谱估计(概述和经典法)

பைடு நூலகம்
1 ˆ xx (m) N
N m 1 n 0
x(n) x(n m)
通过将自相关函数的估计进行傅氏变换求得功率 谱估计的方法即为 BT PSD法。
2.2 周期图法进行谱估计
求出信号的自相关函数，再求出信号的 功率谱密度。
Blackman 和 Tukey
对信号进行加窗处理得x(n)，再进行 离散傅立叶变换得X(ejω)，再求模的平方得 功率谱密度。
当 m N 时不能得到有用的估计。此时按下式 估计 xx (m)
1 ˆ (m) xx N
N m 1
Nm ˆ xx (m), m ( N 1) x(n) x(n m) N n 0
同时
Nm ˆ (m) E xx xx (m) N


均值等于真值用三 角窗函数加权
n
x

N
(n) xN (n m)
对自相关函数进行估计，然后再通过式
作傅氏变换得功率谱估计值。
m
ˆ (m)e jm ˆ ( ) P xx xx
已知数据取样自相关函数功率谱
1 引 言
• 研究现状
经典谱估计：
直接法(周期图法 )
将观察到的有限个样本数据利用 FFT算法作傅氏变换，直 接按式
(c) Pisavcnko 谐波分解法
1 引 言
• 研究现状
功率谱估计的方法：教材P489 图10.7.1
1 引 言
• 研究现状
经典谱估计：
先通过式
以傅立叶变 换为基础
间接法(BT PSD估计法 )
N 1 1 1 ˆ xx (m) x(n) x(n m) N n 0 N
N 1 n 0 2
1 ˆ Pxx ( ) N
x(n)e
jn
1 2 X N ( ) N
进行功率谱估计(不通过自相关函数的估计)
将已知数据序列的傅立叶 变换的模的平方除以序列 长度作为功率谱的估计
计算效率高 频率分辨率低
1 引 言
• 研究现状
经典谱估计：
固有缺陷：原因：“加窗效应” 频率分辨率低 原因：加窗截取，认为窗以外的数据为零。
方差 θ：某个随机变量的真值 ˆ ：它的估计值
ˆ
2

ˆ] Var[

2 ˆ ˆ E E[ ]


为最小的估计。
2 2 ˆ ˆ ˆ Var[ ] E[ ] E [ ]
1 引 言
• 估计质量的评价
均方误差
2 2 ˆ ˆ MS ( ) E e E ( )
可推出：
1 2 ˆ E (m) (m) xx ( k n) xx ( k m n) xx (k m n) 2 ( N m ) n 0 k 0 r ( N m 1) 1 2 ˆ (m) Var ( N m r ) xx (r ) xx (r m)xx (r m) xx ( N m )2 r ( N m 1)
N
2
实际上只有将上式求平均，成为
N 1 j n Pxx ( ) lim E x ( n ) e N 2 N 1 n N 2
功率谱的 真实值
才有意义

1 引
• 谱分析
言
用有限的N个样本数据来估计平稳随机过 程的功率谱密度。
N 1 1 1 ˆ xx (m) x(n) x(n m) N n 0 N n
2.1 自相关函数的估计
Nm ˆ xx (m) E xx (m) xx (m) Bias ( m ) ( m ) xx xx N m 有偏 xx (m) N
N m ˆ (m) ˆ (m) ˆ (m) Var Var Var xx xx xx N
当 N m时
N
ˆ (m)]} 0 lim{Var[ xx
满足一致估计的条件
2.1 自相关函数的估计
N ˆ Var xx (m) ( N m )2
N m 1 r ( N m 1)

