级数知识点总结

合集下载

级数知识点总结归纳考研

一、级数的概念

级数是指由一列数相加而成的无穷和，通常表示为∑（从n=1到∞的累加求和）。级数可

以是有限个数相加也可以是无穷个数相加，级数的和可以是有限的也可以是无限的。

二、级数的收敛性

1. 收敛级数：如果级数的部分和数列{Sn}有极限，则称级数是收敛的，极限等于级数的和，即∑an=S。

2. 发散级数：如果级数的部分和数列{Sn}没有极限，或者极限为无穷大，则称级数是发散的。

三、级数的性质

1. 级数的和的唯一性：级数的和是唯一的。

2. 收敛级数的性质：如果级数∑an和∑bn都收敛，则有∑(an+bn)也收敛，且

∑(an+bn)=∑an+∑bn。

3. 绝对收敛级数：如果级数∑|an|收敛，则称级数∑an是绝对收敛的。

4. 条件收敛级数：如果级数∑an是收敛的，但级数∑|an|是发散的，则称级数∑an是条件

收敛的。

四、级数的判定方法

1. 正项级数收敛判别法：如果级数的每一项都是非负的，且级数的部分和数列有上界，则

级数收敛；如果级数的每一项都是非负的，且级数的和为无穷大，则级数发散。

2. 比较判别法：如果级数∑an收敛，且0≤bn≤a n，则级数∑bn也收敛；如果级数∑an发散，且an≥bn≥0，则级数∑bn也发散。

3. 极限判别法：如果级数∑an收敛，且limn→∞bn/an=c（c>0），则级数∑bn也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞bn/an=c（c>0），则级数∑bn也发散。

4. 比值判别法：如果级数∑an收敛，且limn→∞|an+1/an|=c（c<1），则级数∑an也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞|an+1/an|=c（c>1或c=1），则级数∑an也发散。

级数知识点笔记总结

一、级数的基本概念

1.1、级数的定义

级数是指一列数相加而得到的一个和，级数一般表示为：

S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...

其中，a1，a2，a3，...，an表示级数的每一项，n表示级数的项数。

1.2、级数的部分和

级数的部分和是指级数的前n项和，通常表示为Sn。即：

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

1.3、收敛和发散

如果级数的部分和Sn随着n的增大而趋于一个有限的数S，则称级数收敛，记作：

S = lim(n→∞)Sn

如果级数的部分和Sn随着n的增大而趋于无穷大或者无穷小，则称级数发散。

1.4、级数的收敛性

级数的收敛性是指级数是否收敛的性质。根据级数的收敛性可将级数分为收敛级数和发散级数。

二、级数的性质

2.1、级数的加法性

如果级数∑an和∑bn都收敛，则它们的和级数∑(an+bn)也收敛，并且有：

∑(an+bn) = ∑an + ∑bn

2.2、级数的倍数性

如果级数∑an收敛，则它的任意倍数级数∑kan(k为常数)也收敛，并且有：

∑kan = k∑an

2.3、级数的比较性

如果级数∑an和∑bn满足0 ≤ an ≤ bn，当且仅当级数∑bn收敛时，级数∑an也收敛；当且仅当级数∑an发散时，级数∑bn也发散。

三、级数的收敛与发散

3.1、比较判别法

如果级数∑an的绝对值与级数∑bn的绝对值相比有相对简单的结构时，可对级数的收敛与发散作出判断：

当∑|an| ≤ ∑bn时，若级数∑bn收敛，则级数∑an也收敛。

当∑an ≥ ∑|bn|时，若级数∑bn发散，则级数∑an也发散。

无穷级数知识点总结专升本

一、概念

无穷级数是由无限多个项组成的级数，其中每个项都是一个数字或者变量的表达式。无穷级数通常用符号∑表示，其中∑表示总和，表示对所有项进行求和。无穷级数可以是收敛的，也可以是发散的。对于收敛的无穷级数，其和可以用极限来表示；对于发散的无穷级数，其和不存在。

二、级数的性质

1.级数的部分和

级数的部分和是指级数前n项的和，用Sn表示。当n趋向无穷大时，级数的部分和就是级数的和。当级数的部分和的极限存在时，级数收敛；当级数的部分和的极限不存在时，级数发散。

