(新)高中数学第1章三角函数1_1_2弧度制优化训练苏教版必修4
高中数学 第1章 三角函数 1.2.2 同角三角函数关系优化
1.2.2 同角三角函数关系5分钟训练（预习类训练，可用于课前） 1.以下各式中能成立的是( ) A.sin α=cos α=21B.cos α=31且tan α=2C.sin α=21且tan α=33 D.sin α=-21且cos α=-21思路解析：若sin α=21，则α=2k π+6π或α=2k π+65π.不妨取α=6π，显然cos 6π≠21，∴A 不正确. 又cos α=31时，则sin α=±911-=±322.此时tan α=±22≠2，∴B 不正确.显然D 中sin 2α+cos 2α=41≠1，不正确. 答案：C2.如果角x 的终边位于第二象限，则化简函数y=xxx 22sin 1cos cos 1sin -+-的值为( )A.1B.2C.0D.-1思路解析：利用同角基本关系式sin 2x+cos 2x=1以及x 属于第二象限，有y=|sin |sin x x +xxx x x x cos cos sin sin |cos |cos -+==1-1=0.答案：C3.化简三角函数式y=cos 4x+sin 2x+cos 2xsin 2x 的结果为( ) A.0 B.21C.1D.23思路解析：利用cos 2x+sin 2x=1，有y=cos 2x （1-sin 2x ）+sin 2x+cos 2xsin 2x=cos 2x+sin 2x=1.答案：C4.已知cos θ=-54且90°＜θ＜180°，则sin θ=_______________，tan θ=_______________.思路解析：利用同角基本关系式且θ∈（90°，180°），易得sin θ=θ2cos 1-=53. ∴tan θ=θθcos sin =-43. 答案：53 -4310分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.如果sin α+cos α=1，则sin n α+cos nα（n ∈Z ）的值为( )A.-1B.1C.1或-1D.不确定思路解析：由sin α+cos α=1，则（sin α+cos α）2=1，故sin αcos α=0.若sin α=0，则cos α=1.这时sin n α+cos n α=1；若cos α=0，则有sin α=1，这时也有sin n α+cos nα=1. 答案：B2.已知θ是第三象限的角且sin 4θ+cos 4θ=95，那么sin θ·cos θ等于( ) A.32 B.-32 C.32 D.-32思路解析：由于sin 4θ+cos 4θ=（sin 2θ+cos 2θ）2-2sin 2θcos 2θ=1-2sin 2θ·cos 2θ， ∴sin 2θ·cos 2θ=92. 又θ是第三象限角，∴sin θ·cos θ＞0. ∴sin θ·cos θ=32. 答案：A3.若角α的终边经过点P （-3，-2），则①sin α·tan α＞0，②cos α·tan α＞0，③sin α·cos α＞0，④sin α·tan α＜0中成立的有_______________. 思路解析：由于α的终边过点P （-3，-2），∴α的终边落在第三象限.由此可判断③④成立. 答案：③④4.若sinx-cosx=21，则sin 3x-cos 3x=_______________. 思路解析：由条件，知（sinx-cosx ）2=41.又sin 2x+cos 2x=1，∴sinxcosx=83.而sin 3x-cos 3x=（sinx-cosx ）（sin 2x+sinxcosx+cos 2x ）=21（1+83）=1611.答案：16115.已知2sin α-cos α=3sin α，那么cos α=_______________.思路解析：由2sin α-cos α=3sin α，得（2-3）sin α=cos α，sin α=（2+3）cosα.由sin 2α+cos 2α=1，得（2+3）2cos 2α+cos 2α=1.解之得cos α=±426-. 答案：±426- 6.已知asin （π-θ）+cos （2π-θ）=1，bsin （θ+π）-cos （3π-θ）=-1，则a ·b 的值为_______________.思路解析：由已知得asin θ+cos θ=1，bsin θ-cos θ=1，故a=θθsin cos 1-，b=θθsin cos 1+.所以a ·b=θθsin cos 1-·θθsin cos 1+=θθ22sin cos 1-=1.答案：17.已知tan α=2，求ααααsin cos 3sin 5cos +-的值.思路解析：考虑到所求式分子、分母均为sin α、cos α的一次式且cos α≠0，∴可将分子、分母同除以cos α化为含有tan α的代数式. 解：ααααsin cos 3sin 5cos +-=ααtan 3tan 51+-=23251+-=721613-.志鸿教育乐园作文小美在作文课果写上长大后的愿望:一、我希望能有一个可爱的孩子。
高中数学第1章三角函数1_1_2弧度制优化训练苏教版必修4
1.1.2 弧度制5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做_______________的角，以弧度为单位来度量角的制度叫_______________. 答案：1弧度 弧度制2.把-38π化成度是( ) A.-960° B.-480° C.-120° D.-60° 思路解析：-38π=-38×180°=-480°. 答案：B3.在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为3πcm ，它所对的圆心角为( ) A.6π B.3πC.2πD.32π思路解析：设圆心角为θ，则θ=23π=6π.答案：A 4.已知α=-689π，则α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 思路解析：-689π=-16π+67π，故-689π与67π终边相同.答案：C10分钟训练（强化类训练，可用于课中） 1.下列各角中与127π终边相同的角为( ) A.435° B.465° C.225° D.-435° 思路解析：127π=7×15°=105°. 435°=360°+75°，465°=360°+105°，225°=360°-135°，-435°=-360°+（-75°）. 答案：B2.直径为4 cm 的圆中，36°圆心角所对的弧长是( )A.54πcm B.52πcm C.3πcm D.2πcm思路解析：l=r ·α，α=36°=5π，r=2 cm ，代入计算可得l=r ·α=2·5π=52πcm.答案：B3.终边在第三象限的角的集合为_______________.思路解析：在0°—360°间，终边在第三象限的角θ满足180°＜θ＜270°.由终边相同角的意义，知第三象限角α的范围可表示为k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°，k ∈Z 或2k π+π＜α＜2k π+23π，k ∈Z . 答案：{α|k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°，k ∈Z ＝＝}}}或{α|（2k+1）π＜α＜2k π+23π，k ∈Z 4.一时钟分针长3 cm ，经过20 min ，分针外端点转过的弧长为_______________. 思路解析：分针转过的圆心角为α=6020·2π=32π，所以分针转过的弧长为l=α·r=32π·3=2π（cm ）. 答案：2π cm5.已知（4k+1）π<α<（4k+1）π+3π，k ∈Z ，试问4α是第几象限角？解：∵（4k+1）π＜α＜（4k+1）π+3π，k ∈Z ，则k π+4π＜4α＜k π+3π，k ∈Z .当k 为偶数，即k=2n ，n ∈Z 时，2n π+4π＜4α＜2n π+3π，故4α为第一象限角；当k 为奇数，即k=2n+1，n ∈Z 时，2n π+45π＜4α＜2n π+34π，故4α为第三象限角.综上，4α为第一象限或第三象限角.6.已知扇形周长是6 cm ，面积为2 cm 2，则扇形圆心角的弧度数是多少？解：设扇形半径为r ，弧长为l ，由⎪⎩⎪⎨⎧=••=+,221,62r l r l 解得⎩⎨⎧==4,1l r 或⎩⎨⎧==.2,2l r又由α=rl，所以α=4或1. 7.如图1-1-1，弓形弦长AB=3 cm ，它所对应的圆周角为3π，则此弓形的面积是多少？ 图1-1-1解：作OH ⊥AB 于点H.由∠ACB=3π，则∠AOB=32π，AH=23，OH=23tan 6π=23×33=23.故S △AOB =21 AB ·OH=433.OA=2·OH=3，α=2π-32π=34π，故S 扇形ACB =21·α·OA 2=21×34π×3=2π.所以弓形面积S=S △AOB +S 扇形ACB =433+2π（cm 2）.8.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿.（1）当大轮转一周时小轮转动的角是多少度？是多少弧度? （2）如果大轮的转速为180 r/min ，小轮的半径为10.5 cm ，那么小轮周上一点每秒转过的弧长是多少？解：（1）当大轮转一周时，小轮转2048=2.4周，即小轮转2.4×360°=864°，合524πrad. （2）大轮转速为180 r/min ，则小轮转速为每分180×512=432 r ，每秒转角为432×602π=572π. 故小轮周上一点每秒转过的弧长为572π×10.5=151.2π cm.志鸿教育乐园同理可证 爸爸：“小明，考你一道题，树上有两只鸟，打死一只，还有几只？” 小明：“一只.” 爸爸：“笨蛋，那只鸟还不被吓跑了！再问你一道简单的问题，如果答不对，小心屁股！听着，屋里只有你一个人，现在爸爸进来了，一共有几个人？” 小明：“一个。
江苏省徐州市高中数学第1章三角函数1.1.2弧度制教案苏教版必修4(new)
1.1。
2弧度制
