复变函数 1-3 章测试题
复变函数1到5章测试题及答案

第一章复数与复变函数(答案)一、选择题1.当时,的值等于(B )ii z -+=115075100z z z ++(A ) (B ) (C ) (D )i i -11-2.设复数满足,,那么(A )z arg(2)3z π+=5arg(2)6z π-==z (A ) (B ) (C ) (D )i 31+-i +-3i 2321+-i 2123+-3.复数的三角表示式是(D ))2(tan πθπθ<<-=i z (A ) (B ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C )(D ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4.若为非零复数,则与的关系是(C )z 22z z -z z 2(A ) (B )z z z z 222≥-z z z z 222=-(C ) (D )不能比较大小z z zz 222≤-5.设为实数,且有,则动点y x ,yi x z yi x z +-=++=11,11211221=+z z 的轨迹是(B )),(y x (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线6.一个向量顺时针旋转,对应的复数为,则原向量对应的复数是(A )3πi 31-(A ) (B ) (C ) (D )2i 31+i -3i+37.使得成立的复数是(D )22z z =z(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数8.设为复数,则方程的解是(B )z i z z +=+2(A ) (B ) (C ) (D )i +-43i +43i -43i --439.满足不等式的所有点构成的集合是(D )2≤+-iz iz z (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域10.方程所代表的曲线是(C )232=-+i z (A )中心为,半径为的圆周 (B )中心为,半径为2的圆周i 32-2i 32+-(C )中心为,半径为的圆周 (D )中心为,半径为2的圆周i 32+-2i 32-11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为(B )(A ) (B )221=+-z z 433=--+z z (C ) (D ))1(11<=--a azaz )0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,则(C ),5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=12()f z z -=(A ) (B ) (C ) (D )i 44--i 44+i 44-i 44+-13.(D )000Im()Im()limz z z z z z →--(A )等于 (B )等于 (C )等于 (D )不存在i i -014.函数在点处连续的充要条件是(C )),(),()(y x iv y x u z f +=000iy x z +=(A )在处连续 (B )在处连续),(y x u ),(00y x ),(y x v ),(00y x (C )和在处连续(D )在处连续),(y x u ),(y x v ),(00y x ),(),(y x v y x u +),(00y x15.设且,则函数的最小值为(A )C z ∈1=z zz z z f 1)(2+-=(A ) (B ) (C ) (D )3-2-1-1二、填空题1.设,则)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+==z 22.设,则)2)(32(i i z +--==z arg 8arctan -π3.设,则 43)arg(,5π=-=i z z =z i 21+-4.复数的指数表示式为 22)3sin 3(cos )5sin5(cos θθθθi i -+ie θ165.以方程的根的对应点为顶点的多边形的面积为 i z 1576-=6.不等式所表示的区域是曲线(或522<++-z z 522=++-z z ) 的内部1)23()25(2222=+y x 7.方程所表示曲线的直角坐标方程为 1)1(212=----zi iz 122=+y x 8.方程所表示的曲线是连接点 和 的线段的垂i z i z +-=-+22112i -+2i -直平分线9.对于映射,圆周的像曲线为zi =ω1)1(22=-+y x ()2211u v -+=10. =+++→)21(lim 421z z iz 12i -+三、若复数满足,试求的取值范围.z 03)21()21(=+++-+z i z i z z 2+z((或))]25,25[+-25225+≤+≤-z 四、设,在复数集中解方程.0≥a C a z z =+22(当时解为或10≤≤a i a )11(-±±)11(-+±a 当时解为)+∞≤≤a 1)11(-+±a 五、设复数,试证是实数的充要条件为或.i z ±≠21zz+1=z Im()0z =六、对于映射,求出圆周的像.)1(21zz +=ω4=z (像的参数方程为.表示平面上的椭圆)π≤θ≤⎪⎩⎪⎨⎧θ=θ=20sin 215cos 217v u w 1)215()217(2222=+v u 七、设,试讨论下列函数的连续性:iy x z +=1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f 2..⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f (1.在复平面除去原点外连续,在原点处不连续;)(z f 2.在复平面处处连续))(z f 第二章 解析函数(答案)一、选择题:1.函数在点处是( B )23)(z z f =0=z(A )解析的 (B )可导的(C )不可导的 (D )既不解析也不可导2.函数在点可导是在点解析的( B ))(z f z )(z f z (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充分必要条件 (D )既非充分条件也非必要条件3.下列命题中,正确的是( D )(A )设为实数,则y x ,1)cos(≤+iy x (B )若是函数的奇点,则在点不可导0z )(z f )(z f 0z (C )若在区域内满足柯西-黎曼方程,则在内解析v u ,D iv u z f +=)(D (D )若在区域内解析,则在内也解析)(z f D )(z if D 4.下列函数中,为解析函数的是( C )(A ) (B )xyi y x 222--xyi x +2(C ) (D ))2()1(222x x y i y x +-+-33iy x +5.函数在处的导数( A ))Im()(2z z z f =0z =(A )等于0 (B )等于1 (C )等于 (D )不存在1-6.若函数在复平面内处处解析,那么实常)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=数( C )=a (A ) (B ) (C ) (D )0122-7.如果在单位圆内处处为零,且,那么在内( C ))(z f '1<z 1)0(-=f 1<z ≡)(z f (A ) (B ) (C ) (D )任意常数011-8.设函数在区域内有定义,则下列命题中,正确的是( C ))(z f D (A )若在内是一常数,则在内是一常数)(z f D )(z f D (B )若在内是一常数,则在内是一常数))(Re(z f D )(z f D (C )若与在内解析,则在内是一常数)(z f )(z f D )(z f D(D )若在内是一常数,则在内是一常数)(arg z f D )(z f D 9.设,则( A )22)(iy x z f +==+')1(i f (A ) (B ) (C ) (D )2i 2i +1i 22+10.的主值为( D )ii (A ) (B ) (C ) (D )012πe 2eπ-11.在复平面上( A )ze (A )无可导点 (B )有可导点,但不解析(C )有可导点,且在可导点集上解析 (D )处处解析12.设,则下列命题中,不正确的是( C )z z f sin )(=(A )在复平面上处处解析 (B )以为周期)(z f )(z f π2(C ) (D )是无界的2)(iziz e e z f --=)(z f 13.设为任意实数,则( D )αα1(A )无定义 (B )等于1(C )是复数,其实部等于1 (D )是复数,其模等于114.下列数中,为实数的是( B )(A ) (B ) (C ) (D )3)1(i -i cos i ln e 23π-15.设是复数,则( C )α(A )在复平面上处处解析 (B )的模为αz αz αz(C )一般是多值函数 (D )的辐角为的辐角的倍αz αz z α二、填空题1.设,则i f f +='=1)0(,1)0(=-→zz f z 1)(limi +12.设在区域内是解析的,如果是实常数,那么在内是 常数iv u z f +=)(D v u +)(z f D3.导函数在区域内解析的充要条件为 可微且满足x vix u z f ∂∂+∂∂=')(D xvx u ∂∂∂∂, 222222,xvy x u y x v x u ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂4.设,则2233)(y ix y x z f ++==+-')2323(i f i 827427-5.若解析函数的实部,那么或iv u z f +=)(22y x u -==)(z f ic xyi y x ++-222为实常数ic z +2c 6.函数仅在点处可导)Re()Im()(z z z z f -==z i 7.设,则方程的所有根为 z i z z f )1(51)(5+-=0)(='z f 3,2,1,0),424sin 424(cos 28=π+π+π+πk k i k 8.复数的模为ii ),2,1,0(2L ±±=π-k ek 9.=-)}43Im{ln(i 34arctan -10.方程的全部解为01=--ze),2,1,0(2L ±±=πk i k 三、试证下列函数在平面上解析,并分别求出其导数z 1.();sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=;sin )(z z f -='2.());sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=.)1()(ze z zf +='四、已知,试确定解析函数.22y x v u -=-iv u z f +=)((.为任意实常数)c i z i z f )1(21)(2++-=c 第三章 复变函数的积分(答案)一、选择题:1.设为从原点沿至的弧段,则( D )c x y =2i +1=+⎰cdz iy x )(2(A )(B ) (C ) (D )i 6561-i 6561+-i 6561--i 6561+2.设为不经过点与的正向简单闭曲线,则为( D)c 11-dz z z zc ⎰+-2)1)(1((A )(B ) (C ) (D )(A)(B)(C)都有可能2iπ2iπ-03.设为负向,正向,则( B )1:1=z c 3:2=z c =⎰+=dz zzc c c 212sin (A )(B ) (C ) (D )i π2-0iπ2iπ44.设为正向圆周,则( C)c 2=z =-⎰dz z zc2)1(cos (A ) (B ) (C ) (D )1sin -1sin 1sin 2i π-1sin 2i π5.设为正向圆周,则 ( B)c 21=z =--⎰dz z z z c23)1(21cos(A ) (B ) (C ) (D ))1sin 1cos 3(2-i π01cos 6i π1sin 2i π-6.设,其中,则( A )ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(4≠z =')i f π((A ) (B ) (C ) (D )i π2-1-i π217.设在单连通域内处处解析且不为零,为内任何一条简单闭曲线,则积分)(z f B c B( C )dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)((A )于 (B )等于 (C )等于 (D )不能确定i π2i π2-08.设是从到的直线段,则积分( A )c 0i 21π+=⎰cz dz ze (A ) (B) (C) (D) 21eπ-21eπ--i e21π+ie21π-9.设为正向圆周,则( A )c 0222=-+x y x =-⎰dz z z c1)4sin(2π(A )(B ) (C ) (D )i π22i π20i π22-10.设为正向圆周,则( C)c i a i z ≠=-,1=-⎰cdz i a zz 2)(cos (A ) (B )(C ) (D )ie π2eiπ20i i cos 11.设在区域内解析,为内任一条正向简单闭曲线,它的内部全属于.如果)(z f D c D D 在上的值为2,那么对内任一点,( C ))(z f c c 0z )(0z f (A )等于0 (B )等于1 (C )等于2 (D )不能确定12.下列命题中,不正确的是( D )(A )积分的值与半径的大小无关⎰=--ra z dz az 1)0(>r r (B ),其中为连接到的线段2)(22≤+⎰cdz iy xc i -i (C )若在区域内有,则在内存在且解析D )()(z g z f ='D )(z g '(D )若在内解析,且沿任何圆周的积分等于零,则)(z f 10<<z )10(:<<=r r z c 在处解析)(z f 0=z 13.设为任意实常数,那么由调和函数确定的解析函数是 ( D)c 22y x u -=iv u z f +=)((A) (B ) (C ) (D )c iz +2ic iz +2c z +2ic z +214.下列命题中,正确的是(C)(A )设在区域内均为的共轭调和函数,则必有21,v v D u 21v v =(B )解析函数的实部是虚部的共轭调和函数(C )若在区域内解析,则为内的调和函数iv u z f +=)(D xu∂∂D (D )以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15.设在区域内为的共轭调和函数,则下列函数中为内解析函数的是( ),(y x v D ),(y x u D B )(A ) (B )),(),(y x iu y x v +),(),(y x iu y x v -(C ) (D )),(),(y x iv y x u -xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1.设为沿原点到点的直线段,则 2c 0=z i z +=1=⎰cdz z 22.设为正向圆周,则c 14=-z =-+-⎰c dz z z z 22)4(23i π103.设,其中,则 0 ⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f 2≠z =')3(f 4.设为正向圆周,则=+⎰cdz zzz c 3=z i π65.设为负向圆周,则 c 4=z =-⎰c z dz i z e 5)(π12iπ6.解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 平均值7.设在单连通域内连续,且对于内任何一条简单闭曲线都有,)(z f B B c 0)(=⎰cdz z f 那么在内 解析)(z f B 8.调和函数的共轭调和函数为xy y x =),(ϕC x y +-)(21229.若函数为某一解析函数的虚部,则常数 -323),(axy x y x u +==a 10.设的共轭调和函数为,那么的共轭调和函数为 ),(y x u ),(y x v ),(y x v ),(y x u -三、计算积分1.,其中且;⎰=+-R z dz z z z)2)(1(621,0≠>R R 2≠R (当时,; 当时,; 当时,)10<<R 021<<R i π8+∞<<R 202..(0)⎰=++22422z z z dz四、求积分,从而证明.()⎰=1z zdz z e πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e i π2五、若,试求解析函数.)(22y x u u +=iv u z f +=)(((为任意实常数))321ln 2)(ic c z c z f ++=321,,c c c 第四章 级 数(答案)一、选择题:1.设,则( C )),2,1(4)1(L =++-=n n nia n n n n a ∞→lim (A )等于 (B )等于 (C )等于 (D )不存在01i2.下列级数中,条件收敛的级数为( C )(A ) (B )∑∞=+1)231(n n i ∑∞=+1!)43(n nn i (C ) (D )∑∞=1n n n i ∑∞=++-11)1(n n n i3.下列级数中,绝对收敛的级数为(D )(B ) (B )∑∞=+1)1(1n n i n ∑∞=+-1]2)1([n n n in (C) (D )∑∞=2ln n n n i ∑∞=-12)1(n n nn i 4.若幂级数在处收敛,那么该级数在处的敛散性为( A )∑∞=0n n nz ci z 21+=2=z (A )绝对收敛 (B )条件收敛(C )发散 (D )不能确定5.设幂级数和的收敛半径分别为,则∑∑∞=-∞=01,n n n n nnznc z c∑∞=++011n n n z n c 321,,R R R 之间的关系是( D )321,,R R R (A ) (B ) 321R R R <<321R R R >>(C ) (D )321R R R <=321R R R ==6.设,则幂级数的收敛半径( D )10<<q ∑∞=02n n n z q =R (A ) (B )(C ) (D )q q10∞+7.幂级数的收敛半径( B )∑∞=1)2(2sinn n z n n π=R(A )(B ) (C ) (D )122∞+8.幂级数在内的和函数为( A )∑∞=++-011)1(n n n z n 1<z (A ) (B ))1ln(z +)1ln(z -(D ) (D) z +11lnz-11ln 9.设函数的泰勒展开式为,那么幂级数的收敛半径( C )z e z cos ∑∞=0n n n z c ∑∞=0n nn z c =R (A ) (B ) (C )(D )∞+12ππ10.级数的收敛域是( B )L +++++22111z z z z(A ) (B ) (C ) (D )不存在的1<z 10<<z +∞<<z 111.函数在处的泰勒展开式为( D)21z1-=z (A )(B ))11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n (C ) (D ))11()1(11<++-∑∞=-z z n n n )11()1(11<++∑∞=-z z n n n 12.函数,在处的泰勒展开式为( B )z sin 2π=z (A ))2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n(B ))2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n nn (C ))2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n (D ))2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n nn 13.设在圆环域内的洛朗展开式为,为内)(z f 201:R z z R H <-<∑∞-∞=-n n nz z c)(0c H 绕的任一条正向简单闭曲线,那么( B )0z =-⎰c dz z z z f 20)()((A) (B ) (C ) (D )12-ic π12ic π22ic π)(20z f i 'π14.若,则双边幂级数的收敛域为( A )⎩⎨⎧--==-+=L L ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ∑∞-∞=n nn z c (A )(B ) 3141<<z 43<<z (C )(D )+∞<<z 41+∞<<z 3115.设函数在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有个,那么)4)(1(1)(++=z z z z f m ( C )=m (A )1 (B )2 (C )3 (D )4二、填空题1.若幂级数在处发散,那么该级数在处的收敛性为 发散∑∞=+0)(n n ni z ci z =2=z 2.设幂级数与的收敛半径分别为和,那么与之间的关∑∞=0n nnz c∑∞=0)][Re(n n n z c 1R 2R 1R 2R系是 .12R R ≥3.幂级数的收敛半径∑∞=+012)2(n n nz i =R 224.设在区域内解析,为内的一点,为到的边界上各点的最短距离,那么)(z f D 0z d 0z D 当时,成立,其中d z z <-0∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 或=n c ),2,1,0()(!10)(L =n z f n n ().)0,2,1,0()()(21010d r n dz z z z f irz z n <<=-π⎰=-+L 5.函数在处的泰勒展开式为 .z arctan 0=z )1(12)1(012<+-∑∞=+z z n n n n 6.设幂级数的收敛半径为,那么幂级数的收敛半径为∑∞=0n nn z c R ∑∞=-0)12(n n n n z c 2R .7.双边幂级数的收敛域为 .∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 211<-<z 8.函数在内洛朗展开式为 .zze e 1++∞<<z 0nn nn z n z n ∑∑∞=∞=+00!11!19.设函数在原点的去心邻域内的洛朗展开式为,那么该洛朗级数z cot R z <<0∑∞-∞=n n nz c收敛域的外半径 .=R π10.函数在内的洛朗展开式为)(1i z z -+∞<-<i z 1∑∞=+--02)()1(n n n n i z i三、若函数在处的泰勒展开式为,则称为菲波那契(Fibonacci)211z z --0=z ∑∞=0n nn z a {}n a 数列,试确定满足的递推关系式,并明确给出的表达式.n a n a (,)2(,12110≥+===--n a a a a a n n n )),2,1,0(}251()251{(5111L =--+=++n a n n n 四、求幂级数的和函数,并计算之值.∑∞=12n nz n ∑∞=122n n n (,)3)1()1()(z z z z f -+=6五、将函数在内展开成洛朗级数.)1()2ln(--z z z 110<-<z ()n n nk k z k n z z z z z z )1(1)1(()2ln(111)1()2ln(001-+--=-⋅⋅-=--∑∑∞==+第五章 留 数(答案)一、选择题:1.函数在内的奇点个数为 ( D )32cot -πz z2=-i z (A )1 (B )2 (C )3 (D )42.设函数与分别以为本性奇点与级极点,则为函数)(z f )(z g a z =m a z =)()(z g z f 的( B )(A )可去奇点 (B )本性奇点(C )级极点 (D )小于级的极点m m 3.设为函数的级极点,那么( C )0=z zz e xsin 142-m =m(A )5 (B )4 (C)3 (D )24.是函数的( D )1=z 11sin)1(--z z (A)可去奇点 (B )一级极点(C ) 一级零点 (D )本性奇点5.是函数的( B )∞=z 2323z z z ++(A)可去奇点 (B )一级极点(C ) 二级极点 (D )本性奇点6.设在内解析,为正整数,那么( C )∑∞==)(n n n z a z f R z <k =]0,)([Re kz z f s (A ) (B ) (C ) (D )k a k a k !1-k a 1)!1(--k a k 7.设为解析函数的级零点,那么='],)()([Re a z f z f s ( A )a z =)(z f m (A) (B ) (C ) (D )m m -1-m )1(--m 8.在下列函数中,的是( D )0]0),([Re =z f s (A )(B )21)(ze zf z -=z z z z f 1sin )(-=(C ) (D) z z z z f cos sin )(+=ze zf z 111)(--=9.下列命题中,正确的是( C )(A )设,在点解析,为自然数,则为的)()()(0z z z z f mϕ--=)(z ϕ0z m 0z )(z f 级极点.m (B )如果无穷远点是函数的可去奇点,那么∞)(z f 0]),([Re =∞z f s (C )若为偶函数的一个孤立奇点,则0=z )(z f 0]0),([Re =z f s(D )若,则在内无奇点0)(=⎰c dz z f )(z f c 10. ( A )=∞],2cos[Re 3ziz s (A ) (B ) (C ) (D )32-32i 32i32-11. ( B)=-],[Re 12i e z s iz (A ) (B ) (C ) (D )i +-61i +-65i +61i +6512.下列命题中,不正确的是( D)(A )若是的可去奇点或解析点,则)(0∞≠z )(z f 0]),([Re 0=z z f s (B )若与在解析,为的一级零点,则)(z P )(z Q 0z 0z )(z Q )()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '=(C )若为的级极点,为自然数,则0z )(z f m m n ≥)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-=(D )如果无穷远点为的一级极点,则为的一级极点,并且∞)(z f 0=z )1(zf )1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞13.设为正整数,则( A )1>n =-⎰=211z ndz z (A) (B ) (C )(D )0i π2niπ2i n π214.积分( B )=-⎰=231091z dz z z (A ) (B ) (C ) (D )0i π2105iπ15.积分( C )=⎰=121sin z dz z z (A ) (B ) (C ) (D )061-3i π-iπ-二、填空题1.设为函数的级零点,那么 9 .0=z 33sin z z -m =m 2.函数在其孤立奇点处的留数zz f 1cos1)(=),2,1,0(21L L ±±=+=k k z k ππ.=]),([Re k z z f s 2)2()1(π+π-k k3.设函数,则 0 }1exp{)(22zz z f +==]0),([Re z f s 4.设为函数的级极点,那么 .a z =)(z f m ='],)()([Re a z f z f s m -5.设,则 -2 .212)(zzz f +==∞]),([Re z f s 6.设,则 .5cos 1)(z z z f -==]0),([Re z f s 241-7.积分.=⎰=113z zdz e z 12iπ8.积分.=⎰=1sin 1z dz z i π2三、计算积分.()⎰=--412)1(sin z z dz z e z z i π-316四、设为的孤立奇点,为正整数,试证为的级极点的充要条件是a )(z f m a )(z f m ,其中为有限数.b z f a z m az =-→)()(lim 0≠b 五、设为的孤立奇点,试证:若是奇函数,则;a )(z f )(z f ]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=若是偶函数,则.)(z f ]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=。
复变函数习题及答案解释

