命题技术研究

命题技术研究
武汉市第三寄宿中学袁俊峰
一：命题依据与命题原则
数学学业考试以数学课程标准,教育部颁发的<基础教育课程改革实验区初中毕业与普通高中招生制度改革的指导意见>和省市有关近几年初中毕业考试与高中招生制度改革的实施意见为依据,体现基础教育课程改革的方向,体现促进学生全面发展的评价理念,充分反映学生在知识与技能,过程与方法,情感态度与价值观等方面所就达到的水平. 命题过程中以基础性、现实性及有效性为基本原则。

从近几年武汉市中考数学试卷可以看出，都是根据新的课程标准命制的，凸现了新的课程理念。

既有亲和力，又新颖脱俗，很多是虽似曾相识，但又改革创新；在注重考查基础知识的同时，突出能力立意，重视数学应用的考查；试题背景新颖，但根植于课本，导向明确。

在考查学生的数学素养、创新能力、实践能力等方面都做了有益的探索。

有利于指导初中数学教学，有利于推进新课程的实施，有利于促进学生的全面发展，有利于高一级学校选拔学生。

二：命题试卷特点
1.突出考查最基本、最核心的内容，体现了义务教育阶段数学课程的基础性和普及性特点（基础性原则）。

试题要非常重视对基础知识的考查，但不刻意追求知识的覆盖面，注意重点知识重点考查。

以武汉市25道题，120分来看：在知识内容上，需重点考查数与式的计算，约10～12道题，分值约占40%；(如2007年第1、2、3、4、5、11、13、14、16、17、18、23题；2008年第1、2、3、4、5、12、14、17、18、23题)
考查空间图形的识别、计算与证明, 约7～8道题，分值约占30%；(如2007年第6、7、8、9、15、19、20、22题；2008年第6、7、8、9、19、22、24题) 考查统计与概率的运用, 约3～4道题，分值约占10%；(如2007年第10、12、21题；2008年第10、11、13、20题)
考查数与代数及空间图形的综合，约4道题左右，分值约占20%；(如2007年第15、16、24、25题；2008年第15、16、21、25题)。

分值与课标中的规定的课时大致成比例。

数学思想方法是数学的灵魂, 力图通过数学思想方法的考查，体现能力立意。

对数学能力和数学素养的考查，往往表现对数学思想方法上。

在试题中要特别突出对数学思想方法的考察：
数形结合(如2007年第2、12、14、15、16、25；2008年第2、8、12、14、15、16、21、25题)
分类讨论(如2007年第24题；2008年第24题)
猜想归纳(如2007年第15、24题；2008年第16、24题)
数学建模(函数的思想和方程的思想等)(如2007年第8、11、19、23题；2008年第8、23题)
从特殊到一般(如2007年第24题；2008年第24题)
随机观念(如2007年第10、21题；2008年第10、13、20题)
统计思想(如2007年第12、21题；2008年第11、20题)
转化思想（未知向已知转化，复杂向简单转化，几何与代数之间互化）等。

2.素材鲜活，注重问题的实际背景，体现数学的应用价值（现实性原则）
数学来源于现实生活，又作用于生活世界。

命制情境新颖，背景公平的数学应用性试题，有利于考查学生是否具备用数学的眼光看待世界的数学应用能力；考查学生是否具有将实际问题转化为数学模型的数学建模能力；考查学生是否能够将自己解决问题的过程用严谨、规范、完整的数学语言表达出来的数学语言表达能力。

07年试卷有11道题与08年试卷有8道题分别涉及到数学应用，处处充满生活气息，将生活中的一些问题有机地融入试题当中，突出数学有与现实生活的关系。

如07年第7题通过学生熟悉的自行车的两个车轮考查两圆的位置关系，让考生感到数学就在身边；第10题通过数学的计算，可以估计转盘游戏中获胜的概率，让考生知道用数学可以估计机会的大小；第13题本是考查多项式的因式分解，命题者却把因式分解与面积建立关系，将枯燥的数学问题赋予一定的生活背景，从而真正让考生感到数学不是枯燥的，是实实在在的；第19题是一个很枯燥的几何证明题，一旦与考生喜闻乐见的跷跷板游戏结合起来，就感觉数学生动有趣起来；第20题用数学知识进行图案设计，让考生体会到学习数学的一种成就感；第21题通过数学可以估计整体的数据的分布情况，让考生发现数学的“预测”功能；第23题运用函数建模寻找最优方案，帮助考生学会科学决策。