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高中数学 第1章 三角函数 1.1.2 弧度制教学设计 苏教版必修4(2021年整理)
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1．1.2 弧度制错误!教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位，并且一度的角等于周角的错误!,记作1°.通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．通过探究讨论,关键是弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式．使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度．三维目标1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．2．通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是相互联系、辩证统一的．使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣．重点难点教学重点：理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算．教学难点：弧度的概念及其与角度的关系．课时安排1课时错误!导入新课思路1。
高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制学案 苏教版必
1.1.2 弧度制[学习目标] 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．[知识链接]1．初中几何研究过角的度量，当时是用度来作为单位度量角的．那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答规定周角的1360作为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关．2．用度作为单位来度量角的制度叫做角度制，在初中有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？答l＝nπr180，S＝nπr2360.[预习导引]1．弧度制(1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad.用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是正数；负角的弧度数是负数；零角的弧度数是0.(3)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 2．角度制与弧度制的换算(1)角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.017 45rad1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°(2)度 0° 1°30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0π180π6π4π3π22π334π 5π6π3π22π设扇形的半径为r ，弧长为l ，α(α≤2π)为其圆心角，则度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l ＝απr 180l ＝|α|·r扇形的面积S ＝απr 2360S ＝12l ·r ＝12|α|·r 2要点一 角度制与弧度制的换算 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.解 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15180π＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°.(4)－11π5＝－115×180°＝－396°.规律方法 (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系式：π rad＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．跟踪演练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎪⎫2252°＝2252×π180＝5π8.(2)－5π12＝－5π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－75°.要点二 用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°；(2)23π6；(3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角． (2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．规律方法 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪演练2 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角． 解 (1)∵180°＝π rad，∴α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6. ∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝3π5×180°π＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k ·360°<0°， 得k ＝－2，或k ＝－1.故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°<0°，得k ＝－1，或k ＝0. 故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°. 要点三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．解 设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S .由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r . ∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －a 42＋a 216.∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a2，∴α＝l r ＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，最大为a 216.规律方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数． 跟踪演练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.1．若α＝－3，则角α的终边在第________象限． 答案 三解析 ∵α＝－3 rad ＝－3×57.30°＝－171.90°，而－171.90°为第三象限角， ∴α＝－3为第三象限角．2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 答案 1或4解析 设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1.3．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为________． 答案 12＋π360，12－π360解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，则⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得α＝12＋π360，β＝12－π360.4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是________．答案 －34π解析 ∵－114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π ＝2×(－1)π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π，∴θ＝－34π.1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 度数与弧度数的换算借助“度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×(180π)°＝度数”进行，一些特殊角的度数与弧度数的对应值必须记牢．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．一、基础达标1．－300°化为弧度是________．答案 －53π2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________． 答案2sin 1解析 ∵r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.3．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________________________________________________________________________． 