备课参考高二数学北师大选修同步练习：第章充要条件含答案

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高中数学选修2-1北师大版充分条件与必要条件学案1(含答案)

§2 充分条件与必要条件自主整理1.“若p则q”为真命题,它是指当p成立时,q一定成立.换句话说,p成立可以推出q成立,即p⇒q,此时我们称p是q的_______________.2.我们学过如下定理:若四边形的对角线相互平分,则它是平行四边形.我们把这样的定理称作_______________,判定定理是数学中一类重要的定理.在判定定理中,条件是结论的_______________.3.“若p则q”为真命题是指:当p成立时,q一定成立,即p⇒q,q必须成立,我们称q是p的_______________.4.在数学中,我们还常常讨论一类事物有什么性质.例如,函数y=x2有什么性质等,我们把这样的定理称作_______________,性质定理也是数学中一类重要的定理.在性质定理中,“定理的结论”是“定理的条件”的_______________.5.“若p则q”为真命题,即p q,那么p是q的_______________,q是p的_______________.6.如果“p⇒q”,并且“q p”,通常记作_______________,我们称p是q的_______________,简称_______________.7.我们常用“当且仅当”来表达充要条件.p是q的充要条件也可以说成:p成立当且仅当q成立.如果p、q分别表示两个命题,且它们互为充要条件,我们通常称命题p和命题q是两个___________________.高手笔记一、充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念,主要用来区分命题的条件p和结论q 之间的下列关系.1.从逻辑推理关系上看.(1)若p⇒q,但q⇒p,则p是q的充分而不必要条件;(2)若q⇒p,但p⇒q,则p是q的必要而不充分条件;(3)若p⇒q,且q⇒p(或p⇒q且⌝p⌝q),则p是q的充要条件;(4)若p q,且q p,则p既不是q的充分条件也不是q的必要条件.对充要条件的理解和判断,要搞清楚其定义实质:若p⇒q,则p是q的充分条件,所谓“充分”,即要使q成立,有p成立足够了;若q⇒p,则p是q的必要条件,所谓“必要”,即p是q成立的必不可少的条件,缺其不可!例如:“学生”是“中学生”的必要条件,而“中学生”是“学生”的充分条件.2.从集合与集合之间关系上看.(1)若A⊆B,则A是B的充分条件;(2)若A⊇B,则A是B的必要条件;(3)若A=B,则A是B的充要条件;(4)若A B是B A,则A既不是B的充分条件,也不是B的必要条件.设A={x|x∈p},B={x|x∈q},即x具有性质p,则x∈A,若x具有性质q,则x∈B.如果A⊆B,就是说若x∈A,则x∈B,即x具有性质p,则x必具有性质q,即p⇔q;类似地,A=B与pq等价.图1-2-1例如,A={中学生},B={学生},A⊆B,即某人是中学生,必是学生,若不是学生,必不是中学生,所以“某人是中学生”是“某人是学生”的充分不必要条件.从集合的角度加深了我们对充要条件的直观性理解,也可以用图1-2-1表示.这种从集合的观点来判断充要条件的思考方法,可进一步加深对充要条件的理解.二、一般地,关于充要条件的判断主要有以下几种方法:(1)定义法:直接利用定义进行判断.(2)等价法:“p ⇔q”表示p 等价于q,等价命题可以进行转换,当我们要证明p 成立时,就可以去证明q 成立.这里要注意“原命题逆否命题”⇔“否命题逆命题”只是等价形式之一,对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法.(3)利用集合间的包含关系进行判断:如果条件p 和结论q 都是集合,那么若p q,则p 是q 的充分条件;若p ⊆q,则p 是q 的必要条件;若p=q,则p 是q 的充要条件.名师解惑1.充分而不必要条件,必要而不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件反映了条件p 和结论q 之间的因果关系,在结合具体问题进行判断时,要注意什么?剖析:(1)确定条件是什么,结论是什么;(2)尝试从条件推结论,结论推条件;(3)确定条件是结论的什么条件;(4)要证明命题的条件是充要的,就是既要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立.证明原命题即证明条件的充分性,证明逆命题即证明条件的必要性.2.对于充要条件,要熟悉它的哪些同义词语?剖析:在解题时常常遇到与充要条件同义的词语,如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“……反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言,对理解和把握数学知识是十分重要的. 讲练互动【例1】在下列各题中,判断A 是B 的什么条件,并说明理由.(1)A:|p|≥2,p ∈R,B:方程x 2+px+p+3=0有实根;(2)A:圆x 2+y 2=r 2与直线ax+by+c=0相切,B:c 2=(a 2+b 2)r 2.解析:A 是条件,B 是结论.若A ⇒B,则A 是B 的充分条件,若B ⇒A,则A 是B 的必要条件,借助方程和不等式及解析几何的知识来判断.答案:(1)当|p|≥2时,例如p=3,则方程x 2+3x+6=0无实根,而方程x 2+px+p+3=0有实根,必有p≤-2或p≥6,可推出|p|≥2,故A 是B 的必要不充分条件.(2)若圆x 2+y 2=r 2与直线ax+by+c=0相切,圆心到直线ax+by+c=0的距离等于r,即r=22||b a c +,所以c 2=(a 2+b 2)r 2;反过来,若c 2=(a 2+b 2)r 2,则22||b a c +=r 成立,说明x 2+y 2=r 2的圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于r,即圆x 2+y 2=r 2与直线ax+by+c=0相切,故A 是B 的充分必要条件.绿色通道对于涉及充要条件的判断问题,必须以准确、完整地理解充要条件的概念为基础,有些问题需要转化为等价命题后才容易判断.变式训练1.设曲线C 1和C 2的方程分别为F 1(x,y)=0和F 2(x,y)=0,则点P(a,b) (C 1∩C 2)的一个充分条件是________________.解析:P 点不在C 1与C 2中至少一条曲线上,或C 1∩C 2=∅.答案:F 1(a ,b)≠0〔或F 2(a,b)≠0或F 1(a,b)≠0且F 2(a,b)≠0或C 1∩C 2=∅等〕(答案不唯一)【例2】若p:A B ⊆S,q:(B)(A),则p 是q 的什么条件?解析:与集合有关的问题可用韦恩图分析说明.图1-2-2答案:利用集合的图示法,如图122,A B ⊆S ⇒(B)(A),(B)(A)⇒A B ⊆S. ∴p 是q 的充分条件,也是必要条件,即p 与q 互为充要条件.绿色通道本题采用的是从条件直接推结论的方法,其中突出了数形结合的数学思想方法(图示法). 变式训练2.已知p 是q 的充分条件,r 是q 的必要条件,s 是r 的必要条件,那么s 是p 的什么条件? 答案:由题意可知:p ⇒q,r ⇐q,s ⇐r,所以p ⇐s,即s 是p 的必要条件.【例3】求证:关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个负实根的充分条件和必要条件均是m≥2. 解析:本题的条件是p:m≥2,结论是q:方程x 2+mx+1=0有两个负实根,然后要明确充分性的证明是p q,必要性的证明是q ⇒p.证明:(1)充分性:因为m≥2,所以Δ=m 2-4≥0.所以x 2+mx+1=0有实根,两根设为x 1、x 2,由韦达定理,知x 1x 2=1>0,所以x 1与x 2同号.又x 1+x 2=-m≤-2<0,所以x 1、x 2同为负实数,即x 2+mx+1=0有两个负实根的充分条件是m≥2.(2)必要性:因为x 2+mx+1=0有两个负实根x 1和x 2,且x 1x 2=1,所以m-2=-(x 1+x 2)-2=-(x 1+11x )-2=121)1(x x +-≥0.故m≥2,即x 2+mx+1=0有两负实根的必要条件是m≥2.综上,m≥2是x 2+mx+1=0有两个负实根的充要条件.绿色通道本题关键是分清命题的条件p,结论q 分别表示什么,且分清“充分条件”和“必要条件”的不同.变式训练3.求关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.答案:(1)a=0时适合.(2)当a≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号的实根,则a<0;若方程有两个负的实根,则必须满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-=∆<->,044,02,01a aa 解得0<a≤1.综上所述,若方程至少有一个负的实根,则a≤1;反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根.因此,关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.【例4】设x 、y ∈R ,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.解析:要证充要条件,需要证明充分性,也要证明必要性.对x 、y 的取值进行讨论,再综合总结. 证明:充分性:若xy=0,那么,①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0,于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0,当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|;当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.总之,当xy≥0时,有|x+y|=|x|+|y|.必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x 、y ∈R ,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2,所以|xy|=xy.所以xy≥0.绿色通道充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件,哪是结论,然后搞清充分性是证明哪一个命题,必要性是证明哪一个命题.变式训练4.已知p:0<m<31q:方程mx 2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根,证明p 是q 的充要条件. 答案:证明:当m=0时,方程变为-2x+3=0,仅有一个实根x=23. 当m≠0时,且Δ=4-12m>0,即m<31且m≠0时,方程有两个不相等的实根,设两根为x 1、x 2. 若0<m<31时,方程有两个不相等的实数根,且x 1+x 2=m 2>0,x 1x 2=m 3>0,故方程有两个同号且不相等的实数根,即0<m<31⇒方程mx 2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根. 若方程mx 2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根,则有⎩⎨⎧>>-=∆,0,012421x x m 所以0<m<31, 即方程mx 2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根⇒0<m<31. 所以p 是q 的充要条件.。

