2020寒假高三数学二轮复习微专题6 与不等式相关的三角最值问题

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2020届高考数学二轮复习专题《可转化为基本不等式的三角最值问题》

＝23π，
所以
S△
ABC
＝
1 2
absinC
＝
3 4 ab
＝
3 12
c，可得
c ＝ 3ab ，所以
cosC＝ຫໍສະໝຸດ －1 2＝
a2＋b2－c2 2ab
＝
a2＋b22a－b9a2b2≥2ab－2a9ba2b2，即 ab(3ab－1)≥0，可得 ab≥13，当且仅当 a＝b＝ 33时，等号成
立，即 ab 的最小值是13.
的面积 S＝123c，则 ab 的最小值为________．
1 3
因为 2ccosB＝2a＋b，由正弦定理可得：2sinCcosB＝2sinA＋sinB，可得 2sinCcosB
＝2sin(B＋C)＋sinB，
即 2sinBcosC＝－sinB，因为在△ ABC 中，sinB≠0，可得 cosC＝－12，在△ ABC 中可得 C
运用基本不等式求三角形中的最值、范围问题主要有：求角或边的最值或范围；求某个三角函数值或某个含有三角函数的代数式的最值或范围问题，解题思路一般是先从已知条件出发，求出关于三边的约束条件，然后利用此条件，结合基本不等式的解题技法求出相应的最值或范围.
在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c, 且 2ccosB＝2a＋b，若△ ABC
1 2
由题意可得：2csoinsBB＋csoinsCC＝cossBincBosC＋cossCincCosB，即：2(sinBcosC＋sinCcosB)＝sinB＋sinC，即 2sin(B＋C)＝sinB＋sinC 故 2sinA＝sinB＋sinC，由正弦定理可得：2a＝b＋c，由余弦定理有：cosA＝b2＋2cb2c－a2＝b2＋c22－bc(b＋2 c)2＝3(4b×2＋2bcc2)－14≥34××22bbcc－14＝12. 当且仅当 b＝c 时等号成立．据此可得 cosA 的最小值为12.

微专题6 与不等式相关的三角最值问题

而 2ab≤a2＋b2＝8－2c2⇒ab≤4－2c2， 1 所以 S△ABC≤2
2 2 8 － 3 c 2 2 4－ c － 4
2 2 5 c ＋ 16 － 5 c 2 5 1 2 1 8 2 2 ＝4 c 16－5c ≤4× ＝ 5 ，当且仅当 a＝b，c ＝5 2 5
1 当 a＝b 时取等号，所以 cosC 的最小值为2.
2．在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，若 a＝ 3， π A＝3，则 b＋c 的最大值为 2 3 .
2 2 π b ＋c －3 解析：由余弦定理得 cos3＝ 2bc ，整理得 b2＋c2＝3＋bc，则有(b c ＋ b 2 2 2 ＋c) ＝3＋3bc≤3＋，即 ( b ＋ c ) ≤12，所以 2
微专题6
与不等式相关的三角最值问题
1．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2＋b2＝2c2， 1 则 cosC 的最小值为 2 .
2 2 2 2 2 a ＋ b － c a ＋ b 2ab 1 2 2 2 解析：由 a ＋b ＝2c ，得 cosC＝ 2ab ＝ 4ab ≥4ab＝2，当且仅
2
2
5 3 因为 PB ＋PC ＝3，所以 cosα＋cosβ＝ 6 .设 sinα－sinβ＝t，两式
2 2
1 1 2 平方相加得 cos(α＋β)＝24＋t ≥24，当且仅当 t＝0，即 sinα＝sinβ 时取 1 5 23 等号，此时 cosA＝cos(α＋β)的最小值为24，即 sinA 的最大值为 24 ， 1 5 23 所以 S△ABC＝2AB· AC×sinA≤ 16 .
(2)由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab a＋b2 ＝4－3ab，又因为 ab≤ 4 ＝1，当且仅当 a＝b＝1 时等号成立，所以 c2＝4－3ab≥1，即 c≥1，故 c 的最小值为 1.

微专题6 与不等式相关的三角最值问题

微专题6
与不等式相关的三角最值问题
热点追踪
不等式是解决最值问题的重要方法，有关三角最值问题是高考的热点和难点，解决此类问题的关键是将所求量转化为单一变量的函数或者双变量的表达式(后者必须找到这两个变量的关系式)，从而考虑采用不等式的方法求最值.
Байду номын сангаас
例题：(2016· 江苏卷)在锐角三角形 ABC 中，若 sinA＝2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是 8 .

3b2· 4c2 － 2bccosA ＝
8（2 3－cosA） 8（2 3－cosA） bc 4 3－2cosA ＝ .令 f (A)＝，A∈(0， sinA sinA 8（1－2 3cosA） 1 11 π)， f′(A)＝，令 f′(A)＝0，解得 cosA＝， sinA＝， sin2A 2 3 2 3 由单调性可知此时 f (A)取得最小值为 8 11.当且仅当 3b＝2c 且 cosA＝ 1 2 3 时取等号，则 a ＋2b ＋3c 的最小值为 8 11.
变式 1(2018· 浙江模拟)若△ ABC 的内角满足 sinA＋ 2sinB＝2sinC，求 cosC 的最小值．
6－ 2 答案： 4 .
解析：设△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则由正弦定理得 a＋ 2b＝2c，
a2＋b2－c2 所以 cosC ＝＝ 2ab 2ab 3 2 1 2 2 2 4a × b － ab 6－ 2 2 2 3 2 1 2 2 a ≥ ＝ 4 ，当且仅当4a ＝2b 时，即b＝时等号 2ab 3 6－ 2 成立，所以 cosC 的最小值为 4 . a＋ 2 2 a ＋b － 2

微专题6 与不等式相关的三角最值问题答案

微专题6例题1 答案：8.解析：由sin A ＝sin (π－A)＝sin (B ＋C)＝sin B cos C ＋cos B sin C ，sin A ＝2sin B sin C ，可得sin Bcos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C.由三角形ABC 为锐角三角形，则cos B ＞0，cos C ＞0，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C.又tan A ＝－tan (π－A)＝－tan (B ＋C)＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ，则tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ，由A ，B ，C为锐角可得tan A ＞0，tan B ＞0，tan C ＞0，所以tan A tan B tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ，即tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ，即tan B ＝2＋2，tan C ＝2－2，tan A ＝4(或tan B ，tan C 互换)时取到等号，因此tan A tan B tan C 最小值为8.变式联想变式1 答案：6－24. 解析：设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ≥234a 2×12b 2－22ab 2ab＝6－24，当且仅当34a 2＝12b 2时，即a b ＝23时等号成立，所以cos C 的最小值为6－24. 变式2 答案：811.解析：由S ＝12bc sin A ，得bc ＝4sin A .又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以a 2＋2b 2＋3c 2＝3b 2＋4c 2－2bc cos A ≥23b 2·4c 2－2bc cos A ＝bc ()43－2cos A ＝8（23－cos A ）sin A .令f(A)＝8（23－cos A ）sin A，A ∈(0，π)，f ′(A)＝8（1－23cos A ）sin 2A ，令f′(A)＝0，解得cos A ＝123，sin A ＝1123，由单调性可知此时f(A)取得最小值为811.当且仅当3b ＝2c 且cos A ＝123时取等号，则a 2＋2b 2＋3c 2的最小值为811.串讲激活串讲1 答案：3.解析：设∠CBA ＝α，AB ＝BD ＝a ，则在△BCD 中，由余弦定理可知CD 2＝2＋a 2＋22sin α，在三角形ABC 中，由余弦定理可知cos α＝a 2＋122a ，可得sin α＝－a 4＋6a 2－122a ，所以CD 2＝2＋a 2＋－a 4＋6a 2－1，令t ＝2＋a 2，则CD 2＝t ＋－t 2＋10t －17＝t ＋－（t －5）2＋8≤2·（t －5）2＋[－（t －5）2＋8]＋5＝9，当(t －5)2＝4时等号成立．∴CD 的最大值为3. 串讲2答案：(1)π3；(2)2.解析：(1)由条件可知a(sin A －sin B)＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理可得a 2＋b 2－c 2＝ab ，又由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ∈(0，π)，得C ＝π3.在△ABC 中可(2)由mtan C＝1tan A＋1tan B ，可得m ＝)tan 1tan 1(B A +tan C ，即m ＝sin Ccos C )sin cos sin cos (A B B A +＝sin C cos C×cos A sin B ＋cos B sin A sin A sin B ＝sin C cos C ×sin C sin A sin B .由正、余弦定理可得m min ＝c 2ab ×1cos C ＝2c 2ab ＝2（a 2＋b 2－ab ）ab ＝2)1(-+baa b ≥2，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以实数m 的最小值为2.新题在线答案：(1)S ＝a )sin 2cos 334(+-αα，α∈)32,3(ππ；(2)AD ＝5＋510时，S 最小．解析：(1)在△ABD 中，由正弦定理得1sin α＝BD sinπ3＝AD sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α，所以BD ＝32sin α，AD ＝3cos α2sin α＋12，则S ＝a )21sin 2cos 3(+αα＋2a )]21sin 2cos 3(1[+-αα＋4a )sin 23(α＝a )23sin 2cos 334(+-α，由题意得α∈)32,3(ππ. (2)令S′＝3a·1－4cosαsin 2α＝0.设cos α0＝14.所以当cos α＝14时，S 最小，此时sin α＝154，AD ＝3cos α2sin α＋12＝5＋510.。

【高考数学大题精做】专题06 三角形中的最值问题(第一篇)(含答案详解)

