二次函数综合大题压轴题Word版
二次函数单元综合测试(Word版 含答案)
二次函数单元综合测试（Word版含答案）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）（1）求该二次函数所对应的函数解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为24；（3）M点坐标为可以为（2，3），（552+，3），（552-，3）．【解析】【分析】（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．【详解】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c），∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．又∵点D（4，3）在二次函数上，∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，∴解得：a＝1．∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．（2）如图1所示．因点P 在二次函数图象上，设P （p ，p 2﹣4p+3）．∵y ＝x 2﹣4x+3与y 轴相交于点C ，∴点C 的坐标为（0，3）．又∵点B 的坐标为B （3，0），∴OB ＝OC∴△COB 为等腰直角三角形．又∵PF//y 轴，PE//x 轴，∴△PEF 为等腰直角三角形．∴EF 2PF ．设一次函数的l BC 的表达式为y ＝kx+b ，又∵B （3，0）和C （0，3）在直线BC 上，303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+3．∴y F ＝﹣p+3．FP ＝﹣p+3﹣（p 2﹣4p+3）＝﹣p 2+3p ．∴EF 2p 22．∴线段EF 的最大值为，EF max 42-24． （3）①如图2所示：若∠CNB ＝90°时，点N 在抛物线上，作MN//y 轴，l//x 轴交y 轴于点E ，BF ⊥l 交l 于点F ．设点N 的坐标为（m ，m 2﹣4m+3），则点M 的坐标为（m ，3），∵C 、D 两点的坐标为（0，3）和（4，3），∴CD ∥x 轴．又∵∠CNE ＝∠NBF ，∠CEN ＝∠NFB ＝90°，∴△CNE ∽△NBF ．∴CE NE ＝NF BF， 又∵CE ＝﹣m 2+4m ，NE ＝m ；NF ＝3﹣m ，BF ＝﹣m 2+4m ﹣3，∴24m m m-+＝2343m m m --+-， 化简得：m 2﹣5m+5＝0．解得：m 1＝552+，m 2＝552-． ∴M 点坐标为（55+，3）或（55-，3） ②如图3所示：当∠CBN ＝90°时，过B 作BG ⊥CD ，∵∠NBF ＝∠CBG ，∠NFB ＝∠BGC ＝90°，∴△BFN ∽△CGB ．∵△BFN 为等腰直角三角形，∴BF ＝FN ，∴0﹣（m 2﹣4m+3）＝3﹣m ．∴化简得，m 2﹣5m+6＝0．解得，m ＝2或m ＝3（舍去）∴M 点坐标为，（2，3）． 综上所述，满足题意的M 点坐标为可以为（2，3），（552+，3），（552-，3）． 【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系．2．在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的面积是AMC 面积的14时，请直接写出线段AM 的长． 【答案】（1）22y x x =-++；（2）存在，（23，209）或（103，529-）；（3）5或 【解析】【分析】（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解．【详解】解：（1）∵抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），则44220422a b a b -=-+⎧⎨=++⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为22y x x =-++；（2）存在，理由是：在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，在22y x x =-++中，令y=0，解得：x=2或-1，∴点B 坐标为（-1，0），∴点E 坐标为（1，0），可知：点B 和点E 关于y 轴对称，∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ，∵D （0，2），∴=，在△BDE 中，有12×BE ×OD=12×BD ×EF ，即2×EF ，解得：，∴，∴tan ∠BDE=EF DF =55÷=43， 若∠PBC=2∠BDO ，则∠PBC=∠BDE ，∵BE=2，则BD 2+DE 2＞BE 2，∴∠BDE 为锐角，当点P 在第三象限时，∠PBC 为钝角，不符合；当点P 在x 轴上方时，∵∠PBC=∠BDE ，设点P 坐标为（c ，22c c -++），过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ，则BG=c+1，PG=22c c -++，∴tan ∠PBC=PG BG =221c c c -+++=43， 解得：c=23， ∴22c c -++=209， ∴点P 的坐标为（23，209）；当点P 在第四象限时，同理可得：PG=22c c --，BG=c+1，tan ∠PBC=PG BG =221c c c --+=43， 解得：c=103， ∴22c c -++=529-， ∴点P 的坐标为（103，529-）， 综上：点P 的坐标为（23，209）或（103，529-）；（3）设EF 与AD 交于点N ，∵A （-2，-4），D （0，2），设直线AD 表达式为y=mx+n ，则422m n n -=-+⎧⎨=⎩，解得：32m n =⎧⎨=⎩， ∴直线AD 表达式为y=3x+2，设点M 的坐标为（s ，3s+2），∵A （-2，-4），C （2，0），设直线AC 表达式为y=m 1x+n 1，则11114202m n m n -=-+⎧⎨=+⎩，解得：1112m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 表达式为y=x-2，令x=0，则y=-2，∴点E 坐标为（0，-2），可得：点E 是线段AC 中点，∴△AME 和△CME 的面积相等，由于折叠，∴△CME ≌△FME ，即S △CME =S △FME ，由题意可得：当点F 在直线AC 上方时，∴S △MNE =14S △AMC =12S △AME =12S △FME ， 即S △MNE = S △ANE = S △MNF ，∴MN=AN ，FN=NE ，∴四边形FMEA 为平行四边形， ∴CM=FM=AE=12AC=221442+22 ∵M （s ，3s+2）， ()()2223222s s -++=解得：s=45-或0（舍），∴M （45-，25-）， ∴AM=22422455⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=6105，当点F 在直线AC 下方时，如图，同理可得：四边形AFEM 为平行四边形，∴AM=EF ，由于折叠可得：CE=EF ，∴AM=EF=CE=22，综上：AM 的长度为105或22 【点睛】 本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．3．如图，抛物线()250y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点C ，经过B C 、两点的直线为y x n =+．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，PBE △的面积最大并求出最大值． （3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B C 、重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【答案】（1）265y x x =-+- （2）2t =；2（3）5412或4或5412【解析】【分析】（1）先确定A 、B 、C 三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；（2）先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形，再求出点P 到BC 的高d 为()24542d BP sin t =⋅︒=-，则12PBE S BE d =⨯⨯)()122244222t t t =⨯⨯-=-，再根据二次函数的性质即可确定最大值； （3）先求出2454222AM AB sin =⋅︒=⨯=N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则，再说明四边形AMNQ 是平行四边形，得到22NQ AM ==；再过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角形，求得22884NH NQ HQ =+=+=；设()2,65N m m m -+-，则(),0G m ， (),5H m m -，最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况解答即可．【详解】解：()1因为直线y x n =+经过B C 、两点，且点B 在x 轴上，点C 在y 轴上， ∵()(),,00,B n C n -∴抛物线25y ax bx =+-经过点1,0A ，点(),0B n -，点()0,C n ，∴250505a b an bn n +-=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩，解得51,6n a b =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为265y x x =-+-．()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形，∴45,ABC ∠=由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤点P 到BE的距离()4542d BP sin t =⋅︒=- 所以12PBE S BE d =⨯⨯)()1244222t t t t =⨯⨯-=-； ∵二次函数()()42f t t =-的函数图象开口向下，零点为0和4, ∴0422t +==时， ∴()()()22422maxf t f ==⨯⨯-=即2t =时，PBE △的面积最大，且最大值为()3由题意得454AM AB sin =⋅︒== 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥ ∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，∴NQ AM ==过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H∵:5BC l y x =-，∴NQH 为等腰直角三角形，∴22884,NH NQ HQ =+=+=设()2,65N m m m -+-， 则(),0G m ，(),5H m m -，①点N 在x 轴上方时，此时()()2655,NH m m m =-+---∴()()26554m m m -+---=，即()()140,m m --=解得1m =（舍，因为此时点N 与点A 重合）或4m =；②点N 在x 轴下方且5m >时，此时()()2565,NH m m m =---+- ∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --=解得54152m -=<（舍）或5412m +=③点N 在x 轴下方且1m <时，此时()()2565,NH m m m =---+- ∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --=解得5412m -=或5412m +=（舍）综上所述，5414,2m m +==，5412m -=符合题意， 即若点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形， 点N 的横坐标为541-或4或541+．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的判定与性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键4．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 20x +（b+1）x 0+b ﹣2＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点． （1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣4≤b ＜0． 【解析】 【分析】（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，从而可以求得b 的取值范围． 【详解】解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时， 函数y ＝2x 2﹣x ﹣4， 令x ＝2x 2﹣x ﹣4， 化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2； （2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2， 整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0， 故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0， 解得，0＜a ＜2，即a 的取值范围是0＜a ＜2； （3）由题意可得， 点A 和点B 在直线y ＝x 上， 设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣b a， ∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122x x+）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a-）， ∵直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，∴点（2b a -，2ba -）在直线y ＝﹣x+2121a +上， ∴2ba -＝21221b a a ++∴﹣b ＝221a a ≤+4，（当a ＝2时取等号）∴0＜﹣b∴﹣4≤b ＜0，即b 的取值范围是﹣4≤b ＜0． 【点睛】本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线22y ax bx =+-上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线PD ，直线PD交直线AC 于点D ．①是否存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．②点Q 是坐标平面内的任意一点，若以O ，C ，Q ，D 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q 的坐标． 【答案】(1)213222y x x =+- (2)①存在，点P 的坐标为(22,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--②1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525Q ⎝⎭，44525Q ⎛ ⎝⎭【解析】 【分析】(1)将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中求解即可； (2)①先求出△PAC 的面积为4，再求出直线AC 的解析式为122y x =--．设点P 的横坐标为(t ,213222t t +-)，利用21442∆∆∆=-=⋅=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解； ②先设出D 点坐标，然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解． 【详解】解：(1)由题意得,将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中：1642020a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴此抛物线的解析式为213222y x x =+-， 故答案为213222y x x =+-． (2)①存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45．理由如下： 作出如下所示示意图：∵点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴4OA =，5AB =， 令0x =，则2y =-， ∴(0,2)C -，∴2OC =， ∴1152522ABC S AB OC ∆=⋅=⨯⨯=， ∴445545PAC ABC S S ∆∆==⨯=， 设直线AC 的解析式为y mx n =+，则有402m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得：122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =--．设点P 的横坐标为t ，则其纵坐标为213222t t +-， 即213,222P t t t ⎫⎛+- ⎪⎝⎭． ∵PD x ⊥轴，则点D 的坐标为1,22t t ⎫⎛-- ⎪⎝⎭． ∴2213112222222PD t t t t t ⎫⎛=+----=+ ⎪⎝⎭． ∵22111424222PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ∆∆∆=-=⋅=⨯⨯+=+． ∴244t t +=，即2440t t +-=或2440t t ++=， 解得：1222t =-+，2222t =--，32t =-．∴点P 的坐标为(222,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--， 故答案为：(222,12)-+-或(222,12)--+或(2,3)--． ②分类讨论：情况一：当OC 为菱形的对角线时，此时DO=DC ，即D 点在线段OC 的垂直平分线， ∴D 点坐标(-2,-1)，将△OCD 沿y 轴翻折，此时四边形ODCQ 为菱形，故此时Q 点坐标为(2,-1)，如下图一所示，情况二：当OQ 为对角线时，DO=DQ ，如下图二所示，DQ=OC=OD=2，设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭x x ，则EO=-x ，DE=122x +，在Rt △EDO 中，由勾股定理可知：EO²+ED²=DO²， 故221(2)42++=x x ，解得80(),5舍==-x x ，此时Q 点坐标为816,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，情况三：当OD 为对角线时，OC=OQ=2，如下图三所示：设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭m m ，则EO=|m|，DE=122m +，QE=2-(122m +)=12m ， 在Rt △QDO 中，由勾股定理可知：QE²+EO²=QO²， 故221()()42+=m m ，解得124545,==-m m ，此时Q 点坐标为4525,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或4525,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 综上所述，Q 点的坐标为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525,55Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭．故答案为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积问题，菱形的存在性问题等，属于综合题，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．6．如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”（1）当1n =时．①求线段AB 所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围．【答案】（1）①1944y x =-+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当92x =时，k 有最大值8116；当1x =时，k 有最小值2；（2）109n ≥；【解析】 【分析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式； ②由①得直线AB 为1944y x =-+，则21944k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+，设点P 为（x ，kx），则得到221044n n k x x --=-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52ba -≥，即可求出n 的取值范围． 【详解】解：（1）当1n =时，点B 为（5，1）， ①设直线AB 为y ax b =+，则251a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1944y x =-+； ②不完全同意小明的说法；理由如下： 由①得1944y x =-+， 设点P 为（x ，kx），由点P 在线段AB 上则 1944k x x =-+， ∴22191981()444216k x x x =-+=--+； ∵104-<，∴当92x =时，k 有最大值8116； 当1x =时，k 有最小值2；∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在92x =的位置时k 值最大． （2）∵()1,2A 、()5,B n ， 设直线AB 为y ax b =+，则25a b a b n +=⎧⎨+=⎩，解得：24104n a n b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴21044n ny x --=+， 设点P 为（x ，kx），由点P 在线段AB 上则 221044n n k x x --=-， 当204n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意； 当n≠2时，则对称轴为：101042242n n x n n --==--；∵点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．即k 在15x ≤≤中，k 随x 的增大而增大； 当204n ->时，有 ∴20410124n n n -⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪-⎩，解得：26n n >⎧⎨≥-⎩，∴不等式组的解集为：2n >； 当204n -<时，有∴2410524nnn-⎧<⎪⎪⎨-⎪≥⎪-⎩，解得：1029n≤<，∴综合上述，n的取值范围为：109n≥．【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．7．定义：函数l与l'的图象关于y轴对称，点(),0P t是x轴上一点，将函数l'的图象位于直线x t=左侧的部分，以x轴为对称轴翻折，得到新的函数w的图象，我们称函数w是函数l的对称折函数，函数w的图象记作1F，函数l的图象位于直线x t=上以及右侧的部分记作2F，图象1F和2F合起来记作图象F．例如：如图，函数l的解析式为1y x=+，当1t=时，它的对称折函数w的解析式为()11y x x=-<．（1）函数l的解析式为21y x=-，当2t=-时，它的对称折函数w的解析式为_______；（2）函数l的解析式为1²12y x x=--，当42x-≤≤且0t=时，求图象F上点的纵坐标的最大值和最小值；（3）函数l的解析式为()2230y ax ax a a=--≠．若1a=，直线1y t=-与图象F有两个公共点，求t的取值范围．【答案】（1）()212y x x=+<-；（2）F的解析式为2211(0)211(0)2y x x xy x x x⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩；图象F上的点的纵坐标的最大值为32y=，最小值为3y=-；（3）当3t=-，312t<≤，352t+<<时，直线1y t=-与图象F有两个公共点．【解析】【分析】（1）根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可；（2）先根据题意确定F的解析式，然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可；（3）先求出当a=1时图像F的解析式，然后分14t-=-、点(),1t t-落在223()y x x x t=--≥上和点(),1t t-落在()223y x x x t=--+<上三种情况解答，最后根据图像即可解答．【详解】解：（1）()212y x x=+<-（2）F的解析式为2211(0)211(0)2y x x xy x x x⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩当4x=-时，3y=-，当1x=-时，32y=，当1x=时，32y=-，当2x=时，1y=，∴图象F上的点的纵坐标的最大值为32y=，最小值为3y=-.（3）当1a=时，图象F的解析式为2223()23()y x x x ty x x x t⎧=--≥⎨=--+<⎩∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4；a：当14t-=-时，3t=-，∴当3t=-时直线1y t=-与图象F有两个公共点；b：当点(),1t t-落在223()y x x x t=--≥上时，2123t t t-=--，解得1t=232t=c：当点(),1t t-落在()223y x x x t=--+<上时，2123t t t-=--+，解得34t=-（舍），41t=14t-=，∴55t=∴当31712t -<≤或31752t +<<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点； 综上所述：当3t =-，3171t -<≤，3175t +<<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点.【点睛】 本题属于二次函数综合题，考查了“称折函数”的定义、二次函数的性质、解二元一次方程等知识，弄清题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 ．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解； （2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可； （3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解．【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式并解得：14a =-， 故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①， 则点C （0，32）；（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=，①∠MAN=∠ABD 时，（Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-， 则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32）， AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）； （Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32）， 故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时，（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时， ∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）； （Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BDAM AN ==， 解得：AN=94， 故点N （14-，0）、M （-1，32）； 故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； （3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35， 则直线AD 的表达式为：y=3342x -， 设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -）， 则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<， 故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．9．如图，直线3y x 与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，经过A ，C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标；（2）点P 是射线BD 上一点，问是否存在以点P ，A ，B 为顶点的三角形，与ABC 相似，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）243y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或(4,3)-- 【解析】【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可．【详解】解：（1）令y=0，则x+3=0，解得x=-3，令x=0，则y=3，∴点A （-3，0），C （0，3），∴OA=OC=3，∵tan ∠CBO=3OC OB=， ∴OB=1，∴点B （-1，0），把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得， 93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴该抛物线的解析式为：243y x x =++，∵y=x 2+4x+3=（x+2）2-1，∴顶点(2,1)D --；（2）∵A （-3，0），B （-1，0），∴AB=-1-（-3）=2，∵OA=OC，∠AOC=90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴AC=2OA=32，∠BAC=45°，∵B（-1，0），D（-2，-1），∴∠ABD=45°，①AB和BP是对应边时，△ABC∽△BPA，∴AB ACBP BA=，即2322BP=，解得BP=223，过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=23×22=23，∴OE=1+23=53，∴点P的坐标为（-53，-23）；②AB和BA是对应边时，△ABC∽△BAP，∴AB ACBA BP=，即2322=，解得BP=32过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=32×22=3， ∴OE=1+3=4， ∴点P 的坐标为（-4，-3）；综合上述，当52,33P ⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)--时，以点P ，A ，B 为顶点的三角形与ABC ∆相似；【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．10．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）224233y x x =--+；（2）存在，点P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，使△PAC 的面积最大；（3）存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．【解析】【分析】（1）直接把点A （﹣3，0），B （1，0）代入二次函数y ＝ax 2+bx+2求出a 、b 的值即可得出抛物线的解析式；（2）设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2，连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．根据三角形的面积公式得出△PAC 的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；（3）以BC 为边，在线段BC 两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ，根据全等三角形的判定定理得出△Q 1CD ≌△CBO ，△CBO ≌△BQ 2E ，故可得出各点坐标．【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+2过点A （﹣3，0），B （1，0），∴093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得 ∴二次函数的关系解析式为y ＝﹣23x 2﹣43x+2； （2）存在．∵如图1所示，设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2． 连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．则PM ＝﹣23m 2﹣43m+2．，PN ＝﹣m ，AO ＝3． ∵当x ＝0时，y ＝﹣23×0﹣43×0+2＝2， ∴OC ＝2，∴S △PAC ＝S △PAO +S △PCO ﹣S △ACO ＝12AO•PM+12CO•PN ﹣12AO•CO ＝12×3×（﹣23m 2﹣43m+2）+12×2×（﹣m ）﹣12×3×2 ＝﹣m 2﹣3m∵a ＝﹣1＜0∴函数S △PAC ＝﹣m 2﹣3m 有最大值∴当m ＝﹣2b a ＝﹣32时，S △PAC 有最大值． ∴n ＝﹣23m 2﹣43m+2＝﹣23×（﹣32）2﹣43×（﹣32）+2＝52， ∴存在点P （﹣32，52），使△PAC 的面积最大．（3）如图2所示，以BC 为边在两侧作正方形BCQ 1Q 2、正方形BCQ 4Q 3，则点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4为符合题意要求的点．过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ， ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，在△Q 1CD 与△CBO 中，∵11324Q C BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△Q 1CD ≌△CBO ，∴Q 1D ＝OC ＝2，CD ＝OB ＝1，∴OD ＝OC+CD ＝3，∴Q 1（2，3）；同理可得Q 4（﹣2，1）；同理可证△CBO ≌△BQ 2E ，∴BE ＝OC ＝2，Q 2E ＝OB ＝1，∴OE ＝OB+BE ＝1+2＝3，∴Q 2（3，1），同理，Q 3（﹣1，﹣1），∴存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．。
