：2222(21)4290k x k x k +-+-= ……………..8分 22222(4)4(21)(29)64360k k k k ∆=-+-=+>故2122421k x x k +=+，21222921k x x k -=+ ……………..9分212212()221T k x x x k =+=+，2(1)21T T ky k x k =-=-+222242222222222222(22)494||(2)(2)()2121(21)(21)T Tk k k k k k TP x y k k k k ++++=-+=-+-==++++22222212121222224222222222111||(||)(1)()(1)()42441429(1)(169)16259(1)[()4]42121(21)(21)TM MN k x x k x x x x k k k k k k k k k k k ⎡⎤==+-=++-⎣⎦-++++=+-⋅==++++ 此时，424242222222221625949412165||||0(21)(21)(21)k k k k k k TM TP k k k ++++++-=-=>+++6. （本题共14分）解：（Ⅰ）m a 32=，m b =2，m c 22=， -------------32222==a c e ，故36=e . -----------------（Ⅱ）设()11,y x P ，()22,y x Q⎩⎨⎧=-+=+023322y x my x ，得到03122=-+m x x 12-4，依题意，由2(12)44(123)0m ∆=--⨯⨯->得1m >.且有121231234x x m x x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， ------------------------6分12|PQ x x =-==， ------------------------7分原点到直线l 的距离2=d所以11||222OPQ S PQ d ∆=⋅== ------------------------9分解得 73m =>1，故椭圆方程为223177x y +=. ------------------------1 （Ⅲ）直线l 的垂线为:ON y x =， ------------------------由20y xx y =⎧⎨+-=⎩解得交点)1,1(N ， ------------------------12分因为PN BQ λ=，又123x x +=所以BQPN =λ=122212221=--=--x x x x ，故λ的值为1. ------------------------14分7．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为12c e a==，又222a b c =+，所以22224,3a c b c == ………2分设椭圆方程为2222143x y c c+=,代入(2,3),得2224,16,12c a b === ……4分椭圆方程为2211612x y +=…………5分（Ⅱ）当APQ BPQ ∠=∠时，,PA PB 斜率之和为0 …………6分设PA 斜率为k ，则PB 斜率为k - …………7分设PA 方程为3(2)y k x -=-，与椭圆联立得223(2)3448y k x x y -=-⎧⎨+=⎩代入化简得：2222(34)8(32)4(4912)480k x k k x k k ++-++--=(2,3)P ，128(23)234k k x k-+=+ 同理228(23)234k k x k ++=+，2122161234k x x k -+=+，1224834kx x k --=+ 21122112()412AB y y k x x k k x x x x -+-===--即直线AB 的斜率为定值12.8．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为12c e a ==，又222a b c =+，所以22224,3a c b c == ……… 2分设椭圆方程为2222143x y c c+=,代入(2,3),得2224,16,12c a b === ………4分椭圆方程为2211612x y += ……… 5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ………6分设AB 方程为221211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，代入化简得：22120x tx t ++-= ………8分 224(12)0t t ∆=-->，44t -<<1221212x x tx x t +=-⎧⎨=-⎩，又(2,3),(2,3)P Q - APBQ APQ BPQ S S S ∆∆=+1216||2x x =⨯⨯-==………13分当0t =时，S最大为………14分 9.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得2a =，c e a ==c =．[ 2分] 因为222a b c =+，[ 3分] 所以1b =，[ 4分]所以椭圆C 的方程为2214x y +=．[ 5分]（Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 ||||PA MN =.[ 6分] 所以直线PA 的方程为(2)y k x =-，所以 (3,)P k，||PA [ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．由2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22(41)80k x +++=， [ 8分]由0∆>，得 212k >．且12x x +=122841x x k =+．[ 9分]所以||MN=[10分]因为 ||||PA MN =，所以= 整理得 421656330k k -+=，[12分]解得k =k =[13分] 经检验均符合0∆>，但k =PAMN 是平行四边形，舍去．所以 k ，或 k =[14分] 10．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =．[ 2分]所以椭圆C 的方程为2214x y +=．[ 3分]设椭圆C 的半焦距为c ，则c =[ 4分]所以椭圆C 的离心率c e a ==[ 5分]（Ⅱ）由已知，设(,4)P t t -，00(,)Q x y ． [ 6分]若PAQB 是平行四边形，则 PA PB PQ +=，[ 8分]所以 00(2,4)(,3)(,4)t t t t x t y t --+--=--+，整理得002, 3x t y t =-=-．[10分] 将上式代入220044x y +=，得 22(2)4(3)4t t -+-=，[11整理得2528360t t -+=，解得185t =，或2t =．[13分]此时 182(,)55P ，或(2,2)P ．经检验，符合四边形PAQB 是平行四边形，所以存在 182(,)55P ，或(2,2)P 满足题意．[14分11. 解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x 轴上，过点()0,1-，离心率2e =，所以1b =，2c a =……………………2分所以由222a b c =+，得2 2.a =……………………3分所以椭圆C 的标准方程是22 1.2x y +=……………………4分（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点F 作斜率为k 直线l ，所以直线l 的方程是(1)y k x =-.联立方程组()221,1,2y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得()2222124220.k x k x k +-+-= 显然0.∆>设点()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122412k x x k +=+，212222.12k x x k -⋅=+……………………7分因为x 轴平分MPN ∠，所以MPO NPO ∠=∠. 所以0.MP NP k k +=……………………9分所以12120.y y x m x m+=--所以()()12210.y x m y x m -+-= 所以()()()()1221110.k x x m k x x m --+--= 所以()()1212220.k x x k km x x km ⋅-+++= 所以()2222224220.1212k k k k km km k k -⋅-++=++ 所以2420.12k km k-+=+……………………12分所以420.k km -+=因为0k ≠，所以 2.m =……………………13分。

