初中数学苏教版勾股定理的应用汇编考试题考点.doc

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八年级数学上册第三章31勾股定理的证明知识点与同步训练(含解析)(新版)苏科版.docx

勾股定理的证明知识精讲-.勾股定理1-如果直角三角形的两直角边长分别为乩b斜边长为g那么a2^b2=c2.2.勾股定理的变形：c = \la2 +Z?2 , ci = \jc2 -b2 , b = \jc2 - a2 .二.勾股定理的证明1 •如下图，S正方形AG = °2= (°-b)2 +4x—所以/ +b2 =c2 .2.如下图，S梯形ABCD = — =2x—6fZ? + ^c2,所以a2 + Z?2 = c2 .三点剖析一.勾股定理逆定理1.如果三角形的三边长日，b, c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.2.勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足a2+b2=c2 "为前提，得到这个三角形是直角三角形•两者的题设和结论正好相反，应用时要注意其区别.二.勾股数1.满足a2-^b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.2.常用勾股数：3、4、5； 5、12、13； 6、8、10； 7、24、25； 8、15、17； 9、40、41.题模精讲题模一：证明例1.1.1请根据我国古代数学家赵爽的弦图（如图），说明勾股定理.△冏仞、'DHE、△力血是全等的四个直角三角形,・•・ AE = DE=BD=AB, ZEAG + ABAC = ZEAG + ZAEG = 180。

—90° = 90° , 四边形是正方形，•.* 乙AGE = ZEHD = ZBMD = ZACB =90° , ・•・乙HGC= 90° ,•・・ GH = HM =CM =CG = b — a ,・・・四边形6•〃忆是正方形，.:大正方形的面积是c X C = C2 ,大正方形的面积也可以是：4 x —4- （Z? - ci）2 = 2ab + «2 - lab 4- h2 = a2 + b2 ,2・•・ a2+b2=c\即在直角三角形中，两直角边（°、b）的平方和等于斜边（c）的平方.例1. 1.2如图所示，P是AABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF,顶点D, E在边BC上，顶点F 在边AB上；AABC的底边BC及BC上的高的长分别为a, h,且是关于x的一元二次方程 mx2+nx+k=0的两个实数根,设过D, E, F三点的00的面积为S®。

初中数学苏科版第三章勾股定理开学考试考点.doc

初中数学苏科版第三章勾股定理开学考试考点姓名:_____________年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分一、解答题14．已知：D是AC上一点，BC=AE，DE∥AB，∠B=∠DAE.求证：AB=DA.24．小丽驾车从甲地到乙地。

设她出发第x min时的速度为y km/h，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系。

（1）小丽驾车的最高速度是______________km/h；（2）当20£x£30时，求y与x之间的函数关系式，并求出小丽出发第22 min时的速度；（3）如果汽车每行驶100 km耗油10 L，那么小丽驾车从甲地到乙地共耗油多少升？22．（6分）已知一次函数y=kx+b的图像经过点（1，1），（-2，-5）.（1）求此函数的解析式。

（2）若点（a，3）在此函数的图像上，求a的值为多少？21．已知与成正比例函数关系，且时，。

（1）写出与之间的函数关系式；（2）求当时，的值；评卷人得分（3）求当时，的值。

18．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1)，B(1,－1)，C(－1,－1)，D(－1,1)，y 轴上有一点P(0,2)．作点P关于点A的对称点P1，作点P1关于点B的对称点 P2，作点P2关于点C的对称点P3，作点P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作点P5关于点B的对称点P6，…，按此操作下去，则点P2013的坐标为______________.15．若点M（，）在x轴上，则点M的坐标是______________，b=______________。

12．（－2，1）点关于x轴对称的点坐标为__________．42．（2011•南京）设函数y=与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则﹣的值为______________. 20．如图，向放在水槽底部的烧杯注水，注满烧杯后，继续注水，直至水槽注满。

专题08 勾股定理的简单应用八年级数学上学期期中考试好题汇编(苏科版)(解析版)