1 / 26第一篇三角函数与解三角形专题06 三角形中的最值问题【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos a b Bc C-=（1）求角C 的大小．（2）求函数sin sin y A B =+的值域．【思路引导】（1）由2cos cos a b Bc C-=利用正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2C =，可求出C 的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】2 / 26在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值； (2)若b =c a -的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果.【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】3 / 26已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-，再由余弦定理即可得A ；（2）由正弦定理2aR sinA=，可得a ，由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=，从而由12S bscinA =可得解.【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】4 / 26已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，设(sin ,1cos )m B B =-u r ，(2,0)n =r. （1）若23B π=，求m u r 与n r 的夹角θ；（2）若||1,m b ==r，求ABC ∆周长的最大值.【思路引导】（1）将23B π=代入可求得m u r .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅u r r ,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.（2）根据||1m =r 及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a cb +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值.【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】5 / 26如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭..（1）求AE ，AF （用θ表示）；（2）求EAF ∆的面积S 的最小值. 【思路引导】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】6 / 26已知ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-. （1）求B ；（2）设b =ABC V 的面积为S ，求2sin 2S C -的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角B ；（2）用正弦定理把边用角表示，即2sin a A =，2sin c C =，这样2sin 2sin sin 2S C ac B C-=-2sin 2sin sin 22A C C =⋅⋅-，又sin sin()sin()3A B C C π=+=+，2sin 2S C -就表示为C 的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值．【典例7】【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末)】7 / 26ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．【思路引导】（1cos c C -⋅中的边化成角得到cos A =A 的值；（2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.8 / 261. 【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.2. 【辽宁省葫芦岛市六校协作体2019-2020学年高三上学期11月月考】,,a b c 分别为ABC V 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.（1）若1,6b A π==，求sin B ；（2）已知3C π=，当ABC V 的面积取得最大值时，求ABC V 的周长.3. 【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 4. 【2020届湖南省常德市高三上学期期末】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求A ；（2）若a =b c +的最大值.5. 【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(2cos ,)m C b =-r ，(1,cos cos )n a C c A =+r，且//m n r r.（1）求角C 的大小；（2）若c =ABC ∆的周长的取值范围.6. 【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】如图，在四边形ABCD 中，A为锐角，2cos sin()6A A C C π⎛⎫+=-⎪⎝⎭.9 / 26（1）求A C +；（2）设ABD △、CBD V 的外接圆半径分别为1,r 2r ，若1211mr r DB+≤恒成立，求实数m 的最小值. 7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．8. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2b a Cc =+． (1)求角A ；(2)若·3AB AC =u u u r u u u u r ，求a 的最小值．9. 【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测】已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c+的最大值. 10. 【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考】已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=．（1）求角B 的值；（2）若△ABC的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．11. ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆o的面积为（1）求AC ；（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=o ，求DEF ∆面积的最小值.10 / 26第一篇三角函数与解三角形专题08 三角形与平面向量结合问题【典例1】【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试】在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且有()2cos cos cos sin sin A A C B B C +-=（Ⅰ）求角A ；（Ⅰ）若ABC ∆的内切圆面积为π，当AB AC ⋅u u u v u u u v的值最小时，求ABC ∆的面积．【思路引导】（Ⅰ）利用两角和差余弦公式可将已知等式化简为2cos sin sin sin sin A B C C B =，从而求得1cos 2A =；结合()0,A π∈可求得结果；11 / 26（Ⅰ）根据内切圆面积可知内切圆半径为1，由内切圆特点及切线长相等的性质可得到b c a +-=入余弦定理中可得到b c +与bc 的关系，利用基本不等式可构造不等式求得12bc ≥，从而得到当b c =时，AB AC ⋅u u u v u u u v取得最小值，将12bc =代入三角形面积公式即可求得结果.解：（Ⅰ）()()()2cos cos cos cos cos cos A A C B A B C C B +-=-++-⎡⎤⎣⎦Q()cos cos cos sin sin cos cos sin sin 2cos sin sin A B C B C C B C B A B C =-+++= 2cos sin sin sin sin A B C C B ∴=(),0,B C π∈Q ，sin sin 0C B ∴≠ ，1cos 2A ∴=， ()0,A π∈Q ，3A π∴=。

