第五章 角动量.关于对称性
力学(专)第五章 角动量-关于对称性

fi外 fi内 =
i
dLi dt
因对O点的力矩为:
r1
f12
r1 r2
r2 f21 f12
r12r1f1f2120r2
f12
故,
ri
f i内=0
i
15
ri
f i内=0
i
即:质点系的内力矩的矢量和为零;另一种定性解
释:如图示,
r1
f12
是以
f12
为底,高为
因此, Mo Z MZ
Mo'
r'F
o'o
r
F
o' o
F
r
F
r
F
Mo F Z
MZ
F
结论:力 F对Z 轴的力矩等于力 F对Z 轴上任意一点的力矩在Z轴上的投影。
4
2.一般情况
F F F// ,
MZ F MZ F
Mo
F
r
F
r
F//
r
F
r
F
Mo
F
MZ
dLZ dt
(6)
若 MZ 0,则:LZ C 恒量 (7) 质点对轴的角动量守恒定律
当然:由(4)式
M
dL
dt
Mx
dLx dt
M
y
dLy dt
Mz
dLz dt
(8)
11
例如:
1.质点受弹簧的拉力是一有心力,该力对力心的力矩为零,则质点对 该力心的角动量守恒;但换为另一点时,角动量不一定守恒。
i
i
i
又
MiZ 0 MiZ内 0
i
i
因此,
MiZ外
第五章 角动量

第五章角动量.关于对称性习题解答5.1.1我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d近=439km,远地点d远=2384km,地球半径R=6370km,求卫星在近地点和远地点的速度之比。
解:人造卫星绕地心转动,受地球的吸引力过地心,所以吸引力对地心的力矩等于零,故卫星的角动量守恒。
近地点、远地点的速度与矢径垂直。
设近地点的速度为v1,矢径为r1;远地点的速度为v2,矢径为r2,根据角动量守恒定律5.1.2一个质量为m的质点沿着一条由定义的空间曲线运动,其中a、b及皆为常数。
求此质点所受的对原点的力矩。
解:已知所以根据牛顿第二定律,有心力对原点的力矩:5.1.3一个具有单位质量的质点在力场中运动,其中t是时间。
设该质点在t=0时位于原点,且速度为零。
求t=2时该质点所受的对原点的力矩。
所受的对原点的力矩。
解:因单位质量m=1 且又t=0时当t=2s时对原点的力矩5.1.4地球质量为6.01024kg,地球与太阳相距km,视地球为质点,它绕太阳作圆周运动。
求地球对于圆轨道中心的角动量。
解:地球绕太阳的速率角动量=2.65kg.m2/s5.1.5根据5.1.2题所给的条件,求该质点对原点的角动量。
解:由得对原点的角动量5.1.6解:根据5.1.3题所给的条件,求该质点在t=2s时对原点的角动量。
解:由m=1积分:t=2s 时5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔,轻绳一端伸入孔中,另一端系一质量为10g的小球,沿半径为40cm的圆周作匀速圆周运动,这时从孔下拉绳的力为10-3N。
如果继续向下拉绳,而使小球沿半径为10cm的圆周作匀速圆周运动,这时小球的速率是多少?拉力所做的功是多少?解:小球受力:重力、桌面的支持力,二者相等;拉力,通过圆心,力矩为零。
所以小球的角动量守恒。
根据牛顿第二定律由动量定理拉力作的功5.1.8 一个质量为m的质点在0-xy平面内运动,其位置矢量为,其中a、b和是正常数。
试以运动方程及动力学方程观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒。
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第五章:角动量、关于对称生我们将在本章,讨论动量和能量之外的另一个重要的守恒量,即角动量,认识这一概念,它的变化规律和它的守恒,动量和能量不能反映运动的全部特点。
本章介绍经电动力学的适用范围,第六章再、介绍万有引力定律哦的适用范围。
§5.1 质点的角动量一、 质点的角动量开普勒描述行星运动时曾谈到行星沿平面轨道运行,开普勒三个定律如下:1.第一定律;行星都沿着椭圆轨道运动太阳位于椭圆的一个焦点处,如图(5-1.1)所示。
2.第二定律;在航行运动时,联结行星和太阳的线,在相等时间内永远扫出同样大小的面积,图(5-1.2)。
3.第三定律:行星公转周期(公转一次的时间)T 的平方与它们的轨道长半轴a 的立方成正比,即 23112322T a T a =;将行星视为质点分别用r v 和u v表示行星的位置失量和速度。
dtu v 表示质点在时间dt 内的位移dt 内位置矢量扫过面积的大小可用2dtr u ´v v 表示,掠面速度大小则等于2r u ´v v ,2r u´v v 的方向恰与纸面垂直,它的方向不变正可用来表示轨道在一平面内,于是称矢量。
2r u´vv 为掠面速度上述行星的运动规律可写作, 2r u´v v =恒矢量。
它既能说明行星掠面速度大小不变又能指明轨道总在同一平面上。
图(5-1.3)所示。
质点A 的质量为 m, 速度 u v 位置矢量r v ,质点A 的矢径r v与质点动量P m u =u v v 的矢积称为质点(矢量乘积)A 对O 点的动量矩,用l v 表示L Pm g g u =? u v u v u v u v v ;图(5-1.4)上,矢量L u v 垂直与由g u v组成的平面矢量L u v 的大小为sin sin L p m g a ug a ==a 为矢量g u v 的正方向和矢量p u v 的正方向之间的夹角,角动量的大单位为2./kg m s .量纳为[]21L L MT-=,图(5-1.5)所示。
第5章角动量关于对称性