2.级数的收敛与发散

级数的收敛指的是级数的部分和的极限存在，也就是级数的和存在；级数的发散指的是级数的部分和的极限不存在，也就是级数的和不存在。

3.级数的敛散性

级数敛散性指的是级数的收敛性或发散性。级数的敛散性可以通过级数的部分和的极限是否存在来判断。

4.级数的比较性

级数的比较性是指通过级数的部分和与其他级数的部分和进行比较来判断级数的敛散性。可以通过比较原则、比值原则、根值原则等方法来比较级数的敛散性。

5.级数的运算性质

级数满足加法、数乘、绝对收敛、收敛性与级数重新排列等运算性质。

三、收敛级数

1.正项级数

对于所有项均为非负数的级数，称为正项级数。正项级数通常采用单调有界数列的性质来判断是否收敛。

2.幂级数

幂级数是形式为∑an*x^n的无穷级数，其中an为常数系数，x为自变量。幂级数通常需

要通过收敛半径来判断其收敛性。

3.级数的收敛判别法

级数的收敛判别法是用来判断级数是否收敛的方法，包括比较法、审敛法、根值法、比值法、积分法等。

级数知识点公式总结

一、级数的定义

1.1 级数的概念

级数是指将一系列数相加得出的结果，通常用符号表示为

S = a1 + a2 + a3 + ... = ∑an

其中ai（i=1,2,3,...）为级数的每一项，∑为级数的求和符号。

1.2 级数的收敛与发散

级数的和可能有限也可能无限。如果级数的和有限，即级数收敛；如果级数的和无限，即

级数发散。收敛和发散是级数的重要性质，在后续的讨论中将会详细介绍。

1.3 级数的部分和

级数的部分和是指级数中前n项的和，通常用Sn表示。级数的部分和是级数收敛与发散

的重要依据，在计算级数的和时，通常需要用到级数的部分和。

1.4 级数的常见形式

在实际应用中，级数通常有一些常见的形式，如等比级数、调和级数、幂级数等。不同形

式的级数有着不同的性质和求和方法，需要根据具体情况进行分析和求解。

二、级数的常见性质

2.1 级数的加法性质

级数具有加法性质，即级数的和等于其各项部分和的和。假设级数∑an收敛，则有

S = a1 + a2 + a3 + ... = ∑an

对于级数的部分和Sn也有

Sn = a1 + a2 + ... + an

则有级数的和S等于部分和Sn的极限：

S = lim(n→∞)Sn

2.2 级数的乘法性质

级数也具有乘法性质，即级数的和与乘以一个常数之后的和是相等的。假设级数∑an收敛，则有

kS = k(a1 + a2 + a3 + ...) = k∑an

其中k为一个常数。

2.3 级数的收敛性质

级数的收敛性质时级数理论中的重要内容，对于级数是否收敛有着一些判断的方法。其中

级数知识点总结归纳

引言

级数是数学中重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。本文将对级数的基本概念、性质和常见的级数测试进行总结和归纳。通过深入的探讨，希望能够帮助读者全面理解级数的知识。

