云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八) 数学文
云南师大附中高考适应性月考卷(八)文科数学-答案.docx
鑫达捷云南师大附中2015届高考适应性月考卷（八）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DABBCDBCDCDB【解析】1．因为{|01}M x x =≤≤，{|0}N y y =>，所以(01]M N =I ，，故选D ．2．由112101(1i )1i 1i i i i 1i 1i⨯-+++++===--L ，故选A ．另该题也可直接用i 的周期性解答．3．因为6787312a a a a ++==，所以74a =，1131313()522a a S +==，故选B ． 4．画出可行域，易知当00x y ==，时，z 有最小值，代入23x y z +=得1z =，故选B ． 5．当0m =时，直线0x my +=为0x =，此时两直线不垂直，所以0m ≠，所以0x my +=的斜率为1m -，若两直线垂直，则有11m-=-，即1m =，所以“1m =”是“直线0x y -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件，故选C ．6．因为四个命题均有线在面内的可能，所以均不正确，故选D ．7．依题意，有121222212||||2||||18||||4PF PF a PF PF PF PF c +=⎧⎪=⎨⎪+=⎩g ，，，可得224364c a +=，即229a c -=，故有3b =，故选B ．8．11211211212++++++++=，故选C ．9．由题得：40A k A k +=⎧⎨-+=⎩，，解得：22A k =⎧⎨=⎩，，又函数sin()y A x k =++ωϕ的最小正周期为π2，∴2π4π2==ω，∴2sin(4)2y x =++ϕ，又直线π3x =是其图象的一条对称轴， ∴ππ4π32k ⨯+=+ϕ，∴5ππ6k k =-∈，ϕZ ，故可得：π2sin 426y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭符合条件，故选D ．10．易知该几何体是一三棱锥，其体积11321 332V Sh==⨯⨯=，故选C．11．易知()f x是以4为周期的函数，结合题意画出函数()f x在(26)-，上的图象与log(2)ay x=+的图象如图1，结合图象分析可知，要使两个函数图象恰有一个交点，则有0114a a<<<<或，故选D．12．由题意：62r r R+=，解得：(62)r R=-，故选B．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13 14 15 16答案20 22(4)(3)25x y-+-= 312【解析】13．200∶400∶1400=1∶2∶7，所以应抽取中型超市20家．14．易知：圆心(43)，，5r=，所以圆的标准方程为22(4)(3)25x y-+-=．15．由2(9)293f a a===得，所以．16．以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，则10(11)(01)(00)2E C D A⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，，，设(cos sin)(11)P AC=u u u r，，，θθ，向量AC DE AP=+u u u r u u u r u u u rλμ，则有2sin2cos2cos sin-=+θθλθθ，32cos sin=+μθθ，所以+=λμ32sin2cos3sin312cos sin2cos sin+-+=-+++θθθθθθθ，由题意得，π0cos12=≤≤，所以当，θθ1sin02=+时，取最小值θλμ．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）图1鑫达捷鑫达捷图 217.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由21(2)8n n a S --=，所以21(2)8n n a S +-=，所以22114()n n n n a a a a ++-=+，又0n a >，所以14n n a a +-=，即数列{}n a 是等差数列．………………………………………………………………………………（4分）又214a a -=，所以42n a n =-． ……………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）141111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 所以21n nT n =+． …………………………………………………………………（12分）18.（本小题满分12分）解：设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实根”．当00a b ≥，≥时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．（Ⅰ）基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==．………（6分） （Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为{()|0302}a b a b ，≤≤，≤≤，构成事件A 的区域为{()|0302}a b a b a b ，≤≤，≤≤，≥，所以所求的概率为1322222()323P A ⨯-⨯⨯==⨯． ……………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图2所示，连接AC 交BD 于点O ，连接OF ， 在矩形ACEF 中，∵M 为EF 中点，∴CM OF ∥，………………………………………………（3分）∵CM BDF ⊄平面，OF BDF ⊂平面，∴CM BDF ∥平面． …………………………………………………………（6分）鑫达捷（Ⅱ）解：由题设和图形易知：323BF DE BE DF EF =====，，，CE ⊥平面ABCD ，……………………（7分）∴11052222DEF BEF S S ===g g △△， ……………………………………………（8分） ∵121222ABF CDE S S ===g g △△，111122ADF BCE S S ===g g △△，=12=2S ⨯矩形， ……………………………………………………………………………（10分） ∴512=2+2+2+25221222S ⨯⨯⨯=++表． ………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）把点212P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入2221x y a +=，可得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=，椭圆C 的离心率为22e =． …………………………………………………………（4分） （Ⅱ）当APB ∠的平分线为PF 时，由212P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，和(10)F ，知：PF x ⊥轴． 记PA PB 、的斜率分别为12k k 、， 所以，PA PB 、的斜率满足120k k +=， 设直线AB 的方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程2212x y +=并整理可得，2222(12)42(1)0k x k x k +-+-=，211221224()()12k A x y B x y x x k +=+设，，，，则，21222(1)12k x x k -=+， ………………（6分）所以121212121212121222222211112()1y y y y x x k k x x x x x x x x --+-+=+=+-⨯-----++ ………（8分）鑫达捷=222222422122222(1)4211212k k k k k k k k -+-⨯=---+++， ……………………………………（11分） 即220k -=，所以22k =． ……………………………………………………（12分） 21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1a =-时，()ln f x x x =-， 得1()1f x x'=-， ……………………………………………………………………（2分） 令()0f x '>，即110x->，解得1x >，所以函数()f x 在(1)+∞，上为增函数， 据此，函数()f x 在2[e e ]，上为增函数， ………………………………………（4分）而(e)e 1f =-，22(e )e 2f =-，所以函数()f x 在2[e e ]，上的值域为2[e 1e 2]--，． ………………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由()1a f x x '=+，令()0f x '=，得10ax+=，即x a =-， 当(0)x a ∈-，时，()0f x '<，函数()f x 在(0)a -，上单调递减； 当()x a ∈-+∞，时，()0f x '>，函数()f x 在()a -+∞，上单调递增；若1e a -≤≤，即e 1a --≤≤，易得函数()f x 在2[e e ]，上为增函数， 此时，2max ()(e )f x f =，要使()e 1f x -≤对任意2[e e ]x ∈，恒成立，只需2(e )e 1f -≤即可，所以有2e 2e 1a +-≤，即2e e 12a -+-≤，而22e e 1(e 3e 1)(e)022-+---+--=<，即2e e 1e 2-+-<-，所以此时无解． ……（9分）若2e e a <-<，即2e e a -<<-，易知函数()f x 在[e ]a -，上为减函数，在2[e ]a -，上为增函数，要使()e 1f x -≤对任意2[e e ]x ∈，恒成立，只需2(e)e 1(e )e 1f f -⎧⎨-⎩≤，≤，即21e e 12a a -⎧⎪⎨-+-⎪⎩≤，≤，鑫达捷由22e e 1e e 1(1)022-+--++--=<和222e e 1e e 1(e )022-+-+---=>，得22e e 1e 2a -+--<≤．若2e a -≥，即2e a -≤，易得函数()f x 在2[e e ]，上为减函数， 此时，max ()(e)f x f =，要使()e 1f x -≤对任意2[e e ]x ∈，恒成立，只需(e)e 1f -≤即可， 所以有e e 1a +-≤，即1a -≤，又因为2e a -≤，所以2e a -≤．综上所述，实数a 的取值范围是2e e 12⎛⎤-+--∞ ⎥⎝⎦，． …………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：∵AC DE CDE DCA ∠=∠∥，∴， 又DBA DCA CDE DBA ∠=∠∠=∠∵，∴，∵直线DE 为圆O 的切线，CDE DBC ∠=∠∴，故DBA DBC ∠=∠． …………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）解：CAB CDB ∠=∠∵且DBA DBC ∠=∠，AH ABABH DBC CD BD=∴△∽△，∴， 又EDC DAC DCA ∠=∠=∠，AD DC =∴，……………………………………（8分）468AH ABAB AD BD AD BD====∴，∵，，， 故3AH =．……………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由πcos 13⎛⎫-= ⎪⎝⎭ρθ得13cos sin 122⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭ρθθ， 从而曲线C 的直角坐标方程为13122x y +=，即32x y +=，0=θ时，2=ρ，所以(20)M ，，鑫达捷π2=θ时，233=ρ，所以23π32N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，． ……………………………………（5分）（Ⅱ）M 点的直角坐标为(20)，，N 点的直角坐标为230,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以P 点的直角坐标为31,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则P 点的极坐标为23π36⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，， 所以直线OP 的极坐标方程为π()6=∈-∞+∞，，θρ．………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（Ⅰ）1231231231111111()a a a a a a m a a a ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭……………………（2分）3312212132311193(3222)a a a a a a m a a a a a a mm ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥， ………………（4分） 当且仅当1233ma a a ===时，等号成立． …………………………………………（5分） （Ⅱ）2222222222()()()ax by ax by a b a x b y ab x y +=++=+++222222()a x b y abxy ax by ++=+≥，当且仅当x y =时，等号成立． ……………（10分）。
云南师大附中2013届高考八模(理科)数学试卷及答案
云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数11ii-+（i 是虚数单位）化简的结果是A ．i -B ．iC ．1D ．1-2．已知集合101x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (2)B x y x ==+，则A B ＝ A ．()2,1-- B ．()[)2,11,--+∞C ．[)1,+∞D ．()()2,11,---+∞3．已知两条直线,m n 和平面α，且m 在α内，n 在α外，则“n ∥α”是“m ∥n ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}n a 中，39159a a a ++=，则数列{}n a 的前17项和17S ＝A ．102B ．51C ．48D ．36 5．阅读如图1所示的程序框图，则输出的S 的值是A ．910 B ．89 C ．78D ．67正视图 侧视图俯视图1 1 1 6．开学不久，学校从某班的学生中随机抽取25名学生进行学情调查，经过一段时间再次从该班的学生中随机抽取15名学生进行健康状况调查，发现有5名学生上次被抽查过，据此估计该班的学生人数为A ．75B ．65C ．60D ．50 7．某四面体的三视图如图2所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是ABCD ．8．设变量,x y 满足约束条件0,1,21,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩目标函数222z x x y =++，则z 的取值范围是A ．17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2⎤⎥⎣⎦C ．8,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．23⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．定义在R 上的偶函数()f x 满足2(1)()f x f x +=-(()0)f x ≠，且(1)2013f =，则(2013)f ＝A ．12013B ．1C ．4D ．2013 10．已知方程ln 10x ax -+=（a 为实常数）有两个不等实根，则实数a 的取值范围是A ．()0,eB ．[]1,eC ．()0,1D ．[]0,111．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y ，22(,)B x y 间的“折线距离”，在此定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个圆；③到(1,0)M -，(1,0)N 两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0x =． 其中，正确的命题有A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．已知点P 在圆22:(3)1C x y +-=上，点Q 在双曲线22152x y -=的右支上，F 是双曲线的左焦点，则||||PQ QF +的最小值为A．1B．3+C．4+D ．5+第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知1sin 3α=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α＝ ． 14．直线cos sin 10x y θθ++=与圆221x y +=的位置关系为 ．15．已知向量AB 与AC 的夹角为30°，且||6AB =，则||AB AC -的最小值是 ． 16．已知函数*(1)()log (2)()m f m m m N +=+∈，令(1)(2)()f f f m k ⋅⋅⋅=，当[]1,2013m ∈，且*k N ∈时，满足条件的所有k 的值的和为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线34y x =+上． （1）求数列{}n a 的通项a ；（2）令*()n n b na n N =∈，试求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1AB AA =，E 、F 分别为BC 、1CC 的中点．（1）求证：1B E ⊥平面AEF ；（2）当2AB =时，求点E 到平面1B AF 的距离．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，满足229x y +≤的点(,)P x y 组成的平面区域（或集合）记为Ω，现从Ω中随机取点(,)M x y ．（1）设,x Z y Z ∈∈，22x y ξ=+，求5ξ=的概率；（2）设,x R y R ∈∈，若直线(0)y x b b =-+>被圆229x y +=截得的弦长为，求ABCEF B 1C 1 A 1y x b ≥-+的概率．20．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为1x =，F 是焦点．过点(2,0)A -的直线与抛物线交于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ，N ． （1）求抛物线的方程及12y y 的值；（2）记直线PQ ，MN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值． 21．（本小题满分12分）已知函数2()416mx f x x =+，||1()2x m g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中m R ∈且0m ≠．（1）判断函数()f x 的单调性；（2）设函数(),2,()(),2,f x x h xg x x ≥⎧=⎨<⎩当2m ≥时，若对于任意的[)12,x ∈+∞，总存在唯一的()2,2x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立，试求m 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图4，已知,AB CD 是圆O 的两条平行弦，过点A 引圆OP ，F 为CD 上的一点，弦,FA FB 分别与CD 交于点,GH ．（1）求证：GP GH GC GD ⋅=⋅；（2）若39AB AF GH ===，6DH =，求PA 的长． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知椭圆C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，点1F ，2F 为其左右焦点．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2,2,2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数，t R ∈）．（1）求直线l 的普通方程和椭圆C 的直角坐标方程；（2）求点1F ，2F 到直线l 的距离之和．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()2()log |1||5|1f x x x =-+--． （1）当5a =时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】 4．11717917()172a a S a +==，3915939a a a a ++==，93a =∴．故选B ． 5．依题意，知11,2,0,12i n S ===+⨯ 112,3,,1223i n S ===+⨯⨯ 1113,4,,122334i n S ===++⨯⨯⨯ ……，1111188,9,11223348999i n S ===++++=-=⨯⨯⨯⨯…. 故选B ． 6．设该班学生人数为n ，依题意知25515n =，75n =，故选A ． 7．由题图可知，几何体为如图1所示的三棱锥P ABC -， 其中1,,PA AC PA AC PA AB ==⊥⊥，由俯视图可知，AB BC =PB =D ．8．2222+2(1)1z x x y x y =+=++-，用线性规划，可求得22(1)x y ++的范围是17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以8,39z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ． 9．22(4)()2(2)()f x f x f x f x +=-=-=+-，故()f x 为周期函数，周期4T =，(2013)(45031)(1)2013f f f =⨯+==∴．故选D ．10．ln 1=0ln =1x ax x ax -+⇔-，令12ln ,1y x y ax ==-，直线21y ax =-过定点(0,1)-，图1设直线21y ax =-与1y 的切点为00(,ln )x x ，由于11y x'=， 所以切线斜率0000ln 11,1,1x a x a x x +====∴， 当(0,1)a ∈时，直线21y ax =-与1y 的图象有2个交点．故选C. 11．设到原点的“折线距离”为1的点为(,)x y ，则||||1x y +=，其轨迹为如图2所示的正方形，所以①正确，②错误； 设到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点为(,)x y ， 则|1||||1|||,|1||1|x y x y x x ++=-++=-， 从而0x =，所以③正确．故选B ．12．设双曲线22152x y -=的右焦点为F '，则(0),0)F F '，由双曲线定义知||||QF QF '=+，||||||||QF PQ QF PQ '+=++ 当,,,C P Q F '共线时，min (||||)3QF PQ '+=，min (||||)3QF PQ +=+∴ C.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 15．如图3所示，点C 的轨迹为射线AC '（不含端点A ），当BC AC ⊥时，min min ||||3AB AC CB -==．16．234(1)(1)(2)()log 3log 4log 5log (2)m f f f m m +=+……2log (2)m k =+=，22k m =-，[1,2013],m k ∈∈*N ∵，101121024,22013=>，所以，k 值组成的集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10}，2391054++++=…．图3图2三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点(,)n n a S 在直线34y x =+上，所以34n n S a =+，1134n n S a ++=+， 11133n n n n n a S S a a +++=-=-，化简得123n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，公比32q =，由11134S a a ==+得12a =-， 故11132()2n n n a a qn --⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭*N ．……………………………………………（6分）（Ⅱ）因为 ()n n b na n =∈*N ， 所以12341n n n T b b b b b b -=++++++23213333321234(1)22222n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，① 234133333332234(1)2222222n nn T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，② ①-②得23113333321+222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ………（8分）2313333341+22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦31332444(2)8()32212nn nn n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-*N ． ……………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，不妨设1||||=AB AA a =， ABC ∵△为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，11||BC B C =∴，∵E 、F 分别为BC 、1CC 的中点，222222113||||||2B E BE BB a a ⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭∴， 22222213||||||44EF EC CF a a⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭， 222222111119||||||244B F B C C F a a a =+=+=，有22222211339||||||244B E EF a a a B F +=+==，1B E EF ⊥∴，又1,AE BC B B ⊥⊥∵平面ABC ，1B E AE ⊥∴，AE EF E =，1B E ⊥∴平面AEF ．…………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由条件知，1||||||||AE B E EF AF =，11||||3AB B F ==，…………………………………………………………（8分）AE EF ⊥∵，11||||22AEF S AE EF ==⨯△∴， 在1AFB △中，11cos sin B AF B AF ∠==∠=11111||||sin 322AB F S AB AF B AF =∠=⨯=△∴， ………………（10分）设点E 到平面1B AF 的距离为d ， 则11||AB F AEF d S B E S =△△，所以213d ==，即点E 到平面1B AF 的距离为1． ………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当,x y ∈∈Z Z 时，圆229x y +=内共有29个点， 满足225x y +=的点有8个，所以8(5)29P ξ==． ……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）当直线(0)y x b b =-+>被圆229x y +=截得的弦长为时， 设圆心O 到直线(0)y x b b =-+>的距离为d ，由22232d ⎛+= ⎝⎭，d =3b =． ………………………………（8分）满足y x b -+≥的(,)M x y位于弦长为的弓形内，所以y x b -+≥的概率为9π91142==9π42πS P S -=-弓形圆． ………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：依题意，设抛物线方程为22(0)y px p =->， 由准线12px ==，得2p =， 所以抛物线方程为24y x =-．………………………………………………（2分）设直线PQ 的方程为2x my =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2480y my +-=， 从而128y y =-．………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）证明：设3344(,),(,)M x y N x y ，则223434341121222122123434124444y y x x y y k y y y y y y k x x y y y y y y --+----=⨯=⨯=---+---． …………………（8分）设直线PM 的方程为1x ny =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2440y ny +-=， 所以134y y =-， 同理244y y =-．………………………………………………………………（10分）故3411221212124444182y y k y y k y y y y y y --++--=====++-，为定值． …………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，22222(4)(2)(2)()4(4)4(4)m x m x x f x x x --+'==++，当0m >时，()022,()02f x x f x x ''>⇒-<<<⇒<-或2x >， 所以()f x 在(2,2)-上单调递增；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减． 