第五章 角动量.关于对称性

O d O
m
r
v
[解] 根据角动量的定义式 L r mv,
x
设 k 为沿 z 轴的单位矢量，则质点的角动量为
L r mv rmvsin k r sin 正好等于 O 点 即 L 指向 z 轴负方向。由上图可以看出，
与轨道的垂直距离 d ，因此代入上式得
L mvd k
三、质点对参考点的角动量定理和守恒定律
● 质点的角动量定理 dL d dr d ( mv ) ( r mv ) mv r dt dt dt dt d ( mv ) r (为什么?) dt
于是
dL dL rF τ dt dt
上式表明，在惯性系中，作用在质点上的合力对某参考点的力
四、质点对轴的角动量定理和守恒定律（自阅）
§5.3 质点系的角动量定理及角动量守恒定 律
一、质点系角动量定理
设质点系由 N 个质点组成，对选定的某固定参考点，第 i 个 质 点的角动量定理的表达式为τ dLi
i
dt
于是
τ i内 τ i外
dLi dL τ i内 τ i外 i dt dt
§5.5 对称性 • 对称性与守恒律
一、关于对称性
在远古不同的文化里都有对称的观念，以后又渗透到各种不 同的人类活动之中，包括绘画、雕塑、音乐、文学、建筑等等。
对称的观念是如何进入到科学里面来的呢？可以讲得很 清楚的希腊，希腊人觉得对称是最高的原则，而什么东西是 最对称的呢？是圆。所以他们就认为，世界上主宰一切的最 高的原则，是以圆和球来做最后决定的。虽然结果并不成功， 可是他们的精神里面有很重要的正确方向。在物理学中对称 的观念是1905-1907年由爱因斯坦引进的，可是最初它对于物 理学的重要性并没有被大家所认识，从1925-1970年，对称的 观念渐渐成为一个主旋律（20世纪有三个主要旋律：量子化、 对称、相位因子）。1925年量子力学发展起来以后，有一些 数学修养比较高的物理学家就把数学里面非常美妙的一个观 念叫做群论引入到物理学里，这对20年代、30年代、40年代 分子物理学、原子物理学乃至以后的原子核物理学都起了决 定性的作用。
由上（1）式可以看出，在过程中如果外力对参考点的力矩
的矢量和始终为零，则质点系对该点的角动量保持不变，称为 质点系对该点的角动量守恒定律，即
当τi 0时,
L 常量.
由（2）式可以看出，有时外力矩对参考点虽不为零，但 是，外力矩沿某固定的 z 轴分量为零，则质点系对 z 轴的角动 量保持不变，叫做质点系对 z 轴的角动量守恒定律。即
动量定理说明，引起动量改变的原因是力；下面将看到， 引起角动量改变的原因是力矩。 对于力矩的概念，虽然在中学物理课中已作过初步介绍，
例如，推门时作用力对门轴有力矩，用扳手拧螺帽时作用力对 螺杆的轴有力矩等，但那里讨论的只是物体绕一定轴线转动， 所遇到的力矩总是对轴的力矩，是力矩的一种特殊形式，力矩 的普遍定义是对一定参考点的，对轴的力矩只是对点的力矩沿 轴线的一个分量，下面将给出力矩的一般定义。 z F 如右图所示，O 是空间一点，F 是作 用力，A 表示受力点，受力点相对于 τ φ 参考点O 的位置矢量 r 与力 F 矢量的 矢量积τ 叫做力 F 对参考点O的力矩， r A y x 其数学表达式为τ= r× F O 由定义可知，同一个力对于不同的参考点有不同的力矩， 因此讲到力矩时必须指明是相对哪一点而言的。当力 F不为零 时，力矩τ仍可能为零，这有两种情况：一是力的作用点就在参 考点 O ，此时位置矢量 r =0；另一种是沿力的方向的延长线通 过参考点 O ，此时sinφ=0 。如果质点在运动中受到的力始终 指向某个固定的中心，这种力叫做有心力，该固定点称为力
研究它对某参考点的“矩”。
定义：质点对于参考点的位置矢量与其动量的矢积
L r mv r p 称为质点对该参考点的角动量（或
动量矩）。
此时它包含了质量，是一个动力学量！ L 含有动量 mv 因子，因此与参考 系有关；L 还含有 r 因子，r 又依赖 于参考点的位置，故又与参考点的 选择有关。例如，图（b）中对 o点 的角动量与对 o 点角动量是不相同 的。
都不守恒，却遵从角动量守恒定律，这就为求解这类运动问题 开辟了新途径。
角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理 论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量，例如原子核的角 动量，通常称为原子核的自旋，就是描写原子核特性的。 角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界最基本最
普遍的定律之一。由于角动量这个物理量，从概念到数学表达，
v 因在平面内运动，故 r 恒矢量 2
● 橡皮筋实验，掠面速度亦为一恒量 ● 质点匀速直线运动，对线外任一点掠面速度守恒 上述不同的运动有共同特征，即 r v 2 恒矢量 ，（运动 学量），能否对它们提供统一的动力学描述？
前两种运动的动量、动能均发生变化， 后一种动量、动能 均守恒。因此，动量和动能都不是对上面现象作出统一描述的 物理量。研究上述问题总需要选择参考点，对于一矢量，常可