一级标题1：级数的定义与基本性质

二级标题1.1：级数的定义

1.级数是由一列数相加得到的无穷和，形如a1+a2+a3+...+a n+...的表达

式。

二级标题1.2：级数的收敛与发散

1.如果级数的部分和数列S n极限存在，则称此级数收敛，数列{S n}的极限

值称为级数的和；

2.如果级数的部分和数列S n极限不存在或为无穷大，则称此级数发散。

二级标题1.3：级数的性质

1.收敛级数的部分和数列是有界的；

2.收敛级数的和不受有限或任意个项的去除影响；

3.可以对级数的各个项重新排序；

4.级数的收敛性与发散性不受固定个数项的改变影响；

5.如果级数∑a n收敛，则lim n→∞a n=0。

一级标题2：级数的测试

二级标题2.1：正项级数及比较测试

三级标题2.1.1：正项级数

1.如果级数所有的项都是非负的，称之为正项级数。

三级标题2.1.2：比较测试

1.比较测试：如果级数0≤a n≤b n，其中∑b n收敛，则∑a n也收敛；

2.极限形式的比较测试：如果级数0≤a n和0≤b n，且lim n→∞a n

b n

=L，其中0<L<∞，则级数∑b n和∑a n要么同时收敛，要么同时发散。

二级标题2.2：正项级数的求和公式

三级标题2.2.1：调和级数

1.调和级数：级数1+1

2+1

+...+1

+...；

2.调和级数发散。三级标题2.2.2：p级数

级数的定义知识点总结

一、级数的概念

级数是由一系列数相加所得到的和，可以写成如下形式：

S = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ + …

其中，a₁, a₂, a₃, …, aₙ, …是级数的各项，S是级数的和。级数中的单个数a₁, a₂, a₃, …, aₙ, …

称为级数的项。

二、级数的表示方法

级数可以表示为求和形式，也可以表示为极限形式。根据级数的和可以是有限的也可以是

无限的，级数可以分为有限级数和无限级数。

1. 有限级数

当级数的和是有限的，即级数的各项之和是一个有限数时，这种级数称为有限级数。例如，1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，这是一个有限级数。

2. 无限级数

当级数的和是无限的，即级数的各项之和是一个无穷大时，这种级数称为无限级数。例如，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2，这是一个无限级数。

级数的表示方法可以用级数求和符号Σ表示，也可以用极限符号lim表示。有限级数的表

示形式为S = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ，无限级数的表示形式为S = ∑(aₙ)，其中n从1到∞。三、级数的性质

级数具有多种性质，包括收敛性、发散性、级数和的性质以及级数可以进行加减乘除等运算。

1. 收敛性和发散性

级数的和可能是有限的，也可能是无限的。当级数的和是一个有限数时，称该级数收敛；

当级数的和是一个无穷大时，称该级数发散。

2. 级数和的性质

级数和有许多性质，包括级数和的唯一性、级数和的性质等。

3. 级数之间的运算

级数可以进行加法、减法、乘法、除法等运算。例如，两个级数的和、差、积、商都是级数。

高数大一下知识点总结级数

高数大一下知识点总结级数高数是大学数学中的一门重要课程，对于大一学生来说，学好高数才能够为接下来的学习打下坚实的基础。下面我将对高数大一下的知识点进行总结，希望对同学们的学习有所帮助。

一、级数的概念与性质

在高数中，级数是一个非常重要的概念。级数由一列数相加而得，可以用于近似计算以及描述实际问题。级数的概念为我们后续学习提供了很多方便。

1.级数的定义

级数是指把同一个数列的各个项按照顺序相加得到的和。级数由无穷个项相加而成，表示为∑(an)。

2.级数的收敛和发散

级数的收敛与发散是级数的一个重要性质。级数是收敛的，当且仅当其部分和数列有极限。级数是发散的，当其部分和数列趋向于无穷大或无穷小。

3.级数的收敛性判别法

在判断一个级数是否收敛时，我们可以使用不同的收敛性判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等。

这些判别法可以帮助我们快速判断级数的收敛性。

二、常见的级数及其性质

在高数中，有很多常见的级数，我们需要了解它们的性质以及

求和的方法。

1.等差数列求和

等差数列的求和在高中已经学过了，这里只是简单地进行回顾。等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，前n项和为Sn，

有公式Sn = (n/2)(a + an)。

2.等比数列求和

等比数列的求和也是高中知识。等比数列的首项为a，公比为q，第n项为an，前n项和为Sn，有公式Sn = a(1-q^n)/(1-q)。需

要注意的是，当|q|<1时，等比数列的和存在有限值。

3.幂级数

幂级数是一种特殊的级数，对于形如∑(an*x^n)的级数，我们称之为幂级数。在实际问题中，幂级数在分析函数的性质和展开函

级数知识点总结

数学中的级数是指“项数无限”的无穷级数，是数学分析中的一个重要概念。级数在实际问题中具有广泛的应用，特别是在数值计算中，大量的数值方法都具有涉及级数的计算步骤。因此，在掌握级数相关的知识点是数学学习的重要一步。

一、级数的定义

级数是指数列的和数列，也就是无穷个数相加所得到的结果。一般地，设a_1, a_2, a_3, ...是一个数列，称∑a_n为无穷级数，其中∑表示求和。当级数的通项数列收敛时称之为收敛级数，反之称为发散级数。