当0m <时，()022,()02f x x f x x ''<⇒-<<>⇒<-或2x >，所以()f x 在(2,2)-上单调递减；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递增． …………（6分） （Ⅱ）当2m ≥，1[2,)x ∈+∞时，11121()()416mx h x f x x ==+，由（Ⅰ）知1()h x 在[2,)+∞上单调递减， 从而1()(0,(2)]h x f ∈，即1()0,16m h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； ……………………………………（8分） 当2m ≥，22x <时，222||22111()()2222x m m x mx h x g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在(,2)-∞上单调递增， 从而2()(0,(2))h x g ∈，即221()0,2m h x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（10分）对于任意的1[2,)x ∈+∞，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立， 只需21162m m -⎛⎫< ⎪⎝⎭，即210162m m -⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立即可．记函数21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[2,)+∞上单调递增，且(4)0H =，所以m 的取值范围为[2,4)． …………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：∵PE 与圆O 切于点A ， ∴EAB BFA ∠=∠， ∵//AB CD ，∴EAB APD ∠=∠．在HGF △和AGP △中，,,HFG APG HGF AGP ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴HGF △∽AGP △， ………………………………………………………………（2分）∴GH GP GF GA =．又∵GC GD GF GA =， ∴GP GH GC GD =． ……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：∵AB AF =， ∴ABF AFB APH ∠=∠=∠． 又∵//AB CD ，∴四边形ABHP 为平行四边形， ………………………………………………（7分）∴9AB PH ==， ∴6GP PH GH =-=， ∴6329GP GH GC GD ⨯===， ∴4PC =．∵PA 是⊙O 的切线，∴2PA PC PD =，PA =．………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由l 的参数方程消去t ，得2y x =-， 故直线l 的普通方程为20x y --=． …………………………………………（2分）由22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+， 而cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以223412x y +=，即22143x y +=，故椭圆C 的直角坐标方程为22143x y +=．……………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12(1,0),(1,0)F F -， 点1(1,0)F -到直线l的距离1d == 点2(1,0)F 到直线l的距离2d ==，12d d +=12,F F 到直线l的距离之和为 …………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ） 当5a =时，要使函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--有意义， 需|1||5|50x x -+-->恒成立．1,15,5,|1||5|50210102110x x x x x x x <<⎧⎧⎧-+-->⇔⎨⎨⎨-+>->->⎩⎩⎩≤≥或或 11122x x ⇒<>或，所以函数()f x 的定义域为111,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（5分）（Ⅱ）函数()f x 的值域为R ，需要()|1||5|g x x x a =-+--能取到所有正数， 即min ()0g x ≤．由62,1,|1||5|4,15,26,5,x x x x x x x -<⎧⎪-+-=⎨⎪->⎩≤≤ 易知|1||5|4x x -+-≥，故min ()40g x a =-≤，得4a ≥，所以实数a 的取值范围为4a ≥．……………（10分）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）·双向细目表文科数学。
云南师大附中2013届高考适应性月考卷(五)文科数学
云南师大附中2013届高考适应性月考卷（五）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|10A x ax =-=，{}3,4B =，且A B A = ，则a 的所有可能值组成的集合是A ．110,,34⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,34⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{}02．设复数11z i=-（其中i 为虚数单位），则2z 为 A ．1i + B ．2i C ．22i +D ．2i -3．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++>”B ．若“p q ∧”为真命题，则“()p q ∨⌝”也为真命题C ．线性回归方程 y bx a =+ 对应的直线一定经过其样本数据点1122(,),(,),,(,)n nx y x y x y 中的一个点D ．“1x =-”是“2560x x --=”成立的必要不充分条件4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是A ．15B ．35C ．25D ．455．设向量sin ,2a α⎛=⎪⎝⎭2，则cos 2α＝ A．2B ．12C ．12-D ．14-6．在同一个坐标系中画出函数x y a =，sin y ax =的部分图像，其中0a >且1a ≠，则下列所给图像中可能正确的是A ．B ．C ．D ．7．一个几何体的三视图如图2所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为A ．B ． CD8．图3是某算法的程序框图，则程序运行后输出的T 是A ．1B ．2C ．3D ．49．函数sin()y x ωϕ=+（0ω>且||2πϕ<）在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图像与y 轴交点的纵坐标为A ．2B ．12C 2D 410．P 是抛物线24y x =上任意一点，则点P 到定点A 的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是A ．32B ．2C ．3 D侧视图111 1111．设a 、b 、c 、d R ∈，若,1,a b 成等比数列，且,1,c d 成等差数列，则下列等式恒成立的是A ．||2a b cd +≥B ．||2a b cd +≤C ．2a b cd +≥D ．2a b cd +≤12．如图4，已知O 、A 、B 是平面上三点，向量OA a = ，OB b =．在平面AO B 上，P 是线段A B 垂直平分线上任意一点，向量O P p = ，且||3a =，||2b = ，则()p a b ⋅-的值是A ．12B ．32C ．72D ．52第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且4cos 5A =，则)4A π-的值为 ．14．已知11a =，*1()()n n n a n a a n N +=-∈，则数列{}n a 的前60项和为 ．15．若不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值为 ．16．如图5，已知球O 是棱长为1的正方体1111ABC D A B C D -的内切球，则以球心O 为顶点，以球O 被平面1A C D 所截得的圆为底面的圆锥的体积为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足22a =，且3452a a a +=，0n a >．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)321n n n b a n =-++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T18．（本小题满分12分）为预防某病毒爆发，一生物技术公司研制出一种新疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90％，则认为测试没有通过），公司选定2000个样本分成三组，已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取样本多少个？ （2）已知465b ≥，30c ≥，求该疫苗通过测试的概率．19．（本小题满分12分）如图5，已知在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面A B C D ，E ，F ，G 分别是P D ，P C ，B C 的中点．（1）求证：平面EFG ⊥平面PAD ；（2）若M 是线段C D 上一点，求三棱锥M E F G -的体积． 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为2，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(2,0)的直线l 的与椭圆C 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当A O B ∠为锐角时，求直线l 的斜率k 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数2()ln 8xf x x =-，[]1,3x ∈．（1）求()f x 的最大值与最小值；（2）若()4f x at <-对于任意的[]0,2t ∈恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图7所示，P A 为O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，10P A =，5P B =，B A C ∠的平分线与B C 和O 分别交于点D 和E ． （1）求证：A B P A A CP C=；（2）求A D A E ⋅的值．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为11,22,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 经过伸缩变换2,,x x y y '=⎧⎨'=⎩得到曲线C '，设曲线C '上任一点为(,)M x y，求x +的最小值．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设函数()|1||1|f x x x =-+-． （1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；（2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（五）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 【解析】1．由A B A = 知A B ⊆，而{}34B =，，且0a =时，A =∅，适合A B A = ，故选A ． 2．111i i z =-=+，则22(1i)2i z =+=，故选B ．3．p q ∧为真，则p ，q 均为真，所以()p q ⌝∨为真，故选B ． 4．所求概率302305405P ==++，故选C ．5．213sin 24α+=，则21sin 4α=，21cos 212sin 2αα=-=，故选B ．6．0a >且1a ≠，当2π2πT a=>时，01a <<，故选A ．7．该几何体是高为1，底面对角线长为2的菱形构成的四棱锥，1212S ⎛⎫=⨯⨯+ ⎪⎝⎭122⎛⨯⨯= ⎝C ．8．第一次循环有112a T k ===，，，第二次循环有013a T k ===，，，第三次循环有0a =，14T k ==，，第四次循环有125a T k ===，，，第五次循环有136a T k ===，，，此时不满足条件，输出3T =，故选C ． 9．12T =2πππ362-=，则πT =，2π2π2πTω===，此时sin(2)y x ϕ=+，又函数过点π16⎛⎫⎪⎝⎭，，代入可得π6ϕ=，因此函数πsin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令0x =，可得12y =，故选D ．10．由抛物线定义，点P 到抛物线准线的距离等于它到焦点F 的距离，所以当A P F ，，三点共线时，其和最小为AF =D ．11．212a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，故2a b +≥，又2c d +=，故212c d cd +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，即22cd ≥，故选A ．图 2图112．采用特殊化法，如图1，当点P 运动到线段AB 的中点M 这一特殊位置时，有1()2p a b =+， 所以22115()()()()222p a b a b a b a b -=+-=-=，故选D ．（另解：设线段AB 的中点为M ，则1()2M P OP OM p a b =-=-+，又BA a b =-，且MP BA ⊥，所以1()()02p a b a b ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦， 即22115()()()()222p a b a b a b a b -=+-=-=）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．在ABC ❒中，由4cos 5A =，得3sin 5A =π341sin cos 4555A A A ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭．14． 由1()n n n a n a a +=-，得11n na n a n++=，所以，当2n ≥时，累积得32411231n n n a a a a a a a a a a -=2341.1231n n n ==-又1a 也满足上式，故n a n =，所以数列{}n a 的前60项和为60(601)18302+=．（另解：1()n n n a n a a +=-，得101n n a a n n +-=+，故n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，又111a =，所以1n a n=，即n a n =，所以数列{}n a 的前60项和为60(601)18302+=）15．不等式组所表示的平面区域如图2中阴影部分，易知403B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以直线43y kx =+过点B ，若BDC BDA S S =❒❒，则点D 为线段A C的中点，由3434x y x y +=⎧⎨+=⎩，得(11)A ，，又(04)C ，，所以1522D ⎛⎫⎪⎝⎭，，代入直线43y kx =+中，解得73k =．16．如图3，O 为球心，也是正方体的中心，设球O 被平面1ACD所截得的圆的半径为r ，A C 的中点为M，则1136r D M ==， 球的半径12R =，则O 到平面ACD 1的距离6h ==，故圆锥的体积21π3108V r h ==三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则123411122a q a q a q a q =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，①②……（2分）把①代入②整理得220q q --=，即12q q =-=，，∵0n a >，∴2q =，…………（4分） 代入①得11a =，∴12n n a -=．…………………………………………………………（6分） （Ⅱ）∵1(1)321(1)3221n n n n n b a n n -=-++=-++13(2)21n n -=--++，……………………………………………………………………（9分）13[1248(2)][35721]n n T n -=--+-++-++++++ ，∴223[1(2)]2(2)2112nnn T n n n n ---=++=-++-+．……………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵0.332000a =，∴660a =．………………………………………………（2分）∵20006737766090500b c +=----=，……………………………………………（4分） ∴ 应在C 组抽取样本个数是360500902000⨯=（个）．………………………………（6分）（Ⅱ）∵500b c +=，465b ≥，30c ≥，∴()b c ，的可能性是：(465，35)，(466，34)，(467，33)，(468，32)，(469，31)，(470，30)，……………（8分） 若测试没有通过，则77902000(190%)200c ++>⨯-=，33c >，()b c ，的可能性是(465，35)，(466，34)，图4通过测试的概率是22163-=．…………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图4，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥，∴C D ⊥平面PAD ，……………………………………（3分） 又E F ，分别是PD PC ，的中点，∴EF C D ∥，EF ⊥平面PAD ，而EF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PAD ．………………………………………（6分） （Ⅱ）解：∵C D EF ∥，∴C D ∥平面EFG ，故C D 上的点M 到平面EFG 的距离等于点D 到平面EFG 的距离，∴M EFG D EFG V V --=，取AD 的中点H ，连接GH ，EH ，则GH EF ，∥EF EH ⊥， 于是122EFG S EF EH =⨯⨯=❒，又平面E F G H ⊥平面PAD 于EH ，PAD ❒是正三角形，∴点D 到平面EFG 的距离，即正三角形EH D10分）∴3M EFG V -=．………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2c e a==得222a b =，依题意1222a b ⨯⨯=，即ab =解方程组222a b ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得a =1b =，所以椭圆C 的方程为2212xy +=．…………………（4分）（Ⅱ）设l ：(2)y k x =-，11()A x y ，，22()B x y ，，由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2222(12)8820k x k x k +-+-=， 由422644(21)(82)0k k k ∆=-+->，得212k <，且2122812kx x k+=+，21228212k x x k-=+，……………………………………………………（6分）于是2212121212(2)(2)[2()4]y y k x x k x x x x =--=-++＝22212kk+．∵AO B ∠为锐角，即0O A O B ⋅>，∴22212122228221020121212k kk x x y y kkk--+=+=>+++，解得215k >，又212k <，∴21152k <<，………………………………………………………………（10分）所以直线l 的斜率k 的取值范围是2552⎛--⎝⎭⎝⎭．……………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1(2)(2)()44x x x f x x x+-'=-=，令()0f x '=，得2x =-或2x =．∵[13]x ∈，，故当12x <<时，()0f x '<，当23x <<时，()0f x '>，……………（3分） ∴()f x 在2x =处取得唯一极小值，也是最小值1(2)ln 22f =-，又1(1)8f =，9(3)ln 38f =-，19ln 3ln 31088⎛⎫--=-> ⎪⎝⎭，即(1)(3)f f >，∴()f x 的最大值为18， 最小值为1ln 22-．……………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()8f x ≤，所以()4f x at <-对于任意的[02]t ∈，恒成立，只要148at ->，即8310at -<对任意[02]t ∈，恒成立，……………………………（9分）设()831g t at =-([02])t ∈，，则(0)0(2)0g g <⎧⎨<⎩，，解得3116a <，所以实数a 的取值范围是3116⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，．…………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：如图5，∵PA 为O 的切线， ∴PAB AC P ∠=∠，又P ∠P =∠，∴PAB PCA ∽，❒❒ ∴AB PA ACPC=．……………………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）解：∵PA 为⊙O 的切线，PBC 是过点O 的割线，∴2·PA PB PC =．………………………………………………………………………（5分） 又∵PA =10，PB =5，∴PC =20，BC =15． 由（Ⅰ）知，12AB PA ACPC==，∵BC 是⊙O 的直径，∴90C AB ∠=︒，∴AC 2+AB 2=BC 2=225，∴AC AB ==7分） 连接CE ，则ABC E ∠=∠，又C AE EAB ∠=∠，∴AC E AD B ∽❒❒， ∴AB AD AEAC=，∴··90AD AE AB AC ==．……………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）直线l20y -+-=，曲线C 的直角坐标方程为：221x y +=．………………………………………………（4分）（Ⅱ）∵2x x y y '=⎧⎨'=⎩，，∴将2x x y y '⎧=⎪⎨⎪'=⎩，代入C ，得C '：22()()14x y ''+=， 即椭圆C '的方程为2214xy +=．设椭圆C '的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，（ϕ为参数），则π2cos 4sin 6x ϕϕϕ⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭，∴x +的最小值为4-．……………………………………………………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解：（Ⅰ）方法一：当1()11a f x x x =-=-++时，，………………………………（1分）由()3f x ≥得113x x -++≥，（ⅰ）当1x -≤时，不等式化为113x x ---≥，即23x -≥，不等式组1()3x f x -⎧⎨⎩≤，≥的解集为 32⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，；（ⅱ）当11x -<≤时，不等式化为113x x -++≥，不可能成立，不等式组11()3x f x -<⎧⎨⎩≤，≥的解集为∅；（ⅲ）当1x >时，不等式化为113x x -++≥，即23x ≥，不等式组1()3x f x >⎧⎨⎩，≥的解集为32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．综上得，()3f x ≥的解集为3322⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ，，．…………………………………（5分） 方法二：当1()11a f x x x =-=-++时，，由()3f x ≥得113x x -++≥，由绝对值的几何意义11x x -++表示数轴上的点x 到1-与1的距离之和， 而11x x -++的最小值为2， 所以当32x -≤或32x ≥时，113x x -++≥，所以不等式()3f x ≥的解集为3322⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ，，．………………………………（5分） （Ⅱ）若1()21a f x x ==-，，不满足题设条件，若211()112(1)1x a x a a f x a a x x a x -++⎧⎪<=-<<⎨⎪-+⎩，≤，，，，，≥，()f x 的最小值为1a -；若2111()112(1)x a x a f x a x a x a x a -++⎧⎪>=-<<⎨⎪-+⎩，≤，，，，，≥， ()f x 的最小值为1a -；………………………（8分）所以()2a-≥，∀∈R，≥的充分条件是12x f x从而a的取值范围为(1][3)，，．…………………………………………（10分）-∞-+∞云南师大附中2013届高考适应性月考卷（五）·双向细目表文科数学。
云南师大附中2013届高考适应性月考卷(七)文科数学
