高二数学12月月考试题 文
2022-2023学年山西省晋城市校高二年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年山西省晋城市第二中学校高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．132B ．116 C ．18D ．4【答案】B【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解.【详解】解：抛物线的标准方程为218x y =， 所以焦点坐标为10,32F ⎛⎫⎪⎝⎭，其准线方程为132y =-，所以抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为111323216d ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 故选：B2．若直线1:20l x y -+=与直线2:230l x ay +-=平行，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．2 D ．1【答案】A【分析】解方程1(1)20a ⨯--⨯=即得解. 【详解】解：由题得1(1)20, 2.a a ⨯--⨯=∴=- 经检验，当2a =-时，满足题意. 故选：A3．已知直线3260x y --=经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A ．22194x y +=B ．22419x y +=C ．22194y x +=D ．22419y x +=【答案】C【分析】求出直线3260x y --=与两坐标轴的焦点为()0,3-，()2,0.根据32->，可设椭圆的方程为22221y x a b+=，求出,a b 即可. 【详解】令0x =，可得=3y -；令0y =，可得2x =. 则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为()0,3-，()2,0.因为32->，所以椭圆的焦点在y 轴上. 设椭圆的方程为22221y x a b +=，则3a =，2b =，所以椭圆的方程为22194y x +=.故选：C.4．若方程222141x y m m-=-+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()2-∞-，B ．()21--，C ．()22-，D ．()11-，【答案】A【分析】原方程可变形为222141y x m m ---=-，根据已知有21040m m -->⎧⎨-+>⎩，解出即可. 【详解】因为方程222141x y m m -=-+表示焦点在y 轴上的双曲线， 222141x y m m -=-+可变形为222141y x m m ---=-. 所以有21040m m -->⎧⎨-+>⎩，即21040m m +<⎧⎨->⎩，解得2m <-. 故选：A. 5．数列262,4,,203--，…的一个通项公式可以是（ ） A ．()12nn a n =-⋅ B ．()311n nn a n-=-⋅C ．()1221n nn a n+-=-⋅D ．()31n nn na n⋅-=-【答案】B【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可. 【详解】选项A ：()331236a =-⨯⨯=-，不符合题意； 选项C ：()212222132a +-=-⨯=不符合题意； 选项D ：()222327122a -=-⨯=，不符合题意； 而选项B 满足数列262,4,,203--，故选：B6．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，则1AE BD ⋅=（ ）A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：如图，建立空间直角坐标系， 则()()()()12,0,0,0,2,1,2,2,0,0,0,2A E B D ， 所以，()()12,2,1,2,2,2AE BD =-=--， 所以，14422AE BD ⋅=-+=. 故选：D7．在数列{}n a 中，122,a a a ==，且132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，若数列{}n a 单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（2，52）B ．（2，3）C ．（52，4）D ．（2，4）【答案】C【分析】由递推关系，结合条件122,a a a ==，求出数列的通项公式，再结合数列的单调性，列不等式可求实数a 的取值范围.【详解】因为132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，所以()21312(N )n n a a n n *++=-+++∈，328a a =-+，所以23(2,N )n n a a n n *+=+≥∈，又2a a =， 328a a =-+，所以数列{}n a 的偶数项按项数从小到大排列可得一公差为3的等差数列，所以当n 为偶数时，332n a n a =+-， 当n 为大于等于3的奇数时，3722n a n a =+-， 因为数列{an }单调递增，所以1n n a a -≥(2,N )n n *≥∈，所以当n 为大于等于3的奇数时，()37313222n a n a +->-+-，化简可得4a <，当n 为大于等于4偶数时，()33731222n a n a +->-+-，解得52a >，由21a a >可得，2a >， 所以542a <<， 故选：C.8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右顶点分别为A ，B ，且椭圆C，点P是椭圆C 上的一点，且1tan 4PAB ∠=，则tan APB ∠（ ）A ．109-B ．1110-C ．1110D ．109【答案】B【分析】设()00,P x y 是椭圆上的点，设11tan 4k PAB =∠=，2tan k PBA =-∠求出12k k ⋅为定值，从而能求出tan PBA ∠的值，然后根据()tan tan APB PAB PBA ∠=-∠+∠求解. 【详解】设()00,P x y 代入椭圆方程，则()22002210x y a b a b+=>>整理得：()2222002,b y a x a=-设11tan 4k PAB =∠=，2tan k PBA =-∠ 又010y k x a =+，020y k x a=-,所以 ()22222000122222000116y y y b a c k k e x a x a x a a a -⋅=⋅==-=-=--=-+-- 而11tan 4k PAB =∠=，所以22tan 3k PBA =-∠=-，所以2tan 3PBA ∠=()12tan tan 1143tan tan 121tan tan 10143PAB PBA APB PAB PBA PAB PBA +∠+∠∠=-∠+∠=-=-=--∠⋅∠-⨯ 故选：B二、多选题9．在等比数列{n a }中，262,32a a ==，则{n a }的公比可能为（ ） A ．1- B ．2-C ．2D ．4【答案】BC【分析】根据等比数列的通项即可求解.【详解】因为在等比数列{n a }中，262,32a a ==，设等比数列的公比为q ，则54611216a a q q a q a ===，所以2q =±， 故选：BC .10．已知圆226430C x y x y +-+-=：，则下列说法正确的是（ ） A ．圆C 的半径为16B ．圆C 截x 轴所得的弦长为C ．圆C 与圆E ：()()22621x y -+-=相外切D ．若圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为1，则实数m 的取值范围是()()19,2426,21⋃--【答案】BC【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径;根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C 上有且仅有两点到直线的距离为1【详解】A:将一般式配方可得：()()223216,4x y r -++=∴=，A 错；B ：圆心到x 轴的距离为2，弦长为B 对；C:5,C E CE r r ===+外切，C 对；D: 圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为111,35r d r ∴-<<+∴<<，解之: ()()14,2426,16m ∈⋃--,D 错；故选：BC11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且151416S S S <<，则下列说法正确的是（ ） A ．0d > B ．0d <C ．300S >D ．当15n =时，n S 取得最小值【答案】ACD【分析】根据题干条件利用()12n n n a S S n -=-≥可得到150a <，15160a a +>，160a >，然后即可根据三个结论依次判断四个选项的正误.【详解】因为151416S S S <<，所以1515140a S S =-<，1616150a S S =->，151616140a a S S +=->. 对于A 、B 选项，因为150a <，160a >，所以16150d a a =->，故选项A 正确，选项B 错误； 对于C ，因为15160a a +>，所以()()130301516301502a a S a a +==+>，故选项C 正确； 对于D ，因为150a <，160a >，可知10a <，0d >，等差数列{}n a 为递增数列，当15n ≤时，0n a <，当16n ≥时，0n a >，所以当15n =时，n S 取得最小值，故D 选项正确. 故选：ACD.12．已知抛物线C ：212y x =，点F 是抛物线C 的焦点，点P 是抛物线C 上的一点，点(4,3)M ，则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线C 的准线方程为3x =-B ．若7PF =，则△PMF 的面积为32C ．|PF PM -|D ．△PMF 的周长的最小值为7【答案】ACD【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为3x =-，即可判断A ，根据抛物线定义得到4P x =，故P 点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B ，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到()max ||||PF PM F M -∴=，计算即可判断C ，三角形PMF 的周长PM MF PF PM PF =++=+||||PM PF +的最小值，即得到周长最小值.【详解】212y x =，6p ∴=，()3,0F ∴，准线方程为3x =-，故A 正确； 根据抛物线定义得372P P pPF x x =+=+=，4P x =，()4,3M ,//PM y ∴轴，当4x =时，y =±若P 点在第一象限时，此时(4,P ,故433PM =-，PMF △的高为1，故()1343312322PMFS=⨯-⨯=-， 若点P 在第四象限，此时()4,43P -，故433PM =+，PMF △的高为1，故()1343312322PMFS=⨯+⨯=+，故B 错误； ||||PF PM MF -≤，()()()22max 433010||||M P F PF M ∴+--==-=,故C 正确；（连接FM ，并延长交于抛物线于点P ，此时即为||||PF PM -最大值的情况， 图对应如下）过点P 作PD ⊥准线，垂足为点D ，PMF △的周长1010PM MF PF PM PF PM PD =++=++若周长最小，则PM PD +长度和最小，显然当点,,P M D 位于同一条直线上时，PM MF +的和最小，此时7PM MF PD +==,故周长最小值为710D 正确. 故选：ACD.三、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，121916a a =，则28223log log a a +=___________. 【答案】4【分析】由条件，结合等比数列性质可得82316a a =，再对数运算性质求28223log log a a +即可.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以3122198a a a a =， 又121916a a =，所以82316a a =， 所以2822328234log log log a a a a ==+， 故答案为：4.14．已知向量(2,4,)m a =，(1,,3)n b =-，若n m λ=，则 ||n m -=___________.【答案】【分析】根据n m λ=，列出1243b a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，分别求出,,a b λ，然后得到,m n ，进而计算，可求出||n m -的值.【详解】n m λ=，故1243b a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1226b a λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，故(2,4,6)m =-，(1,2,3)n =--，(3,6,9)n m -=--，则||(3)n m -=-=故答案为：15．在数列{}n a ，{}n b 中，112a =，3110a =，且11112(2)n n n n a a a -++=≥，记数列{bn }的前n 项和为Sn ，且122n n S +=-，则数列{}n n a b ⋅的最小值为___________.【答案】23【分析】可由题意构建1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差，求出n a 通项公式，{}n b 可由1n n S S --得出n b 的通项公式，再利用作差法求出新数列n n a b ⋅单调性即可求出最小值.【详解】由11112(2)n n nn a a a -++=≥可得111111n n n n a a a a +--=-，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设公差为d ， 首项112a =，311121028d a a =-=-=，可得4d =，则12(1)442n n n a =+-⨯=-，即142n a n =-， 由122n n S +=-，可得当2n ≥时，11222n n nn n n b S S +-=-=-=，112b S ==，代入后符合2n n b =，即{}n b 的通项公式为2n n b =，设新数列{}n c ，242nn n n c a b n ==-，11122(23)24(1)242(21)(21)n n n n n n c c n n n n +-+--=-=+--+-，当10n n c c +->时，得 1.5n >，即2n ≥时，{}n c 是递增数列； 当10n n c c +-<时，得 1.5n <，即21c c <，综上所述223c =是最小值，即数列{}n n a b ⋅的最小值为23，故答案为：2316．已知双曲线2322100x y C a b a b -=>>：（，）的右焦点为F ，离心率为102，点A 是双曲线C 右支上的一点，O 为坐标原点，延长AO 交双曲线C 于另一点B ，且AF BF ⊥，延长AF 交双曲线C 于另一点Q ，则||||QF BQ =___________. 【答案】22【分析】在1Rt F AF △中，由勾股定理可求得||AF 、1||AF 用含有a 的代数式表示，在1Rt F AQ △中，由勾股定理可求得||QF 用含有a 的代数式表示，在Rt BFQ △中，由勾股定理可求得||BQ 可用含有a 的代数式表示，进而求得结果. 【详解】如图所示，∵22101c b e a a ==+ ，则2252c a = ，2232b a =，由双曲线的对称性知：OA OB =，1OF OF = ， 又∵AF BF ⊥，∴四边形1AFBF 为矩形，设||0AF m => ，则由双曲线的定义知：1||2AF a m =+，在1Rt F AF △中，22211||||||F F AF AF =+，即：2224(2)c a m m =++ ，整理得：22230m am a +-=，即：()(3)0m a m a -+= ， ∵0m >，∴m a = ， ∴1||3AF a =设||0QF n => ，则由双曲线的定义知：1||2QF a n =+，在1Rt F AQ △中，22211||||||F Q AQ AF =+，即：222(2)(3)()a n a a n +=++，解得：3n a = ，即：||3QF a =， 又∵1||||3BF AF a ==，∴在Rt BFQ △中，||BQ ==∴||||2QF BQ =四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为258,224,100n S a a S +==. (1)求{an }的通项公式； (2)若+11n n n b a a =，求数列{n b }的前n 项和Tn . 【答案】(1)31n a n =- (2)2(32)n nT n =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果； （2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，1112()4248(81)81002a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：123a d =⎧⎨=⎩ ∴1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-. 故{}n a 的通项公式为31n a n =-. （2）∵1111()(31)(32)33132n b n n n n ==--+-+111111111111()()()()325358381133132111111111 ()325588113132111 =()3232=2(32)n T n n n n n nn =⨯-+⨯-+⨯-++--+=⨯-+-+-++--+⨯-++即：{}n b 的前n 项和2(32)n nT n =+.18．已知圆22:10C x y mx ny ++++=，直线1:10l x y --=，2:20l x y -=，且直线1l 和2l 均平分圆C . (1)求圆C 的标准方程(2)0y a ++-=与圆C 相交于M ，N 两点，且120MCN ∠=，求实数a 的值. 【答案】(1)()()22214x y -+-= (2)1a =或3a =-【分析】（1）根据直线1l 和2l 均平分圆C ，可知两条直线都过圆心，通过联立求出两条直线的交点坐标，由此得到圆心坐标即可得到圆的标准方程.（2）根据120MCN ∠=，及MCN △为等腰三角形可得到30CMN ∠=，可得圆心到直线的距离sin d r CMN =∠，再根据点到直线的距离公式即可求出实数a 的值.【详解】（1）因为直线1l 和2l 均平分圆C ，所以直线1l 和2l 均过圆心C ，因为1020x y x y --=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 和2l 的交点坐标为()2,1，所以圆心C 的坐标为()2,1，因为圆22:10C x y mx ny ++++=，所以圆心坐标为,22m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2212m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得42m n =-⎧⎨=-⎩，所以圆C 的方程为224210x y x y +--+=，即()()22214x y -+-=， 所以圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=.（2）由（1）得圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=，圆心()2,1C ，半径2r =，因为120MCN ∠=，且MCN △为等腰三角形，所以30CMN ∠=， 因为CM CN r ==，所以圆心C 到直线3230x y a ++-=的距离sin 2sin301d r CMN =∠==， 根据点到直线的距离公式()222312311231a a d ++-+===+， 即12a +=，解得1a =或3a =-， 所以实数a 的值为1a =或3a =-.19．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是菱形.1202DAB PA AD ∠===，，22PC PD ==，点E 是棱PC 的中点.(1)证明：PC ⊥BD .(2)求平面P AB 与平面BDE 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 3【分析】（1）首先根据线面垂直的判定定理证明PA ⊥平面ABCD ，然后建立空间直角坐标系，通过空间向量垂直的判定条件证明PC BD ⊥即可；（2）通过第（1）问的空间直角坐标系，根据二面角夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）120DAB ∠=，四边形ABCD 为菱形， 60CAD ∴∠=，又60ADC ∠=，ACD ∴为等边三角形，2AD =，2AC CD ∴==，2PA =，22=PC222PA AC PC +=，PA AC ∴⊥， 222PA AD PD +=，PA AD ∴⊥，ACAD A =，AC ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD .过点A 作AF BC ⊥，则PA AF ⊥，AF AD ⊥，PA AD ⊥，∴分别以AF ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴如图建立空间直角坐标系.2AB =，cos603AF AB ∴=⋅=，1BF =，2BC =，1FC ∴=.)3,0,0F∴，()002P ,,，)3,1,0C，()3,1,0B-，()0,2,0D ，()3,1,2PC ∴=-，()3,3,0BD =-，(33130PC BD ⋅=-⨯=，PC BD ∴⊥.（2）()0,0,2P ，)3,1,0C，E 为PC 中点，31,12E ⎫∴⎪⎪⎝⎭，设平面PAB 的法向量为()1111,,n x y z =，()0,0,2PA =-，()3,1,0AB =-，1112030z x y -=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，()11,3,0n ∴=.设平面BDE 的法向量为()2222,,n x y z =，()3,3,0BD =-，33,122DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，222223303302x y y z ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪，()23,1,0n ∴=， 设平面PAB 与平面BDE 夹角为θ， 则121213313cos n n n n θ⋅⨯+⨯==⋅∴平面PAB 与平面BDE 320．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 关于抛物线C 的准线的对称点为()9,0P -. (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作倾斜角为θ的直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，记OAB 的面积为S ，求证：18sin S θ=. 【答案】(1)212y x = (2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线的简单几何性质得到抛物线的焦点坐标和准线方程，结合条件得到()19222p p ⎡⎤⨯+-=-⎢⎥⎣⎦，即可求解. （2）设直线:3l x my =+，且cos sin m θθ=（()0,πθ∈），()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线的方程结合韦达定理计算得到12y y -，结合图形得到1212OFA OFB S S S OF y y =+=⨯⨯-△△，即可求证.【详解】（1）由题意得：抛物线C 的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程0l ：2p x =-，因为焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭关于准线0:2p l x =-的对称点为()9,0P -，则()19222p p ⎡⎤⨯+-=-⎢⎥⎣⎦，解得：6p ， 所以抛物线C 的方程为：212y x =. （2）由（1）知，焦点()3,0F ，如图：过点F 作倾斜角为θ的直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点， ∴直线l 的倾斜角θ不为0，则()0,πθ∈，即sin 0θ>，则设直线:3l x my =+，且cos sin m θθ=（()0,πθ∈），()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2312x my y x=+⎧⎨=⎩，得：212360y my --=，由()2124360m ∆=+⨯>，得：12121236y y m y y +=⎧⎨=-⎩，则12y y -==又222cos 111sin sin m θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以121212sin y y θ-=（()0,πθ∈）， 又1212111222OFA OFB S S S OF y OF y OF y y =+=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯-△△，即1121832sin sin S θθ=⨯⨯=. 综上：OAB 的面积18sin S θ=，得证. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.21．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为yx =，且过点(3,.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若双曲线C 的右焦点为F ，点()0,4P -，过点F 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点，且PA PB =，求直线l 的方程.【答案】(1)2213x y -=(2)0y =，或1233y x =-或2y x =-+.【分析】（1）根据题意得22921b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，进而解方程即可得答案；（2）由题知()2,0F ，进而先讨论直线l 的斜率不存在不满足条件，再讨论l 的斜率存在，设方程为()2y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，进而与双曲线方程联立得线段AB 中点为22262,1313k k E k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，再结合题意得PE AB ⊥，进而再分0k =和0k ≠两种情况讨论求解即可.【详解】（1）解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y=，且过点(3,， 所以，22921b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得221,3b a ==所以，双曲线C 的标准方程为2213x y -=（2）解：由（1）知双曲线C 的右焦点为()2,0F ，当直线l 的斜率不存在时，方程为:2l x =，此时,2,A A ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，PA PB =≠= 所以，直线l 的斜率存在，设方程为()2y k x =-，所以，联立方程()22213y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得()222213121230k x k x k -+--= 所以()()422214441331212120k k k k ∆=----=+>，且2130k -≠，所以，k ≠设()()1122,,,A x y B x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k --+=-=-- 所以()3121222124441313k ky y k x x k k k k+=+-=--=---， 所以，线段AB 中点为22262,1313k k E k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭， 因为PA PB =，所以，点()0,4P -在线段AB 的中垂线上， 所以PE AB ⊥，所以，当0k =时，线段AB 中点为()0,0E ，此时直线l 的方程为0y =，满足题意；当0k ≠时，22222222424122613,66313PEAB kk k k k k k k k k k k k -+-+--+--====----， 所以，222613PE AB k k k k k k -+-⋅=⋅=--，整理得23210k k +-=，解得13k =或1k =-，满足k ≠综上，直线l 的方程为0y =，或1233y x =-或2y x =-+.22．已知椭圆2222:1(0x y C a b a b +=>>0x y -=相切.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：1y kx =+与椭圆C 交于,A B 两点，点P 是y 轴上的一点，过点A 作直线PB 的垂线，垂足为M ，是否存在定点P ，使得PB PM ⋅为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22164x y += (2)存在，1(0,)4P【分析】（1）根据题意得,a b ==，由C与直线0x y --=相切，联立方程得22c =，即可解决；（2）1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，结合韦达定理得PB PM PB PA ⋅=⋅222292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，即可解决.【详解】（1）由题知，,c a b a ==， 所以椭圆C 为2222132x y c c+=，即2222360x y c +-=，因为C与直线0x y --=相切，所以22223600x y c x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，消去y得22223(60x x c +-=，所以2253060x c -+-=，所以236045(306)0c ∆=-⨯⨯-=，得22c =，所以椭圆C 的标准方程为22164x y +=； （2）设1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，由221641x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222(23)690,3636(23)144720,k x kx k k k ++-=∆=++=+> 所以12122269,2323k x x x x k k +=-=-++， 所以()PB PM PB PA AM PB PA PB AM PB PA ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅1122(,)(,)x y t x y t =-⋅-1212(1)(1)x x kx t kx t =++-+- 221212(1)(1)()(1)k x x k t x x t =++-++-222296(1)()(1)()(1)2323kk k t t k k=+-+-⋅-+-++ 222292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，所以2231292(1)32t t --+-=，解得14t =， 所以存在点1(0,)4P ，使得PB PM ⋅为定值.。
河北省高阳中学2014-2015学年高二12月月考数学(文)试题
河北省高阳中学2014-2015学年高二12月月考数学（文）试题一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分） 1.命题 “0,ln 0x x x ∀>->”的否定是（ ） A.0,ln 0x x x ∃>-≤ B.0,ln 0x x x ∀>-< .C. 0,ln 0x x x ∃>-< D.0,ln 0x x x ∀>-≤2. “3>x ”是“不等式022>-x x ”的( )A ．充分不必要条件 B.充分必要条件C ．必要不充分条件 D.非充分必要条件 3.曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为 （ ）A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y4.函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)5．已知与之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y bx a =+必过点（ ） A ．()2,2B ．()1.5,0C ．()1,2D ．()1.5,46.某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 （ ）A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数7.从1、2、3、4这四个数中一次随机取两个,则取出的这两数字之和为偶数的概率是( ) A ．16B ．13 C. 12 D ．158.在区间[]ππ,-内随机取两个数分别记为b a ,，使得函数()2222π+-+=b ax x x f 有零点的概率为（ ） A . 81π-B. 41π-C. 21π- D. 431π-9.椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( ) A.14 B.12C.2D.410. 从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积（ ）A ．5B ．10C ．20D ．1511.已知点F 是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)12.已知圆O 2216,x y +=A (2,0)-，B (2,0)为两个定点，点P 是椭圆C ：2211612x y +=上一动点，以点P 为焦点，过点A 和B 的抛物线的准线为l ，则直线l 与圆O （ ） A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.一支游泳队有男运动员32人，女运动员24人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为14的样本，则抽取男运动员的人数为 .14. 已知函数f (x )＝a ln x ＋x 在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 15.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均的 课外阅读时间为________小时．16. .椭圆13422=+y x 的左焦点是F ，直线m x =与椭圆相交于点B A ,，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （本小题满分10分）已知函数32()39f x x x x a =-+++ （1）求函数()y f x =的单调递减区间（2）函数()y f x =在区间[]2,2-上的最大值是20，求它在该区间上的最小值18.（本小题满分12分）已知命题p ：方程(2)()0x a x a -+=的两个根都在[1,1]-上；命题q ：对任意实数x ，不等式2220x ax a ++≥恒成立，若命题“p ∧q ”是真命题，求a 的取值范围。
【高中教育】最新高二数学12月月考试题文1
——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高二数学12月月考试题文1______年______月______日____________________部门一、单项选择（每题5分，共12题）1、若命题“”为假，且“”为假，则（ ）p q ∧p ⌝A ．或为假B ．假C ．真D ．不能判断的真假p q qq q2、命题“”的否定为（ ）0200(0,),2x x x ∃∈+∞<A ．B ．2(0,),2x x x ∀∈+∞<2(0,),2x x x ∀∈+∞>C ．D ．2(0,),2x x x ∀∈+∞≥2(0,),2x x x ∃∈+∞≥3、命题“三角形ABC 中，若cosA<0，则三角形ABC 为钝角三角形”的逆否命题是（ ）A ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为钝角三角形，则cosA<0B ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为锐角三角形，则cosA≥0 C ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为锐角三角形，则cosA <OD ．三角形ABC 中，若三角形ABC 为锐角或直角三角形，则cosA≥O 4、设集合，，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ ）{}|20A x x =->{}2|20B x x x =->A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5、 抛物线的焦点坐标是241x y =A ．（，0）B ．（0，）C ．（0，1）D ．（1，0）1611616、以双曲线的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是1322=-x yA ．B ．4)2(22=+-y x 2)2(22=-+y xC ．D ．2)2(22=+-y x 4)2(22=-+y x7、短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF2的周长为532=e A ．3 B ．6C ．12D ．248、已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，则双曲线方程为（ ）x y 2±=）（0,6),0,6(- A ． B ．18222=-y x 12822=-y xC ．D ．14222=-y x 12422=-y x9、已知P 为抛物线y2=4x 上一个动点，Q 为圆x2+（y ﹣4）2=1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．10、已知椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF1B 的周长为4，则C 的方程为( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝111、已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点,连接,若,则椭圆的离心率（ ）2222:1(0)x y C a b a b+=>>,F C ,A B ,AF BF 410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=C e = A ． B ． C ．D ．5754746512、已知方程和（其中且），则它们所表示的曲线可能是 （ ）221x y a b+=1x y a b +=0ab ≠a b ≠二、填空题（每题5分，共4题）13、若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________．2,20x R x x m ∃∈++≤m14、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线的焦点重合，是C 的准线与E 的两个交点，则 ．15、 在平面直角坐标系中,已知△顶点，顶点在椭圆上，则＝ 。
高二12月月考(数学)试题含答案
高二12月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1．直线x﹣y+1＝0的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣2.（5分）2．已知向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），则|+|等于（）A．B．3C．D．93.（5分）3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（）A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++4.（5分）4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A．6.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺5.（5分）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM和CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．﹣6.（5分）6．历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点F1，若其近月点A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为r1公里，远月点B（离月球表面最远的点）与月球表面距离为r2公里，并且F1，A，B在同一直线上已知月球的半径为R公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）A．B．C．D．7.（5分）7．已知动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．8.（5分）8．若等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，则满足S n＞0成立的最大正整数n是（）A．4039B．4040C．4041D．4042二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．关于双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1，下列说法正确的是（）A．它们的实轴长相等B．它们的渐近线相同C．它们的离心率相等D．它们的焦距相等10.（5分）10．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x＝0的公共点为A，B，则（）A．|C1C2|＝2B．直线AB的方程是x＝C．AC1⊥AC2D．|AB|＝11.（5分）11．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（）A．a7＝13B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020C．S7＝54D．a2+a4+a6+……+a2020＝a202112.（5分）12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在平面A1B1C1D1内，若|AE|＝，AC⊥DF，则（）A．点E的轨迹是一个圆B．点F的轨迹是一个圆C．|EF|的最小值为﹣1D．AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）13．若直线x﹣y+1＝0与直线mx+3y﹣1＝0互相垂直，则实数m的值为．14.（5分）14．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为．15.（5分）16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点（，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣4x+8＝0交于A，B两点，则四边形OACB面积的最大值为．四、解答题（本题共计7小题，总分75分）16.（5分）15．已知四面体ABCD的顶点分别为A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，﹣1），D（0，3，﹣3），则点D到平面ABC的距离．17.（10分）17．在：①圆C与y轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2；②圆C经过点A（4，1）和B（2，3）；③圆C与直线x﹣2y﹣1＝0相切，且与圆Q：x2+（y﹣2）2＝1相外切。
山西省太原五中2013-2014学年高二数学12月月考试题 文