九年级数学中考压轴题 二次函数综合题(附答案)
B铅垂高水平宽haA专题五中考压轴试题——二次函数综合训练一 .二次函数求最值问题（一）求线段最值1.平行于x轴的线段最值问题首先用自变量（如m）表示出线段两个端点的坐标，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标（大横-小横），得到一个线段长关于自变量的二次函数，将其化为顶点式，根据m的正负及其取值范围判断最值.2.平行于y轴的线段最值问题首先用自变量（如m）表示出线段两个端点的坐标，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标（大纵-小纵），得到一个线段长关于自变量的二次函数，将其化为顶点式，并根据m的正负及其取值范围判断最值.3.既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题将斜线段用竖直线段（或水平线段）表示（一般用到相似或三角函数知识，如补充1和补充2）（二）求周长最值建立周长与动点的横坐标之间的二次函数关系式，利用二次函数的性质求其最值.（三）求面积最值问题1.规则图形面积最值（规则图形指三角形有一边平行于坐标轴，四边形有一组对边平行于坐标轴）首先用自变量（如m）表示出所需的边长及高，利用面积公式表示出面积，得到一个面积关于自变量的二次函数，将其化为顶点式，并根据m的正负及其取值范围判断最值.2.不规则图形面积最值法一：分割；法二：铅直高度与水平高度积的一半（针对三角形而言）.二.存在性问题问题或AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）21.等腰三角形（分类讨论用距离公式）2.直角三角形（分类讨论用距离公式）3.相似三角形（分类讨论列比例）4.平行四边形（分“两定两动”和“三定一动”两种情况，用全等三角形知识）三.补充知识1.二次函数存在性问题中，往往会用到两点间的距离公式，在使用该公式时，如果出现平方的平方（即4次方），一般改设动点的坐标为（x，y），即设两个变量x和y，根据满足的条件（比如直角三角形、等腰三角形）先得到y 与x函数关系式，再联立已知的二次函数关系式，解方程组即可（如补充3）。
2．解二次函数问题，要关注数形结合，当用代数法所列式子比较复杂或思路受阻，可观察图形中是不是有特殊的图形（如等腰三角形、含有特殊角的直角三角形、等腰直角三角形），可以利用相似等几何知识进行求解；当几何图形复杂，难以画出符合条件的图形，可以直接列式子用代数法求解.一最值问题 (面积最值)1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．一最值问题（线段最值）4．如图：已知抛物线265y x x=-+与x轴交于A、B两点，（A在B的左边），与y轴交于点C，若M是抛物线在x轴下方图像上一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于N，求线段MN的最大值。
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yBE AFNx关于二次函数的压轴题一、抛物线关于三角形面积问题例题 二次函数 y = (x + m )2 + k 的图象，其顶点坐标为 M(1， -4 ).（1） 求出图象与 x 轴的交点 A ，B 的坐标；（2） 在二次函数的图象上是否存在点 P ，使S请说明理由；∆PAB= 5 S4∆MAB ,若存在，求出 P 点的坐标；若不存在， （3） 将二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线 y = x + b (b < 1) 与此图象有两个公共点时， b 的取值范围.练习： 1.如图．平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（－2，2），点 B 的坐标为（6，6），抛物线经过 A 、O 、B 三点，线段 AB 交 y 轴与点 E ．（1） 求点 E 的坐标； （2） 求抛物线的函数解析式；（3） 点 F 为线段 OB 上的一个动点（不与 O 、B 重合），直线 EF 与抛物线交与 M 、N 两点（点N 在 y 轴右侧），连结 ON 、BN ，当点 F 在线段 OB 上运动时，求∆ BON 的面积的最大值，并求出此时点 N 的坐标；xAOEQ P F y B2. 如图，已知抛物线 y = - 1x 2 + x + 4 交 x 轴的正半轴于点 A ，交 y 轴于点 B ．2（1） 求 A 、B 两点的坐标，并求直线 AB 的解析式；（2） 设 P (x , y ) （ x > 0 ）是直线 y = x 上的一点，Q 是 OP 的中点（O 是原点），以 PQ 为对角线作正方形 PEQF ．若正方形 PEQF 与直线 AB 有公共点，求 x 的取值范围；（3） 在（2）的条件下，记正方形 PEQF 与△OAB 公共部分的面积为 S ，求 S 关于 x 的函数解析式，并探究 S 的最大值．二、抛物线中线段长度最小问题例题如图，对称轴为直线 x ＝－1 的抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与 x 轴相交于 A 、B 两点，其中点 A 的坐标为（－3，0）．（1） 求点 B 的坐标；（2） 已知 a =1，C 为抛物线与 y 轴的交点．①若点 P 在抛物线上，且 S △POC ＝4S △BOC ，求点 P 的坐标；②设点 Q 是线段 AC 上的动点，作 QD ⊥x 轴，QD 交抛物线于点 D ，求线段 QD 长度的最大值．yBCN MAODEx练习：1. 如图， Rt △ABO 的两直角边 OA 、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐标原点， A 、B 两点的坐标分别为（ -3 ，0）、（0，4），抛物线 y = 2x 2 + bx + c 经过 B 点，且顶点在直线3 x =5 上．2（1） 求抛物线对应的函数关系式；（2） 若△DCE 是由△ABO 沿 x 轴向右平移得到的，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3） 若 M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 M 作 MN 平行于 y 轴交 CD 于点N ．设点 M 的横坐标为 t ，MN 的长度为 l ．求 l 与 t 之间的函数关系式，并求 l 取最大值时，点 M 的坐标．三、抛物线与线段和最小的问题例题 如图，已知抛物线 y = 1(x - 2)(x + a )(a > 0)与 x 轴交于点 B 、C ，与 y 轴交于点 E ，且点 Ba在点 C 的左侧．（1） 若抛物线过点 M （﹣2，﹣2），求实数 a 的值； （2） 在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点 H ，使 CH+EH 的值最小，直接写出点 H 的坐标．练习：1.如图，已知二次函数y =ax2- 4x +c 的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP 的周长最小．请求出点P 的坐标．2.如图，抛物线y = ax2 + bx + 4 与x 轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y 轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H，使△CDH 的周长最小，并求出H 的坐标；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．四、抛物线与等腰三角形例题：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；(3)在直线l 上是否存在点M，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习：1..如图，抛物线与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交C 点，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为1（0，3）它的对称轴是直线x =-2（1）求抛物线的解析式；（2）M 是线段AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求M 点的坐标．2.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m，m），点B 的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB 交y 轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0 的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O、B 重合），直线PC 与抛物线交于D、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．3.如图1，在直角坐标系中，已知△AOC 的两个顶点坐标分别为A（2，0），C（0，2）．（1）请你以AC 的中点为对称中心，画出△AOC 的中心对称图形△ABC，此图与原图组成的四边形OABC 的形状是，请说明理由；（2）如图2，已知D（ 1，0），过A，C，D 的抛物线与（1）所得的四边形OABC 的边BC 交2于点E，求抛物线的解析式及点 E 的坐标；（3）在问题（2）的图形中，一动点P 由抛物线上的点A 开始，沿四边形OABC 的边从A﹣B ﹣C 向终点C 运动，连接OP 交AC 于N，若P 运动所经过的路程为x，试问：当x 为何值时，△AON 为等腰三角形（只写出判断的条件与对应的结果）？4.如图，已知抛物线于x 轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC 是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由：（3）若点M 是抛物线上一点，以B、C、D、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。
(完整版)二次函数压轴题(带详细答案)(可编辑修改word版)
二次函数压轴题强化训练（带详细答案）一．解答题（共30 小题）1．（2016•深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA 对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C．（1）直接写出点C 的坐标，并求过A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC 上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T，Q 为线段BT 上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2 与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P 是线段AB 上异于A、B 的动点，过点P 作PC⊥x 轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．3．（2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m 与该二次函数的图象交于A、B 两点，其中A 点的坐标为（3，4），B 点在y 轴上．（1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE 的长为h，点P 的横坐标为x，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2013•凉ft州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x 轴于A、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C（0，4），以OC、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 在边OA（不包括O、A 两点）上平行移动，分别交x 轴于点E，交CD 于点F，交AC 于点M，交抛物线于点P，若点M 的横坐标为m，请用含m 的代数式表示PM 的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F 为顶点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出此时m 的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由．5．（2009•綦江县）如图，已知抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O 作射线OM∥AD．过顶点平行于x 轴的直线交射线OM 于点C，B 在x 轴正半轴上，连接BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1 个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为t（s）．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？（3）若OC=OB，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1 个长度单位和2 个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．6．（2013•天水）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m 的值及点D 的坐标；（3）如图2，若点N 在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P 坐标（点P、O、D 分别与点N、O、B 对应）．7．（2014•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3 与y 轴交于点C，与x 轴交于点D．点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x 轴于点F，交直线CD 于点E．设点P 的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m 的值；（3）若点E′是点E 关于直线PC 的对称点，是否存在点P，使点E′落在y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2013•德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O 为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E，连接PE，交CD 于F，求出当△CEF 与△COD 相似时，点P 的坐标；②是否存在一点P，使△PCD 的面积最大？若存在，求出△PCD 的面积的最大值；若不存在，请说明理由．9．（2013•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 与直线y=x+2 交于C、D 两点，其中点C 在y轴上，点D 的坐标为（3，）．点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE⊥x 轴于点E，交CD 于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 的横坐标为m，当m 为何值时，以O、C、P、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P 的坐标．10．（2013•重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c 的图象与x 轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y 轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC 与抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，过点M 作MN∥y 轴交直线BC 于点N，求MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一点，以BC 为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ 的面积为S1，△ABN 的面积为S2，且S1=6S2，求点P 的坐标．11．（2013•徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x 轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x 轴上方作正方形ABCD，点P 是x 轴上一动点，连接DP，过点P 作DP 的垂线与y 轴交于点E．（1）请直接写出点D 的坐标：；（2）当点P 在线段AO（点P 不与A、O 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标及此时△PED 与正方形ABCD 重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．12．（2013•泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c 与y 轴交于点C（0，﹣4），与x 轴交于点A，B，且B 点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P 是AB 上的一动点，过点P 作PE∥AC，交BC 于E，连接CP，求△PCE 面积的最大值．（3）若点D 为OA 的中点，点M 是线段AC 上一点，且△OMD 为等腰三角形，求M 点的坐标．13．（2014•广元）如图甲，四边形OABC 的边OA、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A、D，交y 轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B 的坐标；（2）求证：CB 是△ABE 外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE 沿x 轴正方向平移t 个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE 与△ABE 重叠部分的面积为s，求s 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围．14．（2014•成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k 为常数，且k＞0）与x 轴从左至右依次交于A，B 两点，与y 轴交于点C，经过点B 的直线y=﹣x+b 与抛物线的另一交点为D．（1）若点D 的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1 个单位的速度运动到F，再沿线段FD 以每秒2 个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？15．（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k 与直线y=kx+1 交于A，B两点，点A 在点B 的左侧．（1）如图1，当k=1 时，直接写出A，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x 轴交于点C、D 两点（点C 在点D 的左侧），在直线y=kx+1 上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．16．（2013•防城港）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c 与x 轴交于A，B（A，B 分别在y 轴的左右两侧）两点，与y 轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C 的坐标；（2）判断△CDB 的形状并说明理由；（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE 与△CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．17．（2014•重庆）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C，点D 为抛物线的顶点．（1）求A、B、C 的坐标；（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P 作PQ∥AB 交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x 轴于点N．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△AEM 的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G（点G 在点F 的上方）．若FG=2DQ，求点F 的坐标．18．（2014•钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、D 两点，与y 轴交于点B，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE⊥x 轴交抛物线于点P，交BC 于点G，交BD 于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．19．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x 轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y 轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3 个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1 个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K 点坐标．20．（2013•恩施州）如图所示，直线l：y=3x+3 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C，抛物线过点B、C 和D（3，0）．（1）求直线BD 和抛物线的解析式．（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M，点N 在坐标轴上，以点N、B、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．21．（2013•毕节地区）如图，抛物线y=ax2+b 与x 轴交于点A、B，且A 点的坐标为（1，0），与y 轴交于点C（0，1）．（1）求抛物线的解析式，并求出点B 坐标；（2）过点B 作BD∥CA 交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD 的周长；（结果保留根号）（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P 作PE 垂直于x 轴，垂足为点E，使以B、P、E 为顶点的三角形与△CBD 相似？若存在请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2014•德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P 在过A，B，C 三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E，交直线AC 于点D，过点D 作x 轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．23．（2014•吉林）如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y 轴分别相交于A，B 两点，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D 的抛物线P 叫做l 的关联抛物线，而l 叫做P 的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P 表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l 表示的函数解析式为．（2）求P 的对称轴（用含m，n 的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P 的对称轴与CD 相交于点E，点F 在l 上，点Q 在P 的对称轴上．当以点C，E，Q，F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时，求点Q 的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G 为AB 中点，H 为CD 中点，连接GH，M 为GH 中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P 表示的函数解析式．24．（2013•武汉）如图，点P 是直线l：y=﹣2x﹣2 上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线y=x2于A、B 两点．（1）若直线m 的解析式为y=﹣x+，求A，B 两点的坐标；（2）①若点P 的坐标为（﹣2，t）．当PA=AB 时，请直接写出点A 的坐标；②试证明：对于直线l 上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PA=AB 成立．（3）设直线l 交y 轴于点C，若△AOB 的外心在边AB 上，且∠BPC=∠OCP，求点P 的坐标．25．（2013•遂宁）如图，抛物线y= x2+bx+c 与x 轴交于点A（2，0），交y 轴于点B（0，）．直线y=kx 过点A 与y 轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y= x2+bx+c 与直线y=kx 的解析式；（2）设点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点（不与点A、D 重合），过点P 作y 轴的平行线，交直线AD 于点M，作DE⊥y 轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD 于点N，设△PMN 的周长为l，点P 的横坐标为x，求l与x 的函数关系式，并求出l 的最大值．