云南省玉溪一中2020届高三上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案
玉溪一中2020—2021学年上学期高三年级第一次月考数学答案(1)

∴椭圆E的方程为 + =1.………………4分
(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时, + = + = ;
②当AC的斜率k存在且k≠0时,AC的方程为y=k(x+1),
代入椭圆方程 + =1,并化简得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.
设A(x1,y1),C(x2,y2),
则GH∥面PFD且AG= PA,
∴面EHG∥面PFD,则EG∥面PFD,
∴G点满足AG= PA,
即G点的位置在PA上靠近A点处的四等分点.………………(12分)
20.解:(1)
………………4分
(2)
………………12分
21.解:(1)∵|PF1|+|PF2|=4,
∴2a=4,a=2.
∴椭圆E: + =1.
则x1+x2=- ,x1·x2= .
|AC|= |x1-x2|
= = .
∵直线BD的斜率为- ,
∴|BD|= = .
∴ + = + = .
综上,2λ= + = ,
∴λ= .
故存在常数λ= ,使得 ,λ, 成等差数列.………………12分
22.解:(1)设动点
由题意知 ,
由 ,所以
所以点 的轨迹方程为 ………………5分
玉溪一中2020—2021学年上学期高三年级第二次月考
数学学科试卷(文科)答案
一、选择题:1-5:DAACA6-10:DBBCA11-12:CD
二、填空题:
13. 14.615.1616.2,
17.(1)请将该列联表填写完整:
有接触史
无接触史
总计
有武汉旅行史
9
18
27
无武汉旅行史
【数学】云南省玉溪一中2020届高三上学期第二次月考 数学(理)有答案

玉溪一中高2020届高三上学期第2次月考理科数学试卷一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{42}M x x =-<<,2{60}N x x x =--<,则M N ⋂= A .{43}x x -<< B .{42}x x -<<- C .{22}x x -<< D .{23}x x << 2.设复数1z i =+(i 是虚数单位),则复数1z z+在复平面内所对应的点在 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限3.在△ABC 中,“0CA CB >u u u r u u u rg”是“△ABC 为锐角三角形”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件4.若1cos 21sin 22αα+=,则tan 2α=A .54B .54-C .43D .43-5.《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产,数学家刘徽在注解《九章算术》时,发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形的面积可无限逼近圆的面积,为此他创立了割圆术,利用割圆术,刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416,后人称3.14为徽率.图1是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则结束程序时,输出的n 为 (参考数据:3 1.7321≈,sin150.2588≈o ,sin 7.50.1305≈o ) 图1A .6B .12C .24D .486.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116a a =g ,则1102log a =A .4-B .5-C .6-D .7- 7.设0.50.4a =,0.50.6b =,0.30.6c =,则a ,b ,c 的大小关系是A .a c b <<B .b a c <<C .a b c <<D .c a b<<8.已知正数,,,a b c d 满足1a b +=,1c d +=,则11abc d+的最小值是 A .10 B .9 C..9.给出下列四个命题,其中不正确的命题为 ①若cos cos αβ=,则2,k k Z αβπ-=∈; ②函数2cos(2)3y x π=+的图象关于直线12x π=对称;③函数cos(sin ),y x x R =∈为偶函数; ④函数sin y x =是周期函数.A .①③B .②④C .①②③④D .①②④10.在△ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos 2cos b C c B a -=,且2B C =,则△ABC 的形状是A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .等边三角形11.已知函数21,2()3,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩,若方程()f x a =有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是A .(1,3)B .(0,3)C .(0,2)D .(0,1)12.已知直线y kx b =+与曲线ln(2)y x =和曲线ln(1)y x =+都相切,则k = A .ln 2B .1ln 2C .1ln 2 D.二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.3(21)x dx -=⎰________.14.2019年3月10日,山间一道赤焰拔地而起,巨大的轰鸣声响彻大凉山,长征三号乙运载火箭托举“中星6C ”卫星成功发射升空。
【附加15套高考模拟试卷】云南省玉溪一中2020届高三第二次月考数学【文】试题含答案

20.(12 分)已知函数 f (x) 2x 4 x 1 , x R 解不等式 f (x) 10 ;若方程 f (x) x2 a 在区间
[0,2] 有解,求实数 a 的取值范围.
21.(12 分)已知点 P2,2 ,圆 C : x2 y2 8y 0 ,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,线段 AB
DC DF ,若 AE AF 1,则 的值为( )
A.3
B.2
3
5
C. 2 D. 2
8.如图,是三世纪汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图.它也被 2002 年在北京召开的国际数学家
大会选定为会徽.正方形 ABCD 内有四个全等的直角三角形.在正方形内随机取一点,则此点取自中间小正
方形(阴影部分)的概率是( )
正方形,该几何体的表面积为( )
A. 2 3 B.4 C. 2 2 3 D.6 6.已知抛物线 y2 4x ,过焦点且倾斜角为 60°的直线与抛物线交于 A、B 两点,则△AOB 的面积为
3 83 A. 3 B. 3
43 C. 3
23 D. 3
7.已知菱形 ABCD的边长为 2, BAD 120 ,点 E , F 分别在边 BC , DC 上, BC 3BE ,
云南省玉溪一中 2020 届高三第二次月考数学【文】试题
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。
1.设 m 、 n 是两条不同的直线, 、 是两个不同的平面,下列命题中正确的是
A. n , m , m / / m / /n
满足 b1 1,数列 bn1 bn an 的前 n 项和为 2n2 n .求 q 的值.求数列 bn 的通项公式.
2020届云南省玉溪高三上学期第二次月考试卷文科数学试卷word版含解析

2020届云南省玉溪高三上学期第二次月考试卷文科数学试卷一、单选题(共12小题)1.已知集合,,则=()A.B.C.(0,3)D.(1,3)2.若(为虚数单位),则的虚部是()A.1B.-1C.D.3.设等差数列的前项和为、是方程的两个根,则()A.B.C.D.4.已知的最小值为()A.B.C.-1D.05.已知双曲线C:的渐近线方程为,且其右焦点为(5,0),则双曲线C的方程为()A.B.C.D.6.已知命题,命题,则命题是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.函数的零点个数为()A.0B.1C.2D.38.某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形,则此四面体的外接球的体积为()A.B.C.D.9.在中,,则的外接圆面积为()A.B.C.D.10.某公司班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站坐车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.B.C.D.11.若函数y=(a>0,且a≠1)的值域为{y|0<y≤1},则函数y=的图像大致是()A.B.C.D.12.已知函数,且,的导函数,函数的图象如图所示.则平面区域所围成的面积是()A.8B.5C.4D.2二、填空题(共4小题)13.函数的定义域为___________.14.设等比数列满足则的最大值为15.在矩形ABCD中,。
16.已知椭圆C:的左焦点为与过原点的直线相交于两点,连接,若,则C的离心率.三、解答题(共7小题)17.已知函数(1)求函数的最小正周期和单调减区间;(2)将函数图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,求函数在区间0,]上的最小值。
18.我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照0,0.5), 0.5,1),……4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图。
2020-2021学年玉溪一中高三上学期期中数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年玉溪一中高三上学期期中数学试卷(文科)一、单选题(本大题共12小题,共60.0分) 1.设集合,,,则C U 等于( )A.B.C.D.2.复数(12+√32i)3的值是( )A. −1B. 1C. −iD. i3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=−2,S 4=−4,若S n 取得最小值,则n 的值为( )A. n =2B. n =3C. n =2或n =3D. n =44.平面直角坐标系中,以x 轴的非负半轴为始边作角α,其终边与单位圆交于点P(−35,45),则sin(π2+2α)=( )A. −425B. −725C. 2425D. 7255.设M 是△ABC 边BC 上任意一点,N 为AM 上一点且AN =2NM ,若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ=( )A. 13B. 23C. 1D. 436.已知a =(23)14,b =log 2314,c =log 423,则( )A. a >b >cB. b >c >aC. a >c >bD. b >a >c7.已知,则( )A.B.C.D.8.8.下列命题为真命题的是A. 已知,则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列,则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面,,若两条异面直线满足且//, //,则//D.,使成立9.过双曲线x 24−y 2=1的右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 、CD(A 、B 、C 、D 四点均在双曲线的右支上),则1|AB|+1|CD|等于( )A. 34B. 43C. 45D. 5410. 已知函数y =Asin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则( )A. ω=π2,φ=0 B. ω=12,φ=π6 C. ω=−π2,φ=π6 D. ω=12,φ=011. 求√1+√1+√1+⋯的值时,可采用如下方法:令√1+√1+√1+⋯=x ,则x =√1+x ,两边同时平方,得x 2=1+x ,解得x =1+√52(负值已舍去),类比以上方法,可求得1+11+11+11+⋯的值等于( ) A. √5−12B. √5+12C. −1+√32D. 1+√3212. 设f(x)=−|lnx|,若函数g(x)=f(x)−ax 在区间(0,e 2)上有三个零点,则实数a 的取值范围为( )A. (2e 2,1e )B. (−1e ,−2e 2)C. (−1e ,0)D. (−2e ,−2e 2)二、单空题(本大题共4小题,共20.0分)13. 在约束条件{2x +y ≤4x +y ≤m x ≥0,y ≥0.下,当3≤m ≤5时,目标函数z =3x +2y 的最大值的取值范围是______(请用区间表示).14. 已知a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 满足a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ =0,且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为135°,b ⃗ 与c⃗ 的夹角为120°,|c ⃗ |=2,则|a ⃗ |= ______ ,|b⃗ |= ______ . 15. 如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E ,EF ⊥DB ,垂足为F ,若AE =1,DF ⋅DB =5,则AB = ______16. 在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边都在第一象限内,并且分别与单位圆相交于A ,B 两点,已知A 点的纵坐标为,B 点的纵坐标为,则tanα= ____ ,tanβ= ____ .三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别是a 、b 、c ,平面向量m⃗⃗⃗ =(1,sin(B −A)),平面向量n⃗ =(sinC −sin(2A),1). (I)如果c =2,C =π3,且△ABC 的面积S =√3,求a 的值; (II)若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ,请判断△ABC 的形状.18. 一个盒子中装有形状大小相同的5张卡片,上面分别标有数字1,2,3,4,5,甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张.(Ⅰ)写出所有可能的结果,并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率;(Ⅱ)以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形,求出能构成三角形的概率.19. 在四棱锥P −ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PD ⊥底面ABCD ,AB =1,BC =2,PD =√3,G 、F 分别为AP 、CD 的中点. (1)求证:AD ⊥PC ; (2)求证:FG//平面BCP .20. 已知函数f(x)=ax x 2+1+a ,g(x)=alnx −x(a ≠0). (1)a >0时,求函数f(x)的单调区间;(2)求证:当a >0时,对于任意x 1,x 2∈(0,e],总有g(x 1)<f(x 2)成立.21. 点P 在圆x 2+y 2=2上移动,PQ ⊥x 轴于Q ,动点M 满足QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2 QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , (Ⅰ)求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)若动直线x −√2y +m =0与曲线C 交于A ,B 两点,在第一象限内曲线C 上是否存在一点M 使MA 与MB 的斜率互为相反数?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.22. 在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4,直线l 的参数方程是{x =a +tcosαy =b +tsinα(t 为参数). (1)若a =8,b =0,α=π3,判断直线l 和曲线C 的位置关系;(2)若点P(a,b)在曲线C 内,直线l 和曲线C 相交于点A 、B 两点,且满足|PA|、|OP|、|PB|成等比数列,求动点P(a,b)的轨迹方程.23. 已知函数f(x)=|x +1|+|x −3|. (1)求不等式f(x)<6的解集;(2)若关于x 的不等式f(x)≥|2a +1|不恒成立,求实数a 的取值范围.【答案与解析】1.答案:B解析:试题分析:因为,集合,,,所以,{3},,故选B。
