等腰三角形的度数计算有难度和梯度

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(一) 等腰三角形的角度计算

(3)解：假设△DEF 是等腰直角三角形，即∠DEF＝90°， ∴∠BDE＋∠DEB＝90°，∴∠B＝∠C＝90°. ∵这与三角形的内角和定理相矛盾， ∴△DEF 不可能是等腰直角三角形． (4)解：猜想∠A＝60°时，∠EDF＋∠EFD＝120°. 理由：∵∠A＝60°，∠B＝∠C， ∴∠B＝∠C＝60°.∴∠BDE＋∠DEB＝120°. ∵△DBE≌△ECF，∴∠FEC＝∠EDB， ∴∠FEC＋∠DEB＝120°，∴∠DEF＝60°， ∴∠EDF＋∠EFD＝定理和角平分线的性质列出方程是求角大小的重要方法，这充分运用了方程的思想．
如图，在△ABC 中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD 是边 AC 上的高，求∠DBC 的度数．
解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A， ∴∠C＋∠ABC＋∠A＝5∠A＝180°， ∴∠A＝36°， ∴∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°. 又∵BD 是边 AC 上的高， ∴∠DBC＝90°－∠C＝18°.
(1)求证：△DEF 是等腰三角形； (2)当∠A＝40°时，求∠DEF 的度数； (3)△DEF 可能是等腰直角三角形吗？为什么？ (4)请你猜想：当∠A 为多少度时，∠EDF＋∠EFD＝120°？并请说明理由．
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵AD＋EC＝AB＝AD＋BD，∴BD＝EC.
(2)不变．理由如下：由(1)知∠DAE＝90°－180°－2 ∠B＋12∠ACB＝12(∠B＋∠ACB)＝45°. 从上式可看出，当 AB 和 AC 不相等时，∠B＋∠ACB 也是定值，为 90°， ∴∠DAE 的度数不变．
如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，AD 平分∠BAC，点 M 是 AC 的中点，在 AD 上取点 E，使得 DE＝AM，EM 与 DC 的延长线交于点 F.

等腰三角形经典练习题(有难度)

等腰三角形练习题一、计算题： 1.如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45°2.如图，求∠A 的度数设∠A 为x, 由5x=180°得∠A=36°3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F FDABEDF=70°，求∠AFD 的度数 ∠AFD=160°4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数设∠A 为x ∠A=71805. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数设∠ADE 为x∠EDC=∠AED －∠BB2xx －15°6. 如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1, 求∠ABC的度数延长DE到点F,使EF=BC 可证得:△ABC≌△BFE所以∠1=∠F由∠2+∠F=90°,得∠1+∠F=90°在Rt△DBF中, BD=21,DF=1 所以∠F =∠1=30°F7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1二、证明题：8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E求证：DE=BD+AE 证明△PBD 和△PEAC BADEPABCDE是等腰三角形9. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系 DF+AD=AE在AE 上取点B,使AB=AD10. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC 在AC 上取点F,使AF=AE 易证明△AOE ≌△AOF, 得∠AOE=∠AOF由∠B=60°，角平分线AD 、CE,ADFEBOA BC DEF得∠AOC=120°所以∠AOE=∠AOF=∠COF=∠COD=60° 故△COD ≌△COF,得CF=CD 所以AE+CD=AC11. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC,求证：BC=BD+AD 延长BD 到点E,使BE=BC,在BC 上取点F,使BF=BA 易证△ABD≌△FBD,得AD=DF 再证△CDE ≌△CDF,得DE=DF 故BE=BC=BD+AD也可:在BC 上取点E,使BF=BD,连结DF 在BF 上取点E,使BF=BA,连结DE 先证DE=DC,再由△ABD ≌△EBD,得AD=DE,最后证明DE=DF 即可ACF ACEF12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD在AB 上取点E ，使BE=BD ，在AC 上取点F ，使CF=CD 得△BDE 与△CDF 均为等边三角形，只需证△ADF ≌△AED13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线求证：CD=21CE 延长CD 到点E,使DE=CD.连结证明△ACE ≌△BCEEABCDEF14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED在CE 上取点F,使AB=AF 易证△ABD ≌△ADF, 得BD=DF,∠B=∠AFD由∠B+∠BAC+∠C=∠DEC+∠EDC+∠C=180° 所以∠B=∠DEC 所以∠DEC=∠AFD 所以DE=DF,故BD=ED15. 如图，△ABC 中，交BC 于点G 求证：EG=FG16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC边上的高，B 到点E ，使BE=BDA FCA BDE 1 2FF求证：AF=FC17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且求证：AH=2BD由△AHE ≌△BCE,得18. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30° 求证：AD=DC作AF ⊥BD 于F,DE ⊥AC 于可证得∠DAF=DAE=15°,ADFBD得AF=AE,由AB=2AF=2AE=AC,所以AE=EC, 因此DE 是AC 的中垂线,所以AD=DC19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使求证：EC=ED延长BD 到点F,使DF=BC, 可得等边△BEF,只需证明△BCE ≌△FDE 即可20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FHBCDFABDCEFHG 12 M延长EH交AF于点G 由∠BAD+∠BCD=180°, ∠DCF+∠BCD=180°得∠BAD=∠DCF,由外角定理,得∠1=∠2, 故△FGM是等腰三角形由三线合一,得EH⊥FH。

等腰三角形的性质说课稿

等腰三角形的性质说课稿一、教材分析：本节课是人教版八年级上册《等腰三角形》的第一课时的内容，主要介绍等腰三角形的性质。

等腰三角形是一种特殊的三角形，具有对称性和一些特殊的性质。

本节课将利用对称的知识来研究等腰三角形的性质。

作为特殊的三角形，等腰三角形应用更为广泛，掌握它的基本性质对学生的认识现实世界、发展空间观念和推理能力都是很重要的。

本节课是在学生掌握了一般三角形和轴对称的知识，具有初步的推理证明能力的基础上进行研究的，担负着进一步训练学生学会分析、学会证明的任务，在培养学生的思维能力和推理能力等方面有重要的作用。

本节课也是第三课时研究等边三角形的基础，是全章的重点之一。

通过本节课的研究，学生可以掌握等腰三角形的性质，运用它们进行证明和计算，发展形象思维和合情推理能力，解决问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，培养观察、分析、归纳问题的能力，发展应用意识。

二、学情分析：学生在小学已经接触过等腰三角形，对等腰三角形并不陌生。

在进入八年级后，学生观察、操作、猜想的能力较强，已经具备了独立思考的能力。

但演绎推理、归纳、建立数学模式的意识等方面比较薄弱，自主探究、合作交流的能力也需要在课堂教学中进一步加强和提高。

三、教法学法分析：本节课的教学应采用启发式教学法，通过引导学生观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲。

教师可以通过提问、举例、演示等方式，引导学生自主探究，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力。

同时，教师也应该注重学生的合作交流，鼓励学生互相讨论，共同解决问题。

在教学过程中，教师应该注重激发学生的兴趣，让学生在实践、观察、证明等活动中获取成功的体验，建立研究的自信心。

教师还应该注重知识的渗透，将本节课的内容与其它数学知识相结合，让学生更好地理解和掌握知识。

教学方法：为了符合数学教学就是数学活动的教育原则，教师应当成为学生数学活动的组织者、引导者、合作者。

因此，我们主要采用以下教学方法：启发引导、学生动手操作、观察、分析、猜想、验证等方法，以让学生更好地理解等腰三角形的概念和性质。

专题10 多个等腰三角形求角度(解析版)