【2020高考数学】三角形中的最值问题专项复习

【2020高考数学】三角形中的最值问题专项复习1.与解三角形相关的结论 (1)在△ABC 中,A>B ⇔ .(2)在锐角三角形ABC 中,A+B>,sin A> .,cos A< .(3)在钝角三角形ABC 中,设C 为钝角,则A+B<,sin A< .,cos A> . (4)在△ABC 中,=||||cos C=abcos C=ab·.2.基本不等式与余弦定理的联系性：222()2a b a b ab +=+-a 2+b 2≥2ab 与ab≤，222()22a b a b ++≥1.边的角度：三边变两边，借助基本不等式求最值；2.角的方向：正弦定理边化角，三角化一角然后借助三角函数有界性求范围；3.函数观点：引入变量，明确变量的范围，建立函数关系式，利用求导等方法求范围；4.结构转化：化简结构，把多元减少为二元或者一元，然后借助对应方法求解.解决与三角形相关的范围问题的方法例(1) ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且满足2a =， ()cos 2cos a B c b A =-．（1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的最大值．2.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos 0a b C c B ++=．（1）求角C 的大小；（2）求sin cos A B 的取值范围．一、单选题1．（2020·黑龙江高三（理））设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，在ABC V 中，6BC =,60BAC ∠=︒,则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．2．（2020·山西高三（理））在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c+=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为（）AB ．2C ．1D ．3．（2018·河南高考模拟（理））已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2b a ac =+，则()2sin sin AB A -的取值范围是（）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．1,22⎛ ⎝⎭C ．1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．0,2⎛ ⎝⎭4．（2019·安徽高三月考（理））阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值(0,1)λλλ>≠的动点的轨迹.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为（）AB C ．43D ．535．（2019·长沙市明德中学高三开学考试（理））已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2+c 2﹣bc ，a ＝3，则△ABC 的周长的最大值为（）A ．B ．6C D ．96．（2019·山西太原五中高三月考）在ABC ∆中，若23()2||CA AB CB AB AB ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则1tan tan A B+的最小值为（）A B ．CD ．27．（2019·河南高三月考（理））在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=-，则C 的取值范围为（）A ．(0,)4πB ．(,)62ππ C ．(,)63ππD ．(,)64ππ8．（2019·吉林高三月考（理））ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若b =ABC ∆的面积为)222=+-S a c b ，则a c +的最大值为（） A ．1B ．2C ．3D ．49．（2019·黑龙江鹤岗一中高三月考（理））锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B =2A ，则asinAb 的取值范围是（）A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．12⎛⎝⎭D ．12⎫⎪⎪⎝⎭10．（2019·重庆南开中学高三月考（理））在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2cos c a a B -=，则3a cb+的最小值为（）AB C ．D ．311．（2019·安徽高考模拟（文））已知锐角ABC V 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，三角形ABC 的面积1ABC S =△，则22a b +的取值范围为( )A ．17,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．()9,+∞C ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．17,92⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．（2019·四川高三月考（文））已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-,若c =，则ABC △的周长的最大值为（）A ．B ．3+C ．D ．3+13．（2019·河南鹤壁高中高考模拟（文））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为,,a b c ，若4ac =，sin 2sin cos 0B C A +=，则ABC ∆面积的最大值为（）A ．1BC ．2D ．4二、填空题14．（2019·河北高三月考（文））已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，且2222a a bcosB b c ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则b +c 的取值范围为_____．15．（2019·安徽高三期末（理））在ABC ∆中，已知22cos 2A A =，若a =，则ABC ∆周长的取值范围为__________．16．（2019·重庆高三月考（理））在ABC ∆中，4BC =，sin 2sin C B =，则当ABC ∆的面积取得最大值时，BC 边上的高为______.17．（2019·江西高三月考（理））设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________. 18．（2019·广东高考模拟（文））在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 19．（2019·辽宁沈阳二中高三月考（理））已知ABC ∆为锐角三角形，满足()222sin sin sin sin sin tan B C B C A A =+-，ABC ∆外接圆的圆心为O ，半径为1，则()A AB ACO +⋅u u u r u u u r u u u r 的取值范围是______.【2020高考数学】三角形中的最值问题专项复习例(1)ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且满足2a =， ()cos 2cos a B c b A =-．（1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的最大值．【答案】解：（1）由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=． 2ccosA acosB bcosA +=由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=2sinCcosA sinAcosB sinBcosA +=，即()sin 2sin cos A B C A += ()sin A B 2sinCcosA +=．因为()()sin sin sin A B C C π+=-=， ()()sin A B sin πC sinC +=-= 所以sin 2sin cos C C A =． sinC 2sinCcosA = 因为sin 0C ≠ sinC 0≠，所以1cos 2A =．因为0A π<<，所以π33A π=．（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 2222a b c bccosA =+- 得224bc b c +=+，即()234b c bc +=+．因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以()()22344b c b c +≤++．即4b c +≤（当且仅当2b c ==2b c == 时等号成立）．所以6a b c ++≤．故△ABC 周长 a b c ++的最大值为6．2.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos 0a b C c B ++=．（1）求角C 的大小；（2）求sin cos A B 的取值范围．【答案】解：（1）因为()2cos cos 0a b C c B ++=，所以()2cos cos cos a C b C c B =-+，由正弦定理得()()2sin cos sin cos sin cos sin sin A C B C C B B C A =-+=-+=-，因为在ABC ∆中sin 0A ≠，所以1cos 2C =-，所以23C π=．（2）由（1）知3A B π+=，所以033B A A ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜＜，所以1sin cos sin cos sin cos 32A B A A A A A π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin 22sin 2423A A A π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为03A π＜＜，所以2333A πππ--＜＜，此时1sin 223A π⎛⎫- ⎪⎝⎭＜，则10sin 223A π⎛⎫- ⎪⎝⎭＜sin cos A B 的取值范围为⎛ ⎝⎭．一、单选题1．（2020·黑龙江高三（理））设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，在ABC V 中，6BC =,60BAC ∠=︒,则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】ABC V 中，6BC =,60BAC ∠=︒，则62sin sin 60a r r A ===∴=︒max 6h R ==222222cos 36a b c bc A b c bc bc bc =+-=+-≥∴≤ ，1sin 2S bc A =≤当6a b c ===时等号成立，此时13V Sh ==，故选：B2．（2020·山西高三（理））在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c+=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为（）A B ．2C ．1D ．【答案】A【解析】因为222sin()SA C b c +=-，即222sin S B b c=-，所以22sin sin ac BB b c=-，因为sin 0B ≠，所以22b c ac =+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2cos a c B c -=，再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=，因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C -=+-=-，所以sin()sin B C C -=，所以B C C -=或B C C π-+=，得2B C =或B π=（舍去）.因为ABC ∆是锐角三角形，所以02022032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，得64C ππ<<，即tan C ∈，所以11tan tan 2tan()2tan C C B C C+=+≥-，当且仅当tan 2C =，取等号.故选:A 3．（2018·河南高考模拟（理））已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2b a ac =+，则()2sin sin AB A -的取值范围是（） A．0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．1,22⎛⎝⎭ C．1,22⎛⎝⎭D．0,2⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】因为2()b a a c =+，所以22b a ac =+，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B a ac +-=+，所以2cos a a B c +=，由正弦定理得sin 2sin cos sin A A B C +=，因为()C A B π=-+，所以sin 2sin cos sin()sin cos cos sin A A B A B A B A B +=+=+，即sin sin()A B A =-，因为三角形是锐角三角形，所以(0,)2A π∈，所以02B A π<-<，所以A B A =-或A B A π+-=，所以2B A =或B π=（不合题意），因为三角形是锐角三角形，所以0,02,03222A A A ππππ<<<<<-<，所以64A ππ<<，则2sin 1sin (sin()2A A B A =∈-，故选C.4．（2019·安徽高三月考（理））阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值(0,1)λλλ>≠的动点的轨迹.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为（）A BC ．43D ．53【答案】C【解析】依题意，sin 2sin A B =，得2BC AC =，222222cos cos 222a c b b c a a B b A c c c+-+-+=+==即2AB =，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B -，设(,),0C x y x ¹，由2BC AC =，则C 的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为22516(),039x y x -+=?，边AB 高的最大值为43，∴max 4()3ABC S ∆=.故选:C5．（2019·长沙市明德中学高三开学考试（理））已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2+c 2﹣bc ，a ＝3，则△ABC 的周长的最大值为（）A ．B ．6C D ．9【答案】D【解析】由题,222b c a bc +-=,即()22223a b c bc b c bc =+-=+-,()293b c bc ∴=+-,()2224b c b c bc ++⎛⎫≤=⎪⎝⎭Q , ()()()22231944b c b c b c +∴≥+-=+,即()236b c +≤,则6b c +≤,当且仅当b c =时取等,()()max 369ABC C a b c ∴=++=+=V ,故选：D6．（2019·山西太原五中高三月考）在ABC ∆中，若23()2||CA AB CB AB AB ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则1tan tan A B+的最小值为（） AB．CD【答案】B【解析】设ABC △的内角A ，B ，C 所对应的三条边分别为a b c ，，，则有3(?·)CA AB CB AB +=u u u r u u u r u u u r u u u r23(cos cos )2bc A ac B c -+=，由正弦定理得：()()3sinBcosA sinAcosB 22sin sinC A B -+==+ 展开可得sin cos 5cos sin A B A B =，所以tan 5tan A B =，则1tan tan A B +=15tan tan B B +≥tan B =时，等号成立，故选B ．7．（2019·河南高三月考（理））在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=-，则C 的取值范围为（）A ．(0,)4π B ．(,)62ππ C ．(,)63ππD ．(,)64ππ【答案】D【解析】因为222sin()SA C b c +=-，即222sin S B b c =-，所以22sin sin ac BB b c=-，因为sin 0B ≠，所以22b c ac =+.由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2cos a c B c -=，再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=.因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C -=+-=-，所以sin()sin B C C -=，所以B C C -=或B C C π-+=，得2B C =或B π=（舍去）.因为ABC △是锐角三角形，所以0,202,203,2C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩得64C ππ<<.故选：D.8．（2019·吉林高三月考（理））ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c，若b =ABC ∆的面积为)2224=-+-S a c b ，则a c +的最大值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】由余弦定理可得：2222cos a c b ac B =+-，又)222=+-S a c b ，1sin cos 2∴=ac B B，因此tan B =23B π=.所以(22222222()32cos ()()()44+==+-=+-+-=+a c b a c ac B a c ac a c a c …，即223()4a c +…2()16a c ∴+…，即4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，故a c +的最大值为4. 故选：D9．（2019·黑龙江鹤岗一中高三月考（理））锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B =2A ，则asinAb 的取值范围是（） A．62⎛⎫⎪⎪⎝⎭B．42⎛⎝⎭C．1,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭ D．1,62⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】∵2B A =，∴sin 22B sin A sinAcosA ==，由正弦定理得2b acosA =，∴12a b cosA =，∴sin 122a A sinA tanAb cosA ==． ∵ABC ∆是锐角三角形，∴02022032A B A C A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，解得64A ππ<<，∴13tanA <<，∴11622tanA <<．即sina Ab的值范围是31,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭．故选D10．（2019·重庆南开中学高三月考（理））在ABC∆中，内角A B C，，所对的边分别为a b c，，，若2cosc a a B-=，则3a cb+的最小值为（）A．2B．3C．22D．3【答案】C【解析】因为2cosc a a B-=，由余弦定理可得：22222+--=⋅a c bc a aac，整理得：2=-bc aa，所以22322222++==+≥⋅=baa c ab a bab b b a b a，当且仅当2a bb a=，即2b a=时，取等号.故选：C11．（2019·安徽高考模拟（文））已知锐角ABCV的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1c=，三角形ABC的面积1ABCS=△，则22a b+的取值范围为()A．17,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．()9,+∞C．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．17,92⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】因为三角形为锐角三角形，所以过C作CD AB⊥于D，D在边AB上，如图：因为：112S ABC AB CD=⋅=V，所以2CD=，在三角形ADC中，2224AD AC CD b=-=-在三角形BDC中，2224BD BC CD a-=-1AD BD AB +==Q ，1=，222222224488(18a b a b ∴+=-+-+=++=++29=-()0,1Q ．设()0,1t 222229a t t b ∴=-++结合二次函数的性质得到：2217,92a b ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭．故选D ．12．（2019·四川高三月考（文））已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-,若c =，则ABC △的周长的最大值为（）A ．B ．3+C ．D ．3+【答案】C【解析】由正弦定理得()22a b a c b -⋅=-，222a b c ab +-=，所以222cos 122a b c C ab +-==，因为0πC <<，所以π3C =，由正弦定理求得4sin sin sin a b cA B C===.所以4sin 4sin a b c A B ++=++2π4sin 4sin 3A A ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭π6A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2π03A <<，故当π3A =时，周长取得最大值为=.故选：C.13．（2019·河南鹤壁高中高考模拟（文））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为,,a b c ，若4ac =，sin 2sin cos 0B C A +=，则ABC ∆面积的最大值为（）A ．1 BC ．2D ．4【答案】A【解析】由正弦定理得：2cos 0b c A +=由余弦定理得：222202b c a b c bc+-+⋅=，即2222b a c =-22222222232cos 22442a c a c a cb ac B ac ac ac ac -+-+-+===≥=当且仅当23c =，23b =，2a = 0,6B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦,1sin 2B ∴≤则111sin 41222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=，所以ABC ∆面积的最大值1. 故选A . 二、填空题14．（2019·河北高三月考（文））已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，且2222a a bcosB b c ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则b +c 的取值范围为_____．【答案】)+∞【解析】4a =Q ，且222(cos )2a a b B b c -+=，2222cos a ab B b c ∴-+=，即2222cos a b c ab B +-=，又Q 由余弦定理可得2222cos a b c ab C +-=，∴可得2cos 2cos ab B ab C =，即cos cos B C =，B C ∴=，b c =，又A 为锐角，cos (0,1)A ∴∈， 4a =Q ，4b c ∴+>，设b c x ==，由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-，2221622cos 2(1cos )x x A x A ∴=-=-g ，∴2881cos x A=>-，∴x >2x >故b c +>)+∞．15．（2019·安徽高三期末（理））在ABC ∆中，已知22cos 23A A =，若a =，则ABC ∆周长的取值范围为__________．【答案】(4+【解析】由题意，22cos 112A A -=-，即cos 1A A -=-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=，设ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥，（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为()22212b c bc b c bc =++=+-，所以()2124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+又因为b c a +>，所以2a b c a ++>=即4a b c ++≤+故ABC ∆周长的取值范围为(+.16．（2019·重庆高三月考（理））在ABC ∆中，4BC =，sin 2sin C B =，则当ABC ∆的面积取得最大值时，BC 边上的高为______. 【答案】83.【解析】以线段BC 所在的直线为x 轴，以线段BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，如图所示：则()2,0B -，()2,0C ，因为sin 2sin C B =，所以2AB AC =设(),A x y =()221064039x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭则当ABC ∆面积取得最大值时，A 的坐标为108,33⎛⎫± ⎪⎝⎭，则BC 边上的高为83.故答案为：8317．（2019·江西高三月考（理））设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.【答案】34【解析】()cos cos A C B --Q ()()1cos cos 2A C A C =-++=， 1cos cos 4A C ∴=，①又,,a b c Q 成等比数列，2b ac ∴=，由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，②①-②得21sin cos cos sin sin 4B A C A C -=-()cos cos A C B =+=-， 21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==，由()1cos cos 2A C B --=，得()1cos cos 12A CB -=+=，0,AC A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ，则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD o ∆=⋅ ()()133222a a a =-=- ()2233444a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立．即ACD ∆18．（2019·广东高考模拟（文））在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.19．（2019·辽宁沈阳二中高三月考（理））已知ABC ∆为锐角三角形，满足()222sin sin sin sin sin tan B C B C A A =+-，ABC ∆外接圆的圆心为O ，半径为1，则()A AB ACO +⋅u u u r u u u r u u u r的取值范围是______.【答案】722⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【解析】根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==，将()222sin sin sin sin sin tan B C B C A A =+-转化为222sin 12cos 2b c a A bc A +-⋅=即1sin 2A =，又因A 为锐角，所以6A π=.所以()()2AB A OA OA OB OC A C O ⋅=+⋅+-u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u u r u r u u u r22OA OB OA OC OA =⋅+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r cos cos 2AOB AOC =∠+∠-cos2cos22C B =+-5cos 2cos 222B B π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭3cos 2222B B =-226B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为ABC ∆是锐角三角形，所以22B B A ππ⎧<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，所以32B ππ<<，得572666B πππ<+<，722262B π⎛⎫⎡⎫+-∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭故()A AB AC O +⋅u u u r u u u r u u u r的取值范围是722⎡⎫---⎪⎢⎣⎭.。

解三角形中的范围(最值)问题教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习

微专题：解三角形中的范围(最值)问题教学设计一、教学内容分析在高中数学知识体系中，解三角形是一个基础知识点，也是高考的一个必考点。

在解三角形的题型中，考查正弦定理和余弦定理的应用，涉及最值和范围的问题相对较难，综合性也较强。

解三角形问题是高考高频考点，在解三角形中的求最值或范围问题是高三复习中的难点，这类问题常常在知识的交汇点处命题，其涵盖及关联三角函数、平面向量、平面几何、基本不等式、导数等多领域的知识。

近几年的高考突出以能力立意，加强对知识综合性的考查，故常常在知识的交汇处设计问题。

主要考查“三基”（基本知识、基本技能、基本思想和方法）以及综合能力，对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，以选择题、填空题、解答题体现。

试题难度多为容易题和中档题，主要考查灵活变式求解计算能力，推理论证能力，数学应用意识，数形结合思想等。

而在解三角形中求解某个量（式子）最值或范围是命题的热点，又是一个重点，本节课通过近几年高考试题及模拟试题进行分析，对解三角形的范围(最值)进行优化归纳，并给出针对性巩固练习，以期求得热点难点的突破。