云南省玉溪一中2020届高三上学期期中考试数学文Word版含答案

玉溪一中2019—2020学年上学期高三年级期中考(第三次月考)文科数学试卷命题人:王加平 戴依娜 审题人:飞 超注意事项:1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写 在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、选择题:本题共 12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的•1.已知集合 A ={x|log 2(x 3) :::1} , B ={x| —4 ::x :: -2},则 A - B = A. {x | —3 :: x :: -2} B. {x | —4 :: x :: -1} C. {x | x :: -1} D. {x | x *「4}4 2 22.“”是“直线-my 4^^0与圆x y "相切”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.在 L ABC 中,若 bcosC • ccosB = as in A ,则角 A 的值为则 f (a) f (b)=其中所有正确命题的序号是6.从总体中抽取的样本数据的频率分布直方图如图兀A.—3B.C .D.4.已知定义域为[a - 4,2a -2]的奇函数f (x)满足 f (x) = 2020x 3 - sin x b 2 ,A. 0B.C .D. 不能确定5.设m , n 为空间两条不同的直线,〉,:为空间两个不同的平面,给出下列命题:①若 m _ :• , m 〃 :,则-•、I.: ②若 m 二",n 二:;,m/厂,n// 一:,则〉//'■; ③若 m 〃 :,n// :,则 m//n ;④若 m _ :• , n //:,〉//:,则 m _ n .A.①②B.②③C. ①③D. ①④示,若总体中85%勺数据不超过b ,则b 的估计值为Q.02(阴影部分为“ x 2+y 2兰4 ”与“(x —1)+(y /)2丈 ”在第一、 第二象限的公共部分)的概率为10.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍•当比赛开始后,若阿基里斯跑了 1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米•当阿基里斯跑完下一个 10米时,则 MA MB 二2(a b 0)的左、右焦点,点P 是椭圆上位b91 70 A. 25B.24C.D.437.设 a = sin2, b = log 0.3 二,c M 0 5则A. c :: a :: bB.a ::bc C.b . ac D.b :c :: an22 二 8.已知 cos(:-6^3 ,则 cos(2:- 3)-A. _!B.1 C.心D.<599999.如图2,在区域x 2y^4内任取一点,则该点恰好取自阴影部分A 丄丄2 2 ■:3 1B.8 4■:3 13 C.+ - D.8 4■:8乌龟仍然领先他1米 ,所以阿基里斯永远追不上乌龟 .按照这样的规律,若乌龟恰好领先阿基里斯 10 '米时,乌龟爬行的总距离为A 390 B.d C. 10590090°亡90011.在 ABC 中,CA =1, CB小 2兀 -2,—ACB ,点3M 满足 CM =CB 2CA ,A. 0B. C.2.3D.12.已知R, F 2分别为椭圆2 x2a :他提出让乌龟在阿于第一象限内的点,延长PF2交椭圆于点Q,若PR — PQ,且PF」|PQ ,则椭圆的离心率为A. 2-、.2B. .3 — 2C. ,2 -1D. .. 6 — 3二、 填空题:本题共 4个小题,每小题5分,共20分. 13. 已知向量 a =(1,2), b =(2,-2), c = (1, ■),若c//(a2b),则 二 ___________ .14. 已知数列{a n }满足 a 1 = 1, a n 1 , n 二 N ,则 a 2°19 = ___________________ .1 +a n15. 设a,b ・R , a 2 3b^4,则,3b 的最小值是 ______________________________ .116. 已知函数f(x)=x 2-ax ( x^e ,e 为自然对数的底数)与g(x)二e x 的图像上e存在关于直线y = x 对称的点,则实数a 的取值范围是 ____________ . 三、 解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .(一)必考题:共60分.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.17. (本小题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n , a 2 ■ S 2 - -5, S 5〜-15.(1)求数列{a n }的通项公式18.(本小题满分 12 分)已知向量 a = (2cosx,sin x) , b = (cosx,-2 3cosx),且 f (x) = a b -1.(1 )求f (x)的单调递增区间1(2 )先将函数y 二f(x)的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一倍(纵坐标不2变),再将所得图象向左平移 一个单位,得到函数y = g(x)的图象,求方程1231g(x) =1在区间x ,[0,才上所有根之和.19. (本小题满分12分)已知三棱锥P-ABC (如图3)的展开图如图4,其中四边形ABCD 为边长等于 2的正方形,"BE 和 BCF 均为正三角形.(2 )求a 〔a 2a 2 a3a n an 1(1) 证明:平面PAC _平面ABC ; (2) 若M 是PC 的中点,点N 在线 段PA 上,且满足PN =2NA ,求直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值.20. (本小题满分12分)如图5,在 ABC 中,角A , B , C3的对边分別 a , b , c , cosA , B =2A , b =3.4(1) 求 a ;(2) 如图5,点M 在边BC 上,且AM 平分.BAC ,求. ABM 21.(本小题满分 12分)已知函数 f(x)=x(1 In x) , g(x) = k(x-1) (k • Z). (1)求函数f (x )的极值;(2)对任意的X ,(1,7),不等式f (x ) .g (x )都成立,求整数k 的最大值.(二)选考题:共10分.请考生在22,23题中任选一题作答•作答时用2B 铅笔在答题卡 上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做,则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中,圆C 的方程为(x - 3)2 (y -1)2二r 2 ( r 0 ), 以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为,sin 「…一)=1,且直线l 与圆C 相切.3(1) 求实数r 的值;(2) 在圆C 上取两点M , N ,使得乙MON ,点M , N 与直角坐标原点 0构6成「QMN ,求OMN 面积的最大值. 23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲的面积.D(P)A图3PE(P)AM已知函数f(x) =|2x—1 +ax—1(1)当a = 2时,f(x)— b有解,求实数b的取值范围1(2)若f (x)兰x —2的解集包含[丄,2],求实数a 的取值范围2玉溪一中2019-2020学年上学期高三年级期中考(第三次月考)文科数学参考答案、选择题:二、填空题:13.--14.-215.-2,216.1,- e51 e 」三、解答题:17.解:(1)设等差数列{a .}的公差设为d / a ?飞? =-5飞5 - -15,3c 2d - -5,5a 10d - -15 ,解得 a^i = d - -1_____ = ______ = 1 1 a n a n 1 n(n 1) n n 1 a 〔a 2-^―亠 亠2 3 n (n 1)十丄2n18.解:(1)函数 f (x) = 2cos 2 x - 2 •、3sin x cosx-1a n =~1~ (n -1) = -n , n N12分=—2sin(2x_石) ............ 4 分人3二令2k二乞2x 2k二,k Z2 6 2兀5兀即k:叮虫x k二,k Z ,3 6兀5兀八.函数的单调增区间为[一k二],k- Z. ............. 6分3 6t口丁、 ,I J[ J[ I J[(2)由题意知g(x) = -2sin 4(x ) 2sin(4x ), ........ 8分IL 12 6 6由g(x) = 1,得sin(4x 712JI JI JIx [0R. 4x「石13■:6兀7兀兀11兀.4x 或4x6 6 6 6JIx 或x45二12故所有根之和为二 - —.4 12 319.解:(1)证明:如图取AC的中点O,连结BO P0.PA 二PB 二PC = 2 • PO = 1, AO 二BO 二CO = 1, 在PAC 中,PA = PC , O 为AC 的中点,.PO _ AC . 在POB 中,PO = 1, OB = 1, PB =、2 , 12分BPO2 OB2二PB2, PO _OB.AC - OB =O , AC , OB 二平面ABC,. PO _ 平面ABC , -PO 平面PAC ,.平面PAC _平面ABC .(2)解:;M为PC中点•点M至y平面PAB的距离为点C到平面PAB距离的一半.假设C到平面PAB距离为d ,则_PAB P _ABC1 1「” — S| PAB d = —S ABCPO3 L 3 -.d=2J3M到平面PA B的距离为d=FRUMPN 中,MN = )2+(晋)210分设二为直线MN与平面PAB所成角,则sin" dMN 5、212分a20.解:(1)由正弦定理知—^― sinA3 3 ca 2.2 cos A 2x34一3(2) cos A , si nA42 cosB 二cos2A=2cos sin A sin 2AA -1 _3.7;4分7分sin C = sin(A B)二sinAcosB cosAsin B亠16aa sinC 5,”;c = —— sin A sin A 25 5 10 BC 2 =— 11 11111 1 10 5 BM AB sin B =■ 22 11221.解:(1)f (x) = x(1 In x), x 0, . f (x) = 2 In x ,............ 1 分1 1当 0 :: x 2 时,f (x) ::: 0,当 x2 时,f (x) 0,3 分ee111 11 -当x 2时,f (x)取得极小值,极小值为f (飞)2 (1 lnp)2 ,e e ee ef (x)无极大值.................. 5分(2)幕对任意的x ・(1, •::),不等式f(x) .g(x)都成立,.x(1 lnx) k(x-1)在 x (1, ::)上恒成立,即 x(1 ln x) -k(x -1) ■ 0在 x (1,::)上恒成立, 令 h(x)二 x(1 ln x) -k(x -1) , x 1 h (x) = 2 -k ln x, ........ 6 分① 当2-k_0时,即k 岂2时,h(x) 0在(1,::)上恒成立,.h(x)在(1,::)上单调递增,.h(x) h(1)=1k 乞2都符合题意,此时整数k 的最大值为2................. 8分② 当k2时,令h(x)=0,解得x 二e k =.当 1:x ::e2 时,h(x)::0,当 xe k ‘ 时,h (x) 0,h(x)min 二 h(e k ~) - -e kk ,则- e k ‘ k 0 ,................ 10 分k 2□k 2令 p (k )- -e k. p (k) - -e 1, (k 2),AM 平分.BAC ,.由正弦定理知c sin C11分75.. 7 17612分■■ p (k) :: 0在k(2, •::)上恒成立,k 2.p(k)二-e ' • k 在(2「J 上单调递减,又 p(4) = _e 24 :::0, p(3) e 3 0,.存在k 。
2020届云南省玉溪一中高三上学期第二次月考数学(文)试题(解析版)

2020届云南省玉溪一中高三上学期第二次月考数学(文)试题一、单选题1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<,,则M N ⋂=A .}{43x x -<<B .}{42x x -<<-C .}{22x x -<<D .}{23x x <<【答案】C【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养.采取数轴法,利用数形结合的思想解题. 【详解】由题意得,{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<,则{}22M N x x ⋂=-<<.故选C .【点睛】不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.2.设复数1z i =+(i 是虚数单位),则复数1z z+在复平面内所对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】A 【解析】化简得13122z i z +=+,即可得解. 【详解】 由题意()()111311111122i z i i i z i i i -+=++=++=+++-, 则复数1z z +所对应的点的坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭,在第一象限. 故选:A. 【点睛】本题考查了复数的运算和复数的几何意义,属于基础题.3.在△ABC 中,“0CA CB >u u u r u u u rg ”是“△ABC 为锐角三角形”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】在△ABC 中,0CA CB >u u u r u u u rg 等价于C 为锐角,根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】Q 在△ABC 中,0cos 0cos 0CA CB CA CB C C C ⋅>⇔⋅⋅>⇔>⇔u u u r u u u r为锐角,∴“0CA CB >u u u r u u u r g ” 是“△ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件.故选:B. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用和充分条件、必要条件的判断,属于基础题.4.