26．（2013•舟ft）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m 的顶点为A，与y 轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y 轴于点C，延长CA 到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x 轴，DE∥y 轴．（1）当m=2 时，求点B 的坐标；（2）求DE 的长？（3）①设点D 的坐标为（x，y），求y 关于x 的函数关系式？②过点D 作AB 的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m 为何值时，以A，B，D，P 为顶点的四边形是平行四边形？27．（2006•重庆）已知：m、n 是方程x2﹣6x+5=0 的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D 的坐标和△BCD 的面积；（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3 的两部分，请求出P 点的坐标．28．（2015•阜新）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 交x 轴于点A（﹣3，0）和点B，交y 轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P 的坐标；（3）如图b，设点Q 是线段AC 上的一动点，作DQ⊥x 轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．29．（2014•白银）如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y 轴负半轴交于点A，点 B 在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M、A、B 坐标；（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM 的正切值；（3）点P 是顶点为M 的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO 与x 正半轴的夹角为α，当α=∠ABM 时，求P 点坐标．30．（2014•宿迁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x 轴于点A，B，交y 轴于点C，设过点A，B，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C 的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D 的坐标；②若点M 为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM 面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c 取何值，点D 均为定点，求出该定点坐标．二次函数压轴题强化答案一．解答题（共30 小题）1．（2016•深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA 对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C．（1）直接写出点C 的坐标，并求过A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC 上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T，Q 为线段BT 上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；开放型．【分析】（1）点A 的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A 的坐标为（8，0）；点B 的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B 的坐标为（0，6）；由题意得：BC 是∠ABO 的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6∵AB=10，∴AH=4，设OC=x，则AC=8﹣x由勾股定理得：x=3∴点C 的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线BC 的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；（3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA﹣QO|=|QA﹣QH|．当点Q 与点B 重合时，Q、H、A 三点共线，|QA﹣QO|取得最大值4（即为AH 的长）；设线段OA 的垂直平分线与直线BC 的交点为K，当点Q 与点K 重合时，|QA﹣QO|取得最小值0．【解答】解：（1）点C 的坐标为（3，0）．（1 分）∵点A、B 的坐标分别为A（8，0），B（0，6），∴可设过A、B、C 三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．将x=0，y=6 代入抛物线的解析式，得．（2 分）∴过A、B、C 三点的抛物线的解析式为．（3 分）（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D 的坐标为，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G．直线BC 的解析式为y=﹣2x+6.4 分）设点P 的坐标为（x，﹣2x+6）．解法一：如图，作OP∥AD 交直线BC 于点P，连接AP，作PM⊥x 轴于点M．∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点P 的坐标为．（5 分）但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边OP 与AD 平行但不相等，∴直线BC 上不存在符合条件的点P（6 分）解法二：如图，取OA 的中点E，作点D 关于点E 的对称点P，作PN⊥x 轴于点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．可得△PEN≌△DEG．由，可得E 点的坐标为（4，0）．NE=EG= ，ON=OE﹣NE= ，NP=DG= ．∴点P 的坐标为．（5 分）∵x= 时，，∴点P 不在直线BC 上．∴直线BC 上不存在符合条件的点P．（6 分）（3）|QA﹣QO|的取值范围是．（8 分）当Q 在OA 的垂直平分线上与直线BC 的交点时，（如点K 处），此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，当Q 在AH 的延长线与直线BC 交点时，此时|QA﹣QO|最大，直线AH 的解析式为：y=﹣x+6，直线BC 的解析式为：y=﹣2x+6，联立可得：交点为（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．【点评】此题考查了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合知识，解题的关键是认真识图，注意数形结合思想的应用．2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2 与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P 是线段AB 上异于A、B 的动点，过点P 作PC⊥x 轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2 上，可求得m 的值，抛物线图象上的A、B 两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC 的长，实际是直线AB 与抛物线函数值的差．可设出P 点横坐标，根据直线AB 和抛物线的解析式表示出P、C 的纵坐标，进而得到关于PC 与P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC 的最大值．（3）当△PAC 为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2 上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6 上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P 的坐标为（n，n+2），则C 点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+ ，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC 最大且为．（3）∵△PAC 为直角三角形，i）若点P 为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知，PC∥y 轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A 为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x 轴于点N，则ON=，AN= ．过点A 作AM⊥直线AB，交x 轴于点M，则由题意易知，△AMN 为等腰直角三角形，∴MN=AN= ，∴OM=ON+MN= +=3，∴M（3，0）．设直线AM 的解析式为：y=kx+b，则：，解得，∴直线AM 的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式，解得：x=3 或x=（与点A 重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M 点重合．当x=3 时，y=x+2=5，∴P1（3，5）；iii）若点C 为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2 的对称点C，则点C 在抛物线上，且C（，）．当x=时，y=x+2=．∴P2（，）．∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB 上，∴综上所述，△PAC 为直角三角形时，点P 的坐标为（3，5）或（，）．【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．3．（2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m 与该二次函数的图象交于A、B 两点，其中A 点的坐标为（3，4），B 点在y 轴上．（1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE 的长为h，点P 的横坐标为x，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）因为直线y=x+m 过点A，将A 点坐标直接代入解析式即可求得m 的值；设出二次函数的顶点式，将（3，4）代入即可；（2）由于P 和E 的横坐标相同，将P 点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h 即为二者之差；根据P、E 在二者之间，所以可知x 的取值范围是0＜x＜3；（3）先假设存在点P，根据四边形DCEP 是平行四形的条件进行推理，若能求出P 点坐标，则证明存在点P，否则P 点不存在．【解答】解：（1）∵点A（3，4）在直线y=x+m 上，∴4=3+m．∴m=1．设所求二次函数的关系式为y=a（x﹣1）2．∵点A（3，4）在二次函数y=a（x﹣1）2的图象上，∴4=a（3﹣1）2，∴a=1．∴所求二次函数的关系式为y=（x﹣1）2．即y=x2﹣2x+1．（2）设P、E 两点的纵坐标分别为y P 和y E．∴PE=h=y P﹣y E=（x+1）﹣（x2﹣2x+1）=﹣x2+3x．即h=﹣x2+3x（0＜x＜3）．（3）存在．解法1：要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有PE=DC．∵点D 在直线y=x+1 上，∴点D 的坐标为（1，2），∴﹣x2+3x=2．即x2﹣3x+2=0．解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）∴当P 点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP 是平行四边形．解法2：要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有BP∥CE．设直线CE 的函数关系式为y=x+b．∵直线CE 经过点C（1，0），∴0=1+b，∴b=﹣1．∴直线CE 的函数关系式为y=x﹣1．∴得x2﹣3x+2=0．解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）∴当P 点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP 是平行四边形．【点评】此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，结合图形有利于解答；（3）是一道存在性问题，有一定的开放性，需要先假设点P 存在，然后进行验证计算．4．（2013•凉ft州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x 轴于A、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C（0，4），以OC、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 在边OA（不包括O、A 两点）上平行移动，分别交x 轴于点E，交CD 于点F，交AC 于点M，交抛物线于点P，若点M 的横坐标为m，请用含m 的代数式表示PM 的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F 为顶点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出此时m 的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据A、C 的坐标，用待定系数法求出直线AC 的解析式，进而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点P、点M 的坐标，即可得到PM 的长；（3）由于∠PFC 和∠AEM 都是直角，F 和E 对应，则若以P、C、F 为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m 的代数式表示出AE、EM、CF、PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM 的形状．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），∴ ，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+ x+4；（2）设直线AC 的解析式为y=kx+b，∵A（3，0），点C（0，4），∴ ，解得，∴直线AC 的解析式为y=﹣x+4．∵点M 的横坐标为m，点M 在AC 上，∴M 点的坐标为（m，﹣m+4），∵点P 的横坐标为m，点P 在抛物线y=﹣x2+ x+4 上，∴点P 的坐标为（m，﹣m2+ m+4），∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，即PM=﹣m2+4m（0＜m＜3）；（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD 上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F 为顶点的三角形和△AEM 相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，若以P、C、F 为顶点的三角形和△AEM 相似，情况：①P 点在F 上，PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m．若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4），∵m≠0 且m≠3，∴m= ．∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF 中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，∴△PCM 为直角三角形；②P 点在F 下，PF=4﹣（﹣m2+m+4）= m2﹣m若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（m2﹣m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4），∵m≠0 且m≠3，∴m=（不合题意舍去）．∵∠CFP=90°，∴∠CPM=∠CFP+FCM＞90°，∴△CPM 为钝角三角形；③若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3﹣m）=（﹣m2+m）：（﹣m+4），∵m≠0 且m≠3，∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM，∴△PCM 为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P 使△PFC 与△AEM 相似．此时m 的值为或1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形．【点评】此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．5．（2009•綦江县）如图，已知抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O 作射线OM∥AD．过顶点平行于x 轴的直线交射线OM 于点C，B 在x 轴正半轴上，连接BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1 个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为t（s）．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？（3）若OC=OB，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1 个长度单位和2 个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）将A 的坐标代入抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）可得a 的值，即可得到抛物线的解析式；（2）易得D 的坐标，过D 作DN⊥OB 于N；进而可得DN、AN、AD 的长，根据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用t 将其中的关系表示出来，并求解可得答案；（3）根据（2）的结论，易得△OCB 是等边三角形，可得BQ、PE 关于t 的关系式，将四边形的面积用t 表示出来，进而分析可得最小值及此时t 的值，进而可求得PQ 的长．【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），∴0=9a+3 ，∴a=﹣（1 分）∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+ x+；（3 分）（2）①∵D 为抛物线的顶点，∴D（1，3），过D 作DN⊥OB 于N，则DN=3，AN=3，∴AD= =6，∴∠DAO=60°．（4 分）∵OM∥AD，①当AD=OP 时，四边形DAOP 是平行四边形，∴OP=6，∴t=6（s）．（5 分）②当DP⊥OM 时，四边形DAOP 是直角梯形，过O 作OH⊥AD 于H，AO=2，则AH=1（如果没求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA（求AH=1）∴OP=DH=5，t=5（s）（6 分）③当PD=OA 时，四边形DAOP 是等腰梯形，易证：△AOH≌△DPP′，∴AH=CP，∴OP=AD﹣2AH=6﹣2=4，∴t=4（s）综上所述：当t=6、5、4 时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；（7 分）（3）由（2）及已知，∠COB=60°，OC=OB，△OCB 是等边三角形则OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，∴OQ=6﹣2t（0＜t＜3）过P 作PE⊥OQ 于E，则PE= t（8 分）。
二次函数压轴题精选40道（word含答案）
二次函数压轴题精选40道（word含答案）上文和下面资料在QQ群653794940下载1.分享：200个精美几何画板文件2.再分享：149个精美几何画板文件3.二次函数压轴题精选40道（word含答案）4.最全的“一线三等角”模型解析（ppt）5.重磅：2G多初中数学赛课好资料（打包分享）6.中考满分之路—必刷的30个专题（word分享）7.史上最全：初高中数学衔接教材（word分享)8.重磅分享：中考数学压轴题十大题型（word含详细答案）9.初中数学满分讲义10.重磅分享：最新旋转中考题精粹11.精品分享：将军饮马六大模型12.破解中考数学压轴题12讲（上word）13.破解中考数学压轴题12讲（下word）14.中考必备的15个word好专题（上）15.中考必备的15个word好专题（下）16.重磅分享：1991-2018年初中数学联赛试题及答案17.重磅分享：各类型全等三角形专题78页125题18.燃炸分享：初中数学选择通关题19.重磅：中考数学压轴题12讲（word分享）20.初中数学选择题精选400题（含答案）21.九年级数学暑假专用资料22.八年级最实用讲义23.勾股定理及逆定理专题（电子版分享）24.必看：中考数学考前指导（ppt）25.初高中数学衔接——超好教材（word）26.燃爆分享：初中数学综合复习资料27.相似三角形模型（word分享）28.旋转型相似三角形（word分享）29.收藏：一文搞定二次函数30.史上最全：初高中数学衔接教材（word分享)31.初中数学选择题精选400题（含答案）32.初中数学选择题精选300题（含答案）33.一张图读懂“代数几何”模型34.刚刚，第11届全国赛课一等奖获奖资料打包分享！35.word分享：四边形通关题36.将军饮马的六种常见模型37.重磅分享：初中数学几何模型38.初中数学解题技巧大全39.重磅word分享：学霸必备的23讲word40.1991-2018年初中数学联赛试题及答案(打包分享)41.81套2019年全国各地中考真题（word含答案）42.分享：初中几何辅助线大全43.学霸拥有满分无忧44.收藏：常见的线段最值问题45.最新：二次函数压轴题及答案（word分享）46. 最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总47.word分享:12个专题模型（word分享）48.特殊平行四边形专题（word含详细答案）49.最值问题和路径问题精选（word分享）50.初中好题难题总动员（word分享）51.最全：2018年全国中考数学真题汇编（word含答案）52.助力中考：旋转专题53.最短路径12个基本问题（PPT分享）54.平移和旋转专题含答案（word分享）55.助力中考：相似三角形56.助力中考：半角模型（word分享）57.助力中考：手拉手模型（word分享）58.初中数学模型解题策略59.截长补短模型（word分享）60.共顶点模型（word分享）61.费马点最值模型（word分享）62.胡不归最值模型（word分享）63.隐圆模型（word分享）64.收藏：初中经典几何模型大全65.阿氏圆最值模型（word分享）66.角含半角模型（word分享）67.轴对称最值模型（word分享）68.弦图模型（word分享）69.对角互补模型（word分享）70.中考数学考前指导！最后一课！(PPT)71.全国各市中考真题111套（word含解析）72.中点模型（word分享）73.构造平行四边形解题（word分享）74.中考押题：等边三角形（word分享）75.主从联动模型（word分享）76.二次函数与几何综合（word分享）77.一题30问及解答78.中考二次函数压轴题汇总（163页word含详细解析）79.最全：中考总复习知识点总结（word分享）80.函数“存在性”问题（word分享）81.初中数学培优资料1-10讲（word分享）82.探索性问题（74页word分享）83.折叠问题（word分享）84.中数学培优资料11-20讲（word分享）85.初中数学培优资料21-26（word分享）86.初中数学常用几何模型及构造方法大全87.重磅：几何应用题（word分享）88.100多套2020年中考真题（word分享）89.章建跃教授：我们应该如何教几何（PPT分享）90.2020年中考数学试题分类汇编（word分享）91.一文搞定初中数学几何模型92.初中数学第一课：迷人的数学（PPT分享）93.对初中数学复习教学的思考（PPT分享）94.常见几何基本图形及结论95.三角形的中位线（ppt分享）96.大树理论和工匠精神（PPT分享）97.初三复习建议（PPT分享）98.初中第一课：走进数学世界（PPT分享）99.动找规律，静下结论（PPT分享）100.一文搞定瓜豆原理101.最全的将军饮马模型（word分享）102.图形变换背景下的轨迹思想的研究（ppt分享）103.相似三角形六大证明技巧（word分享）104.角平分线解题模型（word分享）105.18个经典几何模型（word400多页）106.三垂直模型（word分享）107.酷酷的：手拉手模型（word分享）108.酷酷的：半角模型（word分享）109.几何推理的秘密（ppt分享）110.酷酷的：对角互补模型（word分享）111.初中数学优秀获奖教案（word分享）112.再谈一线三等角（ppt分享）113.初中数学葵花宝典114.初中数学知识点全总结（word分享）115.酷酷的：线段求最值模型（word分享）116.圆精选50题（120页word分享）117.酷酷的：相似三角形模型（word分享）118.最经典的折叠题（word分享）119.最全的中点专题（PPT分享）120.最全的角平分线专题（ppt分享）121.最全的面积专题（ppt分享）122.如何教会学生？（ppt分享）123.最全的全等模型（ppt分享）124.最全的相似模型（ppt分享）125.最全的辅助圆模型（ppt分享）126.最全的折叠问题（ppt分享）127.最全的线段最值问题（ppt分享）128.核心专题：函数（word分享）129.核心专题：相似三角形（word分享）130. 初中数学的折叠问题（word分享）131.最全的解直角三角形模型（ppt分享）132.核心专题：圆（word分享）133.最全的函数与几何图形问题（ppt分享）134.权威专家谈教学的设计（ppt分享）135.十大专题12个模型54种考法上（ppt分享）136.十大专题12个模型54种考法下（ppt分享）137.初中数学全学段思维导图138.初中数学必备的72个二级结论139.角度计算的11个经典模型（word分享）140.2022中考数学应试技巧（ppt分享）141.收藏：中考必备的知识总结142.超级精品：初中数学几何模型143.倍长中线模型（word分享）144.重磅分享：数学竞赛精品资料30讲145.半角模型十五个结论及证明（word分享）146.半角模型的前世今生（word分享）147.秘籍：数学思想方法（word分享）148.初中几何基本图形及证明（word分享）149.初中数学公式定理大全（word分享）150.中考案例分析与解题技巧（word分享）151.精品专题：旋转相似（word分享）152.面积最值问题的2个重要模型（word分享）153.精品专题：旋转的6个命题角度（word分享）154.平面几何一题百变（word分享）155.因式分解的六大绝招（word分享）156.应用图形的旋转巧解难题（word分享）157.初中数学思想方法（ppt分享）158.精品专题：中心对称的6个命题角度（word分享）159.经典几何证明模型（word含答案）160.7个反比例函数常见几何模型（word分享）161.巧用数形结合妙解中考题（word分享）162.精品专题:瓜豆原理（word分享）163.十大专题12个模型54种考法（ppt分享）164.手把手教你几何画板10个经典案例（word分享）165.中考数学最易出错的61个知识点（word分享）166.中考数学必备手册（word分享）167.必看：中考数学36个秒懂（word分享）168.选择填空题的21个解题方法技巧169.二次函数精选12题（word分享）170.31个模型搞定中考几何（word分享）171.中考数学36个几何模型（word分享）172.中考必看的28个考点及60个易错点173.超好专题：相似三角形（word分享）174.9种常见的解题方法（word分享）175.精品收藏：胡不归专题（word分享）176.精品专题：将军饮马专题（word分享）177.精品收藏：瓜豆原理（word分享）178.精品收藏：费马点专题（word分享）179.12345模型（ppt分享）180.2021年安徽中考数学试题及答案（word分享）181.托勒密定理的应用（ppt分享）182.手拉手（ppt分享）183.重磅：2021年中考真题120份（word分享）184.三垂直模型（ppt分享）185.旋转的性质（ppt分享）186.半角模型（ppt分享）187.正方形与45度的基本图（word分享）188.最全的对称折叠专题（ppt分享）189.最全的相似模型（ppt分享）190.二次函数几何定义（ppt分享）191.强化模型意识，提高复习效率（ppt分享）192.最全的中考数学知识点总结（word分享）193.正方形对称、旋转（ppt分享）194.七种方法求最大值（word分享）195.中考必备的知识方法和模型196.从全等到相似（ppt分享）197.初中数学全学段思维导图198.圆中十四图（word分享）199.三弦图的应用（ppt分享）200.半角遇到三垂直（ppt分享）201.三角形中位线定理（word分享）202.初中数学各章节知识图解（ppt分享）203.神奇正方形（ppt分享）204.中考必备的知识框架图205.配方法的7大应用206.207.数形结合思想（word分享）208.圆中的相似（ppt分享）209.八大几何模型专题（word分享）210.动圆相切（ppt分享）211.旋转在中考压轴题中的应用（word分享）212.4个旋转常见模型（word分享）213.初中几何证明技巧及例题（word）214.圆切线的判定（ppt分享）215.中考几何解题策略18个专题（ppt）216.平行线的五大模型（word分享）217.中考必备的几何综合题（word分享）218.巧用翻折妙解几何题（word分享）219.二次函数与直角三角形（word）220.二次函数压轴十大类型题（word分享）221.三角形面积专题精选24题（word分享）222.反比例函数与面积综合题（word）223.中考必备的代数几何综合题（word）224.共端点共直线的两条线段的数量关系（word）225.旋转相似专题（word分享）226.精品：12个几何专题（word分享）227.隐形圆的4个模型（word分享）228.垂直精品小专题（word）229.初中几何辅助线做法大全230.二次函数与半角倍角等角问题（word分享）231.利用辅助圆求最值专题（word分享）232.阿波罗尼斯圆专题（word分享）233.最值问题的9个类型题（word分享）234.2022届数学思维导图（word分享）235.精品收藏：旋转专题（word分享）236.反比例函数与三角形（word分享）237.精品收藏：阿氏圆专题（word分享）238.精品收藏：路径专题（word分享）239.精品收藏：翻折专题（word分享）240.角存在专题（word分享）241.米勒角最大问题。