福建省龙岩市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学含答案

龙岩市2023～2024学年第二学期期末高一教学质量检查数学试题（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的底面半径为（）A.2B.C.D.12.若复数52iz =-，则z 的虚部为（）A.iB.1C.1- D.i-3.某人有3把钥匙，其中只有1把能打开门，若随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，则第二次才能打开门的概率为（）A.16B.13C.12D.234.已知m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题错误的是（）A.若m α⊥，//n α，则m n ⊥B.若//αβ，m α⊂，则//m βC.若m n ⊥，m α⊥，//n β，则αβ⊥D.若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等5.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生30人，女生20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为（）A.6.8B.6.9C.7D.7.26.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π4C =，若ABC 的面积为28c ，则22a b ab +=（）A.2B. C. D.7.已知球O 内切于圆台EF ，其轴截面如图所示，四边形ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，且26CD AB ==，则圆台EF 的体积为（）A.4B.4C.4D.48.已知点Q 是单位圆内接正十二边形1212A A A 边上的任意一点，设2221212a QA QA QA =+++ ，则a 的值可以为（）A .22.5B.23.5C.24.5D.25.5二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续5年的产量如下：品种第1年第2年第3年第4年第5年甲/kg 560580570590600乙/kg550600580580590若1x ，2x 分别表示甲、乙两种水稻产量的平均值，21s ，22s 分别表示甲、乙两种水稻产量的方差，则下列选项正确的是（）A.12x x =B.2212s s <C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等D.乙种水稻的产量有三年位于()2222,x s x s -+之间10.莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在1765年首次提出定理：ABC 的外心O ，重心G ，垂心H 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若5AB =，3AC =，则下列结论正确的是（）A.OH OA OB OC=++ B.32BG BO BH=+ C.8AO BC ⋅=-D.4AG BC ⋅= 11.如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别为棱AB ，CD 的动点（不含端点），将菱形ABCD 沿对角线BD 折起，使点A 不在平面BCD 内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（）A.若BC BD AC ==，则存在点M ，N ，使得MN 与BC 垂直B.对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC共面C.对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC 所成的角相等D.若存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直，则BCD ∠一定为锐角三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若虚数i 是方程()20,x px q p q -+=∈R 的一个根，则p q +=______.13.设样本空间{}1,2,3,4Ω=含有等可能的样本点，若事件A ，B ，C 是Ω的子集，且A ，B ，C 两两独立，其中{}1,2A =，{}1,3B =，{},C a b =，()()()()12P A P B P C P ABC =，则()P AB C +=______.14.空间四边形ABCD 的四个顶点都在同一球面上，若AC BC ⊥，AD BD ⊥，AB CD ⊥，2AB CD =，空间四边形ABCD 的体积为1V ，它的外接球体积为2V ，则12V V 的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,,a b c是同一平面内的三个向量，其中()1,1a =- .（1）若()2,b y = ，且()2a a b ⊥+，求b ；（2）若,a c的夹角为34π，c = ，求c a - 在a上的投影向量的坐标.16.为了解某工厂生产的产品尺寸情况，通过抽样，得到200件产品的尺寸（单位：mm ）的数据，其频率分布直方图如图所示.（1）求图中x 的值，并根据频率分布直方图，估计这200件产品尺寸的平均数和上四分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，结果保留两位小数）；（2）记尺寸在[)98,100内的产品为优等品，每件可获利5元；尺寸在[)92,94内的产品为不合格品，每件亏损2元；其余尺寸的产品为合格品，每件可获利3元.若此工厂某月生产5000件产品，当该月利润未能达到15000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.用样本的频率代替总体在各组的频率，试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.17.如图，在一条无限长的轨道上，一个质点最初位于位置0，规定：每次投掷一枚质地均匀的硬币，若正面向上，则质点向右移动一个单位，若反面向上，则质点向左移动一个单位，设投掷n 次硬币后，质点位于位置()1,2,3,4n X n =.（1）请直接写出()11P X =和()21P X =的数值；（2）求()33P X =；（3）用a 表示质点向右移动一个单位，用b 表示质点向左移动一个单位，请写出投掷4次硬币的样本空间Ω，并证明：()()4402P X P X =>=.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos cos a B b A a c +=+.（1）求B ；（2）设ABC 外接圆的半径为1，圆心为M ，Q 为圆M 上异于点B 的一个动点.（i ）若1AQ AB ==，求证：四边形ABCQ 为等腰梯形；（ii ）若2b ac =，求QA QB ⋅的取值范围.19.如图，在几何体CD ABEF -中，四边形ABEF 为正方形，//CD EF ，AF DF ⊥.记二面角D AFE --的大小为α，二面角C BEF --的大小为β.（1）证明：AF CE⊥；（2）若122DF AB==，且60αβ==︒.（i）求直线BD与平面CBE所成角的正弦值；（ii）作出二面角D BC E--的平面角θ，说明理由并求tanθ的值.龙岩市2023～2024学年第二学期期末高一教学质量检查数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的底面半径为（）A.2B.C.D.1【答案】B 【解析】【分析】根据扇形侧面积公式计算即可.【详解】设圆锥底面半径为r ,则1×2π2r ，解得r 故选：B.2.若复数52iz =-，则z 的虚部为（）A.iB.1C.1- D.i-【答案】C 【解析】【分析】首先化简复数z ，再根据共轭复数的特征求虚部.【详解】()()()52i 52i 2i 2i 2i z +===+-+-，2i z =-，所以z 的虚部为1-.故选：C3.某人有3把钥匙，其中只有1把能打开门，若随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，则第二次才能打开门的概率为（）A.16B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】由古典概型概率计算公式直接计算即可求解.【详解】符合题意的选择是：第一次取到不能打开门的钥匙有两种选择，第二次取到能打开门的钥匙只有一种选择，从而由古典概型概率计算公式可得所求概率为211323P ⨯==⨯.故选：B.4.已知m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题错误的是（）A.若m α⊥，//n α，则m n ⊥B.若//αβ，m α⊂，则//m βC.若m n ⊥，m α⊥，//n β，则αβ⊥D.若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等【答案】C 【解析】【分析】根据空间线面间的位置关系判断，根据线线平行与面面平行的性质判断D.【详解】A ：若,//m n αα⊥，则n m ⊥，故A 正确；B ：若//,m αβα⊂，则//m β，故B 正确；C ：若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβ或,αβ相交，故C 错误；D ：若//,//m n αβ，由线线平行的性质知//m n 时，,m n 与α所成的角相等，当//αβ时，由面面平行的性质知n 与,αβ所成的角相等，故D 正确.故选：C5.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生30人，女生20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为（）A.6.8B.6.9C.7D.7.2【答案】A 【解析】【分析】根据分层抽样，均值与方差公式计算即可.【详解】男生30人，女生20人,则抽取的时候分层比为3:2．则10个人中男女分别抽取了6人和4人.这10人答对题目的平均数为1(610415)1210⨯⨯+⨯=.所以这10人答对题目的方差为2264[1(1012)][0.5(1512)] 6.81010⨯+-+⨯+-=.故选：A ．6.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π4C =，若ABC 的面积为28c ，则22a b ab +=（）A.2B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据三角形的面积公式可得2c =，根据余弦定理可得222c a b =+，则22a b =+，即可求解.【详解】由题意知，1sin 24ABCS ab C == ，又28ABC c S = ，所以248c ab =，得2c =，由余弦定理得222222cos c a b ab C a b =+-=+-，所以22a b =+-，得22a b ab+=故选：C7.已知球O 内切于圆台EF ，其轴截面如图所示，四边形ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，且26CD AB ==，则圆台EF 的体积为（）A.4B.4C.4D.4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，作出图形，得到上下底面的半径，进而分析运用勾股定理求出高即可．【详解】根据圆和等腰梯形的对称性知道，,E F 分别为上下底的中点.连接EF ，则EF DC ⊥，过BG DC ⊥于G .四边形EBCG 为矩形．由于6,3CD AB ==,则33,2FC EB ==，则32GC FC FG FC BE =-=-=.由切线的性质知道39322BC BE CF =+=+=.则BG ===1(3V S S h =下上＋，2239ππ(,π39π,24S S h BG ⨯=⨯===下上＝＝．代入计算可得，19π(9π344V =⨯⨯=＋.故选：D.8.已知点Q 是单位圆内接正十二边形1212A A A 边上的任意一点，设2221212a QA QA QA =+++ ，则a 的值可以为（）A.22.5B.23.5C.24.5D.25.5【答案】B 【解析】【分析】如图建立平面直角坐标系，表示出12个顶点的坐标，设(,)Q x y ，然后表示出2221212a QA QA QA =+++ ，化简得2212(1)a x y =++，不妨设(,)Q x y 在23A A 上，表示出线段23A A 的方程，则表示出22221)121)14x y x x +++=-+++，利用二次函数的性质可求出其范围，从而可求出a 的范围，进而可求得答案.【详解】如图建立平面直角坐标系，则1234561111(1,0),(,((0,1),(,()22222222A A A A A A --，7891011121111(1,0),(,),(,(0,1),(,,22222222A A A A A A --------，设(,)Q x y ，则22222222212311(1),((,((2222QA x y QA x y QA x y =-+=-+-=-+-，22222222245611(1),((,(()2222QA x y QA x y QA x y =+-=++-=++-，22222222278911(1),()(),()()2222QA x y QA x y QA x y =++=+++=+++，22222222210111211(1),((,((2222QA x y QA x y QA x y =++=-++=-++ ，所以22222121212(1)a QA QA QA x y =+++=++ ，由正十二边形的对称性，不妨设(,)Q x y 在23A A 上，因为2311,(,2222A A，所以1212211322A A k -==-，所以23A A为112222y x x ⎛-=--≤≤ ⎝⎭⎝⎭，即11222y x x ⎛⎫+=-+≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭，所以22222211)1121)124x y x x x x ⎛⎫+++=+-+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭，因为对称轴为14x +=，所以221x y ++的最小值为222111)(1)621)1144484⎛⎫+⨯-⨯++==⎪ ⎪⎝⎭，最大值为2111)21)12424+⨯-+⨯++=，所以226124x y +≤++≤，所以221812(1)24x y +≤++≤，即1824a +≤≤，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查向量的运算，考查二次函数的性质，解题的关键是建立平面直角坐标系，表示出各顶点的坐标，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续5年的产量如下：品种第1年第2年第3年第4年第5年甲/kg 560580570590600乙/kg550600580580590若1x ，2x 分别表示甲、乙两种水稻产量的平均值，21s ，22s 分别表示甲、乙两种水稻产量的方差，则下列选项正确的是（）A.12x x =B.2212s s <C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等D.乙种水稻的产量有三年位于()2222,x s x s -+之间【答案】ABD 【解析】【分析】根据方差，极差等概念即可求解.【详解】A.15605805705906005805++++==x ，25506005805805905805++++==x ，所以12x x =,故A 正确；B.()()()()()22222215605805805805705805905806005802005s -+-+-+-+-==,()()()()()22222225505806005805805805805805905802805s -+-+-+-+-==,所以2212s s <，故B 正确；C.甲种水稻产量的极差为：60056040-=，乙种水稻产量的极差为：60055050-=，甲种水稻产量的极差小于乙种水稻产量的极差，故C 错误；D.2s =，所以()2222,x s x s -+为(580-+，因为1618<<,所以562580564<-<,596580598<+<,所以乙种水稻的产量有三年位于()2222,x s x s -+之间，故D 正确.故选：ABD10.莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在1765年首次提出定理：ABC 的外心O ，重心G ，垂心H 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若5AB =，3AC =，则下列结论正确的是（）A.OH OA OB OC=++ B.32BG BO BH=+C.8AO BC ⋅=-D.4AG BC ⋅= 【答案】AC 【解析】【分析】根据G 为ABC 的重心得出0GA GB GC ++=，然后由,OA OG GA OB OG GB =+=+ ，OC OG GC =+即可判断A,根据向量的线性运算即可求解B ．根据O 为外心及向量数量积的计算公式可求出AO AC ⋅ 和AO AB ⋅ ，从而可求出AO BC ⋅的值，可判断C 的正误；根据5AB =，3AC =及1()()3AG BC AB AC AC AB ⋅=+⋅-可判断D 的正误.【详解】如图，根据欧拉线定理，外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半，根据重心的性质可知：1()3AG AB AC =+2211116()()()(925)3333AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=-=⨯-=- ，D 错误；2211||||1192522()||||||||||||82222||||AC AB AO BC AO AC AB AO AC AO AB AO AC AO AB AC AB AO AO ⋅=⋅-=⋅-⋅=⋅-⋅=-=-=-，C正确；G 为ABC的重心，∴GA GB GC ++=，∴()()()3OA OB OC OG GA OG GB OG GC OG OH ++=+++++==，A 正确，由于12OG GH = ,所以()1322BG BO BH BG BG BO BH -=-⇒=+,故B 错误，故选：AC ．11.如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别为棱AB ，CD 的动点（不含端点），将菱形ABCD 沿对角线BD 折起，使点A 不在平面BCD 内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（）A.若BC BD AC ==，则存在点M ，N ，使得MN 与BC 垂直B.对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC共面C.对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC 所成的角相等D.若存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直，则BCD ∠一定为锐角【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，先证得平面ADF 垂直于BC ，再判断MN 与平面ADF 关系即可判断选项；B 选项，利用空间向量的运算得到MN MG GN =+，即可判断选项；C 选项，先求得MN 与AD ，BC 所成的角，再由题目条件及全等知识可判断选项；D 选项，依题意建立间直角坐标系，由直线AB 与直线CD 垂直，可得,m n 关系，后通过tan BCD ∠正负可判断选项.【详解】A 选项，由题可得此时该几何体为正四面体，取BC 中点为F ，则BC AF DF ⊥,，又,AF DF ⊂平面ADF ，AF DF F ⋂=，则BC ⊥平面ADF ，要使MNBC ⊥，则MN 与平面ADF 平行或共面，但M ，N 与A ，D 不重合，则MN 不能与平面ADF 平行或共面，则MN 与BC 不垂直，故A 错误；Ｂ选项，对任意点M ，过M 作AD 平行线交BD 于G ，过G 作BC 平行线交CD 于N ，则MN MG GN =+ ，设MG xAD =，则()11BG DGx x GN x BC BD DB =⇒=-⇒=- ，则()1MN xAD x BC =+- ，即对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC共面，故B 正确；C 选项，对任意点M ，在CD 上取N ，使AM CN =，作//MH AD 交BD 于H ，作//NL BC 交BD 于L ，连接LM ，HN .