高中数学选修2-1 北师大版充分条件与必要条件1 作业(含答案)

同步测控我夯基.我达标1.已知α、β是不同的两个平面,直线a ⊂α,直线b ⊂β.命题p:a 与b 无公共点;命题q:α∥β,则p 是q 的…( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:α∥β⇒α、β无公共点⇒a 、b 无公共点;a 、b 无公共点不能推出α、β无公共点,即不能推出α∥β,则p 是q 的必要而不充分条件.答案:B2.设甲为0<x<5,乙为|x-2|<3,那么甲是乙的……( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由不等式|x-2|<3,得-1<x<5.因为0<x<5⇒-1<x<5,但-1<x<50<x<5,所以甲是乙的充分不必要条件.答案:A3.函数y=x 2+bx+c(x ∈［0,+∞))是单调函数的充要条件是( )A.b≥0B.b≤0C.b>0D.b<0解析:二次函数的单调区间应以对称轴来划分.二次函数y=x 2+bx+c 的对称轴为x=2b -,要使函数在［0,+∞)上是单调函数,需使2b -≤0,即b≥0,反之也成立.答案:A4.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( )A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件解析:因为甲是乙的必要条件,所以乙⇒甲;又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙丙.如图.综上有丙⇒乙⇒甲,但乙丙,故有丙⇒甲,但甲丙, 即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.答案:A 5.“m=21是直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:由于直线方程中含有字母m,需对m 进行讨论.(m+2)x+3my+1=0与(m-2)x+(m+2)y-3=0互相垂直的充要条件是(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0, 即(m+2)(4m-2)=0,所以m=-2或m=21. 显然m=21只是上边集合的真子集.故为充分不必要条件. 答案:B6.设α、β、γ为平面,m 、n 、l 为直线,则m ⊥β的一个充分条件是( )A.α⊥β,α∩β=l,m ⊥lB.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γC.α⊥γ,β⊥γ,m ⊥αD.n ⊥α,n ⊥β,m ⊥α解析:利用充分条件的定义,再结合线面关系求解.对于A,α⊥β,α∩β=l,m ⊥l,m 是否垂直β,决定于m 的位置关系;对于B,β⊥γ与α、γ的交线m 没有必然的联系,即不一定有m ⊥β;对于C,α⊥γ,β⊥γ,则α、β的位置关系可相交,可平行;对于D,n ⊥α,n ⊥β,则有α∥β,又m ⊥α,所以是m ⊥β的一个充分条件.答案:D7.设定义域为R 的函数f(x)=⎩⎨⎧=≠-,1,0,1||,1||x x x g ,则0,x=1,则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是( )A.b<0且c>0B.b>0且c<0C.b<0且c=0D.b≥0且c=0解析:本题可通过数形结合的方法解决.先利用函数图像的变换作出f(x)的图像,如下图:注意f(x)=0有三个根,x 1=0,x 2=1,x 3=2,且有f(x)≥0,令f(x)=t≥0,则方程为t 2+bt+c=0有实数解(t≥0)需满足t 1+t 2=-b≥0,即b≤0.t 1·t 2=c≥0,排除B 、D(因B 项:c<0,D 项b≥0).对于A,不妨令b=-3,c=2,则方程为t 2-3t+2=0,解之,得t 1=1,t 2=2,即f(x)=1或f(x)=2,由图知有8个根,排除A,故选C.实际上当b<0,且c=0时,f 2(x)+bf(x)=0.f(x)=0或f(x)=-b>0,由f(x)=-b>0,结合图像,此时有4个根,f(x)=0有根为0,1,2计7个. 答案:C8.已知α、β为锐角,若p:sinα<sin(α+β),q:α+β<2π,则p 是q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:可以利用特殊值法加以否定,从而得到正确结论.令α=6π,β=3π,满足p,而q 不成立,故p q;而当q 成立时,由2π>α+β>α,利用单调性明显可得p 成立.答案:B我综合我发展9.设集合A 、B 是全集U 的两个子集,则A ⊆B 是(A )∪B=U 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:直接推较为复杂,可借助Venn 图来求解.运用Venn 图.A B 时,如图所示.则(A)∪B=U 成立.当A=B 时,如图所示.(A)∪B=(B)∪B=U 成立,即(A)∪B=U 成立时,可有A ⊆B.答案:A10.已知p 、q 都是r 的必要条件,s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件,那么:(1)s 是q 的什么条件?(2)r 是q 的什么条件?(3)p 是q 的什么条件?解析:可将已知r 、p 、q 、s 的关系用图表示,然后利用图示解答问题.答案:由图可知:(1)因为q ⇒s,s ⇒r ⇒q,所以s 是q 的充要条件.(2)因为r ⇒q,q ⇒s ⇒r,所以r 是q 的充要条件.(3)因为q ⇒s ⇒r ⇒p,而p q,所以p 是q 的必要不充分条件.11.指出下列各组命题中,p 是q 的什么条件(充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件).(1)p:数a 能被6整除,q:数a 能被3整除;。

北师大版高中数学选修2-1同步练测：§2充要条件(含答案详解)

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）§2 充分条件与必要条件（北京师大版选修2-1）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.“|x|=|y|”是“x=y”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为［0，1］上的增函数”是“f(x)为［3，4］上的减函数”的A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充要条件3.（2012·山东烟台二模）设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，，是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A.m∥且n∥B.m∥β且n∥C.m∥β且n∥βD.m∥β且∥α4.（2011·天津高考）设集合A={x∈R|x-2＞0},B={x ∈R|x＜0}，C={x∈R|x(x-2)＞0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.下列各小题中，p是q的充要条件的是( ) （1）p:m＜－2或m＞6，q:y=+mx+m+3有两个不同的零点；（2）p:－=1，q:y=f(x)是偶函数；（3）p:cosα=cosβ，q:tanα=tanβ；（4）p:A∩B=A，q:A.A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)6.已知：，那么的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.7.已知集合,.若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.8.“函数在区间（）上是减函数”是“函数（且）在区间（）上是减函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）9.对于函数，，的图像关于轴对称”是“是奇函数”的_条件.10.下列四个式子：①；②；③；④.其中能使成立的充分条件有.（只填序号）11.设p，r都是q的充分条件,s是q的充分必要条件,t 是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t 的条件,r是t的条件.三、解答题（本题共5小题，共45分）12.（本小题满分8分）已知是实数，求证：成立的充分条件是.该条件是不是必要条件？试证明你的结论．13.（本小题满分8分）证明：是函数在区间（- ，4上为减函数的充分不必要条件. 14.（本小题满分9分）求证：关于的方程有一根为1的充要条件是.15.（本小题满分9分）已知全集，非空集合，. （1）当时，求（）；（2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围．16.（本小题满分11分）已知p:|1－－|≤2,q:－2x+1－≤0(m＞0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.§2 充分条件与必要条件（北京师大版选修2-1）答题纸得分：______ 一、选择题二、填空题9.__________10.＿＿＿＿＿＿11._____________三、解答题12.解：13.解：14.解：15.解：16.解：§2 充分条件与必要条件（北京师大版选修2-1）答案一、选择题1.B解析：若x=y，显然有|x|=|y|成立；反之，若|x|=|y|，则x=y或x=－y.2.D解析：利用充要条件的定义直接判断.①∵f（x）在R上是偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称.∵f（x）为［0，1］上的增函数，∴f（x）为［－1，0］上的减函数.又∵f（x）的周期为2，∴f（x）为区间［－1+4，0+4］＝［3，4］上的减函数.②∵f（x）为［3，4］上的减函数，且f(x)的周期为2，∴f（x）为［－1，0］上的减函数.又∵f（x）在R上是偶函数，∴f（x）为［0，1］上的增函数.由①②知“f（x）为［0,1］上的增函数”是“f（x）为［3,4］上的减函数”的充要条件.3.A解析：当m∥且n∥时，由面面平行的判定定理，知α∥β.但当α∥β时，未必有m∥且n∥.4.C解析：A={x|x－2＞0}={x|x＞2}=(2,+∞)，B={x|x＜0}=(－∞,0),∴A∪B=(－∞,0)∪(2,+∞).∵C={x|x(x－2)＞0}={x|x＜0或x＞2}=(－∞,0)∪(2,+∞),∴A∪B=C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.5.D解析：（2）由－=1可得f(－x)=f(x)，但y=f(x)的定义域不一定关于原点对称；（3）cosα=cosβ是tanα=tanβ的既不充分也不必要条件.6.B解析：由得.设的一个必要不充分条件为，则,但,故选B.7.C解析：,因为成立的一个充分不必要条件是，所以Ü，所以，即.8.B解析：函数在区间（）上是减函数的充要条件是，函数（且）在区间（）上是减函数的充要条件是，从而易知选B.二、填空题9.必要不充分解析：若是奇函数，则的图像关于轴对称.但当是偶函数时，的图像也关于轴对称.所以“的图像关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件.10.①②④解析：当时，；当时，；当时，；当时，.所以使成立的充分条件有①②④.11.充分充要解析：由题意可画出图形，如图所示.由图形可以看出p是t的充分条件,r是t的充要条件.三、解答题12.解：是必要条件.证明如下：因为，所以.即成立的充分条件是.另一方面，若，即为，,.又,所以，即.因此是成立的充要条件．从而结论成立.13.解：当时，函数为一次函数，是减函数，因此不是必要条件.当时，二次函数的图像开口向下，而已知函数在区间（-∞，4上为减函数，这是不可能的.当时，二次函数的图像开口向上，数形结合可知，只需满足对称轴解得所以综上所述，是函数在区间（-∞，4上为减函数的充分不必要条件.14.证明：充分性：因为，所以.所以成立，故是方程的一个根．必要性：关于的方程有一个根为1，所以，所以成立．15.解：（1）当时，，.所以或，所以．（2）若是的必要条件，即，可知.由，得.当，即时，，所以，，解得；当，即时，，符合题意；当，即时，，所以，，解得.综上，．16.解：由p:|1－－|≤2－2≤x≤10,由q可得－≤(m＞0),所以1－m≤x≤1+m.所以p:x＞10或x＜－2，q:x＞1+m或x＜1－m.因为p是q的必要不充分条件,所以p，q,故只需满足－＜－或＞所以m≥9.。