二次函数压轴题(含答案)[1]
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面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C(0,3)三点．(1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B,C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．(3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在，说明理由．考点:二次函数综合题．专题:压轴题；数形结合．分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式,已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中,可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．（3)设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB)=MN•OB，MN 的表达式在（2)中已求得，OB的长易知,由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为:y=a（x+1)（x﹣3），则:a（0+1）(0﹣3）=3,a=﹣1；∴抛物线的解析式:y=﹣（x+1）（x﹣3)=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M（m，﹣m+3)、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3)=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB)=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）;∴当m=时，△BNC的面积最大,最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．(1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;（3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．考点：二次函数综合题．。
中考数学专题复习《二次函数综合压轴题》测试卷(附带参考答案)
中考数学专题复习《二次函数综合压轴题》测试卷(附带参考答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．定义：对于函数 当自变量0x x = 函数值0y x =时 则0x 叫做这个函数的不动点．(1)直接写出反比例函数1y x=的不动点是__________．(2)如图 若二次函数2y ax bx =+有两个不动点 分别是0与3 且该二次函数图象的顶点P 的坐标为()2,4．①求该二次函数的表达式①连接OP M 是线段OP 上的动点（点M 不与点O P 重合） N 是该二次函数图象上的点 在x 轴正半轴上是否存在点(),0Q m 满足MOQ MPN NMQ ∠=∠=∠ 若存在 求m 的最大值 若不存在 请说明理由．2．如图 抛物线21103y x bx =-++分别交x 轴于点A 和B （A 在B 左侧） 交y 轴于点C 直线192y x =-+交x 轴于点E 交y 轴于点D 连接AD ADE 的面积是1892．(1)如图1 求b 的值(2)如图2 点P 为第一象限抛物线上一点 点P 的横坐标为t 连接AP 和BP ABP 的面积为S 求S 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）(3)如图3 在（2）的条件下 65S = 直线AP 和直线DE 相交于点F G 为AP 延长线上一点 连接GE AED DEG ∠=∠ 点M 为GE 上一点 连接FM FN 、 MN FM ⊥交x 轴于点N BN NE < 且GM NE = 在y 轴负半轴上一点H 使90MFN FEH ∠+∠=︒ 若求点H 的坐标．3．在平面直角坐标系xOy 中 已知线段PQ 和直线1l 2l 线段PQ 关于直线1l 2l 的“垂点距离”定义如下：过点P 作1⊥PM l 于点M 过点Q 作2QN l ⊥于点N 连接MN 称MN 的长为线段PQ 关于直线1l 和2l 的“垂点距离” 记作d ．(1)已知点()2,1P ()1,2Q 则线段PQ 关于x 轴和y 轴的“垂点距离”d 为______(2)如图1 线段PQ 在直线3y x =-+上运动（点P 的横坐标大于点Q 的横坐标）若2PQ = 则线段PQ 关于x 轴和y 轴的“垂点距离”d 的最小值为______(3)如图2 已知点(0,23A A 的半径为1 直线33y x b 与A 交于P Q 两点（点P 的横坐标大于点Q 的横坐标） 直接写出线段PQ 关于x 轴和直线3y x =-的“垂点距离”d 的取值范围．4．如图 在平面直角坐标系中 抛物线23y ax bx =++过点(2,3) 且交x 轴于点(1,0)A - B 两点 交y 轴于点C ．(1)求抛物线的表达式(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点 过点P 作PD BC ⊥于点D 过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ：①当点P 运动到抛物线顶点时 求此时PDE △的面积①点P 在运动的过程中 是否存在PDE △周长的最大值 若存在 请求出PDE △周长的最大值及此时点P 的坐标 若不存在 请说明理由．5．如图1 抛物线2y x bx c =++交x 轴于A B 两点 其中点A 的坐标为()1,0与y 轴交于点C 1tan 3ACO ∠=．(1)求抛物线的函数解析式(2)点P 为直线BC 下方抛物线上一点 PD BC ⊥ PE y 轴 求PDE △周长的最大值(3)如图2 连接AC 点P 在抛物线上 且满足2PAB ACO ∠=∠ 求点P 的坐标．6．如图 在平面直角坐标系xOy 中 抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =-+-的形状相同 且与x 轴交于点()10-，和()40，．直线2y kx =+分别与x 轴 y 轴交于点A B 与2y ax bx c =++于点C D ，（点C 在点D 的左侧）．(1)求抛物线的解析式(2)点P 是直线2y kx =+上方抛物线上的任意一点 当2k =时 求PCD 面积的最大值(3)若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点 结合函数图象请直接写出k 的取值范围．7．如图 已知抛物线()()36y a x x =-+过点()1,5A -和点()5,B m - 与x 轴的正半轴交于点 C ．(1)求a m 的值和点C 的坐标(2)若点P 是x 轴负半轴上的点 连接PB PA 当PA PB =时 求点P 的坐标(3)在抛物线上是否存在点M 使A B 两点到直线MC 的距离相等？若存在 求出满足条件的点M 的横坐标 若不存在 请说明理由．8．如图 在平面直角坐标系中 抛物线2y ax bx =++x 轴交于点()1,0A - ()5,0B 与y 轴交于点C 连接BC AC ．(1)求抛物线的表达式(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点 过点P 作PD BC ⊥于点D 过点P 作PE x 轴交抛物线于点E 的最大值及此时点P 的坐标(3)点C关于抛物线对称轴对称的点为Q将抛物线沿射线CA3新抛物线y'新抛物线y'与y轴交于点M新抛物线y'的对称轴与x轴交于点N连接AM MN点R在直线BC上连接QR．当QR与AMN一边平行时直接写出点R的坐标并写出其中一种符合条件的解答过程．9．如图国家会展中心的大门的截面图是由抛物线ADB和矩形ABCO构成的矩形ABCO的边34OA=米9OC=米以OC所在直线为x轴以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系抛物线顶点D的坐标为924,25⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求此抛物线对应的函数表达式(2)近期需要对大门进行粉刷工人师傅搭建一木板OM点M正好在抛物线上支撑MN 垂直x轴7.5ON=米工人师傅站在木板OM上他能刷到的最大垂直高度是2.4米．①判断工人师傅能否刷到顶点D①设点E是OM上方抛物线上的一点且点E的横坐标为m直接写出他不能刷到大门顶部的对应点E的横坐标的范围．10．在平面直角坐标系中 抛物线()()()160y a x x a =+-≠分别交x 轴于A B 两点（A 在B 左边） 交y 轴于点C 连接AC 且12tan 5OAC ∠=．(1)如图1 求a 的值(2)如图2 点Q 是第四象限内抛物线上的一点 过点Q 作QD x ⊥轴于D 连接AQ 点E 在AQ 上 过E 点作EF x ⊥轴于F 点H 在EF 上 纵坐标为2- 连接HD 若5tan tan 2DHF QAF ∠=∠ 点Q 的横坐标为t DF 的长为d 求d 与t 之间的函数关系式并直接写出自变量t 的取值范围(3)如图3 在（2）的条件下 延长EF 交抛物线于点G 连接CG 延长至点M 过点M 作x 轴的垂线 交抛物线于点N 点P 为抛物线顶点 连接NP 并延长交y 轴于点K 连接KM并延长分别交EG HD 的延长线于点R T 连接ED 若5tan ,6EDQ RT ∠== 求点K 的坐标．11．如图 已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于0()1,A - B 两点 与y 轴交于点C (0,3)-．(1)求抛物线的解析式(2)如图1 点P 是抛物线上位于第四象限内一动点 PD BC ⊥于点D 求PD 的最大值及此时点P 的坐标(3)如图2 点E 是抛物线的顶点 点M 是线段BE 上的动点（点M 不与B 重合） 过点M 作MN x ⊥轴于N 是否存在点M 使CMN 为直角三角形？若存在 求出点M 的坐标 若不存在 请说明理由．12．如图 抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于1,0A ()5,0B -两点 与y 轴交于点C ．P 是抛物线上的任意一点（不与点C 重合） 点P 的横坐标为m 抛物线上点C 与点P 之间的部分（包含端点）记为图象G ．(1)求抛物线的解析式(2)当m 符合什么条件时 图象G 的最大值与最小值的差为4？(3)将线段AB 先向左平移1个单位长度 再向上平移5个单位长度 得到线段A B ''．若抛物线2y x bx c =-++平移后与线段A B ''有两个交点 且这两个交点恰好将线段A B ''三等分 求抛物线平移的最短路程(4)当0m <时 若图象G 与平行于x 轴的直线23=-+y m 有且只有一个公共点 直接写出m 的取值范围．13．如图 二次函数()240y ax bx a =++≠的图象与x 轴交于点()1,0A - ()4,0B 与y 轴交于点C 抛物线的顶点为D(1)求二次函数的表达式及顶点D 的坐标(2)若点P 为直线BC 上方的抛物线上的一点 过点P 作垂直于x 轴的直线l 交直线BC 于点.F 是否存在点P 使四边形OCPF 为平行四边形？若存在 求出点P 的坐标 若不存在 请说明理由(3)若N 为抛物线上一个动点 连接NC 过点N 作NQ NC ⊥交抛物线对称轴于点Q 当tan 1NCQ ∠=时 请直接写出点N 的横坐标．14．如图 抛物线23y ax bx =+0a ≠）与x 轴交于点()1,0A -和点B 与y 轴交于点C 抛物线的对称轴交x 轴于点()1,0D 过点B 作直线l x ⊥轴 过点D 作DE CD ⊥ 交直线l 于点E ．(1)求抛物线的解析式(2)点P 为第四象限内抛物线上的点 直线BP 与DE 交于点Q 当12BQ PQ =时 求点P 的坐标 (3)坐标轴上是否存在点F 使得75DEF ∠=︒ 若存在 请求出点F 的坐标 若不存在 请说明理由．15．如图 已知抛物线214y x bx c =-++交x 轴于点()2,0A ()8,0B - 交y 轴于点C 过点A B C 三点的M 与y 轴的另一个交点为D ．(1)求此抛物线的表达式及圆心M 的坐标(2)设P 为弧BC 上一点 且⊥AP MC 交MC 于点N 求P 点坐标(3)延长线段BD 交抛物线于点E 设点F 是线段BE 上的任意一点（不含端点） 连接AF ．动点Q 从点A 出发 沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到点F 再沿线段FB 单位的速度运动到点B 后停止 问当点F 的坐标是多少时 点Q 在整个运动过程中所用时间最少？参考答案：1．(1)1和1- (2)①42033=-+y x ①m 的最大值为942．(1)73b =(2)213916566S t t =-++ (3)()0,6H -3．(1)(2)222121d <≤4．(1)223y x x =-++(2)①PDE △的面积为1 ①存在 PDE △929+ 点P 的坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭5．(1)223y x x =+- (2))9214 (3)1557,416⎛⎫- ⎪⎝⎭939,416⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．(1)234y x x =-++(2)PCD 面积的最大值为278(3)k 的取值范围为02k <<或102k -<<7．(1)14a =- 2m = ()3,0C (2)3,08P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)()9,9--或1135,39⎛⎫- ⎪⎝⎭8．(1)22422y x = (2)当154t =时 332292 151924P ⎛ ⎝⎭(3)R 点的坐标为22⎛ ⎝⎭或26,⎛ ⎝⎭或(2．9．(1)21924525y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭(2)①不能 ①31122m <<10．(1)25- (2)()2126d t t =->(3)()0,8K11．(1)223y x x =--(2)当32m =时 PD 取得最大值为8315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)CMN 为直角三角形时 点M 的坐标为：3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭或()1212．(1)245y x x =--+(2)42m -≤≤-或2m =(4)3m =-或11m <≤-13．(1)234y x x =-++ 325,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)存在 点P 的坐标为()2,6(3)11或2或214．(1)2y x x =-(2)P 1,⎛ ⎝⎭(3)F 的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或0,⎛ ⎝⎭．15．(1)213442y x x =--+ ()3,0M - (2)3224,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)()2,3F --。
中考数学压轴题专练之二次函数综合(含20题)
中考数学压轴题专练之二次函数综合（含20题）1．如图1，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一点，PH⊥BC于H，当PH=3√24时，求P点坐标；（3）如图2，∠DAE＝90°，直线DE经过点C，且CE＝2CD，直线m经过点D，直线n经过点E，且m∥AC∥n，则直线m与n之间的最大距离为．2．如图，二次函数y＝（x﹣1）2+a与x轴相交于点A，B，点A在x轴负半轴，过点A的直线y＝x+b交该抛物线于另一点D，交y轴正半轴于点H．（1）如图1，若OH＝1，求该抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段HD上一点，当1AH +1AD=3AP时，求点P的坐标（用含b的代数式表示）；（3）如图2，在（1）的条件下，设抛物线交y轴于点C，过A，B，C三点作⊙Q，经过点Q的直线y＝hx+q交⊙Q于点F，I，交抛物线于点E，G．当EI＝GI+FI时，求2h2的值．3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝1与抛物线y＝4x2相交于A，B两点（点B在第一象限），点C在AB的延长线上．且BC＝n•AB（n为正整数）．过点B，C的抛物线L，其顶点M在x轴上．（1）A点的坐标为；B点的坐标为；（2）当n＝1时，抛物线L的函数表达式为；（3）如图2，抛物线E：，经过B、C两点，顶点为P．且O、B、P三点在同一直线上，求a n与n的关系式．4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=14x2+bx+c的图象经过点A（6，0）、C（0，﹣3），点P为抛物线上一动点，其横坐标为m（m≥1）．（1）求该抛物线对应的函数表达式．（2）若此抛物线在点P右侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为﹣5+m时，求m的值．（3）已知点M（m，m﹣3），点N（m﹣1，m﹣4），以MP、MN为邻边作▱PMNQ．①当抛物线在▱PMNQ 内部的部分的函数值y 随x 的增大而增大时，直接写出m 的取值范围；②当抛物线在▱PMNQ 内部的部分的函数值y 随x 的增大而增大或y 随x 的增大而减小时，抛物线与▱PMNQ 的边交点的纵坐标之差为12时，直接写出m 的值．5．综合与探究如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =−38x 2+bx +3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（﹣2，0），抛物线上有一动点P ，点P 在第一象限，过点P 作y 轴的平行线分别交x 轴和直线BC 于点D 和点E ． （1）求抛物线及直线BC 的函数关系式；（2）当点E 为线段DP 的中点时，求点E 的坐标；（3）如图2，作射线OP ，交直线BC 于点F ，当△OBF 是等腰三角形时，求点F 的坐标．6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）．与x轴交于A（4，0）和B（﹣1，0）两点，与y 轴交于点C，点P是直线AC下方的抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；（3）取（2）中PE最大值时的P点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当PQOQ 的值最大时，求点P的坐标和PQOQ的最大值；（3）把抛物线y=−12x2+bx+c向右平移1个单位，再向上平移2个单位得新抛物线y'，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的N点的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．8．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0），B(0，32)，C（3，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过△ABC的三个顶点．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式；（2）点M是抛物线在第一象限上一点．①连接AM与BC相交于点E，即将△ABC分为两个三角形，若这两个三角形的面积之比为1：2时，则点M的坐标为，直线AM的函数表达式为；②将△ABO沿着x轴正方向平移，当点B与点M重合时停止，点A的对应点为A'，点O 的对应点为点O'．求出△A'MO'与△BOC重合部分的图形的周长；（3）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上取一点K，连接CK，使∠ACK+∠BAO ＝90°，延长CK交抛物线于点P，连接AK．动点Q从C点出发，沿射线CA以每秒1个单位长度的速度运动，是否存在某一时刻，使∠AQP＝∠AKP？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与x轴交点坐标为（1，0），与y轴交点的坐标为（0，3），点A、点B均在这个抛物线上，点A的横坐标为m，点B 的横坐标为1﹣m．当B在A的左侧时，抛物线上A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）当图象G对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围；（3）图象G最大值与最小值差为h，求h与m之间的函数关系式；（4）设点E的坐标为（m﹣3，2），点F的坐标（m﹣3，m﹣3），连结EF，以EF为边长向右作正方形EFPQ，当抛物线与正方形EFPQ的边只有两个交点，且交点的纵坐标之差为1时，直接写出m的值．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣2），B（2，0）．（Ⅰ）求该抛物线的解析式；（Ⅱ）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，交线段AB于点H．求PC的最大值及此时点P的坐标；（Ⅲ）若点M是抛物线的顶点，在x轴上存在一点N，使△AMN的周长最小，求此时点N的坐标．11．在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AB∥x轴，如图1，C（1，0），且OC：OA＝AC：BC＝1：2．（1）求点A、点B的坐标；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A、B、C三点，求该抛物线的表达式；（3）如图2，抛物线对称轴与AB交于点D，现有一点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一点Q从点D与点P同时出发，以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动．当点P到达B点时，点P、Q同时停止运动，问点P、Q运动到何处时，△PQB面积最大，并求出最大面积．12．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交点C ，连接AC ，BC ．抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交BC 于点F ，顶点为M ． （1）求抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）若D 是直线BC 上方抛物线上一动点，连接OD 交BC 于点E ，当DE OE的值最大时，求点D 的坐标；（3）已知点G 是抛物线上的一点，连接CG ，若∠GCB ＝∠ABC ，求点G 的坐标．13．如图，抛物线y ＝ax 2﹣8ax +12a （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角，且使∠OCA ＝∠OBC ． （1）求线段OC 的长；（2）求该抛物线的函数关系式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△BCP 是以BC 为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0），B （4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线BC交于点M，记m=S△CPMS△CDM，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标；若不存在，请说明理由．15．已知：y=12x2+bx+c经过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．（1）求函数的解析式；（2）平移抛物线使得新顶点为点P（m，n）．①当m＞0时，若S△OPB＝3，且在直线x＝k的右侧，两函数值y都随x的增大而增大，求k的取值范围；②点P在原抛物线上，新抛物线与y轴交于点Q，当∠BPQ＝120°时，求点P的坐标．16．已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，交y 轴于点C ，M 是抛物线顶点．（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）如图1，点P 在抛物线上，若直线AP 经过△CBM 外接圆的圆心，判断△CBM 的形状并求点P 的横坐标；（3）以点P （1，t ）为圆心的⊙P 与x 轴相切且与抛物线只有两个公共点，求t 的取值范围．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （4，0），C （﹣1，0）与y 轴交于点B ，已知tan ∠BAC =34． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点P 为抛物线上的点，且点P 的横坐标为3，F 是抛物线上异于点P 的点，连接P A ，PB ，当S △P AB ＝S △F AB ，求点F 的横坐标；（3）如图2，点Q 为直线AB 上方抛物线上一点，OQ 交AB 于点D ，QE ∥BO 交AB 于点E ．记△QDE ，△QDB ，△BDO 的面积分别为S 1，S 2，S 3．求S 1S 2+S 2S 3的最大值．18．如图1，对于平面上小于或等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON 的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON 的“点角距”，记作d（∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角记为∠xOy．（1）已知点A（4，0）、点B（3，1），则d（∠xOy，A）＝，d（∠xOy，B）＝．（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）＝4，在图2中画出点P 运动所形成的图形．（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y=43x（x≥0）．①在图3中，点C的坐标为（4，1），试求d（∠xOT，C）的值；②在图4中，抛物线y=−12x2+2x+c经过A（5，0），与射线OT交于点D，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求c的值和当d（∠xOT，Q）取最大值时点Q的坐标．19．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），抛物线的对称轴为直线x=52，且OB＝2OC．连接BC，点D是线段OB上一点（不与点O、B重合），过点D作x轴的垂线，交BC于点M，交抛物线于点N．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段MN最大时，求点M的坐标；（3）连接BN，以B、D、N为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．20．如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的顶点为D点，且与x轴交于B，A两点（B在A的左侧），与y轴交于点C．点E为抛物线对称轴上的一个动点：（1）当点E在x轴上方且CE∥BD时，求sin∠DEC的值；（2）若点P在抛物线上，是否存在以点B，E，C，P为顶点的四边形是平行四边形？请求出点P的坐标；（3）若抛物线对称轴上有点E，使得AE+√55DE取得最小值，连接AE并延长交第二象限抛物线为点M，从请直接写出AM的长度．。
(完整word)二次函数压轴题(含答案),推荐文档
4．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对 称轴为直线 x=﹣1，且抛物线经过 A（1，0）， C（0，3）两点，与 x 轴交于点 B． （1）若直线 y=mx+n 经过 B、C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴 x=﹣1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求 出点 M 的坐标； （3）设点 P 为抛物线的对称轴 x=﹣1 上的一个动 点，求使△BPC 为直角三角形的点 P 的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A、B 为 x 轴上两点，C、D 为 y 轴上的两点，经过点 A、C、B 的抛物线的一部分 C1 与经过点 A、D、B 的抛物线的一部分 C2 组合成一条封闭 曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点 C 的坐标为（0，﹣ ），点 M 是抛物线
C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点． （1）求 A、B 两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点 P，使得
6．如图，抛物线经过 A（﹣1，0），B（5，0）， C（0，﹣ ）三点． （Ⅰ）求抛物线的解析式； （Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC
的值最小，求点 P 的坐标． （Ⅲ）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否
存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的 四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐 标；若不存在，请说明理由．
B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 D，在其对称轴的右侧
的抛物线上是否存在点 P，使得△PDC 是等 腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的 坐标；若不存在，请说明理由； （3）点 M 是抛物线上一点，以 B，C，D，M 为 顶点的四边形是直角梯形，试求出点 M 的坐 标．
二次函数综合压轴题(含答案)