则NMH ∠为NM 与AD 所成角，MNL ∠为NM 与BC 所成角.因AM CN =，AB CD =，则.AM CN DH BLAB CD DB BD===则MH NL =，，MB DN BL DH ==，又由题可得ABD CDB ∠=∠.则MBL NDH ≅ ，得LM HN =，从而MNL NMH ≅ ，则NMH MNL ∠=∠.即对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC 所成的角相等，故C 正确；D 选项，取BD 中点为O ，设()()0,πAOC θθ∠=∈，,OB m OC n ==.如图以OB 所在直线为ｘ轴，OC 所在直线为ｙ轴建立空间直角坐标系.则()()()()()0,0,0,,0,0,0,,0,,0,0,0,cos ,sin O B m C n D m A n n θθ-.则(),cos ,sin AB m n n θθ=-- ，(),,0CD m n =--.若AB CD ⊥，则()2222cos 0cos 0,1m AB CD m n n θθ⋅=-+=⇒= .则()tan0,12BCD m n∠=∈，则22201tan mn BCD m n∠=>-，即BCD ∠一定为锐角，故D 正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题为折叠问题，关键要注意图形折叠前后的变化；此外，利用全等及相似知识，往往可以将复杂的立体几何问题，转化为较好处理的平面几何问题；最后，空间直角坐标系在建立时需选择合适的原点，动态的坐标系则需引入合适的参数.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若虚数i 是方程()20,x px q p q -+=∈R 的一个根，则p q +=______.【答案】1【解析】【分析】把i 代入方程20x px q -+=，化简方程，利用相等复数的概念得到p 、q 的值，即可求解.【详解】因为i 是方程20x px q -+=的一个根，所以2i i 0p q -+=，即(1)i 0q p --=，得100q p -=⎧⎨-=⎩，解得10q p =⎧⎨=⎩，所以1p q +=.故答案为：113.设样本空间{}1,2,3,4Ω=含有等可能的样本点，若事件A ，B ，C 是Ω的子集，且A ，B ，C 两两独立，其中{}1,2A =，{}1,3B =，{},C a b =，()()()()12P A P B P C P ABC =，则()P AB C +=______.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据题意分别求得()()()()(),,,,P A P B P C P AB P ABC ，结合独立事件的定义，可判定事件AB 与C 不独立，结合()()()()P AB C P AB P C P ABC +=+-计算即可求解.【详解】由题意知{1,4}C =，则()()()111,,222P A P B P C ===，且()()()()11,44P AB P A P B P ABC ===，满足()()()()12P A P B P C P ABC =，()()()P AB P C P ABC ≠，所以AB 与C 不独立，所以()1()()()2P AB C P AB P C P ABC +=+-=.故答案为：1214.空间四边形ABCD 的四个顶点都在同一球面上，若AC BC ⊥，AD BD ⊥，AB CD ⊥，2AB CD =，空间四边形ABCD 的体积为1V ，它的外接球体积为2V ，则12V V 的最大值为______.【答案】38π【解析】【分析】由题意确定AB 的中点O 为外接球的球心，如图，利用线面垂直的判定定理与性质可得AB CH ⊥，根据全等三角形的性质可得EH CD ⊥，则EH OE ≤，结合棱锥的体积公式计算即可求解.【详解】因为,AD BD AC BC ⊥⊥，所以AB 的中点O 为外接球的球心，记外接球半径为R ，过D 作DH AB ⊥，垂足为H ，连接CH ，又,,AB CD DH CD D DH CD ⊥=⊂ 、平面CDH ，所以AB ⊥平面CDH ，由CH ⊂平面CDH ，所以AB CH ⊥.因为,OD OC CD R OH OH ====，所以ODH OCH ≅ ，则CH DH =，取CD 的中点E ，则EH CD ⊥.在OCD 中，OD OC DC R ===，所以32OE R =，由32EH OE R ≤=得21324CDH S CD EH R =⋅≤ ，所以1V 的最大值为223131********R AB R R R ⋅⋅=⋅⋅=，则12V V 的最大值为3333648ππ3RR =.故答案为：38π【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是通过3EH OE ≤=确定1V 的最大值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,,a b c是同一平面内的三个向量，其中()1,1a =- .（1）若()2,b y = ，且()2a a b ⊥+，求b ；（2）若,a c的夹角为34π，2c = ，求c a - 在a上的投影向量的坐标.【答案】（1）210（2）()2,2-【解析】【分析】（1）根据数量积垂直的坐标运算求参，再求模即可；（2）先求出,c a,再求出数量积结合投影向量公式计算即可.【小问1详解】因为()()()()1,1,221,12,4,2a a b y y =-+=-+=-,所以()()()()·21,1·4,2141260,6a a b y y y y +=--=⨯-⨯-=-+== ,所以()2,6,b b ==== 【小问2详解】因为3π2·cos =242a c a c a ⎛⎫===⨯⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭所以c a - 在a 上的投影向量为()()()()()22··221,121,12,2a c a a a c a a a a a a ----⨯=⨯=⨯-=--=-.16.为了解某工厂生产的产品尺寸情况，通过抽样，得到200件产品的尺寸（单位：mm ）的数据，其频率分布直方图如图所示.（1）求图中x 的值，并根据频率分布直方图，估计这200件产品尺寸的平均数和上四分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，结果保留两位小数）；（2）记尺寸在[)98,100内的产品为优等品，每件可获利5元；尺寸在[)92,94内的产品为不合格品，每件亏损2元；其余尺寸的产品为合格品，每件可获利3元.若此工厂某月生产5000件产品，当该月利润未能达到15000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.用样本的频率代替总体在各组的频率，试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.【答案】（1）0.12x =，平均数为99.64，上四分位数为102.14，（2）不需要对该工厂设备实施升级改造，利用见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1进行求解即可0.12x =；由平均数和百分位数的计算个数即可求解，（2）根据题意，结合频率分布直方图中的数据求出单月利润，最后比较大小即可．【小问1详解】(0.020.040.060.070.090.10)21x ++++++⨯= ，解得0.12x =；平均数为()2930.02950.04970.12990.091010.101030.071050.0699.64⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=由于数据位于(]104106,的频率为0.0620.12⨯=，数据位于(]102,104的频率为0.0720.14⨯=，故上四分位数位于(]102,104，设为a ，则()1040.070.13a -⨯=，解得102.14a ≈，【小问2详解】优等品的概率为0.0920.18⨯=，不合格品的概率为0.0220.04⨯=，合格品的概率为10.040.180.78--=，故5000件产品中，优等品的个数为50000.18⨯，不合格品的个数为50000.04⨯，合格品的概率为50000.78⨯，故所获利润为()50000.18550000.04250000.7831580015000⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯=>故不需要对该工厂设备实施升级改造.17.如图，在一条无限长的轨道上，一个质点最初位于位置0，规定：每次投掷一枚质地均匀的硬币，若正面向上，则质点向右移动一个单位，若反面向上，则质点向左移动一个单位，设投掷n 次硬币后，质点位于位置()1,2,3,4n X n =.（1）请直接写出()11P X =和()21P X =的数值；（2）求()33P X =；（3）用a 表示质点向右移动一个单位，用b 表示质点向左移动一个单位，请写出投掷4次硬币的样本空间Ω，并证明：()()4402P X P X =>=.【答案】（1）()1112P X ==，()210P X ==，（2）14（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据n X 的定义即可求解，（2）n X 的含义可知3次都向右或者3次都向左运动。

福建省龙岩市2020-2021学年高二第一学期期末考试数学试卷扫描版含答案

数学答案题号 1 2 3 4 5 6 7 89．BCD 10．AB 11．CD 12．AC12．（只提供A 选项解+析，其余略）. 设准线与x 轴交于点1F ，作1⊥AA l 于1A ，1⊥BB l 于1B2222022⎧=+⎪⇒--=⎨⎪=⎩p x ty y pty p y px∴22+=⎧⎨=-⎩A B A B y y pt y y p 设1(,),(,)2-A B B pA yB x y∵122,=-==A B OA OB B By y p k k p x y 又∵2=-A B y y p∴222-=∴==-A B OB A B p p yy k y y p∴1=OA OB k k ∴1,,O A B 三点共线， ∵//MN x 轴 ∴111||||||||||||||||===NQ AQ AP PM FO AO AO OF ∵1||||=FO OF ∴||||=NQ PM ∴|NP||MQ |= 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．1 14．210x y --= 15 16． 16．设1C 与2C 交点为,A B . 则⊥AB x 轴(,0)222∴=∴=p pF c p c 由22221-=c y a b 得422=b y a22||2∴==∴=b AF p b aca 42224()∴=+b a a b4224440∴--=b a b a 令2222440(2)82=∴--=∴-=∴=b t t t t t a2222∴==b k a 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本题满分10分）解：（1）1(12345)35x =⨯++++=，()11620232526225y =⨯++++=， ()()51(13)(1622)(23)(2022)(33)(2322)iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-∑（第12题图）(43)(2522)(53)(2622)25+-⨯-+-⨯-=， ……………………4分()52222221(13)(23)(33)(43)(53)10i i x x =-=-+-+-+-+-=∑，()()()5152125ˆ 2.510==--∴===-∑∑ii i ii xx y y bxx ，ˆˆ22 2.5314.5a y bx=-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.514.5yx =+．……………………8分（2）当10=x 时，ˆ2514.539.5=+=y. 答：追加投资额为10万元时，预计该产品的销售量为39.5吨. ……………10分18．（本题满分12分）解：（1）由题意，若命题p 为真命题，则03a <<，所以a 的取值范围为(0,3). ……4分（2）若命题q 为真命题，则2(1,2,)(4,1,1)42(1)340⋅=-⋅--=--+-=--<m n a a a a a a a a 得14a -<< ……………………7分若命题p 、q 有且仅有一个为真命题，则“p 真q 假”或“p 假q 真”当p 真q 假时，0314a a a <<⎧⎨≤-≥⎩或，此时不等式组无解. …………………9分当p 假q 真时，0314a a a ≤≥⎧⎨-<<⎩或，此时1034a a -<≤≤<或 ……………11分综上所述，a 的取值范围是(1,0][3,4).- ……………………12分19．（本题满分12分）解:（1）记这3个红球为123,,a a a ,2个白球记为12,b b ，则从袋中一次摸出2个球的所有基本事件为：()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()12,b b 共10个，其中满足事件A 的基本事件有6个，所以()63105P A ==. ………………4分（2）从袋中第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件为()11,a a ，()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()21,a a ，()22,a a ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a a ，()32,a a ，()33,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()11,b a ，()12,b a ，()13,b a ，()11,b b ，()12,b b ，()21,b a ，()22,b a ，()23,b a ，()21,b b ，()22,b b 共25个，满足事件B 的基本事件有12个，所以()1225P B =. ………7分从袋中第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件为()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()21,a a ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a a ，()32,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()11,b a ，()12,b a ，()13,b a ，()12,b b ，()21,b a ，（第21题图）C A 11()22,b a ，()23,b a ，()21,b b 共20个，满足事件C 的基本事件有12个，所以()123205P C ==. ………10分因此：()()312352525P C P B -=-=,又()35P A =，所以()()()15P C P B P A -=.………12分20．（本题满分12分）解：（1）∵线段NQ 的垂直平分线交MQ 于点K ,∴||||KN KQ =,MN MQ KQ KM KN KM =>==+=+∴222 ∴点K 的轨迹是以原点为中心,以M ,N 为焦点的椭圆. …………………3分设椭圆方程为22221(0)+=>>x y a b a b,则1,1,2===b c a ,所以曲线E 的方程为1222=+y x ……………………5分（2）由221210x y x my ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去x 可得()222210m y my +--=.设()11,A x y ,()22,B x y ,则12222m y y m +=+,12212y y m =-+. …………………8分易知PA ,PB 的斜率存在,则,)1)(1(2112221212122112211my my y my y y my y my y x y x y k k PB PA ++++-=--+--=-+-=+…10分又因为022222222121=+-+=++m mm m y my y y 所以0=+PB PA k k ,所以OPA OPB ∠=∠. ……………………12分21．（本题满分12分）解：（1）如图所示，分别以1,,DD DC DA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得：)1,1,1(),0,21,21(),2,0,0(),2,1,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(11F Q D C C A D 所以)0,1,1(),0,1,0(),1,1,1(111-==-=C D D , 设平面11FC D 的法向量),,(1z y x =，由1111100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n D F n D C ，得0000x y z x y z +-=⎧⎨++=⎩，可取1(1,0,1)=n ．…………………………………3分易知QF D AC 1平面⊥，所以取平面QF D 1的法向量)0,1,1(2-==…………4分所以121212||1cos ,2||||⋅<>==⋅n n n n n n ，所以123sin ,n n <>=故二面角11Q D F C --的正弦值为23. ……………………6分（2）由已知可设点P 的坐标为)20,10)(,1,(0000≤≤≤≤z x z x ，则),21,21(00z x QP -=，)2,21,21(1--=QD ,)2,0,(001-=z x C由1QD QP ⊥得：100111()20224QD QP x z ⋅=---+=得：004z x = ……………………………………………………………8分00010104104x z z ≤≤∴≤≤∴≤≤CB C B C D 1111平面⊥ ,又CB C B P C 111平面⊂P C C D 111⊥∴即P C D 11∆为直角三角形，P C P C C D S CP D 111121211=⋅=∴∆…9分又1764)172(174416)2(2002022020210+-=+-+=-+=z z z z z x P C所以当021[0,]174z =∈时，17178min 1=P C 综上可得11D C P △面积的最小值为17174 ……………………12分22.（本题满分12分）解：（1）因为椭圆1C 的一个短轴端点恰好是抛物线2C ：24x y =焦点()0,1F ,所以 1.b =由222,2c a b c a ==+解得2,a = 所以椭圆1C 的方程为2214x y += ……………………4分（2）因为过F 的直线交2C 于M ，N 两点，所以直线的斜率存在，设直线方程为1y kx =+，()()1122,,,M x y N x y ，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，故2440x kx --=.216160k ∆=+>恒成立，121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，由121211122OMN S OF x x x x ∆=⨯-=⨯⨯-，故()222212121211444,44OMN S x x x x x x k ∆⎡⎤=-=+-=+⎣⎦所以OMN S ∆= ……………………7分不妨设(22,N x y 在第一象限,所以设直线ON ：1y k x =)0(1>k ,则12214y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得A ⎛⎫，设直线OM ：2y k x =,同理B ⎛⎫，22121212121212144,164x x y y x x k k x x x x =⋅===-⋅又因为可得B ⎛⎫. 又因为点A 到直线OB的距离d ==所以11122OABS d OB ∆=⋅⋅==.所以1 1.OMN OAB S S λ∆∆=-=≥综上:λ的取值范围是[1,)+∞. ………………………12分。

