加权主成份分析在多指标综合评价中的运用_周忠明
主成份分析在综合评价中的运用讲解
综合评价 8
Z 1F1 2F2 ... m Fm
主成份分析运用实例 Step2：确定综合评价的指标体系
综合评价 9
1 指标的选取对整个研究过程是至关重要的，选取的合理与 否直接影响到分析结果的客观性 。
2 如果部分指标选取有误，比如本不属于该指标体系的指标 被选入，或是本应该纳入该指标体系的指标却被漏选，最 后得出的评价效果（如综合排名）可能会出现不合理的现 象。
0.240
城镇居民人均可支配 收入
床位数
0.173 0.185
主成份分析运用实例
综合评价 15
Step3：指标数据的收集及处理
1 可以从“中国统计年鉴”或国家统计局网站获取数据
2 数据处理方面有以下几点需注意
1 为消除各指标之间在数量级别和量纲上的不同，就必须对原始数据 进行标准化处理。另外，标准化方法并非主成分综合评价中对原始 数据进行无量纲化的唯一方法 。
Extraction Sums of Squared Loadings
Total % of Variance Cumulativ e %
3.448
57.468
57.468
1.807
30.110
87.577
第二主成 份的方差
累计方 差贡献
率
>85%
结论：取前两各主成份进行综合评价（依据接着往下看）
主成份分析运用实例 Step5：建模结果的解释
综合评价 11
Step2：确定综合评价的指标体系
1 假如指标体系中有N个指标，他们的相关程度有以下几种情况：
1 N个指标完全相关 。此时剔除N-1个指标，只留一个就可以 做出排序了。
2 N个指标完全不相关。此时不可能将它们压缩为较少的指标 ，主成分分析的出发点通常是指标的相关矩阵，如果指标 间完全不相关，相关矩阵为对角阵，主成分分析的去相关 作用就无从谈起 。
浅谈统计综合评价中主成分分析法的应用
③ 在主成分分析将原始变量变换
为成分的过程中 ， 同时形成了反 映成分和指标包含信息量的权 数 ， 以计算综合评价值 ， 这比人为 地确定权数 ， 工作量少些 ， 也有助 于保证客观地反映样本间的现实 关系。 此外 ， 随着电子计算机技术 的 发 展 ， ＳＡＳ、 ＳＰＳＳ等 商 品 化 统 计 分析软件的推广与应用 ， 使得主 成分分析在各类综合评价实践中 的广泛应用成为现实。
ＧＯＮＧＺＵＯＹＡＮＪ ＩＵ
等功能于一身 ， 是世界著名的统 计分析软件之一。 因此 ， 我们可以 利用 ＳＰＳＳ中的主成分分析模块进 行评价。 具体做法是 ： 将参评指标的 数据导入软件后 ， 在分析模块上 选择主成分法进行分析。在矩阵 方差最大旋转” 它 旋转方面 ， 取“ 。 是一种正交旋转方法。它使每个 因子上的具有最高载荷的变量数 最小 ， 可以简化对因子的解释。 其 余的都可按系统默认值确定。最 后我们用第一主成分的特征向量 与原始指标值的线性加权的值得 出综合值 ， 并根据其分值对企业 由高到低进行排序。 总之 ， 综合评价的过程实际 上是理论与实践相结合的过程。 没有经济理论和统计专业知识的 而主 支持 ， 是体现不出科学性的。 成分分析在综合评价中的应用可 避免许多人为因素 ， 使评价结果 更为科学。 此外 ， 由于计算机的普 及和计算软件的发展 ， 使得进行 主成分分析已变成一件逐渐普遍 和十分容易的事情了。
通过数学计算可将p个原始指标的总方差分解为p个不相关的综合指标的方差之和方差达到最大贡献率最大第二个综合指标y的方差次大以此类推一般前面几个综合指标yp即可包含总方差中绝大部分也就是说主成分分析可以使原始指标的大部分方差集中于少数几个主成分综合指标上通过对这几个主成分的分析来实现对总体的综合评价
工作研究
主成分分析在综合评价中的应用
主成分分析在综合评价中的应用作者：王丽芳来源：《经济研究导刊》2012年第19期摘要：应用主成分分析原理，以较小的综合变量取代原有的多维变量，并且能客观的确定权数，避免主观随意性。
把原指标综合成几个主成分，再以这几个主成分的贡献率为权数构成加权平均，构造出一个综合评价函数。
给出了多指标复杂系统的排序方法，它排除了各指标间的相关性和量纲的不一致性，使系统信息不重叠，得到的排序结果合理可信。
关键词：主成分分析；综合评价；排序中图分类号：F22 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2012）19-0219-05引言排序问题在我们日常生活中经常碰到，对单指标系统中的各样本点进行排序，可按指标值的大小排序就可以了，而对多指标系统中的各样本点要进行排序就不能按各指标值的大小这一简单原则进行了，一个常用方法是对各指标进行总和平均后，按平均值的大小进行排序。
但有时由于各指标间的量纲不一样，就不能进行加法运算了。
再者，即使各指标间的量纲一致，可以作加法运算，而各指标反映系统侧面不同，对系统的作用不一样，作加法运算时，存在一个权系数的处理问题，而权系数的取定没有一个统一的标准，这样就不能得到统一的排序结果，同时，在很多情况下各指标间有一定的相关性，甚至是严重相关，从而使得这些指标所提供的信息在一定的程度上有所重叠，求和时系统信息会重叠计算，也不能得到令人信服的排序结果，本文利用主成分分析原理，对多维空间实行降维处理，在系统变异信息损失最小的情况下，得到线性无关的几个主成分，利用主成分得分，对系统中各样本点进行综合评价，这样就排除了各指标间由于量纲不同和信息重叠所造成的影响，不用人为规定权系数，排除主观因素的干扰，使得计算结果更加科学、真实可靠。