二次函数综合压轴题（含答案）1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N 作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD 上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．5．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．6．如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．（1）试求A，B，C的坐标；（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+．（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；ii：试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．8．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P 作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】9．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．10．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．①当PE=2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图所示，顶点为（，﹣）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y=（k＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE 的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．14．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C ，D 两点的坐标（用含a 的式子表示）；（2）设S △BCD ：S △ABD =k ，求k 的值；（3）当△BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．15．如图，是将抛物线y=﹣x 2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点为A （﹣1，0），另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N 为抛物线上一点，且BC ⊥NC ，求点N 的坐标；（3）点P 是抛物线上一点，点Q 是一次函数y=x +的图象上一点，若四边形OAPQ 为平行四边形，这样的点P 、Q 是否存在？若存在，分别求出点P ，Q 的坐标；若不存在，说明理由．16．如图，已知抛物线y=ax 2+2x +c 与y 轴交于点A （0，6），与x 轴交于点B （6，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P 移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P 的坐标；（3）当点P 从A 点出发沿线段AB 上方的抛物线向终点B 移动，在移动中，点P 的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M 以每秒1个单位长度的速度沿AO 向终点O 移动，点P ，M 移动到各自终点时停止，当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？17．如图1，抛物线C1：y=x2+ax与C2：y=﹣x2+bx相交于点O、C，C1与C2分别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点．（1）求的值；（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；（3）抛物线C2的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；②如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF ⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．19．如图1，抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（0，﹣2）两点，点C 在y轴上，△ABC为等边三角形，点D从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒（t＞0），过点D作DE⊥AC于点E，以DE为边作矩形DEGF，使点F在x轴上，点G在AC或AC的延长线上．（1）求抛物线的解析式；（2）将矩形DEGF沿GF所在直线翻折，得矩形D'E'GF，当点D的对称点D'落在抛物线上时，求此时点D'的坐标；（3）如图2，在x轴上有一点M（2，0），连接BM、CM，在点D的运动过程中，设矩形DEGF与四边形ABMC重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC ⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD 于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．21．如图，已知抛物线y=ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．22．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．24．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB 的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．26．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x ﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．27．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y 轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．28．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，其顶点记为M，自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等．若点M在直线l：y=﹣12x+16上，点（3，﹣4）在抛物线上．（1）求该抛物线的解析式；（2）设y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A（﹣，0），试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出相应的P点横坐标x的取值范围．（3）直线l与抛物线另一交点记为B，Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），设Q点坐标为（t，n），过Q作QH⊥x轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能取得的最大值．29．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C 作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=，c=；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．30．如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C （0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l 与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．31．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）设点P是直线AD下方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为m，点P的横坐标为x，求m与x的函数关系式，并求出m的最大值．32．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4），以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C，动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒，过点P作PE ⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形？33．如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y 轴交于E点，与抛物线y=x2+bx+c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．34．如图，已知：在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m）其中m＜0，与x轴相交于点B（4，0）．抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为F，它与直线l相交于点C，其对称轴分别与直线l和x轴相交于点D和点E．（1）设a=，m=﹣2时，①求出点C、点D的坐标；②抛物线y=ax2+bx上是否存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（2）当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似且满足三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3时，求抛物线的函数表达式．35．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．（1）求b、c的值；（2）如图1直线y=kx+1（k＞0）与抛物线第一象限的部分交于D点，交y轴于F点，交线段BC于E点．求的最大值；（3）如图2，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．问在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．36．已知二次函数y=ax2+bx﹣2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x=﹣2和x=5时二次函数的函数值y相等．（1）求实数a、b的值；（2）如图1，动点E、F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；37．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+n与x轴、y 轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且tan∠CAO=3．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二次方程：y2﹣（m+3）y+（5m2﹣2m+13）=0（m为常数）的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．38．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B 点的左侧）与y轴交于点C．（1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，若∠BCP=2∠ABC时，求点P的横坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=﹣4a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长．39．如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A，B，C三点的坐标．（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A，B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积．（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连结DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．40．如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK+KN最小，并求出点K的坐标；（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（4）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D 的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N 作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设N（n，0），则可用n表示出△ABN的面积，由NM∥AC，可求得，则可用n表示出△AMN的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n 的值，即可求得N点的坐标；（3）由N点坐标可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得OM=AB，在Rt△AOB和Rt△AOC中，可分别求得AB和AC的长，可求得AB与AC的关系，从而可得到OM和AC的数量关系．【解答】解：（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得，解得，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+4；（2）设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n．∵B（﹣2，0），C（8，0），∴BC=10，在y=﹣x2+x+4中令x=0，可解得y=4，∴点A（0，4），OA=4，∴S=BN•OA=（n+2）×4=2（n+2），△ABN∵MN∥AC，∴，∴==，∴，∵﹣＜0，∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大；（3）当N（3，0）时，N为BC边中点，∵MN∥AC，∴M为AB边中点，∴OM=AB，∵AB===2，AC===4，∴AB=AC，∴OM=AC．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中找到△AMN和△ABN的面积之间的关系是解题的关键，在（3）中确定出AB为OM和AC的中间“桥梁”是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD 上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）抛物线的解析式可变形为y=（x+1）（x﹣3），从而可得到点A 和点B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入求得k和b的值，从而得到AE的解析式；（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入求得m的值，从而得到直线CE的解析式，过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP=x2+x．由三角形的面积公式得到△EPC的面积=﹣x2+x，利用二次函数的性质可求得x 的值，从而得到点P的坐标，作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．然后利用轴对称的性质可得到点G和点H的坐标，当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH；（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况求解即可．【解答】解：（1）∵y=x2﹣x﹣，∴y=（x+1）（x﹣3）．∴A（﹣1，0），B（3，0）．当x=4时，y=．∴E（4，）．设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k=，b=．∴直线AE的解析式为y=x+．（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣=，解得：m=．∴直线CE的解析式为y=x﹣．过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=x2+x．∴△EPC的面积=×（x2+x）×4=﹣x2+x．∴当x=2时，△EPC的面积最大．∴P（2，﹣）．如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP 与N、M．∵K是CB的中点，∴k（，﹣）．∴tan∠KCP=．∵OD=1，OC=，∴tan∠OCD=．∴∠OCD=∠KCP=30°．∴∠KCD=30°．∵k是BC的中点，∠OCB=60°，∴OC=CK．∴点O与点K关于CD对称．∴点G与点O重合．∴点G（0，0）．∵点H与点K关于CP对称，∴点H的坐标为（，﹣）．∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．∴GH==3．∴KM+MN+NK的最小值为3．（3）如图3所示：∵y′经过点D，y′的顶点为点F，∴点F（3，﹣）．∵点G为CE的中点，∴G（2，）．∴FG==．∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．当GF=GQ时，点F与点Q″关于y=对称，∴点Q″（3，2）．当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=﹣．∴点Q1的坐标为（3，﹣）．综上所述，点Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、轴对称最短路径问题、等腰三角形的定义和性质，找到KM+MN+NK取得最小值的条件是解答问题（2）的关键；分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况分别进行计算是解答问题（3）的关键．3．如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．。
二次函数压轴题(最全最NB的压轴题word文档)
（2012 深圳）如图8，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)．(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．（2011 深圳）如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.（2010 深圳）如图9，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）．（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4分）（2009 深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB（2008 深圳）在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝31． （1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一图9动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.（2007 深圳）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2164y x =-与直线12y x =相交于A B ，两点．（1）求线段AB 的长．（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB 的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？（3）如图2，线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C D ，两点，垂足为点M ，分别求出OM OC OD ，，的长，并验证等式222111OC OD OM +=是否成立．（4）如图3，在Rt ABC △中，90ACB =o∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b=，AB c =．CD b =，试说明：222111a b h +=．图1图2图3（2006 深圳）如图9，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC .(1)(3分)求线段OC 的长.解：(2)(3分)求该抛物线的函数关系式． 解：(3)(4分)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（2005 深圳）已知△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在x 轴上，点D 为BC 的中点，点A 在第一象限内，AB 与y 轴的正半轴相交于点E ，点B （-1，0），P 是AC 上的一个动点（P 与点A 、C 不重合） （1）（2分）求点A 、E 的坐标；（2）（2分）若y=c bx x 7362++-过点A 、E ，求抛物线的解析式。
中考二次函数压轴题汇总(163页word)
1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；QQ群450116225（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l 与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．6．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．7．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．8．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m （m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．9．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为；（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．10．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．11．已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN ∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．12．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．13．如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标14．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为y n，其顶点为A n…（n为正整数）．求A n A n+1的长（用含n的式子表示）．15．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC =S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．17．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．18．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．19．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．21．如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．22．如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B （3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M 到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．27．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．29．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC 交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC 的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．30．综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE ∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．31．如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b=，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．33．如图，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y 轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．34．已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．36．已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx ﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q 在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．38．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP 为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．40．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣6），将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt △A1OC，Rt△EOF．抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．（1）点C的坐标为，点E的坐标为；抛物线C1的解析式为．抛物线C2的解析式为；（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点．①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+BM，求h与x的函数关系式，当﹣5≤x≤﹣2时，求h的取值范围．41．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．42．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y 轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．43．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．44．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y 轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．45．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．46．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．47．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．48．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．49．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D （4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．50．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共50小题）1．如图1，已知二次函数y=ax 2+x +c （a ≠0）的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0），连接AB 、AC ．（1）请直接写出二次函数y=ax 2+x +c 的表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N 的坐标；（4）如图2，若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得B 的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB 2=20，AC 2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC 是直角三角形．（3）分别以A 、C 两点为圆心，AC 长为半径画弧，与x 轴交于三个点，由AC 的垂直平分线与x 轴交于一个点，即可求得点N 的坐标；（4）设点N 的坐标为（n ，0），则BN=n +2，过M 点作MD ⊥x 轴于点D ，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n +2），然后根据S △AMN =S △ABN ﹣S △BMN 得出关于n 的二次函数，根据函数解析式求得即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax 2+x +c 的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0）， ∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，AB==2，BC=8﹣（﹣2）=10，AC==4，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°．∴AC⊥AB．∵AC∥MN，∴MN⊥AB．设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，∵MN∥AC，△BMN∽△BAC∴=，∴=，BM==，MN==，AM=AB﹣BM=2﹣==AM•MN∵S△AMN=××=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；（2）由题意知y=kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；（3）分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．【解答】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，∴d（点O，△ABC）=2；（2）y=kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k=﹣1，此时d（G，△ABC）=1；当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k=1，此时d（G，△ABC）=1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；。