福建省龙岩一中2025届高三数学第一学期期末调研模拟试题含解析

福建省龙岩一中2025届高三数学第一学期期末调研模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（） A ．3π B ．4π C ．2π D ．π2．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（） A ．69人B ．84人C ．108人D ．115人3．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（） A ．48 B ．60C ．72D ．1204．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．5．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC =,则AC =（） A ．5B 5 1C ．5或1D 57．已知符号函数sgnx 100010x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则（）A ．sgn [g （x ）]＝sgn xB ．sgn [g （x ）]＝﹣sgnxC ．sgn [g （x ）]＝sgn [f （x ）]D ．sgn [g （x ）]＝﹣sgn [f （x ）]8．已知a b ，满足23a =，3b =，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为（） A ．2-B ．1-C ．3-D ．29．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<10．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B ．5C ．52D ．511．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，则n 的值为（）A ．100B ．1000C ．90D ．9012．已知集合{1,3,5}A =，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =，则()A B C ⋂⋃=（） A ．{1,2,3,5}B ．{1,2,3,4}C ．{2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

龙岩市高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测(有答案解析)

一、选择题1．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点A 在双曲线上，且∠F 1AF 2＝60°，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（） AB．2CD．22．若点)0到双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)，则双曲线的离心率为（）AB．2C2D．33．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范围为[42，，则线段AB 的长度的取值范围是（） A．B ．[1 , 2]C ．[4 8]，D．4．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线2219x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>和椭圆22174x y +=有相同的焦点，则11m n +的最小值为（）A ．12B ．32C ．43D ．96．设抛物线24y x =的焦点为F ，以F 为端点的射线与抛物线相交于A ，与抛物线的准线相交于B ，若4FB FA =，则FA FB ⋅=（） A ．9B ．8C ．6D ．47．点A 、B 分别为椭圆2214x y +=的左、右顶点，直线65x my =+与椭圆相交于P 、Q 两点，记直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，则21221k k +的最小值为（）A ．14B ．12C ．2D ．48．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 在C 的左支上，1AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形12AF BF 的面积为48，则12F F =（）A ．8B ．4C．D．9．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ≥ ） A．⎛ ⎝⎦B．2]-C．12⎛⎤⎥ ⎝⎦D．1]10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =.则该双曲线的离心率为（） A ．2 B ．3 CD11．已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（） A ．43-B ．-3C ．1813-D ．32-12．双曲线2214x y -=的离心率为（）ABCD二、填空题13．若抛物线28y x =的准线和圆2260x y x m +++=相切，则实数m 的值是__________．14．双曲线221(0)x y mn m n-=≠的离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则m n ⋅的值为___________15．已知抛物线2:4E x y =，过点(2,1)P -作E 的两条切线，切点分别为,A B ，则AB =________．16．过抛物线2:4C y x =的焦点F 的弦AB 满足3AF FB =（点A 在x 轴上方），则以AB 为直径的圆与该抛物线准线的公共点的坐标为____________.17．如图，圆O 与离心率为32的椭圆()2222:10x y T a b a b +=>>相切于点()0,1M ，过点M 引两条互相垂直的直线1l ，2l ，两直线与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D （均不重合）．若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为1d ，2d ，则2212d d +的最大值是__________．18．动圆M 与圆221:(1)1C x y ++=外切，与圆222:(1)25C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是__________.19．设点P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若点B 的坐标为()4,2，则PB PF +的最小值为________．20．抛物线24y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于K ，如果AF BF =，那么AKF ∆的面积是______.三、解答题21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点()0,3P x 为抛物线C 上一点，且4PF =，过点(),0A a 作抛物线C 的切线AN （斜率不为0），设切点为N ．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求证：以FN 为直径的圆过点A ．22．已知坐标平面内第一象限的点P 到两个定点()1,0M -，()1,0N 距离的比3PMPN= （1）若点P 2P 的横坐标；（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PM 的点法向式方程和直线PN 的点方向式方程．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为（1）求a ，b 的值；（2）当过点()6,0P 的动直线l 与椭圆C 交于不同的点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，使得0AP BQ AQ BP ⋅+⋅=，问点Q 是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.24．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). （1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足||||4AB CD =，求直线l 的方程. 25．双曲线C ：2213y x -=，过点()2,1P ，作一直线交双曲线于A 、B 两点，若P 为AB的中点．（1）求直线AB 的方程；（2）求弦AB 的长26．已知抛物线y 2=2px (p >0)上的点T (3，t )到焦点F 的距离为4. （1）求t ，p 的值；（2）设抛物线的准线与x 轴的交点为M ，是否存在过点M 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，使得直线AF 与直线OB 垂直？若存在，求出△AFB 的面积，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先根据角平分线定理和双曲线的定义求得1AF 和2AF 的值，再结合余弦定理计算离心率. 【详解】不妨设点A 在第一象限，12F AF ∠的角平分线交x 轴于点M ，因为点M 是线段2OF 的中点，所以12:3:1FM MF =，根据角平分线定理可知1231AF AF =，又因为122AF AF a -=，所以13AF a =，2AF a =，由余弦定理可得22221492372c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，所以2274c a =，所以72c e a ==.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率，双曲线的定义，三角形角平分线定理，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型.2．A解析：A 【分析】先求得双曲线C 的其中一条渐近线方程0bx ay -=，根据点)30，到双曲线C 的渐近线2，得到223c a =，即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，双曲线C :22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，因为点)30，到双曲线C 2，22332bb b a ==+，整理得2232b c =，即222332c a c -=，即223c a =，所以3==ce a3 故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及几何性质，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．3．C解析：C 【分析】由题可求得2121222ABF AF F BF F cSSSAB =+=，2222ABF EABEBF EAF S SSSa =++=，即可得出22aAB c=⋅，再根据离心率范围即可求出. 【详解】设2ABF 的内切圆的圆心为E ，半径为r ，则2r ππ=，解得1r =，21212112121121211sin sin 22ABF AF F BF F SSSAF F F AF F BF F F BF F =+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠ 111122sin 452sin135222cAF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，又22222111222ABF EAB EBF EAF SSSSAB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ()22114222AB BF AF a a =++=⨯=, 222cAB a ∴=，22a AB c ∴=⋅，2242c e a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，2,22a c ⎡⎤∴∈⎣⎦，则[]224,8ac⋅∈，即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8. 故选：C.【点睛】本题考查根据离心率范围求弦长范围，解题的关键是通过两种不同方式求出2ABF 的面积，得出22aAB c=⋅可求解. 4．C解析：C 【分析】根据中位线性质得到22111()22OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】如图所示：延长1F H 交2PF 于B12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，⇒22111()322OH BF PF PF a ==-==故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将212OH BF =是解题的关键. 5．C解析：C 【分析】本题首先可根据双曲线和椭圆有相同的焦点得出3m n +=，然后将11m n+转化为123m n n m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，最后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为双曲线221x y m n-=和椭圆22174x y +=有相同的焦点，所以743m n ，则()111111233m n m n m n n m n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 142233m n n m，当且仅当m n =时取等号，故11m n+的最小值为43，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与椭圆焦点的相关性质的应用，双曲线有222+=a b c ，椭圆有222a b c =+，考查利用基本不等式求最值，是中档题.6．A解析：A 【分析】根据平行关系可证明N 点，A 点分别是线段BF ，NF 的中点，再根据比列关系求A 点横坐标即可求解. 【详解】设FB 交y 轴于N 点，如图，由准线与y 轴平行，且O 为中点，所以N 是BF 中点，因为4FB FA =，所以A 是NF 的中点，设A 的横坐标为m ,则由抛物线的定义,||||(1)1AF AC m m ==--=+，由AC 与x 轴平行，可得1342m +=，解得12m = ∴334622FA FB ==⨯=，， ∴⋅=FA FB |FA ||FB |=9，故选：A 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义及平行关系，建立比列关系求出||AF 的长，是解题的关键所在，属于中档题.7．B解析：B 【分析】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算出12k k 的值，利用基本不等式可求得21221k k +的最小值. 【详解】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，联立226544x my x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 并整理得()22126440525m y my ++-=，由韦达定理可得()1221254y y m +=-+，()12264254y y m =-+，设直线AQ 的斜率为k ，则222y k x =+，2222y k x =-，所以，()222222222222212244444y y y y k k x x x y ⋅=⋅===-+----，214k k ∴=-，而()12121212121212121625616162252555y y y y y y k k m x x m y y y y my my ⋅=⋅==++⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()22222642541641922561625254254m m m m m -+==---+++，因此，222112211162k k k k +=+≥==，当且仅当18k =±时，等号成立，因此，21221k k +的最小值为12. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求得214AQ k k =-，进而利用韦达定理法求得1AQ k k ⋅为定值，再结合基本不等式求得最值.8．A解析：A 【分析】设122F F c =，求出1AF ，由题意可知四边形12AF BF 为平行四边形，根据四边形12AF BF 的面积为48可得出关于a 的等式，由此可求得12F F .【详解】设122F F c =，由于双曲线的离心率为2ce a==，2c a ∴=，则223b c a a =-=，所以，双曲线C 的方程为222213x y a a-=，即22233x y a -=，将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±，13AF a ∴=，由于A 、B 关于原点对称，1F 、2F 关于原点对称，则四边形12AF BF 是平行四边形，四边形12AF BF 的面积2341248S a a a =⨯==，解得2a =，12248F F c a ∴===. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线几何性质的应用，利用四边形的面积求双曲线的焦距，解题的关键就是利用双曲线的离心率将双曲线的方程转化为只含a 的方程，在求解相应点的坐标时，可简化运算.9．C解析：C【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PF QF 为矩形，设12,PF n PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m=+的取值范围，进而求得()2224232c a c <≤-，再求离心率的范围即可【详解】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==，所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QFPF ；由11QF PF ≥，可得13m n≤<，由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c =-②；由①②得()2222242c m n m n mn n m a c +==+-；令=+m n t n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦，即()222422c a c <≤-()22222a c c a c -<≤-，所以，()222113e e e -<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤ 故选：C【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率，即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c =-②；由①②得()2222242c m n m n mn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()22223113e e e -<≤-，进而求解属于中档题 10．D解析：D【分析】本题首先可以通过题意画出图象并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果.【详解】根据题意可画出以上图象，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ，因为123MF MF =，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =，因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =，因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ，所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MH OF ，所以22OF MH OM MF ⨯=⨯，ab MH c=，即M 点纵坐标为ab c，将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b x b c +=，解得2b xc =，2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c-=，化简得4422b a a c ，222422c a a a c ，223c a =，==c e a，故选：D .【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆与双曲线的相关性质及其综合应用，体现了了数形结合思想，提高了学生的逻辑思维能力，是难题.11．A解析：A【分析】根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解.【详解】因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，所以11,2c c a ==，解得 22,3a b ==，所以椭圆方程为：22143x y +=，设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则222212121,14343y x y x +=+=，两式相减得：()()1212121243+-=--+y y x x y y x x ，即143OD AB k k =-，同理1414,33OM OE AC BC k k k k =-=-，又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以()1231114433OD OM OE k k k k k k ++=-++=-，故选：A【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．C解析：C【解析】双曲线2214x y -=中，222224,1,5,2a b c a b e ==∴=+=∴== 本题选择C 选项.二、填空题13．8【解析】的圆心为半径为抛物线的准线是直线所以得解析：8【解析】2260x y x m +++=的圆心为(3,0)-28y x =的准线是直线2,x =-所以23-+=8.m =14．【分析】由题即可求得对的正负分类即可表示出再利用双曲线离心率为2列方程即可求得问题得解【详解】由题可得：抛物线的焦点坐标为所以双曲线中方程表示双曲线所以同号当同正时则解得：则此时当同负时则解得：则此解析：316【分析】由题即可求得1c =，对,m n 的正负分类，即可表示出22,a b ，再利用双曲线离心率为2列方程，即可求得,m n ，问题得解．【详解】由题可得：抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，所以双曲线中1c = 方程()2210x y mn m n-=≠表示双曲线所以,m n 同号.当,m n 同正时，54a b =-，则2c ea ===，解得：14m = 则222314n b c a m ==-=-=，此时1334416m n ⋅=⨯=. 当,m n 同负时，22,a n b m =-=-，则2c ea ===，解得：14n =- 则222314m b c a n -==-=+=，此时1334416m n ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 综上所述：316m n ⋅=【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，还考查了双曲线的简单性质及分类思想，考查双曲线标准方程的,,a b c 的识别，考查计算能力，属于中档题．15．8【分析】设切线方程为即代入利用判别式为0求出两条切线的斜率进一步求出两个切点坐标利用两点间的距离公式可求得结果【详解】切线的斜率显然存在设切线方程为即联立消去得所以即则或设切线的斜率分别为则将代入解析：8【分析】设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，代入24x y =，利用判别式为0，求出两条切线的斜率，进一步求出两个切点坐标，利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】切线的斜率显然存在，设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，联立2214y kx k x y=--⎧⎨=⎩消去y 得24840x kx k -++=，所以2(4)4(84)0k k ∆=--+=，即2210--=k k ，则1k =1k =+ 设切线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，1122(,),(,)A x y B x y ，则11k =21k =，将11k =24840x kx k -++=得24(18(140x x -++=，即2(20x -+=，得2x =-12x =-，所以2211(244x y -===3-(2A --，同理可得(2B ++，所以||AB =8=.故答案为：8.【点睛】本题考查了直线与抛物线相切的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题. 16．【分析】如图先利用辅助线确定公共点位置再联立方程得到其坐标即可【详解】如图所示取AB 中点M 分别过ABM 作准线的垂线垂足依次为CDN 则AC//MN//CDMN 是梯形ABDC 中位线根据抛物线定义得即N 在解析：⎛- ⎝⎭【分析】如图先利用辅助线确定公共点位置，再联立方程得到其坐标即可.【详解】如图所示，取AB 中点M ，分别过A ，B ，M 作准线的垂线，垂足依次为C ，D ，N ，则AC //MN //CD ，MN 是梯形ABDC 中位线，根据抛物线定义得，2AB AF BF AC BD MN =+=+=，即N 在以AB 为直径的圆上，即N 即是以AB 为直径的圆与该抛物线准线的公共点，易见直线AB 不平行x 轴，方程可设为1x my =+，设()()1122,,,A x y B x y联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，又依题意3AF FB =（点A 在x 轴上方），故1120,3y y y >=-，解得122323,y y ==，故33m =-.易见N 点坐标为121,2y y +⎛⎫- ⎪⎝⎭，即()1,2m -，即公共点的坐标为231,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：231,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了抛物线的定义及直线与抛物线的综合应用，属于中档题.17．【分析】首先根据题意求出椭圆的标准方程设根据勾股定理和得到再利用二次函数的性质即可得到最大值【详解】由题知：解得椭圆设因为则又因为即所以因为所以当时取得最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查直线与椭解析：163【分析】首先根据题意求出椭圆的标准方程，设()00,P x y ，根据勾股定理和12l l ⊥得到()2222012201PM x d y d ==+-+，再利用二次函数的性质即可得到最大值. 【详解】由题知：2221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，椭圆22:14x T y +=. 设()00,P x y ，因为12l l ⊥，则()2222012201PM x d y d ==+-+ 又因为220014x y +=，即220044x y =-. 所以()22222120001161=33434d d y y y ⎛⎫=+--++ ⎪⎝⎭+-. 因为011y -≤≤，所以当031y =-时，2212d d +取得最大值为163. 故答案为：163【点睛】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题. 18．【分析】首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆然后根据相关的两求出椭圆的方程【详解】解：设动圆的圆心为：半径为动圆与圆外切与圆内切因此该动圆是以原点为中心焦点在轴上的椭圆且解得∴椭圆的方程为：故解析：22198x y【分析】首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆，然后根据相关的两求出椭圆的方程．【详解】解：设动圆的圆心为：(,)M x y ，半径为R ，动圆与圆221:(1)1M x y ++=外切，与圆222:(1)25M x y -+=内切，12||||156MM MM R R ∴+=++-=，1212||||||MM MM M M +>，因此该动圆是以原点为中心，焦点在x 轴上的椭圆，且26a =，1c =，解得3a =，∴2228b a c =-=， ∴椭圆的方程为：22198x y ，故答案为：22198x y ．【点睛】本题主要考查椭圆的方程及圆与圆的位置关系，属于中档题．19．【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求的最小值进而可推断出当三点共线时最小则答案可得【详解】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知所以要求取得最小值即求取得最小当三解析：5【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，进而把问题转化为求PB PD +的最小值，进而可推断出当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小，则答案可得.【详解】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，所以，要求PB PF +取得最小值，即求PB PD +取得最小，当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小为()415--=．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.20．【分析】计算得到故为正三角形计算面积得到答案【详解】抛物线的焦点准线为l ：由抛物线的定义可得由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得即有为正三角形由F 到l 的距离为则的面积是故答案为：【点睛】本题解析：3【分析】计算得到AF AK =，FK AF =，故AKF ∆为正三角形，4AK =，计算面积得到答案.【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线为l ：1x =-，由抛物线的定义可得AF AK =，由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得FK AF =，即有AKF ∆为正三角形，由F 到l 的距离为2d =，则4AK =，AKF ∆的面积是316434⨯=. 故答案为：43.【点睛】本题考查了抛物线中的面积问题，确定AKF ∆为正三角形是解题的关键.三、解答题21．（1）24x y =；（2）证明见解析.【分析】（1）由4PF =，利用焦半径公式可求出p 的值，从而可得抛物线C 的标准方程；（2）设切线AN 的方程为()y k x a =-，0k ≠，联立直线方程与抛物线方程，利用判别式为零可得a k =，求得切点2(2,)N a a ，由0AF AN ⋅=即可判定以FN 为直径的圆过点A ．【详解】（1）因为()0,3P x 为抛物线上一点，所以PF 的长等于P 到抛物线准线2p y =-的距离，即||3422P p p PF y =+=+=，解得2p =，所以抛物线C 的标准方程为：24x y =．（2）直线斜率不存在时，直线x a =不是抛物线的切线，所以可设切线AN 的方程为：()y k x a =-， 0k ≠，联立直线与抛物线方程得24()x y y k x a ⎧=⎨=-⎩，消去y 可得2440x kx ka -+=，因为直线与抛物线相切，∴216160ka ka ∆=-=，解得a k =．224402x ax a x a -+=⇒=，所以切点()22,N a a，(0,1)F ，(,0)A a ， ∴(,1)AF a =-，()2,AN a a =，∴220AF AN a a ⋅=-+=．∴90FAN ∠=︒，以FN 为直径的圆过点A ．【点睛】方法点睛：解得与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.22．（1）3；（2）)10x y ++=；111x y -=±. 【分析】（1）根据直接法，利用PM PN=(),P x y ，代入化简即可得到点P 的轨迹方程，由P ，代入即可得解；（2）根据几何关系，因为点N 到直线PM 的距离为1，2MN =，所以30PMN ∠=︒，3PM k =±，求出直线方程，代入圆的方程求得P 点坐标，即可得解. 【详解】（1）设(),P x y ，因为PM PN == 化简得22610x y x +-+=，令y =，得2630x x -+=，解得3x =所以点P 的横坐标为3±；（2）因为点N 到直线PM 的距离为1，2MN =，所以30PMN ∠=︒，PM k =所以直线PM 的方程为)1y x =+把)13y x =±+代入22610x y x +-+=，得2410x x -+=，解得12x =22x =所以点P的坐标为(2++或(21-或(21-或(2，所以直线PN 的方程为1y x =-或1y x =-+，所以直线PM的点法向式方程为)10x y ++=直线PN 的点方向式方程为111x y -=±. 【点睛】本题考查了求轨迹方程，考查了直线和圆的位置关系以及直线的点法向式方程和点方向式方程，有一定的计算量，属于中档题.本题的关键点有：（1）直接法求轨迹方程，利用条件直接列式求方程；（2）计算能力和计算技巧，计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的关键能力，需强化训练.23．（1）2a =，b =2）直线Q 恒在定直线23x =上. 【分析】（1）利用椭圆,,a b c 关系、离心率和三角形面积可构造方程求得结果；（2）根据四点的位置关系可知AP BP AQ BQ=，由此可得()00,Q x y 中120122y y y y y =+，将直线AB 方程代入椭圆方程，得到韦达定理形式，整理可求得0y ，代入直线方程可知032x =恒成立，由此可确定结论.【详解】（1）以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大时，三角形另一顶点为椭圆短轴的端点，22212122a b c c e a a b ab ⎧⎪=+⎪⎪∴==⎨⎪⎪⨯⨯==⎪⎩，解得：2a =，b = （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，AP BQ AP BQ ⋅=-⋅，AQ BP AQ BP ⋅=⋅，0AP BQ AQ BP ∴-⋅+⋅=，即AP BP AQ BQ =，即1210020y y y y y y -=--，整理可得：120122y y y y y =+，设直线AB ：6x ty =+，联立直线AB 与椭圆：221436x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得：()223436960t y ty +++=， 12212236349634t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩，21201221922163436334y y t y t y y t t +∴===-+-+， Q 在线段AB 上，则001626633x ty t t ⎛⎫=+=⋅-+= ⎪⎝⎭， ∴点Q 恒在定直线23x =上.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量，通过化简整理确定所求的定直线..24．（1）22143x y +=；（2）1323y x =-+或132y x =-- 【分析】（1）根据题设条件列方程解得,a b 可得椭圆方程；（2）利用几何方法求出弦长||CD ，利用弦长公式求出弦长||AB ，再根据||53||4AB CD =可求出m ，代入直线l ：y ＝－12x ＋m ，可求得结果. 【详解】（1）由题设知22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得a ＝2，b，c ＝1， ∴椭圆的方程为22143x y +=. （2）由（1）知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l ：220x y m +-=的距离d =，由d ＜1，得||2m <||CD ∴===. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由221,21,43y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并整理得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.||AB =∴==由||||AB CD =1=，解得3m =±，满足(*). ∴直线l的方程为123y x =-+或123y x =--. 【点睛】关键点点睛：掌握几何方法求弦长和弦长公式求弦长是解题关键.25．（1）611y x =-；（2）33. 【分析】（1）利用点差法求出直线斜率，检验直线与双曲线位置关系，得到直线的方程；（2）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理利用弦长公式即可得解.【详解】（1）设()(),,,A m n B a b ，P 为AB 的中点4,2a m b n +=+=2213b a -=，2213n m -=，两式相减得：222203b a n m --=-， ()()()()03b n b n a m a m +-+--=，所以()()2403b n a m ---= 所以直线AB 的斜率6b n k a m -==-，直线AB 的方程()162y x -=-即611y x =-，将611y x =-代入双曲线2213y x -=， 21321240,1321324331241333280x x -+=∆=⨯-⨯⨯=⨯>满足题意所以直线AB 的方程611y x =-；（2）由（1）将611y x =-代入双曲线2213y x -=， 21241321240,4,3333x m a m x a -+=+==，33AB m =-== 【点睛】此题考查利用点差法解决中点弦问题，求解直线方程，需要注意检验直线与双曲线的交点情况，根据韦达定理求解弦长.26．（1）t =±，p =2；（2）存在，△AFB . 【分析】（1）根据抛物线的定义求得方程即可.（2）由（1）易得M (-1，0)，F (1，0)，假设存在直线l ，设其方程为x =my -1(m ≠0)，将其代入24y x =，根据直线AF 与直线OB 垂直，由k AF ·k OB =-1，结合韦达定理求得m ，再分别求得弦长AB 和点F 到直线l 的距离，代入面积公式求解.【详解】（1）由题意及抛物线的定义得342p +=，则p =2， ∴抛物线的方程为24y x =，又∵点T 在抛物线上，故243t =⨯，解得t =±.（2）由（1）易得M (-1，0)，F (1，0).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，假设存在直线l 满足题意，设其方程为x =my -1(m ≠0)，将其代入24y x =得24+4?=?0y my -， 121244y y m y y +=⎧⎨=⎩所以由Δ=16m 2-16>0，得m >1或m <-1.又直线AF 与直线OB 垂直，易知直线AF 与直线OB 的斜率都存在，所以k AF ·k OB =-1，即121211y y x x ⋅=--，所以1221212441(1)(1)(2)2y y x x my my my ===-----，解得1226,3m y y m==. 又2224+4?=?0y my -，解得m =，满足Δ>0，所以满足条件的直线l的方程为550x ±=.此时AB ==12y y -，2635m m =-==，又点F 到直线l的距离d ==，所以△AFB的面积11||2255S AB d =⋅=⨯=. 【点睛】方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．。

2022年福建省龙岩市抚市中学高三数学文期末试题含解析

2022年福建省龙岩市抚市中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 集合，，（）A. B.C. D.参考答案：C2. 已知二次曲线+=1，则当m∈[﹣2，﹣1]时，该曲线的离心率e的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先判断当m∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线为双曲线，将方程化为标准方程，求得a，b，c，再由离心率公式，即可得到范围．【解答】解：由当m∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线为双曲线，双曲线+=1即为﹣=1，且a2=4，b2=﹣m，则c2=4﹣m，即有，故选C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的范围，属于基础题．3. 设命题：函数在上为增函数；命题：函数为奇函数．则下列命题中真命题是（）A. B. C. D.参考答案：D.试题分析：由题意可知，命题是真命题，为偶函数，∴是假命题，从而可知是真命题，故选D.考点：1.函数的性质；2.命题真假判断.4. 若定义运算（*b）=则函数（3x*3-x）的值域是（）A．（0，1） B．[1，+∞] C．（0．＋∞） D．（-∞，+∞）参考答案：A当x>0时;（3x*3-x）=3-x,当x=0时，（30*30）=30=1,当x<0时，（3x*3-x）=3x,故选A．5. 已知函数是奇函数，其反函数为，则=A 2BC D参考答案：A6. 已知i是虚数单位，则复数i（1+i）的共轭复数为（）A．1+i B．l﹣i C．﹣l+i D．﹣l﹣i参考答案：D【考点】复数的基本概念．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数i（1+i）=i﹣1的共轭复数为﹣i﹣1，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．7. 已知集合，，那么集合是（）A．B．C．D．参考答案：B8. 在正项等比数列中，，则的值是A. 10000B. 1000C. 100D. 10参考答案：A略9. 下列四个命题，其中正确命题的个数（）①若a＞|b|，则a2＞b2②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d③若a＞b，c＞d，则ac＞bd④若a＞b＞o，则＞．A．3个B．2个C．1个D．0个参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接由不等式的可乘积性判断①；举例说明②③④错误．【解答】解：①若a＞|b|，则a2＞b2，①正确；②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d错误，如3＞2，﹣1＞﹣3，而3﹣（﹣1）=4＜5=2﹣（﹣3）；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd错误，如3＞1，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＜1×（﹣3）；④若a＞b＞o，则，当c＞0时，＜，④错误．∴正确命题的个数只有1个．故选：C．10. 的值是（）A． B． C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．参考答案：【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．【解答】解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．12. 若点P(1,1)为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为．参考答案：因为为圆的弦的中点，所以圆心坐标为，，所在直线方程为，化简为，故答案为.13. 已知点在抛物线上，则p =______；点M 到抛物线C 的焦点的距离是______.参考答案：2 2 【分析】将点M 坐标代入抛物线方程可得p 值，然后由抛物线的定义可得答案.【详解】点代入抛物线方程得：，解得：；抛物线方程为：，准线方程为：，点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离：故答案为：2,2【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题.14. 已知点， O 为坐标原点，点P （x ，y ）的坐标x ， y 满足则向量在向量方向上的投影的取值范围是参考答案：15. 函数的图象恒过定点,且点在直线上，其中，则的最小值为______________参考答案：16. 已知函数是奇函数，若函数f （x ）在区间[﹣1，a ﹣2]上单调递增，则实数a 的取值范围是．参考答案：（1，3]【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f （x ）是奇函数，求出m ，然后根据函数表达式，求出函数的单调递增区间，即可求a 的取值范围．【解答】解：∵函数f （x ）是奇函数，∴当x ＞0时，﹣x ＜0，满足f （﹣x ）=﹣f （x ），即x 2﹣mx=﹣（﹣x 2+2x ）=﹣x 2﹣2x ，解得m=2．∴f（x ）=，作出函数f （x ）的图象，由图象可知函数f （x ）在[﹣1，1]上单调递增．若函数f （x ）在区间[﹣1，a ﹣2]上单调递增，则﹣1＜a ﹣2≤1，即1＜a≤3．故答案为：（1，3]．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．17. 将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式是．参考答案：函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y ＝，将所得的图像向左平移个单位得．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