专题10 多个等腰三角形求角度1．如图，在第一个△ABA 1中，∠B ＝20°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ，得到第二个△A 1A 2C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A 4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（）A ．5°B ．10°C ．175°D ．170°【答案】A【解析】【分析】根据第一个△ABA 1中，∠B =20°，AB =A 1B ，可得∠BA 1A =80°，依次得∠CA 2A 1=40°…即可得到规律，从而求得以点A 4为顶点的等腰三角形的底角的度数．【详解】解：1ABA △中，20B ∠=︒，1AB A B =，1180802B BA A ︒-∠∴∠==︒， 121A A AC =，1BA A ∠是△12A A C 的外角， 121402BA A CA A ∠∴∠==︒ 同理可得：3220DA A ∠=︒，4310EA A ∠=︒，1802n n A -︒∴∠=， ∴以点4A 为顶点的等腰三角形的底角的度数为：548052A ︒∠==︒．故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据等腰三角形的性质求出底角的度数然后发现规律．2．如图，8∠=︒BOC ，点A 在OB 上，且1OA =．按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点1A ，得第1条线段1AA ；再以1A 为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点2A ，得第2条线段12A A ；再以2A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点3A ，得第3条线段23A A ；……这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n 的值是（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质依次可得∠A 1AA 2的度数，∠A 3A 1A 2的度数，∠A 3A 2A 4的度数，∠A 4A 3C 的度数，…依次得到规律，再根据三角形外角小于90°，即弧线与角的另一边无交点，即可求解.【详解】由题意可知：AO =A 1A ,A 1A =A 2A 1，…则∠AOA 1=∠OA 1A ,∠A 1AA 2=∠A 1A 2A ，…∵∠BOC =8°，∴∠A 1AA 2=16°，∠A 3A 1A 2=24°，∠A 3A 2A 4=32°，∠A 4A 3C =40°，…∴8°n ＜90°，解得n ＜1114， ∵n 为整数，故n =11.故选C.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意找到规律进行求解.3．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝DE ，∠BAD ＝19°，∠EDC ＝11°，则∠DAE 的度数为（）A ．59°B ．57°C ．61°D ．60° 【答案】C【解析】【分析】设DAE x ∠=，则由等腰三角形的性质可得，180192x C ︒-︒-∠=，AED x ∠=，利用三角形的外角性质可得AED C EDC ∠=∠+∠，由此解方程求出x ，即DAE ∠的度数．【详解】解：设DAE x ∠=，AB AC =，∴1801801922BAC x C ︒-∠︒-︒-∠==， AD DE =，∴AED DAE x ∠=∠=，AED C EDC ∠=∠+∠，∴18019112x x ︒-︒-=+︒，解得61x =︒，∴61DAE ∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．4．如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 1＝1，则△A 8B 8A 9的边长（）A ．16B ．64C ．128D ．256【答案】C【解析】【分析】据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．【详解】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，…∴△AnBnAn+1的边长为2n-1，∴△A8B8A9的边长为28-1=27=128．故选C．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题关键．5．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O点相连并可绕O 转动，点C 固定，点D ，E 可在槽中滑动，OC CD DE ==．若81BDE ∠=︒，则AOB ∠的度数是（）A ．24°B ．27°C ．30°D ．33°【答案】B【解析】【分析】设∠O =x ，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠BDE =∠O +∠OED =3x =81°，再根据三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：设∠O =x ，∵OC =CD ，∴∠O =∠CDO =x ，∴∠DCE =2x ，∵DC =DE ，∴∠DCE =∠DEC =2x ，∴∠BDE =∠O +∠OED =3x =81°，∴x =27°，∴∠AOB =27°．故选：B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．6．某兴趣小组开展了一次探究活动，过程如下：设()090BAC θθ∠=︒<<︒，现把长度相等．．．．的小棒依次摆放在射线AB 、AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上，从点A 1开始，依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1．若只能摆放5根小棒，则θ的范围是（）．A ．15°＜θ＜18°B ．15°＜θ≤18°C ．15°≤θ＜18°D ．15°≤θ≤18°【答案】C【解析】【分析】根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，用θ表示出其它角度，再题目条件，列出不等式，即可求出最后的范围．【详解】解：∵A 1A 2=AA 1，∴12AA A 为等腰三角形，再根据三角形外交的性质，得212A A C A ∠=∠，又∵小棒长度都相等，∴123A A A △为等腰三角形，∴231212A A A A AC A ∠=∠=∠， ∴232313BA A A A A A A ∠=∠+∠=∠，同理可得到434534A A C A A A A ∠=∠=∠，64546555A A A A A A A θ∠=∠=∠=，654656A A C A A A A θ∠=∠+∠=，又∵只能摆放五根小棒，∴690590θθ≥︒⎧⎨<︒⎩，解得1518θ︒≤<︒，故选：C ．【点睛】本题只要考察了一元一次不等式，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是找到等量关系，列出相应的不等式，求出最后答案．7．如图，点B ，C 在射线AN 上，点D ，E 在射线AM 上，且AB BE CE CD AD ====，则A ∠的度数是（）A ．28︒B ．30C ．34︒D ．36︒【答案】D【解析】【分析】设A x ∠=，根据等边对等角可得ACD AEB x ∠=∠=，由外角的性质2CBE CDE x ∠=∠=，根据三角形内角和定理5180A BCE CED x ∠+∠+∠==︒即可．【详解】解：设A x ∠=， AB BE CE CD AD ====∴ACD AEB x ∠=∠=，由三角形的外角的性质得；2CBE CDE x ∠=∠=，根据等边对等角得，2BCE CED x ∠=∠=，根据三角形内角和定理，5180A BCE CED x ∴∠+∠+∠==︒，36x ∴=︒，36A ∴∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、三角形内角和，解题的关键是找到角与角之间的关系，通过三角形内角和定理建立等式求解．8．如图，在第1个1ABA △中，30B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…按此作法进行下去，第n 个三角形的以n A 为顶点的内角的度数为（）A ．1302n +︒B ．1752nC ．1752n +︒D ．1302n -︒ 【答案】B【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个三角形的以An 为顶点的内角的度数．【详解】解：∵在△ABA 1中，∠B ＝30°，AB ＝A 1B ，∴∠BA 1A ＝180°−∠B 2＝75°，∵A 1A 2＝A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1＝∠BA 1A 2＝75°÷2＝37.5°；同理可得∠DA 3A 2＝18.75°，∠EA 4A 3＝9.375°，∴第n 个三角形的以An 为顶点的内角的度数为1752n ，故选：B ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．9．如图，ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝AC ，D 、E 分别是AC 、AB 上两点，且BD ＝BE ＝BC ，连接DE ，则∠BDE ＝_________【答案】67.5°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C =∠ABC =75°，再由BD =BC ，得到75BDC C ∠=∠=︒，则45EBD ABC DBC ∠=∠-∠=︒，由BD =BE ，则18067.52EBD BDE BED ︒-∠∠=∠==︒．【详解】解：∵∠A =30°，AB =AC ， ∴180===752A C ABC ︒-︒∠∠∠， ∵BD =BC ，∴75BDC C ∠=∠=︒，∴18030DBC C BDC ∠=︒-∠-∠=︒，∴45EBD ABC DBC ∠=∠-∠=︒，∵BD =BE ， ∴18067.52EBD BDE BED ︒-∠∠=∠==︒，故答案为：67.5°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知三角形内角和定理和等腰三角形的性质是解题的关键．10．某数学兴趣小组开展了一次数学活动，其过程如下：如图，设∠BAC =α（0°＜α＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线AB 、AC 之间，并使小棒两端分别落在两条射线上，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1，若只能摆放5根相同的小棒，则α的取值范围是__________．【答案】15°≤α＜18°【解析】【分析】本题需先根据已知条件，列出不等式，解出α的取值范围，即可得出正确答案．【详解】解：∵A 1A 2=AA 1，∴∠A =∠A 1A 2A =α，∵A 1A 2=A 2A 3，∴∠A 2A 1A 3=∠A 2A 3A 1=2α，∵A 3A 2=A 3A 4，∴∠A 3A 4A 2=∠A 3A 2A 4=α+2α=3α，∵A 4A 3=A 4A 5，∴∠A 4A 3A 5=∠A 4A 5A 3=α+3α=4α，∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，∴6α≥90°，5α＜90°，∴15°≤α＜18°．故答案为：15°≤α＜18°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．11．如图，D ，E 为ABC 的边BC 上两点，80AEC ∠=︒，BD AD =，DE AE CE ==，则BAC ∠的度数为______．【答案】110°##110度【解析】【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠CAD ＝90°，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求解∠BAD 的度数，进而可求解．【详解】解：∵DE ＝AE ＝CE ，∴∠ADE ＝∠DAE ，∠C ＝∠CAE ，∵∠ADE ＋∠DAE ＋∠C ＋∠CAE ＝180°，∴∠DAE ＋∠CAE ＝∠CAD ＝90，∵∠AEC ＝80°，∴∠ADE ＋∠DAE ＝∠AEC ＝80°，∴∠ADE ＝∠EAD ＝40°，∵BD ＝AD ，∴∠B ＝∠BAD ，∵∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝2∠BAD ，∴∠BAD ＝20°，∴∠BAC ＝∠BAD ＋∠CAD ＝20°＋90°＝110°．故答案为：110°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解∠CAD 的度数是解题的关键．12．如图，在ABC 中，已知AB AC BD ==，215∠=︒，那么1∠的度数为________．【答案】65︒【解析】【分析】根据AB AC BD ==，可得C B ∠=∠,13∠=∠，根据三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质列出方程组解方程组即可求解．【详解】解：如图，∵AB AC BD ==∴C B ∠=∠,13∠=∠，23180B C ∠+∠+∠+∠=︒1318022C ∴∠=∠=︒-∠-∠又12C ∠=∠+∠218022C C ∴∠+∠=︒-∠-∠318022C ∴∠=︒-∠18030503C ︒-︒∴∠==︒ 12155065C ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：65︒【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，等边对等角求角度，二元一次方程组的应用，掌握以上知识是解题的关键．13．小丽从一张等腰三角形纸片ABC （AB ＝AC ）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC ＝BD ，EC ＝EF ＝FG ＝DG ＝DA ，则∠B ＝_________°．【答案】67.5【解析】【分析】根据等腰三角形的性质等边对等角求解即可．【详解】解：设∠ECF ＝x ，∵EC ＝EF ，∴∠EFC ＝∠ECF ＝x ，∴∠GEF ＝2x ，∵EF ＝GF ，∴∠FGE ＝∠GEF ＝2x ，∴∠DFG ＝∠FGE +∠ECF ＝3x ，∵DG＝GF，∴∠GDF＝∠DFG＝3x，∴∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x，∵DG＝DA，∴∠A＝4x，∴∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x，∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝5x，∴∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD＝6x，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴4x+6x+6x＝180°，解得：x＝454︒，∴∠B＝4564︒⨯＝67.5°．故答案为：67.5．【点睛】本题主要考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质：等边对等角是解答本题的关键．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AC上一点，AD＝BD，BC＝DC，则∠A的大小是_________．【答案】180 7︒【解析】【分析】由AD＝BD，BC＝DC可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A＝∠ABD＝x，则∠CDB ＝∠CBD＝2x，又由AB＝AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC 中，用内角和定理列方程求解．【详解】解：∵AD ＝BD ，BC ＝DC ，∴△ABD ，△BCD 为等腰三角形，设∠A ＝∠ABD ＝x ，则∠CDB ＝∠CBD ＝2x ，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝3x ，在△ABC 中，∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180°，即x ＋3x ＋3x ＝180°，解得x ＝1807︒，即∠A ＝1807︒．故答案为：1807︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．15．如图，在钢架AB 、AC 中，从左至右顺次焊上7根相等长度的钢条12PP 、23P P 、34P P …来加固钢架，且112AP PP =，则BAC ∠的最大值为______°．（结果保留整数）【答案】12【解析】【分析】设∠BAC =x ，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP 6P 7，∠AP 7P 6，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【详解】解：设∠BAC =x ，∵AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 6P 7，∴∠A =∠AP 2P 1=x ，∴∠P 2P 1P 3=2x ，∴∠P 3P 2P 4=3x ，…，∠P 7P 8P 6=7x ，∴7x ＜90°且8x ＞90°，则11.25°＜∠BAC ＜（907）°，故∠BAC 的最大值约为12°．故答案为：12．【点睛】考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．16．如图，在ABC 中，,,AB AC BD BC AD DE EB ====，则A ∠=________．【答案】45︒【解析】【分析】设∠A =x °根据等腰三角形的性质及等边对等角性质进行分析得出∠ABC =∠C =∠BDC902x DBC A x ︒︒︒=-∠=∠=，，2x EBD ︒∠=，再利用三角形的内角和定理即可求得∠A 的度数．【详解】解：设∠A =x °∵AB =AC ，BD =BC∴∠ABC =∠C =∠BDC 902x DBC A x ︒︒︒=-∠=∠=， ∵AD =DE =BE∴∠A =∠AED =2∠EBD =2∠EDB ∴2x EBD ︒∠= ∵∠ABC =∠C ∴9022x x x ︒︒︒︒-=+ ∴x =45即∠A 等于45°．故答案为：45︒【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边对等角，以及三角形的内角和定理的运用．17．如图，在ABC 中，AB AC CD ==，点D 在BC 上，且AD BD =，求BAC ∠的度数．【答案】∠BAC ＝108°．【解析】【分析】利用AB ＝AC ，可得∠B 和∠C 的关系，利用AD ＝BD ，可求得∠CAD ＝∠CDA 及其与∠B 的关系，在△ABC 中利用内角和定理可求得∠B ，进一步求得∠ABC ，得到结果．【详解】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵BD ＝AD ，∴∠B ＝∠DAB ，∵AC ＝DC ，∴∠DAC ＝∠ADC ＝2∠B ，∴∠BAC ＝∠BAD +∠DAC ＝∠B +2∠B ＝3∠B ，又∠B +∠C +∠BAC ＝180°，∴5∠B ＝180°，∴∠B ＝36°，∠C ＝36°，∠BAC ＝108°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．18．已知：如图，A 1，A 2，A 3是∠MON 的ON 边上顺次三个不同的点，B 1，B 2，B 3是∠MON 的OM 边上顺次三个不同的点，且有OA 1＝A 1B 1＝B 1A 2＝A 2B 2＝B 2A 3(1)当∠MB 1A 2＝45°时，∠MON ＝_______；(2)若OM 边上不存在B 3点，使得A 3B 3＝B 2A 3 ，则∠MON 的最小值是_______．【答案】(1)15°(2)18°【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求解即可；（2）由OM 边上不存在B 3点，使得A 3B 3＝B 2A 3 ，则OM 边上不存在B 3点，使得323332A B B A B B =∠∠，则32390180A B B ︒≤∠<︒，再由323325A B B MON OA B MON ∠=∠+∠=∠求解即可．(1)解：∵OA 1＝A 1B 1＝B 1A 2＝A 2B 2＝B 2A 3∴1111AOB A B O =∠∠，112121B A A B A A =∠∠，∵1121111112B A A AOB A B O AOB ∠=∠+∠=∠，1212MB A MON B A O =+∠∠∠， ∴1212=3=45MB A MON B A O MON =+︒∠∠∠∠，∴∠MON =15°；故答案为：15°；(2)解：∵OM 边上不存在B 3点，使得A 3B 3＝B 2A 3 ，∴OM 边上不存在B 3点，使得323332A B B A B B =∠∠，∴32390180A B B ︒≤∠<︒ ，同理可求出223224B A A MON OB A MON =+=∠∠∠∠ ，∴323325A B B MON OA B MON ∠=∠+∠=∠，∴905180MON ︒≤<︒∠，∴1836MON ︒≤<︒∠，故答案为：18°．。