答案 25解析 ∵216°＝216×π180＝6π5，l ＝30π＝α·r ＝6π5r ，∴r ＝25.4．下列命题中，是假命题的序号为________． ①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位； ②1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π；③1 rad 的角比1°的角要大；④用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关． 答案 ④5．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______． 答案 (－1.5π，－π)∪(0.5π，2] 解析 ∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2， 当k ＝－1时，－1.5π＜α＜－π， 当k ＝0时，0.5π＜α≤2，当k 为其他整数时，满足条件的角α不存在．6．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________． 答案 34解析 由于S ＝12lr ，若l ′＝32l ，r ′＝12r ，则S ′＝12l ′r ′＝12×32l ×12r ＝34S .7．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解 (1)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|2k π－3π4<θ<2k π＋π3，k ∈Z }．(2)阴影部分内(不包括边界)的角的集合{θ|k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z }．二、能力提升8．扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为________．答案 2∶3解析 设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsinπ6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切圆＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切圆∶S 扇形＝2∶3.9．下列表示中不正确的是________．①终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }； ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }；③终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝k ·π2，k ∈Z }；④终边在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }．答案 ④解析 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }．10．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }， 集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________. 答案 [－4，－π]∪[0，π] 解析 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．11．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ， 从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎪⎫r －1522＋2254.又∵r >0，且l ＝30－2r >0，∴0<r <15，∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15(cm)，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152cm 时，面积最大，最大面积为2254cm 2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ.解 因为0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4，又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7，从而π2<n π7<3π4，即72<n <214，所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7.三、探究与创新13．(1)一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，求扇形的弧长以及扇形的面积； (2)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形的圆心角弧度数(只计算0～2π之间的角)．解 (1)设圆心角为α，则弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S ＝12lr .∵α＝72°＝72×π180＝2π5(rad)，∴扇形弧长l ＝|α|r ＝2π5×20＝8π(cm )，扇形面积S＝12lr ＝12×8π×20＝80π(cm 2)． (2)设扇形弧长为l ，半径为r .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，12lr ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，l ＝2.若⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝8，则扇形圆心角α＝lr＝8(rad)>2π(rad)(舍去)；若⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，l ＝2，则扇形圆心角α＝l r ＝24＝12(rad)．故扇形圆心角弧度数为12rad.。
苏教版高中数学必修四：第1章-三角函数1.1.2课时作业(含答案)
1．1.2 弧度制 课时目标1．理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换．2．掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．23.扇形的面积 S ＝________ S ＝________一、填空题1．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是________． 2．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．3．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是________． 4．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________．5．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其圆心角的弧度数是________．6．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B ＝________.7．若角α，β终边关于原点对称，且α＝－π3，则β角的集合是________． 8．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则角α的集合为________________．9．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝________. 10．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为________． 二、解答题11．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？12．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)同时出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧度数．能力提升13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1．1.2 弧度制 知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad (3)|α|＝l r 终边的旋转方向 正数 负数 0 2．2π 360° π 180° π180 ⎝⎛⎭⎫180π° 3.απR 180 αR απR 2360 12αR 2 12lR 作业设计 1．－34π 解析 ∵－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π，∴θ＝－34π. 2．25解析 216°＝216×π180＝6π5， l ＝α·r ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25. 3．A ＝B4.2sin 1解析 r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1. 5．1或4解析 设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋αr ＝612αr 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2α＝1. 