若1cos 21sin 22αα+=,则tan2α= ( )A .54B .54-C .43D .43-【答案】D【解析】转化条件得tan 2α=,再利用22tan tan21tan ααα=-即可得解.【详解】由1cos 21sin 22αα+=可得22cos 12sin cos 2ααα=,∴cos 1sin 2αα=,tan 2α=, ∴22tan 44tan 21tan 143ααα===---. 故选:D. 【点睛】本题考查了二倍角公式的应用,属于基础题.5.《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产,数学家刘徽在注解《九章算术》时,发现当圆内接正多边行的边数无限增加时,多边形的面积可无限逼近圆的面积,为此他创立了割圆术,利用割圆术,刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416,后人称3.14为徽率,如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,若结束程序时,则输出的n 为( ) 1.732≈,0sin150.258≈,0sin 7.50.131≈)A .6B .12C .24D .48【答案】C【解析】列出循环过程中s 与n 的数值,满足判断框的条件即可结束循环. 【详解】模拟执行程序,可得: n =3,S 12=⨯3×sin120°334=, 不满足条件S >3,执行循环体,n =6,S 12=⨯6×sin60°33=, 不满足条件S >3,执行循环体,n =12,S 12=⨯12×sin30°=3, 不满足条件S >3,执行循环体,n =24,S 12=⨯24×sin15°≈12×0.2588=3.1056, 满足条件S >3,退出循环,输出n 的值为24. 故选:C . 【点睛】本题考查循环框图的应用,考查了计算能力,注意判断框的条件的应用,属于基础题.6.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116a a =g ,则1102log a =( )A .4-B .5-C .6-D .7-【答案】B【解析】根据等比数列的性质先求得5102a =,即可得解.【详解】Q 等比数列{}n a ,公比2q =,0n a >,∴2731116a a a =⋅=即74a =,∴351072a a q =⋅=,∴5110122log log 25a ==-.故选:B. 【点睛】本题考查了等比数列的性质和简单的对数的运算,属于基础题.7.设0.50.4a =,0.50.6b =,0.30.6c =,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a c b << B .b a c << C .a b c << D .c a b <<【答案】C【解析】根据函数y =a b <,根据函数0.6x y =的单调性可判断b c <,即可得解.【详解】由函数y =[)0,x ∈+∞上单调递增可得0.50.50.40.6<即a b <;由函数0.6xy =在R 上单调递减可得0.50.30.60.6<即b c <, 所以a b c <<. 故选:C. 【点睛】本题考查了函数单调性的应用,属于基础题.8.已知函数212()321x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩,,,若方程()f x a =有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是( ) A .(1,3) B .(0,3)C .(0,2)D .(0,1)【答案】D【解析】转化条件得函数()f x 的图象与函数y a =的图象有三个不同交点,画出图象即可得解. 【详解】由题意作出函数()f x 的图象,如图:方程()f x a =有三个不同的实数根即为函数()f x 的图象与函数y a =的图象有三个不同交点,由图可知:01a <<. 故选:D.【点睛】本题考查了函数的零点个数问题,考查了数形结合的思想,属于基础题.9.某人向边分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻,假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的,则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为( ) A .5-15πB .10-15πC .15-15πD .15π 【答案】C【解析】由题意画出图形,则ABCS p S =V 阴,计算即可得解.【详解】由题意该三角形为直角三角形,离三个顶点距离都大于2的地方如图中阴影部分, 则2130215-23015ABCS p S ππ-⋅===V 阴. 故选:C.【点睛】本题考查了几何概型概率的求解,考查了转化化归思想,属于基础题. 10.给出下列四个命题,其中不正确的命题为( ) ①若cos cos αβ=,则2,k k Z αβπ-=∈; ②函数2cos(2)3y x π=+的图象关于直线12x π=对称;③函数cos(sin ),y x x R =∈为偶函数; ④函数sin y x =是周期函数.A .①③B .②④C .①②③④D .①②④【答案】D【解析】由诱导公式可判断①,把12x π=代入函数求出函数值后即可判断②,利用偶函数的定义可判断③,画出图象即可判断④,即可得解. 【详解】若cos cos αβ=,则2,k k Z αβπ-=∈或+2,k k Z αβπ=∈,故①错误; 当12x π=时,2cos(2)=2cos 01232y πππ=⨯+=,故直线12x π=不是函数的对称轴,故②错误;()()()cos sin cos sin cos sin x x x ⎡⎤-=-=⎣⎦,可得函数为偶函数,故③正确;sin y x =的图象如图,由图象可知,函数sin y x =不是周期函数,故④错误.故选:D.【点睛】本题考查了诱导公式的应用、三角函数的图象和性质以及函数奇偶性的判断,属于基础题.11.已知圆:M (22536x y +=,定点)5,0N,点P 为圆M 上的动点,点Q 在NP 上,点G 在线段MP 上,且满足2Q NP =N u u u r u u u r ,GQ 0⋅NP =u u u r u u u r,则点G 的轨迹方程是( )A .22194x y +=B .2213631x y +=C .22194x y -=D .2213631x y -=【答案】A【解析】试题分析:由2Q NP =N u u u r u u u r ,GQ 0⋅NP =u u u r u u u r 可知,直线GQ 为线段NP 的中垂线,所以有GN GP =,所以有6GM GN GM GP MP +=+==,所以点G 的轨迹是以点,M N 为焦点的椭圆,且26,5a c ==2223,4a b a c ==-=,所以椭圆方程为22194x y +=,故选A .【考点】1.向量运算的几何意义;2.椭圆的定义与标准方程.【名师点睛】本题主要考查向量运算的几何意义、椭圆的定义与椭圆方程的求法,属中档题.求椭圆标准方程常用方法有:1.定义法,即根据题意得到所求点的轨迹是椭圆,并求出,a b 的值;2.选定系数法:根据题意先判断焦点在哪个坐标轴上,设出其标准方程,根据已知条件建立,,a b c 关系的方程组,解之即可.12.已知直线y kx b =+与曲线ln(2)y x =和曲线ln(1)y x =+都相切,则k =( ) A .ln 2 B .1ln 2C .1ln2D .2【答案】A【解析】设切点分别为()11,x y ,()22,x y ,由导数的几何意义可得121x x =+,则()1111l ln(2)1n x k x x x -=--,即可得解.【详解】设直线y kx b =+与两条曲线1ln(2)y x =、2ln(1)y x =+相切的切点分别为()11,x y ,()22,x y ,Q 11y x '=,211y x '=+,∴11k x =,211k x =+,∴12111x x =+即121x x =+, ∴2121112112ln(ln(2)ln(2)ln 211)ln y y x x k x x x x x x +---====--.故选:A.【点睛】本题考查了导数的几何意义、两点确定直线斜率以及对数运算的性质,考查了转化化归思想,属于中档题.二、填空题13.过圆锥的轴的截面是顶角为120°的等腰三角形,若圆锥的体积为π,则圆锥的母线长为__________. 【答案】2【解析】根据题意,求出圆锥的底面半径和高,代入公式即可. 【详解】由题意可知,如图圆锥的轴截面的顶角120ASB ∠=︒,所以在直角三角形中,1602OSB ASB ∠=∠=︒, 圆锥的底面半径为33sin 6022r SB SB SB =⨯︒=⨯=, 高1cos 602h SB SB =⨯︒=, 所以该圆锥的体积为:223111323V r h SB πππ⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯=⎪⎪⎝⎭, 解得2SB =,∴圆锥的母线长为2. 故答案为:2. 【点睛】本题考查圆锥的体积,求出圆锥的底面半径和高是解决问题的关键,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.14.2019年3月10日,山间一道赤焰拔地而起,巨大的轰鸣声响彻大凉山,长征三号乙运载火箭托举“中星6C”卫星成功发射升空。
云南省玉溪市2020届高三毕业生第二次教学质量检测数学(文)试题 Word版含解析

【分析】
求出 的范围,比较得到 即得解.
【详解】由题得
。
.
。
所以 .
故选:
【点睛】本题主要考查指数函数幂函数的图象和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11.已知双曲线 ,点 为双曲线 上一点,且在第一象限,点 为坐标原点, 分别是双曲线 的左、右焦点,若 ,且 ,则双曲线 的离心率为( )
【详解】由题得 ,所以 .
故选:A。
【点睛】本题主要考查对数不等式的解法,考查集合的运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
2.复平面内表示复数 的点位于( )
A。 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简复数 ,即得解。
【详解】由题得 ,
复数对应的点为 ,所以它对应的点位于第三象限。
A. 0B。4C。 12D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】
直接按照程序框图运行即可得解。
【详解】第一次循环, 除以 的余数为 , , , , 不成立;
第二次循环, 除以 的余数为 , , , , 不成立;
第三次循环, 除以 的余数为 , , , , 成立。
输出 的值为 。
故选:B。
【点睛】本题主要考查程序框图,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题。
故选:
【点睛】本题主要考查复数的乘法和几何意义,意在考查学生对这些知识的理解掌握水。
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用诱导公式,再利用和角的正弦公式化简即得解。
【详解】由题得原式= .
故选:
【点睛】本题主要考查诱导公式和和角的正弦公式的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
云南省玉溪第一中学2020届高三上学期期中考试(月考3)数学(文)试题 Word版含解析

2019-2020学年云南省玉溪一中高三(上)期中数学试卷(文科)一、选择题(本大题共12小题)1.已知集合,,则A. B.C. D.2.“”是“直线与圆相切”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.在中,若,则角A的值为A. B. C. D.4.已知定义域为的奇函数,则的值为A. 0B. 1C. 2D. 不能确定5.设m,n为空间两条不同的直线,,为空间两个不同的平面,给出下列命题:若,,则;若,,,,则;若,,则;若,,,则.其中所有正确命题的序号是A. B. C. D.6.从总体中抽取的样本数据的频率分布直方图如图所示,若总体中的数据不超过b,则b的估计值为A. 25B. 24C.D.7.设,,,则A. B. C. D.8.已知,则A. B. C. D.9.如图,在区域内任取一点,则该点恰好取自阴影部分阴影部分为“”与“”在第一、第二象限的公共部分的概率为A. B. C. D.10.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然前于他1米,所以,阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时,乌龟爬行的总距离为A. B. C. D.11.在ABC中,,,,点M满足,则A. 0B. 2C.D. 412.已知,分别为椭圆的左、右焦点,点P是椭圆上位于第一象限内的点,延长交椭圆于点Q,若且,则椭圆的离心率为A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题)13.已知向量,,,若,则______.14.已知数列满足,,,则______.15.设a,,,则的最小值是______.16.已知函数e为自然对数的底数与的图象上存在关于直线对称的点,则实数a的取值范围是______.三、解答题(本大题共7小题)17.设等差数列的前n项和为,,.求数列的通项公式;求.18.已知向量,,且.求的单调递增区间;先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位,得到函数的图象,求方程在区间上所有根之和.19.已知三棱锥如图的展开图如图2,其中四边形ABCD为边长等于的正方形,和均为正三角形.证明:平面平面ABC;若M是PC的中点,点N在线段PA上,且满足,求直线MN与平面PAB所成角的正弦值.20.在中,角A,B,C的对边分別为a,b,c,若,,.求a;已知点M在边BC上,且AM平分,求的面积.21.已知函数,.求函数的极值;Ⅱ对,不等式都成立,求整数k的最大值;22.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,若直线l与曲线C相切.Ⅰ求实数r的值;Ⅱ在圆C上取两点M,N,使得,点M,N与直角坐标原点O构成,求面积的最大值.23.已知函数.当时,有解,求实数b的取值范围;若的解集包含,求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】B【解析】解:,,,故选:B.根据对数不等式的解法求出集合A,结合并集的定义进行计算即可.本题主要考查集合的基本运算,结合对数的性质求出集合的等价条件是解决本题的关键.2.【答案】A【解析】解:由直线与圆相切,得,解得或.则由能推出直线与圆相切,反之,由直线与圆相切,不一定得到.则“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选:A.由圆心到直线的距离等于半径列式求得m,然后结合充分必要条件的判定得答案.本题考查直线与圆位置关系的判定及其应用,考查充分必要条件的判定,是基础题.3.【答案】C【解析】解:,由正弦定理可得,,,,,,,,故选:C.由已知结合正弦定理及诱导公式进行化简即可求解.本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用,考查运算能力,属于基础题.4.【答案】A【解析】解:是奇函数,定义域关于原点对称,则,得,,此时定义域为为,是奇函数,,则,即,则,故选:A.根据奇函数定义域关于原点对称求出a的值,利用,求出b,即可.本题主要考查函数值的计算,结合函数奇偶性的定义和性质,建立方程求出a,b是解决本题的关键.比较基础.5.【答案】D【解析】解:,则内一定存在一条直线l,使得,又,则,所以,所以正确,当时,,可能相交,所以错误,,n的位置还可能是相交和异面;故选:D.对四个命题进行逐一判断,正确,当时,,肯能相交,所以错误,,n的位置还可能是相交和异面;本题主要考查空间点、直线、平面的位置关系,属于基础题.6.