一、主成分分析法原理[1]设系统中各指标向量的均值为，协方差阵为，考虑线性组合：y1=l′1X=l11x1+l21x2+…+lp1xpy2=l′2x=l12x1+l22x2+…+lp2xp………………………………y p=l′pX=l1px1+l2px2+…+lppxp（1）由随机向量变换的性质，显然有：var（yi）=l′i∑li （i=1，2，…，p）cov（yi，yj）=l′i∑lj （i，j=1，2，…，p）在式（1）中的y1，y2，…，yp分别称为X=（x1，…，xp）′的第一主成分，第二主成分，…，第P主成分，如果它们满足：（1）yi与yj（i≠j）不相关；（2）y1是X的一切线性组合中方差达到最大的；y2是与y1不相关的一切X的线性组合中方差达到最大的，…，yi是与y1，…,yi-1（i=1，2，…，p）都不相关的一切X的线性组合中方差达到最大的。
主成分分析法在多指标综合评价方法中的应用_李艳双
河 北 工 业 大 学 学 报JOURNAL OF HEBEI UNIVERSITY OF T ECHNOLOGY 第28卷1999年第1期主成分分析法在多指标综合评价方法中的应用李艳双 曾珍香 张闽 于树江(河北工业大学 管理学院 天津 300130)摘要 阐述了多指标综合评价方法的定义,并根据权重确定方法的不同,进一步将其划分为主观赋权法和客观赋权法两类评价方法.文章讨论了两类不同的评价方法的各自特点,并重点论述了客观赋权法中的主成分分析法的优点及原理,归纳整理出了主成分分析法的计算步骤.在文章的最后,以天津市的人口发展状况为基础数据,给出了计算实例.关键词 指标,综合评价,权重,主观赋权法,客观赋权法,主成分分析法中图法分类号 F 2240 引 言多指标综合评价方法[1]是把多个描述被评价事物不同方面且量纲不同的统计指标,转化成无量纲的相对评价值,并综合这些评价值以得出对该事物一个整体评价的方法.目前国内外关于多指标综合评价的方法很多,根据权重确定方法的不同,这些方法大致可分为两类:一类是主观赋权法,如层次分析法、德尔菲法[5]等,多是采用综合咨询评分的定性方法,这类方法因受到人为因素的影响,往往会夸大或降低了某些指标的作用,致使排序的结果不能完全真实地反映事物间的现实关系.另一类是客观赋权法,即根据各指标间的相关关系或各项指标值的变异程度来确定权数,避免了人为因素带来的偏差.如主成分分析法、因子分析法[2]等.本文介绍的主成分分析法在将原始变量转变为主成分的过程中,同时形成了反映主成分和指标包含信息量的权数,以计算综合评价值,这样在指标权重选择上克服了主观因素的影响,有助于保证客观地反映样本间的现实关系.1 主成分分析法的原理及优点主成分分析法是通过恰当的数学变换,使新变量主成分成为原变量的线性组合,并选取少数几个在变差总信息量中比例较大的主成分来分析事物的一种方法.主成分在变差信息量中的比例越大,它在综合评价中的作用就越大.以两个指标来衡量n 个样本的简单情况为例.n 个样本之间的变量信息用离差平方和表示,则综合评价时的总变差为:∑ni =1(xi1-x 1)2+∑ni =1(xi 2-x 2)2,如果∑ni =1(x i 1-x 1)2与∑ni =1(x i 2-x 2)2两个数值差不多,说明两个指标在变差总信息量中比重相当,综合评价时两个指标都要保留,如果二者比例为4:1的关系则说明第1个指标反映的信息量很大,占到80%,综合评价时仅用第1个就可以了,第2个可以舍弃.数学上已证明,实施变换前后的总方差(与离差平方和一样说明变差信息量)是相等的,这说明原指标代表的变差信息已由主成分来表示。
主成分分析用于多指标评价的方法研究_主成分评价
V ol 116,No.1管 理 工 程 学 报Journal of Industrial Engineering P Engineering Management2002年第1期收稿日期:2000211213(修改稿).作者单位:西南交通大学经济管理学院,成都610031.主成分分析用于多指标评价的方法研究)))主成分评价李靖华, 郭耀煌摘要:首先,分析了目前主成分分析用于多指标评价中存在的对指标不加选择的滥用倾向、未考虑评价者的价值判断、以及是否需要多主成分合成等评价相关问题,特别是指出了传统方法存在信息量权二次加权问题。
其次,本着在多指标评价理论框架之下对主成分分析进行/主观化0改造的思想,提出分级指标体系设计、增加重要性权(二次加权)等观点,构建了适用于半结构化问题的/主成分评价0方法体系。
进一步地,依据问题指标重要性差异和指标体系相关度差异,对目前主成分分析用于多指标评价各种方法及其适用条件进行了系统的分析。
最后以一个简单的实际案例加以验证。
关键词:主成分评价;主成分分析;多指标评价中图分类号:C8;O 212 文献标识码:A 文章编号:100426062(2002)0120039205引言主成分分析是一种常用的多元统计方法,由于其降维的思想与多指标评价指标序化的要求非常接近,近年来更多地被应用于社会学、经济学、管理学的评价中,逐渐成为一种独具特色的多指标评价技术。
但直接将主成分分析方法应用于评价存在不少问题[1,2]。
这主要是由于统计分析作为一种/由表及里0的数学手段,强调的是它的客观性,而评价理论对客观事物的看法则建立在评价者价值判断的基础上。
故主成分分析运用到评价时,应接受多指标评价理论框架的指导和改造,需换一个角度来看问题。