云南师大附中2013届高考适应性月考卷（七）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s 其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若A 、B 、C 为三个集合，且A B B C = ，则一定有A ．C A ⊆B ．AC ⊆ C ．A C ≠D ．A =∅2．下列命题中，真命题是A ．,lg 0x R x ∀∈>B ．*2,(2)0x Nx ∀∈->C ．,21xx R ∃∈> D ．2,10x R x x ∃∈-+≤3．已知a 、b 为实数，复数121ii a bi+=++，则 A ．1,3a b == B ．3,1a b ==C ．31,22a b == D ．13,22a a == 4．若抛物线2yax =的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为A ．(2,0)B ．(2,0)-C ．(2,0)或(2,0)-D ．(4,0)5．根据下表中的数据，可以判断函数()2x f x e x =--的一个零点所在区间为(,1)()k k k Z +∈，则k ＝A ．26．将长方体截去一个四棱锥得到的几何体如图1所示，则该几何体的侧视图为A．B．C．D．7．若,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin28θ=，则sinθ＝A．35B．45C D．348．执行如图2所示的程序框图，如果输入3x=，那么输出的n值为A．5 B．4 C．3 D．29．已知函数()f x，则12,x x R∀∈且12x x≠，有12|()()|f x f x-与12||x x-的大小关系为A．1212|()()|||f x f x x x-<-B．1212|()()|||f x f x x x->-C．1212|()()|||f x f x x x-=-D．不能确定10．已知4xπ=是函数()sin cosf x a x b x=+的一条对称轴，且()f x的最大值为，则函数()sing x a x b=+A．最大值是2，最小值是－2 B．最大值可能是0C．最大值是4，最小值是0 D．最小值不可能是－411．过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c->作圆2224ax y+=的切线交双曲线右支于点P，切点为E，若1()2OE OF OP=+，则双曲线的离心率为A B．4C．3D．212．已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若2AB CD==，则四面体ABCD的体积的取值范围是A．0,3⎛⎝⎦B．0,3⎛⎝⎦C．0,3⎛⎝⎦D．0,3⎛⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线22y x =上，则这个三角形的边长是 ． 14．观察下列各式：11x =，23x =，34x =，47x =，511x =，…，则10x ＝ ．15．设函数()sin f x x x =-，则不等式1(1)1f f x ⎛⎫> ⎪+⎝⎭的解集为 ．16．在△ABC 中，若5AB AC ⋅= ，||4AB AC -=，则△ABC 的面积的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，且sin 2sin C A =． （1）求角A 、B 、C ； （2）设数列{}n a 满足2|cos |n n a nC =，前n 项为和n S ，若340n S =，求n 的值．18．（本小题满分12分）有甲、乙两个班进行数学考试（满分为150分），按照大于或等于135分为优秀、135分以下为非优秀的成绩统计之后，得到如下的列联表：已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率是7． （1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，能否有95％的把握认为“成绩与班级有关系”？请说明理由；（3）现从甲班优秀的学生中抽取一个进行成绩分析，若按下面的方法抽取：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号后，先后两抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取学生的序号．试求抽取到编号为6号或10号学生的概率．（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19．（本小题满分12分）如图3，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上． （1）求证：平面AEC ⊥平面PDB ； （2）当PD 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）设a 为常数，已知函数2()ln f x x a x =-在区间[]1,2上是增函数，()g x x =-[]0,1上是减函数．（1）设P 为函数()g x 的图像上任意一点，求点P 到直线:6320l x y +-=的距离的最小值； （2）若对任意的(]0,1x ∈且(]0,1m ∈，21()2f x bm m ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知双曲线22197x y -=与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同的焦点，点A 、B分别是椭圆的右、右顶点，若椭圆经过点32D ⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆的方程；（2）设M 为直线9x =上的点，F 是椭圆的右焦点，以||AF 为直径的圆记为C ，00(,)N x y 是圆C 上的任意一点，是否存在定点P ，使得||2||MN PN =？若存在，求出定点P 的坐标；若不存在，说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图4，已知I 为锐角△ABC 的内心，且60A ∠=，点D 为内切圆I 与边AC 的切点，过点C 作直线BI 的垂线，垂足为E ． （1）求证：IDE ECI ∠=∠； （2）求IEIC的值．BCPDE23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos ,sin2,x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（其中t 为常数）． （1）若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围；（2）当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上的点的最小距离． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数1()( 2.718)x f x e e ex=+≈ ．（1）若[)12,1,x x ∈+∞，12x x ≠，求证：2121()()0f x f x x x ->-；（2）若实数a 满足(||3)(|4|1)f a f a +>-+．试求a 的取值范围．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（七）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．因为A A B B C ⊆=U I ，所以A C ⊆，故选B ．2．当0x >时，有2>1x 成立，所以2>1x x ∃∈R ，是真命题，故选C ．3．由题意知1+2i 31+i==+i 1+i 22a b ，因此31==22a b ，，故选C ． 4．由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为42a=，解得8a =±，所以当8a =时，焦点坐标为(20)，；当8a =-时，焦点坐标为(20)-，，故选C ．5．由表可知(1)=0371<0(0)=12<0f f ---.，，(1)=2.723<0(2)=7.394>0f f --，，(3)=20.095>0f -，故(1)(2)<0=1f f k ∴，，故选B ．6．根据几何体各个顶点的射影位置确定其侧视图的形状，显然侧视图中长方体的体对角线是一条虚线，故选C ．7．由ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得π2π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，1cos2,8θ==-3sin 4θ=，故选D ．8．根据框图的流程图逐步进行计算，满足循环体结束的条件，输出的结果为4n =，故选B ． 9．12()()f x f x -1212x x x x >++≥，所以2212121212()()x x f x f x x x x x --<=-+，故选A ．10．由()sin cos f x a x b x =+的一条对称轴是π4，得π(0)2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即a b =，228a b +=，22a b a b ====-解得或，所以()2sin 2g x x =+或()2sin 2g x x =--，故选B ．11．由1()2OE OF OP =+u u u r u u u r u u u r 知，E 为线段FP 的中点，设双曲线的右焦点为F '，因为2aOE =，由中位线定理得F P a '=，由双曲线的定义得3FP a =，又222O F E F O E =+，则222322a a c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得22104c a =，即2104e =，e ∴D ．12．设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则球心O 到AB 和CD 的距离是相等的，即OM ON ==OM ，ON 在同一直线上，且AB CD ⊥时，四面体ABCD 的体积最大，max 13ABN V S CD =⋅△，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．设这个正三角形在抛物线22y x =上的一个顶点为2(0)2y A y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭，，则这个三角形的边长为2y 222y y =得y =14．从第3项起，每一项都是其前两项的和，从而递推出10123x =．15．因为()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 是R 上的增函数，所以由1(1)1f f x ⎛⎫> ⎪+⎝⎭可得111x >+，解得10x -<<． 故填(10)-，．16．因为4AB AC BC a -===u u u r u u u r u u u r ，所以22216AB AC AB AC +-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2226AB AC +=u u u r u u u r ，又cos 5AB AC A =u u u r u u u r，即cos 5bc A =，故162ABCS ==△．当且仅当b c =6． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得2B A C =+，又πA B C ++=，所以π3B =． 又由sin 2sin C A =，得2c a =，所以2222π422cos 33b a a a a a =+-⋅=，所以222c a b =+，所以ABC △为直角三角形，ππππ2236C A ==-=，．……………………………………（6分）（Ⅱ）n a =0π2cos 2cos22n n nn n nC n ⎧⎪==⎨⎪⎩，为奇数，，为偶数. 所以22+22422124(12)24020202143k k kk k S S k +--==++++++==∈-*N ，L ，由22243403k +-=，得2221024k +=， 所以4k =，所以8n =或9n =．………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）列联表如下：…………………………………………………………………………（3分）（Ⅱ）根据列联表的数据，得到22105(10302045)= 6.109 3.84155503075K ⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．……………………………………………………（6分） （Ⅲ）设“抽到6号或10号学生”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为()x y ，，则所有的基本事件有(11)(12)(13)，，，，，，…，(66)，，共36个．……（8分） 事件A 包含的基本事件有(15)(24)(33)(42)(51)(46)，，，，，，，，，，，，(55)，，(64)，，共8个．……………………………………………………………………（10分）所以，抽取到编号为6号或10号学生的概率为82()369P A ==．…………………（12分） 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ， 又AC AEC ⊂平面，∴平面AEC ⊥平面PDB ．………………………………………（6分） （Ⅱ）解：如右图，设AC ∩BD =O ，连接OE ，由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角， ∵O ，E 分别为DB 、PB 的中点，∴OE ∥PD ，且OE =12PD ，又∵PD ⊥底面ABCD ，∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ， 在Rt △AOE 中，由PDAB ， 设AB a =，则EO，AO =，∴tan AO AEO EO ∠= 即AE 与平面PDB．…………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵2()ln f x x a x =-在区间[12]，上是增函数，∴当[12]x ∈，时，()20af x x x'=-≥恒成立，即22a x ≤恒成立，所以2a ≤．又()g x x =-[01]，上是减函数， 故当(01]x ∈，时，()10g x '=恒成立，即a ≥2a ≥．综上，2a =．由()g x x =-，得()1g x '=令()12g x '==-，则19x =，而11259939g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()g x 的图象上1599P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处的切线与直线l 平行，．………………………………………（6分）（Ⅱ）因为2()2ln f x x x =-，则22(1)(1)()2(0)x x f x x x x x+-'=-=>，因为当(01]x ∈，时，21()2f x bm m -≥恒成立， 所以min 212[()]bm f x m -≤， 因为当(01]x ∈，时，()0f x '<，所以()(01]f x x ∈在，上是减函数， 从而min [()]=(1)1f x f =， 所以当(01]m ∈，时，2121bm m -≤，即3112b m m +≤恒成立， 所以3min112b m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤．因为311y m m =+在(01]m ∈，上是减函数，所以min 2y =， 从而22b ≤，即1b ≤，故实数b 的取值范围是(1]-∞，．………………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，22229716a b a b -=+⇒=+，所以椭圆的方程为2222116x y b b +=+，代入D 点坐标，解得2220(15)b b ==-舍去， 由此得236a =，所以椭圆的方程为2213620x y +=．…………………………………………………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知(60)(40)A F -，，，， 故圆C 的方程为22(1)25x y ++=，设(9)M t ，，假设存在点()P x y ，满足题意， 则22220000(9)()4[()()]x y t x x y y -+-=-+-，点00()N x y ，在圆C 上，故2200(1)25x y ++=，化简得22200(128)(28)4()90x x t y y x y t -+-++--=，…………………………………（8分） 因为该式对任意的00x y ，恒成立，则2221280,280,4()90,x t y x y t ⎧-=⎪-=⎨⎪+--=⎩解得3,20,0,x y t ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩故存在定点302P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对于直线9x =上的点(90)M ，及圆C 上的任意一点00()N x y ，使得2MNPN=成立．…………………………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】 （Ⅰ）证明： 圆I 与边AC 相切于点D ，∴ID ⊥AC ． …………………………………………………………………………（2分）又 BE ⊥CE ，∴90IDC IEC ∠=∠=︒，∴I ，E ，D ，C 四点共圆，……………………………………………………………（4分）ID E ECI ∴∠=∠． ………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解： I 为锐角ABC △的内心，∴12IBC ABC ∠=∠，12ICB ACB ∠=∠，………………………………………………（6分）∴在IEC △中，1122EIC IBC ICB ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠11()(180)22ABC ACB A =∠+∠=︒-∠ 190602A =︒-∠=︒． ……………………………………………………………………（8分）BE ⊥CE ，∴在Rt IEC △中，9030ECI EIC ∠=︒-∠=︒，1sin sin302IE ECI IC ∴=∠=︒=． ……………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线M 可化为21y x =-，[x ∈， 曲线N 可化为x y t +=， 若曲线M ，N 只有一个公共点，则当直线N过点1)时满足要求，此时1t ，并且向左下方平行运动直到过点(1)之前总是保持只有一个公共点， 当直线N过点(1)时，此时1t =+，所以11t <满足要求；再接着从过点(1)开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点， 相切时仍然只有一个公共点，联立21x y t y x +=⎧⎨=-⎩，， 得210x x t +--=， 14(1)0t ∆=++=，求得54t =-，综上可求得t的取值范围是11t <或54t =-．…………………………（5分） （Ⅱ）当2t =-时，直线N ：2x y +=-，设M上的点为2000(1)x x x -，，， 则曲线M 上的点到直线N的距离为20138x d ⎛⎫++ ⎪=， 当012x =-时取等号，满足0x10分）24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】（Ⅰ）证明：由2121211221211211()()11()x x f x f x x x x x x x e x x e x x +----==⋅--，1212[1)x x x x ∈+∞≠ ，，，，12211212211()()1000x x f x f x x x x x x x --∴>>∴>∴>-，，．……………………………………（5分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知()f x 在[1)+∞，上为增函数， 31411(3)(41)a a f a f a +>-++>-+ ，≥，且， 341a a ∴+>-+．当0a ≤时，34135a a a -+>-+>∴∈∅，得，； 当04a <<时，341114a a a a +>-+>∴<<，得，； 当4a ≥时，341334a a a +>-+>-∴，得，≥，综上所述，实数a 的取值范围为1a >．………………………………………………（10分）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（七）·双向细目表 文科数学。
云南师大附中高考适应性月考卷(八)文科数学-答案.docx
精心制作仅供参考唐玲出品高中数学学习材料唐玲出品云南师大附中2015届高考适应性月考卷（八）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DABBCDBCDCDB【解析】1．因为{|01}M x x =≤≤，{|0}N y y =>，所以(01]M N =，，故选D ．2．由112101(1i )1i1i i i i 1i 1i⨯-+++++===--，故选A ．另该题也可直接用i 的周期性解答．3．因为6787312a a a a ++==，所以74a =，1131313()522a a S +==，故选B ． 4．画出可行域，易知当00x y ==，时，z 有最小值，代入23x y z +=得1z =，故选B ． 5．当0m =时，直线0x my +=为0x =，此时两直线不垂直，所以0m ≠，所以0x my +=的斜率为1m -，若两直线垂直，则有11m-=-，即1m =，所以“1m =”是“直线0x y -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件，故选C ．6．因为四个命题均有线在面内的可能，所以均不正确，故选D ．精心制作仅供参考唐玲出品7．依题意，有121222212||||2||||18||||4PF PF a PF PF PF PF c +=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，，，可得224364c a +=，即229a c -=，故有3b =，故选B ．8．11211211212++++++++=，故选C ．9．由题得：40A k A k +=⎧⎨-+=⎩，，解得：22A k =⎧⎨=⎩，，又函数sin()y A x k =++ωϕ的最小正周期为π2，∴2π4π2==ω，∴2sin(4)2y x =++ϕ，又直线π3x =是其图象的一条对称轴， ∴ππ4π32k ⨯+=+ϕ，∴5ππ6k k =-∈，ϕZ ，故可得：π2sin 426y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭符合条件，故选D ． 10．易知该几何体是一三棱锥，其体积11321332V Sh ==⨯⨯=，故选C ．11．易知()f x 是以4为周期的函数，结合题意画出函数()f x 在(26)-，上的图象与log (2)a y x =+的图象如图1，结合图象分析可知，要使两个函数图象恰有一个交点，则有0114a a <<<<或，故选D ．12．由题意：62r r R +=，解得：(62)r R =-，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 1415 16答案 2022(4)(3)25x y -+-=312【解析】图1精心制作仅供参考唐玲出品13．200∶400∶1400=1∶2∶7，所以应抽取中型超市20家．14．易知：圆心(43)，，5r =，所以圆的标准方程为22(4)(3)25x y -+-=． 15．由2(9)293f a a ===得，所以． 16．以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，则10(11)(01)(00)2E C D A ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，，，设(cos sin )(11)P AC =，，，θθ，向量AC DE AP =+λμ，则有2s i n2c o s 2c o s s i n -=+θθλθθ，32cos sin =+μθθ，所以+=λμ 32s i n 2c o s3s i n 312c o s s i n 2c o s s i n +-+=-+++θθθθθθθ，由题意得，π0cos 12=≤≤，所以当，θθ1sin 02=+时，取最小值θλμ．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由21(2)8n n a S --=，所以21(2)8n n a S +-=，所以22114()n n n n a a a a ++-=+，又0n a >，所以14n n a a +-=，即数列{}n a 是等差数列．………………………………………………………………………………（4分）又214a a -=，所以42n a n =-． ……………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）141111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 所以21n nT n =+． …………………………………………………………………（12分）18.（本小题满分12分）解：设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实根”．当00a b ≥，≥时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．（Ⅰ）基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==． ………（6分）精心制作仅供参考唐玲出品图2（Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为{()|0302}a b a b ，≤≤，≤≤，构成事件A 的区域为{()|0302}a b a b a b ，≤≤，≤≤，≥，所以所求的概率为1322222()323P A ⨯-⨯⨯==⨯． ……………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图2所示，连接AC 交BD 于点O ，连接OF ， 在矩形ACEF 中，∵M 为EF 中点，∴CM OF ∥，………………………………………………（3分）∵CM BDF ⊄平面，OF BDF ⊂平面，∴CM BDF ∥平面． …………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由题设和图形易知：323BF DE BE DF EF =====，，，CE ⊥平面ABCD ， ……………………（7分）∴11052222DEF BEF S S ===△△， ……………………………………………（8分）∵121222ABF CDE S S ===△△，111122ADF BCE S S ===△△，=12=2S ⨯矩形， ……………………………………………………………………………（10分） ∴512=2+2+2+25221222S ⨯⨯⨯=++表． ………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）把点212P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入2221x y a +=，可得22a =， 所以椭圆C 的方程为2212x y +=，椭圆C 的离心率为22e =． …………………………………………………………（4分） （Ⅱ）当APB ∠的平分线为PF 时，由212P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，和(10)F ，知：PF x ⊥轴．精心制作仅供参考唐玲出品记PA PB 、的斜率分别为12k k 、， 所以，PA PB 、的斜率满足120k k +=， 设直线AB 的方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程2212x y +=并整理可得，2222(12)42(1)0k x k x k +-+-=，211221224()()12k A x y B x y x x k +=+设，，，，则，21222(1)12k x x k -=+， ………………（6分）所以121212121212121222222211112()1y y y y x x k k x x x x x x x x --+-+=+=+-⨯-----++ ………（8分）=222222422122222(1)4211212k k k k k k k k -+-⨯=---+++， ……………………………………（11分）即220k -=，所以22k =． ……………………………………………………（12分） 21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1a =-时，()ln f x x x =-， 得1()1f x x'=-， ……………………………………………………………………（2分）令()0f x '>，即110x->，解得1x >，所以函数()f x 在(1)+∞，上为增函数， 据此，函数()f x 在2[e e ]，上为增函数， ………………………………………（4分）而(e)e 1f =-，22(e )e 2f =-，所以函数()f x 在2[e e ]，上的值域为2[e 1e 2]--，． ………………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由()1a f x x '=+，令()0f x '=，得10ax+=，即x a =-， 当(0)x a ∈-，时，()0f x '<，函数()f x 在(0)a -，上单调递减； 当()x a ∈-+∞，时，()0f x '>，函数()f x 在()a -+∞，上单调递增；若1e a -≤≤，即e 1a --≤≤，易得函数()f x 在2[e e ]，上为增函数，精心制作仅供参考唐玲出品此时，2max ()(e )f x f =，要使()e 1f x -≤对任意2[e e ]x ∈，恒成立，只需2(e )e 1f -≤即可，所以有2e 2e 1a +-≤，即2e e 12a -+-≤，而22e e 1(e 3e 1)(e)022-+---+--=<，即2e e 1e 2-+-<-，所以此时无解． ……（9分）若2e e a <-<，即2e e a -<<-，易知函数()f x 在[e ]a -，上为减函数，在2[e ]a -，上为增函数，要使()e 1f x -≤对任意2[e e ]x ∈，恒成立，只需2(e)e 1(e )e 1f f -⎧⎨-⎩≤，≤，即21e e 12a a -⎧⎪⎨-+-⎪⎩≤，≤， 由22e e 1e e 1(1)022-+--++--=<和222e e 1e e 1(e )022-+-+---=>，得22e e 1e 2a -+--<≤．若2e a -≥，即2e a -≤，易得函数()f x 在2[e e ]，上为减函数， 此时，max ()(e)f x f =，要使()e 1f x -≤对任意2[e e ]x ∈，恒成立，只需(e)e 1f -≤即可， 所以有e e 1a +-≤，即1a -≤，又因为2e a -≤，所以2e a -≤．综上所述，实数a 的取值范围是2e e 12⎛⎤-+--∞ ⎥⎝⎦，． …………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：∵AC DE CDE DCA ∠=∠∥，∴， 又DBA DCA CDE DBA ∠=∠∠=∠∵，∴，∵直线DE 为圆O 的切线，CDE DBC ∠=∠∴，故DBA DBC ∠=∠． …………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）解：CAB CDB ∠=∠∵且DBA DBC ∠=∠，AH ABABH DBC CD BD=∴△∽△，∴， 又EDC DAC DCA ∠=∠=∠，AD DC =∴，……………………………………（8分）精心制作仅供参考唐玲出品468AH ABAB AD BD AD BD====∴，∵，，， 故3AH =．……………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由πcos 13⎛⎫-= ⎪⎝⎭ρθ得13cos sin 122⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭ρθθ， 从而曲线C 的直角坐标方程为13122x y +=，即32x y +=，0=θ时，2=ρ，所以(20)M ，， π2=θ时，233=ρ，所以23π32N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，． ……………………………………（5分）（Ⅱ）M 点的直角坐标为(20)，，N 点的直角坐标为230,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以P 点的直角坐标为31,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则P 点的极坐标为23π36⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，， 所以直线OP 的极坐标方程为π()6=∈-∞+∞，，θρ． ………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（Ⅰ）1231231231111111()a a a a a a m a a a ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭……………………（2分）3312212132311193(3222)a a a a a a m a a a a a a mm ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥， ………………（4分） 当且仅当1233ma a a ===时，等号成立． …………………………………………（5分） （Ⅱ）2222222222()()()ax by ax by a b a x b y ab x y +=++=+++222222()a x b y abxy ax by ++=+≥，当且仅当x y =时，等号成立． ……………（10分）。