08年的第1题冰箱冷藏室温度与冷冻室温度的差，第2题水塔所在的位置到公路的距离，第10题抽取得三张卡片中含有“祝福”“北京”“奥运”的概率，第13题估计这种幼树成活的概率等，都可以发现命题者注意联系生活和社会实际，考查学生综合运用所学知识解决实际问题的能力。

中考试卷让我们看到，数学因生活而多姿多彩，数学因生活才显得如此有用。

数学因生活才显现其价值。

中考试卷也引导我们要关注生活，学会用数学的眼光观察生活，用数学的思维思考世界。

3.试题设计与其要达到的考查目标一致（有效性原则）
数学学业考试尽可能有效地反映学生的的数学学习状况，有利于评价学生三年来的数学学习成果，有利于高一级不同类别学校的招生。

试题内容与结构科学，题意明确、不产生歧义，试题表述准确、规范。

在重视对学生数学学习结果的考查的同时，更关注对学生数学学习过程的考查。

例如将单纯考查几何论证能力转为考查猜测、发现和立于猜测基础上的证明。

新课程提出“动手实践、合作交流、自主探索”学习方式，有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，应该通过观察、操作、猜测、验证、推理等数学活动，形成自己对数学知识的理解，从而使知识得以内化，方法得以迁移，能力得以形成。

如07年的第24题的设计, 首先将等腰三角形的顶角的大小从特殊到一般，再将两个等腰三角形的位置从特殊到一般，层层递进,一环扣一环。

在问题解决
过程中，让学生经历了动手操作、 观察猜想、合情推理、归纳证明等全过程。

突出考查从特殊与一般的数学思想和实验研究的能力。

在问题解决过程中，
对于(1)我们可以用测量或实验的方法猜测出答案。

在(1)的基础上，我们可以讨
论一般情形---问题(2)的解答;
若设∠AFB=β， 因为β与α是一次函数的关系(量纲分析可得)，故可设
β=k α+b 由(1)知⎩⎨⎧+=+=b k b k 90456060 解得⎪⎩
⎪⎨⎧=-=9021b k ，所以β=90°-21α 即∠AFB=90°-
2
1α 而问题(3)是要求在更一般性情况下进行证明的，使在逻辑上的缜密性得到保证，这样就实现了直觉与逻辑的辨证的统一。

整个解题过程实质是一个实验研究的过
程：实验(特殊情形)---猜想(一般情形)---论证(一般情形)，在整个解题过程中
也体现了科学研究的基本方法,将问题一般化发现新的问题。

4.回归教材，指导教学，正确发挥考试的导向作用
为了引导一线教师用好、教好教材，发挥教材在考试复习中的导向作用和典
型示范作用。

很多试题都可以从教材中直接选用或稍做变形，从中挖掘和组合
并升华出来的，让考生处处能见到教材中题目的影子，都有“似曾相识”的感觉，
从而让“抓纲务本”的学生和老师占到优势, 有效地避免了”题海战术”（如
2007年武汉市中考试题中有12道题直接来源于教材，5道题是教材的改编题，
总共占总题数(共25题)的68%之多）发挥良好的导向功能，真正要让大家感到
“离开教材就是离开中考”。

近几年中考试卷一次又一次提醒我们：中考要回归
教材，回归基础。

还是以07年为例，如第11题利用课前的章前语与黄金分割结合起来，不但
考查了一元二次方程的应用，还渗透了数学文化；第20题是将教材中的一个风
车图案的识别题进行改编，突出学生的动手实践能力的考查，要求考生画风车的
一个叶片。