多指标评价的理论框架包括:(1)评价指标的筛选和评价指标体系的构建;(2)原始评价值的规格化;(3)多指标评价值的单值化(合成);(4)权系数的确定。
其中,(1)、(4)是由评价者设定的,体现其价值判断;(2)、(3)则分别对应数学上的相似变换和降维投影,反映了被评价对象的客观属性及其综合。
主成分分析用于综合评价合理性的探讨
·学术讨论·主成分分析用于综合评价合理性的探讨滨州医学院(264003) 孙红卫 徐天和 王 玖 近年来在不少文献上用主成分的方法来进行综合评价。
具体方法是:对p 个原始指标x 1,x 2,…,x p ,通过主成分分析,取前m 个主成分y 1,y 2,…,y m ,其方差分别为λ1,λ2,…,λm ,以每个主成分的y i 的贡献率k i =λi /∑pi =1λi 作为权数,构造综合评价函数:F =k 1y 1+k 2y 2+…+k m y m计算出每个样品的(F )综合得分,然后依这个得分的大小对所有样品进行综合排名〔1〕。
并认为主成分分析用于综合评价优点有两个,一是可以对指标进行客观赋权,因为各个主成分是原指标的线性函数,其系数可以看为权重,而且各个主成分还有对总方差的贡献率作为权重,这都是计算出来的,而不需要人为来定;二是可以解决指标相关给综合评价带来的问题,原变量实施这样的变量代换后,原来相关的x 1,x 2,…,x p 可变成相对独立的y 1,y 2,…,y m ,这样就有助于消除变量间相关对综合评价的信息重复影响〔2〕。
这两个优点解决的都是综合评价应用中的难点问题。
但是主成分分析是否真的能解决这两个问题呢?我们从主成分方法的思想出发,并结合实例,来探讨主成分分析法是否达到了能够合理地综合评价的目的。
探讨主成分的思想与综合评价的目的是否一致设x ′=(x 1,x 2,…,x p ),为综合评价中的p 个原始指标,a ′=(a 1,a 2,…,a p ),为综合评价中待定的权重,求第一主成分就是寻找a ′使得线性函数y =a ′x 的方差达到最大,即Var (a ′x )=a ′V a 达到最大,且a ′a =1。
则此处V 为x 的协方差阵。
则线性函数y 能达到的最大方差恰好为V 的最大特征根λ1,a 是λ1相应的特征向量。
而第二主成分是与第一主成分无关的前提下其方差达到最大,并依此类推可以得到p 个主成分。
如何有效利用主成分分析进行综合评价.
如何有效利用主成分分析进行综合评价摘要：由于主成分分析在多元统计分析中的降维作用，使之在社会、经济、医疗、生化等各领域运用越来越广泛，但由于传统主成分分析方法的局限性导致了一些问题的产生。
这些问题吸引了许多领域专家的关注，并具有针对性的提出了一些不同的改进方法。
本文介绍了主成分分析的基本和性质，并整理了近年来主成分分析在综合评价应用中遇到的普遍问题并整理验证了认同率较强的一些改进方法，以供大家研究学习。
关键词：主成分分析；综合评价；均值化1引言1.1研究的背景和意义随着生产力的不断进步，生产方式由外延式扩张转化为追求经济效益的内涵式发展，以致在生产过程中必须考虑经济效益的各个方面，如生产力水平、技术进步、资源占用等情况，并需要就综合各方面的因素进行综合评价。
评价是根据确定的目的来测定对象系统的属性，并将这种属性变为客观定量的计值或者主观效用行为，整个过程离不开评价者的参与，而综合评价作为评价的一种也需要评价者做出相应反应或指示，而很多综合评价过程易受到评价者的干预，使评价结果产生偏差。
主成分分析能将高维空间的问题转化到低维空间去处理【9】，使问题变得比较简单、直观，而且这些较少的综合指标之间互不相关，又能提供原有指标的绝大部分信息。
而且，伴随主成分分析的过程，将会自动生成各主成分的权重，这就在很大程度上抵制了在评价过程中人为因素的干扰，因此以主成分为基础的综合评价理论能够较好地保证评价结果的客观性，如实地反映实际问题。
主成分综合评价提供了科学而客观的评价方法，完善了综合评价理论体系，为管理和决策提供了客观依据，能在很大程度上减少了上述不良现象的产生。
所以在社会经济、管理、自然科学等众多领域的多指标体系中，如节约型社会指标体系、生态环境可持续型指标体系、和谐社会指标体系、投资环境指标体系等，主成分分析法常被应用于综合评价与监控【6】。
综上所述，对综合评价指标体系理论进行研究，既有理论上的必要性，更有实践中的迫切性。
主成分分析法在论文中的运用分析
主成分分析法在论文中的运用分析主成分分析法是将多指标化为少数几个综合指标的一种统计方法。
它从原始变量中导出少数几个主分量，使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此互不相关。
它常被用来寻找判断某种事物或现象的综合指标，并且给综合指标所包含的信息以适当的解释，从而更加深刻地揭示事物的内在规律，因此在学术界得到了广泛应用。
本次作业拟分析主成分分析法在文章《基于主成分分析法的科技进步测评实证研究——以陕西省为例》、《基于主成分分析法的京津冀区域协调发展综合评价》中的具体应用，以此明晰主成分分析法的具体应用情形、运用过程与结果分析，进一步强化理论学习效果。
《基于主成分分析法的科技进步测评实证研究——以陕西省为例》1一文在建立科技进步评价指标体系的基础上，利用主成分分析法对包括陕西在内的全国内地30个省、市、区科技竞争力进行排序，分析陕西在科技发展水平方面与全国整体水平及其它发达省市的差距，为陕西制定有关科技政策提供依据。