高中数学选修2-1 北师大版充分条件与必要条件作业(含答案)

1．要判断充分条件、必要条件，就是要利用已有知识，借助代数推理的方法，看由p 能否推出q ，且由q 能否推出p .2．一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个．3．有关充要条件的证明问题，既要证明充分性，又要证明必要性，并且要分清条件和结论，注意哪步是充分性，哪步是必要性．4．在涉及到求参数范围又与充分、必要条件有关问题时，常常借助集合的观点来考虑． ————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————[A 级基础夯实]1．已知a ，b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a >b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：①当a 2>b 2时，有a 2－b 2>0⇔(a ＋b )(a －b )>0，由此推不出a >b . ②当a >b 时，如若a ＝－2，b ＝－3，有a 2<b 2，故推不出a 2>b 2.所以“a 2>b 2”是“a >b ”的既不充分也不必要条件．答案：D2．“x ＝π4”是“函数y ＝sin 2x 取得最大值”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＝π4时，函数y ＝sin 2x ＝sin π2＝1取得最大值；反过来，当函数y ＝sin 2x 取得最大值时，不能推出x ＝π4，如x ＝5π4时，函数y ＝sin 2x 也可取得最大值．综上所述，“x ＝π4”是“函数y ＝sin 2x 取得最大值”的充分不必要条件，选A. 答案：A3．在下列四个结论中，正确的有( )①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为0”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析：对于结论①，由x 3<－8⇒x <－2⇒x 2>4；但是x 2>4⇒x <－2或x >2⇒x 3<－8或x 3>8，不一定有x 3<－8.故x 3<－8⇒x 2>4，但x 2>4⇒/ x 3<－8.所以①正确．根据选择题的特点，对以上的四个结论有选择地进行判断，现已判定①正确，则不必对③进行判定了．因为由①正确可知应淘汰B ，D ，进而只要对A ，C 作进一步的选择，而选A 还是选C ，只需对②或④中的一个作出判定即可，可以从②④中选择容易判定的一个．结论②，“△ABC 为直角三角形”没有明确哪个顶点为直角顶点，因此就不一定有“AB 2＋AC 2＝BC 2”成立．故“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充分不必要条件．答案：C4．已知p ：x 2＋x －2＞0，q ：x ＞a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是________．解析：将p ，q 分别视为集合A ＝{x |x 2＋x －2＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－2}，B ＝{x |x ＞a }，已知q 是p 的充分不必要条件，即B A ，在数轴上表示出两个集合(图略)，可知满足题意的a 的取值范围为a ≥1.答案：[1，＋∞)5．条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x >2，则p 是q 的________条件．解析：由|x ＋1|>2，得x >1或x <－3.∵{x |x >2} {x |x >1或x <－3}，∴p ⇒/ q ，但q ⇒p .∴p 是q 的必要不充分条件．答案：必要不充分6．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件．(1)已知a 、b 是不等于0的实数，p ：a b>1，q ：a >b ； (2)p ：m <－2，q ：方程x 2－x －m ＝0无实根；(3)已知p ：－2<m <0,0<n <1，q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根．解析：(1)由条件“a b >1”可得a －b b>0，若b >0，则a >b ；若b <0，则有a <b ，∴“a b>1”⇒/ “a >b ”，条件不充分．反过来，a >b ⇔a －b >0，也不能推出a －b b >0⇔a b>1，条件也不必要．∴p 是q 的既不充分也不必要条件，q 也是p 的既不充分也不必要条件．(2)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；方程x 2－x －m ＝0无实根⇒/ m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．(3)若x 2＋mx ＋n ＝0有两根x 1，x 2，则由根与系数的关系，有x 1＋x 2＝－m ，x 1·x 2＝n ，又0<x 1，x 2<1，∴0<x 1＋x 2<2,0<x 1x 2<1.∴－2<m <0,0<n <1，∴q ⇒p .当m ＝－1，n ＝12时，方程x 2＋mx ＋n ＝0，即x 2－x ＋12＝0，此方程无实根，故p ⇒/ q . ∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件．[B 级能力提升]7．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1解析：函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称，得－m 2＝1，∴m ＝－2.反之可验证m ＝－2时，函数图像关于x ＝1对称．答案：A8．若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵0<ab <1，∴a ，b 同号，且ab <1.当a >0，b >0时，a <1b ；当a <0，b <0时，b >1a. ∴“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分条件．而取a ＝－1，b ＝1，显然有a <1b，但不能推出0<ab <1，故“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分而不必要条件．答案：A9．已知AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，判断a ＋b ＋c ＝0是A 、B 、C 三点构成三角形的什么条件．解析：若A 、B 、C 三点构成△ABC ，。

高中数学选修2-1 北师大版充分条件与必要条件作业(含答案)

2 充分条件与必要条件练习1．“x＞0”是“x≠0”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．条件甲：A∩B＝A；条件乙：A B，则甲是乙的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分又不必要条件D．充要条件3．设a R，则“a＝1”是“直线l 1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知条件p：|x－1|＞1－x，条件q：x＞a.若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是()．A．a＞1 B．a≥1C．a＜1 D．a≤15．若a与b－c都是非零向量，则a·b＝a·c是a⊥(b－c)的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的________．7．函数y＝x2＋bx＋c(x[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________．8．有四个命题：①“x2≠1”是“x≠1”的必要条件；②“x＞5”是“x＞4”的充分不必要条件；③“xyz＝0”是“x＝0且y＝0且z＝0”的充要条件；④“x2＜4”是“x＜2”的充分不必要条件．其中是假命题的有________．9．已知p：x2－x－6＞0，q：4x＋m＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．10．关于x的不等式或方程，证明x2＋px＋q≤0的解集只含有一个元素的充要条件是p2＝4q.参考答案1. 答案：A 解析：对于“x ＞0” ⇒ “x ≠0”，反之不一定成立，因此“x ＞0”是“x ≠0”的充分不必要条件．2. 答案：B 解析：甲不能推出乙，但乙⇒甲．故甲是乙的必要不充分条件．3. 答案：A 解析：l 1与l 2平行的充要条件为a (a ＋1)＝2×1且a ×4≠1×(－1)，可解得a ＝1或a ＝－2，故a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．4. 答案：C 解析：由题意，p ⇒q 而q 不能推出p ，因为p ⇒x ＞1，所以a ＜1.5. 答案：C 解析：a·b ＝a·c a·(b －c )＝0a ⊥(b －c )．6. 答案：充分不必要条件解析：由题意知甲⇒乙，乙丙，丙⇒丁，∴甲⇒丁但丁不能推出甲．7. 答案：b ≥0 解析：若b ≥0，函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是单调增加的；若y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是单调增加的，则b ≥0.8. 答案：①③ 解析：“x 2≠1”是“x ≠1”的充分条件，①错误；“x ＞5”是“x ＞4”的充分不必要条件，②正确；“xyz ＝0”是“x ＝0且y ＝0且z ＝0”的必要不充分条件，③错误；“x 2＜4”是“x ＜2”的充分不必要条件，④正确．9. 解：∵p 是q 的必要不充分条件，∴“若q ，则p ”是真命题．又∵x 2－x －6＞0，∴x ＞3或x ＜－2，∴p ：x ＞3或x ＜－2.q ：4x ＋m ＜0，x ＜4m -，∴4m -≤－2， ∴m ≥8，即m 的取值范围为[8，＋∞)．10. 证明：先证明必要性：解x 2＋px ＋q ≤0，若Δ＝p 2－4q ＞0，则不等式的解集为x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭，与题意不符；若Δ＜0，x 2＋px ＋q ＞0恒成立，则不等式的解集为，也与题意不符；所以只能Δ＝p 2－4q ＝0，即p 2＝4q 使得原不等式的解集中只含有一个元素2p x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭. 再证明充分性：由p 2＝4q ，则原不等式可以整理成x 2＋px ＋q ＝x 2＋px ＋24p ＝22p x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤0. 因此解集为2p x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，只有一个元素．综上所述，x 2＋px ＋q ≤0的解集只含有一个元素的充要条件是p 2＝4q .。