第一篇 复变函数第一章 复数与复变函数1. 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与幅角.(1) 72)52)(43(ii i −+;(2) .4218i i i +−2. 当x ,y 等于什么实数时,等式i iiy x +=+−++135)3(1 成立?3.证明:(1);2z z z = (2)1122,z z z z = .02≠z4.求下列各式的值: (1)();35i −(2)().131i +−5.求方程083=+z 的所有根.6.设1z ,2z ,3z 三点适合条件0321=++z z z ,证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点.7.指出下列各题中点z 的轨迹或所在的范围:(1);65=−z(2);12≥+i z(3).i z i z −=+8.描述下列不等式所确定的区域,并指出它是有界的还是无界的: (1);32≤≤z(2).141+<−z z9.将方程tt z 1+=(t 为实参数)给出的曲线用一个实直角坐标方程表出.第一章 复习题1.单项选择题(1)设iy x z +=,y x ≠||,4z 为实数,则( ).A .0=xy B.0=+y x C .0=−y x D.022=−y x(2)关于复数幅角的运算,下列等式中正确的是( ). A .Argz Argz 22= B.z z arg 2arg 2=C .2121arg arg )arg(z z z z += D.2121)(Argz Argz z z Arg += (3)=+31i ( ).A .ie 62πB.ie 62π−C .ie 62π± D.i e62π±(4)2210<++<i z 表示( ). A .开集、非区域 B.单连通区域 C .多连通区域 D.闭区域(5)z i z f =−1,则()=+i f 1( ).A .1 B.21i+ C .21i− D.i −1 (6)若方程1−=z e ,则此方程的解集为( ).A .空集 B.π)12(−=k z ,(k 为整数) C .i k z π)12(−= D. πi z =2.对任何复数22,z z z =是否一定成立?3. 解方程.0)1(22=−++i z z4. 求)(i Ln −,)43(i Ln +−和它们的主值.5. 求i e 21π−,i i e41π+,i 3和ii )1(+值.第二章 导数1.下列函数何处可导?何处解析? (1) ();2iy x z f −=(2) ().22y ix xy z f +=2.指出下列函数()z f 的解析性区域,并指出其导数.(1) ();22iz z z f +=(2) ();112−=z z f(3)(),dcz baz z f ++=(d c ,中至少有一个不为0).3.设()2323lxy x i y nx my +++为解析函数,试确定l 、m 、n 的值.4.证明:如果()z f 在区域D 内解析,并满足下列条件之一,那么是常数. (1)()z f 恒取实值. (2))(z f 在区域D 内解析. (3)()z f 在区域D 内是一个常数.5.应用导数的定义讨论下列函数的是否存在?(1)())Re(z z f =;(2)())Im(z z f =.6.证明;,sin z e z 在复平面上任一点都不解析.第二章 复习题1.单项选择题(1)函数()z f w =在点0z 可导是可微的( ).A .必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C .充分必要条件D. 既非充分也非必要条件(2)函数()z f w =在点0z 可导是连续的( ).A .必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C .充分必要条件D. 既非充分也非必要条件(3)函数()),(),(y x iv y x u z f +=,则在()00,y x 点,v u ,均可微是函数()z f 在点0z 可微的( ).A .必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C .充分必要条件D. 既非充分也非必要条件(4)函数()22ix xy z f −=,那么( ). A .()z f 处处可微 B. ()z f 处处不可导 C .()z f 仅在原点可导 D. ()z f 仅在x 轴上可导(5)若,0,,00,),(222222=+≠++=y x y x y x xy y x u ,,),(xy y x v =()iv u z f +=,则()z f ( ).A .()z f 仅在原点可导 B. ()z f 处处不可导C .()z f 除原点外处处可导 D. ()z f 处处可微(6)若()()y x y i xy x z f 233333+−+−=, 那么()z f ( ).A .()z f 仅在原点可导且()00=′f B. ()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322+−=′ C .()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322−−=′ D. ()z f 处处解析且()xy i x y z f 63322+−=′ (7)函数()z z z f = ,则( ). A .()z f 在全平面解析 B. ()z f 仅在原点解析C .()z f 仅在原点可导但不解析 D. ()z f 处处不可导(8)设()34−=′z z f ,且()i i f 31−=+,则()=z f ( ).A . i z z −−322 B. i z z 3322+− C .i z z 43322+−+ D. i z z 43322−+− 2.指出函数112+z 的解析性区域,并求导数.3.如果0z 是()z f 的奇点,而()z g 在0z 解析,那么0z 是否是())(z g z f +和())(z g z f 的奇点.4.若()iv u z f +=是区域D 内的解析函数,那么在D 内v +iu 是否也是解析函数.第三章 积分1.沿下列路径计算积分∫Czdz Re .(1)自原点至1+i 的直线段;(2)自原点沿实轴至1,再由1铅直向上至1+i ;(3)自原点沿虚轴至i ,再由i 沿水平向右至1+i .2.分别沿y =x 与2x y =计算积分()∫++i dz iy x102的值.3计算积分dz zzC∫,其中C 为正向圆周,2=z .4.计算下列积分 ,其中C 为正向圆周,1=z . (1);21dz z C ∫− (2);4212dz z z C ∫++(3);cos 1dz zC ∫ (4);211dz z C∫−(5);dz ze Cz ∫(6)().)2(21dz i z z C∫−+5.沿指定曲线正向计算下列积分:(1)dz z C ∫−21,C :12=−z ;(2)dz a z C ∫−221,C: a a z =−;(3),3dz z zC ∫− C :2=z ;(4)()()dz z z C∫++41122,C :23=z ;(5)dz zzC ∫sin ,C :1=z ; (6)dz z zC∫−22sin π,C :2=z .6.计算下列各题: (1)∫−ii z dz e ππ32;(2)∫−iizdz ππ2sin ;(3).)(0∫−−iz dz e i z7.计算下列积分:(1)dz i z z C ∫+++2314,C :4=z ,正向; (2)dz z iC ∫+122,C :61=−z ,正向; (3),cos 213dz z zC C C ∫+= 1C :2=z ,正向,2C :3=z ,负向;(4)dz i z C ∫−1,C 为以i 56,21±±为顶点的正向菱形; (5)()dz a z eC z∫−3;其中a 为1≠a 的任何复数,C :1=z ,正向.9. 设C 为不经过a 与a −的简单正向闭曲线,a 为不等于0的任何复数,试就a 与a −跟C 的各种不同位置,计算积分dz a z zC ∫−22的值.第三章 复习题1.单项选择题.(1)设C 为θi e z =,θ从2π−到2π的一段,则=∫Cdz z ( ).A .i B.2i C .-2i D.- i(2)设C 是从0=z 到i z +=1的直线段,则=∫Cdz z ( ).A .1+i B.21i+ C .i e4π− D. ie 4π(3)设C 为θi e z =,θ从0到π的一段,则=∫Czdz arg ( ).A .i 2−−π B. π− C .i 2+π D. i 2−π(4)设C 为t i z )1(−=,t 从1到0的一段,则=∫Cdz z ( ).A .1 B.-1 C .i D.- i(5)设C 为1=z 的上半部分逆时针方向,则=−∫Cdz z )1(( ).A .2i B.2 C .-2i D.- 2(6)设C 为θi e z 21=,正向,则=−∫C z dz e e zsin ( ).A .sin1 B.e i 1sin 2π C .e i 1sin 2π− D.0(7)=++∫=dz z z z 12221( ).A .i π2 B.i π2− C .0 D.π2 (8)设C 为沿抛物线12−=x y 从()0,1−到()0,1的弧度,则=+∫C dz z )1sin(( ).A .0 B.2cos − C .12cos − D. 12cos − (9)=++∫=+dz z z e z z 232)1(232( ). A .0 B.i π32C .i π2 D. i π2−(10)=++∫=dz z z zz 121682cos π( )A .0 B.i π C .i π− D. i π2.(11)=+∫=dz z zz 221( ).A .0 B.i π2 C .i π2− D. i π(12)=∫=dz z e z z12( ).A .i π2 B. i π C .0 D. π (13)1322z z z e dz ==∫( ).A .i π2 B. i π16 C .i π8 D. i π4 2.计算()∫Γ−=dz z z e I z12,其中Γ是圆环域:221≤≤z 的边界.3.(1)证明:当C 为任何不经过原点的闭曲线时,则;012=∫dz zC(2)沿怎样的简单闭曲线有;012=∫dz z C(3)沿怎样的简单闭曲线有.0112=++∫dz z z C4.设(),4ζζζπd ze zf C ∫−=其中C :2=z ,试求()i f ,()i f −及()i f 43−的值.5.计算()22,2z Ce z I dz z =+∫其中C :.1=z6.()()∫=−=12,ζζζdz z e z f z()1≠z ,求().z f ′第四章 级数1.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性:();11∑∞=n nni()∑∞=2;ln 2n nni();8)56(30∑∞=+n n ni().2cos 40∑∞=n n in2.求下列幂级数的收敛半径:()为正整数);p nz n p n(,11∑∞=()∑∞=12;)!(2n nn z nn()∑∞=+0;)1(3n nnz i().41∑∞=n n n iz e π3.把下列各函数展开成z 的幂级数,并指出它们的收敛半径: ();1113z +();)1(1223z +();cos 32z();4shz();5chz().sin 622z e z4.求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式,并指出它们的收敛半径: ();1,1110=+−z z z()();110,10,1122<−<<<−z z z z()()(),2113−−z z;21,110+∞<−<<−<z z()()为中心的圆环域内;在以i z i z z =−,142第四章 复习题1.单项选择题:()().112的收敛半径为幂级数∑∞=n nin z e0.A 1.B 2.C ∞.D()()∑∞=1.1sin 2n nnz n 的收敛半径为幂级数0.A 1.B e C . ∞.D()()()∑∞=−1.13n n n z i 的收敛半径为幂级数1.A 21.B 2.C 21.D()()()∑∞=+12.434n n n z i 的收敛半径为幂级数5.A 51.B 5.C 51.D ()()∑∞=1.!5n nn z n 的收敛半径为幂级数1.A ∞.B 0.C e D .()()∑∞−∞=−=>=n nne a z za z z.,0,6721则设!71.A !71.−B !91.C !91.−D()∑∞==−10,2.2n nn z z a 收敛,能否在幂级数 .3发散而在=z().1.32的和函数求n n z n n ∑∞=−.0cos 1.40处的泰勒展开式在求=−∫z d zζζζ上的罗朗展开在求函数11sin .512>−∫=ζζζζz d z .式第五章 留数1.判断下列函数奇点的类型,如果是极点,指出它的阶数:()();11122+z z();sin 23z z();11323+−−z z z()();1ln 4zz +();511−z e()().1162−z e z()..2在有限奇点处的留数求下列各函数z f();2112zz z −+();1242z e z −()();113224++zz();cos 4zz();11cos5z−().1sin 62zz3.计算下列各积分(利用留数,圆周均取正向).();sin 123∫=z dz z z()();12222dz z e z z∫=−()();,cos 1323为整数m dz z zz m∫=−();tan 43∫=z zdz π().521111∫=−−z z dz ze点?并是下列各函数的什么奇判断∞=z .4.的留数求出在∞();121z e();sin cos 2z z −().3232zz+()[]的值,如果:求∞,Re 5.z f s()();112−=z ez f z()()()().41124−+=z z z z f6.计算下列各积分,C 为正向圆周:()()()∫=++Cz C dz zzz ;3:,211342215().2:,1213=+∫z C dz e z z zC7.计算下列积分:();sin 351120θθπd ∫+()();0,cos sin 2202>>+∫b a d b a θθθπ()()∫+∞∞−+;11322dx x()∫+∞∞−++.54cos 42dx x x x第五章 复习题1.单项选择题:()().1sin101的是函数zz = 本性奇点.A 可去奇点.B 一级奇点.C 非孤立奇点.D()().0,1cos Re 2=z z s0.A 1.B 21.C 21.−D()()()().,11Re 32=+−i z i z s 4.i A 4.i B − 41.C 41.−D()().0,1Re 44=−−z e s z !31.A !31.−B !41.C !41.−D()()()∫=−=+21.,15z n n n dz z z 为正整数0.A i B π2. i n C π2. niD π2.()()∫=−=11.6z zz dz zei e A 1.−π i B π2. i e C 12.−π i D π2.−()()∫==−25.117z dz z 0.A i B π2. i C π25. i D π52.2.判断zz e 1+的孤立奇点的类型,并求其留数.3.计算n dz z z z n,1cos 1∫=是正整数.4.计算积分∫=−+114.1z z dz5.计算积分∫+πθθ20.cos 2d6.计算∫+∞+04.11dx x7.计算∫+∞+02.42cos dx x x复变函数总复习题一、单项选择题:(1) 函数z w ln =在i e z =处的值为(). (k 为整数)A. ()i k 12+πB. ()i k π12+C. i k π2D. i k π+212(2) 设积分路径C 为从原点到i +2的直线段, 则积分()=∫Cydz .A. 21i− B. 21i +C. i +1D. i −1(3) 1=z 是函数1ln 2−z z的( ).A. 可去奇点B. 极点C. 本性奇点D. 非孤立奇点 (4) 设()33iy x z f −=, 则()z f 在复平面上( ).A. 处处可导 B. 仅在0=z 处解析 C. 处处不可导 D. 仅在0=z 处可导(5) ()()=−∫=−dz z e z iz211221. A.21i+ B. i +1 C. ()i e i +−12π D. 2π−(6) 函数21z e z+以∞=z 为( ).A. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(7) 0=z 是ze z 111−−的( ).A. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(8) 由2121>−z 与2123>−i z 所确定的点集是( ).A. 开集、非区域 B. 单连通区域 C. 多连通区域 D. 闭区域(9) ()=+−∫=dz z z z z z 122sin cos 1. A. 0 B. i π2 C. i π D. i π3二、填空题:1. =i e π9 .2.=+∫=dz z z 12121. 3. 设()()z z z f Im =, 则()=′0f .4. 级数()()()∑∞=+−+−0124121n n nz n 的收敛范围为 .5. 函数z 211−在+∞<<z 21内的罗朗展式为 . 6.()=−∫=dz z z 12 .7. 级数()∑∑∞=∞=+−12121n n n n n nn z z 的收敛范围是 .8. ()2236z z z z z f ++−=, ()()=∞,Re z f s .9. =−1,1sin Re z z s ;=−1,11sin Re z z s .三、解答下列各题:1. 已知()(),21i i z −+= 求()Re z .2. 求2122lim 1z zz z z z →+−−−.3. 讨论()2z z f =在0=z 处的可导性及解析性.4. 讨论()()yx i x y x z f 322322−++−−=的解析性, 并求出在解析点处的导数.5. 计算()12CIi z dz =+−∫, 其中C 为连接01=z , 12=z 和i z +=13, 从1z 至2z 至3z 的折线段.6. 将z 2sin 展开为z 的幂级数.7. 求级数()n n nn z n 214302+++∑∞=的收敛圆, 并讨论在47−=z 和49−=z 处的收敛性.8. 求()242−=z z z f 在3<z 内所有留数之和.9. 求函数z cot 在它所有有限孤立奇点处的留数.10. 求()()222aze zf ibz+=在ai −处的留数,(a , b 为实数).11. 计算积分()()dz z e z zI z z∫=−+−=232189.12. 计算积分dz z z I z ∫=++=2365112.13. 计算积分dz z z I z ∫=+−=22211.14. 计算积分dz z z e i I z z∫=++=2241221π.15. 计算积分()dx axx I ∫∞++=02222, ()0>a .四、证明题:1. 证明()=≠+=0,00,22z z yx xyz f 在0=z 处不连续.2. 证明0→z 时, 函数()()22Re zz z f =的极限不存在.第二篇 积分变换1. 设() >≤=1,01,1t t t f , 试算出()ωF , 并推证:>=<=∫∞+1,01,41,2cos sin 0t t t d t ππωωωω. (提示()t f 为偶函数)2. 求矩形脉冲函数()≤≤=其它,00,τt A t f 的傅氏变换.3. 求()><−=1,01,1222t t t t f 的傅氏积分. 4. 求()2sin tt f = 的拉氏变换.5. 求()≥<≤−<≤=4,042,120,3t t t t f 的拉氏变换.6. 求下列函数的拉氏逆变换:(1) ()221as s F +=;(2) ()441a s s F −=答案第一章:,2295,135.3,13Im ,5.3Re )1.(1=+−=−=−=z i z z z ).(,23arctan ,10||,31,3Im ,1Re )2();(,)12()726arctan(arg Z k k Argz z i z z z Z k k z ∈+−==+=−==∈++=ππ.11,1.2==y x().2,1,0,2)2(;16316)1.(43275.06=−−+k ei k iπ5..31,2,31i i −−+7.(1)以z =5为圆心,6为半径的圆;(2)以z =-2i 为圆心,1为半径的圆周及圆周的外部;(3)i 和i 两点的连线的中垂线. 8.(1)圆环形闭区域,有界; (2)中心在,1517−=z 半径为158的圆周的外部区域,无界. 9.xy =1。
《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx

---《复变函数》考试试题(一)一、判断题( 20 分):1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导,则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛,则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析,且f '( z),则f ( z) C(常数) 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点,则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限,则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数,则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数,则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . ()二. 填空题( 20 分)1、|z z 0 |dz__________. ( n 为自然数)1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11,则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析,则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n,则 nn______________.Res(e z8.n,0)________,其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点,则z z.三. 计算题( 40 分):f (z)11. 设(z 1)( z 2) ,求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ,试求 f ' (1 i ).Cz,其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数,那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.× 2.√ 3.√ 4.√5.√6.√ 7.×8.×9.× 10.×二.填空题2 in1 2.1 ;3. 2k , ( k z) ;4.z i ; 5.11.n;16. 整函数;7. ; 1 ; 9. 0; 10..8.(n 1)!三.计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题(二)一. 判断题 . (20 分)1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续,则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析,则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点,则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导,则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛,则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析,则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ,则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ,则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n( n 为自然数)---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0,则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1,则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分: I| z | dz,积分路径为(1)单位圆( | z | 1)i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析,试证: f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题(二)参考答案一.判断题 .1.√2.×3.√4.√ 5.× 6.×7.×8.√9.× 10.× .二.填空题---1.1 ,, i ;2. 3(1sin 2)i ;3.2 i n14. 1;5. m 1 . 0n;216.2k i ,( k z) .7. 0;8. i;9.R ;10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值,所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题(三)一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析,则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛,则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数,则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析,则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .( )8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点,则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ,则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ,则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n( n 为自然数)_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1,则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点,则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分:e zdz,其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数,那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数 n ,以及两个正数 R 及 M ,使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n,证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
完整版)复变函数测试题及答案