(word完整版)中考数学二次函数压轴题汇编,文档.docx
移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，
是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；
若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．
my02﹣
19．如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点， 且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；
M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M
的关联点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在点P1（ ， ），2（ ，
），3（
， ）中，⊙
O
的关联点是
．
0 P
P
0
②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、
（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标．
（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1， ）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．
12．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对
中考数学专项突破——二次函数综合压轴题(word版+详细解答)
中考数学专项突破——二次函数综合压轴题类型一线段、周长最值问题1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－x－2的图象与x轴相交于点A、B，与y轴交于点C，过直线BC的下方抛物线上一动点P 作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过点P作PE⊥x轴于点E，交BC 于点D.（1）求直线AC的解析式；（2）求△PQD周长的最大值及此时点P的坐标；（3）如图②，当△PQD的周长最大值时，在y轴上有两个动点M、N(M在N的上方)，连接AM，PN，若MN＝1，求PN＋MN＋AM的最小值．第1题图解：（1）令y＝0，即x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，∴A(－1，0)，B(2，0)，令x＝0，则y＝－2，∴C(0，－2)，设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，∵直线过点A 、C ，∴⎩⎨⎧-=+-=2b bk 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝－2，∴直线AC 的解析式为y ＝－2x －2； （2）∵BO ＝CO ，∠BOC ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∠ACO ＝∠EPQ ， ∴tan ∠EPQ ＝tan ∠ACO ＝12，如解图①，过点Q 作QH ⊥PE ，垂足为H .设QH ＝a ，则PH ＝2a ，DH ＝a ，PD =PH +DH =3a ，a ＝13PD ， ∵B （2,0），C （0，-2）， ∴直线BC 的解析式为y =x -2， 设P (m ，m 2－m －2)，D (m ，m －2)， ∴PD =m -2-（m 2-m -2）=-m 2+2m ，∴C △PQD ＝PQ ＋QD ＋PD ＝(5＋2＋3)a ＝5＋2＋33PD ， C △PQD ＝5＋2＋33PD ＝5＋2＋33(－m 2＋2m )＝－5＋2＋33(m －1)2＋5＋2＋33， ∴当m ＝1时，△PQD 的周长最大，且最大值为5＋2＋33，此时P (1，－2)；（3）把点A 向下平移1个单位到点A ′，则A ′(－1，－1)，如解图②，连接A ′P ，∴AM ＋MN ＋PN 的最小值＝A ′P ＋MN ＝5＋1.第1题解图① 第1题解图②2.在平面直角坐标系中，抛物线3221y 2++-=x x 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,连接BC . (1)求直线BC 的解析式；(2)如图①,点P 是抛物线上位于第一象限内的一点,连接PC ,PB ,当△PBC 面积最大时,一动点Q 从点P 出发,沿适当路径运动到y 轴上的某个点G 再沿适当路径运动到x 轴上的某个点H 处,最后到达线段BC 的中点F 处停止.求当△PBC 面积最大时,点P 的坐标及点Q 在整个运动过程中经过的最短路径的长；(3)如图②,在(2)的条件下,当△PBC 面积最大时,把抛物线 3221y 2++-=x x 向右平移使它的图象经过点P ,得到新抛物线y ',在新抛物线y '上是否存在点E ,使△ECB 的面积等于△PBC 的面积？若存在,请求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.第2题图解:（1）∵抛物线3221y 2++-=x x 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,∴令x =0, 得y =3， ∴C （0,3）， 令y =0，得0=3221y 2++-=x x ， 解得x =-2或x =32， ∴B （32，0），设直线BC 的解析式为y =kx +b ， ∴⎩⎨⎧==+3b 0b k 23，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=3b 22k ，∴直线BC 的解析式为y =-22x +3； (2)如解图①,设P （m ，3m 2m 212++-） （0＜m ＜32）， 过点P 作PM ∥y 轴交BC 于点M ,第2题解图①∵直线BC 的解析式为y =-22x +3， ∴M （m ，-22m +3）， ∴PM =-21m 2+2m +3-（-22m +3）=-21m 2+223m =-21（m -223）2+49， ∴S △PBC =21PM·x B =21[-21（m -223）2+49]×32=-423（m -223）2+8227，∴当m =223时，S △PBC 最大，最大值为8227， ∴点P （223，415），M （223，23）， ∵ B （23，0），C （0,3）， ∴F （223，23）， ∴点M 和点F 重合, 作点P （223，415）关于y 轴的对称点P '（-223，415），再作点F （223，23）关于x 的对称点F '（223，-23）， 连接F P ''交y 轴于点G ,交x 轴于点H ,连接PG ,FH ，解得xx，过点E作EQ∥y轴交BC于点Q,x+3，∵△ECB的面积等于△PCB的面积,∴EQ =PM最大,∴E （42229211225+-+，）或（211225-，422189--） 或（227，47）.第2题解图②3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝21x 2-21x +m 的图象交x 轴于B 、C 两点，一次函数y =a x +b 的图象过点B ，与抛物线相交于另一点A （4，3）.（1）求m 的值及一次函数的解析式；（2）如图②，若点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，过P 作PQ ∥x 轴，且PQ ＝4（点Q 在点P 右侧）．以PQ 为一边作矩形PQEF ，且点E 在直线AB 上．点M 是抛物线上另一个动点，且4S △BCM = 5S 矩形PQEF ，当矩形PQEF 的周长最大时，求出此时点P 和点M 的坐标；（3）如图②，在（2）的结论下，连接AP 、BP ，设QE 交x 轴于点D ，现将矩形PQEF 沿射线DB 以每秒1个单位长度的速度平移，当点D 到达点D '时停止，记平移时间为t ，平移后的矩形PQEF 为P 'Q 'E 'F '，且Q 'E '分别交直线AB 、x 轴于点N 、D '，设矩形P'Q'E'F'与△ABP的重叠部分面积为S，当NA＝85ND'时，求S 的值．图①图②第3题图解：(1)∵点A（4，3）在二次函数y＝21x2-21x+m的图象上，∴21×16-21×4+m =3，解得m =-3，则二次函数的解析式为y=21x2-21x-3，令y=0，得21x2-21x-3=0，解得x1=-2，x2=3，则点B的坐标为（-2,0），点C的坐标为（3,0）. ∵A（4,3），B（-2,0）在一次函数y=ax+b的图象上，∴⎩⎨⎧=+-=+ba23ba4，解得⎪⎩⎪⎨⎧==1b21a，∴一次函数的解析式为y=21x+1；（2）∵矩形PQEF的周长=2（PQ+EQ）=8+2EQ，要使周长最大，EQ边长最大即可.设P（a，21a2﹣21a﹣3），-2＜a＜4，∴Q （a +4，21a 2﹣21a ﹣3），E （a +4，21a +3），∴EQ ＝21a +3﹣（21a 2﹣21a ﹣3）＝﹣21（a ﹣1）2+213，∴当a ＝1时，EQ 最大，且最大值为213，∴P （1，﹣3），此时矩形PQEF 的面积为4×213=26，设在△BCM 中，BC 边上对应的高为h ，由4S △BCM =5S 矩形PQEF ， 得4×21·BC ·h =5×26， ∵BC =5， ∴h =13.设M 点的横坐标为x ，依题意得3x 21x 212--=13， 解得x =21291±，则点M 的坐标为（21291-，13）或（21291+，13）； （3）①当点N 在线段AE 上时，如解图，有DD ′＝t ，OD ′＝5﹣t ，D ′（5﹣t ，0），N （5﹣t ，﹣21t +27），过点A 作AH ⊥ND ′，垂足为H ，第3题解图∴AH ∥x 轴，∴NH ＝﹣21t +27﹣3＝﹣21t +21，∴M （0，1）， ∴OM ＝1， ∴BM ＝5， ∴sin ∠MBO ＝51， ∵AH ∥x 轴， ∴∠NAH ＝∠MBO ， ∴sin ∠NAH ＝51， ∴NA NH51， ∴NA ＝5（﹣21t +21）， ∵NA ＝85ND ′， ∴5（﹣21t +21）＝85（﹣21t +27）， 解得t ＝71，∵BP 的解析式为y ＝﹣x ﹣2，∴x J ＝76，y J ＝﹣720，∴J （76，﹣720），∵M （76，-710），∴MJ ＝730，同理：IP ＝29，∴S ＝S 梯形+S △IP A ＝21（MJ +IP ）×|x P ﹣x M |+21IP ×|x A ﹣x M |＝21×（730+29）×（1﹣76）+21×29×（4﹣1）＝98723， ②当点N 在AB 上时，同理可得 S ＝21×（2+29）×35+21×（1+29）×（310﹣1）＝671． ∴综上所述，S 的值为98723或671.类型三 与特殊三角形有关的问题4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣22x 2+x +22与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C. （1）求线段AC 的长度；（2）P 为线段BC 上方抛物线上的任意一点，点E 为（0， ﹣1），一动点Q 从点P 出发运动到y 轴上的点G ，再沿y 轴运动到点E ．当四边形ABPC 的面积最大时，求PG +22GE 的最小值； （3）将线段AB 沿x 轴向右平移，设平移后的线段为A 'B '，直至A 'P 平行于y 轴（点P 为第（2）问中符合题意的P 点），连接直线CB '．将△AOC 绕着点O 顺时针旋转，设旋转后A 、C 的对应点分别为A ''、C '，在旋转过程中直线A ''C '与y 轴交于点M ，与线段CB '交于点N ．当△CMN 是以MN 为腰的等腰三角形时，求CM 的长度．图① 图② 第4题图解：（1）令y ＝0，得x ＝22或-2，令x ＝0，得y ＝22， ∴A （﹣2，0），B （22，0），C （0，22）， ∴AC ＝10，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +22；（2）如解图①，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，第4题解图①设点P 的横坐标为m ，则P （m ，﹣22m 2+m +22），H （m ，﹣m +22）， ∴PH =﹣22m 2+m +22-（﹣m +22）=﹣22m 2+2m . ∵S 四边形ABPC ＝S △ABC +S △PBC ，S △ABC 是个常量， ∴四边形ABPC 的面积最大时，只需S △PBC 最大即可，S △PBC ＝21PH •x B ＝-m 2+22m =-（m -2）2+2，当m ＝2时，S △PBC 取得最大值2，此时P （2，22）， 过点E 作RE ⊥GR ，使RE 与y 轴夹角为45°，则GR ＝22GE ， 则PG +22GE ＝PG +GR ， 当P 、G 、R 三点共线时，PG +22GE 有最小值， 易得直线ER 的方程为y ＝﹣x ﹣1， 则直线PR 的解析式为y ＝x +2， 联立⎩⎨⎧+=--=2x y 1x y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=212y 212x ， ∴R （﹣212+，212-），则PR ＝226+， 即PG +22GE 的最小值为226+；（3）①当MN ＝CM 时，如解图②，过点C 作CH ⊥MN 于点H ，第4题解图②设MN ＝CM ＝a ，CH ＝x ，tan ∠MCN ＝CA B A '''＝2， 由勾股定理得，a 2＝x 2+（a ﹣21x ）2，解得x ＝54a ，则tan ∠CMH ＝MH CH ＝34＝tan ∠A ''M A '，在△A ''M A '中，A 'M ＝CO ﹣CM ＝22﹣a ，A ''A '＝2， tan ∠A A C ''''＝2，过点O 作A 'K ⊥A ''C ′，则A 'K ＝A 'A ''· sin A ″＝5102，AM ＝5， 则CM ＝22﹣5；②当MN ＝CN 时，如解图③，过点N 作NS ⊥CM 于点S ，第4题解图③设点N 的横坐标为n ， ∵tan ∠MCN ＝C A B A '''=CS NS ＝2，∴CS ＝21n ，CM ＝n ， ∵∠M A A '''＝∠MCC ′＝∠CMC ′＝∠A 'MA ″，∴A A '''＝A 'M ＝22﹣n ＝2， ∴CM ＝n ＝2；综上所述，CM 的长度为22﹣5或2． 5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－93x 2＋9311x ＋3与y 轴交于点A ，点B 在第一象限抛物线上，直线y ＝－33x ＋b 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点A ，点D 在x 轴上，BD ＝6，∠ODB ＝120°，连接OB 、CB .（1）求点A 、C 两点的坐标；（2）如图①，设点E 是第一象限OB 上方抛线线上一动点，过点E 作EF ∥y 轴交OB 于点F ，过点E 在EF 的右侧作∠FEG ＝∠BOD ，交OB 于点G ，求△EFG 周长的最大值；（3）如图②，将直线AC 沿x 轴向右平移，平移过程中直线AC 交直线BC 于点H ，交x 轴于点K ，在平移过程中，是否存在某一时刻，使△KDH 为等腰三角形？若存在，求出平移后点C 的对应点K 的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图 备用图解：（1）当x ＝0时，y ＝3，∴A(0，3)，将A(0，3)代入y＝－33x＋b中，得b＝3，∴y＝－33x＋3，当y＝0时，x＝3，∴C(3，0)；（2）如解图①，延长EF交x轴于点M，过点B作BQ⊥x轴于点Q，第5题解图①∵∠ODB＝120°，∴∠BDQ＝60°，∵BD＝6，∴BQ＝33，DQ＝3，∴B点的纵坐标为33，代入抛物线解析式可求得B点的横坐标为9，∴B(9，33)，∴直线OB的解析式为y＝33x，∴∠BOD＝30°，∵EF∥y轴，∴EM⊥x轴，∵∠FEG ＝∠BOD ， ∴△EFG ∽△OFM ， ∴EG ＝32EF ，FG ＝12EF ，∴C △EFG ＝EF ＋EG ＋FG ＝3＋32EF ，设E (m ，－39m 2＋1139m ＋3)，F (m ，33m )，∴EF ＝y E －y F ＝－39m 2＋1139m ＋3－33m ＝－39(m －4)2＋2539， ∴当m ＝4时，C △EFG 最大＝2539×(3＋32)＝25（1＋3）6; （3）存在， 设DK ＝a ，∵AO ＝3，OC ＝3， ∴∠ACO ＝∠HKO ＝30°.①当DH ＝DK ＝a 时，如解图②，过点H 作HN ⊥CD 于点N ，第5题解图②∠DHK ＝∠DKH ＝30°， ∴∠HDN ＝60°，∴ND ＝12a ，HN ＝32a ，CN ＝3－12a ，∴CRHN＝32a 3－a 2＝336，解得a ＝2， ∴K (8，0)；②当KH ＝KD ＝a 时，如解图③，过点H 作HR ⊥DK 于点R ， 则HR ＝12a ，KR ＝32a ，DR ＝a －32a ，∴CRHN ＝12a3＋a －32a＝336，解得a ＝36＋30313，∴K (114＋30313，0)； 当点K 在点D 左边时，设DK ＝KH ＝a ，同理可得2a 3－a －3a ＝336，解得a ＝213－946，K (1053－4546，0)，第5题解图③③∵∠HDK ＞∠HKD ， ∴HD ＝HK 不存在．综上所述，满足要求的K 点坐标为(8，0)、(114＋30313，0)或（46453105 ，0）． 6. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝63x 2﹣411x +33与x 轴交于点A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴，且交抛物线于点D ，连接AD ，交y 轴于点E ，连接AC ． （1）求S △ABD 的值；（2）如图②，若点P 是直线AD 下方抛物线上一动点，过点P 作PF ∥y 轴交直线AD 于点F ，作PG ∥AC 交直线AD 于点G ，当△PGF 的周长最大时，在线段DE 上取一点Q ，当PQ +53QE 的值最小时，求此时PQ +53QE 的值；（3）如图③，M 是BC 的中点，以CM 为斜边作直角△CMN ，使CN ∥x 轴，MN ∥y 轴，将△CMN 沿CB 平移，记平移后的三角形为△N M C '''，当点N ′落在x 轴上即停止运动，将此时的△N M C '''绕点C '逆时针旋转（旋转度数不超过180°），旋转过程中直线N M ''与直线CA 交于点S ，与y 轴交于点T ，与x 轴交于点W ，请问△CST 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的W N '的长度；若不能，请说明理由．图① 图② 图③ 第6题图解：（1）令y ＝0，则23x 2﹣33x +363＝0，解得x ＝233或43． ∴A （233，0），B （43，0），C （0，33）， ∵CD ∥AB ，∴S △ABD ＝S △ABC ＝21•AB •OC ＝21×235×33＝445; （2）如解图①中，第6题解图①设P （m ，63m 2﹣411m +33）． ∵A （233，0），D （2311，33）， ∴直线AD 的解析式为y ＝43x ﹣839， ∵PF ∥y 轴， ∴F （m ，43m ﹣839）， ∵PG ∥AC ，∴△PGF 的形状不变，∴PF 的值最大时，△PFG 的周长最大，∵PF ＝43m ﹣839﹣（63m 2﹣411m +33）＝﹣63m 2+27m ﹣8333， ∴当m ＝﹣a 2b ＝273时，PF 的值最大，此时P （273，﹣213），作P 关于直线DE 的对称点P '，连接P 'Q ，PQ ，作EN ∥x 轴，QM ⊥EN 于M ，∵△QEM ∽△EAO ， ∴QE QM ＝AE OE ＝53， ∴QM ＝53QE ，∴PQ +53EQ ＝PQ +QM ＝Q P '+QM ，∴当P ′、Q 、M 共线时，PQ +53EQ 的值最小， 易知直线PP ′的解析式为y ＝﹣34x +6325， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=839x 43y 6325x 34y ，可得G （501273，50393）， ∵PG ＝GP ′，∴P ′（50793，501033）， ∴P ′M ＝501033+893＝2006373， ∴PQ +53EQ 的最小值为2006373． （3）①如解图②中，当CS ＝CT 时，作CK 平分∠OCA ，作KG ⊥AC 于G ．第6题解图②易知KO ＝KG ， ∵KA OK S S CAK COK =△△＝AC OC＝52， ∴OK ＝522+•233＝315﹣63， 易证∠BW N '＝∠OCK ， ∴tan ∠BW N '＝tan ∠OCK ＝N W N B ''＝3336153-， ∵B N '＝23， ∴W N '＝215+43．②如解图③中，当TC ＝TS 时，第6题解图③易证∠BW N '＝∠OAC ，∴tan ∠BWN ′＝tan ∠OAC ＝N W N B ''＝23333， ∴W N '＝3，③如解图④中，当TS ＝TC 时，延长N 'B 交直线AC 于Q ，作BG ⊥AQ 于G ，QR ⊥AB 于R ．第6题解图④∵TS ＝TC ，∴∠TSC ＝∠TCS ＝∠ACO ，∵∠TSC +∠SQ N '＝90°，∠ACO +∠OAC ＝90°， ∴∠BQA ＝∠OAC ＝∠BAQ ， ∴BA ＝BQ ，∴AG ＝GQ ，设AQ ＝a ，则易知BG ＝a ，BQ ＝AB ＝25a ， ∵21·AQ •BG ＝21•AB •QR ， ∴QR ＝552a ，BR ＝1053a ， ∴tan ∠WB N '＝tan ∠QBR ＝34＝NW N B ''， ∴W N '＝338．④如解图⑤中，当CS ＝CT 时，第6题解图⑤由①可知，在Rt △BN ′W 中，tan ∠N ′BW ＝N B W N ''＝3336153-， ∴W N '＝215﹣43．综上所述，满足条件的WN ′的长为215+43或3或338或215﹣43．7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝-33x 2+332x +3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ．（1）求直线BC 的解析式；（2）如图②，点P 为直线BC 上方抛物线上一点，连接PB 、PC ．当 △PBC 的面积最大时，在线段BC 上找一点E （不与B 、C 重合），使PE +21BE 的值最小，求点P 的坐标和PE +21BE 的最小值； （3）如图③，点G 是线段CB 的中点，将抛物线y ＝﹣33x 2+332x+3沿x轴正方向平移得到新抛物线y'，y'经过点D，y'的顶点为F．在抛物线y'的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图①图②图③第7题图解：（1）当x＝0时，y＝﹣33x2+332x+3＝3，∴点C的坐标为（0，3），当y＝0时，有﹣33x2+332x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴点B的坐标为（3，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y＝kx+b，得：⎩⎨⎧==+3bbk3，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=3b33k，∴直线BC的解析式为y＝﹣33x+3；（2）如解图①中，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线BC于点F．作EN ⊥x 轴，第7题解图①设P （a ，﹣33a 2+332a +3），则F （a ，﹣33a +3）， ∴PF ＝﹣33a 2+3a , ∴S △PBC ＝21×PF ×3＝﹣23a 2+233a , ∴当a ＝23时，S △PBC 最大 , ∴P （23，435）， ∵直线BC 的解析式为y ＝﹣33x +3． ∴∠CBO ＝30°，EN ⊥x 轴， ∴EN ＝21BE ， ∴PE +21BE ＝PE +EN ，∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P ，E ，N 三点共线且垂直于x 轴时，PE +21BE 值最小． ∴PE +21BE ＝PE +EN ＝PM ＝435； （3）存在，点Q 坐标为(3,23),(3,-532),∵D 是对称轴x ＝1与x 轴的交点，G 是BC 的中点， ∴D （1，0），G （23，23）， ∴直线DG 解析式y ＝3x ﹣3， ∵抛物线y ＝﹣33x 2+332x +3＝﹣33（x ﹣1）2+334沿x 轴正方向平移得到新抛物线y '，y '经过点D , ∴y '=﹣33（x ﹣3）2+3343，∴F （3，334）， ∴对称轴为x ＝3, ∵△FGQ 为直角三角形,∴∠FGQ ＝90°或∠FQG ＝90°，∠GFQ ＝90°（不合题意，舍去） 当∠FQG ＝90°，则QG ∥x 轴； ∴Q （3，23）； 当∠FGQ ＝90°，设点Q 坐标（3，y ）, ∵FQ 2＝FG 2+GQ 2, ∴（334﹣y ）2＝（3﹣23）2+（334﹣23）2+（3﹣23）2+（23﹣y ）2．∴y ＝﹣532， ∴Q （3，﹣532），综上所述：Q 的坐标可能为（3，23）或（3，﹣532）. 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝-32x 2+34x +22与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 抛物线的顶点．（1）求直线BD 的解析式；（2）抛物线对称轴交x 轴于点E ，P 为抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥BD 于点F ，当线段PF 的长最大时，连接PE ，过点E 作射线EM ，且EM ⊥EP ，点G 为射线EM 上一动点（点G 不与点E 重合），连接PG ，H 为PG 中点，连接AH ，求AH 的最小值； （3）如图②，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线BD 上移动，点B ，D 平移后的对应点分别为点B '，D '，y 轴上有一动点M ，连接MB '，MD '，△MB 'D '是否能为等腰直角三角形？若能，请求出所有符合条件的M 点的坐标；若不能，请说明理由．图① 图 ② 图③第8题图解：（1）对于抛物线y ＝﹣32x 2+34x +22， 令y ＝0，得﹣32x 2+34x +22＝0，解得x ＝﹣2或32， ∴A （﹣2，0），B （32，0）， ∵y ＝﹣32x 2+34x +22＝﹣32（x ﹣2）2+328． ∴D （2，328）， 设直线BD 的解析式为y ＝kx +b (k ≠0)，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0b k 23328b k 2，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2434b k ， ∴直线BD 的解析式为y ＝﹣34x +42； （2）如解图①中，设P （m ，﹣32m 2+34m +22），连接PD 、PB ，作PQ ⊥OB 于Q ．第8题解图①要求PF 的最大值，易知当△PBD 面积最大时，PF 的值最大， S △PBD ＝S △PDE +S △PEB ﹣S △EDB ，＝21×328×（m ﹣2）+21×22×（﹣32m 2+34m +22）﹣21×22×328 ＝﹣32（m ﹣22）2+34，∵﹣32＜0，∴m ＝22时，△PBD 的面积最大，PF 的值最大， ∴此时P （22，22），易知点H 的运动轨迹是线段PE 的垂直平分线， ∴当AH 垂直PE 的垂直平分线时，AH 的值最小， 设AH 交EM 于K ，在Rt △EPQ 中，PE ＝22PQ EQ +＝()()22222+＝10，由△AKE ∽△EQP ， 得到PE AEEQ AK =， ∴AK ＝5102， 易知HK ＝NE ＝21PE ＝210， ∴AH ＝AK +KH ＝10109； （3）如解图②中，作MN ⊥BD 于N ．第8题解图②∵B （32，0），D （2，328）， ∴BD ＝()2232822⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+＝3210， 当MN ＝BD 时，存在△MB 'D '为等腰直角三角形（只要D ′或B ′与N 重合即可），∵直线BD 的解析式为y ＝﹣34x +42，直线BD 与y 轴的交点H （0，42），∵△HMN ∽△DBE ， ∴BE MN ＝BD HM， ∴223210＝3210HM ， ∴HM ＝9502，∴OM ＝HM ﹣OH ＝9502﹣42＝9142，∴M （0，﹣9142），点M 关于H 的对称点M ′也满足条件，此时M ′（0，9286），当M ″是HM 的中点时，M ″是等腰三角形△M ″B ′D ′的直角顶点， 此时M ″（0，9211）， 综上所述，满足条件的点M 的坐标为（0，﹣9142）或（0，9211）或（0，9286）． 类型四 与特殊四边形有关的问题9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝83x 2﹣43x ﹣3与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），过点A 的直线交y 轴于点D ，且tan ∠DAO ＝43． （1）求直线AD 的解析式；（2）如图①，若点P 是抛物线上第四象限的一个动点，过点P 作直线PF ⊥x 轴于点P ，直线PF 交AD 于E ；过点P 作PG ⊥AD 于G ，PG 交x 轴于点H ，当△PGE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标及四边形GEFH 的面积；（3）如图②，在（2）的条件下，当△PGE 的周长取得最大值时P 停止运动，连接P A 交直线CB 于Q ，将直线AD 绕点Q 旋转，旋转后的直线l 与直线AD 相交于点M ，与直线CB 相交于点N ，当四边形QDMN 为平行四边形时，求点M 的坐标．