这些试题来源于教材，却又高于教材。

考生在完成试题时，还能够欣
赏一种数学美，从而试卷也突出了情感目标的考查。

5.注意新旧教材的变化，加大新增内容考查力度
近几年的中考试卷中除了增加概率内容(如07年第10，21题；08年第10，
21题)的考查外，同时加大了对图形变换的考查力度（如07年第6题的对称变
换、第19题的平移变换和旋转变换、第24、25(3)题的旋转变换；08年第6题
的对称变换、第21题的平移变换、第24、25(3)题的旋转变换等）。

特别加强了
对学生探索学习过程与方法的考查(如07、08两年的第24题)。

试卷中还注意了
新旧教材的变化，特别是过去的最核心知识---圆的要求，在近两年的试卷里已
大大降低了，07年试卷中只有第7、22、25(3)题涉及到圆的知识，分值只占15
分； 08年试卷中也只有第7、15、22题涉及到圆的知识，而分值只占13分。

6.尊重学生的差异，赋予学生自由发挥的空间
新课程提出“尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要”，注重了人文关怀，尊重各类学生在数学学习中的发展权利，使不同层次的学生根据自身的实际情况选取不同起点的问题，获得成功，并享受成功的喜悦。

在试题命制过程中多命制一些解答起点低、入口宽、解法开放的题，尽量满足不同层次的需要，让人人都可以动手，体现了“不同的人在数学上有不同的发展”。

例如07年的第12题可以按常规方法处理，也可以从选择支中获取信息寻找一种捷径; 第15题不但可以从数的角度发现规律，还可以从形的角度进行思考; 第19题可以从三角形全等、平行四边形、三角形的中位线、三角形相似和圆的知识角度入手; 第22(1)题证明EF是⊙O的切线的方法也较多, 第22(2)题求sin∠E可以直接求解，也可以将未知角进行平移转化；第25(2)题不但可以从代数、几何的角度入手，还可以从平移的角度思考，注意了与高中教学的衔接。

08年的第9题平面展开图可以空间想像，也可以动手操作，第16题可以从数的角度发现规律，也可以从形的角度进行思考，第25题（2）中平分等腰梯形的面积可以有几种确定重心的方法，也可以从代数的角度求坐标解决问题。

总之，试题设计追求每一个题目尽量有不同的解决方法，不同水准的学生尽可能地从不同角度去尝试分析问题、解决问题，让所有的考生都能从不同程度上体会到成功。

三：命题内容分布
1、数学内容维度上的分布
在“数与代数”领域，主要考查有理数、实数、代数式、整式、分式、方程与方程组、不等式与不等式组、函数、一次函数、反比例函数、二次函数等
2007年共有16道题(分别是第1、2、3、4、5、11、12、13、14、15、16、17、18、21、23、25题)；2008年共有15道题(分别是第1、2、3、4、5、11、12、
14、15、16、17、18、21、23、25题)。

分别考查了“数与代数”中的
⑴运用有理数解决实际问题⑵二次根式化简、
⑶列代数式表示实际问题中的数量关系⑷利用分式性质化简计算、因式分解⑸方程根的概念⑹一元二次方程相关概念、
⑺用公式法解一元二次方程、解方程组⑻在数轴上表示不等式解集
⑼解简单的一元一次不等式⑽利用不等式性质解决问题、
⑾确定函数自变量取值范围⑿一次函数与方程不等式、
⒀平移后的一次函数解析式⒁用一次函数解决问题、
⒂确定反比例函数表达式⒃二次函数及图象解决问题、
⒄求二次函数解析式等近20个知识点
在“空间与图形”领域，主要考查点线面、角、相交线、平行线、三角形、四边形、圆、图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转、图形的相似、证明的含义等
2007年共有12道题(分别是第6、7、8、9、14、15、16、19、20、22、24、25题)；2008年共有12题(分别是第6、7、8、9、14、15、16、19、21、22、24、25题)。