文章首先建立了科技进步评价指标体系，立足于广义的科技进步建立了一套综合性的科技进步统计评价指标体系，涉及工业、农业、人才、环保、邮电等社会活动的许多面，不仅体现了科技投入、产出、成果转化，而且也反映了科技进步促进经济社会发展，整个指标体系为三阶层框架结构，其基本内容包括5个模块、13个子项、30个指标。
文章第二部分介绍了科技进步的综合测评方法——主成分分析法，详细介绍了期优点及主要步骤，将采用主成分分析法分析陕西科技发展水平与全国整体科技发展水平及其它发达省市科技发展水平的差距。
文章第三部分是基于主成分分析法的科技进步测评实证研究。
文章在SPSS14.0中输入正确数据后，对9个指标进行标准化处理，再利用SPSS中的factor命令对数据进行主成分分析，由于前两个主成分累计贡献率为93.949%≥85%，所以提取的主成分个数为两个，得出主成分系数矩阵。
把主成分系数矩阵中的每列系数矩阵除以其相应的特征根后，得到主成分函数的表达式F1与F2。
主成分分析在综合评价中的应用
四川农业大学商学院课程论文《数据处理方法》课程论文论文题目：主成分分析在综合评价中的应用成员1：工作：分数：成员2：工作：分数：成员3：工作：分数：成员4：工作：分数：2013-5-14主成分分析在综合评价中的应用摘要本文根据2007年各地区国有及国有控股工业企业主要经济效益指标的统计数据，进行主成分分析并选取三个主成分，运用主成分对各地区进行综合排名。
运用K均值聚类，得出的结果与主成分综合排名进行比较，结果相当吻合，主成分分析可广泛运用于经济指标数据分析。
关键字：主成分分析经济效益指标综合排名分类Application of Principal Component Analysis in the analysis of Economic Data Xionghao, Information and Computing Science, 20109271Yang Xiaotao, Information and Computing Science, 20109281Zou Huimin, Financial Management, 20118795Zhao Wenqin, Financial Management, 20118793Abstract: according to the 2007 state-owned and state holding industrial enterprises in various areas of the main economic benefit index statistics, principal component analysis and three principal components and using the principal component comprehensive ranking for all regions. Using k-means clustering, and the results comparing with principal component comprehensive ranking and the results are consistent, principal component analysis data analysis can be widely used in economic indicators.Key words: principal component analysis ;Comprehensive ranking ;Classification1.问题描述经济数据分析结果对国家的宏观调控与企业决策有着至关重要的作用。
基于主成分分析的综合评价研究
基于主成分分析的综合评价研究一、本文概述主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）作为一种多元统计分析方法，通过线性变换将原始数据集中的多个相互关联的变量转换为少数几个互不相关的主成分，从而实现对数据集的降维处理。
这一方法既简化了数据结构，又保留了原始数据中的主要信息，因此在多个领域得到了广泛应用。
本文旨在探讨基于主成分分析的综合评价研究，通过深入分析和研究主成分分析的理论基础、应用方法及其在综合评价中的实际应用，以期为相关领域的研究和实践提供有益的参考和启示。
本文将对主成分分析的基本理论进行梳理和阐述，包括主成分分析的基本原理、数学模型、计算方法以及优缺点等。
在此基础上，进一步探讨主成分分析在综合评价中的应用方法和步骤，包括评价指标体系的构建、数据的预处理、主成分的计算和解释以及最终评价结果的生成等。
本文将以实际案例为基础，分析主成分分析在综合评价中的具体应用和效果。
通过对案例的深入剖析，展示主成分分析在解决实际问题中的有效性和实用性，同时也探讨其在应用中可能存在的局限性和挑战。
本文将对主成分分析在综合评价中的未来发展进行展望，探讨其在新技术、新方法不断涌现的背景下如何与其他方法相结合，进一步提高综合评价的准确性和有效性。
也期望通过本文的研究，能够激发更多学者和实践者对主成分分析在综合评价中的研究和应用兴趣，共同推动该领域的发展和进步。
二、主成分分析基本理论主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种广泛使用的统计方法，它通过线性变换将原始数据集中的多个相关变量转化为少数几个独立的综合变量，这些新的综合变量称为主成分。
主成分分析旨在减少数据集的维度，同时保留数据中的主要变化特征。