太 原 五 中2013—2014学年度第一学期月考（12月）高 二数 学(文)一．选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的)1.椭圆191622=+y x 的焦距为（ ） A. 10 B.5 C.7 D.722．已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（ ） A ．1<k B ．2>k C ．1<k 或2>k D ．21<<k3.已知21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，AB 是过1F 的弦，则2ABF ∆的周长是 ( )A.a 2B.a 4C.a 8D.b a 22+ 4. 抛物线)0(42>=p px y 上一点M 到焦点的距离为a ，则M 到y 轴距离为 ( ) A.p a - B. p a + C. 2pa -D. p a 2+ 5. 一动圆与圆221x y +=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，则动圆的圆心在（ ）A. 一个椭圆上B.一条抛物线上C.双曲线的一支上D. 一个圆上6. 设椭圆12622=+y x 和双曲线1322=-y x 的公共焦点为21,F F ，P 是两曲线的一个公共点，则cos 21PF F ∠的值等于（ ）A.41 B.31 C.91 D.537. 已知双曲线的一个焦点与抛物线y x 202=的焦点重合,且其渐近线的方程为043=±y x ,则该双曲线的标准方程为（ ）A.116922=-y x 192=-y C. 116922=-x y D. 191622=-x y 8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于（ ）A B C ．32D 9.若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是 （ ）A ．25B ．2．2210. 抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ ）A ．23B ．2C ．25D ．3二．填空题（本题5个小题，共4⨯5=20分）11.设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上满足 9021=∠PF F ,那么21PF F ∆的面积是12.已知圆16)1(22=++y x ，圆心为)0,1(-C ，点)0,1(A ， Q 为圆上任意一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，则点M 的轨迹方程为 .13.已知F 是双曲线112422=-y x 的左焦点，定点)4,1(A ，点P 是双曲线右支上的动点， 则||||PA PF +的最小值为14. 已知椭圆22:12x c y +=的两焦点为12,F F , 点00(,)P x y 满足2200012x y <+<,则 |1PF |+ 2PF |的取值范围为____ ___15.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（,若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠,则该椭圆的离心率的取值范围为___三.解答题（本题4个小题，共4⨯10=40分）16. （本小题10分）在直角坐标系中，O 为坐标原点，设过点)2,3(P 的直线l ，与x 轴交于点)0,2(F ，如果一个椭圆经过点P ,且以点F 为它的一个焦点. （1）求此椭圆的标准方程；（2）在（1）中求过点)0,2(F 的弦AB 的中点M 的轨迹方程.17．（本小题10分）已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 交于B A ,两点. (1) 求证：OB OA ⊥；（2）当AOB ∆的面积等于10时，求k 的值.18．（本小题10分）设椭圆C: ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的长度 。
广东省珠海市第二中学2024_2025学年高二数学12月月考试题
广东省珠海市其次中学2024-2025学年高二数学12月月考试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.抛物线24x y =-的焦点到准线的距离为 （ ） A.4 B.2 C.1 D ．122.已知R x ∈，设p ：1-<x ，q ⌝：022>--x x ，则下列命题为真的是 （ ） A ．若p 则q B ．若q ⌝则p C ．若q 则p ⌝ D ．若p ⌝则q3.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中随意取出3件,设E 表示事务“3件产品 全不是次品”,F 表示事务“3件产品全是次品”,G 表示事务“3件产品中至少有1件是 次品”,则下列结论正确的是 ( )A ．F 与G 互斥B ．E 与G 互斥但不对立 C.,,E F G 随意两个事务均互斥 D ．E 与G 对立4.已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a b c m =-=--=，若,,a b c 共面，则实数m 的值为（ ） A.607 B.627C.12D.14 5.某创业公司共有36名职工,为了了解该公司职工的年龄构成状况,随机采访了9位代表, 得到的数据分别为36,36,37,37,40,43,43,44,44,若用样本估计总体,则年龄在 (),x s x s -+内的人数占公司人数的百分比是 ( ) (其中x 是平均数,s 为标准差,结果精确到1%) A .14% B .25% C .56% D .67% 6.如图所示,已知1111ABCD A B C D -是平行六面体.设ACBD M =, N 是1BC 上靠近 点1C 的四等分点,若1MN xAB yAD zAA =++,则,,x y z 的值为( )A.113,,244x y z === B.113,,424x y z ===C.131,,244x y z === D.311,,424x y z === 7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，实轴的两个端点分 别为1A 、2A ，虚轴的两个端点分别为1B 、2B .以坐标原点O 为圆心，12||B B 为直径的 圆()O b a >与双曲线交于点M （位于其次象限），若过点M 作圆的切线恰过左焦点1F ，则双曲线的离心率是（ ）A.3B.2C.62 D.728.抛物线28y x =的焦点为F ,设1122(,),(,)A x y B x y 是抛物线上的两个动点,若122343x x AB ++=, 则AFB ∠的最大值为（ ） A.3π B.23π C.34π D.56π 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分） 9.给出下列命题,正确的是 ( )A.命题“R x ∈∃，使得1<x ”的否定是“∀x R ∈，都有1-≤x 或1≥x ”；B.对于命题p 和命题q ，“q p ∧为真命题”的必要不充分条件是“q p ∨为真命题”；C.若{}n a 为等差数列，,,,p q m n N *∈，则“m n p q +=+”是“m n p q a a a a +=+” 的充要条件；D.若0,0a b >>且21a b +=，则115.8a b+>； 10.统计某校n 名学生的某次数学同步练习成果(满分150分),依据成果依次分成六组:[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150,得到频率分布直方图如图所示,若不低于140分的人数为110,则以下说法正确的是( )A.0.031m =B.800n =C.100分以下的人数为60D.分数在区间[)120,140的人数占大半.11.在三棱锥P ABC -中,(0,1,0),(3,1,0),(0,3,0),(0,1,2)A B C P ,则( ) A.(3,0,0)AB =- B.2tan ,3BP AB <>=-C.两异面直线AC 与PB 所成角为060 D.2P ABC V -=12.已知双曲线22:14x y C m m+=+,给出下列四个结论, 正确的是 ( ) A.m 的取值范围是()4,0- B.C 的焦距与m 的取值无关C.当C 的离心率不小于2时, m 的最小值为3-D.存在实数m ,使得点()2,m m 在C 上三、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）13.某公司生产,,A B C 三种不同型号的轿车,产量之比依次为2:3:4,为检验公司的产品质量, 用 分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本,若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆, 则n = .14.已知双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的焦距为10， 则双曲线C 的渐近线方程为 . 15.已知[]0:0,1p x ∃∈,使得00x a e-≥成立；:q 对x R ∀∈,240x x a ++>恒成立. 若p q ∧⌝是真命题,则实数a 的取值范围是 ．16.阳马,中国古代算数中的一种几何形体,是底面为长方形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.在 阳马P ABCD -中,PC 为阳马P ABCD -中最长的棱,1,2,3AB AD PC ===,若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点,则该点位于阳马内的概率为 ．17.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于 ．18.已知椭圆22:197x y C +=,F 为其左焦点,过原点O 的直线l 交椭圆于,A B 两点,点A 在其次象限,且FAB BFO ∠=∠,则直线l 的斜率为 ．四、解答题（本题共5个小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19.(本小题12分)有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z 参与某夏令营,其年级状况如下表:现从这6 (1)用表中字母列举出全部可能的结果;(2)设M 为事务“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事务M 发生的概率.20.(本小题12分)已知动圆M 过点(2,0)，被y 轴截得的弦长为4. （1）求圆心M 的轨迹C 的方程；(2) 若P 为x 轴的负半轴上随意一点，点F 的坐标为()1,0,Q 为轨迹C 上随意一点，且QF PF =,求证：直线PQ 与抛物线C 有且只有一个公共点．21.(本小题12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣扬费，需了解年宣扬费对年销售量（单位：t ）的影响.该公司对近5年的年宣扬费和年销售量数据进行了探讨，发觉年宣扬费x （万元）和年销售量y （单位：t ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.x （万元）2 4 53 6 y （单位：t ） 2.544.536（1）依据表中数据建立年销售量y 关于年宣扬费x 的回来方程；（2）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为20.05 1.85z y x =--，依据（1）中的结果回答下列问题：① 当年宣扬费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？② 估算该公司应当投入多少宣扬费，才能使得年利润与年宣扬费的比值最大.附：回来方程ˆˆˆy bx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1111112221111ˆnni i n ni i x ynx yx x yybx nxx x====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：11188.5S i x y==∑，21190Si x ==∑.22.(本小题12分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,AB ⊥平面11BB C C ,E 是1CC 的中点1,BC =12BB =,0160BCC ∠=.(1)证明:1B E AE ⊥； (2)若2AB =,求二面角11A B E A --的余弦值.23.(本小题12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点3(1,)2P ,且离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）若,M N 是椭圆C 上异于P 的两点,直线,PM PN 的斜率分别为12,k k 且121,,k k PD MN +=-⊥D 为垂足.是否存在定点Q ,使得DQ 为定值? 若存在,恳求出Q 点坐标及定值;若不存在,请说明理由.珠海二中高二月考数学试题参考答案BCDD CAAB 9. ABD 10. AC 11. BD 12. ABD 13. 72 14.12y x =±15.[]1,4 16.827π 17.23 18.73- 19.(1)从这6名同学中随机选出2人参与学问竞赛的全部可能结果为(A ,B ),(A ,C ),(A ,X ),(A ,Y ),(A ,Z ),(B ,C ),(B ,X ),(B ,Y ),(B ,Z ),(C ,X ),(C ,Y ),(C ,Z ),(X ,Y ),(X ,Z ),(Y ,Z ),共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的全部可能结果为 (A ,Y ),(A ,Z ),(B ,X ),(B ,Z ),(C ,X ),(C ,Y ),共6种. 因此,事务M 发生的概率P (M )==.20.（1）设动圆圆心(,)M x y ，由题意可得：22222(2)+=-+x x y 24y x =， 所以，动圆圆心M 的轨迹C 的方程：24=y x .（2）设点Q 的坐标为(),m n ，有24n m =，设点P 的坐标为()(),00t t <．又||1QF m =+，||1PF t =-，||||QF PF =， 所以11,m t +=-得(0)t m m =-> 直线PQ 的斜率22()224n nn k n m m mn ====--⨯， 所以直线PQ 的方程为2()y x m n =+，即直线PQ 的方程为22n y x n =+． 解2422y x n y x n ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得24n x y n =⎧⎪⎨⎪⎩=即方程组仅有一组解， 所以直线PQ 与抛物线C 有且只有一个公共点． 21.解:（1）由题意2453645x ++++==， 2.5 4.543645y ++++==，21222188.554ˆ0.859054ni ii nii x y nx ybxnx ==--⨯∴===-⨯-∑∑， ˆˆ40.8540.6ay bx =-=-⨯=， 0.80.ˆ56yx ∴=+. （2）①由（1）得220.05 1.850.050.85 1.25z y x x x =+--=--，当10x =时，0.85100.ˆ69.1y∴=⨯+=，20.05100.8510 1.25 2.25z =-⨯⨯-=+. 即当年宣扬费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为 2.25. ②令年利润与年宣扬费的比值为w ，则()1.250.050.850w x x x=--+>，1.25 1.250.050.850.050.85w x x x x ⎛⎫=--+=-++≤- ⎪⎝⎭1.2520.050.850.35x x ⋅+=. 当且仅当 1.250.05x x=即5x =时取最大值.故该公司应当投入5万元宣扬费，才能使得年利润与年宣扬费的比值最大.22.解:(1)证明:连接BC 1,BE ,因为在△BCC 1中,BC=1,CC 1=BB 1=2,∠BCC 1=60°,所以BC ⊥BC 1,所以BE=CC 1=1. 因为在△EC 1B 1中,B 1E==,所以BE 2+B 1E 2=B,即B 1E ⊥BE ,又AB ⊥平面BB 1C 1C ,且B 1E ⊂平面BB 1C 1C , 所以B 1E ⊥AB ,AB ∩BE=B ,所以B 1E ⊥平面ABE , 因为AE ⊂平面ABE ,所以B 1E ⊥AE.(2)以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,),B 1(-1,,0),E ,,0,A 1(-1,,),所以=,-,0,=(-1,,-),=,-,-,设平面AB 1E 的法向量为n=(x ,y ,z ),平面A 1B 1E 的法向量为m=(a ,b ,c ),由得取x=1,则n=(1,,),由得取a=1,则m=(1,,0).所以cos m ,n ===,由图可知二面角A-B 1E-A 1为锐角,所以二面角A-B 1E-A 1的余弦值为. 23.(1)由12c e a ==，得2222222,4,3a c a c b a c c ===-=.2222223311221,143a b c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=∴+= 解得2221,3, 4.c b a ===所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，由题意得直线MN 的斜率肯定存在，直线MN 的方程为y kx m =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得()2224384120k x kmx m +++-= 2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+->，得22430k m -+>21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++ 1212211212123333()(1)()(1)222211(1)(1)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211233()(1)()(1)22(1)(1)kx m x kx m x x x +--++--=-- 121212121232()()()(23)2()1kx x m x x k x x m x x x x +-+-+--=-++22222224123882()()()()(23)43243434128()14343m km km k m k m k k k m kmk k -+------+++=---+++22224126129412843k km m k m km k -+-++=-+++ 由121k k +=-，得2281023120k km m m k ++--=， 即()()22340k m k m +-+=当2230k m +-=时，直线33()(1)22y kx k k x =+-=-+过定点3(1,)2P ，舍去. 当40k m +=，直线4(4)y kx k k x =-=-过定点(4,0)T 此时，222433120k m k -+=->，得1122k -<<，存在直线过定点(4,0)T . 当Q 为,P T 的中点，即53(,)24Q，此时124DQ PT ===.。
山东省德州市某中学2014-2015学年高二上学期12月月考数学文试题Word版含答案
数 F ( x) f ( x) a (0 a 1) 的所有零点之和为（ ） A． 2 a 1 B． 1 2 a C． 2 a 1
5 4
6 4.5
依据上表可知回归直线方程为 y 0.7 x 0.35 ，则表中 t 的值为 13. 函数 y
x 1 的定义域为 ln x
5.
6.
1 ，③并非如此 5 1 C.①③两种抽样方法，这 100 个零件中每个被抽到的概率都是 ，②并非如此 5 1 D. 不论采取哪种抽样方法，这 100 个零件中每个被抽到的概率都是 5 ) 已知函数 f x 的定义域为 1, 0 ，则函数 f 2 x 1 的定义域为(
16. 已知方程 x 2 2 x 2a 1 0 在 (1,3] 上有解，则实数 a 的取值范围为
．
17. 设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是 4 3 cm，现用直径等于 2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率 18. 已知集合 M=|（x，y）|y=f（x）|，若对任意 P1（x1，y1）∈M，均不存在 P2（x2，y2）∈M， 使得 x1x2+y1y2=0 成立，则称集合 M 为“好集合”，给出下列五个集合： ①M={（x，y）|y=
高二月考数学试题（文）
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟
一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1. 2. 3. 已知
z 1 i, 则在复平面内，Biblioteka 对应的点位于（ 1 2i）
4.
A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D.第四象限 把二进制数 1011001（2）化为“五进制”的数是 （ ） A. 224（5） B. 234（5） C. 324（5） D. 423（5） 下列说法中，正确的是（ ） A．命题“若 am 2 bm 2 ，则 a b ”的逆命题是真命题 B．命题“存在 x R ， x 2 x 0 ”的否定是：“任意 x R ， x 2 x 0 ” C．命题 “p 或 q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D．已知 x R ，则“ x 1 ”是“ x 2 ”的充分不必要条件 下列叙述错误的是（ ） A．若事件 A 发生的概率为 P A ，则 0 P A 1 B．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 C．两个对立事件的概率之和为 1 D．对于任意两个事件 A 和 B，都有 P ( A B ) P ( A) P ( B ) 在 100 个零件中，有一级品 20 个，二级品 30 个，三级品 50 个，从中抽取 20 个作为样 本：①采用随机抽样法，将零件编号为 00，01，02，…，99，抽出 20 个；②采用系统抽 样法，将所有零件分成 20 组，每组 5 个，然后每组中随机抽取 1 个；③采用分层抽样法， 随机从一级品中抽取 4 个，二级品中抽取 6 个，三级品中抽取 10 个。则 （ ） A. 采用不同的抽样方法，这 100 个零件中每个被抽到的概率各不相同
2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市第一高二上学期12月月考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市第一高二上册12月月考数学模拟试题一、单选题1．已知正三棱柱111A B C ABC -，M 为棱BC 上靠近点C 的三等分点，则1A M =（）A ．1111123AC CC C B -+ B ．111111122A C AB B B++C ．1111113A C CBC C++ D ．1111233A C ABC C++【正确答案】C【分析】根据空间向量的线性运算直接求解即可.【详解】1111111111111111133A M AC C M AC C C CM AC C C CB AC C B C C =+=++=++=++.故选：C.2．空间,,,A B C D 四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133=--PA PB xPC PD ，则实数x 的值为（）A ．43-B ．13-C ．13D ．43【正确答案】C【分析】先设AB mAC nAD =+，然后把向量AB ，AC ，AD 分别用向量PA ，PB ，PC ，PD 表示，再把向量PA 用向量PB ，PC ，PD 表示出，对照已知的系数相等即可求解．【详解】解：因为空间A ，B ，C ，D 四点共面，但任意三点不共线，则可设AB mAC nAD =+，又点P 在平面外，则()()PB PA m PC PA n PD PA -=-+- ，即(1)m n PA PB mPC nPD ++=-++，则1111m n PA PB PC PD m n m n m n -=+++-+-+- ，又5133=-- PA PB xPC PD ，所以15131113m n m x m n n m n -⎧=⎪+-⎪⎪=-⎨+-⎪⎪=-⎪+-⎩，解得15m n ==，13x =，故选：C ．3．若直线1l ：430x y --=与直线2l ：310x my -+=（m ∈R ）互相垂直，则m =（）A ．34B ．34-C ．12D ．12-【正确答案】B【分析】根据两直线垂直可得斜率之积为-1，即可求解.【详解】由题意得，当0m =时，直线2:310l x +=，与直线1l 不垂直，故0m ≠，直线1l 的斜率为14，直线2l 的斜率为3m，所以1314m⨯=-，解得34m =-，故选：B ．4．已知圆22:20C x y y +-=的最大值为（）A ．4B ．13C1+D．11+【正确答案】C.【详解】解：d ==，上式表示圆C 上的点(,)x y 到点(1,2)-的距离，因为圆22:(1)1C x y +-=，圆心(0,1)C ，半径1r =．显然1max d r =+=+．故选：C ．5．已知圆22:25C x y +=与直线():3400l x y m m -+=>相切，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为（）A ．22(3)(4)16x y ++-=B ．22(3)(4)25x y ++-=C ．22(6)(8)16x y ++-=D ．22(6)(8)25x y ++-=【正确答案】D【分析】利用圆与直线相切，求出m ，然后求出过圆C 圆心垂直于直线l 的直线方程，联立求出交点，再利用中点公式求出关于直线对称后圆的圆心坐标，半径没有改变，即可解决问题.【详解】由圆22:25C x y +=的圆心为原点O ，半径为5，又圆C 与直线l 相切，则O 到直线l 的距离为5d =，则5d ==，解得25m =，设过O 且与l 垂直的直线为0l ，则0l ：430x y +=，联立4303342504x y x x y y +==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，得直线l 与0l 的交点为()3,4-，设圆心(0,0)O 关于点()3,4-的对称点为(),p n ，由中点公式有03620842p p nn +⎧-=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩所以圆心(0,0)O 关于点()3,4-的对称点为()6,8-，因此圆C 关于直线l 对称的圆的方程为：22(6)(8)25x y ++-=，故选：D.6．命题甲：动点P 到两个定点,A B 的距离之和||||2(PA PB a +=常数0)a >；命题乙：P 点的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【正确答案】B【详解】由题意得，当动点P 到两个定点,A B 的距离之和2(PA PB a AB +=>常数0)a >时，点P 的轨迹为椭圆，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B ．7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB =．则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．3【正确答案】A【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2by a =±，所以22b AB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.8．已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，直线l 过1F ，且l 与一条渐近线平行，若2F 到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（）A ．)+∞B ．C ．2⎫+∞⎪⎪⎝⎭D ．1,2⎛ ⎝⎭【正确答案】C设直线l ：()b y x c a =+，由2F 到l 的距离大于a ，得出b a 的范围，再由e =计算即可.【详解】设过1F 与渐近线by x a =平行的直线l 为()b y x c a=+，由题知2F 到直线l 的距离d a >，即2b a d =>=，可得12b a >，所以离心率2e =>.故选：C.本题考查计算双曲线离心率的范围，熟知公式e 可使计算变得简便，属于中档题.二、多选题9．已知直线360x +-=，则该直线（）A ．过点(3,B ．斜率为C ．倾斜角为60︒D ．在x 轴上的截距为6-【正确答案】AB【分析】验证法判断选项A ；求得直线的斜率判断选项B ；求得直线的倾斜角判断选项C ；求得直线在x 轴上的截距判断选项D.【详解】对于A ，当3x =时，3360⨯-=，∴y =∴直线过点(3,，故A 正确；对于B ，由题意得，y =+B 正确；对于C ，∵直线的斜率为，∴直线的倾斜角为120︒，故C 错误；对于D ，当0y =时，2x =，∴该直线在x 轴上的截距为2，故D 错误．故选：AB ．10．已知圆221:(1)4O x y -+=，圆222:(5)4O x y m -+=，下列说法正确的是（）A ．若4m =，则圆1O 与圆2O 相交B ．若4m =，则圆1O 与圆2O 外离C ．若直线0x y -=与圆2O 相交，则258m >D ．若直线0x y -=与圆1O 相交于M ，N 两点，则||MN =【正确答案】AC【分析】根据直线与圆相交、圆与圆位置关系逐项判断即可.【详解】解：圆221:(1)4O x y -+=的圆心()11,0O ，半径12r =若4m =，222:(5)16O x y -+=，则圆心()25,0O ，半径24r =，则1212124,6,2O O r r r r =+=-=，所以112221O O r r r r -<<+，则圆1O 与圆2O 相交，故A 正确，B 错误；若直线0x y -=与圆2O 相交，则圆心()25,0O 到直线0x y -=的距离d =，解得258m >，故C 正确；若直线0x y -=与圆1O 相交于M ，N 两点，则圆心()11,0O 到直线0x y -=的距离2d ==，所以相交弦长MN ===，故D 错误.故选：AC.11．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥,1BC AB AD CD ===，2BC PA ==，记四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，平面PAD 与平面PBC 的交线为,l BC 的中点为E ，则（）A ．l ∥BCB ．AB PC⊥C ．平面PDE ⊥平面PAD D ．l 被球O 截得的弦长为1【正确答案】ABD【分析】由AD BC ∕∕，可得BC ∕∕平面PAD ，再根据线面平行的性质即可证得l BC ∕∕，即可判断A ；对于B ，连接,AE AC ，证明AB AC ⊥，PA AB ⊥，即可得AB ⊥平面PAC ，再根据线面垂直的性质即可证得AB PC ⊥，即可判断B ；对于C ，如图以A 为原点建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，判断法向量是否垂直，即可判断C ；对于D ，易得四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在过点E 且垂直于面ABCD 的直线上，求出半径，再利用向量法求出点O 到直线l 的距离，最后利用圆的弦长公式求出l 被球O 截得的弦长，即可判断D.【详解】解：对于A ，因为AD BC ∕∕，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∕∕平面PAD ，又因平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，所以l BC ∕∕，故A 正确；对于B ，连接,AE AC ，在等腰梯形ABCD 中，因为1AB AD CD ===，2BC =，BC 的中点为E ，所以四边形,ABED AECD 都是菱形，所以,AC DE AB DE ⊥∕∕，所以AB AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，所以PA AB ⊥，又PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC ，又因PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥，故B 正确；对于C ，如图以A 为原点建立空间直角坐标系，则()110,0,2,,,22P D E ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()110,0,2,,,0,,,2,1,0,02222AP AD PD DE ⎛⎫⎛⎫==-=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面PDE 的法向量()111,,m x y z = ，平面PAD 的法向量()222,,n x y z = ，则111112020m PD x z m DE x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⎪⋅==⎩，可取(0,m = ，同理可取)n =，因为40m n ⋅=≠，所以m 与n 不垂直，所以平面PDE 与平面PAD 不垂直，故C 错误；对于D ，由B 选项可知，EA EB EC ED ===，则点E 即为四边形ABCD 外接圆的圆心，故四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在过点E 且垂直于面ABCD 的直线上，设外接球的半径为R ，则OA OP R ==，则OA =所以R =，设OP 与l 所成的角为θ，点O 到直线l 的距离为d ，()()11,0,0,0,,,,122B C O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为l BC ∕∕，直线l的方向向量可取()BC =-，1,22OP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，则cos ,4BC OP =-，所以sin 4θ=，所以sin 2d OP θ==，所以l 被球O 截得的弦长为1=，故D 正确.故选：ABD.12．如图所示，抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点(),0M p 的直线1l ，2l 与E 分别相交于()11,A x y ，()22,B x y 和C ，D 两点，直线AD 经过点F ，当直线AB 垂直于x 轴时，3AF =．下列结论正确的是（）A ．E 的方程为24y x =B ．1212y y =-C ．若AD ，BC 的斜率分别为1k ，2k ，则123k k =D ．若AD ，BC 的倾斜角分别为α，β，则()tan αβ-2【正确答案】AD【分析】根据抛物线定义表示AF ，由条件列方程求p 可得抛物线方程，判断A ，设AB 的方程为2x ty =+，利用设而不求法求12y y ，判断B ，设()()3344,,,C x y B x y ，利用设而不求法求34y y ，根据直线AD 经过点F ，确定14,y y 的关系，利用1y 表示12,k k ，判断C ，讨论α，结合12,k k 关系利用基本不等式求()tan αβ-的最值即可判断D.【详解】当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x p =，所以点A 的横坐标为p ，所以2pAF p =+，又3AF =，所以2p =，所以抛物线的方程为24y x =，A 正确；所以()2,0M ，若直线AB 的斜率为0，则直线AB 与抛物线只有一个交点，以已知矛盾，故可设直线AB 的方程为2x ty =+，联立242y x x ty ⎧=⎨=+⎩，化简可得2480y ty --=，方程2480y ty --=的判别式216320t ∆=+>，由已知12,y y 为方程2480y ty --=的两根，所以12124,8y y t y y +==-，211168,B y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 错误；同理可设CD 的方程为2x ny =+，联立242y x x ny ⎧=⎨=+⎩，化简可得2480y ny --=，方程2480y ny --=的判别式216320n ∆=+>，设()()3344,,,C D x y y x 所以34344,8y y n y y +==-，244168,C y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若直线AD 的斜率存在，则11x ≠，41x ≠，2241y y ≠，因为直线AD 经过点F ，所以1411411y yk x x ==--，所以()()1441144y y y y y y -=-，因为14y y ≠，所以144y y =-，所以4114214224188116162y y y y k y y y y -+==-+-，所以11122114414y y k y y ==--，1221112244y k y y y ==--，所以122k k =，C 错误；因为AD ，BC 的倾斜角分别为α，β，当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，因为122k k =，所以tan 2tan αβ=，所以()2tan tan tan 01tan n tan 12tan ta ααββαβββ-==<++-，当π2α=时，()()1,2,1,2A D -，()4,4B -，()4,4C 所以π2β=，此时()tan 0αβ-=，当π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为122k k =，所以tan 2tan αβ=，所以()2tan tan tan 111tan tan 12tan 2ta t n n an ta αββαββββαβ-===+-++所以()t 2an 11tan tan αβββ≤-=+当且仅当tan 2β=，tan α时等号成立，即1k =所以()tan αβ-的最大值为4，D 正确；故选：AD.(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．三、填空题13．一个圆经过椭圆2219y x +=的三个顶点，且圆心在y 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______.【正确答案】2242539x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭【分析】设出圆心与半径，根据过椭圆的上顶点、左右顶点，由半径相等列方程求解.【详解】由2219y x +=及圆心位置知：圆经过椭圆的上顶点坐标为()0,3，左右顶点坐标为()1,0±，设圆的圆心()0,a ，半径为r ，则()22213r a a +==-，解得43a =，53r =，故圆的方程为2242539x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.故答案为.2242539x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭14．若抛物线2y mx =的准线与直线1x =间的距离为3，则抛物线的方程为______.【正确答案】216y x =-或28y x=【分析】先求出抛物线的准线，再根据距离列方程求解即可.【详解】抛物线2y mx =的准线为4m x =-，则134m --=，解得16m =-或8m =，故抛物线的方程为216y x =-或28y x =.故216y x =-或28y x =.15．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则△AFK 的面积为.【正确答案】32【详解】由双曲线22179x y -=得右焦点为()40，即为抛物线22y px =的焦点，∴42p =，解得8p =．∴抛物线的方程为216y x =．其准线方程为()440x K =-∴-，，．过点A 作AM ⊥准线，垂足为点M ．则AM AF =．∴AK AM =．∴45MAK ∠=︒．∴KF AF =．∴221183222AKF S KF ==⨯= ．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，6AD =，点Q 是侧棱PD 的中点，点M ，N 分别在边AB ，BC 上，当空间四边形PMND 的周长最小时，点Q 到平面PMN 的距离为______．【分析】平面PAB 沿AB 展开到与平面ABCD 共面，当点P ，M ，N 和D ¢共线时周长最小，计算得到1AM =，4NC =，2BN =，建立空间直角坐标系，计算平面PMN的法向量为()2,1,1n =- ，根据距离公式计算得到答案.【详解】要使得空间四边形PMND 周长最小，只需将平面PAB 沿AB 展开到与平面ABCD 共面，延长DC 至D ¢，使得2DC CD '==，于是点N 在线段DD '的垂直平分线上，所以ND ND '=，因为PD 为定值，故当点P ，M ，N 和D ¢共线时，空间四边形PMND 的周长最小，易得PAM NCD PDD '' △△△，即得PA NC PD AM CD DD ==''，即226222NC AM +==+，所以1AM =，4NC =，642BN =-=，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()002P ,,，()0,6,0D ，由题意可得()1,0,0M ，()2,2,0N ，()0,3,1Q ，则()1,0,2PM =- ，()2,2,2PN =- ，设(),,n x y z =r 是平面PMN 的一个法向量，则00n PM n PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.即得202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，令1z =，得2x =，1y =-，()2,1,1n =- ，()0,3,1PQ =- ，所以点Q 到平面PMN的距离3n PQ d n ⋅== ．四、解答题17．已知Rt ABC 的顶点(8,5)A ，直角顶点为(3,8)B ，顶点C 在y 轴上；(1)求顶点C 的坐标；(2)求Rt ABC 外接圆的方程．【正确答案】(1)(0,3)(2)22(4)(4)17x y -+-=【分析】（1）设点C 坐标，然后根据AB BC ⊥列方程，解方程即可得到点C 坐标；（2）根据直角三角形外接圆的特点，得到圆心坐标和半径，然后写方程即可.【详解】（1）设点()0,C m ，由题意：1AB BC k k ⋅=-，853385AB k -==--，所以85033BC m k -==-，解得3m =，所以点()0,3C .（2）因为Rt ABC △的斜边AC 的中点为圆心，所以圆心的坐标为()4,4，r =所以圆心的方程为()()224417x y -+-=.18．已知：双曲线:C 221169x y -=.（1）求双曲线C 的焦点坐标、顶点坐标、离心率；（2）若一条双曲线与已知双曲线C 有相同的渐近线，且经过点3)A -，求该双曲线的方程.【正确答案】(1)焦点()5,0±，顶点()4,0±，离心率54e =；(2)224194y x -=【分析】（1）由双曲线:C 221169x y -=可得：4,3a b ==，从而求得：5c =，问题得解．（2）设所求双曲线的方程为：22169x y -=λ，将()3A -代入即可求得λ，问题得解．【详解】 双曲线:C 221169x y -=，所以4,3a b ==，∴5c ==，∴双曲线C 的焦点坐标()5,0-，()5,0，顶点坐标()4,0-，()4,0，离心率54c e a ==．（2）设所求双曲线的方程为：22169x y -=λ，将()3A -代入上式得：(()223169λ--=，解得：14λ=-∴所求双曲线的方程为：224194y x -=．（1）主要考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题．（2）主要考查了共渐近线的双曲线方程的特征-若双曲线方程为：22221x y a b-=()0,0a b >>则与它共共渐近线的双曲线方程可设为：2222x y a bλ-=，属于基础题．19．已知正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11,D D B B 的中点.（1）求证；1,,,A E C F 四点共面；（2）求二面角11A EB C --的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出1 A E ，FC 坐标得1A E FC =uuu r uu u r ，从而得四边形1A ECF 为平行四边形即可证明；（2）分别求出平面11A EB 与平面1EB C 的法向量m 和n ，利用向量法求解二面角的公式cos ,m n m n m n⋅<>= 即可求解.【详解】解：如图建立空间直角坐标系D xyz -，设正方体的边长为2，（1）因为()10,2,2A ，()0,0,1E ，()2,0,0C ，()2,2,1F ，所以()10,2,1A E =-- ，()0,2,1FC =-- ，所以1A E FC =uuu r uu u r ，所以1//A E FC ，且1A E FC =，所以四边形1A ECF 为平行四边形，所以1,,,A E C F 四点共面；（2）()12,2,2B ，设平面11A EB 的法向量分别为(),,m x y z = ，则11100m A E m A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x --=⎧⎨=⎩，取1y =得()0,1,2m =- ，同理可得，平面1EB C 的法向量()1,2,2n =- ，所以cos ,5m n m n m n⋅<>==- ，由图可知，二面角为钝角，所以二面角11A EB C --的余弦值为.20．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB DC ，2PA AD DC AB ===，点E 在棱PC上，BE 平面PAD ．(1)证明：BE PD ⊥；(2)若90PDC ∠= ，求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）过E 作DC 的平行线交PD 于点F ，结合线面平行的性质得BE AF ∥，可得E ，F 分别为PC ，PA 的中点，结合AP AD =得AF PD ⊥，又BE AF ∥即可证得BE PD ⊥；（2）由已知条件证得AB ⊥面PAD ，得AB AD ⊥．建空间直角坐标系，求出面PBD 的法向量，然后利用向量夹角公式求得结果.【详解】（1）过E 作DC 的平行线交PD 于点F ，连接AF ，又AB DC ，则EF AB ∥，则,,,B E F A 四点共面，∵BE 面PAD ，BE ⊂面BEFA ，面BEFA ⋂面PAD AF =，∴BE AF ∥，故BEFA 为平行四边形，从而12EF AB DC ==，∴E ，F 分别为PC ，PA 的中点，又AP AD =，∴AF PD ⊥，又BE AF ∥，∴BE PD ⊥．（2）因为DC PD ⊥，AB DC ，所以AB PD ⊥，由PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，得PA AB ⊥，又PA PD P = ，,PA PD ⊂面PAD ，所以AB ⊥面PAD ，又AD ⊂面PAD ，所以AB AD ⊥．所以，以A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴建空间直角坐标系，设1AB =，则有()()()()()()0,0,0,1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,1,1A B C D P E ．所以()1,2,0BD =- ，()1,0,2BP =- ，设面PBD 的法向量为(),,n x y z =r ，则2020n BD x y n BP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令2x =，所以()2,1,1n = ．又有()0,1,1BE = ，记α为BE 与平面PBD 所成角，则sin cos ,BE n BE n BE nα⋅==== 所以BE 与平面PBD21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，且点(2,1)A 在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的方程；(2)若点M ，N 在双曲线C 上，且AM AN ⊥，直线MN 不与y 轴平行，证明：直线MN 的斜率k 为定值.【正确答案】(1)22133y x -=(2)直线MN 的斜率k 为定值12-【分析】(1)根据离心率公式确定c =，再根据双曲线经过点(2,1)A 即可求解；(2)利用韦达定理用坐标表示出0AM AN ⋅= ,进而可求解.【详解】（1）由题可得离心率c a=c =，又因为222c a b =+，所以22a b =，所以双曲线方程为22221x y a a-=，又因为双曲线过点(2,1)A ，所以22411a a-=，解得23a =，所以双曲线方程为22133y x -=.（2）设直线MN 的方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+，联立22133y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2221230k x kmx m ----=，则210k -≠得21k ≠，()()2222Δ44130k m k m =+-+>，得2233m k >-，212122223,11km m x x x x k k --+==--，()21212222222,11k m m y y k x x m m k k +=++=+=--()()()222212121212231m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=-，因为AM AN ⊥，所以0AM AN ⋅= ，所以1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，即121212122()4()10x x x x y y y y -+++-++=，所以222222234324101111m km m k m k k k k -----++++=----，所以21240km k m ---=即()()12210k m k --+=，得120k m --=或210k +=，若120k m --=，则直线MN 的方程为12y kx k =+-，即1(2)y k x -=-过点(2,1)A ，不符合题意，若210k +=，则12k =-，满足AM AN ⊥，综上直线MN 的斜率k 为定值12-.22．已知抛物线C ：()220y px p =>，点(2,A 在抛物线上.(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)若直线1l ：()20x my m =+≠交抛物线C 于M ､N 两点，交直线2l ：2x =-于点P ，记直线AM ，AP ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，2k ，3k 成等差数列.【正确答案】(1)焦点坐标为()1,0，准线方程为=1x -(2)证明见解析【分析】（1）将点(2,A 的坐标代入抛物线方程中求出p ，从而可求出焦点坐标和准线方程；（2）两直线方程联立求出点P 的坐标，设()11,M x y ，()22,N x y ，再将直线1l 方程代入抛物线方程中，消去x ，利用根与系数的关系，再结合斜率公式化简证明【详解】（1）将(2,A 代入()220y px p =>，得2p =，所以焦点坐标为()1,0，准线方程为=1x -.（2）由22x my x =+⎧⎨=-⎩得.42,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭设()11,M x y ，()22,N x y ，由242y x x my ⎧=⎨=+⎩得：2480y my --=，则121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩，所以((12211213121222y y y y y y k k x x my y -+---+=--)12121222y y y y my y m-+==又241222m k m --==+--，所以222k m =+，所以1322k k k +=，即1k ，2k ，3k 成等差数列.。
