鸡泽县第一中学2017年下半年良师示范高中数学必修5课件：第二章 2.3等差数列前n项和 (共35张PPT)

宝石数量： 1+2+3+4+…+98+99+100=？
……
问题就是 “ 1 2 3 4 100
?
”
对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾 很快求出它的结果。你知道应如何计算吗？
高斯的算法是：
首项与末项的和：1+100=101， 第2 项与倒数第2 项的和：2+99=101， 第3 项与倒数第3项的和：3+98=101， …… 第50项与倒数第50项的和：50+51=101，
于是得到了两个公式：
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1) Sn na1 d 2
2.公式记忆 用等腰梯形面积公式记忆等差数 列前n项和公式
a1 n an
n(a1 an ) Sn 2
a1 n a1 n (n-1)d an
等腰梯形的面积=平行四边形面积+三角形面积
n( n 1) S n na1 d 2
例3
根据条件，求等差数列an 中有关未知数： 1.a1 20, an Байду номын сангаас 54, S n 999, 求d 及n; 1 2.d , n 37, Sn 629, 求a1及an ; 3 5 1 3.a1 , d , Sn 5, 求an 及n; 6 6 4.d 2, n 15, an 10, 求a1及Sn
例2、2000年11月14日教育部下发了《关 于在中小学实施“校校通”工程的通知》 某市据此提出了实施“校校通”工程的总 目标：从2001年起用10年的时间，在全市 中小学建成不同标准的校园网，据测算， 2001年该市用于“校校通”工程的经费为 500万元，为了保证工程的顺利实施，计划 每年投入的资金都比上一年增加50万元。 那么从2001年起的未来10年内，该市在 “校校通”工程中的总投入是多少？
(二)、新课引入
问 题 一 泰 颐 陵 宝 石 图 案
泰姬陵坐落于印度古都阿格，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成 的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石 镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成， 共有100层，奢靡之程度，可见一斑。
… ……
解：据题意，从2001~2010年，该市每年 投入“校校通”工程的经费都比上一年增 加50万元，所以，可建立一个等差数列{an}, 表示从2001年起各年投入的资金，则 a1=500，d=50.那么到2010年（n=10）， 投入的资金总额为：S10=10x500+10x （10-1）x50=7250 答:从2001~2010年，该市在“校校通”工 程中的总投入是7250万元。
等差数列前n项和
授课人:陈密娟
一.学习目标: 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； 2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单 的与前n项和有关的问题. 二.学习重难点: 1.等差数列前n项和公式是重点. 2.获得等差数列前n项和公式推导的思路 是难点.
三、学习过程
(一)、复习回顾
1. 2. 3. an an 1 d (n 1)d为常数; ab 若a, A, b为等差数列，则A ; 2 若m n p q，则a m a n a p a q 其中m,n,p,q均为正整数。
计算1+2+3+4+…+n？
如何快速计算 1+2+3+4+…+101？
计算1+2+3+4+…+n？
对n的奇偶性的讨论显得麻烦 了，是否有更好的方法去求等差数 列前n项和？
探索发现
问题2：图案中，第1层到第21层一
共有多少颗宝石？
教学过程
探索发现1
图案中，第1层到第21层一
共有多少颗宝石？ 借助几何 图形之直观性， 引导学生使用 熟悉的几何方 法：把“全等 三角形”倒置， 与原图补成平 行四边形。
教学过程
3 2 1 21 20 19
21
1
获得算法：
s21
(1 21) 21 2
如何快速计算 1+2+3+4+…+101？
计算1+2+3+4+…+n？
(三)、讲解新课
1.公式推导
问题：设等差数列 a n 的首项为
a1，公差为 d ，
Sn a1 a2 a3 an
(六)、课堂小结
1.公式的推导方法:倒序求和。
2.公式
n( a 1 a n ) Sn 2
n( n 1) S n na1 d 2
3.公式的应用。
(七)、课后作业：
必做题：课本46页 2、3、4 选做题：1.一个等差数列的前4项和为26，最后四 项和为110，所有项和为187，则该数列共有多少 项？ 2．对求和史的了解 我国数列求和的概念起源很早，在北朝时，张丘 建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》 中给出等差数列求和问题：例如：今有女子不善 织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺， 末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？原书 的解法是：“并初、末日织布数，半之再乘以织 日数，即得。”
Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
S n an an 1 an 2 a3 a2 a1
n个 2 S n (a1 an ) (a1 an ) (a1 an )
(四)、例题分析
例1：在等差数列an 中，
1已知a1 1, a10 10, 求S10 ;
1 2 已知a1 3, d , 求S10 ; 2
10(a1 a10 ) 解：(1)s10 55 2 10*9 1 15 (2) s10 10a1 *( ） 2 2 2
于是所求的和是：
100 101 5050 2
如何快速计算 1+2+3+4+…+101？
计算1+2+3+4+…+n？
如何快速计算 1+2+3+4+…+101？
计算1+2+3+4+…+n？
如何快速计算 1+2+3+4+…+101？
计算1+2+3+4+…+n？
如何快速计算 1+2+3+4+…+101？
=n(a1+an)
n( a1 a n ) Sn 2
倒序相加法
n( a1 a n ) Sn 2
首项与末项的 和与项数乘积 的一半
思路二：
由a n a1 n 1 d可得：
于是有：
n[a1 a1 (n 1)d ] Sn 2
n(n 1) Sn na1 d 2