对质点,合力对某一参考点的力矩等于各分力
对同一参考点力矩的矢量和,如本题. 对O点
π M T rO FT sin ( ) 2 mg mg rO cos mgr cos M 合 rO F sinπ 0 M合 rO F M合 M重 MT
若
Mi外z 0
Lz ri mi vi sin i 常量
若质点系各质点绕 z 作圆周运动
Lz ri m i v i m i ri i
2
讨论
若Lz 不变,ri ,i
ri ,i
例如茹可夫斯基凳,花样滑冰等.
实例分析
[例题]装置如图所示.滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相
§5.1.4质点对轴的角动量定理和守恒定律
1. 质点对轴的角动量定理 质点对参考点O的角动量
dL M dt
过参考点O建立坐标轴,则上式在 z 轴上的投影为
dLz Mz dt
称质点对 z 轴的角动量定理的微分形式.
z
2. 力对轴的力矩
F
F2
F1
如图所示:作平面与z轴垂直
F F1 F2
§5.2 质点系的角动量定理 及角动量守恒定律
§5.2.1 质点系对参考点的角动量定理及守恒律 §5.2.2 质点系对轴的角动量定理及守恒律
§5.2质点系的角动量定理 及角动量守恒定律
§5.2.1质点系对参考点的角动量定理及守恒律
1.质点系对参考点的角动量 对参考点
L Li ri pi ri mi vi
z
F2
力矩在 z 轴上的投影为
F
F1
r2
角动量与对称性

讨论张力和重力的力矩
三、力对点的力矩与对轴的力矩之间的关系
质点对点的角动量定理及其守恒定律
作用在质点上的合外力对参考点的力矩等于
此为角动量定理的积分形式(也称冲量矩定理)
质点对某轴的角动量对时间的变化率等
平面内的分量亦即质点角动量与Z轴存在一个夹角,我们可将其在
质点系对轴的角动量定理及其守恒定律我们考虑几个质点均分别在与Z轴垂直平面内运动,
考虑到前面已经证明成对出现的内力对参考点力
)
5.2.5轴的角动量对时间的变化率等于质点
轴的力矩之和始终为
在质心参照系中观察,各质点除受常力外,尚有惯性力
当运动速度远小于光速时,经典力学适用。
可将经典在经典力学中,物质的粒子性、波动性截然分开,量子力学以为在一些条件下粒子性是主要的,在另一些
当表征质点(粒子)的某些量(如角动量)远远大于普朗克常量时,可以用经典力
)相比时经典力学要让位于量子力学;
在量子力学中,粒子的能量、角动量均取分立值(经典力学中取连续值),速度与坐标不能同时确定。
角动量关于对称性物理力学答案

第五章 角动量 关于对称性思考题解答5.1下面的叙述是否正确,试作分析,并把错误的叙述改正过来:(1) 一定质量的质点在运动中某时刻的加速度一经确定,则质点所受的合力就可以确定了,同时作用于质点的力矩也就确定了。
(2) 质点作圆周运动必定受到力矩的作用;质点作直线运动必定不受力矩的作用。
(3) 力1F 与z 轴平行,所以力矩为零;力2F与z 轴垂直,所以力矩不为零。
(4) 小球与放置在光滑水平面上的轻杆一端连结,轻杆另一端固定在铅直轴上。
垂直于杆用力推小球,小球受到该力力矩作用,由静止而绕铅直轴转动,产生了角动量。
所以,力矩是产生角动量的原因,而且力矩的方向与角动量方向相同。
(5) 作匀速圆周运动的质点,其质量m ,速率v 及圆周半径r 都是常量。
虽然其速度方向时时在改变,但却总与半径垂直,所以,其角动量守恒。
答:(1)不正确. 因为计算力矩, 必须明确对哪个参考点. 否则没有意义. 作用于质点的合力可以由加速度确定. 但没有明确参考点时, 谈力矩是没有意义的.(2)不正确. 质点作圆周运动时, 有两种情况: 一种是匀速圆周运动, 它所受合力通过圆心; 另一种是变速圆周运动, 它所受的合力一般不通过圆心. 若对圆心求力矩, 则前者为零, 后者不为零.质点作直线运动, 作用于质点的合力必沿直线. 若对直线上一点求力矩, 必为零; 对线外一点求力矩则不为零.(3)不正确. 该题应首先明确是对轴的力矩还是对点的力矩. 力与轴平行, 力对轴上某点的力矩一般不为零, 对轴的力矩则必为零.力与轴垂直, 一般力对轴的力矩不为零, 但力的作用线与轴相交, 对轴力矩应为零(4)不正确. 因为一个物体在不受力的情况下, 保持静止或匀速直线运动状态, 它对直线外一点具有一定的角动量而并无力矩. 根据角动量定理, 力矩为物体对同一点角动量变化的原因. 力矩的方向与角动量变化的方向相同, 而与角动量的方向一定不相同.(5)不正确. 因为作匀速圆周运动的质点, 所受合力通过圆心, 对圆心的力矩为零,对圆心的角动量守恒,但对其他点,力矩不为零,角动量不守恒。
第五章角动量 对称性