二、收敛判别法

1.正项级数收敛定理：若数列an≥0,an≥0,且ΣanΣan收敛，则

ΣanΣan绝对收敛。

2.比值判别法：对于正项级数∑an∑an，如果存在极限

limn→∞(an+1)/an>1limn→∞(an+1)/an>1，那么级数发散；如果存

在极限limn→∞(an+1)/an<1limn→∞(an+1)/an<1，那么级数绝对收敛；如果存在极限limn→∞(an+1)/an=1limn→∞(an+1)/an=1，那么该方法不适用。

3.根值判别法：对于正项级数∑an∑an，若存在极限

limn→∞n√an>1limn→∞n√an>1，那么级数发散；若存在极限limn→∞n√an<1limn→∞n√an<1，那么级数绝对收敛；如果存在极限limn→∞n√an=1limn→∞n√an=1，那么该方法不适用。

4.积分判别法：若f(x)是R中非负连续函数，且单调递减，则当an=f(n)f(n)时，正项级数∑an∑an与积分∫1+∞f(x)dx的敛散性相同。

无穷级数知识点总结简短

1. 无穷级数的定义

无穷级数是指由无限个数相加而成的级数，通常表示为：

S = a1 + a2 + a3 + ...

其中，a1, a2, a3...表示级数的每一项。

2. 无穷级数的收敛与发散

无穷级数可能收敛也可能发散。如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷时收敛于某一有

限数，即lim(S_n) = S，则称该无穷级数收敛；如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷

时发散至无穷大或者发散至负无穷大，即lim(S_n) = ±∞，则称该无穷级数发散。

3. 无穷级数的收敛性判别法

无穷级数的收敛性判别法有很多种，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判

别法等。这些判别法可以用来判断无穷级数的收敛性，并且在实际问题中有很多应用。

4. 无穷级数的性质

无穷级数有许多重要的性质，包括级数的线性性质、级数的绝对收敛性、级数的收敛域等。这些性质在研究无穷级数的收敛性和计算级数的和时非常重要。

5. 无穷级数的应用

无穷级数在物理、工程、计算机科学等领域都有重要的应用。例如，在物理学中，泰勒级

数可用于近似计算非线性函数的值；在工程学中，级数可以用来描述振动、波动等现象；

在计算机科学中，级数在算法复杂性分析和数值计算中也有广泛的应用。

总之，无穷级数是数学中一个重要的概念，它涉及到收敛与发散、收敛性判别法、性质和

应用等方面，对于理解和应用级数有着重要的意义。

Fourier级数知识点总结

1. Fourier级数的定义

Fourier级数是将某个周期为T的函数f(x)表示成一系列正弦和余弦函数的和的方法。具体表达式如下：

f(x) = a0 + Σ(an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))

其中，a0、an、bn是函数f(x)的系数，ω0是基本频率，n为正整数。在实际应用中，我们通常使用欧拉公式将正弦和余弦函数用指数函数表示，即：

f(x) = a0 + Σ(cn*e^(inω0x))

其中，cn是函数f(x)的系数，n为整数。这样的表达形式更加便于进行分析和计算。

2. Fourier级数的性质

Fourier级数具有一系列重要的性质，其中最重要的是其线性性质和正交性质。

线性性质：对于任意两个函数f(x)和g(x)，它们的Fourier级数可以分别表示成：

f(x) = a0 + Σ(an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))

g(x) = c0 + Σ(cn*cos(nω0x) + dn*sin(nω0x))

那么，对于任意实数α和β，αf(x) + βg(x)的Fourier级数就是：

αf(x) + βg(x) = (αa0 + βc0) + Σ(αan*cos(nω0x) + αbn*sin(nω0x)) + Σ(αcn*cos(nω0x) +

αdn*sin(nω0x))