2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第1章 2.4 充要条件 Word版含答案

2.4 充要条件1.理解充要条件的意义.(难点)2.掌握充分、必要、充要条件的应用.(重点、难点)3.区分充分不必要条件、必要不充分条件.(易混点)教材整理充要条件阅读教材P8～P9的内容，完成下列问题.1.充要条件如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.2.常见的四种条件(1)充分不必要条件，即p⇒q而q⇒/_p.(2)必要不充分条件，即p⇒/_q而q⇒p.(3)充要条件，即p⇒q，q⇒p.(4)既不充分也不必要条件，即p⇒/_q，q⇒/_p.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可以说成q成立当且仅当p成立.( )(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.( )(3)若p q和q p有一个成立，则p一定不是q的充要条件.( ) 【答案】(1)√(2)√(3)√2.在△ABC中，“A＞B”是“a＞b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】在△ABC中A＞B⇔a＞b，∴A＞B是a＞b的充要条件.【答案】 C3.用符号“⇒”“⇐”“⇔”填空.(1)x＝0________x＜1；(2)整数a能被2整除________整数a是偶数；(3)M ＞N ________log 2M ＞log 2N . 【解析】利用这三种符号的意义求解. 【答案】 (1)⇒ (2)⇔ (3)⇐4.已知非零实数a ，b ，c ，则“b 2＝ac ”是“a ，b ，c 成等比数列”的____________条件. 【解析】 b 2＝ac ⇒a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 成等比数列⇒b 2＝ac ，∴互为充要条件. 【答案】充要预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________(1)“b 2－4ac ＜0R ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【自主解答】当a ＝c ＝－1，b ＝0时，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为∅.反过来，由一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝b2－4ac ＜0，因此，b 2－4ac ＜0是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的必要不充分条件. 【答案】 B(2)条件甲：“a ＞1”是条件乙：“a ＞a ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【自主解答】方法一：甲⇒乙：a ＞1⇒a ＞1⇒a ＞a ，乙⇒甲：a ＞a ⇒a(a －1)＞0⇒a ＞1或a ＜0⇒a ＞1因此是充要条件.方法二：∵a ＞a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a2＞a ⇔a ＞1，∴选C.【答案】 C(3)已知p ：－1＜2x －3＜1，q ：x (x －3)＜0，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【自主解答】由－1＜2x －3＜1，得1＜x ＜2，即x ∈(1,2). 由x (x －3)＜0，得0＜x ＜3，即x ∈(0,3).∵当1＜x ＜2时，能推出0＜x ＜3；但是0＜x ＜3不能推出1＜x ＜2.∴p 是q 的充分不必要条件. 【答案】 A(4)p ：x ＝1或x ＝2，q ：x －1＝x －1，则p 是q 的________条件.【自主解答】 ∵当x ＝1或x ＝2成立时可得x －1＝x －1成立.反过来，当x －1＝x －1成立时可推出x ＝1或x ＝2.∴p 是q 的充要条件.【答案】充要对充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断要搞清楚它们的定义实质；①若p ⇒q ，但qp ，则p 是q 的充分不必要条件；②若q ⇒p ，但pq ，则p 是q 的必要不充分条件；③若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；④若p q ，且qp ，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.求证：“f (x )＝.【导学号：32550005】【精彩点拨】分清条件和结论，证明充分性即证“条件⇒结论”，证明必要性即证“结论⇒条件”. 【自主解答】必要性：由f (x )＝sin(x ＋φ)是奇函数，得f (－x )＝－f (x )，即sin(－x ＋φ)＝－sin(x ＋φ)，∴sin(－x )cos φ＋cos(－x )sin φ＝－sin x cos φ－cos x sin φ，整理得2cos x sin φ＝0，由于上式对任意x ∈R 都成立，所以sin φ＝0，即f (0)＝sin φ＝0.充分性：由f (0)＝0，得sin φ＝0.∴f (－x )＝sin(－x ＋φ)＝sin(－x )cos φ＋cos(－x )·sin φ＝－sin x cos φ，f (x )＝sin(x ＋φ)＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin x cos φ，∴f(－x)＝－f(x).∴f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数.综上，“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”的充要条件是“f(0)＝0”.1.首先分清条件和结论.本例中条件是“f(0)＝0”，结论是“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”.“p是q 的……条件”，p是条件，q是结论；“p成立的……是q”，q是条件，p是结论.2.充要条件的证明分两步证明：证明充分性时把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性.1.求证：“f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数”的充要条件是“|f(0)|＝1”.【证明】必要性：由f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数得f(－x)＝f(x)，即sin(－x＋φ)＝sin(x＋φ)，∴sin(－x)cos φ＋cos(－x)sin φ＝sin x cos φ＋cos x sin φ整理得2sin x cos φ＝0.由于上式对任意x∈R都成立，所以cos φ＝0，即|f(0)|＝|sin φ|＝1.充分性：由|f(0)|＝1，得|sin φ|＝1，∴cos φ＝0.∵f(－x)＝sin(－x＋φ)＝sin(－x)cos φ＋cos (－x)·sin φ＝cos x sin φ，f(x)＝sin(x＋φ)＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝cos x sin φ，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数，综上，“f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数”的充要条件是“|f(0)|＝1”.探究1【提示】若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件.探究2 从集合的角度判断充要条件、必要条件和充分条件适用于哪些题目？【提示】当所要研究的p，q含有变量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合间的包含关系利用Venn图或数轴解题.探究3 在使用充分条件和必要条件时，要注意什么？【提示】在求解与充分条件、必要条件有关的问题时，要分清条件p和结论q.只有分清条件和结论才能正确判断p与q的关系，才能利用p与q的关系解题.在由条件p与结论q之间的关系求字母的取值范围时，将p与q之间的关系转化为集合之间的关系，是求解这一类问题的常用方法.探究4 如何求一个问题的充要条件？【提示】求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合.这就要求我们转化的时候思维要缜密.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n＋q (p ≠0，p ≠1)，求数列{a n }是等比数列的充要条件.【精彩点拨】由关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧＝，Sn －Sn －寻找a n 与a n ＋1的比值，但同时要注意充分性的证明.【自主解答】 a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1). ∵p ≠0，p ≠1，∴－pn －－＝p ，若{a n }为等比数列，则a2a1＝an ＋1an ＝p ， ∴－p ＋q＝p .∵p ≠0，∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1. 以上是{a n }为等比列的必要条件.下面证明q ＝－1是{a n }为等比数列的充分条件.当q ＝－1时，∴S n ＝p n －1(p ≠0，p ≠1)，a 1＝S 1＝p －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －p n －1＝p n －1(p －1). ∴a n ＝(p －1)pn －1(p ≠0，p ≠1)，anan －1＝－－1－－2＝p 为常数，∴q ＝－1时，数列{a n }为等比数列. 即数列{a n }是等比数列的充要条件为q ＝－1.本题以等比数列的判定为主线，根据数列前n 项和通项之间的递推关系，严格利用等比数列定义判定.证明充要条件的命题，体现了思维的严谨性.2.求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.【解】 (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，即x ＝－12，符合要求.(2)当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a ≥0，∴a ≤1. ①方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x1x2＜0即⎩⎪⎨⎪⎧a≤1，1a ＜0，∴a ＜0.②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x1＋x2＜0，x1x2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a≤1，－2a ＜0，1a ＞0，∴0＜a ≤1.综上所述，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件为a ≤1.1.若p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0.则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】设p ：{x ||x ＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0或x ≤－1}＝B ，∵AB ，∴p 是q 的充分不必要条件. 【答案】 A2.“sin A ＞cos B ”是△ABC 为锐角三角形的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当A ＝120°，B ＝45°时，△ABC 为钝角三角形；当△ABC 是锐角三角形时，A ＋B ＞90°，A ＞90°－B ，又0°＜A,90°－B ＜90°，则sin A ＞sin (90°－B )＝cos B .【答案】 B3.已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A.x ＝－12 B.x ＝－1 C.x ＝5D.x ＝0【解析】 a ⊥b ⇔2(x －1)＋2＝0⇔x ＝0. 【答案】 D4.已知p ：x 2－x －2＜0，q ：x ∈(－1，m )且p 是q 的充分不必要事件，则实数m 的取值范围是( ) A.m ＞2 B.m ≥2 C.－1＜m ＜2D.－1＜m ≤2【解析】由x 2－x －2＜0，得x ∈(－1,2). ∵p 是q 的充分不必要条件，∴(－1,2)(－1，m )，∴m ＞2.故选A. 【答案】 A5.若p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________.【导学号：32550006】【解析】 p ：x (x －3)＜0则0＜x ＜3， q ：2x －3＜m 则x ＜m ＋32，由题意知p ⇒q ，q p 则m ＋32≥3解得m ≥3.【答案】 [3，＋∞)我还有这些不足：(1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________ (2)________________________________________________。