二、学情诊断分析授课对象为高三平行班学生。

本节课之前，学生已经学习了正余弦定理、基本不等式、三角函数、导数等有关内容，但是对于知识前后间联系、理解、应用综合性强的题有一定难度，学习起来比较吃力。

题目稍作变形就不会，独立分析、解决问题的能力有限。

但对一些简单数学规律和基本数学方法的学习，具有一定的基础。

本节课是针对他们在做此类型题目中能做但不能得全对的情形下做的一个探究归纳，使学生对此类问题有一个更高更深刻的认识掌握，解题能力有一个提升。

三、教学目标分析1.巩固正弦、余弦定理的应用，学会利用均值不等式、三角函数有界性和导数在处理范围问题中的应用；2.强化转化与化归的数学思想以及数形结合的数学思想，提高学生研究问题，分析问题与解决问题的能力。

四．教学重难点分析重点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的运用，能运用正弦余弦和差角公式进行简单的三角函数的恒等变换，理解基本不等式、三角函数的图像与性质和导数简单应用。

微专题6与不等式相关的三角最值问题答案

微专题61．答案：12.解析：由a 2＋b 2＝2c 2，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 24ab≥2ab 4ab ＝12，当且仅当a ＝b 时取等号，所以cos C 的最小值为12.2．答案：2 3.解析：由余弦定理得cos π3＝b 2＋c 2－32bc，整理得b 2＋c 2＝3＋bc ，则有(b ＋c )2＝3＋3bc ≤3＋⎝⎛⎭⎫c ＋b 22，即(b ＋c )2≤12，所以b ＋c ≤23，当且仅当b ＝c 时取等号．所以b ＋c 的最大值为2 3.3．答案：32.解析：由sin A sin(B －C )＝sin B sin C cos A ，得sin A (sin B cos C －cos B sin C )＝sin B sin C cos A ，由正弦定理可得ab cos C －ac cos B ＝bc cos A ，由余弦定理可得ab ·a 2＋b 2－c 22ab －ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc，化简得a 2＋b 2＝3c 2，又因为3c 2＝a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，可得ab c 2≤32，所以ab c 2的最大值为32. 4．答案：255.解析：S △ABC ＝12ab sin C＝12ab 1－cos 2C ＝ 12（ab ）2－（a 2＋b 2－c 2）24＝12（ab ）2－（8－3c 2）24而2ab ≤a 2＋b 2＝8－2c 2ab ≤4－2c 2，所以S △ABC ≤ 12（4－c 2）2－（8－3c 2）24＝14c 2（16－5c 2）≤ 14×5c 2＋（16－5c 2）25＝255，当且仅当a ＝b ，c 2＝85时取等号． 5．答案：52316.解析：设∠BAP ＝α，∠CAP ＝β，由余弦定理得PB 2＝4－23cos α，PC 2＝4－23cos β.因为PB 2＋PC 2＝3，所以cos α＋cos β＝536.设sin α－sin β＝t ，两式平方相加得cos(α＋β)＝124＋t 2≥124，当且仅当t ＝0，即sin α＝sin β时取等号，此时cos A ＝cos(α＋β)的最小值为124，即sin A 的最大值为52324，所以S △ABC ＝12AB ·AC ×sin A ≤52316.6．答案：100. 解析：由正弦定理得kb 2＋ac ＞19bc ，则k 大于19bc －acb 2的最大值.19bc －ac b 2＝（19b －a ）cb 2＜（19b －a ）（a ＋b ）b 2＝－⎝⎛⎭⎫a b －92＋100≤100.因此k ≥100，即k 的最小值为100.7．答案：(1)π3；(2)1.解析：(1)由正弦定理可得cos B cos C＝2a －b c＝2sin A －sin Bsin C ，可得cos B sin C＝(2sin A －sin B )cos C ，即sin(B ＋C )＝2sin A cos C ，sin A ＝2sin A cos C ，在△ABC 中，sin A ≠0，cos C ＝12，所以C＝π3. (2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝4－3ab ，又因为ab ≤（a ＋b ）24＝1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，所以c 2＝4－3ab ≥1，即c ≥1，故c 的最小值为1.8．答案：(1)16 5 m ；(2)①80sin θsin θ＋2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2；②当sin θ＝22－2时，绿化区域面积之和最大．解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系．(1)直线PB 的方程为y ＝2x ，半圆O 的方程为x 2＋y 2＝402(y ≥0)，由⎩⎨⎧y ＝2x ，x 2＋y 2＝402（y ≥0），得y ＝16 5.所以，点P 到AD 的距离为16 5 m.(2)①由题意，得P (40cos θ，40sin θ)．直线PB 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ＋1(x ＋40)，令y＝0，得x E ＝80cos θ＋80sin θ＋2－40＝80cos θ－40sin θsin θ＋2.直线PC 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ－1(x －40)，令y ＝0，得x F ＝80cos θ－80sin θ＋2＋40＝80cos θ＋40sin θsin θ＋2.所以，EF 的长度为f (θ)＝x F －x E ＝80sin θsin θ＋2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为S 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫80－80sin θsin θ＋2×80＝6400sin θ＋2，区域Ⅱ的面积为S 2＝12×EF ×40sin θ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫80sin θsin θ＋2×40sin θ＝1600sin 2θsin θ＋2，所以S 1＋S 2＝1600sin 2θ＋6400sin θ＋2⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2.设sin θ＋2＝t ，则2＜t ＜3，S 1＋S 2＝ 1600（t －2）2＋6400t ＝1600⎝⎛⎭⎫t ＋8t －4≥1600(28－4)＝6400(2－1)．当且仅当t ＝22，即sin θ＝22－2时“＝”成立．所以，休闲区域Ⅱ，Ⅳ，Ⅵ的面积S 1＋S 2的最小值为6400(2－1)m 2.答：当sin θ＝22－2时，绿化区域Ⅰ，Ⅲ，Ⅴ的面积之和最大．。

解三角形中的最值与范围问题(解析版)

专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。

二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．【分析】设220CDBD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理设220CDBD m ==>，则在ABD △中，2222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+−⋅∠=+−，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++−++−===−+++++++44≥=−当且仅当311m m +=+即1m =−时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m =−.1.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系. 则C （2t,0），A （1，B （-t,0）()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD −+−+∴===−≥−++++++++==当且仅当即时等号成立。