O
v10 m1 m2
思 考
举出质点系的动量守恒而角动量不守恒的一个例子。
用一轻质杆连接的等质量的两个小球放在粗糙的水平 桌面上,原本静止,然后使这一系统绕杆的中点O点转动 起来。在由转动到最终静止的过程中,两小球构成的质 点系动量守恒,对O点的角动量不守恒。
O
例 题 3
在图示装置中,盘与重物的质量均为m,胶泥的质量为 m’, 原来重物与盘静止,让胶泥从h 高处自由落下,求胶 泥粘到盘上后盘获得的初速度(滑轮与绳质量不计,不计 轴承摩擦及绳的伸长)。 ⊙ 解:在胶泥与盘的碰撞过程中, O轴正方向 把盘、重物、胶泥视为质点系, 绳的拉力、盘与重物所受的重 O 力对O轴的力矩之和始终为零, 质点系所受外力对O轴的力矩 m' 之和就等于胶泥所受重力矩。 m v2 h v
力 矩…
力对轴的力矩 力 F 对轴z 的力矩 z 为(轴z过参考点O) :
z ( ) Z (r F ) z r1 r2 F1 F2
z
z r1 F1
z
r1 F1 sin
z
F2
质点系的角动量…
质点系对轴的角动量定理
质点系对于z 轴的角动量随时间的变化率等于质点系 所受一切外力对z 轴的力矩之和。
i外z
dLz dt
质点系对轴的角动量守恒定律
若质点系所受一切外力对轴z 的力矩之和始终为零, 则质点系对z 轴的角动量保持不变。
i外z
0 时, Lz = 恒量
角动量是经典力学中最基本的概念之一;
角动量是经典力学中最重要的概念之一;
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律

直
r于 和p组
成
的
平
L
面o,
服从右手定则。
x
r r m
p
p
y
物理意义:
设m作直线运动
以o为 参 考 点 :L 0
o
r
mp
p
or
以 o为 参 考L 点 0 :
若 r、 p大 小 相 同 p, , L 则 :
*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋 转运动的强弱。
*必须指明参考点,角动量才有实际意义。
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解:以距中心 r,厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ
0
2m R34rdr5 2m2R
教材P.93 一些均匀刚体的转动惯量表
注意:对同轴的转动惯量具有可加减性。
质点角动量的时间变化率等于
质点所受合力的力矩
rm
o
d
二、力矩
1. 对参考点的力矩: M rF
大 小 F d : Fsrin
方向 垂: 直 r 和 F 组 于成,服 的从 平右 面手
2. 对轴的力矩
z
F
Mz
oFd
r
F//
m
MorFr(F//F)
rF// rF 第一项 M1rF//
角动量定理的微分形式和积分形式, 角动量守恒定律, 难点:角动量概念, 角动量定理及角动量守恒定律的应用
学时: 6
§5.1 角动量 转动惯量 一、角动量
第5章 角动量

M z xFy yFx
Mz为力对 o 点 的力矩在 z 轴方向的分量 注意. 力矩求和只能对同一参考点(或轴)进行。
Mo M1o M2o 矢量和
M z M1z M 2 z 代数和
8
课堂练习:试求作用在圆锥摆上的拉力T、重力 mg和合力F对o' 点、o 点、oo' 轴的力矩
dt
14
或由 M r F 直接计算力矩
r a costi b sintj dr v a sinti b costj dt dv a2 costi b2 sintj a dt
2 M r F mr a m r r 0!
方向垂直于轴,其效果是改变 轴的方位,在定轴问题中,与 轴承约束力矩平衡,不影响物 体绕轴转动状态。
第二项:
M 2 r F
方向平行于轴,其效果是改变物体绕轴转动状态,称为力 对轴的矩,在轴上选择正方向,可以将其表为代数量: M z r F
7
即:
i j k Mo r F x y z Fx F y Fz i yFz zFy j zFx xFz k xFy yFx
M r F o
v r
F
所以小球对O 点的角动量守恒。
m vr m v0 r0
2 2
F
2
v r
r0 2 0 mr mr 0 0 r 思考: 拉力所做的功是多少?。
22
v0 r00
[例3] 卢瑟福 粒子散射实验与有核模型。已知 粒子的质量为m,电荷为2e,从远处以速度 v0 射向一 质量为 m ,电荷为Ze的重原子核。重核与速度矢量 垂直距离为d,称为瞄准距离。设 m m ,原子核 可看作不动。试求 粒子与重核的最近距离 rs。 v0
第五章角动量、关于对称性

第五章 角动量、关于对称性到目前为止,我们已先后学习乐两个主要的守恒量——动量和能量(机械能)。
在本章中我们将学习、认识另一个重要的守恒量,即角动量。
并就其概念,变化规律和它的守恒性质进行较为深入的讨论。
本章的另一大主题是关于对称性与守恒律的关系。
内容:§5、1 质点的角动量 §5、2 质点系的角动量定理及其守恒定律因为角动量这一物理量,从概念倒数学表达,都要比动量和动能难以理解。
所以,我们先从简单的情况,即质点的角动量开始。
§5、1 质点的角动量 一、质点的角动量我们都知道,运动是复杂的,只有动量和动能一起,才能作为运动的空间量度。
但是在涉及倒转动问题时,动量和动能还不能反映运动的全部特点。
以有心力为例,天文观测表明:地球相对太阳的运动||||v v ⎧⎪⎨⎪⎩近远大小这个特点(其原因)用角动量概念及其规律很容易说明。
特别是在动量和机械能都不守恒的情况下,角动量可能是守恒的。
这就为求解这类问题开辟了新的途径,更为重要的是角动量不但能描述经典力学重的运动状态,在近代物论中角动量在表征状态方向也是不可缺少的主要物理量之一。
因此,我们通过对几种运动情况的分析,引出质点的角动量这一概念。
1、 行星运动问题(开普勒问题) 行星(在一固定平面内)以椭圆轨道绕太阳运动。
dt 时间内:位矢扫过的面积为:|/2|dSr vdt =⨯掠面速度: 大小: |/2|dSr v dt=⨯(单位时间内位矢r 扫过的面积)方向:v =r ⊥和v 所构成的平面,符合右手螺旋关系天文观测表明:行星运动时,其掠面速度:/2r v ⨯=恒矢量(与行星有关)vdt r vv vr/2r v ⨯v(),()r r t v v t ==讨论:①方向不变说明,轨道总在一固定平面内。
(由r v 和所构成) ②行星的动量和动能都不守恒,但有心力是保守力,故机械能守恒。
2、如图所示:橡皮筋一端固定于O 处,另一端与滑物块相系。
第5章 角动量 关于对称性gai