图①图②备用图第9题图解：（1）令y＝0，则83x2﹣43x﹣3＝0，解得x＝﹣2或4，∴A（﹣2，0），B（4，0），∴OA＝2，∵tan∠DAO＝43＝AODO，∴OD＝23，∴点D坐标（0，23），设直线AD解析式为y＝kx+b，代入A、D点坐标则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=bk223b，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==23b43k，∴直线AD解析式为y＝43x+23；（2）如解图①中，第9题解图①∵在点P 移动过程中，∠PEG 的大小不变， ∴PE 最长时，△PEG 的周长最大，设P （m ，83m 2﹣43m ﹣3），则E （m ，43m +23），∴PE ＝43m +23-（83m 2﹣43m ﹣3）＝﹣83m 2+23m +29＝﹣83（m ﹣2）2+6， ∵﹣83＜0，∴m ＝2时，PE 最长，△PEG 的周长最长， 此时P （2，﹣3），E （2，3），F （2，0）， ∵OD ∥PE ， ∴∠ADO ＝∠PEG ， ∵∠AOD ＝∠PGE ， ∴△AOD ∽△PGE ，∴PEADEG DO PG AO ==， ∵OA ＝2，OD ＝23，AD ＝25，PE ＝6，∴PG ＝524，EG ＝518，∵∠HPF ＝∠EPG ，∠PFH ＝∠PGE ， ∴△PFH ∽△PGE ， ∴PE PH ＝PG PF ＝GEFH ，∴PF ＝3，FH ＝49，∴S 四边形GEFH＝S △PGE ﹣S △PFH ＝21×524×518﹣21×3×49＝2001053； （3）如解图②中，作QH ⊥AD 于H ，旋转后H 的对应点为H ′．设M 点坐标（m ，43m +23）．第9题解图②∵四边形QDMN 是平行四边形， ∴DQ ∥MN ，DM ∥QN ， ∴∠QDH ＝∠DMN ＝∠QN H '， ∵∠QHD ＝∠Q H 'N ＝90°，QH ＝Q H '， ∴△QHD ≌△Q H 'N ， ∴DQ ＝QN ，∴四边形QDMN 是菱形，∴DQ ＝DM ，∵直线AP 解析式为y ＝﹣43x ﹣23，直线CN 的解析式为y ＝43x ﹣3， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=3x 43y 23x 43y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==49y 1x ， ∴点Q 坐标（1，﹣49）， ∵DQ ＝DM ，∴12+（23+49）2＝m 2+（43m ）2， 解得m ＝±5241， ∴点M 的坐标为（5241，202413+23）或（﹣5241，﹣202413+23）． 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝-21x 2-x 27-3交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ． （1）求直线AC 的解析式；（2）①点P 是直线AC 上方抛物线上的一动点（不与点A ，点C 重合），过点P 作PD ⊥AC 于点D ，求PD 的最大值；②当线段PD 的长度最大时，点Q 从点P 出发，先以每秒一个单位的速度沿适当的路径运动到y 轴上的点M 处，再沿MC 以每秒10个单位的速度运动到点C 停止．当点Q 在整个运动中用时最少时，求点M 的坐标；（3）将△BOC 沿直线BC 平移，点B 平移后的对应点为点B '，点O 平移后的对应点为点O '，点C 平移后的对应点为点C '，点S 是坐标平面内一点，若以A 、C 、O '、S 为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点S 的坐标．图① 图② 备用图 第10题图解：（1）对于抛物线y ＝-21x 2-27x -3，令x ＝0，得y ＝﹣3， ∴C （0，﹣3），令y ＝0，得x 2+7x +6＝0，解得x ＝﹣6或﹣1， ∵点A 在点B 的左侧， ∴A （﹣6，0），B （﹣1，0）， 设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，则有⎩⎨⎧=+--=0b k 63b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3b 21k ，∴直线AC 的解析式为y ＝﹣21x ﹣3； （2）①如解图①中，设P （m ，-21m 2-27m -3），连接P A 、PC ，作PK ∥y 轴交AC 于K ，则K （m ，﹣21m ﹣3）．第10题解图①∵PD ⊥AC ，AC ＝35，∴PD 最大时，△P AC 的面积最大，∵S △P AC ＝21×（﹣21m 2﹣27m -3+21m +3）×6＝﹣23（m +3）2+227， 又∵﹣23＜0，∴m ＝﹣3时，△P AC 的面积最大，最大值为227，此时P （﹣3，3），21×AC ·PD ＝227， ∴PD ＝559； ②如解图②中，在x 轴上取一点N （1，0），作直线CN ，作PK ⊥直线CN 于K 交y 轴于M ．第10题解图②∵OC ＝3，ON ＝1， ∴CN ＝10， ∴sin ∠OCN ＝CN ON ＝CM MK＝101， ∴MK ＝10CM ， ∵点Q 在整个运动的时间＝PM +10CM＝PM +MK ＝PK ， 根据垂线段最短可知，点M 即为所求的点， ∵直线CN 的解析式为y ＝3x ﹣3，PK ⊥CN ， ∴直线PK 的解析式为y ＝﹣31x +2， ∴M （0，2）；（3）①如解图③和④中，当四边形ACSO'是菱形时，设AS交C O'于K，AC＝A O'＝35，第10题解图③第10 题解图④∵点O′在直线y＝﹣3x上，A（﹣6，0），设O′（m，﹣3m），∴26m）（++2m3）（-＝（35）2，解得m＝101436±-，∴O′（101436--，1014918+）或（101436+-，1014918-），又∵C（0，-3），根据中点坐标公式可得K（201436--，2014912+-）或（201436+-，2014912--），∵AK＝KS，∴S（1014354-，1014912+-）或（1014354+，1014912--）；②如解图⑤和⑥中，当四边形AC O'S是菱形时，设CS交A O'于K，AC＝C O'＝35，第10题解图⑤ 第10题解图⑥∵点O ′在直线y ＝﹣3x 上，C （0，﹣3），设O ′（m ，﹣3m ），∴m 2+（﹣3m +3）2＝253）（，解得m ＝3或﹣56，∴O '（3，﹣9）或（﹣56，518）， ∴K （﹣23，﹣29）或（﹣518，59），∵CK ＝KS ，∴S （﹣3，﹣6）或（﹣59 ，533）； ③如解图⑦中，当四边形ASC O '是菱形时，S O '垂直平分线段AC ，第10题解图⑦直线S O '的解析式为y ＝2x +29， 由⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x 3y 29x 2y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=1027y 109x ， ∴O '（﹣109，1027）， ∵KS ＝K O '，K (-3，-23）， ∴S （﹣1051，﹣1057）， 综上所述，满足条件的点S 坐标为S （1014354-，1014912+-）或（1014354+，1014912--）或（﹣3，﹣6）或（﹣59，533）或（﹣1051，﹣1057）；。
二次函数综合压轴题
二次函数综合压轴题一、题目描述给定二次函数y=ax2+bx+c，其中a eq0，试回答以下问题：1.当a>0时，二次函数的图像开口向上还是向下？2.当a<0时，二次函数的图像开口向上还是向下？3.求二次函数的顶点坐标，并判断顶点是函数的最大值还是最小值。
4.求二次函数的对称轴方程。
二、问题解答1. 当 a>0 时，二次函数的图像开口向上还是向下？当a>0时，二次函数的图像开口向上。
这是因为二次函数的开口方向与二次系数 a 的正负有关系。
2. 当 a<0 时，二次函数的图像开口向上还是向下？当a<0时，二次函数的图像开口向下。
和前一问的解释类似，当二次系数 a为负数时，二次函数的图像将向下方向打开。
3. 求二次函数的顶点坐标，并判断顶点是函数的最大值还是最小值。
二次函数的顶点坐标可以通过求解顶点的横坐标公式 $x=-\\frac{b}{2a}$ 和代入得出的y坐标来求得。
顶点坐标即为二次函数的最值点。
考虑二次函数y=ax2+bx+c，代入公式可得 $x=-\\frac{b}{2a}$。
将 x 的值代入原方程，即可求得对应的 y 值。
若 a>0，则二次函数的图像开口向上，顶点为函数的最小值；若 a<0，则二次函数的图像开口向下，顶点为函数的最大值。
4. 求二次函数的对称轴方程。
二次函数的对称轴是过顶点的垂直线。
对称轴方程可以通过将顶点的横坐标公式 $x=-\\frac{b}{2a}$ 代入直线方程的一般形式 $x=\\frac{b}{2a}$ 得到。
对称轴方程为 $x=\\frac{b}{2a}$。
三、总结本文简要介绍了二次函数的相关概念和性质，通过回答一系列问题对其进行了深入探讨。
我们得知，当二次系数 a 的正负不同时，二次函数的图像开口方向、顶点的性质和对称轴方程都会有所不同。
希望通过本文的解答，能够对二次函数的相关问题有更深入的理解。
中考数学专题复习《二次函数综合压轴题》测试卷(附带答案)
中考数学专题复习《二次函数综合压轴题》测试卷(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________(x+2)(x－m) (m>0)与x轴交于B C 与y轴交于点1．如图已知抛物线的方程y=－1mE,且点B在点C的左侧抛物线还经过点P(2 2)（1）求该抛物线的解析式（2）在(1)的条件下求△BCE的面积（3）在(1)的条件下在抛物线的对称轴上找一点H 使EH+BH的值最小．求出点H的坐标．2．两条抛物线C1:y1=3x2−6x−1与C2:y2=x2−mx+n的顶点相同．（1）求抛物线C2的解析式（2）点A是抛物找C2在第四象限内图象上的一动点过点A作AP⊥x轴P为垂足求AP+ OP的最大值（3）设抛物线C2的顶点为点C点B的坐标为(−1,−4)问在C2的对称轴上是否存在点Q使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB′且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点Q的坐标若不存在请说明理由．3．如图抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1 0）B（0 ﹣2）并与x轴交于点C 点M 是抛物线对称轴l上任意一点（点M B C三点不在同一直线上）．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式（2）在抛物线上找出两点P1P2使得△MP1P2与△MCB全等并求出点P1P2的坐标（3）在对称轴上是否存在点Q 使得△BQC为直角若存在作出点Q（用尺规作图保留作图痕迹）并求出点Q的坐标．4．如图在平面直角坐标系中二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A B两点B点的坐标为（3 0）与y轴交于点C（0 ﹣3）点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．（2）连接PO PC 并将△POC沿y轴对折得到四边形POP′C 如果四边形POP′C为菱形,求点P的坐标．（3）如果点P在运动过程中能使得以P C B为顶点的三角形与△AOC相似请求出此时点P的坐标．5．如图抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1 0）B（5 0）两点直线y＝﹣3x+34与y轴交于点C 与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点过点P作PF△x 轴于点F 交直线CD于点E 设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式(2)求PE的长最大时m的值．(3)Q是平面直角坐标系内一点在(2)的情况下以PQCD为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在直接写出点Q的坐标若不存在请说明理由．x−2的图象分别交x y轴于点A B抛6．如图在平面直角坐标系中一次函数y=12物线y=x2+bx+c经过点A B点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式（2）如图1所示过点P作PM//y轴分别交直线AB x轴于点C D若以点P B C为顶点的三角形与以点A C D为顶点的三角形相似求点P的坐标（3）如图2所示过点P作PQ⊥AB于点Q连接PB当ΔPBQ中有某个角的度数等于∠OAB 度数的2倍时请直接写出点P的横坐标．x2+bx+c与x轴相交于点A B与y轴相交于点C其中B(6,0) 7．如图抛物线y=12C(0,−6)．(1)求该抛物线的函数表达式(2)点P（m n）（0＜m＜6）在抛物线上当m取何值时△PBC的面积最大？并求出△PBC 面积的最大值(3)在（2）中△PBC面积取最大值的条件下点M是抛物线的对称轴上一点在抛物线上确定一点N使得以A P M N为顶点的四边形是平行四边形写出所有符合条件的点N 的坐标并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．8．如图二次函数y=−x2+6x的图象与x轴的正半轴交于点A经过点A的直线与该函数图象交于点B(1，5)与y轴交于点C．(1)求直线AB的函数表达式及点C的坐标(2)点P是二次函数图象上的一个动点且在直线AB上方过点P作直线PE⊥x轴于点E 与直线AB交于点D设点P的横坐标为m．OC时求m的值①当PD=12②设△PAB的面积为S求S关于m的函数表达式并求出S的最大值．9．如图在平面直角坐标系中二次函数y=−x2+bx+c的图象与轴交于A B点与y 轴交于点C(0,3)点B的坐标为(3,0)点P是抛物线上一个动点．(1)求二次函数解析式(2)若P点在第一象限运动当P运动到什么位置时△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值(3)连接PO，PC并把△POC沿CO翻折那么是否存在点P使四边形POP′C为菱形若不存在请说明理由．10．如图二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A B两点与y轴交于C点其中B(1,0)C(0,3)．(1)求这个二次函数的表达式(2)点P是二次函数图像上x轴下方的一个动点过点P作PQ∥y轴交直线AC于点Q连接CP 将△PCQ沿PC折叠当Q的对应点Q′恰好落在y轴上时请求出点Q的坐标(3)在二次函数的图象上是否存在点M使得∠MAC=∠OCB?若存在请求出M点坐标若不存在请说明理由．11．如图在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+3过点(2,3)且交x轴于点A(−1,0) B两点交y轴于点C．(1)求抛物线的表达式(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点过点P作PD⊥BC于点D过点P作y轴的平行线交直线BC于点E：①当点P运动到抛物线顶点时求此时△PDE的面积②点P在运动的过程中是否存在△PDE周长的最大值若存在请求出△PDE周长的最大值及此时点P的坐标若不存在请说明理由．12．已知抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于点A(1,0)B(3,0)与y轴交于点C．2(1)求抛物线的解析式(2)如图1 抛物线顶点为D点P在抛物线上若∠PDC=∠OCB求点P的坐标(3)如图2 直线EF过点(3,−1)交抛物线于E,F两点（点E在点F左侧且点E不与点A 重合）直线AE,AF分别交y轴于点G,H．请判断：OG⋅OH是否为定值如果是定值求其定值若不是请说明理由．13．如图抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2)点B是抛物线的顶点直线x=2是抛物线的对称轴且与x轴交于点C．(1)求抛物线的函数解析式(2)点D是对称轴左侧抛物线上一点连接BD∠DBC=45°,求点D的坐标．(3)在(2)的条件下若点M是x轴上方抛物线对称轴上一点点P在坐标平面内且以点AD M P为顶点的四边形是以AD为边的菱形请求出所有符合条件的点M的坐标14．如图所示在等腰△ABC中AB=AC以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系抛物线y=−12x2+72x+4经过A B两点．(1)写出点A B的坐标．(2)若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移分别交线段OA CA和抛物线于点E点M和点P连接PA PB．设直线l移动的时间为t（0<t<4）秒求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式并求出四边形PBCA的最大面积．(3)在（2）的条件下抛物线上是否存在一点P使得△PAM是直角三角形？若存在请求出点P的坐标若不存在请说明理由．15．已知抛物线y=ax2+bx+3过点E(−2,3)与x轴交于点A,B(1,0)交y轴于点C顶点为D．(1)求抛物线解析式(2)在第一象限内的抛物线上求点M使SΔACM=SΔACD求点M的坐标(3)F是第一象限内抛物线上一点P是线段AD上一点点Q(m,0)在A点右侧且满足∠FDP=∠FPQ=∠PAQ当m为何值时满足条件的点P只有一个？16．如图抛物线C：y=ax2+6ax+9a−8与x轴相交于A B两点（点A在点B的左侧）已知点B的横坐标是2 抛物线C的顶点为D．(1)求a的值及顶点D的坐标(2)点P是x轴正半轴上一点将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C1记抛物线C1的顶点为E抛物线C1与x轴的交点为F G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1）求抛物线C1的表达式(3)如图2 在（2）的条件下从A B D中任取一点E F G中任取两点若以取出的三点为顶点能构成直角三角形我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时求点P的坐标．17．综合与探究：如图在平面直角坐标系中直线y=kx+4与x轴交于点A(−4,0)与y轴交于点C抛物线y=−x2+bx+c经过A C两点且与x轴的正半轴交于点B．(1)求k的值及抛物线的解析式．(2)如图① 若点D为直线AC上方抛物线上一动点当∠ACD=2∠BAC时求D点的坐标(3)如图② 若F是线段OA的上一个动点过点F作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点G E连接CE．设点F的横坐标为m．①当m为何值时线段EG有最大值并写出最大值为多少②是否存在以C G E为顶点的三角形与△AFG相似若存在直接写出m的值若不存在请说明理由．18．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1 0）和点B（5 0）与y轴交于点C（0 3）．该x+c相交于C D两点点P是抛物线上的动点且位于x轴下方直线抛物线与直线y=35PM△y轴分别与x轴和直线CD交于点M N．（1）求该抛物线所对应的函数解析式（2）连结PC PD 如图1 在点P运动过程中△PCD的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值若不存在说明理由（3）连结PB 过点C作CQ△PM 垂足为点Q 如图2 是否存在点P 使得△CNQ与△PBM 相似？若存在求出满足条件的点P的坐标若不存在说明理由．19．已知抛物线与x轴交于A(2,0)B(−3,0)两点与y轴交于点C(0,−6)．（1）求此抛物线的表达式及顶点的坐标（2）若点D是x轴下方抛物线上的一个动点（与点A C B不重合）过点D作DF⊥x轴于点F交直线BC于点E．设点D的横坐标为m试用含m的代数式表示DE的长（3）如图2 若点M(−1,a)N(−2,b)也在此抛物线上问在y轴上是否存在点Q使∠MQN=45∘若存在请直接写出点Q的坐标若不存在请说明理由．20．如图1 在平面直角坐标系中O是坐标原点．点A在x轴的正半轴上点A的坐标为x2+bx+c经过O A B三点直线AB的表达式为y=（10 0）．一条抛物线y=−14x+5且与抛物线的对称轴交于点Q．−12（1）求抛物线的表达式（2）如图2 在A B两点之间的抛物线上有一动点P连结AP BP设点P的横坐标为m△ABP的面积S求出面积S取得最大值时点P的坐标（3）如图3 将△OAB沿射线BA方向平移得到△DEF在平移过程中以A D Q为顶点的三角形能否成为等腰三角形？如果能 请直接写出此时点E 的坐标（点O 除外） 如果不能 请说明理由．参考答案1．（1）解：将P 点代入函数式得：−1m (2+2)(2−m )=2, 解得: m=4,△ 该抛物线的解析式为： y =−14x 2+12x +2 .（2）解： 由（1）得-14(x+2)(x -4)=0, 解得x=-2或x=4, △B （-2,0） C （4,0） △BC=4-（-2）=6 当x=0, y=2, △OE=2.△S △BCE =12×BC ×OE=12×6×2=6（3）解： 如图 作E 关于抛物线对称轴的对称点F 连接BF 交y 轴于点H△y =−14(x −1)2+94 则F （2,2）, EH+BH=FH+HB=FB,设直线FB 的解析式为：y=kx+b, △{0=−2k +b,2=2k +b,) 解得:{k =12b =1),故y=12x +1 ,当x=1, y=12×1+1=32△H （1,32）.2．解:（1）y 1=3x 2−6x −1的顶点为(1,-4)△抛物线C 1:y 1=3x 2−6x −1与C 2: y 2=x 2−mx +n 的顶点相同 △m =2 n =−3 △y 2=x 2−2x −3 （2）作AP ⊥x 轴 设A (a,a 2−2a −3) △A 在第四象限 △0<a <3△AP =−a 2+2a +3 PO =a△AP +OP =−a 2+3a +3=−(a −32)2+214△0<a <3△AP +OP 的最大值为214（3）假设C 2的对称轴上存在点Q 过点B′作B′D ⊥l 于点D △∠B′DQ =90°①当点Q 在顶点C 的下方时△B(−1,−4) C(1,−4) 抛物线的对称轴为x =1 △BC ⊥l BC =2 ∠BCQ =90° △ΔBCQ △ΔQDB′（AAS ） △B′D =CQ QD =BC 设点Q(1，b)△B′D =CQ =−4−b QD =BC =2 可知B′(−3−b,2+b)△(−3−b)2−2(−3−b)−3=2+b △b 2+7b +10=0 △b =−2或b =−5△b <−4 △Q(1,−5)②当点Q 在顶点C 的上方时 同理可得Q(1,−2) 综上所述：Q(1,−5)或Q(1,−2)3．解：（1）把A （﹣1 0） B （0 ﹣2）代入抛物线y ＝x 2+bx+c 中得： {1−b +c =0c =−2解得：{b =−1c =−2△抛物线所表示的二次函数的表达式为：y ＝x 2﹣x ﹣2 （2）如图1 P 1与A 重合 P 2与B 关于l 对称△MB ＝P 2M P 1M ＝CM P 1P 2＝BC △△P 1MP 2△△CMB△y ＝x 2﹣x ﹣2＝（x ﹣12）2﹣94 此时P 1（﹣1 0）△B （0 ﹣2） 对称轴：直线x ＝12△P 2（1 ﹣2）如图2 MP 2△BC 且MP 2＝BC此时 P 1与C 重合△MP 2＝BC MC ＝MC △P 2MC ＝△BP 1M △△BMC△△P 2P 1M △P 1（2 0）由点B 向右平移12个单位到M 可知：点C 向右平移12个单位到P 2 当x ＝52时 y ＝（52﹣12）2﹣94＝74△P 2（52 74）如图3 构建▱MP 1P 2C 可得△P 1MP 2△△CBM 此时P 2与B 重合由点C 向左平移2个单位到B 可知：点M 向左平移2个单位到P 1 △点P 1的横坐标为﹣32当x ＝﹣32时 y ＝（﹣32﹣12）2﹣94＝4﹣94＝74△P 1（﹣3274） P 2（0 ﹣2）（3）如图4 存在作法：以BC 为直径作圆交对称轴l 于两点Q 1 Q 2 则△BQ 1C ＝△BQ 2C ＝90° 过Q 1作DE△y 轴于D 过C 作CE△DE 于E 设Q 1（12 y ）（y ＞0）易得△BDQ 1△△Q 1EC △BDQ 1E=DQ 1EC△2+y 2−12=12yy 2+2y ﹣34＝0 解得：y 1＝−2−√72（舍） y 2＝−2+√72△Q 1（12−2+√72）同理可得：Q 2（12−2−√72）综上所述 点Q 的坐标是：（12 −2+√72）或（12−2−√72）．4．解：（1）将B C 点代入函数解析式 得：{9+3b +c =0c =−3 解得：{b =−2c =−3 这个二次函数y ＝x 2+bx +c 的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3（2）△四边形POP ′C 为菱形 △OC 与PP ′互相垂直平分 △yP =−OC 2=−32 即x 2﹣2x ﹣3=−32解得：x 1=2+√102x 2=2−√102（舍） P （2+√102，−32）（3）△△PBC ＜90° ∴分两种情况讨论：①如图1 当∠PCB ＝90°时 过P 作PH △y 轴于点H BC 的解析式为y ＝x ﹣3 CP 的解析式为y ＝﹣x ﹣3 设点P 的坐标为（m ﹣3﹣m ） 将点P 代入代入y △x 2﹣2x ﹣3中 解得：m 1＝0（舍） m 2＝1 即P （1 ﹣4）AO ＝1 OC ＝3 CB =√32+32=3√2 CP =√12+（−4+3）2=√2 此时BC CP=CO AO=3△AOC △△PCB②如图2 当∠BPC ＝90°时 作PH △y 轴于H 作BD △PH 于D ． △PC △PB △△PHC △△BDP △PH HC=BD PD．设点P 的坐标为（m m 2﹣2m ﹣3） 则PH =m HC =－（m 2﹣2m ﹣3）－（－3）=－m 2+2m BD =－（m 2﹣2m ﹣3） PD =3－m △m−m 2+2m=−(m 2−2m−3)3−m△1m−2=−(m +1) 解得：m =1+√52或1−√52（舍去）．当m =1+√52时 m 2﹣2m ﹣3=−5+√52．△△PHC △△BDP △PCPB=HC PD =−m 2+2m 3−m =√5−15−√5=√5=√55≠CO AO=3 以P C B 为顶点的三角形与△AOC 不相似．综上所述：P C B 为顶点的三角形与△AOC 相似 此时点P 的坐标（1 ﹣4）．5．解：（1）将A （﹣1 0） B （5 0）代入y =﹣x 2+bx +c 得： {−1−b +c =0−25+5b +c =0 解得：{b =4c =5∴抛物线的解析式为y =﹣x 2+4x +5． （2）∵直线y =−34x +3与y 轴交于点C 与x 轴交于点D ∴点C 的坐标为（0 3） 点D的坐标为（4 0） △0＜m ＜4．∵点P 的横坐标为m ∴点P 的坐标为（m ﹣m 2+4m +5） 点E 的坐标为（m −34m +3） △PE =﹣m 2+4m +5﹣（−34m +3）=﹣m 2+194m +2=﹣（m −198）2+48964．△﹣1＜0 0＜198＜4 ∴当m =198时 PE 最长．（3）由（2）可知 点P 的坐标为（198，56764）．以PQCD 为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图所示）： ①以PD 为对角线． ∵点P 的坐标为（198，56764） 点D 的坐标为（4 0） 点C 的坐标为（0 3） ∴点Q 的坐标为（198+4﹣056764+0﹣3） 即（518，37564）②以PC 为对角线． ∵点P 的坐标为（198，56764） 点D 的坐标为（4 0） 点C 的坐标为（0 3） ∴点Q 的坐标为（198+0﹣456764+3﹣0） 即（−138，75964）③以CD 为对角线． ∵点P 的坐标为（198，56764） 点D 的坐标为（4 0） 点C 的坐标为（0 3） ∴点Q 的坐标为（0+4−198 3+0−56764） 即（138，−37564）．综上所述：在（2）的情况下 存在以PQCD 为顶点的四边形是平行四边形 点Q 的坐标为（518，37564） （−138，75964）或（138，−37564）．6．解：（1）令x =0 得y =12×0−2=−2 则B (0,−2)令y =0 得12x −2=0 解得x =4 则A (4,0) 把A (4,0) B (0,−2)代入y =x 2+bx +c (a ≠0)中 得：{16+4b +c =0c =−2解得：{b =−72c =−2∴抛物线的解析式为：y =x 2−72x −2（2）∵PM//y 轴∴∠ADC =90°∵∠ACD =∠BCP∴以点P B C 为顶点的三角形与以点A C D 为顶点的三角形相似 存在两种情况：∠CBP =90°或∠CPB =90°①设P (x,x 2−72x −2) 则C (x,12x −2) 当∠CBP =90°时 如图1 过P 作PN ⊥y 轴于N 则△PBC △△ADC △CD △OB△△DCA =△OBA △DAC =△OAB △△ADC △△AOB又△△BPC =△NBP △PBC =△BNP △△PBC △△BNP∴ΔAOB ∽ΔBNP∴AO BN=OB PN即4−2−(x 2−72x−2)=2x整理得2x 2−3x =0 解得：x 1=0（舍） x 2=32∴P (32,−5)②如图2 当∠CPB =90°时 则△BPC △△ADC △PB △y 轴则点B 和点P 是对称点 点B （0 -2） 当y =−2时 x 2−72x −2=−2x 1=0（舍） x 2=72∴P (72,−2)综上 点P 的坐标是(32,−5)或(72,−2)（3）分两种情况： ①当∠PBQ =2∠OAB 时过P 作PG △y 轴于G 过B 作BH △x 轴交PQ 于H △∠HBQ =∠OAB △∠PBH =∠HBQ =∠OAB△∠HBQ+∠OBA=90° ∠PBH+∠PBG =90° △∠GBP =∠OBA △ΔGBP ∽ΔOBA△OAPG =OBGB 即GBPG =OBOA =24=12设P （x x 2−72x −2） GB=12PG=12x △P 点纵坐标为-2-12x 则x 2−72x −2=−2−12x整理得x 2−3x =0 解得x 1=3,x 2=0（舍去） △点P 的横坐标是3②当∠BPQ =2∠OAB 时 如图取AB 的中点E 连结OE 过点P 作PG △x 轴与点G 交直线AB 于点H 连结AP 则△BPQ =△OEF设点P (t,t 2−72t −2) 则H (t,12t −2) △PH =12t −2−(t 2−72t −2)=−t 2+4t △OB =2 OA =4由勾股定理得AB =√OA 2+OB 2=√42+22=2√5 △OE =BE =AE =√5由面积12OA ⋅OB =12OF ⋅AB 即OF =OA⋅OB AB=2√5=4√55△EF =√OE 2−OF 2=√(√5)2−(4√55)2=3√55△由面积S ΔABP =12OA ⋅PQ =12PH ⋅OA △2√5⋅PQ =4(−t 2+4t ) △PQ =22√5△△OFE =△PQB=90° △△PBQ △△EOF △PQBQ =EFOF 即−2t 2+8t√5BQ=3√554√55△−2t 2+8t √5⋅4√553√55=23√5△BQ 2+PQ 2=PH 2 △(23√5)2+(22√5)2=t 2+(t 2−72t −2+2)2化简得 44t 2−388t +803=0△t 1=112（舍） t 2=7322 点P 的横坐标是7322综上 存在点P 使得ΔPBQ 中有某个角的度数等于∠OAB 度数的2倍时 其P 点的横坐标为3或7322． 7．