等腰三角形性质定理 (提高) 知识讲解

等腰三角形性质定理（提高）责编：杜少波【学习目标】1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识．3. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形(2)∠B＝∠C(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些，能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a a2.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的各个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形的性质的作用证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（1）】1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意； (3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D ．【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是忽视了顶角为120°这种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．举一反三：【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】【变式1】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7； (2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长11052=⨯=．这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【变式2】等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是．【答案】50°或80°．解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°﹣100°=80°，则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°﹣100°=80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．故答案为：50°或80°．类型二、等腰三角形的操作题2、（2016•顺义一模）我们把过三角形的一个顶点，且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：如右图，Rt △ABC ，取AB 边的中点D ，线段CD 就是△ABC 的等腰线段．（1）请分别画出下列三角形的等腰线段；C A（2）例如，在△EFG中，∠G=2∠F，若△EFG有等腰线段，请直接写出∠F的度数的取值范围．【思路点拨】（1）利用三角形的等腰线段的定义画图；（2）分类讨论等腰线段，从而求得∠F的度数.【答案与解析】解：（1）三角形的等腰线段如图所示，（2）设∠F=x，则∠G=2x，如图2，线段EM是等腰线段，∵△EMG是等腰三角形，∴EM=EG，ME=MF，∴∠F=∠MEF=x，∠EMG=∠G=2x，∴2x＜90°，∴x＜45°；如图3，GN为等腰线段，∴NF=NG，GN=GE，∴∠F=∠NGF=x，∠E=∠ENG，∴∠EGN=x，∠ENG=2x，∴∠E=2x，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠F的度数的取值范围为0°＜x≤45°．【总结升华】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．也考查了等腰三角形的性质．举一反三：【变式】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．【答案】解：若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.设∠B为x度∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－x①当BD＝BE时∠3＝1802x︒-，45°＋90°－x＋1802x︒-＝180°，x＝30° .②经计算ED＝EB不成立.③当DE＝DB时∠3＝180°－2x45°＋90°－x＋180°－2x＝180°，x＝45°.综上所述，∠B＝30°或45°.类型三、等腰三角形性质的综合应用3、如图，在△ABC中，AD是BC 边上的中线,E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F.求证：AF＝EF.【思路点拨】根据点D是BC的中点，延长AD到点H，得到△ADC≌△HDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE=EF．【答案与解析】证明：延长AD到H使DH＝AD，连接BH.∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝CD在△ADC 和△HDB 中，BD D BDH CDA AD HD C ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ADC ≌△HDB ， ∴∠1＝∠H ，BH ＝AC ∵BE ＝AC ， ∴BE ＝BH ， ∴∠3＝∠H ， ∴∠1＝∠3 又∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AF ＝EF【总结升华】证明不在同一个三角形的两条线段相等，而它们所在的三角形不全等，可以利用辅助线将它们转移到同一个三角形中，然后通过等腰三角形来证明. 举一反三：【变式】如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．【答案】证明：延长AD 至点G ，使DG ＝AD ，连接BG..,,,().AD BD CD ACD GBD AD DG ADC GDB CD BD ACD GBD SAS ==⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵为中线,∴在△和△中,∴△≌△A BCDE FG,.,.,..BG AC G CAD AE EF CAD AFE BFD AFE G BFD BF BG AC =∠=∠=∠=∠∠=∠∠=∠==∴∵∴又∵∴∴4、如图，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠A 的平分线AD 交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD 于点E.求证：BE＝12AD.【答案与解析】证明：如图，延长BE 、AC 交于点F.∵∠1＝∠2，AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEF ＝90°， ∴△AEB ≌△AEF （ASA ）.∴BE ＝FE ＝12BF. ∵∠3＝90°－∠F ＝∠2，BC ＝AC, ∴Rt △BCF ≌Rt △ACD （ASA ） ∴BF ＝AD ，BE ＝12AD. 【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决．举一反三：【变式】如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．（1）求证：BE=CE ；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．【答案】证明：（1）∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE=∠EAC ，在△ABE 和△ACE 中，AB AC BAE EAC AE AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE ≌△ACE （SAS ），∴BE=CE ；（2）∵∠BAC=45°，BF ⊥AF ， ∴△ABF 为等腰直角三角形， ∴AF=BF ，∵AB=AC ，点D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴∠EAF+∠C=90°， ∵BF ⊥AC ，∴∠CBF+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBF ，在△AEF 和△BCF 中，90EAF CBF AF BFAFEBFC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝∴△AEF ≌△BCF （ASA ）．5、如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．【思路点拨】根据等边三角形性质推出BC=AC ，CD=CE ，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，求出∠BCD=∠ACE ，根据SAS 证△ACE ≌△BCD ，推出∠EAC=∠DBC=∠ACB ，根据平行线的判定推出即可．【答案与解析】证明：∵△ABC 和△DEC 是等边三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°， ∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA ，即∠BCD=∠ACE ，∵在△ACE 和△BCD 中AC BC ACE BCD CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ACE ≌△BCD （SAS ）， ∴∠EAC=∠B=60°=∠ACB ， ∴AE ∥BC ．【思路点拨】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，关键是求出△ACE ≌△BCD ，主要考查学生的推理能力.。

专题19 等腰三角形(解析版)-备战2024年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练

专题19等腰三角形【专题目录】技巧1：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法技巧2：巧用特殊角构造含30°角的直角三角形技巧3：分类讨论思想在等腰三角形中的应用【题型】一、等腰三角形的定义【题型】二、根据等边对等角求角度【题型】三、根据三线合一求解【题型】四、根据等角对等边证明等腰三角形【题型】五、根据等角对等边求边长【题型】六、等腰三角形性质与判定的综合【题型】七、等边三角形的性质【题型】八、含30°角的直角三角形【考纲要求】1.了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2.了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3.掌握线段中垂线的性质及判定．【考点总结】一、等腰三角形等腰三角形等腰三角形概念有两边相等的三角形角等腰三角形。

等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

（三线合一）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.【考点总结】二、等边三角形【考点总结】三、直角三角形【技巧归纳】技巧1：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法【类型】一、作“三线”中的“一线”1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，过点A 作EF ∥BC ，且AE ＝AF.求证：DE ＝DF.等边三角形等边三角形概念三条边都相等的三角形，叫等边三角形。

它是特殊的等腰三角形。

等边三角形性质和判定（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。

（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（补充：（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。

（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

等腰三角形的性质-评课稿

对《等腰三角形的性质》的评课麓山国际实验学校席忠余黄立新张辉甄刚谭放军张轶总体印象：既完成了本节课应完成的知识目标，又使学生掌握了常用的数学解题方法，完成了思维训练，培养了学生的能力，彰显了学生的个性。

学科性评价：一、目标1知识能力目标①等腰三角形性质②性质的运用③一题多解：切入点不同，思考方式不同，则解题思路也不同。

④一题多变：条件发生变化，解题思路相似2其他目标①小组合作训练②猜想、探究规律③发散思维训练二、本课重点：等腰三角形的性质及运用本课难点：一题多解、一题多变；辅助线的做法，探求各种方法解题。

本课的知识目标清晰，重点突出。

为突出重点，在证明性质时，学生呈现各种辅助线的做法（1、三角形全等证明。

2、角平分线性质证明。

3、面积证明）后由各小组发言人讲述了一遍证明思路，之后学生各自写出证明过程，小组内交互学习（每人至少看其他两人的证明过程），教师借助电脑灯片做归纳、点评。

在突破本课难点时，采用了平台互动的方式，在教师的引导如何将图形转化，并做出辅助，建立了4个多向度的平台，通过小组合作，学生思维得以发散，学生的积极性得以充分调动，难点得以突破。

在突破难点时，梯度，缓冲度的设置也是非常合理有效的：①首先教师的引导让学生明确了目标方向②然后小组进行讨论，在讨论中有思维敏锐的学生早一步想到思路，稍微落后的学生也初步在小组讨论的过程中了解到一些思路和方法。

③呈现不同方法，并由小组发言简述各自的思路，此时，大多数学生已能基本理解各种思路方法。

④对各种方法分类、归类；教师归纳提升，知识，能力得以结构化，系统化，促进了知识的迁移。

一步一个台阶，难点得以顺利突破，解决问题的能力得到了极大的提高。

在完成证明时，教师充当的是导演的角色，学生才是演员，导演只是引导学生进入角色，导演是成功的，因为演员们很快入戏了，表演得很投入。

经典性评价：（评价学生）知识性：目标、重点、难点确定明确，非常好的完成了指示目标。

个性：学生的个性得以充分的尊重和肯定。

等腰三角形(一)

