数据结构与算法设计-第7章图11-03
数据结构与算法设计
数据结构与算法设计数据结构与算法设计是计算机科学中非常重要的一门课程，它涵盖了数据的存储和组织方式以及解决实际问题的算法设计。
在本文中，将介绍数据结构与算法设计的基本概念、常见的数据结构和算法，并通过具体的例子来展示它们的应用。
一、基本概念数据结构是指数据元素之间的关系，通常包括逻辑结构和物理结构两个方面。
逻辑结构描述了数据元素之间的逻辑关系，如线性结构、树形结构、图形结构等；物理结构则是数据元素在计算机内存中的存储方式，如顺序存储、链式存储等。
算法是解决实际问题的步骤或方法，可以看做是对数据的操作。
一个好的算法应具备正确性、可读性、健壮性和高效性等特点。
常用的算法设计方法包括迭代法、递归法以及分治法等。
二、常见的数据结构1. 数组：数组是一种线性结构，其中的数据元素按照连续的方式存储。
它的一大优势是可以通过索引快速访问任意位置的元素，但插入和删除操作较为消耗时间。
2. 链表：链表也是一种线性结构，但数据元素通过指针进行连接而不是连续存储。
它的优势在于插入和删除操作的时间复杂度为O(1)，但访问元素需要遍历整个链表。
3. 栈：栈是一种后进先出（LIFO）的数据结构，只能在栈顶进行插入和删除操作。
它可以用于表达式求值、函数调用和括号匹配等场景。
4. 队列：队列是一种先进先出（FIFO）的数据结构，只能在队尾插入元素，在队头删除元素。
它常用于任务调度、消息传递和缓冲区管理等。
5. 树：树是一种非线性结构，它由节点和边组成。
常见的树结构包括二叉树、平衡二叉树和二叉搜索树等。
三、常见的算法1. 排序算法：排序算法用于将一组数据按照特定的顺序排列。
常见的排序算法包括冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序和归并排序等。
2. 查找算法：查找算法用于在一组数据中寻找特定的元素。
常见的查找算法包括线性查找、二分查找和哈希查找等。
3. 图算法：图算法主要用于解决图的遍历、最短路径和最小生成树等问题。
常见的图算法包括深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）和迪杰斯特拉算法等。
数据结构第7章图3
例4：已知图的邻接矩阵，求 0 1 1 1 1 0 1
从顶点0出发的广度优先遍历 序列。
1
1
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
1
0
广度优先遍历序列：
1
1
0
0
1
1
0
1 0 1 1 0 1 0
0, 1, 2, 3, 4, 6, 5
0 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0
对连通图，从起点V到其余各顶点必定存在路径。 其中，Vw1, Vw2, Vw5的路径长度为1；
W2
Vw3, Vw6, Vw8 的路径
长度为2；
W1 V
W8
W5
Vw4, Vw7 的路径长度为3
W3
各顶点和起点之间存在“远近”
W7 W6 W4
关系。
就是按照“由近到远”的顺序
进行遍历。
void BFSTraverse (Graph G, Status (*Visit)(int v)){
// 广度优先非递归遍历。使用辅助队列Q和访问标志数组visited。
for (v = 1; v < G.vexnum; ++v) visited[v] = FALSE; InitQueue(Q); // 置空的辅助队列Q for (v = 1; v < G.vexnum; ++v ) if ( !visited[v]) { // v尚未访问
// 访问邻接点
if ( !visited[w]) {// u的尚未访问的邻接顶点w入队列Q visited[w] = TRUE; (*Visit)(w); EnQueue(Q, w); } // if } // while } // BFSTraverse
数据结构(C语言版) 第七章 图
路径与连通性
路径、简单路径、回路(环)、简单回路
顶点之间的连通性、无向连通图、有向强连通
图
4/46
7.1 图的定义和术语(3)
路径与连通性
对于有向图G1
V1V3V4V1V2 是从V1 到V2 的路径, 不是简单路径；
V1V2是简单路径; V1V3V4V1V3V4V1是环,不是简单环; V1V3V4V1是简单环。
3/46
7.1 图的定义和术语(2)
有向图
弧<v,w> ∊ E (v,w ∊V)，w为弧头, v为弧尾; 顶点v