6．{α|0≤α≤π}解析 集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．7．{β|β＝2k π＋2π3，k ∈Z } 解析 由对称性知，β角的终边与2π3的终边相同， ∴β角的集合是{β|β＝2k π＋2π3，k ∈Z } 8.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－11π3，－5π3，π3，7π3 解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π， π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π. 9.73π或103π 解析 －76π＋72π＝146π＝73π， －76π＋92π＝206π＝103π. 10．2∶3解析 设扇形内切圆半径为r ，则r ＋r sin π6＝r ＋2r ＝a . ∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2 ＝12×π3×9r 2＝32πr 2. ∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.11．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2 ＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad. 12．解 设第一次相遇所用的时间为t 秒．∵圆的半径为R ＝4，∴4(π3t ＋π6t )＝2π×4， 解得t ＝4，故P 点走过4π3 rad ，Q 点走过－2π3rad. 答 P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4秒，P ，Q 点各自走过的弧度分别为4π3rad ，－2π3rad. 13．4 2解析 设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r .∴圆弧所对圆心角|θ|＝42r r＝4 2. 14．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60° ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。
高中数学 第1章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数温故知新 苏教版必修4(2021年整理)
高中数学第1章三角函数1.2.1 任意角的三角函数温故知新苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第1章三角函数1.2.1 任意角的三角函数温故知新苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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1。
2.1 任意角的三角函数温故知新新知预习1.三角函数的定义设点P 是α终边上任意一点，坐标为P （x ，y ），｜OP ｜=22y x =r ，则(1）比值_____________叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα=_____________。
（2）比值_____________叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα=_____________。
（3)比值_____________叫做角α的正切，记作tanα，即tanα=_____________.（4）比值_____________叫做角α的正割，记作secα，即secα=_____________。
（5)比值_____________叫做角α的余割，记作cscα,即cscα=_____________。
（6）比值_____________叫做角α的余切，记作cotα,即cotα=_____________.2。
三角函数在各象限的符号 sinα=ry ，当α是__________象限时,sinα＞0;当α是__________象限时，sinα＜0。
cosα=rx ,当α是__________象限时，cosα＞0;当α是__________象限时，cosα＜0。
高中数学 第1章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数优化训练 苏教版必修4(2021年整理)
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1。
2 任意角的三角函数 1。
2。
1 任意角的三角函数5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.任意角α，以角α的顶点为坐标原点，以角α的始边方向为x 轴正方向建立直角坐标系xOy,P （x ，y)为角α终边上不同于O 的任一点，r=22y x +，则sin α=_____________________，cos α=____________________________，tan α=_______________， cot α=_______________，sec α=_______________，csc α=_______________。
答案:r y r x xyy x x y y r2.sin α的定义域为_________________，cos α的定义域为_________________,tan α的定义域为_______________. 答案：R R {α｜α≠k π+2π，k ∈Z ｝ 3。
已知点P （4，-3）是角α终边上一点，则下列三角函数值中正确的是（ )A.tan α=-34 B 。
cot α=—34C.sin α=—54 D 。
cos α=53思路解析：由三角函数的定义,知x=4，y=—3，r=5，cot α=y x =-34,A 、C 、D 均错。
数学苏教版必修4 第1章1.1.2弧度制 作业
[学业水平训练] 1．将5 rad 化为角度是________．解析：∵1 rad ＝(180π)°， ∴5 rad ＝5·(180π)°＝(900π)°≈286°. ★答案★：286°2．α＝－2 rad ，则α的终边在第________象限．解析：－2 rad ＝－2×(180π)°≈－57.30°×2＝－114.60°， ∴α为第三象限角．★答案★：三3．用弧度制表示终边落在第三象限的角的集合为________．解析：若角α终边落在第三象限，则{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }． ★答案★：{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z } 4．设集合M ＝{α|α＝k π2－π3，k ∈Z }，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝________． 解析：分别取k ＝－1，0，1，2，得α＝－5π6，－π3，π6，2π3. ★答案★：{－5π6，－π3，π6，2π3} 5．下列结论不正确的是________．(只填序号)①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③5π8rad ＝115°. 解析：5π8 rad ＝5π8×(180π)°＝112.5°，所以③错． ★答案★：③6．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min 所走的圆弧长是π3m ，则这座大钟分针的长度为________ m.解析：因为分针20 min 转过的角为2π3，所以由l ＝αr ， 得r ＝l α＝π32π3＝0.5(m)，即这座大钟分针的长度为0.5 m. ★答案★：0.57．(2014·济南高一质检)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？解：设弧长为l ，所对圆心角为α，则l ＋2r ＝πr ，即l ＝(π－2)r .∵|α|＝l r＝π－2，∴α的弧度数是π－2， 从而S 扇形＝12lr ＝12(π－2)r 2. 8．设集合A ＝{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z }，B ＝{x |x 2≤36}，试求集合A ∩B .解：由集合A ＝{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z }，可知A ＝…∪[－9π4，－7π4]∪[－5π4，－3π4]∪[－π4，π4]∪[3π4，5π4] ∪[7π4，9π4]∪….由B ＝{x |x 2≤36}，可得B ＝{x |－6≤x ≤6}，在数轴上将两个集合分别作出，如下图．可得集合A ∩B ＝[－6，－7π4]∪[－5π4，－3π4]∪[－π4，π4]∪[3π4，5π4]∪[7π4，6]． [高考水平训练]1．在(－4π，4π)内与－58π7角的终边相同的角是________． 解析：首先写出与－587π角的终边相同的角的集合{α|α＝2k π－587π，k ∈Z }．然后再写出(－4π，4π)内的角α.★答案★：－16π7，－2π7，12π7，26π72．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数为________．解析：设圆的半径为r ，这段弧所对的圆心角为α，则正方形边长为2r ，则2r ＝r ·α，即α＝ 2.★答案★： 23．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求(1)AB ︵的长；(2)扇形所含弓形的面积．解：(1)∵120°＝120180π＝23π， ∴l ＝|α|·r ＝6×23π＝4π，∴AB ︵的长为4π. (2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π， 如图所示有S △OAB ＝12×AB ×OD (D 为AB 中点) ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3. ∴弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.∴弓形的面积是12π－9 3.4．将一条绳索绕在半径为40 cm 的轮圈上，绳索的下端处悬挂着物体B ，如果轮子按逆时针方向每分钟旋转6圈，现将物体B 的位置向上提升100 cm ，那么需要多长时间才能完成？解：如图，设将物体向上提升100 cm ，需要的时间为t s.当BB ′＝100 cm 时，AA ′︵的长是100 cm ，AA ′︵所对的圆心角∠AOA ′＝10040＝52(rad)． 因为轮子每分钟匀速旋转6圈，所以每秒匀速转过6×2π60＝π5(rad)．于是t s 转过π5t rad ，所以π5t ＝52，得t ＝252π≈4(s)．。