2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．沈阳二中24届篮球赛正如火如荼地进行中，全年级共20个班，每四个班一组，如1—4班为一组，5—8班为二组……进行单循环小组赛（没有并列），胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后胜出的三个班级再进行单循环赛，按积分的高低（假设没有并列）决出最终的冠亚季军，请问此次篮球赛学校共举办了多少场比赛？（ ） A ．51 B ．42 C ．39 D ．36【答案】D【分析】先进行单循环赛，6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后3个班再进行单循环赛，分别求出所需比赛场次，即可得出答案. 【详解】先进行单循环赛，有245C =30场，胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛， 6支球队打3场，决出最后胜出的三个班， 最后3个班再进行单循环赛，由23C =3场. 所以共打了30+3+3=36场. 故选：D.2．“m>2”是“方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先根据焦点在x 轴上的椭圆求出m ，再根据充分性，必要性的概念得答案.【详解】由方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆得：220m m >+>， 解得21m -<<-或m>2， 由充分性，必要性的概念知，“m>2”是“方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的充分不必要条件.故选：A.合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程y a bx =+中，2b =，1x =，3y =，则1a =；④通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可以精确反映变量的取值和变化趋势，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据独立性检验、非线性回归方程以及回归直线方程相关知识进行判断.【详解】对于命题①，根据独立性检验的性质知，两个分类变量2χ越大，说明两个分类变量相关程度越大，命题①正确；对于命题②，由kx y ce =，两边取自然对数，可得ln ln y c kx =+，令ln z y =，得ln z kx c =+，0.34z x =+，所以ln 40.3c k =⎧⎨=⎩，则40.3c e k ⎧=⎨=⎩，命题②正确；对于命题③，回归直线方程y a bx =+中，3211a y bx =-=-⨯=，命题③正确；对于命题④，通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可估计和预测变量的取值和变化趋势，命题④错误.故选C.【点睛】本题考查了回归直线方程、非线性回归方程变换以及独立性检验相关知识，考查推理能力，属于中等题.4．()823x y z ++的展开式中，共有多少项？（ ） A ．45 B ．36 C ．28 D ．21【答案】A【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数.【详解】解：当()823x y z ++展开式的项只含有1个字母时，有3项，当()823x y z ++展开式的项只含有2个字母时，有2137C C 21=项,当()823x y z ++展开式的项含有3个字母时，有27C 21=项,所以()823x y z ++的展开式共有45项； 故选：A.5．已知()52232x x --21001210a a x a x a x =++++，则0110a a a ++=（ ）【答案】A【分析】首先令0x =，这样可以求出0a 的值，然后把2232x x --因式分解，这样可以变成两个二项式的乘积的形式，利用两个二项式的通项公式，就可以求出110a a 、的会下，最后可以计算出0110a a a ++的值.【详解】令0x =，由已知等式可得：50=232a =，()55552[(12)(2)]2((2)3122)x x x x x x =-+=-⋅+--，设5(12)x -的通项公式为：51551(2)(2)rrr r r r r T C x C x -+=⋅⋅-=⋅-⋅，则常数项、x 的系数、5x 的系数分别为：0155555(2)2C C C --⋅⋅、、；设5(2)x +的通项公式为：5512r r r r T C x -+=⋅⋅‘’‘’‘，则常数项、x 的系数、5x 的系数分别为： 4501555522C C C ⋅⋅、、，0115401555522)(2240,a C C C C =⋅⋅⋅=-⋅⋅+-5551055(2)32a C C =-⋅⋅=-，所以01103224032240a a a ++=--=-，故本题选A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，正确求出通项公式是解题的关键.6．平行四边形ABCD 内接于椭圆22221x y a b +=()0a b >>AB 的斜率为1，则直线AD 的斜率为（ ）A ．1-4B ．1-2C ．D ．-1【答案】A【分析】利用对称关系转化为中点弦问题即可求解. 【详解】22222223331,,,2444c c a b b a a a a -=∴==∴=， 设112233(,),(,),(,),A x y B x y D x y设E 为AD 中点，由于O 为BD 中点，所以//OE AB ,所以1OE k =, 因为1133(,),(,)A x y D x y 在椭圆上，所以22112222332211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得2131321313OE AD y y y y b k k a x x x x +--=⋅=⋅+-, 所以22114AD b k a ⨯=-=-，即14AD k =-.故选:A.7．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则121e e ⋅+的取值范围是A ．()1,+∞B ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．10,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】本题主要考查椭圆和双曲线的定义，椭圆和双曲线的离心率，平面几何分析方法，值域的求法.由于椭圆和双曲线有公共点，那么公共点既满足椭圆的定义，也满足上曲线的定义，根据已知条件有22PF c =，利用定义列出两个离心率的表达式，根据题意求121e e ⋅+的表达式，表达式分母还有二次函数含有参数，根据三角形两边和大于第三边，求出c 的取值范围，进而求得121e e ⋅+的取值范围.【详解】设椭圆方程为()222221122111x y a b c a b +=-=，双曲线方程为()222221122111x y a b c a b -=+=，由椭圆和双曲线的几何性质可得，1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，依题意可知22PF c =，110PF =，代入可得，125,5a c a c =+=-.故2122212251112525c c c e e a a c c ⋅+=⋅+=+=--，三角形两边的和大于第三边，故5410,2c c >>，120,0a a >>，故5c <故22223745402554252525c c c <⇒<⇒<-><-. 故选：B.【点睛】（1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PF PF a +=，得到a ，c 的关系．（2）双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PF PF a -=，得到a ，c 的关系．8．已知A ，B ，C ，D 是椭圆E ：22143x y +=上四个不同的点，且()1,1M 是线段AB ，CD 的交点，且3AM CM BMDM==，若l AC ⊥，则直线l 的斜率为（ ）A ．12B ．34C ．43D ．2【答案】C【分析】设出点的坐标()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，由3AMBM=得到3AM MB =，列出方程，得到12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，分别把()()1122,,,A x y B x y 代入椭圆，得到()()111122143x y -+-=，同理得到()()331122143x y -+-=，两式相减得到34AC k =-，利用直线垂直斜率的关系求出直线l 的斜率. 【详解】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因为3AM BM =，故3AM MB =，所以()()1212131131x x y y ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，则12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，又()()1122,,,A x y B x y 都在椭圆上，故2211143x y +=，且()()22119114443x y -+-=， 两式相减得：()()1181142442443x y -⨯+-⨯=，即()()111122143x y -+-=①， 同理可得：()()11221x y -+-=②，②－①得：()()131311043x x y y -+-=， 所以131334ACy y k x x -==--， 因为l AC ⊥，所以直线l 的斜率为143AC k -=. 故选：C【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.二、多选题9．已知两点(5,0),(5,0)M N -，若直线上存在点P ，使||||6PM PN -=，则称该直线为“B 型直线”．下列直线中为“B 型直线”的是（ ） A ．1y x =+ B ．2y = C ．43y x =D ．2y x =【答案】AB【解析】首先根据题意，结合双曲线的定义，可得满足||||6PM PN -=的点的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支；进而可得其方程，若该直线为“B 型直线”，则这条直线必与双曲线的右支相交，依次分析4条直线与双曲线的右支是否相交，可得答案．【详解】解：根据题意，满足||||6PM PN -=的点的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支； 则其中焦点坐标为(5,0)M -和(5,0)N ，即5c =，3a =， 可得4b =；故双曲线的方程为221916x y -=，(0)x > 双曲线的渐近线方程为43y x =±∴直线43y x =与双曲线没有公共点， 直线2y x =经过点(0,0)斜率43k >，与双曲线也没有公共点 而直线1y x =+、与直线2y =都与双曲线221916x y-=，(0)x >有交点 因此，在1y x =+与2y =上存在点P 使||||6PM PN -=，满足B 型直线的条件 只有AB 正确 故选：AB ．10．甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以12,A A 表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．12,A A 两两互斥B ．()22|3P B A = C ．事件B 与事件2A 相互独立 D ．()914P B =【答案】AD【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】因为每次取一球，所以12,A A 是两两互斥的事件，故A 项正确； 因为()()1212P A P A ==，()()()2225|7P BA P B A P A ==，故B 项错误； 又()()()1114|7P BA P B A P A ==，所以()()()1214159272714P B P BA P BA =+=⨯+⨯=，故D 项正确.从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B 与事件2A 不相互独立，故C 项错误. 故选：AD11．已知抛物线E ：2y x =，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 从点41,116P ⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过E 上的点()11,A x y 反射后，再经E 上的另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（ ） A ．12116x x =B ．54AB =C ．ABP QBP ∠=∠D ．延长AO 交E 的准线于点C 则存在实数λ使得CB CQ λ= 【答案】ACD【分析】根据抛物线的光学性质可知，直线AB 经过抛物线的焦点，直线2l 平行于x 轴，由此可求出点,A B 的坐标，判断各选项的真假．【详解】如图所示：因为141,1,16P l ⎛⎫ ⎪⎝⎭过点P 且1//l x 轴,故(1,1)A ,故直线101:1414AF y x -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭- 化简得4133y x =-,由24133y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去x 并化简得231044y y --=,即1214y y =-,()21212116x x y y ==，故A 正确；又11y =, 故214y =-,B 11,164⎛⎫- ⎪⎝⎭,故121125116216AB x x p =++=++=,故B 错误；因为412511616AP AB =-==，故APB △为等腰三角形，所以ABP APB ∠=∠,而12l l //,故PBQ APB ∠=∠,即ABP PBQ ∠=∠，故C 正确；直线:AO y x =,由14y xx =⎧⎪⎨=-⎪⎩得11,,44C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故C B y y =,所以,,C B Q 三点共线,故D 正确．故选：ACD ． 12．已知当随机变量()2,XN μσ时，随机变量X Z μσ-=也服从正态分布．若()2,,X X N Z μμσσ-~=，则下列结论正确的是（ ）A ．()0,1ZNB ．()12(1)P X P Z μσ-<=-<C ．当μ减小，σ增大时，(2)P X μσ-<不变D ．当,μσ都增大时，(3)P X μσ-<增大 【答案】AC【分析】根据正态分布与标准正态分布的关系以及正态分布的性质及特点可判断各选项正误. 【详解】对任意正态分布()2,X N μσ，X Z μσ-=服从标准正态分布()0,1ZN 可知A 正确，由于X Z μ-=，结合正态分布的对称性可得()(1)12(1)P X P Z P Z μσ-<=<=->，可知B 错误，已知正态分布()2,X N μσ，对于给定的*N k ∈，()P X k μσ-<是一个只与k 有关的定值，所以C正确，D 错误. 故选：AC.三、填空题 13．设()2,XB p ，若()519P X ≥=，则p =_________ .【答案】13【分析】由二项分布的概率公式()()1n kk kn P X k p p -==-C ，代入()()()112P X P X P X ≥==+=可得结果. 【详解】()2,XB p ,()()()()()0122222112C 1+C 12P X P X P X p p p p p p ∴≥==+==--=-,2529p p ∴-=，解得：13p ∴=或53p =(舍去)故答案为：13.14．已知()35P A =，()12P B A =，()23P B A =，则()P B =______. 【答案】1330【分析】根据已知条件结合全概率公式求解即可 【详解】因为()35P A =，所以32()1()155P A P A =-=-=， 因为()23P B A =，所以()()211133P B A P B A =-=-=， 所以由全概率公式可得()()()()()P B P B A P A P B A P A =+ 131213253530=⨯+⨯=, 故答案为：133015．现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是______. 【答案】2##0.4.【分析】先计算出男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻的总情况，再按照古典概型计算概率即可.【详解】3位男生和3位女生共6位同学站成一排共有66A 种不同排法，其中男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻有2322233422A (A A 6A A )-种不同排法，因此所求概率为232223342266A (A A 6A A )2=.A 5- 故答案为：25.16．关于曲线C ：22111x y +=，有如下结论： ①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线0x y ±=对称； ③曲线C 是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π； ④曲线C 不是封闭图形，且它与圆222x y +=无公共点； 其中所有正确结论的序号为_________. 【答案】①②④【分析】利用曲线方程的性质，对称性的应用及曲线间的位置关系即可判断上述结论是否正确. 【详解】对于①，将方程中的x 换为x -，y 换为y -，得()()222211111x y x y +=+=--，所以曲线C 关于原点对称，故①正确；对于②，将方程中的x 换为y 或y -，y 换为x 或x -，得()()2222221111111y x x y y x +=+=+=--，所以曲线C 关于直线0x y ±=对称，故②正确； 对于③，由22111x y +=得221110y x=-≥，即21x ≥，同理21y ≥，显然曲线C 不是封闭图形，故③错误；对于④，由③知曲线C 不是封闭图形，联立22221112x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去2y ，得42220x x -+=，令2t x =，则上式转化为2220t t -+=，由()224240∆=--⨯=-<可知方程无解，因此曲线C 与圆222x y +=无公共点，故④正确. 故答案为：①②④.四、解答题17．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分)已知()*nx n N ⎛∈ ⎝⎭，___________. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项.【答案】(1)4352T x =和74254T x =(2)51T x =，4352T x =，35516T x =【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求5n =，从而可求二项式系数最大的项. （2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项. 【详解】（1）二项展开式的通项公式为：211C C ,0,1,2,,2rr r rr n n n r r n T x x r n --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.若选①，则由题得012C C C 16n n n ++=，∴()11162n n n -++=，即2300n n +-=，解得5n =或6n =-(舍去)，∴5n =.若选②，则由题得()221111C 22141C 22n n nn n n n n n n ----⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴5n =， 展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为22443515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，7732345215C 24T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭. （2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：5521551C C ,0,1,2,,52rr r rr r r T x x r --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.当52rZ -∈即0,2,4r =时得展开式中的有理项，所以展开式中所有的有理项为:51T x =，5423522215C 22T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，5342545415C 216T x x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭.18．已知圆()22:()(21)4C x a y a a -+-+=∈R ，定点()1,2M -.(1)过点M 作圆C 的切线，切点是A ，若线段MA C 的标准方程；(2)过点M 且斜率为1的直线l ，若圆C 上有且仅有4个点到l 的距离为1，求a 的取值范围. 【答案】(1)22(3)(5)4x y -+-=或22(1)(3)4x y +++=(2)(4【分析】（1）由题可知，圆心(),21C a a -，2r =，由勾股定理有222MC MA r =+，根据两点间距离公式计算即可求出a 的值，进而得出圆的方程；（2）因为圆C 上有且仅有4个点到l 的距离为1，圆C 的半径为2，因此需圆心C 到直线l 的距离小于1，设直线l 的方程为：()211y x -=+，根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求出a 的取值范围.【详解】（1）解：由题可知，圆心(),21C a a -，2r =由勾股定理有222MC MA r =+，则222(1)(23)225a a ++-=+= 即2510150a a --=，解得：3a =或1a =-，所以圆C 的标准方程为：22(3)(5)4x y -+-=或22(1)(3)4x y +++=. （2）解：设直线l 的方程为：()211y x -=+，即30x y -+=， 由题，只需圆心C 到直线l 的距离小于1即可，所以1d =<，所以4a -44a <所以a 的取值范围为(4.19．某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg )进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ζ为“植株死亡”的数量，求ζ得分布列和期望E ζ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求D η.参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；（2）①分布列见解析，125E ζ=，②240 【解析】（1）已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株，由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填表即可（2）代入公式计算2220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，有关（3）①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3，根据古典概型计算即可. ②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为123205p ==，332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【详解】解：(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 12 1 13 植株死亡 3 4 7 合计 155202220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关. ①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株， 所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3.其中24353(2)5C P C ξ===， 34352(3)5C P C ξ===ξ的分布列为： ξ2 3 P3525所以321223555E ξ=⨯+⨯=. ②332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【点睛】考查完成22⨯列联表、离散型随机变量的分布列、期望以及二项分布的方差，难题. 20．安排5个大学生到,,A B C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的． （1）求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率； （2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．【答案】（1）;（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）5个大学生去三所学校支教，共有种方法，若恰有2人去A 校支教，那就从5人中先选2人，去A 大学，然后剩下的3人去B 和C 大学支教，有种方法，最后根据古典概型求概率；（2）根据题意，，表示5人都去了同一所大学支教，表示5人去了其中2所大学支教，那可以将5人分组，分为4和1，或是3和2，然后再分配到2所大学，计算概率，表示5人去了3所大学支教，那分组为113，或是122型，再将三组分配到三所大学，计算概率，最后列分布列.试题解析：（1）5个大学生到三所学校支教的所有可能为53243=种，设“恰有2个人去A 校支教”为事件M ，则有352280C ⋅=种，∴80()243P M =． 答：5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率80243． （2）由题得：1,2,3ξ=，15ξ=⇒人去同一所学校，有133C =种，∴ 31(1)24381P ξ===， 25ξ=⇒人去两所学校，即分为4,1或3,2有24323552()90C C C A ⋅+⋅=种，∴ 903010(2)2438127P ξ====， 35ξ=⇒人去三所学校，即分为3,1,1或2，2,1有312235253311()1502!2!C C C C A ⋅⋅⋅⋅+⋅= 种，∴15050(3)24381P ξ===． ∴ 的分布列为【解析】1.排列组合；2.离散型随机变量的分布列.21．已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过F 的直线l 交Γ于,A B 两点．(1)若直线l 垂直于x 轴，求线段AB 的长；(2)若直线l 与x 轴不重合，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值；(3)若椭圆Γ上存在点C 使得||||AC BC =，且△ABC 的重心G 在y 轴上，求此时直线l 的方程． 【答案】(1)3 (2)32(3):1l x =、:0l y =或3:1l x y =+【分析】（1）根据直线垂直x 轴，可得,A B 坐标，进而可求线段长度.（2）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，进而根据三角形面积求表达式，进而根据函数最值进行求面积最大值.（3）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，以及重心坐标公式，即可求解.【详解】（1）因为(1,0)F ，令1x =，得21143y +=，所以32y =±，所以||3AB = （2）设直线:1(0)l x my m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，不妨设210,0y y ><，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=， 2144(1)m ∆=+，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， ()2221122221212169434434m y y y y y m m m y --⎛⎫- ⎪++-+-==+⎝⎭2211112122AOBm SOF y y +=⋅-=21m t +=，则1t ≥，2661313AOB t S t t t==++△，记1()3h t t t =+，可得1()3h t t t=+在[)1,+∞上单调递增所以211322AOBSOF y y =⋅-≤当且仅当0m =时取到， 即AOB 面积的最大值为32；（3）①当直线l 不与x 轴重合时，设直线:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点为M ．由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 因为ABC 的重心G 在y 轴上，所以120C x x x ++=， 所以121228()234C x x x m y y m -=--=-+-=+，又()12122242234M m y y x x x m +++===+，1223234M y y my m +-==+， 因为||||AC BC =，所以CM AB ⊥ ,故直线:()M M CM y y m x x -=--，所以29()34C M C M m y y m x x m =--=+，从而2289,3434m C m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 代入22143x y +=得22(31)0m m -=，所以0,m =:1l x =或:1l x y =+．② 当直线l 与x 轴重合时，点C 位于椭圆的上、下顶点显然满足条件，此时:0l y =． 综上，:1l x =，:0l y =或:1l x y =+． 22．已知双曲线2222:100x y C a b a b-=>>（，），1F 、2F 分别是它的左、右焦点，(1,0)A -是其左顶点，且双曲线的离心率为2e =．设过右焦点2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P Q 、两点，其中点P 位于第一象限内． (1)求双曲线的方程；(2)若直线AP AQ 、分别与直线12x =交于M N 、两点，证明22MF NF ⋅为定值； (3)是否存在常数λ，使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2213y x -= (2)证明见解析 (3)存在，2【分析】（1）根据题意可得1a =，2ce a==，即可求解,b c 的值，进而得到双曲线方程； （2）设直线l 的方程及点,P Q 的坐标，直线l 的方程与双曲线C 的方程联立，得到1212,y y y y +的值，进而得到点,M N 的坐标，计算22MF NF ⋅的值即可；（3）在直线斜率不存在的特殊情况下易得2λ=，再证明222AF P PAF ∠=∠对直线l 存在斜率的情形也成立，将角度问题转化为斜率问题，即222tan 21PAPAk PAF k ∠=-，22tan PF AF P k ∠=-，即可求解=2λ. 【详解】（1）解：由题可知：1a = ∵2ce a==，∴c ＝2 ∵222+=a b c ，∴b = ∴双曲线C 的方程为：2213y x -=（2）证明：设直线l 的方程为：2x ty =+，另设：()11,P x y ，()22,Q x y ，∴()2222131129032y x t y ty x ty ⎧⎪⎨⎪-=⇒-++==+⎩， ∴121222129,3131t y y y y t t -+==--，又直线AP 的方程为()1111y y x x =++，代入()11311,2221y x M x ⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪+⎝⎭, 同理，直线AQ 的方程为()2211y y x x =++，代入()22311,2221y x N x ⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪+⎝⎭, ∴()()1222123333,,,221221y y MF NF x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，∴()()()()()12121222212121212999999441144334439y y y y y y MF NF x x ty ty t y y t y y ⋅=+=+=+++++⎡⎤+++⎣⎦2222999993109124444393131t t t t t t ⨯-=+=-=-⎛⎫⨯+⨯+ ⎪--⎝⎭,故22MF NF ⋅为定值.（3）解：当直线l 的方程为2x =时，解得(2,3)P ， 易知此时2AF P △为等腰直角三角形，其中22,24AF P PAF ππ∠=∠=，即222AF P PAF ∠=∠，也即：=2λ，下证：222AF P PAF ∠=∠对直线l 存在斜率的情形也成立，121112222212112122tan 212(1)tan 21tan 1(1)1()1PAPAy PAF k x y x PAF y PAF k x y x ⨯∠++∠====-∠-+--+，∵()222211111313y x y x -=⇒=-，∴()()()()()()11111222121112121tan 22122131y x y x y PAF x x x x x ++∠===--+--+--，∴21221tan tan 22PF y AF P k PAF x ∠=-=-=∠-， ∴结合正切函数在0,,22πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的图像可知，222AF P PAF ∠=∠，。
高二数学(文)月考试题
高二下学期数学第一次月考试卷（文）(总分：150分 时间：120分钟)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知}{R x x y y M ∈-==,42，}{42≤≤=x x P 则M P 与的关系是（ ）A ．P M =B ．P M ∈C ．φ=P MD ．P M ⊇ 2、等比数列{}n a 中，已知3231891===q a a n ，，，则n 为A ．3B ．4C ．5D ．63、“3x >”是“24x >”的（ ）.A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、在△ABC 中，a ＝，b ＝B ＝45°，则A 等于（ ）. A ． 30°B ． 60°C ． 30°或150°D ．60°或120°5、函数)62sin(π+-=x y 的单调递减区间是（ ）A ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,23,26ππππB ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππC ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,3,6ππππD ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,65,6ππππ6、不等式1213≥--xx 的解集是 ( ) A ．{x|243≤≤x } B ．{x|243<≤x } C ．{x|x ＞2或43≤x } D ．{x|x ＜2}7、已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α，m ∥β，给出下列四个命题： （1）若α∥β，则l ⊥m ； （2）若l ⊥m ，则α∥β； （3）若α⊥β，则l ∥m ； （4）若l ∥m ，则α⊥β； 其中正确命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48、曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是（ ）.A ．74y x =+B ．72y x =+C ． 4y x =-D ．2y x =- 已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x 0∈（a ，b ）则hh x f h x f h )()(lim000--+→ 的值为（ ）A ．f’(x 0)B ．2 f’(x 0)C ．-2 f’(x 0)D ．010、已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( )A ．53B ．43C D 二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上)11、点)3,(a P 到直线0134=+-y x 的距离等于4，且在不等式032>-+y x 表示的平面区域内，则点P 的坐标是 .12、已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为13、已知，求42t a b =-的取值范围 ____________ ．14、一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s =3t 2+t ，则t =2时的瞬时速度为 .15、给定下列命题：① “若m>-1，则方程x 2+2x-m =0有实数根”的逆否命题；②“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若220x y +=, 则x , y 全为零”的逆命题.其中真命题的序号是___________.三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16、（本小题满分12分）已知锐角△ABC 的三内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，边a 、b 是方程x 2－+2=0的两根，角A 、B 满足关系2sin(A +B )，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积.17、（本小题满分12分）公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求。
北京市2023-2024学年高二上学期12月月考试题 数学含答案