分别考查了“空间与图形”中的
⑴立体图形的平面展开图、三视图⑵线段的计数
⑶角平分线及其性质⑷利用平行线性质进行证明
⑸等腰三角形及其性质⑹全等三角形的判断
⑺正方形性质、等腰梯形、平行四边形性质⑻圆与圆的位置关系
⑼圆的对称性⑽圆的切线性质、判定运用、
⑾认识轴对称并了解其性质⑿直线的平移、运用平移变换推理⒀图形的旋转、运用旋转变换推理⒁运用三角函数解决问题
⒂相似三角形的判定、性质⒃直线与点的坐标
⒄圆与点的坐标⒅图形变换与点和坐标
⒆抛物线与点的坐标
⒇利用综合法证明对基本图形的相关结论进行探索、归纳、猜想、证明等近30个知识点；
在“统计与概率”领域，主要考查数据的描述、数据的分析、概率的意义与求法2007年共有3题（分别是第10、12、21题）2008年共有4题（分别是第10、
11、13、20题），分别考查了“统计与概率”中的
⑴画条形统计图，利用扇形图、条形图、折线图解决问题
⑵数据的整理与分析、
⑶画频数分布直方图，利用频数分布表、直方图用解决问题
⑷样本估计总体
⑸用列举法求概率
⑹用频率估计概率
⑺用概率进行决策等近10个知识点.
在“实践与综合”领域，主要考查实践与探究、代数与几何的综合。

由于考试的局限性，一般不单独设置试题，对这部分的考查渗透在其它三个领域之中。

以08年为例，从方法层面来讲，通过“动手实践”可得出正确结论的试题有第9、10、16题；从“与实际相结合”层面来讲，涉及联系实际的试题有第1、7、8、9、10、11、13、16、20、23题；从“综合运用”的层面来讲，综合性强的试题有第12、21(3)、24、25题（难度系数在0.2-0.4）．
2、数学能力维度上的分布
在“数与代数”领域，达“了解”层面的（07年有第2、3、4题共有3题，08年有第2、3、4题共有3题），达“理解”层面的（07年有第5题共有1题，08年有第5题共有1题），达“掌握”层面的（07年有第1、13、14、16、17、18、25（1）题共有7题，08年有第1、14、15、17、18、25（1）题共有6题），达“灵活运用”层面的（07年有第11、12、15、23、25题共有5题，08年有第11、12、16、21、23、25题共有6题）；
在“空间与图形”领域，达“了解”层面的共有（07年有第6、7题共有2题，08年有第6、7题共有2题），达“理解”层面的（07年有第9题共有1题，08年有第9题共有1题），达“掌握”层面的（07年第14、16、19题有共有3题，08年有第14、15、19题共有3题），达“灵活运用”层面的（07年有第8、16、21、22、24、25题共有6题，08年第8、15、20、22、24、25题有共有6题）；
在“统计与概率”领域，达“了解”层面的（07年共有0题，08年有第13题共有1题），达“理解”层面的（07年共有0题，08年共有0题），达“掌握”层面的（07年有第10题共有1题，08年有第10题共有1题），达“灵活运用”层面的（07年有第12、21题共有2题，08年有第11、20题共有2题）
能力维度上分布反映出试卷倡导让学生学会学习、学会创新、学会应用，杜绝死记硬背，克服重“知”轻“思”的倾向
四、案例分析
近年来，各地在科学、合理地使用题型，为确保考试的科学性和有效性方面
进行了积极的探索和谨慎创新，为改进和完善中考试题编制提供了诸多有益的实
践。

按照全国中考数学考试评价课题组提供的评价原则与标准，我在这里选取近
几年部分省市中考试卷中的几个案例，就其题目编制的目的、内容、要求、形式
谈一些看法（仅仅是个人观点）
例1、、为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内
建造一座高2m 的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案。

小兵同学查阅了有关资
料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设
计中。

如图是小兵同学根据黄金分割数设计
的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像
下部的设计高度(精确到0.01m ，参考数据：
2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)是（ ）。

A 、0.62m B 、0.76m C 、1.24m D 、1.62m
评析：本题选材于人教版九年级上册第二十二章引言，让考生能见到教材中题目的影子，都有“似
曾相识”的感觉，利用课前的章前语与黄金分割结合起来，不但考查了一元二次
方程的应用，还渗透了数学文化，从而让“抓纲务本”的学生和老师占到优势, 发
挥教材在考试复习中的导向作用和典型示范作用。