课题： 12.3等腰三角形（一）一、内容和内容解析：内容:等腰三角形（人民教育出版社《义务教育课程标准实验教科书`·数学》八年级上册第十二章第三节第一课时）。

内容解析（宏观与微观两方面）：前面两节中，通过对生活中的轴对称现象的认识，进一步对轴对称的性质作了研究，还探讨了轴对称变换，能够作出一些简单的平面图形关于一条直线的对称图形，所以学生对这些结论已经有所了解．本节在我们已学过的知识的基础上，进一步认识特殊的轴对称图形──等腰三角形，并探究等腰三角形的性质及等腰三角形的判定．在探究等腰三角形的相关问题时，再对等边三角形的相关内容进行深入探讨．等腰三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质以外,还具有一些特殊的性质.因为等腰三角形是轴对称图形,所以可以借助轴对称来研究等腰三角形的性质. 本节的重点是探索等腰三角形和等边三角形的性质及判定，并利用这些性质和判定求解相关的问题，进一步发展学生的数学思维．本节的重点同时也是本节的难点．教师在教学中，不可操之过急，应逐步引导，让学生去发现去探索这些性质，学生对它的理解要有一个过程，对它的应用也要慢慢去认识，并且在教学中要注意对学生数学思想的渗透以及分析问题、解决问题能力的培养．教学重点：等腰三角形的性质和判定二、目标和目标解析目标：1.了解等腰三角形的有关概念.2.探索并掌握等腰三角形的性质目标解析：通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，将做好的等腰三角形进行折叠,利用对称性得出等腰三角形的两条性质,并回利用性质证明线段相等或角相等.三、教学问题诊断分析：通过折叠,学生很容易想到等腰三角形是一个轴对称图形,折痕旧诗它的对称轴,通过找出重合的线段和重合的角,利用轴对称变换的性质,可以很容易地引导学生得出等腰三角形的两个性质:等边对等角以及三线合一。

从本节开始到性质2的证明，教科书呈现出了一个动手操作得出概念、观察得出性质、推理证明论证性质的过程，这也充分体现了一个观察、试验、猜想、论证的研究几何图形的全过程，教学中教师应注意这一点。

等腰三角形中的角度计算与方程思想

说说这节课你有什么收获？
解决此类问题的一般步骤： 1、根据题目已知找出图中相等的角； 2、设未知数，并用含有未知数的代数式表示图中的角；
3、根据三角形内角和性质或推论列出方程；
4、求解方程；
5、作答。
A
如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA E 求∠A的度数。
D
B C
如图，AA’、BB’分别是△ABC的外角∠EAB和 ∠CBD的平分线，且AA’=AB=B’B，A’、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？
30°
练习：△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数．
提示：设 CAN x ， MAC y 提示：设 MAC ， CAN ， MAC yBAM 提示：设提示：设 MAC CANx x x ， CAN BAM y y 则 MAN AMN y x 则则 MAN AMN AMN x 则 MAN MAN AMN y y x x y C BAC y BAC x CBAC x x y C y C BAC x y ANM CC CAN x 2 x y ANM C CAN 2 x 2 y ANM CAN y ANM在 AMN 中 CAN 2 x y C AMN 中在在 AMN 中在 AMNANM MAN AMN 180 ANM MAN AMN 180 中 ANM MAN AMN 180 ) x x MAN y x ) y ) ( y x y ) 180 ( ANM (( 2 2yy) )( x AMN ( x180 180 y ( 2 x y ) ( y x ) ( y x ) 180 xx-y ( 2 3 y即： x 180 x) ( y x ) 180 x 即： y y 180 ( 180 y3 ) y 即： x 60 y 180 60 即： y60 3 y 即： MAC 60 即： MAC 60 y MAC 60 即： 60

2.5第1课时等腰三角形的性质与判定(十一大题型)(解析版)