完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时,$z+z+z$ 的值等于()A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$,$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$,那么 $z$ 等于()A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$,$0<\theta<\pi$,则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时,$z$ 的三角表示式是()A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数,则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是()A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数,$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$,则动点 $(x,y)$ 的轨迹是()A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$,向右平移 $3$ 个单位,再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$,则原向量对应的复数是()A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是()A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数,则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是()A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是()A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是()A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为()A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$,$z_1=2+3\mathrm{i}$,$z_2=5-\mathrm{i}$,则 $f(z_1-z_2)$ 等于()A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$,$f'(z)=1+i$,则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析,且 $u+v$ 是实常数,则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。
复变函数论习题集

第一章 复习题1、 设32z i =--,则arg z =_________________. A) 2ar 3ctg B) 3ar 2ctg C) 2ar 3ctg π- D) 2ar 3ctg π+ 2、设cos cos z i θ=+,则z =____________.A)1 B) cos θ C) D) θ3、设12,w z z w z z =⋅=+,则1arg w _________ ()2arg Re 0w z ≠A) = B) ≤ C) < D) ≥4、设(),,0,1,2,3,4i k k z re w k θ===则arg k w =____________.A) B) 25k θπ+ C) 25k θπ+ D) 22,0,15k n n θππ++=±5. 若12z iz =,则1oz 与2oz 的关系是__________A)同向 B)反向 C)垂直 D)以上都不对6.复平面上三点: 134,0,34i i+-+,则__________ A)三点共圆 B)三点共线C)三点是直角∆顶点 D)三点是正∆顶点7.简单曲线(即约当曲线)是__________曲线.A)连续 B)光滑 C)无重点的连续 D)无重点光滑8.设函数w z =,其定义域E 为1z <,则值域M 为____________. A) 1w < B) [)0,1 C) ()1,1- D) {}|01,0x yi x y +≤<=9.函数1w z=将Z 平面上直线1x =变成W 平面上_________ A )直线 B )圆 C )双曲线 D )抛物线10. 4(1)i +=___________A )2B )2-C )4D )4-11.区域12z <<的边界是1z =,2z =,它们的正方向_____________A )1z =,2z =都是“逆时针”B )1z =“顺时针”, 2z =“逆时针”C )1z =,2z =都是“顺时针”D )1z =“逆时针”, 2z =“顺时针”12.极限0lim ()z z f z →与z 趋于0z 的方式__________________A )无关B )有关C )不一定有关D )与方向有关13.函数238()8z f z z +=+的不连续点集为____________A ){2,1--±B ){}2-C ){2,1D ){2,1-± 14. 53(cos sin )(cos3sin 3)i i e i ϕθθθθ-=+,则ϕ=_________________ A )2θ B )4θ- C )4θ D )14θ-15.扩充复平面上,无穷远点∞的ε-邻域是指含于条件_________的点集A )z ε<B )z ε>C )1z ε<D )1z ε> 二、多项选择题:1.若12z iz =,则12oz z V 是______________A )锐角VB )钝角VC )直角VD )等腰V E )正V2.表示实轴的方程是_____________(其中t 是实参数) A )Re 0z = B )Im 0z = C )11z t i -=- D )12z t -= E )3z t = 3.函数2w z =将Z 平面的曲线_____________变成W 平面上的直线(,)z x iy w u iv =+=+A )3z = B) 224x y += C )224x y -=D )4xy =E )229y x -=4.函数1()1f z z=-在单位圆1z <内______________ A )连续 B )不连续 C )一致连续 D )非一致连续 E )解析5.对无穷远点∞,规定________________无意义A )运算∞+∞B )运算∞-∞C )∞的实部D )∞的虚部E )∞的幅角三、填充题:1.复数z x iy =+,当0,0x y <≥时,其幅角的主值arg z =___________________________2.复数i z re θ=的n 将方根k k w ==____________________________________________3.具备下列性质的非空点集D 称为区域:(1)____________________________________________________(2)_________________________________________________________________4.设D 为复平面上的区域,若_____________________________________________________, 则称D 为单连通区域.5.设E 为一复数集,若_______________________________________________则称在E 上确定了一个单值函数()w f z =.6.在关系式00lim ()()z z f z f z →=中,如果__________________________________就称()f z 在点0z 为广义连续的.7.设12z z i ==,指数形式:12z z =______________________________________ 8. Z 平面上的圆周一般方程可以写成: 其中:9.考虑点集E 若 ,则称0z 为点集E 的聚点。
(完整word版)《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.×2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.×8.×9.×10.× 二.填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 2. 1; 3. 2k π,()k z ∈; 4. z i =±; 5. 16. 整函数;7. ξ;8. 1(1)!n -; 9. 0; 10. ∞.三.计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()(1)f z z z =-的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()(1)f z z z =-的幅角共增加2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)22i f e i π-==.《复变函数》考试试题(二)一. 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题.1.√ 2.×3.√ 4.√ 5.×6.×7.×8.√ 9.×10.×. 二. 填空题1.1,2π-, i ; 2. 3(1sin 2)i +-; 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4. 1; 5. 1m -. 6. 2k i π,()k z ∈. 7. 0; 8. i ±; 9. R ; 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解 令i z re θ=. 则22(),(0,1)k if z z rek θπ+===.又因为在正实轴去正实值,所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相同个数的根. 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <内有n 个根.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( ) 8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数经典习题及答案