高中数学 第1章 三角函数 1.11.1.2 弧度制练习 苏教版
1.1.2 弧度制A 级 基础巩固一、选择题1．α＝－5 rad ，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：－5＝－2π＋(2π－5)， 因为0<2π－5<π2，所以α＝－5在第一象限． 答案：A2．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误． 答案：D3．一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B.π6 C.π3D ．π解析：因为弦长等于圆的半径，如图所示，则△ABC 为正三角形，所以弦所对的圆心角为π3.答案：C4．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A.403π B.203π C.2003π D.4003π 解析：240°＝240180π＝43π，所以弧长l ＝|α|·r ＝43π·10＝403π.答案：A5．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4 C.π4 D.3π4解析：令－11π4＝θ＋2k π(k ∈Z)，则θ＝－11π4－2k π(k ∈Z)，取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4；k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π4； k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π4>3π4. 答案：A6．若有一角和π3rad 角终边相同，则此角的集合可以表示为______________________________．答案：⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k ·2π＋π3，k ∈Z7.π12rad ＝________度，________rad ＝－300°. 解析：π12＝180°12＝15°，－300°＝－300×π180＝－5π3.答案：15 －5π38．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________． 解析：因为60°＝π3rad ，则扇形的面积S ＝12×π3·32＝32π.答案：32π9．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米； (2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．解析：(1)因为|α|＝1°＝π180，l＝1，所以r ＝l|α|＝1π180＝180π.(2)因为l＝1，|α|＝1，所以r ＝l|α|＝1.答案：(1)180π(2)110．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度．(1)求这个圆心角所对的弧长；(2)求这个扇形的面积．解：(1)如图所示，过O作OD⊥AB于点D，则D为AB的中点，所以AD＝12AB＝1，∠AOD＝12∠AOB＝1 rad，所以扇形的半径OA＝1sin 1.由弧长公式l＝|α|r，得l＝2×1sin 1＝2sin 1.(2)由扇形面积公式S＝12lr，得S＝12×2sin 1·1sin 1＝1sin21.B级能力提升11．集合M＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x＝kπ＋π4，k∈Z，N＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x＝kπ2＋π4，k∈Z，则有( ) A．M＝N B．M NC．M N D．M∩N＝∅解析：因为集合M是表示终边在第一、第三象限的角平分线上的角的集合．集合N是表示终边在第一、第三象限或第二、第四象限的角平分线上的角的集合，所以M N.答案：C12．在直径为10 cm 的轮上有一长为6 cm 的弦，P 为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒钟后P 转过的弧长为________．解析：P 到圆心O 的距离OP ＝52－32＝4(cm)，又点P 转过的角的弧度数α＝5×5＝25(rad)．所以弧长为α·OP ＝25×4＝100(cm)． 答案：100 cm13．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z，β∈[0，2π))的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)． 解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π.(2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ，又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9.14．已知扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40. 所以l ＝40－2r .所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm 2，这时θ＝lr＝40－2×1010＝2 rad. 15．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， 所以α＝∠AOB ＝60°＝π3.所以弧长l ＝a ·r ＝π3·10＝10π3.所以S 扇形＝12lr ＝12×10π3·10＝50π3.而S △AOB ＝12×AB ·53＝12×10×53＝5032，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.。
高中数学 第1部分 第1章 1.1 1.1.2 弧度制应用创新演练 苏教版必修4
【三维设计】高中数学 第1部分 第1章 1.1 1.1.2 弧度制应用创新演练 苏教版必修4一、填空题1．下列命题中，正确的序号是________．①1弧度是长度为半径的弧②大圆中1弧度角比小圆中1弧度的角大③1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角④圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等⑤长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度解析：由弧度的概念知，①⑤错误，③正确；角的大小与圆的半径无关，∴②不正确； ∵弧长l ＝α·r ，∴当α＝1时，l 扇＝ r (半径)．∴④不正确．答案：③2．若α＝－4，则α是第________象限角． 解析：∵－4×(180π)°≈－229°∴在第二象限． 答案：二3．半径为12 cm ，弧长为8π cm 的弧所对的圆心角为α，则与α终边相同的角的集合为________．解析：圆心角α＝l r ＝8π12＝2π3， ∴与α终边相同的角的集合为{β|β＝2k π＋2π3，k ∈Z}． 答案：{β|β＝2k π＋2π3，k ∈Z} 4．设0≤α<2π，将－1 485°表示成2k π＋α，k ∈Z 的形式是________． 解析：∵－1485°＝－5×360°＋315°而315°＝7π4， ∴－1485°＝2×(－5)π＋7π4. 答案：2×(－5)π＋74π 5．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________.解析：如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．答案：[－4，－π]∪[0，π]二、解答题6．设角α＝－570°，β＝3π5. (1)将α用弧度制表示出来，并指出它所在的象限；(2)将β用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它有相同终边的所有角． 解：(1)∵180°＝π rad，∴－570°＝－570×π180＝－19π6. ∴α＝－19π6＝－2×2π＋5π6. ∴α在第二象限．(2)∵β＝3π5＝3π5×180°π＝108°， 设θ＝k ·360°＋β(k ∈Z)．由－720°≤θ<0°，∴－720°≤k ·360°＋108°<0°.∴k ＝－2或k ＝－1.∴在－720°～0°间与β有相同终边的角是－612°和－252°. 7．