【答案】A【解析】解:由于第一组频率为,第二组频率为,第三组频率为,第四组,第五组频率都为:;由于,.故选:A.先求出每一小组的频率,结合总体中的数据不超过b,即可求出b的值.本题考查了频率分布直方图,属于基础题.7.【答案】A【解析】解:,,,.故选:A.容易得出,从而得出a,b,c的大小关系.考查对数函数、指数函数的单调性,以及增函数和减函数的定义.8.【答案】B【解析】解:,,.故选:B.由已知利用诱导公式可求,进而利用二倍角的余弦函数公式化简所求即可得解.本题主要考查了诱导公式,二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.9.【答案】B【解析】解:圆的面积为,阴影部分面积为,所以在区域内任取一点,则该点恰好取自阴影部分的概率为:,故选:B.先求出圆的面积,再用割补法求出阴影部分面积,利用几何概型概率公式即可求出概率.本题主要考查了几何概型,注意不规则图形面积一般用割补法来求,是基础题.10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等比数列的应用问题,也考查了运算求解能力,是基础题.由题意知乌龟每次爬行的距离构成等比数列,写出、q和,由此求出乌龟爬行的总距离.【解答】解:由题意知,乌龟每次爬行的距离构成等比数列,且,,;乌龟爬行的总距离为.故选B.11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积计算问题,建立适当的坐标系是解题的关键.建立平面直角坐标系,利用坐标表示向量,计算向量的数量积即可.【解答】解:建立平面直角坐标系如图所示,,,,所以,,;,,,,,则.故选A.12.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、方程和性质,主要是离心率的求法,考查等腰直角三角形的性质和勾股定理,以及运算求解能力,属于中档题.由题意可得为等腰直角三角形,设,,运用椭圆的定义可得,,再由等腰直角三角形的性质和勾股定理,计算可得离心率.【解答】解:且,可得为等腰直角三角形,设,,由椭圆的定义可得,,即有,,则,在直角三角形中,可得,,化为,可得.故选D.13.【答案】【解析】解:,,,又,且,,解得.故答案为:.由已知求得的坐标,再由向量共线的坐标运算列式求解.本题考查向量的坐标加法运算,考查向量共线的坐标表示,是基础题.14.【答案】【解析】解:由已知得,,,,所以数列是以3为周期的周期数列,故,故答案为.直接根据已知求出,和即可发现数列是以3为周期的周期数列,进而求出.本题考查数列递推公式的直接应用,难度较易.15.【答案】【解析】解:a,,,则;设,,其中;则,,所以,当,,即,时,取得最小值是.故答案为:.方程化为,设,,利用三角函数求的最小值.本题考查了利用参数法求最值的问题,是基础题.16.【答案】【解析】解:若函数e为自然对数的底数与的图象上存在关于直线对称的点,则函数e为自然对数的底数与函数的图象有交点,即,有解,即,有解,令,,则,当时,,函数为减函数,当时,,函数为增函数,故时,函数取最小值1,由于当时,;当时,;故当时,函数取最大值,故实数a取值范围是,故答案为:若函数e为自然对数的底数与的图象上存在关于直线对称的点,则函数e为自然对数的底数与函数的图象有交点,即,有解,利用导数法,可得实数a取值范围本题考查的知识点是函数图象的交点与方程根的关系,利用导数求函数的最值,属于中档题.17.【答案】解:等差数列的公差设为d,,,可得,,解得,可得,;.【解析】等差数列的公差设为d,运用等差数列的通项公式和求和公式,可得首项和公差的方程,解方程可得首项和公差,进而得到所求通项公式;运用裂项相消求和,化简可得所求和.本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,以及裂项相消求和,考查化简运算能力,属于基础题.18.【答案】解:函数,,,,;的单调增区间为,;由题意,,又,得,解得:,,即或,,,,或,故所有根之和为.【解析】化函数为余弦型函数,再求它的单调增区间;由三角函数图象平移法则,得出的解析式,再求在内的实数解即可.本题主要考查了三角函数的性质与三角恒等变换问题,是基础题.19.【答案】解:取AC的中点O,连接OP,OB,则有且O为AC的中点,;同理,.平面POB,则有为平面的平面角,又在中,,,则有,平面平面ABC.由可知,平面ABC,则有,,又,所以,建立如右图所示的空间直角坐标系.则有,,0,,1,,0,,0,,是PC的中点,,又,,设平面PAB的一个法向量为,则有,,设直线MN与平面PAB所成角为,.故直线MN与平面PAB所成角的正弦值为.【解析】利用线面垂直来证面面垂直;利用向量法来求直线与平面所成的角此题是一道立体几何中档题,第一小题用几何法,证明面面垂直;第二小题用向量法更为方便.20.【答案】解:由正弦定理得,得,得,得,,,,,由正弦定理得,由角平分线定理得,,,【解析】由正弦定理以及二倍角正弦公式可得;由余弦定理可得,再根据角平分线定理可得MB,然后根据面积公式可得的面积.本题考查了三角形中的几何计算,属中档题.21.【答案】解:Ⅰ,,,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,当时,取得极小值,极小值为无极大值.Ⅱ,,不等式都成立,在上恒成立,即在上恒成立,令,,,当时,即时,在上恒成立,在上单调递增,,,此时整数k的最大值为2,当时,令,解得,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,,由,令,在上恒成立,在上单调递减,又,,存在使得,故此时整数k的最大值为3综上所述整数k的最大值3.【解析】Ⅰ求出函数的单调区间然后求解函数的极值,Ⅱ问题转化为在上恒成立,令,,再求导,利用导数求出函数的最值,即可求出k的值,需要分类讨论.本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及函数的极值,构造法的应用,考查转化思想以及计算能力.22.【答案】解:Ⅰ直线l的极坐标方程为,转换为直角坐标方程为,若直线l与曲线C相切,则圆心到直线的距离,解得,Ⅱ由Ⅰ得圆的方程为.转换为极坐标方程为.设,,所以,当时,,即最大值为.【解析】Ⅰ直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,进一步利用直线和曲线的位置关系式的应用求出r的值.Ⅱ利用圆的极坐标方程进一步利用三角形的面积公式和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,点到直线的距离公式的应用,直线和园的位置关系式的应用,三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.23.【答案】解:当时,,当且仅当,即时取等号,,有解,只需,的取值范围是;当时,,,的解集包含,对恒成立,当时,不等式化为,解得;当时,不等式化为,解得;综上知,a的取值范围是.【解析】当时,利用绝对值三角不等式求出的最小值,由有解,可知;由的解集包含,化为对恒成立,再分和两种情况求出a的范围.本题考查了绝对值三角不等式和不等式恒成立问题,也考查了转化思想和分类讨论思想,是中档题.。
云南省玉溪一中2020届高三上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案

玉溪一中高2020届高三上学期第2次月考文科数学试卷一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{42}M x x =-<<,2{60}N x x x =--<,则M N ⋂= A .{43}x x -<< B .{42}x x -<<- C .{22}x x -<< D .{23}x x << 2.设复数1z i =+(i 是虚数单位),则复数1z z+在复平面内所对应的点在 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.在△ABC 中,“0CA CB >”是“△ABC 为锐角三角形”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件4.若1cos 21sin 22αα+=,则tan 2α=A .54B .54-C .43D .43-5.《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产,数学家刘徽在注解《九章算术》时,发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形的面积可无限逼近圆的面积,为此他创立了割圆术,利用割圆术,刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位 3.1416,后人称3.14为徽率.图1是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则结束程序时,输出的n 为 (1.7321≈,sin150.2588≈,sin 7.50.1305≈)) A .6 B .12 C .24 D .486.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116a a =,则1102log a =A .4-B .5-C .6-D .7- 7.设0.50.4a =,0.50.6b =,0.30.6c =,则a ,b ,c 的大小关系是A .a c b <<B .b a c <<C .a b c <<D .c a b <<图18.已知函数212()321x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩,,,若方程()f x a =有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是A .(1,3)B .(0,3)C .(0,2)D .(0,1)9.某人向边分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻,假设芝麻落在区域内的任意 一点是等可能的,则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为 A .5-15π B .10-15π C .15-15π D .15π10.给出下列四个命题,其中不正确的命题为 ①若cos cos αβ=,则2,k k Z αβπ-=∈; ②函数2cos(2)3y x π=+的图象关于直线12x π=对称;③函数cos(sin ),y x x R =∈为偶函数; ④函数sin y x =是周期函数.A .①③B .②④C .①②③④D .①②④11.已知圆22:(36M x y ++=,定点0)N ,点P 为圆M 上的动点,点Q 在NP 上,点G 在MP 上,且满足2NP NQ =,0GQ NP =,则点G 的轨迹方程为 A .22194x y += B .2213631x y += C .22194x y -=D .2213631x y -=12.已知直线y kx b =+与曲线ln(2)y x =和曲线ln(1)y x =+都相切,则k = A .ln 2B .1ln 2C .1ln 2 D.ln二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.过圆锥的轴的截面是顶角为120的等腰三角形,若圆锥的体积为π,则圆锥的母线长为________.14.2019年3月10日,山间一道赤焰拔地而起,巨大的轰鸣声响彻大凉山,长征三号乙运载火箭托举“中星6C ”卫星成功发射升空。
云南省玉溪第一中学2020届高三上学期期中考试(月考3)数学(文)试题 Word版含解析

2019-2020学年云南省玉溪一中高三(上)期中数学试卷(文科)一、选择题(本大题共12小题)1.已知集合,,则A. B.C. D.2.“”是“直线与圆相切”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.在中,若,则角A的值为A. B. C. D.4.已知定义域为的奇函数,则的值为A. 0B. 1C. 2D. 不能确定5.设m,n为空间两条不同的直线,,为空间两个不同的平面,给出下列命题:若,,则;若,,,,则;若,,则;若,,,则.其中所有正确命题的序号是A. B. C. D.6.从总体中抽取的样本数据的频率分布直方图如图所示,若总体中的数据不超过b,则b的估计值为A. 25B. 24C.D.7.设,,,则A. B. C. D.8.已知,则A. B. C. D.9.如图,在区域内任取一点,则该点恰好取自阴影部分阴影部分为“”与“”在第一、第二象限的公共部分的概率为A. B. C. D.10.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然前于他1米,所以,阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时,乌龟爬行的总距离为A. B. C. D.11.在ABC中,,,,点M满足,则A. 0B. 2C.D. 412.已知,分别为椭圆的左、右焦点,点P是椭圆上位于第一象限内的点,延长交椭圆于点Q,若且,则椭圆的离心率为A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题)13.已知向量,,,若,则______.14.已知数列满足,,,则______.15.设a,,,则的最小值是______.16.已知函数e为自然对数的底数与的图象上存在关于直线对称的点,则实数a的取值范围是______.三、解答题(本大题共7小题)17.设等差数列的前n项和为,,.求数列的通项公式;求.18.已知向量,,且.求的单调递增区间;先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位,得到函数的图象,求方程在区间上所有根之和.19.已知三棱锥如图的展开图如图2,其中四边形ABCD为边长等于的正方形,和均为正三角形.证明:平面平面ABC;若M是PC的中点,点N在线段PA上,且满足,求直线MN与平面PAB所成角的正弦值.20.在中,角A,B,C的对边分別为a,b,c,若,,.求a;已知点M在边BC上,且AM平分,求的面积.21.已知函数,.求函数的极值;Ⅱ对,不等式都成立,求整数k的最大值;22.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,若直线l与曲线C相切.Ⅰ求实数r的值;Ⅱ在圆C上取两点M,N,使得,点M,N与直角坐标原点O构成,求面积的最大值.23.已知函数.当时,有解,求实数b的取值范围;若的解集包含,求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】B【解析】解:,,,故选:B.根据对数不等式的解法求出集合A,结合并集的定义进行计算即可.本题主要考查集合的基本运算,结合对数的性质求出集合的等价条件是解决本题的关键.2.【答案】A【解析】解:由直线与圆相切,得,解得或.则由能推出直线与圆相切,反之,由直线与圆相切,不一定得到.则“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选:A.由圆心到直线的距离等于半径列式求得m,然后结合充分必要条件的判定得答案.本题考查直线与圆位置关系的判定及其应用,考查充分必要条件的判定,是基础题.3.【答案】C【解析】解:,由正弦定理可得,,,,,,,,故选:C.由已知结合正弦定理及诱导公式进行化简即可求解.本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用,考查运算能力,属于基础题.4.【答案】A【解析】解:是奇函数,定义域关于原点对称,则,得,,此时定义域为为,是奇函数,,则,即,则,故选:A.根据奇函数定义域关于原点对称求出a的值,利用,求出b,即可.本题主要考查函数值的计算,结合函数奇偶性的定义和性质,建立方程求出a,b是解决本题的关键.比较基础.5.【答案】D【解析】解:,则内一定存在一条直线l,使得,又,则,所以,所以正确,当时,,可能相交,所以错误,,n的位置还可能是相交和异面;故选:D.