邻接到顶点w，顶点w 邻接自顶点v，弧< v, w >和 顶点v、w相关联。
顶点v 的入度是以v 为弧头的弧的数目,记为ID(v); v 的出度是以v为弧尾的弧的数目,记为OD(v); v 的度是TD(v) = ID(v) + OD(v)。
}VNode, AdjList[MAX_VERTEX_NUM];
这种存储结构适合于进行first_adj(G,v) 找v的第一个邻接点的操作
邻接矩阵的方法适合存储稠密图
26/46
7.2.2 邻接表--- 链式存储结构
邻接表是一种顺序存储与链式结构相结 合的存储方式，类似于树的孩子链表。
对每个顶点建立一个单链表，第i个单链 表中的结点表示依附于顶点vi的边。
邻接矩阵
从邻接矩阵M中可以看出该图 共有（ ）个顶点；如果是有 向图该图共有（ ）条弧，如 果是无向图，则共有（ ）边。
AB CD
G
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邻接矩阵存储的特点
无向图的邻接矩阵是对称的，对n个顶 点的无向图只需要存入下三角矩阵，即 需要n(n-1)/2个存储单元。
有向图的邻接矩阵所需要的存储单元不 一定，需要N*N个存储单元
数据结构第7章-答案
一、单选题C01、在一个图中，所有顶点的度数之和等于图的边数的倍。
A)1/2 B)1 C)2 D)4B02、在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和的倍。
A)1/2 B)1 C)2 D)4B03、有8个结点的无向图最多有条边。
A)14 B)28 C)56 D)112C04、有8个结点的无向连通图最少有条边。
A)5 B)6 C)7 D)8C05、有8个结点的有向完全图有条边。
A)14 B)28 C)56 D)112B06、用邻接表表示图进行广度优先遍历时，通常是采用来实现算法的。
A)栈 B)队列 C)树 D)图A07、用邻接表表示图进行深度优先遍历时，通常是采用来实现算法的。
A)栈 B)队列 C)树 D)图A08、一个含n个顶点和e条弧的有向图以邻接矩阵表示法为存储结构，则计算该有向图中某个顶点出度的时间复杂度为。
A)O(n) B)O(e) C)O(n+e) D)O(n2)C09、已知图的邻接矩阵，根据算法思想，则从顶点0出发按深度优先遍历的结点序列是。
A)0 2 4 3 1 5 6 B)0 1 3 6 5 4 2 C)0 1 3 4 2 5 6 D)0 3 6 1 5 4 2B10、已知图的邻接矩阵同上题，根据算法，则从顶点0出发，按广度优先遍历的结点序列是。
A)0 2 4 3 6 5 1 B)0 1 2 3 4 6 5 C)0 4 2 3 1 5 6 D)0 1 3 4 2 5 6D11、已知图的邻接表如下所示，根据算法，则从顶点0出发按深度优先遍历的结点序列是。
A)0 1 3 2 B)0 2 3 1 C)0 3 2 1 D)0 1 2 3A12、已知图的邻接表如下所示，根据算法，则从顶点0出发按广度优先遍历的结点序列是。
A)0 3 2 1 B)0 1 2 3 C)0 1 3 2 D)0 3 1 2A13、图的深度优先遍历类似于二叉树的。
A)先序遍历 B)中序遍历 C)后序遍历 D)层次遍历D14、图的广度优先遍历类似于二叉树的。
第7章数据结构与算法
出队
ABCDE FG
入队
front
rear
7.3.2 队列及其基本运算
计算机科学与技术学院
1. 什么是队列
◦ 与栈类似，在程序设计语言中，用一维数组作为队列的 顺序存储空间。
◦ 每进行一次入队运算，队尾指针就加1。
◦ 每进行一次出队运算，队首指针就加1。
rear
rear
rear
E
D
D
D
C
C
C
B
2. 循环队列及其运算
◦ 当循环队列队满时有front=rear，而当循环队列空时 也有front=rear。
◦ 即在循环队列中，当front=rear时，不能确定是队列 满还是队列空。
◦ 增加一个标志s
Q(1:7)
Q(1:7)
Q(1:7)
rear 7
6
F
5
E
4
D
0, 表示队列空 s 1, 表示队列非空
②树形结构：结构中数据元素之间
存在一个对多个的关系。
树形
③图形结构或网状结构：结构中数
据元素之间存在多个对多个的关系。
图形
7.1.2 数据结构
计算机科学与技术学院
数据的存储结构
◦ 数据的逻辑结构在计算机存储空间中的存放形式称为数 据的存储结构（也称物理结构）。
◦ 在数据的存储结构中，不仅要存放数据元素的信息，还 需要存放各数据元素之间的前驱和后继关系的信息。
动一个位置；
序号 数据元素
移动结束时，第i个位置就被 1