北京市2023—2024学年第一学期12月阶段练习高二数学（答案在最后）2023.12班级__________姓名__________学号__________本试卷共2页，共120分.考试时长90分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.椭圆22154y x +=的焦点坐标是（）A.()1,0，()1,0-B.()0,1，()0,1-C.()3,0，()3,0- D.()0,3，()0,3-）2.在空间直角坐标系中，()1,2,3A --，()1,1,1B ---，()0,0,5C -，则ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.形状不确定3.已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为4，若抛物线上一点P 到y 轴的距离是1，则|PF |等于（）A .2B.3C.4D.54.直线0y +-=截圆224x y +=得到的劣弧所对的圆心角的大小为（）A.π12B.π6C.π4D.π35.双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线离心率为（）A.或153B.54或53C.54D.26.如图，一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m.若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（）A.2.25mB.2.15mC.1.85mD.1.75m7.“1k =±”是“直线0kx y k -+=与抛物线24y x =有唯一公共点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件8.将正方形ABCD 沿对角线折成直二面角A BD C --，以下结论中错误．．的是（）A.AC BD⊥ B.ACD 是等边三角形C.AB 与平面BCD 所成的角为60°D.AB 与CD 所成的角为60°9.若曲线C ：22224540x y ax ay a ++-+-=上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为（）A.(,2)-∞- B.(,1)-∞- C.(1,)+∞ D.(2,)+∞10.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹是（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.点()2,3关于直线3y x =+的对称点坐标为______________.12.已知1F ，2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，6AB =，则22AF BF +=______________.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，:1:2AD AB =，PAB为等边三角形，则直线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值为______________.14.已知双曲线C ：()22102x y m m-=>，则m =_________；若双曲线1C 与C 不同，且与C 有相同的渐近线，则1C 的方程可以为____________.（写出一个答案即可）15.曲线C 是平面内与定点()2,0F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹，给出下列四个命题：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于x 轴对称；③曲线C 与y 轴有3个交点；④若点M 在曲线C 上，则MF 的最小值是2-；其中，所有正确结论的序号是_________.三、解答题：本大题共4小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答．．案写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．．.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，90BAC ∠=︒，E ，F 分别为1CC ，BC 的中点.（1）求异面直线1A B 与EF 所成角的余弦值；（2）求点1B 到平面AEF 的距离；（3）求二面角11B A B E --的余弦值.17.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点是1F ，2F ，且122F F =，离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 与直线y x m =+交于M ，N 两点，且7MN =，求实数m 的值.18.已知圆C ：222430x y x y ++-+=.（1）求圆心C 的坐标及半径的大小；（2）已知直线l 与圆C 相切，且在x ，y 轴上的截距相等且不为0，求直线l 的方程；（3）从圆C 外一点(),P x y 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有MP OP =，求点P 的轨迹方程.19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F （1，0），短轴长为2.直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率.北京市2023—2024学年第一学期12月阶段练习高二数学2023.12班级__________姓名__________学号__________本试卷共2页，共120分.考试时长90分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.椭圆22154y x +=的焦点坐标是（）A.()1,0，()1,0-B.()0,1，()0,1-C.()3,0，()3,0- D.()0,3，()0,3-）【答案】B 【解析】【分析】先根据椭圆的标准方程判断焦点的位置；再根据a ，b ，c 关系求出c 即可写出焦点坐标.【详解】由椭圆22154y x +=可得：椭圆的焦点在y 轴上，25a =，24b =.则2221c a b =-=，即1c =.所以椭圆的焦点坐标为：()0,1，()0,1-.故选：B2.在空间直角坐标系中，()1,2,3A --，()1,1,1B ---，()0,0,5C -，则ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.形状不确定【答案】B 【解析】【分析】根据空间中两点距离公式即可求解长度，进而可判断.【详解】由()1,2,3A --，()1,1,1B ---，()0,0,5C -，可得3,3AB AC ====,CB ==,故222,AB AC BC AB AC =+=,因此ABC 是等腰直角三角形，故选：B3.已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为4，若抛物线上一点P 到y 轴的距离是1，则|PF |等于（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】由题意可得4p =，再结合抛物线的定义可求出|PF |【详解】因为抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为4，所以4p =，所以抛物线的焦点(2,0)F ，准线方程为2x =-，因为抛物线上一点P 到y 轴的距离是1，所以点P 到准线的距离为3，所以由抛物线的定义可得3PF =，故选：B4.直线0y +-=截圆224x y +=得到的劣弧所对的圆心角的大小为（）A.π12B.π6C.π4D.π3【答案】D 【解析】【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r ，利用点到直线的距离公式求出圆心C 到已知直线的距离d ，由垂径定理及勾股定理求出直线被圆截得的弦长，即可根据等边三角形求解.【详解】过O 作OC AB ⊥，垂足为点C ，由圆的方程224x y +=，得到圆心O 的坐标为(0,0)，半径2r =，0y +-=，∴直线被圆截得的弦||2AB ==，2AB OA OB ∴===，π3AOB ∴∠=，故选：D ．5.双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线离心率为（）A.2或3B.54或53C.54D.2【答案】B 【解析】【分析】根据焦点位置，分两种情况即可根据渐近线方程以及离心率公式求解.【详解】设双曲线方程为22221x y a b -=，则渐近线方程为b y x a =±，故34b a =，离心率为54c a ==，设双曲线方程为22221y x a b -=，则渐近线方程为a y x b =±，故34a b =，离心率为53c a ==，故选：B6.如图，一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m.若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（）A.2.25mB.2.15mC.1.85mD.1.75m【答案】D 【解析】【分析】建立坐标系，根据题意可设抛物线方程为2(6)4y a x =-+，其中a<0，再根据点(14,0)B 在抛物线上，代入抛物线方程，得到该抛物线方程，令0x =，可得结论．【详解】以该运动员脚所在的水平线为x 轴，该运动员所处位置的铅垂线为y 轴，建立坐标系如图．铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m ，∴该抛物线的顶点坐标是(6,4)，开口向下，设抛物线方程为2(6)4y a x =-+，其中a<0，运动员投掷铅球的成绩是14m ，所以点(14,0)B 在抛物线上，20(146)4a ∴=-+，可得116a =-因此，抛物线方程为21(6)416y x =--+，令0x =，则1364 1.7516y =-⨯+=故选：D ．7.“1k =±”是“直线0kx y k -+=与抛物线24y x =有唯一公共点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】【分析】联立0kx y k -+=与24y x =，分0k =与0k ≠两种情况，结合根的判别式得到0k =或1±，从而求出答案.【详解】联立0kx y k -+=与24y x =得，()2222240k x k x k +-+=，当0k =时，40x -=，只有一个根，满足要求，当0k ≠时，令()2242440k k ∆=--=，解得1k =±，故直线0kx y k -+=与抛物线24y x =有唯一公共点”时，0k =或1±，故1k =±是“直线0kx y k -+=与抛物线24y x =有唯一公共点”的充分不必要条件.故选：A8.将正方形ABCD 沿对角线折成直二面角A BD C --，以下结论中错误．．的是（）A.AC BD⊥ B.ACD 是等边三角形C.AB 与平面BCD 所成的角为60° D.AB 与CD 所成的角为60°【答案】C 【解析】【分析】根据直二面角可得面面垂直，即可根据线面垂直求解A,根据长度关系即可求解B ，根据线面垂直得线面角的几何角，即可求解C ，根据平行关系以及线线角的定义即可求解D.【详解】如图，其中二面角A BD C --的平面角为90︒，O 是BD 的中点，则AO BD ⊥，CO BD ⊥，∴直二面角A BD C --的平面角=90AOC ∠︒，对于A ，AO BD ⊥ ，CO BD ⊥，AO CO O = ，AO ⊂平面AOC ，CO ⊂平面AOC ，BD ∴⊥平面AOC ，AC ⊂ 平面AOC ，AC BD ∴⊥，故A 正确；对于B ，设正方形ABCD 的边长为2，在直角AOC 中，AO BO ==，2AC ∴==，ACD ∴是等边三角形，故B 正确；对于D ，可取AD 中点F ，AC 的中点H ，连接OF ，OH ，FH ，设正方形ABCD 的边长为2，由于//,//OF AB HF CD ，所以112OF HF AB ===，而112OH AC ==，故OFH 是等边三角形，OFH ∠即为AB 与CD 所成的角,由于OFH ∠=60︒，所以AB 与CD 所成角为60︒，故D 正确．对于C ，由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ,,AO BD AO ⊥⊂平面ABD ，所以AO ⊥平面BCD ,故AB 与平面BCD 所成的线面角的平面角是45ABO ∠=︒，故AB 与平面BCD 成60︒的角不正确，故C 错误．故选：C9.若曲线C ：22224540x y ax ay a ++-+-=上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为（）A.(,2)-∞-B.(,1)-∞- C.(1,)+∞ D.(2,)+∞【答案】D 【解析】【分析】根据曲线方程可判断出曲线C 是圆心为(),2a a -，半径为2的圆，根据圆的位置可得关于a 的不等式组，解不等式组求得结果.【详解】由题意，曲线C 的标准方程为：22()(2)4x a y a ++-=因此曲线C 为圆心为(),2a a -，半径为2的圆曲线C 上所有的点均在第二象限内222a a -<-⎧∴⎨>⎩，解得：2a >a ∴的取值范围是()2,∞+故选：D10.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹是（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【答案】D【解析】【分析】由于P 在平面1BC 内，而11C D ⊥平面1BC ，因此有111PC C D ⊥，这样结合抛物线的定义可得结论．【详解】在正方体中，一定有111PC C D ⊥，∴P 点为平面1BC 内到直线BC 和到点1C 的距离相等的点，其轨迹为抛物线．故选D ．【点睛】本题考查抛物线的定义，考查立体几何中的垂直关系．属于跨章节综合题，难度不大．二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.点()2,3关于直线3y x =+的对称点坐标为______________.【答案】()0,5【解析】【分析】根据中点关系以及垂直斜率关系即可求解.【详解】设点()2,3关于直线3y x =+的对称点坐标为(),a b ，则31232322b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得05a b =⎧⎨=⎩，所以对称点为()0,5，故答案为：()0,512.已知1F ，2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，6AB =，则22AF BF +=______________.【答案】14【解析】【分析】根据焦点三角形的周长即可求解.【详解】椭圆221259x y +=中，5a =，1F ，2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，∴由椭圆定义知：22||||||420AB AF BF a ++==，||6AB = ，22||||20614AF BF ∴+=-=．故答案为：1413.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，:1:2AD AB =，PAB为等边三角形，则直线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值为______________.【答案】155【解析】【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可根据线面角的定义找到其平面角，结合三角形的边角关系即可求解.【详解】取AB 中点为O ，连接,PO DO ,由于PAB 是等边三角形，所以PO AB⊥因为平面PAB ⊥平面ABCD ，其交线为AB ,PO ⊂平面PAB ,所以PO ⊥平面ABCD ，PDO ∠是直线PD 与平面ABCD 所成角．不妨设1,2AD AB ==，在等边PAB 中，PO =，DO ==，所以DP ==，故315tan 55OP PDO DP ∠===故直线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值为155．故答案为：15514.已知双曲线C ：()22102x y m m-=>2，则m =_________；若双曲线1C 与C 不同，且与C 有相同的渐近线，则1C 的方程可以为____________.（写出一个答案即可）【答案】①.2②.221x y -=【解析】【分析】根据题意，由双曲线方程可得焦点坐标以及渐近线方程，再由点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为双曲线C ：()22102x y m m -=>，所以其焦点坐标为()2,0m +，渐近线方程为2m y x =2，222m mm ⨯+=+2m =；所以双曲线C ：22122x y -=，渐近线方程为y x =±，若双曲线1C 与C 不同，且与C 有相同的渐近线，则该双曲线只需满足a b =即可，则1C 的方程可以为221x y -=.故答案为：2；221x y -=15.曲线C 是平面内与定点()2,0F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹，给出下列四个命题：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于x 轴对称；③曲线C 与y 轴有3个交点；④若点M 在曲线C 上，则MF 的最小值是2-；其中，所有正确结论的序号是_________.【答案】①②④．【解析】【分析】将所求点用(,)x y 直接表示出来，然后根据条件列出方程即可求出轨迹方程，然后根据方程研究性质即可求解①②③，利用消元法，然后利用函数的单调性求最值即可判断④．【详解】设动点的坐标为(,)x y ，曲线C 是平面内与定点(2,0)F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹，∴|2|4x +=，当0x =时，0y =，∴曲线C 过坐标原点，故①正确；|2|4x +=中的y 用y -代入该等式不变，∴曲线C 关于x 轴对称，故②正确；令0x =时，0y =，故曲线C 与y 轴只有1个交点，故③不正确；|2|4x +=，()()22216202y x x ∴=--≥+，解得-≤≤x ，∴若点M 在曲线C 上，则41)2MF x ==≥=-+，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共4小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答．．案写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．．.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，90BAC ∠=︒，E ，F 分别为1CC ，BC 的中点.（1）求异面直线1A B 与EF 所成角的余弦值；（2）求点1B 到平面AEF 的距离；（3）求二面角11B A B E --的余弦值.【答案】（1）63;（2;（3）13；【解析】【分析】（1）构建空间直角坐标系，然后根据向量的数量积求解直线夹角；（2）求解面AEF 的法向量，然后根据距离公式求解；（3）根据面11B A B 与面1A BE 的法向量，求解二面角11B A B E --的余弦值；【小问1详解】故以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则()0,0,0A ，()10,0,2A =,()2,0,0B ,()12,0,2B =,()0,2,1E ，()1,1,0F ()12,0,2A B =- ,()1,1,1EF =-- ,111cos3A B EFA B EFA B EF⨯+-⨯-⋅==⋅，所以异面直线1A B与EF所成角的余弦值为3.【小问2详解】设面AEF的法向量为(),,n a b c=，()0,2,1AE=,()1,1,0AF=则n AEn AF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得：20b ca b+=⎧⎨+=⎩令1a=，可得()1,1,2n=-，因为()12,0,2AB=u u uu r,所以n AEdn⋅===所以点1B到平面AEF.【小问3详解】AC⊥面11B A B，所以面11B A B-的法向量为()0,0,1AC，设面1A BE的法向量为(),,m x y z=，又()12,0,2A B=-，()10,2,1A E=-，则11m A Bm A E⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得：20x zy z-=⎧⎨-=⎩，令1y=，可得()2,1,2m=，11cos133AC mAC mAC m⋅===⨯⋅，，所以二面角11B A B E--的余弦值为13.17.已知椭圆()222210x y a ba b+=>>的焦点是1F，2F，且122F F=，离心率为12.（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C与直线y xm=+交于M，N两点，且7MN=，求实数m的值.【答案】（1）22143x y +=（2）2±【解析】【分析】（1）由题意求出1,2c a ==，进而得到2b ，求出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根的判别式得到m <<式表达出弦长，得到方程，检验后求出答案【小问1详解】由题意得：1222F F c ==，12c a =，解得1,2c a ==，故222413b a c =-=-=，故椭圆C 的方程为22143x y +=；【小问2详解】联立y x m =+与22143x y +=得，22784120x mx m ++-=，()2264284120m m ∆=-->，解得m <<设()()1122,,,M x y N x y ，则212128412,77m m x x x x -+=-=，故M N ====又1227MN =，1227=，解得2m =±，满足m <<故实数m 的值为2±18.已知圆C ：222430x y x y ++-+=.（1）求圆心C 的坐标及半径的大小；（2）已知直线l 与圆C 相切，且在x ，y 轴上的截距相等且不为0，求直线l 的方程；（3）从圆C 外一点(),P x y 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有MP OP =，求点P 的轨迹方程.【答案】（1）圆心坐标(1,2)C -，半径r =（2）10x y ++=或30x y +-=；（3）2430x y -+=【解析】【分析】（1）化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径；（2）设出直线的截距式方程，由圆心到切线的距离等于半径列式求得a 的值，则切线方程可求；（3）由切线垂直于过切点的半径及||||MP OP =列式求点P 的轨迹方程．【小问1详解】由圆22:2430C x y x y ++-+=，得：22(1)(2)2x y ++-=，∴圆心坐标(1,2)C -，半径r =【小问2详解】 切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设直线方程(0)x y a a +=≠，圆22:(1)(2)2C x y ++-=，∴圆心(1,2)C -，=1a ∴=-或3a =，所求切线方程为：10x y ++=或30x y +-=；【小问3详解】切线PM 与半径CM 垂直，设(,)P x y 222||||||PM PC CM ∴=-,由MP OP =可得2222(1)(2)2x y x y ++--=+所以点P 的轨迹方程为2430x y -+=．19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F （1，0），短轴长为2.直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析（3）22k =±【解析】【分析】（1）由题可知，1c =，22b =，再结合222a b c =+，解出a 值即可得解；（2）设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，联立直线l 的方程和椭圆的方程，得韦达定理；利用中点坐标公式以及斜率公式得直线OM 的斜率，进而得解；（3）若四边形OAPB 为平行四边形，则OA OB OP += ，利用平面向量的线性坐标运算可以用k 表示点P 的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于k 的方程，解之即可得解．【小问1详解】由题意可知，1c =，22b =，222a b c =+ ，∴a =∴椭圆的方程为2212x y +=．【小问2详解】设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，2222(21)4220k x k x k +-+-=，则2122421k x x k +=+，M 为线段AB 的中点，∴21222221M x x k x k +==+，2(1)21M M k y k x k -=-=+，∴12M OM M y k x k==-，∴1122OM l k k k k ⋅=-⨯=-为定值．【小问3详解】若四边形OAPB 为平行四边形，则OA OB OP += ，∴2122421P k x x x k =+=+，121222()221P k y y y k x x k k -=+=+-=+， 点P 在椭圆上，∴2222242()2()22121k k k k -+⨯=++，解得212k =，即2k =±，∴当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l的斜率为2k =±．。
2022-2023学年山东省菏泽高二年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省菏泽第一中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线的焦点坐标是（ ）22y x =A ．B ．C ．D ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先把抛物线化为标准方程，直接写出焦点坐标．【详解】抛物线的方程为，所以焦点在轴22y x =212x y=y 由，122p =所以焦点坐标为．10,8⎛⎫⎪⎝⎭故选：D ．2．设为等差数列的前项和，已知，，则（ ）n S {}n a n 311a =1060S =5a=A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A【详解】设等差数列的公差为d ，由题意建立方程，即可求出，d ，再根据等差数列的通项{}n a 1a 公式，即可求出结果．【分析】设等差数列的公差为d ，由题意可知，解得，，{}n a 11211 104560a d a d +=⎧⎨+=⎩115a =2d =-所以．5141587a a d =+=-=故选：A3．设点是关于坐标平面的对称点，则（ ）B (2,3,5)A xOy ||=AB A ．BC ．D1038【答案】A【分析】根据空间直角坐标系的坐标特点得点坐标，根据空间中两点间的距离公式计算即可得B .||AB【详解】解：因为点是关于坐标平面的对称点，所以B (2,3,5)A xOy (2,3,5)B -所以.10AB AB ===故选：A.4．已知向量，且与互相平行，则（ ）()()1,1,0,1,0,=-=a b m ka b + 2a b -k =A ．B ．C ．D ．114-153512-【答案】D【分析】由空间向量平行的条件求解.【详解】由已知，，(1,,)ka b k k m +=-2(3,1,2)a b m -=-- 因为与平行，ka b + 2a b -若，则，，0m =131k k-=-12k =-若，则，无解．0m ≠1312k k mm -==--k 综上，，12k =-故选：D ．5．设向量，，不共面，空间一点P 满足，则A ，B ，C ，P 四点OA OB OCOP xOA yOB zOC =++ 共面的一组数对是（ ）(,,)x y z A ．B ．111(,,)432131(,,)442-C ．D ．(1,2,3)-121(,,)332-【答案】B【分析】由题设条件可知，A ，B ，C ，P 四点共面等价于，由此对选项逐一检验即可.1x y z ++=【详解】因为向量，，不共面，，OA OB OCOP xOA yOB zOC =++ 所以当且仅当时，A ，B ，C ，P 四点共面，1x y z ++=对于A ，，故A 错误；1111432++≠对于B ，，故B 正确；1311442-++=对于C ，，故C 错误；1231-+≠对于D ，，故D 错误.1211332-++≠故选：B.6．已知数列中，且，则为（ ）{}n a 11a =()133nn n a a n a *+=∈+N 16a A ．B ．C ．D ．16141312【答案】A【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到，代入1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 即可.16n =【详解】由得：，又，133n n n a a a +=+1311133n n n n a a a a ++==+111a =数列是以为首项，为公差的等差数列，，∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭113()1121133nn n a +∴=+-=，.32n a n ∴=+1616a ∴=故选：A.7．已知三个数，，成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）1a92212xy a +=A BC D【答案】D【详解】椭圆、双曲线的方程简单性质，等比数列的性质，分类讨论，由已知求得值，然后分类a 讨论求得圆锥曲线的离心率解决即可．2212x y a +=【解答】因为三个数，，成等比数列，1a 9所以，则．29a=3a =±当时，曲线方程为，表示椭圆，3a =22132x y +=，1当时，曲线方程为，表示双曲线，3a=-22123y x -=．=故选：D 8．若数列是等差数列，首项，公差，则使数列的前项{}n a 10a >()2020201920200,0d a a a <+<{}n a n 和成立的最大自然数是（ ）n S >n A ．4039B ．4038C ．4037D ．4036【答案】B【分析】根据等差数列的单调性，结合等差数列前项和公式进行求解即可.n 【详解】因为，所以等差数列是递减数列，0d <{}n a 因为，()2020201920200a a a +<所以，且，，201920200,0a a ><20192020a a >201920200a a +>()1403920192020403920204038201920204039()40390,403820190,22a a a a S a S a a ++===⨯=+所以使数列的前项和成立的最大自然数是4038．{}n a n 0n S >n 故选：B二、多选题9．下列结论错误的是（ ）A ．过点，的直线的倾斜角为()1,3A ()3,1B -30︒B ．若直线与直线平行，则2360x y -+=20ax y ++=23a =-C ．直线与直线240x y +-=2410x y ++=D ．已知，，点在轴上，则的最小值是5()2,3A ()1,1B -P x PA PB+【答案】AC【分析】对于A ，即可解决；对于B ，由题意得即可解决；对于C ，平行线间距tan AB k α=231a -=离公式解决即可；对于D ，数形结合即可.【详解】对于A ，，即，故A 错误；131tan 312AB k α-===--30α≠︒对于B ，直线与直线平行，所以，解得，故B 正确；2360x y -+=20ax y ++=123a =-23a =-对于C ，直线与直线（即）之间的距离为240x y +-=2410x y ++=1202x y ++=，故C错误；d 对于D ，已知，，点在轴上，如图()2,3A ()1,1B -Px 取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时()1,1B -x ()1,1B '--AB 'x P，5=所以的最小值是5，故D 正确；PA PB+故选：AC.10．已知数列的前项和为，，则下列说法不正确的是（ ）{}n a n n S 25n S n n =-A ．为等差数列B ．{}n a 0n a >C ．最小值为D ．为单调递增数列n S 254-{}n a 【答案】BC【分析】根据求出，并确定为等差数列，进而可结合等差数列的性质以及前项和分析求n S n a {}n a n 解.【详解】对于A ，当时，，2n ≥()()221515126n n n a S S n n n n n -⎡⎤==-----=-⎣⎦-时满足上式，所以,1n =114a S ==-26,N n a n n *=-∈所以，()()1216262n n a a n n +-=+---=所以为等差数列，故A 正确；{}n a 对于B ，由上述过程可知，26,N n a n n *=-∈，故B 错误；12340,20,0a a a =-<=-<=对于C ，因为，对称轴为，25n S n n =-52.52=又因为，所以当或3时，最小值为，故C 错误；N n *∈2n =n S 6-对于D ，由上述过程可知的公差等于2，{}n a 所以为单调递增数列，故D 正确.{}n a 故选:BC.11．在正方体中，E ，F ，G 分别为BC ，的中点，则下列结论中正确的1111ABCD A B C D -11CC BB ，是（ ）A ．1D D AF⊥B ．点G 到平面的距离是点C 到平面的距离的2倍AEF AEF C ．平面1//A G AEFD ．异面直线与1A G EF 【答案】BC【分析】对于选项：由以及与不垂直，可知错误；对于选项：利用等体积A 11//DD CC 1CC AF A B 法，可求得结果，进而判断选项正确；对于选项：取的中点,A GEF G AEF A CEF C AEF V V V V ----==B C 11B C ，根据面面平行的性质即可得出平面，可知选项正确； 对于选项：根据线面垂M 1//A G AEF C D 直的判定定理和性质，结合二面角的定义可知错误；D 【详解】对于选项：因为，所以不是等腰三角形，所以与不垂直，因为A 1AC AC ≠1ACC △1CC AF ，所以与不垂直，故选项错误；11//DD CC 1DD AF A 对于选项：设正方体的棱长为2，设点到平面的距离与点到平面的距离分别为B G AEFC AEF ，则，12,h h 11133A GEF GEF G AEF AEF V AB S V h S --=⋅==⋅ ，21133A CEF CEF C AEF AEFV AB S V h S --=⋅==⋅所以，故选项正确；12121221112GEFCEFS h h S ⨯⨯===⨯⨯△△B 对于选项：取的中点，连接，C 11B C M 11,,GM A MBC 由题意可知：，因为，所以，1//GM BC 1//BC EF //GM EF 平面， 平面，所以平面，GM ⊄AEF EF ⊂AEF //GM AEF 因为，平面， 平面，所以平面，1A M AE ∥1A M ËAEF AE ⊂AEF 1//A M AEF 因为平面，所以平面平面，11,,A M GM M A M GM =⊂ 1A GM AEF //1A GM 因为平面，所以平面，故选项正确；1A G ⊂1A GM 1//A G AEF C 对于选项：因为，所以异面直线与所成的角为（或其补角），D 111//,//AD EF A G D F 1A G EF 1AD F ∠设正方体的棱长为2，则，113AD D F AF ===在中，由余弦定理可得：1AD F △错误，22211111cos 2AD D F AF AD F AD D F +-∠===⋅D 故选：.BC 12．下列命题中，正确的命题有（ ）A ．是，共线的充要条件a b a b +=- a b B ．若，则存在唯一的实数，使得//a b λa bλ=C ．对空间中任意一点和不共线的三点 ，，，若，则，，，O A B C 243OP OA OB OC =-+P A B 四点共面C D ．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底{},,a b c{},2,3a b b c c a+++ 【答案】CD【分析】对A ，向量、同向时不成立；a b a b a b+=- 对B ， 为零向量时不成立；b对C ，根据空间向量共面的条件判定；对D ，根据能成为基底的条件判定.【详解】对A ，向量、同向时，，只满足充分性，不满足必要性，A 错误； a b a b a b+≠- ∴∴对B ，应该为非零向量，故B 错误；b对C ，由于得，，243OP OA OB OC =-+ 1324PB PA PC =+若共线，则三向量共线，故，，三点共线，与已知矛盾，,PA PC,,PA PC PB A B C 故不共线，由向量共面的充要条件知共面，而过同一点 ，所以，,PA PC,PB PA PC ,,PB PA PC ,P P ，，四点共面，故C 正确；A B C 对D ，若为空间的一个基底，则，，不共面，{},,a b cab c 假设，，共面，设，a b + 2b c + 3c a + ()()23a b x b c y c a +=+++所以 ，无解，故，，不共面，13102yxx y =⎧⎪=⎨⎪=+⎩a b +2b c + 3c a + 则构成空间的另一个基底，故D 正确．{},2,3a b b c c a+++ 故选： CD ．三、填空题13．等比数列中，，，则______．{}n a 39a =-114a =-7a =【答案】6-【分析】由等比数列的性质计算．【详解】因为是等比数列，所以，又的所有奇数项同号，所以．{}n a 2731136a a a =={}n a 76a =-故答案为：．6-14．直线被圆截得的弦长____________230x y +-=()()22214x y -++=【分析】首先求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用勾股定理与垂径定理计算可得；【详解】圆的圆心为，半径，()()22214x y -++=()2,1-2r =圆心到直线的距离()2,1-d所以直线被圆截得弦长为==.15．已知数列.的前项和为，且.若，则{}n a n n S ()*2120N n n n a a a n +++-=∈11151912a a a ++=______.29S =【答案】116【分析】先判断出数列是等差数列，然后运用等差数列的性质可得答案.【详解】为等差数列，(){}*211220N ,2,n n n n n n n a a a n a a a a +++++-=∈∴=+∴ 111912915111519152,12,4,a a a a a a a a a ∴+=+=++=∴= .129291529292941162a a S a +∴=⨯==⨯=故答案为：116.四、双空题16．如图，在棱长为1的正方体中，M 为BC 的中点，则 与所成角的余ABCD A B C D-''''AM D B''弦值为___________；C 到平面的距离为___________.DA C ''【答案】【分析】第一空根据向量法即可求得异面直线之间的夹角.第二空利用等体积法即可求得.【详解】由已知连接，如图所示建立空间直角坐标系,BD 则，，，()0,0,1A 1,1,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,1,0B '()1,0,0D ' 1,1,02AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()1,1,0D B ''=-cos ,AM D B '' 与AM D B ''如图所示设C 到平面的距离为DA C ''d 因为C A DC A DCC V V'''--=1111sin 601113232d d ⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⇒=五、解答题17．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，.{}n a n n S {}n b n n T 11221,1,2a b a b =-=+=（1）若，求的通项公式；335a b +={}n b （2）若，求.321T =3S 【答案】（1）；（2）当时，.当时，.12n n b -=5q =-321S =4q =36S =-【分析】设的公差为d ，的公比为q ，{}n a {}n b （1）由条件可得和，解方程得，进而可得通项公式；3d q +=226d q +=12d q =⎧⎨=⎩（2）由条件得，解得，分类讨论即可得解.2200q q +-=5,4q q =-=【详解】设的公差为d ，的公比为q ，则，.{}n a {}n b 1(1)n a n d =-+-1n n b q -=由得.①222a b +=3d q +=（1）由得②335a b +=226d q +=联立①和②解得（舍去），30d q =⎧⎨=⎩12d q =⎧⎨=⎩因此的通项公式为.{}n b 12n n b -=（2）由得.131,21b T ==2200q q +-=解得.5,4q q =-=当时，由①得，则.5q =-8d =321S =当时，由①得，则.4q =1d =-36S =-【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的基本量运算，属于基础题.18．如图，平行六面体的底面是菱形，且，1111ABCD A B C D -1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒．12CD CC ==(1)求的长；1AC (2)求异面直线与所成的角．1CA 1DC【答案】(1)1AC =(2)90°．【分析】(1)因为三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量，平方即求1,,CD CB CC 1AC 得模长.(2) 求出两条直线与的方向向量，用向量夹角余弦公式即可.1CA 1DC 【详解】（1）设，，，构成空间的一个基底．CD a = CB b = 1CC c = {},,a b c 因为，()11()AC CC CD CB c a b =-+=-+ 所以()22211AC AC c a b ⎡⎤==-+⎣⎦ 222222c a b a c b c a b=++-⋅-⋅+⋅ ，12222cos 608=-⨯⨯⨯︒=所以1AC =（2）又，，1CA a b c =++ 1DC c a =- 所以()()11CA DC a b c c a ⋅=++⋅- 220c a b c a b =-+⋅-⋅= ∴11CA DC ⊥ ∴异面直线与所成的角为90°．1CA 1DC 19．已知等差数列的前n 项和为.{}n a 258,224,100n S a a S +==(1)求{an }的通项公式；(2)若，求数列{}的前n 项和Tn .+11n n n b a a =n b 【答案】(1)31n a n =-(2)2(32)n nT n =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果；（2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为d ，由题意知，{}n a 解得：1112()4248(81)81002a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩123a d =⎧⎨=⎩∴.1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-故的通项公式为.{}n a 31n a n =-（2）∵1111((31)(32)33132n b n n n n ==--+-+111111111111()()()(325358381133132111111111 ()325588113132111 =(3232=2(32)n T n n n n n n n =⨯-+⨯-+⨯-++--+=⨯-+-+-++--+⨯-++ 即：的前n 项和.{}n b 2(32)n nT n =+20．如图，在直三棱柱中，，，，交于点111ABC A B C -2AB AC ==14AA =AB AC ⊥1BE AB ⊥1AA E ，D 为的中点.1CC(1)求证：平面；BE ⊥1AB C (2)求直线与平面所成角的正弦值.1B D 1AB C 【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）先证明，从而可得平面，进而可得，再由线面垂直1AA AC ⊥AC ⊥11AA B B AC BE ⊥的判定定理即得；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即得.【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱，111ABC A B C -所以平面，又平面，1AA ⊥ABC AC ⊂ABC 所以,1AA AC ⊥又，，平面，平面，AC AB ⊥1AB AA A ⋂=AB ⊂11AA B B 1AA ⊂11AA B B 所以平面，AC ⊥11AA B B 因为平面，BE ⊂11AA B B 所以，AC BE ⊥又因为，，平面，平面，1BE AB ⊥1AC AB A ⋂=AC ⊂1AB C 1AB ⊂1AB C 所以平面；BE ⊥1AB C （2）由（1）知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，AB AC 1AA A xyz -则，，，，，()0,0,0A ()12,0,4B ()0,2,0C ()2,0,0B ()0,2,2D 设，，，，()0,0,E a ()12,0,4AB = ()2,0,BE a =- ()0,2,0AC = 因为，1AB BE⊥ 所以，即，则，440a -=1a =()2,0,1BE =- 由（1）平面的一个法向量为，1AB C ()2,0,1BE =- 又，()12,2,2B D =-- 设直线与平面所成角的大小为，则1B D 1AB C π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，111sin cos ,BE B D BE B D BE B D θ⋅====⋅ 因此，直线与平面1B D 1AB C 21．已知数列{}1221,2,5,43.++===-n n n n a a a a a a (1)令，求证：数列是等比数列；1n n n b a a +=-{}n b (2)若，求数列的前项和．n n c nb ={}n c n n S 【答案】(1)见解析(2)11133244n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据递推公式证明为定值即可；2113n n n n a a a a +++--（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）证明：因为，所以，即，2143n n n a a a ++=-()2113n n n n a a a a +++-=-13n n b b +=又，1213b a a -==所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；{}n b （2）解：由（1）得，11333n n n n a a +--=⋅=，3n n n c nb n =⋅=则，23323333n n S n =+⨯+⨯++⋅ ，23413323333n n S n +=+⨯+⨯++⋅ 两式相减得，()2311131313233333331322n n n n n n S n n n +++-⎛⎫-=++++-⋅=-⋅=-- ⎪-⎝⎭ 所以．11133244n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭22．如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，.1//12AF DE DE AD AD BE AF AD DE AB ⊥⊥====，，，，(1)求证：BF ∥平面CDE ；(2)求二面角的余弦值；B EF D --(3)判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出的值，若不存在，BQBE 说明理由.【答案】(1)详见解析(3)存在点；Q 17BQ BE =【分析】（1）根据线面平行的判断定理，作辅助线，转化为证明线线平行；（2）证得，，两两垂直，从而建立以D 点为原点的空间直角坐标系，求得平面DA DB DE 和平面的一个法向量，根据法向量的夹角求得二面角的余弦值；DEF BEF （3）设，求得平面的法向量为，若平面平面，()[]()0,,20,1BQ BE λλλλ==-∈ CDQ u CDQ ⊥BEF 则，从而解得的值，找到Q 点的位置.0m u =⋅ λ【详解】（1）取的中点，连结，，DE M MF MC 因为，所以，且，12AF DE =AF DM =AF DM =所以四边形是平行四边形，所以，且,ADMF //MF AD MF AD =又因为,且，所以,,//AD BD AD BC =//MF BC MF BC =所以四边形是平行四边形，所以,BCMF //BF CM 因为平面,平面，BF ⊄CDE CM ⊂CDE 所以平面；//BF CDE（2）因为平面平面，平面平面，，ADEF ⊥ABCD ADEF ABCD AD =DE AD ⊥所以平面，平面，则，故，，两两垂直，所以以DE ⊥ABCD DB ⊂ABCD DE DB ⊥DA DB DE ，，所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系，DA DB DE x y z 则，，，，，，()0,0,0D ()1,0,0A ()0,1,0B ()1,1,0C -()0,0,2E ()1,0,1F 所以，，为平面的一个法向量.()0,1,2BE =- ()1,0,1EF =- ()0,1,0n = DEF 设平面的一个法向量为，BEF (),,m x y z =由，，得，0m BE ⋅= 0m EF ⋅= 200y z x z -+=⎧⎨-=⎩令，得.1z =()1,2,1m →=所以.cos ,m n m n m n →→→→→→⋅===如图可得二面角为锐角，B EF D --所以二面角.BEF D --（3）结论：线段上存在点，使得平面平面.BE Q CDQ ⊥BEF 证明如下：设，()[]()0,,20,1BQ BE λλλλ==-∈ 所以.(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=- 设平面的法向量为，又因为，CDQ (),,u a b c =()1,1,0DC =- 所以，，即，0u DQ ⋅= 0u DC ⋅= (1)200b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩若平面平面，则，即，CDQ ⊥BEF 0m u =⋅ 20a b c ++=解得.所以线段上存在点，使得平面平面，[]10,17λ=∈BE Q CDQ ⊥BEF 且此时.17BQ BE =。