2020江苏高考数学二轮热点难点微专题突破-微专题01-与解三角形有关的最值问题

2020江苏高考数学二轮热点难点微专题突破-微专题01 与解三角形有关的最值问题与三角形有关的最值问题主要涉及求三角函数值最值，边长的最值，面积、向量的最值．解决这类的问题方法有：一、将所给条件转化为三角函数，利用三角函数求解最值；二、将所给条件转化为边，利用基本不等式或者函数求解最值；三、建立坐标系，求出动点的轨迹方程，利用几何意义求解最值；四、多元问题可消元后再用上述方法求解．如2018年T14就是与解三角形有关的最值问题．【例1】在△ABC 中，已知A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为________．答案：255解析：(解法1)因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－8－a 2－b 222ab ＝3(a 2＋b 2)－84ab ≥3ab －42ab，所以ab ≤43－2cos C ，从而S ＝12ab sin C ≤2sin C 3－2cos C .设t ＝2sin C3－2cos C，则3t ＝2sin C ＋2t cos C ＝2t 2＋1·sin(C ＋φ)，其中tan φ＝t ，故3t ≤2t 2＋1，解得t ≤255，所以S max ＝255，当且仅当a ＝b ＝2155且tan C ＝52时，等号成立．(解法2)以AB 所在的直线为x 轴，它的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫－c 2，0，B ⎝⎛⎭⎫c 2，0，C (x ，y )，则由a 2＋b 2＋2c 2＝8得⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＋⎝⎛⎭⎫x ＋c22＋y 2＋2c 2＝8，即x 2＋y 2＝4－5c 24，即点C 在圆x 2＋y 2＝4－5c 24上，所以S ≤c 2r ＝c 24－54c 2＝12·－54⎝⎛⎭⎫c 2－852＋165≤255，当且仅当c 2＝85时取等号，故S max ＝255.【方法规律】1. 注意到a 2＋b 2＋2c 2＝8中a ，b 是对称的，因此将三角形的面积表示为S ＝12ab sin C ，利用余弦定理将ab 表示为C 的形式，进而转化为三角函数来求它的最值．2. 将c 看作定值，这样满足条件的三角形就有无数个，从而来研究点C 所满足的条件，为此建立直角坐标系，从而根据条件a 2＋b 2＋2c 2＝8得到点C 的轨迹方程，进而来求出边AB 上的高所满足的条件．3. 解法1是从将面积表示为角C 的形式来加以思考的，而解法2则是将面积表示为边c 的形式来加以思考的．这两种解法都基于一点，即等式a 2＋b 2＋2c 2＝8中的a ，b 是对称关系．解法2则是从运动变化的角度来加以思考的，这体现了三角函数与解析几何之间的千丝万缕的关系．解法1是一种常规的想法，是必须要认真体会的，而解法2就需要学生能充分地认识知识与知识之间的联系．本题对学生的知识的应用要求、思考问题、分析问题、解决问题的能力要求都比较高．【例2】在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B.(1) 求角C 的大小；(2) 若△ABC 的外接圆直径为1，求a 2＋b 2＋c 2的取值范围．解析：(1) 因为tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B ，即sin C cos C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ，即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ，所以sin(C －A )＝sin(B －C )．所以C －A ＝B －C 或C －A ＝π－(B －C )(不成立)，即2C ＝A ＋B ，所以C ＝π3.(2) (解法1)由C ＝π3可得c ＝2R sin C ＝1×32＝32，且a ＝2R sin A ＝sin A ，b ＝2R sin B ＝sin B .设A ＝π3＋α，B ＝π3－α，0<A <2π3，0<B <2π3，知－π3<α<π3.所以a 2＋b 2＋c 2＝34＋sin 2A ＋sin 2B ＝34＋1－cos2A 2＋1－cos2B 2＝74－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝74＋12cos2α. 由－π3<α<π3知－2π3<2α<2π3，－12<cos2α≤1，故32<a 2＋b 2＋c 2≤94.(解法2)因为C ＝π3，所以c ＝2R sin C ＝1×32＝32.又因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以34＝a 2＋b 2－ab ≥a 2＋b 22，故a 2＋b 2≤32.又a 2＋b 2＝34＋ab >34，故a 2＋b 2＋c 2∈⎝⎛⎦⎤32，94.【方法规律】点评：本题的第(2)问是一种典型问题即三角形中有一个边以及对角为定值，求与两个边或两个角有关系的最值问题．如本题中C ＝π3，c ＝32，可以求a 2＋b 2，a ＋b ，ab ，sin A ＋sin B ，sin A sin B ，cos A ＋cos B ，cos A cos B 的取值范围．方法有二：一是利用A ＋B ＝2π3，进行消元(代入消元或中值换元(如本题解法一))，转化为三角函数值域求解；二是利用基本不等式，但基本不等式比较适合求一种最值，求范围有时不适合．本题如果加大难度，可以将三角形改成锐角三角形，这时基本不等式就不太适合了．（通过本课题的学习，你学到了什么？你还有其它疑惑吗？）A 组1．在△ABC 中，已知2cos 2A 2＝33sin A ，若a ＝23，则△ABC 周长的取值范围为________．答案：(43，4＋23]解析：由2cos 2A 2＝33sin A ，可得cos A ＋1＝33sin A ，则233sin ⎝⎛⎭⎫A －π3＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫A －π3＝32，又0＜A ＜π，可解得A ＝2π3.所以b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝4，即b ＝4sin B ，c ＝4sin C ，从而a ＋b＋c ＝23＋4sin B ＋4sin C ＝23＋4sin B ＋4sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ＝23＋4sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3.又0＜B ＜π3，所以π3＜B ＋π3＜2π3，可得43＜23＋4sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B ≤4＋23，即a ＋b ＋c ∈(43，4＋23]．2．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A cos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________．答案：2＋12解析：(解法1)因为sin C ＝2cos A cos B ，所以sin(A ＋B )＝2cos A cos B ，化简得tan A ＋tan B ＝2， cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A sin 2A ＋cos 2A ＋cos 2B sin 2B ＋cos 2B＝1tan 2A ＋1＋1tan 2B ＋1＝tan 2A ＋tan 2B ＋2(tan A tan B )2＋tan 2A ＋tan 2B ＋1＝(tan A ＋tan B )2－2tan A tan B ＋2(tan A tan B )2＋(tan A ＋tan B )2－2tan A tan B ＋1 ＝6－2tan A tan B(tan A tan B )2－2tan A tan B ＋5.因为(tan A tan B )2－2tan A tan B ＋5>0，所以令6－2tan A tan B ＝t (t >0)，则cos 2A ＋cos 2B ＝4tt 2－8t ＋32＝4t ＋32t－8≤4232－8＝2＋12(当且仅当t ＝42时取等号)． (解法2)由解法1得tan A ＋tan B ＝2，令tan A ＝1＋t ，tan B ＝1－t ，则cos 2A ＋cos 2B ＝1tan 2A ＋1＋1tan 2B ＋1＝1t 2＋2＋2t ＋1t 2＋2－2t ＝2(t 2＋2)(t 2＋2)2－4t 2，令d ＝t 2＋2≥2，则cos 2A ＋cos 2B ＝2dd 2－4d ＋8＝2d ＋8d－4≤228－4＝2＋12，当且仅当d ＝22时等号成立． (解法3)因为sin C ＝2cos A cos B ，所以sin C ＝cos(A ＋B )＋cos(A －B )，即cos(A －B )＝sin C ＋cos C ，cos 2A ＋cos 2B ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2B 2＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－cos C (sin C ＋cos C )＝12－12(sin2C ＋cos2C )＝12－22sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π4≤12＋22＝2＋12，当且仅当2C ＋π4＝3π2，即C ＝5π8时取等号．3．在锐角三角形 ABC 中，已知2sin 2 A ＋ sin 2B ＝ 2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________．答案：132解析：因为 2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，所以由正弦定理可得2a 2＋b 2＝2c 2. 由余弦定理及正弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝b 24ab ＝b 4a ＝sin B4sin A .又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C 4sin A ＝cos C 4＋sin C4tan A，可得tan C ＝3tan A ，代入tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C 得tan B ＝4tan A3tan 2A －1，所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C ＝1tan A ＋3tan 2A －14tan A ＋13tan A ＝3tan A 4＋1312tan A .因为A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以tan A >0，所以3tan A 4＋1312tan A≥23tan A 4×1312tan A ＝132，当且仅当3tan A 4＝1312tan A ，即tan A ＝133时取“＝”．所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为132.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，b )，n ＝(cos A ，cos B )，p ＝⎝⎛⎭⎫22sinB ＋C2，2sin A ，若m ∥n ，|p |＝3. (1) 求角A ，B ，C 的值；(2) 若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求函数f (x )＝sin A sin x ＋cos B cos x 的最大值与最小值．解析：(1) 因为m ∥n ，所以a cos B ＝b cos A .由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ，所以sin(A －B )＝0. 又－π<A －B <π，所以A ＝B . 而p 2＝|p |2＝8sin 2B ＋C2＋4sin 2A ＝9，所以8cos 2A 2＋4sin 2A ＝9，所以4cos 2A －4cos A ＋1＝0，所以(2cos A －1)2＝0，所以cos A ＝12.又0<A <π，所以A ＝π3，所以A ＝B ＝C ＝π3.(2) f (x )＝sin x cos π6＋cos x sin π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 所以x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝12，x ＝π3时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝1.B 组1．已知△ABC 中，B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为________．答案：4＋42解析：(解法1)如图，设△ABC 的外接圆为圆O ，其直径2R ＝AC sin ∠ABC ＝4sin45°＝4 2.取AC的中点M ，则OM ＝Rcos45°＝2.过点B 作BH ⊥AC 于点H ，要使△ABC 的面积最大，当且仅当BH 最大．而BH ≤BO ＋OM ，所以BH ≤R ＋22R ＝22＋2，所以(S △ABC )max ＝⎝⎛⎭⎫12AC ·BH max＝12×4×(2＋22)＝4＋42，当且仅当BA ＝BC 时取等号．（解法2）如图，同上易知，△ABC 的外接圆的直径2R ＝4 2.S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝2R 2sin A sin B sin C ＝82sin A sin C ＝42⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫3π4－2C ＋22，当A ＝C ＝3π8时，(S △ABC )max ＝4＋4 2. 2．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，则sin A ＋sin C 的最大值为________．答案：3解析：因为a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B . 又sin B ≠0，故cos B ＝12.又B ∈(0，π)，故B ＝π3，即A ＋C ＝23π.设A ＝π3＋α，C ＝π3－α，0＜A ＜2π3，0＜C ＜2π3，知－π3＜α＜π3.故sin A ＋sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin π3cos α≤3(当α＝0即A ＝C 时取得)． 3．已知△ABC 的内角A, B, C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2A ＋sin 2B －sin 2C a cos B ＋b cos A ＝sin A sin Bc ，若a ＋b ＝4，则c 的取值范围为________．答案：[2,4)解析：因为sin 2A ＋sin 2B －sin 2C a cos B ＋b cos A ＝sin A sin B c ，由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2sin C ＝absin A cos B ＋sin B cos A＝ab sin (A ＋B )＝ab sin C ，所以a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，所以C ＝π3，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝16－3ab ≥16－3×⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，所以c ≥2.又三角形的两边之和大于第三边，所以2≤c ＜4.4．在△ABC 中，三边长分别是a ，b ，c ，面积S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值是________．答案：6417解析：因为S ＝a 2－(b －c )2，所以12bc sin A ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ＝2bc －2bc cos A ，所以sin A＝4(1－cos A )．又sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin A ＝817，所以S ＝12bc sin A ＝417bc ≤417⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝6417.5．在锐角三角形ABC 中，BC ＝2，sin B ＋sin C ＝2sin A ，则中线AD 长的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫3，132 解析：设△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由a ＝2，sin B ＋sin C ＝2sin A ，得b ＋c ＝4.因为△ABC 为锐角三角形，所以有⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋c 2>a 2，a 2＋c 2>b 2，a 2＋b 2>c 2，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋(4－b )2>4，4＋(4－b )2>b 2，b 2＋4>(4－b )2，解得32＜b＜52，则bc ＝b (4－b )∈⎝⎛⎦⎤154，4.因为|AD →|2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(AB →＋AC →)2＝14⎝⎛⎭⎫b 2＋c 2＋2bc ·b 2＋c 2－42bc ＝14(28－4bc )＝7－bc ∈⎣⎡⎭⎫3，134，即AD ∈⎣⎡⎭⎫3，132. 6．在斜三角形ABC 中，1tan A ＋1tan B ＋2tan C ＝0，则tan C 的最大值是__________．答案：－3解析：因为A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B.又1tan A ＋1tan B ＋2tan C ＝0，有tan A ＋tan B tan A tan B －2(tan A ＋tan B )1－tan A tan B＝0. 若tan A ＋tan B ＝0，则tan C ＝0，不符合题意，所以tan A ＋tan B ≠0，因此1tan A tan B －21－tan A tan B＝0，解得tan A tan B ＝13，因为A ，B ，C 中至多有一个钝角，所以tan A ＞0，tan B ＞0，tan C ＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－tan A ＋tan B 1－13＝－32(tan A ＋tan B )≤－32×2tan A tan B ＝－ 3.当且仅当tan A ＝tan B ＝33时，上式取等号．7．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列． (1) 若BA →·BC →＝32，b ＝3，求a ＋c 的值；(2) 求2sin A －sin C 的取值范围．解析：(1) 因为A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝π3.因为BA →·BC →＝32，所以ac cos B ＝32，所以12ac ＝32，即ac ＝3.因为b ＝3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以a 2＋c 2－ac ＝3，即(a ＋c )2－3ac ＝3，所以(a ＋c )2＝12，所以a ＋c ＝23 (2) 2sin A －sin C ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－C －sin C ＝2⎝⎛⎭⎫32cos C ＋12sin C －sin C ＝3cos C . 因为0＜C ＜2π3，所以3cos C ∈⎝⎛⎭⎫－32，3.所以2sin A －sin C 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，3.8．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0.(1) 求角B 的大小； (2) 若b ＝23，试求AB →·CB →的最小值．解析：(1) 因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0，所以(2a ＋c )ac cos B ＋cab cos C ＝0，即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0，所以2sin A cos B ＋sin(C ＋B )＝0，即cos B ＝－12，所以B ＝2π3.(2) 因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，所以12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，即ac ≤4.所以AB →·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2，即AB →·CB →的最小值为－2.。