于是 z 2i 9i
3
cos
π 2
2kπ
π i sin 2
2kπ
,
2
2
k 0,1
故z132来自223
2
2
i
,
z2
3 2
2 2 3 2 i. 2
3
例5 满足下列条件的点组成何种图形?是不是区 域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.
(1) Im (z) 0;
解 Im (z) 0是实数轴,不是区域.
使C1和C2也在C内,且C1与C2互不相交,互不包含,
据复合闭路定理有
y
ez
C z(1 z)3 dz
C1
ez z(1
z)3dz
ez C2 z(1 z)3 dz
C1
C
•
O 1x C2
30
而积分
C1
ez z(1
z)3dz即为2)的结果2i,
而积分
C2
ez z(1
z)3dz
即为3)的结果
x
y
x
y
由于 f (z) 解析,所以 u v , u v x y y x
即 2bxy 2cxy b c,
3ay2 bx2 3x2 cy2 3a c,b 3 故 a 1, b 3, c 3.
11
例5 研究 f (z) z Re z 的可导性.
解 设 z0 x0 iy0 为 z 平面上任意一定点,
1( x iy), 9
于是 w u iv 1 x 1 iy u 1 x, v 1 y
99
9
9
u2 v2 1 ( x2 y2) 1 表示 w 平面上的圆.
81
9
6
《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1、若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析、 ( )2、有界整函数必在整个复平面为常数、 ( )3、若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )4、若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数)、 ( )5、若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、 ( )6、若z 0就是)(z f 的m 阶零点,则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( )7、若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0就是函数f(z)的可去奇点、 ( )8、若函数f(z)在就是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠、 ( ) 9、 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f 、( )10、若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数、( ) 二、填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________、(n 为自然数)2、=+z z 22cos sin _________、 3、函数z sin 的周期为___________、4、设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________、5、幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________、6、若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它就是__________、7、若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________、8、=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数、9、 zz sin 的孤立奇点为________ 、10、若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、三、计算题(40分):1、 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式、2、 .cos 11||⎰=z dz z3、 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4、 求复数11+-=z z w 的实部与虚部、四、 证明题、(20分) 1、 函数)(z f 在区域D 内解析、 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、 试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值、 《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.×2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.×8.×9.×10.× 二.填空题 1、 2101i n n π=⎧⎨≠⎩ ; 2、 1; 3、 2k π,()k z ∈; 4、 z i =±; 5、 16、 整函数;7、 ξ;8、 1(1)!n -; 9、 0; 10、 ∞、三.计算题、1、 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑、 2、 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-、 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰、 3、 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰、所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+、 4、 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++、 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b-=+++、 四、 证明题、1、 证明 设在D 内()f z C =、令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则、两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-、 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩、 消去x u 得, 22()0x u v v +=、 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数、2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =、 所以12,u c v c ==、 (12,c c 为常数)、 所以12()f z c ic =+为常数、2、证明()f z =0,1z =、 于就是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支、由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π、 所以()f z =2π、 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于就是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==、《复变函数》考试试题(二)一. 判断题、(20分)1、 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续、 ( )2、 cos z 与sin z 在复平面内有界、 ( )3、 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、 有界整函数必为常数、 ( )5、 如z 0就是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在、 ( )6、 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析、 ( )7、 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f 、( )8、 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( ) 9、 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析、 ( )10、 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f 、( )二、 填空题、 (20分)1、 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2、设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________、3、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数)4、 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ 、5、 若z 0就是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0就是)('z f 的_____零点、6、 函数e z 的周期为__________、7、 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________、 8、 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________、 9、 函数||)(z z f =的不解析点之集为________、10、 ____)1,1(Res 4=-zz 、 三、 计算题、 (40分)1、 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式、2、 在复平面上取上半虚轴作割线、 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值、3、 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆、4、 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π、四、 证明题、 (20分)1、 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件就是)(z f 在D 内解析、2、 试用儒歇定理证明代数基本定理、《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题、1.√ 2.×3.√ 4.√ 5.×6.×7.×8.√ 9.×10.×、 二、 填空题1、1,2π-, i ; 2、 3(1sin 2)i +-; 3、2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4、 1; 5、 1m -、 6、 2k i π,()k z ∈、 7、 0; 8、 i ±; 9、 R ; 10、 0、 三、 计算题1、 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑、2、 解 令i z re θ=、则22(),(0,1)k if z k θπ+===、又因为在正实轴去正实值,所以0k =、所以4()if i eπ=、3、 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤、所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰、4、 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0、四、 证明题、1、 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-、 (12,c c 为实常数)、 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-、 则0x y y x u v u v ====、 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析、 (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-、比较等式两边得 0x y y x u v u v ====、 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数、2、 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”、证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<、()f z =、由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相 同个数的根、 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =、 因此n 次方程在z R <内有n 个根、《复变函数》考试试题(三)一、 判断题、 (20分)、1、 cos z 与sin z 的周期均为πk2、 ( ) 2、 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析、 ( )3、 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )5、 若函数f (z )就是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数、 ( )6、 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导、 ( )7、 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f 、 ( )8、 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、( )9、 若z 0就是)(z f 的m 阶零点, 则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( ) 10、 若z 就是)(z f 的可去奇点,则)),((Res 0=z z f 、( )二、 填空题、 (20分)1、 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________、2、 函数e z的周期为_________、3、 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________、4、 =+z z 22cos sin ___________、5、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数) 6、 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________、7、 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________、8、 设1-=ze ,则___=z 、9、 若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、10、 ____)0,(Res =n zze 、三、 计算题、 (40分)1、 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数、2、 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径、3、 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 就是1||=z 、4、 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数、四、 证明题、 (20分) 1、 函数)(z f 在区域D 内解析、 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、 设)(z f 就是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 就是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数习题总汇与参考答案

复变函数习题总汇与参考答案第1章 复数与复变函数一、单项选择题1、若Z 1=(a, b ),Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=(C )A (ac+bd, a )B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd )D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N (∞,R )={ z :(D )}A |z|<RB 0<|z|<RC R<|z|<+∞D |z|>R3、若z=x+iy, 则y=(D) A B C D4、若A= ,则 |A|=(C ) A 3 B 0 C 1 D 2二、填空题1、若z=x+iy, w=z 2=u+iv, 则v=( 2xy )2、复平面上满足Rez=4的点集为( {z=x+iy|x=4} )3、( 设E 为点集,若它是开集,且是连通的,则E )称为区域。
2zz +2z z -i z z 2+iz z 2-)1)(4()1)(4(i i i i +--+4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……),则{z n }以z o 为极限的充分必要条件是 x n =x 0,且 y n =y 0。
三、计算题1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。
解:Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|=2、写出复数-i 的三角式。
解:3、写出复数 的代数式。
解:+∞→n lim +∞→n lim ππ45|11|arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 ππ23sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i ii i i 212312121)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-++-+=-+-i i i i -+-114、求根式 的值。
解:四、证明题1、证明若 ,则a 2+b 2=1。
(完整版)复变函数测试题及答案