这个性质使得Fourier级数在表示线性系统的瞬态响应、信号处理、图像处理等方面具有重要作用。

正交性质：对于周期为T的函数f(x)，其对应的Fourier级数可以表示成：

级数考点知识点总结

一、级数概念

1.1 级数的定义

级数是指将一个数列的项相加而得到的无穷和。数列的项被称为级数的一般项，常用表示级数的符号有∑或者S。级数中的项可以是有限项或者无限项。

1.2 级数的收敛性

级数的收敛性是指级数的和是否存在。如果级数的和存在，则称该级数是收敛的；如果级数的和不存在，则称该级数是发散的。

二、级数的相关概念

2.1 部分和与序列

对于级数的部分和就是将级数的前n项相加得到的和，用Sn表示。部分和序列是指求级数的各项和得到的一个数列。

2.2 余项

级数的余项是指级数的和与级数的前n项和的差，用Rn表示。余项可以帮助我们判断级数的收敛性。

三、级数的收敛定理

3.1 正项级数收敛定理

对于正项级数Σan来讲，若存在数列{bn}，满足

（1）an≤bn；

（2）级数Σbn收敛；

则级数Σan也收敛。

3.2 比较判别法

对于级数Σan与Σbn来讲，若存在常数C>0和n0>0，使得n>n0时有

|an|≤C|bn|；

则有

（1）若Σbn收敛，则Σan收敛；

（2）若Σan发散，则Σbn发散；

3.3 极限判别法

对于级数Σan来讲，若存在常数C>0和n0>0，使得n>n0时有

lim(n→∞)an/bn=C；

其中Σbn是收敛的正项级数；

则有

（1）若C<∞，则Σan与Σbn同敛散；

（2）若C=0且Σbn收敛，则Σan收敛；

（3）若C=∞且Σbn发散，则Σan发散。

四、级数的收敛性

4.1 正项级数的收敛性

若级数的每一项都是非负数，则称该级数是正项级数。正项级数的收敛性判断常用限制概念和比较判别法。

数列与级数的基本概念与性质知识点总结

数列与级数的基本概念与性质知识点总结数列和级数是数学中非常重要的概念，广泛应用于各个领域。本文将对数列与级数的基本概念和性质进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些知识点。

一、数列的基本概念

1. 数列的定义：数列是由一系列按照一定规律排列的实数所组成的序列。通常用 {a_n} 或 {a_1, a_2, a_3, ...} 表示。

2. 公式推导法：通过数列的前几项可以发现规律，进而得到数列的通项公式，从而可以计算数列中任意一项的值。

3. 递推关系式：通过数列中前一项与后一项之间的关系可以得到递推关系式，从而可以计算数列中任意一项的值。

二、数列的性质

1. 数列的有界性：一个数列可以是有界的，即存在上界和下界，也可以是无界的。

2. 数列的单调性：一个数列可以是递增的、递减的或者保持不变。

3. 数列的极限：当数列的项数趋向无穷大时，如果数列的值趋向于某个常数，那么这个常数就是数列的极限。

三、级数的基本概念

1. 级数的定义：级数是由一个数列的项之和组成的数列。通常用S_n 表示，表示前 n 项的和。

2. 部分和数列：级数的部分和组成一个新的数列，通过计算前 n 项的和来求得部分和数列的通项公式。

四、级数的收敛性与发散性

1. 收敛级数：当级数的项数趋向无穷大时，如果部分和数列的极限存在，那么称该级数为收敛级数。

2. 收敛级数的性质：收敛级数的部分和数列必然有界，而且任意两项之间的绝对值之和都可以无限地接近零。

3. 发散级数：当级数的项数趋向无穷大时，如果部分和数列的极限不存在或为无穷大，那么称该级数为发散级数。

无穷级数重要知识点总结

一、无穷级数的定义

1.1 无穷级数的概念

无穷级数是一种特殊的数列求和形式。它由一个无穷数列的项之和构成，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中a1, a2, a3, ...是数列的项。无穷级数的和是用极限的概念来定义的，即当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和趋于一个确定的数。

1.2 无穷级数的收敛和发散

无穷级数有两种基本的收敛性质：收敛和发散。当无穷级数的和存在时，我们称这个级数是收敛的；当无穷级数的和不存在时，我们称这个级数是发散的。

1.3 无穷级数的通项

无穷级数的通项是指级数中每一项的公式表示。通项的形式多种多样，可以是一个简单的代数式，也可以是一个复杂的函数表达式。通项的形式对于判断无穷级数的收敛性有着重要的作用。