云南师大附中2013届高考适应性月考卷理科综合答案
云南师大附中2013届高考适应性月考卷理综试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结后，请将本试卷和答题卡并交回。
满分300分，考试用时150分钟。
注意事项：1．答题茄子，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真填涂准考证号。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑o如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
以下数据可供解题时参考。
可能用到的相对原子质量：H-I C-12 N-14 0-16 Na-23 S-32 Fe-56第Ⅰ卷（选择题，共126分）一、选择题：本题共1 3小题，每小题6分o在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于生物体内化合物的叙述，正确的是A．肤岛素是在核糖体上合成并经高尔基体分泌的B．细胞内的单糖都可以作为生命活动的能源物质C．噬茵体和质粒的组成元素相同D．酶、载体蛋白在发挥作用后立即失去生物活性2．下列有关细胞生命历程的说法正确的是A．多细胞生物个体的长大，主要原因是细胞的生长B．细胞生物的生命历程中一定会发生细胞的分化C．被病原体感染的细胞的清除，是通过细胞凋亡完成的D．癌变细胞的细胞膜会发生改变，如糖蛋白、甲胎蛋白和癌胚抗原等会减少3．下列有关基因工程和酶的相关叙述，正确的是A．同种限制酶既可以切割目的基因又可以切割质粒，因此不具备专一性B．运载体的化学本质与载体蛋白相同C．限制酶不能切割烟草花叶病毒的核酸D．DNA连接酶可催化脱氧核苷酸链间形成氢键4．利用基因型为aabb与AABB的水稻作为亲本培育基因型为AAbb的新品种，有关叙述不正确的是A．操作最简便的是杂交育种，能明显缩短育种年限的是单倍体育种B．利用F1的花药进行离体培养可获得该新品种C．诱变育种不能定向获得该新品种D．若通过多倍体育种获得AAAAbbbb个体，和该新品种存在生殖隔离5．下列有关人类遗传病的叙述正确的是1PS：双击获取文档，ctrl+a,ctrl+c,然后粘贴到word即可。
云南师大附中高考适应性月考卷(一)文数答案
云南师大附中2013届高考适应性月考卷（一）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 【解析】1．Q 全集U =R ，{}|1M x x =≤，{}|22N x x =-<<，∴{}()|12U M N x x =<<I ð，选B.2．2i2i (1i)i(1i)1i 1i÷+==-=++Q ，选A. 3．由倍角公式直接求得 22πππ17cos 2cos 22cos 1133388ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选B. 4．设i r、j r 的夹角为β，则由(2)0j i i +=r r r g，可得22||||cos ||0i j i β+=r r r ，得2cos 10β+=， 又(0π)β∈，，所以2π3β=，选C. 5．在同一坐标系中画出ln 26y x y x ==-+，的图象，估计零点在（1，3）之间，进一步验证55ln 126122<-⨯+=，，从而确定零点在532⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，选D. 6．0002125?k S S k k ====>，，，，否001122+2225?k S S k k ====>，，，，否0101222+22+2+2325?k S S k k ====>，，，，否012012332+2+22+2+2+2425?k S S k k ====>，，，，否 …012240122425252+2+2++22+2+2++2+22625?k S S k k ====>L L ，，，，是输出2602325261(12)2+22222112S -=++++==--L ，选C.7．命题p 真，命题q 假，选A ．8．特值法，要考虑到22xy y x ==，的增长速度，因为12221=，22212=，322839=，42214=，选D ．9．因为三棱锥B ACD -是棱长为1的正三棱锥，近一步求得体积V =A ． 10．0102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭Q ，，001()2f x x ∴=+，又 011122x +<Q ≤，001[()]212f f x x ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，由01102122x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭≤，解得01142x <≤，01142x ∴<<，选C ．11．由||1AM =u u u u r可知，点M 的轨迹为以点A 为圆心，1为半径的圆，过点P 作该圆的切线，则222||||||PA PM AM =+，得22||||1PM PA =-，所以要使得||PM u u u u r 的值最小，则要||PA u u u r的值最小，而||PA u u u r 的最小值为4a c -=，此时||PM =u u u u r，故选B.12．数形结合法，题意是()f x 的图象上有几对点关于原点对称，因为()P x y ，关于原点对称的点Q 的坐标为()Q x y --，，在同一坐标系中画出222x y y x x ==--，的图象可看出有两个交点，选C ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13. 它是一个横放的直棱柱，112222V Sh ==⨯⨯⨯=．14．由题意知()f x 在R 上单调递增，4014a a a a ->⎧⎪∴>⎨⎪-⎩，，≤，24a ∴<≤．15．因为(41)A ，，所以41m n +=，所以1111(4)m n m n m n ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭44159m n n m =++++≥． 16．由正余弦定理有：2sin 2sin sin C A B =⇒22c ab =，由余弦定理有：2222236cos 2a b ab C a b c +=⇒+=，所以22222112cos 22c a b c C ab c +-===，0πC <<，所以π3C =. 三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）解:（Ⅰ）因为{}n a 是首项为1的等差数列，所以设1(1)n a n d =+-，因为23511a a a ++，，成等比数列，所以2325(1)(1)a a a +=+，2(22)(2)(14)d d d +=++，解得2d =，于是21n a n =-．…………………………………………………………（6分）（Ⅱ）1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，1111111112335572121n S n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭L111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=21nn +， 21n nS n ∴=+．…………………………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解:（Ⅰ）设该厂有n 个在职职工，由题意有5010110290n =+，得n =2000， 所以z =2000−(110+290+150+450+600)=400．…………………………………………（6分） （Ⅱ）设所抽样本中有m 个女职工，因为 用分层抽样的方法在第三车间中抽取容量为5的样本， 有40010005m=，得m =2 ，即样本中有2个女职工和3个男职工，分别记作：G 1，G 2；B 1，B 2，B 3．则从中任取2人的所有基本事件为(G 1，G 2)， (G 1，B 1) ，(G 1，B 2) ，(G 1，B 3)， (G 2，B 1) ，(G 2，B 2) ，(G 2，B 3) ，(B 1，B 2) ，(B 1，B 3) ，(B 2，B 3) 共10个，其中至少有1个女职工的基本事件有7个基本事件：(G 1，G 2) ，(G 1，B 1) ，(G 1，B 2) ，(G 1，B 3) ，(G 2，B 1) ，(G 2，B 2) ，(G 2，B 3) ，所以从中任取2人，至少有1个女职工的概率为710. ………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图1，PA ABCD BE ABCD ⊥⊂Q 平面，平面， EB PA ∴⊥．又EB AB AB AP A ⊥=I ，， AB AP PAB ⊂，平面，EB PAB ∴⊥平面，又AF PAB ⊂平面， AF BE ∴⊥. ……………………（3分） 又1PA AB ==，点F 是PB 的中点，,AF PB ∴⊥ PB BE B PB BE PBE =⊂Q I 又，，平面， AF PBE ∴⊥平面.PE PBE AF PE ⊂∴⊥Q 平面，. ………………………（6分） （Ⅱ）解：方法一：PD Q 与平面ABCD 所成角是30°，3AD ∴=，ABCD 是矩形，1PA AB ==，多面体PADEF 的体积P ADE E PAF V V V --=+， …………………………………………（8分） P ADE -Q 的高1h PA ==，底面ADE 的面积113132S =⨯⨯=， 11133133P ADE V V S h -∴===⨯⨯=． E PAF -Q 的高132h BC '==，底面PAF 的面积21111=2224PAB S S =⨯=△，……（10分）2111334E PAF V V S h -'∴===⨯=， 故多面体PADEF 的体积 P ADE E PAF V V V --=+==．………………………………………………（12分） 方法二：PD Q 与平面ABCD 所成角是30°，AD ∴=ABCD 是矩形，1PA AB ==， 多面体PADEF 的体积P ABCD P DCE F ABE V V V V ---=--， …………………………………（8分） P DCE -Q 的高1h PA ==，底面DCE的面积1112S =⨯111133P DCE V V S h -∴====． PAB ABCD ⊥Q 平面平面，又点F 是PB 的中点，E 是BC 的中点，F ABE ∴-的高1122h PA '==，底面AEB的面积2112S =⨯=10分）2111332F ABE V V S h -'∴====，113P ABCD V -=， 故多面体PADEF 的体积为 P ABCD P DCE F ABE V V V V ---=--==． ……………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数的定义域为(0)∞，+，2121()2x ax f x x a x x +-'=+-=≤0在[12]，上恒成立，令2()21h x x ax =+-，有(1)0(2)0h h ⎧⎨⎩≤，≤， 得172a a -⎧⎪⎨-⎪⎩≤，≤， 得72a ≤-. ……………………（6分）（Ⅱ）Q x ax x g ln )(-=((0])x e ∈，有最小值3，又11()ax g x a x x-'=-=． ①当0a ≤时，)(x g 在(0]e ，上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，ea 4=（舍去）； ②当0a >时，令()0g x '>，解得1x a >，()g x ∴在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；令()0g x '<，解得1x a <，()g x ∴在10a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减． min 1()1ln 3g x g a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭，2e a =，满足条件. …………………………………（10分）综上，2a e =时，使得当(0]x e ∈，时)(x g 有最小值3. ……………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设动圆C 的半径为r ，1C Q ：221(1)4x y ++=，2C ：2249(1)4x y -+=， 则由题意有1217||||22CC r CC r =+=-，， 124CC CC ∴+=，C ∴的轨迹是以12(10)(10)C C -，，，为焦点，24a =的椭圆， ∴C 的轨迹方程为22143x y +=．…………………………………………………………（4分） （Ⅱ）设1122()()M x y N x y ，，，， 由221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，， 消去y 并整理得22(34)880k x kx ++-=， ……………………………………………（6分） 22(8)32(34)0k k ∆=++>Q 恒成立，∴直线1y kx =+与椭圆恒有两个交点．又122834k x x k +=-+，121226()234y y k x x k ∴+=++=+， ………………………（8分） MN ∴中点P 的坐标为22433434k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，． 设MN 的垂直平分线l '的方程为118y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，P Q 在l '上，22314134348k k k k ⎛⎫∴=--- ⎪++⎝⎭， 即24830k k ++=，解得121322k k =-=-，，k ∴的取值为1322--，． ………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图2，PA Q 与圆相切于点A ，PAD DCA ∴∠=∠. ……………………………………（2分） AB CD Q ∥， DCA CAB ∴∠=∠，PAD CAB ∴∠=∠． ……………………………………（5分） （Ⅱ）PAD CAB DCA ∠=∠=∠Q ，»»AD BC ∴=，AD BC ∴=． ……………………………………………………………（6分）ABCD Q 是圆的内接四边形，∴PDA CBA ∠=∠，又PAD CAB ∠=∠Q ，PDA ∴△∽CBA △，……………………………………………………………………（8分）AD PDAB BC=故， 2AD AB PD ∴=⋅．………………………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】 解：（Ⅰ）由π4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得：cos sin ρθθ=+，两边同乘以ρ得：2cos sin ρρθρθ=+， ……………………………………………（3分） 220x y x y ∴+--=，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． …………………………………（5分）（Ⅱ）将直线参数方程代入圆C 的方程得：2521200t t -+=， …………………（6分）12122145t t t t ∴+==，，…………………………………………………………………（8分）12||||5MN t t ∴=-==． ……………………………………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解：（Ⅰ）()21f x x x =+-＝23020132 1.x x x x x x -<⎧⎪-⎨⎪->⎩，，，≤≤，， ……………………………………（3分）当x ＜0时，由2−3x ≤8，得−2≤x ＜0； 当0≤x ≤1时，由2−x ≤8，得0≤x ≤1； 当x ＞1时，由3x −2≤8，得1＜x ≤103． 综上，不等式()8f x ≤的解集为1023⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． ………………………………………（5分）（Ⅱ）因为()2f x x x a =+-2302032a x x a x x a x a x a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩，，，≤≤，，，…………………………………（8分）可见()f x 在()a -∞，单调递减，在()a ∞，+单调递增，所以，当x a =时，()f x 取最小值a ， 所以a 的取值范围是[6)+∞，． ……………………………………………………（10分）。
云南师大附中2013届高三适应性月考卷数学文科
云南师大附中2013届高三适应性月考卷（三）数学（文）试题参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．当0k =时，1x =；当1k =时，4x =；当2k =时，7x =，{147}A =，，．故选B ．2．1i22z =-11, 22⎛⎫-⎪⎝⎭对应的点是，故选A.3．因为(2a b b -⊥ )，所以(20a b b -⋅=)，即250m -+=，即25m =，所以||3a ==，故选B ．4．由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图1，其中正视图为PAC △，是边长为2的正三角形，P D A B C ⊥平面，且PD =底面ABC △为等腰直角三角形，AB BC ==，所以体积为11323V =⨯⨯=C ．5．1211134242322k S k S ==+⨯===+⨯=当时，；当时，；332233103k S ==+⨯=当时，；4,28k x k ===当时输出.故选A ．6．根据奇偶性定义知，A 、B 为偶函数，C 为奇函数，D 定义域为{|1}x x >-不关于原点对称，故选D ．7．选项A ，否命题为“若211x x ≠≠，则”；选项B ，命题:p x ⌝∀∈“R ，2210x x --≤”；选项D ，“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故选C ． 8．不等式组所表示的区域如图2所示，则max min 6, 3.z z ==故选C ．9．区域1Ω为圆心在原点，半径为4的圆，区域2Ω为等腰直角三角形，两腰长为4，所以图1图2218116π2πS P S ΩΩ===，故选A ．10．375526,3a a a a +==-∴=- ， 2,92(2)2nd a n n ∴==-+-=-， 671,1,a a ∴=-=6S ∴最小.故选D ．11.sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x <⎧=⎨⎩≥由图象知，函数值域为12⎡-⎢⎣⎦，，A 错；当且仅当π2π()4x k k =+∈Z2，C 错；最小正周期为2π，D 错．故选B ．12．构造函数()(),xf xg x e=则2()()()()()()()x xx xf x e e f x f x f xg x e e'''--'==，因为,x ∀∈R 均有()()f x f x '>，并且0x e >，所以()0g x '<，故函数()()xf xg x e=在R 上单调递减，所以(2013)(0)(2013)(0)g g g g -><，， 即20132013(2013)(2013)(0)(0)f f f f ee--><，，也就是20132013(2013)(0)(2013)(0)e f f f e f -><，，故选D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．(0.160.38)15027+⨯⨯=． 14．sin cos c A C ⋅=⋅ ，sin sin cos .C A A C ⋅=⋅由正弦定理得：sin 0,sin A C C≠∴=，tan C ∴=A B C △是锐角三角形π3A B C ∴===，12222ABC S ∴=⨯⨯⨯=△．15．如图3，设三棱锥A B C D -的外接球球心为O ，半径为r ，BC =CD =AB =AC =AD =2，A M B C D ⊥平面，M 为正BC D△的中心，则DM =1，AM=，OA =OD =r ，所以22)1r r+=，解得r =2164ππ3S r ==．16．由图知，2222()()a c b c c +=++，整理得220c ac a --=，即210e e --=，解得2e =，故2e =三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）22n n S a =- ，1122(2)n n S a n --∴=-≥ ，112,2(2)n n n n a a a n a --∴==≥．又12a = ，{}22n a ∴是以为首项,为公比的等比数列，1222n nn a -∴=⋅=． …………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）2n n b n =⋅，1231222322nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ， 23121222(1)22nn n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ ．两式相减得：1212222n n n T n +-=+++-⋅ ，12(12)212nn n T n +-∴-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-，12(1)2n n T n +∴=+-⋅． ……………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由公式2255(2020105)11.9787.87930252530K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，图3所以有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关． ………………………（6分） （Ⅱ）设所抽样本中有m 个男生，则643020m m ==，得人，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作123412,,,,,.B B B B G G 从中任选2人的基本事件有1213(,)(,)B B B B 、、 1411122324212234(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)B B B G B G B B B B B G B G B B 、、、、、、、、3132414212(,)(,)(,)(,)(,)B G B G B G B G G G 、、、、，共15个，其中恰有1名男生和1名女生的事件有111221(,)(,)(,)B G B G B G 、、、223132(,)(,)(,)B G B G B G 、、、41(,)B G 、42(,)B G ，共8个，所以恰有1名男生和1名女生的概率为815P =． ………（12分）19．（本小题满分12分）http://www. .com/（Ⅰ）证明：如图4，∵△PMB 为正三角形， 且D 为PB 的中点，∴MD ⊥PB ． 又∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点， ∴MD //AP ，∴AP ⊥PB ．又已知AP ⊥PC ，∴AP ⊥平面PBC ， ∴AP ⊥BC ，又∵AC ⊥BC ，AC AP A = ，∴BC ⊥平面APC ， …………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）解：记点B 到平面MDC 的距离为h ，则有M BCD B MDC V V --=. ∵AB =10，∴MB =PB =5，又BC =3，BC PC ⊥，4P C ∴=， ∴11324BDC PBC S S PC BC ==⋅=△△．又2M D =132M BC D BD C V M D S -∴=⋅=△．在PBC △中，1522CD PB ==，又M D D C ⊥，12M DC S M D DC ∴=⋅=△11123325B M DC MD C V h S h h -∴=⋅=⋅⋅∴=△，即点B 到平面MDC 的距离为125． ……………………………………………（12分）图420．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()ln 1f x x '=+，令1()0f x x e'==，得．当10,,()0,()x f x f x e ⎛⎫'∈< ⎪⎝⎭单调递减； 当1,,()0,()x f x f x e⎛⎫'∈+∞> ⎪⎝⎭单调递增．10,22t t e>+>>因为，（1）当m in 1110()t f x f ee e⎛⎫<<==- ⎪⎝⎭时，；（2）当min 1()()ln .t f x f t t t e==≥时，所以m in11,0,()1ln ,.t e ef x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≥ …………………………………………………（6分）（Ⅱ）由22ln 3x x x mx -+-≥得32ln m x x x++≤.设3()2ln (0)h x x x x x=++>，则2(3)(1)()x x h x x+-'=. 令()0h x '=，得1x =或3x =-（舍），当(0,1)x ∈时，()0h x '<，h (x )单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，h (x )单调递增，所以min ()(1) 4.h x h ==所以min () 4.m h x =≤ …………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2212e c a c ==∴==，,1b ==则, 2=12xy ∴+椭圆的方程为,221122=1340(),()21x y y x x A x y B x y y x ⎧+⎪-=⎨⎪=-+⎩，联立消去得：，设，，，，则41,,(0,1),33A B A B ⎛⎫-∴= ⎪⎝⎭ ……………………………………………（6分）（Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，.1212=00OA OB OA OB x x y y ⊥∴+=，，即，22222222221()2(1)01yx y a b x a x a b a by x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-+⎩，由消去得，， 222222=(2)4()(1)0a a a b b ∆--+->由，整理得221a b +>，22212122222(1)2a b ax x x x a ba b-+==++又，，12121212(1)(1)(+)+1y y x x x x x x ∴=-+-+=-，1212121202()10x x y y x x x x +=-++=由得，22222222(1)210a b aa ba b-∴-+=++，222220a b a b +-=整理得：，222222b ac a a e =-=- ，代入上式得2222111211211a a ee ⎛⎫=+∴=+ ⎪--⎝⎭，，21112242e e ∴≤≤≤≤，221341122431e e∴-∴-≤≤，≤≤，2711331e ∴+-≤≤，22273162a ab ∴+>≤≤，适合条件，2623a a ∴≤≤，故长轴长的最大值为 …………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明： 23AE AB =，∴1.3BE AB =在正ABC △中，13AD AC =，∴.AD BE =又AB BC = ，BAD C BE ∠=∠，∴BAD△≌C BE △，∴AD B BEC∠=∠，即πAD F AEF ∠+∠=，所以A ，E ，F ，D 四点共圆． …………………………………………………（5分） （Ⅱ）解：如图5，取AE 的中点G ，连结G D ， 则1.2AG GE AE ==23AE AB=，∴1233AG G E AB ===.1233AD AC ==，60D AE ∠=︒，∴A G D△为正三角形，∴2,3GD AG AD ===即2,3G A G E G D ===所以点G 是AED △外接圆的圆心，且圆G 的半径为23．由于A ，E ，F ，D 四点共圆，即A ，E ，F ，D 四点共圆G ，其半径为23．………………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由点M的极坐标为π4⎛⎫⎪⎝⎭，得点M 的直角坐标为(4，4)，所以直线OM 的直角坐标方程为x y =． ……………………………………（4分）（Ⅱ）由曲线C的参数方程1,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，化成普通方程为：2)1(22=+-y x ， 圆心为A (1，0)，半径为2=r ．由于点M 在曲线C 外，故点M 到曲线C 上的点的距离最小值为25||-=-r MA ． ………………………………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解：（Ⅰ）原不等式等价于图5313,,222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-+--⎩⎩≤≤或≤≤或1,2(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--⎩≤， 解之得3131212222x x x <--<-≤或≤≤或≤，即不等式的解集为{|12}x x -≤≤． ………………………………………………（5分） （Ⅱ）()2123(21)(23)4f x x x x x =++-+--= ≥，14a ∴->，解此不等式得35a a <->或． ……………………………………（10分）。
云南师大附中2013届高考适应性月考卷(五)高三(五)文数_双向细目表
10分
参数方程
中
24
解答题
10分
不等式
中命题Biblioteka 思想达成目标
优秀率
及格率
平均分
3%
55%
90～95
1.检查双基的掌握情况，常规解题方法。
2.突出体现数形结合、分类讨论、特值思想。
云南师大附中2013届高考适应性月考卷（五）·双向细目表
文科数学
题号
题型
分值
试题内容
难易程度
备注
1
选择题
5分
集合
易
2
选择题
5分
复数
易
3
选择题
5分
命题
易
4
选择题
5分
概率
易