专题08 勾股定理的简单应用1．（2020·东海晶都双语学校八年级期中）如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h至少为_______cm．【答案】2【解析】解：如图所示，筷子、圆柱的高、圆柱的直径正好构成直角三角形，∵圆柱杯子的底面半径为3cm，高为8cm，∵筷子在圆柱里面的最大长度cm，∵筷子露在杯子外面的长度至少为12－10=2cm，故答案为2．2．（2019·江苏惠山区·阳山中学）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行A．8米B．10米C．12米D．14米【答案】B【解析】如图，设大树高为AB=10米，小树高为CD=4米，过C点作CE∵AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∵EB=4米，EC=8米，AE=AB﹣EB=10﹣4=6米，在Rt∵AEC中，（米）．故选B．3．（2019·江苏东台市实验中学八年级期中）如图，从电线杆离地面5 m 处向地面拉一条长13 m 的固定缆绳，这条缆绳的固定点距离电线杆底部有_____m.【答案】12【解析】解：如图示：∵电线杆、地面及缆绳正好构成直角三角形，AC=5m ，BC=13m ，∵12AB （m ）故答案为12．4．（2019·盐城市大丰区实验初级中学八年级期中）如图,台风过后某中学的旗杆在B 处断裂,旗杆顶部A 落在离旗杆底部C 点6米处,已知旗杆总长15米,则旗杆是在距底部________米处断裂.【答案】6.3【解析】设BC=x 米，由题意得AC=6米，AB=()15x -米，在Rt∵ABC 中，222BC +AC =AB ,即()222+6=15-x x 解得=6.3x故答案为6.35．（2019·江苏无锡市·八年级期中）如图，在一个高为5m ，长为13m 的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是_______．【答案】17米【解析】将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形ABC的两直角边之和，即AC+BC，在直角∵ABC中，已知AB=13米，BC=5米，且AB为斜边，则根据勾股定理=12（米），故地毯长度为AC+BC=12+5=17（米）.故答案为17米6．（2019·江苏阜宁县·八年级期中）如图：5米长的滑梯AB开始时B点距墙面水平距离3米，当B向后移动1米，A点也随着向下滑一段距离，求A下滑的距离．【答案】1米【解析】由题意可得：AB=5m，BO=3m，故（m），∵当B向后移动1米，∵OB′=4m，（m），则AA′=1m，答：A下滑的距离为1m．7．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面(如右图为示意图)．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB ．【答案】风筝距离地面的高度AB 为12米．【解析】由题意得：ABC 是直角三角形，90ABC ∠=︒，5BC =米设AB x =，则1AC x =+在Rt ABC 中，由勾股定理得：222AB BC AC +=，即2225(1)x x +=+解得12x =（米）答：风筝距离地面的高度AB 为12米．8．（2020·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?【答案】竹子折断处离地面91 20尺【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，解得：9120 x=答：竹子折断处离地面9120尺．考点二、最短路径问题1．（2020·泰兴市洋思中学八年级期中）如图，底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A．B．8C．10D．12【答案】C【解析】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为12cm，则BC=112=62⨯cm．又因为AC=8cm，所以：10AB cm．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是10cm．故选：C．2．（2019·江苏宜兴市·八年级期中）如图，长方体的长为4cm，宽为2cm，高为5cm，若用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，则所用细线的长度最短为__________cm.【答案】13【解析】解：将长方体展开，连接A、B′，∵AA′=4+2+4+2=12（cm），A′B′=5cm，根据两点之间线段最短，=13cm．∵所用细线最短需要13cm．故答案为13.考点三、航海、选址等问题1．（2019·江苏滨海县·八年级期中）如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点C处用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了______米（BD的长）（假设绳子是直的）．【答案】9【解析】在Rt∵ABC 中：∵∵CAB=90°，BC=17米，AC=8米，∵15AB =（米），∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，∵171710CD =-⨯=（米），∵6AD =（米），∵1569BD AB AD =-=-=（米），答：船向岸边移动了9米．故答案为：9．2．（2020·沭阳县修远中学八年级期中）如图，一艘轮船从小岛A 处出发，向正北方向以每小时20海里的速度行驶了1.5小时到达B 处执行任务，再向正东方向以相同的速度行驶了2小时到达C 处继续执行任务，然后以相同的速度直接从C 处返回A 处轮船返回时比出去时节省了多少时间？（不含执行任务时间）【答案】1小时【解析】=20 1.5=30AB ⨯（海里），=202=40BC ⨯（海里），再Rt∵ABC 中，∵ABC=90°，由勾股定理得：50AC =（海里），∵返回所用时间为：50=2.520小时，出去所用时间为：2+1.5=3.5小时，∵则返回时比出去时节省的时间为：3.5 2.51-=小时．答：返回时比出去时节省了1小时．3．（2019·江苏常州市·八年级期中）中日钓鱼岛争端持续，我国海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度.如图，OA OB ⊥，45OA =海里，15OB =海里，钓鱼岛位于O 点，我国海监船在点B 处发现有一不明国籍的渔船自A 点出发沿着AO 方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O ，我国海监船立即从B 处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C 处截住了渔船.（1）请用直尺和圆规作出C 处的位置.（不写作法，保留作图痕迹）（2）求我国海监船行驶的航程BC 的长.【答案】(1)见解析(2)25海里【解析】解：(1)作AB 的垂直平分线与OA 交于点C ；(2)连接BC ，设BC 为x 海里，则CA 也为x 海里，OC 为()45x -海里∵∵O=90°，∵在Rt OBC ∆中,222BO OC BC +=，即：2221545x x +-=（），解得：25x =，答：我国渔政船行驶的航程BC 的长为25海里.4．（2019·江苏泰州市·泰州中学附属初中八年级期中）如图所示，一艘快艇和一艘渔政船分别从B 处出发执行任务.快艇沿北偏东60°方向以每小时40海里的速度向M 岛前进，渔政船沿南偏东30°方向以每小时30海里的速度向P 岛前进，半小时后到达各自目的地，则M 岛与P 岛之间的距离是多少？【答案】25海里【解析】由题意可得：BM=12×40=20(海里)，BP=12×30=15(海里)，∵∵MPB=180°-60°-30°=90°,∵MBP为直角三角形，海里).∵M岛与P岛之间的距离是25海里.考点四、其它应用1．（2019·江苏惠山区·阳山中学）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．【答案】8【解析】解：由题意得，斜边长米，则少走(6+8-10)×2=8步路，故答案为8.2．（2019·盐城市明达初级中学）如图，某自动感应门的正上方A处装有一个感应器，离地面距离AB＝2.6米，当人体进入感应器的1.5m及1.5m以内感应范围内时，感应门就会自动打开．小明（CD）身高1.7米缓慢走向感应门，求他走到离感应门多远距离时，门刚好．．自动打开？【答案】1.2米【解析】假设人走到图中C 处时门刚好自动打开，根据题意得出 1.5, 1.7AD m EB DC m ===，2.6, 1.7AB m EB m ==，0.9AE AB EB m ∴=-=，DE AB ∵⊥，90AEB ∴∠=︒，1.2DE m ∴，1.2CB DE m ∴==，∵他走到离感应门1.2米时，门刚好．．自动打开． 3．（2020·江苏射阳县·八年级期中）如图，长为24cm 的橡皮筋放置在数轴上，固定A 和B ，然后把中点C 沿与AB 垂直方向向上拉升5cm 至D 点，求橡皮筋被拉长了多少？【答案】2cm ．【解析】 C 是AB 的中点，112cm 2AC BC AB ∴===， CD AB ⊥13cm AD ∴13cm BD =26cm AD BD ∴+=∴橡皮筋被拉长了：26-24=2cm答：橡皮筋被拉长了2cm ．4．（2019·江苏淮阴区·八年级期中）如图，铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA ∵AB 于A ，CB ∵AB 于B ，已知DA =15km ，CB =10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少千米处？【答案】E 点应建在距A 站10千米处．【解析】解：设AE ＝xkm ，∵C 、D 两村到E 站的距离相等，∵DE ＝CE ，即DE 2＝CE 2，由勾股定理，得152+x 2＝102+（25﹣x ）2，x ＝10．故：E 点应建在距A 站10千米处．5．（2019·江苏东海县·八年级期中）在甲村至乙村的公路上有一块山地正在开发，现有一C 处需要爆破．已知点C 与公路上的停靠站A 的距离为300米，与公路上的另一停靠站B 的距离为400米，且CA CB ⊥，如图所示为了安全起见，爆破点C 周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否因为有危险而需要暂时封锁？请说明理由．【答案】公路AB 段需要暂时封锁．理由见解析.【解析】公路AB 段需要暂时封锁．理由如下：如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ．因为400BC =米，300AC =米，90ACB ∠=︒，所以由勾股定理知222AB BC AC =+，即500AB =米．因为1122ABCS AB CD BC AC =⋅=⋅，所以400300240500BC AC CD AB ⋅⨯===（米）．由于240米＜250米，故有危险，因此公路AB 段需要暂时封锁．1．（2019·江苏惠山区·八年级期中）如图，∵ABC 中，∵ACB=90°，BC=3，AC=4，点D 是AB 的中点，将∵ACD 沿CD 翻折得到∵ECD ，连接AE ，BE ，则线段BE 的长等于（）A ．75B ．32 C ．53D ．2 【答案】A【解析】如图延CD 交AE 与点H ，作AF AB ⊥，垂足为F ．∵在Rt ABC △中，43AC BC ==，，5AB ∴=．∵D 为AB 的中点，∵AD=BD=DC ． ∵1122AC BC AB CF ⋅=⋅，1134522CF ∴⨯⨯=⨯⨯，解得125CF =．由翻折的性质可知AC=CE ，AD=DE ，CH AE AH HE ∴⊥=，．1122DC DB BD CF DC HE =⋅=⋅，，125HE CF ∴==． 245AE ∴=． ∵AD DE DB ==，∵ABE △ 为直角三角形．75BE ∴=．故选A ．2．（2019·江苏江都区·八年级期中）如图，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB 1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n ＋2与第n 条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2018条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）A．0B C D ．1【答案】B【解析】根据爬行规则，黑、白两个甲壳虫爬行轨迹如下图：从图中发现，发现周期为6条棱÷=……2,20186336即黑棋子在D1处，白棋子在B1处，它们之间的距离为线段D1 B1的长,由勾股定理得：D1 B1==故选B3．（2020·江苏新北区·）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（）A．10m B．11m C．12m D．13m【答案】B【解析】设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22，右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，∵x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11，故选：B．4．（2020·沭阳县修远中学八年级期中）将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长为h cm, 则h的取值范围是__________.【答案】11cm≤h≤12cm．【解析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB=13（cm），故h=24﹣13=11（cm）．故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故答案为11cm≤h≤12cm．5．（2019·江苏东台市·八年级期中）如图，∵ABC中，∵C=90°，AC=3，AB=5，点D是边BC上一点．若沿AD将∵ACD翻折，点C刚好落在AB边上点E处，则BD=_______________．【答案】2.5【解析】∵AC＝3，AB＝5，∵BC，设BD=x，则CD=4﹣x，∵ED=4﹣x，∵AE=AC=3，∵BE=2，∵BE2+DE2=BD2，∵22+（4﹣x）2=x2，解得x=2.5，∵BD=2.5.故答案为2.5.6．（2019·宜兴市桃溪中学八年级期中）在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________分米．【答案】；13或【解析】把立体图展开可得∵根据侧面展开图可由两点之间，线段最短，知AB最短，故根据勾股定理可求得AB=13分米；∵根据立体图形可知把AC，BE向外展开，得到直角边长为5+1+=7，把中间凹面展开可得到直角边为6+2+2=10，∵同∵的方式，得到两直角边分别为11和67．（2020·江苏淮安区·）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有小时．【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解析；（2）7．【解析】解：（1）海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD∵AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∵AC2＋BC2＝AB2．∵∵ABC是直角三角形．∵AC•BC＝CD•AB∵CD＝240（km）∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∵海港C受到台风影响．（2）当EC ＝250km ，FC ＝250km 时，正好影响C 港口，∵ED 70（km ）∵EF ＝140km∵台风的速度为20km/h ，∵140÷20＝7（小时）即台风影响该海港持续的时间为7小时．故答案为：7．8．（2020·江苏盐城市·）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度．【答案】2.2米【解析】解：在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，0.7BC =米， 2.4AC =米，2220.7 2.4 6.25AB ∴=+=．在Rt ∵A BD '中，90A DB ∠'=︒，2A D '=米，222BD A D A B +'='，222 6.25BD ∴+=，2 2.25BD ∴=，0BD >，1.5BD ∴=米，0.7 1.5 2.2CD BC BD ∴=+=+=米，答：小巷的宽度为2.2米．9．（2019·无锡市玉祁初级中学八年级期中）如图，∵AOB ＝90°，OA ＝36cm ，OB ＝12cm ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？【答案】如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是20cm ．【解析】∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC ＝AC ，设AC ＝x ，则OC ＝36﹣x ，∵由勾股定理可知OB 2+OC 2＝BC 2，又∵OA ＝36，OB ＝12，∵122+（36﹣x ）2＝x 2，解方程得出：x ＝20．答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是20cm ．10．（2019·江苏江都区·八年级期中）A ，B 两个居民楼在公路同侧，它们离公路的距离分别为AE ＝200米，BF ＝70米，它们的水平距离EF ＝390米．现欲在公路旁建一个超市P ，使超市到两居民楼的距离相等，则超市应建何处？为什么？【答案】超市应建在距离E 处150米的位置.【解析】解：设EP x =米，则390PF x =-（）米,由题意得：222220070390x x +=+-（）解得：150x =.故：超市应建在距离E 处150米的位置.11．（2019·江苏惠山区·八年级期中）如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m （踏板厚度忽略不计），右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B 位置时，点B 离地面垂直高度BC 为1m ，离秋千支柱AD 的水平距离BE 为1.5m （不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD 的高.【答案】秋千支柱AD 的高为3m.【解析】解：设AD ＝x m ，则由题意可得AB ＝(x －0.5)m ，AE ＝(x －1)m ，在Rt∵ABE中，AE2＋BE2＝AB2，即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2，解得x＝3．即秋千支柱AD的高为3m．12．（2019·无锡市钱桥中学八年级期中）如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m，已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响．（1）试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响？（2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？【答案】（1）20s；（2）可以通行．【解析】（1）∵由题意得AC=9，AB=AD=41，AC∵BD，∵Rt∵ACB中，40，Rt∵ACD中，40=，∵BD=80，∵80÷4=20（s），∵受影响时间为20s；（2）∵20＜25，∵可以通行．13．（2020·无锡市大桥实验学校八年级期中）（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m 的木棒；（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C ，那么所用细线最短需要______m ；（3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm ，114,AA cm =假设昆虫甲从盒内顶点1C 以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A 以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲?【答案】（1（2（3）昆虫乙至少需要8514秒钟才能捕捉到昆虫甲【解析】（1（2（3）设昆虫甲从顶点1C 沿棱1C C 向顶点C 爬行的同时，昆虫乙从顶点A 按路径A→E→F ，爬行捕捉到昆虫甲需x 秒钟，如图1在Rt∵ACF 中，222(2)12(142)x x =+-∵x>0，解得：85.14x = 答：昆虫乙至少需要8514秒钟才能捕捉到昆虫甲．。