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．解：(1)如图(1)所示，以OB 为终边的角为330°，可看作－30°，∵－30°＝－π6，75°＝5π12∴{θ|－π6＋2k π<θ<5π12＋2k π，k ∈Z}． (1)如图(2)所示，以OB 为终边的角为225°，可看作－135°，∵－135°＝－3π4，135°＝3π4， ∴{θ|－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z}． (3)如图(3)所示，∵30°＝π6，210°＝7π6， ∴{θ|π6＋2k π<θ<π2＋2k π，k ∈Z}∪{θ|7π6＋2k π<θ<3π2＋2k π，k ∈Z}＝{θ|π6＋2k π<θ<π2＋2k π，k ∈Z}∪ {θ|π6＋(2k ＋1)π<θ<π2＋(2k ＋1)π，k ∈Z} ＝{θ|π6＋k π<θ<π2＋k π，k ∈Z}． ∴{θ|π6＋k π<θ<π2＋k π，k ∈Z}即为所求． 8．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r ，∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2 ＝－(r －10)2＋100. ∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2(rad)．。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(1)课时训练(含解析)苏教版必修4(20
高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数（1）课时训练（含解析）苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数（1）课时训练（含解析）苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数（1）课时训练（含解析）苏教版必修4的全部内容。
1．2。
1 任意角的三角函数(一）课时目标1．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)定义.2。
熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号．1．任意角三角函数的定义设角α终边上任意一点的坐标为(x，y）,它与原点的距离为r，则sin α＝________，cos α＝________,tan α＝________。
2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号一、填空题1．若角α的终边过点P(5，－12），则sin α＋cos α＝________.2．点A（x，y）是300°角终边上异于原点的一点，则错误!的值为________．3．若sin α〈0且tan α〉0，则α是第____象限角．4．角α的终边经过点P（－b,4)且cos α＝－错误!，则b的值为________．5．已知x为终边不在坐标轴上的角，则函数f(x）＝错误!＋错误!＋错误!的值域是________．6．α是第一象限角，P（x，错误!)为其终边上一点且cos α＝错误!x,则x＝________。
7．已知α终边经过点（3a－9，a＋2)，且sin α〉0，cos α≤0，则a的取值范围为________．8．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．9．已知点P错误!落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为________．10．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α〈0，又P（m，n)是α终边上一点，且OP ＝错误!，则m－n＝________.二、解答题11．确定下列各式的符号:（1）tan 120°·sin 273°；(2)错误!；（3）sin 错误!·cos 错误!·tan 错误!π。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(2)课时训练(含解析)苏教版必修4(20
高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数（2）课时训练（含解析）苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数（2）课时训练（含解析）苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1．2。
1 任意角的三角函数（二)课时目标1．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.会用三角函数线比较三角函数值的大小．1．三角函数的定义域正弦函数y＝sin x的定义域是________；余弦函数y＝cos x的定义域是________;正切函数y＝tan x的定义域是________________．2．三角函数线如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM,垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线（或反向延长线）于T点．单位圆中的有向线段________、________、________分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.一、填空题1。
如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是________．①正弦线PM,正切线A′T′;②正弦线MP，正切线A′T′；③正弦线MP,正切线AT；④正弦线PM，正切线AT.2．角α（0〈α<2π)的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异，那么α的值为________．3．在[0，2π]上满足sin x≥错误!的x的取值范围为______．4．利用正弦线比较sin 1,sin 1.2，sin 1.5的大小关系是________(用“>”连接)．5．集合A＝[0,2π]，B＝｛α｜sin α〈cos α｝，则A∩B＝________________。
高中数学 第一章 三角函数 1.1 弧度制(2)学案(无答案)苏教版必修4(2021年整理)
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弧度制02使用时间：【课前检测】1、特殊角的度数与弧度数的对应。
度数弧度数2、若角3=α，则角α的终边在第____象限；若6-=α，则角α的终边在第___象限.【新课学习】 一、学习目标1． 掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题 2． 了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系二、知识点归纳1．角的概念推广后，在弧度制下， ________________与______________之间建立起一一对应的关系：每个角都有唯一的一个实数（即_______________)与它对应；反过来，每一个实数也都有________________（即_______________)与它对应。
2．弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：角α的弧度数的绝对值||α=______________ （l 为弧长,r 为半径） 弧长公式：____________________________ 扇形面积公式：____________________________ 三、典型例题例1．（1）已知扇形的周长为cm 8，圆心角为rad 2，求该扇形的面积。
（2）已知扇形周长为cm 4，求扇形面积的最大值,并求此时圆心角的弧度数。
高中数学 第一章 三角函数 1.1 弧度制(2)课时作业(无答案)苏教版必修4(2021年整理)
江苏省淮安市高中数学第一章三角函数1.1 弧度制（2）课时作业（无答案）苏教版必修4
编辑整理：
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弧度制02 班级 姓名 成绩 1．若将时钟拨慢5分钟,则分针转了_________度,时针转了_________度．
2．圆的半径变为原来的12
，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍．
3。
12π= , 330-= ．
4.在[)0,2π上与116
π-
终边相同的角是 ． 5．若角5α=,则α是第 象限角．
6．在以原点为圆心,半径为１的单位圆中,一条弦AB 的长度为3，AB 所对的圆心角α的弧度数为 ．
7。
在直径为20cm 的圆中，求下列各圆心角所对的弧长:
（1）
23
π; (2）135．
8．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，求这个圆心角所夹的扇形的面积．。
高中数学 第1章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数课后导练 苏教版必修4(2021年整理)
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修4基础达标1。
若sinα＞0,且tanα＜0,则角α是（ )A 。
第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角解析：sinα＞0,则α在一、二象限，而tanα＜0，α在二、四象限,所以角α在第二象限. 答案：B2.设角α的终边过点P （—6a ，-8a ）（a≠0），则sinα—cosα的值是（ ）A 。