方差最大化：主成分分析通过寻找数据集中方差最大的方向来提取主成分。
方差越大，说明该主成分包含的信息量越多，对数据集的代表性也越强。
协方差为零：主成分之间是相互独立的，即它们的协方差为零。
主成分分析法在公司综合评价中的应用
主成分分析法在公司综合评价中的应用文章主要介绍了主成分分析法的基本思想和计算步骤，并用主成分分析法在公司综合评价方面进行了实证分析。
标签：主成分分析法指标综合评价目前国内外关于多指标综合评价的方法很多，根据权重确定方法的不同，大致可分为两类：一类是主观赋权法，如层次分析法、德尔菲法，等等，多是采用综合咨询评分的定性方法。
这类方法因受到人为因素的影响，往往会夸大或降低某些指标的作用，致使排序的结果不能完全真实地反映事物间的现实关系。
另一类是客观赋权法，即根据各指标间的相关关系或各项指标值的变异程度来确定权数，避免由于人为因素带来的偏差，如主成分分析法、因子分析法，等等。
本文介绍的主成分分析法在将原始变量转变为主成分的过程中，同时形成了反映主成分和指标包含信息量的权数，以计算综合评价值。
这样在指标权重选择上克服了主观因素的影响，客观地反映了样本间的现实关系。
一、主成分分析法的基本思想和分析步骤主成分分析就是设法将原来众多的具有一定相关性的指标(比如P个指标)，重新组合成一组新的相互无关的综合指标来代替原来的指标。
通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合，若没有限制条件作为新的综合指标，这样的线性组合会有很多，那么如何去选取呢?主成分分析的基本思想是：如果将选取的第一个线性组合即第一个综合指标记为F1，自然希望尽可能多的反映原来指标的信息。
这里的“信息”最经典的方法就是用F1的方差来表达，即Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。
因此在所有的线性组合中所选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。
如果第一主成分不足以代表原来P个指标的信息，再考虑选取F2 即选第二个线性组合,为了有效地反映原来信息,F1已有的信息就不再需要出现在F2中，用数学语言表达就是要求Cov(F1,F2)=0,称F2为第二主成分，依次类推可以造出第三，第四…第P个主成分。
不难想象这些主成分之间不仅不相关，而且它们的方差依次递减，因此在实际工作中，就挑选前几个最大主成分。
综合主成分分析用于黄芪药材的质量评价
综合主成分分析用于黄芪药材的质量评价【摘要】目的：探讨综合主成分分析用于黄芪药材的质量评价的可行性。
方法：选择3种有效成分的含量为指标，对不同产地的黄芪药材建立了综合主成分评价模型。
结果：提出的综合主成分评价较全面的反映了药材样本的信息，评价结果具有一定的客观性，与系统聚类法结果一致。
结论：综合主成分分析可用于中药多指标的质量评价。
【关键词】主成分分析综合评价指标黄芪Abstract Object： To explore the feasibility of comprehensive principal components analysis on quality evaluation of Radix astragali. Methods： Quality evaluation on Radix astragali which were fromdifferent localities in gansu performed by comprehensive principal components analysis with contents of three components. Results： The application shows that the propoed method can comprehensively reflect the samples．The results were objective，which showed no difference with that of hierarchical cluster. Conclusion： Comprehensive principal components analysis on quality evaluation of traditional chinese medicine was promising.Key words principal components analysis; comprehensive assessment indexes; radix astragali现代分析技术可以为中药质量控制研究提供大量的信息，如何根据这些信息对多种成分进行定性定量分析及对样品进行整体的准确评价，发展了多种分析测量数值的理论分析方法，它们可以应用于中药质量控制的研究中。
主要成分分析在多指标综合评价权重问题中的应用