1.2充要条件习题及答案

1.2充要条件一、课程学习目标1．理解充分条件与必要条件的意义；2．能判断一些简单的充分条件与必要条件．3. 理解充要条件的概念；4. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性.二、课本知识梳理p⇒，则称p是q的．P为条件，１．若p成立，则q成立，即qq为结论．p⇐，则称p是q的．P为条件，q ２．若q成立，则p成立，即q为结论．三、课前双基自测1．|x|=1是x=1的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件2．设p：x＞0，q：|x－2|＜1，则p是q的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也非必要条件3．“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．必要但不充分条件B．既不必要也不充分条件C．充分但不必要条件D．充要条件4．命题p是命题q的充分但不必要条件，命题s是命题q的必要但不充分条件，命题t 是命题s的充要条件，则t p（用“⇒，⇐，⇔”填空）5.设p：240(0)ax bx c a++=≠有实根，->≠，q：关于x的方程20(0)b ac a则p是q的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件四、课时方法积累1. 若p ⇒q 但q ≠> p 则p 是q 的充分非必要条件， q 是p 的必要非充分条件．若p ⇒q 且q ⇒p （即p ⇔q ），则p 是q 的充分必要条件，q 是p 的充分必要条件（简称充要条件）．2. （1）若B A ⊂，则A 是B 的充分不必要条件，B 是A 的必要不充分条件．（2）若B A =，则A 是B 的充要条件，B 是A 的充要条件．（3）若B A ⊆，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件．3. 判断是否充要条件的方法（1）p q ⇒且q p ⇒；（2）原命题、逆命题均为真命题；(3) 用逆否命题转化.4. 证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性.五、课堂达标训练1.下列“若p ，则q ”形式的命题中,判断命题中的p 是q 的什么条件? ⑴若1x =,则2430x x -+=;⑵若()f x x =,则()f x 为增函数;⑶若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等；⑷若a b >,则ac bc >.2.在下列电路图中,开关A 闭合是灯泡B 亮的什么条件:⑴如图①所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的__________条件;⑵如图②所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的__________条件;⑶如图③所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的__________条件;⑷如图④所示,开关A 闭合是灯泡B 亮的__________条件.3.求证：ABC ∆是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc ++=++，这里,,a b c 是ABC ∆的三边.六、课下练习巩固1. 指出下列各组命题中p 是q 的什么条件? q 是p 的什么条件?(1)p: x=y ；q: x 2=y 2 (2)p: 四边形的四边相等 ; q: 四边形是正方形. (3) P: x=1或x=2 ; q: x 2-3x+2=02. 用充分条件、必要条件、充要条件填空.(1).3x >是5x >的(2).3x =是2230x x --=的(3).两个三角形全等是两个三角形相似的3.22530x x --<的一个必要不充分条件是（）. A.132x -<< B.102x -<<C.132x -<< D.16x -<< 4. 判断集合A 与B 的关系，并判断A 是B 的什么条件？B 是A 的什么条件？（在“充分非必要条件”、“必要非充分条件”“充要条件”、“既非充分又非必要条件”中选出一种）（1）{}1>=x x A ；{}1->=x x B（2）A = [2，5]；B = [2，5]（3）A = [2，5]；B = [3，6]七、课后感悟反思1.2充要条件二、课本知识梳理1. 充分条件2. 必要条件三、课前双基自测1 B2 B3 C4 ⇐5 A五、课堂达标训练1 ⑴ 充分不必要条件 ⑵ 充分不必要条件⑶ 必要不充分条件 ⑷ 既不充分也不必要条件2 ⑴ 充分不必要条件 ⑵ 必要不充分条件⑶ 充要条件 ⑷ 既不充分也不必要条件3 证明其逆否命题为真，过程略.六、课下巩固练习1. ⑴ 充分不必要条件必要不充分条件⑵ 必要不充分条件充分不必要条件 ⑶ 充要条件充要条件 2. ⑴ 必要不充分条件 ⑵ 充分不必要条件 3. D4.⑴充分不必要条件⑵充要条件⑶既不充分也不必要条件。

北师大版高中数学选修电子题库第一章充分条件与必要条件

高中数学电子题库第一章§2 充分条件与必要条件北师大版选修1-11.(2012·焦作质检)“x ＝π4”是“函数y ＝sin2x 取得最大值”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当x ＝π4时，函数y ＝sin2x ＝sin π2＝1取得最大值；反过来，当函数y ＝sin2x 取得最大值时，不能推出x ＝π4，如x ＝5π4时，函数y ＝sin2x 也可取得最大值．综上所述，“x ＝π4”是“函数y ＝sin2x 取得最大值”的充分不必要条件，选A. 2.不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集为R 的充要条件是( )A ．a ＞0，b 2－4ac ＞0B ．a ＞0，b 2－4ac ＜0C ．a ＜0，b 2－4ac ＞0D ．a ＜0，b 2－4ac ＜0解析：选B.由题意得二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像在x 轴的上方，所以a ＞0，b 2－4ac＜0.3.(2012·榆林调研)用符号“⇒”“⇐”“⇔”填空：(1)x ＝1________x ＜2；(2)整数a 能被2整除________整数a 的个位数字是偶数；(3)三角形为等腰三角形________三角形为等边三角形．答案：(1)⇒ (2)⇔ (3)⇐4.在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种填空：(1)“a ＝0”是“函数f (x )＝x 2＋ax (x ∈R )为偶函数”的________；(2)“sin α＞sin β”是“α＞β”的________；(3)“M ＞N ”是“log 2M ＞log 2N ”的________；(4)“x ∈M ∩N ”是“x ∈M ∪N ”的________．答案：(1)充要条件 (2)既不充分又不必要条件 (3)必要不充分条件 (4)充分不必要条件[A 级基础达标]1.函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1解析：选A.函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像的对称轴为x ＝－m 2，所以－m 2＝1，即m ＝－2. 2.(2011·高考福建卷)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.由(a －1)(a －2)＝0，得a ＝1或a ＝2，所以a ＝2⇒(a －1)(a －2)＝0.而由(a －1)(a －2)＝0不一定推出a ＝2，故a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分而不必要条件．3.(2012·蚌埠质检)设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则m ⊥β的一个充分条件是( )A ．α⊥β，α∩β＝lB ．α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γC ．α⊥β，β⊥γ，m ⊥αD ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α解析：选D.A 、B 、C 都推不出m ⊥β，而D 中有α∥β，m ⊥α，∴m ⊥β.4.在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“a ＝b ”的________条件．解析：在△ABC 中，由正弦定理及sin A ＝sin B 可得2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b ；反之也成立．答案：充要5.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①____________；充要条件②____________．(写出你认为正确的两个充要条件)答案：两组相对侧面分别平行一组相对侧面平行且全等；底面是平行四边形等6.(2012·淮北检测)已知m ∈Z ，关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋4m ＝0，①x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0.②求使方程①②的根都是整数的充要条件．解：方程①有实数根⇔Δ＝16－16m ≥0，得m ≤1；方程②有实数根⇔Δ＝16m ＋20≥0，得m ≥－54；所以－54≤m ≤1.又因为m ∈Z ，所以m ＝－1，0，1. 经检验只有m ＝1时，①②的根都是整数．所以方程①②的根都是整数的充要条件是m ＝1.[B 级能力提升]7.(2012·商洛调研)设a ，b 都是非零向量，则“a·b ＝±|a||b|”，是“a ，b 共线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设〈a ，b 〉＝θ，a ·b ＝|a||b|cos θ，当|a||b|cos θ＝|a||b|，∴cos θ＝±1，θ＝0或π，则a 与b 共线，若a 、b 共线，则〈a ，b 〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|.8.“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.α＝π6＋2k π(k ∈Z )⇒2α＝π3＋4k π(k ∈Z )⇒cos2α＝cos π3＝12，但cos2α＝12⇒2α＝2k π±π3(k ∈Z )⇒α＝±π6＋k π(k ∈Z ) α＝π6＋2k π(k ∈Z )．故选A. 9.(2012·宝鸡质检)若p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．解析：p ：x (x －3)＜0，则0＜x ＜3；q ：2x －3＜m ，则x ＜m ＋32.在数轴上表示出这两个解集如图所示，由题意知p ⇒q ，q p ，则m ＋32≥3，解得m ≥3. 答案：m ≥310.求证：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数的充要条件是：b ＝0.证明：充分性：若b ＝0，则f (x )＝ax 2＋c ，∴f (－x )＝ax 2＋c ，∴f (－x )＝f (x )，故f (x )是偶函数．必要性：若f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数，则对任意x ，都有f (－x )＝f (x )．∴ax 2－bx ＋c ＝ax 2＋bx ＋c ，∴bx ＝0，∴b ＝0.∴b ＝0是f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数的充要条件．11.(创新题)在如图所示电路图中，闭合开关K 1是灯泡L 亮的什么条件？解：图①，闭合开关K 1或闭合开关K 2，都可以使灯泡L 亮；反之，若要灯泡L 亮，不一定非要闭合开关K 1.因此，闭合开关K 1是灯泡L 亮的充分不必要条件．图②，闭合开关K 1而不闭合开关K 2，灯泡L 不亮；反之，若要灯泡L 亮，开关K 1必须闭合，说明闭合开关K 1是灯泡L 亮的必要不充分条件．图③，闭合开关K 1可使灯泡L 亮；而灯泡L 亮，开关K 1一定是闭合的．因此，闭合开关K 1是灯泡L 亮的充要条件．图④，灯泡L 亮否与开关K 1的闭合无关，故闭合开关K 1是灯泡L 亮的既不充分也不必要条件．。