对四个命题进行逐一判断,正确,当时,,肯能相交,所以错误,,n的位置还可能是相交和异面;本题主要考查空间点、直线、平面的位置关系,属于基础题.6.【答案】A【解析】解:由于第一组频率为,第二组频率为,第三组频率为,第四组,第五组频率都为:;由于,.故选:A.先求出每一小组的频率,结合总体中的数据不超过b,即可求出b的值.本题考查了频率分布直方图,属于基础题.7.【答案】A【解析】解:,,,.故选:A.容易得出,从而得出a,b,c的大小关系.考查对数函数、指数函数的单调性,以及增函数和减函数的定义.8.【答案】B【解析】解:,,.故选:B.由已知利用诱导公式可求,进而利用二倍角的余弦函数公式化简所求即可得解.本题主要考查了诱导公式,二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.9.【答案】B【解析】解:圆的面积为,阴影部分面积为,所以在区域内任取一点,则该点恰好取自阴影部分的概率为:,故选:B.先求出圆的面积,再用割补法求出阴影部分面积,利用几何概型概率公式即可求出概率.本题主要考查了几何概型,注意不规则图形面积一般用割补法来求,是基础题.10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等比数列的应用问题,也考查了运算求解能力,是基础题.由题意知乌龟每次爬行的距离构成等比数列,写出、q和,由此求出乌龟爬行的总距离.【解答】解:由题意知,乌龟每次爬行的距离构成等比数列,且,,;乌龟爬行的总距离为.故选B.11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积计算问题,建立适当的坐标系是解题的关键.建立平面直角坐标系,利用坐标表示向量,计算向量的数量积即可.【解答】解:建立平面直角坐标系如图所示,,,,所以,,;,,,,,则.故选A.12.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、方程和性质,主要是离心率的求法,考查等腰直角三角形的性质和勾股定理,以及运算求解能力,属于中档题.由题意可得为等腰直角三角形,设,,运用椭圆的定义可得,,再由等腰直角三角形的性质和勾股定理,计算可得离心率.【解答】解:且,可得为等腰直角三角形,设,,由椭圆的定义可得,,即有,,则,在直角三角形中,可得,,化为,可得.故选D.13.【答案】【解析】解:,,,又,且,,解得.故答案为:.由已知求得的坐标,再由向量共线的坐标运算列式求解.本题考查向量的坐标加法运算,考查向量共线的坐标表示,是基础题.14.【答案】【解析】解:由已知得,,,,所以数列是以3为周期的周期数列,故,故答案为.直接根据已知求出,和即可发现数列是以3为周期的周期数列,进而求出.本题考查数列递推公式的直接应用,难度较易.15.【答案】【解析】解:a,,,则;设,,其中;则,,所以,当,,即,时,取得最小值是.故答案为:.方程化为,设,,利用三角函数求的最小值.本题考查了利用参数法求最值的问题,是基础题.16.【答案】【解析】解:若函数e为自然对数的底数与的图象上存在关于直线对称的点,则函数e为自然对数的底数与函数的图象有交点,即,有解,即,有解,令,,则,当时,,函数为减函数,当时,,函数为增函数,故时,函数取最小值1,由于当时,;当时,;故当时,函数取最大值,故实数a取值范围是,故答案为:若函数e为自然对数的底数与的图象上存在关于直线对称的点,则函数e为自然对数的底数与函数的图象有交点,即,有解,利用导数法,可得实数a取值范围本题考查的知识点是函数图象的交点与方程根的关系,利用导数求函数的最值,属于中档题.17.【答案】解:等差数列的公差设为d,,,可得,,解得,可得,;.【解析】等差数列的公差设为d,运用等差数列的通项公式和求和公式,可得首项和公差的方程,解方程可得首项和公差,进而得到所求通项公式;运用裂项相消求和,化简可得所求和.本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,以及裂项相消求和,考查化简运算能力,属于基础题.18.【答案】解:函数,,,,;的单调增区间为,;由题意,,又,得,解得:,,即或,,,,或,故所有根之和为.【解析】化函数为余弦型函数,再求它的单调增区间;由三角函数图象平移法则,得出的解析式,再求在内的实数解即可.本题主要考查了三角函数的性质与三角恒等变换问题,是基础题.19.【答案】解:取AC的中点O,连接OP,OB,则有且O为AC的中点,;同理,.平面POB,则有为平面的平面角,又在中,,,则有,平面平面ABC.由可知,平面ABC,则有,,又,所以,建立如右图所示的空间直角坐标系.则有,,0,,1,,0,,0,,是PC的中点,,又,,设平面PAB的一个法向量为,则有,,设直线MN与平面PAB所成角为,.故直线MN与平面PAB所成角的正弦值为.【解析】利用线面垂直来证面面垂直;利用向量法来求直线与平面所成的角此题是一道立体几何中档题,第一小题用几何法,证明面面垂直;第二小题用向量法更为方便.20.【答案】解:由正弦定理得,得,得,得,,,,,由正弦定理得,由角平分线定理得,,,【解析】由正弦定理以及二倍角正弦公式可得;由余弦定理可得,再根据角平分线定理可得MB,然后根据面积公式可得的面积.本题考查了三角形中的几何计算,属中档题.21.【答案】解:Ⅰ,,,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,当时,取得极小值,极小值为无极大值.Ⅱ,,不等式都成立,在上恒成立,即在上恒成立,令,,,当时,即时,在上恒成立,在上单调递增,,,此时整数k的最大值为2,当时,令,解得,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,,由,令,在上恒成立,在上单调递减,又,,存在使得,故此时整数k的最大值为3综上所述整数k的最大值3.【解析】Ⅰ求出函数的单调区间然后求解函数的极值,Ⅱ问题转化为在上恒成立,令,,再求导,利用导数求出函数的最值,即可求出k的值,需要分类讨论.本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及函数的极值,构造法的应用,考查转化思想以及计算能力.22.【答案】解:Ⅰ直线l的极坐标方程为,转换为直角坐标方程为,若直线l与曲线C相切,则圆心到直线的距离,解得,Ⅱ由Ⅰ得圆的方程为.转换为极坐标方程为.设,,所以,当时,,即最大值为.【解析】Ⅰ直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,进一步利用直线和曲线的位置关系式的应用求出r的值.Ⅱ利用圆的极坐标方程进一步利用三角形的面积公式和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,点到直线的距离公式的应用,直线和园的位置关系式的应用,三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.23.【答案】解:当时,,当且仅当,即时取等号,,有解,只需,的取值范围是;当时,,,的解集包含,对恒成立,当时,不等式化为,解得;当时,不等式化为,解得;综上知,a的取值范围是.【解析】当时,利用绝对值三角不等式求出的最小值,由有解,可知;由的解集包含,化为对恒成立,再分和两种情况求出a的范围.本题考查了绝对值三角不等式和不等式恒成立问题,也考查了转化思想和分类讨论思想,是中档题.。
云南省玉溪市玉溪一中2020学年高一数学上学期第二次月考试题

玉溪一中高一2020届第二次月考数学试卷一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个选项中,有且只有一个是正确的.)1. 已知集合,则( )A. B. C.D.2. 下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是()A.B. C. D.3. 关于向量给出下列命题, 其中正确的个数为( )①设为单位向量,若与平行且||=1,则=;②与b (b0)平行,则与b 的方向相同或相反;③向量→AB 与向量→CD共线,则A 、B 、C 、D 四点共线; ④如果∥b,b∥c,那么∥c.A.1 B.3 C.2 D.04.已知,则的值为()A. B. C.D.5.函数且的图象可能为( )A B C D6. 要得到的图像,只要将的图象()A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位7.已知函数在上单调递减,则()A.B.C.D.8. 函数的部分图像如图所示,则的单调递减区间为()A. B.C.D.9. 已知函数是定义在R上的偶函数,且当时,函数单调递减,则大小关系是()A. B.C. D.10. 某商场出售一种商品,每天可卖1000件,每件可获利4元.据经验,若这种商品每件每降价0.1元,则比降价前每天可多卖出100件,为获得最好的经济效益,每件单价应降低()元.A.2 B.1.5 C.1 D.2.511. 若函数是奇函数,则使成立的的取值范围为( ) A.B.C.D.12.在实数运算中, 定义新运算如下: 当时, ; 当时, . 则函数(其中)的最大值是()(仍为通常的加法)A.3B. 18C. 6D. 8二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.已知θ是第二象限角,且,则.14. 已知则= .15. 已知定义在R上的偶函数满足,当时,,且,那么方程根的个数为个 .16.已知函数,则关于的不等式的解集为 .三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤.)17.(12分)(1) 化简函数,并求的值.(2)已知角的终边上有一点,且,求的值.18. (10分)设定义域为R的函数(1)在平面直角坐标系内做出函数的图像,并指出的单调区间(不需证明);(2)设定义域为R的函数为奇函数,且当时,,求的解析式.19.(12分)已知函数的最小值为,且图像上相邻的最高点与最低点的横坐标之差为,的图像经过点.(1)求函数的解析式;(2)若函数在上有且仅有两个零点,求的取值范围,并求出的值.20.(12分)已知,函数,当时,.(1)求常数的值;(2)设且,求的单调递减区间.21.(12分)已知函数与函数关于直线对称.(1)若方程有一个解,求满足条件的的取值范围;(2)设,(其中且).是否存在这样的实数,使在。
2020年云南省玉溪市高考(文科)数学二模试卷 (解析版)

2020年云南省玉溪市高考数学二模试卷(文科)一、选择题(共12小题).1.已知集合A={﹣2,0,2,4},B={x|log2x≤2},则A∩B=()A.{ 2,4}B.{﹣2,2}C.{0,2,4}D.{﹣2,0,2,4} 2.复平面内表示复数z=(1+i)(﹣2+i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.sin25°cos20°﹣cos l55°sin20°=()A.12B.√22C.−12D.124.从数字1,2,3,4,5中任意取出两个不同数字,至少有一个是偶数的概率为()A.710B.35C.25D.3105.直线ax+y﹣1=0与圆x2+y2﹣4x﹣4y=0交于A,B两点,若|AB|=4,则a=()A.−43B.43C.−34D.346.若等差数列{a n}的前15项和S15=30,则2a5﹣a6﹣a10+a14=()A.2B.3C.4D.57.设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列命题为假命题的是()A.若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥βB.若α⊥β,α∩β=n,m⊂α,m⊥n,则m⊥βC.若m⊥β,m⊂α,则α⊥βD.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ8.如图,该程序框图的算法思路源于“辗转相除法”,又名“欧几里德算法”,执行该程序框图.若输入的m,n分别为28,16,则输出的m=()A .0B .4C .12D .169.如图,某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形,若该几何体的体积为43,则其外接球的表面积是( )A .4πB .12πC .36πD .48π10.已知a =235,b =325,c =5−13,则( ) A .b <a <c B .a <b <c C .c <b <a D . c <a<b11.已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0,c 2=a 2+b 2),点A 为双曲线C 上一点,且在第一象限,点O 为坐标原点,F 1,F 2分别是双曲线C 的左、右焦点,若|AO |=c ,且∠AOF 1=2π3,则双曲线C 的离心率为( )A .√3+12B .√3C .2D .√3+112.设函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0),已知方程f (x )=a (a 为常数)在[0,7π6]上恰有三个根,分别为x 1,x 2,x 3(x 1<x 2<x 3),下述四个结论: ①当a =0时,ω的取值范围是[177,237);②当a =0时,f (x )在[0,7π6]上恰有2个极小值点和1个极大值点;③当a =0时,f (x )在[0,π12]上单调递增;④当ω=2时,a 的取值范围为[12,1),且x 1+2x 2+x 3=53π.其中正确的结论个数为( ) A .1B .2C .3D .4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分将答案填在答题卡相应位置上)13.已知向量a →=(2,﹣l ),b →=(l ,x ),若|a →+b →|=|a →−b →|,则x = .14.甲、乙、丙三位同学一起去向老师询问数学学科学业水平考试成绩,老师说:你们三人中有2位优秀,1位良好,我现在给甲看乙的成绩,乙看丙的成绩看后.甲对大家说:我还是不知道我的成绩.乙听后对大家说:看完丙的成绩,我并不知道自己的成绩,但是听甲这么说,现在知道了丙听甲和乙的话后说:听你们这么说,虽然我没看任何人的成绩,但是我已经知道我的成绩了,根据以上信息,判断成绩获得“优秀”的两名同学是 .15.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若sin A =√32,b 2+c 2=6+a 2,则△ABC的面积为 .16.已知f (x )是定义域为R 的奇函数,f ′(x )是f (x )的导函数,f (﹣1)=0,当x >0时,xf ′(x )﹣3f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 . 三、解答题(本大题共5小题,共70分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17.在等比数列{a n }中,a 1=6,a 2=12﹣a 3. (l )求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和,若S m =66,求m .18.如图,长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面A 1ADD 1是正方形. (1)证明:A 1D ⊥平面ABD 1;(2)若AD =2,AB =4,求点B 到平面ACD 1的距离.19.某商场为提高服务质量,随机调查了60名男顾客和80名女顾客,每位顾客均对该商场的服务给出满意或.不满意的评价,得到下面不完整的列联表:满意 不满意合计 男顾客 50 女顾客 50 合计(1)根据已知条件将列联表补充完整;(2)能否有99%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?附:K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d). P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82820.