有效地避免”题海战术”，指
导教学。

例2近几年，某市在经济建设中取得突出成就，2004―2006年三年该市的国内
生产总值的和为2200亿元。

图甲是这三年该市的国内生产总值的扇形统计图，图乙是这三年该市总人口折线统计图。

根据以上信息，下列判断：①2006年该市国内生产总
值超过800亿元；②2006年该市人口的增长率比2005年人口的增长率低；
③2006年比2004年该市人均国内生产总值增加)448
292200455372200(％％⨯-⨯万元；④如果2007年该市人口的年增长率与2006年人口的年增长率相同，
且人均国内生产总值增长10％，那么2007年全市的国内生产总值将为
)451
4514551)(101(372200-++⨯⨯％％亿元。

其中正确的只有（ ）。

A 、①②④ B 、①③④ C 、②③ D 、①③
评析：本题设计意图较好，注重问题的实际背景，体现数学的应用价值，通过图
像信息对统计知识作了较为合理的考查.不仅考查了数学知识，还通过答案选择
支的设计可以考查学生对待选择题的灵活处理问题的能力；同时还考查了学生的
阅读理解能力；信息量大，阅读时间较多，
甚至还可以检验一个学生的毅力品质，
(第12题图乙)
2004年 2006年 2005年 37％ 29％ 34％ (第12题图甲) 某市2004―2006年国内生产总值扇形图
有没有信心和毅力把题目阅读完全。

但这样的试题在一次考试中不能出现过多，
否则对考生有较大的心理压力.
例3、正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC 上一动点，
过点P 作PF ⊥CD 于点F 。

如图1，当点P 与点O 重合时，显然有DF ＝CF ．
⑴如图2，若点P 在线段AO 上（不与点A 、O 重合），PE ⊥PB 且PE 交CD 于
点E 。

①求证：DF ＝EF ；
②写出线段PC 、PA 、CE 之间的一个等量关系，并证明你的结论；
⑵若点P 在线段OC 上（不与点O 、C 重合），PE ⊥PB 且PE 交直线CD 于点E 。

请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结
论（所写结论均不必证明）
评析：本题的设计,将点P 在正方形的对角线的位置从特殊到一般，层层递进,
一环扣一环。

在问题解决过程中，让学生经历了动手操作、 观察猜想、合情推
理、归纳证明等全过程。

而问题(2)是要求在更一般性情况下进行探索，使在逻
辑上的缜密性得到保证，这样就实现了直觉与逻辑的辨证的统一。

整个解题过程
实质是一个实验研究的过程：实验(特殊情形)---猜想(一般情形)---论证(一般
情形)，在整个解题过程中也体现了科学研究的基本方法,将问题一般化发现新的
问题。

突出考查从特殊与一般的数学思想和实验研究的能力。

在问题解决过程中，
“尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要”，注重了人文关怀，尊重各类
学生在数学学习中的发展权利，使不同层次的学生根据自身的实际情况选取不同
起点的问题，获得成功，并享受成功的喜悦。

本题命制做到了解答起点低、入口
宽、解法开放，尽量满足不同层次的需要，让人人都可以动手，体现了“不同的
人在数学上有不同的发展”。

例4、 利用图（1）或图（2）两个图形中
的有关面积的等量关系都能证明数学中
一个十分著名的定理，这个定理称
为 ，该定理的结论其数学表
达式是 ．
评析：此题是一道凸显数学文化的试题它
的背景是著名的勾股定理，其目的在于让
学生由图形中的信息得出数学公式，从中体验数形结合的思想方法。

此题揭示了
知识的形成和发展的过程，消除了学生对数学公式的神秘感。

数学文化具有比数
学知识体系更为丰富的深邃的文化内涵，数学文化是对数学的知识、技能、能力
和素质等方面的高度概括。

数学文化是丰富多彩的，将其尽可能地与初中数学课
程内容进行有机结合，是近年来中考中的一个新的命题方向。

此类试题旨在将学
图1 图2
图3
直角梯形
梯形
平行四边形
四边形
生已有的知识、技能进一步拓展、延伸到数学思想、方法以及精神等方面，使学生达到对数学文化更高层次的理解。