绝对动能=质心动能+相对动能
质点系的动量等于质心的动量
第五章 角动量 关于对称性
♥ 两体碰撞问题
研究两质点相对质心系的动能 用u表示m1相对于m2的速度,即
vc ) v1 v2 u v1 v2 (v1 vc ) (v2 乘以m1 m1u m1v1 m1v2
力场中运动,其中t是时间。该质点在t=0时位于原点,且速度
为零。求t=2时该质点所受的对原点的角动量和力矩。 解:据质点动量定理的微分形式,
dv F m dt
(m 1)
ˆ (12t 6) ˆ dv [(3t 2 4t )i j]dt
v 0 dv r 0 dr
第五章 角动量 关于对称性
♥ 克尼希定理
质心系中第i个质点mi
相对基本参考系 v i ,相对质心系vi
Ek
质点系相对基本参考系总动能
设质心速度vc vi vc vi 2 1 1 2 2 Ek m ( v v ) m ( v v 2 v c i c i i i c v) i 2 i 2 i
m m1 m2 m1m2 m1 m2
u 为二质点相对速率
第五章 角动量 关于对称性
在研究物体的运动时,人们经常可以遇到质点
或质点系绕某一确定点或轴线运动的情况,并且在
这类运动中也存在着某些共同的重要规律。
(1) 行星绕太阳公转时,掠面速度守恒 v 1 1 r dr r v dt ds r 2 2 dt dt dt O 1 dr v dt r r v 常量 2 r v / 2 常矢量(方向垂直纸面向外)
第五章 角动量关于对称性

第五章 角动量 关于对称性若∑=ii F 0外时,动量守恒 动量、能量不能反映运动的全部特点若∑∑==00内非外A ,A时,机械能守恒不能解决所有问题—→引入角动量—→新守恒量—→角动量——与转动相联系的物理量,角动量守恒;宏观,微观领域均有重要应用。
(当然有不同内涵)对称性:20世纪以来物理研究的重要方法与内容,与守恒定律密切相关,本章予以介绍§5.1 质点的角动量一、质点的角动量 1.行星的掠面速度以太阳中心为参考系,建立日心恒星坐标系,则行星可视为其坐标系中质点。
开普勒:1609年,发现了行星运动第二定律,即等面积定律:从太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。
若以r v ,分别表示行星(视为质点)的速度和矢径,dt v表示dt 内的位移,利用矢积概念,dt 内矢径扫过面积大小为|,2/|dt v r ⨯掠面速度:大小|,2/|v r⨯2v r ⨯的方向:右手螺旋法则,它的方向不变,说明即轨道在一个平面内。
由开普勒定律:运动规律:2vr ⨯=恒矢量结论: ①掠面速度大小不变②恒矢量、方向不变,即:与此矢量垂直的轨道平面总在一个平面上。
2.水平面上一端固定的橡皮筋,其另一端的小物体对固定点的掠面速度守恒运动规律:2vr ⨯=恒矢量结论: ①掠面速度大小不变②恒矢量、方向不变,即:与此矢量垂直的轨道平面总在一个平面上。
3.自由粒子....的掠面速度为恒矢量:r 矢径 速度v若t ∆相当,则:t v s ∆=∆相等因此,每个相等的时间t ∆内矢径r扫过面积为三角形面积,所有三角形底均为t v s ∆=∆,相等,高均为θsin r OH =相等。
所以扫过面积为t rv OH s ∆⋅=⋅∆θsin 2121相等,故:掠面速度 2vr⨯ 大小相等,方面不变为恒矢量2vr ⨯=恒矢量4.角动量: 掠面速度各自保持不变分析:前面例中,保持掠面速度不变时,不同时刻,质点速度不同(大小、方向均不同),所以动能、动量均变化;例3中为自由粒子,v恒矢量,动量动能守恒,所以不能用动量,动能对其共性进行描述,⎪⎭⎫⎝⎛⨯2v r为几何量,面积大小,为此引入动量矩:角动量(矢量对某点可说矩)定义: p r v m r L⨯=⨯=为质点对参考点的角动量质点对于参考点的位矢与动量的矢积称为质点的参考点的角动量。
量子力学第五章 对称性及守恒定律