（苏科版）八年级上册数学《第2章轴对称图形》2.4 等腰三角形的轴对称性第1课时等腰三角形的性质和判定◆1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．◆2、等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”).★用符号语言表示为：在△ABC 中，∵ AB =AC （已知），∴ ∠B ＝∠C （等边对等角）.◆3、等腰三角形性质2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.★用符号语言表示为：在△ABC 中，（1）∵AB =AC , ∠1=∠2(已知)，∴BD =CD , AD ⊥BC （等腰三角形三线合一）.（2）∵AB =AC , BD =CD (已知)，∴∠1=∠2 , AD ⊥BC （等腰三角形三线合一）.（3）∵AB =AC , AD ⊥BC (已知)，∴BD =CD , ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．★拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.等腰三角形的判定方法：◆1、定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形.◆2、判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)．几何语言：在△ABC中，∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角对等边）.◆3、等腰三角形的判定与性质的区别条件结论作用性质(等边对等角)在同一个三角形中，两边相等.这两边所对的角也相等.证明角相等.判定(等角对等边)在同一个三角形中，两个角相等.这两个角所对的边也相等.证明线段相等.【例题1】（2022•梅江区校级开学）如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°．BD 平分∠ABC ，则∠BDC 是（）A ．36°B ．60°C ．72°D ．80°【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得∠ABC 的度数，再根据角平分线的定义可得∠ABD 的度数，然后根据三角形的外角性质解答即可．【解答】解：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC =180°36°2=72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =12∠ABC ＝36°，∴∠BDC ＝∠A +∠ABD ＝72°．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；【变式1-1】（2022春•藁城区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝DC，AE⊥BD，若∠DAE＝28°，则∠BAE＝ °．【分析】根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AE⊥BD，∴∠ARD＝90°，∵∠DAE＝28°，∴∠ADB＝62°，∵∠ABC＝90°，AD＝DC，∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠ABD=12×（180°﹣62°）＝59°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝31°，故答案为：31．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式1-2】（2022春•三原县期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点D．若∠ADE＝40°，则∠CBD＝．【分析】由DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，可得∠AED＝∠BED＝90°，DA＝DB，又由∠ADE ＝40°，即可求得∠ABD的度数，又由AB＝AC，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴∠AED＝∠BED＝90°，DA＝DB，∵∠ADE＝40°，∴∠A＝∠ABD＝50°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．故答案为：15°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．【变式1-3】（2022春•碑林区校级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数为（）A．30°B．32°C．34°D．36°【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC的度数，根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，可得∠DBA 的度数，进一步即可求出∠DBC的度数．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝70°，∵AB 的垂直平分线交AC 于点D ，∴DA ＝DB ，∴∠DBA ＝∠A ＝40°，∴∠DBC ＝30°，故选：A ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．【变式1-4】（2022春•铁西区期末）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 到点D ，使得CD ＝CA ，连接AD ，若∠D ＝25°，求∠BAC 的度数．【分析】两次利用等边对等角求得∠B ＝∠BCA ＝50°，然后利用三角形的内角和求得答案即可．【解答】解：∵CD ＝CA ，∠D ＝25°，∴∠BCA ＝2∠D ＝50°，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BCA ＝50°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝80°．【点评】考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解“等边对等角”，难度不大．【例题2】（2022秋•云梦县期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝DB ，DE ⊥AB 于点E ，若BC ＝3，且△BDC 的周长为8，则AE的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.5【分析】根据已知可得BD+CD＝5，从而可得AB＝AC＝5，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答．【解答】解：∵BC＝3，且△BDC的周长为8，∴BD+CD＝8﹣3＝5，∵AD＝BD，∴AD+DC＝5，∴AC＝5，∵AB＝AC，∴AB＝5，∵AD＝DB，DE⊥AB，∴AE=12AB＝2.5，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式2-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是AB的垂直平分线，△BNC的周长是24cm，BC＝10cm，则AB的长是（）A ．17cmB ．12cmC ．14cmD ．34cm【分析】根据垂直平分线的性质可得：AN=BN ，根据△BNC 的周长和BC 的长度得出AC=14cm,再利用AB=AC ，则AB=AC=14cm ．【解答】解：∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AN ＝BN ，∵△BNC 的周长是24cm ，BC ＝10cm ，∴BN +NC +BC ＝AN +NC +BC ＝AC +BC ＝24（cm ），∴AC ＝14cm ，∵AB ＝AC ，∴AB ＝14cm ，故选：C ．【点评】本题考查垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，求出AC=14cm ．【变式2-2】（2023春•西安月考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，DE ＝5cm ，则BF ＝（）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm【分析】先得出AD 是△ABC 的中线，得出S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12AB •DE ＝AB •DE ＝5AB ，又S △ABC =12AC •BF ，将AC ＝AB 代入即可求出BF ．【解答】解：∵△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 是△ABC 的中线，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12AB •DE ＝AB •DE ＝5AB ，∵S △ABC =12AC •BF ，∴12AC •BF ＝5AB ，∵AC ＝AB ，∴12BF ＝5，∴BF ＝10（cm ），故选：B ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．【例题3】（2022秋•栖霞区校级月考）如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD ．则下列结论：①∠C ＝2∠A ；②BD 平分∠ABC ；③BC ＝AD ；④OD ＝2CD ．正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，根据线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，可求得∠ABD ＝∠DBC ＝∠A ＝36°，∠ABC ＝∠BDC ＝∠C ＝72°，继而求得：①∠C ＝2∠A ；②BD 平分∠ABC ；③BC ＝AD ．【解答】解：∵AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝36°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，∴∠C＝2∠A，故①正确；∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝36°，∴∠ABD＝∠DBC，∴BD平分∠ABC，故②正确；∴∠BDC＝∠C＝72°，∴BC＝BD＝AD，故③正确；由条件不能得出OD＝2CD，故④错误．故选：C．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【变式3-1】在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝72°；②BD是△ABC的中线；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正确的序号有（）A．①③④B．①④⑤C．①②⑤D．②④⑤【分析】根据题意画出图形，再根据在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°求出∠C的度数；由线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数，故可得出∠DBC的度数，进而得出BD是∠ABC的平分线；由三角形内角和定理可求出∠BDC的度数；由线段垂直平分线的性质，易证得△ABD是等腰三角形．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C=180°∠A2=72°，故①正确；∵DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°，∴BD是∠ABC的平分线，故②错误；∵在△BCD中，∠DBC＝36°，∠C＝72°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠C）＝180°﹣（36°+72°）＝72°．故③错误；∵DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD∴△ABD是等腰三角形；故④正确；∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵∠A＝∠ABD＝36°，∴∠CBD＝36°，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，故⑤正确．故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．【变式3-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用等腰三角形的概念、性质以及角平分线的性质做题．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD＝CD，∠BED＝∠DFC＝90°∴DE＝DF∴AD垂直平分EF∴（4）错误；又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，∴（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF．故选：C．【点评】有两边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）．【变式3-3】如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长等于AB+BC；③AM＝2CM；④AD+CE＝AC．其中一定正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．【解答】解：∵DE∥AC，∴∠DMA＝∠MAC，∠EMC＝∠MCA，∵△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，∴∠DAM＝∠MAC，∠ECM＝∠MCA，∴∠DAM＝∠DMA，∠EMC＝∠ECM，∴DA＝DM，ME＝EC，即△ADM和△CEM都是等腰三角形；故①正确；∴DE＝DM+EM＝AD+CE，∵AC＞DE，∴AD+CE＜AC，故④错误；∴△BDE的周长为：BD+DE+BE＝DB+DM+ME+BE＝AB+BC；故②正确；根据已知条件无法证明AM＝2CM，故③错误．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．【变式3-4】（2022春•神木市期末）如图，在△ABC中，点E、D分别在AB、AC的延长线上，∠BAC 与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；②根据角平分线的性质即可得到结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：①∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP，∵PG∥AD，∴∠APG＝∠CAP，∴∠APG＝∠BAP，∴GA＝GP，故①正确；②∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，∴点P也位于∠BCD的平分线上，∴∠DCP＝∠BCP，故②正确；③∵BE＝BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；故选：D．【点评】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．【例题4】（2022春•巴中期末）在等腰△ABC中有一个角是50°，那么另外两个角分别是（）A．50°、80°B．50°、80°或65°、65°C．65°、65°D．无法确定【分析】根据等腰三角形的性质分∠B为顶角或底角两种情况求解即可．【解答】解：当∠B＝50°为顶角时，此时∠A＝∠C=180°50°2=65°；当∠B＝50°为底角时，此时另一底角为50°，顶角为80°，故另外两个角分别是50°，80°或65°，65°．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，注意此题有两种情况．【变式4-1】（2022•上杭县校级开学）如果等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角度数为（）A．30°B．75°C．30°或75°D．60°【分析】根据等腰三角形的一个外角等于150°，进行讨论可能是底角的外角是150°，也有可能顶角的外角是150°，从而求出答案．【解答】解：①当150°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣150°＝30°；②当150°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣150°＝30°，则底角为：（180°﹣30°）×12=75°，∴底角为30°或75°．故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，非常容易忽略一种情况．【变式4-2】（2022秋•南岗区校级月考）已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则周长是（）A．13B．17C．18D．19【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．【解答】解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，舍去；当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2＝17．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．【变式4-3】（2022春•榆次区期中）一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（）A．3cm，5cm B．4cm，4cmC．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【解答】解：当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2＝3（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2＝4（cm），能够组成三角形．故另两边长分别为3cm，5cm或4cm，4cm．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理的应用，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．【变式4-4】（2022春•文登区期末）若实数m，n=0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的长，则△ABC的周长是（）A．6B．8C．10D．8或10【分析】利用非负数的性质求出m，n的值，再分两种情形讨论即可．【解答】解：=0，∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，解得：m＝2，n＝4，当2是等腰三角形的底时，4，4，2能构成三角形，周长为10，当4是底时，2，2，4不能构成三角形．故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题．【变式4-5】（2022秋•长汀县校级月考）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A．15°或75°B．30°C．150°D．150°或30°【分析】方法1：首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案．方法2：读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．【解答】解：方法1：根据题意得：AB＝AC，BD⊥AC，如图（1），∠ABD＝60°，则∠A＝30°；如图（2），∠ABD＝60°，∴∠BAD＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°．故这个等腰三角形的顶角等于30°或150°．方法2：①当为锐角三角形时可以画图，高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为180°﹣90°﹣60°＝30°，②当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，∴三角形的顶角为180°﹣30°＝150°．故选：D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．【例题5】已知：如图，P 、Q 是△ABC 边BC 上两点，且AB=AC ，AP=AQ ．求证：BP=CQ ．【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BO=CO ，PO=QO ，根据等式的性质，可得答案．【解答】证明：过点A 作AO ⊥BC 于O ．∵AB=AC ，AO ⊥BC ，∴BO=CO ， ∵AP=AQ ，AO ⊥BC ，∴PO=QO , ∴BO -PO=CO -QO∴BP=CQ ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质是解题关键．【变式5-1】已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 是△ABC的角平分线．求证：BD ＝CE ．【分析】由于AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线，利用等边对等角，角平分线定义，可得∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠ECB，而BC＝CB，利用ASA可证△EBC≌△DBC，再利用全等三角形的性质可证BD＝CE．【解答】证明：如图所示，∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．∴∠ABC＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB，又∵BC＝CB，∴△EBC≌△DCB（ASA），∴BD＝CE．【点评】本题利用等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质．【变式5-2】如图，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线与BC交于E，求证：AE⊥BC．【分析】由AB＝AC，BD＝CD，AD是公共边，即可证得△ABD≌△ACD（SSS），则可得∠BAD＝∠CAD，又由等腰三角形的三线合一的性质，证得AE⊥BC．【解答】解：在△ABD和△ACD中，AB=ACAD=AD，BD=CD∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＝AC，∴AE⊥BC．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．【变式5-3】（2023•成武县校级三模）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF．【分析】首先连接AD，由AB＝AC，D是BC的中点，根据三线合一的性质，可得∠EAD＝∠FAD，又由SAS，可判定△AED≌△AFD，继而证得DE＝DF．【解答】证明：连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD，在△AED和△AFD中，AE=AF∠EAD=∠FAD，AD=AD∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF．【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【变式5-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F．（1）求证：∠CBE＝∠BAD；（2）若CE＝EF，求证：AF＝2BD．【分析】（1）根据∠CBE +∠C ＝90°，∠CAD +∠C ＝90°，得出∠CBE ＝∠CAD ，再根据等腰三角形的性质得出∠CAD ＝∠BAD 即可得证结论；（2）根据AAS 证△BCE ≌△AFE ，得出AF ＝BC ，根据BC ＝2BD ，即可得证结论．【解答】证明：（1）∵∠CBE +∠C ＝90°，∠CAD +∠C ＝90°，∴∠CBE ＝∠CAD ，∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴∠CAD ＝∠BAD ，∴∠CBE ＝∠BAD ；（2）由（1）知∠CBE ＝∠CAD ，在△BCE 和△AFE 中，∠CBE =∠AFE ∠BEC =∠FEA =90°CE =EF，∴△BCE ≌△AFE （AAS ），∴AF ＝BC ，∵BC ＝2BD ，∴AF ＝2BD ．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．【例题6】（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，A ，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且△ABC 是等腰三角形，那么点C的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据“两圆一线”画图找点即可．【解答】解：如图，C点与P、Q、R重合时，均满足△ABC是等腰三角形，故选：C．【点评】本题考查“两圆一线”构造等腰三角形的方法，熟练使用两圆一线的方法是解题关键．【变式6-1】如图所示，共有等腰三角形（）A．4个B．5个C．3个D．2个【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数．【解答】解：根据三角形的内角和定理，得：∠ABO＝∠DCO＝36°，根据三角形的外角的性质，得∠AOB＝∠COD＝72°．再根据等角对等边，得等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．故选：B．【点评】此题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质以及等腰三角形的判定方法．得到各角的度数是正确解答本题的关键．【变式6-2】（2022春•杨浦区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（）个．A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】先求出各个角的度数，然后根据等腰三角形的判定即可求出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，∴∠A＝54°，∵BC＝BD，∴∠CDB＝∠DCB＝72°，∴∠ECB＝36°，∠ACE＝54°，∴CE＝BE，AE＝CE，∴△BCD，△CDE，△CEB，△ACE都是等腰三角形，故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数，本题属于基础题型．【变式6-3】如图，在△ABC中，且∠ABC＝60°，且∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于F，交AC于E，则图中等腰三角形的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据三角形高线的性质及直角三角形的性质推出∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，从而利用等腰三角形的判定定理得到△ADC是等腰三角形，再根据角平分线的性质得到∠ABF＝∠CBE=12∠ABC＝30°，从而由∠ABF＝∠BAD推出△ABF是等腰三角形，而∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，进而求解．【解答】解：∵AD是边BC上的高线，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，∴△ADC是等腰三角形，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠CBE=12∠ABC＝30°，∴∠ABF＝∠BAD，∴△ABF是等腰三角形，则∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，而∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，故△ABE为等腰三角形，故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的判定及直角三角形的性质，应充分运用数形结合的思想方法，结合图形从中寻找角之间的关系，结合相关定理及性质进行求解．【变式6-4】（2022秋•鼓楼区期末）如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】分别画出以A点和B点为顶点的等腰三角形，再画出C为顶点的等腰三角形即可．【解答】解：以AB为腰的等腰三角形有两个，以AB为底的等腰三角形有一个，如图：所以符合条件的点C的个数为3个，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．【变式6-5】（2022秋•镇江月考）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（）A ．5B ．6C ．8D ．9【分析】分三种情况：当BA ＝BC 时，当AB ＝AC 时，当CA ＝CB 时，然后进行分析即可解答．【解答】解：如图：分三种情况：当BA ＝BC 时，以点B 为圆心，BA 长为半径作圆，点C 1，C 2，C 3即为所求；当AB ＝AC 时，以点A 为圆心，AB 长为半径作圆，点C 4，C 5，C 6，C 7，C 8即为所求；当CA ＝CB 时，作AB 的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上，综上所述：满足条件的格点C 的个数是8，故选：C ．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．【例题7】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】由条件可得出DE＝DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B＝∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CDDE=DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C；∴AB=AC∴△ABC为等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE＝DF 是解题的关键．【变式7-1】已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠BAD，等量代换得到∠ADE＝∠CAD于是得到结论．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的中线，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠CAD∴AE＝ED，∴△AED是等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．【变式7-2】如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD ＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．【分析】要证△ABC为等腰三角形，须证∠A＝∠C，而由题中已知条件，DF⊥AC，BD＝BE，因此，可以通过角的加减求得∠A与∠C相等，从而判断△ABC为等腰三角形．【解答】证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°．∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF，∵BD＝BE，∴∠BED＝∠D．∵∠BED＝∠CEF，∴∠D＝∠CEF．∴∠A＝∠C．∴△ABC为等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的判定方法；角的等量代换是正确解答本题的关键．【变式7-3】已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据三角形外角的性质，易证得∠B＝∠C，然后由等角对等边，证得：△ABC 是等腰三角形．【解答】证明：∵∠B＝∠3﹣∠1，∠C＝∠4﹣∠2，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与三角形外角的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【变式7-4】已知如图，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，FD＝FE．求证：△ABC 是等腰三角形．【分析】过点D作DG∥AE于点G，利用平行线的性质得出∠GDF＝∠CEF，进而利用ASA得出△GDF ≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．【解答】证明：过点D作DG∥AE于点G，∵DG∥AC∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），在△GDF和△CEF中，∠GDF=∠CEFDF=EF，∠DFG=∠CFE∴△GDF≌△CEF（ASA），∴DG＝CE又∵BD＝CE，∴BD＝DG，∴∠DBG＝∠DGB，∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．【例题8】（2022秋•通州区校级月考）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，△AMN的周长为33，AB＝15，则AC为（）A．15B．18C．20D．23【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△MBO和△NCO是等腰三角形，从而可得MO＝MB，NO＝NC，然后根据线段的和差关系可得，△AMN的周长＝AB+AC，进行计算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵△AMN的周长为33，AB＝15，∴AM+MN+AN＝33，∴AM+OM+ON+AN＝33，∴AM+MB+CN+AN＝33，∴AB+AC＝33，∴AC＝18，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．【变式8-1】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝2，则BC的长为（）A．12B．16C．20D．8【分析】根据角平分线的性质，平行线的性质，可以求得∠B的度数，再根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．【解答】解：∵CM平分∠ACB交AB于点M，∴∠NCM＝∠BCM，∵MN∥BC∴∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∵MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°；∵AN＝2，∠AMN＝∠B＝30°，∴MN＝2AN＝4，∴NM＝NC＝4，∴AC＝AN+NC＝6，∴BC＝2AC＝12，故选：A．【点评】本题考查含30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式8-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（）A．10B．11C．13D．15【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM＝5，BM＝2BE＝6，再利用∠4是△BCM的外角，利用等腰三角形判定得到CM＝BM，利用等量代换即可求证．【解答】解：延长BE交AC于M，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM＝5，∵BE⊥AE，∴BM＝2BE＝6，∵∠4是△BCM的外角，∴∠4＝∠5+∠C，∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C，∴∠5＝∠C，∴CM＝BM＝6，∴AC＝AM+CM＝AB+2BE＝11．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，准确添加辅助线构建等腰三角形是解题关键．【变式8-3】（2022春•神木市期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BP、CQ是△ABC两腰上的高，BP与CQ交于点O．求证：△BCO是等腰三角形．【分析】由题意可求得∠ABC＝∠ACB，再由高得∠BQC＝∠CPB＝90°，从而可求得∠OBC＝∠OCB，即有OB＝OC，从而得证△BCO是等腰三角形．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BP、CQ是△ABC两腰上的高，∴∠BQC＝∠CPB＝90°，∵∠OBC＝90°﹣∠ACB，∠OCB＝90°﹣∠ABC，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴△BCO为等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，等腰三角形的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系．【变式8-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）求证：∠B＝∠DEF；（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【分析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE＝FE，进而可得到△DEF 是等腰三角形；（2）根据△BDE≌△CEF，可知∠FEC＝∠BDE，∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B 即可得出结论；（3）由（2）知∠DEF＝∠B，再根据等腰三角形的性质即可得出∠DEF的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，BD=CE ∠B=∠C BE=CF，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；。

