对称问题

答案： 41 （
17
， 0）
夯实基础
1.（2004 年全国卷Ⅱ，4）已知圆 C 与圆（x－1）2+y2=1 关于直线 y=－x 对称， 则圆 C 的方程为( ) A.（x+1）2+y2=1 B.x2+y2=1 C.x2+（y+1）2=1 D.x2+（y－1）2=1
C
2 .与直线 x+2y－1=0 关于点（1，－1）对称的直线方程为( A.2x－y－5=0 B.x+2y－3=0 C.x+2y+3=0 D.2x－y－1=0
可求出 x′、y′ .
y y0 x x0 =k· +b， 2 2
特殊地，点 P（x0，y0）关于直线 x =a 的对称点为 P′（2a－x 0，y0） ；
点 P（x0，y0）关于直线 y=b 的对称点为 P′（x0，2b－y0）
基础练习
1 .已知点 M（a，b）与 N 关于 x 轴对称，点 P 与点 N 关于 y 轴对称， 点 Q 与点 P 关于直线 x+y=0 对称，则点 Q 的坐标为 ( ) A.（a，b） B.（b，a） C.（－a，－b） D.（－b，－a）
3x－y+3=0 4. 点 A（4，5）关于直线 l 的对称点为 B（－2，7） ，则 l 的方程为____________.
5 .设直线 x+4y－5=0 的倾斜角为θ ，则它关于直线 y－3=0 对称 π －θ 的直线的倾斜角是____________.
典例剖析
【例1】 求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b 的方程
5. 已知△ABC 的一个顶点 A（－1，－4） ，∠B、∠C 的平分线所在直线的方程分别 为 l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，则边 BC 所在直线的方程为_________________. x+2y－3=0
1. 若抛物线 y=2x2 上的两点 A（x1，y1） 、B（x2，y2）关于直线 y=x+m 对称且 x1x2=－
典例剖析
【例3】 已知点M（3，5），在直线l：x－2y+2=0和y轴上各找 一点P和Q，使△MPQ的周长最小. y M M2 l Q P M1
O
x
不妨再试试这个小题： 已知点A（1，3）、B（5，2），在x轴上找一点P， 使得|PA|+|PB|最小，则最小值为____________，P点的坐标为____________.
B
作者：张文 何宪丽 卜聪
基础练习
3 .已知直线 l1：x+my+5=0 和直线 l2：x+ny+p=0， 则 l1、l2 关于 y 轴对称的充要条件是( ) A.
5 p = m nБайду номын сангаас
C
B .p=－5
C. m=－n 且 p=－5
D
1 1 =－ 且 p=－5 n m
解析：直线 l1 关于 y 轴对称的直线方程为（－ x）+my+5=0， 即 x－my－ 5=0，与 l2 比较，∴ m=－ n 且 p=－5.反之亦验证成立 .
1.点关于点成中心对称的对称
设 P（ x0，y 0） ，对称中心为 A（ a， b） ， 则 P 关于 A 的对称点为 P ′（ 2a－ x0， 2b－ y 0）.
2.点关于直线成轴对称问题
设点 P（x0，y0）关于直线 y=kx+b 的对称点为 P′（x′，y′） ，则有
y y0 · k=－ 1， x x 0
常见结论.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y）；
（2）点（x，y）关于y轴的对称点为（－x，y）；
（3）点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y）； （4）点（x，y）关于直线x－y=0的对称点为（y，x）； （5）点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（－y，－x）
剖析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质： （1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线； （2）若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上;
8
6
3x+4y-1=0
4
2x+y-4=0
2
-10
-5
5
10
-2
-4
-6
典例剖析
【例2】 光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴 反射，光线经过点 B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.
1 ，求 m 的值. 2
2 直线 l 经过点（1，1） ，若抛物线 y2=x 上存在两点关于直线 l 对称， 求直线 l 斜率的取值范围.
C
)
3. 两直线 y= 4.
3 x+ 3 y － 2=0 或 3x－ 3 y － 2=0 x 和 x=1 关于直线 l 对称，直线 l 的方程是____________. 3
直线 2x－y－4=0 上有一点 P，它与两定点 A（4，－1） 、B（3，4）的 （5，6） 距离之差最大，则 P 点的坐标是____________.