129771433353906250第三章图像变换与对应频谱

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第三讲图像变换

对于周期函数，我们可以将它展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。
傅立叶级数：非正弦周期函数
为了研究非正弦周期函数，可以将周期为T=2π/ ω的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数的级数来表示，记为：

fT (t) A0 An sin(nt n) n1
其中A0,An, φn 是常数，n=1,2,3……
当输入信号沿时间轴平移T，有：
x(t-T)->y(t-T)
则称该线性系统具有移不变性
二维线性位移不变系统
如果对二维函数施加运算T[·] ，满足
T f x, y T[ f x, y] T f1 x, y f2 x, y T f1 x, y T f2 x, y
2
则周期函数可表示为：
f (x) a0 (an cos nx bn sin nx)
2 n1
傅立叶级数
三角函数系的正交性
即：sinx,cosx,sin2x,cos2x,…,sinnx,cosnx,…在区间[-π,π]上正交，就是指在三角函数系中任何两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于零。
图像与图像变换
图像的表示
空间域频率域
将图像看成是线性叠加系统
图像由像素组成，像素在图像空间中按某种规律排列的，图像在空间域上具有很强的相关性。
图像变换是将图像从空间域变换到其它域如频率域的数学变换
图像变换的目的在于：
①使图像处理问题简化； ②有利于图像特征提取； ③有助于从概念上增强对图像信息的理解。
Taf x, y aT f x, y
则称该运算为二维线性运算。由它描述的系统，称为二维线性系统。

数字图像处理图像变换

x1(t)
x2(t)
y1(t) y2(t)
(输入x1(t)产生输出y1(t)）
(输入x2(t)产生输出y2(t)）
该系统是线性的，则
ax1(t)+bx2(t)
其中a，b是常数）
ay1(t)+by2(t)
(输入ax1(t)+bx2(t)就产生输出ay1(t)+ by2(t)，
即系统的响应遵守叠加原理
3.1.2 线性系统
其中假设x现在的离散值是：0,1,2, … ,N-1。
{f(x0),f(x0+x),f(x0+2x),...,f(x0+[N–1]x)}
表示相对与连续函数的任意N个均匀的空间采样。
3.2.3 离散傅立叶变换
第三章图像变换当f(x)的取样始于原点，就可以用
{f(0),f(1),f(2), ... , f(N–1)}来表示
j 2 N
f ( x, y )
F (u , v ) w
u0 v0
N 1 N 1
( ux vy )
式中 x, y = 0,1, ·, N-1 · ·
u,v=0,1,2,...N-1 逆变换
f x , y F u, v exp j 2 ux vy N
u 0 v 0 N 1 N 1
x,y= 0,1,2,...N-1
3.2.3 离散傅立叶变换
第则三或：令 w e 章 1 N 1 N 1 F(u, v ) 2 f ( x, y )w ( ux vy ) 图 N x0 y 0 像变式中 u,v = 0,1, ·, N-1 · · 换
第三章图像变换
第三章图像变换

第3章图像变换1

1.二维连续函数 f(x,y) 的傅里叶变换
A f ( x, y ) 0 0 x X ,0 y Y x X , x 0, y Y , y 0
| F (u, v) | AXY | sin(πuX ) sin(πvY ) || | πuX πvY AXY Sa(uX ) Sa(vY ) sin(t ) t
类似的，图像处理的分析者在解决某一问题时会在不同的空间来回
切换。掌握图像变换技术，就可以在不同的空间下思考问题，并利用不同空间的优越性解决问题，这种能力是非常有用的。傅里叶变换也被喻为描述图像的第二种语言。
3.1 傅里叶变换
3.1.1 一维傅里叶变换 3.1.2 二维离散傅里叶变换 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 3.1.4 傅里叶变换在图像处理中的应用

X

0
A j2πux X e 0 j2 πu A e jπuX e jπuX j2πu A sin( πuX )e jπuX πu
尤拉公式： sin x
1 (e jx e jx ) 2j
该傅里叶谱是一 sin c (u )函数
2
3.1.2 二维离散傅里叶变换
1.二维连续函数 f(x,y) 的傅里叶变换
A, 例2：f ( x, y ) 0, F (u , v )