八年级数学上册第三章3.3勾股定理的应用知识点与训练(含解析)苏科版(2021-2022学年)

勾股定理的应用一．求线段长常用的方法有:1．直接利用勾股定理:已知直角三角形的两条边,求另外一条； 2.通过设未知数,根据勾股定理列方程,解方程;3.通过特殊三角形的比例关系来计算(仅限于选择、填空题中的快速计算);如图１,;如图2, 4．面积法:当所求的线段为三角形的高时,利用面积相等可求得对应高的长度；如上图,,．5.挖掘题目中的隐含条件，通过全等三角形、等腰三角形等来求线段长;6．做辅助线:根据题目中的条件,添加适当的辅助线,如垂直等进而解三角形．二.勾股定理与最短距离在立体图形中，往往会涉及到求某两点之间的最短路程问题，这就需要我们画出立体图形的展开图,然后利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求出最短距离.三.两点间距离公式在平面直角坐标系中，任意给定两点,.过点A 、Ｂ分别向坐标轴作垂线,则，，由勾股定理可得,::1:BC A B A C=:::B C A C A B =1122A B CS A C B C A B C D ==△A C B C C D A B =()A a b ，()B c d ，AC b d =-B C a c =-.(初中阶段解答题中不能直接应用,如果需要,应提前说明“由勾股定理得”）一．考点：1．求线段长;2．最短路径问题;3．两点之间距离公式．二．重难点:根据已知条件,分析相应图形,并选取合适的方法，求线段长.三．易错点：1.在应用勾股定理的过程中，注意分清楚直角边和斜边，选择正确的公式来进行计算;2.所对的直角边是斜边的一半,注意分清楚“所对的直角边”和“斜边".题模一:求线段长例2.1.1 在Rt△AB Ｃ中,∠C=9０°，AC=９,BC=１２,则点C 到( )A ． B. C ． D. 【答案】A【解析】根据题意画出相应的图形,如图所示：在Rt△A ＢC 中,A Ｃ=９，BC ＝１2,根据勾股定理得＝15,过C 作ＣＤ⊥ＡB,交ＡB 于点Ｄ,又Ｓ△ ABC =AC •B Ｃ＝AB •CD,∴ＣD ＝=＝,则点C 到AB 的距离是.ﻬ故选A例２。

专题3-3 勾股定理的简单应用-重难点题型(举一反三)(苏科版)(原卷版)

专题3.3 勾股定理的简单应用-重难点题型【苏科版】【题型1 勾股定理的应用（最短路径问题）】【例1】（2021春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？【变式1-1】（2020秋•长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16π，高BC＝12cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．【变式1-2】（2020秋•碑林区校级月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为多少？【变式1-3】（2020秋•淅川县期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？【题型2 勾股定理的应用（方位角问题）】【例2】（2020秋•龙口市期中）甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？【变式2-1】（2020春•孟村县期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？【变式2-2】（2020春•鹿邑县期中）如图，北部湾诲面有一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C岛接送一名患病的渔民到基地的医院救治．已知C岛在基地A的北偏东58°方向且距基地A32海里，在B处的北偏西32°的方向上．军舰从B处出发，平均每小时行驶40海里．问至少需要多长时间能把患病渔民送到基地？【变式2-3】（2020春•灌阳县期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．（1）求甲巡逻艇的航行方向；（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【题型3 勾股定理的应用（范围影响问题）】【例3】（2021春•江岸区校级月考）国家交通法规定：汽车在城市街道上行驶速度不得超过60km/h，一辆汽车在解放大道上由西向东行驶，此时小汽车在A点处，在它的正南方向21m处的B点处有一个车速检测仪，过了4s后，测得小汽车距离测速仪75m．这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由．【变式3-1】（2021春•南川区期中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，若小明此时在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？【变式3-2】（2020秋•雁江区期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【变式3-3】（2020秋•内江期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）求∠ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F 时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？【题型4 勾股定理的应用（梯子问题）】【例4】（2021春•前郭县月考）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾AE到大厦墙面CD），升起云梯到火灾窗口B．已知云梯AB长17米，云梯底部距地面的高AE＝1.5米，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？【变式4-1】（2020秋•玄武区期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．求滑道AC的长度．【变式4-2】（2020秋•阜宁县期中）如图，教学楼走廊左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜在右墙时，顶端距离地面2米，求教学楼走廊的宽度．【变式4-3】（2020秋•惠来县期末）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？【题型5 勾股定理的应用（九章算术问题）】【例5】（2021春•合肥期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？【变式5-1】（2021春•汉阳区期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答）【变式5-2】（2020春•安庆期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．【变式5-3】（2020•庐阳区一模）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何”．大意是说，已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？【题型6 勾股定理的应用（其他问题）】【例6】（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．【变式6-1】（2020秋•宽城区期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？【变式6-2】（2021春•越秀区校级期中）八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：①测得BD的长度为8米：（注：BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的松松身高1.6米．（1）求风筝的高度CE．（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？【变式6-3】（2020秋•荥阳市期中）随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝1.8m，BC ＝2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由．。