北师大版高中数学选修2-1同步学案：第1章充要条件

2.4 充要条件学习目标：1.理解充要条件的意义．(难点) 2.掌握充分、必要、充要条件的应用．(重点、难点) 3.区分充分不必要条件、必要不充分条件．(易混点)1．充要条件如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分必要条件,简称充要条件,记作p⇔q．2．常见的四种条件(1)充分不必要条件,即p⇒q且q_p．(2)必要不充分条件,即p_q且q⇒p．(3)充要条件,即p⇒q且q⇒p．(4)既不充分也不必要条件,即p_q且q_p．思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示]p是q的充要条件说明p是条件,q是结论；p的充要条件是q说明q是条件,p是结论．1.判断正误(1) 若p是q的充要条件,则q成立当且仅当p成立．( )(2)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题．( )(3)若p q和q p有一个成立,则p一定不是q的充要条件．( ) [答案](1)√(2)√(3)√2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件A[解x2－2x＋1＝0得x＝1,所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．]3.在△ABC中,“A＞B”是“a＞b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[在△ABC中,A＞B⇔a＞b,∴A＞B是a＞b的充要条件．]4.若“x<a”是“x2－2x－3≥0”的充分不必要条件,则a的取值范围是________．(－∞,－1][∵x2－2x－3≥0,∴x≥3或x≤－1.∵“x<a”是“x2－2x－3≥0”的充分不必要条件,∴a≤－1.]充要条件的判断【例1】(1)设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)判断下列各题中,p是否为q的充要条件？①在△ABC中,p：∠A>∠B,q：sin A>sin B；②若a,b∈R,p：a2＋b2＝0,q：a＝b＝0；③p：|x|>3,q：x2>9.C[(1)由于函数y＝x3在R上是增函数,∴当x>1时,x3>1成立,反过来,当x3>1时,x>1也成立．故“x>1”是“x3>1”的充要条件,故选C.](2)[解] ①在△ABC中,显然有∠A>∠B⇔sin A>sin B,所以p是q的充要条件．②若a2＋b2＝0,则a＝b＝0,即p⇒q；若a＝b＝0,则a2＋b2＝0,即q⇒p,故p⇔q,所以p是q的充要条件．③由于p：|x|>3⇔q：x2>9,所以p是q的充要条件．判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件,主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．若p⇒q 成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件；若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件；若二者都成立,则p与q互为充要条件．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时,也可以从集合角度去判断,结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解,这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．1．(1)a,b 中至少有一个不为零的充要条件是( ) A ．ab ＝0 B ．ab>0 C ．a 2＋b 2＝0D ．a 2＋b 2>0(2)“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是________．(1)D (2)a<－1 [(1)a 2＋b 2>0,则a,b 不同时为零；a,b 中至少有一个不为零,则a 2＋b 2>0. (2)函数没有零点,即方程x 2－2x －a ＝0无实根,所以有Δ＝4＋4a<0,解得a<－1.反之,若a<－1,则Δ<0,方程x 2－2x －a ＝0无实根,即函数没有零点．故“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是a<－1.]充要条件的证明[探究问题]1．如何求一个问题的充要条件？[提示] 求一个问题的充要条件,就是利用等价转化的思想,使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合．这就要求我们转化的时候思维要缜密．2．充要条件的问题需要从哪两方面证明？[提示] 充要条件的证明需要从充分性和必要性两方面证明,应分两步：证明充分性时,把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时,结论当已知去推证条件的正确性．【例2】试证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.[思路探究] 本题可分充分性和必要性两种情况证明,即由ac<0推证一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根和由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根推证ac<0.[证明] (1)必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根,所以Δ＝b 2－4ac>0,x 1x 2＝c a<0(x 1,x 2为方程的两根),所以ac<0.(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b 2－4ac>0及x 1x 2＝c a <0(x 1,x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c＝0有两个相异实根,且两根异号, 即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述,一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.(变条件)试证：二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数的充要条件是b ＝0.[证明] (1)必要性：因为二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数,所以f(x)＝ f(－x),即ax 2－bx ＋c ＝ax 2＋bx ＋c,所以bx ＝0对任意的x 都成立,即b ＝0.(2)充分性：由b ＝0可推得f(x)＝ax 2＋c.所以f(－x)＝ax 2＋c ＝f(x) 即二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数．综上所述,二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数的充要条件是b ＝0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时,通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时,要注意：若证明“p 的充要条件是q”,那么“充分性”是q ⇒p,“必要性”是p ⇒q ；若证明“p 是q 的充要条件”,则与之相反．(2)证明充要条件问题,其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明,可根据命题之间的关系进行等价转换,然后加以证明．提醒：证明该类问题时,务必分清题设的条件与结论．1．已知向量a ＝(x －1,2),b ＝(2,1),则a⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0D [a⊥b ⇔2(x －1)＋2＝0⇔x ＝0.]2．已知α：“a＝±2”；β：“直线x －y ＝0与圆x 2＋(y －a)2＝2相切”,则α是β的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [a ＝±2时,直线x －y ＝0与圆x 2＋(y±2)2＝2相切；当直线x －y ＝0与圆x 2＋(y －a)2＝2相切时,得|a|2＝2,∴a ＝±2.∴α是β的充要条件．] 3．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和直线l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0,则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________．－1 [由1×3－a×(a－2)＝0得a ＝3或－1, 而a ＝3时,两条直线重合,所以a ＝－1.]4．用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”填空： (1)“m≠3”是“|m|≠3”的________；(2)“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB∥CD”的________； (3)“a>b ,c>d ”是“a－c>b －d”的________．(1)必要不充分条件 (2)充分不必要条件 (3)既不充分也不必要条件 [(1)|m|≠3⇒m ≠±3,故“m≠3”是“|m|≠3”的必要不充分条件；(2)“四边形ABCD 为平行四边形”可推出“AB∥CD”,反之,未必成立,故“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB∥CD”的充分不必要条件；(3)“a>b,c>d”“a－c>b－d”,反之,未必成立,故“a>b,c>d”是“a－c>b－d”的既不充分也不必要条件．]5．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明] 必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1,∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.∴a×12＋b×1＋c＝0,即a＋b＋c＝0.∴必要性成立．充分性：∵a＋b＋c＝0,∴c＝－a－b.代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得：ax2＋bx－a－b＝0,即(x－1)(ax＋b＋a)＝0.故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.。

高中数学北师大版选修2-1同步配套课时跟踪训练(二) 充分条件与必要条件 Word版含解析

课时跟踪训练(二) 充分条件与必要条件．“＜＜”是“＜”成立的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件．函数()＝＋＋的图像关于直线＝对称的充要条件是( )．＝－．＝．＝－．＝．已知命题：“，，成等差数列”，命题：“＋＝”，则命题是命题的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．充要条件．既不充分也不必要条件．“＞”是“函数()＝＋在区间[－]上存在零点”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件．直线：－＋＝与圆：(＋)＋＝有公共点的充要条件是．．在下列各项中选择一项填空：①充分不必要条件②必要不充分条件③充要条件④既不充分也不必要条件()记集合＝{－，}，＝{}，则“＝”是“∩＝”的；()“＝”是“函数()＝－在区间[，＋∞)上为增函数”的．．指出下列各组命题中，是的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?()：△中，＞＋，：△为钝角三角形；()：△有两个角相等，：△是正三角形；()若，∈，：＋＝，：＝＝；()：△中，≠°，：≠.．求方程＋＋＝有两个不相等的负实根的充要条件．答案．选当＜＜时，必有＜；而＜时，如＝，推不出＜＜，所以“＜＜”是“＜”的充分不必要条件．．选函数()＝＋＋的图像关于＝对称⇔－＝⇔＝－.．选若＋＝，则＋＝，由此可得，，成等差数列；当，，成等差数列时，可得＋＝，但不一定得出＋＝，如＝－，＝，＝.所以命题是命题的必要不充分条件，故选.．选当＞时，(－)()＝(－＋)(＋)＜，即函数()＝＋在区间[－]上存在零点；但当函数()＝＋在区间[－]上存在零点；不一定是＞，如当＝－时，函数()＝＋＝－＋在区间[－]上存在零点．所以“＞”是“函数()＝＋在区间[－]上存在零点”的充分不必要条件，故选.．解析：直线与圆有公共点⇔≤⇔－≤⇔－≤≤.答案：∈[－]．解析：()当＝时，＝{－}，此时∩＝；若∩＝，则必有＝.因此“＝”是“∩＝”的充要条件．()当＝时，()＝－＝－在上是增函数；但由()＝－在区间[，＋∞)上是增函数不能得到＝，如当＝时，函数()＝－＝在区间上是增函数．因此“＝”是“函数()＝－在区间上为增函数”的充分不必要条件．答案：()③()①．解：()△中，∵＞＋，∴＝＜，∴为钝角，即△为钝角三角形，反之若△为钝角三角形，可能为锐角，这时＜＋.∴⇒，⇒，故是的充分不必要条件．。