a1
空出，然后将新元素x插入到 第i个位置，
2
a2
最后插入结束后线性表的长度
…
数据结构 (C语言版)课件：第7章_图
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3
7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 无向图和有向图
● 无向图：如果图中顶点 vi 和 vj 之间的边无方向，则称这条边为无向边， 用无序偶对 (vi, vj) 表示，称该图为无向图。
● 有向图：如果图中顶点 vi 和 vj 之间的边有方向，则称这条边为有向边， 用有序偶对 <vi, vj> 表示，称该图为有向图。
无论有向图还是无向图，顶点数 n、边 数 e 和度数之间满足：
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 权和网
● 权：权通常是指对图中边赋予的有意义的数值量。在实际应用中，权 可以有具体的含义。
● 网：如果将图中的每条边上都赋上一个权值，则称这种图为网，或称 为有权图 。
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6
7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 稀疏图和稠密图
● 稀疏图：边数很少的图称为稀疏图，如果 e 表示图中的边数，n 表示 图中的顶点数，则 e＜nlogn。
● 稠密图：边数很多的图称为稠密图，如果 e 表示图中的边数，n 表示 图中的顶点数，则 e≥nlogn。
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无向完全图
有向完全图
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7.1 图的逻辑结构
7.1.1 图的定义
● 相关概念 邻接和依附
● 邻接：对图 G=(V, VR)，如果边 (vi, vj)∈VR，则称顶点 vi 和 vj 互为邻 接点；如果弧<vi, vj>∈VR，则称顶点 vi 邻接到 vj，vj 邻接自 vi。
● 依附：对图 G=(V, VR)，如果边 (vi, vj)∈VR 或弧 <vi, vj>∈VR，则称 边 (vi, vj) 或弧 <vi, vj> 依附于顶点 vi 和 vj。
《数据结构与算法》第7章 图
图的定义和术语
• 如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度 均为1，则是一棵有向树。一个有向图的生成森林由若干棵 有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵 不相交的有向树的弧。如下图所示。
图的定义和术语
• 图的抽象数据类型包括它的数据结构和一组图的基本操作， 图的抽象数据类型定义见以下ADT。
图的定义和术语
• （8）连通 • 在无向图G中，如果从顶点v到顶点v‘有路径，则称v和v’是 连通的。如果对于图中任意两个顶点vi, vj∈V，vi和vj都是连 通的，则称G是连通图（connected graph）。上图G2就是一 个连通图，而下图（a）中的G3则是非连通图，但G3有两个 连通分量，如下图（b）所示。所谓连通分量（connected component），是指无向图中的极大连通子图。
图的定义和术语
图的定义和术语
图的对象抽象模型
• 由于图结点之间的关系比较复杂，因此它的抽象结构也较 为复杂。这里首先定义一个常量，以方便后面使用：
• 图结点对象抽象模型 • 图结点对象抽象模型的重点是描述图结点的内容，隐蔽其 具体结构，因此对象模型的重点主要是关于结点信息的Get 和Set类操作。以下程序为图结点的类描述，其中成员函数 均已实现。
图的存储结构
图的存储结构
图的存储结构
• 该算法并未涉及图的具体存储结构，因此适用于任意存储 结构。对不同的存储结构，只是在判别是否有边以及找邻 接点的方法上有所不同。以下程序给出邻接矩阵类的部分 成员函数的实现。
图的存储结构
图的存储结构
图的存储结构
图的存储结构