5
选择题
5分
向量与三角
易
6
选择题
5分
函数图象
易
7
选择题
5分
三视图
易
8
选择题
5分
程序框图
中
9
选择题
5分
三角函数
中
10
选择题
5分
圆锥曲线
中
11
选择题
5分
数列与不等式
中
12
选择题
5分
向量
难
13
填空题
5分
解三角形
易
14
填空题
5分
数列
易
15
填空题
5分
线性规划
中
16
填空题
5分
立体几何
中
17
解答题
12分
数列
易
18
解答题
云南师大附中2013届高考适应性月考卷高三(六)文数_答案
文科数学参考答案·第1页（共8页）图1云南师大附中2013届高考适应性月考卷（六）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{|1}{|0}A x x B y y ==>≤，，故(01]A B = ，． 2．由题可得i i 1i z -=+，12i2i iz +∴==-，则复数z 的共轭复数是2i +． 3．A 、C 、D 选项都是正确的，选项B 的逆命题是“若a b <，则22am bm <”，它是错误的，因为当0m =时，22am bm =．4．由题可得点G 是ABC△的重心，设BC 边的中点为D，则221()332AG AD AB AC ==⨯+2()3AE AF =+，23x y∴==，4.3x y ∴+= 5．只有②③是正确的．6．直线l 的斜率211k m =-≤，tan 1α∴≤，∴ππ0π.42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，7．设正四面体的棱长为a ，则体积31132V a =⨯⨯==2a ∴=，而正四面体的左视图为一个等腰三角形，如图1所示， 122S ∴=⨯=8．73ππ()sin πcos πsin cos 4444f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭文科数学参考答案·第2页（共8页）ππππsin coscos sin cos cos sin sin cos )4444x x x x x x =--+=- π2sin 4x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故最小正周期是2π．令πππ42x k -=+，则3ππ4x k =+为函数()y f x =的对称轴方程．当1k =-时，π.4x =- 9．根据约束条件作出可行域，当a <0时，不满足题意，故a >0，此时得到的可行域是一个三角形，2124 2.2S a a a a =⋅⋅==∴=，10．由题意得2log a x x <在102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上恒成立，故在102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上2=log a y x y x =的图象在的下方．由图象知0<<1a ，当=log a y x 的图象过点1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，1=16a ，故1116a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时满足题意．11．()||0f x x =-||x =，函数()f x 没有零点，则y =||y x =的图象没有交点．22(0)y x y a y =+=≥，它表示以(00)，||y x =的图象是端点为(0的一条折线，如图2，当上半圆与||y x =相切时，1a =；当上半圆经过点(02a =∴=. 若两图象没有交点，则012a a <<>或．12．设00()M x y ，，则100200()()MF c x y MF c x y =---=--，，，，2222222222222220120000022211.x b c MF MF x c y x c b x c b x c b a a a ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-+=-+-=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0[]x a a ∈- ，，∴当0x a =±时，12MF MF ⋅有最大值2b ，2222c b c ∴≤≤，2222222223c a c c c a c ∴-∴≤≤，≤≤，221132c a ∴≤≤，图2文科数学参考答案·第3页（共8页）e ∴∈⎣⎦．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．i 从1开始，依次取3，5，7，9，故输出27317.S =⨯+=14．区域D 表示一个以原点为圆心，半径为1的圆；区域E则2πE D S P S ===． 15．1201320121()1n n na f a a a a +===+ ，， 2013201220122012101n a a a a a ∴==>∴+，又，201220112011201021201111a a a a a a a ∴==∴=====+1234566 3.a a a a a a ∴+++++= 16．如图3所示，圆的方程可化为22(2)1x y -+=，抛物线的焦点(20)F ，，准线 2.x =- 由228y x y x=-⎧⎨=⎩，得21240x x -+=， 设直线与抛物线交于()()A A D D A x y Dx y ，，，， 则12A D x x +=，()()(1)(1)2AB CD AF BF DF CF AF DF AF DF +=-+-=-+-=+-，图3文科数学参考答案·第4页（共8页）由抛物线的定义得22A D AF x DF x =+=+，， ()2214.A D AB CD AF DF x x +=+-=++=故三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）311π3πππ41264T T =-=∴= ，，2π2T ω∴==，图象过点π6A ⎛⎫⎪⎝⎭，，ππ22π62k ϕ∴⨯+=+，ππ026ϕϕ<<∴= 又，，π()sin 26f x A x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，又图象过点(01)，，πsin126A A ∴=∴=，， π()2sin 26f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）πππ()2sin 22sin 2463g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．由πππ2π22π232k x k --+≤≤得π5πππ1212k x k -+≤≤， ∴()y g x =的单调递增区间是π5πππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，．…………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）8889909192905x ++++==甲，838387989990.5x ++++==乙2222221[(8890)(8990)(9090)(9190)(9290)]25s =-+-+-+-+-=甲；文科数学参考答案·第5页（共8页）2222221[(8390)(8390)(8790)(9890)(9990)]50.45s =-+-+-+-+-=乙，22x x s s =< 乙乙甲甲，，∴甲的成绩更稳定．……………………………………………（6分）（Ⅱ）x 所有可能的取值有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10种，其中满足甲的平均成绩超过乙的平均成绩的x 可能的取值有0，1，2，3，4，5，6，7共8种， 故P （甲的平均成绩超过乙的平均成绩）84105==．………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图4，取A B '的中点G ，连接FG ，EG ．F 、G 分别是A C A B ''、的中点，FG∴12BC ，又DE 12BC ， FG∴DE ，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴DF EG ∥，又DF A BE EG A BE ''⊄⊂平面，平面，∴DF A BE '∥平面．…………………………（6分） （Ⅱ）解：取BE 的中点H ，连接A H HC '，，则A H BE '⊥，A BE BCDE A BE BCDE BE A H BCDE '''⊥=∴⊥ 又平面平面，平面平面，平面， A CH A C BCDE ''∴∠为与平面所成角，在△BCH中，由余弦定理得22252222CH =+-=⎝⎭，CH =得2A H '=又tan A H A CH CH ''∴∠=……………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：2p p -=∴∴抛物线22(0)y px p =>的焦点为0⎫⎪⎪⎝⎭， 图4文科数学参考答案·第6页（共8页）2a ∴=又双曲线的一条渐近线过点1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1b b a ∴=∴=， 故双曲线的标准方程为222 1.x y -=…………………………………………………（4分） （Ⅱ）证明：设直线l ：y kx b =+，直线l与圆相切，2211b k =∴=+，，由2221y kx b x y =+⎧⎨-=⎩，消去y 得222(2)210k x kbx b ----=， 设1122()()P x y Q x y ，，，， 21212222122kb b x x x x k k --+==--则，，22121212121212()()(1)()OP OQ x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b ∴⋅=+=+++=++++2222222222(1)(1)21222k b k b b k b k k k +---+-=++=---，221b k =+ ，0.OP OQ OP OQ ∴⋅=∴⊥，…………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）().x f x e a '=+当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴R 在上是增函数； 当<0a 时，令()0ln()x f x e a x a '=+==-，则，则()(ln())(ln()).f x a a -∞--+∞在，上是减函数，在，上是增函数…………………（6分）（Ⅱ）()0(0)(0)x xe f x e ax x a x x=+>∈+∞⇒>-∈+∞在，上恒成立在，上恒成立，令22(1)()=()==.x x x x e e x e e x k x k x x x x --'-∴-，文科数学参考答案·第7页（共8页）当1x >时，()0k x '<；当01x <<时，()0k x '>，()(01)(1)k x ∴+∞在，上是增函数，在，上是减函数，max ()(1)k x k e ∴==-，.a e ∴>-………………………………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图5，连接OD ，AD ，AC 为圆O 的直径，AD BC ∴⊥，又AB AC = ， CAD BAD ∴∠=∠. OA OD = ， CAD ODA ∴∠=∠， BAD ODA ∴∠=∠，OD AB ∴∥.……………………………………………………………………………（4分）DE AB ⊥，DE OD ∴⊥，DE ∴为圆O 的切线．……………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）Rt ADB DE AB ⊥ 在中，，△2DE AE BE ∴=⋅，………………………………………………………………………（8分）DE 为圆O 的切线，2DE EF CE ∴=⋅，∴.AE BE EF CE ⋅=⋅…………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】图5文科数学参考答案·第8页（共8页）解：（Ⅰ）圆1O 可化为：224x y +=；圆2O可化为：2ππcos cos sin sin 244ρθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，222220x y x y ∴+---=．………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）联立222242220x y x y x y ⎧+=⎪⎨+---=⎪⎩，，两式相减得10x y +-=，即为公共弦所在的直线方程， ∴圆心1(00)O ，到直线10x y +-=的距离为2d =，又圆1O 的半径2r =，故两圆公共弦的长为=……………………………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解：（Ⅰ）31()211232x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩，，，≤≤，，，其图象如图6所示，由图可知当x =1时，y =1，故=1a ．……………（5分） （Ⅱ）由题意得()0f x m +≠在R 上恒成立，即()0f x m +=在R 上无实数解，即()y f x y m ==-的图象与无交点，<3>3m m ∴---或，∴3m >或3m <-．……………………………………………………………………（10分）图 6。
云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八)文科数学
云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数11ii-+（i 是虚数单位）化简的结果是A ．i -B ．iC ．1D ．1-2．已知集合101x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (2)B x y x ==+，则A B ＝ A ．()2,1-- B ．()[)2,11,--+∞C ．[)1,+∞D ．()()2,11,---+∞3．已知两条直线,m n 和平面α，且m 在α内，n 在α外，则“n ∥α”是“m ∥n ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}n a 中，39159a a a ++=，则数列{}n a 的前17项和17S ＝A ．102B ．51C ．48D ．36 5．阅读如图1所示的程序框图，则输出的S 的值是A ．910 B ．89 C ．78D ．67正视图 侧视图俯视图1 1 1 6．开学不久，学校从某班的学生中随机抽取25名学生进行学情调查，经过一段时间再次从该班的学生中随机抽取15名学生进行健康状况调查，发现有5名学生上次被抽查过，据此估计该班的学生人数为A ．75B ．65C ．60D ．50 7．某四面体的三视图如图2所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是ABCD ．8．设变量,x y 满足约束条件0,1,21,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩目标函数222z x x y =++，则z 的取值范围是A ．17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2⎤⎥⎣⎦C ．8,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．23⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．定义在R 上的偶函数()f x 满足2(1)()f x f x +=-(()0)f x ≠，且(1)2013f =，则(2013)f ＝A ．12013B ．1C ．4D ．2013 10．已知方程ln 10x ax -+=（a 为实常数）有两个不等实根，则实数a 的取值范围是A ．()0,eB ．[]1,eC ．()0,1D ．[]0,111．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y ，22(,)B x y 间的“折线距离”，在此定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个圆；③到(1,0)M -，(1,0)N 两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0x =． 其中，正确的命题有A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．已知点P 在圆22:(3)1C x y +-=上，点Q 在双曲线22152x y -=的右支上，F 是双曲线的左焦点，则||||PQ QF +的最小值为A．1B．3+C．4+D ．5+第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知1sin 3α=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α＝ ． 14．直线cos sin 10x y θθ++=与圆221x y +=的位置关系为 ．15．已知向量AB 与AC 的夹角为30°，且||6AB =，则||AB AC -的最小值是 ．16．已知函数*(1)()log (2)()m f m m m N +=+∈，令(1)(2)()f f f m k ⋅⋅⋅=，当[]1,2013m ∈，且*k N ∈时，满足条件的所有k 的值的和为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线34y x =+上． （1）求数列{}n a 的通项a ；（2）令*()n n b na n N =∈，试求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1AB AA =，E 、F 分别为BC 、1CC 的中点．（1）求证：1B E ⊥平面AEF ；（2）当2AB =时，求点E 到平面1B AF 的距离．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，满足229x y +≤的点(,)P x y 组成的平面区域（或集合）记为Ω，现从Ω中随机取点(,)M x y ．（1）设,x Z y Z ∈∈，22x y ξ=+，求5ξ=的概率；（2）设,x R y R ∈∈，若直线(0)y x b b =-+>被圆229x y +=截得的弦长为，求ABCEF B 1C 1 A 1y x b ≥-+的概率．20．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为1x =，F 是焦点．过点(2,0)A -的直线与抛物线交于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ，N ． （1）求抛物线的方程及12y y 的值；（2）记直线PQ ，MN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值． 21．（本小题满分12分）已知函数2()416mx f x x =+，||1()2x m g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中m R ∈且0m ≠．（1）判断函数()f x 的单调性；（2）设函数(),2,()(),2,f x x h xg x x ≥⎧=⎨<⎩当2m ≥时，若对于任意的[)12,x ∈+∞，总存在唯一的()2,2x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立，试求m 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图4，已知,AB CD 是圆O 的两条平行弦，过点A 引圆OP ，F 为CD 上的一点，弦,FA FB 分别与CD 交于点,GH ．（1）求证：GP GH GC GD ⋅=⋅；（2）若39AB AF GH ===，6DH =，求PA 的长． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知椭圆C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，点1F ，2F 为其左右焦点．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2,2,2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数，t R ∈）．（1）求直线l 的普通方程和椭圆C 的直角坐标方程；（2）求点1F ，2F 到直线l 的距离之和．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()2()log |1||5|1f x x x =-+--． （1）当5a =时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】 4．11717917()172a a S a +==，3915939a a a a ++==，93a =∴．故选B ． 5．依题意，知11,2,0,12i n S ===+⨯ 112,3,,1223i n S ===+⨯⨯ 1113,4,,122334i n S ===++⨯⨯⨯ ……，1111188,9,11223348999i n S ===++++=-=⨯⨯⨯⨯…. 故选B ． 6．设该班学生人数为n ，依题意知25515n =，75n =，故选A ． 7．由题图可知，几何体为如图1所示的三棱锥P ABC -， 其中1,,PA AC PA AC PA AB ==⊥⊥，由俯视图可知，AB BC =PB =D ．8．2222+2(1)1z x x y x y =+=++-，用线性规划，可求得22(1)x y ++的范围是17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以8,39z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ． 9．22(4)()2(2)()f x f x f x f x +=-=-=+-，故()f x 为周期函数，周期4T =，(2013)(45031)(1)2013f f f =⨯+==∴．故选D ．10．ln 1=0ln =1x ax x ax -+⇔-，令12ln ,1y x y ax ==-，直线21y ax =-过定点(0,1)-，图1设直线21y ax =-与1y 的切点为00(,ln )x x ，由于11y x'=， 所以切线斜率0000ln 11,1,1x a x a x x +====∴， 当(0,1)a ∈时，直线21y ax =-与1y 的图象有2个交点．故选C. 11．设到原点的“折线距离”为1的点为(,)x y ，则||||1x y +=，其轨迹为如图2所示的正方形，所以①正确，②错误； 设到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点为(,)x y ， 则|1||||1|||,|1||1|x y x y x x ++=-++=-， 从而0x =，所以③正确．故选B ．12．设双曲线22152x y -=的右焦点为F '，则(0),0)F F '，由双曲线定义知||||QF QF '=+，||||||||QF PQ QF PQ '+=++ 当,,,C P Q F '共线时，min (||||)3QF PQ '+=，min (||||)3QF PQ +=+∴ C.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 15．如图3所示，点C 的轨迹为射线AC '（不含端点A ），当BC AC ⊥时，min min ||||3AB AC CB -==．16．234(1)(1)(2)()log 3log 4log 5log (2)m f f f m m +=+……2log (2)m k =+=，22k m =-，[1,2013],m k ∈∈*N ∵，101121024,22013=>，所以，k 值组成的集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10}，2391054++++=…．图3图2三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点(,)n n a S 在直线34y x =+上，所以34n n S a =+，1134n n S a ++=+， 11133n n n n n a S S a a +++=-=-，化简得123n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，公比32q =，由11134S a a ==+得12a =-， 故11132()2n n n a a qn --⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭*N ．……………………………………………（6分）（Ⅱ）因为 ()n n b na n =∈*N ， 所以12341n n n T b b b b b b -=++++++23213333321234(1)22222n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，① 234133333332234(1)2222222n nn T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，② ①-②得23113333321+222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ………（8分）2313333341+22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦31332444(2)8()32212nn nn n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-*N ． ……………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，不妨设1||||=AB AA a =， ABC ∵△为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，11||BC B C =∴，∵E 、F 分别为BC 、1CC 的中点，222222113||||||2B E BE BB a a ⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭∴， 22222213||||||44EF EC CF a a⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭， 222222111119||||||244B F B C C F a a a =+=+=，有22222211339||||||244B E EF a a a B F +=+==，1B E EF ⊥∴，又1,AE BC B B ⊥⊥∵平面ABC ，1B E AE ⊥∴，AE EF E =，1B E ⊥∴平面AEF ．…………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由条件知，1||||||||AE B E EF AF =，11||||3AB B F ==，…………………………………………………………（8分）AE EF ⊥∵，11||||22AEF S AE EF ==⨯=△∴， 在1AFB △中，11cos sin B AF B AF ∠==∠=11111||||sin 322AB F S AB AF B AF =∠=⨯=△∴， ………………（10分）设点E 到平面1B AF 的距离为d ， 则11||AB F AEF d S B E S =△△，所以213d ==，即点E 到平面1B AF 的距离为1． ………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当,x y ∈∈Z Z 时，圆229x y +=内共有29个点， 满足225x y +=的点有8个，所以8(5)29P ξ==． ……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）当直线(0)y x b b =-+>被圆229x y +=截得的弦长为时， 设圆心O 到直线(0)y x b b =-+>的距离为d ，由22232d ⎛+= ⎝⎭，d =3b =． ………………………………（8分）满足y x b -+≥的(,)M x y位于弦长为的弓形内，所以y x b -+≥的概率为9π91142==9π42πS P S -=-弓形圆． ………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：依题意，设抛物线方程为22(0)y px p =->， 由准线12px ==，得2p =， 所以抛物线方程为24y x =-．………………………………………………（2分）设直线PQ 的方程为2x my =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2480y my +-=， 从而128y y =-．………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）证明：设3344(,),(,)M x y N x y ，则223434341121222122123434124444y y x x y y k y y y y y y k x x y y y y y y --+----=⨯=⨯=---+---． …………………（8分）设直线PM 的方程为1x ny =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2440y ny +-=， 所以134y y =-， 同理244y y =-．………………………………………………………………（10分）故3411221212124444182y y k y y k y y y y y y --++--=====++-，为定值． …………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，22222(4)(2)(2)()4(4)4(4)m x m x x f x x x --+'==++，当0m >时，()022,()02f x x f x x ''>⇒-<<<⇒<-或2x >， 所以()f x 在(2,2)-上单调递增；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减． 