《等腰三角形的性质》反思

《等腰三角形的性质》的反思等腰三角形的性质的运用是这节课的重点和难点。

例题处理：课本例题较难理解故在这一环节上我先通过求三角形三个内角的度数的方法，设未知数，根据内角和等于180°的解题思路，从而类比得到例题的解法。

习题处理：题目应循序渐进的呈现，引导学生拾阶而上，可极大的增强了学生学习数学的自信心。

题目的变式也有利于学生的知识巩固。

在解题时，还要注重学生分类讨论的数学思想方法。

另外本节课还有以下收获：1、注重培养了学生的数学方法。

在剪三角形中渗透“观察与实验“的数学方法，让学生探索出等腰三角形的两个性质；在例题的讲解中用类比和方程的思想使学生更能找到解题思路；在等腰三角形的性质的运用上，注重了学生分类讨论的数学思想方法。

2、有梯度的习题设计可满足不同层次的学生需求。

总之，在本节教学中，我始终坚持以学生为主体，教师为主导，致力启用学生已掌握的知识，充分调动了学生的兴趣和积极性，使他们最大限度地参与到课堂的活动中，在整个教学过程中我以启发学生，挖掘学生潜力，让他们展开联想的思维，培养其能力为主旨而发展的。

整个教学过程来说，学生掌握效果较好。

但还有几点需要改进的地方：1、创设情境，提出问题。

问题的解决允许运用直观的方法，还应当鼓励学生不停留在直观的认识上，要进行合情的推理、精确计算，科学地判断。

本案例把“问题”贯穿于教学的始终，运用“提出问题——探究问题——解决问题”的方式，让学生发现规律和运用规律，使学生在长知识的同时，也长智慧、长能力，进一步培养学生良好的思维品质。

2、让数学思想方法渗透于课堂教学之中。

应积极引导学生通过折一折的手段来运用于“转化”思想，将等腰三角形转化为轴对称变换。

同时渗透数学与实践相结合的思想，培养学生的应用意识。

3、由于学生对等腰三角形的知识已有初步的认识，本课例的难点突破应在等腰三角形的“三线合一”及其应用上，应创设有利于学生学习的情境（生活中的事例），通过“折”（强调“折”）这一直观方法引导学生进行积极主动地探索、交流去发现，从而习得知识和经验，提高能力和兴趣。

等腰三角形的性质

本学期我积极参加了学校组织的评优课活动，现在结合这节课的设计意图，以及学生的学习效果，我个人认为值得以后借鉴的地方有：
（一）突出重点，实现教学目标
《等腰三角形的性质》这节课重点是让学生通过动手翻折等腰三角形纸片得出“等腰三角形的两底角相等”及“三线合一”的性质。

设计理念是让学生通过折纸、猜想、验证等腰三角形的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证。

使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，从而实现教学目标。

（二）导课自然，成功引入新课
首先让学生根据已有的认识画一个等腰三角形，根据自己画的三角形直观认识它有哪些性质，从而创设问题情境，把问题作为教学的出发点，激发学生的学习兴趣。

又根据学生自己制作的等腰三角形进行折叠，从而进一步探索性质，引出学生探究心理，迅速集中注意力，使其带着浓厚的兴趣开始积极探索思考。

从而使学生的原认知结构对新知的学习具有某种“召唤力”,既明确了本节课的主要内容，激发了学生的学习兴趣，又使学生了解到数学来源于生活又适用于生活。

（三）设置有梯度，学生易于接受
在本节课的问题设置中，特别是等腰三角形性质探究的设置，由直观猜想到折叠探究层层深入，激起了学生研究数学的热情，使不同层次的学生本节课都有所收获。

这节课，也有不足的地方：（一）在证明性质时由命题转化几何求证时应多加强已知，求证的书写过程。

（二）上课的节奏有点快。

在以后的教学中能多加以改正。

美中不足的是性质二的应用本节课安排的例题，习题有点少，在以后的教学中应多补充些例题及习题。

一个等腰三角形的顶角与一个底角的度数

一个等腰三角形的顶角与一个底角的度数
等腰三角形是三条相等的边组成的三角形，这些边和三个相连的角形相等。

因此，每个角度都将等于度数值 2/3 分之180°，即120°。

而顶角（上面的角度）和底角（下面的角度）的角度值都是120°。

如果从几何的角度来看，等腰三角形具有如下特征：它们都有相等的顶角与底角，每个内角都是120°，因此它们具有平行边。

另一方面，它们的两个底边也相等，另一边是顶边，顶边的长度由底边长度和角度决定，它可以是任意长度。

答案：顶角和底角的度数均为120°。

专题06 利用等腰三角形的性质求角的度数(解析版)