勾股定理专题(附答案-全面、精选)汇编

勾股定理一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理内容：在RT△中，勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（）A、c²- a²=b²B、c²- b²=a²C、a²- c²=b²D、a²+b²= c²（2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）A、BC²- AB²=AC²B、BC²- AC²=AB²C、AB²+AC²= BC²D、AC²+BC²= AB²2、应用勾股定理求边长（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.（4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．3、利用勾股定理求面积（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。

（6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为。

（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x=,y=。

（8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（）A、6B、8C、10D、12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S12、、S S S S S S341234、，则+++=_____________。

【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。

初中数学苏教版勾股定理的应用综合测试考试卷考点.doc

初中数学苏教版勾股定理的应用综合测试考试卷考点姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分一、填空题评卷人得分1．一座垂直于两岸的桥长15米,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南头9米,则小船实际行驶了______________米. 12．如图，将直角△ABC绕点C顺时针旋转90°至△A′B′C的位置，已知AB=10，BC=6，M是A′B′的中点，则AM____________.13．如图,图中的螺旋形由一系列直角三角形组成,则第n个直角三角形的面积为_________14．已知:如图,AD是△ABC的高,∠BAD=“45°,AC=13” cm,CD=“5” cm,则AD=____;S△ABC=____.15．如图,正方形的面积是______.9．一个圆桶底面直径为24cm,高32cm,则桶内所能容下的最长木棒为A．20cmB．50cmC．40cmD．45cm10．一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分,又沿南北马路向南走了19.2分到家,则他的家离公司距离为______________米.A．100B．500C．1 240D．10008．如图，一圆柱高8 cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（）cm.A．6B．8C．10D．121．下列各组数中,以a,b,c为边的三角形不是Rt△的是( )A．a=1.5,b=2,c=3B．a=7,b=24,c=25C．a=“6,b=8,c=10”D．a=3,b=4,c=518．一个三角形三条边的比为5∶12∶13，且周长为60cm，求它的面积.20．如图，要从电线杆离地面12米处向地面拉一条长为13米的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离.22．张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下表:n2345…a22-132-142-152-1…b46810…c22+132+142+152+1…(1)请你分别观察a、b、c与n之间的关系,并用含自然数n (n>1)的代数式表示:a =“ ______,b” =“ ______,c” = ______.(2)猜想:以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形?并说明你的猜想.24．木工师傅为了让直尺经久耐用,常常在直尺的直角顶点与斜边之间加一个小木条,如下左图所示.下右图为其示意图.若∠BAC=90°,线段AB的长为5,线段AC的长为12,试求出小木条AD的最短长度.。

勾股定理(3个考点清单+16种题型解读)(原卷版)—2025学年八年级数学上学期期中考点(苏科版)

勾股定理（3个考点清单+16种题型解读）【清单01 勾股定理】1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．在应用勾股定理时要注意它的变式：abb ac a c b b c a c b a 2)(22222222222-+=-=⇒-=⇒=+；2.勾股定理的验证方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中221()42ABCD S a b c ab =+=+´正方形，所以222c b a =+．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中221()42ABCD S c b a ab =-+´正方形，所以222c a b =+．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 2()()112222ABCD a b a b S ab c +-==´+梯形，所以222c b a =+．【清单02 勾股定理的逆定理】1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为a,b,c ，且a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．2. 勾股数满足关系a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为勾股数。