如图,在平面直角坐标系中,已知点F (﹣2,0),直线l :x =﹣4,过动点P 作PH ⊥l 于点H ,∠HPF 的平分线交x 轴于点M ,且|PH |=√2|MF |,记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)过点N (0,2)作两条直线,分别交曲线C 于A ,B 两点(异于N 点).当直 线NA ,NB 的斜率之和为2时,直线AB 是否恒过定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.21.已知函数f (x )=x ﹣1﹣alnx . (1)讨论f (x )的单调性; (2)证明:ln22−2+ln33−3+⋯+lnn n −n<12(n ∈N ∗,n ≥2).选考题请考生在第22、23两题中任选一题作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做,则桉所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分) 22.已知曲线C :{x =2cosαy =2sinα(α为参数),设曲线C 经过伸缩变换{x′=x ,y′=12y得到曲线C ',以直角坐标中的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C ′的极坐标方程;(2)若A ,B 是曲线C '上的两个动点,且OA ⊥OB ,求|OA |2+|OB |2的最小值, [选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)23.已知函数f (x )=|x +2|+|x ﹣2|,M 为方程f (x )=4的解集. (l )求M ;(2)证明:当a ,b ∈M ,|2a +2b |≤|4+ab |.参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={﹣2,0,2,4},B={x|log2x≤2},则A∩B=()A.{ 2,4}B.{﹣2,2}C.{0,2,4}D.{﹣2,0,2,4}【分析】可以求出集合B,然后进行交集的运算即可.解:A={﹣2,0,2,4},B={x|0<x≤4},∴A∩B={2,4}.故选:A.【点评】本题考查了列举法、描述法的定义,对数函数的定义域和单调性,交集的运算,考查了计算能力,属于基础题.2.复平面内表示复数z=(1+i)(﹣2+i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.解:z=(1+i)(﹣2+i)=﹣3﹣i的点(﹣3,﹣1)位于第三象限.故选:C.【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.sin25°cos20°﹣cos l55°sin20°=()A.12B.√22C.−12D.12【分析】根据诱导公式与两角和的正弦公式,计算即可.解:sin25°cos20°﹣cos l55°sin20°=sin25°cos20°+cos25°sin20°=sin(25°+20°)=sin45°=√22.故选:B.【点评】本题考查了诱导公式与两角和的正弦公式应用问题,是基础题.4.从数字1,2,3,4,5中任意取出两个不同数字,至少有一个是偶数的概率为()A.710B.35C.25D.310【分析】利用组合数公式求出从数字1,2,3,4,5中任意取出两个不同数字和至少有一个是偶数的选法,相比即可.解:从数字1,2,3,4,5中任意取出两个不同数字,有C52=10种,两数都是奇数时有C32=3.则至少有一个是偶数的概率为P=10−310=710,故选:A.【点评】本题考查组合数公式,对立事件,属于基础题.5.直线ax+y﹣1=0与圆x2+y2﹣4x﹣4y=0交于A,B两点,若|AB|=4,则a=()A.−43B.43C.−34D.34【分析】化圆的方程为标准方程,求出圆心坐标与半径,再求出圆心到直线的距离,利用垂径定理列式求a值.解:由圆x2+y2﹣4x﹣4y=0,得(x﹣2)2+(y﹣2)2=8,则圆心坐标为(2,2),半径为2√2.圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d=|2a+1|√a+1,∵|AB|=4,∴22+(√a+1)2=8,解得a=34.故选:D.【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用,训练了利用垂径定理求弦长,是中档题.6.若等差数列{a n}的前15项和S15=30,则2a5﹣a6﹣a10+a14=()A.2B.3C.4D.5【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出.解:∵S15=30=15a8,解得a8=2.∵2a5﹣a6=a4,a4+a14=a10+a8则2a5﹣a6﹣a10+a14=a8=2.故选:A.【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.7.设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列命题为假命题的是()A.若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥βB.若α⊥β,α∩β=n,m⊂α,m⊥n,则m⊥βC.若m⊥β,m⊂α,则α⊥βD.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ【分析】根据空间中的直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的位置关系,判断选项中的命题是否正确即可.解:对于A,由m⊥α,n⊥β,且m⊥n,得出α⊥β,所以A正确;对于B,由α⊥β,α∩β=n,m⊂α,m⊥n,根据面面垂直的性质定理得出m⊥β,所以B正确;对于C,由m⊥β,m⊂α,根据面面垂直的判定定理得出α⊥β,所以C正确;对于D,若α⊥β,β⊥γ,则α与γ可能相交,也可能平行,所以D错误.故选:D.【点评】本题主要考查了空间中的垂直关系应用问题,也考查了推理与判断能力,是基础题.8.如图,该程序框图的算法思路源于“辗转相除法”,又名“欧几里德算法”,执行该程序框图.若输入的m,n分别为28,16,则输出的m=()A.0B.4C.12D.16【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.解:若输入的m,n分别为28,16,第一次循环:m=16,n=12,r=12第二次循环:m=12,n=4,r=4.第三次循环:m=4,n=0,r=0结束循环,此时m=4.故选:B.【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.9.如图,某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形,若该几何体的体积为43,则其外接球的表面积是()A.4πB.12πC.36πD.48π【分析】先由题设条件找出该几何体的直观图,把它镶嵌在正方体中,正方体的体对角线就为该外接球的直径,计算出半径,解决其表面积问题.解:可以把题设中的几何体三棱锥P﹣ABC镶嵌在如右图所示的正方体中:设正方体的棱长为a,又V三棱锥P﹣ABC=13×12×a2×a=a36=43,解得:a=2.∵正方体的体对角线就为该外接球的直径,∴2R=2√3,解得R=√3,∴外接球的表面积为4πR2=12π.故选:B.【点评】本题主要考查利用镶嵌法求几何体的外接球问题,属于基础题.10.已知a=235,b=325,c=5−13,则()A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.c<a <b【分析】利用指数函数的性质求解.解:∵a5=(235)5=23=8,b5=(325)5=32=9,∴b>a>1,∵0<5−13<50=1,∴0<c<1,∴c <a <b , 故选:D .【点评】本题主要考查了指数函数的性质,是基础题. 11.已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0,c 2=a 2+b 2),点A 为双曲线C 上一点,且在第一象限,点O 为坐标原点,F 1,F 2分别是双曲线C 的左、右焦点,若|AO |=c ,且∠AOF 1=2π3,则双曲线C 的离心率为( ) A .√3+12B .√3C .2D .√3+1【分析】分别在△AOF 1和△AOF 2中,通过简单的平面几何计算可求得|AF 1|和|AF 2|的长,然后结合双曲线的定义,即可求得离心率. 解:由题意可知,F 1(﹣c ,0),F 2(c ,0), 在△AOF 1中,∵|AO |=c =|OF 1|,且∠AOF 1=2π3,∴|AF 1|=√3c , 在△AOF 2中,∵|AO |=c =|OF 2|,且∠AOF 2=π−2π3=π3,∴|AF 2|=c , 由双曲线的定义可知,|AF 1|﹣|AF 2|=2a ,即√3c −c =2a , ∴离心率e =ca =3−1=√3+1. 故选:D .【点评】本题考查双曲线的定义、离心率,考查学生的运算能力,属于基础题. 12.设函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0),已知方程f (x )=a (a 为常数)在[0,7π6]上恰有三个根,分别为x 1,x 2,x 3(x 1<x 2<x 3),下述四个结论: ①当a =0时,ω的取值范围是[177,237);②当a =0时,f (x )在[0,7π6]上恰有2个极小值点和1个极大值点;③当a =0时,f (x )在[0,π12]上单调递增;④当ω=2时,a 的取值范围为[12,1),且x 1+2x 2+x 3=53π.其中正确的结论个数为( ) A .1B .2C .3D .4【分析】由0≤x ≤7π6,得π6≤ωx +π6≤7ωπ6+π6,再由题意可得3π≤7ωπ6+π6<4π,解不等式组即可求得ω的范围判断①;作出函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)的图象的大致形状,由图判断②错误; 当x ∈[0,π12]时,π6≤ωx +π6≤ωπ12+π6,结合ω的范围可得[π6,ωπ12+π6]⫋[0,π2],则f (x )在[0,π12]上单调递增,故③正确;当ω=2时,2x +π6∈[π6,5π2].画出函数的大致图象,由对称性可得x 1+x 2=π3,x 2+x 3=4π3,即x 1+2x 2+x 3=53π,故④正确. 解:当0≤x ≤7π6时,π6≤ωx +π6≤7ωπ6+π6, 此时f (x )恰有3个零点,则3π≤7ωπ6+π6<4π, 解得177≤ω<237,故①正确:作出函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)的图象的大致形状如图, 其中m ≤7π6<n .由图可知,f (x )在[0,7π6]上恰有2个极大值点和1个极小值点,故②错误;当x ∈[0,π12]时,π6≤ωx +π6≤ωπ12+π6,∵177≤ω<237,∴[π6,ωπ12+π6]⫋[0,π2],则f (x )在[0,π12]上单调递增,故③正确;当ω=2时,2x +π6∈[π6,5π2].画出函数的大致图象:由图可知,a 的取值范围为[12,1),x 1+x 2=π3,x 2+x 3=4π3,∴x 1+2x 2+x 3=53π,故④正确. ∴正确命题的个数为3. 故选:C .【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查y =A sin (ωx +φ)型函数的图象与性质,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分将答案填在答题卡相应位置上)13.已知向量a →=(2,﹣l ),b →=(l ,x ),若|a →+b →|=|a →−b →|,则x = 2 .【分析】本题先计算出向量a →+b →的坐标以及|a →+b →|关于x 的表达式,同理可计算出向量a →−b →的坐标以及|a →−b →|关于x 的表达式,然后根据已知条件|a →+b →|=|a →−b →|,代入进行计算可得x 的值. 解:由题意,可知a →+b →=(3,x ﹣1),则|a →+b →|=√32+(x −1)2=√x 2−2x +10, 同理,a →−b →=(1,﹣1﹣x ),则|a →−b →|=√1+(−1−x)2=√x 2+2x +2, ∵|a →+b →|=|a →−b →|,∴2−2x +10=√x 2+2x +2, 即x 2﹣2x +10=x 2+2x +2, 解得x =2. 故答案为:2.【点评】本题主要考查向量的运算及模的计算.考查了转化思想,定义法,逻辑思维能力和数学运算能力.本题属基础题.14.甲、乙、丙三位同学一起去向老师询问数学学科学业水平考试成绩,老师说:你们三人中有2位优秀,1位良好,我现在给甲看乙的成绩,乙看丙的成绩看后.甲对大家说:我还是不知道我的成绩.乙听后对大家说:看完丙的成绩,我并不知道自己的成绩,但是听甲这么说,现在知道了丙听甲和乙的话后说:听你们这么说,虽然我没看任何人的成绩,但是我已经知道我的成绩了,根据以上信息,判断成绩获得“优秀”的两名同学是 乙和丙 .【分析】根据甲和乙看完成绩之后都不知道自己成绩说明他们看到的都是优秀即可进行判断.解:因为3人中有2个优秀,故甲和乙看到的成绩均是优秀,即乙是优秀,丙也是优秀, 故答案为:乙和丙.【点评】本题考查合情推理的应用,考查学生的推理能力,属于基础题.15.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若sin A =√32,b 2+c 2=6+a 2,则△ABC的面积为√32.【分析】先利用余弦定理求得cos A =3bc,由sin A 的值求出cos A ,得到bc 的值,从而利用三角形面积公式求出△ABC 的面积.解:由余弦定理得:cos A =b 2+c 2−a 22bc =62bc =3bc>0,又∵sin A =√32,∴cos A =12,∴bc =6,∴S △ABC =12bc ⋅sinA =12×6×√32=3√32,故答案为:3√32.【点评】本题主要考查了余弦定理,以及三角形面积公式,是中档题.16.已知f (x )是定义域为R 的奇函数,f ′(x )是f (x )的导函数,f (﹣1)=0,当x >0时,xf ′(x )﹣3f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 (﹣∞,﹣1)∪(0,1) .【分析】首先利用当x >0时,xf ′(x )﹣3f (x )<0,构造函数g(x)=f(x)x 3;f (x )是定义域为R 的奇函数,则函数g(x)=f(x)x 3为偶函数,图象关于y 轴对称,而且g (﹣1)=﹣f (﹣1)=0=g (1),于是只需求出x >0的单调性画图大致图象,在利用偶函数画出y 轴左边图象,即可解决不等式. 解:当x ≠0时,令g(x)=f(x)x 3,则,g′(x)=xf′(x)−3f(x)x 4又∵当x >0时,xf ′(x )﹣3f (x )<0, ∴x >0时,g ′(x )<0,∴g (x )在(0,+∞)上为减函数,又∵f (x )是定义域为R 的奇函数,则x ≠0时,g(x)=f(x)3为偶函数,且g (﹣1)=﹣f (﹣1)=0=g (1), ∴当0<x <1时,g(x)=f(x)x 3>0;当x >1时,g(x)=f(x)x 3<0,则此时f (x )>0成立的x 的取值范围是(0,1); 当﹣1<x <0时,g(x)=f(x)x 3>0;当x <﹣1时,g(x)=f(x)x 3<0,则此时f (x )>0成立的x 的取值范围是(﹣∞,﹣1);综上,f (x )>0成立的x 的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(0,1).【点评】本题主要突破点在于能利用题目条件构造出新的函数(一般条件为含有导数的两个函数相减的这类整体,很大可能为某个分式函数的导数一部分,再根据题目去构造),考查了学生的构造法思想,以及函数性质的综合运用.属于中档较难题目.三、解答题(本大题共5小题,共70分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17.