第五章: 对称性及守恒定律[1]证明力学量Aˆ(不显含t )的平均值对时间的二次微商为: ]ˆ],ˆ,ˆ[[222H H A A dtd -= (H ˆ是哈密顿量) (解)根据力学量平均值的时间导数公式,若力学量Aˆ 不显含t ,有]ˆ,ˆ[1H A i dt A d= (1) 将前式对时间求导,将等号右方看成为另一力学量]ˆ,ˆ[1H A i的平均值,则有: ]ˆ],ˆ,ˆ[[1]ˆ],ˆ,ˆ[1[1222H H A H H A i i dt A d -== (2) 此式遍乘2即得待证式。
[2]证明,在不连续谱的能量本征态(束缚定态)下,不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。
(证明)设Aˆ是个不含t 的物理量,ψ是能量H ˆ的公立的本征态之一,求A ˆ在ψ态中的平均值,有:⎰⎰⎰=ττψψd AA ˆ*将此平均值求时间导数,可得以下式(推导见课本§5.1)(1) 今ψ代表Hˆ的本征态,故ψ满足本征方程式 ψψE H=ˆ (E 为本征值) (2) 又因为Hˆ是厄密算符,按定义有下式(ψ需要是束缚态,这样下述积公存在) τψψτψψτd AHd A H ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)ˆ(*)ˆ()~(ˆ* (3)(题中说力学量导数的平均值,与平均值的导数指同一量)(2)(3)代入(1)得:τψψτψψd A H id H A i dt A d )ˆ(*)ˆ(1)ˆ(ˆ*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰-= ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=τψψτψψd A iE d A i E ˆ**ˆ* 因*E E =,而0=dtAd[3]设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H +=μ。
(1) 证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ/)(2。
(2) 证明:对于定态 V r T ∀⋅=2(证明)(1)z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅,运用力学量平均值导数公式,以及对易算符的公配律: ]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p rdt d⋅=⋅)],,(ˆ21,ˆˆˆˆˆˆ[]ˆ,ˆˆ[2z y x V pp z p y p x H p r z y x +++=⋅μ)],,()ˆˆˆ(21,ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V p p p p z p y p xz y x z y x +++++=μ)],,(,[21],ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p xz y x z y x z y x +++++++=μ(2) 分动量算符仅与一个座标有关,例如xi p x ∂∂= ,而不同座标的算符相对易,因此(2)式可简化成:]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[222z z y y x x p p z p p y p p x H p rμμμ++=⋅ )],,(,ˆˆˆˆˆˆ[z y x V p z p y p xz y x +++ ],ˆˆ[],ˆˆ[],ˆˆ[]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21222V p z V p y V p xp p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++=μμμ (3)前式是轮换对称式,其中对易算符可展开如下:x x x x p x pp x p p x ˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x p p x p p x p p x ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x pp p x ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x pi p i p i =+= (4) ],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-= xV x i ∂∂=ˆˆ (5) 将(4)(5)代入(3),得:}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p rz y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ }ˆ{2V r pi ∀⋅+=μ代入(1),证得题给公式:V r pp r dt d ∀⋅-=⋅ μ2ˆ)( (6)(2)在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量Aˆ的平均值,按前述习题2的结论,其 结果是零,令p r Aˆˆˆ ⋅= 则0)ˆˆ(*2=∀⋅-=⋅=⋅⎰⎰⎰V r p d p r p r dt d τμτψψ (7) 但动能平均值 μτψμψτ22ˆ*22p d p T =≡⎰⎰⎰由前式 V r T ∀⋅⋅=21[4]设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理(Virial theorem )式中V是势能,T是动能,并应用于特例:(1)谐振子 T V = (2)库仑场 T V 2-=(3)T V n Cr V n 2,==(解)先证明维里定理:假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式,则不论n 是正、负数,势场用直角痤标表示的函数,可以表示为以下形式,式中V假定是有理函数(若是无理式,也可展开成级数):∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( (1)此处的k j i ,,暂设是正或负的整数,它们满足:n k j i =++ (定数)ijk C 是展开式系数,该求和式可设为有限项,即多项式。
量子力学中的对称性和角动量

量子力学中的对称性和角动量§3.1 引言从经典物理知道,自然界存在各种守恒定律如能量守恒、动量守恒、角动量守恒等。
为什么会这样? 从形式上看,守恒定律是运动方程的结果,因为它可以从运动方程导出。
但是,从本质上看,守恒定律也许比运动方程更为基本,因为它表达了自然界的一些普遍法则,支配着自然界的所有过程。
反过来,也可以认为运动方程实际上受着守恒定律的限制。
为什么会有守恒定律?守恒定律存在的深刻根源在于自然界存在着普适的对称性。
运动过程的所有特征,实际上都已经隐含在运动方程之中,对称与守恒的研究,只是使运动过程本来就具有的那些特征更加显现出来,但它并不能给出超出运动方程的结果。
经典力学中,Hamiltonian 决定了体系的运动规律,看H 是否对于某一种变换不变,则体系在变换前后的运动规律也保持不变。
----守恒量。
{}{}0,H u ,=+∂∂=H u H u tu dt du 不显含时间,则和如--表示u 是一个运动常数。
量子力学中, 运动方程为[]H F dtdFi ,=,其中力学量为算符[]0,=H F --二者具有共同的本征函数。
Wigner-Weyl 实现:态的对称性直接反映了H 的对称性。
§3.2 转动态的定义和转动算符 §3.2A 转动态的定义在经典物理中,转动后坐标的变化为()()p R p r R r ϕθϕθ,',,'==如果n 为z 轴,转动角为θ,则z z y x y y x x p p z z p p p y x y p p p y x x ==+=+=-=-=',',cos sin ',cos sin ',sin cos ',sin cos 'θθθθθθθθ-------⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x z y x 100cos sin 0sin cos '''θθθθ 在量子力学中,一自旋为0的标量粒子波函数()r ψ,将它绕空间n 轴(z 轴)转动一个角度θ,此操作为作用在波函数上的算符()θ,n R ,则()()()r r n R ',ψψθ=。
刚体3讲