当0m <时，()022,()02f x x f x x ''<⇒-<<>⇒<-或2x >，所以()f x 在(2,2)-上单调递减；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递增． …………（6分） （Ⅱ）当2m ≥，1[2,)x ∈+∞时，11121()()416mx h x f x x ==+，由（Ⅰ）知1()h x 在[2,)+∞上单调递减， 从而1()(0,(2)]h x f ∈，即1()0,16m h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； ……………………………………（8分） 当2m ≥，22x <时，222||22111()()2222x m m x mx h x g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在(,2)-∞上单调递增， 从而2()(0,(2))h x g ∈，即221()0,2m h x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（10分）对于任意的1[2,)x ∈+∞，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立， 只需21162m m -⎛⎫< ⎪⎝⎭，即210162m m -⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立即可．记函数21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[2,)+∞上单调递增，且(4)0H =，所以m 的取值范围为[2,4)． …………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：∵PE 与圆O 切于点A ， ∴EAB BFA ∠=∠， ∵//AB CD ，∴EAB APD ∠=∠．在HGF △和AGP △中，,,HFG APG HGF AGP ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴HGF △∽AGP △， ………………………………………………………………（2分）∴GH GP GF GA =．又∵GC GD GF GA =， ∴GP GH GC GD =． ……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：∵AB AF =， ∴ABF AFB APH ∠=∠=∠． 又∵//AB CD ，∴四边形ABHP 为平行四边形， ………………………………………………（7分）∴9AB PH ==， ∴6GP PH GH =-=， ∴6329GP GH GC GD ⨯===， ∴4PC =．∵PA 是⊙O 的切线，∴2PA PC PD =，PA =．………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由l 的参数方程消去t ，得2y x =-， 故直线l 的普通方程为20x y --=． …………………………………………（2分）由22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+， 而cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以223412x y +=，即22143x y +=，故椭圆C 的直角坐标方程为22143x y +=．……………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12(1,0),(1,0)F F -， 点1(1,0)F -到直线l的距离1d == 点2(1,0)F 到直线l的距离2d =，12d d +=12,F F 到直线l的距离之和为 …………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ） 当5a =时，要使函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--有意义， 需|1||5|50x x -+-->恒成立．1,15,5,|1||5|50210102110x x x x x x x <<⎧⎧⎧-+-->⇔⎨⎨⎨-+>->->⎩⎩⎩≤≥或或 11122x x ⇒<>或，所以函数()f x 的定义域为111,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（5分）（Ⅱ）函数()f x 的值域为R ，需要()|1||5|g x x x a =-+--能取到所有正数， 即min ()0g x ≤．由62,1,|1||5|4,15,26,5,x x x x x x x -<⎧⎪-+-=⎨⎪->⎩≤≤ 易知|1||5|4x x -+-≥，故min ()40g x a =-≤，得4a ≥，所以实数a 的取值范围为4a ≥．……………（10分）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）·双向细目表文科数学。
云南师大附中2013届高考适应性月考卷(一)文数答案
文科数学参考答案·第1页（共6页）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（一）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 【解析】1． 全集U =R ，{}|1M x x =≤，{}|22N x x =-<<，∴{}()|12U M N x x =<< ð，选B.2．2i2i (1i)i(1i)1i 1i÷+==-=++ ，选A. 3．由倍角公式直接求得 22πππ17cos 2cos 22cos 1133388ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选B. 4．设i 、j 的夹角为β，则由(2)0j i i += ，可得22||||cos ||0i j i β+= ，得2cos 10β+=，又(0π)β∈，，所以2π3β=，选C. 5．在同一坐标系中画出ln 26y x y x ==-+，的图象，估计零点在（1，3）之间，进一步验证55ln 126122<-⨯+=，，从而确定零点在532⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，选D. 6．0002125?k S S k k ====>，，，，否001122+2225?k S S k k ====>，，，，否0101222+22+2+2325?k S S k k ====>，，，，否012012332+2+22+2+2+2425?k S S k k ====>，，，，否 …012240122425252+2+2++22+2+2++2+22625?k S S k k ====> ，，，，是输出2602325261(12)2+22222112S -=++++==-- ，选C.7．命题p 真，命题q 假，选A ．8．特值法，要考虑到22xy y x ==，的增长速度，因为12221=，22212=，322839=，42214=，选D ．9．因为三棱锥B ACD -是棱长为1的正三棱锥，近一步求得体积V =A ． 10．0102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ，，001()2f x x ∴=+，又 011122x +< ≤，001[()]212f f x x ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，文科数学参考答案·第2页（共6页）由01102122x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭≤，解得01142x <≤，01142x ∴<<，选C ． 11．由||1AM =可知，点M 的轨迹为以点A 为圆心，1为半径的圆，过点P 作该圆的切线，则222||||||PA PM AM =+，得22||||1PM PA =-，所以要使得||PM 的值最小，则要||PA的值最小，而||PA的最小值为4a c -=，此时||PM = ，故选B.12．数形结合法，题意是()f x 的图象上有几对点关于原点对称，因为()P x y ，关于原点对称的点Q 的坐标为()Q x y --，，在同一坐标系中画出222x y y x x ==--，的图象可看出有两个交点，选C ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13. 它是一个横放的直棱柱，112222V Sh ==⨯⨯⨯=．14．由题意知()f x 在R 上单调递增，4014a a a a ->⎧⎪∴>⎨⎪-⎩，，≤，24a ∴<≤．15．因为(41)A ，，所以41m n +=，所以1111(4)m n m n m n ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭44159m n n m =++++≥． 16．由正余弦定理有：2sin 2sin sin C A B =⇒22c ab =，由余弦定理有：2222236cos 2a b ab C a b c +=⇒+=，所以22222112cos 22c a b c C ab c +-===，0πC <<，所以π3C =. 三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）解:（Ⅰ）因为{}n a 是首项为1的等差数列，所以设1(1)n a n d =+-，因为23511a a a ++，，成等比数列，所以2325(1)(1)a a a +=+，2(22)(2)(14)d d d +=++，解得2d =，于是21n a n =-．…………………………………………………………（6分）文科数学参考答案·第3页（共6页）（Ⅱ）1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，1111111112335572121n S n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=21n n +， 21n nS n ∴=+．…………………………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解:（Ⅰ）设该厂有n 个在职职工，由题意有5010110290n =+，得n =2000， 所以z =2000−(110+290+150+450+600)=400．…………………………………………（6分） （Ⅱ）设所抽样本中有m 个女职工，因为 用分层抽样的方法在第三车间中抽取容量为5的样本， 有40010005m=，得m =2 ，即样本中有2个女职工和3个男职工，分别记作：G 1，G 2；B 1，B 2，B 3．则从中任取2人的所有基本事件为(G 1，G 2)， (G 1，B 1) ，(G 1，B 2) ，(G 1，B 3)， (G 2，B 1) ，(G 2，B 2) ，(G 2，B 3) ，(B 1，B 2) ，(B 1，B 3) ，(B 2，B 3) 共10个，其中至少有1个女职工的基本事件有7个基本事件：(G 1，G 2) ，(G 1，B 1) ，(G 1，B 2) ，(G 1，B 3) ，(G 2，B 1) ，(G 2，B 2) ，(G 2，B 3) ，所以从中任取2人，至少有1个女职工的概率为710. ………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图1，PA ABCD BE ABCD ⊥⊂ 平面，平面， EB PA ∴⊥．又EB AB AB AP A ⊥= ，， AB AP PAB ⊂，平面，EB PAB ∴⊥平面，又AF PAB ⊂平面， AF BE ∴⊥. ……………………（3分） 又1PA AB ==，点F 是PB 的中点，,AF PB ∴⊥ PB BE B PB BE PBE =⊂ 又，，平面， AF PBE ∴⊥平面.PE PBE AF PE ⊂∴⊥ 平面，. ………………………（6分） （Ⅱ）解：方法一：PD 与平面ABCD 所成角是30°，AD ∴=ABCD 是矩形，1PA AB ==，多面体PAD EF 的体积P ADE E PAF V V V --=+， …………………………………………（8分）P ADE - 的高1h PA ==，底面ADE的面积1112S =⨯111133P ADE V V S h -∴====E PAF -的高12h BC '==底面PAF 的面积21111=2224PAB S S =⨯=△，……（10分）文科数学参考答案·第4页（共6页）2111334E PAF V V S h -'∴===⨯=故多面体PAD EF 的体积 P ADE E PAF V V V --=+==12分） 方法二：PD 与平面ABCD 所成角是30°，AD ∴=ABCD 是矩形，1PA AB ==， 多面体PAD EF 的体积P ABCD P DCE F ABE V V V V ---=--， …………………………………（8分） P DCE - 的高1h PA ==，底面DCE的面积1112S =⨯=，111133P DCE V V S h -∴====．PAB ABCD ⊥ 平面平面，又点F 是PB 的中点，E 是BC 的中点，F ABE ∴-的高1122h PA '==，底面AEB的面积2112S =⨯=，…………（10分）2111332F ABE V V S h -'∴====113P ABCD V -==，故多面体PAD EF 的体积为 P ABCD P DCE F ABE V V V V ---=--=． ……………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数的定义域为(0)∞，+，2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=≤0在[12]，上恒成立，令2()21h x x ax =+-，有(1)0(2)0h h ⎧⎨⎩≤，≤， 得172a a -⎧⎪⎨-⎪⎩≤，≤， 得72a ≤-. ……………………（6分）（Ⅱ） x ax x g ln )(-=((0])x e ∈，有最小值3，又11()ax g x a x x-'=-=． ①当0a ≤时，)(x g 在(0]e ，上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，ea 4=（舍去）； ②当0a >时，令()0g x '>，解得1x a >，()g x ∴在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；令()0g x '<，解得1x a <，()g x ∴在10a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减． min 1()1ln 3g x g a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭，2e a =，满足条件. …………………………………（10分）综上，2a e =时，使得当(0]x e ∈，时)(x g 有最小值3. ……………………………（12分）文科数学参考答案·第5页（共6页）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设动圆C 的半径为r ，1C ：221(1)4x y ++=，2C ：2249(1)4x y -+=， 则由题意有1217||||22CC r CC r =+=-，， 124CC CC ∴+=，C ∴的轨迹是以12(10)(10)C C -，，，为焦点，24a =的椭圆，∴C 的轨迹方程为22143x y +=．…………………………………………………………（4分） （Ⅱ）设1122()()M x y N x y ，，，， 由221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，， 消去y 并整理得22(34)880k x kx ++-=， ……………………………………………（6分） 22(8)32(34)0k k ∆=++> 恒成立，∴直线1y kx =+与椭圆恒有两个交点．又122834k x x k +=-+，121226()234y y k x x k ∴+=++=+， ………………………（8分） MN ∴中点P 的坐标为22433434k kk ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，． 设MN 的垂直平分线l '的方程为118y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，P 在l '上，22314134348k k k k ⎛⎫∴=--- ⎪++⎝⎭，即24830k k ++=，解得121322k k =-=-，，k ∴的取值为1322--，．………………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图2，PA 与圆相切于点A ，PAD DCA ∴∠=∠. ……………………………………（2分） AB CD ∥，DCA CAB ∴∠=∠，PAD CAB ∴∠=∠． ……………………………………（5分）（Ⅱ）PAD CAB DCA ∠=∠=∠ ，文科数学参考答案·第6页（共6页）AD BC ∴=，AD BC ∴=． ……………………………………………………………（6分） ABCD 是圆的内接四边形，∴PDA CBA ∠=∠，又PAD CAB ∠=∠ ，PDA ∴△∽CBA △，……………………………………………………………………（8分）AD PDAB BC=故， 2AD AB PD ∴=⋅．………………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】 解：（Ⅰ）由π4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得：cos sin ρθθ=+，两边同乘以ρ得：2cos sin ρρθρθ=+， ……………………………………………（3分） 220x y x y ∴+--=，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． …………………………………（5分）（Ⅱ）将直线参数方程代入圆C 的方程得：2521200t t -+=， …………………（6分）12122145t t t t ∴+==，，…………………………………………………………………（8分）12||||MN t t ∴=-= ……………………………………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解：（Ⅰ）()21f x x x =+-＝23020132 1.x x x x x x -<⎧⎪-⎨⎪->⎩，，，≤≤，， ……………………………………（3分）当x ＜0时，由2−3x ≤8，得−2≤x ＜0； 当0≤x ≤1时，由2−x ≤8，得0≤x ≤1；当x ＞1时，由3x −2≤8，得1＜x ≤103．综上，不等式()8f x ≤的解集为1023⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． ………………………………………（5分）（Ⅱ）因为()2f x x x a =+-2302032a x x a x x a x a x a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩，，，≤≤，，，…………………………………（8分）可见()f x 在()a -∞，单调递减，在()a ∞，+单调递增，所以，当x a =时，()f x 取最小值a ， 所以a 的取值范围是[6)+∞，． ……………………………………………………（10分）。
云南师大附中2012届高考适应性月考卷(八)文科数学
云南师大附中2012届高考适应性月考卷（八）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：()(1)k k n kn n P k C P P -=-球是表面积公式24R S π=其中R 表示球的半径 球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2(,)|1,A x y y x x R ==+∈，集合{}2|1,B y y x x R ==-+∈，则A B ＝A ．{}(0,1)B ．{}1C ．∅D ．{}02．已知复数11i z i+=-，则2012z ＝ A ．i B ．i - C ．1-D ．13．已知函数22()cossin 22x x f x =-，则()f x 的最小正周期是 A ．2πB ．πC ．2πD ．4π4．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a b <”是使“cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()2xf x e x =--，在下列区间中()f x 存在零点的是A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(3,4)D ．(2,3)6．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +-=，则10a ＝A ．1024B ．1023C ．2048D ．20477．已知,x y 满足约束条件0,3440,0,x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则22x y +的最小值为A ．25B1C ．2425D ．16258．已知双曲线2216436x y -=的焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，且1260F PF ∠= ，则△12F PF 的面积为A ．18B． C．D ．329．已知某正三棱锥S ABC -及其正视图如图1所示，则其侧视图的周长为A ．5B．6 C．4+D．410．某同学同时掷两颗骰子，得到的点数分别为a 、b ，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e >A ．118 B ．536C ．16D ．1311．已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为A ．6πB ．3π CD12．函数()()y f x x R =∈满足：对一切x R ∈，()0f x ≥，(1)f x +=当[0,1)x ∈时，2,(02),()21),x x f x x ⎧+≤<⎪=≤<则(2007f ＝A．B．2C．2DABCS正视图图1第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．与向量(3,4)a =-方向相反的单位向量是 ． 14．为了了解某校2012年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图2），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数是 ．15．执行图3所示的程序框图后输出的结果是 ．16．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB CD >，设以A 、B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C 、D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则12e e ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+（*n N ∈）．（1）求证：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S18．（本小题满分12分）继“三鹿奶粉”，“瘦肉精”，“地沟油”等事件的发生之后，食品安全问题屡屡发生，引起了国务院的高度重视，为了加强食品的安全，某食品安检部门调查一个海水养殖场养殖鱼的有关情况，安检人员从这个海水养殖场中不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg ），并将所得数据进行统计得下表．若规定超过正常生长的速度（1.00~1.20/kg 年）的比重超过15％，则认为所饲养的鱼有问题，否则认为所饲养的鱼没有问题．图2图3（1）根据数据统计表，估计数据落在[1.20,1.30)内的概率约为多少，并判断此养殖场所饲养的鱼是否存在问题？（2）上面捕捞的100条鱼中，从重量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)的鱼中，任取2条鱼来检测，求恰好所取的鱼重量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)各有1条的概率． 19．（本小题满分12分）如图4，在三棱锥P ABC -中，△PAC 和△PBC 2AB =，O 是AB 的中点．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离d ．20．（本小题满分12分）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点．（1）如果点A 在圆222x y c +=（c 为椭圆的半焦距）上，且1||F A c =，求椭圆的离心率； （2）若函数log (0m y x m =+>且1)m ≠的图像，无论m 为何值时恒过定点(,)b a ，求22F A F B ⋅的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数2()()x f x x a e =-（e 为自然对数的底数），()()g x f x b =-，其中曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线的斜率为3-．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设方程()0g x =有且仅有一个实根，求实数b 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图5，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点，AD BC ⊥于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的PAO BC图4图5延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．（1）求证：BF EF =；（2）若FG BF =，且⊙O的半径长为BD 和FG 的长度． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知曲线C的参数方程为：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数），直线l的参数方程为：21x y t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数），点(2,1)P ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点． （1）写出曲线C 和直线l 在直角坐标系下的标准方程； （2）求||||PA PB +的值．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数1()|1||3|2f x x x =++-． （1）请写出函数()f x 在每段区间上的解析式，并在图6中的直角坐标系中作出函数()f x 的图像；（2）若不等式11|1||3|2x x a a++-≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13．34(,)5514．48 15．8916．1三、解答题17．。
云南师大附中2013届高考适应性月考卷(一)文科数学
圆锥曲线
难
12
选择题
5分
函数
难
13
填空题
5分
立体几何
易
14
填空题
5分
函数
易
15
填空题
5分
函数与不等式
中
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ16
填空题
5分
解三角形
中
17
解答题
12分
数列
易
18
解答题
12分
统计与概率
易
19
解答题
12分
立体几何
中
20
解答题
12分
导数
中
21
解答题
12分
圆锥曲线
难
22
解答题
10分
平面几何
中
23
解答题
10分
参数方程
云南师大附中2013届高考适应性月考卷（一）·双向细目表
文科数学
题号
题型
分值
试题内容
难易程度
备注
1
选择题
5分
集合
易
2
选择题
5分
复数
易
3
选择题
5分
三角函数
易
4
选择题
5分
向量
易
5
选择题
5分
函数
易
6
选择题
5分
算法
中
7
选择题
5分
命题函数
中
8
选择题
5分
数列
中
9
选择题
5分
立体几何
中
10
选择题
5分
函数
【数学】云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八)(文)
【数学】云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设集合A={x|0＜x＜1}，集合B={x|x²3x+2=0}，则A∩B的结果是（）A. {1}B. {2}C. {1, 2}D. 空集2. 已知复数z满足|z|=1，则z的共轭复数z的模为（）A. 1B. 1C. 0D. 无法确定3. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3+a5=6，则数列的公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A. y=x³B. y=|x|C. y=x²D. y=x²x5. 设函数f(x)=x²2x+1，则f(x)在区间（∞，1）上的单调性为（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先单调递增后单调递减D. 先单调递减后单调递增6. 平面向量a和b的夹角为60°，|a|=2，|b|=3，则向量a和b 的数量积为（）A. 3B. 6C. 9D. 127. 若直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则k的取值范围是（）A. [1，1]B. (1，1)C. [√2，√2]D. (√2，√2)8. 已知三角形ABC的三个顶点A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，则三角形ABC的面积S为（）A. 0B. 2C. 4D. 69. 在等比数列{bn}中，若b1=2，b3=8，则b5等于（）A. 16B. 32C. 64D. 12810. 设函数g(x)=ln(x²+1)，则g'(0)等于（）A. 0B. 1C. 1D. 211. 若随机变量ξ～N(μ,σ²)，则P(μσ＜ξ＜μ+σ)等于（）A. 0.6826B. 0.9544C. 0.9974D. 112. 已知函数h(x)=e^xx1，则h(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 1D. e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若函数f(x)=x²+ax+1在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是______。