常见的勾股数有：（1）3，4,5；（2）6,8,10；（3）9，12,15；（4）5,12,13；（5）8,15,17；（6）7,24,25；【清单03 勾股定理的应用】1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2、用于解决带有平方关系的证明问题；3、与勾股定理有关的面积计算；4、勾股定理在实际生活中的应用．【考点题型一勾股定理的证明方法】【例1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【变式1-1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（）A．②③B．①②③C．①②③④D．②③④【变式1-2】如图，阴影部分是由4个三边分别为a、b、c（c为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为()2a b -外，还可以表示为：；【变式1-3】把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点A ，E ，D 在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于a ，b ，c 的代数恒等式，则这个恒等式是．【变式1-4】用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形．请根据信息解答下列问题：(1)请用含a ，b ，c 的代数式表示大正方形的面积．方法1：______．方法2：______．(2)根据图2，求出a ，b ，c 之间的数量关系．(3)如果大正方形的边长为10，且14a b +=，求小正方形的边长．【考点题型二以弦图为背景的计算题】【例2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b ，较短直角边为a ，则22b a -的值是（）A ．7B ．14C ．21D ．28【变式2-1】如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是52，小正方形的面积是4，设直角三角形较长直角边为b ，较短直角边为a ，则a b +的值是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【变式2-2】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若()221a b +=，小正方形的面积为6，则大正方形的面积为．【变式2-3】如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，若图中大正方形ABCD 的面积为34，直角三角形较短的直角边长AH 为3，则中间小正方形EFGH 的面积为．【变式2-4】阅读下列材料，并完成相应的任务：小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成AB c BE a AE b ===，，，．任务一：如图1，请用它验证勾股定理．任务二：如图1，若315b a c -==，，求Rt ABE V 的面积．任务三：如图2，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，CD 是AB 边上的高，43AC BC ==，，请直接写出CD 的长．【考点题型三勾股数问题】【例3】下列各组数据为勾股数的是（）A B ．1C ．5，12，13D ．2，3，4【变式3-1】勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；¼这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；¼若此类勾股数的勾为2(0m m >，m 为正整数），则弦是（结果用含m 的式子表示）（）A ．21m +B ．21m -C ．22m +D ．23m +【变式3-2】观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为．【变式3-3】如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A ，B ，C ，D 的面积分别为3，2，2，5，则正方形G 的面积为．【变式3-4】阅读材料：勾股定理222a b c +=本身就是一个关于a 、b 、c 的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解(),,a b c 通常叫做勾股数组，关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组()3,4,5．类似地，还可以得到下列勾股数组：()5,12,13，()7,24,25，()9,40,41，…，等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组，上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示：勾股数组各数组的和和的另一表示法和与最小数的差股弦3，4，51234´1239-=912-912+5，12，133056´30525-=2512-2512+7，24，255678´56749-=4912-4912+观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点：特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和；特点2：______．…回答问题：(1)请你再写出上述勾股数组的一个特点：______；(2)如果n 表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为(),,n ；(3)请你证明（2）中的三个式子是勾股数组．【考点题型四用勾股定理解三角形】【例4】如图，ABC D 中，90ACB Ð=°，3BC =，4AC =，点D 是AB 的中点，将ACD D 沿CD 翻折得到ECD D ，连接AE ，BE ，则线段BE 的长等于( )A ．75B ．32C ．53D ．2【变式4-1】如图，在ABC V 中，AB AC =，120A Ð=°，分别以点A 和C 为圆心，以大于12AC 的长度为半径作弧，两弧相交于点P 和点Q ，作直线PQ 分别交BC ，AC 于点D 和点E ．若3CD =，则AB 的长为（）A ．5B ．C ．6D ．8【变式4-2】把两块同样大小的含45°角的三角尺，按如图方式放置，其中一块三角尺的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点A ，且另三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上，若AB =，则CD =．【变式4-3】如图，在ABC V 中，,4,AB AC BC DEF ==△的周长是8，AF BC ^于点,F BE AC ^于点E ，且点D 是AB 的中点，则AF 等于．【变式4-4】定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．【理解概念】（1）顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）【巩固新知】（2）已知ABC V 是“准等边三角形”，其中35A Ð=°，90C Ð>°．求B Ð的度数．【解决问题】（3）如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，1BC =D 在AC 边上，若BCD △是“准等边三角形”，直接写出BD 的长．【考点题型五勾股定理与网格问题】【例5】如图，在33´的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，AD 为ABC V 的高，则AD 的长为（）A B C D 【变式5-1】如图，44´方格纸中小正方形的边长为1，A ，B 两点在格点上，要在图中格点上找到点C ，使得ABC V 的面积为2，满足条件的点C 的个数为（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．7个【变式5-2】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC V 的顶点A ，B ，C 均在格点上．(1)线段AB 的长等于；(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出点A 关于直线BC 的对称点A ¢，并简要说明点A ¢的位置是如何找到的（不要求证明）．【变式5-3】“在ABC V 中，AB 、BC 、AC ”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC V （即ABC V 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC V 的高，而借用网格就能计算出它的面积，我们把上述求ABC V 面积的方法叫做构图法．（1）直接写出图1中ABC V 的面积；（2）若DEF V (0)a >，且DEF V 的面积为23a ，写出它的第三条边长（试运用构图法在图2的每个小正方形的边长为a 的网格中画出符合题意的DEF V ）．【变式5-4】问题背景：在ABC V 中，AB 、BC 、AC 辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC V （即ABC V 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求ABC V 的高，借用网格就能计算出它的面积．(1)请将ABC V 的面积直接填写在横线上______；(2)在图2中画DEF V ，使三边DE 、EF 、DF ，DEF V 的形状，说明理由．【考点题型六勾股定理与折叠问题】【例6】如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，4AC =，3BC =，把Rt ABC △沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的点E 处，则AD 的长为（）A ．1.5B ．2.5C ．3D ．5【变式6-1】如图，三角形纸片ABC 中，90BAC Ð=°，2AB =，3AC =．沿过点A 的直线将纸片折叠，使点B 落在边BC 上的点D 处；再折叠纸片，使点C 与点D 重合，若折痕与AC 的交点为E ，则AE 的长是（）A ．56B ．76C ．136D ．135【变式6-2】如图，有一张Rt ABC △的纸片AB ，两直角边4AC =，8BC =，现将Rt ABC △折叠，使点B 与点A 重合，得到折痕MN ，则ACM △的面积为．【变式6-3】如图，已知在Rt ABC △中，901216ABC AB BC Ð=°==，，，点D 是边BC 上的任意一点，以AD为折痕翻折ABD △，使点B 落在点E 处，连接EC ，当DEC V 为直角三角形时，BD 的长为．【变式6-4】（1）在ABC V 中，13AB =，15AC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ．（i ）如图1，若14BC =，求线段AD 的长；（ii ）若12AD =，求线段BC 的长．（2）如图2，在ABC V 中，5,AB AC ==A 作直线BC 的垂线，交线段BC 于点D ．将ABD △沿直线AB 翻折后得到对应的ABD ¢△，连接CD ¢，若4=AD ，求线段CD ¢的长．【考点题型七判断三边能否构成直角三角形】【例7】在ABC V 中，已知A B C ÐÐÐ，，的对边分别是a b c ，，．下列条件不能判断ABC V 是直角三角形的是（）A ．222a c b -=B ．C A B Ð=Ð-ÐC ．::5:12:13a b c =D ．::3:4:5A B C ÐÐÐ=【变式7-1】下面三角形中是直角三角形的有（）①三角形三内角之比为1:2:3； ②三角形三内角之比为3:4:5；③三角形三边之比为1:2:3； ④三角形三边之比为3:4:5．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式7-2】如图，在ABC V 中，513AB AC BC ==，，边上的中线6AD =，BC 的长度为．【变式7-3】如图，已知ABC V 中，26AB =，24AC =，10BC =，D 是AB 的中点，连接CD ，则CD 的值为．【变式7-4】如图，ABC V 中，E 为AB 边上的一点，连接CE 并延长，过点A 作AD CE ^，垂足为D ，若7AD =，20AB =，15BC =，24DC =．(1)试说明B Ð为直角；(2)记ADE V 的面积为1S ，BCE V 的面积为2S ，则21S S -的值为．【考点题型八利用勾股定理的逆定理求解】【例8】如图，已知ABC V 中，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，点M ，N为垂足，若32BD =，2DE =，52EC =，则AC 的长为（）A B C D ．【变式8-1】如图，在四边形ABCD 中，3AB =，2BC =，1CD =，AD 90BCD Ð=°，则四边形ABCD 的面积为（）A ．1+B ．1+C ．1+D ．1【变式8-2】如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且4PA =，3PB =，5PC =，以BC 为边在ABC V 外作BQC BPA V V ≌，连接PQ ，则APB Ð的度数为．【变式8-2】如图，在ABC V 中，AC 和BC 的垂直平分线1l 和2l 分别交AB 于点D 、E ，若3AD =，4DE =，5EB =，则ABC V 的面积等于．【变式8-4】如图，在四边形ABCD 中，90,1,3B BC AC DA CD Ð=°====，(1)证明：ACD V 是直角三角形；(2)求四边形ABCD 的面积．【考点题型九勾股定理逆定理的实际应用】【例9】小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（）A ．向北B ．向南C ．向西D ．向南或向北【变式9-1】甲，乙两艘客轮同时从港口O 出发，甲客轮沿北偏东30°的方向航行600m 到达点A 处，乙客轮在同一时刻到达距离港口800m 的点B 处，若A ，B 两点间的距离为1000m ，则乙客轮的航行方向可能是（）A ．南偏东60°B ．南偏西60°C ．北偏西30°D ．