• 邻接表 • 1. 存储方法描述 • 邻接表（adjacency list）是图的顺序存储和链式存储相结合 的一种存储方法，它对图G中的每个顶点vi建立一个单链表， 将所有邻接于vi的顶点放到该链表中。每个结点包含三个域： 邻接点域（adjvex），指示与顶点vi邻接的点的连接关系； 链域（nextarc），指示下一条边或弧的结点；数据域 （info），存储与边或弧相关的信息，如权值等。每个链表 上附设一个头结点，该结点除了设有链域（firstarc）指向链 表中第一个结点之外，还设有存储顶点vi的名称或其他有关 信息的数据域（data）。头结点通常采用顺序结构进行存储， 以便进行随机访问。下图描述了两种结点的结构。
数据结构与算法设计
数据结构与算法设计1. 概述数据结构与算法是计算机科学中的重要基础知识，属于计算机程序设计的核心内容。
通过合理选择和设计数据结构，以及优化算法的实现，可以在计算机程序中高效地存储和处理数据，提高程序的性能。
2. 数据结构2.1 数组数组是一种简单的数据结构，它由一组有序的元素组成。
通过索引来访问和操作数组中的元素。
数组具有随机访问的特点，可以快速查找和修改元素。
但是插入和删除操作相对较慢，需要移动后续元素。
2.2 链表链表是一种非连续的存储结构，它由节点组成，每个节点包含数据和指向下一个节点的指针。
链表的插入和删除操作相对较快，不需要移动其他元素。
但是访问链表中的元素需要从头开始遍历，效率较低。
2.3 栈栈是一种后进先出（LIFO）的数据结构，可以通过压栈（入栈）和弹栈（出栈）操作来管理数据。
栈常用于递归函数的调用和表达式的计算等场景。
2.4 队列队列是一种先进先出（FIFO）的数据结构，可以通过入队（enqueue）和出队（dequeue）操作来管理数据。
队列常用于消息传递和任务调度等场景。
3. 算法设计3.1 排序算法排序算法是常见的算法设计问题，目的是将一组元素按照一定的规则进行排序。
常见的排序算法包括冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序、归并排序等。
3.2 查找算法查找算法用于在一组数据中查找指定的元素。
常见的查找算法有线性查找、二分查找、哈希查找等。
二分查找是一种高效的查找算法，但要求数据必须有序。
3.3 图算法图算法研究图结构的表示和处理。
常见的图算法包括图的遍历、最短路径算法、最小生成树算法、拓扑排序等。
图算法的设计和实现涉及到深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）等技术。
3.4 动态规划动态规划是一种用于解决复杂问题的算法设计思想，通过将大问题拆分成多个子问题进行求解，并利用子问题的解来构造大问题的解。
动态规划常用于求解最优化问题和最长公共子序列等。
4. 应用场景数据结构和算法广泛应用于各个领域的计算机程序设计中，主要包括以下几个方面：4.1 数据库管理系统：数据结构和算法用于高效的数据存储和检索。
数据结构与算法图1
无向图的邻接矩阵总是对称的--可以采用压缩存储
网及其邻接矩阵
V1
3
V6 1
V5
5
V2
8
4
7
9
V3
6 5
5
V4
(a) 网
57 4 8 9 56 5 3 1
(b) 邻接矩阵
7.2.2 邻接表
--- 链式存储结构
#define MAX_VERTEX_NUM 20 typedef struct ArcNode{
7.3.1 深度优先搜索
12345678 visited 1 1 0 1 1 0 0 1
V1
V2
V4
V5
V3
V6
V7
V1 V2 V4 V8 V5
stack
V8
遍历顺序：
V1 V2 V4 V8 V5 V3 V6 V7
非连通的图重复上述过程, 使每个顶点均被访问
深度优先搜索算法
Boolean visited[MAX]; Status (* VisitFunc)(int v); void DFSTraverse(Graph G, Status (* visit)(int v)) { VisitFunc = visit;
第七章 图
图(Graph)是较线性表和树更为复杂的结构。 图中任意数据两个元素之间都可能相关。
G1 = (V1, { A1}) V1 = {v1,v2,v3,v4} A1 = {<v1,v2>,<v1,v3>,<v3,v4>,<v4,v1>}
G2 = (V2, { E2}) V2 = {v1,v2,v3,v4,v5} E2 = {(v1,v2),(v1,v4),(v2,v3),(v2,v5) ,(v3,v4),(v3,v5)}
清华版数据结构C版07章
设在数据表 dataList 中顺序搜索时，数据元素 的序号从 1 开始计数，到 CurrentSize 为止；而 实际存储位置则是从数组下标 0 开始存放，直 到 CurrentSize-1。因此，元素序号 i (i≥1)与 元素实际存储位置下标 (i≥0) 差 1.