目录引言 (1)第一章主成分分析的基本思想 (2)1.1数学思路 (2)1.2几何解释 (3)第二章主成分和权重的推导及它们的性质 (4)2.1两个线性代数的结论 (4)2.2主成分的推导 (5)2.3权重的计算 (8)2.4主成分的性质 (8)第三章数学模型 (9)3.1构造综合评价函数 (9)3.2样本主成分 (10)3.3样本主成分的性质 (12)3.4主成分模型中各统计量的意义 (12)3.5主成分个数的选取原则 (13)3.6主成分分析的基本步骤 (13)3.7主成分分析主要有以下几方面的应用 (14)第四章实例分析 (15)4.1 问题的提出 (15)4.2 主成分分析的计算步骤及实例 (16)4.3构造综合评价指数的方法 (19)附表1 (20)参考文献 (21)致谢 (22)附录2：英语文献译 (23)1、英语原文 (23)2、译文…………………………………………………………………………引言一项十分著名的工作是美国的统计学家斯通(stone)在1947年关于国民经济的研究。
他曾利用美国1929一1938年各年的数据，得到了17个反映国民收入与支出的变量要素，例如雇主补贴、消费资料和生产资料、纯公共支出、净增库存、股息、利息外贸平衡等等。
在进行主成分分析后，竟以97.4％的精度，用三新变量就取代了原17个变量。
根据经济学知识，斯通给这三个新变量分别命名为总收入F1、总收入变化率F2和经济发展或衰退的趋势F3。
更有意思的是，这三个变量其实都是可以直接测量的。
主成分分析就是把各变量之间互相关联的复杂关系进行简化分析的方法。
在社会经济的研究中，为了全面系统的分析和研究问题，必须考虑许多经济指标，这些指标能从不同的侧面反映我们所研究的对象的特征，但在某种程度上存在信息的重叠，具有一定的相关性。
主成分分析试图在力保数据信息丢失最少的原则下，对这种多变量的截面数据表进行最佳综合简化，也就是说，对高维变量空间进行降维处理。
主成分分析方法在主成分分析方法中的应用
主成分分析与因子分析及SPSS实现（一）：原理与方法(2021-09-08 13:33:57)转载▼一、主成分分析（1）问题提出在问题研究中，为了不遗漏和准确起见，往往会面面俱到，取得大量的指标来进行分析。
比如为了研究某种疾病的影响因素，我们可能会收集患者的人口学资料、病史、体征、化验检查等等数十项指标。
如果将这些指标直接纳入多元统计分析，不仅会使模型变得复杂不稳定，而且还有可能因为变量之间的多重共线性引起较大的误差。
有没有一种办法能对信息进行浓缩，减少变量的个数，同时消除多重共线性？这时，主成分分析隆重登场。
（2）主成分分析的原理主成分分析的本质是坐标的旋转变换，将原始的n个变量进行重新的线性组合，生成n 个新的变量，他们之间互不相关，称为n个“成分”。
同时按照方差最大化的原则，保证第一个成分的方差最大，然后依次递减。
这n个成分是按照方差从大到小排列的，其中前m个成分可能就包含了原始变量的大部分方差（及变异信息）。
那么这m个成分就成为原始变量的“主成分”，他们包含了原始变量的大部分信息。
注意得到的主成分不是原始变量筛选后的剩余变量，而是原始变量经过重新组合后的“综合变量”。
我们以最简单的二维数据来直观的解释主成分分析的原理。
假设现在有两个变量X1、X2，在坐标上画出散点图如下：可见，他们之间存在相关关系，如果我们将坐标轴整体逆时针旋转45°，变成新的坐标系Y1、Y2，如下图：根据坐标变化的原理，我们可以算出：Y1 = sqrt(2)/2 * X1 + sqrt(2)/2 * X2Y2 = sqrt(2)/2 * X1 - sqrt(2)/2 * X2其中sqrt(x)为x的平方根。
通过对X1、X2的重新进行线性组合，得到了两个新的变量Y1、Y2。
此时，Y1、Y2变得不再相关，而且Y1方向变异（方差）较大，Y2方向的变异（方差）较小，这时我们可以提取Y1作为X1、X2的主成分，参与后续的统计分析，因为它携带了原始变量的大部分信息。
改进的主成分分析法在综合评估中的应用
改进的主成分分析法在综合评估中的应用李树清【摘要】提出一种改进的主成分分析法,并基于此方法对电能质量进行了综合评估.与传统PCA相比,该方法消除了原始数据量纲的不统一和数量级的差别,保留了数据的全部信息,同时明显提高了降维效果.实例表明,利用该方法对监测点的电能质量进行综合评估可以得到全面、直观、科学的评估结果.【期刊名称】《济宁学院学报》【年(卷),期】2010(031)003【总页数】3页(P15-17)【关键词】改进的主成分分析;电能质量;综合评估【作者】李树清【作者单位】济宁学院物理与信息工程系,山东,曲阜,273155【正文语种】中文【中图分类】TM732随着电力电子技术的广泛应用,用户对电能质量的要求越来越高。
针对用户需求,我国分别从电压偏差、频率偏差、电压三相不平衡、电压波动与闪变、公用电网谐波、暂时过电压和瞬时过电压等六项指标对电能质量加以评估[1]。
但这些标准只能用来进行单项评定,而无法确定电能质量综合水平的高低。
主成分分析[2-3]是一种常用的数据特征提取方法,能够通过降维技术,将多个指标化为少数几个综合指标,并通过这少数综合指标对数据做出分析。
从而降低问题的处理难度。
本文将改进的主成分分析法应用于电能质量的综合评估,得出对电能质量的科学评价。
设包含 p个指标某一随机变量 X=(X1,X2,Xp)。
从 n个点对变量进行抽样。
这样可得到原始数据矩阵:X=其中 xij代表第 j个指标在第 i个抽样中的值。
主成分分析的目的就是要从这 p个指标中综合分析出m(m<p)个综合指标 (主成分),用尽可能少的主成分反映出尽可能多的原始信息,从而为下一步的聚类或综合评价做好准备。
主分量分析主要通过以下 5个步骤实现。
1)数据标准化原始数据通常有不同的量纲,数量级也存在着较大差距。
因此首先对这些原始数据进行预处理,使每一个指标都能在分析时发挥平等的作用。
具体处理公式为:其中2)求样本的协方差矩阵 C其中p)。
关于用主成分分析做综合评价的若干问题