第一章 复数与复变函数一、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3)2(π=+z arc ,65)2(π=-z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+-(D )i 2123+- 3.复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i (B ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( )(A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转3π,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( )(A )2 (B )i 31+(C )i -3 (D )i +37.使得22z z =成立的复数z 是( )(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( )(A )i +-43 (B )i +43 (C )i -43 (D )i --439.满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域 10.方程232=-+i z 所代表的曲线是( )(A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A )221=+-z z (B )433=--+z z (C ))1(11<=--a azaz (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 13.00)Im()Im(lim0z z z z x x --→( )(A )等于i (B )等于i - (C )等于0 (D )不存在14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) (A )),(y x u 在),(00y x 处连续 (B )),(y x v 在),(00y x 处连续(C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15.设C z ∈且1=z ,则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为( )(A )3- (B )2- (C )1- (D )1二、填空题1.设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=,则=z2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg3.设43)arg(,5π=-=i z z ,则=z 4.复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5.以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 6.不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部7.方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为8.方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线9.对于映射zi =ω,圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10.=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ,试求2+z 的取值范围.四、设0≥a ,在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠,试证21zz+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .六、对于映射)1(21zz +=ω,求出圆周4=z 的像.七、试证1.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+; 2.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ,则存在0>δ,使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>.九、设iy x z +=,试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=,试讨论下列函数的连续性:1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f第二章 解析函数一、选择题:1.函数23)(z z f =在点0=z 处是( )(A )解析的 (B )可导的(C )不可导的 (D )既不解析也不可导 2.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充分必要条件 (D )既非充分条件也非必要条件 3.下列命题中,正确的是( )(A )设y x ,为实数,则1)cos(≤+iy x(B )若0z 是函数)(z f 的奇点,则)(z f 在点0z 不可导(C )若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程,则iv u z f +=)(在D 内解析 (D )若)(z f 在区域D 内解析,则)(z if 在D 内也解析 4.下列函数中,为解析函数的是( )(A )xyi y x 222-- (B )xyi x +2(C ))2()1(222x x y i y x +-+- (D )33iy x +5.函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )(A )等于0 (B )等于1 (C )等于1- (D )不存在6.若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析,那么实常 数=a ( )(A )0 (B )1 (C )2 (D )2-7.如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零,且1)0(-=f ,那么在1<z 内≡)(z f ( )(A )0 (B )1 (C )1- (D )任意常数 8.设函数)(z f 在区域D 内有定义,则下列命题中,正确的是(A )若)(z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 (B )若))(Re(z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 (C )若)(z f 与)(z f 在D 内解析,则)(z f 在D 内是一常数 (D )若)(arg z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 9.设22)(iy x z f +=,则=+')1(i f ( )(A )2 (B )i 2 (C )i +1 (D )i 22+ 10.ii 的主值为( )(A )0 (B )1 (C )2πe (D )2π-e11.z e 在复平面上( )(A )无可导点 (B )有可导点,但不解析 (C )有可导点,且在可导点集上解析 (D )处处解析 12.设z z f sin )(=,则下列命题中,不正确的是( )(A ))(z f 在复平面上处处解析 (B ))(z f 以π2为周期(C )2)(iziz e e z f --= (D ))(z f 是无界的13.设α为任意实数,则α1( )(A )无定义 (B )等于1(C )是复数,其实部等于1 (D )是复数,其模等于1 14.下列数中,为实数的是( )(A )3)1(i - (B )i cos (C )i ln (D )i e 23π-15.设α是复数,则( )(A )αz 在复平面上处处解析 (B )αz 的模为αz(C )αz 一般是多值函数 (D )αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1.设i f f +='=1)0(,1)0(,则=-→zz f z 1)(lim2.设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的,如果v u +是实常数,那么)(z f 在D 内是 3.导函数xvix u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4.设2233)(y ix y x z f ++=,则=+-')2323(i f 5.若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=,那么=)(z f 6.函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7.设z i z z f )1(51)(5+-=,则方程0)(='z f 的所有根为 8.复数ii 的模为 9.=-)}43Im{ln(i 10.方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数,若记)2,2()2,2(),(izz z z iv i z z z z u z z w -++-+=,则0=∂∂z w .四、试证下列函数在z 平面上解析,并分别求出其导数 1.;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2.);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ,求22,dz w d dz dw .六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程,但却不可导.七、已知22y x v u -=-,试确定解析函数iv u z f +=)(.八、设s 和n 为平面向量,将s按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数,则有s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,(s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ,n 的方向导数).九、若函数)(z f 在上半平面内解析,试证函数)(z f 在下半平面内解析.十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章 复变函数的积分一、选择题:1.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+⎰cdz iy x )(2( )(A )i 6561- (B )i 6561+- (C )i 6561-- (D )i 6561+ 2.设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线,则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( ) (A )2i π (B )2iπ- (C )0 (D )(A)(B)(C)都有可能 3.设1:1=z c 为负向,3:2=z c 正向,则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( ) (A ) i π2- (B )0 (C )i π2 (D )i π4 4.设c 为正向圆周2=z ,则=-⎰dz z zc 2)1(cos ( ) (A )1sin - (B )1sin (C )1sin 2i π- (D )1sin 2i π5.设c 为正向圆周21=z ,则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )(A ))1sin 1cos 3(2-i π (B )0 (C )1cos 6i π (D )1sin 2i π-6.设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(,其中4≠z ,则=')i f π(( ) (A )i π2- (B )1- (C )i π2 (D )17.设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零,c 为B 内任何一条简单闭曲线,则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )(A )于i π2 (B )等于i π2- (C )等于0 (D )不能确定8.设c 是从0到i 21π+的直线段,则积分=⎰cz dz ze ( )(A )21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9.设c 为正向圆周0222=-+x y x ,则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) (A )i π22 (B )i π2 (C )0 (D )i π22- 10.设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1,则=-⎰c dz i a zz 2)(cos ( ) (A )ie π2 (B )eiπ2 (C )0 (D )i i cos 11.设)(z f 在区域D 内解析,c 为D 内任一条正向简单闭曲线,它的内部全属于D .如果)(z f 在c 上的值为2,那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )(A )等于0 (B )等于1 (C )等于2 (D )不能确定 12.下列命题中,不正确的是( ) (A )积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关 (B )2)(22≤+⎰cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段 (C )若在区域D 内有)()(z g z f =',则在D 内)(z g '存在且解析 (D )若)(z f 在10<<z 内解析,且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零,则)(z f 在0=z 处解析13.设c 为任意实常数,那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2(B ) ic iz +2(C )c z +2(D )ic z +214.下列命题中,正确的是( )(A )设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数,则必有21v v = (B )解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 (C )若iv u z f +=)(在区域D 内解析,则xu∂∂为D 内的调和函数 (D )以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15.设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数,则下列函数中为D 内解析函数的是( )(A )),(),(y x iu y x v + (B )),(),(y x iu y x v -(C )),(),(y x iv y x u - (D )xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1.设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段,则=⎰cdz z 22.设c 为正向圆周14=-z ,则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233.设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ,则=')3(f 4.设c 为正向圆周3=z ,则=+⎰cdz zzz 5.设c 为负向圆周4=z ,则=-⎰c zdz i z e 5)(π6.解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7.设)(z f 在单连通域B 内连续,且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ,那么)(z f 在B 内8.调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9.若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部,则常数=a10.设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ,那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.⎰=+-Rz dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz.四、设)(z f 在单连通域B 内解析,且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证1.在B 内处处有0)(≠z f ; 2.对于B 内任意一条闭曲线c ,都有0)()(=''⎰cdz z f z f五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析,若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-,则),2,1()(!)()( =≤n rr M n a f nn .六、求积分⎰=1z zdz z e ,从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界,对于任意给定的两个复数b a ,,试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =(刘维尔Liouville 定理).八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析,且2)0(,1)0(='=f f ,试计算积分⎰=+122)()1(z dz z z f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数,证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂.十、若)(22y x u u +=,试求解析函数iv u z f +=)(.第四章 级 数一、选择题:1.设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ,则n n a ∞→lim ( ) (A )等于0 (B )等于1 (C )等于i (D )不存在2.下列级数中,条件收敛的级数为( )(A )∑∞=+1)231(n ni (B )∑∞=+1!)43(n n n i(C ) ∑∞=1n nni (D )∑∞=++-11)1(n n n i3.下列级数中,绝对收敛的级数为( )(B ) ∑∞=+1)1(1n n in(B )∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nn i (D )∑∞=-12)1(n nn n i 4.若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛,那么该级数在2=z 处的敛散性为( )(A )绝对收敛 (B )条件收敛(C )发散 (D )不能确定 5.设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ,则321,,R R R 之间的关系是( )(A )321R R R << (B )321R R R >> (C )321R R R <= (D )321R R R == 6.设10<<q ,则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )(A )q (B )q1(C )0 (D )∞+ 7.幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) (A ) 1 (B )2 (C )2 (D )∞+8.幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为 (A ))1ln(z + (B ))1ln(z -(D )z +11ln(D) z-11ln 9.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ,那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )(A )∞+ (B )1 (C )2π(D )π 10.级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) (A )1<z (B )10<<z (C )+∞<<z 1 (D )不存在的11.函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( ) (A ))11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n(B ))11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n(C ))11()1(11<++-∑∞=-z z n n n (D ))11()1(11<++∑∞=-z z n n n12.函数z sin ,在2π=z 处的泰勒展开式为( )(A ))2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n(B ))2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n(C ))2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n(D ))2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13.设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0,c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线,那么=-⎰c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π (B )12ic π (C )22ic π (D ))(20z f i 'π14.若⎩⎨⎧--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ,则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) (A )3141<<z (B )43<<z (C )+∞<<z 41 (D )+∞<<z 3115.设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个,那么=m ( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )4二、填空题 1.若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散,那么该级数在2=z 处的收敛性为 . 2.设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ,那么1R 与2R 之间的关系是 . 3.幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4.设)(z f 在区域D 内解析,0z 为内的一点,d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离,那么当d z z <-0时,∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 成立,其中=n c .5.函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 . 6.设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ,那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为 .7.双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 . 8.函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 . 9.设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c,那么该洛朗级数收敛域的外半径=R . 10.函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 .三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ,则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列,试确定n a 满足的递推关系式,并明确给出n a 的表达式.四、试证明 1.);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2.);1()1(1)3(<-≤-≤-z z e e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析,∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1.)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2.)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ)。
复变函数习题总汇与参考答案

复变函数习题总汇与参考答案第1章 复数与复变函数一、单项选择题1、假设Z 1=〔a, b 〕,Z 2=(c, d),那么Z 1·Z 2=〔C 〕 A 〔ac+bd, a 〕 B (ac-bd, b) C 〔ac-bd, ac+bd 〕 D (ac+bd, bc-ad)2、假设R>0,那么N 〔∞,R 〕={ z :〔D 〕} A |z|<R B 0<|z|<R C R<|z|<+∞ D |z|>R3、假设z=x+iy, 那么y=(D)A B C D4、假设A= ,那么|A|=〔C 〕A 3B 0C 1D 2二、填空题1、假设z=x+iy, w=z 2=u+iv, 那么v=〔 2xy 〕2、复平面上满足Rez=4的点集为〔 {z=x+iy|x=4} 〕3、〔 设E 为点集,假设它是开集,且是连通的,那么E 〕称为区域。
2zz +2z z -iz z 2+iz z 2-)1)(4()1)(4(i i i i +--+4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……),那么{z n }以z o 为极限的充分必要条件是 x n =x 0,且 y n =y 0。
三、计算题1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。
解:Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|=2、写出复数-i 的三角式。
解:3、写出复数 的代数式。
解:4、求根式 的值。
+∞→n lim +∞→n limππ45|11|arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 ππ23sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i i i i i 212312121)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-++-+=-+-ii i i -+-11327-解:四、证明题1、证明假设 ,那么a 2+b 2=1。
复变函数作业

复变函数作业第一次作业(第一章习题)1.设z13i2,求|z|及Argz.2.设z1i1,zi,试用指数形式表z1z2及z1223z.23.解二项方程z4a40(a0).4.证明|z21z2||z21z2|2(|z21||z2|2),并说明其几何意义。
9.试证:复平面上的三点abi,0,1共直线。
abi某y14.命函数f(z)某2y2,若z0,试证:0,若z=0.15.试证:函数f(z)z在z平面上处处连续。
f(z)在原点不连续。
2第二次作业(第二章习题)2.洛必达(L’Hopital)法则若f(z)及g(z)在点z0解析,且f(z0)g(z0)0,g'(z0)0.则(试证)limf(z)f'(z0)zzg(z)g'(z.00)某3y3i(某3y)33.设f(z)某2y2,z0,0,z0,试证f(z)在原点满足C.–R.方程,但却不可微.4.试证下列函数在z平面上任何点都不解析:(1)|z|;(2)某y;35.试判断下列函数的可微性和解析性:(1)f(z)某y2i某2y;(2)f(z)某2iy2;8.试证下列函数在z平面上解析,并分别求出其导函数。
(1)f(z)某33某2yi3某y2y3i);(2)f(z)e某(某coyyiny)ie某(ycoy某iny);20.试解方程:(1)ez13i;(2)lnzi2;(3)1ez0;422.设w3z确定在从原点z0起沿正实轴割破了的z平面上,并且w(i)i,试求w(i)之值。
23.设w3z确定在从原点z0起沿负实轴割破了的z平面上,w(2)32(这是边界上岸点对应的函数值),试求w(i)之值。
并且5第三次作业(第三章习题)1.计算积分(某yi某2)dz,积分路径C是连接由0到1+i的直线段。
c2.计算积分|z|dz,积分路径是(1)直线段;(2)上半单位圆周;(3)下半11单位圆周。
3.利用积分估值,证明(1)(2)5.计算:(1)62i2c(某2iy2)dz2,其中C是连接-i到i的直线段;c(某2iy2)dz,其中C是连接-i到i的右半圆周。
复变函数14套题目和答案