0 ≤ x ≤ x0 , 0 ≤ y ≤ y0 其它
f ( x, y ) exp[-j2π(ux vy )]dxdy A exp[ j2π (ux vy )]dxdy A exp[ j2πux ]dx exp[ j2πvy ]dy
例1 ：f ( x ) 是一门函数 A f ( x) 0 解： F (u ) (0 ≤ x ≤ X ) (x ≥ X ) f ( x )e -j2 πux dx Ae j2 πux dx A e j2πuX 1 j2πu

宋怀波第6讲：图像变换

第3章图像变换
第 5页
3.2.1 傅立叶变换定义

频率域
– 由傅立叶变换和频率变量( u, v)定义的空间 – 基本性质(中心点平移后)
（1）变化最慢的频率成分(u=0, v=0)对应一幅图像的平均灰度（2）低频（原点附近）对应图像灰度变化慢的像素（3）高频（远离原点）对应图像灰度变化快的像素
第3章图像变换
第12页
3.3 离散余弦变换
将源图像划分为若干个子块，每个子块包含8×8个像素
第3章图像变换
第13页
3.3 离散余弦变换
8x8像素子块的DCT变换
第3章图像变换第14页
3.3 离散余弦变换
MATLAB中有两个二维离散变换函数: DCT2 反变换则为IDCT2
第3章图像变换
第3章图像变换
第32页
3.5.1 小波介绍——小波分析(续2)
CWT的变换过程示例，可分为5步 1.小波ψ (t)和原始信号f(t)的开始部分进行比较 2.计算系数C——该部分信号与小波的近似程度；C值越高表示信号
与小波相似程度越高
3.小波右移k得到的小波函数为ψ (tk) ，然后重复步骤1和2，……直到
第15页
3.3 离散余弦变换 Nhomakorabea例子: 离散余弦变换
1.变换系数由左上角开始减小 2.信息可用较少的系数表达，编码的效率高
第3章图像变换
第16页
3.4 沃尔什变换

例: 几种变换比较
原始图像离散余弦变换
傅立叶变换沃尔什变换
第3章图像变换
第17页
第3章图像变换
3.1 背景 3.2 傅立（里）叶变换和频率域
3.5.2 哈尔函数

14-15数字图像处理第三章

1
j]
f(1)0
4x0
4
f(2)
(f(3)
10
一维离散傅里叶变换
例
f(0)
u=2时,
F(2)1 3 f(x)ejπx 1[1 1 1 1]f(1)1/2
4x0
4
f(2)
u=3时,
F(3)1 3 f(x)ej3πx/21[1 j
4x0
4
1
f(0) j]f(1)0
f(3)
f(2)
f(3)
在N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为
W W2311
W1 1
1 W1 1 1
W
0
W3
W6
W
9
1 W3 W2
W1
1 W1
1
W1
可见，利用矩阵元素的周期性与对称性之后，变换矩阵中许多元素相同，变换矩阵与输入信号相乘过程中存在着不必要的重复计算。
29
基本思想
因此，改进离散傅里叶变换的关键是: 利用变换矩阵元素的周期性与对称性，合理安排（即
Nu0
将正变换式展开可得到如下算式
23
基本思想
F(0)f(0)W00f(1)W01f(N1)W0(N1)
F(1)f(0)W10f(1)W11f(N1)W1(N1)
F(2)f(0)W20f(1)W21f(N1)W2(N1)
F(N1)f(0)W(N1)0f(1)W(N1)1f(N1)W(N1)(N1)
避免）重复出现的相乘运算，就能显著减少计算工作量。以N=4（n=2）时的离散傅里叶变换为例来说明快速傅
里叶变换（FFT)的基本思想:
30
基本思想
N=4时的傅里叶变换为：
F(0) w0 w0 w0 F(1) w0 w1 w2 F(2) w0 w2 w4 F(3) w0 w3 w6