2022-2023学年湖北省襄阳市谷城县第一中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年湖北省襄阳市谷城县第一中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线22y x =的准线方程是（ ）A ．18y =-B ．14y =-C ．12y =-D ．1y =-【答案】A【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可的准线的方程.【详解】由22y x =，得212x y =，所以其准线方程是18y =-. 故选: A2．如图，正四棱锥P ABCD -的侧面PAB 为正三角形，E 为PC 中点，则异面直线BE 和PA 所成角的余弦值为（ ）A 3B 3C 2D ．12【答案】A【分析】通过中位线作出异面直线BE 和PA 所成角,解三角形求得其余弦值.【详解】连接,AC BD ，相交于O ，连接,OE OP .由于E 是PC 中点，O 是AC 中点，所以OE 是三角形PAC 的中位线，所以//AP OE ，所以EOB ∠是异面直线BE 和PA 所成角.由于几何体是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以OP OB ⊥,而OB OC ⊥,所以OB ⊥平面PAC ，所以OB OE ⊥.由于三角形PAB 是等边三角形，而四边形ABCD 是正方形.设AB PB a ==，则22123,,22a OE PA OB BE OE OB ====+=.所以3cos OE EOB BE ∠==. 故选：A.【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查正四棱锥的几何性质，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 3．已知数列{}n a 满足: 12a =，111n na a +=-，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =（ ） A ．1007 B ．1008 C ．1009.5 D ．1010【答案】D【分析】根据题设条件，可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且3132122S =+-=，从而求得2017S 的值，得到答案.【详解】由题意，数列{}n a 满足: 12a =，111n na a +=-， 可得234111,121,1(1)2,22a a a =-==-=-=--=，可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且3132122S =+-=所以20173672210102S =⨯+=.故选：D.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列{}n a 是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.4．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||43AB =C 的实轴长为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．8【答案】C【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用||3AB =. 【详解】解：设等轴双曲线C 的方程为22x y λ-=， 抛物线216y x =，216p =，则8p =，∴42p=， ∴抛物线的准线方程为4x =-，设等轴双曲线与抛物线的准线4x =-的两个交点(4,)A y -，(4,)(0)B y y -->， 则|||(|3)24AB y y y =--==， 23∴=y .将4x =-，23y =代入22x y λ-=，得22(4)(23)λ--=，4λ∴=，∴等轴双曲线C 的方程为224x y -=，即22144x y -=，C ∴的实轴长为4.故选：C.5．已知A 、B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点，且A 、B 关于坐标原点对称，F 是椭圆的一个焦点，若ABF ∆面积的最大值恰为2，则椭圆E 的长轴长的最小值为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】本题首先可以根据题意画出椭圆的图像，然后设出A 、B 两点的坐标并写出ABF S ∆的面积公式，再然后根据ABF ∆面积的最大值为2得出2cb ，最后根据基本不等式的相关性质以及222a b c =+即可得出结果．【详解】根据题意可画出图像，如图所示， 因为A 、B 关于坐标原点对称， 所以设()11,A x y 、()11,B x y --，因为(),0F c ，所以()11112ABF S c y y cy ∆=⋅⋅+=，因为ABF ∆面积的最大值为2，[]10,y b ∈， 所以当1y b =时ABF ∆面积取最大值，2cb ，22224a b c bc =+≥=，当且仅当b c ==“=”号成立，此时2a =，24a =，故选D ．【点睛】本题考查椭圆的相关性质，主要考查椭圆的定义以及椭圆焦点的运用，考查基本不等式的使用以及三角形面积的相关性质，考查计算能力与推理能力，体现了综合性，是中档题． 6．两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+，则220715a a b b ++等于（ ）A ．10724B ．724C ．14912D ．1493【答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列前n 项和公式结合等差数列性质计算作答. 【详解】两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+， 所以1212201212112171512121215212107221324212a a a a a a S b b b b b b T +⨯++⨯+=====++++⨯. 故选：A7．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被曲线22420x y x +-+=所截得的弦长为2．则双曲线C 的离心率为 ABCD【答案】B【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出2213b a =，再求双曲线C 的离心率得解.【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，由对称性，不妨取by x a=，即0bx ay -=．又曲线22420x y x +-+=化为()2222x y -+=， 则其圆心的坐标为()2,0由题得，圆心到直线的距离1d =，1d ==．解得2213b a=，所以e == 故选B ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.8．已知抛物线2:4C y x =，点P 为抛物线上任意一点，过点P 向圆22:680D x y x +-+=作切线，切点分别为,A B ，则四边形PADB 的面积的最小值为（ ） A ．3 B ．22 C ．7 D ．5【答案】C【分析】由Rt 2PAD PADB S S PA ==四边形△21PD =-，当PD 最小时求解.【详解】解：如图所示：设00(,)P x y ，2004y x =，连接PD ，圆D 为：()2231x y -+=，则222220000000(3)(3)429(1)8PD x y x x x x x -+-+=-+-+则Rt 2PAD PADB S S PA r PA ==⋅=四边形△2201(1)7PD x =-=-+当点01x =时，PD 的最小值为2 所以()2min min17PADB S PD =-=四边形故选：C二、多选题9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则下列结论正确的是（ ） A ．230a a += B ．25n a n =- C ．()4n S n n =- D ．2d =-【答案】ABC【分析】根据等差数列的性质判断A ，利用等差数列的前n 项和及通项公式列方程组，运算可判断BD ，由前n 项和公式判断D. 【详解】S 4＝()1442a a +＝0，∴a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝0，A 正确； a 5＝a 1＋4d ＝5， (*)，a 1＋a 4＝a 1＋a 1＋3d ＝0， (**)，联立(*)(**)解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴an ＝－3＋(n －1)×2＝2n －5，B 正确，D 错误； 2(1)324(4)2n n n S n n n n n -=-+⨯=-=-，C 正确． 故答案为：ABC10．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为BC 、1CC 、1BB 的中点，则下列选项正确的是（ ）A ．若点M 在平面AEF 内，则必存在实数x ，y 使得MA xME yMF =+B ．直线1A G 与EF 10C ．点1A 到直线EF 34D ．存在实数λ、μ使得1λμ=+AG AF AE 【答案】BCD【分析】根据空间向量共面定理，异面直线夹角和点到直线距离的求解方法，以及线面平行的判定定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：若,,M E F 三点共线，则不存在实数x ，y 使得MA xME yMF =+，故A 错误； 对B ：取11B C 的中点为H ，连接11,,A H GH BC ，如下所示：在三角形1CBC 中，,E F 分别为1,BC CC 的中点，故可得EF //1BC ， 在三角形11B BC 中，,G H 分别为111,BB B C 的中点，故可得GH //1BC ， 则EF //GH ，故直线1,EF A G 所成的角即为1AGH ∠或其补角； 在三角形1A GH 中，2211111415AG A B B G A H =+=+==， 22112HG B H B G =+=，由余弦定理可得：222111110cos 210AG GH A H AGH AG GH +-∠==⨯， 即直线1A G 与EF 所成角的余弦值为1010，故B 正确； 对C ：连接1111,,A F A E AC 如下图所示：在三角形1A EF 中，2211453A E A A AE =++=，221111813A F AC C F =++=，2EF =故点1A 到直线EF 的距离即为三角形1A EF 中EF 边上的高，设其为h ， 则2211922EF h A E ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭34.故C 正确； 对D ：记11B C 的中点为H ，连接1,A H GH ，如下所示：由B 选项所证，GH //EF ，又EF ⊂面,AEF GH ⊄面AEF ，故GH //面AEF ； 易知1A H //AE ，又AE ⊂面1,AEF A H ⊄面AEF ，故1A H //面AEF ， 又1,GH A H ⊂面11,A HG GH A H H ⋂=，故平面1A HG //面AEF ， 又1AG ⊂面1A GH ，故可得1A G //面AEF ， 故存在实数λ、μ使得1λμ=+AG AF AE ，D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中四点共面、线面平行、线线角，以及点到直线距离的求解，处理问题的关键是准确把握本题中向量的表达形式，属综合基础题.11．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知140S >，150S <，则下列选项正确的有（ ） A ．10a >，0d <B ．780a a +>C ．6S 与7S 均为n S 的最大值D ．80a <【答案】ABD【分析】根据140S >，150S <，利用等差数列前n 项和公式得到780a a +>，80a <，再逐项判断. 【详解】因为140S >，150S <， 所以114141147814()7()7()02a a S a a a a ⨯+==+=+>， 即780a a +>， 因为11515815()1502a a S a ⨯+==<， 所以80a <， 所以70a >，所以等差数列{}n a 的前7项为正数，从第8项开始为负数，则10a >，0d <，7S 为n S 的最大值． 故选：ABD ．12．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为12,A A ，下列命题正确的是（ ）A ．双曲线C 上存在点P ，使得122PF PF a +=B ．双曲线2222:1y x C b a-=的焦点在以12F F 为直径的圆上C ．双曲线C 上有且仅有4个点P ，使得12PF F △是直角三角形D ．若P 在双曲线上，1222PA PA b k k a= 【答案】BD【分析】A.根据双曲线的定义即可判断；B,求出两个曲线的焦点，以及圆的方程，即可判断；C.确定圆222x y c +=与双曲线的交点的个数，以及分别过点12,F F ，且垂直于x 轴的直线与双曲线的交点个数，即可判断；D.利用斜率公式以及双曲线方程，即可判断选项.【详解】A.根据双曲线的定义可知，122PF PF a -=，不妨设122PF PF a -=，与 122PF PF a +=联立，解出12PF a =，20PF =，所以不存在点P ，使得122PF PF a +=，故A 错误；B. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，()1,0F c -，()1,0F c ，以122F F c =为直径的圆222x y c +=，双曲线2222:1y x C b a-=的焦点()0,c ±，很显然，()0,c ±在圆222x y c +=上，故B 正确；C.以122F F c =为直径的圆222x y c +=与双曲线有4个交点，过点1F 且垂直于x 的直线与双曲线有2个交点，过点2F 且垂直于x 的直线与双曲线也有2个交点，所以双曲线C 上有且仅有8个点P ，使得12PF F △是直角三角形，故C 错误；D.设()00,P x y ，其中0x a ≠±，()1,0A a -，()2,0A a ，100PA y k x a =+，200PA y k x a=-， 所以12220222022222001PA PA x b a y b k k x a x a a⎛⎫- ⎪⎝⎭===--，故D 正确.故选：BD.三、填空题13．已知双曲线的焦距为6，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的标准方程为______. 【答案】22154x y -=或22154y x -=【分析】根据双曲线的性质和点到直线距离公式即可求解.【详解】若双曲线的焦点在x 轴上，设方程为22221x ya b-=，双曲线的焦距为6，所以3c =，焦点(,0)c 到渐近线0bx ay ±=的距离为2，2bcb c===，所以a 22154x y -=.若双曲线的焦点在y 轴上，设方程为22221y xab-=，双曲线的焦距为6，所以3c =，焦点(0,)c 到渐近线0ax by ±=的距离为2，2bcb c===，所以a 22154y x -=.14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，3080S =，则20S =______. 【答案】1103【分析】待定系数法求出111,46a d ==后，可计算出答案.【详解】设等差数列()11n a a n d +-=， 则101104510S a d =+=，3013043580S a d =+=， 解得111,46a d ==，201110201903S a d =+=， 故答案为：1103. 15．已知直线220kx y -+=与椭圆221(0)9x y m m+=>恒有公共点，则实数m 的取值范围为___________.【答案】[)()4,99,∞⋃+【分析】首先求出直线过定点坐标，依题意定点在椭圆上或椭圆内，即可求出参数的取值范围，再由椭圆方程得到9m ≠，即可得解.【详解】解：直线220kx y -+=，令2020x y =⎧⎨-+=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，所以直线220kx y -+=恒过定点()0,2P ，∴直线220kx y -+=与椭圆221(0)9x y m m+=>恒有公共点， 即点()0,2P 在椭圆内或椭圆上，0419m∴+≤，即4m ≥， 又9m ≠，否则2219x y m+=是圆而非椭圆， 49m ∴≤<或9m >，即实数m 的取值范围是[)()4,99,∞⋃+.故答案为：[)()4,99,∞⋃+16．直线l 交椭圆22:14x C y +=于A ，B 两点，线段AB 的中点为()1,M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，则直线m 经过的定点坐标是______. 【答案】3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】利用点差法得到14AB OM k k ⋅=-，求出直线AB 的斜率，根据垂直关系求出直线m 的斜率，并用点斜式求得方程，进而分析出定点坐标.【详解】解：设1122(,),(,)A x y B x y ， 则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2222121204-+-=x x y y 整理得12121212+1+4y y y y x x x x -⋅=--，即14AB OM k k ⋅=-， 已知()1,M t ，则OM k t =，所以14AB k t=-， 因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，所以1144AB m m m k k k k t t⋅=-⋅=-⇒=， 直线m 的方程为：()41y t t x -=-，整理得344y t x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题17．已知圆C ：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P （4，－1），过点P 作直线l .(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为135°时，求直线l 被圆C 所截得的弦长．【答案】(1)x ＝4或3x ＋4y-8＝0.(2)【分析】（1）对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求得直线方程；（2）由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长.【详解】（1）由题意知，圆C 的圆心为（2，3），半径r ＝2当斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝4，此时圆C 与直线l 相切；当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k （x －4），即kx －y －4k －1＝0，则圆心到直线的距离为d r =2=，解得34k =-， 所以此时直线l 的方程为3x ＋4y-8＝0.综上，直线l 的方程为x ＝4或3x ＋4y-8＝0.（2）当直线l 的倾斜角为135°时，直线l 的方程为x ＋y-3＝0，圆心到直线l 的距离d ==故所求弦长为：=18．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2465a a =，1518a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)是否存在常数k ，使得数列为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)43n a n =-(2)存在，理由见解析【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，且0d >，根据2465a a =，1518a a +=解得1,a d 可得答案；（2）由（1）求出n S ，假设存在常数k使得数列为等差数列，则由数列的前3项成等差数列求出k，再验证数列为等差数列即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，且0d >，由2465a a =，1518a a +=得()()24111513652418a a a d a d a a a d ⎧=++=⎨+=+=⎩，解得114a d =⎧⎨=⎩， 所以()14143n a n n =+-=-；（2）由（1）()143212+-==-n n n n n S ， 假设存在常数k，使得数列为等差数列，所以=1k =，，当2n ≥)1-n所以数列为等差数列， 故存在常数1k =，使得数列为等差数列. 19．已知双曲线C ：2222x y -=与点()1,2P ．（1）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，证明：A 、B 、C 、D 四点共圆．【答案】（1）存在；（2）证明见解析.【分析】（1）利用点差法求解；（2）利用点差法和弦长公式求出相关线段的长度，再利用距离公式证明线段相等，可求证得四点共圆.【详解】解：（1）双曲线的标准方程为2212y x -=，21a ∴=，22b =． 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，设()11,A x y ，()22,B x y ，221112-=y x ，222212-=y x两式相减得2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=-+，即2221AB b k a⋅=得：22k ⋅=，1k ∴=． ∴存在这样的弦．这时直线l 的方程为1y x =+．（2）设CD 直线方程为0x y m ++=，则点()1,2P 在直线CD 上．则3m =-，直线CD 的方程为30x y +-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，CD 的中点为()00,Q x y ，223312y x -=，224412y x -= 两式相减得2020CD y b k x a⋅=，则0012y x -⋅=，则002y x =- 又因为()00,Q x y 在直线CD 上有0030x y +-=，解得()3,6Q -，221022x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得()1,0A -，()3,4B ， 223022x y x y +-=⎧⎨-=⎩，整理得26110x x +-=，则3434611x x x x +=-⎧⎨⋅=-⎩则34CD x -=由距离公式得QA QB QC QD ====所以A 、B 、C 、D 四点共圆．20．n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知20,24 3.n n n n a a a S >+=+(1)求{}n a 的通项公式：(2)设112n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和 【答案】(1)n a =21n (2)1181122n -+【分析】（1）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{}n a 的递推公式，再由等差数列的定义写出数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）数列{}n b 的通项公式，再由裂项相消求和法求其前n 项和．【详解】（1）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，221122n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以12n n a a --=，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n ；（2）由（1）知，n b =1111()2(21)(23)42123n n n n =-++++， 所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111435572123n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1182121n =-+． 21．平面上两个等腰直角PAC △和ABC ，AC 既是PAC △的斜边又是ABC 的直角边，沿AC 边折叠使得平面PAC ⊥平面ABC ，M 为斜边AB 的中点.(1)求证：AC PM ⊥.(2)求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.(3)在线段PB 上是否存在点N ，使得平面CNM ⊥平面PAB ？若存在，求出PN PB的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)63； (3)存在，13PN PB =. 【分析】（1）取AC 中点D ，连接,MD PD ，可由线面垂直证明线线垂直得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角；（3）求出平面CNM 的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为0求解即可.【详解】（1）取AC 中点D ，连接,MD PD ，如图，又M 为AB 的中点，//MD BC ∴，由AC BC ⊥，则MD AC ⊥，又PAC △为等腰直角三角形，PA PC ⊥，PA PC =,PD AC ∴⊥，又MD PD D ⋂=，,MD PD ⊂平面PMD ，AC ∴⊥平面PMD ，又PM ⊂平面PMD ，.M AC P ∴⊥（2）由（1）知，PD AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，AC 是交线，PD ⊂平面PAC ， 所以PD ⊥平面ABC ，即,,PD AC DM 两两互相垂直，故以D 为原点，,,DA DM DP 为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图，设2AC =，则(1,0,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,0,1)P A B C --，(1,0,1)CP ∴=，(1,0,1)AP =-，(1,2,1)BP =-，设(,,)n x y z =为平面PAB 的一个法向量，则020AP n x z BP n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，即(1,1,1)n =， 设PC 与平面PAB 所成角为θ， 26sin cos ,23CP nCP n CP n θ⋅∴====⨯ 即PC 与平面PAB 6. （3）若存在N 使得平面CNM ⊥平面PAB ，且PN PB λ=，01λ≤≤， 则(1,2,1)PN PB λλ→→==--，解得 (,2,1)N λλλ--，又(0,1,0)M ，则(1,2,1)CN λλλ=--，(1,1,0)CM =，设(,,)m a b c =是平面CNM 的一个法向量，则(1)2(1)00CN m a b c CM m a b λλλ⎧⋅=-++-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令b =l ，则13(1,1,)1m λλ-=--， 131101m n λλ-∴⋅=-++=-，解得13λ=，故存在N 使得平面CNM ⊥平面PAB ，此时13PN PB =. 22．在直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)A -，(2,2)B ，直线AD ，BD 交于D ，且它们的斜率满足：2AD BD k k -=-．(1)求点D 的轨迹C 的方程；(2)设过点(0,2)的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，直线OP 与OQ 分别交直线1y =- 于点M ，N ，是否存在常数λ，使O N OPQ M S S λ=，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)22x y =()2x ≠±；(2)存在，λ的值为4.【分析】(1)设出点D 的坐标，根据给定条件列式、化简整理即可作答.(2)设出直线l 的方程，与轨迹C 的方程联立，借助韦达定理计算三角形面积即可判断作答.【详解】（1）设(,)D x y ，而点(2,2)A -，(2,2)B ，则22AD y k x -=+，22BD y k x -=-， 又2AD BD k k -=-，于是得22222y y x x ---=-+-，化简整理得：22x y =()2x ≠±， 所以点D 的轨迹C 的方程是：22x y =()2x ≠±.（2）存在常数4λ=，使O N OPQ M SS λ=，如图，依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：2y kx =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由222y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 得：2240x kx --=，则122x x k +=，124x x =-， ()222121212||44164x x x x x x k k -=+-+=+则1212||2OPQ Sx x =⨯⨯-= 直线OP ：11y y x x =，取1y =-，得点M 横坐标11M x x y =-，同理得点N 的横坐标22N x x y =-， 则2121122112211212|(2)(2)||||||(2)(2)|||M N x x x y x y x kx x kx x x y y y y kx kx -+-+-=-==++2121212|2()||2()4|x x k x x k x x -==⋅+++因此有11||2OMN M N S x x =⨯⨯-= 于是得4OPQ OMN S S =△△，所以存在常数4λ=，使O N OPQ M SS λ=.。
2024届山东省青岛市二中高二上学期12月月考试题数学及答案
青岛二中2023-2024学年第一学期12月份阶段练习高二试题（数学）时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线1l ：210x my ++=与直线2l：2102m x y -+=垂直，则实数m 的值为（ ）A. 0B. 12-或0 C. 0或12D.122. 与椭圆C ：221156x y +=共焦点且过点(P 的双曲线的标准方程为（ ）A. 221167x y -=B. 22163x y -=C. 22136x y -= D. 221916x y -=3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，且2a ，3a ，42a -成等差数列，则5S =（ ）A. 7B. 12C. 15D. 314. 求圆心在直线210x y +-=上，且与直线20x y ++=相切于点(0,2)-的圆的方程是（ ）A. ()()22112x y -++= B. ()2212x y +-=C. ()()22114x y -++= D. ()2214x y +-=5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34132160a a a ++=，则1165S a -=（ ）A. 240B. 180C. 120D. 606. 若数列{}n a 满足()()()1112n n n a n a n --=+≥，12a =，则满足不等式930n a <的最大正整数n 为（ ）A. 28B. 29C. 30D. 317. 细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂．“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“．团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善．花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为120︒，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为O ，若其中一片花瓣所在圆圆心记为C ，两个花瓣端点记为A 、B ，切点记为D ，则不正确的是（ ）A. ,,O C D 在同一直线上B. 12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上C. 30AOB ∠=︒D. 弧形所在圆的半径BC 变化时，存在OC BC=8. 双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过2F 且与双曲线C 左支交于点P ，原点O 到直线l 的距离为a ，且122F PO S a =△，则双曲线C 的离心率为（ ）AB.C. 2D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知首项为正数等比数列{}n a 的公比为q ，曲线:n C 2211++=n n x y a a ，则下列叙述正确的有（ ）A. 若n C 为圆，则1q =B. 若1q =-，则n C 离心率为2C. 01,n q C <<D. 0,n q C <是双曲线且其渐近线方程为y =10. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足101a <<，202320242a a +<，()()20232024110a a --<，则（）A. 01q << B. 202320251a a >C. 对任意的正整数n ，有4047n T T ≥ D. 使得1n T >的最小正整数n 为404711. 欧拉函数()()*n n ϕ∈N的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数（公约数只有1.的的两个正整数称为互质整数），例如：()32ϕ=，()42ϕ=，则（ ）A. ()()()4610ϕϕϕ⋅= B. 当n 奇数时，()1n n ϕ=-C. 数列(){}2nϕ为等比数列D. 数列()()23nn ϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和小于3212. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，若点M 在l 上运动，则（ ）A. 当AM AF =时，AM l⊥B. 当AM AF MF ==时，2AF BF =C. 当M A M B ⊥时，,,A M B 三点的纵坐标成等差数列D 当M A M B ⊥时，2AM BM AF BF⋅⋅≥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 在数列{}n a 中，若12a =，11n n a a n +=++，则{}n a 的通项公式为______．14. 已知圆C ：()()221225x y ++-=，直线()():311420l m x m y m +++--=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，最短弦长AB =______________.15. 英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M 的频率为m ，音分值为k ，音N 的频率为n ，音分值为l .若m =，则k l -=_________16. 已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过点1F 且斜率存在的直线l 与双曲线C 的渐近线相交于,A B 两点，且点A 、B 在x 轴的上方，A 、B 两个点到x 轴的距离之和为85c，若22AF BF =，则双曲线的渐近线方程是_____________________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 顶点()3,3A ，边AC 上的高BH 所在直线方程为60x y -+=，边AB 上的中线CM 所在的直线方程为53140x y --=.为.（1）求直线AC 的方程：（2）求ABC 的面积.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，490S =-，1015a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值，并指出n 取何时n S 取得最小值.19. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，1323n n S n +=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）()()*2N 2n n n a c n -=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .20. 已知抛物线()2:20C y px p =>上的一点()2,M a 到抛物线的焦点F 的距离是3.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 直线与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与C 的准线l 交于点D ，且线段AB 的中点为NAB λ，求实数λ的取值范围.21. 已知数列{}n a 中，15a =，且122n n a a +=+.（1）求证：数列{}2n a -是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设()223m b m λ=-+，12433n n n a c n λ--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中0λ>，若对任意*,m n ∈N ，总有73m n b c ->成立，求λ的取值范围.22. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点()0,2K ，左焦点()12,0F -，右焦点()22,0F ，左、右顶点分别为1A 、2A .的（1）求椭圆方程；（2）已知点P 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是22A F P △面积的(2倍，求直线2A P 的方程；（3）如图过椭圆的上顶点K 作动圆1F 的切线分别交椭圆于M 、N 两点，是否存在圆1F 使得KMN △为直角三角形?若存在，求出圆1F 的半径r ；若不存在，请说明理由.青岛二中2023-2024学年第一学期12月份阶段练习高二试题（数学）时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线1l ：210x my ++=与直线2l：2102m x y -+=垂直，则实数m 的值为（ ）A. 0B. 12-或0 C. 0或12D.12【答案】C 【解析】【分析】根据直线垂直列方程，从而求得m 的值.【详解】由于12l l ⊥，所以()()22212210m m m m m m ⨯+⨯-=-=-=，解得0m =或12m =.故选：C2. 与椭圆C ：221156x y +=共焦点且过点(P 的双曲线的标准方程为（ ）A. 221167x y -=B. 22163x y -=C. 22136x y -= D. 221916x y -=【答案】C 【解析】【分析】首先设出双曲线方程，求出c 的值即焦点坐标，然后根据双曲线的定义、平方关系求出,a b 的值即可求解.【详解】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为22221x y a b-=，则3c ==，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为()()12,,,0330F F -，由双曲线的定义可知12226a c F F==<==，所以3,a c b ====，所以所求双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：C.3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，且2a ，3a ，42a -成等差数列，则5S =（ ）A. 7 B. 12C. 15D. 31【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列，等差中项等知识求得等比数列{}n a 的首项和公比，从而求得5S .【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，依题意2324222a a a a =⎧⎨=+-⎩，则123111222a q a q a q a q =⎧⎨=+-⎩，()()211122a q q a q a q q ⋅=+⋅-，224222,240q q q q ⋅=+⋅--=，解得2q =，则11a =，所以()551123112S ⨯-==-.故选：D4. 求圆心在直线210x y +-=上，且与直线20x y ++=相切于点(0,2)-的圆的方程是（ ）A. ()()22112x y -++= B. ()2212x y +-=C. ()()22114x y -++= D. ()2214x y +-=【答案】A 【解析】【分析】首先由题意可知圆心也在直线20x y --=上，联立即可得圆心坐标，进而得半径，从而即可得解.