在等比数列{a n }中,a 1=6,a 2=12﹣a 3. (l )求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和,若S m =66,求m .【分析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ,则6q =12﹣6q 2,解得q =﹣2或q =1,由此能求出a n .(2)若a n =6×(﹣2)n ﹣1,则S n =6×[1−(−2)n]3=2[1﹣(﹣2)n ],由S m =66,得2[1﹣(﹣2)m ]=66,求出m =5;若a n =6,q =1,则{a n }是常数列,S m =6m =66,求出m =11.由此能求出m 的值.解:(1)设等比数列{a n }的公比为q , ∵a 1=6,a 2=12﹣a 3.∴6q =12﹣6q 2,解得q =﹣2或q =1, ∴a n =6×(−2)n−1或a n =6. (2)①若a n =6×(﹣2)n ﹣1, 则S n =6×[1−(−2)n]3=2[1﹣(﹣2)n ],由S m =66,得2[1﹣(﹣2)m ]=66,解得m =5. ②若a n =6,q =1,则{a n }是常数列, ∴S m =6m =66,解得m =11.综上,m 的值为5或11.【点评】本题考查等比数列的通项公式、项数的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.18.如图,长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面A 1ADD 1是正方形. (1)证明:A 1D ⊥平面ABD 1;(2)若AD =2,AB =4,求点B 到平面ACD 1的距离.【分析】(1)在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,可知AB ⊥A 1D ,再由四边形A 1ADD 1 是正方形,得A 1D ⊥AD 1,利用直线与平面垂直的判定可得A 1D ⊥平面ABD 1;(2)设点B 到平面ACD 1 的距离为d ,分别求出三角形ABC 与三角形ACD 1 的面积,再由V D 1−ABC =V B−ACD 1列式求解点B 到平面ACD 1的距离.【解答】(1)证明:在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,∵AB ⊥平面ADD 1A 1,A 1D ⊂平面ADD 1A 1, ∴AB ⊥A 1D ,∵四边形A 1ADD 1 是正方形,∴A 1D ⊥AD 1, 又AB ∩AD 1=A , ∴A 1D ⊥平面ABD 1.(2)解:设点B 到平面ACD 1 的距离为d , 由题意,V D 1−ABC =V B−ACD 1,在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,D 1D ⊥平面ABCD ,且D 1D =2, ∴S △ABC =12×4×2=4, 在△ACD 1中,AC =2√5,AD 1=2√2,CD 1=2√5, ∴S △ACD 1=12×2√2×3√2=6.∴13×4×2=13×6×d ,得d =43.∴点B 到平面ACD 1的距离为43.【点评】本题考查直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用等体积法求点到平面的距离,是中档题.19.某商场为提高服务质量,随机调查了60名男顾客和80名女顾客,每位顾客均对该商场的服务给出满意或.不满意的评价,得到下面不完整的列联表:满意 不满意合计 男顾客 50 女顾客 50 合计(1)根据已知条件将列联表补充完整;(2)能否有99%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异? 附:K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d). P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【分析】(1)根据已知条件即可把列联表补充完整;(2)计算K 的观测值K 2,对照题目中的表格,得出统计结论. 解:(1)列联表如下:不满意的评价,得到下面不完整的列联表:满意 不满意 合计 男顾客 50 10 60 女顾客 50 30 80 合计10040140(2)K 的观测值:K 2=140×(50×30−10×50)2100×40×60×80≈7.292;由于7.292>6.635,∴有99%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【点评】本题考查了独立性检验的应用问题,也考查了计算能力的应用问题,是基础题目.20.如图,在平面直角坐标系中,已知点F (﹣2,0),直线l :x =﹣4,过动点P 作PH ⊥l 于点H ,∠HPF 的平分线交x 轴于点M ,且|PH |=√2|MF |,记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)过点N (0,2)作两条直线,分别交曲线C 于A ,B 两点(异于N 点).当直 线NA ,NB 的斜率之和为2时,直线AB 是否恒过定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.【分析】(1)设P 的坐标,由题意可得PH ∥FM ,所以∠HPM =∠FMP ,可得|PF||PH|=|MF||PH|=√22,即√(x+2)2+y 2|x+4|=√22,整理可得P 的轨迹方程; (2)分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况讨论,当斜率存在时,设直线方程与椭圆联立,求出两根之和及两根之积,求出直线NA ,NB 的斜率之和,由题意可得参数的关系,代入直线方程可得直线AB 恒过定点.当直线的斜率不存在时,也成立. 解:(1)设P (x ,y ),由已知PH ∥FM ,所以∠HPM =∠FMP , 因为∠HPM =∠FPM ,所以∠FMP =∠FPM ,所以|MF |=|PF | 所以|PF||PH|=|MF||PH|=√22,即√(x+2)2+y 2|x+4|=√22, 化简可得:x 28+y 24=1,所以曲线C 的方程为:x 28+y 24=1(y ≠0).(2)当直线AB 的斜率存在时,设其方程为:y =kx +m (k ≠0,m ≠2),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立直线与椭圆的方程{y =kx +mx 28+y 24=1,整理可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2﹣8=0,由△>0,x 1+x 2=−4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2−81+2k 2,由已知k NA +k NB =2,得kx 1+m−2x 1+kx 2+m−2x 2=2,整理可得2(k ﹣1)x 1x 2+(m ﹣2)(x 1+x 2)=0, 2(k ﹣1)•2m 2−81+2k +(m ﹣2)•−4km 1+2k 2=0,整理可得(m ﹣2)•(4k ﹣2m ﹣4)=0,因为m ≠2,所以m =2k ﹣2,所以直线AB 的方程为:y =kx +2k ﹣2=k (x +2)﹣2, 所以直线AB 过定点(﹣2,﹣2),当直线AB 的斜率不存在时,设方程为x =n ,且A (n ,y 1),B (n ,y 2), 其中y 1=﹣y 2,由已知k NA +k NB =2,可得y 1−2n+y 2−2n=y 1+y 2−4n=−4n=2,所以n =﹣2,所以直线AB 的方程为x =﹣2此时直线AB 也过定点(﹣2,﹣2), 综上所述,直线AB 恒过定点(﹣2,﹣2).【点评】本题考查求椭圆的方程,及直线与椭圆的综合和求证直线恒过定点的方法,属于中档题.21.已知函数f (x )=x ﹣1﹣alnx . (1)讨论f (x )的单调性; (2)证明:ln223−2+ln333−3+⋯+lnn n 3−n<12(n ∈N ∗,n ≥2).【分析】(1)f (x )=x ﹣1﹣alnx .x ∈(0,+∞).f ′(x )=1−ax =x−ax .对a 分类讨论即可得出函数的单调性.(2)当a =1时,f (x )=x ﹣1﹣lnx .由(1)可得:f (x )≥f (1)=0,可得lnx ≤x ﹣1,当且仅当x =1时,等号成立.令x =n (n ∈一、选择题*,n ≥2),可得lnn <n ﹣1.于是lnn n 3−n<n−1n 3−n=1n(n+1)=1n−1n+1.进而证明结论.解:(1)f (x )=x ﹣1﹣alnx .x ∈(0,+∞). f ′(x )=1−ax =x−ax .a ≤0时,f ′(x )>0,函数f (x )在(0,+∞)上单调递增. a >0时,令f ′(x )≥0,解得x ≥a .令f ′(x )<0,解得0<x <a . 可得:函数f (x )在(0,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增. 综上可得:a ≤0时,函数f (x )在(0,+∞)上单调递增.a >0时,函数f (x )在(0,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增. (2)证明:当a =1时,f (x )=x ﹣1﹣lnx .由(1)可得:f (x )≥f (1)=0,∴lnx ≤x ﹣1,当且仅当x =1时,等号成立. 令x =n (n ∈N *,n ≥2),∴lnn <n ﹣1. ∴lnn n −n <n−1n −n =1n(n+1)=1n−1n+1. ∴ln223−2+ln333−3+⋯⋯+lnn n 3−n <12−13+13−14+⋯⋯+1n−1n+1=12−1n+1<12.∴ln22−2+ln33−3+⋯⋯+lnn n −n<12.(n ∈N *,n ≥2).【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.选考题请考生在第22、23两题中任选一题作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做,则桉所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分) 22.已知曲线C :{x =2cosαy =2sinα(α为参数),设曲线C 经过伸缩变换{x′=x ,y′=12y得到曲线C ',以直角坐标中的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C ′的极坐标方程;(2)若A ,B 是曲线C '上的两个动点,且OA ⊥OB ,求|OA |2+|OB |2的最小值, 【分析】(1)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换和伸缩变换的应用求出结果.(2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果.解:(1)曲线C :{x =2cosαy =2sinα(α为参数),转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4,曲线C 经过伸缩变换{x′=x ,y′=12y得到曲线C '为x 24+y 2=1,根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为极坐标方程为ρ=2√1+3sin θ.(2)设A (ρ1,θ)B (ρ2,θ+π2),所以|OA |2+|OB |2=ρ12+ρ22=41+3sin 2θ+41+3cos 2θ=8+12(sin 2θ+cos 2θ)(1+3sin 2θ)(1+3cos 2θ), =20(1+3sin 2θ)(1+3cos 2θ)=201+3(sin 2θ+cos 2θ)+94sin 22θ, =204+94sin 22θ≥165. 当sin2θ=±1时,|OA |2+|OB |2的最小值为165.【点评】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,极径的应用,三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)23.已知函数f (x )=|x +2|+|x ﹣2|,M 为方程f (x )=4的解集.(l )求M ;(2)证明:当a ,b ∈M ,|2a +2b |≤|4+ab |.【分析】(1)由绝对值不等式的性质,可得所求解集M ;(2)运用分析法证明,结合两边平方和因式分解,以及不等式的性质,即可得证. 解:(1)由f (x )=|x +2|+|x ﹣2|≥|x +2﹣x +2|=4,当且仅当(x +2)(x ﹣2)≤0即﹣2≤x ≤2时,等号成立,则方程f (x )=4的解集为M ={x |﹣2≤x ≤2};(2)证明:要证|2a +2b |≤|4+ab |,只要证(2a +2b )2≤(4+ab )2,即证4a 2+8ab +4b 2≤16+8ab +a 2b 2,即证4a 2﹣16+4b 2﹣a 2b 2≤0,即证(a 2﹣4)(4﹣b 2)≤0,因为a ,b ∈M ,所以a 2≤4,b 2≤4,从而(a2﹣4)(4﹣b2)≤0,故原不等式成立.【点评】本题考查绝对值不等式的性质,注意函数方程的关系,考查不等式的证明,注意运用分析法证明,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题.。
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玉溪一中高2020届高三上学期第2次月考文科数学试卷命题人:飞 超 张琪冉伊一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{42}M x x =-<<,2{60}N x x x =--<,则M N ⋂= A .{43}x x -<< B .{42}x x -<<- C .{22}x x -<< D .{23}x x << 2.设复数1z i =+(i 是虚数单位),则复数1z z+在复平面内所对应的点在 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.在△ABC 中,“0CA CB >”是“△ABC 为锐角三角形”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件4.若1cos 21sin 22αα+=,则tan 2α=A .54B .54-C .43D .43-5.《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产,数学家刘徽在注解《九章算术》时,发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形的面积可无限逼近圆的面积,为此他创立了割圆术,利用割圆术,刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位 3.1416,后人称3.14为徽率.图1是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则结束程序时,输出的n 为 (参考数据: 1.7321≈,sin150.2588≈,sin 7.50.1305≈)) A .6 B .12 C .24 D .486.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116a a =,则1102log a =A .4-B .5-C .6-D .7- 7.设0.50.4a =,0.50.6b =,0.30.6c =,则a ,b ,c 的大小关系是A .a c b <<B .b a c <<C .a b c <<D .c a b <<图18.已知函数212()321x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩,,,若方程()f x a =有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是A .(1,3)B .(0,3)C .(0,2)D .(0,1)9.某人向边分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻,假设芝麻落在区域内的任意 一点是等可能的,则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为 A .5-15π B .10-15π C .15-15π D .15π10.给出下列四个命题,其中不正确的命题为 ①若cos cos αβ=,则2,k k Z αβπ-=∈; ②函数2cos(2)3y x π=+的图象关于直线12x π=对称;③函数cos(sin ),y x x R =∈为偶函数; ④函数sin y x =是周期函数.A .①③B .②④C .①②③④D .①②④11.已知圆22:(36M x y ++=,定点0)N ,点P 为圆M 上的动点,点Q 在NP 上,点G 在MP 上,且满足2NP NQ =,0GQ NP =,则点G 的轨迹方程为 A .22194x y += B .2213631x y += C .22194x y -=D .2213631x y -=12.已知直线y kx b =+与曲线ln(2)y x =和曲线ln(1)y x =+都相切,则k = A .ln 2B .1ln 2C .1ln 2 D.ln二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.过圆锥的轴的截面是顶角为120的等腰三角形,若圆锥的体积为π,则圆锥的母线长为________.14.2019年3月10日,山间一道赤焰拔地而起,巨大的轰鸣声响彻大凉山,长征三号乙运载火箭托举“中星6C ”卫星成功发射升空。