关于用主成分分析做综合评价的若干问题阎慈琳(杭州大学,杭州,310028)摘 要 阎慈琳.关于用主成分分析做综合评价的若干问题.数理统计与管理,1998,17(2),22～25.探讨了特征向量的方向对用主成分分析做综合评价的影响,并提出改正意见。
关键词:主成分分析,因子分析,综合评价。
近来有好些文章,都是用主成分分析法〔1〕〔2〕做综合评价〔3〕。
基本做法是:对n 个个体,每个个体有p 个指标:y i 1,y i 2,…,y i p ,i =1,2,…,n ,把这p 个指标标准化得:y (i )*=y *i 1,…,y *ip ′,i =1,2,…,n .(1)计算它们的相关矩阵R ,求R 的p 个特征根设为λ1≥λ2≥…≥λp ≥0(2)相应的正则化特征向量e j =l 1j ,l 2j ,…,l pj ′,j =1,2,…,p .(3)求出其头m 个主成分Z j =e ′j y *=l 1j y *1+l 2j y *2+…+y *p ,j =1,2,…,m ≤p .(4)它们彼此不相关,而且分别以方差贡献率T j =λj /E pk =1λk (5)解释了p 个指标,当累计贡献率E mj =1T j 达到一定数值(如≥85%)时,这m 个主成分就以较p 为少的指标个数综合体现了p 个指标。
为了进一步综合成一个指标,以T j 为数对Z j 求和得综合评价函数为D 1=E mj =1T j Z j (6)以第i 个个体的指标y(i )*代入(4)式,进而计算(6)式,就得第i 个个体的综合得分,用来对这些个体排序。
一、问题的产生然而在对实际问题实施上述方法时,我们发现对同一问题同用上面方法却得到很不相同的结果。
例1 文〔2〕的例 2.4叙述了全国20个药厂用四项指标来制定药厂经济效益综合指标。
按文〔2〕表 2.5的四列数据,我们用国际流行的两个系统统计分析软件sysTA T 和sas 分别计收稿日期:1996年5月3日,1997年1月31日收到修改稿算,结果是相同的,都是:1234特征根λ:2.9840.8040.1660.046贡献率:74.59920.102 4.160 1.139特征向量:e (2)1=(0.452,0.537,0.484,0.522)′e (2)2=(0.653,-0.338,-0.592,0.331)′e (2)3=(-0.505,-0.400,0.096,0.760)′e (2)4=(-0.337,0.658,-0.634,0.202)′除了λ值和特征向量各分量绝对值与〔3〕表 2.15所载特征向量(简记作e (1)1,…,e (1)4)略有不同外(那可能是个别原始数据抄写时有误,或看成舍λ误差),仅e (2)1≈e (1)1,但e (2)2,…,e (2)4与e (1)2,…,e (1)4的符号全部相反。
多指标综合评价中主成分分析和因子分析方法的比较
所以 3 ／ 初始因子载荷阵 " # +， + ’# + +。 "# ’ ! ##
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$ （ ）"# ， 各因子贡献用#. 表示， 相应贡献 . + + ,! , ’# ,
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率3 ／ 比较主成分的贡献率看到， 由初 + ’# + +。 ##
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王文博， 陈秀芝： 多指标综合评价中主成分分析和因子分析方法的比较
始因子载荷阵得到的第! 个因子贡献率与主成分分 析第 这说明可以借用初始 ! 个主成分贡献率相同， 因子载荷阵选取因子的方法选取主成分。
（ ）#$ 就会改变， 这时相应因子的贡献率与相应 & ! ’" 主成分贡献率就不同了。 ! " ! !软件能显示旋转后因 子载荷阵的结果， 可以专门用于计算旋转后因子的
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没有直接操作结果， 需要根据因子分析结果 推算系数 1 ! ’
可以直接得到结果， 包括因子得分
［ ］ $ ( ! " ! !实现因子分析主要步骤及结果说明 ) （ ） 数据正向化、 标准化。 #
后的 因 子 载 荷 平 方 和” （2 7 1 & 1 6 7 +! 4 B ;7 8! 4 & ’ / 3 H ） 用于因子分析。 I 7 & 3 6 + ; J （ ） 用 初 始 因 子 载 荷 阵 （? $ 7 B 7 + / + 1 G ） （ ! ，! ， …， @ & 1 ’ 6 > ! * * ! * ! # # ! $ $ $ $ ）第 ! #$ % ! " 列向量除以! ! ! 个主成分的系数向量。 ! 就得到第 另 外 根 据 旋 转 的 因 子 载 荷 阵（2 7 1 & 1 / 3 ） 可以写出因子分析模型； 根据因 ? 7 B 7 + / + 1@ & 1 ’ 6 > G 子得分系数矩阵 （E ） 可 & 5 1 7 ’ ! 5 7 ’ /? 7 / 8 8 6 5 6 / + 1@ & 1 ’ 6 > 以写出因子得分模型， ! " ! !软件直接给出因子得分 并以变量形式保存。
基于SPSS的主成分分析法在评价体系中的应用