W
h 1 gt2 2
I
mr
2(
gt 2 2h
1)
I0
I I0
r
h m
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第五章 角动量 关于对称性
§7.4刚体定轴转动的动能定理
§7.4.1力矩的功
刚体中P点在力 F
的作用下位移
dr
则力元功
dA F dr F dr F rd
对有限角位移
Δ
Δ
A 0
F rd 0
解:滑轮具有一定的转动惯量,在转动过程两边的张力不 相等。
设m1 边的绳子的张力为T1、T1’, 物体m2 边的绳子的张力 为T2、T2’
由牛顿第二定律和转动定律有:
对m1 T1 m1 g m1a
对m2 对m
m2 g T2 m2a
T2r T1r I
滑轮边缘的切向加速度等于物体的加速度,则可得
Eki
1 2
mi vi2
刚体的动能
Ek
Eki 12mivi 2
1 2mi
ri
2
2
1 2
(
mi ri 2 ) 2
Ek
1 2
Iz 2
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第五章 角动量 关于对称性
2. 定轴转动刚体的动能定理
M z I z
A外i
Δ
0 M外izd
I zd
Iz
d
dt
d
Iz
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第五章 角动量 关于对称性
xc
Wi xi W
yc
Wi yi W
zc
Wi zi W
若取
Wi mi g
则重心坐标与质心坐标同,但概念不同. 质心是质量 中心,其运动服从质心运动定理. 重心是重力合力作 用线通过的那一点.
漆安慎《力学》教案第05章 角动量.关于对称性

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第五章 角动量·关于对称性
[例题补]求作用于圆锥摆质点m上的重力,拉力及合力 对参考点O 和 O′的力矩.(摆长l .)
O
FT
m
O
F
mg
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第五章 角动量·关于对称性
[解] 设: 质点m 相对圆锥摆悬点O´的矢径 rO' 且 rO l
一. 几个典型实例
例1. 开普勒第二定律:对任一行星,它的位置矢量(以 太阳中心为参考点)在相等的时间内扫过相等的面积.
扫过相等面积的大小为 r vdt / 2
v
单位时间内扫过的面积 r v / 2
r
称为掠面速度,写成矢量式为 掠面速度 r v / 2 =常矢量
O
r vdt
方向垂直于 r 和 v 组成的平面
对O点的角动量
L O
b
L
大小: L (bsin)m v
方向: 向上,是常矢量. 对O´点的角动量
O
m
注意:为了突出参考点, 角动 量的图示通常画在参考点上
大小: L bm v (b与v夹角为 π)
2
方向 : 垂直摆线向外,方向始终在变.
L所扫出的图案是:倒置的圆锥 ——不是常矢量!!!
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M重 rO mg
M重 r mg sin 90
mgr 方向
时刻变
MT rO FT
大小 MT = r FTsin(π2
方向
O
FT
m
O
F
mg
时刻变
M合 rO F
大小 M合 r F sin 0 这是张力和重力的力矩之和
质点系对质心的角动量定理和守恒定理

m1r1 m2r2
r1 r2
m1 rc
rc
m2 m2 (r1 r2 )
m1 m2 m1(r2 r1 )
m1 m2
m 2 r12 m1 m 2 m1r12 m1 m2
m1 r1 O
r1 rc
r2 rc
rc r2
m2
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第五章 角动量 关于对称性
当 M外 0时,L' 恒矢量
如跳水运动员等在空中翻筋斗.
同样 Mi外z 0, Lz 常量
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第五章 角动量 关于对称性
[别例为题r]1质、量v1为和m1r和2、mv2的2 两,个试质求点:,其位矢和速度分
(1)每个质点相对于它们质心的动量.
(2)两质点相对于它们的质心的角动量.
以质心C为参考点,建质心坐标系,各坐标
轴与基本参考系平行. 由于质心具有加速度,所以
要计入相应的惯性力力矩.
M外 M惯
dL' dt
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第五章 角动量 关于对称性
L质点系相对质心的角动量,
M 外 诸外力对质心的力矩, M惯 惯性力对质心的力矩.
而惯性力的力矩
M惯
[解](1)在质心系中两质点的速度分别为
v1
m2 m1 m2
u
其中
u
v12
v1
v2
v1
v2 v2
m1 m1 m2
u
p'1
m1v '1
m1m2 m1 m2
u
u
p2
m2v2
m1m2 m1 m2
u
u
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第五章 角动量 关于对称性
角动量及其规律