云南师大附中13届八模
云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数11ii-+（i 是虚数单位）化简的结果是A ．i -B ．iC ．1D ．1-2．已知集合101x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (2)B x y x ==+，则A B ＝A ．()2,1--B ．()[)2,11,--+∞C ．[)1,+∞D ．()()2,11,---+∞3．已知两条直线,m n 和平面α，且m 在α内，n 在α外，则“n ∥α”是“m ∥n ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}n a 中，39159a a a ++=，则数列{}n a 的前17项和17S ＝A ．102B ．51C ．48D ．36 5．阅读如图1所示的程序框图，则输出的S 的值是A ．910 B ．89 C ．78D ．67正视图 侧视图俯视图1 1 12 6．开学不久，学校从某班的学生中随机抽取25名学生进行学情调查，经过一段时间再次从该班的学生中随机抽取15名学生进行健康状况调查，发现有5名学生上次被抽查过，据此估计该班的学生人数为A ．75B ．65C ．60D ．50 7．某四面体的三视图如图2所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是ABCD ．8．设变量,x y 满足约束条件0,1,21,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩目标函数222z x x y =++，则z 的取值范围是A ．17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2⎤⎥⎣⎦C ．8,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎤⎥⎣⎦9．定义在R 上的偶函数()f x 满足2(1)()f x f x +=-(()0)f x ≠，且(1)2013f =，则(2013)f ＝A ．12013B ．1C ．4D ．2013 10．已知方程ln 10x ax -+=（a 为实常数）有两个不等实根，则实数a 的取值范围是A ．()0,eB ．[]1,eC ．()0,1D ．[]0,111．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y ，22(,)B x y 间的“折线距离”，在此定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个圆；③到(1,0)M -，(1,0)N 两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0x =． 其中，正确的命题有A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．已知点P 在圆22:(3)1C x y +-=上，点Q 在双曲线22152x y -=的右支上，F 是双曲线的左焦点，则||||PQ QF +的最小值为A．1B．3+C．4+D ．5+第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知1sin 3α=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α＝ ． 14．直线cos sin 10x y θθ++=与圆221x y +=的位置关系为 ．15．已知向量AB 与AC 的夹角为30°，且||6AB =，则||AB AC -的最小值是 ．16．已知函数*(1)()log (2)()m f m m m N +=+∈，令(1)(2)()f f f m k ⋅⋅⋅=，当[]1,2013m ∈，且*k N ∈时，满足条件的所有k 的值的和为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线34y x =+上． （1）求数列{}n a 的通项a ；（2）令*()n n b na n N =∈，试求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1AB AA =，E 、F 分别为BC 、1CC 的中点．（1）求证：1B E ⊥平面AEF ；（2）当2AB =时，求点E 到平面1B AF 的距离．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，满足229x y +≤的点(,)P x y 组成的平面区域（或集合）记为Ω，现从Ω中随机取点(,)M x y ．（1）设,x Z y Z ∈∈，22x y ξ=+，求5ξ=的概率；（2）设,x R y R ∈∈，若直线(0)y x b b =-+>被圆229x y +=截得的弦长为，求y x b ≥-+的概率．ABCEF B 1C 1 A 120．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为1x =，F 是焦点．过点(2,0)A -的直线与抛物线交于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ，N ． （1）求抛物线的方程及12y y 的值；（2）记直线PQ ，MN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值． 21．（本小题满分12分）已知函数2()416mx f x x =+，||1()2x m g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中m R ∈且0m ≠．（1）判断函数()f x 的单调性；（2）设函数(),2,()(),2,f x x h xg x x ≥⎧=⎨<⎩当2m ≥时，若对于任意的[)12,x ∈+∞，总存在唯一的()2,2x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立，试求m 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图4，已知,AB CD 是圆O 的两条平行弦，过点A 引圆OP ，F 为CD 上的一点，弦,FA FB 分别与CD 交于点,GH ．（1）求证：GP GH GC GD ⋅=⋅；（2）若39AB AF GH ===，6DH =，求PA 的长． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知椭圆C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，点1F ，2F 为其左右焦点．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2,,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，t R ∈）．（1）求直线l 的普通方程和椭圆C 的直角坐标方程； （2）求点1F ，2F 到直线l 的距离之和．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】已知函数()2()log |1||5|1f x x x =-+--． （1）当5a =时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】 4．11717917()172a a S a +==，3915939a a a a ++==，93a =∴．故选B ． 5．依题意，知11,2,0,12i n S ===+⨯ 112,3,,1223i n S ===+⨯⨯ 1113,4,,122334i n S ===++⨯⨯⨯ ……，1111188,9,11223348999i n S ===++++=-=⨯⨯⨯⨯…. 故选B ． 6．设该班学生人数为n ，依题意知25515n =，75n =，故选A ． 7．由题图可知，几何体为如图1所示的三棱锥P ABC -， 其中1,,PA AC PA AC PA AB ==⊥⊥，由俯视图可知，AB BC =PB =D ．8．2222+2(1)1z x x y x y =+=++-，用线性规划，可求得22(1)x y ++的范围是17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以8,39z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ． 9．22(4)()2(2)()f x f x f x f x +=-=-=+-，故()f x 为周期函数，周期4T =，(2013)(45031)(1)2013f f f =⨯+==∴．故选D ．10．ln 1=0ln =1x ax x ax -+⇔-，令12ln ,1y x y ax ==-，直线21y ax =-过定点(0,1)-，设直线21y ax =-与1y 的切点为00(,ln )x x ，由于11y x'=， 所以切线斜率0000ln 11,1,1x a x a x x +====∴，图1当(0,1)a ∈时，直线21y ax =-与1y 的图象有2个交点．故选C. 11．设到原点的“折线距离”为1的点为(,)x y ，则||||1x y +=，其轨迹为如图2所示的正方形，所以①正确，②错误； 设到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点为(,)x y ， 则|1||||1|||,|1||1|x y x y x x ++=-++=-， 从而0x =，所以③正确．故选B ．12．设双曲线22152x y -=的右焦点为F '，则(0),0)F F '，由双曲线定义知||||QF QF '=+，||||||||QF PQ QF PQ '+=++ 当,,,C P Q F '共线时，min (||||)3QF PQ '+=，min (||||)3QF PQ +=+∴ C.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 15．如图3所示，点C 的轨迹为射线AC '（不含端点A ），当BC AC ⊥时，min min ||||3AB AC CB -==．16．234(1)(1)(2)()log 3log 4log 5log (2)m f f f m m +=+……2log (2)m k =+=，22k m =-，[1,2013],m k ∈∈*N ∵，101121024,22013=>，所以，k 值组成的集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10}，2391054++++=…． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点(,)n n a S 在直线34y x =+上，所以34n n S a =+，1134n n S a ++=+，图3图211133n n n n n a S S a a +++=-=-，化简得123n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，公比32q =，由11134S a a ==+得12a =-， 故11132()2n n n a a qn --⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭*N ．……………………………………………（6分）（Ⅱ）因为 ()n n b na n =∈*N ， 所以12341n n n T b b b b b b -=++++++23213333321234(1)22222n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，① 234133333332234(1)2222222n nn T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，② ①-②得23113333321+222222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………（8分）2313333341+22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦31332444(2)8()32212nn nn n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-*N ． ……………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，不妨设1||||=AB AA a =， ABC ∵△为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，11||BC B C =∴，∵E 、F 分别为BC 、1CC 的中点，222222113||||||2B E BE BB a a ⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭∴， 22222213||||||44EF EC CF a a⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭，222222111119||||||244B F B C C F a a a =+=+=，有22222211339||||||244B E EF a a a B F +=+==，1B E EF ⊥∴，又1,AE BC B B ⊥⊥∵平面ABC ，1B E AE ⊥∴，AE EF E =，1B E ⊥∴平面AEF ．…………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由条件知，1||||||||AE B E EF AF =，11||||3AB B F ==，…………………………………………………………（8分）AE EF ⊥∵，11||||22AEF S AE EF ==⨯=△∴， 在1AFB △中，11cos sin B AF B AF ∠==∠=11111||||sin 322AB F S AB AF B AF =∠=⨯=△∴， ………………（10分）设点E 到平面1B AF 的距离为d ， 则11||AB F AEF d S B E S =△△，所以213d ==，即点E 到平面1B AF 的距离为1． ………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当,x y ∈∈Z Z 时，圆229x y +=内共有29个点， 满足225x y +=的点有8个， 所以8(5)29P ξ==． ……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）当直线(0)y x b b =-+>被圆229x y +=截得的弦长为时， 设圆心O 到直线(0)y x b b =-+>的距离为d ，由2223d +=⎝⎭，d =3b =． ………………………………（8分）满足y x b -+≥的(,)M x y位于弦长为的弓形内，所以y x b -+≥的概率为9π91142==9π42πS P S -=-弓形圆． ………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：依题意，设抛物线方程为22(0)y px p =->， 由准线12px ==，得2p =， 所以抛物线方程为24y x =-．………………………………………………（2分）设直线PQ 的方程为2x my =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2480y my +-=， 从而128y y =-．………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）证明：设3344(,),(,)M x y N x y ，则223434341121222122123434124444y y x x y y k y y y y y y k x x y y y y y y --+----=⨯=⨯=---+---． …………………（8分）设直线PM 的方程为1x ny =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2440y ny +-=， 所以134y y =-， 同理244y y =-．………………………………………………………………（10分）故3411221212124444182y y k y y k y y y y y y --++--=====++-，为定值． …………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，22222(4)(2)(2)()4(4)4(4)m x m x x f x x x --+'==++，当0m >时，()022,()02f x x f x x ''>⇒-<<<⇒<-或2x >， 所以()f x 在(2,2)-上单调递增；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减． 当0m <时，()022,()02f x x f x x ''<⇒-<<>⇒<-或2x >，所以()f x 在(2,2)-上单调递减；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递增． …………（6分） （Ⅱ）当2m ≥，1[2,)x ∈+∞时，11121()()416mx h x f x x ==+，由（Ⅰ）知1()h x 在[2,)+∞上单调递减， 从而1()(0,(2)]h x f ∈，即1()0,16m h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； ……………………………………（8分） 当2m ≥，22x <时，222||22111()()2222x m m x mx h x g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在(,2)-∞上单调递增， 从而2()(0,(2))h x g ∈，即221()0,2m h x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（10分）对于任意的1[2,)x ∈+∞，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立， 只需21162m m -⎛⎫< ⎪⎝⎭，即210162m m -⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立即可．记函数21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[2,)+∞上单调递增，且(4)0H =，所以m 的取值范围为[2,4)． …………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：∵PE 与圆O 切于点A ， ∴EAB BFA ∠=∠， ∵//AB CD ， ∴EAB APD ∠=∠．在HGF △和AGP △中，,,HFG APG HGF AGP ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴HGF △∽AGP △， ………………………………………………………………（2分）∴GH GP GF GA =．又∵GC GD GF GA =， ∴GP GH GC GD =． ……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：∵AB AF =， ∴ABF AFB APH ∠=∠=∠． 又∵//AB CD ，∴四边形ABHP 为平行四边形， ………………………………………………（7分）∴9AB PH ==， ∴6GP PH GH =-=， ∴6329GP GH GC GD ⨯===， ∴4PC =．∵PA 是⊙O 的切线，∴2PA PC PD =，PA =．………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由l 的参数方程消去t ，得2y x =-， 故直线l 的普通方程为20x y --=． …………………………………………（2分）由22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+， 而cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以223412x y +=，即22143x y +=，故椭圆C 的直角坐标方程为22143x y +=．……………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12(1,0),(1,0)F F -，点1(1,0)F -到直线l 的距离1d ==点2(1,0)F 到直线l 的距离2d =，12d d +=12,F F 到直线l 的距离之和为 …………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ） 当5a =时，要使函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--有意义， 需|1||5|50x x -+-->恒成立．1,15,5,|1||5|50210102110x x x x x x x <<⎧⎧⎧-+-->⇔⎨⎨⎨-+>->->⎩⎩⎩≤≥或或 11122x x ⇒<>或，所以函数()f x 的定义域为111,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（5分）（Ⅱ）函数()f x 的值域为R ，需要()|1||5|g x x x a =-+--能取到所有正数， 即min ()0g x ≤．由62,1,|1||5|4,15,26,5,x x x x x x x -<⎧⎪-+-=⎨⎪->⎩≤≤ 易知|1||5|4x x -+-≥，故min ()40g x a =-≤，得4a ≥，所以实数a 的取值范围为4a ≥．……………（10分）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）·双向细目表文科数学。
云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八)
文科数学参考答案·第1页（共8页）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 【解析】 4．11717917()172a a S a +==，3915939a a a a ++==，93a =∴．故选C ．5．依题意，知11,2,0,12in S ===+⨯112,3,,1223i n S ===+⨯⨯1113,4,,122334i n S ===++⨯⨯⨯……，1111188,9,11223348999i n S ===++++=-=⨯⨯⨯⨯…. 故选C ．6．设该班学生人数为n ，依题意知25515n=，75n=，故选D ．7．由题图可知，几何体为如图1所示的三棱锥PABC-，其中1,,P AA C P A A C P A A B==⊥⊥，由俯视图可知，A B B C ==P B =，故选A ．8．2222+2(1)1z x x y x y =+=++-，用线性规划，可求得22(1)x y++的范围是17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以8,39z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选B ．9．22(4)()2(2)()f x f x f x f x +=-=-=+-，故()f x 为周期函数，周期4T=，图1文科数学参考答案·第2页（共8页）(2013)(45031)(1)2013f f f =⨯+==∴．故选C ．10．ln 1=0ln =1x ax x ax -+⇔-，令12ln ,1y x y ax ==-，直线21y ax =-过定点(0,1)-， 设直线21y ax =-与1y 的切点为00(,ln )x x ，由于11y x'=，所以切线斜率000ln 11,1,1x a x a x x +====∴，当(0,1)a ∈时，直线21y ax =-与1y 的图象有2个交点．故选A.11．设到原点的“折线距离”为1的点为(,)x y ，则||||1x y +=，其轨迹为如图2所示的正方形，所以①正确，②错误； 设到(1,0),(1,0)MN -两点的“折线距离”相等的点为(,)x y ，则|1||||1|||,|1||1|x y x y x x ++=-++=-，从而0x=，所以③正确．故选C ．12．设双曲线22152xy-=的右焦点为F '，则(0),0)F F '，由双曲线定义知||||Q F Q F '=+，||||||||Q FP Q Q F P Q '+=++，当,,,C P Q F '共线时，m in (||||)3Q F P Q'+=，m in (||||)3Q F P Q +=+∴．故选B.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】15．如图3所示，点C 的轨迹为射线A C '（不含端点A ），当B C A C⊥时，m in m in ||||3A B A C C B -==．16．234(1)(1)(2)()log 3log 4log 5log (2)m f f f m m +=+ ……2log (2)m k=+=，22km=-，[1,2013],m k ∈∈*N∵，101121024,22013=>，图3图2文科数学参考答案·第3页（共8页）所以，k 值组成的集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10}，2391054++++=…．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点(,)n n a S 在直线34yx =+上，所以34nn S a =+，1134n n S a ++=+，11133n n n n na S S a a +++=-=-，化简得123n na a +=，所以数列{}n a 为等比数列，公比32q=，由11134S a a ==+得12a =-，故11132()2n n na a qn --⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭*N ． ……………………………………………（6分）（Ⅱ）因为 ()n n b na n =∈*N ，所以12341nn n T b b b b b b -=++++++23213333321234(1)22222n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，①234133333332234(1)2222222n nn T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，②①-②得23113333321+222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-++++-⨯⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ………（8分）2313333341+22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦31332444(2)8()32212nnnn n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-*N ． ……………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱111A B CA B C -中，不妨设1||||=A B A A a=，A B C∵△为等腰直角三角形，90B A C∠=︒，11||B C B C ==∴，∵E 、F 分别为BC 、1C C 的中点，222222113||||||22B E B E B B a a⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴，22222213||||||244E F E C C F a a⎛⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭，222222111119||||||244B F BC C F a a a=+=+=，有22222211339||||||244B E E F a a a B F+=+==，1B E E F⊥∴，又1,A EBC B B⊥⊥∵平面ABC，1B E A E⊥∴，A E E F E=，1B E⊥∴平面AEF．…………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由条件知，1||||||||A EB E E F A F====11||||3A B B F==，…………………………………………………………（8分）A E E F⊥∵，11||||222A E FS A E E F==⨯=△∴，在1A F B△中，11co s sinB A F B A F∠==∠=11111||||sin322A B FS A B A F B A F=∠=⨯=△∴，………………（10分）设点E到平面1B A F的距离为d，则11||A B F A E Fd S B E S=△△，所以213d==，即点E到平面1B A F的距离为1．………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当,x y∈∈Z Z时，圆229x y+=内共有29个点，满足225x y+=的点有8个，所以8(5)29Pξ==．