例5、我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系。

如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行。

那么请你对标上的其他
评析：技能、思想和方法，并使学生得到必要的数学思维训练，有利于完善学生的认知结构。

考查一般学习环节的试题。

数学学习的整个过程由许多个一般学习环节组成，数学学习的一般环节又包括观察、计算、比较、猜想、证明、归纳、反思等因素。

许多的数学教学调查研究表明：学生学习成绩的好坏，关键在于学习的一般环节。

近年来的数学学业考试也已在这方面作出了有益的尝试。

例6、以下是数学课堂的一个学习片段，阅读后，请回答下面的问题。

学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰△ABC中，∠A=30°，请你求出其余两角”。

经过片刻的思考与交流，李明同学举手回答：“其余两角是30°和75°”。

王华同学说：“其余两角是75°和75°”。

还有一些同学也提出了不同的看法。

（1）假如你在课堂上，你的意见如何？为什么？
（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）
评析：这是一道“数学交流”型试题，此类试题要求学生通过交流去获取信息、处理信息进而解决数学问题，这对于培养学生的数学理解能力、促进学生熟练地掌握数学语言有着重要的现实意义，在中考中已逐渐开始涉及。

本题是对求角的多种可能性进行交流，通过学生之间的对话交流，能够获取有关解题方法的信息。

除此之外，命题时还可以考虑通过书面表述、表格、数学图象、数学规律等方式进行数学交流，从而编制出不同种类的“数学交流”型试题，最终使学生达到熟练掌握数学语言进行交流的目的。

例7、李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数
的一个特征．甲：它的图像经过第一象限；乙：它的图像也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y随x增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式．
评析：这是一道开放性的试题，形式新颖，要求学生依据图形和数学的基本知识寻找符合要求的函数（形如)0
,0
(
),0
,0
(2>
>
+
+
=
>
>
+
=b
a
c
bx
ax
y
b
k
b
kx
y等），着意考查学生观察和分析图形的能力，符合“多考一点数学思维，少考一点机械繁杂地计算”的命题改革方向。

今后可以在强调“少算多想”的背景下，增加这一类思考型试题，如学习成果展示型试题、允许学生参与的学习过程评价型试题等。

此
类试题要求学生利用所学知识，借助于对数学概念、数学规律、数学模型的理解，对数学问题推理过程的合理性作出评价，以获得正确的感知和理解。

这类题目符合“重视过程性学习”的新理念，而且会逐渐成为命题的热点，对教师的教学也具有很好的导向作用。

例8、为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为t
a y =（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：
（1） 写出从药物释放开始，y 与t 之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室? 评析：预防流感问题，是一个充满人文价值和人文关怀的题目，此题不仅考查了数学知识，还告诉学生药物的残留毒性，使学生意识到药物在防病的同时，也对身体健康有一定的副作用，引导学生注意养生之道，使数学知识成为促进学生形成正确的情感态度与价值观的催化剂。

人人都需要学习数学，人人都应学习有价值的数学。

数学的价值不仅仅在于知识而更在于它的影响，真正有价值的数学，一定是深入学生内心的数学。

数学学业考试评价要充分体现数学价值，更要体现对学生的人文关怀，这也是数学教育工作者所追求的目标。

例9、对于二次函数2y ax bx c =++，如果当x 取任意整数时，函数值y 都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线（例如：222y x x =++）．
（1）请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式 ．（不必证明）
（2）请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于12
的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
评析：本题中出现的 “整点抛物线”是个新概念，属于新定义的知识，它是在原有 “抛物线”概念基础上的发展与延伸，虽然难度不高，但有利于考查学生的即时性学习能力，是一道发展性试题。

“人人是学习的主体，每位学生都有发展的潜能，要用发展的眼光看待每一位学生”，这是《数学课程标准》所提出的要求。

在数学学业考试中，发展性试题常用于评价学生在数学课程学习方面进一步发展的潜力。

例10、如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，
AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF
沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．
（1）当AE =5，P 落在线段CD 上时，PD = ；
（2）当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值
等于 ．。