重力mg
mgLsin β × mgLsin β ×
合力F
FLcos β ×
mg
0
TLcos β sin β ⊙
0 0
11
oo'轴
0
0
三、质点对参考点的角动量定理和守恒定律
1.质点对参考点的角动量定理
M dL dt
即:质点对参考点O的角动量对时间的变化率等于作用于
质点的合力对该点的力矩。 2.质点对参考点的角动量守恒定律 若
z
2.质点对轴的角动量
定义:质点对z轴上O点的角动量在z轴上 的投影称为质点对z轴的角动量。
r2
p
p1 p2
r
r1
L Z r1 p1 sin
O O'
3.质点对参考点的角动量与对轴的角动量的关系
LZ r p
z
r1 p1 sin
4
即:质点对z轴上任意一点的角动量在z轴上的投影等于 质点对z轴的角动量。
z
z
p
p1 p2
r2
r
r1
O
r2 // p 2 r2 p 2 0
r1 p 2、 r2 p 1与 z 轴 垂 直 r1 p 2
z
r2 p 1
z
0
r1 p1 sin
i i i i i
d
dLz dt
22
例:应用角动量守恒解释花样滑冰、芭蕾舞演员
的旋转现象。
重力对转轴的力矩为零,人两臂从 伸开到收回的过程中,人对转轴的 角动量守恒: m i v i ri m i ri 2 C
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O d O
m
r
v
[解] 根据角动量的定义式 L r mv,
x
设 k 为沿 z 轴的单位矢量,则质点的角动量为
L r mv rmvsin k r sin 正好等于 O 点 即 L 指向 z 轴负方向。由上图可以看出,
与轨道的垂直距离 d ,因此代入上式得
L mvd k
三、质点对参考点的角动量定理和守恒定律
● 质点的角动量定理 dL d dr d ( mv ) ( r mv ) mv r dt dt dt dt d ( mv ) r (为什么?) dt
于是
dL dL rF τ dt dt
上式表明,在惯性系中,作用在质点上的合力对某参考点的力
四、质点对轴的角动量定理和守恒定律(自阅)
§5.3 质点系的角动量定理及角动量守恒定 律
一、质点系角动量定理
设质点系由 N 个质点组成,对选定的某固定参考点,第 i 个 质 点的角动量定理的表达式为τ dLi
i
dt
于是
τ i内 τ i外
dLi dL τ i内 τ i外 i dt dt
§5.5 对称性 • 对称性与守恒律
一、关于对称性
在远古不同的文化里都有对称的观念,以后又渗透到各种不 同的人类活动之中,包括绘画、雕塑、音乐、文学、建筑等等。
对称的观念是如何进入到科学里面来的呢?可以讲得很 清楚的希腊,希腊人觉得对称是最高的原则,而什么东西是 最对称的呢?是圆。所以他们就认为,世界上主宰一切的最 高的原则,是以圆和球来做最后决定的。虽然结果并不成功, 可是他们的精神里面有很重要的正确方向。在物理学中对称 的观念是1905-1907年由爱因斯坦引进的,可是最初它对于物 理学的重要性并没有被大家所认识,从1925-1970年,对称的 观念渐渐成为一个主旋律(20世纪有三个主要旋律:量子化、 对称、相位因子)。1925年量子力学发展起来以后,有一些 数学修养比较高的物理学家就把数学里面非常美妙的一个观 念叫做群论引入到物理学里,这对20年代、30年代、40年代 分子物理学、原子物理学乃至以后的原子核物理学都起了决 定性的作用。
由上(1)式可以看出,在过程中如果外力对参考点的力矩
的矢量和始终为零,则质点系对该点的角动量保持不变,称为 质点系对该点的角动量守恒定律,即
当τi 0时,
L 常量.
由(2)式可以看出,有时外力矩对参考点虽不为零,但 是,外力矩沿某固定的 z 轴分量为零,则质点系对 z 轴的角动 量保持不变,叫做质点系对 z 轴的角动量守恒定律。即
动量定理说明,引起动量改变的原因是力;下面将看到, 引起角动量改变的原因是力矩。 对于力矩的概念,虽然在中学物理课中已作过初步介绍,
例如,推门时作用力对门轴有力矩,用扳手拧螺帽时作用力对 螺杆的轴有力矩等,但那里讨论的只是物体绕一定轴线转动, 所遇到的力矩总是对轴的力矩,是力矩的一种特殊形式,力矩 的普遍定义是对一定参考点的,对轴的力矩只是对点的力矩沿 轴线的一个分量,下面将给出力矩的一般定义。 z F 如右图所示,O 是空间一点,F 是作 用力,A 表示受力点,受力点相对于 τ φ 参考点O 的位置矢量 r 与力 F 矢量的 矢量积τ 叫做力 F 对参考点O的力矩, r A y x 其数学表达式为τ= r× F O 由定义可知,同一个力对于不同的参考点有不同的力矩, 因此讲到力矩时必须指明是相对哪一点而言的。当力 F不为零 时,力矩τ仍可能为零,这有两种情况:一是力的作用点就在参 考点 O ,此时位置矢量 r =0;另一种是沿力的方向的延长线通 过参考点 O ,此时sinφ=0 。如果质点在运动中受到的力始终 指向某个固定的中心,这种力叫做有心力,该固定点称为力
研究它对某参考点的“矩”。
定义:质点对于参考点的位置矢量与其动量的矢积
L r mv r p 称为质点对该参考点的角动量(或
动量矩)。
此时它包含了质量,是一个动力学量! L 含有动量 mv 因子,因此与参考 系有关;L 还含有 r 因子,r 又依赖 于参考点的位置,故又与参考点的 选择有关。例如,图(b)中对 o点 的角动量与对 o 点角动量是不相同 的。
都不守恒,却遵从角动量守恒定律,这就为求解这类运动问题 开辟了新途径。