51B 。
—51C 。
—51或57- D.-51或51 解析：由三角函数定义sinα—c osα=51||102)8()6(6822±=-=-+-+-a a a a a a . 答案:D 3.已知角α的终边经过点P （-3，2），则角α的正弦、正切值分别是（ ）A 。
32,13132-- B.13133，—23 C.13132,32- D.13132，32 解析：x=-3,y=2，∴r=13， ∴sinα=13132132==r y ， tanα=32-=x y . 答案：C4。
若sinθ·cosθ＞0，则θ在（ ）A 。
第一、二象限B 。
第一、三象限C 。
第一、四象限D 。
第二、四象限 解析：∵sinθ·cosθ＞0,∴⎩⎨⎧>>0cos ,0sin θθ或⎩⎨⎧<<.0cos ,0sin θθ∴θ在第一象限或第三象限，∴应选B.答案:B5.若θ是第三象限角且3cos 3cos 2θθ-=，则3θ角所在象限是( ） A 。
高中数学第1章三角函数1_1_2弧度制课后导练苏教版必修4
高中数学 第1章 三角函数 1.1.2 弧度制课后导练 苏教版必修4 基础达标 1.58π弧度化为角度是（ ） A.278° B.280° C.288° D.318° 解析：58π×π︒180=288°. 答案：C2.若α=6弧度，则α是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 解析：∵6×π︒180=343.8°, ∴23π＜6＜2π. 答案：D3.半径为3 m 的圆中，有一条弧的长度是2πm ，此弧所对的圆周角是（ ） A.30° B.15° C.40° D.120°解析：∵r=3,l=2π,|α|=r l =6π. ∴圆周角21|α|=12π. 即12π×π︒180=15°. 答案：B4.若α是第四象限角，则π-α是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 解析：∵α是第四象限角.∴2kπ-2π＜α＜2kπ,k∈Z . ∴-2kπ＜-α＜-2kπ+2π,k∈Z . ∴-2kπ+π＜π-α＜-2kπ+23π,k∈Z . ∴π-α是第三象限角.答案：C5.将-1 485°化成α+2kπ(0≤α＜2π,k∈Z )的形式是（ ） A.4π-8π B.47π-8π C.-4π-10π D.47π-10π 解析：-1 485°=-1 440°-45°=-8π-4π =-10π+(2π-4π)=-10π+47π.故选D.答案：D6.半径为2的圆中，3π弧度圆周角所对的弧长是_____________，长为2的弧所对的圆心角的弧度是__________________.解析：由l=dr 计算得出结果. 答案：34π 1 7.若三角形三内角之比为3∶5∶7，则三内角的弧度数分别是______________.解析：由平面几何知识知道三内角和为π,设为3x 、5x 、7x ，则3x+5x+7x=π,其余略. 答案：5π;3π;π157 8.所有与1273π终边相同的角的集合是什么？求不等式0＜1273π+kπ＜2π的整数解，并在0—2π范围内求出与1273π终边相同的角. 解析：与1273π终边相同角的集合{α|α=1273π+2kπ,k∈Z }， 0＜1273π+kπ＜2π的整数解为k=-6,-5. 由α=1273π+2kπ,k∈Z 知, 当k=-3时，α=12π,在0—2π范围内. 答案：{α|α=1273π+2kπ,k∈Z }；-6,-5; 12π. 9.已知两角的和为1弧度，此两角的差为1°，求此两角各是多少弧度？解：设两角分别是α弧度、β弧度. 由题知⎪⎩⎪⎨⎧︒⨯︒=-=+)2(1801)1(1πβαβα 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+.180,1πβαβα 联立求解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=.)36021(,)36021(弧度弧度πβπα 10.已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm 2,求扇形圆心角的弧度数.解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π),弧长为l,半径为r.依题意有⎪⎩⎪⎨⎧==+)2(421)1(102lr r l ①代入②得r 2-5r+4=0,解之得r 1=1,r 2=4.当r=1时，l=8(cm),此时，θ=8 rad＞2π rad 舍去.当r=4时，l=2(cm),此时,θ=2142=rad. 综合运用 11.集合A={α|α=3πk ,k∈Z },B={α|-π≤α＜π},则A∩B 等于（ ） A.{0，3π，32π，π，34π，35π} B.{3π，32π，π，34π} C.{-π，-32π，-3π，0，3π，32π} D.{-32π，-3π，0，3π，32π} 解析：在A 中分别取k=-3,-2,-1,0,1,2即可.答案：C12.圆弧长等于其内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ） A.3π B.32π C.3 D.2 解析：作图，易知△ABC 为⊙O 内接正三角形，∠ABC=∠DOC=60°.设r=2, ∴DC=3,则边长为AC=23. ∴|α|=rl ,|α|=3. 答案：C13.在直径为10 cm 的轮上有一长6 cm 的弦，P 是弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 秒钟后，点P 转过的弧长是_______________.解析：设圆心为O ，弦AB 中点为P ，则AB=6 cm,OA=OB=5 cm ，∵OP⊥AB, ∴OP=222235)2(-=-AB OB =4 cm. 5秒钟后P 点转过的弧度α=5×5=25 弧度.∴经过5秒钟，P 点经过的弧长是l=α·|OP|=100 cm.答案：100 cm14.已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形所含弓形的面积为_________________. 解析：由条件求出扇形的面积与对应的三角形面积，两者相减得到弓形的面积. 答案：12π-9315.(1)在已知圆内，∠AOB=1弧度，它所对的弦长为2，则∠AOB 所对弧长为多少？（2）扇形OAB 的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm ，求它的圆心角和弦AB 的长.解：(1)如图所示，由圆心O 向弦AB 作垂线，垂足为C ，则C 为AB 的中点，∠AOB=1弧度，AB=2. ∴R=弧长， ∠AOC=21，AC=1， 在Rt△AOC 中，sinAOC=OA CA ，即 OA==21sin 1弧长.∴弧长为21sin 1.(2)令的长度为l.则l=4-2r.∵S 扇形=21lr ， ∴21（4-2r ）r=1. ∴r=1,l=2.设∠AOB=α弧度， 则α=r l =2弧度.过O 作O H⊥AB 于H ， 则AB=2AH=2rsin1=2sin1(cm).∴扇形OAB 的圆心角为2弧度，弦AB 的长为2sin1 cm.拓展探究 16.已知集合M={x|x=2πk +4π,k∈Z },P={x|x=4πk +2π,k∈Z },判断集合M 、P 之间关系. 解：对于集合M={x|x=2πk +4π,k∈Z }. ∴x=2πk ,k∈Z 表示终边落在坐标轴上的角. ∴角x=2πk +4π,k∈Z 表示终边落在直线y=±x 上的角. 对于集合P={x|x=4πk +2π,k∈Z }. ①当k=4n(n∈Z )时， x=4πk +2π=44πn +2π=nπ+2π,表示终边落在y 轴上的角. ②当k=4n+1(n∈Z )时， x=4πk +2π=4)14(π++2π=nπ+43π,表示终边落在直线y=-x 上的角. ③当k=4n+2（n∈Z ）时， x=4πk +2π=24)24(ππ++n =nπ+π,表示终边落在x 轴上的角. ④当k=4n+3(n∈Z )时x=4πk +2π=24)34(4)34(πππ++++n n =nπ+45π,表示终边落在直线y=x 上的角，综合以上可知，MP.。
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1.1.2 弧度制5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做_______________的角，以弧度为单位来度量角的制度叫_______________. 答案：1弧度 弧度制2.把-38π化成度是( ) A.-960° B.-480° C.-120° D.-60° 思路解析：-38π=-38×180°=-480°. 答案：B3.在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为3πcm ，它所对的圆心角为( ) A.6π B.3πC.2πD.32π思路解析：设圆心角为θ，则θ=23π=6π.答案：A 4.已知α=-689π，则α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 思路解析：-689π=-16π+67π，故-689π与67π终边相同.答案：C10分钟训练（强化类训练，可用于课中） 1.下列各角中与127π终边相同的角为( ) A.435° B.465° C.225° D.-435° 思路解析：127π=7×15°=105°. 435°=360°+75°，465°=360°+105°，225°=360°-135°，-435°=-360°+（-75°）. 答案：B2.直径为4 cm 的圆中，36°圆心角所对的弧长是( )A.54πcm B.52πcm C.3πcm D.2πcm思路解析：l=r ·α，α=36°=5π，r=2 cm ，代入计算可得l=r ·α=2·5π=52πcm.答案：B3.终边在第三象限的角的集合为_______________.