南偏西30°【变式9-2】海面上有两个疑似漂浮目标．A 舰艇以12海里/时的速度离开港口O ，向北偏西50°方向航行；同时，B 舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B 舰艇的航行方向是．【变式9-3】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中A Ð与DBC Ð都应为直角，工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．（1）这个零件符合要求吗？（填“是”或“否”）（2）这个四边形的面积为．【变式9-4】如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄C ，河边原有两个取水点A 、B ，其中AB AC =，由于某种原因，由C 到A 的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H (A 、H 、B 在同一条直线上)，并修建一条路CH ，测得3CB =千米， 2.4CH =千米， 1.8HB =千米，(1)问CH 是不是村庄C 到河边最近的一条路？请通过计算加以说明；(2)求原来的路线AC 的长．【考点题型十勾股定理的简单应用】【例10】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵大风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部四尺远，问竹子折断处离地有多高？（）A ．4.2尺B ．4.5尺C ．5.2尺D ．5.5尺【变式10-1】如图是楼梯的一部分，若2AD =，1BE =，3AE =，一只蚂蚁在A 处发现C 处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（）A B ．3C D ．【变式10-2】荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB 的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度1m BC =，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D 的位置，测得推送的水平距离为6m ，即6m DE =．此时秋千踏板离地面的垂直高度3m DF =．那么，绳索的长度为 m ．AB=【变式10-3】某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 2.4BC=米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的米，当（身高1.2m）人体进入感应范围内时（即 1.6距离AD的长为米．【变式10-4】如图，一个梯子AB长25米，顶端A靠在墙AC上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为7米．(1)求梯子顶端A与地面的距离AC的长；AE=，求梯子的下端B滑动的距离BD的长．(2)若梯子的顶端A下滑到E，使4【考点题型十一判断汽车是否超速】【例11】M 城气象中心测得台风中心在M 城正北方向240km 的P 处，以每小时45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城受台风影响的时间为（）小时．A ．4B ．5C ．6D ．7【变式11-1】如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON=30°．公路PQ 上A 处距O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为（）A ．12秒B ．16秒C ．20秒D ．24秒【变式11-2】如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的正前方30m 的C 处，过了5s 后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m ，则这辆小汽车的速度是 m /s ．【变式11-3】如图，有两条公路、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点160米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离是米；重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间是秒．【变式11-4】“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段MN 上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点C ，从观测点C 测得一小车从点A 到达点B 行驶了5秒，已知60CBN Ð=°，200BC =米，AC =米．(1)请求出观测点C 到公路MN 的距离；(2)此车超速了吗？请说明理由．1173»»．．）【考点题型十二选址使两地距离相等】【例12】23．某地区要在公路AB 上建一个蔬菜批发厂E ，使得C ，D 两村庄到E 的距离相等，已知18km AB =，9km DA =，15km CB =．DA AB ^于点A ，CB AB ^于点B ，则AE 的长是（）A ．10kmB ．11kmC ．12kmD ．13km【变式12-1】如图，高速公路上有A ,B 两点相距10km ，C ,D 为两村庄，已知4km DA =，6km CB =．DA AB^于A ，CB AB ^于B ，现要在AB 上建一个服务站E ，使得C ,D 两村庄到E 站的距离相等，则EB 的长是( )．A ．4kmB ．5kmC ．6kmD km【变式12-2】如图，商场（点M ）距公路（直线l ）的距离（MA ）为3km ，在公路上有一车站（点N ），车站距商场（NM ）为4km ，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P ），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP ）的长为．【变式12-3】为了解决 A 、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边l 修建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为 1km ，B 村到河边的距离为 2km ，AB=4km ，则水管线最短要 km(结果保留根号）．【变式12-4】如图，小区A 与公路l 的距离200AC =米，小区B 与公路l 的距离400BD =米，已知800CD =米．(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q ，使Q 到A 、B 两小区的路程相等，求CQ 的长；(2)现要在公路旁建造一利民超市P ，使P 到A 、B 两小区的路程之和最短，求PA PB +的最小值，求出此最小值．【考点题型十三求最短路径问题】【例13】如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A B ．13cm C ．12cm D ．17cm【变式13-1】如图所示，圆柱底面半径为4cm π，高为18cm ，点A ，B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A ，B 在同一母线上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为（）A ．24cmB ．30cmC ．18cmD ．27cm【变式13-2】在一个长14cm ，宽8cm 的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽AD ，它的底面边长为1cm 的等边三角形，一只蚂蚁从点A 处到点C 处的最短路程是 cm ．【变式13-3】如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为13cm ，底面周长为12cm ，在容器内壁离容器底部7cm 的A 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿2cm 的点B 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 cm ．【变式13-4】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．【思想应用】（1）已知a ，b 均为正实数，且2a b +=+解决此问题：如图，2AB =，1AC =，2BD =，CA AB ^，DB AB ^，点E 是线段AB 上的动点，且不与端点重合，连接CE ，DE ，设AE a =，BE b =．①用含a 的代数式表示CE =________，用含b 的代数式表示DE =________．________．【类比应用】（2+【考点题型十四勾股定理中的最值问题】【例14】如图，Rt ABC △中，2AC BC ==，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，在CD 上找一点P ，使PA PE+最小，则这个最小值是（）A ．2B ．CD 【变式14-1】如图，∠AOB=45°，∠AOB 内有一定点P ，且OP=8．在OA 上有一动点Q ，OB 上有一动点R ．若△PQR 周长最小，则最小周长是（）A ．8B ．C ．16D ．【变式14-2】某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作点A 关于直线l 的对称点A ¢，连接A B ¢，则A B ¢与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B ¢．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，ABC V 中，90,2,C AC BC E Ð=°==是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE+的最小值为；（2）几何拓展：如图3，ABC V 中，2,30AC A =Ð=°，若在AB 上取一点M ，则2CM AM +的值最小值是．【变式14-3】数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当012x <<时，的最小值”可看作两直角边分别为x 和2的Rt ACP V 分别是12x -和3的Rt BDP V 的斜边长．于是将问题转化为求AP BP +的最小值，如图所示，当AP 与BP 共线时，AP BP +为最小．请你解决问题：当04x <<的最小值是．【变式14-4】如图，在ABC V 中，90BAC Ð=°，4AB AC ==，D 是BC 边上一点，连接AD ，以AD 为直角边向右作等腰直角三角形ADE ，其中=90DAE Ð°．(1)连接CE ，求证：ABD ACE ≌△△．(2)当BD 为何值时，ADE V 的周长最小．【考点题型十五勾股定理的动点问题】【例15】如图，在ABC V 中，2,,AB BC AO BO P ===是射线CO 上的动点，60AOC Ð=°，则当PAB V 是直角三角形时，AP 的长为（）A B C D 【变式15-1】如图，在ADF Ð边DA 上有一点B ，6DB =，22.5ADF Ð=°，E ，C 分别是边DF 和DA 上的动点，则BE EC +的最小值是（）A ．B ．6C ．D ．3【变式15-2】如图．在Rt ABC △中．90,306C A BC Ð=°Ð=°=，．若点P 是边AB 上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从A B A --运动，同时点C 以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t ，若BPQ V 为直角三角形，则t 的值为【变式15-3】如图，ABC V 中，90C Ð=°，8AC =cm ，6BC =cm ，BD 平分ABC Ð，动点M 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿边AB BC ®匀速运动，连接DM ，当ADM V 是以AD 为腰的等腰三角形时，点M 的运动时间为秒．【变式15-4】如图，在ABC V 中，90B Ð=°，8AB =，10AC =，P ，Q 是ABC V 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B ®方向运动，且速度为每秒1个单位长度；点Q 从点B 开始沿B C A ®®方向运动，且速度为每秒2个单位长度．它们同时出发，设出发的时间为t 秒．根据以上信息，解答下列问题．(1)求BC 的长．(2)当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上．(3)当点Q 在边CA 上运动时，是否存在t 的值，使BCQ △为等腰三角形？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【考点题型十六勾股定理的综合】【例16】如图，在等边ABC V M 在线段AB 上，2AM =，1B M =，则以线段AM ，BM ，CM 的长为边组成的三角形面积为（）A B C ．34D ．1【变式16-1】如图，在ABC V 中，3,5,7AB AC BC ===．E F 、分别为BC CA 、上的动点，且BE CF =，连接AE BF 、，则AE BF +的最小值为（）A B C ．6D【变式16-2】在Rt ABC △中，Rt C Ð=Ð，8AC =，4BC =，以AB 为边在ABC V 外作等腰直角ABD ，连接CD ，则CD 长为．【变式16-3】如图，在ABC V 中，D 为BC 边上一点，连接AD ，将△ABD 沿AD 折叠至ABC V 所在平面内，得到ADE V ，AE 与BC 交于点F ，连接CE ，若AD CE ，120BAC AFC Ð=Ð=°，2AC =AB 的长为【变式16-4】已知ABC V 中，AB AC =．(1)如图1，在ADE V 中，若AD AE =，且DAE BAC Ð=Ð，求证：CD BE =；(2)如图2，在ADE V 中，若60ÐÐ°DAE BAC ==，且CD 垂直平分AE ，3AD =，4CD =，求BD 的长；(3)如图3，在BCD △中，45CBD CDB Ð=Ð=°，连接AD ，若45CAB Ð=°，求AD AB 的值．。