福建省龙岩高一下学期数学期末考试试卷

福建省龙岩高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则过E，F，H的平面分别交直线PA，CD于M，N两点，则PM+CN=（）A . 6B . 4C . 3D . 22. （2分）圆上的点到直线的距离最大值是（）A . 2B .C .D .3. （2分） (2016高二下·南昌期中) 如图，正方体中，两条异面直线BC1与CD1所成的角是（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°4. （2分）已知边长为2的等边三角形ABC，过C作BC的垂线l，则将△ABC绕l旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一下·虎林期末) 已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A . 3B . -2C . 2D . 不存在6. （2分） (2018高一上·寻乌期末) 已知在斜二测画法下的平面直观图是边长为的正三角形，那么在原的面积为（）A .B .C .D .7. （2分）已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A . πB . πC . πD . π8. （2分）在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，那么（）A . M一定在直线AC上B . M一定在直线CD上C . M可能在AC上，也可能在BD上D . M不在AC上，也不在BD上9. （2分） (2016高三上·集宁期中) 设实数x，y满足，则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·株洲开学考) 已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则| |的最大值为（）A . 6B . 7C . 8D . 9二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2017高二上·苏州月考) 正方体的表面积与其外接球表面积的比为________.12. （1分） (2016高一下·宁波期中) 已知圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，则圆心C的坐标为________；过点（3，5）的最短弦的长度为________．13. （1分） (2017高二上·成都期中) 已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是________．14. （1分）圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上一点的最大距离为________．三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分） (2018高一下·宜昌期末) 如下图，在空间四边形中，，分别是、的中点， = ，则异面直线与所成角的大小为________．16. （1分）(2017·安徽模拟) 如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中：①|BM|是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE．其中正确的命题是________．17. （1分）(2019·新乡模拟) 在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，且平面与交于点，则与平面所成角的正切值为________．四、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2018高一上·吉林期末) 如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，平面，，，， .（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.19. （10分） (2019高二上·南湖期中) 已知点M（3,1），直线与圆。

龙岩实验中学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》检测题(含答案解析)