思路解析：在0°—360°间，终边在第三象限的角θ满足180°＜θ＜270°.由终边相同角的意义，知第三象限角α的范围可表示为k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°，k ∈Z 或2k π+π＜α＜2k π+23π，k ∈Z . 答案：{α|k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°，k ∈Z ＝＝}}}或{α|（2k+1）π＜α＜2k π+23π，k ∈Z 4.一时钟分针长3 cm ，经过20 min ，分针外端点转过的弧长为_______________. 思路解析：分针转过的圆心角为α=6020·2π=32π，所以分针转过的弧长为l=α·r=32π·3=2π（cm ）. 答案：2π cm5.已知（4k+1）π<α<（4k+1）π+3π，k ∈Z ，试问4α是第几象限角？ 解：∵（4k+1）π＜α＜（4k+1）π+3π，k ∈Z ，则k π+4π＜4α＜k π+3π，k ∈Z .当k 为偶数，即k=2n ，n ∈Z 时，2n π+4π＜4α＜2n π+3π，故4α为第一象限角；当k 为奇数，即k=2n+1，n ∈Z 时，2n π+45π＜4α＜2n π+34π，故4α为第三象限角.综上，4α为第一象限或第三象限角.6.已知扇形周长是6 cm ，面积为2 cm 2，则扇形圆心角的弧度数是多少？解：设扇形半径为r ，弧长为l ，由⎪⎩⎪⎨⎧=••=+,221,62r l r l 解得⎩⎨⎧==4,1l r 或⎩⎨⎧==.2,2l r又由α=rl，所以α=4或1. 7.如图1-1-1，弓形弦长AB=3 cm ，它所对应的圆周角为3π，则此弓形的面积是多少？图1-1-1解：作OH ⊥AB 于点H.由∠ACB=3π，则∠AOB=32π，AH=23，OH=23tan 6π=23×33=23.故S △AOB =21 AB ·OH=433.OA=2·OH=3，α=2π-32π=34π，故S 扇形ACB =21·α·OA 2=21×34π×3=2π.所以弓形面积S=S △AOB +S 扇形ACB =433+2π（cm 2）.8.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿.（1）当大轮转一周时小轮转动的角是多少度？是多少弧度? （2）如果大轮的转速为180 r/min ，小轮的半径为10.5 cm ，那么小轮周上一点每秒转过的弧长是多少？解：（1）当大轮转一周时，小轮转2048=2.4周，即小轮转2.4×360°=864°，合524πrad. （2）大轮转速为180 r/min ，则小轮转速为每分180×512=432 r ，每秒转角为432×602π=572π. 故小轮周上一点每秒转过的弧长为572π×10.5=151.2π cm.志鸿教育乐园同理可证 爸爸：“小明，考你一道题，树上有两只鸟，打死一只，还有几只？” 小明：“一只.” 爸爸：“笨蛋，那只鸟还不被吓跑了！再问你一道简单的问题，如果答不对，小心屁股！听着，屋里只有你一个人，现在爸爸进来了，一共有几个人？” 小明：“一个。
” 爸爸：“怎么还是一个？” 小明：“我被吓跑了！”30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.已知α=9 rad ，β=10 rad ，下面关于α和β的说法中正确的是( ) A.都是第一象限角 B.都是第二象限角C.分别是第二象限和第三象限角D.分别是第三象限和第四象限角 思路解析：由1 rad ≈57°18′，故57°＜1 rad ＜58°.所以513°＜9 rad ＜522°，即360°+153°＜9 rad ＜360°+162°，因此9 rad 是第二象限角.同理,570°＜10 rad ＜580°，360°+210°＜10 rad ＜360°+220°.因此10 rad 是第三象限角. 答案：C2.集合A={α|α=k π+（-1）k3π，k ∈Z }，B={α|α=k π±3π，k ∈Z }，则A 与B 的关系是( ) A.A=B B.AB C.A B D.A ≠B思路解析：A={α|α=k π+（-1）k·3π，k ∈Z }={α|α=2n π+3π，n ∈Z }∪{α|α=2n π+32π，n ∈Z }，B={α|α=k π±3π，k ∈Z }={α|α=2n π+3π，n ∈Z }∪{α|α=2n π-3π，n ∈Z }∪{α|α=2n π+34π，n ∈Z }∪{α|α=2n π+32π，n ∈Z }.故A B. 答案：B3.一条弦的长度等于半径r ，则这条弦所对的圆心角及劣弧长为( )A.1，rB.3π，3πr C.2π，2πr D.6π，6πr 思路解析：弦AB=r ，圆心为O ，△AOB 为正三角形，∠AOB=60°=3π，故劣弧长为3πr. 答案：B 4.已知2k π+32π<α<2k π+65π（k ∈Z`），则2α为( )A.第一或第二象限角B.第一或第三象限角C.第二或第三象限角D.第三或第四象限角思路解析：由2k π+32π＜α＜2k π+65π，得k π+3π＜2α＜k π+125π（k ∈Z ）.当k 为偶数时，设k=2n （n ∈Z ），2n π+3π＜2α＜2n π+125π，2α为第一象限角；当k 为奇数时，设k=2n+1（n ∈Z ），2n π+34π＜2α＜2n π+π+125π，2α为第三象限角.可画图表示.答案：B5.已知角α的终边经过点P （-1，-1），则角α为( )A.α=k π+45π（k ∈Z ） B.α=2k π+43π（k ∈Z ） C.α=k π+4π(k ∈Z ) D.α=2k π-43π（k ∈Z ） 思路解析：由终边过点P(-1,-1),知α为第三象限角,且在(-2π,0)上,α=-43π。
故由终边相同的角，得α=2k π-43π（k ∈Z ）.选D. 答案：B6.若角α是钝角，x ∈{θ|θ=k ·180°+α，k ∈Z }，则x 是( ) A.第二象限角 B.第三象限角C.第二象限角或第三象限角D.第二象限角或第四象限角思路解析：x ∈{θ|θ=k ·180°+α，k ∈Z }，当k 为偶数时，设k=2n ，n ∈Z ，则x=n ·360°+α，90°＜α＜180°；当k 为奇数时，设k=2n+1，n ∈Z ，则x=n ·360°+（180°+α），270°＜α+180°＜360°.所以x 为第二象限或第四象限角. 答案：D7.如果α是第三象限角，β是第四象限角，则2βα-是_______________象限角.思路解析：α是第三象限角，故2k π+π＜α＜2k π+23π，k ∈Z .β是第四象限角，故2n π+23π＜β＜2n π+2π，n ∈Z ，-2n π-2π＜-β＜-2n π-23π. 所以（k-n ）π-2π＜2βα-＜（k-n ）π.令k-n=m ，即m π-2π＜2βα-＜m π，把整数m 分奇偶进行讨论即得.答案：第二或第四 8.已知集合A={α|α=43πk ，k ∈Z }，B={α=65πk ，k ∈Z 且|k|≤10}，求与集合A ∩B 中终边相同的角的集合.解：设α∈A ∩B ，则α∈A 且α∈B ，即存在k 1∈Z ，k 2∈Z 且|k 2|≤10，使得α=431πk 且α=652πk .由431πk =652πk ，即9k 1π=10k 2π，得k 1=910k 2.所以⎩⎨⎧==0,021k k 或⎩⎨⎧-=-=9,1021k k 或⎩⎨⎧==.9,1021k k因此α=0，-215π，215π, 即A ∩B={0，-215π，215π}.所求与A ∩B 中终边相同的角的集合为{α|α=2k π，k ∈Z }∪{α|α=2k π-215π，k ∈Z }∪{α|α=2k π+215π，k ∈Z }. 9.如图1-1-2，扇形周长为a ，试问当扇形中心角α和半径各取何值时，扇形面积最大？图1-1-2解：设扇形弧长为l，半径为r，则扇形面积S=21l·r.又l+2r=a ，S=21（a-2r）·r=-r2+21ar=-（r-41a）2+162a.故当r=4a时，扇形面积有最大值，S max=162a.由l=a-2r=2a及α=rl，得此时扇形中心角α=42aa=2（rad）.10.已知集合A={α|2kπ+4π≤α≤2kπ+π，k∈Z}，B={α|2kπ-4π<α<2kπ+2π}，求A ∩B和A∪B.解：利用图形，在坐标系中画出集合A和B，则A∩B={α|2kπ+4π≤α＜2kπ+2π，k∈Z＝，A∪B={α|2kπ-4π＜α≤2kπ+π，k∈Z＝.11.用弧度制表示，并分别写出:（1）终边在x轴上的角的集合；（2）终边在y轴上的角的集合.解：（1）终边在x轴上的角的集合为{α|α=2kπ，k∈Z}∪{α|α=2kπ+π，k∈Z}={α|α=kπ，k∈Z}.（2）终边在y轴上的角的集合为{α|α=2kπ+2π，k∈Z}∪{α|α=2kπ+23π，k∈Z}={α|α=kπ+2π，k∈Z}.12.已知α、β满足3π≤α+β≤34π，-32π≤α-β≤-3π，求2α-β的范围.解：由2α-β=21（α+β）+23（α-β），而6π≤21（α+β）≤32π，-π≤23（α-β）≤-2π，以上两式相加即得-65π≤2α-β≤6π.13.已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是r.（1）若α=60°，r=10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； （2）若扇形的周长是一定值C （C>0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α=60°=3π，r=10， ∴l=310π（cm ），S 弓=S 扇-S △=21·310π·10-21·102·sin60°=50（3π-23）cm 2. （2）∵扇形周长C=2r+l=2r+αr ， ∴r=α+2C. ∴S 扇=21α·r 2=21α（α+2C ）2=22C α·2441αα++=22C ·αα441++=22C ·2)2(1αα+≤162C . ∴当且仅当α=α2，即α=2时，扇形面积有最大值162C .。