（1）解：△y=12x 2+bx+c 过点B(6,0) C(0,−6)△{0=18+6b+c −6=c解方程组得b=−2,c=−6△该抛物线的函数表达式为：y=12x 2−2x−6（2）解：如下图所示 过点P 作PD⊥x 轴 交CB 于点H 过点C 作CE⊥EP 垂足为E△SΔCHP=12PH·CE SΔHPB=12HP·DB OB=CE+DB△SΔCPB=SΔCHP+SΔHEB=12PH·CE+12HP·DB=12PH·OB△OC=OB=6△∠OCB=∠OBC=45°,△ΔHDB为等腰直角三角形△DB=DH=6−m△PD=−n△PH=−n−(6−m)=m−n−6△n=12m2−2m−6△PH=m−(12m2−2m−6)−6=−12m2+3m△SΔCPB=12PH·OB=12×(−12m2+3m)×6=−32m2+9mSΔCPB=−32m2+9m=−32(m2−6m+9−9)=−32(m−3)2+272△当m=3时SΔCPB最大且最大值为272（3）解：△当m=3时n=12×9−6−6=−152△点P(3,−152)△y=12x2−2x−6=12(x−2)2−8△抛物线的对称轴为x=2当y=0时12(x−2)2−8=0解得x1=6,x2=−2△点A(−2,0)△OA=2如下图所示当四边形AMPN为平行四边形时作PF垂直对称轴垂足为F过点N作NF⊥x轴垂足为E由题意得PF=3−2=1△NE∥MF,AM∥NP△NF AM MF NP构成的四边形为平行四边形△∠ENP=∠AMF△∠ANP=∠AMP△∠ANE=∠FMP△∠NAE=∠FPM△{∠ANE=∠FMP AN=PM ∠NAE=∠FPM△△ANE≌△PMF △AE=PF=1△OE=OA−AE=1设点N(m,n)△m=−1n=12×1+2−6=−72△点N(−1,−72)如下图所示当四边形AMNP为平行四边形时作NE垂直对称轴垂足为E过点P作PF⊥x轴垂足为F△ME∥PF,AP∥MB △∠EMN=∠APF △∠PAF=∠ENM△{∠APF=∠NME AP=MN ∠PAF=∠MNE△△APF≌△MEN△EN=AF=AO+OF=5设点N(m,n)△m=EN+2=7n=12×49−14−6=92△点N(7,92)如下图所示当四边形ANMP为平行四边形时作PF垂直对称轴垂足为F过点N作NE⊥x轴垂足为E△AN∥PM,NE∥MF△∠ENA=∠FMP△∠NAE=∠FPM△{∠ENA=∠FMPAN=MP ∠NAE=∠FPM△△AEN≌△MPF△AE=PF=1△OE=AE+OA=3设点N(m,n)△m=−3 n=12×9+6−6=92△点N(−3,92)故符合条件的点N 的坐标为：N(−1,−72) N(7,92) N(−3,92)．8．（1）解：在y =−x 2+6x 中 当y =−x 2+6x =0时 解得x =6或x =0 △A(6，0)设直线AB 解析式为y =kx +b△{6k +b =0k +b =5△{k =−1b =6△直线AB 解析式为y =−x +6在y =−x +6中 当x =0时 y =6△C(0，6)（2）解：①由题意得 P(m ，−m 2+6m)△PE ⊥x 轴△D(m ，−m +6)△PD =−m 2+6m −(−m +6)=−m 2+7m −6△C(0，6)△OC =6△PD =12OC△−m 2+7m −6=3解得m =7−√132或m =7+√132②△S △PAB =S △PDB +S △PDA△S =12PD ⋅(x P −x B )+12PD ⋅(x A −x P ) =12PD ⋅(x A −x B ) =52PD =52(−m 2+7m −6) =−52(m −72)2+1258△−52<0△当m =72时 S 有最大值 最大值为12589．（1）解：将B(3,0) C(0,3)代入y =−x 2+bx +c得{−9+3b +c =0c =3解得{b =2c =3△二次函数的解析式为y =−x 2+2x +3．（2）设P(x,−x 2+2x +3)设直线BC 的解析式为y =mx +n则{3m +n =0n =3解得{m =−1n =3△直线BC 的解析式为y =−x +3设Q(x,−x +3)△S △CPB =S △BPQ +S △CPQ =12QP ⋅OB =12(−x 2+3x)×3=−32(x −32)2+278当x =32时 △CPB 的面积最大 −x 2+2x +3=−(32)2+2×32+3=154 此时 点的坐标为(32,154) △CPB 的面积最大值为278．（3）存在．如图 设点P (x,−x 2+2x +3) PP ′交CO 于点E若四边形POP ′C 是菱形 连接PP ′ 则PE ⊥OC OE =CE =32 △−x 2+2x +3=32解得x 1=2+√102 △P (2+√106,32)或P (2−√102,32)10．（1）解：△二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过B (1,0) C (0,3) △{1+b +c =0c =3 解得{b =−4c =3△这个二次函数的表达式为y =x 2−4x +3（2）解：令y =0 则x 2−4x +3=0解得x 1=1 x 2=3△A (3,0)设直线AC 的解析式为y =kx +3则0=3k+3解得k=−1△直线AC的解析式为y=−x+3将△PCQ沿PC折叠当Q的对应点Q′恰好落在y轴上时∠PCQ=∠PCQ′△PQ∥y轴△∠QPC=∠PCQ′△∠QPC=∠PCQ△QC=PQ设点P的坐标为(n，n2−4n+3)则点Q的坐标为(n，−n+3)△QC=√2n PQ=|n2−4n+3−(−n+3)|=|n2−3n|△n2−3n=√2n或n2−3n=−√2n解n2−3n=√2n得n=0（舍去）或n=3+√2（舍去）解n2−3n=−√2n得n=0（舍去）或n=3−√2当n=3−√2时−n+3=√2△点Q的坐标为(3−√2，√2)（3）解：△OC=3,OB=1△tan∠OCB=13△∠MAC=∠OCB△tan∠MAC=tan∠OCB当M在AC下方时如图所示过点C作x轴的平行线GH过点C作CT⊥CA过点A,T分别作y的平行线交GH于点G,H△OC =OA =3△AC =3√2△∠ACH =45°又△∠GCT =180°−∠ACT −∠HCA =45°△△CTG 是等腰直角三角形△tan∠MAC =tan∠OCB =13△CT =√2△CG =TG =1△T (−1,2)设直线AT 的解析式为y =kx +b{3k +b =0−k +b =2 解得：{k =−12b =32△直线AT 的解析式为y =−12x +32联立{y =−12x +32y =x 2−4x +3解得：{x =12y =54△M 点坐标为(12，54)当M 在直线AC 上方时 如图所示同理可得△CJT 是等腰直角三角形△L (4,1)同理可得直线AL 的解析式为y =−2x +6联立{y =−2x +6y =x 2−4x +3解得：{x =−1y =8 或{x =3y =0△M 点坐标为(12，54)综上所述 M 点坐标为(12，54)或(−1，8)． 11．（1）解：将(2,3)和A(−1,0)的坐标代入y =ax 2+bx +3 得{4a +2b +3=3a −b +3=0解得{a =−1b =2 ∴抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3 ,（2）解：①令y =−x 2+2x +3=0 解得x=−1或3 即点B(3,0) 令x =0 则y =3 即点C(0,3)设直线BC 的表达式为y =kx +b ′ 将B(3,0)和C(0,3)代入表达式得{0=3k +b ′3=b ′解得{k =−1b ′=3 ∴直线BC 的表达式为：y =−x +3 则OB =3,OC =3 ∵ ∠BOC =90°∴ S △BOC =12×3×3=92 BC =√OB 2+OC 2=3√2∵点P 是抛物线的顶点∴点P(1,4)∵ PE ∥y 轴∴点E 的横坐标为1 ∠PED =∠BCO∴点E(1,2)∴ PE =2∵ PD ⊥BC∴ ∠PDE =∠BOC =90°∴ △PDE∽△BOC∵ PE BC =3√2=√23∴S △PDE S △BOC=(√23)2=29∴ S △PDE =29×92=1∴ △PDE 的面积为1②存在 设点P (m,−m 2+2m +3) 则点E(m,−m +3) ∴ PE =(−m 2+2m +3)−(−m +3)=−m 2+3m ∵ −1<0 ∴抛物线开口向下∴当m =−32×(−1)=32时 PE 最大 为−(32)2+3×32=94 ∵ △PDE∽△BOC ∴C △PDE C △BOC=PE BC即C △PDE =PE BC⋅C △BOC∴当PE 最大 即PE =94时 C △PDE 最大∵ C △BOC =OB +OC +BC =3+3+3√2=6+3√2 ∴ C △PDE =943√2(6+3√2)=9√2+94∴ △PDE 周长的最大值为9√2+94此时点P 的坐标为(32,154)．12．（1）解：将A (1,0) B (3,0)代入y =ax 2+bx −32得：{a +b −32=0a ×32+b ×3−32=0解得：{a =−12b =2∴抛物线解析式为y =−12x 2+2x −32．（2）解：如图 过点C 作CQ ⊥CD 交DP 于点Q在y =−12x 2+2x −32中 令x =0 则y =−32∴ C (0,−32) 由A (1,0) B (3,0)∴OB =3,OC =32∵y =−12x 2+2x −32=−12(x −2)2+12点D 为抛物线的顶点∴点D 的坐标为(2,12)∴tan∠OCB =OB OC =332=2 ∵∠PDC =∠OCB ∴tan∠PDC =tan∠OCB =2∴CQCD=2 过点D 作DM ⊥y 轴于点M 过点Q 作QN ⊥y 轴于点N 则∠MDC +∠MCD =90°∵∠DCQ =90° ∴∠DCM +∠NCQ =90° ∴∠MDC =∠NCQ又∵∠DMC =∠CNQ =90°∴△MDC ∽△NCQ ∴MD CN =MC NQ =DC CQ =12又由题意可知：DM =2,MC =2∴2CN =2NQ =12 ∴CN =NQ =4 ∴Q (4,−112) 设l DQ :y =mx +n 则{4m +n =−1122m +n =12∴{m =−3n =132∴l DQ :y =−3x +132联立：{y =−3x +132y =−12x 2+2x −32解得：{x 1=2y 1=12 （舍去） ∴P (8,−352)（3）解：OG ⋅OH 是定值 理由如下： 设l EF :y =k (x −3)−1,x E =e,x F =f 联立：{y =k (x −3)−1y =−12x 2+2x −32整理得：x 2+(2k −4)x +1−6k =0∴{e +f =4−2k ef =1−6k设l AE :y =k 1x +b 1 联立：{y =k 1x +b 1y =−12x 2+2x −32整理得：x 2+(2k 1−4)x +3+2b 1=0∴{1+e =4−2k 1e =3+2b 1解得：{k 1=3−e 2b 1=e−32 ∴l AE :y =3−e 2x +e −32令x =0 得y =e−32∴G (0,e −32) 同理可得：H (0,f−32)∴OG =|e −32|,OH =|f −32|∴OG ⋅OH =|e −32|⋅|f −32|=|e −32⋅f −32|=|(e −3)⋅(f −3)4|=|ef −3(e +f)+9|4又∵{e +f =4−2k ef =1−6k∴OG ⋅OH =|1−6k−3(4−2k )+9|4=|−2|4=12 为定值．13．（1）解：△抛物线 y =x 2+bx +c 与y 轴交于点A (0,2) 直线 x =2是抛线物的对称轴△{c=2−b2=2解得：{c=2b=−4△y=x2−4x+2（2）解：由题意得：C(2,0)△y=x2−4x+2=(x−2)2−2△B(2,−2)△BC=2,OC=2连接OB则：∠OBC=∠BOC=45°△∠DBC=45°,△点D是直线OB与抛物线的交点设直线OB的解析式为：y=kx把B(2,−2)代入得：k=−1△y=−x联立{y=−xy=x2−4x+2解得：{x=2y=−2或{x=1y=−1△D(1,−1)（3）解：设M(2,m)(m>0)△D(1,−1)A(0,2)△AD2=(1−0)2+(−1−2)2=10AM2=22+(m−2)2=(m−2)2+4DM2= (2−1)2+(m+1)2=(m+1)2+1△点A D M P为顶点的四边形是以AD为边的菱形△分两种情况：①当AD=AM时则：(m−2)2+4=10解得：m=2+√6或m=2−√6（舍去）△M(2,2+√6)当AD=DM时则：(m+1)2+1=10解得：m=2或m=−3（舍去）△M(2,2)综上：M(2,2+√6)或M(2,2)．14．（1）解：y=−12x2+72x+4令x=0则y=4△B(0,4)令y=0则−12x2+72x+4=0解答：x1=−1,x2=8△A(8,0)点A B的坐标是：A(8,0)B(0,4)（2）解：△AB=AC OA垂直平分BC △OC=OB=4C(0,−4)设AB的解析式为y=kx+4把A(8,0)代入得8k+4=0k=−12△AB的解析式为y=−12x+4由题意得E(2t,0),P(2t,−12(2t)2+72×2t+4),Q(2t,−12×2t+4)即P(2t,−2t2+7t+4),Q(2t,−t+4)△PQ=(−2t2+7t+4)−(−t+4)=−2t2+8t四边形PBCA的面积S=S△PAB+S△ABC=12(−2t2+8t)⋅8+12×8×8=−8t2+32t+32四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式是S=−8t2+32t+32(0<t<4)△S=−8t2+32t+32=−8(t−2)2+64△t=2时S的最大值是64即四边形PBCA的最大面积是64（3）解：存在△PAM 是直角三角形 则∠PAM =90° 则△PAE ∼△AME △PEAE =AEEM 即AE 2=PE ⋅EM△PE =−2t 2+7t +4 AE =OA −OE =8−2t EM =EQ =−t +4 △(8−2t)2=(−2t 2+7t +4)(−t +4) 解得：t 1=4（舍去） t 2=32 △点P 的坐标为(3,10)．15．解：(1)依题有{4a −2b +3=3a +b +3=0解得 {a =−1b =−2∴抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3 (2)过点D 作DH ⊥y 轴于点H 由(1)得∴DH =HC =1 OA =OC =3 又∠DHC =∠AOC =90∘∴ΔDHC 和ΔAOC 都是等腰直角三角形 ∴∠DCH =∠ACO =45∘ DC =√2, AC =3√2,∴∠ACD =90∘ 即DC ⊥AC , 延长DC 至N 使CN =DC =√2 易得N (1,2)过点N 作NM//AC 交抛物线于点M ∵S ΔADC =12AC ⋅DC S ΔACM =12AC ⋅CN∴S ΔADC =S ΔACM依题有AC 的解析式为：y =x +3 设NM 的解析式为：y =x +b将点N (1,2)代入NM 的解析式得 b =1∴NM 的解析式为：y =x +1 联立{y =x +1y =−x 2−2x +3解得 {x 1=√17−32y 1=√17−12 {x 2=−√17−32y 2=−√17−12 (舍去) ∴M (√17−32,√17−12)(3)如图 延长DF 交x 轴于点E 过点D 作DG ⊥ x 轴于点G∵∠FDA =∠PAQ∴EA =ED .设OE =a 则EA =ED =a +3 GE =a +1 在RtΔDGE 中即4+(a +1)2=(a +3)2 解得 a =2. ∴E (2,0)∴直线的解析式为：y =−43x +83联立{y =−43x +83y =−x 2−2x +3解得：{x 1=13y 1=209 {x 2=−1y 2=4 ∵F 是第一象限内抛物线上一点∴F(13,20 9)∵∠APF是ΔDPF的一个外角∴∠APF=∠FDP+∠PFD∴∠APQ+∠FPQ=∠FDP+∠PFD 又∠FPQ=∠FDP∴∠APQ=∠PFD又∠PAQ=∠FDP∴ΔFDP∼ΔPAQ∴DPAQ=DFPA易得AD=2√5DF=209设DP=x则PA=2√5−x 依题有AQ=m+3∵DPAQ=DFPA∴xm+x=2092√5−x整理得x2−2√5x+209(m+3)=0Δ=20−809(m+3).△当Δ=0时满足条件的P只有一个,∴20−809(m+3)=0解得m=−34.16．（1）解：由y=ax2+6ax+9a−8可得y=a(x+3)2−8△顶点D的坐标为(−3,−8)△点B(2,0)在抛物线C上△可得0=a(2+3)2−8解得a=825（2）对于抛物线C：y=ax2+6ax+9a−8由（1）可知a=825令y =0 可得825x 2+6×825x +9×825−8=0整理可得x 2+6x −16=0 解得x 1=−8 x 2=2 △点A 在点B 的左侧 △A (−8,0) B (2,0)如下图 连接DE 作DH ⊥x 轴于H 作EM ⊥x 轴于M△D (−3,−8) △H (−3,0)根据题意 点D E 关于点B (2,0)成中心对称 △DE 过点B 且DB =EB 在△DBH 和△EBM 中{∠DHB =∠EMB =90°∠DBH =∠EBM DB =EB△△DBH ≌△EBM (AAS ) △EM =DH =8 BM =BH =5 △抛物线C 1的顶点E 的坐标为(7,8) △抛物线C 1由C 绕点P 旋转180°后得到△抛物线C 1的函数表达式为y =−825(x −7)2+8 （3）△抛物线C 1由C 绕x 轴上的点P 旋转180°后得到△顶点D E 关于点P 成中心对称 由（2）知 点E 的纵坐标为8 设点E (m,8) 如下图 作DH ⊥x 轴于H EM ⊥x 轴于M EN ⊥DN 于N△旋转中心P在x轴上△FG=AB=2BH=10△点H的坐标为(−3,0)点N的坐标为(m,−8)根据勾股定理得EF2=82+52=89显然△AEG和△BEG不可能是直角三角形分情况讨论：①当△AEF是直角三角形时显然只能有∠AEF=90°根据勾股定理得AE2=AM2+EM2=(m+8)2+82=m2+16m+128 AE2=AF2−EF2=(m+13)2−89=m2+26m+80△m2+16m+128=m2+26m+80解得m=245△OP=12(m+3)−3=12(m−3)=12×(245−3)=910△点P的坐标为(910,0)②当△BEF是直角三角形时显然只能有∠BEF=90°根据勾股定理得：BE2=BM2+EM2=(m−2)2+82=m2−4m+68BE2=BF2−EF2=(m+3)2−89=m2+6m−80△m2−4m+68=m2+6m−80解得：m=745△OP=12(m−3)=12×(745−3)=5910△点P的坐标为(5910,0)③当△DEF是直角三角形时DE2=EN2+DN2=162+(m+3)2=m2+6m+265DF2=DH2+HF2=82+(m+8)2=m2+16m+128i ）当∠DEF =90°时 DE 2+EF 2=DF 2即m 2+6m +265+89=m 2+16m +128 解得m =1135△OP =12(m −3)=12×(1135−3)=495△点P 的坐标为(495,0)ii ）当∠DFE =90°时 DF 2+EF 2=DE 2 即m 2+16m +128+89=m 2+6m +265 解得m =245△OP =12(m −3)=12×(245−3)=910△点P 的坐标为(910,0)iii ）△DE >EN =16>EF △∠EDF ≠90°．综上所述 当抛物线C 1是抛物线C 的勾股伴随同类函数时 点P 的坐标为(910,0)或(495,0)或(5910,0)．17．（1）解：∵直线y =kx +4与x 轴交于点A(−4,0)∴−4k +4=0∴k =1∴直线AC 的表达式为y =x +4 当x =0时 y =4 ∴点C 的坐标为(0,4)将点A 的坐标为(−4,0) 点C 的坐标为(0,4) 代入y =−x 2+bx +c 得：{−16−4b +c =0c =4解得：{b =−3c =4∴抛物线的解析式为y =−x 2−3x +4（2）如图 过点C 作CM ∥x 轴交抛物线于点M 过点D 作CM 的垂线 垂足为N∵CM∥x轴∴∠ACM=∠BAC∵∠ACD=2∠BAC∴∠ACD=2∠ACM∴∠ACM=∠DCM∵OA=OC=4∴∠OAC=∠OCA=45°∴∠DCM=∠CDN=45°∴DN=CN设CN=DN=n∴D的坐标为(−n,n+4)将点D的坐标代入解析式可得−n2+3n+4=n+4解得n=2或n=0（舍去）∴D的坐标为(−2,6)（3）①由（1）可知直线AC的解析式为：y=x+4∵点F的横坐标为m∴点G的坐标为(m,m+4)点E的坐标为(m,−m2−3m+4)设线段EG的长度为y1则y1=−m2−3m+4−(m+4)=−m2−4m=−(m+2)2+4∴当m=−2时线段EG有最大值为4②存在理由如下：由图形可知∠CGE=∠AGF∴若△CEG 与△AFG 相似 则需要分两种情况当∠ECG =∠AFG =90°时 由（2）可知 E(−2,6) 此时m =−2 当∠CEG =∠AFG =90°时 过点C 作CM ∥x 轴交抛物线于点E令y =−x 2−3x +4=4 解得x =0（舍)或x =−3综上 当m 的值为−2或−3时 以C G E 为顶点的三角形与△AFG 相似．18．解：（1）△抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （1 0） 点B （5 0）和点C （0 3） 因为与y 轴相较于点C 所以c ＝3． △{a +b +3=025a +5b +3=0解得{a =35b =−185△该抛物线对应的函数解析式为y ＝35x 2﹣185x+3（2）△点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方 △可设P （t 35t 2﹣185t+3）（1＜t ＜5）△直线PM△y 轴 分别与x 轴和直线CD 交于点M N △M （t 0） N （t 35t+3）△PN ＝35t+3﹣（35t 2﹣185t+3）＝﹣35（t ﹣72）2+14720直线CD 与抛物线解析式可得{y =35x +3y =35x 2−185x +3解得{x =0y =3或{x =7y =365△C （0 3） D （7365）分别过C D 作直线PN 的垂线 垂足分别为E F 如图1则CE ＝t DF ＝7﹣t△S △PCD ＝S △PCN +S △PDN ＝12PN•CE+12PN•DF ＝72PN ＝72[﹣35（t ﹣72）2+14720]＝﹣2110（t ﹣72）2+102940△当t ＝72时 △PCD 的面积有最大值 最大值为102940（3）存在．△△CQN ＝△PMB ＝90° △当△CNQ 与△PBM 相似时 有PQ CQ=PM BM或NQ CQ=BM PM两种情况△CQ△PM 垂足为Q△Q （t 3） 且C （0 3） N （t 35t+3）△CQ ＝t NQ ＝35t+3﹣3＝35t△CQNQ=35△P （t 35t 2﹣185t+3） M （t 0） B （5 0） △BM ＝5﹣t PM ＝0﹣（35t 2﹣185t+3）＝﹣35t 2+185t ﹣3当PQCQ =PMBM 时 则PM ＝35BM 即﹣35t 2+185t ﹣3＝35（5﹣t ） 解得t ＝2或t ＝5（舍去） 此时P （2 95）当NQCQ =BMPM 时 则BM ＝35PM 即5﹣t ＝35（﹣35t 2+185t ﹣3） 解得t ＝345或t ＝5（舍去） 此时P （345﹣5527）综上可知存在满足条件的点P 其坐标为（2 95）或（345﹣5527）．19．解：（1）△抛物线与x 轴交于点A （2 0） B （﹣3 0） △设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣2）（x+3） 把点C （0 ﹣6）代入得：a ＝1 △抛物线的表达式为：y ＝x 2+x ﹣6 △y =(x +12)2−254△顶点坐标为：(-12, -254)（2）设直线BC 的表达式为：y ＝kx+b △{−6=b 0=−3k +b△{k =−2b =−6△y ＝﹣2x ﹣6设D （m m 2+m ﹣6） 则E （m ﹣2m ﹣6） 当0＜m ＜2时△DE ＝m 2+m ﹣6﹣（﹣2m ﹣6） △DE ＝m 2+3m当﹣3＜m ＜0时 DE ＝﹣2m ﹣6﹣m 2﹣m+6 △DE ＝﹣m 2﹣3m综上：DE ={m 2+3m (0<m <2)−m 2−3m (−3<m <0)（3）点Q 的坐标为（0 ﹣6）或（0 ﹣3） 理由如下：△点M （﹣1 a ） N （﹣2 b ）在抛物线y ＝x 2+x ﹣6上 当x ＝﹣1时 y ＝﹣6 x ＝﹣2时 y ＝﹣4△M （﹣1 ﹣6） N （﹣2 ﹣4）作NE△y 轴于E NF△CM 于F 连接CN MN 如图所示： 则CF ＝2 FN ＝6﹣4＝2△CF ＝NF△△CNF 是等腰直角三角形 △△FCN ＝45°△当点Q 与C 重合时 △MQN ＝45° △Q （0 ﹣6）作NQ△NM 交y 轴于Q 则EN ＝FN ＝2 △QNM ＝△ENF ＝90° △△QNE ＝△MNF △△QEN△△MFN （AAS ） △NQ ＝NM EQ ＝FM ＝2﹣1＝1△△MNQ 是等腰直角三角形 OQ ＝OE ﹣EQ ＝4﹣1＝3 △△MQN ＝45° Q （0 ﹣3）综上所述 在y 轴上存在点Q 使△MQN ＝45° 点Q 的坐标为（0 ﹣6）或（0 ﹣3）．20．解：（1）∵抛物线y =−14x 2+bx +c 经过O A B 三点 点A 的坐标为（10 0）．O（0 0）∴{0=−14×102+10b +c 0=c∴{b =52c =0 ∴抛物线的表达式为：y ＝﹣14x 2+52x ．（2）由{y =−14x 2+52xy =−12x +5 得﹣14x 2+52x ＝−12x +5 ∴x ＝2或x ＝10 ∴点B （2 4）．如图2 作PC ⊥x 轴于C 点 交AB 于点G∵动点P 在抛物线上 直线AB 的表达式为y =−12x +5 ∴设P （m ﹣14m 2+52m ） G （m −12m +5） ∴PG ＝﹣14m 2+3m ﹣5∴S ＝12PG （xA ﹣xG ）+12PG （xG ﹣xB ）＝12（﹣14m 2+3m ﹣5）（10﹣2）＝﹣m 2+12m ﹣20＝﹣（m ﹣6）2+16∴当m ＝6时 S 最大＝16 ∴P （6 6）答：当S 取得最大值时点P 的坐标为（6 6）．（3）∵抛物线的对称轴为x ＝5 点Q 在直线y =−12x +5上∴Q 点坐标为（5 52） D 点在过O 点且平行于AB 的直线y ＝12x 上 设D （a −12a ）∴AD 2＝（10﹣a ）2+14a 2 AQ 2＝25+254＝1254QD 2＝（a ﹣5）2+(−12a −52)2①当AD ＝AQ 时 （10﹣a ）2+14a 2＝1254解得a 1＝11 a 2＝5∴D 1（11 −12） D 2（5 ﹣52） ∴E 1（21 −12） E 2（15 -52）②当AD ＝QD 时 （10﹣a ）2+14a 2＝（a ﹣5）2+(−12a −52)2 解得a ＝112 ∴D 3（112 −114） E 3（312 −114） ③当AQ ＝QD 时1254＝（a ﹣5）2+(−12a −52)2 解得a ＝6∴D 4（6 ﹣3） E 4（16 ﹣3）综上所述 以A D Q 为顶点的三角形能成为等腰三角形 点E 坐标为：E 1（21 −12）E 2（15 −52） E 3（312−114） E 4（16 ﹣3）．。
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学科数学年级初三教材版本人教版
阶段观察期□：第（）周维护期□本人课时统计第（）课时共（ 2）课时
课题名称二次函数综合大题（压轴题）
课时计划
第（ 1、2 ）
课时
共（ 4 ）课时
上课时间
教学目标
同步教学知识内容学校同步学到圆周角，1对1提前学到圆结束
个性化学习问题解决二次函数综合大题（压轴题）
教学过程
教师活动
二次函数综合大题（压轴题）
一、经典例题精讲
面积类
例1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：压轴题；数形结合．
分析：
（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．
（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．
解答：
解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．
（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
，
解得；
故直线BC的解析式：y=﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）如图；
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，
∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；
∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．
练习1
如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．
考点：二次函数综合题．.
专题：压轴题；转化思想．
平行四边形类
例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定．.
专题：压轴题；存在型．
分析：
（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到
当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；
（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．
解答：
解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得
解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，
所以直线AB的解析式是y=x﹣3；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），
因为p在第四象限，
所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，
当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，
则S△ABM=S△BPM+S△APM==．
（3）存在，理由如下：
∵PM∥OB，
∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．
②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；
③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是
．
所以P点的横坐标是或．
练习2
如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．
（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O 面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．
考点：二次函数综合题．.
专题：压轴题．
周长类
例3．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
考点：二次函数综合题．.
专题：压轴题．
分析：（1）根据抛物线y=经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c即可；（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．
（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可；
解：（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）∴c=4，∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；
∴所求函数关系式为；
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），
当x=5时，y=，
当x=2时，y=，
∴点C和点D都在所求抛物线上；
（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，
则，解得：，∴，
当x=时，y=，∴P（），
三．随堂练习
练习3、如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．
（1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．.
专题：压轴题；分类讨论．
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。