一、填空题1．直线l ：240x y +-=与椭圆C ：22416+=x y 交于A ，B 两点，则弦长AB =___________. 2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C 的离心率13,23e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则C 的长轴长的取值范围是_____________.3．已知圆的方程为224x y +=，若抛物线过点()1,0A -，()1,0B ，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________.4．已知椭圆22:143x y C +=过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（点A 位于x 轴上方），若2AF FB =，则直线l 的斜率k 的值为__________．5．如图，过椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点1F 作直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，O 为坐标原点，连接BO 并延长交椭圆E 于C 点，若1CF AB ⊥，且113CF AF =，则该椭圆E 的离心率e 为____________．6．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合)，已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为25.π记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD .已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为_______.7．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为_________，溢流孔与桥拱交点A 的横坐标．．．为 ___________ .8．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作C 的一条渐近线的垂线垂足为A ，且||2||OA AF =，O 为坐标原点，则C 的离心率为_________． 9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，且离心率为35，ABC 的三个顶点都在椭圆C 上，设ABC 三条边AB BC AC 、、的中点分别为D E M 、、，且三条边所在直线的斜率分别为123k k k 、、，且123k k k 、、均不为0．O 为坐标原点，若直线OD OE OM 、、的斜率之和为1.则123111k k k ++=________. 10．设12,F F 分别是椭圆22=1169x y +的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则12||||PF PF =______. 11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF 、||AB 、2AF 成等差数列，则C 的离心率为___________．12．M 是抛物线24y x =上一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角60xFM ∠=︒，则||FM =______.13．已知椭圆的对称轴为坐标轴，两个焦点坐标分别为()()0,2,0,2-，且过点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆的标准方程为____________. 二、解答题14．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，曲线C 是以2F 为圆心且过原点的圆. （1）求曲线C 的方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足1F M MP →→=，求M 的轨迹方程. 15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，其左，右焦点分别是12,F F ，椭圆上的4个点,,,A B M N 满足：直线AB 过左焦点1F ，直线AM 过坐标原点O ，直线AN 的斜率为32-，且2ABF 的周长为8 （1）求椭圆C 的方程．（2）求AMN 面积的最大值16．已知椭圆()222210x y C a b a b ∴+=>>的离心率2e =，左焦点为1F ，右焦点为2F ，且椭圆上一动点M 到2F 的最远距离为1，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>M 到直线40y ++=距离为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过点()4,2-且与椭圆C 相交于,A B 两点，l 不经过点M .证明：直线MA 的斜率与直线MB 的斜率之和为定值.18．已知椭圆的左焦点为()F ，右顶点为()2,0D ，设点A 的坐标是11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程.19．已知椭圆()2222 :?10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，原点到过点(),0A a ，()0,B b -的直线的距离是5. （1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.20．已知命题:p 方程22113x y m m +=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 关于x 的不等式22230x mx m +++>恒成立；（1）若命题q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题.求实数m 的取值范围.21．已知椭圆的两焦点分别为()1F 、)2F ，短轴长为2. （1）椭圆C 的标准方程；（2）已知过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭且斜率为1的直线交椭圆C 于,A B 两点，求线段AB 的长度.22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，过右焦点2F 且斜率为1的直线l 与圆()()222221x y -+-=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）1F 为椭圆的左焦点，P 为椭圆上的一点，若12120PF F ∠=︒，求12PF F △的面积. 23．在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹为曲线C ，直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于,A B 两点．（1）求M 的轨迹方程；（2）求AOB 面积的最大值．24．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为（1）求椭圆的标准方程.（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2289x y +=上，直线AM 与椭圆交于另一点B ，且AOB 的面积是AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程.25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1,2⎛ ⎝⎭，左、右焦点分别1F 、2F ，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两点，求2MN OQ 的值． 26．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知112BF F F ⊥，153F B =，124F F =.（1）试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在的椭圆的方程；（2）如图，若透明窗DE 所在的直线与截口BAC 所在的椭圆交于一点P ，若1260F PF ∠=︒求12F PF △的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】将直线与椭圆方程联立根据韦达定理确定根与系数关系再利用弦长公式求得弦长【详解】由直线：与椭圆：交于两点设得弦长故答案为：【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时要注意：(1)注意观察应用题设中的每解析：5【分析】将直线与椭圆方程联立，根据韦达定理确定根与系数关系，再利用弦长公式221212(1)[()4]AB k x x x x =++-求得弦长.【详解】由直线l ：240x y +-=与椭圆C ：22416+=x y 交于A ，B 两点设11(,)A x y ，22(,)B x y22240416x y x y +-=⎧⎨+=⎩得240x x -= 12124,0x x x x +=⋅=弦长AB ===.故答案为：【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．2．【分析】用分离常数法求得函数的对称中心代入椭圆方程得的关系变形后得然后由的范围得出的范围【详解】因为可化为所以曲线的对称中心为把代入方程得整理得因为所以从而故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求椭解析：,93⎛ ⎝⎭【分析】用分离常数法求得函数的对称中心，代入椭圆方程得,a b 的关系，变形后得221911a e =+-，然后由e 的范围得出2a 的范围．【详解】因为31x y x =-可化为111393y x =+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以曲线31x y x =-的对称中心为11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，把11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程22221x y a b +=，得2211199a b +=，整理得22222221911a c a a c e-==+--.因为12e ⎛∈ ⎝⎭，所以2759,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而29a ⎛∈ ⎝⎭.故答案为：9⎛ ⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆长轴长的范围．解题关键是建立长半轴长a 与离心率e 的关系式，求出函数对称中心代入椭圆方程，利用222b a c =-进行转化是是解题的基本方法． 3．【分析】根据题意可知：焦点到和的距离之和等于和分别到准线的距离和；而距离之和为和的中点到准线的距离的二倍即所以焦点的轨迹方程是以和为焦点的椭圆由此能求出该抛物线的焦点的轨迹方程【详解】解：设抛物线焦解析：22143x y +=(0)y ≠ 【分析】根据题意可知：焦点到A 和B 的距离之和等于A 和B 分别到准线的距离和；而距离之和为A 和B 的中点O 到准线的距离的二倍，即24r =，所以焦点的轨迹方程C 是以A 和B 为焦点的椭圆，由此能求出该抛物线的焦点F 的轨迹方程.【详解】解：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线1AA ，1BB ，1OO ，则|有11124AA BB OO +==；由抛物线定义得11AA BB FA FB +=+，4FA FB ∴+=，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，∴ 抛物线的焦点轨迹方程22143x y +=(0)y ≠. 故答案为：22143x y +=(0)y ≠. 【点睛】关键点点睛：抛物线方程中，抛物线上的点到焦点F 的距离等于到准线的距离，牢记它对解题非常有益．4．【分析】由题可得联立直线与椭圆利用韦达定理建立关系即可求出【详解】由题点A 位于轴上方且则直线l 的斜率存在且不为0设则可得设直线l 方程为联立直线与椭圆可得解得则直线的斜率为故答案为：【点睛】方法点睛：解析：±【分析】由题可得122y y -=，联立直线与椭圆，利用韦达定理建立关系即可求出.【详解】由题，点A 位于x 轴上方且2AF FB =，则直线l 的斜率存在且不为0， ()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ，则可得122y y -=，设直线l 方程为1x ty =+，联立直线与椭圆221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得()2234690t y ty ++-=，122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，2222269,23434t y y t t -∴=-=++， 2226923434t t t -⎛⎫∴-= ⎪++⎝⎭，解得25t =±，则直线的斜率为5±. 故答案为：5±. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解. 5．【分析】设椭圆的右焦点为连根据点的对称性和推出四边形为矩形所以设利用椭圆定义得到和根据勾股定理可得从而可得离心率【详解】设椭圆的右焦点为连如图：因为关于原点对称关于原点对称所以四边形为平行四边形又所解析：2 【分析】设椭圆的右焦点为2F ，连2BF ，2CF ，2AF ，根据点的对称性和1CF AB ⊥推出四边形12BF CF 为矩形，所以2AB BF ⊥，设1||AF m =，利用椭圆定义得到2||AF 和1||BF ，根据勾股定理可得2a c =，从而可得离心率.【详解】设椭圆的右焦点为2F ，连2BF ，2CF ，2AF ，如图：因为,B C 关于原点对称，12,F F 关于原点对称，所以四边形12BF CF 为平行四边形，又1CF AB ⊥，所以四边形12BF CF 为矩形，所以2AB BF ⊥，设1||AF m =，因为113CF AF =，所以1||3CFm =，所以2||3BF m =，22||AF a m =-，1||23BF a m =-，在直角三角形2ABF 中，由22222||||||AB BF AF +=得222(23)(3)(2)a m m m a m -++=-，化简得3a m =，所以1||BF a =， 2||BF a =，在直角三角形12BF F 中，由2221212||||||BF BF F F +=得2224a a c +=，即a =，所以椭圆E 的离心率e c a ==.故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中利用椭圆定义以及勾股定理得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．6．【分析】以矩形的中心为原点圆锥的轴为x 轴建立平面直角坐标系由题得从而可得到本题答案【详解】以矩形的中心为原点圆锥的轴为轴建立平面直角坐标系设双曲线的标准方程为圆锥的底面直径均为4则半径侧面积均为可得【分析】以矩形ABCD 的中心为原点，圆锥的轴为x 轴建立平面直角坐标系，由题，得1b a=，从而可得到本题答案.【详解】以矩形ABCD 的中心为原点，圆锥的轴为x 轴建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，圆锥的底面直径均为4，则半径2r ，侧面积均为.可得2OA AM ==，则1,tan 2OM AOM =∠=，即2b a =，所以e ===.5【点睛】关键点点睛：根据圆锥曲线的定义将问题抽象为平面解析几何问题，关键利用渐近线求出2b a=，考查了计算求解能力以及转化能力. 7．【分析】根据题意设桥拱所在抛物线的方程为溢流孔ABC 所在方程为运用待定系数法求得可得右边第二个溢流孔所在方程联立抛物线方程可得所求【详解】设桥拱所在抛物线方程由图可知曲线经过代入方程解得：所以桥拱所解析：()236145x y -=-14013【分析】根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为22x py =-，溢流孔ABC 所在方程为()21:142(0)C x p y p ''-=->，运用待定系数法，求得p ，p '，可得右边第二个溢流孔所在方程，联立抛物线方程，可得所求.【详解】设桥拱所在抛物线方程22x py =-，由图可知，曲线经过()20,5-，代入方程()22025p =-⨯-，解得：40p =，所以桥拱所在抛物线方程280x y =-；四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线()21:142C x p y '-=-，由图抛物线1C 经过点()20,5A -，则()()2201425p '-=-⨯-，解得185p '=，所以()2136:145C x y -=-，点A 即桥拱所在抛物线280x y =-与()2136:145C x y -=-的交点坐标，设(),,714A x y x <<由()228036145714x y x y x ⎧=-⎪⎪-=-⎨⎪<<⎪⎩，解得：14013x = 所以点A 的横坐标为14013. 故答案为：()236145x y -=-；14013【点睛】关键点点睛：此题考查根据实际意义求抛物线方程和交点坐标，关键在于合理建立模型正确求解，根据待定系数法，及平移抛物线后方程的形式即可.8．【分析】由已知求出渐近线的斜率得结合转化后可求得离心率【详解】由题意可得渐近线方程为∴故故答案为：【点睛】本题考查求双曲线的离心率解题关键是列出关于的一个等式本题中利用直角三角形中正切函数定义可得【分析】由已知求出渐近线的斜率，得ba，结合222c a b -=转化后可求得离心率．【详解】由题意可得||||1tan ||2||2AF AF AOF OA AF ∠===，渐近线方程为by x a=， ∴12b a =，222222222544a a c ab e a a a ++====，故e =．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的一个等式，本题中利用直角三角形中正切函数定义可得．9．【分析】求出椭圆标准方程设用点差法求出同理有利用直线的斜率之和为1可得结论【详解】由得∴椭圆标准方程为设在椭圆上椭圆方程为则两式相减得∴即同理已知∴故答案为：【点睛】本题考查求椭圆标准方程考查圆锥曲解析：2516-【分析】求出椭圆标准方程，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，112233(,),(,),(,)D s t E s t M s t ，用点差法求出116125ODk k =-⋅，同理有23,k k ，利用直线OD OE OM 、、的斜率之和为1可得结论．【详解】3c =，由35c a =得5a =，∴4b =，椭圆标准方程为2212516x y +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，112233(,),(,),(,)D s t E s t M s t ，,A B 在椭圆上，椭圆方程为221625400x y +=．则22111625400x y +=，22221625400x y +=，两式相减得，121212121625y y x xx x y y -+=-⋅-+， ∴1212111212116162525y y x x sk x x y y t -+==-⋅=-⋅-+，即111125251616OD t k k s =-⋅=-，同理212516OE k k =-，312516OM k k =-，已知1OD OE OM k k k ++=，∴1231112516k k k ++=-．故答案为：2516-．【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查圆锥曲线中的点差法，利用点差法可圆锥曲线弦所在直线斜率与弦中点坐标建立关系．10．【分析】先设P 点中点再求焦点再根据线段的中点在轴上求出P 点坐标再利用焦半径公式即可得的长则可解【详解】设中点由题意得由线段的中点在轴上则有代入中得P 点坐标为或根据焦半径公式可得∴故答案为：【点睛】考解析：239【分析】先设P 点，中点，再求焦点12,F F ,再根据线段1PF 的中点在y 轴上，求出P 点坐标，再利用焦半径公式即可得12||,||PF PF 的长,则12||||PF PF 可解. 【详解】设(,)p p P x y ，中点(0,)m n .由题意得12(F F ，4a =，e =由线段1PF 的中点在y 轴上，则有02p x +=，p x =22=1169x y +中得P 点坐标为9()4或9()4-根据焦半径公式可得，12239||,||44PF PF ==， ∴12||23||9PF PF =. 故答案为：239. 【点睛】考查椭圆的焦半径公式, 解题关键要求出P 点坐标.11．【分析】由已知设据勾股定理有；由椭圆定义知的周长为4a 由勾股定理可得选项【详解】由已知设所以根据勾股定理有解得；由椭圆定义知所以的周长为4a 所以有；在直角中由勾股定理∴离心率故答案为：【点睛】本题考【分析】由已知，设2BF x =，||AB x d =+，22AF x d =+，据勾股定理有3x d =；由椭圆定义知2ABF 的周长为4a ，由勾股定理，2224a c =，可得选项. 【详解】由已知，设2BF x =，||AB x d =+，22AF x d =+，所以根据勾股定理有()()222+2++x d x x d =，解得3x d =；由椭圆定义知1212++2AF AF BF BF a ==，所以2ABF 的周长为4a ，所以有3a d =，21BF a BF ==；在直角2BF F △中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率e =．故答案为：2. 【点睛】本题考查椭圆离心率，椭圆的定义，重在对问题的分析，抓住细节，同时考查计算能力，属于中档题.12．4【分析】设点为过点作垂直于轴垂足为利用点在抛物线上建立方程即可求得的长【详解】解：由题意得设点为过点作垂直于轴垂足为即即整理得①又是抛物线上一点②由①②可得或（舍去）故答案为：【点睛】本题给出抛物解析：4 【分析】设点M 为(,)a b ，过点M 作MA 垂直于x 轴，垂足为A ，利用60xFM ∠=︒，点M 在抛物线24y x =上，建立方程，即可求得FM 的长．【详解】解：由题意得(1,0)F设点M 为(,)a b 过点M 作MA 垂直于x 轴，垂足为A 60xFM ∠=︒，||2||MF FA ∴=，即||2(1)FM a =- ||3MF =，即||3MF =，2(1)3a ∴-=，整理得223(1)b a =-⋯①又M 是抛物线24y x =上一点24b a ∴=⋯②由①②可得3a =或13a =（舍去） ||2(31)4MF ∴=-=故答案为：4．【点睛】本题给出抛物线上的点M 满足60xFM ∠=︒，求焦半径||FM 的长，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．13．【分析】由题意可设椭圆方程为且利用椭圆定义及两点间的距离公式求得结合隐含条件求得则可求出椭圆方程【详解】解：由题意可设椭圆方程为且由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点距离之和等于得则则椭圆方程为：故答案为解析：221106y x +=【分析】由题意可设椭圆方程为22221,(0)x y a b b a+=>>，且2c =，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得a ，结合隐含条件求得b ，则可求出椭圆方程．【详解】解：由题意可设椭圆方程为22221,(0)x y a b b a+=>>，且2c =，由椭圆的定义，椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于2a ．2a ∴==得a =b ==则椭圆方程为：221106y x +=．故答案为：221106y x +=.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了利用椭圆定义求椭圆的标准方程，属于基础题．二、解答题14．（1）()22416x y -+=；（2）224x y +=. 【分析】（1）求出圆心和半径即得解；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，由1F M MP →→=得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，代入圆的方程即得解. 【详解】（1）由已知得212a =，24b =，故4c ==，所以()14,0F -､()24,0F，因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为()4,0，半径为4，所以C 的轨迹方程为()22416x y -+=；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，则()14,F M x y →=+，()00,MP x x y y →=--，由1F M MP →→=，得()()004,,x y x x y y +=--，即()()004x x x y y y ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩，解得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，因为点P 在C 上，所以()2200416x y -+=，代入得()()22244216x y +-+=，化简得224x y +=.所以M 的轨迹方程为224x y +=. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程常见的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入法；（4）消参法.要根据数学情景灵活选择方法求动点的轨迹方程.15．（1）22143x y+=；（2）23．【分析】（1）根据2ABF的周长为8，解得2a=，再由离心率为12求解.()2设直线3:2AN y x t=-+，与椭圆方程联立，由弦长公式求得AN，点O到直线AN的距离，然后根据直线AM过坐标原点，由2AMN AONS S=求解.【详解】()1由椭圆的定义知48,2a a==，12ca=，1c∴=，从而2223b a c=-=，所以椭圆C的方程为22143x y+=.()2如图所示：设直线3:2AN y x t=-+，代入椭圆方程223412x y+=，化简得：223330x tx t-+-=，设()()1122,,,A x y N x y，由()23120t∆=->，得212t<，且()2312914tAN-=+而点O到直线AN的距离914td=+，且直线AM 过坐标原点，21AMNAONSS∴==+，()2212t t +-=≤=当且仅当2212t t=- ，即26t =时取等号，AMN ∴面积的最大值为【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y2)，弦长公式为；AB ==k 为直线斜率)．16．（1）2212x y +=；（2）存在，()2,0P .【分析】（1）由已知条件列出关于,,a b c 的方程组，解得,,a b c 即得椭圆方程；（2）假设存在，设(),0P m ，()11,A x y ，()22,B x y ，设直线方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，然后计算由0APBP k k +=是关于k 的恒等式可求得m 即得．【详解】（1）22221c e a a c a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，11a cb ⎧=⎪∴=⎨⎪=⎩，2212x y ∴+=.（2）假设存在(),0P m 满足题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，():1AB l y k x =-，()22122y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，()2222124220k x k x k ∴+-+-=，2122412k x x k ∴+=+，21222212k x x k -=+，11AP y k x m =-，22BPy k x m =-， ()()()()1221120AP BPy x m y x m k k x m x m -+-+==--，()1221120y x y x m y y ∴+-+=，211212(1)(1)(2)0kx x kx x km x x -+--+-=，()()1212220kx x k mk x x km ∴-+++=，代入1212,x x x x +整理得24,2km k m ==，()2,0P ∴．【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆标准方程，求直线与椭圆相交中的定点问题．求椭圆方程的关键是列出关于,,a b c 的方程组，解之即得，直线与椭圆相交问题采用“设而不求”的思想方法，即设交点为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程(1)y k x =-，同时假设定点在在．设坐标为(,0)m ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，并代入定点满足的条件0AP BP k k +=，由此求出参数m ，得定点坐标．17．（1）221164x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题可得，列出不等式组，求解4,2a b ==，即可求解椭圆的标准方程；（2）设直线l 方程：()24y k x +=-，直线的方程和椭圆的方程联立，利用根与系数的关系得到1212,x x x x +，在利用斜率公式和韦达定理化简，即可得到定值. 【详解】（1）解：由题可得，222432c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得4a =，2b =，故椭圆C 的方程为221164x y +=.（2）证明：易知直线l 斜率小于0，设直线l 方程为()24y k x +=-，0k <且1k ≠-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222(4)1164y k x x y +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221416(21)64(1)0kxk k x k k +-+++=，则12216(21)14k k x x k ++=+，12264(1)14k k x x k+=+，因为()()1221121212444422MA MB kx k x kx k x y y k k x x x x --+----+=+=，所以121216(21)2(44)24(1)2(21)164(1)MA MB x x k k k k k k k k k k x x k k +++=-+=-+=-+=-+（为定值）. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系的综合应用求解定值问题，解答中把直线与圆锥曲线的位置关系的应用转化为一元二次方程的根和系数的关系是解答此类问题的关键.18．（1）2214x y +=；（2）22114124x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，根据题意可求得a 、c 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设点()00,P x y 、(),M x y ，利用重点坐标公式可得0021122x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，代入220014x y +=化简可得点M 的轨迹方程. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，c由题意可得20c a b ⎧==⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，因此，椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）设点()00,P x y 、(),M x y ，则220014x y +=，由中点坐标公式可得0012122x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得0021122x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，代入220014x y +=得()222112142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即22114124x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此，线段PA 的中点M 的轨迹方程为22114124x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.19．（1）221164x y +=；（2）4k =±. 【分析】（1）由离心率2e =，可得2a b =，再求出直线1:B x a A y b -=，从而得5d ==，解方程组可求出,a b 的值，进而可得椭圆C 的方程；（2）设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，再将直线()10y kx k =+≠与椭圆方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系可得2234214M x x k x k +-==+，21114M My kx k =+=+，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，可得20M M x ky k ++=，从而可求出k 的值【详解】解：（1）因为c a =222a c b -=，所以2a b =.因为原点到直线1:B x a A y b -=的距离d ==，解得4a =，2b =.故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.（2）由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=.可知0∆>.设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2234214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k =+=+，因为E ，F 都在以B 为圆心的圆上，且()0,2B -，所以21M My k x +⋅=-，所以20M M x ky k ++=.即224201414k kk k k-++=++. 又因为0k ≠，所以218k =.所以4k =±. 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将EF 的中点(),M M M x y 坐标用含k 的式子表示，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，得20M M x ky k ++=，将点M 的坐标代入可求出k 的值，考查计算能力，属于中档题20．（1）13m -<<；（2）[)1,3. 【分析】（1）根据判别式小于0可解得结果；（2）根据复合命题的真假可得p ，q 为一个真命题，一个假命题，分两种情况讨论列式可解得结果. 【详解】（1）若命题q 是真命题，则关于x 的不等式22230x mx m +++>恒成立；则判别式244(23)0m m ∆=-+<，即2230m m --<，得13m -<<（2）∵方程22113x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆.∴013m m <+<-，解得：11m -<<，∴若命题p 为真命题，则实数m 的取值范围是11m -<<；由（1）知，若命题q 为真命题，则实数m 的取值范围是13m -<<若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则p ，q 为一个真命题，一个假命题，若p 真q 假，则1131m m m -<<⎧⎨≥≤-⎩或，此时无解，若p 假q 真，则1311m m m -<<⎧⎨≥≤-⎩或，得13m ≤<.综上，实数m 的取值范围是[)1,3. 【点睛】关键点点睛：分别根据命题,p q 为真命题，求出m 的取值范围是解题关键.21．（1）2214x y +=；（2）5. 【分析】（1）由焦点坐标可求c ，短轴长求b ，然后可求出a ，进而求出椭圆C 的标准方程．（2）先求出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及弦长公式求出线段AB 的长度．【详解】（1）由()1F，)2F ，短轴长为2，得：1c b ==，又222a b c =+，所以24a =∴椭圆方程为2214x y +=（2）易知直线AB 的方程为12y x =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立 221412x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理得：25430x x +-= 由韦达定理得：12124,355x x x x +=-=- 所以5AB ==【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程，考查韦达定理及弦长公式的应用，解题的关键是熟悉弦长公式，考查学生的运算能力，属于基础题．22．（1）2212x y +=；（2【分析】（1）运用椭圆的离心率和a ，b ，c 的关系，设出直线l 的方程，由直线和圆相切的条件，解方程可得c ，即可得到椭圆方程；（2）在12PF F 中，运用余弦定理和椭圆的定义，解方程可得1||PF ，运用三角形的面积公式，计算可得所求值．【详解】解：（1）2c a =，可得a =，所以2222b a c c =-=，所以椭圆C 的方程可化为222212x y c c+=.过椭圆的右焦点且斜率为1的直线方程为y x c =-，此直线与圆()()222221x y -+-=相切，2=，解得1c =，所求椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）在12PF F △中，设1||PF m =，2||PF n =，m n +=，12||2F F ，由余弦定理得，22422cos120n m m =+-⨯︒，2242n m m =++，因为n m =代入上式解得m =所以12PF F △面积1211sin120222S m F F =︒==故12PF F △的面积为7【点睛】方法点睛：对于椭圆和双曲线的问题，看到焦半径要马上联想到椭圆双曲线的定义，利用其定义解题，必要时需借助正弦余弦定理求解.23．（1）2214x y +=；（2 【分析】（1）设(,)M x y ，表示出P 点坐标代入圆的方程可得轨迹方程；（2）l 斜率不存在时求出交点坐标，得三角形面积，斜率存在时，设:(1)l y k x =+，()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，由弦长公式求得弦长AB ，由点到直线距离公式求得O 到直线AB 的距离，求出三角形的面积，令241t k =+换元后可求得面积的范围，与斜率不存在的情形比较可得最大值．【详解】解．（1）设(,)M x y ，则(,2)P x y ，所以2244x y +=，即曲线C 的方程为2214xy +=．（2）①当l无斜率时，交点为11,,1222S ⎛-±∴== ⎝⎭ ②当l 有斜率时，设()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =+则22(1)440y k x x y =+⎧⎨+-=⎩()2222148440k x k x k ∴+++-= 0∴∆>得k ∈R ，由题意构成AOB 得0k ≠212221228144414k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩1212111||22S y y k x x ∴=⨯⨯-=⨯⨯-=令22141,1,(1)4t k t k t =+∴>=-101,02S St ∴=<<∴<<综上所述0S ∴<≤【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆相交中的三角形面积．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程，设交点坐标，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元化为一元二次方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，然后可由弦长公式求弦长AB ，再求出高（原点到直线AB 的距离）可得三角形面积，再利用换元法求得面积的范围，讨论直线AB 斜率不存在时的三角形面积，从而可得最大值．24．（1）22142x y +=；（2）220x y ±+=.【分析】（1）根据条件得到22c b a ==222a b c =+计算出22,a b 的值，由此求解出椭圆的标准方程；（2）根据条件分析出M 点位置，设出M 点坐标并根据位置关系表示出B 点坐标，结合圆的方程和椭圆方程求解出M 点坐标，则直线AB 的方程可求. 【详解】。