微专题三角函数与解三角形中最值问题

A． B． C． D．
【分析】在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值.
【解析】∵直线是曲线的一条对称轴. ，又 . .∴平移后曲线为 .曲线的一个对称中心为 . .
，注意到，故的最小值为 .故选：C.
例题9：某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
1．（2020·黑龙江高三）若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.则在区间上的最小值为（）
A． B． C． D．
【分析】注意平移是针对自变量x，所以，再利用整体换元法求值域（最值）即可.
【解析】由已知，
，又，故，
，所以的最小值为 .
2．（2020·河北正定中学高三）已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（）
0
0
5
0
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得 .数据补全如下表：
0
0
5
0
0
且函数表达式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得．
因为的对称中心为，．令，解得，．
5．（2020北京高三）将函数图像上的点向左平移 ( )个单位长度得到点．若位于函数的图像上，则
A．，的最小值为 B．，的最小值为
C．，的最小值为 D．，的最小值为
【解析】因为点在函数的图象上，所以，
又在函数的图象上，所以，则或，，得或，．又，故的最小值为，故选A．

高考数学二轮复习专题03 解三角形之最值、范围问题(解析版)

解三角形之最值、范围问题一、单选题1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =c sin B ，则tan A 的最大值为（） A ．1 B ．54C ．43D ．32【答案】C2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且,,A B C 成等差数列，2b =，则a c +的取值范围是（）A ．(]2,3B ．(]2,4C ．(]0,4 D ．(2,【答案】B3．锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2225a b c +=，则cos C 的取值范围是（）A ．(12 B ．(112，） C ．[453，) D ．[45，1) 【答案】C4．在ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+，6a c +=，则ABC 的面积的最大值为（）A ．B CD ．【答案】D5．已知ABC 三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos sin 0A a C +=，若角A 的平分线交BC 于D 点，且1AD =，则b c +的最小值为( )A ．2B ．C ．4D ．【答案】C6．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，且()()()3sin sin sin c B C a A c -+=-⋅，则ABC 周长的最大值为（）A ．8B ．9C ．12D ．15【答案】B二、解答题7．已知函数()2cos 3cos 1f x x x x -+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c .若()1,f C c ==D 为AB 的中点，求CD 的最大值. 【答案】（1）递减区间511[,]1212k k k Z ππππ++∈；（2）32. 8．现有三个条件①sin()sin ()sin c A B b B c a A +=+-，②tan 2sin b aB A=，③(1cos )sin a B A +=，请任选一个，填在下面的横线上，并完成解答．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______．（1）求角B ；（2）若a c +=求ABC 周长的最小值，并求周长取最小值时ABC 的面积．【答案】（1）3π；（2）.9．如图，在四边形ABCD 中，CD =BC =cos CBD ∠=.（1）求BDC ∠；（2）若3A π∠=，求ABD △周长的最大值. 【答案】（1）6π；（2）12 10．已知ABC 的内角、、A B C 所对的边分别是,,,a b c 在以下三个条件中任先一个：①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-；②sin4A =③sin sin 2B C b a B +=；并解答以下问题：（1）若选___________(填序号)，求A ∠的值；（2）在（1）的条件下，若(0)a b m m ==>，当ABC 有且只有一解时，求实数m 的范围及ABC 面积S 的最大值.【答案】（1）条件选择见解析；60A =；（2）({}2m ∈⋃，max S =. 11．已知函数()21sin cos cos 62f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）当[],0x π∈-时，求出函数()f x 的最大值，并写出对应的x 的值；（2）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()12f A =，4b c +=，求a 的最小值. 【答案】（1）当56x =-π时，函数()f x 取最大值34；（2）最小值为2.12．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 2a c Bb =+. （1）若1c =，求ABC 面积的最大值；（2）若D 为BC 边上一点，4DB =，5AB =，且12AB BD ⋅=-，求AC .【答案】（1）最大值为4；（2）3.13．在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4A π=，1cos 3B =，a b += （1）求,a b 的值；（2）已知,D E 分别在边,BA BC 上，且AD CE +=，求BDE 面积的最大值.【答案】（1）a =，b =（2）最大值3. 14．在ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知1cos 2b a Cc =+. （1）求角A ；（2）若1AB AC ⋅=，求a 的最小值.【答案】（1）3π；（2.。

解三角形中的最值与范围问题-高考数学复习

∴f(x)＝x＋122－54∈(1,5)， ∴bc22＋bc－1∈(1,5)， ∴a＋b c的取值范围是(1,5).
课时精练
一、单项选择题 1.已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B＝π3，a＝4，且
三角形有两解，则 b 的取值范围是
A.(2 3，＋∞)
√B.(2 3，4)
(2)求a＋b c的取值范围.
由(1)知，c2＝b2＋ab， ∴a＝c2－b b2，c>b，由三角形三边关系可得ab＋＋bc>>ac，，
代入化简可得b<c<2b，
∴a＋b c＝c2－bb22＋bc＝bc22＋bc－1，令 x＝bc，则 x∈(1,2)，f(x)＝x2＋x－1,1<x<2，
以a12＋b12的最大值为2156.
解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
跟踪训练 3 (2023·浙江联考)已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别
所以1b＝sin A＝sin 2C，
所以a12＋b12＝sin2C＋sin22C＝1－c2os 2C＋(1－cos22C)＝－cos22C－
1 2cos
2C＋32，
因为△ABC为锐角三角形，且B＝C，
则有π4<C<π2，得π2<2C<π，所以－1<cos 2C<0，由二次函数的性质可得，当 cos 2C＝－14时，a12＋b12取得最大值1265，所
解三角形中的最值与范围问题
重点解读
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.