这一刻,中国长征系列运载火箭的发射次数刷新为“300”。
长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了37年,第二个“百发”用了不到8年,第三个“百发”用时仅4年多。
已知在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v (米/秒)和燃料的质量M (千克)、火箭(除燃料外)的质量m (千克)的函数关系式是2000ln(1)Mv m=+.当燃料质量是火箭质量的________倍时,火箭的最大速度可达12000米/秒.15.函数sin()24x y π=+的图象可以由函数cos2xy =的图象向________平移________个单位长度得到.(第一空2分,第二空3分)16.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数,函数()[]g x x =为取整函数.0x 是函数2()ln f x x x=-的零点,则0(1)=g x -________. 三、解答题:(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答) (一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)设函数()sin f x x =,x R ∈. (1)已知[0,2)θπ∈,函数()f x θ+是偶函数,求θ的值; (2)设22()[()][()],124g x f x f x x R ππ=+++∈,求()g x 的单调递减区间 .18.(本小题满分12分)如图2,四面体ABCD 中,O ,E 分别是BD ,BC 的中点,AB AD ==2CA CB CD BD ====.(1)求证:AO ⊥平面BCD ; (2)求三棱锥D ACE -的体积.19.(本小题满分12分)足球是当今世界传播范围最广、参与人数最多的体育运动,具有广泛的社会影响,深受世界各国民众喜爱.图2(1)为调查大学生喜欢足球是否与性别有关,随机选取50名大学生进行问卷调查,当问卷评分不低于80分则认为喜欢足球,当评分低于80分则认为不喜欢足球,这50名大学生问卷评分的结果用茎叶图表示如图3:请依据上述数据填写如下列联表:请问是否有 0095的把握认为喜欢足球与性别有关?参考公式及数据:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++.(2)已知某国“糖果盒”足球场每年平均上座率y 与该国成年男子国家足球队在国际足联的年度排名x 线性相关,数据如表(69k <<,36m <<,k ,*)m N ∈ 求变量y 与x 的线性回归方程ˆybx a =+,并预测排名为1时该球场的上座率. 图3参考公式及数据:1221ˆni ii nii x ynx y bxnx ==-=-∑∑,ˆˆy bxa =+;5127.49i i i x y ==∑.20.(本小题满分12分)设函数221()(ln ),(0)f x x a x a a x x =---->(1)求函数()f x 的单调区间; (2)记()f x 的最小值为()g a ,求()g a 的最大值.21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,动点M 分别与两个定点(2,0)A -,(2,0)B 的连线的斜率之积为12-(1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)设过点(1,0)-的直线l 与轨迹C 交于,P Q 两点,判断直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆的位置关系,并说明理由.(二)选考题:共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数),以O 为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为sin cos 1θρθ-+=(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)设点(1,)P m ,若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且8PA PB=,求m 的值. 23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()1f x ax =-(0)a > .(1)若不等式()2f x ≤的解集为A ,集合=(-2,2)B ,若A B ⊆,求实数a 的取值范围; (2)若不等式123()()2f x f x a a ++>对一切实数x 恒成立,求实数a 的取值范围.玉溪一中2019-2020学年上学期高三年级第2次月考文科数学试卷参考答案一、选择题C A BD C B C D C D A A 二、填空题:13.__2_. 14. __61e -____.15.__右___2π__.(答案不唯一)16. __1____. 三、解答题:17.【解析】(I )因为是偶函数,所以,对任意实数x 都有,即,故,所以.又,因此或.…4分(Ⅱ)1)6x π=+-………9分 解不等式3222262k x k πππππ+≤-≤+,k Z ∈可得:536k x k ππππ+≤≤+所以,()g x 的单调递减区间为5[,]36k k ππππ++,k Z ∈………12分18.【解析】解:(1)证明:连接OC ,BO DO =,AB AD =,AO BD ∴⊥; BO DO =,BC CD =,CO BD ∴⊥;………3分在AOC ∆中,由已知可得1AO =,CO =,而2AC =, 222AO CO AC ∴+=,90AOC ∴∠=︒,即AO OC ⊥;………5分 BD OC O ⋂=,AO ∴⊥平面BCD ;………6分()sin()f x x θθ+=+sin()sin()x x θθ+=-+sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+2sin cos 0x θ=cos 0θ=[0,2π)θ∈π2θ=3π22222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2136212sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭(2)D ACE A CDE V V --=三棱锥三棱锥13CDE S AO ∆=⨯⨯1132BCD S AO ∆=⨯⨯⨯2112132=⨯⨯=, 即三棱锥D ACE -.………12分19.【解析】(1)由题意知,8a =,12b =,20c =,10d =,填写列联表如下;计算23 2.70628222030231K ==>>⨯⨯⨯,所以有90%的把握认为喜欢足球与性别有关;……6分 (2)由题意知,5127.49i i i x y ==∑,若8k =,则90.980.9160.920.9330.9527.49m ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 解得 3.744.020.93m =≈,不合题意,舍去; 若7k =,则90.970.9160.920.9330.9527.49m ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 解得5m =;……8分因此521200i i x ==∑,6x =,0.922y =;所以1221ˆ0.0085ni ii nii x ynxybxnx==-==--∑∑, ˆˆ0.922(0.0085)60.973ay bx =-=--⨯=,所以y 与x 的线性回归方程为ˆ0.00850.973yx =-+,……11分 计算1x =时,ˆ0.008510.9730.9645y=-⨯+=, 即预测排名为1时该球场的上座率为0.9645.……12分20.【解析】(1)函数的定义域为:{|0}x x >, 23212()1()f x a x x x '=+-+……1分 32322x x ax ax +--=223(2)(2)x x a x x +-+=23()(2)0x a x x a x -+=>⇒>,……3分()f x ∴单减区间为(0,)a ,单增区间(,)a +∞.……4分(2)由(1)221()()()min f x f a a a lna a a a==----, ∴211(),()1g a alna g a lna a a'=--=--,……6分 容易得到g '(a )在(0,)+∞上单调递减, g '(1)0=,……9分(0,1)a ∴∈时,g '(a )0>,(1,)a ∈+∞时,g '(a )0<,所以g (a )在(0,1)单增,(1,)+∞单减, g ∴(a )max g =(1)1=-.……12分21.【解析】(1)设动点M 的坐标为(),x y ,因为2MA yk x =+()2x ≠-,2MB y k x =-()2x ≠,所以1222M AM By y k kx x =⨯=-+-. 整理得22142x y +=.所以M 的轨迹C 的方程22142x y +=()2x ≠±.……………4分 (2)解法1:过点()1,0-的直线为x 轴时,显然不合题意.……5分所以可设过点()1,0-的直线方程为1x my =-,设直线1x my =-与轨迹C 的交点坐标为P ()11,x y ,()22,Q x y ,由221,1,42x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222230m y my +--=.……6分因为()()2221220m m ∆=-++>,由韦达定理得+1y 2y =222m m +,1y 2y =232m -+.…………………7分 注意到+1x 2x =()122422m y y m -+-=+.所以PQ 的中点坐标为222,22m N m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭.…………8分因为12PQ y =-==9分点N 到直线52x =-的距离为()22252562222m d m m +=-=++.…………10分 因为2d -24PQ =()422292012042m m m ++>+,…………………11分即d >2PQ ,所以直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆相离.……12分解法2:①当过点()1,0-的直线斜率不存在时,直线方程为1x =-,与22142xy +=交于1,2P ⎛--⎝⎭和1,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭两点,此时直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆相离.…………5分②当过点()1,0-的直线斜率存在时,设其方程为()1y k x =+, 设直线()1y k x =+与轨迹C 的交点坐标为P ()11,x y ,()22,Q x y ,由()221,1,42y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214240k x k x k +++-=.……………6分因为()()()2222244212424160kk k k ∆=-+-=+>,由韦达定理得12x x +=22421k k -+,12x x =222421k k -+.…………7分注意到()121222221ky y k x x k k +=++=+. 所以PQ 的中点坐标为2222,2121k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.……8分因为12PQ x =-==.…………9分点N 到直线52x =-的距离为()22225265221221k k d k k +=-=++.………10分 因为2d -24PQ =()4222122090421k k k ++>+,……………11分即d >2PQ , 所以直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆相离.…12分22.【解析】(1)曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=.…2分l 10x-+-=,即10x --=…4分(2)由于直线l 过点(1,)P m,倾斜角为30°,故直线l 的参数方程为112x y m t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 是参数).………6分 设A ,B 两点对应的参数分别为1t ,2t ,将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程并化简得2210t mt m ++-=.2430m ∆=->解得33m -<<………8分 ∴21218PA PB t t m ==-=,解得3m =±满足m <<所以3m =±………10分第 11 页 共 11 页23.【解析】(1)由12ax -≤,得212ax -≤-≤,又∵0a >,∴13x a a-≤≤,得13[,]A a a =-∵(2,2)A ⊆-∴1232aa⎧->-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩解得1232a a ⎧>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,∴32a > ∴a 的取值范围是3(,)2+∞.………4分 (2)由题意,3112ax x -++>恒成立,设()11h x ax x =-++,因为0a >,所以(1)11()(1)211(1)a x x h x a x x a a x x a ⎧⎪-+<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩………6分 ()h x 在(,1)-∞-单调递减,在1(,)a+∞单调递增,………7分 ①当01a <≤时,()h x 在1[1,]a -单调递增,min 3()(1)12h x h a =-=+>,∴112a <≤………8分 ②当1a >时,()h x 在1[1,]a -单调递减,min 113()()12h x h a a ==+>,∴12a <<.………9分综上所述,a 的取值范围是1(,2)2.………10分。