二、无穷级数的性质

2.1 无穷级数的加法性质

如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的和也存在，并且等于这两个级数的和的和。即∑(ai + bi) = ∑ai + ∑bi。

2.2 无穷级数的乘法性质

如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的乘积也存在，并且等于这两个级数的乘积的和。即(∑ai) * (∑bi) = ∑(ai * bi)。

2.3 无穷级数的极限性质

当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和会趋于一个确定的数。这个极限的存在性和确定性是无穷级数的一个重要性质。

高数知识汇总之级数

第七章级数

7.1

常数项级数的概念与性质

7.1.1 常数项级数的概念常数项级数：一般的，设给定数列

12,,,,n a a a 则该数列所有项相加所得的表达式

12n a a a ++++ 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数；

其中第n 项n a 叫做级数的一般项或通项。

级数简记为：

n a

∞

=∑，即

121

n n a

a a a ∞

==++++∑

部分和：

作（常数项）级数12

n a a a ++++ 的前n 项的和121

n n i i S a a a a ==+++=∑ ，

n S 称为级数（1）的前n 项部分和。

当n 依次取1，2，3，… 时，它们构成一个新的数列{}n S ，称为部分和数列。级数收敛与发散：如果级数

n a

∞

=∑的部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞

=（有限值），则称无穷级数

n a

∞

=∑收敛，极限S 叫做该级数的和，并写成12n S a a a =++++

。

如果{}n S 没有极限（lim n n S →∞

不存在或为±∞），则称无穷级数

n a

∞

=∑发散。

常用级数：

（1）等比级数（几何级数）：

n q

∞

=∑

11q q - 当时收敛于

1q ≥当发散

（2）p 级数:

11p

n n

∞

=∑ 11p p ≤ 当时收敛当时发散

级数的基本性质：性质1：若级数

n a

∞

=∑收敛于和S ，则级数

n Ca

∞

=∑（C 是常数）也收敛，且其和为CS 。

性质2：若级数

n a

∞

=∑和级数

n b

∞

=∑分别收敛于和S 、σ，则级数

(完整版)级数知识点总结,推荐文档

第十二章无穷级数
一、常数项级数
1、常数项级数：
n
1) 定义和概念：无穷级数： un u1 u2 u3 un 部分和：Sn uk u1 u2 u3 un 正项级数： un ，un 0
n 1
k 1
n 1
级数收敛：若lim n
S
n
S
存在，则称级数 un 收敛，否则称级数 un 发散
若级数收敛则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注：收敛级
数去括号后未必收敛.
u lim 0
必要条件：级数 un 收敛 n n
.（注意：不是充分条件！唯一判断发散条件）
n 1
3)
审敛法：（条件：均为正项级数表达式：
n 1
n 1
2) 性质：
改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛
两个收敛级数的和差仍收敛，级数
an ，
bn 收敛，则 (an
bn )收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.
n 1
n 1
n 1
去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性级数 an 收敛，则任意加括号后仍然收敛； n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
其他级数：等比级数： aq n n 0

级数知识点总结和例题

n
思路二：求 s2 n ,而 s2 n +1 =s2 n +u2 n +1 ,则 lim sn s lim s2 n lim s2 n 1 s .(见例 2 解法
n n n
1) 2.用收敛级数的性质判定级数的敛散性 (1)要判定某一级数的敛散性,可根据级数的性质将该级数转化成敛散性已知的级数来讨论,(见例 2 解法 2,例 4,例 5).需要掌握下面三个最常用级数的敛散性: 等比级数
n n n
【评注】当难以判断极限 lim sn 是否存在时，也可判断 lim s2 n 与 lim s2 n 1 是否同时存在并且相等，从而判定级数的敛散性，此外要注意应用收敛级数的性质判断级数的敛散性. 例 3 判定级数
(n
n 1

2
1 2 2 n 1 n n 2
x

们将一些简单函数间接展开成幂级数. 11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 [l , l ] 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 [0, l ] 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.
11.2 基本题型及解题思路分析题型 1 用级数敛散性的定义与性质判定级数的敛散性
aq
n 1

n 1
: 当 q 1时，收敛且和为
a ，当 q 1时，发散 ; 1 q