2020届江苏省高考数学二轮复习专题与解三角形有关的最值问题

与解三角形有关的最值问题高考分析与三角形有关的最值问题主要涉及求三角函数值最值，边长的最值，面积、向量的最值．解决这类的问题方法有：一、将所给条件转化为三角函数，利用三角函数求解最值；二、将所给条件转化为边，利用基本不等式或者函数求解最值；三、建立坐标系，求出动点的轨迹方程，利用几何意义求解最值；四、多元问题可消元后再用上述方法求解．如2018年T14就是与解三角形有关的最值问题．考题再现在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．9解析：(3) 由题意可知，S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，由角平分线性质和三角形面积公式得12ac sin120°＝12a ×1×sin60°＋12c ×1×sin60°，化简得ac ＝a ＋c ，1a ＋1c ＝1，因此4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4a c＝9，当且仅当a ＝32，c ＝3时取等号．答案：9.解法1由S △ABD ＋S △CBD ＝S △ABC ，得12c·1·sin 60°＋12a·1·sin 60°＝12ac sin 120°，所以，a ＋c ＝ac.即1a ＋1c＝1.所以4a ＋c ＝(4a ＋c)(1a ＋1c )＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4a c ＝9.当且仅当c ＝2a 即a ＝32，c ＝3取等号，所以4a＋c 的最小值为9.解法2设∠BDC ＝θ，易得60°<θ<120°，在△BDC 中，BC sin θ＝BDsin C，因为BD ＝1，sin C ＝sin (θ＋60°)，所以a ＝sin θsin （θ＋60°），同理c ＝sin θsin （θ－60°）.所以4a ＋c ＝4sin θsin （θ＋60°）＋sin θsin （θ－60°）＝4sin θ12sin θ＋32cos θ＋sin θ12sin θ－32cos θ＝81＋3tan θ＋21－3tan θ≥（22＋2）2（1＋3tan θ）＋（1－3tan θ）＝9.当且仅当22(1－3tan θ)＝2(1＋3tan θ)时取等号，即tan θ＝33时4a ＋c 取最小值9.解法3以B 为坐标原点，BC 为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，则A 落在第二象限，设直线AC 的方程为y －32＝k(x －12)，其中－3<k<0，令y ＝0得x C ＝k －32k >0，即a ＝k －32k，由于直线BA 的方程为y＝－3x 代入y －32＝k(x －12)，解得x A ＝k －32（k ＋3）<0，所以c ＝－2x A ＝3－k （k ＋3）>0，则4a ＋c ＝2（k －3）k ＋3－k 3＋k ＝1＋23(1－k ＋1k ＋3)≥1＋23×（1＋1）2－k ＋k ＋3＝9. 当且仅当－k·1＝(k ＋3)·1，即k ＝－32时取等号，所以4a ＋c 的最小值为9.典例分析考向1 转化为角的三角函数例1 (1)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠C ＝π3，c ＝3，则a ＋b 的取值范围是________． 5．答案：(3，23]．解析：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2，所以a ＝2sin A ，b ＝2sin B ＝2sin (2π3－A)，所以a ＋b ＝2sin A ＋ 2sin (2π3－A)＝3sin A ＋3cos A ＝23sin (A ＋π6)，由⎩⎨⎧0<A<π2，0<2π3－A<π2，可得π6<A<π2，即π3<A ＋π6<2π3，所以32<sin (A ＋π6)≤1，可得3<a ＋b ≤23，所以a ＋b 的取值范围为(3，23]．(2)在△ABC 中，BC =，AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）．当变化时，线段CD 长的最大值为 ▲ ．【答案】3(3)在△ABC 中，已知A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋2c 2＝8，求△ABC 面积的最大值．255 解析：解法1 因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－8－a 2－b 222ab ＝3(a 2＋b 2)－84ab ≥3ab －42ab，所以ab ≤43－2cos C ，从而S ＝12ab sin C ≤2sin C 3－2cos C .设t ＝2sin C3－2cos C，则3t ＝2sin C ＋2t cos C ＝2t 2＋1·sin(C ＋φ)，其中tan φ＝t ，故3t ≤2t 2＋1，解得t ≤255，所以S max ＝255，当且仅当a ＝b ＝2155且tan C ＝52时，等号成立．解法2 以AB 所在的直线为x 轴，它的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫－c 2，0，B ⎝⎛⎭⎫c2，0，C (x ，y )，则由a 2＋b 2＋2c 2＝8得⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＋⎝⎛⎭⎫x ＋c 22＋y 2＋2c 2＝8，即x 2＋y 2＝4－5c 24，即点C 在圆x 2＋y 2＝4－5c 24上，所以S ≤c 2r ＝c 24－54c 2＝12·－54⎝⎛⎭⎫c 2－852＋165≤255，当且仅当c 2＝85时取等号，故S max ＝255. 【解后反思】 1. 注意到a 2＋b 2＋2c 2＝8中a ，b 是对称的，因此将三角形的面积表示为S ＝12ab sin C ，利用余弦定理将ab 表示为C 的形式，进而转化为三角函数来求它的最值．2. 将c 看作定值，这样满足条件的三角形就有无数个，从而来研究点C 所满足的条件，为此建立直角坐标系，从而根据条件a 2＋b 2＋2c 2＝8得到点C 的轨迹方程，进而来求出边AB 上的高所满足的条件．3. 解法1是从将面积表示为角C 的形式来加以思考的，而解法2则是将面积表示为边c 的形式来加以思考2C ∠的．这两种解法都基于一点，即等式a 2＋b 2＋2c 2＝8中的a ，b 是对称关系．解法2则是从运动变化的角度来加以思考的，这体现了三角函数与解析几何之间的千丝万缕的关系．解法1是一种常规的想法，是必须要认真体会的，而解法2就需要学生能充分地认识知识与知识之间的联系．本题对学生的知识的应用要求、思考问题、分析问题、解决问题的能力要求都比较高．【跟踪训练】1.(2019·郑州市高考适应) 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且a 2＋b 2－c 2=43S ，c =1，则3b －a 的最大值为__________． 2由a 2＋b 2－c 2=43S ，得2ab cos C =23ab sin C ，所以tan C =33,即C =30︒，由正弦定理，得3b －a =23sin B －2sin A =23sin B －2sin(30︒+B )= 3sin B －cos B2．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC 的取值范围是________． 2．答案：(2，3)．解析：由正弦定理得AC ＝BCsin Asin B ＝2cos A ，又因为△ABC 为锐角三角形，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<A<π2，0<2A<π2，0<π－A －2A<π2，即π6<A<π4，从而AC 的取值范围为(2，3)．3．(2018·重庆模拟改编)若锐角△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin(2A －π6)＝1．(1)求A ； (2)求b ＋ca的取值范围． 7．答案：(1)π3；(2)(]3，2.解析：(1)由sin (2A －π6)＝1，得2A －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，即A ＝k π＋π3(k ∈Z )，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由正弦定理得b ＋c a ＝sin B ＋sin C sin A ＝sin B ＋sin （2π3－B ）sin A ＝32sin B ＋32cos B sin A ＝3sin （B ＋π6）32＝2sin(B ＋π6)，又△ABC 是锐角三角形，所以⎩⎨⎧0<B <π2，0<2π3－B <π2，解得π6<B <π2，π3<B ＋π6<2π3，故有3<2sin(B ＋π6)≤2，所以3<b ＋c a ≤2.即b ＋ca的取值范围为(]3，2.考向2 转化为边，利用基本不等式或函数求解例2 (2018·全国大联考) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(c ＋a ，b )，n ＝(c －a ，b ＋c )，且a ＝3，m ⊥n ．(1)求△ABC 面积的最大值； (2)求b ＋c 的取值范围．答案：(1)334；(2)(3，23]．解析：(1)因为m ⊥n ，所以(c ＋a )(c －a )＋b (b ＋c )＝0，即c 2－a 2＋b 2＋bc ＝0，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又A 是三角形的内角，所以A ＝120°，由c 2－a 2＋b 2＋bc ＝0，且a ＝3，所以b 2＋c 2＝9－bc ≥2bc ，解得bc ≤3.所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3·sin120°＝334.(2)由(1)可知c 2＋b 2＋bc ＝9，(b ＋c )2－bc ＝9，即(b ＋c )2－9＝bc ≤(b ＋c 2)2，解得b ＋c ≤23，又b ＋c >a＝3，所以b ＋c 的取值范围是(3，23]．【跟踪训练】串讲2(2018·苏州期中) 在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，D 为AB 的中点，若b ＝a cos C ＋c sin A 且CD ＝2，则△ABC 的面积最大值为________________．答案：2＋1.解析：由b ＝a cos C ＋c sin A 及正弦定理得sin B ＝sin A cos C ＋sin C sin A ，又sin B ＝sin (A ＋C)＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin C sin A ，化简得sin C(sin A －cos A)＝0，因为sin C ≠0，所以sin A ＝cos A 即tan A ＝1，又A 是三角形的内角，所以A ＝π4.在△ACD 中，由余弦定理得2＝c 24＋b2－2×c2×b·cos π4，化简得4b 2＋c 2＝8＋22bc ，由基本不等式4b 2＋c 2≥4bc ，所以8＋22bc ≥4bc ，即bc ≤4＋2 2.所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ≤12×(4＋22)×22＝2＋1.6．(2018·宿州三模) 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a sin A －4b sin C ＝0，A 为锐角，则sin B ＋sin C 2sin A 的取值范围是________．6．答案：(64，22)．解析：由a sin A －4b sin C ＝0得a 2＝4bc ，且sin B ＋sin C 2sin A ＝b ＋c 2a ，A 为锐角，则0<cos A<1，故0<b 2＋c 2－a 22bc<1，即0<b 2＋c 2－4bc<2bc ，所以6bc<(b ＋c)2<8bc ，所以6bc 4a 2<（b ＋c ）24a 2<8bc 4a 2，即6bc 16bc <（b ＋c ）24a 2<8bc16bc，所以38<（b ＋c ）24a 2<12，开方得64<b ＋c 2a <22.例3 在△ABC 中，若sin C ＝2cos A cos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________．2＋12解析：思路分析1：注意到sin C ＝2cos A cos B 可以通过消去角C ，转化为角A ，B 的形式，从而得到tan A ＋tan B ＝2，为此，只需将所要研究的对象cos 2A ＋cos 2B 转化为tan A ，tan B 的形式，进而通过研究这个双变量函数的最值来得到答案．思路分析2：注意到sin C ＝2cos A cos B ＝cos(A ＋B )＋cos(A －B )，从而有cos(A －B )＝sin C ＋cos C ，为此，将cos 2A ＋cos 2B 通过降次，转化cos(A ＋B )，cos(A －B )的形式，进而进一步地转化为角C 的三角函数来进行处理．解法1：因为sin C ＝2cos A cos B ，所以sin(A ＋B )＝2cos A cos B ，化简得tan A ＋tan B ＝2，cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A sin 2A ＋cos 2A ＋cos 2B sin 2B ＋cos 2B＝1tan 2A ＋1＋1tan 2B ＋1＝tan 2A ＋tan 2B ＋2(tan A tan B )2＋tan 2A ＋tan 2B ＋1＝(tan A ＋tan B )2－2tan A tan B ＋2(tan A tan B )2＋(tan A ＋tan B )2－2tan A tan B ＋1＝6－2tan A tan B(tan A tan B )2－2tan A tan B ＋5. 因为(tan A tan B )2－2tan A tan B ＋5>0，所以令6－2tan A tan B ＝t (t >0)，则cos 2A ＋cos 2B ＝4t t 2－8t ＋32＝4t ＋32t－8≤4232－8＝2＋12(当且仅当t ＝42时取等号)．解法2：由解法1得tan A ＋tan B ＝2，令tan A ＝1＋t ，tan B ＝1－t ，则cos 2A ＋cos 2B ＝1tan 2A ＋1＋1tan 2B ＋1＝1t 2＋2＋2t ＋1t 2＋2－2t ＝2(t 2＋2)(t 2＋2)2－4t 2，令d ＝t 2＋2≥2，则cos 2A ＋cos 2B ＝2d d 2－4d ＋8＝2d ＋8d－4≤228－4＝2＋12，当且仅当d ＝22时等号成立．解法3：因为sin C ＝2cos A cos B ，所以sin C ＝cos(A ＋B )＋cos(A －B )，即cos(A －B )＝sin C ＋cos C ，cos 2A ＋cos 2B ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2B 2＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－cos C (sin C ＋cos C )＝12－12(sin2C ＋cos2C )＝12－22sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π4≤12＋22＝2＋12，当且仅当2C ＋π4＝3π2，即C ＝5π8时取等号．【跟踪训练】14. 在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ . 【答案】8考点：三角恒等变换，切的性质应用3. 在锐角三角形 ABC 中，已知2sin 2 A ＋ sin 2B ＝ 2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________．132解析：思路分析：根据条件式的特征可以考虑利用正弦定理和余弦定理进行转化，由目标式的结构则容易联想利用斜三角形中的恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C 将问题作进一步处理．因为 2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，所以由正弦定理可得2a 2＋b 2＝2c 2.由余弦定理及正弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝b 24ab ＝b 4a ＝sin B4sin A.又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C 4sin A ＝cos C 4＋sin C4tan A，可得tan C ＝3tan A ，代入tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C 得tan B ＝4tan A3tan 2A －1，所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C ＝1tan A ＋3tan 2A －14tan A ＋13tan A ＝3tan A 4＋1312tan A.因为A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以tan A >0，所以3tan A 4＋1312tan A ≥23tan A 4×1312tan A ＝132，当且仅当3tan A 4＝1312tan A ，即tan A ＝133时取“＝”．所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为132.拓展：条件可以为边：2a 2＋b 2＝2c 2.还可以是边角结合：a 2+2ab cos C =c 2，其本质不变：tan C ＝3tan A ，进而可以将tan C 也表示成tan A 的函数。

新高考数学二轮复习三角中的最值、范围问题

索引
易错提醒
求三角函数式的最值范围问题要注意： (1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式； (2)根据所给自变量的范围正确地确定ωx＋φ的范围，从而根据三角函数的单调性求范围.
索引
训练 1 (2022·潍坊质检)在①函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝π3对称，②函数 y＝ f(x) 的图象关于点 Pπ6，0对称，③函数 y＝f(x)的图象经过点 Q23π，－1，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答. 问题：已知函数 f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φω>0，|φ|<π2的最小正周期为 π，且________，判断函数 f(x)在区间π6，π2上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的 x 值；若不存在，说明理由. 解 f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ＝sin(ωx＋φ)，由已知函数 f(x)的周期 T＝2ωπ＝π，得 ω＝2，所以 f(x)＝sin(2x＋φ).
考向 2 由单调性求参数的范围
例 3 已知 f(x)＝sin(2x－φ)0<φ<π2在0，π3上是增函数，且 f(x)在0，78π上有最
小值，那么 φ 的取值范围是( B )
A.π6，π2
B.π6，π4
C.π3，π2
D.π4，π3
解析由 x∈0，π3，得 2x－φ∈－φ，23π－φ，又由 0<φ<π2，且 f(x)在0，π3上是增函数，可得23π－φ≤π2，所以π6≤φ<π2. 当 x∈0，78π时，2x－φ∈－φ，74π－φ，
索引
热点二与三角函数性质有关的参数范围
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核心归纳
与三角函数性质有关的参数问题，主要分为三类，其共同的解法是将y＝ Asin(ωx＋φ)中的ωx＋φ看作一个整体，结合正弦函数的图象与性质进行求解.