2020-2021学年北师大版高中数学选修1-1《充分条件》同步练习及答案

（新课标）最新北师大版高中数学选修1-1充分条件同步练习一、选择题：1．有三个语句：⑴2x <；⑵210x -=；⑶20,()x x R <∈，其中是真命题的为（）A ．⑴ ⑵B ．⑴ ⑶C ．⑵D ．⑶2．下列语句中是命题的为（）A ．你到过北京吗？B ．对顶角难道不相等吗？C ．啊！我太高兴啦！D 是无理数3．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程21x =的解1x =±。

其中，复合命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．“220a b +≠”的含义为（）A ．,a b 不全为0B ． ,a b 全不为0C ．,a b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为5．若命题“⌝p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么（）A ．命题p 与命题q 的真值相同B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 不一定是真命题 6．命题p ：若A B B =I ，则A B ⊆；命题q ：若A B ⊄，则A B B ≠I 。

那么命题p 与命题q 的关系是（）A ．互逆B ．互否C ．互为逆否命题D ．不能确定7．若A ：a ∈R,|a|<1, B ：x 的二次方程x 2+(a+1)x+a －2=0的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．有下列四个命题：①“若x+y=0 , 则x ,y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1 ,则x 2 + 2x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④9．设集合A={x|x 2+x －6=0},B={x|mx+1=0} ,则B 是A 的真子集的一个充分不必要的条件是（）A ．11,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭B ．m=21-C ．110,,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭D ．10,3m ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭10．设集合M={x| x>2},P={x|x<3},那么“x ∈M,或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：11．命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是；12．已知各个命题A 、B 、C 、D ，若A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充分必要条件，试问D 是A 的条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）；13．“△ABC 中,若∠C=90°,则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为；14．用“充分、必要、充要”填空：①p ∨q 为真命题是p ∧q 为真命题的______条件；②⌝p 为假命题是p ∨q 为真命题的______条件；③A ：|x － 2 |<3, B ：x 2－ 4x － 15<0, 则A 是B 的_____条件.三、解答题：15．写出下列命题的“⌝P ”命题：（1）正方形的四边相等。

北师大版数学高二-选修1试题 1.2.3 充要条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件
6.“xy＞0”是“｜x+y｜=｜x｜+｜y｜”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
二、填空题
(从“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出适当的一种填空)
1.复合命题“非p”为假命题是复合命题“p或q”为真命题的.
①A是B的充分而不必要条件；
②A是B的必要而不充分条件；
③A是B的充要条件.
3.求关于x的一元二次不等式ax2-ax+1＞0对一切x∈R都成立的充要条件是什么.
4.已知p∶x∈Z，y∈Z，m=x2-y2；q∶k∈Z,m=2K+1,或m=4k.求证：p是q的充分条件.
参考答案
一、件.2.充要条件.3.必要而不充分条件.
三、1.略.
2.①a=3,2,1.提示：A B，结合数轴观察.
②｛a｜a≥9,a∈N+｝.提示：A B.
③这样的a不存在.
3.0＜a＜4.提示：分a＞0，a＜0两种情况讨论.
4.略
2.k＞4,b＜5是一次函数y=(k-4)x+b-5的图像交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的.
3. 是的.
三、解答题
1.分别举出四个例子，说明p是q的“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”，并说明理由.
2.已知全集R，A=｛x｜｜x-3｜＞6｝，B=｛x｜｜x｜＞a,a∈N+｝.当a为何值时.
1.2.3
一、选择题
1.“A∩B=A”是A=B的().
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

高中数学北师大版高二选修2-1练习：第一章2.3_充要条件_2

[A.基础达标]1．x 2＋(y －2)2＝0是x (y －2)＝0的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为x 2＋(y －2)2＝0⇒x ＝0且y ＝2，所以x (y －2)＝0成立．但由x (y －2)＝0⇒x ＝0或y ＝2，所以x 2＋(y －2)2＝0不一定成立．故x (y －2)＝0x 2＋(y －2)2＝0.2．平面α∩平面β＝l ，直线a α，直线b β，则p ：“a 和b 是异面直线”是q ：“a 与b 均与直线l 相交且交点不同”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由p ：“a 和b 是异面直线”，则可推出其中一条直线可能与l 平行，另一条可能与l 相交，故p 不是q 的充分条件，由a 与b 均与l 相交且交点不同，则a 与b 一定异面，故p 是q 的必要条件．3．设a ，b 都是非零向量，则“a·b ＝±|a||b|”是“a ，b 共线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设〈a ，b 〉＝θ，a·b ＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a 与b 共线，若a 、b 共线，则〈a ，b 〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|.4．“ω＝2”是“函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.根据T ＝2π|ω|＝π，得ω＝±2，故选A. 5．“a ＜2”是“a 2－2a ＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.a 2－2a ＜0⇔a ∈(0，2)，因为{a |0＜a ＜2}{a |a ＜2}，所以“a ＜2”是“a 2－2a ＜0”的必要不充分条件．6．函数f (x )＝a ＋sin x ＋3cos x 有零点的充要条件为a ∈________．解析：f (x )＝a ＋2sin(x ＋π3)，令f (x )＝0，得sin(x ＋π3)＝－a 2，因为－1≤sin(x ＋π3)≤1，所以－2≤a ≤2. 答案：[－2，2]7．已知全集S ，若p ：A B ，q ：∁S B ∁S A ，则p 是q 的________条件．解析：如图，A B ⇒∁S B ∁S A ，∁S B ∁S A ⇒A B ⊆S .故p 是q 的充分条件，也是必要条件，即p 是q 的充要条件．答案：充要8．已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小整数a ＝________．解析：由题意知a ＞0，设A ＝{x ||x －1|＞a }＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a }，B ＝{x |2x 2－3x ＋1＞0}＝{x |x ＜12或x ＞1}，由题意，A B ，所以由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜12，1＋a ≥1.所以a ≥12，故a 的最小整数为1.答案：19．求不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的充要条件．解：当a ＝0时，2x ＋1＞0不恒成立．当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＞0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ＜0⇔a ＞1. 所以不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的充要条件是a ＞1.10．已知命题p ：|x －1|＜a (a ＞0)，命题q ：x 2＋21＞10x ，且p 是q 的既不充分也不必要条件，求a 的取值范围．解：由|x －1|＜a (a ＞0)，解得1－a ＜x ＜1＋a .所以命题p 对应的集合为A ＝{x |1－a ＜x ＜1＋a ，a ＞0}．由x 2＋21＞10x ，解得x ＜3或x ＞7.所以命题q 对应的集合为B ＝{x |x ＜3或x ＞7}．显然集合B A ，即q p ，所以p 不是q 的必要条件．如果p 是q 的充分条件，则p ⇒q ，即A ⊆B ，所以1＋a ≤3或1－a ≥7.又a ＞0，所以0＜a ≤2.所以若p 是q 的既不充分也不必要条件，应有a ＞2.[B.能力提升]1．设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.设a ＝1，b ＝－2，则有a >b ，但a 2<b 2，故a >b ⇒/ a 2>b 2；设a ＝－2，b ＝1，显然a 2>b 2，但a <b ，即a 2>b 2⇒/ a >b .故“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．2．设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为0＜x ＜π2，所以0＜sin x ＜1.由x sin x ＜1知x sin 2x ＜sin x ＜1，因此必要性成立．由x sin 2x ＜1得x sin x ＜1sin x ，而1sin x＞1，因此充分性不成立． 3．设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＞0，则M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＜0，则M ≠N ，所以a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇒/ M ＝N . 反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M ＝N a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2. 答案：既不充分也不必要4．张老师上课时在黑板上写出三个集合：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |□x －1x ＜0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C ＝{x |log 12x ＞1}，然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“□”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能够确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：此数为小于6的正整数；乙：A 是B 成立的充分不必要条件；丙：A 是C 成立的必要不充分条件．若老师评说三位同学都说得对，则“□”中的数为________．解析：设“□”中的数为a ，由甲的描述知a 为小于6的正整数，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜1a ，B ＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12，由乙的描述知1a ≤4，由丙的描述知1a ＞12，所以14≤a ＜2，再由甲的描述知a ＝1. 答案：15．已知p ：x (x －3)＜0，q ：2x －3＜m ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：p ：x (x －3)＜0，则0＜x ＜3；q ：2x －3＜m ，则x ＜m ＋32. 令集合A ＝{x |0＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜m ＋32，在数轴上表示出集合A ，B 如图所示．由于p 是q 的充分不必要条件，则A B ，即m ＋32≥3，解得m ≥3. 6．(选做题)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c ∈R ，且a ≠0)．证明方程f (x )＝0有两个不相等的实数根的充要条件是：存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0.证明：①充分性：若存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0，则b 2－4ac ＝b 2－4a [f (x 0)－ax 20－bx 0]＝b 2＋4abx 0＋4a 2x 20－4af (x 0)＝(b ＋2ax 0)2－4af (x 0)＞0，所以方程f (x )＝0有两个不等实数根．②必要性：若方程f (x )＝0有两个不等实数根，则b 2－4ac ＞0，设x 0＝－b 2a， a ·f (x 0)＝a ⎣⎡⎦⎤a ⎝⎛⎭⎫－b 2a 2＋b ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＋c ＝b 24－b 22＋ac ＝4ac －b 24＜0. 所以存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0.。