角动量不但能描述经典力学中的运动状态,在近代物理理 论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量,例如原子核的角 动量,通常称为原子核的自旋,就是描写原子核特性的。 角动量守恒定律和动量守恒定律一样,是自然界最基本最
普遍的定律之一。由于角动量这个物理量,从概念到数学表达,
v 因在平面内运动,故 r 恒矢量 2
● 橡皮筋实验,掠面速度亦为一恒量 ● 质点匀速直线运动,对线外任一点掠面速度守恒 上述不同的运动有共同特征,即 r v 2 恒矢量 ,(运动 学量),能否对它们提供统一的动力学描述?
前两种运动的动量、动能均发生变化, 后一种动量、动能 均守恒。因此,动量和动能都不是对上面现象作出统一描述的 物理量。研究上述问题总需要选择参考点,对于一矢量,常可
m1 ac
x
x
O (a)
z
m1
y
y
z
m1ac
C
mn
mi
x
C
mi
y
ma mn ac
(b)
mi ac
图(b)即表示质心参考系中的情况,诸质点相对 C 系的 角动量用 L 表示,又用 τ i外 表示作用于各质点诸力对 C 点 外力矩的矢量和。此外,所有质点各受惯性力 mi ac ,根据
心,上述第二种情况,有心力相对于力心的力矩恒为零。
力对 O 点的力矩τ 在通过 O 点的任一轴线如 z 轴上的分量, 叫做力对轴线 z 的力矩,用 τz 表示,这就是中学物理课中给出 的力矩的定义。正如上面对于角动量的讨论一样,力 F对于轴 线 z 上任一点的力矩τ 在该轴线上的分量的数值 τz 是与所选参 考点无关的。
● 质点角动量守恒定律
dL 根据质点角动量定理 ,如果 0,则 L 常量 dt 即作用于质点的合力对参考点O的力矩始终为零,则质点 对该点的角动量保持不变,称为质点对参考点 O 的角动量守恒 定律。
角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之一,和动量守恒定 律一样,它不仅适用于宏观物体的运动,而且对于牛顿第二定律不 能适用的微观粒子的运动,它也适用。
由上例可以看出,并非质点仅在圆周运动时才具有角动量, 质点作直线运动时,对于不在此直线上的参考点也具有角动量。 另外,还可以看出,如果把参考点选在该直线上,则 sin 0, 质点对该点的角动量永远等于零。因此,当谈到角动量时,必 须指明是对哪个参考点而言的,否则没有意义。
二、力对一参考点的力矩
与 L , L 和 L 分别等于以 r 及 mv 为邻边及以 r 及mv为邻边的平 行四边形的面积, L 与 L 在 z 轴上的投影分别是 Lz L cos
L cos (与 分别是L与L和z轴间的夹角 和 Lz ) ,由图 分别是相应的两个平行四边形在 S 面上的投 Lz 和 Lz (b)可见, 影面积,两者是相同的,故 Lz Lz
当τ iz 0时,
Lz 常量.
§5.4 质点系对质心的角动量定理和 守 恒 定 律
前面给出的角动量定理和角动量守恒定律都相对于惯性系 而言,现在研究质心参考系中质点系角动量的变化规律。如图 (a),C xyz 即质心参考系。C 为质心,x ' , y ' 和 z 坐标轴
与惯性参考系 O xyz 的 x, y 和 z 轴总保持平行,而质心具有 加速度 ac 。 z
(1)
即质点系对于参考点O的角动量随时间的变化率等于各质点 所受外力对该点力矩的矢量和,称为质点系对参考点O的角动量 定理。 这个定理告诉我们质点系的角动量随时间的变化率只决定
于质点系所受外力矩的矢量和,而与内力矩无关。内力矩只能 使系统内各质点的角动量改变,但不能改变质点系总的角动量。 在直角坐标系中,上式沿三个坐标轴的投影式为
z
L r
mv φ y (a)
x
O
z
L L z
o
L
r
Lz
m v
s
Байду номын сангаас
r
o (b)
应当指出的是,虽然质点相 对于任一直线(例如 z 轴) 上的不同参考点的角动量是 不相等的,但是这些角动量 在该直线上的投影却是相等 的。如图(b)所示,取 S 平 面与 z 轴垂直,则质点对于o 点及 o 点的角动量分别为 L
令
L Li
L 表示质点系内各质点对于参考点 O 的角动量的矢量和,叫 做质点系对 O 点的角动量,根据牛顿第三定律,质点系的内 力总是成对出现,每一对内力的大小相等,方向相反,作用在 同一直线上,因此它们对同一参考点的力矩的矢量和为零,只 有外力矩有贡献。这样,求和方程变为
τ
i外
dL dt
三、本章的思考题及练习题
1.思考题:教材P164-165 2.练习题:5.1.2 5.1.7 5.1.8 5.1.9 5.2.2
§5.2 质点的角动量
一、质点的角动量
角动量的概念是怎么引出来的?三个重要的例子(教材第 149页) ● 行星绕太阳公转时,掠面速度守恒
1 1 r dr r vdt ds 2 1 2 r v 常量 dt dt dt 2
矩,等于质点对同一参考点角动量对时间的变化率,这个结论 叫做质点的角动量定理。
把质点角动量定理在直角坐标系中表达,可得到三个分量 方程:
dLy dLx dLz x , y z dt dt dt 即质点对轴的角动量随时间的变化率等于作用于质点的合力对 同一轴的力矩,称做质点对轴的角动量定理。
为了解对称性的含义,先引进一些概念。首先是“系 统”,它是我们讨论的对象;其次是“状态”,同一系统可 以处在不同的状态。不同的状态可以是“等价的”,也可以 是“不等价的”。设想我们有一个圆,这是几何学中理想的 圆(如图a),在它的圆周上打个点作为记号,点在不同的方 位代表系统(圆)处在不同的状态。如果把这个记号包括在 我们所选的系统之内,则不同状态将不等价。 我们把系统从一个状态 变到另一个状态的过程叫做 “变换”,或者说,我们给 它一个“操作”。如果一个 操作使系统从一个状态变到 另一