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分) 1.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)1、 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dz z zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( )8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数测试题及答案

复变函数测试题及答案第一章复数与复变函数一、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于()(A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3)2(π=+z arc ,65)2(π=-z arc ,那么=z ()(A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+- (D )i 2123+- 3.复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是()(A ))]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i (B ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是()(A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=-(C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是()(A )圆(B )椭圆(C )双曲线(D )抛物线6.一个向量顺时针旋转3π,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是()(A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +37.使得22z z =成立的复数z 是()(A )不存在的(B )唯一的(C )纯虚数(D )实数8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是()(A )i +-43 (B )i +43 (C )i -43 (D )i --439.满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是()(A )有界区域(B )无界区域(C )有界闭区域(D )无界闭区域 10.方程232=-+i z 所代表的曲线是()(A )中心为i 32-,半径为2的圆周(B )中心为i 32+-,半径为2的圆周(C )中心为i 32+-,半径为2的圆周(D )中心为i32-,半径为2的圆周11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为()(A )221=+-z z (B )433=--+z z (C ))1(11<=--a azaz (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ()(A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 13.00)Im()Im(lim0z z z z x x --→()(A )等于i (B )等于i - (C )等于0 (D )不存在14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是()(A )),(y x u 在),(00y x 处连续(B )),(y x v 在),(00y x 处连续(C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15.设C z ∈且1=z ,则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为()(A )3- (B )2- (C )1- (D )1二、填空题1.设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=,则=z2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg3.设43)arg(,5π=-=i z z ,则=z 4.复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5.以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为6.不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线的内部7.方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为8.方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线9.对于映射zi =ω,圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10.=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ,试求2+z 的取值范围.四、设0≥a ,在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠,试证21zz+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .六、对于映射)1(21zz +=ω,求出圆周4=z 的像.七、试证1.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+;2.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ,则存在0>δ,使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>.九、设iy x z +=,试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=,试讨论下列函数的连续性:1.??=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.??=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f第二章解析函数一、选择题:1.函数23)(z z f =在点0=z 处是( )(A )解析的(B )可导的(C )不可导的(D )既不解析也不可导 2.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )(A )充分不必要条件(B )必要不充分条件(C )充分必要条件(D )既非充分条件也非必要条件3.下列命题中,正确的是( )(A )设y x ,为实数,则1)cos(≤+iy x(B )若0z 是函数)(z f 的奇点,则)(z f 在点0z 不可导(C )若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程,则iv u z f +=)(在D 内解析(D )若)(z f 在区域D 内解析,则)(z if 在D 内也解析 4.下列函数中,为解析函数的是( )(A )xyi y x 222-- (B )xyi x +2(C ))2()1(222x x y i y x +-+- (D )33iy x +5.函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )(A )等于0 (B )等于1 (C )等于1- (D )不存在6.若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析,那么实常数=a ( )(A )0 (B )1 (C )2 (D )2-7.如果)(z f '在单位圆1<="" f="" p="" 内≡)(z="" 内处处为零,且1)0(-="f" ,那么在1(A )0 (B )1 (C )1- (D )任意常数 8.设函数)(z f 在区域D 内有定义,则下列命题中,正确的是(A )若)(z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数(B )若))(Re(z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数(C )若)(z f 与)(z f 在D 内解析,则)(z f 在D 内是一常数(D )若)(arg z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 9.设22)(iy x z f +=,则=+')1(i f ( )(A )2 (B )i 2 (C )i +1 (D )i 22+ 10.ii 的主值为( )(A )0 (B )1 (C )2πe (D )2π-e11.z e 在复平面上( )(A )无可导点(B )有可导点,但不解析(C )有可导点,且在可导点集上解析(D )处处解析 12.设z z f sin )(=,则下列命题中,不正确的是( )(A ))(z f 在复平面上处处解析(B ))(z f 以π2为周期(C )2)(iziz e e z f --= (D ))(z f 是无界的13.设α为任意实数,则α1( )(A )无定义(B )等于1(C )是复数,其实部等于1 (D )是复数,其模等于1 14.下列数中,为实数的是( )(A )3)1(i - (B )i cos (C )i ln (D )i e 23π-15.设α是复数,则( )(A )αz 在复平面上处处解析(B )αz 的模为αz(C )αz 一般是多值函数(D )αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1.设i f f +='=1)0(,1)0(,则=-→zz f z 1)(lim2.设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的,如果v u +是实常数,那么)(z f 在D 内是 3.导函数xv i x u z f ??+??=')(在区域D 内解析的充要条件为 4.设2233)(y ix y x z f ++=,则=+-')2323(i f 5.若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=,那么=)(z f 6.函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7.设z i z z f )1(51)(5+-=,则方程0)(='z f 的所有根为 8.复数ii 的模为9.=-)}43Im{ln(i 10.方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数,若记)2,2()2,2(),(i zz z z iv i z z z z u z z w -++-+=,则0=??zw .四、试证下列函数在z 平面上解析,并分别求出其导数1.;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2.);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ,求22,dz wd dz dw .六、设??=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程,但却不可导.七、已知22y x v u -=-,试确定解析函数iv u z f +=)(.八、设s 和n 为平面向量,将s按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数,则有s vn u n v s u ??-==??,(s ??与n分别表示沿s ,n 的方向导数).九、若函数)(z f 在上半平面内解析,试证函数)(z f 在下半平面内解析.十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章复变函数的积分一、选择题:1.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+?cdz iy x )(2( )(A )i 6561- (B )i 6561+- (C )i 6561-- (D )i 6561+ 2.设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线,则dz z z zc ?+-2)1)(1(为( ) (A )2i π (B )2i π- (C )0 (D )(A)(B)(C)都有可能 3.设1:1=z c 为负向,3:2=z c 正向,则=?+=dz z zc c c 212sin ( ) (A )i π2- (B )0 (C )i π2 (D )i π4 4.设c 为正向圆周2=z ,则=-?dz z zc2)1(cos ( ) (A )1sin - (B )1sin (C )1sin 2i π- (D )1sin 2i π5.设c 为正向圆周21=z ,则=--?dz z z z c23)1(21cos( )(A ))1sin 1cos 3(2-i π (B )0 (C )1cos 6i π (D )1sin 2i π-6.设ξξξξd ze zf ?=-=4)(,其中4≠z ,则=')i f π(( ) (A )i π2- (B )1- (C )i π2 (D )17.设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零,c 为B 内任何一条简单闭曲线,则积分dz z f z f z f z f c+'+'')()()(2)( ( ) (A )于i π2 (B )等于i π2- (C )等于0 (D )不能确定8.设c 是从0到i 21π+的直线段,则积分=?cz dz ze ()(A )21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9.设c 为正向圆周0222=-+x y x ,则=-?dz z z c1)4sin(2π( )(A )i π22 (B )i π2 (C )0 (D )i π22-10.设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1,则=-?c dz i a zz 2)(cos ( ) (A )ie π2 (B )eiπ2 (C )0 (D )i i cos 11.设)(z f 在区域D 内解析,c 为D 内任一条正向简单闭曲线,它的内部全属于D .如果)(z f 在c 上的值为2,那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )(A )等于0 (B )等于1 (C )等于2 (D )不能确定 12.下列命题中,不正确的是( ) (A )积分=--ra z dz a z 1的值与半径)0(>r r 的大小无关(B )2)(22≤+?cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段(C )若在区域D 内有)()(z g z f =',则在D 内)(z g '存在且解析(D )若)(z f 在10<<<="r" 的积分等于零,则<="">)(z f 在0=z 处解析13.设c 为任意实常数,那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2(B ) ic iz +2(C )c z +2(D )ic z +214.下列命题中,正确的是( )(A )设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数,则必有21v v = (B )解析函数的实部是虚部的共轭调和函数(C )若iv u z f +=)(在区域D 内解析,则xu为D 内的调和函数(D )以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15.设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数,则下列函数中为D 内解析函数的是( )(A )),(),(y x iu y x v + (B )),(),(y x iu y x v -(C )),(),(y x iv y x u - (D )xv i x u ??-??二、填空题1.设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段,则=?c dz z 22.设c 为正向圆周14=-z ,则=-+-?c dz z z z 22)4(233.设?=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ,则=')3(f 4.设c 为正向圆周3=z ,则=+?cdz zzz 5.设c 为负向圆周4=z ,则=-?c zdz i z e 5)(π6.解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7.设)(z f 在单连通域B 内连续,且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=?c dz z f ,那么)(z f 在B 内8.调和函数xy y x =),(?的共轭调和函数为9.若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部,则常数=a 10.设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ,那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.=+-Rz dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.?=++22422z z z dz.四、设)(z f 在单连通域B 内解析,且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证1.在B 内处处有0)(≠z f ;2.对于B 内任意一条闭曲线c ,都有0)()(=''?cdz z f z f五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析,若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-,则),2,1()(!)()( =≤n r r M n a f nn .六、求积分?=1z zdz z e ,从而证明πθθπθ=?0cos )cos(sin d e .七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界,对于任意给定的两个复数b a ,,试求极限=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =(刘维尔Liouville 定理).八、设)(z f 在)1(><="" p="" r="" z="" 内解析,且2)0(,1)0(="=f f ,试计算积分</p><p>?</p><p>=+1</p><p>2</p><p>2</p><p>)</p>< p>()1(z dz z z f z 并由此得出?</p><p>π</p><p>θθθ</p><p>20</p><p>2</p><p>)(2 </p><p>cos d e f i 之值.</p><p> </p><p>九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数,证明</p><p>2</p><p>222</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p> <p>2)</p><p>)(1()</p><p>(4)</p><p>)(1ln()</p><p>)(1ln(z f z f y z f x z f +">+?++?.十、若)(22y x u u +=,试求解析函数iv u z f +=)(.第四章级数一、选择题:1.设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ,则n n a ∞→lim ( ) (A )等于0 (B )等于1 (C )等于i (D )不存在2.下列级数中,条件收敛的级数为( )(A )∑∞=+1)231(n n i (B )∑∞=+1!)43(n nn i (C )∑∞=1n n n i (D )∑∞=++-11)1(n n n i3.下列级数中,绝对收敛的级数为( )(B )∑∞=+1)1(1n n i n (B )∑∞=+-1]2)1([n n n in(C)∑∞=2ln n n n i (D )∑∞=-12)1(n nnn i 4.若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛,那么该级数在2=z 处的敛散性为( )(A )绝对收敛(B )条件收敛(C )发散(D )不能确定5.设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nnznc z c和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ,则321,,R R R 之间的关系是( )(A )321R R R << (B )321R R R >> (C )321R R R <= (D )321R R R == 6.设10<∑∞=0n n n z q 的收敛半径=R ( )(A )q (B )q1(C )0 (D )∞+ 7.幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) (A ) 1 (B )2 (C )2 (D )∞+8.幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<="">(A ))1ln(z + (B ))1ln(z - (D )z +11ln(D) z-11ln 9.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ,那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )(A )∞+ (B )1 (C )2π(D )π 10.级数+++++2111z z z z的收敛域是( ) (A )1<<<=""> 11.函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( ) (A ))11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n(B ))11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n(C ))11()1(11<++-∑∞=-z z n n n (D ))11()1(11<++∑∞=-z z n n n12.函数z sin ,在2π=z 处的泰勒展开式为( )(A ))2()2()!12()1(01 2+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n (B ))2()2()!2()1(02+∞<- --∑∞=ππz z n n nn(C ))2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n (D ))2 ()2()!2()1(021+∞<- --∑∞=+ππz z n n nn13.设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0,c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线,那么=-?c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π (B )12ic π (C )22ic π (D ))(20z f i 'π14.若?--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ,则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) (A )3141<<<="">+∞<<="" 41="" p="" (d="" )+∞<115.设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个,那么=m ( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )4二、填空题 1.若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散,那么该级数在2=z 处的收敛性为. 2.设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ,那么1R 与2R 之间的关系是. 3.幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4.设)(z f 在区域D 内解析,0z 为内的一点,d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离,那么当d z z <-0时,∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 成立,其中=n c .5.函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为. 6.设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ,那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为.7.双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为. 8.函数zze e 1+在+∞<<<0内的洛朗展开式为∑∞<="" cot="" p="" z="" 在原点的去心邻域r="" .="">-∞=n n nz c,那么该洛朗级数收敛域的外半径=R . 10.函数)(1i z z -在+∞<-三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ,则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列,试确定n a 满足的递推关系式,并明确给出n a 的表达式.四、试证明 1.);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2.);1()1(1)3(<-≤-≤-z ze e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析,∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1.)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++?ξξξξξπξ.2.)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-?=++ξξξξπξ)。
复变函数试题1-3答案

