沈阳工业大学809线性代数与常微分方程2007--2009,2011-2012,2014,2017--2018年考研初试专业课真题试卷
沈阳工业大学2023年硕士研究生入学考试大纲_701单独考试数学
沈阳工业大学硕士研究生招考单独考试数学考试大纲一、试卷满分及考试时间本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。
三、参考书目：《高等数学》第七版 高等教育出版社 同济大学数学系 2014年四、考试题型1.选择题；2.填空题；3.计算题。
五、考试大纲（一）函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限:e xx x x x x =+=→→)11(lim ,1sin lim 00 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质.考试要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等丽数的性质及其图形，了解初等的数的概念.5.了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念.6.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法.7.理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系.8.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.（二）一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L ’Hospital ）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与物理意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.5.理解罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）中值定理，了解泰勒（Taylor ）定理柯西（Cauchy ）中值定理，掌握这四个定理的简单应用.6.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及简单应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间）（b a ,内，设函数)(x f 具有二阶导数.当0)(>''x f 时，图形是凹的；当0)(<''x f 时，)(x f 的图形是凸的，会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描绘简单函数的图形.（三）一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一菜布尼茨（Newton - Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用考试要求1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法.2.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-菜布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法.3.会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值.4.了解反常积分的概念，会计算反常积分.（四）多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.3.了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，会求多元隐函数的偏导数.4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题.5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标极坐标)，了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算.（五）常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.3.会解二阶常系数齐次线性微分方程.4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程.5.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.。
机械制造及其自动化专业研究生招生院校(一 )
专业：机械制造及其自动化数学一：①高等数学(函数、极限、连续、一元函数微积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数的微积分学、无穷级数、常微分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);③概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其概率分布、二维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。
数学二：①高等数学(函数、极限、连续、一元函数微积分学、常微分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量)。
数学参考教材：《高等数学》第六版（最新的额），同济大学、《线性代数》，同济大学、《概率论与数理统计》浙大第四版的推荐复习参考：《复习全书》，李永乐。
建议做三遍，然后就是历年真题了。
英语:1、用考研英语真题考研1号《考研真相》——专为英语基础一般或薄弱者编著（配MP3和25年真题）,尤其对词汇及词组搭配的系统注释，是目前真题总结最全的一本，另外对长难句进行图示解析，并配有文字说明，让大家一目了然，简洁易懂，超级实用。
2、考研英语写作《写作160篇》作者: 王建华王林出版社: 西北大学出版社出版日期: 2010-2 价格:￥29.90元这本书是这几年才冒出来的,因为几年来都有押准真题的事情发生,所以这年名声大噪,这是推荐其的一个理由,另外由于此书选题全面,基本包括各种型式的写作话题,而且打破了所谓写作模板的定式,所以很值得大家买入学习,。