苏科版八年级上册数学 3.3 勾股定理应用复习讲义(无参考解析)

勾股定理应用复习学习目标：1、勾股定理和勾股定理逆定理2、勾股定理的应用【知识梳理】知识点1、勾股定理的定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；【例题精讲】例1、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？例2、如图，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?例3、如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC 方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？例4、已知：如图,△ABC中,∠C=900，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB，AC和BC 的距离分别等于 cm.例5、如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？例6、如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB=3，AD=9，求BE的长．例7、如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=450，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.例8、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=900，D为AB边上一点，求证：（1）△ABC≌△BCD；（2）AD2+BD2=DE2．【课堂练习】1.某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）A.450a元B.225a 元C.150a元D.300a元2.已知如图，水厂A和工厂B、C正好构成等边△ABC，现由水厂A和B、C两厂供水，要在A、B、C 间铺设输水管道，有如下四种设计方案，（图中实线为铺设管道路线）,其中最合理的方案是（）3.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.10 cm4.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm25、如图所示，无盖玻璃容器，高18，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度为 cm.6、为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在如图9所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点C和D处．CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：阅览室E应建在距A多少㎞处，才能使它到C、D两所学校的距离相等？课后作业：1、在下面图形中,每个大正方形网格都是由边长为1的小正方形组成,则图中阴影部分面积最大的是( )2、将一根长为24cm的筷子置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,则筷子露在杯子外面的长h的取值范围是___________3、已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2-AC2=2BC·DE．4、如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )A.25B.12.5C.9D.8.55、有一只喜鹊正在一棵高3m的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24m且高为14m的一棵大树上，巢距离大树顶部1m,这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声,便立即赶过去．如果它飞行的速度为5m/s，那么它至少需要几秒才能赶回巢中?。

八年级数学勾股定理要点复习及同步练习

苏科版八年级数学上册勾股定理要点复习及同步练习要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形；若时，△ABC是锐角三角形；若时，△ABC是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点诠释：　常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1．较小的直角边为连续奇数； 2．较长的直角边与对应斜边相差1. 3．假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关一．选择题 1. 在△中，若，则△ABC是（　）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形 2. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　） A．90° B．60° C．45° D．30° （题2）（题4） 3．在下列说法中是错误的（　） A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形． B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形． C．在△ABC中，若，，则△ABC为直角三角形． D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形． 4．如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（） A．2900m B．1200m C．1300m D．1700m 5. 直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列各式中总能成立的 A．ab=h2 B．a2+b2=h2 C． D． 6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则(AC＋BC)2等于( ) A．25 B．325 C．2197 D．405 7. 已知三角形的三边长为，由下列条件能构成直角三角形的是（　） A． B． C． D． 8. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（） A．90 B．100 C．110 D．1219. 如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．（9　（10 10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______． 11．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______． 12．如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm，P为对角线BD上的任意一点，则AP+EP的最小值是 cm．（12）（13）　13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要 cm． 14．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为1米，∠B=90°，BC=4米，AC=8米，当正方形DEFH运动到什么位置时，即当AE= 米时，有DC2=AE2+BC2． 14） 15） 15. 已知长方形OABC，点A、C的坐标分别为OA=10，OC=4，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，CP的长为________． 16. 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，∠BAD＝________. 16）（17　三．解答题 17．如图所示，已知D、E、F分别是△ABC中BC、AB、AC边上的点，且AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，AB＝4，AC＝3，，求：△ABC的面积． 18．如图等腰△ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以0.25cm/s的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直． 19. 有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6，BC ＝8, ①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，且与AB重合, 则CD ＝_________. 图1 图2 ②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，使点C落在AB中点H上，点M、N分别在AC、BC上，则、与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论. 20. 如图1，四根长度一定的木条，其中AB＝6，CD＝15，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）.现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置. 位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）；位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2中，若设BC的长为，请用的代数式表示AD的长；（2）在图3中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长．。

八年级数学上册第三章勾股定理考点例析素材 (新版)苏科版

《勾股定理》考点例析勾股定理是中学数学中的一个重要定理，在实际中有很多应用，是中考命题的热点，下面就对常见的考点归类分析.考点1 利用勾股定理求边长例1 （黄冈）如图1，△ABC 和△DCE 都是边长为2的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连结BD ，则BD 2的长为。

分析：要求BD 长，可构造直角三角形，使BD 为该直角三角形中的边，过D 作DF⊥BE 于F ，在Rt△DFB 中运用勾股定理可求BD 的长。

解：作DF⊥BE 于F ，因为△DCE 为等边三角形，所以DF 也是△DCE 的中线，所以BF=BC+CF=2+1=3在Rt△DFC 中，由勾股定理得DF 2=DC 2-CF 2=22-12=3 在Rt△DFB 中，由勾股定理得BD 2=BF 2+DF 2=32+32=18例2 （哈尔滨）如图2，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使D 点落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（）A 、 3cmB 、4cmC 、5cmD 、6cm分析：要求CN 的长，可在直角三角形NCE 中求，在Rt△NCE 中，EC 等于正方形边长的一半，NE=DN=8-NC 由勾股定理可解决问题。

解：由题意NE=DN=8-NC ，因为E 为BC 的中点，所以CE=4，在Rt△NCE 中，NC 2=NE 2-EC 2=（8-NC ）2-42，所以NC 2=64-16NC+NC 2-16 NC=3，故选A 。

ADBC FE图1EN图2点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形或较易构造直角三角形时，可运用勾股定理求边长。

考点2 勾股定理的实际应用例3 （浙江）如图3，正四棱柱的底面边长为1.5cm ，侧棱长为4cm ，求一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到C 1处的最短路程的长。