2020寒假高三数学二轮复习微专题6 与不等式相关的三角最值问题

微专题6与不等式相关的三角最值问题不等式是解决最值问题的重要方法，有关三角最值问题是高考的热点和难点，解决例题：(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是________________．变式1(2018·浙江模拟)若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，求cos C的最小值．变式2(2018·盐城三模)设△ABC的面积为2，若角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则a2＋2b2＋3c2的最小值为________________．串讲1在△ABC中，BC＝2，AC＝1，以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点，C，D两点在直线AB的两侧)，当∠C变化时，线段CD长的最大值为________________．串讲2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点(a，b)在直线x(sin A －sin B)＋y sin B＝c sin C上．(1)求角C的大小；(2)若△ABC为锐角三角形且满足mtan C＝1tan A＋1tan B，求实数m的最小值．(2018·镇江期末)如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC分成AD，CD两段，其中两固定点A，B间距离为1米，AB与杆AC的夹角为60°，杆AC长为1米，若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD是4a元/米．设∠ADB＝α，则制作整个支架的总成本记为S元．(1)求S关于α的函数表达式，并求出α的取值范围；(2)问AD段多长时，S最小？(2018·扬州期末)如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P ，Q 分别在射线OA 和OB 上．经测量得，扇形OPQ 的圆心角(即∠POQ)为2π3，半径为1千米．为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射线OA ，OB 交于M ，N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，设∠POS ＝α(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计．(1)试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围；(2)试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值．答案：(1)MN ＝tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝3（tan 2α＋1）3tan α－1，其中π6＜α＜π2； (2)当α＝π3时，MN 长度的最小值为23千米．解析：(1)因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，所以OS ⊥MN.在Rt △OSM 中，因为OS ＝1，∠MOS ＝α，所以SM ＝tan α，在Rt △OSN 中，∠NOS ＝2π3－α，所以SN ＝tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α，所以MN ＝tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝3（tan 2α＋1）3tan α－1，4分其中π6＜α＜π2.6分 (2)因为π6＜α＜π2，所以3tan α－1＞0，令t ＝3tan α－1＞0，则tan α＝33(t ＋1)，所以MN ＝33·⎝⎛⎭⎫t ＋4t＋2，8分由基本不等式得MN ≥33·⎝⎛⎭⎫2t ×4t ＋2＝23，10分当且仅当t ＝4t 即t ＝2时取“＝”.12分当时tan α＝3，由于π6＜α＜π2，故α＝π3.13分答：(1)MN ＝tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝3（tan 2α＋1）3tan α－1，其中π6＜α＜π2. (2)当α＝π3时，MN 长度的最小值为23千米.14分。

与不等式相关的三角最值问题

与不等式相关的三角最值问题不等式是解决最值问题的重要方法，有关三角最值问题是高考的热点和难点，解决此例题：(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是________________．变式1(2018·浙江模拟)若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，求cos C的最小值．变式2(2018·盐城三模)设△ABC的面积为2，若角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则a2＋2b2＋3c2的最小值为________________．串讲1在△ABC中，BC＝2，AC＝1，以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点，C，D两点在直线AB的两侧)，当∠C变化时，线段CD长的最大值为________________．串讲2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点(a，b)在直线x(sin A －sin B)＋y sin B＝c sin C上．(1)求角C的大小；(2)若△ABC为锐角三角形且满足mtan C＝1tan A＋1tan B，求实数m的最小值．(2018·镇江期末)如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC分成AD，CD两段，其中两固定点A，B间距离为1米，AB与杆AC的夹角为60°，杆AC长为1米，若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD是4a元/米．设∠ADB＝α，则制作整个支架的总成本记为S元．(1)求S关于α的函数表达式，并求出α的取值范围；(2)问AD段多长时，S最小？(2018·扬州期末)如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P ，Q 分别在射线OA 和OB 上．经测量得，扇形OPQ 的圆心角(即∠POQ)为2π3，半径为1千米．为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射线OA ，OB 交于M ，N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，设∠POS ＝α(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计．(1)试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围； (2)试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值．答案：(1)MN ＝tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝3（tan 2α＋1）3tan α－1，其中π6＜α＜π2； (2)当α＝π3时，MN 长度的最小值为23千米．解析：(1)因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，所以OS ⊥MN.在Rt △OSM 中，因为OS ＝1，∠MOS ＝α，所以SM ＝tan α，在Rt △OSN 中，∠NOS ＝2π3－α，所以SN ＝tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α，所以MN ＝tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝3（tan 2α＋1）3tan α－1，4分其中π6＜α＜π2.6分(2)因为π6＜α＜π2，所以3tan α－1＞0，令t ＝3tan α－1＞0，则tan α＝33(t ＋1)，所以MN ＝33·⎝⎛⎭⎫t ＋4t＋2，8分由基本不等式得MN ≥33·⎝⎛⎭⎫2t ×4t ＋2＝23，10分当且仅当t ＝4t即t ＝2时取“＝”.12分当时tan α＝3，由于π6＜α＜π2，故α＝π3.13分答：(1)MN ＝tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝3（tan 2α＋1）3tan α－1，其中π6＜α＜π2. (2)当α＝π3时，MN 长度的最小值为23千米.14分例题1 答案：8.解析：由sin A ＝sin (π－A)＝sin (B ＋C)＝sin B cos C ＋cos B sin C ，sin A ＝2sin B sin C ，可得sin Bcos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C.由三角形ABC 为锐角三角形，则cos B ＞0，cos C ＞0，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C.又tan A ＝－tan (π－A)＝－tan (B ＋C)＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C，则tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ，由A ，B ，C 为锐角可得tan A ＞0，tan B ＞0，tan C ＞0，所以tan A tan B tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ，即tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ，即tan B ＝2＋2，tan C ＝2－2，tan A ＝4(或tan B ，tan C 互换)时取到等号，因此tan A tan B tan C 最小值为8.变式联想变式1 答案：6－24. 解析：设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ≥234a 2×12b 2－22ab 2ab＝6－24，当且仅当34a 2＝12b 2时，即a b ＝23时等号成立，所以cos C 的最小值为6－24. 变式2 答案：811.解析：由S ＝12bc sin A ，得bc ＝4sin A .又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以a 2＋2b 2＋3c 2＝3b 2＋4c 2－2bc cos A ≥23b 2·4c 2－2bc cos A ＝bc ()43－2cos A ＝8（23－cos A ）sin A.令f(A)＝8（23－cos A ）sin A，A ∈(0，π)，f ′(A) ＝8（1－23cos A ）sin 2A ，令f′(A)＝0，解得cos A ＝123，sin A ＝1123，由单调性可知此时 f(A)取得最小值为811. 当且仅当3b ＝2c 且cos A ＝123时取等号，则a 2＋2b 2＋3c 2的最小值为811.串讲激活串讲1 答案：3. 解析：设∠CBA ＝α，AB ＝BD ＝a ，则在△BCD 中，由余弦定理可知CD 2＝2＋a 2＋22sin α，在三角形ABC 中，由余弦定理可知cos α＝a 2＋122a，可得sin α＝－a 4＋6a 2－122a ，所以CD 2＝2＋a 2＋－a 4＋6a 2－1，令t ＝2＋a 2，则CD 2＝t ＋－t 2＋10t －17＝t ＋－（t －5）2＋8≤2·（t －5）2＋[－（t －5）2＋8]＋5＝9，当(t －5)2＝4时等号成立．∴CD 的最大值为3. 串讲2答案：(1)π3；(2)2.解析：(1)由条件可知a(sin A －sin B)＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理可得a 2＋b 2－c 2＝ab ，又由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ∈(0，π)，在△ABC 中可得C ＝π3. (2)由m tan C ＝1tan A ＋1tan B ，可得m ＝⎝⎛⎭⎫1tan A ＋1tan B tan C ，即m ＝sin Ccos C⎝⎛⎭⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ×cos A sin B ＋cos B sin A sin A sin B ＝sin C cos C×sin C sin A sin B .由正、余弦定理可得m min ＝c 2ab ×1cos C ＝2c 2ab ＝ 2（a 2＋b 2－ab ）ab＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋ab －1≥2，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以实数m 的最小值为2.新题在线答案：(1)S ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫43－3cos α2sin α＋32，α∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3； (2)AD ＝5＋510时，S 最小．解析：(1)在△ABD 中，由正弦定理得1sin α＝BD sin π3＝AD sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α，所以BD ＝32sin α，AD ＝3cos α2sin α＋12，则S ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫3cos α2sin α＋12＋ 2a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos α2sin α＋12＋4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＝a ⎝⎛⎭⎪⎫43－3cos α2sin α＋32，由题意得α∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3. (2)令S′＝3a·1－4cos αsin 2α＝0.设cos α0＝14.所以当cos α＝14时，S ＋12＝5＋510.。

2020寒假高三数学二轮复习微专题5 三角形中的范围(最值)问题

微专题5三角形中的范围(最值)问题三角形中的取值范围和最值问题一直是高考的热点和难点，常以小的压轴题出现，例题：(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，且BD＝1，求4a＋c的最小值．变式1在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(2a＋c，b)，n＝(cos B，cos C)，且m，n垂直．(1)求角B的大小；(2)若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD＝1，设BC＝x，BA＝y，试确定y关于x的函数关系式，并求边AC的取值范围．变式2如图，某水域有两条直线型岸边l1和l2成定角120°，该水域中位于该角平分线上且与顶点A相距1 km的D处有一固定桩，现某渔民准备经过该桩安装一直线型的隔离网BC(B，C分别在l1和l2上)围出三角形ABC的养殖区，且AB和AC的长都不超过5 km，设AB＝x km，AC＝y km，(1)将y表示成x的函数，并求其定义域；(2)该渔民至少可以围出多少平方千米的养殖区？串讲1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b，△ABC周长为7，求BC边上的中线AD的最小值．串讲2在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝π2，OP ＝22，点M 在线段PQ 上，点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝π6. (1)设∠POM ＝α，试用α表示OM ，ON ，并写出α的范围；(2)当α取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．(2018·全国大联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(c ＋a ，b )，n ＝(c －a ，b ＋c )，且a ＝3，m ⊥n .(1)求△ABC 面积的最大值；(2)求b ＋c 的取值范围．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，且4S ＝3(a 2＋c 2－b 2)．(1)求∠B 的大小；(2)设向量m ＝(sin2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，求m ·n 的取值范围．答案：(1)π3；(2)(－6，32－3]．解析：(1)由题意，有4×12ac sin B ＝3(a 2＋c 2－b 2)，2分则sin B ＝3×a 2＋c 2－b 22ac，所以sin B ＝3cos B .4分因为sin B ≠0，所以cos B ≠0，所以tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3.6分 (2)由向量m ＝(sin2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，得m ·n ＝3sin2A －6cos 2A ＝3sin2A －3cos2A －3＝32sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4－3.8分由(1)知B ＝π3，所以A ＋C ＝2π3，所以0<A <2π3. 所以2A －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，13π12.10分所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1.12分所以m ·n ∈(－6，32－3]．即m ·n 的取值范围是(－6，32－3].14分。

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