m1 ac
x
x
O (a)
z
m1
y
y
z
m1ac
C
mn
mi
x
C
mi
y
ma mn ac
(b)
mi ac
图（b）即表示质心参考系中的情况，诸质点相对 C 系的 角动量用 L 表示，又用 τ i外 表示作用于各质点诸力对 C 点 外力矩的矢量和。此外，所有质点各受惯性力 mi ac ，根据
心，上述第二种情况，有心力相对于力心的力矩恒为零。
力对 O 点的力矩τ 在通过 O 点的任一轴线如 z 轴上的分量， 叫做力对轴线 z 的力矩，用 τz 表示，这就是中学物理课中给出 的力矩的定义。正如上面对于角动量的讨论一样，力 F对于轴 线 z 上任一点的力矩τ 在该轴线上的分量的数值 τz 是与所选参 考点无关的。
● 质点角动量守恒定律
dL 根据质点角动量定理 ，如果 0，则 L 常量 dt 即作用于质点的合力对参考点O的力矩始终为零，则质点 对该点的角动量保持不变，称为质点对参考点 O 的角动量守恒 定律。
角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之一，和动量守恒定 律一样，它不仅适用于宏观物体的运动，而且对于牛顿第二定律不 能适用的微观粒子的运动，它也适用。
由上例可以看出，并非质点仅在圆周运动时才具有角动量， 质点作直线运动时，对于不在此直线上的参考点也具有角动量。 另外，还可以看出，如果把参考点选在该直线上，则 sin 0， 质点对该点的角动量永远等于零。因此，当谈到角动量时，必 须指明是对哪个参考点而言的，否则没有意义。
二、力对一参考点的力矩
与 L ， L 和 L 分别等于以 r 及 mv 为邻边及以 r 及mv为邻边的平 行四边形的面积， L 与 L 在 z 轴上的投影分别是 Lz L cos
L cos (与 分别是L与L和z轴间的夹角 和 Lz ) ，由图 分别是相应的两个平行四边形在 S 面上的投 Lz 和 Lz （b）可见， 影面积，两者是相同的，故 Lz Lz
当τ iz 0时,
Lz 常量.
§5.4 质点系对质心的角动量定理和 守 恒 定 律
前面给出的角动量定理和角动量守恒定律都相对于惯性系 而言，现在研究质心参考系中质点系角动量的变化规律。如图 （a），C xyz 即质心参考系。C 为质心，x ' , y ' 和 z 坐标轴
与惯性参考系 O xyz 的 x, y 和 z 轴总保持平行，而质心具有 加速度 ac 。 z
（1）
即质点系对于参考点O的角动量随时间的变化率等于各质点 所受外力对该点力矩的矢量和，称为质点系对参考点O的角动量 定理。 这个定理告诉我们质点系的角动量随时间的变化率只决定
于质点系所受外力矩的矢量和，而与内力矩无关。内力矩只能 使系统内各质点的角动量改变，但不能改变质点系总的角动量。 在直角坐标系中，上式沿三个坐标轴的投影式为
z
L r
mv φ y （a）
x
O
z
L L z
o
L
r
Lz
m v
s
Байду номын сангаас
r
o （b）
应当指出的是，虽然质点相 对于任一直线（例如 z 轴） 上的不同参考点的角动量是 不相等的，但是这些角动量 在该直线上的投影却是相等 的。如图（b）所示，取 S 平 面与 z 轴垂直，则质点对于o 点及 o 点的角动量分别为 L
令
L Li
L 表示质点系内各质点对于参考点 O 的角动量的矢量和，叫 做质点系对 O 点的角动量，根据牛顿第三定律，质点系的内 力总是成对出现，每一对内力的大小相等，方向相反，作用在 同一直线上，因此它们对同一参考点的力矩的矢量和为零，只 有外力矩有贡献。这样，求和方程变为
τ
i外
dL dt
三、本章的思考题及练习题
1.思考题：教材P164-165 2.练习题：5.1.2 5.1.7 5.1.8 5.1.9 5.2.2
§5.2 质点的角动量
一、质点的角动量
角动量的概念是怎么引出来的？三个重要的例子（教材第 149页） ● 行星绕太阳公转时，掠面速度守恒
1 1 r dr r vdt ds 2 1 2 r v 常量 dt dt dt 2
矩，等于质点对同一参考点角动量对时间的变化率，这个结论 叫做质点的角动量定理。
把质点角动量定理在直角坐标系中表达，可得到三个分量 方程：
dLy dLx dLz x , y z dt dt dt 即质点对轴的角动量随时间的变化率等于作用于质点的合力对 同一轴的力矩，称做质点对轴的角动量定理。
为了解对称性的含义，先引进一些概念。首先是“系 统”，它是我们讨论的对象；其次是“状态”，同一系统可 以处在不同的状态。不同的状态可以是“等价的”，也可以 是“不等价的”。设想我们有一个圆，这是几何学中理想的 圆（如图a），在它的圆周上打个点作为记号，点在不同的方 位代表系统（圆）处在不同的状态。如果把这个记号包括在 我们所选的系统之内，则不同状态将不等价。 我们把系统从一个状态 变到另一个状态的过程叫做 “变换”，或者说，我们给 它一个“操作”。如果一个 操作使系统从一个状态变到 另一