【详解】由题意圆心也在过点(0,2)-且与直线20x y ++=垂直的直线上，而该直线方程为()()020x y ----=⎡⎤⎣⎦，即20x y --=，联立20210x yx y--=⎧⎨+-=⎩，解得1,1x y==-，即圆心坐标为()1,1-，半径为点(0,2)-与圆心()1,1-的距离=，故所求圆的方程为()()22112x y-++=.故选：A.5. 已知等差数列{}n a的前n项和为n S，34132160a a a++=，则1165S a-=（）A. 240B. 180C. 120D. 60【答案】A【解析】【分析】根据等差数列通项公式以及前n项和公式的基本量计算来求得正确答案.【详解】设等差数列{}n a的公差为d，311143422160,540a a a da d a++=+==+，()()1161111511555563065640240S a a d a d a d a d-=+-+=+=+=⨯=.故选：A6. 若数列{}n a满足()()()1112n nn a n a n--=+≥，12a=，则满足不等式930na<的最大正整数n为（）A. 28B. 29C. 30D. 31【答案】B【解析】【分析】利用累乘法求得n a，由此解不等式930na<,求得正确答案.【详解】依题意，数列{}n a满足()()()1112n nn a n a n--=+≥，12a=，()1121nna nna n-+=≥-，所以3211213451212321nnna aa n na aa a a n n-+=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯--()1n n=+，1a也符合，所以()1na n n=+，{}n a是单调递增数列，由()()()930,301310na nn n n<+-=<+，解得3130n-<<，所以n的最大值为29.故选：B7. 细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂．“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“．团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善．花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为120︒，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为O ，若其中一片花瓣所在圆圆心记为C ，两个花瓣端点记为A 、B ，切点记为D ，则不正确的是（ ）A. ,,O C D 在同一直线上B. 12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上C. 30AOB ∠=︒D. 弧形所在圆的半径BC 变化时，存在OC BC=【答案】D 【解析】【分析】根据两个圆的位置关系逐个判断即可.【详解】已知外圈两个圆的圆心都为O ，令最外面圆半径为R ，花瓣所在圆半径为r ，对于A ：因为大圆与小圆内切且切点为D ，所以切点与两个圆心共线，即,,O C D 在同一条直线上，A 正确；对于B ：由两圆内切可知OC R r =-为定值，所以12个弧形的圆心在同一圆上，B 正确；对于C ：因为12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，所以3603012AOB ︒∠==︒，C 正确；对于D ：由CA CB OC OC OA OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩得OAC OAB ≅△△，所以130152COB ∠=⨯︒=︒，又120ACB ∠=︒，所以()13601201202OCB ∠=︒-︒=︒，所以45OBC COB ∠=︒≠∠，所以OC BC ≠恒成立，D 错误，故选：D8. 双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过2F 且与双曲线C左支交于点P ，原点O 到直线l 的距离为a ，且122F PO S a =△，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.C. 2D.【答案】D 【解析】【分析】由题意首先根据对称性得出2122F PO F PO S S a ==△△，又OA a =，所以可依次求得12,PF PF ，又2OF c =，再由平方关系可得2AF b =，又122FF c =，所以结合直角三角形中锐角三角函数的定义以及余弦定理可得方程()()()222422242a c a b a cc+-=⨯⨯，结合平方关系离心率公式运算即可求解.【详解】如图所示：2OA PF ⊥，垂足为点A ，由题意OA a =，又2OF c =，所以2AF b ==，21cos b PF F c∠=，又因为原点O 是12F F 的中点，所以212221222F PO F PO aPF OA PF S S a ⋅====△△，解得2124,2422PF a PF PF a a a a ==-=-=，又122FF c =，所以由余弦定理()()()22221422cos 242a c a b PF F a cc+-∠==⨯⨯，整理得2234a c ab +=，又222c a b =+，所以22440a b ab +-=，即2440b b a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得2b a =，从而所求离心率为e ==故选：D【点睛】关键点睛：本题的关键是画出图形，通过数学结合、双曲线的定义以及解三角形知识即可顺利求解，综合性比较强.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知首项为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，曲线:n C 2211++=n n x y a a ，则下列叙述正确的有（ ）A. 若n C 为圆，则1q =B. 若1q =-，则n C 离心率为2C. 01,n q C <<D. 0,n q C <是双曲线且其渐近线方程为y =【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，若n C 为圆，则11n n a a a +==，求出q 得出结果；对于B ，n C 为等轴双曲线，求其离心率即可；对于C ，当01q <<时，曲线n C 是焦点在x 轴上的椭圆，求其离心率即可；对于D ，故曲线n C 为双曲线，求其渐近线方程.【详解】对于A ，首项为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，曲线221:1n n n x y C a a ++=，若n C 为圆，则11n n a a a +==，所以221:0n C x y a +=>，所以1q =，即曲线n C 为圆心为()0,0A 正确；对于B ，当1q =-时，11(1)n n a a -=-，所以n a 与1n a +互为相反数且不为0，故221:1n n n x y C a a ++=为等轴双曲线，故曲线n C，故B 错误；对于C ，01q <<，数列为递减数列，10n n a a +<<，所以曲线221:1n n n x y C a a ++=焦点在x 轴上的椭圆，.=，故C 正确；对于D ，当0q <时，n a 与1n a +异号，故曲线221:1n n n x y C a a ++=为双曲线，其渐近线为2210n n x y a a ++=，即=y ，故D 错误.故选：AC .10. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足101a <<，202320242a a +<，()()20232024110a a --<，则（）A. 01q << B. 202320251a a >C. 对任意的正整数n ，有4047n T T ≥ D. 使得1n T >的最小正整数n 为4047【答案】BD 【解析】【分析】根据等比数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，10,0,01n a q a >><<，由于()()20232024110a a --<，所以20232024011a a <<⎧⎨>⎩或20242023011a a <<⎧⎨>⎩.若20242023011a a <<⎧⎨>⎩，则01q <<，则202212023011a qa <<⇒<矛盾，所以20232024011a a <<⎧⎨>⎩，则1q >，所以A 选项错误.()20232025220241a a a =>，B 选项正确.由于20232024011a a <<⎧⎨>⎩，所以n T 的最小值为2023T ，即2023n T T ≥，所以C 选项错误.()()()()40474047140472404620232025202420241T a a a a a a a a =⨯⋅⨯⋅⋅⨯⋅=> ，由于202320242a a +<，所以202320242a a +>>，所以202320241a a <⋅，所以()()20232023404614046202320241T a a a a =⨯=⨯<，由于1q >，且20232024011a a <<⎧⎨>⎩，所以当4046n ≤时，40461n T T ≤<，综上所述，使得1n T >的最小正整数n 为4047，所以D 选项正确.故选：BD11. 欧拉函数()()*n n ϕ∈N的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：()32ϕ=，()42ϕ=，则（ ）A. ()()()4610ϕϕϕ⋅= B. 当n 为奇数时，()1n n ϕ=-C. 数列(){}2nϕ为等比数列D. 数列()()23nnϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和小于32【答案】ACD 【解析】【分析】根据“欧拉函数()()*n n ϕ∈N ”的定义对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】n不超过正整数n ，且与n 互质的正整数()n ϕ21131,2241,3251,2,3,4461,5271,2,3,4,5,6681,3,5,7491,2,4,5,7,86101,3,7,94161,3,5,7,9,11,13,158271,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,2618A 选项，()()()4622410ϕϕϕ⋅=⨯==，A 选项正确.B 选项，()9691ϕ=≠-，B 选项错误.C 选项，由列表分析可知，对于2n ，“不超过正整数2n ，且与2n 互质的正整数”为：不超过2n的奇数，则()12222n nn ϕ-==，则()112222n n n ϕ++==，()()1222n nϕϕ+=，所以(){}2nϕ 是等比数列，所以C 选项正确.D 选项，有列表分析可知，对于3n ，“不超过正整数2n ，且与2n 互质的正整数”为：从1到3n中，除掉3的倍数，则()1333233nn nn ϕ-=-=⨯，则()()111221223233n n n n n ϕϕ---⎛⎫==⨯ ⎪⨯⎝⎭，12312231223nn -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⨯⎪⎭= ⎝，所以()()23n n ϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是等比数列，前n 项和为112123332323222323213nn n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⨯=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以D 选项正确.故选：ACD12. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，若点M 在l 上运动，则（ ）A. 当AM AF =时，AM l⊥B. 当AM AF MF ==时，2AF BF =C. 当M A M B ⊥时，,,A M B 三点的纵坐标成等差数列D. 当M A M B ⊥时，2AM BM AF BF⋅⋅≥【答案】ACD 【解析】【分析】由抛物线的定义可判断A 项，联立直线AB 方程与抛物线方程求得1y 、2y ，进而可求得12AF y BFy =可判断B 项，由直角三角形性质及抛物线的定义可判断C 项，设出点M 坐标，计算可得1MF AB k k ⨯=-，可得MF AB ⊥，运用等面积法、直角三角形性质及基本不等式可判断D 项.【详解】对于选项A ：如图所示，由抛物线定义可知，若AM AF =，则AM l ⊥，故选项A 正确；对于选项B ：如图所示，当AM AF MF ==时，AMF 为正三角形，所以直线AB 的倾斜角为π3，设直线AB的方程为()()1122,,,,2p y x A x y B x y ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得220y y p --=，12,y y ==，所以123AF yBF y ==，故选项B 错误；对于选项C ：过点,A B 作直线垂直于l ，垂足分别为,A B ''，作AB 的中点N ，如图所示，由选项B 可知12,,,22p p A y B y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭'，又因为M A M B ⊥，所以12MN AB =，由抛物线定义可知AB AF BF AA BB '=++'=，所以()12MN AA BB =+''，所以M 为A B ''的中点，所以,,A M B 三点的纵坐标成等差数列，故选项C 正确；对于选项D ：如图所示，设0,2p M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线MF 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，则00122y yk p p p ==---，由B 项可知1212222121212222y y y y pk y y x x y y p p--===-+-，由选项C 可知1202y y y +=，所以21202p pk y y y ==+，所以01201y pk k p y =-⋅=-，所以MF AB ⊥，又因M A M B ⊥，所以AM BM MF AB ⋅=⋅，且2||MF AF BF =⋅，由基本不等式可得()2AM BM MF AB AF BF AF BF ⋅=⋅=+⋅⋅，当且仅当||||AF BF =时等号成立.故选项D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 在数列{}n a 中，若12a =，11n n a a n +=++，则{}n a 的通项公式为______．【答案】222n n n a ++=【解析】【分析】将11n n a a n +=++变为11n n a a n +-=+，利用累加法即可求得答案.【详解】由题意可知数列{}n a 中，12a =，11n n a a n +=++，故11n n a a n +-=+，所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 2(1)(222)22322n n n n n -+=++=+=++++ ，为故答案为：222n n n a ++=14. 已知圆C ：()()221225x y ++-=，直线()():311420l m x m y m +++--=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，最短弦长AB =______________.【答案】【解析】【分析】先求得直线l 所过定点，然后根据圆的几何性质求得最短弦长.【详解】直线()():311420l m x m y m +++--=，即()3420x y m x y +-++-=，由34020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得1x y ==，设()1,1D ，由于()()221112525++-=<，所以D 在圆C 内，圆()()22:1225C x y ++-=的圆心为()1,2C -，半径=5r ，当CD AB ⊥时，AB 最短，CD ==，所以AB 的最小值为=.故答案为：15. 英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若m=，则k l-=_________【答案】400【解析】【分析】根据等比数列的通项即可由指数运算求解.【详解】由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列，设第一个音频率为1a，所以(11nna a-=，故((1111,k lm a n a--==，因为m=，所以(31120022kk llmn--====，所以112003k l -=，解得400k l -=.故答案为：400.16. 已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过点1F 且斜率存在的直线l 与双曲线C 的渐近线相交于,A B 两点，且点A 、B 在x 轴的上方，A 、B 两个点到x 轴的距离之和为85c，若22AF BF =，则双曲线的渐近线方程是_____________________.【答案】y x =【解析】【分析】设()0,Mx y 是AB 的中点，先求得M 点的坐标，然后利用点差法求得b a，进而求得正确答案.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，依题意120,0y y >>，设AB 的中点为()000,,0M x y y >，由于22AF BF =，所以2⊥MF AB ，所以1212OM F F c ==，22OM c =，由于12y y +=，所以120425y y c y +==，所以035c x ==，所以34,55c c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或34,55c c M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于()()1122,,,A x y B x y 在双曲线的渐近线上，所以22112222222200x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减并化简得22012122121201AB OM MFy y y y y b k k a x x x x x k ⎛⎫+-=⋅=⋅=⋅- ⎪ ⎪+-⎝⎭，()2,0F c ，若34,55c c M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则224184330535b c a cc ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=-⋅-=- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭不符合题意，舍去.若34,55c c M ⎛⎫⎪⎝⎭，则224124330535b c a cc ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⋅-= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，所以b a =，所以渐近线方程为y x =.故答案为：y x =±【点睛】本题解题的关键点有两个，一个是22AF BF =，则2F 在线段AB 的垂直平分线上，由此可以构建中点和斜率的关系式；另一个关键点是点差法，利用点差法可以减少运算量，可以快速求得问题的答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 顶点()3,3A ，边AC 上的高BH 所在直线方程为60x y -+=，边AB 上的中线CM 所在的直线方程为53140x y --=.（1）求直线AC 方程：（2）求ABC 的面积.【答案】（1）60x y +-= （2）20【解析】【分析】（1）利用点斜式求得直线AC 的方程.（2）先求得,C B 两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形ABC 的面积.【小问1详解】边AC 上的高BH 所在直线方程为60x y -+=，的直线60x y -+=的斜率为1，所以直线AC 的斜率为1-，所以直线AC 的方程为()33,60y x x y -=--+-=.【小问2详解】边AB 上中线CM 所在的直线方程为53140x y --=，由6053140x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得42x y =⎧⎨=⎩，即()4,2C .设(),B a b ，则33,22a b M ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以60335314022a b a b -+=⎧⎪⎨++⨯-⨯-=⎪⎩，解得2026a b =⎧⎨=⎩，即()20,26B.AC ==B 到60x y +-==，所以三角形ABC的面积为1202=.的18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，490S =-，1015a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值，并指出n 取何时n S 取得最小值.【答案】（1）535n a n =-（2）n S 的最小值为105-，对应6n =或7【解析】【分析】（1）根据已知条件求得等差数列{}n a 的首项和公差，从而求得n a .（2）利用0n a ≤，求得n S 取得最小值时对应n 的值，进而求得n S 的最小值.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意，4109015S a =-⎧⎨=⎩，114690915a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得130,5a d =-=，所以()3015535n a n n =-+-⨯=-.【小问2详解】由5350n a n =-≤，解得*17,≤≤∈n n N ，所以当6n =或7n =时n S 取得最小值，且n S 的最小值为6161518075105S a d =+=-+=-.19. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，1323n n S n +=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）()()*2N 2n n n a c n -=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）()*22N ,3nn a n ⋅∈=+（2）()*6333,44N n n n T n =+∈-⋅【解析】【分析】（1）由题意直接由11a S =以及*2,N n n ≥∈时，1n n n a S S -=-即可求解.（2）发现数列{}n c 是“差比数列之积”的形式，所以直接选择用错位相减法、等边数列求和公式法运算即可求解.【小问1详解】由题意111132138a S +==+⨯-=，当*2,N n n ≥∈时，()()11323322523n n n n n n a S S n n +-=+-+-=-=⋅+-，当1n =时，也有118322a ⨯=+=成立，综上所述，数列{}n a 的通项公式为()*22N,3nn a n ⋅∈=+.【小问2详解】由（1）可知()*22N,3nn a n ⋅∈=+，所以由题意()()*23N 2n n nn a cn n -==⋅∈，所以1213233nn T n =⨯+⨯++⨯ ，231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯ ，两式相减得()121131323333313n n n n n T n n ++⨯--=+++-⋅=-⋅- ，所以数列{}n c 的前n 项和为()*6333,44N n n n T n =+∈-⋅.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>上的一点()2,M a 到抛物线的焦点F 的距离是3.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 的直线与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与C 的准线l 交于点D ，且线段AB 的中点为N ，设DN AB λ=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）24y x = （2）12λ≥【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义求得p ，进而求得抛物线的方程.（2）设出直线AB 的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，求得直线DN 的方程并与准线方程求得D ，根据两点间的距离公式、弦长公式、对钩函数等知识来求得实数λ的取值范围.【小问1详解】根据抛物线的定义有23,22pMF p =+==，所以抛物线C 的方程为24y x =.【小问2详解】()1,0F ，抛物线准线为=1x -，依题意可知直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为1x my =+，由214x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 并化简得2440y my --=，216160m ∆=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则()2121212124,4,242y y m y y x x m y y m +==-+=++=+，()21212116y y x x ==，所以()221,2N m m +，由于DN 垂直平分AB ，所以直线DN 的方程为()23221,230y m m x m mx y m m -=---+--=，令=1x -得33230,24m y m m y m m -+--==+，则()31,24D m m -+，DN AB λ=，()()()22223222122222m m m DN x x p ABλ+++==++()()()()()()22222322222222222414144161m m m m m m m m ++++++==++()22111114444m m =+=+≥，所以12λ≥.21. 已知数列{}n a 中，15a =，且122n n a a +=+.（1）求证：数列{}2n a -是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设()223m b m λ=-+，12433n n n a c n λ--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中0λ>，若对任意*,m n ∈N ，总有的73m n b c ->成立，求λ的取值范围.【答案】（1）证明详见解析，11232n n a -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭（2）7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用构造法，结合等比数列的定义证得数列{}2n a -是等比数列，先求得2n a -，进而求得n a .（2）利用二次函数的性质求得m b 的最小值，利用商比较法求得n c 的最大值，从而列不等式来求得λ的取值范围.【小问1详解】依题意，15a =，且122n n a a +=+，所以1112n n a a +=+，则()11121222n n n a a a +-=-=-，所以12122n n a a +-=-，所以数列{}2n a -是首项为123a -=，公比为12的等比数列，所以111123,2322n n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=⨯=+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】1111244331323323n n n n n n a c n n n λλλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭⨯= ⎪⎝⎭，依题意，0λ>，且对任意*,m n ∈N ，总有73m n b c ->成立，所以()()min max 73m n b c ->，()()222min ,3m m b m b λλ-+==，当3m =时取得最小值.12344,,33c c c λλλ===，当2n ≥时，()11223223121332n n n n c n n n n c n n n λλ---⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭==⨯=-+-，当2n =时，2143c c =，当3n ≥时，11n n c c -≤，所以()max 43n c λ=，则24733λλ->，解得73λ>或1λ<-（舍去），综上所述，λ的取值范围是7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】本题的关键点在于“转化”，将不等式恒成立问题，转化为()()min max 73m n b c ->来进行求解.要求数列的最大值，可以根据数列的单调性、函数的性质、商比较法等知识来进行求解.根据递推关系式求数列的通项公式，可考虑利用构造法来进行求解.22. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点()0,2K ，左焦点()12,0F -，右焦点()22,0F ，左、右顶点分别为1A 、2A .（1）求椭圆方程；（2）已知点P 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是22A F P △面积的(2倍，求直线2A P 的方程；（3）如图过椭圆的上顶点K 作动圆1F 的切线分别交椭圆于M 、N 两点，是否存在圆1F 使得KMN △为直角三角形?若存在，求出圆1F 的半径r ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22184x y +=（2）0x y +-=（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意求,,a b c ，进而可得方程；（2）由题意结合面积关系分析可知：22=A P PQ ，设()()0,0Q m m >，可得23m P ⎫⎪⎪⎭，代入椭圆方程运算求解即可；（3）分别设切线方程求点,M N 的坐标，进而根据垂直关系整理可得21211⋅-=k k k ，结合直线与圆的位置关系可得121k k ⋅=，解方程分析判断即可.【小问1详解】设椭圆的半焦距为0c >，由题意可得：2c b ==，则a ==，所以椭圆方程为22184x y +=.【小问2详解】由题意可知：1222==-A A F ，可知点12,A F 到直线2A P 的距离之比122221=A A A h F h ，由题意可知：2211122222212212⋅===⋅△A PQ A F Ph PQ S A A PQ S A F A P h A P △，可得22=A P PQ ，设()()0,0Q m m >，且()2A，则23m P ⎫⎪⎪⎭，可得28499184m +=，解得m =(0,Q ，所以直线2A P1+=，即0x y +-=.【小问3详解】由题意可知切线KM KN ,的斜率存在且均不为0，且MKN ∠不是直角，设切线1:2=+KM y k x ，联立方程1222184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22111280k x k x ++=，解得0x =或121812=-+k x k ，当121812=-+k x k 时，2111221182421212⎛⎫-=-+= ⎪++⎝⎭k k y k k k ，即2112211824,1212⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k M k k ，同理可设切线2:2=+KN y k x ，可得2222222824,1212⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k N k k ，则直线MN 的斜率2212221212121222122424121288121212---+++==-⋅-+++MNk k k k k k k k k k k k k ，不妨设MN PM ⊥，则121112112+⋅=⋅=--⋅MN k k k k k k k ，整理得21211⋅-=k k k ，设圆()()2221:20++=>F x y r r ，若过K 的直线20kx y -+=与圆1F2r ，整理得()2224840r k k r -++-=，可知12,k k 即为方程()2224840r k k r -++-=的两根，则121k k ⋅=，可得2111-=k ，即10k =，与题意相矛盾，所以不存在.【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在；（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．。
四川省自贡市2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题含解析
自贡高2025届高二上期12月月考数学试题（答案在最后）卷Ⅰ（选择题共0分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小愿给出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的）．1.直线10x y +-=的倾斜角是（）A.45°B.135°C.120°D.90°【答案】B 【解析】【分析】根据斜率即可求解倾斜角.【详解】由10x y +-=得1y x =-+，故斜率为1-，则倾斜角为135°，故选：B 2.双曲线2248xy -=-的渐近线方程为（）A.2y x =±B.12y x =±C.y =D.2y x =±【答案】B 【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程结论求解即可【详解】双曲线2248x y -=-的渐近线方程为2240x y -=，即12y x =±.故选：B3.已知点()2,1P -关于直线10x y -+=对称，则对称点的坐标为（）A.()0,1- B.()0,2- C.()1,1- D.()2,1-【答案】A 【解析】【分析】先设点的坐标，根据斜率间关系及中点在对称直线上列方程求解计算即得.【详解】设对称点坐标(),Q a b ，由题意知直线QP 与1y x =+垂直，结合1y x =+的斜率为1，得直线QP 的斜率为-1，所以112ba-=---，化简得10a b ++=，①再由QP 的中点在直线1y x =+上，12122b a +-=+，化简得10a b --=，②联立①②，可得0,1a b ==-，所以对称点Q 的坐标为()0,1-.故选：A.4.圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=距离的最小值为（）A.36B.18C. D.【答案】C 【解析】【分析】判断直线与圆的位置关系，则圆上的点到直线的距离的最小值是圆心到直线的距离减去半径为所求．【详解】圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10＝0的圆心为（2，2），半径为，圆心到直线x +y ﹣14＝0=，故圆上的点到直线的最小值是-=，故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离，属于基础题．5.如图空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在OA 上且2OM MA =，点N 为BC 中点，则MN =（）A.121232a b c -+ B.211322a b c-++C.111222a b c ++ D.221332a b c ++ 【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，结合空间向量的基本定理运算求解.【详解】由题意可得：2121()3232MN MO OC CN OA OC CB OA OC OB OC =++=-++=-++-211211.322322OA OB OC a b =-++=-++故选：B.6.已知椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，其右焦点为F （4，0），过点F 的直线交椭圆与A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆的方程为（）A.2214536x y += B.221124x y +=C.221248x y += D.221189x y +=【答案】C 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法求解即可．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆的方程可得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=．两式相减可得：()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=．由12122,2x x y y +=+=-，1212y y x x -=-101143--=-，代入上式可得：222213a b -+⨯＝0，化为223a b =．又4c =，222c a b =-，联立解得2224,8a b ==．∴椭圆的方程为：221248x y +=．故选：C ．7.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列选项正确的是（）A.若,m n αβ⊥⊂，且m n ⊥，则αβ⊥B.若,m n αβ⊂⊂，且//,//m n βα，则//αβC.若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥D.若//,//m n αβ，且//αβ，则//m n 【答案】C 【解析】【分析】在A 中α与β相交或平行；在B 中a 与β相交或平行；在C 中由线面垂直和面面垂直的性质定理得m n ⊥；在D 中m 与n 相交，平面或异面.【详解】由,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，知：在A 中，若,m a n β⊥⊂，且m n ⊥，则α与β相交或平行，故A 错误；在B 中，若,m a n β⊂⊂，且//,//m n a β，则a 与β相交或平行，故B 错误；在C 中，若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥则由线面垂直和面面垂直的性质定理得m n ⊥，故C 正确；在D 中，若//,//m n αβ，且//αβ，则m 与n 相交，平面或异面，故D 错误.故选：C【点睛】本题考查线面垂直和线线垂直及面面垂直的转化关系，考查概念辨析，属于基础题.8.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点为1F ，若椭圆上存在点P ，使得线段1PF 被直线3y x =-垂直平分，则椭圆C 的离心率为（）A.12+ B.2C.1D.12【答案】C 【解析】【分析】根据直角三角形的判定方法、正弦定理，结合椭圆的定义、比例的性质、椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】设右焦点为2F，直线3y x =-交1PF 于A ，连接2,OP PF ，因为线段1PF被直线3y x =-垂直平分，所以12OF OP OF ==，1OA PF ⊥，所以12PF F △是以12F F 为斜边的直角三角形，由直线3y x =-的方程可知该直线的斜率为3-，所以该直线的倾斜角为5π6，即212215πππ636AOF PF F PF F ∠=⇒∠=⇒∠=，在12PF F △中，由正弦定理可知：21121221212121212121sin sin sin sin sin sin F F PF F P PF F P F F F PF PF F F F P PF F F F PF PF +==⇒=∠∠∠∠+∠∠πsin 22221πππππ213sin sin sin sin sin 6326322ac c e a ⇒=⇒=⇒=++，故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正弦定理和比例的性质以及运用直角三角形的判定方法.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不选或错选得0分，少选得2分．）9.圆M ：22430x y x +-+=，则下列说法正确的是（）A.点()3,2在圆内B.圆M 关于直线240x y +-=对称C.圆M 的半径为2D.直线0x +=与圆M 相切【答案】BD 【解析】【分析】将圆的方程化成标准方程，根据点与圆心距离和半径的比较判断点位置，通过判断圆心在直线上得出圆关于直线的对称性，以及圆心到直线距离等于半径判断直线与圆相切.【详解】将圆M ：22430x y x +-+=化成标准方程：22(2)1,x y -+=知圆心坐标为(2,0),M 圆的半径为1.A 项中，由点()3,2到圆心的距离：1d ==>知点()3,2在圆外，A 项错误；B 项中，因圆心(2,0)M 在直线240x y +-=上，而圆是轴对称图形，故圆M 关于直线240x y +-=对称，B 项正确；C 项中，显然错误，C 项错误；D 项中，由圆心(2,0)M 到直线0x +=的距离为：1d ==知直线0x +=与圆M 相切，D 项正确.故选：BD.10.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别在1,A D AC 上，且1121,33A E A D AF AC ==，则正确的选项为（）A.EF 至多与1,A D AC 之一垂直B.1,EF A D EF AC ⊥⊥C.EF 与1BD 相交D.EF 与1BD 平行【答案】BD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系.【详解】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为3，则()()()()()()()()111,0,1,2,1,0,3,0,3,3,0,0,0,3,0,0,0,0,3,3,0,0,0,3E F A A C D B D ；1(1,1,1),(3,3,0),(3,0,3)EF AC A D ∴=-=-=--，10,0EF AC EF A D ⋅=⋅=，1,EF AC EF A D ∴⊥⊥，B 正确，A 错误；由111(3,3,3),3BD EF BD =--=-，故D 正确，C 错误．故选：BD.11.若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（）A.若C 为椭圆，则13t <<，且2t ≠B.若C 为双曲线，则3t >或1t <C.若2t =，则曲线C 表示圆D.若C 为双曲线，则焦距为定值【答案】ABC 【解析】【分析】根据各项描述列不等式组求参数范围、由参数值判断曲线形状，即可得答案.【详解】A ：C 为椭圆，则301031t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，可得13t <<，且2t ≠，正确；B ：C 为双曲线，则(3)(1)0t t --<，可得3t >或1t <，正确；C ：2t =时，方程为221x y +=，即曲线C 表示圆，正确；D ：若C 为双曲线，则242,13124,3t t c t t t t -<⎧=-+-=⎨->⎩，显然焦距不为定值，错误.故选：ABC12.已知曲线:C 22221)(1)6x y x y +++-+=(，点1(1,0)F -，2(1,0)F ，()1,1M -，P 为曲线C 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.12PF F △的周长为6B.12PF F △的面积的最大值为C.存在点P ，使得12PF PF ⊥D.1PM PF +的最大值为7【答案】BD 【解析】【分析】先利用椭圆的定义求得曲线C 的标准方程，再利用椭圆的性质，逐一分析各选项即可得解.【详解】因为曲线:C 6=，1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以121262PF PF F F +=>=，所以曲线C 是椭圆，其中3,1a c ==，则2228b a c =-=，所以曲线C 的标准方程为22:198x y C +=，对于A ，12PF F △的周长为1212628PF PF F F ++=+=，故A 错误；对于B ，当P 为椭圆短轴顶点时，点P 到边12F F 的距离最大，则12PF F △的面积最大，则12PF F △最大面积122S =⨯=B 正确；对于C ，当P 为椭圆短轴顶点时，12F PF ∠最大，此时222222121212123327cos 022339PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===>⨯⨯，即12F PF ∠为锐角，所以不存在点P 使得12PF PF ⊥，故C 错误；对于D ，如图，()21,0F ，()1,1M -，所以21MF ==，所以12226667PM PF PM PF PM PF MF +=+-=+-≤+=，当且仅当P 在2MF 的延长线上时，等号成立，故D 正确．故选：BD.卷Ⅱ（非选择题共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小巫5分，共20分把答案填在题中横线上）．13.已知两条直线20ax y --=和()210a x y +-+=互相垂直，则a 等于________．