课件第3部分图像变换

N x 0
N x 0
在进行DFT之前用(-1)x 乘以输入的信号 f (x) ，可以在一个周期的变换中（u＝0，1， 2，…，N－1），求得一个完整的频谱。
推广到二维情况。在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y 乘以输入的图像函数，则有：
D [ f( x F ,y ) 1 ( ) T x y ] F ( u M /2 ,v N /2 )（3.8）
设有一矩形函数为,求出它的傅里叶变换：
A 0xX f(x)0 其他
F ( u ) f( x ) e j2 u d x A x X e j2 u d x A xsX i u n e j X uX
0
uX
幅度谱：
F(u) AXsinuX uX
（a）幅度谱
（b）原点平移后的幅度谱
卷积定理
D [ f ( x , F y ) * g ( x T ,y ) F ] ( u , v ) G ( u , v ) （3.13）
【例3.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。解：MATLAB程序如下：
A=imread('pout.tif'); %读入图像
imshow(A);
%显示图像
图3.4 频谱图
DFT取的区间是[0,N-1]，在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的，要显示一个完整的周期，必须将变换的原点移至 u=N/2点。
根据定义，有
F ( u N /2 ) 1 N 1 f( x ) e j2 N x ( u N /2 ) 1 N 1 ( 1 )xf( x ) e j2 N x（u3.7）
Mx N 0y 0
（3.3）
反变换可以通过对F(u,v) 求IDFT获得
M 1N 1

第3章图像变换计算机图像处理课件

F u, v F u N , v F u, v N F u mN , v nN f ( x, y ) f ( x mN , y nN ) m, n 0,1,2,
当u和v取无限组整数值时，Ｆ(u,v)将出现周期重复性，故用F(u,v)以反变换求f(x,y)，只需F(u,v)中一个完整周期即可。对 f(x,y)类似。
32
共轭对称性说明变换后的幅值以原点为中心对称。由于具有这个特性，在求一个周期内的值时，只需要求出半个周期，另外半个周期也就确定了，这大大地减少了计算量。
33
（4）旋转不变性
x r cos θ 如果引入极坐标 y r sin θ u ω cos φ v ω sin φ
0 0 0
0

27
也就是说，当空域中f(x,y)产生移动时，在频域中只发生相移，而傅立叶变换的幅值不变。
| F (u, v)e j 2π (ux0 vy0 ) || F (u, v) |
反之，当频域中F(u,v)产生移动时，相应的f(x,y) 在空域中也只发生相移，而幅值不变。
28
f=fft2(A); fc=fftshift(f);
for j=1:n imgnew(i,j)=((-1)^(i+j))*img1(i,j); end end f=fft2(imgnew); imshow(log(abs(f)),[ ]);
31
（3）周期性和共轭对称性离散傅里叶变换和逆变换具有周期性和共轭对称性，它们均是以Ｎ为周期的，傅里叶变换对的周期性可表示为
f ( x, y) F (u, v) exp[ j 2π (ux / M vy / N )]
u 0 v 0

第3章图像变换

20
第3章图像变换 §3.2.3 傅里叶变换性质
•四、线性性（分配律）
F af1(x, y) bf2(x, y) aF f1(x, y) bF f2(x, y)
•五、尺度变换给定2个标量a和b，则有：
af (x, y) aF(u,v)
f (ax,by) 1 F(u , v) ab a b
1/2
相 f(z)
1 乘
*
xz
1z
f(x)*g(x)
1/2
1
2x
23
第3章图像变换
§3.2.3 傅里叶变换性质
卷积积分的步骤：
1 折迭：把 g(z) 相对纵
轴作出其镜像
2 位移：把 g(-z) 移动一个 x 值
3 相乘：将位移后的函数
g(x-z) 乘以 f(z)
4 积分： g(x-z)和 f(z)
§3.1 概述和分类
空间域：是指图像平面本身，这类方法是以对图像的像素直接处理为基础的。
频率域：是以修改图像的傅立叶变换为基础的。图像变换是许多图像处理和分析技术的基础（以数学为工具）；图像变换是将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间以得到所需的效果；
N x0 y0
反变换：
f (x, y)
1
N 1 N 1
F(u,v) exp j2 (ux vy) / N
x,y=0,
,N-1
N u0 v0
二维FT的频谱和相位角与一维时类似，具体如下：
|F(u,v)| = [R(u,v)2+I(u,v)2]1/2；幅度函数（傅里叶频谱） (u,v)= arctan [I(u,v)/R(u,v)]；相位角