3、《阅读基础90篇》——适合英语水平低于49分者使用，90篇贯通考纲所有词汇，专章讲解长难句，作者王建华张磊。
4、《考研英语词汇词根+联想记忆法》作者:俞敏洪出版社:群言出版社出版日期:2009年价格:￥36.00元这个我想不用多说吧,当然也有人说星火的更好,但星火的量太大了,毕竟大家更多的只是为了考上研,“学不在多,够用则行。
”而不是真的要求英语水平达到怎样怎样哈。
常微分方程考试题(东北师大)
常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。
有只含y 的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy y dx dx -+=５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
试卷答案一填空题１、()M N y x x N ϕ∂∂-∂∂= ()M Ny xy M ϕ∂∂-∂∂=- ２、 2()()()dyp x y Q x y R x dx =++y y z =+３、 ()()n dyp x y Q x y dx =+ (1)()(,)n p x dxn u x y y e --⎰=４、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠５、11110n n nn n nn d y d dyx a a a y dx dx dx ---++++=６、()()t t C ψφ= ７、零 稳定中心 二计算题１、解：因为1,1M Ny x∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln 21()dyyy y ee yμ--⎰===，两边同乘21y 得320dx x y dy y y +-=所以解为 321x x y y dx dy c y y y⎡⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰22x y c y +=即22()x y y c =+另外y=0也是解 ２、线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程A=-12B=02()cos 2f t t=-2iλ=不是特征根，原方程有特解cos 2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =B=0所以原方程的解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t=+-+３、解：221()69014p λλλλλ--==-+=-解得1,23λ=此时 k=112n =12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦111123322120()()(3)()!it i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 由公式expAt= 10()!in tii t e A E i λλ-=-∑得[]33310111exp (3)01111ttt t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭４、解：方程可化为3284dyydxxdyydx⎛⎫+⎪⎝⎭=令dypdx=则有3284p yxyp+=（*）（*）两边对y求导：32232 2(4)(8)4dpy p y p y p y pdy-+-=即32(4)(2)0dpp y y pdy--=由20dpy pdy-=得12p cy=即2()pyc=将y代入（*）2224c pxc=+即方程的含参数形式的通解为：22224()c pxcpyc⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩p为参数又由3240p y-=得123(4)p y=代入（*）得：3427y x=也是方程的解５、解：002100225200410725118 3002()4220()4400202204400160 xxxyxy xdxx x xy x dxx x x x x x x y x dxϕϕϕϕ===+==++=+=++++=+++⎰⎰⎰６、解：由1050x yx y--+=⎧⎨--=⎩解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dxx ydtdyx ydt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为1111---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0）由221121122011λλλλλλ+=+++=++=-+得1iλ=-±故（3，-2）为稳定焦点。
沈阳工业大学2010年硕士入学参考书目
《晶体管原理》国防工业出版社刘永张福海
J621
单片机原理
《单片微型计算机与接口技术》（第二版）电子工业出版社李群芳等
J622
微电子器件工艺
《微电子制造科学原理与工程技术》电子工业出版社2003.1 Stephen A. Campbell
J623
电子技术(含模拟、数字)
《模拟电子技术基础》第二版高等教育出版社童诗白《数字电子技术基础》第三版高等教育出版社阎石
F509
材料成形原理
《材料成形原理》机械工业出版社陈昌平
F510
电机学
《电机学》华中科技大学出版社辜承林陈乔夫熊永前
F511
电器理论基础
《电器理论基础》机械工业出版社张冠生
F512
自动控制理论
《自动控制原理》第四版国防工业出版社胡寿松
F513
数字信号处理
《数字信号处理教程》第三版清华大学出版社程佩青
《弹性力学》第二版高等教育出版社徐芝纶
J637
机械振动
《机械振动学》机械工业出版社闻邦椿2002年版
J638
材料力学
《材料力学》第三版高等教育出版社刘鸿文
J639
土力学与地基基础
《地基及基础》中国建筑工业出版社华南理工大学等四校合编
J640
泛函分析
《泛函分析》第二版高等教育出版社江泽坚孙善利编
J641
F519
概率论与数理统计
《概率论及数理统计》同济大学出版社王福宝
F520
微机原理及应用
《微型计算机原理及应用》清华大学出版社戴梅萼
F521
高频电子线路、计算机网络
《高频电子线路》高等教育出版社张肃文《计算机网络》第二版清华大学出版社张曾科
沈阳工业大学2015年全国统考硕士研究生招生专业目录-推荐下载