北师版数学高二-选修2-1 充分条与必要条件同步练习

充分条与必要条件同步练习【选择题】1．下列命题是真命题的是 ( )(A)“a(a -b)≤0”是“b a≥1”的必要条件(B)“x ∈{1，2}”是“1-x =0”的充分条件(C)“A∩B≠φ”是“A ⊂B”的充分条件(D)“x>5”是“x>2”的必要条件【填空题】2．用”⇒”或“⇐”填空：(1)a 、b 都是偶数________a+b 是偶数， (2)x 2+x-2=0_______x=-2(3)c 2a>c 2b_______a>b ．(4)b 2=ac________a b = b c3．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的_______条件，﹁A 是﹁B 的________条件．4. (a-3)(b+1)=0的_________条件是a=3.5．(x+3)2+(y-3)2=0是(x+3)(y-3)=0的________条件．6．已知甲：a+b≠4，乙：a≠1且b≠3，则甲是乙的________条件．【解答题】7．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件?q 是p 的什么条件?并说明理由． (1)．p:⎩⎨⎧>>+40αββα， q ：⎩⎨⎧>>22βα(2)．p ：A∩B=A ； q ：A ⊂B ．(3)．p ：∠C=90º q ：△ABC 是Rt △(4)．p ：吸烟； q ：有害健康．(5)．p ：四边形是矩形： q ：它是平行四边形．参考答案1．A ；2．（1）⇒， (2) ⇐，（3）⇒，(4) ⇐；3．必要，必要； 4．充分； 5．充分； 6．既不充分也不必要；7．(1) q⇒p，p是q的必要条件，q是p的充分条件，(2)q⇒p，同(1)．(3) p⇒q ，p是q的充分条件，q是p的必要条件，(4) p⇒q，同(3)，(5) p⇒q，同(3)．。

高中数学：1.2.2充要条件课时训练 (北师大选修2-1)

1。

2。

2节充要条件1．“A B =”是“sin sin A B =”的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．“0k ≠"是“方程y kx b =+表示直线"的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是（）A ．01a <≤B ．1a <C ．1a ≤D ．01a <≤或0a <4．函数2()23f x x ax =--在区间[12]，上存在反函数的充要条件是a ∈ (用区间表示）．5．试证明圆222xy r +=与直线0ax by c ++=相切的充要条件是2222()c a b r =+．6．设函数25()lg ax f x x a-=-的定义域为A ，若命题:3p A ∈与命题:5q A ∈有且只有一个为真命题,求实数a 的取值范围．ABC 答案: (][)12-+∞，，∞ 5证明：先证必要性:若圆222x y r +=与直线0ax by c ++=相切，则圆心(00)，到直线0ax by c ++=的距离等于r，即r =，所以2222()c a b r =+．再证充分性：若2222()ca b r =+,r =成立，说明222x y r +=的圆心(00)，到直线0ax by c ++=的距离等于半径r ，即圆222xy r +=与直线0ax by c ++=相切． 6.解：25|0ax A x x a -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若3A ∈，则3509a a ->-，即593a <<; 若5A ∈，则55025a a->-，即125a <<．若p 真q 假，则593125a a a ⎧<<⎪⎨⎪⎩，≤或≥，a 无解；若p 假q 真，则593125a a a ⎧⎪⎨⎪<<⎩≤或≥，，解得513a <≤或925a <≤．综上，[)519253a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，．。

高中数学北师大版选修2-1练习第一章2.3 充要条件 1 含解析

[~@^%*][基础达标] [~*#&^]1.设x∈R，则x＞e的一个必要不充分条件是( )A．x＞1 B．x＜1C．x＞3 D．x＜3解析：选A.∵x＞1⇒/ x＞e，而x＞e⇒x＞1.2.设α，β分别为两个不同的平面，直线lα，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.根据两个平面垂直的判定定理知“l⊥β”是“α⊥β”的充分条件，但由两个平面垂直的性质知α⊥β时，平面α内只有和它们的交线垂直的直线才能垂直于平面β，故本题中由“α⊥β”不能得到“l⊥β”，因此选A.3.设a，b都是非零向量，则“a·b＝±|a||b|”，是“a，b共线”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.设〈a，b〉＝θ，a·b＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a与b共线，若a、b共线，则〈a，b〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|. [~%*^#]4.若a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选D.a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a ＋b)(a －b)2，a ＞b /⇔ a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2，故选D.5.设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设公比为q ，由a 1＜a 2＜a 3得a 1＜a 1q ＜a 1q 2， [~*#^%]∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜00＜q ＜1，∴充分性成立；当{a n }递增时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜00＜q ＜1，∴a 1＜a 2＜a 3，必要性成立． 6.在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“a ＝b ”的________条件． [%@*~#]解析：在△ABC 中，由正弦定理及sin A ＝sin B 可得2Rsin A ＝2Rsin B ，即a ＝b ；反之也成立．答案：充要7.设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的________条件．解析：由题意知：A ⇒B ⇒C ⇔D ，∴A ⇒D. [@*#~%]答案：必要不充分8.已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小整数a ＝________．解析：由题意知a ＞0，设A ＝{x||x －1|＞a}＝{x|x ＜1－a 或x ＞1＋a}，B ＝{x|2x 2－3x ＋1＞0}＝{x|x ＜12或x ＞1}，由题意，A B ， [&^*#@]∴由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤121＋a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜121＋a ≥1. ∴a ≥12，故a 的最小整数为1.答案：19.已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么：[#&@%~](1)s 是q 的什么条件？(2)r 是q 的什么条件？(3)p 是q 的什么条件？解：如图所示，可知：(1)因为q ⇒s ，s ⇒r ⇒q ，所以s 是q 的充要条件．(2)因为r ⇒q ，q ⇒s ⇒r ，所以r 是q 的充要条件．(3)因为q ⇒s ⇒r ⇒p ，而p ⇒/ q ，所以p 是q 的必要不充分条件． [%@~&*] 10.求证：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件是m ≥2.[#%&~^]证明：(1)充分性：因为m ≥2，所以Δ＝m 2－4≥0，所以方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设两根为x 1，x 2，由根与系数的关系知，x 1·x 2＝1＞0，所以x 1，x 2同号．又x 1＋x 2＝－m ≤－2＜0，所以x 1，x 2同为负数．即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分条件是m ≥2.(2)必要性：因为x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，[~*^&@]所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2或m ≤－2，m ＞0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2. [&%^~*]综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．[能力提升]1.对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若{a n }单调递增，不一定能够说明a n ＋1＞|a n |一定成立，如a n ：{－n ，－(n －1)，…，－2，－1}显然不满足a n ＋1＞|a n |一定成立，但是该数列递增；如果a n ＋1＞|a n |＞0，那么无论a n 的值取正还是取负，一定能够得到{a n }单调递增，所以a n ＋1＞|a n |是{a n }为递增数列的充分不必要条件，选B.2.设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＞0，则M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＜0，则M ≠N ，∴a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2/⇒ M ＝N. 反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M ＝N /⇒ a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2. [&%^#*] 答案：既不充分也不必要3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝aq n ＋b(a ≠0，q 是不等于0和1的常数)，求证数列{a n }为等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.证明：(1)必要性．∵数列{a n }为等比数列，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－qq n .∵S n ＝aq n ＋b ，∴a ＝－a 11－q ，b ＝a 11－q . ∴a ＋b ＝0. [%*~&^](2)充分性． [^#%~*]∵a ＋b ＝0，∴S n ＝aq n ＋b ＝aq n －a.∵a n ＝S n －S n －1＝(aq n －a)－(aq n －1－a)＝a(q －1)q n －1(n ＞1)，∴a n ＋1a n ＝a （q －1）q na （q －1）qn －1＝q(n ＞1)．又∵a 1＝aq －a ，a 2＝aq 2－aq ，∴a 2a 1＝aq 2－aq aq －a＝q. 故数列{a n }是公比为q 的等比数列．综上所述，数列{a n }为等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.4．已知命题p ：|x －1|＜a(a ＞0)，命题q ：x 2＋21＞10x ，且p 是q 的既不充分也不必要条件，求a 的取值范围．解：由|x －1|＜a(a ＞0)，解得1－a ＜x ＜1＋a.∴命题p 对应的集合为A ＝{x|1－a ＜x ＜1＋a ，a ＞0}．由x 2＋21＞10x ，解得x ＜3或x ＞7. [%#*&^]∴命题q 对应的集合为B ＝{x|x ＜3或x ＞7}．显然集合B A ，即q /⇒ p ，所以p 不是q 的必要条件．如果p 是q 的充分条件，则p ⇒q ，即A ⊆B ，所以1＋a ≤3或1－a ≥7.又a＞0，所以0＜a≤2. [%#&^*]∴若p是q的既不充分也不必要条件，应有a＞2.第八单元期末复习第4单元千克、克和分数的初步认识复习教学内容：教材第100-102页的内容。

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