搜索算法中把序号为CurrentSize+1的数据元素 作为控制搜索过程自动结束的“监视哨”使用。
i = 3 10 20 30 40 50 60
22
顺序搜索的递归算法
template <class T, class E>
int dataList<T, E>::SeqSearch (T x, int loc) const {
//在数据表 Element[1..n] 中搜索其关键码与给定值
//匹配的对象, 函数返回其表中位置。参数 loc(≥1)
int x; int Loc; cin >> L1; cout << L1;
//输入L1 //输出L1
cout << “Search for a integer : ”;
cin >> x;
//输入要搜索的数据
if ( (Loc = L1.Seqsearch(x)) != L1.Length() ) cout << “找到元素位置在：” << Loc+1 << endl; else cout << “ 没有找到待查元素\n”;
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数据表的类定义
#include <iostream.h>
#include <assert.h>
const int defaultSize = 100;
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7.1 图的术语与定义
图的定义
◆ 有向图——有向图G是由两个集合V(G)和 E(G)组成的。 其中：V(G)是顶点的非空有限集。 E(G)是有向边（也称弧）的有限集 合，弧是顶点的有序对，记为<v,w>，v、 w是顶点，v为弧尾，w为弧头。
第3页
7.1 图的术语与定义
例如： G1 = <V1,E1> V1 = { A, B, C, D, E } E1 = {<A,B>, <A,E>, <B,C>, <C,D>, <D,B>, <D,A>, <E,C> }
第 11 页
简单路径:序列中顶点不重复出现的路径。 简单回路:序列中第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。
例:长度为3的路径是？
A
B
(A---F)
C
E F
第 12 页
7.1 图的术语与定义
例如
在图G1中，V0, V1, V2, V3 是 V0 到 V3 的路径；V0, V1, V2, V3, V0 是回路。
6
第7页
7.1 图的术语与定义
图的应用举例
例1、交通图（公路、铁路）
顶点：地点
边：连接地点的路
例2、电路图
顶点：元件
边：连接元件之间的线路
例3、通讯线路图
顶点：地点
边：地点间的连线
例4、各种流程图
如产品的生产流程图。
顶点：工序
边：各道工序之间的顺序关系
第8页
7.1 图的术语与定义
图的基本术语
路径、回路
无向图 G =（V，E）中的顶点序列v1, v2, … ,vk，若 (vi,vi+1)E ( i=1, 2 ,… k-1)， v=v1, u=vk，则称该序列是从顶点v到顶点u 的路径；若v=u，则称该序列为回路。
有向图 DG =（V，E）中的顶点序列 v1, v2, …, vk，若 <vi,vi+1>E (i=1,2,…k-1)， v=v1，u=vk，则称该序列是从顶点v到顶点 u的路径；若v=u，则称该序列为回路。
在图G2中，V0, V2, V3 是 V0 到 V3 的路 径； V0, V2, V3, V0 是回路。
V0
V1
V2
V3
V4
无向图G1
V0
V1
V2
V3
有向图G2
第 13 页
7.1 图的术语与定义
连通图（connected Graph）（强连通图）
在无（有）向图 G=< V, E > 中，若对任何 两个顶点 v、u 都存在从 v 到 u 的路径，则称 G是连通图（强连通图，strong connected）
V0