学科专业 代码名称 学院代码学 院名称
001 机械工程 学院
001 机械工程 学院
01 机械制造及其自动化
02 机械设计及理论
080200 03 机械电子工程
机械工程 04 车辆工程
（一级学科 05 工业工程
招生）
06 物流工程
07 流体传动与控制工程
考试科目
学科专业 代码名称 学院代码学 院名称
001 机械工程 学院
001
机械工程
学院
085201
01 机械制造及其自动化
机械工程 02 机械设计及理论
（专业学位）03 机械电子工程085236Fra bibliotek工业工程
（专业学位）
04 车辆工程
2015 年全国统考硕士研究生招生专业目录
研究方向代码 研究方向名称
01 生产系统构造及运作管理
招生人 数
①101 思想政治理论 ②201 英语一 202 俄语 203 日语(任选一) ③301 数学一 ④801 机械设计 824 工业设计方法学(任选一) 复试专业课考试科目： ⑤F501 机械制造技术基础 F502 设施规划与物流分析 F544 工业设计导论 47 F560 汽车构造 (任选一) 同等学力加试专业课考试科目： ⑥J601 机械原理 J602 数控技术 J664 汽车理论 J690 产品设计原理 (任选二) ①101 思想政治理论 ②201 英语一 202 俄语 203 日语(任选一) ③301 数学一 5 ④801 机械设计 复试专业课考试科目： ⑤F501 机械制造技术基础 同等学力加试专业课考试科目：
02 物流工程及管理
03 企业信息化与网络工程
电子信息工程专业介绍免费范文
篇一：电子(diànzǐ)信息工程专业介绍电子信息工程专业，是培养(péiyǎng)具备电子技术和信息系统的根抵知识，能从事各类电子设备和信息系统的研究、设计、创造、应用和开辟的高等工程技术人材。
培养目的电子信息工程专业：本专业培养具备电子技术(jìshù)和信息系统的根抵知识，能从事各类电子设备和信息系统的研究、设计、创造、应用和开辟的高等工程技术人材，是一类与理工科穿插的计算机专业。
培养(péiyǎng)要求本专业是一个电子和信息工程方面的较宽口径专业。
本专业学生主要学习信号的获取与处理、电厂设备信息系统等方面的专业知识，受到电子与信息工程理论的根本训练，具备设计、开辟、应用和集成电子设备和信息系统的根本才干。
毕业生可从事电子设备、信息系统和通信系统的研究(yánjiū)、设计、制造、应用和开辟工作，可到达计算机等级四级的要求。
培养内容1、较系统地掌握本专业领域宽广的技术根抵理论知识，适应电子和信息工程方面广泛的工作范围；2、掌握电子电路的根本理论和实验技术，具备分析和设计电子设备的根本才干；3、掌握信息获取、处理的根本理论和应用的普通方法，具有设计、集成、应用及计算机摹拟信息系统的根本才干；4、理解信息产业的根本方针、政策和法规，理解企业管理的根本知识；5、理解电子设备和信息系统的理论前沿，具有研究、开辟新系统、新技术的初步才干；6、掌握文献检索、资料查询的根本方法，具有一定的科学研究和实际工作才干。
7、.掌握计算机电子技术所必须的根本知识根本理论和原理；8、掌握电子产品的普通消费工艺具有电子产品消费管理才干；9、掌握电子电器类维修焊接技术具有按工艺文件完成复杂产品的全部装接焊接才干；10、具有纯熟使用和维护常用电子仪器仪表的才干和按高度文件调试设备排除故障的才干；11、具有电子工程的现场安装与调试根本才干。
主修课程主干(zhǔgàn)学科：电子科学与技术、信息与通信工程、计算机科学与技术。
沈阳工业大学2020年《2001 数值分析》考博专业课真题试卷
为A =
，矩阵范数 A 与向量范数 x 相容指的是
。
v
v
v
5、 设有方程 f (x) = 0 ，则求该方程单根的牛顿法的迭代格式为
，若 x 是此方程的重根，
且已知重数为 m ，则求 x 的具有二阶收敛性的牛顿法迭代格式为
。
二、（16 分）简答题
b
n
1、设有积分 I = a (x) f (x)dx ，其中 (x) 是权函数， In = Ak f (xk ) 是求积分 I 的插值型求积公式。
科目名称：数值分析
第 2 页共 2 页
2、 对于下面给定的数据 (xi , yi ), i =1, 2,3, 4,5 和给定的权 i , i = 1, 2,3, 4,5 ，利用最小二乘法求形如
p(x) = a + bx2 的拟合多项式。（10 分）
xi
-2
-1
0
1
2
yi
0
1
2
1
0
i
0.1
0.2
0.4
f
(4) ( 4!
)
(x
−
x0
)2
(x
−
x1)2
，其中
( x0 ,
x1)
且与
x
有关。
（6 分）
b
2、 设有积分 I = a f (x)dx ， 被积函数 f (x) 在[a,b] 上连续， Sn 是将区间[a,b] 作 n 等分之后所得的复化
辛普森求积公式。请推导
S
n
的表达式，并证明
lim
n→
Sn
0.2
0.1
3、 设有方程组
4xx11
+ +
线性代数的学习和在实际中的应用
线性代数的学习和在实际中的应用沈阳药科大学工商管理学院78期张晔摘要：通过对线性代数的内容概念理论的学习，更好的把数学知识应用于实际中。
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，线性代数包括：行列式、矩阵、线性方程组等基础知识。
它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数主要研究有限维线性空间中的线性关系和线性映射，具有代数学的实用性和抽象性特点。
线性空间与线性变换是线性代数的核心内容，而矩阵的秩是与这门课程的几乎所有的内容都有联系的一个重要的概念，利用矩阵的初等行变换是解决这门课程绝大部分计算问题的主要方法。
在学习过程中挖掘知识产生的背景和形成过程，抓住矩阵的秩与相关概念之间的关系，融会贯通地掌握该课程的主要内容，培养熟练的运算能力及严密的逻辑推理能力。
下面通过实例对线性代数的应用加以说明。
问题1 生产总值问题一个城市有三个重要的企业: 一个煤矿，一个发电厂和一条地方铁路。
开采一元钱的煤，煤矿必须支付0． 25 元的运输费。
而生产一元钱的电力，发电厂需支付0． 65 元的煤作燃料，自己亦需支付0． 05 元的电费来驱动辅助设备和支付0． 05 元的运输费。
而提供一元钱的运输费，铁路需支付0． 55 元的煤作燃料，0． 10 元的电费驱动它的辅助设备。
某个星期内，煤矿从外面接到50 000 元煤的定货，发电厂从外面接到25 000 元电力的定货，外界对地方铁路没有要求。
问这三个企业在那一个星期内生产总值达到多少时才能精确地满足它们本身的要求和外界的要求? 解对于一个星期的周期，x1表示煤矿的总产值，x2表示电厂的总产值，x3表示铁路的总产值。