分析：要求最短路程，需要将正四棱柱展开成平面图形，再利用勾股定理求解，由于从A 点到点C 1的面上有两种情况，故需分类讨论。

八年级数学上册 3.3 勾股定理的简单应用例题与讲解素材 (新版)苏科版

勾股定理的简单应用1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面．若计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．谈重点长方体表面上两点间最短距离因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【例1－1】如图①是一个棱长为3 cm 的正方体，它的6个表面都分别被分成了3×3的小正方形，其边长为1 cm.现在有一只爬行速度为2 cm/s 的蚂蚁，从下底面的A 点沿着正方体的表面爬行到右侧表面上的B 点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2.5 s ．经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光．你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？解：如图②，在Rt△ABD 中，AD ＝4 cm ，BD ＝3 cm.由勾股定理，AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋42＝25，AB ＝5 cm ，∴蚂蚁的爬行距离为5 cm. 又知道蚂蚁的爬行速度为2 cm/s ，∴它从点A 沿着正方体的表面爬行到点B 处，需要时间为52＝2.5 s. 小明通过思考、判断，发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式，所以他感到惊讶和佩服．【例1－2】如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处(三条棱长如图所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？解：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式，分别展成平面图形如下：如图①，在Rt△ABC1中，AC21＝AB2＋BC21＝42＋32＝52＝25.故AC1＝5.如图②，在Rt△ACC1中，AC21＝AC2＋CC21＝62＋12＝37.如图③，在Rt△AB1C1中，AC21＝AB21＋B1C21＝52＋22＝29.∵25＜29＜37，∴沿图①的方式爬行路线最短，最短的路线是5.点技巧巧展长方体求解此类问题时只需对长方体进行部分展开，画出局部的展开图，若将长方体全部展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．2．圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其表面看两点之间的连线绝大部分是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定．【例2】如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为20 cm，高为30π cm的圆柱下底的点A 处，发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引起这只小昆虫的注意，它故意不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋路线，从背后对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功，得到了一顿美餐．根据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？分析：解此题的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答．解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平如图②，则对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线．在Rt△ACB中，AC＝40π cm，BC＝30π cm.由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，∴AB＝50π cm.∴蚂蚁至少爬行50π cm才能捕捉到小昆虫．谈重点圆柱体两点间的最短距离本题文字叙述较多，要求在阅读的基础上提炼有用的信息，具体解题时先将圆柱沿AB 剪开，将侧面展开成一矩形，会发现对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线，再运用勾股定理即可求得．3．生活中两点间的最短距离用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．【例3】如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm,3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？分析：由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图②)．解：将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC＝3×(3＋1)＝12 dm，∠C＝90°.在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝52＋122＝132，∴AB＝13 dm.故蚂蚁爬到B点的最短路程是13 dm.4．如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”．解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形．解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：(1)把立体图形展成平面图形；(2)确定点的位置；(3)确定直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．【例4】如图①，圆柱形玻璃容器的高为18 cm ，底面周长为60 cm ，在外侧距下底1 cm 的点S 处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm 的点F 处有一只苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是__________cm.解析：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图(如图②)，CD ∥AB ，且AD ＝BC ＝12底面周长，BS ＝DF ＝1 cm.则蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF 的长度．过S 点作SM ⊥CD ，垂足为M ，由条件知，SM ＝AD ＝12×60＝30 cm ，MC ＝SB ＝DF ＝1 cm ，所以MF ＝18－1－1＝16 cm ，在Rt△MFS 中，由勾股定理得SF 2＝162＋302＝342，所以SF ＝34 cm.故蜘蛛需要爬行的最短距离是34 cm.答案：345．勾股定理与方程相结合的应用方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．【例5】如图，有一张直角三角形状纸片ABC ，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？解：设CD＝x cm，由题意知DE＝x cm，BD＝(8－x) cm，AE＝AC＝6 cm，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝10 cm.于是BE＝10－6＝4 cm.在Rt△BDE中，由勾股定理得42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.故CD的长为3 cm.。

初中数学苏科版第三章勾股定理汇编考试卷考点.doc

初中数学苏科版第三章勾股定理汇编考试卷考点姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分一、选择题评卷人得分1．已知一次函数，当增加3时，减少2，则的值是（）A．B．C．D．1．点（－1，2）位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离y与时间x的关系的大致图象是A．B．C．D．lD．29．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，……，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是（▲）A．（2011,0）B．（2011,1）C．（2011,2）D．（2010,0）18．已知点P的坐标为（-3，-4），则点P关于x，y轴对称的点的坐标分别为（）A．（3，-4）；（-3，-4）B．（-3，4）；（3，-4）C．（3，-4）；（-3，4）D．（-3，4）；（3，4）5．若一次函数的图象经过二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（）15．点P（-2，3）关于X轴对称点的坐标是______________,关于原点对称点的坐标是______________. 9．正比例函数的图像是经过点______________ 和______________的______________．17．若直线y=kx＋b平行直线y=3x＋4，且过点（1，-2），则此直线的函数表达式为______________。

52．如图13，在等腰中，，，点从点开始沿边以每秒1的速度向点运动，点从点开始沿边以每秒2 的速度向点运动，保持垂直平分，且交于点，交于点．点分别从两点同时出发，当点运动到点时，点、停止运动，设它们运动的时间为．（1）当= 秒时，射线经过点；（2）当点运动时，设四边形的面积为，求与的函数关系式(不用写出自变量取值范围)；（3）当点运动时，是否存在以为顶点的三角形与△相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．17．如图，点O（0，0），B(0，1)是正方形OBB1C的两个顶点，以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，……，依次下去．则点B6的坐标是______________23．如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线、交于点．（1）求点的坐标；（2）求直线的解析表达式；（3）求的面积；（4）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标．22．如图，直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象。

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初中数学苏科版第三章勾股定理汇编考试题考点姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分一、选择题评卷人得分2．函数y=+3中自变量x的取值范围是（）A ．x＞1B．x≥1C．x≤1D．x≠14．把ΔABC沿轴向下平移3个单位得到，如果A(2,4),则的坐标是（）.A．(5,4)B．(-1,4)C．(2,7)D．(2,1)12．函数y=3x﹣4与函数y=2x+3的交点的坐标是（）A．（5，6）B．（7，﹣7）C．（﹣7，﹣17）D．（7，17）6．若定义：，，例如，，则= A．B．C．D．9．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把△绕点顺时针旋转90°后得到△，则点的坐标是( )A．（7，3）B．（4，5）C．（7，4）D．（3，4）5．已知点P在第四象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标为A．(－2，3)B．(2，－3)C．(3，－2)D．(－3，2)3．若点A（n，2）与点B（－3，m）关于x轴对称，则n－m=______________.11．y=是正比例函数，则m的值为（）A．±3B．3C．﹣3D．任意实数10．一个函数的图象如右图，给出以下结论：①当时，函数值最大；②当时，函数随的增大而减小；③存在，当时，函数值为0．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③1．一次函数y=－x+2的图象经过【】A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限11．如果正比例函数的图象经过点（－2，1），那么k 的值等于______________．13．在平面直角坐标系中，将图形沿x轴正方向平移3个单位，变化前后对应点______________纵坐标不变，______________ 横坐标增加3个单位．17．已知直线y1=2x-1和y2=-x-1的图象如图所示，根据图象填空．当x _________时，y1＜y2；方程组的解是_________。

苏教版中考数学勾股定理知识点总结-真题-精选题

知胜教学生姓名：备课时间：育个性化教学专用教案I科目：数学年月日讲次：第讲九年级授课教师：周老师授课时间：年月日至上课后，学生签字：年月日教学类型：．强化根底型口引导思路型·错题讲析型口督导训练型口效率提升型口单元测评型口综合测评型口应试指导型口专题总结型口其它：教学目标：中考专题复习之勾股定理。

勾股定理专题复习知识点一：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等千斜边c的平方。

（即：a2+b2=c勹要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：(1J直角三角形的两边求第三边(2 J直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边(3 J利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c,那么有关系a2+b2=c2'那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：(1J首先确定最大边，不妨设最长边长为：C;(2 J验证c2与a红矿是否具有相等关系，假设c2=a2+b2'那么DABC是以乙C为直角的直角三角形（假设c2>a2+b2'那么DABC是以乙C为钝角的钝角三角形；假设c2<a2+b2'那么DABC 为锐角三角形］。

知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

知识点四：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导1. 勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2. 勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用千解决求解直角三角形边边关系的题目。

苏教版八年级上数学勾股定理常考题型分类汇总知识点+经典例题+变式题

第二章勾股定理类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．举一反三【变式1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．【变式2】如图①是一个长方体盒子，长AB＝4，宽BC＝2，高CG＝1．(1) 一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，那么它所行走的最短路线的长是______．(2)这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为______．点评：把题中的长方体变成正方体或圆柱时，找直角三角形运用勾股定理的思想方法不变，在计算的过程中，可尝试总结计算的公式，如长方体内最长线段的长度为222长宽高．++【变式3】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B到点C的距离为5，如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是( )A．5 B．25C．15 D．35【变式4】一个长方体同一顶点处的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长木棒的长度为______．【变式5】如图，将一根25 cm长的细术棒放入长、宽、高分别为8 cm、6 cm 和103cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是__________cm．类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、、的线段。

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