V1
连
通
V2
图
V3
V4
强
连
V0
V1
通
图
V0 V3
V0
V1
V4
非
连
通
图
V2
V5
非
V1
强 连
通
图
V2
V3
V2
V3
没有V1到 V0的第路1径4 页
7.1 图的术语与定义
子图(sub-Graph) 设有两个图 G =（V，E），G1 =（V1，E1），
若V1 V，E1 E，E1关联的顶点都在 V1 中，则 称 G1 是 G 的子图； 例 (b)、(c)、(d) 是 (a) 的子图
设图G 的顶点数为 n，边数为 e
图的所有顶点的度数和 = 2*e
V2
V3
（每条边对图的所有顶点的度数和“贡献”2度） 第9页
例如: TD(B) = 3 TD(A) = 2
例如: OD(B) = 1 ID(B) = 2 TD(B) = 3
举例
B
C
A
D
F
E
A
B
E
C
F
第 10 页
7.1 图的术语与定义
A
B
E
C
D
第4页
7.1 图的术语与定义
图的定义
◆ 无向图——无向图G是由两个集合V(G)和 E(G)组成的。 其中：V(G)是顶点的非空有限集。 E(G)是边的有限集合，边是顶点的 无序对，记为 (v,w) 或 (w,v)，并且 (v,w)=(w,v)。
第5页
7.1 图的术语与定义
例如：
V2
V3
E2 = { <v0,v1 >, <v0,v2 >, <v2,v3 >, <v3,v0 > }
•例
2
4
5
1
3
G1
V(G1) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 }
E(G1) = { <1,2> , <2,1> ,
<2,3> ,
<2,4> , <3,5> , <5,6> , <6,3> }
G2 = <V2,E2> V2 = { v0 ,v1,v2,v3,v4 } E2 = { (v0,v1), (v0,v3), (v1,v2), (v1,v4),
(v2,v3), (v2,v4) }
V0
V1
V2
V3
V4
第6页
7.1 图的术语与定义
例如：
V0
V1
G2 = <V2,E2> V2 = { v0，v1，v2，v3 }
第7章 图
7.1 图的术语与定义
图的定义
◆ 图(aph)——图G是由两个集合V(G)和 E(G)组成的,记为G=(V,E) 其中：V(G)是顶点的非空有限集 E(G)是边的有限集合，边是顶点的 无序对或有序对。
◆ 图的分类 有向图: All arcs are directed 无向图：All arcs are undirected
V0
V1
强连通分量 V0
V1
V2
V3
V2
V3
将V1加入后 不再连通
第 17 页
连通分量
非 连
V0
V1
V4
通
图
V3
V2
V5
第 16 页
7.1 图的术语与定义
强连通分量（strong connected component） 有向图D的极大强连通子图称为D的强连通分量。 极大强连通子图的含义：该子图F是D的强连 通子图，将D的任何不在该子图F中的顶点加入， 构成的子图将不再是强连通的。
1 邻接点及关联边
邻接点：边的两个顶点
关联边：若边e= (v, u), 则称顶点v、u 关联边e
2 顶点的度、入度、出度 顶点V的度 = 与V相关联的边的数目
在有向图中：
V0 e V1 V2
顶点V的出度OD = 以V为起点有向边数 V3
V4
顶点V的入度ID = 以V为终点有向边数
V0
V1
顶点V的度Degree = V的出度+V的入度
V0
V1
V2
V3
V4
(a)
V0
V1
V2
V3
V4
(b)
V0
V1
V2
V3
V4
(c)
V1 V2
V4
(d)
第 15 页
7.1 图的术语与定义
连通分量（connected component）
无向图G的极大连通子图称为G的连通分量。 极大连通子图含义：该子图F是G的连通子图， 将G的任何不在该子图F中的顶点加入，构成的子 图将不再连通。看图7.3的例子