根据题意:x1 － ( 0． 65x2 + 0． 55x3) = 50 000x2 － ( 0． 25x1 + 0． 05x2 + 0． 1x3) = 25 000x3 － ( 0． 25x1 + 0． 05x2) = 25 000写成矩阵形式，得一所以求得煤矿总产值为102 087 元，发电厂总产值为56 163 元，铁路总产值为28 330 元。
常微分方程与代数方程的联系
常微分方程与代数方程的联系
作者：阿依古再丽·伊斯马伊力
来源：《数学大世界·下旬刊》2019年第06期
【摘要】本文分析了常微分方程与代数方程之间的关系，代数方程的基本作用与常微分方程的指导作用皆体现在对方方程中。
这是因为代数方程的因式分解是微分方程算子解的基础，而常微分方程是在代数方程上的拓展，这肯定为代数方程的分析起到非常关键的指导作用。
【关键词】代数方程；常微分方程；相互联系
常微分方程和代数方程都属于方程的一种，方程所共有的属性也意味着这两种方程中存在相定的关系。
通过加强常微分方程和代数方程之间的联系，不仅可以掌握微分方程理论本身，还可以更充分地了解代数方程。
一、代数方程的基础作用
1.代数因式分解与常微分方程算子解法
因此，该三角公式获得证明。
常微分方程和代数方程属于一类方程，它们相互联系。
一方面，代数方程在常微分方程的分析中有着基础性的作用。
另一方面，常微分方程又指导着代数方程。
常微分方程和代数方程的这种相互作用令数学研究提供了高效便捷的方法。
【参考文献】
[1]薛胜利.基于数值分析的微分代数方程构建[J].智库时代，2018（28）：275+288.
[2]赵巧媛，赵临龙.线性代数与线性微分方程解的联系[J].科学技术创新，2017（33）：191-192.
[3]萬亮.常微分方程的解法与教学改革[J].科技创新与应用，2013（04）：277
[4]崔立宾.拟线性微分代数方程的标准形[D].北方工业大学，2010.
[5]袁兆鼎，宋晓秋.常微分方程与代数方程求根[J].系统仿真学报，2003（05）：656-
659+663.。
常微分方程期末考试题大全(东北师大)汇编
证明题： 设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞→lim ，又0>a ，求证：对于方程()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()ab x y x =+∞→lim 。
证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰-xataxdt e t f C e x y 0， 即()()axxat edte tf C x y ⎰+=。
由于b x f x =+∞→)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。
因而()dt e M dt e t f dt e t f xXat X atxat⎰⎰⎰+≥0)(())(0aX axXat e e aM dt e t f -+=⎰， 由0>a ，从而有()∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰+∞→xatx dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞→ax x e lim 。
应用洛比达法则得()()axxat x x edte tf C x y ⎰+=+∞→+∞→0limlim()axaxx ae e x f +∞→=lim ()aba x f x ==+∞→lim。
证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ⨯的连续矩阵函数。
证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。
由于)(t A 是定义在区间b x a ≤≤上的n n ⨯的连续矩阵函数，所以对任意给定的初始条件ηx =)(0t ，b t a ≤≤0，方程组x A x )(t ='存在唯一的解。
分别取初始条件⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=001)(01 t x ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010)(02 t x ，．．．⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100)(0 t x n ， 它们对应的解分别为),(),(),(21t t t n x x x 且这n 个解在0t 时的朗斯基行列式为01)(0≠=t W ，则)(),(),(21t t t n x x x 是n 个线性无关的解。
机械工程本科计算方法课程教学改革
机械工程本科计算方法课程教学改革①———数值计算及其工程应用课程的建设刘慧芳，孙兴伟，王洁，高翼飞，刘小江（沈阳工业大学机械工程学院，辽宁沈阳110870）数值计算方法是近代数学的一个重要分支，主要研究使用计算机求解数学问题的数值方法，即数值近似解的方法，研究对象主要是从科学与工程中抽象出来的数学问题。
解决问题的步骤通常为：建立数学模型，选择数值方法，编写程序，利用计算机计算数值结果[1]。
其应用范围十分广泛，涉及科学研究和工程技术问题过程。
例如，核武器研制、导弹发射等国防尖端科研项目始终是科学计算最活跃的领域[2]。
掌握计算机求解数学问题并解决工程问题的知识与能力，已成为多数理工科院校学生培养的重要组成部分。
目前，计算方法课程已成为多数理工专业本科生或研究生必修的课程。
而对于本科生，该课程的教学应以培养并提高学生数值计算能力以及解决工程实际问题的能力为主。
在我校，机械工程学科本科计算方法课程是一门专业基础课，主要培养学生掌握利用计算机进行科学计算的基本思想和方法以及分析解决机械领域复杂工程问题的能力，这决定了该课程应突出解决机械领域实际问题的应用性。
相应地，教学过程中，需要从工程需求角度介绍常用数值方法的用途、原理、算法分析和程序实现，并配合工程案例突出数值方法的使用过程。
一、课程特点及存在的问题（一）课程特点近几年，通过对机械设计制造及其自动化专业计算方法课程的教学，发现该课程有以下特点。
1.涉及数学知识多计算方法课程具有高度的数学抽象性与严密逻辑性，课程中涉及很多高等数学和线性代数知识，其归根结底仍是一门数学课程。