专题06 利用等腰三角形的性质求角的度数知识对接考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等边对等角)(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.3.判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.要点补充：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.考点二、角1．对顶角(1)定义：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角.(2)性质：对顶角相等.2．邻补角(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.(2)性质：邻补角互补.3．同位角、内错角、同旁内角(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.专项训练1一、单选题1．（2021·江苏九年级专题练习）等腰三角形的一个外角是130°，则它的底角的度数为（） A ．65° B ．80°或50° C ．50° D ．65°或50°【答案】D 【分析】分该外角是底角的外角还是顶角的外角两种情况解答即可．【详解】解：①当该外角是底角的外角时，底角为：180°-130°=50°； ①当该外角是顶角的外角时，则底角为：130°×12=65°所以底角为65°或50°．故选D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．2．（2021·湖北黄冈·九年级模拟预测）如图，有一块含有45︒角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果120∠=︒，那么2∠的度数是（）A ．20︒B ．25︒C ．30D ．45︒【答案】B 【分析】依题意，由直尺边是相互平行、三角形为等腰直角三角形，可得+2=45DAC ∠∠︒，即可；【详解】由题知，如图，ABC 为等腰直角三角形，① 45BAC BCA ∠=∠=︒；直尺边相互平行，120∠=︒① ADCE ，①120DAC ∠=∠=︒；又+245DAC ∠∠=︒，① 225∠=︒；故选：B ；【点睛】本题考查平行线、等腰直角三角形的性质，关键在熟练应用等腰直角三角形的角的关系； 3．（2021·福建省福州咨询有限公司九年级模拟预测）如图，在①ABC 中，①B=40°，将①ABC 绕点A 逆时针旋转，得到①ADE ，点D 恰好落在直线BC 上，则旋转角的度数为( )3A ．70°B ．80°C ．90°D ．100°【答案】D 【分析】利用旋转的性质得到①ABC①①ADE ，根据全等三角形的性质可知AB=AD ，进而得到①ADB=①B=40°，再利用三角形内角和定理即可解答. 【详解】①将①ABC 绕点A 逆时针旋转，得到①ADE ①①ABC①①ADE ①AB=AD ①①ADB=①B=40° ①①ADB+①B+①BAD=180° ①①BAD=180°-40°-40°=100° 故选D 【点睛】本题考点涉及旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键.4．（2021·湖北黄石八中九年级三模）如图，在①ABC 中，①BAC ＝116°，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，E ，作直线DE ，交BC 于点M ；分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点P 、Q ，作直线PQ ，交BC 于点N ；连接AM 、AN ．则①MAN 的度数为（）A ．52°B ．50°C ．58°D ．64°【答案】A 【分析】先根据作图可知DE 和FG 分别垂直平分AB 和AC ，再利用线段的垂直平分线的性质得到①B ＝①BAM ，①C ＝①CAN ，即可得到①MAN 的度数．【详解】解：由作图可知，DE 和FG 分别垂直平分AB 和AC ，①MB ＝MA ，NA ＝NC ，①①B ＝①MAB ，①C ＝①NAC =116°，在①ABC 中，BAC ∠=， ①①B ＋①C ＝180°−①BAC ＝64°，即①MAB ＋①NAC ＝64°，则①MAN ＝①BAC −（①MAB ＋①NAC ）＝52°．故选A ．【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．解题时注意：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．5．（2021·陕西西安·交大附中分校）如图，①ABC 是①O 的内接三角形，AB ＝AC ．BO 的延长线交AC 于点D ．若①ABD ＝23°．则①A 的度数为（）A ．23°B ．32°C ．46°D ．60°【答案】C 【分析】延长BD 交O 于点E ，连接AE ，由圆周角定理可得90BAE ∠=︒，继而解得67AEB ∠=︒，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解题即可．【详解】解：延长BD 交O 于点E ，连接AE ，则90BAE ∠=︒23ABD ∠=︒9067AEB ABD ∴∠=︒-∠=︒67ACB AEB ∴∠=∠=︒AB AC =567ABC ACB ∴∠=∠=︒18046BAC ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒ 故选：C ．【点睛】本题考查三角形的外接圆与圆心、圆周角定理、直径所对的圆周角是90°、等腰三角形、三角形的内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．（2021·浙江）如图，直线////a b c ，等腰直角ABC 的三个顶点分别在直线a ，b ，c 上（A 为直角顶点），若120∠=︒，则①2的度数为（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【答案】C 【分析】利用平行线的性质可以得到1320∠=∠=︒，由ABC 是等腰直角三角形可得到45ABC ∠=︒，再利用角的等量关系列式计算即可．【详解】解：如图所示建立3∠①////a b c ①1320∠=∠=︒①ABC 是等腰直角三角形 ①45ABC ∠=︒①23452025ABC =-=︒-︒=︒∠∠∠ 故答案选：C 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，利用平行线的性质进行角度等量代换是解题的关键．7．（2021·湖北随州·九年级一模）如图，PA、PB分别是①O的切线，A、B为切点，AC是①O的直径，已知①BAC=35°，①P的度数为（）A．35°B．45°C．65°D．70°【答案】D【分析】由PA与PB都为圆的切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，可得出①OAP与①OBP都为直角，又OA=OB，根据等边对等角可得①ABO与①BAC相等，由①BAC 的度数求出①ABO的度数，进而利用三角形的内角和定理求出①AOB的度数，在四边形APBO中，利用四边形的内角和定理即可求出①P的度数；【详解】①PA，PB分别是圆的切线①OA①AP，OB①BP，①①OAP=①OBP=90°，① OA=OB，①BAC=35°，① ①ABO=①BAC=35°，①①AOB=180°-35°-35°=110°，在四边形APBO中，①OAP=①OBP=90°，①AOB=110°，则① P=360°-(①OAP+①OBP+①AOB)=70°，故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键；∠=︒，则①2 8．（2021·全国）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若120的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．40°【答案】C【分析】利用平行线的性质求得①3的度数，即可求得①2的度数．【详解】①AD①BC，①①3=①1=20︒，①①DEF是等腰直角三角形，①①EDF=45︒，①①2=45︒-①3=25︒，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．9．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级）如图，已知AB①CD，AD＝CD，①1＝40°，则①2的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【答案】C【分析】由等腰三角形的性质可求①ACD＝70°，由平行线的性质可求解．【详解】①AD＝CD，①1＝40°，①①ACD＝70°，①AB①CD，①①2＝①ACD＝70°，故选：C．7【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．10．（2021·河南九年级二模）如图，在①ABC中，AB＝AC，AE平分①BAC，DE垂直平分AB，连接CE，①B＝70°．则①BCE的度数为（）A．55°B．50°C．40°D．35°【答案】B【分析】连接BE，根据等腰三角形性质求出EB＝EC，根据线段垂直平分线性质求出AE＝BE，根据等边对等角求出①BAE＝①EBA、①BCE＝①EBC，即可求出答案．【详解】解：如图，连接BE，①AB＝AC，AE平分①BAC，①EB＝EC，①①EBC＝①ECB，①①ABC＝70°，AC＝AB，①①ACB＝①ABC＝70°，①①BAC＝180°﹣①ABC﹣①ACB＝40°，①AE平分①BAC，①①BAE＝20°，①DE垂直平分AB，①AE＝EB，①①ABE＝①BAE＝20°，①①BCE＝①EBC＝①ABC﹣①ABE＝70°﹣20°＝50°，故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出①BAE=①EBA和①BCE=①EBC是解此题的关键．二、填空题11．（2021·辽宁九年级）AD是等腰三角形ABC的高，BC=2AD，则①BAC的度数是_____．【答案】90°或75°或15°【分析】可以分别从若BC是底边，即AB＝AC，与若BC是腰，即BC＝BA，①点D在BC边上，①若点D在CB的延长线上去分析，根据等腰三角形的性质与直角三角形的性质，即可求得答案．【详解】解：①AD是BC边上的高线，若BC是底边，即AB＝AC，如图（1）所示，①BD＝DC，AD①BC，①BAD＝①CAD①AD＝BD①①B＝①BAD＝45°①①BAC＝2①BAD＝90°若BC是腰BC＝BA，①若点D在BC边上，如图（2）所示，则在Rt①BAD中，①BA＝2AD，①①B＝30°，①①BAC＝75°；①若点D在CB的延长线上，如图（3）所示，类似地，得：①DBA＝30°，则：①ABC＝150°，①①BAC＝15°．综上：①BAC的度数为90°，75°，15°．912．（2021·华中科技大学附属中学）如图，将Rt ABC ∆绕直角顶点C 逆时针旋转50︒，使顶点A 的对应点D 落在边AB 上，点B 的对应点E 与点D 的连线交BC 于点F ，则CFE ∠的度数为_______︒．【答案】105．【分析】将Rt ABC ∆绕直角顶点C 逆时针旋转50︒得到Rt DEC ∆，可得旋转角=50DCA ECB ∠=∠︒，由CA =CD ，可求65A CDA ∠=∠=︒，由旋转性质①EDC =①A=65°，可求①FCD =90°-①ACD =90°-50°=40°，由外角性质=105CFE FCD CDF ∠∠+∠=︒．【详解】解：将Rt ABC ∆绕直角顶点C 逆时针旋转50︒得到Rt DEC ∆， ①旋转角=50DCA ECB ∠=∠︒， ①CA =CD ， ①()1180652A CDA DCA ∠=∠=︒-∠=︒， ①①EDC =①A=65°，①①FCD =90°-①ACD =90°-50°=40°，①=4065105CFE FCD CDF ∠∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：105．【点睛】本题考查旋转变换，旋转角，等腰三角形的性质，三角形内角和，互余角计算，三角形外角性质，掌握旋转变换性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，互余角计算，三角形外角性11质，能从图中找到旋转角是解题关键．13．（2021·苏州高新区第二中学九年级二模）如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒点D 在BC 上，BD BA =，点E 在BC 的延长线上，CA CE =，连接AE ，则DAE ∠的度数为_____________．【答案】45 【分析】利用余角、等腰三角形和三角形外角的性质即可求出．【详解】①BDA DAE AEC ∠=∠+∠，DAE DAC EAC ∠=∠+∠， ①BDA DAC EAC AEC ∠=∠+∠+∠． ①90DAC BAC BAD BAD ∠=∠-∠=︒-∠， ①90BDA BAD EAC AEC ∠=︒-∠+∠+∠．根据题意可知=BDA BAD EAC AEC ∠=∠∠∠，． ①45BDA AEC ∠-∠=︒， ①=45DAE ∠︒．故答案为：45．【点睛】本题考查等腰三角形和三角形外角的性质以及余角．找出图形中角的等量关系是解答本题的关键．14．（2021·辽宁九年级）如图，在ABC 中，AB AC =，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ，在点D 从B 向C 运动过程中，如果ADE 是等腰三角形，则BDA ∠的度数是____________【答案】110°或80° 【分析】根据等腰三角形的性质，先求出①BAC 的度数，然后分3种情况：①AD ＝AE 时，①AD＝ED时，①当AE＝DE时，分别求解，即可．【详解】①在①ABC中，AB＝AC，①B＝40°，①①B＝①C=40°①①BAC＝100°，①AD＝AE时，①AED＝①ADE＝40°，①①DAE＝100°，此时，点D与点B重合，不符合题意舍去，①AD＝ED时，①DAE＝①DEA，①①DAE＝12（180°−40°）＝70°，①①BAD＝①BAC−①DAE＝100°−70°＝30°，①①BDA＝180°−①B−①BAD＝110°，①当AE＝DE时，①DAE＝①ADE＝40°，①①BAD＝100°−40°＝60°，①①BDA＝180°−40°−60°＝80°，综上所述：①BDA的度数为110°或80°时，①ADE的形状是等腰三角形，故答案是：110°或80°【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质，三角形内角和定理的理解和掌握，解本题的关键是分类讨论，是一道基础题目．15．（2021·四川广安市·）规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“雅系特征值”，记作k，若2k3，则该等腰三角形的顶角为_____．【答案】45°．【分析】根据等腰三角形的性质得出①B=①C，根据三角形内角和定理和已知得出5①A=180°，求出即可．【详解】解：①①ABC中，AB=AC，①①B=①C，13①等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k ，若k=2k 3=， ①①A ：①B ：①C =2：3：3，即①A=180°×22+3+3=45°， ①①A=45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出①A=180°×22+3+3是解题关键．三、解答题16．（2021·厦门市松柏中学九年级）如图，在Rt ABC △中，①BAC ＝90°，将Rt ABC △绕直角顶点A 逆时针旋转一定角度后得到Rt ADE △，当点D 在边BC 上时，连接CE ．（1）若旋转角为60°，求①ACB 的度数；（2）若AB ＝3，AC ＝4，求sin①DAC 的值．【答案】（1）30°；（2）725【分析】（1）由旋转的性质得出AD AB =，60BAD ∠=︒，进而由等腰三角形的性质及三角形的内角和得出60B ADB ∠=∠=︒，最后再由直角三角形的两个锐角互余即可求得答案；（2）由勾股定理求出5BC =，过点A 作AF BC ⊥于点F ，由三角形的面积求出AF 的长，进而可求出CD ，DE 的长，则可得出答案．【详解】解：（1）将Rt ABC △绕直角顶点A 旋转一定角度后得到Rt ADE △，旋转角为60°，AD AB ∴=，60BAD ∠=︒，60B ADB ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，9030ACB B ∴∠=︒-∠=︒，①①ACB 的度数为30°；（2）90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，5BC ∴==，如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ，∴1122ABCSAB AC BC AF =⋅=⋅， 341255AB AC AF BC ⋅⨯∴===，95BF ∴，=AD AB ，AF BC ⊥，95DF BF ∴==， 75CD BC BD ∴=-=，设AC 与DE 相交于点K ，①将Rt ABC △绕直角顶点A 旋转一定角度后得到Rt ADE △，AD AB ∴=，AE AC =，90BAC DAE ∠=∠=︒，B ADB ∴∠=∠，ACE AEC ∠=∠，90BAC DAE ∠=∠=︒，①90BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，又1902B BAD ∠=︒-∠，1902ECA CAE ∠=︒-∠，ECA B ∴∠=∠，又①旋转，15①B ADE ∠=∠，5DE BC ==，ECA B ADE ∠=∠=∠，AKD EKC ∠=∠，DAC CED ∴∠=∠，90ACB B ∠+∠=︒，ECA B ∠=∠，90ACB ECA ∴∠+∠=︒，775sin sin 525CD DAC CED DE ∴∠=∠===．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．17．（2021·湖北九年级）如图，ABC 中，点D 在BC 边上，且1902ADB CAD ∠=+∠°．（1）求证：AD AC =；（2）点E 在AB 边上，连接CE 交AD 于点F ，且CFD CAB ∠=∠，AE BD =， ①求ABC ∠的度数；①若8AB =，2DF AF =，直接写出EF 的长．【答案】（1）见解析；（2）①60°；①23EF =．【分析】（1）根据ADB ACB CAD ∠=∠+∠，1902ADB CAD ∠=+∠°可得C ADC ∠=∠，进而可得结论；（2）①过点D 作//DG CE 交AB 于点G ，根据“AAS”证出AEC ①DGA △，进而可得BDG 为等边三角形，可得答案；①过点D 作//DH AB 交CE 于点H ，可得FAE ①ACE ，根据比例式可得答案．【详解】解：（1）①ADB ACB CAD ∠=∠+∠，1902ADB CAD ∠=+∠°，①1902ACB ADB CAD CAD ∠=∠-∠=-∠°，①180ADB CDA ∠+∠=°，①11180180909022CDA ADB CAD CAD ⎛⎫∠=-∠=-+∠=-∠ ⎪⎝⎭°°°°，①ACB ADC ∠=∠， ①AD AC =；（2）①过点D 作//DG CE 交AB 于点G ，①CFD CAB ∠=∠，CFD CAD ACE ∠=∠+∠，CAB CAD DAB ∠=∠+∠， ①ACE DAB ∠=∠，又①ACD ADC ∠=∠，ECB ACD ACE ∠=∠-∠，B ADC DAB ∠=∠-∠， ①ECB B ∠=∠， ①CE BE =， ①//DG CE ， ①ECB B ∠=∠， ①DG BG =，①AEC DGA ∠=∠，AC DA =，ACE DAG ∠=∠， ①AEC ①DGA △(AAS)， ①DG AE =，又①AE BD =， ①DG BD BG ==， ①BDG 为等边三角形， ①60ABC ∠=︒； ①23EF =．过点D 作//DH AB 交CE 于点H ，由①知EBC 和HDC △均为等边三角形，17设AE BD x ==，则8BE BC x ==-， ①82DH CD x ==-， ①//DH AB ， ①AE AF DH FD =，即182x x =-， ①2x =，①ACE DAB ∠=∠， ①FAE ①ACE ， ①EF AFAE AC=， ①3AC AD AF ==， ①13EF AE =，1233EF AE ==.【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键，题目难度较大，综合性较强．18．（2021·江苏南通田家炳中学九年级）如图，已知点D 、E 在ABC 的边BC 上，AB AC =，AD AE =．（1）求证：BD CE =；（2）若AD BD DE CE ===，求BAE ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）90．【分析】（1）作AF BC ⊥于点F ，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF CF =，DF EF =，相减后即可得到正确的结论；（2）根据等边三角形的判定得到ADE 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点A 作AF BC ⊥于F ．AB AC =，AD AE =，∴BF CF =，DF EF =， ∴BF DF CF EF -=-， ∴BD CE =．（2）AD DE AE ==，∴ADE 是等边三角形， ∴60DAE ADE ∠=∠=，AD BD =，∴DAB DBA ∠=∠， ∴1302DAB ADE ∠=∠=， ∴603090BAE DAB DAE ∠=∠+∠=+=．答：BAE ∠的度数为：90．【点睛】本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是本题的关键．19．（2021·福建九年级）如图，已知等腰三角形ABC 的顶角108A ∠=︒．（1）在BC 上作一点D ，使AD CD =（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．（2）直接写出BAD ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）72° 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可在BC 上作一点D ，使AD=CD ；（2）结合（1）根据三角形内角和及等腰三角形的性质求出C ∠及DAC ∠，所以BAD BAC DAC ∠=∠-∠问题得解．【详解】19解：（1）如图，点D 即为所求；（2）连接AD ，①AB AC =，108A ∠=︒， ①36B C ∠==︒，由（1）得：AD CD =， ①36DAC C ∠=∠=︒，1083672BAD BAC DAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据图形正确找到角之间的关系是解题的关键．20．（2021·湖南湘西·）如图，在ABC ∆中，点D 在AB 边上，CB CD =，将边CA 绕点C 旋转到CE 的位置，使得ECA DCB ∠=∠，连接DE 与AC 交于点F ，且70B ∠=︒，10A ∠=︒．（1）求证：AB ED =；（2）求AFE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）50AFE ∠=︒ 【分析】（1）由题意易得ECD ACB ∠=∠，AC EC =，则有≌ACB ECD △△，然后问题可求证；（2）由（1）可得10E A ∠=∠=︒，然后可得40ECA DCB ∠=∠=︒，进而根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】（1）证明：①ECA DCB ∠=∠，①ECA ACD DCB ACD ∠+∠=∠+∠，即ECD ACB ∠=∠，①AC EC =，CB CD =， ①()ACB ECD SAS ≌， ①AB ED =；（2）解：①CB CD =，70B ∠=︒， ①70CDB B ∠=∠=︒，①根据三角形内角和可得180240BCD B ∠=︒-∠=︒， ①40ECA DCB ∠=∠=︒，由（1）可得≌ACB ECD △△， ①10A ∠=︒， ①10E A ∠=∠=︒，①50AFE E ACE ∠=∠+∠=︒．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．21．（2021·江苏九年级）如图，在四边形ABCD 中，①B ＝90°，AC 平分①DAB ，DE ①AC ，垂足为E ，且AE ＝AB ．（1）求证：BC ＝DE ；（2）若①DAC ＝40°，求①CDE 的度数．【答案】（1）见解析；（2）20° 【分析】（1）根据ASA 证明①ABC ①①AED ，由全等三角形的性质即可求证；（2）根据①ABC ①①AED 可得AC =AD ，根据等腰三角形的性质即可解决问题．【详解】证明：①DE ①AC ，①B =90°， ①①B =①AED =90°， ①AC 平分①DAB ， ①①BAC =①EAD ，21 在①ABC 和①AED 中，BAC EADAB AE B AED∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，①①ABC ①①AED （ASA ），①BC =DE ；（2）①①ABC ①①AED ，①AC =AD ，①①ACD =①ADC ，①①DAC =40°，DE ①AC ，①①ACD =①ADC =70°，①ADE =50°，①①CDE =20°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．22．（2021·浙江九年级二模）已知：如图，在五边形ABCDE 中，AB AE =，B E ∠=∠，BC ED =．（1）求证：ABC AED ≌△△．（2）当//AC DE ，40ADE ∠=︒时，求ACD ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）70︒【分析】（1）利用SAS 即可证明结论；（2）结合（1）可得AC =AD ，根据等腰三角形的性质即可求出①ACD 的度数．【详解】（1）证明：①AB AE =①B E ∠=∠①BC ED =①()ABC AED SAS ≌△△（2）①//AC DE ，40ADE ∠=︒①40CAD ADE ∠=∠=︒①ABC AED ≌△△①AC AD = ①()1180702ACD CAD ∠=︒-∠=︒ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用边角边证明①ABC ①①AED ． 23．（2021·温州市第十二中学九年级）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//FB EA 交EC 于H 点，EA FB =，AB CD =．（1）求证：ACE BDF ≌；（2）若CH BC =，50A ∠=︒，求D ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）80°【分析】（1）由//EA FB ，利用同位角相等可得EAC FBD ∠=∠．由AB CD =，利用等式性质可得AC BD =，可证()ACE BDF SAS ≌；（2）由//FB EA 可得=50EAC FBD ∠=∠︒，由CH BC =利用等角对等边，可求50HBC BHC ∠=∠=︒．利用三角形内角和可得80ECA ∠=︒．利用ACE BDF ≌性质，可得80ECA D ∠=∠=︒．【详解】（1）证明：①//EA FB ，①EAC FBD ∠=∠．①AB CD =，①AB BC CD BC +=+，即AC BD =，在ACE 和BDF 中，①AC BD EAC FBD EA FB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()ACE BDF SAS ≌．23 （2）解：//FB EA ，①=50EAC FBD ∠=∠︒，①CH BC =，①50HBC BHC ∠=∠=︒．①180505080ECA ∠=︒-︒-︒=︒．①ACE BDF ≌，①80ECA D ∠=∠=︒．【点睛】本题考查平行线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和，掌握平行线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和是解题关键．。