【答案】1-【解析】【分析】根据两直线垂直的结论求解即可.【详解】由题意得，()()()2110a a ++-⨯-=，解得1a =-.故答案为：1-.14.已知双曲线22221x y a b-=的离心率54e =，实半轴长为4，则双曲线的方程为__________.【答案】221169x y -=【解析】【分析】由离心率求出c ，再由222c a b =+求出b 可得双曲线方程．【详解】由已知可得222544c a a c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,即得3b =,所以双曲线方程为:221169x y -＝.故答案为:221169x y -=.15.若过点()1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆的方程为______．【答案】()()22111x y -+-=或()()225525x y -+-=【解析】【分析】由题意可得所求的圆的方程为()()222x a y a a -+-=，0a >，再把点()1,2代入，求得a 的值，得出答案.【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为(),a a ，0a >，则半径为a .故圆的方程为()()222x a y a a -+-=，再将点()1,2代入，得2650a a -+=，求得5a =或1故要求的圆的方程为()()22111x y -+-=或()()225525x y -+-=．故答案为：()()22111x y -+-=或()()225525x y -+-=．16.如图，在坡面α与水平面β所成二面角为60︒的山坡上，有段直线型道路AB 与坡脚l 成30︒的角，这段路直通山顶A ，已知此山高米，若小李从B 沿着这条路上山，并且行进速度为每分钟30米，那么小李到达山顶A 需要的时间是_____分钟.【答案】18【解析】【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理推得AC ⊥直线l ，从而在Rt AOC 与Rt ABC △中求得AB ，由此求得小李到达山顶所需时间.【详解】过点A 作AO ⊥平面β，垂足为O ，过点O 作OC ⊥直线l ，垂足为C ，连接AC ，如图，.因为AO ⊥平面β，l β⊂，所以l AO ⊥，又l OC ⊥，,,AO OC O AO OC ⋂=⊂面AOC ，所以l ⊥面AOC ，又AC ⊂面AOC ，所以AC ⊥直线l ，由题意可知60ACO ∠=︒，AO =，所以在Rt AOC 中，1353270sin sin 60AO AC ACO ===∠︒，在Rt ABC △，30ABC ∠=︒，所以2540AB AC ==，因为小李行进速度为每分钟30米，所以他到达山顶A 需要的时间是5403018÷=（分钟）.故答案为：18.四、解管题：（本大题共6小题70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17.已知直线210x y --=与直线210x y -+=交于点P（1）求过点P 且平行于直线34150x y +-=的直线1l 的方程；（2）在（1）的条件下，若直线1l 与圆222x y +=交于A B 、两点，求直线与圆截得的弦长||AB 【答案】（1）3470x y +-=（2）25【解析】【分析】（1）先求出交点坐标，设出直线方程，利用待定系数法求解；（2）利用垂径定理求解弦长.【小问1详解】由21012101x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩所以()1,1P ，令1:340l x y m ++=，将(1,1)P 代入得：1:3470l x y +-=.【小问2详解】圆心(0,0)O 到直线1:3470l x y +-=的距离75d =，所以25AB =18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AA AC BC ===，D ，E 分别为1CC ，1A B 的中点．（1）证明：//ED 平面ABC ；（2）求直线1CC 与平面1A BD 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质进行运算证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】如图建立空间直角坐标系，则()0,0,1D ，()0,2,0B ，()12,0,2A ，()1,1,1E ，()10,0,2C ，所以()1,1,0DE = ，因为111ABC A B C -是直棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ，因此平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，所以0DE n ⋅=uuu r r ，即DE n ⊥ ，又ED ⊄平面ABC ，所以//ED 平面ABC ；【小问2详解】因为()10,0,2CC = ，()0,2,1BD =- ，()12,2,2BA =- ，设平面1A BD 的法向量为(),,m x y z = ，则1202220m BD y z m BA x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令2z =，得()1,1,2m =- ，设直线1CC 与平面1A BD 所成角为θ，则11sin 3m CC m CC θ⋅===⋅ ，所以cos 3===θ.19.已知圆C 的方程22240x y x y m +-+-=.（1）若点(),2A m -在圆C 的内部，求m 的取值范围；（2）4m =时，设(),P x y 为圆C 上的一个动点，求22(4)(2)x y -+-的最小值.【答案】（1）14-<<m （2）4【解析】【分析】（1）根据圆的标准方程可得5m -<,再根据点(),2A m -在圆C 的内部，可得()()221225m m -+-+<+，由此求得m 的范围，（2）()()2242x y -+-表示圆C 上的点(),P x y 到点()4,2H 的距离的平方，继而可得5HC =，求出最小值.【小问1详解】解：圆C 的方程即()()22125x y m -++=+，所以5m -<，再根据点(),2A m -在圆C 的内部，可得()()221225m m -+-+<+，求得14-<<m .【小问2详解】当4m =时，圆C 的方程即()()2212549x y -++=+=，而()()2242x y -+-表示圆C 上的点(),P x y 到点()4,2H 的距离的平方，由于()()2241225HC =-++=，故()()2242x y -+-的最小值为()2534-=.20.已知两定点())122,0,2,0F F ，满足条件212PF PF -= 的点P 的轨迹是曲线E ，直线1y kx =-与曲线E 交于,A B 两个不同的点．（1）求曲线E 的方程；（2）求实数k 的取值范围；【答案】（1）221(0)x y x -=<（2）()2,1--【解析】【分析】（1）首先根据曲线的定义判断出曲线E 是双曲线的左支，a 和c 已知，则可求得b ，曲线E 的方程可得；（2）设出A ，B 的坐标，把直线方程与双曲线方程联立消去y ，进而根据直线与双曲线左支交于两点A ，B ，联立不等式求得k 的范围；【小问1详解】由双曲线的定义可知，曲线E 是以12(2,0),2,0)F F -为焦点的双曲线的左支，且1c a ==，则1b ==，故曲线E 的方程为221(0)x y x -=<．【小问2详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意建立方程组2211y kx x y =-⎧⎨-=⎩，消去y ，得22(12)20k x kx --=+，又已知直线与双曲线左支交于两点A ，B ，有22212212210Δ(2)8(1)0201201k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪=+->⎪⎪-⎨+=<-⎪⎪-=>⎪-⎩，解得1k <<-．所以k的取值范围是()1-．21.如图，四边形ABCD 是平行四边形，且2AD DC AC ==，四边形ACEF 是矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，且AF AD =.（1）求证：AD ⊥平面EDC ；（2）求平面BEF 与平面CDE 所成夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】【分析】（1）根据题意，利用面面垂直的性质定理，证得EC ⊥平面ABCD ，得到EC AD ⊥，再由勾股定理，证得AD DC ⊥，结合线面垂直的判定定理，即可得证；（2）以A 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面EDC 和平面BEF 的法向量(0,1,0)m = 和()1,1,1n =- ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，且EC AC ⊥，EC ⊂平面ACEF ，所以EC ⊥平面ABCD ，又因为AD ⊂平面ABCD ，所以EC AD ⊥，因为2AD DC AC ==，可22222))22AD DC AC AC AC +=+=，所以AD DC ⊥，又因为EC DC C = ，且,EC DC ⊂平面EDC ，所以AD ⊥平面EDC .【小问2详解】解：因为//AF CE 且EC ⊥平面ABCD ，所以AF ⊥平面ABCD ，以A 点为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设AC =，则1AD DC AF ===，可得()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，()0,0,1F ，则()0,1,1BE = ，()1,0,1BF =- 由（1）知，AD ⊥平面EDC所以平面EDC 的一个法向量为(0,1,0)m AD ==，设平面BEF 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n BE y z n BF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1y =-，1z =，所以()1,1,1n =-，设所求的锐二面角为θ，则cos 3m n m n θ⋅===- ，又因为平面BEF 与平面CDE 所成夹角为锐角，所以平面BEF 与平面CDE所成夹角的余弦值为3.22.已知C 为圆()22112x y ++=的圆心，P 是圆C 上的动点，点()1,0M ，若线段MP 的中垂线与CP 相交于Q 点．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹N 的方程；（2）过点()1,0的直线l 与点Q 的轨迹N 分别相交于A ，B 两点，且与圆O ：222x y +=相交于E ，F 两点，求2AB EF ⋅的取值范围．【答案】（1）22132x y +=；（2）163,1633⎡⎢⎣．【解析】【分析】（1）由线段MP 的垂直平分线，得到3QC QM +=，结合椭圆的定义，即可求解；（2）①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，分别求得2AB EF ⋅；②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，结合弦长公式，求得AB 和2EF ，进而求得2AB EF ⋅的值.【小问1详解】解：由线段MP 的垂直平分线，可得232CP QC QP QC QM CM =+=+==，所以点Q 的轨迹是以点C ，M 为焦点，焦距为2，长轴长为23所以3a =1c =，则222b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=．【小问2详解】解：由（1）可知，椭圆的右焦点为()1,0，①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，则1,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,3B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1E ，()1,1F -，所以3AB =，24EF =，23AB EF ⋅=．②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得()2222236360k x k x k +-+-=，则2122623k x x k+=+，21223623k x x k -=+，所以)22123k AB k +==+，因为圆心()0,0O 到直线l 的距离d =所以()22222424211k k EF k k +⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，所以)())2222222221422222312333k k k k AB EF k k k k ++++⋅=⋅==⋅++++2431233k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，因为[)20,k ∈+∞，所以23AB EF ⎛⋅∈ ⎝，综上可得，23AB EF ⎡⋅∈⎢⎣．。
2023-2024学年上海市高二上册12月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年上海市高二上册12月月考数学试题一、填空题1．已知等比数列}{n a 中，12452,16a a a a +=+=，则}{n a 的公比为__．【正确答案】2【分析】设公比为q ，再根据题意作商即可得解.【详解】设公比为q ，则345128a a q a a +==+，所以2q =.故答案为.22．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于___________.【正确答案】48【分析】根据直棱柱的侧面积公式直接求解即可【详解】因为直棱柱的底面周长为12，高为4，所以这个棱柱的侧面积为12448⨯=，故483．直线0mx y -=与直线220x my --=平行，则m 的值是__________．【正确答案】【分析】利用直线的平行条件即得.【详解】∵直线0mx y -=与直线220x my --=平行，∴122m m -=≠--，∴m =.故答案为.m =4．经过两直线2x +y -1=0与x -y -2=0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是___________．【正确答案】x +y =0或x -y -2=0【分析】先求解两直线的交点坐标，再运用截距式求解直线的方程可得出结果.【详解】解：联立两直线方程可得：21020x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，可得两条直线交点P （1，-1）．①直线经过原点时，可得直线方程为y =-x ；②直线不经过原点时，设直线方程为1x y a a+=-，把交点P （1，-1）代入可得111a a-+=-，解得a =2．所以直线的方程为x -y-2=0．综上直线方程为：x +y =0或x -y -2=0．故x +y =0或x -y -2=0．5．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该几何体的体积为________.【分析】根据圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，由22r l πππ==，求得底面半径，进而得到高，再利用锥体的体积公式求解.【详解】设圆锥的母线长为l ，高为h ，底面半径为r ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，所以22r l πππ==，解得1r =，所以h =所以圆锥的体积为：1133V Sh π==⨯⨯故该几何体的体积为3，故36．如果二面角l αβ--的平面角是锐角，空间一点Р到平面α、β和棱l 的距离分别为4和l αβ--的大小为_______________.【正确答案】75 或15【分析】分点P 在二面角l αβ--的内部和外部，利用二面角的定义求解.【详解】当点P 在二面角l αβ--的内部，如图所示：,,PA PB PC l αβ⊥⊥⊥，A ，C ，B ，P 四点共面，ACB ∠是二面角的平面角，因为Р到平面α、β和棱l 的距离分别为22、4和42所以212sin ,sin 224242ACP BCP ∠=∠==所以30,45ACP BCP ∠=∠= ，则453075ACB BCP ACP ∠=∠+∠=+= ；当点P 在二面角l αβ--的外部，如图所示：,,PA PB PC l αβ⊥⊥⊥，A ，C ，B ，P 四点共面，ACB ∠是二面角的平面角，因为Р到平面α、β和棱l 的距离分别为22、4和42所以所以2212sin ,sin 224242ACP BCP ∠=∠==所以30,45ACP BCP ∠=∠= ，30,45ACP BCP ∠=∠= ，则453015ACB BCP ACP ∠=∠-∠=-= .故75 或157．已知圆台的上、下底面半径分别为2和5，圆台的高为3，则此圆台的体积为__．【正确答案】39π【分析】由圆台的体积公式代入求解即可.【详解】由题意知，122,5,3r r h ===，则()()22121211ππ42510339π33V r r r r h =++⨯=++⨯=.故答案为.39π8．如图，是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 是异面直线；②CN 与BE 平行；③CN 与BM 成60 角④DM 与BN 垂直，请写出正确结论的个数为__个．【正确答案】4【分析】画出该平面展开图合起来后的正方体后，逐项判断.【详解】解：该平面展开图合起来后的正方体，如图所示：由图形得BM 与ED 是异面直线，故①正确；CN 与BE 平行，故②正确；连接EM ，则BEM △为等边三角形，所以BE 与BM 所成角为60︒，因为//CN BE ，所以CN 与BM 成60︒角，故③正确；对于④，连接CN ，BC ⊥平面CDNM ，DM ⊂平面CDNM ，所以BC DM ⊥，又DM CN ⊥，,,CN BC C CN BC ⋂=⊂面BCN ，所以DM ⊥平面BCN ，BN ⊂平面BCN ，所以DM BN ⊥，故④正确.所以正确结论的个数是4个.故49．若圆222:()0O x y r r +=>上恰有相异两点到直线40x y --=，则r 的取值范围是__．【正确答案】【分析】计算圆心到直线的距离为||d r -.【详解】圆心(0,0)到直线40x y --=的距离d =，因为圆上恰有相异两点到直线40x y --=，所以||d r -即||r r <<故10．过点1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 满足原点到它的距离最大，则直线l 的一般式方程为___________.【正确答案】2450x y --=【分析】过O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，可得直角三角形AOB 中OB OA <，从而得到当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，利用垂直，求出l 的斜率，从而得到l 的方程.【详解】设点1,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过坐标系原点O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，则OB 为原点O 到直线l 的距离，在直角三角形AOB 中，OA 为斜边，所以有OB OA <，所以当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，而1212OA k -==-，所以12l k =，所以l 的直线方程为11122y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，整理得：2450x y --=本题考查根据点到直线的距离求斜率，点斜式写直线方程，属于简单题.11．已知P 是直线34130x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆()()22111x y -+-=的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．15【分析】将四边形面积的最小时，等价于圆心C 到直线34130x y ++=的距离最小，求出最小距离，进而利用三角形面积公式求出最小面积.【详解】解：由题意知，A ，B 是切点，是圆心()1,1C ，且圆的半径为1所以221PB PA PC ==-四边形PACB 面积为：221212S PB r PC =⨯⋅=-所以当PC 取最小值时，S 取最小值由点P 在直线上运动可知，当PC 与直线34130x y ++=垂直时PC 取最小值此时PC 为圆心C 到直线34130x y ++=的距离即22314113434PC ⨯+⨯+==+故四边形PACB 最小面积为：224115S =-=故答案为关键点睛：本题的关键是将面积的最值转化为点到直线上点的距离的最值，进而转化为点到直线的距离.12．我们将函数图象绕原点逆时针旋转()02θθπ≤≤后仍为函数图象的函数称为JP 函数，θ为其旋转角，若函数0y x =≤≤⎭为JP 函数，则其旋转角θ所有可取值的集合为___________【正确答案】2350,,,22323πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【分析】由解析式可知原函数图象为圆弧AB ，根据函数的定义可知若旋转后不再是函数，则必存在垂直于x 轴的切线，且切点异于弧AB 端点,A B ，通过图形进行分析可得结果.【详解】02y x =≤≤⎭为如图所示的一段圆弧AB ，其所对圆心角6AOB π∠=，若该函数图象绕原点逆时针旋转θ后不再是函数，则其旋转后的图象必存在垂直于x 轴的切线，且切点异于弧AB 端点,A B ，由图象可知：若6COD π∠=，则当A 点自C 向D 运动（不包含,C D ）时，图象存在垂直于x 轴的切线，此时2,23ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；若6EOF π∠=，则当A 点自E 向F 运动（不包含,E F ）时，图象存在垂直于x 轴的切线，此时35,23ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；∴若函数02y x ⎫=≤≤⎪⎪⎭为JP 函数，其旋转角()02θθπ≤≤所有可能值的集合为.2350,,,22323πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故答案为.2350,,22323πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦13．设10x y -+=，求d =__．【正确答案】【分析】根据d 的表达式可知，其几何意义表示直线10x y -+=上一点(),P x y 到点()3,5A -和点()2,15B -的距离之和，根据“将军饮马”模型求解即可.【详解】根据题意可得d =，表示直线10x y -+=上一点(),P x y 到点()3,5A -和点()2,15B -的距离之和，点A 关于直线10x y -+=的对称点为(),C a b ，则满足513351022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩解得4,2a b ==-；所以点A 关于直线10x y -+=的对称点为()4,2C -，如下图所示：则PA PB PB PC BC+=+≥所以()min PA PB BC +==.故14．若,x y R ∈___________.【分析】根据题意并结合两点间的距离公式，将原不等式转化为PA QB PQ =++，其中(),0P x 是x 轴上的动点，()0,Q y 是y 轴上的动点，()1,1A ，()1,2B 是定点，根据距离的几何意义和对称关系，可知当A '、P 、Q 、B '四点共线时，PA QB PQ ++取得最小值，则()min PA QB PQ A B ''++=，最后利用两点间的距离公式即可求得结果.根据两点间的距离公式可知，表示点(),0P x 到点()1,1A 的距离，表示点()0,Q y 到点()1,2B 的距离，表示点(),0P x 到点()0,Q y 的距离，其中(),0P x 是x 轴上的动点，()0,Q y 是y 轴上的动点，()1,1A ，()1,2B 是定点，PA QB PQ =++，如图，作A 关于x 轴的对称点()1,1A '-，B 关于y 轴的对称点()1,2B '-，的最小值，则需求PA QB PQ ++的最小值，可知当A '、P 、Q 、B '四点共线时，PA QB PQ ++取得最小值，即()min PA QB PQ A B ''++==，故答案为二、单选题15．设29n a n =-，则当数列{an }的前n 项和取得最小值时，n 的值为（）A ．4B ．5C ．4或5D ．5或6【正确答案】A 【分析】结合等差数列的性质得到100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，解不等式组即可求出结果.【详解】由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，即()2902190n n -≤⎧⎨+-≥⎩，解得7922n ≤≤，因为n N *∈,故4n =.故选：A.16．已知三条不同的直线a ，b ，c ，两个不同的平面α，β，则下列说法错误的是（）A ．若a α⊥，//αβ，a b ⊥r r ，则b β//或b β⊂B ．若a α⊥，b β⊥，//αβ，则a b⊥r r C ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b⊥r r D ．若a α⊥，⋂=c αβ，//b c ，则a b⊥r r 【正确答案】B【分析】根据线面位置关系逐项判断即可得出答案.【详解】选项A 中，//a ααβ⊥，，可得a β⊥，又//a b b β⊥∴或b β⊂，选项A 正确；选项B 中，//a a ααββ⊥∴⊥，，又b β⊥，则//a b ，选项B 错误；选项C 中，//a a ααββ⊥⊥∴，或a β⊂，又b β⊥//a β∴时，a b ⊥；a β⊂时，a b ⊥，选项C 正确；选项D 中，a c a c ααβ⊥⋂=∴⊥，，又//b c a b ∴⊥，选项D 正确故选：B.17．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为λ（0λ>，且1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P满足PA PB=22PA PB +的最大值为（）A．16+B．8+C．7+D．3【正确答案】A【分析】设()()1,0,1,0A B -，(),P x y，由PA PB=P 的轨迹为以()2,0为圆心，半()222221PA PB x y +=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.【详解】解：由题意，设()()1,0,1,0A B -，(),P x y ，因为PA PB==，即()2223xy -+=，所以点P 的轨迹为以()2,0因为()()()222222221121x y x y x y PA PB =++++-+=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，所以()(222max27x y+==+，所以()22max21168x y ⎡⎤++=+⎣⎦22PA PB +的最大值为16+故选：A.18．已知长方体1111ABCD A B C D -的外接球O 的体积为323π，其中12BB =，则三棱锥O ABC -的体积的最大值为（）A ．1B ．3C ．2D ．4【正确答案】A【分析】设,AB a AD b ==，根据长方体1111ABCD A B C D -的外接球O 的体积和12BB =，可求得外接球的半径2R =，根据基本不等式求得ABCS 的最大值，再代入三棱锥的体积公式，即可得到答案；【详解】设,AB a AD b ==，∵长方体1111ABCD A B C D -的外接球O 的体积为323π，12BB =，∴外接球O 的半径2R =，∴22416a b ++=，∴2212a b +=，∴2262a b ab +≤=，∵O 到平面ABC 的距离1112d BB ==，132ABCSab =≤，∴三棱锥O ABC -的体积1131133ABCV S d =⨯⨯≤⨯⨯=．∴三棱锥O ABC -的体积的最大值为1．故选：A ．19．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，1AB BM ==，将ABM 沿直线AM 翻折成AB M '（B '不在平面AMCD 内），连结B D '，N 为B D '的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的个数是（）①//CN 平面AB M '；②存在某个位置，使得CN AD ⊥；③线段CN 长度为定值；④当三棱锥B AMD '-的体积最大时，三棱锥B AMD '-的外接球的表面积是4π.A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】取AB '中点，利用线线平行推出线面平行可判断①；假设垂直，得到AB AD '<不成立，可判断②；由①知//CN MN '，且CN MN '=，可判断③；当平面B AM '⊥平面AMD 时，三棱锥B AMD '-体积最大，此时AD 中点为外接球球心，可判断④.【详解】对于①，取AB '的中点N '，连接NN '，则1////,2NN AD CM NN AD CM ''==，所以四边形N MCN '为平行四边形，所以//CN MN '，又MN '⊂平面AB M '，CN ⊄平面AB M '，即//CN 平面AB M '，故①正确；对于②，假设存在某个位置，使得CN AD ⊥，又,AD CD CN CD C ⊥= ，,CN CD ⊂平面CDN ，所以AD ⊥平面CDN ，又DN ⊂平面CDN ，所以AD ⊥DN ，即222AB AD DB ''=+，因为1,2,AB AD AB AD ''==<，所以不可能，故②错误；对于③，由①得CN MN '=，因为AB B M ''⊥，1AB B M ''==，所以2MN '==为定值，所以CN 长度为定值，故③正确；对于④，取AD 的中点H ，当三棱锥B AMD '-的体积最大时，此时平面B AM '⊥平面AMD ，因为MD AM ⊥，MD ⊂平面AMD ，平面B AM ' 平面AMD AM =，所以MD ⊥平面B AM '，又AB '⊂平面B AM '，所以AB MD '⊥，又,B AB M M MD M B '''⊥= ，,D B M M '⊂平面B MD '，所以AB '⊥平面B MD '，B D '⊂平面B MD '，所以A B D B ''⊥，所以H 即为三棱锥B AMD '-的外接球球心，又1HA =，所以外接球的表面积是24π14π⨯=，故④正确.故选：C三、解答题20．已知等差数列{}n a 中，1479,0a a a =+=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{}n a 的前n 项和取得最大值？【正确答案】(1)()112n a n n N *=-∈(2)5n =【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求出公差，进而可以求出结果；（2）求出数列{}n a 的前n 项和，结合二次函数的性质即可求出结果.【详解】（1）由1479,0a a a =+=，得11360a d a d +++=，解得2d =-，()()11921112n a a n d n n =+-=--=-，所以数列{}n a 的通项公式()112n a n n N *=-∈.（2）19,2a d ==-，()()()22192105252n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+，∴当5n =时，n S 取得最大值.21．在四棱锥P –ABCD 中，底面ABCD 是边长为6的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD =8．(1)求异面直线PB 与DC 所成角的正切值；(2)求PA 与平面PBD 所成角的正弦值．【正确答案】(1)53(2)10【分析】(1)由//AB CD 可知PBA ∠就是异面直线PB 与DC 所成的角，利用线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面PDA ，根据线面垂直的性质可得AB PA ⊥，进而求出tan PBA ∠即可；(2)连接AC ，与BD 交于点O ，连接PO ，利用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面PBD ，进而可知APO ∠为PA 与平面PBD 所成的角，求出AO 即可得出结果.【详解】（1）由题意知，//AB CD ，所以PBA ∠就是异面直线PB 与DC 所成的角，因为PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB PD ⊥，又AB AD ⊥，=PD AD D ⋂，所以AB ⊥平面PDA ，而PA ⊂平面PDA ，所以AB PA ⊥.在Rt PAB 中，106PA AB ===，，所以5tan 3PA PBA AB ∠==，即异面直线PB 与DC 所成的角的正切值为53；（2）连接AC ，与BD 交于点O ，连接PO ，由PD ⊥平面ABCD ，得PD AC ⊥，PD AD ⊥，因为底面ABCD 为边长为6的正方形，所以BD AC ⊥，AC =，又BD PD D PDBD =⊂ ，、平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，所以PA 在平面PAD 内的射影为PO ，APO ∠为PA 与平面PBD 所成的角，又PD =8，AD =6，所以PA =10，12AO AC ==所以在Rt APO 中，sin 10AO APO PA ∠==，即PA 与平面PBD 所成的角的正弦值为10.22．已知直线l 的方程为()()()14232140m x m y m +--+-=.(1)证明：无论m 为何值，直线l 恒过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在直线l 使得ABO 的面积为9.若存在，求出直线l 的方程；若不存，请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析；()2,2(2)存在，2211660x y +-=或922660x y +-=【分析】（1）在直线的方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x 、y 的值，可得直线经过定点的坐标.（2）求出A 、B 的坐标，根据ABO 的面积为9，求出m 的值，可得结论.【详解】（1）直线l 的方程为()()()14232140m x m y m +--+-=，即()()4314220m x y x y +-+-+=，令43140x y +-=，可得220x y -+=，求得2x =，2y =，可得该直线一定经过43140x y +-=和220x y -+=的交点()2,2.（2）若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则142,014m A m -⎛⎫ ⎪+⎝⎭、1420,32m B m -⎛⎫-⎝⎭，且142014m m ->+，142032m m ->-，∴14m <-，或23m >.则ABO 的面积为1142142921432m m m m --⨯⨯=+-，即()()()227194132m m m ⨯-+-=，即21017200m m --=，∴52m =，或45m =-.故存在直线l 满足条件，且满足条件的出直线l 的方程为2211660x y +-=，或922660x y +-=.23．如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P ，圆柱的上、下底面的圆心分别为1O 、2O ，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的项点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O ．(1)32Ω的体积；(2)若112:1:3PO O O =，求几何体Ω的表面积．【正确答案】(1)78π(2)648525+【分析】（1）分别计算圆锥的体积与圆柱的体积，体积和即为所求；（2）根据比例关系，可分别求出圆锥与圆柱的高及底面半径，再利用表面积公式即可求解.【详解】（1）如图可知，过P 、1O 、2O 的截面为五边形ABCPD ，其中四边形ABCD 为矩形，三角形CPD 为等腰三角形，PC PD=在直角1OO D 中，1OD =，132O D =，则22131212OO ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-=32111122O P =-=，其体积为2131328ππ⨯⨯=⎝⎭32122112O O =⨯=，其体积为23314ππ⨯=⎝⎭所以几何体Ω的体积为37488πππ+=（2）若112:1:3PO O O =，设122O O h =，则123h PO =，故213h h +=，35h ∴=在直角1OO D 中，1OD =，135OO =，则22155134O D ⎛⎫⎪⎝⎭=-=故圆锥的底面半径为45，高为125O P =22425555⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆锥的侧面积为45525ππ⨯⨯=圆柱的底面半径为45，高为1265O O =，其侧面积为464825525ππ⨯⨯=所以几何体Ω2484255π⎛⎫++⨯= ⎪⎝⎭24．已知圆C 的圆心C 为（0，1），且圆C 与直线260x y -+=相切．(1)求圆C 的方程；(2)圆C 与x 轴交于A ，B 两点，若一条动直线l ：x ＝x 0交圆于M ，N 两点，记圆心到直线AM 的距离为d ．（ⅰ）当x 0＝1时，求dBN的值．（ⅱ）当﹣2＜x 0＜2时，试问dBN是否为定值，并说明理由．【正确答案】(1)()2215x y +-=(2)（ⅰ）12；（ⅱ）d BN为定值12，理由见解析【分析】（1）求出圆心到直线的距离，则圆C 的方程可求；（2）（ⅰ）当x 0＝1时，可得直线l ：x ＝1，与圆的方程联立求得M 、N 的坐标，写出AM 的方程，求出圆心到直线AM 的距离d ，再求出|BN |，则答案可求；（ⅱ）联立直线与圆的方程，求得M 、N 的坐标，写出AM 的方程，求出圆心到直线AM 的距离d ，再求出|BN |，整理即可求得d BN为定值12．【详解】（1）圆C 的半径r ==则圆C 的方程为()2215x y +-=；（2）（ⅰ）由()2215x y +-=，取y ＝0，可得2x =±．∴A （﹣2，0），B （2，0），圆C 与动直线l ：0x x =交于M ，N 两点，则2200(1)51x y x x x ⎧+-=⎪=⎨⎪=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=-⎩，∴M （1，3），N （1，﹣1），则直线AM 的方程y ﹣0()()3212x =+--，即20x y -+=．圆心到直线AM 的距离d 2==，|BN|==∴12d BN ==；（ⅱ）由圆C 与动直线l ：0x x =交于M ，N 两点，设M （x 0，y 1），N （x 0，y 2），联立220(1)5x y x x ⎧+-=⎨=⎩，解得M（01x ，，N（01x ，，∴直线AM：)02y x =+．圆心（0，1）到直线AM 的距离d =．|BN|=则12 dBN=．∴dBN为定值12．。
重庆市部分学校(九校联盟)2023-2024学年高二上学期12月月考试题 数学(含答案)