……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）当直线(0)y x b b=-+>被圆229x y+=截得的弦长为时，文科数学参考答案·第4页（共8页）文科数学参考答案·第5页（共8页）设圆心O 到直线(0)yx b b =-+>的距离为d ，由22232d ⎛+= ⎝⎭，2d=3b =． ………………………………（8分）满足y x b-+≥的(,)Mx y位于弦长为的弓形内，所以y x b-+≥的概率为9π91142==9π42πS P S -=-弓形圆． ………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：依题意，设抛物线方程为22(0)y px p =->，由准线12p x==，得2p =， 所以抛物线方程为24y x=-．………………………………………………（2分）设直线P Q 的方程为2x m y =-，代入24y x=-，消去x ，整理得2480y m y +-=，从而128y y =-． ………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）证明：设3344(,),(,)M x y N x y ，则223434341121222122123434124444y y x x y y k y y y y y y k x x y y y y y y --+----=⨯=⨯=---+---． …………………（8分）设直线P M 的方程为1x n y =-，代入24y x =-，消去x ，整理得2440y ny +-=，所以134y y =-， 同理244y y =-．………………………………………………………………（10分）故3411221212124444182y y k y y k y y y y y y --++--=====++-，为定值． …………………………（12分）文科数学参考答案·第6页（共8页）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，22222(4)(2)(2)()4(4)4(4)m x m x x f x x x --+'==++， 当0m >时，()022,()02f x x f x x ''>⇒-<<<⇒<-或2x>，所以()f x 在(2,2)-上单调递增；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减．当0m <时，()022,()02f x x f x x ''<⇒-<<>⇒<-或2x >，所以()f x 在(2,2)-上单调递减；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递增． …………（6分） （Ⅱ）当2m ≥，1[2,)x ∈+∞时，11121()()416m x h x f x x ==+，由（Ⅰ）知1()h x 在[2,)+∞上单调递减，从而1()(0,(2)]h x f ∈，即1()0,16m h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；……………………………………（8分）当2m ≥，22x <时，222||22111()()2222x m m x mx h x g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在(,2)-∞上单调递增，从而2()(0,(2))h x g ∈，即221()0,2m h x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ……………………………（10分） 对于任意的1[2,)x ∈+∞，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立，只需21162m m-⎛⎫< ⎪⎝⎭，即210162m m-⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立即可．记函数21()162m mH m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知21()162m mH m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[2,)+∞上单调递增，且(4)0H =，所以m 的取值范围为[2,4)． …………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：∵P E 与圆O 切于点A ， ∴E A BB F A∠=∠，∵//A B C D ， ∴E A BA P D∠=∠．在H G F △和A G P △中，,,H F G A P G H G F A G P ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴H G F △∽A G P △，………………………………………………………………（2分）文科数学参考答案·第7页（共8页）∴G HG P G F G A= ． 又∵G C G D G F G A= ，∴G PG H G C G D= ． ……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：∵A B A F=，∴ABFAFB APH∠=∠=∠．又∵//A B C D ，∴四边形A B H P 为平行四边形， ………………………………………………（7分）∴9AB PH ==，∴6G P P H G H =-=，∴6329G P G H G C G D⨯=== ，∴4P C=．∵P A 是⊙O 的切线， ∴2P A P C P D=，P A= ………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由l 的参数方程消去t ，得2y x =-，故直线l 的普通方程为20x y --=．…………………………………………（2分）由22222123(co s )4(sin )123co s 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+，而co s ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以223412xy +=，即22143xy+=，故椭圆C 的直角坐标方程为22143xy+=． ……………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12(1,0),(1,0)F F -，点1(1,0)F -到直线l的距离12d ==点2(1,0)F 到直线l的距离22d ==，12d d +=12,F F 到直线l的距离之和为 …………………（10分）文科数学参考答案·第8页（共8页）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ） 当5a=时，要使函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--有意义，需|1||5|50x x -+-->恒成立．1,15,5,|1||5|50210102110x x x x x x x <<⎧⎧⎧-+-->⇔⎨⎨⎨-+>->->⎩⎩⎩≤≥或或11122x x ⇒<>或，所以函数()f x 的定义域为111,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ……………………………（5分）（Ⅱ）函数()f x 的值域为R ，需要()|1||5|g x x x a =-+--能取到所有正数，即m in ()0g x ≤．由62,1,|1||5|4,15,26,5,x x x x x x x -<⎧⎪-+-=⎨⎪->⎩≤≤ 易知|1||5|4x x -+-≥，故m in()40g x a =-≤，得4a ≥，所以实数a 的取值范围为4a ≥． ……………（10分）。
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云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八） 文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 参考公式： 样本数据12,,,nx x x L 的标准差s 其中x 为样本平均数 柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式 13V Sh=其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积，体积公式24R S π=，334RV π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数11ii -+（i 是虚数单位）化简的结果是A ．i -B ．iC ．1D ．1-2．已知集合101x A x x ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (2)B x y x ==+，则A B I ＝ A ．()2,1--B ．()[)2,11,--+∞UC ．[)1,+∞D ．()()2,11,---+∞U3．已知两条直线,m n 和平面α，且m 在α内，n 在α外，则“n ∥α”是“m ∥n ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}n a 中，39159a a a ++=，则数列{}n a 的前17项和17S ＝A ．102B ．51C ．48D ．365．阅读如图1所示的程序框图，则输出的S 的值是A ．910B ．89正视侧视俯视1 2 C ．78 D ．676．开学不久，学校从某班的学生中随机抽取25名学生进行学情调查，经过一段时间再次从该班的学生中随机抽取15名学生进行健康状况调查，发现有5名学生上次被抽查过，据此估计该班的学生人数为A ．75B ．65C ．60D ．507．某四面体的三视图如图2所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是ABCD ．8．设变量,x y 满足约束条件0,1,21,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩目标函数222z x x y =++，则z 的取值范围是A ．17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．23⎤⎥⎣⎦ C ．8,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9．定义在R 上的偶函数()f x 满足2(1)()f x f x +=-(()0)f x ≠，且(1)2013f =，则(2013)f ＝A ．12013B ．1C ．4D ．201310．已知方程ln 10x ax -+=（a 为实常数）有两个不等实根，则实数a 的取值范围是 A ．()0,eB ．[]1,eC ．()0,1D ．[]0,111．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y ，22(,)B x y 间的“折线距离”，在此定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个圆；③到(1,0)M -，(1,0)N 两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0x =． 其中，正确的命题有A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．已知点P 在圆22:(3)1C x y +-=上，点Q 在双曲线22152x y -=的右支上，F 是双曲线的左焦点，则||||PQ QF +的最小值为A．1 B．3+C．4+．5+第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知1sin 3α=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α＝ ． 14．直线cos sin 10x y θθ++=与圆221x y +=的位置关系为 ． 15．已知向量AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为30°，且||6AB =u u u r ，则||AB AC -u u u r u u u r 的最小值是 ．16．已知函数*(1)()log (2)()m f m m m N +=+∈，令(1)(2)()f f f m k ⋅⋅⋅=L ，当[]1,2013m ∈，且*k N ∈时，满足条件的所有k 的值的和为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线34y x =+上．（1）求数列{}n a 的通项a；（2）令*()n n b na n N =∈，试求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=o ，且1AB AA =，E 、F 分别为BC 、1CC 的中点．（1）求证：1B E⊥平面AEF ；（2）当2AB =时，求点E 到平面1B AF的距离．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，满足229x y +≤的点(,)P x y 组成的平面区域（或集合）记为Ω，现从Ω中随机取点(,)M x y ．（1）设,x Z y Z ∈∈，22x y ξ=+，求5ξ=的概率；（2）设,x R y R ∈∈，若直线(0)y x b b =-+>被圆229x y +=截得的弦长为，求ABCEF BC Ay x b ≥-+的概率．20．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为1x =，F 是焦点．过点(2,0)A -的直线与抛物线交于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ，N ．（1）求抛物线的方程及12y y 的值；（2）记直线PQ ，MN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值．21．（本小题满分12分）已知函数2()416mx f x x =+，||1()2x m g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中m R ∈且0m ≠．（1）判断函数()f x 的单调性；（2）设函数(),2,()(),2,f x x h x g x x ≥⎧=⎨<⎩当2m ≥时，若对于任意的[)12,x ∈+∞，总存在唯一的()2,2x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立，试求m 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图4，已知,AB CD 是圆O 的两条平行弦，过点A 引圆O点P ，F 为»CD 上的一点，弦,FA FB 分别与CD 交于点,G H （1）求证：GP GH GC GD ⋅=⋅；（2）若39AB AF GH ===，6DH =，求PA 的长． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知椭圆C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，点1F ，2F 为其左右焦点．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2,2,2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，t R ∈）．（1）求直线l 的普通方程和椭圆C 的直角坐标方程； （2）求点1F ，2F 到直线l 的距离之和．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()2()log |1||5|1f x x x =-+--．（1）当5a =时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 【解析】4．11717917()172a a S a +==，3915939a a a a ++==，93a =∴．故选B ．5．依题意，知11,2,0,12i n S ===+⨯ 112,3,,1223i n S ===+⨯⨯ 1113,4,,122334i n S ===++⨯⨯⨯……，1111188,9,11223348999i n S ===++++=-=⨯⨯⨯⨯…. 故选B ．6．设该班学生人数为n ，依题意知25515n =，75n =，故选A ． 7．由题图可知，几何体为如图1所示的三棱锥P ABC -， 其中1,,PA AC PA AC PA AB ==⊥⊥，由俯视图可知， 5,22AB BC ==，6PB =，故选D ．8．2222+2(1)1z x x y x y =+=++-， 用线性规划，可求得22(1)x y ++的范围是17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以8,39z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ．9．22(4)()2(2)()f x f x f x f x +=-=-=+-，故()f x 为周期函数，周期4T =，(2013)(45031)(1)2013f f f =⨯+==∴．故选D ．10．ln 1=0ln =1x ax x ax -+⇔-，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABBBBADCDCBC图1令12ln ,1y x y ax ==-，直线21y ax =-过定点(0,1)-， 设直线21y ax =-与1y 的切点为00(,ln )x x ，由于11y x '=，所以切线斜率0000ln 11,1,1x a x a x x +====∴，当(0,1)a ∈时，直线21y ax =-与1y 的图象有2个交点．故选C. 11．设到原点的“折线距离”为1的点为(,)x y ，则||||1x y +=， 其轨迹为如图2所示的正方形，所以①正确，②错误； 设到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点为(,)x y ， 则|1||||1|||,|1||1|x y x y x x ++=-++=-，从而0x =，所以③正确．故选B ．12．设双曲线22152x y -=的右焦点为F '，则(7,0),(7,0)F F '-，由双曲线定义知 ||||25QF QF '=+ ，||||||||25QF PQ QF PQ '+=++，当,,,C P Q F '共线时，min (||||)3QF PQ '+=， min (||||)325QF PQ +=+∴．故选C.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）题号 13 14 15 16 答案 429-相切35415．如图3所示，点C 的轨迹为射线AC '（不含端点A ）， 当BC AC ⊥时，min min ||||3AB AC CB -==u u u r u u u r u u u r．16．234(1)(1)(2)()log 3log 4log 5log (2)m f f f m m +=+g g g g g g g ……2log (2)m k =+=，22k m =-，[1,2013],m k ∈∈*N ∵，101121024,22013=>，所以，k 值组成的集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10}，2391054++++=…．图3图2三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点(,)n n a S 在直线34y x =+上，所以34n n S a =+，1134n n S a ++=+， 11133n n n n n a S S a a +++=-=-，化简得123n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，公比32q =，由11134S a a ==+得12a =-，故11132()2n n n a a qn --⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭*N g ． ……………………………………………（6分）（Ⅱ）因为 ()n n b na n =∈*N ，所以12341n n n T b b b b b b -=++++++L23213333321234(1)22222n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ，① 234133333332234(1)2222222n n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ，②①-②得23113333321+222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ， ………（8分）2313333341+22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 31332444(2)8()32212nn nn n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-*N g ． ……………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，不妨设1||||=AB AA a =，ABC ∵△为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，11||BC B C ==∴，∵E 、F 分别为BC 、1CC 的中点，222222113||||||2B E BE BB a a ⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭∴，22222213||||||44EF EC CF a a⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭，222222111119||||||244B F BC C F a a a=+=+=，有22222211339||||||244B E EF a a a B F+=+==，1B E EF⊥∴，又1,AE BC B B⊥⊥∵平面ABC，1B E AE⊥∴，AE EF E=I，1B E⊥∴平面AEF．…………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由条件知，1||||||||AE B E EF AF====11||||3AB B F==，…………………………………………………………（8分）AE EF⊥∵，11||||22AEFS AE EF==g△∴，在1AFB△中，11cos sinB AF B AF∠=∠=，11111||||sin322AB FS AB AF B AF=∠=⨯=g△∴，………………（10分）设点E到平面1B AF的距离为d，则11||AB F AEFd S B E S=g g△△，所以213d==，即点E到平面1B AF的距离为1．………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当,x y∈∈Z Z时，圆229x y+=内共有29个点，满足225x y+=的点有8个，所以8(5)29Pξ==．……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）当直线(0)y x b b=-+>被圆229x y+=截得的弦长为设圆心O 到直线(0)y x b b =-+>的距离为d ，由2223d +=⎝⎭，d =，从而得3b =． ………………………………（8分）满足y x b -+≥的(,)M x y位于弦长为所以y x b -+≥的概率为9π91142==9π42πS P S -=-弓形圆． ………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：依题意，设抛物线方程为22(0)y px p =->，由准线12p x ==，得2p =，所以抛物线方程为24y x =-． ………………………………………………（2分） 设直线PQ 的方程为2x my =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2480y my +-=，从而128y y =-． ………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）证明：设3344(,),(,)M x y N x y ，则223434341121222122123434124444y y x x y y k y y y y y y k x x y y y y y y --+----=⨯=⨯=---+---． …………………（8分） 设直线PM 的方程为1x ny =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2440y ny +-=，所以134y y =-，同理244y y =-． ………………………………………………………………（10分） 故3411221212124444182y y k y y k y y y y y y --++--=====++-，为定值． …………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，22222(4)(2)(2)()4(4)4(4)m x m x x f x x x --+'==++，当0m >时，()022,()02f x x f x x ''>⇒-<<<⇒<-或2x >，所以()f x 在(2,2)-上单调递增；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减． 当0m <时，()022,()02f x x f x x ''<⇒-<<>⇒<-或2x >，所以()f x 在(2,2)-上单调递减；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递增．…………（6分）（Ⅱ）当2m ≥，1[2,)x ∈+∞时，11121()()416mx h x f x x ==+，由（Ⅰ）知1()h x 在[2,)+∞上单调递减， 从而1()(0,(2)]h x f ∈，即1()0,16m h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； ……………………………………（8分） 当2m ≥，22x <时，222||22111()()2222x m m x mx h x g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在(,2)-∞上单调递增，从而2()(0,(2))h x g ∈，即221()0,2m h x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ……………………………（10分）对于任意的1[2,)x ∈+∞，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立， 只需21162m m -⎛⎫< ⎪⎝⎭，即210162m m -⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立即可．记函数21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[2,)+∞上单调递增，且(4)0H =，所以m 的取值范围为[2,4)． …………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 （Ⅰ）证明：∵PE 与圆O 切于点A ， ∴EAB BFA ∠=∠， ∵//AB CD ， ∴EAB APD ∠=∠．在HGF △和AGP △中，,,HFG APG HGF AGP ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴HGF △∽AGP △， ………………………………………………………………（2分）∴GH GP GF GA =g g ． 又∵GC GD GF GA =g g ， ∴GP GH GC GD =g g ．……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：∵AB AF =， ∴ABF AFB APH ∠=∠=∠． 又∵//AB CD ，∴四边形ABHP 为平行四边形， ………………………………………………（7分）∴9AB PH ==， ∴6GP PH GH =-=， ∴6329GP GH GC GD ⨯===g ，∴4PC =．∵PA 是⊙O 的切线，∴2PA PC PD =g，PA =． ………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 解：（Ⅰ）由l 的参数方程消去t ，得2y x =-，故直线l 的普通方程为20x y --=．…………………………………………（2分）由22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+，而cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 所以223412x y +=，即22143x y +=，故椭圆C 的直角坐标方程为22143x y +=． ……………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12(1,0),(1,0)F F -，点1(1,0)F -到直线l的距离1d ==，点2(1,0)F 到直线l的距离2d ==，12d d +=12,F F 到直线l的距离之和为 …………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ） 当5a =时，要使函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--有意义， 需|1||5|50x x -+-->恒成立．1,15,5,|1||5|50210102110x x x x x x x <<⎧⎧⎧-+-->⇔⎨⎨⎨-+>->->⎩⎩⎩≤≥或或11122x x ⇒<>或，所以函数()f x 的定义域为111,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U ． ……………………………（5分） （Ⅱ）函数()f x 的值域为R ，需要()|1||5|g x x x a =-+--能取到所有正数， 即min ()0g x ≤．由62,1,|1||5|4,15,26,5,x x x x x x x -<⎧⎪-+-=⎨⎪->⎩≤≤ 易知|1||5|4x x -+-≥，故min ()40g x a =-≤，得4a ≥，所以实数a 的取值范围为4a ≥． ……………（10分）。