2 xx (r ) xx (r m)xx (r m)
正确的估计应该满足一致估计的条件，此为正确估计的必要条件
反之，若估计方法不满足一致估计的条件，则它一定是不正确的
1 引 言
• 功率谱估计的应用
在信号处理的许多场所，要求预先知道信号
的功率谱密度(或自相关函数)。 常常利用功率谱估计来得到线性系统的参数 估计。
从宽带噪声中检测窄带信号。
• 功率谱估计的应用
1 引 言
• 估计质量的评价
无偏估计
ˆ 的偏差(Bias)为零 。所谓偏差(用B表示)定义为 ˆ] E ( ˆ) B Bias[
θ：某个随机变量的真值 ˆ ：它的估计值
估计 1和估计2 都属于无偏估计； 估计 2较之估 计 1方差小；
1 引 言
• 估计质量的评价
最小方差估计
2.2 周期图法进行谱估计
X N ( ) ——周期性的
I N ( ) ——周期图
1 2 ˆ P xx ( ) I N ( ) X N ( ) N
如果我们观察到x(n)的N个值：x(0), x(1), , x( N 1) 可以通过FFT直接求得 X N (k )
优点：可利用FFT，计算方便，效率高
x

N
(n) xN (n m)
功率谱的 估计值
ˆ (m)e jm ˆ ( ) P xx xx
或 其中
1 ˆ Pxx ( ) N
x(n)e
n 0
N 1
m
2 jn
1 2 X N ( ) N
周期图
xN (n) RN (n) x(n) xN (n m) RN (n m) x(n m)
2 xx 2 xx


N m 1


N ( N m )2
mr 2 1 xx (r ) xx (r m)xx (r m) N r ( N m 1)
N m 1
N ( N m )2
N m 1 r ( N m 1)
N m 1

n 0
x(n) x(n m)
m N 1
2.1 自相关函数的估计
估计质量
1 ˆ E xx (m) Nm 1 Nm xx (m)
N m 1 N m 1 n 0
E x ( n ) x ( n m)
自相关函 数的真值
令l nm
则上式可写成
1 jn jl Pxx ( ) lim x(n)e x(l )e N 2 N 1 n N l
N

1 jn lim x(n)e N 2 N 1 n N
xx (m)Ex(n) x (n m)

N 1 jm Pxx ( ) Pxx ( ) lim x(n) x (n m) e N 2 N 1 m n N
1 N jn j ( n m ) lim x ( n)e x (n m)e N 2 N 1 n N m
ˆ (m) 的偏差和方差为 xx


2


非零
但 N 时 Bias 0, Var 0 为一致估计
ˆ (m)) MSE ( ˆ (m)) xx 同时可以证明 MSE (xx
2.1 自相关函数的估计
ˆ (m) 今后我们还是用 作为自相关函数的估计，并仍用 xx ˆ (m) 表示 xx
谱 估 计
主要内容
• 引言
• 经典谱估计
• 现代谱估计
1
引 言
概述 估计质量的评价 功率谱估计的应用 研究现状
1 引
言
• 随机信号的功率谱密度(函数)，是 其自相关函数的傅氏变换。
前提：均值为零
Pxx ( )
m
jm ( m ) e xx

X(n)的自 相关函数

2 xx (r ) xx (r m)xx (r m)
估计质量
方差
2.1 自相关函数的估计
N m 1 r ( N m 1)
N ˆ Var xx (m) ( N m )2

2 xx (r ) xx (r m)xx (r m)
2.2 周期图法进行谱估计
估计质量——讨论其偏倚和方差
周期图的期望值
1 1 ˆ (m) E E xN (n) xN (n m) E RN (n) x(n) RN (n m) x(n m) xx N n N n 1 RN (n) RN (n m) Ex(n) x(n m) N n 1 1 令 (m) RN (n) RN (n m) R(m) R(m) N n N m mN 1 , ( m ) N 称为 Bartlett窗函数，即 B 0， 其它
以随机过程的参数 模型为基础
2 经典谱估计
• 自相关函数的估计 • 周期图作为功率谱的估计 • 平滑后的周期图作为PSD的估计
2.1 自相关函数的估计
设观察到N个样本序列的值 {x(n)} : x(0),x(1)…x(N-1) ，现要由此N个数据来估 计自相关函数：
ˆ (m) xx
1 Nm
周期图法