算法公式推导、定理证明涉及很多不常用的数学知识，例如，多项式插值法中涉及范德蒙德矩阵、罗尔定理、高阶导数等，函数逼近内容中涉及范数、内积等多种高等数学知识及线性代数知识。
然而，有些学生的数学基础并不是十分扎实，导致其感觉到该课程枯燥不易理解，从而影响思维开拓及对知识的掌握。
2.教学内容多，实践学时少计算方法课程内容丰富、概念多、涉及领域广，内容涵盖数值分析方法的基本原理，涉及算法构造、应用以及收敛性、稳定性和误差分析等，理论性和实践性较强。
一类特殊的一阶常微分方程的初等积分法
沈阳航空工业学院学报 Journal of Shenyang Institute of Aeronautical Engineering
Oct. 2004 Vol. 21 No. 5
文章编号 : 1007 1385( 2004) 05 0090 02
一类特殊的一阶常微分方程的初等积分法
+ C
n- 2 n- 1
+ C P n- 2( x ) y + Pn- 1( x ) ) z
* n- 1 *
+ P0 ( x ) y Pn ( x ) 因为 y y
* *
+ P1 ( x ) y
+
1841 年黎卡提证明方程 ( 2) 在一般情况下不 能用初等积分法求解, 但有些特殊情形可用初等 积分法求解, 例如 y = y + rx 其中 r , 是实 数, r ! 0, 2 + 4 是整数或无穷时 , 可以通过有 限次变换化成变量可分离方程 , 从而能用初等积 分法求解, 但 2 + 4 不是整数或无穷时肯定不 [2] 能用 初 等 积 分 法 求 解 。文 献 [ 3] 讨 论 了 在 P ( x ) , Q ( x ) , R ( x ) 满 足一定 内在 联系 时, 方程 ( 2) 的通解可用初等积分法求得。 这篇文章讨论 了方程 ( 1) 当 P 0 ( x ) , P 1 ( x ) , , P n ( x ) 满足一定内在联系时的通解求法, 比文 献[ 3] 更具有一般性。
i - 1) ( P i ( x ) dx + C ) ] Pi ( x ) 又由 ( 7) 式 , P 0 ( x ) y
* * n
沈阳工业大学701单独考试数学2021年考研专业课初试大纲
沈阳工业大学硕士研究生招考单独考试数学考试大纲一、试卷满分及考试时间本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。
三、参考书目：《高等数学》高等教育出版社 第七版 同济大学数学系编四、考试题型1.选择题；2.填空题；3.计算题。
五、考试大纲（一）函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限:e xx x x x x =+=→→)11(lim ,1sin lim 00函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质.考试要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等丽数的性质及其图形，了解初等的数的概念.5.了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念.6.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法.7.理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系.8.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.（二）一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L’Hospital ）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与物理意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.5.理解罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）中值定理，了解泰勒（Taylor ）定理柯西（Cauchy ）中值定理，掌握这四个定理的简单应用.6.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及简单应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间内，设函数）（b a ,具有二阶导数.当时，图形是凹的；当时，)(x f 0)(>''x f 0)(<''x f的图形是凸的，会求函数图形的拐点和渐近线.)(x f 9.会描绘简单函数的图形.（三）一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一菜布尼茨（Newton - Leibniz ）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法.2.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-菜布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法.3.会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值.4.了解反常积分的概念，会计算反常积分.（四）多元函数微积分学考试内容多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.3.了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，会求多元隐函数的偏导数.4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题.5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标极坐标)，了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算.（五）常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.3.会解二阶常系数齐次线性微分方程.4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程.5.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.。