福建省龙岩一中2010届高三数学圆锥曲线专项训练(2) 新人教版

某某省某某一中2010届高三圆锥复习1. 设直线:1l y ax =+与双曲线22:31C x y -=相交于A,B 两点，O 为坐标原点. （I ）a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点.（II ）是否存在实数a ，使OA OB =且(2,1)OA OB λ+=，若存在，求a 的值，若不存在，说明理由.解（I ）设1122(,),(,)A x y B x y由22221(3)22031y ax a x ax x y =+⎧⇒---=⎨-=⎩ 22212212248(3)0302323a a a a x x a x x a ⎧∆=+->⎪-≠⎪⎪∴⎨+=-⎪⎪⋅=⎪-⎩26a <且23a ≠，又以AB 为直径的圆过原点.既2121212120(1)()10x x y y a x x a x x ⋅+⋅=⇒+⋅+++=1a ∴=±（II ）1212y y a x x -=- 121212121(2,1)(,)(2,1)2y y OA OB x x y y x x λλ++=⇒++=⇒=+2222112212121212()()()()0OA OB x y x y x x x x y y y y =⇒+=+⇒+⋅-++⋅-=111022a a ∴+⋅=⇒=-2. （理）设双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的离心率为e ，若准线l 与两条渐近线相交于P 、Q 两点，F 为右焦点，△FPQ 为等边三角形．（1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若双曲线C 被直线y ＝ax ＋b 截得的弦长为ae b 22求双曲线c 的方程．右准线l 的方程为：x ＝c a 2，两条渐近线方程为：x aby ±=．∴ 两交点坐标为 c a P 2(，)c ab 、c a Q 2(，)cab-．∵△PFQ 为等边三角形，则有||23||PQ MF =（如图）． ∴)(232c ab c ab c a c +=-⋅，即cab c a c 322=-．解得 a b 3=，c ＝2a ．∴2==ace ．（2）由（1）得双曲线C 的方程为把132222=-ay a x ．把a ax y 3+=代入得0632)3(2222=++-a x a x a ．依题意 ⎪⎩⎪⎨⎧>--=∆≠-0)3(2412032242,a a a a ∴62<a ，且32≠a ．∴ 双曲线C 被直线y ＝ax ＋b 截得的弦长为]4))[(1())(1()()(2122122212221221x x x x a x x a y y x x l -++=-+=-+-=222242)3()1(2412)1(---+=a a a a a ∵a ac b l 1222==． ∴224222)3(1272)1(144--+=⋅a a a a a ．整理得 0102771324=+-a a ． ∴22=a 或13512=a ．∴ 双曲线C 的方程为：16222=-y x 或115313511322=-y x ．3.已知点N （1，2），过点N 的直线交双曲线1222=-y x 于A 、B 两点，且)(21OB OA ON +=（1）求直线AB 的方程；（2）若过N 的直线l 交双曲线于C 、D 两点，且0=⋅AB CD ，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？（1）设直线AB ：2)1(+-=x k y 代入1222=-y x 得02)2()2(2)2(222=------k x k k x k （＊）令A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1、x 2是方程的两根∴ 022≠-k 且 2212)2(2k k k x x --=+∵ )(21OB OA ON += ∴ N 是AB 的中点 ∴1221=+xx∴ 2)2(2+-=-k k k k = 1 ∴AB 方程为：y = x + 1 （2）将k = 1代入方程（＊）得0322=--x x 1-=x 或3=x由1+=x y 得01=y ，42=y ∴ )0,1(-A ，)4,3(B∵ 0=⋅AB CD ∴ CD 垂直平分AB ∴ CD 所在直线方程为 2)1(+--=x y 即x y -=3代入双曲线方程整理得01162=-+x x令),(33y x C ，),(44y x D 及CD 中点),(00y x M则643-=+x x ，1143-=⋅x x ， ∴32430-=+=x x x ， 60=y|CD | =104，102||21||||===CD MD MC102||||==MB MA ，即A 、B 、C 、D 到M 距离相等∴ A 、B 、C 、D 四点共圆 12分4.在OAB ∆中,,4||||==OB OA 点P 分线段AB 所成的比为3,以OA 、OB 所在的直线为渐近线且离心率为2的双曲线M 恰好经过点P . ⑴求双曲线M 的标准方程;⑵若直线)0(≠+=mk m kx y 与双曲线M 交于不同的两点E 、F ,且E 、F 两点都在以点)3,0(-Q 为圆心的同一圆上,某某数m 的取值X 围.解:(1)因为双曲线M 离心率为2,所以可设双曲线M 的标准方程132222=-ay a x由此可得渐近线的斜率,603︒=∠⇒±=BOx k 从而)32,2(),32,2(-A B ,又因为点P分线段AB 所成的比为3,所以)3,2(P ,将点P 的坐标代入双曲线方程的32=a ,所以双曲线M 的方程为19322=-y x . (2)设),,(),(2211y x F y x E 线段EF 的中点为),(00y x N .由092)3(19322222=+++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=m kmx x k y x mkx y 则32≠k 且2239k m >+① 由韦达定理的,33,32020--=--=k my k km x 由题意知EF NQ ⊥, 所以.9431393032200+=⇒-=-+--=-+=m k kkm k m x y k NQ② 由①、②得 4>m 或.049<<-m5.已知倾斜角为45的直线l 过点()1,2A -和点B ，点B在第一象限，AB = （1）求点B 的坐标；（2）若直线l 与双曲线()222:10x C y a a-=>相交于,E F 两点，且线段EF 的中点坐标为()4,1，求a 的值；（3）对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离。

福建省龙岩市试验中学高一数学理期末试题含解析

福建省龙岩市试验中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （）A．B．C．D．参考答案：B2. 已知函数则的值是A. B. C.D.参考答案：C略3. 底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（）A．2πB．C．D．参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出圆锥的高，然后求解圆锥的体积．【解答】解：底面半径为1，母线长为2的圆锥的高为：．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为： =．故选：D．4. 已知平面向量，若与垂直，则实数＝A．－1 B．1 C．－2 D．2参考答案：B略5. 直线l：与圆的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定参考答案：C【分析】求出圆的圆心坐标和半径，然后运用点到直线距离求出的值和半径进行比较，判定出直线与圆的关系.【详解】因为圆，所以圆心，半径，所以圆心到直线l的距离为，则直线与圆M相交.故选C.6. 设，且，则A. B. C. D.参考答案：D7. 组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司仪、司机思想不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这思想工作，则不同的选派方案共有（）．A．36种B．12种C．18种D．48种参考答案：A若小张或小赵入选，有选法：种，若小张，小赵都入选，有：种，可知共有种．选．8. 已知函数，那么的值为（）A、 B、2 C、1 D、参考答案：C9. 函数的定义域为，且对其内任意实数均有：，则在上是：（）A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数参考答案：A10. 设,用二分法求方程内近似解的过程中取区间中点，那么下一个有根区间为 ( )A．（1,2） B．（2,3） C．（1,2）或（2,3） D．不能确定参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面相切，第二个球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体个顶点，则这三个球的表面积之比为参考答案：1:2:3略12. 若函数是幂函数，且满足，则的值等于．参考答案：试题分析：设．13. 已知，则参考答案：14. 数列{a n}满足a1=3，﹣=5（n∈N+），则a n= ．参考答案：【考点】数列递推式；等差数列的通项公式．【分析】根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．【解答】解：∵根据所给的数列的递推式∴数列{}是一个公差是5的等差数列，∵a1=3，∴=，∴数列的通项是∴故答案为： 15. 映射：，在的作用下，A 中元素与B 中元素对应，则与B 中元素对应的A 中元素是_______.参考答案：(1,2)16. 某城市有学校所，其中大学所，中学所，小学所．现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为．参考答案：略17. 如果对任何实数k ，直线都过一个定点A ，那么点A 的坐标是_____.参考答案：(－1,2)试题分析：方法一：一般取任意两个值，解二元一次方程就可以了.但是取合适的值会使计算简化，一般使一个未知数的系数为.取，方程就是，；取，方程就是，；所以点的坐标是；将点坐标代入方程得：，所以直线恒经过点；方法二：是将当做未知数，将方程写成，对于任意值，等式成立，所以，；解得，所以点的坐标是.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

福建省龙岩市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷含答案

的距离为，直线得，
与平面
所成的角为，
，
，
所以直线与平面
所成的角的正弦值为
（备注：本题采用空间向量解题不得分）
，
，
，所以
,
，所以
,
，所以
又因为
,
,所以
,所以
.
， ...............5
分
因为
,
所以
,
化简得由余弦定理得所以所以又因为
所以分 21.（本题满分 12分）
①，
,所以
②,联立①②化简得
,解得
或
,
,
, （舍去），
.
...............12
解：（1）设 M 表示事件“每轮甲、乙同时猜错”；N表示事件“恰有一人猜错”
， ”
所以至少有一位同学的数学成绩[130,140]的概率为分
.............12
（备注：若
也正确）
20.（本题满分 12分）解：1°若选①，由正弦定理，得
由
得
，由
所以
，所以
，，得 .又
.
，，得
.
.........................5分
2°若选②，因为由正弦定理得因为又因为所以
17．（本题满分 10分）
解：（1）因为
，
所以
，所以
或
.
（2）
6
7
8
D
D
C
.........................5分
所以
时，的最小值为
......................10分

龙岩实验中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测题(含答案解析)