基于SPSS的主成分分析法在评价体系中的应用《当代经济》2009年 2月（上）CO N TEM P O RARYECO N OM IC S【摘要】本文基于 SPSS 统计软件的应用，结合实例介绍了主成分分析法在评价体系中的优越性和重要应用，指出了使评价结果更为客观的方法。
【关键词】主成分评价经济效益一、主成分分析法的原理主成分分析法是利用降维的思想，在损失很少信息的前提下把多个指标转化为几个综合指标的多元统计方法。
这些综合指标通常被称为主成分，主成分相比原始变量而言，具有更多的优越性，即在研究许多复杂问题时不至于丢失太多信息，从而使我们更容易抓住事物的主要矛盾，提高分析效率。
该方法的核心就是通过主成分分析，选择n个主分量Y1，Y2，…，Yn，其中Yi（i=1，2，…，n）为第i个主成分的得分，以主分量Yi的方差贡献率ai作为权数，构造综合评价函数：Y=a1Y2+a2Y2+…+anYn，这样当我们把第i个主成分的得分算出来后，便可以很快求出综合得分，并且按照得分的高低来排序。
同时我们可以根据第i个主成分的得分来衡量某地区或某企业在第i个主成分所代表的经济效益方面的地位。
二、主成分分析法应用实例现以我国长江流域各省某年国有及规模以上非国有工业企业主要经济效益指标为基础，对企业经济效益进行综合评价（如表1）。
1、原始数据的标准化处理为了解决量纲不同不能进行比较的问题，我们应对原始数据进行标准化，消除量纲使其具有可比性。
设有n个样本和p个指标，可得数据矩阵X=（Xij）n×p，其中i=1，2，…，n，j=1，2，…，p，用 Z-score 法对数据进行标准化变换 Z=（xij-xj）/Sj，其中 xj为第j项指标的平均值，Sj为第j项指标的标准差。
用SPSS统计软件进行标准化操作可得标准化的数据（如表2）。
基于SPSS的主成分分析法在评价体系中的应用○吴亚非李科（武汉理工大学管理学院湖北武汉 430070）理论探索地区工业增加值率/%贡献率/%资产负债率/%流动资产周转数/ 次×a-1 工业成本费用利润全员劳动生产率/%产品销售率/%青海 37 4.62 69.76 0.86 2.73 50950 93.32四川 34.3 6.94 62.81 1.27 3.89 40330 98.01 西藏 53.08 5.22 23.82 0.74 18.88 32500 89.32 云南 50.3 14.74 54.14 1.24 8.99 82038 98.61重庆 28.73 6.63 62.72 1.21 2.28 36606 97.91 湖北 33.12 8.18 60.72 1.6 4.63 49138 97.6 湖南 33.49 9.3 66.55 1.47 3.25 39081 98.72 江西 30.34 6.25 66.37 1.31 1.42 30623 97.6 安徽 31.63 8.17 61.41 1.53 3.73 38548 98.16 江苏 25.06 9.42 60.03 1.99 3.88 57177 97.06 上海 28.39 8.83 46.46 1.56 6.61 95393 98.83 表 1 长江流域各省主要工业企业经济效益指标166CO N TEM P O RARYECO N OM IC S《当代经济》2009年 2月（上）指标xij地区X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7青海 0.22106 -1.2434 0.93388 -1.3878 -0.56002 0.03518 -1.20404四川 -0.08346 -0.39677 0.39533 -0.2113 -0.32387 -0.47433 0.40436 西藏 2.03463 -1.02444 -2.62595 -1.73215 2.72776 -0.84998 -2.57581 云南 1.72109 2.44964 -0.27649 -0.29739 0.71437 1.52666 0.61013重庆 -0.71167 -0.5099 0.38836 -0.38347 -0.65164 -0.65299 0.37007 湖北 -0.21655 0.05573 0.23338 0.73564 -0.17323 -0.05175 0.26375 湖南 -0.17482 0.46445 0.68514 0.3626 -0.45416 -0.53425 0.64785江西 -0.53009 -0.64857 0.67119 -0.09652 -0.82671 -0.94003 0.26375安徽 -0.38459 0.05208 0.28685 0.53477 -0.35645 -0.55982 0.4558 江苏 -1.12559 0.50824 0.17991 1.85475 -0.32591 0.33393 0.07857 上海 -0.75002 0.29294 -0.8716 0.62086 0.22986 2.16738 0.68557 表 2 已标准化处理后的原始数据基于SPSS的主成分分析法在评价体系中的应用○吴亚非李科（武汉理工大学管理学院湖北武汉 430070）2、求指标数据的相关矩阵在经过标准化数据处理以后，便可以很容易的得到指标数据的相关系数矩阵R，形式如下：R=r11r12 (1)r21r22 (2)…………rp1rp2… rpp○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○具体相关系数，也可以通过SPSS软件包计算生成。