等腰三角形(基础)知识讲解

等腰三角形（基础）知识讲解【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

各种等腰三角形难题

各种等腰三角形难题例1.在等腰三角形⊿ABC中，AB=AC，∠A=20°，点D在AB上，AD=BC，连接CD，求∠XXX的度数。

解析：利用全等三角形的性质，构造全等三角形⊿DAE≌⊿CBA，得到DE=CE，∠DEC=40°，∠ADE=80°。

因此，∠ADC=150°，∠BDC=30°。

例2.在等腰三角形⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，点D和E分别在AB和AC上，且∠BCD=50°，∠CBE=60°，求∠DEB的度数。

解析：通过连线，构造等边三角形⊿GEF和⊿GBC。

得到∠XXX∠EFG=60°，∠AFG=140°，∠DFG=40°，∠XXX∠BCD，BD=BC=BG，∠BGD=80°，∠DGF=40°。

因此，通过全等三角形的性质得到∠DEG=∠DEF=30°。

因此，∠DEB=30°。

例3.在等腰三角形⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，点D和E分别为AB和AC上的点，且∠ABE=10°，∠ACD=20°，求∠DEB的度数。

解析：通过连线，构造等边三角形⊿BCF和⊿DGF，得到CM=CB=CF，∠CMF=∠CFM=80°，∠GMF=100°，∠XXX∠FGM=40°，FM=GM。

因此，通过全等三角形的性质得到∠DMG=∠DMF=50°。

因此，∠DEB=30°。

根据已知条件，可以得到∠DMC=130°=∠EMB，且∠DCM=∠EBM=20°。

因此，可以得到⊿DMC∽⊿EMB，进而得到DM/MC=EM/MB。

同时，由于∠DME=∠BMC=50°，可以得到⊿DME∽⊿CMB，且∠DEM=∠XXX°。

又因为∠BEC=∠ABE+∠A=30°，因此可以得到∠DEB=∠DEG-∠BEC=50°-30°=20°。

等腰三角形的斜率

等腰三角形的斜率
一、等腰三角形斜率的定义
等腰三角形是一种特殊的三角形，它将两条平行边分成相等的两部分，称为等腰三角形。

等腰三角形的斜率是指通过该三角形垂直边的两个
顶点，形成的一条直线斜率。

二、等腰三角形斜率的计算
1、如果等腰三角形的两个角度相同，则 papertyReporterghtangle45°，
该等腰三角形斜率为1：1；
2、如果给定等腰三角形的两条边都已知，则可以使用以下公式计算出
该等腰三角形的斜率：斜率=(较长边/较短边)；
3、如果给定等腰三角形的斜边和它的一个夹角，则可以使用以下公式
计算出该等腰三角形的斜率：斜率=tan（夹角/2）；
4、如果给定等腰三角形的高度和底边，也可以使用以下公式计算出该
等腰三角形的斜率：斜率=高度/底边。

三、等腰三角形斜率的应用
等腰三角形斜率在很多地方都有着广泛的应用，比如在建筑设计，信
息传输，软件开发，机械制造，算法研究等领域。

在工程技术中，使
用等腰三角形斜率来测量缓坡、等比变换和梯度变换，以及确定支撑
点位置等。

另外，等腰三角形斜率还可以用于编写算法，识别图像等。