重庆市高二数学考试（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.密封线内不要答题1.已知向量()1,3,3a =-，()2,4,1b =-，则a b -= （）A.()1,7,4-B.()1,7,4-C.()1,7,4- D.()1,7,4--2.若直线1l ：2550x y --=，2l ：430x By ++=，且12l l ∥，则B =（）A.85-B.85C.10D.-103.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹.如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB 是抛物线的一部分，其宽为8m ，高为0.8m ，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点坐标为（）A.()5,0 B.()10,0 C.()0,5 D.()0,104.已知直线1l 的倾斜角比直线2:4l y =+的倾斜角小20︒，则直线1l 的倾斜角为（）A .150︒B.130︒C.120︒D.100︒5.虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为30厘米，短轴长为20厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（）A.13B.23C.53D.636.在空间直角坐标系中，直线l 的一个方向向量为()1,0,3m =-，平面α的一个法向量为()5,2n = ，则直线l 与平面α所成的角为（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π67.已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与C 的两条渐近线从左到右依次交于A ，B 两点，且1F A AB =，2BF a =，则C 的渐近线的倾斜角为（）A.5π12或7π12B.π3或2π3C.π4或3π4 D.π6或5π68.如图，在三棱锥-P ABC 中，2AB AC ==，3AP =，1cos cos 3BAP CAP ∠=∠=，1cos 4BAC ∠=，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，O 为BCP 的重心，AO 与PF 相交于点G ，则AG 的长为（）A.45B.1C.54D.335二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.圆22:1:O x y +=与圆22:()(2)4M x a y -+-=的位置关系可能为（）A.内切B.相交C.外切D.外离10.已知,,a b c是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）A.,,a b c a b c +++B.,2,3a b c- C.,,a a b c+ D.2,,a b c a b a c-+-+ 11.已知1F ，2F 分别是椭圆222:1(03)9x y M b b +=<<的左、右焦点，点P 在M 上，且14PF =，12sin 4F PF ∠=，则b 的值可能为（）A. B.2C.D.12.已知F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，3AF BF =，C 的准线与x 轴的交点为1F ，点A 在准线上的投影为点1A ，且四边形11AA F F 的面积为2732，则（）A.2BF =B.3p =C.直线lD.点A 的横坐标为92三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C 的焦点在y 轴上，且C 的离心率大于2，请写出一个C 的标准方程：___________.14.在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD 的三个顶点分别为()0,1,2A -，()2,2,1B -，()1,3,2C ，则点D 的坐标为__________.15.已知A ,B 分别是椭圆222:1(3x y M a a +=>的左、右顶点，P 是M 的上顶点，若2π3APB ∠=，则12PF F △的面积为__________.16.已知直线1:40l x y +-=，2:330l x y -+=，一条光线从点()1,1P 射出，经1l 反射后，射到2l 上，再经2l 反射后，回到P ，则该光线经过的路程长度为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的顶点()()()0,4,2,0,5,A B C m -，线段AB 的中点为D ，且CD AB ⊥.（1）求m 的值；（2）求BC 边上的中线所在直线的方程.18.已知圆22:24100M x x y y -++-=．（1）求圆M 的标准方程，并写出圆M 的圆心坐标和半径：（2）若直线30x y C ++=与圆M 交于A ，B 两点，且AB =C 的值．19.已知点P 到()0,4F 的距离与它到x 轴的距离的差为4，P 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于A ，B 两点，且弦AB 中点的横坐标为4-，求l 的斜率.20.已知椭圆M ：()222210y x a b a b+=>>的焦距为4，且经过点(.（1）求椭圆M 的标准方程；（2）若直线1l 与椭圆M 相切，且直线1l 与直线l ：0x y --=平行，求直线l 的斜截式方程.21.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱1AA上，且1AE =.（1）求平面11ADD A 与平面1B DE 夹角的余弦值；（2）若点P 在棱11D C 上，且P 到平面1B DE 的距离为2，求P 到直线1EB 的距离.22.已知圆221:(4C x y +=，圆222:(4C x y +=，动圆C 与这两个圆中的一个内切，另一个外切.（1）求动圆圆心C 的轨迹方程.（2）若动圆圆心C 的轨迹为曲线M ，()2,0D ，斜率不为0的直线l 与曲线M 交于不同于D 的A ，B 两点，DE AB ⊥，垂足为点E ，若以AB 为直径的圆经过点D ，试问是否存在定点F ，使EF 为定值？若存在，求出该定值及F 的坐标；若不存在，请说明理由.重庆市高二数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.密封线内不要答题1.已知向量()1,3,3a =-，()2,4,1b =-，则a b -= （）A.()1,7,4-B.()1,7,4-C.()1,7,4-D.()1,7,4--【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量的减法运算的坐标表示即可得出答案.【详解】因为向量()1,3,3a =- ，()2,4,1b =-，所以()1,7,4a b -=--.故选：D2.若直线1l ：2550x y --=，2l ：430x By ++=，且12l l ∥，则B =（）A.85-B.85C.10D.-10【答案】D 【解析】【分析】根据12l l ∥列方程求解即可.【详解】由题意得()245B =⨯-，得10B =-.故选：D.3.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹.如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB 是抛物线的一部分，其宽为8m ，高为0.8m ，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点坐标为（）A.()5,0 B.()10,0 C.()0,5 D.()0,10【答案】C 【解析】【分析】根据待定系数法，代入坐标即可求解抛物线方程，进而可得焦点.【详解】由题意得()4,0.8B ，设该抛物线的方程为22(0)x py p =>，则2420.8=⨯p ，得10p =，所以该抛物线的焦点为()0,5.故选：C4.已知直线1l 的倾斜角比直线2:4l y =+的倾斜角小20︒，则直线1l 的倾斜角为（）A.150︒B.130︒C.120︒D.100︒【答案】D 【解析】【分析】根据直线2l 的斜率可知其倾斜角，进而可得直线1l 的倾斜角.【详解】由题意得直线2l 斜率为α（0180α≤<︒）满足tan α=，可得120α=︒，所以直线1l 的倾斜角2012020100βα=-︒=︒-︒=︒，故选：D.5.虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为30厘米，短轴长为20厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（）A.13B.23C.3D.3【答案】C 【解析】【分析】由已知可得15a =，10b =，进而可得离心率.【详解】由已知可得230a =，220b =，即15a =，10b =，所以离心率53c e a ====，故选：C.6.在空间直角坐标系中，直线l 的一个方向向量为()1,0,3m =-，平面α的一个法向量为()2n = ，则直线l 与平面α所成的角为（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π6【答案】A 【解析】【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小.【详解】设直线l 与平面α所成的角为π20θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则1sin cos ,2m n m n m n θ⋅=== ，所以π6θ=.故选：A7.已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与C 的两条渐近线从左到右依次交于A ，B 两点，且1F A AB =，2BF a =，则C 的渐近线的倾斜角为（）A.5π12或7π12B.π3或2π3C.π4或3π4 D.π6或5π6【答案】C 【解析】【分析】由题意通过几何关系得到22,OB BF a OF c ===，进一步由2tan bBOF a∠=可得2cos aBOF c∠=，再结合余弦定理即可得出,a b 的关系，进一步即可得解.【详解】设O 为坐标原点.由题意得C 的渐近线方程为by x a=±，得12AOF BOF ∠=∠，12tan tan b AOF BOF a∠=∠=.由112,O F A AB O F F ==，即OA 是12BF F △的中位线，得2OA BF ∥，则212BF O AOF BOF ∠=∠=∠，所以2OB BF a ==.由222222222sin tan ,,sin cos 1cos BOF b BOF c a b BOF BOF a BOF ∠∠===+∠+∠=∠，得2222222211cos cos b c BOF BOF a a ⎛⎫+∠=∠ ⎪⎝=⎭，所以2cos a BOF c ∠=，所以在2BOF 中，由余弦定理2222cos 2a c a aBOF ac c+-∠==，得22222c a a b ==+，即a b =，所以C 的渐近线的倾斜角为π4或3π4.故选：C.8.如图，在三棱锥-P ABC 中，2AB AC ==，3AP =，1cos cos 3BAP CAP ∠=∠=，1cos 4BAC ∠=，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，O 为BCP 的重心，AO 与PF 相交于点G ，则AG 的长为（）A.45B.1C.54D.335【答案】D 【解析】【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线可得35AG AO =，即可根据模长公式求解.【详解】设(01)AG AO λλ=<<，由题意得2PO OE =，则()2223133233AG AO AP AP A P P AP A PO PE A E E A λλλλλ⎛⎫===+ ⎪⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎭⎝⎪⎝⎭⎝⎭1233AP AE λλ=+.设(01)PG PF μμ=<<，则()P A AP G AF A μ--= ,故()()1112AG AP AF AP AE μμμμ=-+=-+ .由11,321,32λμλμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得λ35=，得121211111555522555AG AP AE AP AB AC AP AB AC ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭ ，所以222211()22255AG AP AB AC AP AB AC AP AB AP AC AB AC=+++++⋅+⋅+⋅22211113332223223222253345=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.圆22:1:O x y +=与圆22:()(2)4M x a y -+-=的位置关系可能为（）A.内切 B.相交 C.外切D.外离【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，求得圆心距OM =211r r -=，由21OM ≥>，结合两圆的位置关系，即可求解.【详解】由圆22:1:O x y +=，可得圆心坐标为(0,0)O ，半径为11r =；又由圆22:()(2)4M x a y -+-=，可得圆心坐标为(,2)M a ，半径为22r =，则圆心距为OM =O 与圆M 的半径之差为211-=，21≥>，所以圆O 与圆M 的位置关系可能为相交、外切、外离．故选：BCD.10.已知,,a b c是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）A.,,a b c a b c +++B.,2,3a b c- C.,,a a b c+ D.2,,a b c a b a c-+-+ 【答案】BC 【解析】【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断.【详解】对于选项A ：因为()a b c a b c ++=++，所以,,a b c a b c +++三个向量共面，故不能构成空间的一个基底，故A 错误；对于选项D ：因为()()2a b c a b a c -+=-++，所以2,,a b c a b a c -+-+三个向量共面，故不能构成空间的一个基底，故D 错误；因为,,a b c是空间中不共面的三个向量，对于选项B ：设()()23=+-r r ra xb yc ，显然不存在实数,x y 使得该式成立，所以,2,3a b c -不共面，可以作为基底向量，故B 正确；对于选项C ：设()()()33=++-=++-r r r rr r r a x a b y c xa xb y c ，则1030x x y =⎧⎪=⎨⎪=⎩，方程无解，即不存在实数,x y 使得该式成立，所以,,a a b c +不共面，可以作为基底向量，故C 正确；故选：BC.11.已知1F ，2F 分别是椭圆222:1(03)9x y M b b +=<<的左、右焦点，点P 在M 上，且14PF =，12sin 4F PF ∠=，则b 的值可能为（）A.B.2C.D.【答案】AC 【解析】【分析】根据椭圆的焦点三角形的性质，结合余弦定理即可求解.【详解】由1226PF PF a +==，14PF =，得22PF =.()()22222124449F F c a b b ==-=-,由12sin 4F PF ∠=，得121cos 4F PF ∠=±.在12F PF △中，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，得25b =或23b =，所以b =故选：AC12.已知F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，3AF BF =，C 的准线与x 轴的交点为1F ，点A 在准线上的投影为点1A ，且四边形11AA F F 的面积为32，则（）A.2BF =B.3p =C.直线l 3D.点A 的横坐标为92【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，由抛物线的焦半径公式以及条件，代入计算可得3p =，然后对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】如图，设点B 在C 的准线上的投影为点1B ，取AB ，11A B 的中点分别为E ，1E ，过F 作1FG AA ⊥，垂足为点G .设33AF BF m ==，则1133AA BB m ==，11122AA BB EE m +==，111322BB EE mFF +==，()2211332mFG AF AA FF =--=，所以四边形11AA F F 的面积为211282AA FF FG +⋅==，解得2BF m ==，12332mF F p ===，故A ，B 正确；由1sin 2AG AFG AF ∠==，得π6AFG ∠=，当A 在第一象限，B 在第四象限时，直线l ，当A 在第四象限，B 在第一象限时，直线l 的斜率为，故C 错误；点A 的横坐标为39322m -=，故D 正确；故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C 的焦点在y 轴上，且C 的离心率大于2，请写出一个C 的标准方程：___________.【答案】2214x y -=（答案不唯一）【解析】【分析】由题意可知符合22221y x a b -=，223b a >即可.【详解】设()2222:10,0y x C a b a b -=>>，由2c e a ==>，得223b a >，可令21a =，24b =，即2214x y -=，故答案为：2214x y -=（答案不唯一）.14.在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD 的三个顶点分别为()0,1,2A -，()2,2,1B -，()1,3,2C ，则点D 的坐标为__________.【答案】()1,4,3-【解析】【分析】由题意首先设(),,D x y z ，结合AB DC =进行运算即可得解.【详解】设(),,D x y z ，由题意得()2,1,1AB =-- ，()1,3,2DC x y z =---，因为AB DC = ，所以211312x y z =-⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩,得143x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，即()1,4,3D -.故答案为：()1,4,3-.15.已知A ,B分别是椭圆222:1(3x y M a a +=>的左、右顶点，P 是M 的上顶点，若2π3APB ∠=，则12PF F △的面积为__________.【答案】【解析】【分析】设O为坐标原点，由题意可得b =tan aAPO b∠==，解出,a b 值，再利用12PF F △的面积为bc ，求解即可.【详解】设O 为坐标原点.由题意得b =，π3APO ∠=，则tan aAPO b∠==，得3a ==，又222c a b =-，所以c =，所以12PF F △的面积为1212F F OP bc ==故答案为：16.已知直线1:40l x y +-=，2:330l x y -+=，一条光线从点()1,1P 射出，经1l 反射后，射到2l 上，再经2l 反射后，回到P ，则该光线经过的路程长度为__________.【解析】【分析】分别求出P 关于1l 对称的点A ，关于2l 对称的点B ，求出AB 即可求解.【详解】如图，设P 关于1l 对称的点为()11,A x y，由()1111111,11140,22y x x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+-=⎪⎩得113,3,x y =⎧⎨=⎩即()3,3A .设P 关于2l 对称的点为()22,B x y ，由2222131,111330,22y x x y -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪⨯-+=⎪⎩得222,2,x y =-⎧⎨=⎩即()2,2B -.易得该光线经过的路程长度为AB ==.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的顶点()()()0,4,2,0,5,A B C m -，线段AB 的中点为D ，且CD AB ⊥.（1）求m 的值；（2）求BC 边上的中线所在直线的方程.【答案】（1）1m =-（2）340x y -+=【解析】【分析】（1）根据中点坐标公式以及垂直满足的斜率关系即可求解，（2）根据中点公式以及斜率公式即可根据点斜式求解方程.【小问1详解】因为()()0,4,2,0A B ，所以D 的坐标为()1,2，因为CD AB ⊥，所以24015102m --⨯=----，解得1m =-.【小问2详解】设线段BC 的中点为E ，由（1）知()5,1C --，则31,22E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以1423302AEk +==+，所以直线AE 的方程为()430y x -=-，化简得340x y -+=，即BC 边上的中线所在直线的方程为340x y -+=.18.已知圆22:24100M x x y y -++-=．（1）求圆M 的标准方程，并写出圆M 的圆心坐标和半径：（2）若直线30x y C ++=与圆M 交于A ，B两点，且AB =C 的值．【答案】（1）22(1)(2)15x y -++=，圆心坐标(1,2)M -（2）15C =或5-【解析】【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径；（2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案【小问1详解】由2224100x x y y -++-=，得22214415x x y y -++++=，则圆M 的标准方程为22(1)(2)15x y -++=，圆M 的圆心坐标(1,2)M -【小问2详解】由AB =M 到直线30x y C ++==则圆心M 到直线30x y C ++==，得15C =或5-．19.已知点P 到()0,4F 的距离与它到x 轴的距离的差为4，P 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于A ，B 两点，且弦AB 中点的横坐标为4-，求l 的斜率.【答案】（1）()2160x y y =≥或()00x y =<.（2）12-.【解析】【分析】（1）根据两点间距离公式，结合绝对值的性质进行求解即可；（2）利用点差法进行求解即可.【小问1详解】设(),P x y ，由题意可知：44PF y y -=⇒=+，两边同时平方，得2222216,0816168880,0y y x y y y y x y y x y ≥⎧+-+=++⇒=+⇒=⎨<⎩所以C 的方程为()2160x y y =≥或()00x y =<.【小问2详解】由题可知曲线C 为216x y =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()12248x x +=⨯-=-.由21122216,16,x y x y ⎧=⎨=⎩得()()()221212121216x x x x x x y y -=-+=-，所以l 的斜率为1212121162y y x x x x -+==--.20.已知椭圆M ：()222210y x a b a b+=>>的焦距为4，且经过点(.（1）求椭圆M 的标准方程；（2）若直线1l 与椭圆M 相切，且直线1l与直线l ：0x y --=平行，求直线l 的斜截式方程.【答案】（1）22162y x +=；（2）y x =±.【解析】【分析】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程；（2）由平行关系设直线方程1l ：y x b =+，联立椭圆方程得224260x bx b ++-=，利用相切关系有Δ0=求参数，即可得直线方程.【小问1详解】由题意得2222224311c a b c a b⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，得22622a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆M 的标准方程为22162y x +=.【小问2详解】设与l 平行的1l ：y x b =+，由22162y x y x b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得224260x bx b ++-=，由()2244460b b ∆=-⨯-=，得b =±，则1l：y x =±.21.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱1AA上，且1AE =.（1）求平面11ADD A 与平面1B DE 夹角的余弦值；（2）若点P 在棱11D C 上，且P 到平面1B DE 的距离为262，求P 到直线1EB 的距离.【答案】（1）32626（2）4815【解析】【分析】（1）建立空间空间直角坐标系，利用空间向量法求出面面夹角，从而求解；（2）由点P 到平面1B DE 的距离为262，求得P 的坐标，然后利用空间点到直线距离的向量法即可求解.【小问1详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()4,0,1E ，()14,4,4B ，()4,0,1DE =，()14,4,4DB =.设平面1B DE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则1404440n DE x z n DB x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩取1x =，则3y =，4z =-，得()1,3,4n =-，因为DC ⊥平面11ADD A ，所以平面11ADD A 的一个法向量为(0,4,0)DC =，则平面11ADD A 与平面1B DE的夹角的余弦值为6cos 2,DC n DC nn ⋅==.【小问2详解】设()0,,4P a ，04a ≤≤，则()0,,4DP a =.由（1）可知平面1B DE 的法向量为()1,3,4n =-，则P 到平面1B DE的距离为2DP n n⋅==，解得1a =或293（舍去），即()0,1,4P .因为()14,3,0PB = ，()10,4,3EB =，所以P 到直线1EB的距离为5.22.已知圆221:(4C x y +=，圆222:(4C x y +=，动圆C 与这两个圆中的一个内切，另一个外切.（1）求动圆圆心C 的轨迹方程.（2）若动圆圆心C 的轨迹为曲线M ，()2,0D ，斜率不为0的直线l 与曲线M 交于不同于D 的A ，B 两点，DE AB ⊥，垂足为点E ，若以AB 为直径的圆经过点D ，试问是否存在定点F ，使EF 为定值？若存在，求出该定值及F 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y -=（2）存在，定值为6，()8,0F 【解析】【分析】（1）由题意根据圆与圆的位置关系可得12124CC CC C C =<=-，进一步由双曲线的定义即可得解.（2）由题意以AB 为直径的圆经过点D ，所以DA DB ⊥，即()()1212220DA DB x x y y ⋅=--+=，联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理可得直线AB 过定点()14,0G ，而DE GE ⊥，即点E 在DG 中点为圆心，DG 的一半为半径的圆上，由此即可得解.【小问1详解】设动圆C 的半径为r ，由题意圆1C 、2C 的半径均为2，圆心)()12,C C .因为动圆C 与圆1C ，圆2C 一个外切，另一个内切，所以1222CC r CC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或1222CC r CC r ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，得12124CC CC C C =<=-，所以圆心C的轨迹是以)，()为焦点，实轴长为4的双曲线，即2,c a b ====，得动圆圆心C 的轨迹方程为22143x y -=.【小问2详解】如图所示：存在定点()8,0F ，使得EF 为定值6，理由如下：直线l 的斜率不为0，设直线:l x my b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则()112,DA x y =- ，()222,DB x y =- .由22143x my b x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2223463120m y mby b -++-=，由()()2222Δ364343120m b m b =--->，得22340m b +->，由韦达定理得122212263431234mb y y m b y y m ⎧+=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，因为以AB 为直径的圆经过点D ，所以DA DB ⊥，则()()1212220DA DB x x y y ⋅=--+= .因为()()()()121212122222x x y y my b my b y y --+=+-+-+()()()22121212(2)m y y m b y y b =++-++-，所以()()()()22212122231262212(2)03434b mb x x y y m m b b m m ---+=+--+-=--，得()()()()()()()222231262342140b m b m b b m b b ⎡⎤-++-+--=--+=⎣⎦.因为直线l 不经过D ，所以2b ≠，14b =，满足22340m b +->.直线:14l x my =+经过定点()14,0.取()14,0G ，()8,0F ，当G ，E 不重合时，DE GE ⊥，则由斜边上的中线等于斜边的一半可知162EF DG ==，当G ，E 重合时，162EF EG DG ===.故存在定点()8,0F ，使得EF 为定值6.【点睛】关键点睛：本题第一问的关键是充分利用圆与圆之间的位置关系以及双曲线的定义即可，第二问关键是数学结合，首先求出直线AB 过顶点，进一步根据平面几何知识确定点E 在定圆上运动，从而即可顺利得解.。
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江西省抚州市乐安县2016-2017学年高二数学12月月考试题文考试范围：必修3、选修1-1到导数；考试时间：120分钟注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4、9.4、9.4、9.6、9.7，则该射手成绩的方差是（）A.0.127B.0.016C.0.08D.0.2162.如图所示的程序框图运行后输出的结果是（）A.4B.8C.16D.323.经统计，某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如表：则至少3人排队等候的概率是（）A.0.44B.0.56C.0.86D.0.144.已知命题p：∃α∈R，cos（π-α）=cosα；命题q：∀x∈R，x2+1＞0．则下面结论正确的是（）A.p∧q是真命题B.p∧q是假命题C.￢p是真命题D.p是假命题5.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若A、B两点的横坐标之和为，则|AB|=（）A. B. C.5 D.6.椭圆mx2+ny2=1与直线y=-x+1相交于A、B两点，过原点和线段AB中点的直线斜率为，则的值是（）A. B. C. D.7.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则•等于（）A.-3B.-C.-或-3D.±8.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（）A. - y2=1B.x2 - =1C. - =1D. - =19.已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为（）A. B. C. D.10.已知点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：（x-4）2+（y -1）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为（）A.2B.3C.4D.511.已知点P（x0，y0）是抛物线y=3x2上一点，且y′|=6，则点P的坐标为（）A.（1，3）B.（-1，3）C.（3，1）D.（-3，-1）12.已知函数f（x）=e x-mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=x垂直的切线，则实数m的取值范围为（）A.m≤1B.m≤-1C.m＞1D.m＞-1二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是 ______ ．14.已知命题p：x2-5x-6≤0；命题q：x2-6x+9-m2≤0，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 ______ ．15.已知F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的两个公共焦点，P是C1，C2一个公共点．若•=0，则C2的离心率是 ______ ．16.已知曲线上一点P（1，e）处的切线分别交x轴，y轴于A，B两点，O为原点，则△OAB 的面积为 ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.求抛物线y=4x2在点P（，1）的切线方程．18.已知命题p：双曲线的离心率，命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若命题p是真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．19.某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如左表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16．(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？(3))已知y≥96，z≥96，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率．20.直线l与椭圆+y2=1相交于A､B两点，并且线段AB的中点为M（1，）．（1）求直线l的方程（用一般式表示）；（2）求弦长|AB|．21.双曲线的两条渐近线的方程为y=±x，且经过点（3，-2）．（1）求双曲线的方程；（2）过右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|．22.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（1，-2），且焦点为F，直线l与抛物线相交于A、B两点．（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）若直线l经过抛物线C的焦点F，当线段AB的长等于5时，求直线l方程．（3）若•=-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．答案和解析【答案】1.B2.C3.A4.A5.D6.A7.B8.A9.C 10.C 11.A 12.C13.14.[-3，3] 15.16.2e17.解：∵y=4x2，∴y′=8x当x=得f′（）=4∴切线方程为y-1=4（x-）即4x-y-1=0．18.解：（1）p真，则有，所以．--------（5分）（2）q真，则有9-m＞2m＞0，所以0＜m＜3．-----------------（9分）若命题“p∧q”是真命题，则p、q都是真命题．故所求范围为-----------------（12分）19.解：(1)∵在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16．有，解得x=144．(2)第三批次的人数为y+z=900-(196+204+144+156)=200，设应在第三批次中抽取m名，则，解得m=12．∴应在第三批次中抽取12名．(3)设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(y，z)，由(2)知y+z=200，(y，z∈N，y≥96，z≥96)，则基本事件总数有：(96，104)，(97，103)，(98，102)，(99，101)，(100，100)，(101，99)，(102，98)，(103，97)，(104，96)，共9个，而事件A包含的基本事件有：(101，99)，(102，98)，(103，97)，(104，96)共4个，∴．20.解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵点M（1，）是线段AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=1．∵此两点在椭圆上，∴x12+4y12=4，x22+4y22=4．∴（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，∴2（x1-x2）+4（y1-y2）=0，∴k=-．∴直线l的方程为y-=-（x-1），化为x+2y-2=0．（2）直线方程与椭圆方程联立，消去y，可得x2-2x=0，∴x=0或2，∴|AB|==．21.解：（1）∵双曲线的两条渐近线方程的方程为，∴可设双曲线的方程为2x2-y2=λ（λ≠0），又∵双曲线经过点（3，-2），代入方程可得λ=6，∴所求双曲线的方程为；（2）设A（x1、y1）、B（x2、y2），过F且倾斜角为60°的直线方程为y=，联立，可得所以x2-18x+33=0，由韦达定理得x1+x2=18，x1x2=33，则弦长|AB|==2=16．22.解：（1）由22=2p，得p=2，抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=-1，焦点为F（1，0）．（2）若直线l经过抛物线C的焦点F，则直线l的方程为x=ty+1．代入抛物线方程可得y2-4ty-4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4t，y1y2=-4，则x1+x2=t（y1+y2）+2，所以，得4t2=1，t=±1/2，直线l方程为2x=±y+2．（3）设直线l的方程为x=ty+b代入y2=4x，得y2-4ty-4b=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），∴b=2，直线l必过一定点（2，0）．【解析】1. 解：∵该射手在一次训练中五次射击的成绩的平均值==9.5；∴该射手成绩的方差s2=+（9.7-9.5）2]=0.016．故选B．先求出其平均值，再利用方差的计算公式即可得出．熟练掌握平均值及方差的计算公式是解题的关键．2. 解：当a=1，b=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，b=2，a=2；当a=2，b=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，b=4，a=3；当a=3，b=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，b=15，a=4；当a=4，b=16时，不满足进行循环的条件，故输出的结果为：16，故选：C根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．3. 解：设排队人数至少3个人排队为事件H，并且H=D+E+F，∵P（D）=0.3，P（E）=0.1，P（F）=0.04，∴P（H）=P（D+E+F）=P（D）+P（E）+P（F）=0.3+0.1+0.04=0.44，故选：A．至少3个人排队这一事件的可能情况是3人，4人，5人及以上，三种情况属于互斥事件，所以至少3个人排队的概率是三种情况的概率之和，根据表格，分别求出3人排队的概率，4人排队的概率，5人及5人以上排队的概率，再相加即可．本题主要考查互斥事件有一个发生的概率，等于各自发生的概率之和，做题时一定要判断几个事件是否为互斥事件．4. 解：对于p：取α=，则cos（π-α）=cosα，因此正确；对于命题q：∀x∈R，x2+1＞0，正确．由上可得：p∧q是真命题．故选：A．p：取α=，则cos（π-α）=cosα，即可判断出真假；命题q：利用实数的性质可得q的真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．本题考查了复合命题真假的判定方法，属于基础题．5. 解：抛物线的准线方程为x=-1，设A，B的横坐标分别为x A，x B，则x A+x B=．∴|AF|=x A+1，|BF|=x B+1．∴|AB|=|AF|+|BF|=x A+x B+2=．故选：D．利用抛物线的性质得出∴|AB|=|AF|+|BF|=x A+1+x B+1=．本题考查了抛物线的性质，属于基础题．6. 解：设A（x1，y1），B（x2，y2）中点为P（x0，y0），∴①，k MN=②，由AB的中点为P可得x1+x2=2x0，y1+y2=2y0由M，N在椭圆上，可得，两式相减可得m（x1-x2）（x1+x2）+n（y1-y2）（y1+y2）=0③，把①、②代入③，可得m（x1-x2）•2x0-n（y1-y2）•2y0=0③，整理可得=故选：A设A（x1，y1），B（x2，y2）中点为P（x0，y0），根据经过两点的斜率公式，算出且，由中点坐标公式和椭圆方程加以联解，可得m（x1-x2）•2x0-n（y1-y2）•2y0=0，即可算出的值．本题给出椭圆的弦中点所在直线的方程，求的值．主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，属于中档题．在涉及到与弦的斜率及中点有关时的常用方法有两个：①联立直线与椭圆，根据方程求解；②利用“点差法”，请同学们在解题时加以注意．7. 解：由+y2=1，得a2=2，b2=1，c2=a2-b2=1，焦点为（±1，0）．直线l不妨过右焦点，倾斜角为45°，直线l的方程为y=x-1．代入+y2=1得x2+2（x-1）2-2=0，即3x2-4x=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1•x2=0，x1+x2=，y1y2=（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=1-=-，•=x1x2+y1y2=0-=-．故选B先根据椭圆方程求得焦点坐标，进而设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B （x2，y2），根据韦达定理求得x1•x2和x1+x2的值，进而根据直线方程求得y1y2的值，最后根据向量的计算法则求得答案．本题主要考查了椭圆的应用．当涉及过叫焦点的直线时，常需设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理来解决．8. 解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，∴c=，∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，∴=，∴a=2b，∵c2=a2+b2，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为=1．故选：A．利用双曲线-=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，求出几何量a，b，c，即可求出双曲线的方程．本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键．9. 解：已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，M（3，，则MF1=，故MF2=，故F1到直线F2M的距离为．故选C．根据双曲线的方程可得双曲线的焦点坐标，根据MF1⊥x轴进而可得M的坐标，则MF1可得，进而根据双曲线的定义可求得MF2．本题主要考查了双曲线的简单性质．要理解好双曲线的定义．10. 解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=-1过点M作MN⊥准线，垂足为N∵点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点∴|MN|=|M F|∴|MA|+|MF|=|MA|+|MN|∵A在圆C：（x-4）2+（y-1）2=1，圆心C（4，1），半径r=1∴当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小∴（|MA|+|MF|）min=（|MA|+|MN|）min=|CN|-r=5-1=4∴（|MA|+|MF|）min=4故选C．先根据抛物线方程求得准线方程，过点M作MN⊥准线，垂足为N，根据抛物线定义可得|MN|=|MF|，问题转化为求|MA|+|MN|的最小值，根据A在圆C上，判断出当N，M，C三点共线时，|MA|+|MN|有最小值，进而求得答案．本题的考点是圆与圆锥曲线的综合，考查抛物线的简单性质，考查距离和的最小．解题的关键是利用化归和转化的思想，将问题转化为当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小．11. 解：由y=3x2，求导y′=6x，由y′|=6，∴6x0=6，∴x0=1，y0=3，P点坐标为（1，3），故答案选：A．求导y′=6x，由题意可知：6x0=6，求得x0，代入抛物线方程即可求得y0，求得P点坐标．本题考查导数的运算，考查抛物线方程，考查计算能力，属于基础题．12. 解：函数f（x）=e x-mx+1的导数为f′（x）=e x-m，若曲线C存在与直线y=x垂直的切线，即有e x-m=-1有解，即m=e x+1，由e x＞0，则m＞1．则实数m的范围为（1，+∞）．故选：C．求出函数的导数，运用两直线垂直的条件可得e x-m=-1有解，再由指数函数的单调性，即可得到m 的范围．本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，属于基础题．13. 解：从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，基本事件总数n==10，选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，∴选到的2名同学中至少有1名男同学的概率：p=1-=．故答案为：．选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，由此利用对立事件概率计算公式能求出选到的2名同学中至少有1名男同学的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．14. 解：命题p：x2-5x-6≤0，则-1≤x≤6，命题q：x2-6x+9-m2≤0（m＞0），则3-|m|≤x≤3+|m|，若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，则，（“=”不同时成立），解得：|m|≤3，故m∈[-3，3]，故答案为：[-3，3]．分别求出关于p，q的x的范围，根据￢p是￢q的充分不必要条件，得到关于m的不等式组，解出即可．本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题以及复合命题的判断，是一道基础题．15. 解：如图，设左焦点为F，右焦点为F′，再设|AF|=x，|AF′|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，2a=4，b=1，c=；∴|AF|+|AF′|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AFBF′为矩形，∴|AF|2+|AF′|2=|FF′|2，即x2+y2=（2c）2=12，②联立①②得，解得x=2-，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a′，焦距为2c′，则2a′=|AF′|-|AF|=y-x=2，2c′=2，∴C2的离心率是e==．故答案为：．设设左焦点为F，右焦点为F′，再设|AF|=x，|AF′|=y，利用椭圆的定义，四边形AFBF′为矩形，可求出x，y的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率．本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF|与|AF′|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．16. 解：求导得：y′=，把x=1代入得：k=y′x=1=-e，所以切线方程为：y-e=-e（x-1），即ex+y=2e，令x=0，解得y=2e，令y=0，解得x=2，则△OAB的面积S=•2e•2=2e．故答案为：2e求出曲线方程的导函数，把切点的横坐标代入求出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线的方程，分别令x=0和y=0求出与坐标轴的截距，由三角形的面积公式即可求出△OAB的面积．此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道基础题．17.求出导函数，令x=求出切线的斜率，然后利用点斜式写出直线的方程即为所求的切线方程．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．18.（1）根据双曲线标准的方程与双曲线的有关性质可得，进而求出m的范围．（2）根据题意分别求出命题p、q为真时m的范围，再结合命题“p∧q”是真命题，则p、q都是真命题，进而求出m的范围．解决此类问题的关键是熟练掌握命题真假的判定方法，由复合命题的真假判断出简单命题的真假结合椭圆与双曲线的有关知识进行判断解题即可．19. (1)在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16．用x除以总体数等于0.16，做出x的值．(2)根据总体数和第一批次和第二批次的总人数和总体数，得到第三批次的人数，根据每个个体被抽到的概率，列出等式，解方程即可．(3)本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数可以通过列举得到结果数，满足条件的事件也可以通过列举得到事件数，根据等可能事件的概率公式得到结果．20.（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），两点在椭圆上，可得x12+4y12=4，x22+4y22=4．两式相减，再利用直线l的斜率，中点坐标公式，即可得出．（2）直线方程与椭圆方程联立，消去y，可得x2-4x=0，利用弦长公式，即可得出结论．本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，正确运用点差法解决中点弦问题是解题的关键，属于中档题．21.（1）首先根据双曲线的两条渐近线的方程为y=±x，可设双曲线的方程为2x2-y2=λ（λ≠0），然后根据双曲线过点（3，-2），代入求解即可；（2）设A（x1、y1）、B（x2、y2），过F且倾斜角为60°的直线方程为y=，和双曲线的方程联立，根据韦达定理，求出|AB|的值即可．本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了待定系数法、弦长公式，以及韦达定理的应用，属于中档题．22.（1）点M代入抛物线方程，可得p，即可求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）利用抛物线中的弦长公式，即可求直线l方程．（3）直线l的方程为x=ty+b代入y2=4x，得y2-4ty-4b=0，利用韦达定理结合•=-4，求出b，即可证明直线l必过一定点，并求出该定点．本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．。