第3章图像信号的正交变换1

he(k) ←→ Re(n) ho(k) ←→ jIo(n)
H(k)=he(k)+ho(k) Σx(i)h(k-i)=x(k)*h(k) x(k)*h(k) ←→ X(n)H(n) x(i)h(k+i)=x(k)☉h(k) x(k)h(k) ←→ 1/N•X(n)*H(n)
|H(n)|2
数字图像处理
傅立叶性质小结：
图像的正交变换
1、傅立叶变换是线性积分变换，在时间（或空间）域的复数函数和频率域的复数函数间建立起唯一对应。
2、傅立叶变换保持奇偶性。
3、函数和的傅立叶变换等于它们分别变换再求和（加法定理）。
4、平移函数的原点将在傅立叶谱中引入一个相位移（与频率成正比），它改变了谱的实部和虚部的能量分配，但不改变总能量（位移定理）。
18
数字图像处理
注意观察对应关系
图像的正交变换
19
数字图像处理
(3) 二维DFT的实现
图像的正交变换
0
N-1 y
行变换 0
N-1 v
0
列变换
N-1 v
N-1 f(x,y)
N-1 F(x,v)
N-1 F(u,v)
x
x
u
20
数字图像处理
图像的正交变换
(3) 二维DFT的实现
转置 f(x,y) F列［f(x,y)］=F(u,y) －F(u,y)Ｔ
Gu
1
1 (N 1) 2
j2 ux
g(x)e 2N
2N x 1 (N 1) 2
1 2N x
1
2
j ux
g(x)e N
1 (N 1) 2
1
1 (N 1) 2
j ux

三图像变换

F (u , v) f ( x, y )e j 2 ( ux vy) dxdy

(3.2 9) (3.2 10)
f ( x, y ) F (u , v)e j 2 ( ux vy) dudv

二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为：
|F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2 (u，v)]1/2 φ(u，v)=tan-1 [I(u，v)／R(u，v)] (3.2—11) (3.2—12)
二维离散傅立叶变换的若干性质
离散傅立叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转换关系。在数字图像处理中，经常要利用这种转换关系及其转换规律，因此，下面将介绍离散傅立叶变换的若干重要性质。 1．周期性和共轭对称性若离散的傅立叶变换和它的反变换周期为N，则有 F(u，v)=F(u+N，v)=F(u，v+N)=F(u+N，v+N) （3.2-26) 傅立叶变换存在共轭对称性 F(u，v)=F*(-u，-v) (3.2—27) 这种周期性和共轭对称性对图像的频谱分析和显示带来很大益处。
傅立叶变换
傅立叶变换域也称为频域变换，它把图像从图像空间变换到频率空间。将原定义在图像空间的图像以某种形式转换（正变换）到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间（反变换或逆变换）以得到所需要的效果。
5
2019年2月7日
第三章图像变换
傅里叶（Fourier），法国数学及物理学家，傅里叶级数（三角级数）创始人。
Ｆ(u) 覆盖的域（ｕ的值）称为频率域。每一个Ｆ(u) 称为频率分量。
变换分析的直观说明
1
1.299

信号与系统：第三章傅立叶变换2

二、频谱密度函数
当信号f (t)为实函数时
F(jw) =R(w)+jx(w) =|F(jw)|ejj (w) F(jw)为复函数其中R(w)与 |F(jw)| 为w 的偶函数，x(w)与j (w)为
18
w 的奇函数。
三、一些典型信号的频谱函数F(jw) （即傅里叶变换）
（1）门函数的傅里叶变换
w
10W
10W w
信号分解为指数形级数时用双边频谱表示
4
An
Fn
w
0 2 4 6 8 10
－10 －6 －4 －2 0 2
4
6
8
1 0
w
n
n
6
0 2 4 8 10 w
－10 －4 －2
6
－6
0 24
8 10
w
5
An
3
7
w
0
5
9
Fn
-7 -5
-3 -0
3
7
5
w
6
二、周期信号频谱的特点一）周期矩形脉冲的频谱
2
相位谱：以频率ω （或f ）为横坐标，以各谐波的相位为纵坐标。
0
5W 10W w
-10W -5W 0
5W
10W w
3
1）单边频谱
信号分解为三角形级数时用单边频谱表示
An
A1 A2
|Fn|
F- 2F- 1 F1F2
0
5W
w
10W
-10W -5W
0
5W
5W 10W w
0
5W
2）双边频谱
-10W -5W 0
FnT
16
2）傅里叶变换的表示方法