一、选择题1．设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左､右焦分别是1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于M ，N 两点若212=MF F F ，且112MF NF =，则双曲线C 的离心率是（） A ．2B ．32C ．54D ．532．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（）A ．1BC ．2D ．4+3．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（） A ．25B ．45C ．15D ．234．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（）A B C D ．25．若点)0到双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的离心率为（）A B C D 6．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（）A B C ．14D ．47．已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>和椭圆22174x y +=有相同的焦点，则11m n +的最小值为（）A ．12B ．32C ．43D ．98．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，倾斜角为30的直线l 过点F 且与曲线C 交于,A B 两点，则AOB (O 为坐标原点)的面积S=（）A ．4B C ．D ．29．已知双曲线2222:1(0,0),,x y C a b A B a b-=>>是双曲线C 上关于原点对称的两点，P是双曲线C 上异于,A B 的一点，若直线PA 与直线PB 的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值2，则双曲线的离心率是（）A B C ．2D 10．已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点2F 到直线1AF ，则离心率e 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭11．以下关于圆锥曲线的命题中是真命题为（）A ．设,AB 是两定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支；B ．过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；C ．方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；D ．双曲线221925x y -=与椭圆22135y x +=有相同的焦点.12．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（）A ．45π B ．34π C ．(6π-D ．54π 二、填空题13．直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点到y 轴的距离是2，则AB =______.14．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ､B 两点，直线2l 与C 交于D ､E 两点，则4AB DE +的最小值为________.15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且焦点________ 16．已知抛物线2:4E x y =，过点(2,1)P -作E 的两条切线，切点分别为,A B ，则AB =________．17．设12,F F 为椭圆22:14x C y +=的两个焦点，P 为椭圆C 在第一象限内的一点且点P的横坐标为1，则12PF F △的内切圆的半径为__________.18．过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设,A B 在y 轴上的投影分别为,A B ''，若()32AB AA BB ''=+，则直线l 的斜率为______. 19．已知为()0,1A -，当B 在曲线221y x =+上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是___________________.20．抛物线24y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于K ，如果AF BF =，那么AKF ∆的面积是______.三、解答题21．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，()1,M t 是抛物线上一点，且32MF. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AF ，BF 的倾斜角互补，则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.22．如图所示，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，222:O x y b +=，点A 是椭圆C的左顶点，直线AB 与O 相切于点()1,1B -．（1）求椭圆C 的方程；（2）若O 的切线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求OMN 面积的取值范围．23．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(03，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). （1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足||53||AB CD =，求直线l 的方程. 24．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 恰是椭圆2212x y +=的一个焦点，过点F 的直线与抛物线交于,A B 两点. （1）求抛物线方程.（2）若45AFx ∠=，求AB .25．点A 是抛物线21:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1(0)y C x b b-=>的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ．（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:1l y kx =-与双曲线的右支交于两点，求k 的取值范围． 26．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-．（1）求抛物线C 的方程；（2）设点(1,2)P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点A ，B ，直线PA ，PB 分别交x 轴于M ，N 两点，求MF NF ⋅的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据题意画出图形，结合图形建立关于c ､a 的关系式，再求离心率ce a=的值. 【详解】解：如图所示，取1F M 的中点P ，则2122MF FF c ==，MP c a =-，1F P c a =-；又112NF MF =，则()14NF c a =-，242NF c a =-；在2Rt NPF △中，22222NP PF NF +=，在2Rt MPF △中，22222MP PF MF +=，得()()()()22224252c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦，化简得223850c ac a -+=，即()()350c a c a --=，解得c a =或35c a =；又1e >， ∴离心率53c e a ==. 故选：D .【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是建立,a c 的等量关系，结合等腰三角形的性质与双曲线的定义可得．2．A解析：A 【解析】∵|PQ |=2|QF |,∠PQF =60°,∴∠PFQ =90°，设双曲线的左焦点为F 1,连接F 1P ,F 1Q ，由对称性可知,F 1PFQ 为矩形,且|F 1F |=2|QF|,1QF =，不妨设()1220F F m m =>，则1,QF QF m ==，故121212F F c e a QF QF ====-. 本题选择A 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3．B解析：B 【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF=+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===，设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则4MF ==，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则33y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为5334⎛- ⎝⎭，过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=，所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+.故选：B. 【点睛】本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.4．B解析：B 【分析】设直线l 的方程为()by x c a=--，求得点A 的坐标，由2BF AB =，可得出23FB FA =，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程，可得出a 、c 齐次等式，由此可解得该双曲线的离心率. 【详解】如下图所示：设直线l 的方程为()b y x c a=--，则直线OA 的方程为by x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bcy a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =，即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得3e =3 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.5．A解析：A 【分析】先求得双曲线C 的其中一条渐近线方程0bx ay -=，根据点)30，到双曲线C 的渐近线2223c a =，即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，双曲线C :22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，因为点()30，到双曲线C 的渐近线的距离为2，即22332bb cb a ==+，整理得2232b c =，即222332c a c -=，即223c a =，所以3==ce a，即双曲线的离心率为3. 故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及几何性质，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．6．B解析：B 【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析得115b a =，从而求得其离心率. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan 15ak AOM b =∠==，所以115b a =，所以22411515c b e a a ==+=，故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.7．C解析：C 【分析】本题首先可根据双曲线和椭圆有相同的焦点得出3m n +=，然后将11m n+转化为123m n n m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，最后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为双曲线221x y m n-=和椭圆22174x y +=有相同的焦点，所以743m n ，则()111111233m n m n m n n m n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 142233m n n m，当且仅当m n =时取等号，故11m n+的最小值为43，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与椭圆焦点的相关性质的应用，双曲线有222+=a b c ，椭圆有222a b c =+，考查利用基本不等式求最值，是中档题.8．A解析：A 【分析】由已知求得直线l 的方程，与抛物线的方程联立，设1122(,),(,),A x y B x y 得出根与系数的关系1212 4.y y y y +==-再表示三角形的面积1211||2OABOAFOFBSSSy y =+=⨯⨯-，代入计算可得选项．【详解】由2:4C y x =得(1,0)F ，所以直线l 的方程为1)y x =-，即1x =+，联立得241y xx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，化简得240.y --=，设1122(,),(,),A x y B x y则1212 4.y y y y +==-，所以12111||422OABOAFOFBSSSy y =+=⨯⨯-===，故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，将所求的目标转化到交点的坐标上去.9．B解析：B 【分析】设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，PA PB k k 求得，利用点,P A 在双曲线上，及已知定值2可求得22b a，从而可得离心率c e a =．【详解】根据题意，设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，则222222221,1m n k ta b a b-=-=，,PA PB t n t nk k k m k m-+==-+，所以2222PA PB t n t n t nk k k m k m k m-+-⋅=⋅==-+-22222222222(1)(1)t n b t n aa ab b-==+-+，所以双曲线的离心率c e a === 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的等式．解题方法是设出,,P A B 坐标，代入双曲线方程，然后把等式2PA PB k k =用坐标表示出来后，可者所要的关系式，从而求得离心率．10．D解析：D 【分析】设直线1AF 的方程，利用点2F 到直线的距离建立等式，解出斜率k ，因为0bk a<<，从而求出,a c 的不等关系，进而解出离心率的范围. 【详解】设1AF ：()y k x c =+，因为点A 在右支上，则0b k a<<，，所以222222343a b k c a a =<-，即2247c a >，解得：e >故选：D . 【点睛】本题考查双曲线求离心率，属于中档题.方法点睛：（1）利用点到直线的距离建立等量关系；（2）解出斜率k 与,a b 的关系；（3）由点在右支和左焦点的位置关系，求出斜率k 的范围；（4）利用斜率k 的范围，建立,a c 的不等式，求出离心率的范围.11．C解析：C 【分析】①根据双曲线定义可得出判断；②不妨在单位圆x 2+y 2=1中，用代入法求得P 的轨迹方程可得判断；③求出方程22520x x -+=根，利用椭圆与双曲线的离心率的范围可得出判断； ④求出双曲线和椭圆的焦点坐标可得答案；【详解】①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，当||||||PA PB k AB -==时，则动点P 的轨迹是以A 为端点的一条射线线，因此不正确； ②∵()12OP OA OB =+，∴P 为弦AB 的中点，不妨在单位圆x 2+y 2=1中，定点A （1，0），动点11(,)B x y ，设P （x ，y ），用代入法求得P 的轨迹方程是212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+y 2=14，∴点P 的轨迹为圆，错误；③解方程22520x x -+=可得两根12，2．因此12可以作为椭圆的离心率，2可以作为双曲线的离心率，因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；④由双曲线221925x y -=可得c，其焦点(，同理可得椭圆22135y x +=焦点为(0,，因此没有相同的焦点，错误；综上可知：其中真命题的序号为 ③．故选：C ．【点睛】本题综合考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力，属于中档题．12．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为1122O l d -==，圆C 面积的最小值为2455ππ⎛= ⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.二、填空题13．【分析】设再表达出的坐标再利用抛物线的弦长公式求解即可【详解】设则利用中点坐标公式知又点M 到y 轴的距离为2故即又故利用过抛物线焦点的弦长公式故答案为：8【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的解析：【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，再表达出M 的坐标，再利用抛物线的弦长公式求解即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则利用中点坐标公式知1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，又点M 到y 轴的距离为2，故1222x x +=,即124x x +=, 又28,4p p ==，故利用过抛物线焦点的弦长公式12448AB x x p =++=+=. 故答案为：8 【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的弦长公式，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式，考查学生的运算能力与转化思想，属于一般题.14．36【分析】设直线的方程为联立方程组分别求得和结合基本不等式即可求得的最小值得到答案【详解】由题抛物线的焦点准线方程为设直线的方程为联立方程组则设可得由抛物线的定义可得由可将上式中的换为可得则当且仅解析：36 【分析】设直线1l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，分别求得244AB k=+和244DE k =+，结合基本不等式，即可求得4AB DE +的最小值，得到答案. 【详解】由题，抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，设直线1l 的方程为()1y k x =-，0k ≠，联立方程组()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，则()2222420k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得12242x x k+=+，由抛物线的定义可得1224||24AB x x k=++=+，由12l l ⊥，可将上式中的k 换为1k-，可得2||44DE k =+，则221420442036AB DE k k ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2k =±，上式取得等号，则4AB DE +的最小值为36. 故答案为：36. 【点睛】与抛物线的焦点有关问题的解题策略：1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点(,)P x y 到焦点F 的距离：2PF p x =+或2PF p y =+. 15．【分析】由题意画出图形再由抛物线方程求出焦点坐标得到双曲线的焦点坐标由焦点到双曲线一条渐近线的距离列式求解离心率即可【详解】如图由抛物线方程得抛物线的焦点坐标即双曲线的右焦点坐标为双曲线的渐近线方程解析：2【分析】由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离列式，求解离心率即可．【详解】如图，由抛物线方程24y x =，得抛物线的焦点坐标(1,0)F ，即双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点坐标为(1,0)F ，双曲线的渐近线方程为by x a=±．不妨取by x a=，化为一般式：0bx ay -=． 223a b =+，即222433b a b =+，又221a b =-，联立解得：214a =，12a ∴=．则双曲线的离心率为：1212c e a === 故答案为：2．【点睛】本题考查双曲线及抛物线的几何性质，考查双曲线的离心率与渐近线，还考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．16．8【分析】设切线方程为即代入利用判别式为0求出两条切线的斜率进一步求出两个切点坐标利用两点间的距离公式可求得结果【详解】切线的斜率显然存在设切线方程为即联立消去得所以即则或设切线的斜率分别为则将代入解析：8 【分析】设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，代入24x y =，利用判别式为0，求出两条切线的斜率，进一步求出两个切点坐标，利用两点间的距离公式可求得结果. 【详解】切线的斜率显然存在，设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，联立2214y kx k x y=--⎧⎨=⎩消去y 得24840x kx k -++=，所以2(4)4(84)0k k ∆=--+=，即2210--=k k ，则12k =12k =设切线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，1122(,),(,)A x y B x y ，则11k =21k =，将11k =24840x kx k -++=得24(18(140x x -++=，即2(20x -+=，得2x =-12x =-2211(244x y -===3-(2A --，同理可得(2B ++，所以||AB =8=.故答案为：8. 【点睛】本题考查了直线与抛物线相切的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.17．【分析】由点的横坐标为1代入得出点的纵坐标继而求得的面积S 再设的内切圆的半径为由可得答案【详解】因为点的横坐标为1所以点的纵坐标为所以的面积设的内切圆的半径为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆解析：3【分析】由点P 的横坐标为1，代入得出点P 的纵坐标，继而求得12PF F △的面积S ，再设12PF F △的内切圆的半径为r ，由()(1212122S F F PF PF r r =++⨯=+，可得答案. 【详解】因为点P 的横坐标为1，所以点P 的纵坐标为P y =12PF F △的面积121322P F F y S ⋅==，设12PF F △的内切圆的半径为r ，所以()(1212122S F F PF PF r r =++⨯=+，即(322r +=，所以3r =.故答案为：3 【点睛】本题考查椭圆的方程和椭圆的定义，以及焦点三角形的相关性质，属于中档题.18．【分析】根据抛物线的定义可构造方程求得设直线的倾斜角为根据焦点弦长公式可构造方程求得进而得到的值即为结果【详解】由抛物线的定义可知：设直线的倾斜角为则即直线的斜率为故答案为：【点睛】本题考查抛物线焦解析：【分析】根据抛物线的定义可构造方程求得AB ，设直线l 的倾斜角为α，根据焦点弦长公式可构造方程求得2sin α，进而得到tan α的值即为结果. 【详解】由抛物线的定义可知：()31122AB AF BF AA BB AA BB AA BB ''''''=+=+++=++=+， 4AA BB ''∴+=，6AB ∴=.设直线l 的倾斜角为α，则246sin AB α==，22sin 3α∴=，tan α∴=即直线l 的斜率为故答案为：【点睛】本题考查抛物线焦点弦相关问题的求解，关键是熟练掌握抛物线的焦点弦长公式：1222sin p AB x x p α=++=. 19．【分析】设出的坐标求出的坐标动点在抛物线上运动点满足抛物线方程代入求解即可得到的轨迹方程【详解】解：设的坐标由题意点与点所连线段的中点可知动点在抛物线上运动所以所以所以点与点所连线段的中的轨迹方程是解析：24y x =【分析】设出M 的坐标，求出P 的坐标，动点P 在抛物线221y x =+上运动，点P 满足抛物线方程，代入求解，即可得到M 的轨迹方程．【详解】解：设M 的坐标(,)x y ，由题意点B 与点(0,1)A -所连线段的中点M ，可知(2,21)B x y +，动点B 在抛物线221y x =+上运动，所以2212(2)1y x +=+，所以24y x =．所以点B 与点(0,1)A -所连线段的中M 的轨迹方程是：24y x =．故答案为：24y x =．【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，相关点法，是常见的求轨迹方程的方法，注意中点坐标的应用，属于中档题．20．【分析】计算得到故为正三角形计算面积得到答案【详解】抛物线的焦点准线为l ：由抛物线的定义可得由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得即有为正三角形由F 到l 的距离为则的面积是故答案为：【点睛】本题解析：43【分析】计算得到AF AK =，FK AF =，故AKF ∆为正三角形，4AK =，计算面积得到答案. 【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线为l ：1x =-，由抛物线的定义可得AF AK =，由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得FK AF =，即有AKF ∆为正三角形，由F 到l 的距离为2d =，则4AK =，AKF ∆的面积是316434⨯=. 故答案为：43.【点睛】本题考查了抛物线中的面积问题，确定AKF ∆为正三角形是解题的关键.三、解答题21．（1）22y x =；（2）过定点，定点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】(1)根据抛物线的定义可知3122p MF =+=,求出p 后可得抛物线方程. (2) 设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由条件可得0AF BF k k +=，化简即得()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入可得2k m =，从而得出答案. 【详解】（1）根据抛物线的定义，31122p MF p =+=⇒=，抛物线的方程为22y x =，（2）设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与抛物线的方程联立得()22222202y kx mk x km x m y x=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 12222km x x k -+=，2122m x x k=,则122y y k +=，122m y y k =，又0AF BF k k +=，即121201122y y x x --+=--， ()122112102x y x y y y +-+=，()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，即22222120m km k m k k k-⋅+⋅-=，整理得：2k m =，所以直线的方程为()21y m x =+，即直线经过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，解答本题的关键是由0AF BF k k +=，得到()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，然后由方程联立韦达定理代入，属于中档题.22．（1）22142x y +=；（2）(OMN S ∈△. 【分析】（1）由点()1,1B -在O 上可得22b =，然后由OB AB ⊥可求出a ；（2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时利用弦长公式表示出MN 并求出其范围即可. 【详解】（1）由直线AB 与O 相切于点()1,1B -，可知点()1,1B -在O 上，则22b =，又点(),0A a -，且OB AB ⊥，则10101101a--⨯=----+，解得2a =，故所求椭圆方程为22142x y +=．（2）若切线斜率存在，设切线为0kx y m -+=，其中0k ≠，切线l 与椭圆C 交点()11,M x y ，()22,N x y ，则圆心到直线l的距离d ==()2221m k ∴=+，联立方程220142kx y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()222214240k x kmx m +++-=，则122421km x x k -+=+，21222421-=+m x x k()0,2MN ====，当切线斜率不存在时，此时2MN =，故O 的切线l 与椭圆C 相交弦长取值范围为(]0,2，又12OMN S d MN=⋅⋅=△，可得(OMN S ∈△．【点睛】关键点睛：在解决圆锥曲线中的面积问题时，要善于观察图形的特点，怎么表示出面积是解题的关键.23．（1）22143x y +=；（2）12y x =-或12y x =-- 【分析】（1）根据题设条件列方程解得,a b 可得椭圆方程；（2）利用几何方法求出弦长||CD ，利用弦长公式求出弦长||AB ，再根据||||AB CD =可求出m ，代入直线l ：y ＝－12x ＋m ，可求得结果.【详解】（1）由题设知22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得a＝2，b c ＝1，∴椭圆的方程为22143x y +=. （2）由（1）知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l ：220x y m +-=的距离d =，由d ＜1，得||m <||CD ∴=== 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由221,21,43y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并整理得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.||AB =∴==由||||AB CD =1，解得m =，满足(*). ∴直线l的方程为12y x =-+或12y x =-. 【点睛】关键点点睛：掌握几何方法求弦长和弦长公式求弦长是解题关键.24．（1）24y x =；（2）8.【分析】（1）由题意得焦点()1,0F ，则12p =，即可得出结果；（2）利用直线的倾斜角求得斜率，由点斜式得到直线AB 的方程，和抛物线方程联立后利用根与系数的关系得到126x x +=，代入抛物线的弦长公式即可得解.【详解】（1）因为抛物线()220y px p =>的焦点F 恰是椭圆2212x y +=的一个焦点，所以焦点()1,0F ，则122p p =⇒=，则抛物线的方程为：24y x =；（2）因为45AFx ∠=，所以直线AB 的斜率为tan 451︒=，又抛物线的焦点为()1,0F ，则直线AB 的方程为：011y x y x -=-⇒=-，由214y x y x =-⎧⎨=⎩，得2610x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则126x x +=，所以128AB x x p =++=.【点睛】关键点睛：直线与抛物线方程联立，化为关于x 的方程后利用一元二次方程根与系数的关系解决本题是解题的关键.25．（1）2214y x -=；（2）( 【分析】（1）取双曲线的一条渐近线：y bx =，与抛物线方程联立即可得到交点A 的坐标，再利用点A 到抛物线的准线的距离为p ，即可得到p ，b 满足的关系式，进而可得答案．（2）根据直线:1l y kx =-与双曲线的右支交于两点，利用韦达定理、判别式列不等式组求解即可.【详解】（1）取双曲线的一条渐近线y bx =，联立22y px y bx ⎧=⎨=⎩解得222p x b py b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故222(,)p p A b b ．点A 到抛物线的准线的距离为p ， ∴222p p p b+=，可得24b = 双曲线222:14y C x -=；（2）联立22114y kx y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()224250k x kx -+-= 因为直线:1l y kx =-与双曲线的右支交于两点，所以()22222045{0442040k k k k k ->-->-∆=+->，解得2k <<所以，k的取值范围(.【点睛】求双曲线标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出双曲线的标准方程．解决直线与双曲线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程或不等式，解决相关问题．26．（1）24y x =；（2）2.【分析】（1）根据抛物线的准线求出p ，即可得出抛物线方程；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，与抛物线联立可得24480ky y k -+-=，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解MF NF ⋅的值．【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-，所以12p =，则2p =，因此抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，由()2412y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩得24480ky y k -+-=，则124y y k+=，1284y y k =-. 因为点A ，B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =，则1121112241214PA y y k y x y --===-+-，2222412PB y k x y -==-+. 因为PF x ⊥轴，所以()()122244PA PB PA PB y y PFPF MF NF k k k k ++⋅=⋅==⋅ ()1212884424244y y y y k k -+++++===，所以MF NF ⋅的值为2.【点睛】思路点睛：求解抛物线中的定值问题时，一般需要联立直线与抛物线方程，结合题中条件，以及韦达定理来求解；求解时，一般用韦达定理设而不求来处理.。

福建省龙岩高二下学期期末数学试卷

福建省龙岩高二下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题；共12分)1. （1分）(2017·绵阳模拟) 已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，过点P（﹣1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M，N两点，若 + =18，则k=________．2. （1分） (2016高二上·重庆期中) 若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，则a=________．3. （1分） (2018高三上·辽宁期末) 直线与双曲线的左支、右支分别交于两点，为右顶点，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为________．4. （1分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 若复数 ,则=________5. （1分） (2017高三上·珠海期末) 若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是________．6. （1分） (2015高二下·徐州期中) 已知复数z满足|z﹣3﹣4i|=2，则|z|的最大值为________．7. （1分）若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是________8. （1分）(2017·红河模拟) 已知圆O：x2+y2=9，点A（2，0），点P为动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O，则动点P的轨迹方程是________．9. （1分）若复数Z=﹣1+5i，则|Z|=________10. （1分） (2018高三上·龙泉驿月考) 、分别为双曲线左、右支上的点，设是平行于轴的单位向量，则的最小值为________．11. （1分） (2017高二上·莆田期末) 双曲线的渐近线方程为________12. （1分） (2016高一下·厦门期中) 过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为，则直线l方程为________．二、选择题 (共4题；共8分)13. （2分） (2018高一上·广东期末) 直线的倾斜角是（）A .B .C .D .14. （2分） (2016高二下·漯河期末) 设a，b∈R，则“a＞b＞1”是“a﹣b＜a2﹣b2”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件15. （2分）关于复数Z= 的四个命题：p1：|Z|=2p2：Z2=2ip3：Z的共轭复数为1+ip4：Z的虚部为﹣1．其中的真命题为（）A . p2 ， p3B . p1 ， p2C . p2 ， p4D . p3 ， p416. （2分）若双曲线的渐近线与抛物线的准线所围成的三角形面积为2,则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .三、解答题 (共5题；共35分)17. （10分）已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.（1）若这两条直线垂直，求k的值；（2）若这两条直线平行，求k的值．18. （5分）已知为复数，为纯虚数，，且,求复数 .19. （10分）(2016·花垣模拟) 已知⊙O的方程为x2+y2=10．（1）求直线：x=1被⊙O截的弦AB的长；（2）求过点（﹣3，1）且与⊙O相切的直线方程．20. （5分）已知椭圆C：（a＞0，b＞0）的短轴长为2，且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2的直线与椭圆相交于P、Q两点，求△F1PQ面积的最小值．21. （5分）已知△ABC的边AB在直角坐标平面的x轴上，AB的中点为坐标原点，若 = ，= ，又E点在BC边上，且满足3 =2 ，以A、B为焦点的双曲线经过C、E两点．（I）求| |及此双曲线的方程；（II）若圆心为T（x0 ， 0）的圆与双曲线右支在第一象限交于不同两点M，N，求T点横坐标x0取值范围．参考答案一、填空题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、答案：略10-1、11-1、12-1、二、选择题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共35分) 17-1、答案：略17-2、18-1、19-1、19-2、答案：略20-1、21-1、答案：略。