1-3参考答案试题一一 1.11)),22i -++ 2.526632,2,2ii i e e eπππ 3.2exp(2)2z π+ 4. 1ln 2(2)22e e i k k ππ-+++为整数 5. 2(1)i e π+6.27.21(2)(1)(21)!n nn z n +∞=-+∑ 823Re()09s s >+ 二.1-5 D A A C D三.1. 解:由于=1z ,=2z i ,均位于圆周内,由柯西积分公式得23431212C C Cdz dz dz z z i z z i ⎛⎫+=+ ⎪--++⎝⎭⎰⎰⎰ 224212i i i πππ=⨯+⨯=注:其他解法正确也应给分2. 解: ()f z 在C 所围成的区域内有121,1z z ==-两个孤立奇点,2211213211Re [(),1]lim(1),Re [(),1]lim(1)1212z z z z s f z z s f z z z z →→-++=-=-=+=--,2' 所以由留数定理,原式()2Re [(),1]Re [(),1]224i s f z s f z i i πππ=⋅+-=⨯=.注:其他解法正确也应给分 3. 解:11sin cos z zdz z d z ⋅=-⎰⎰111000cos |cos cos1sin |z z z zdz z =⎡⎤⎡⎤=--=--⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰sin1cos1.=-四.1. 解:因为22u x axy by =++,22v cx dxy y =++2,2,2,2u u vvx a y a x b y c x d y d x yx y x y∂∂∂∂=+=+=+=+∂∂∂∂ 要使,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 只需22,22x ay dx y ax by cx dy +=++=-- 得到2,1,1,2a b c d ==-=-=2. 解:23231,2!3!!(1)1,2!3!!nzn zn z z z e z n z z e z z n -=++++++-=-+-+++ 3521()23!5!(21)!z z n n e e z z z f z z n -+∞=-∴==+++=+∑收敛半径.R =+∞3. 解:011z <-<时,()21111()()(1)(1)22f z z z z z '=⋅=⋅----- 因为()()0111121111nn z z z z ∞===-=----+---∑所以()111()12n n n z z ∞-='=---∑所以 ()()12111()111n n n n f z n z n z z ∞∞--===-=--∑∑ 当 021z <-<时,220111()(1)(2)(2)12(2)n n n f z z z z z ∞==⋅=⋅---+--∑ 2(1)(2)nn n z ∞-==--∑4. 22(2)()(sin )z z f z z π-=sin()0z z k πππ=⇒=,故()f z 的奇点为,0,1,2,z k k ==±± ---------当()(),sin |0,sin |0z k z k z k z z ππ=='==≠,z k ∴=是sin()z π的一级零点, 是2(sin())z π的二级零点 ------------------又由于12z =,是(1)(2)z z --的一级零点 所以12z =,是()f z 的一级极点,-------当,1,2z k z =≠时,k 是()f z 的二级极点。
复变函数试题答案

1-3参考答案试题一一1.11)),22i -+2.526632,2,2ii i e e eπππ 3.2exp(2)2z π+4.1ln 2(2)22e e i k k ππ-+++为整数 5.2(1)i e π+6.27.21(2)(1)(21)!n nn z n +∞=-+∑ 823Re()09s s >+ 二.1-5 D A A C D三.1.解:由于=1z ,=2z i ,均位于圆周内,由柯西积分公式得23431212C CCdz dz dz z z i z z i ⎛⎫+=+ ⎪--++⎝⎭⎰⎰⎰ 224212i i i πππ=⨯+⨯=注:其他解法正确也应给分2.解: ()f z 在C 所围成的区域内有121,1z z ==-两个孤立奇点,2211213211Re [(),1]lim(1),Re [(),1]lim(1)1212z z z z s f z z s f z z z z →→-++=-=-=+=--,2' 所以由留数定理,原式()2Re [(),1]Re [(),1]224i s f z s f z i i πππ=⋅+-=⨯=.注:其他解法正确也应给分 3.解:11sin cos z zdz z d z ⋅=-⎰⎰111000cos |cos cos1sin |z z z zdz z =⎡⎤⎡⎤=--=--⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰sin1cos1.=-四.1.解:因为22u x axy by =++,22v cx dxy y =++2,2,2,2u u v vx ay ax by cx dy dx y x y x y∂∂∂∂=+=+=+=+∂∂∂∂ 要使,u v u vx y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 只需22,22x ay dx y ax by cx dy +=++=-- 得到2,1,1,2a b c d ==-=-=2.解:23231,2!3!!(1)1,2!3!!nzn zn z z z e z n z z e z z n -=++++++-=-+-+++3521()23!5!(21)!z z n n e e z z z f z z n -+∞=-∴==+++=+∑ 收敛半径.R =+∞3.解:011z <-<时,()21111()()(1)(1)22f z z z z z '=⋅=⋅----- 因为()()0111121111nn z z z z ∞===-=----+---∑所以()111()12n n n z z ∞-='=---∑所以 ()()12111()111n n n n f z n z n z z ∞∞--===-=--∑∑ 当021z <-<时,220111()(1)(2)(2)12(2)n n n f z z z z z ∞==⋅=⋅---+--∑ 20(1)(2)n n n z ∞-==--∑4.22(2)()(sin )z z f z z π-=sin()0z z k πππ=⇒=,故()f z 的奇点为,0,1,2,z k k ==±± ---------当()(),sin |0,sin |0z k z k z k z z ππ=='==≠,z k ∴=是sin()z π的一级零点, 是2(sin())z π的二级零点 ------------------又由于12z =,是(1)(2)z z --的一级零点 所以12z =,是()f z 的一级极点,-------当,1,2z k z =≠时,k 是()f z 的二级极点。
复变函数单元测题集

第一章 复数与复变函数 测试题1一、单项选择:1、),1(22i z -=则150100++z z 的值( )。
A 、i - B 、i C 、1 D 、1- 2、设复数z 满足,3)2arg(π=+z ,65)2arg(π=-z 那么=z ( ) A 、i 31+- B 、i +-3 C 、i 2321+-D 、i 2123+- 3、集合},10{<<=z z D 则D 是( )A 、无界域B 、多连域C 、单连域D 、闭区域4、下列方程所表示的曲线中,( )是椭圆A 、522=++-z zB 、211=+-z z C 、1Re =+z z D 、2Re 2=z 5、=--→0Im Im limz z z z zz ( )A 、iB 、i -C 、0D 、不存在二、填空题1、 设2512)42()1)(23(i i i i z +++=,则=z 。
2、 已知方程i y i x i 31)53()21(-=-++,则=x =y 。
3、 已知iz 312+-=,则z 的辐角主值是 。
4、 满足不等式210<++<i z 的集合是 。
5、 映射zi+=1ω将圆周422=+y x 映成ω平面上 。
三、求满足下列条件的点的存在范围1、1Im 2≤z 2、411<++-z z四、求复数)1(11≠-+=z zzω的实部、虚部和模。
五、若θcos 21=+-z z ,求证θn z z n n cos 2=+- 。
第一章 复数与复变函数 测试题2一、单项选择:1、当n 为3的倍数时,复数11[(1)][(122nnz =-+-的值( )。
A 、1-B 、1C 、2-D 、2 2、已知81()1i z i-=+则663322z z +-的值为( ) A 、i - B 、1 C 、i D 、1-3、方程2Re 1z =所代表的曲线是( )A 、圆周B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线4、下列函数中,都有(0)0f =。
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复变函数1-3章测试题
一、 单项选择题
2. 设()2
,0
0,0z z f z z z ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩
,则()f z 的连续点集合为( ).
(A )单连通区域 (B )多连通区域 (C )开集非区域 (D )闭集非闭区域
4.设()(,)(,)f z u x y iv x y =+,那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是
()f z 在点000z x iy =+可微的( ).
()()()()A B C D 充分但非必要条件
必要但非充分条件
充分必要条件既非充分也非必要条件
6.
⎰==-22)1(cos z dz z z
( )
(A) -i πsin1 (B) i πsin1 (C)-2i πsin1 (D) 2i π
sin1
9. 设c 是()1z i t =+,t 从1到2的线段,则arg d c
z z ⎰( ).
()
()
()()
()114
4
4
A B i
C i
D i π
π
π
++
10. 下列命题不正确的是( ).
(A) 1212z z z z ⋅=⋅;
(B) 如果f (z )在0z 可导,那么f (z )在0z 连续;
(C)
1
1
cos z dz z ==⎰0; (D) 如果0()f z '存在,那么f (z )在0z 解析.
二、填空题
1、()Ln 1i -的主值为 .
2、函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导.
3、函数3w z =把z 平面上的区域0arg 3
z π
<<
映成w 平面上的区域 .
4、计算._________Re _______,________,)33(15
1
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-z i
e i i 5、________,1
=-⎰
C dz z z 其中C 是简单闭曲线.
三、求⎰+c
dz iy x )(2,其中C 是沿曲线2x y =由点0=z 到点 i z +=1. 四、||2d (1)(3)
z z
z z z =+-⎰
.(积分曲线指正向) 五、。