2020届新高考艺术生数学复习冲关训练：第三章第3节三角函数的图象与性质

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高考数学总复习第三章第3讲三角函数的图象与性质课件理

考点2 三角函数的对称性
例2：(1)函数y＝cos2x＋π3图象的对称轴方程可能是(
)
A．x＝－π6
B．x＝－1π2
C．x＝6π
D．x＝1π2
解析：(1)令2x＋
π 3
＝kπ(k∈Z)，得x＝
kπ 2
－
π 6
(k∈Z)，令k＝
0，得该函数的一条对称轴为x＝－6π.
答案：A
(2)函数y＝sin3x－4π的图象的一ห้องสมุดไป่ตู้对称中心是(
(0,0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)． (2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1)．
2．三角函数的图象和性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
定义域
R
R
y＝tanx
x|
xk2,kZ
图象
值域
[－1,1]
2．使 cosx＝1－m 有意义的 m 值为( C )
A．m≥0
B．m≤0
C．0≤m≤2
D．－2≤m≤0
3．(2013 年上海)既是偶函数又在区间(0，π)上单调递减的
函数是( B )
A．y＝sinx
B．y＝cosx
C．y＝sin2x
D．y＝cos2x
4．函数 y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为( B )
【规律方法】本题主要考查函数 y＝Asin(wx＋φ)的图象特征，正弦函数的值域与最值.解题关键在于将已知的函数表达式化为三角函数模型，再根据此三角函数模型的图象与性质进行解题即可.
【互动探究】 3．已知函数 f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.

【金版教程】届高考数学总复习第3章第3讲三角函数的图象与性质课件理新人教A版

求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间，基
本思路是把ωx＋φ看作一个整体，由－
π 2
＋2kπ≤ωx＋φ≤
π 2
＋
2kπ(k∈Z)求得函数的增区间，由
π 2
＋2kπ≤ωx＋φ≤
3π 2
＋2kπ(k
∈Z)求得函数的减区间．若在y＝Asin(ωx＋φ)中，ω<0，则应
先利用诱导公式将解析式转化，使x的系数变为正数，再进行
(1)y＝cos(x＋π3)(x∈[0，π])的值域________． (2)y＝tan(4π－x)的单调递减区间__________.
1.f(x＋T)＝f(x) 最小最小正周期
想一想：提示：f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x＋4)
＝f(x)，所以f(x)是周期为4的函数．
____
________
________
____
y＝tanx
无最值
____ ________ 无对称轴
____
判断以下命题的正误． ①y＝sinx在第一象限是增函数．( ) ②y＝cosx在[0，π]上是减函数．( ) ③y＝tanx在定义域上为增函数．( ) ④y＝|sinx|的周期为2π.( ) ⑤y＝ksinx＋1，x∈R则y的最大值为k＋1.( )
Z)
π＋2kπ(k∈Z)
奇
偶
奇
(kπ，0)，k∈Z
(kπ＋
π 2
，
0)，k∈Z
(
kπ 2
，0)，k∈Z
x＝kπ＋
π 2
，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
2π 2π π
判一判：①× ②√ ③× ④× ⑤×

2020新课标高考艺术生数学复习教师用书：第三章第3节三角函数的图象与性质

第3节　三角函数的图象与性质最新考纲核心素养考情聚焦1.能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，正切函数在上的性(－π2，π2)质1.三角函数的定义域与值域(最值)，达成直观想象和数学运算的素养．2.三角函数的单调性，增强逻辑推理和数学运算的素养．3.三角函数的周期性、奇偶性和对称性，提升逻辑推理和数学运算的素养三角函数的奇偶性、周期性、单调性及最值是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型，通常与三角恒等变换相结合，在考查三角函数性质的同时，又考查了三角恒等变换的方法与技巧．考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sinx ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，(π2，1)，(2π，0)．(3π2，－1)余弦函数y ＝cosx ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，(π2，0)，(2π，1)．(3π2，0)2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域R R Error!Error!　值域　[－1,1] [－1,1]　R 周期性2π　2π π　奇偶性　奇函数　偶函数奇函数递增区间　Error!Error! [2k π－π，2k π]Error!Error!递减区间　Error!Error!　[2k π，2k π＋π]　无对称中心　(k π，0)　　(k π＋π2，0)(k π2，0)对称轴方程x ＝k π＋π2　x ＝k π　无　若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝＋k π(k ∈Z )；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)π2为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )．[思考辨析]　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数y ＝sin x 的图象介于直线y ＝1与y ＝－1之间．( )(2)将余弦曲线向右平移个单位就得到正弦曲线．( )π2(3)函数y ＝sin是奇函数．( )(2x ＋3π2)(4)函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝2k π＋(k ∈Z )．( )π2(5)正切函数在整个定义域内是增函数．( )答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×[小题查验]1．(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin的最小正周期为( )(2x ＋π3)A ．4π B ．2π C ．π D.π2解析：C [函数f (x )＝sin的最小正周期为T ＝＝π.](2x ＋π3)2π22．(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )π2(π4，π2)A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |解析：A [函数y ＝cos 2x 的周期为π，∴函数f (x )＝|cos 2x |的周期为，当＜x ＜时，π2π4π2＜2x ＜π，y ＝cos 2x 递减且为负值，π2∴函数f (x )＝|cos 2x |在区间上单调递增．](π4，π2)3．已知函数f (x )＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )(ωx ＋π3)A ．关于直线x ＝对称 B ．关于点对称π3(π3，0)C ．关于直线x ＝－对称 D ．关于点对称π6(π6，0)解析：B [∵f (x )＝sin(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin .(ωx ＋π3)(2x ＋π3)经验证可知f ＝sin＝sin π＝0，(π3)(2π3＋π3)即是函数f (x )的一个对称点．](π3，0)4．函数y ＝tan的图象与x 轴交点的坐标是________．(2x ＋π4)解析：由2x ＋＝k π(k ∈Z )得，x ＝－(k ∈Z )．∴函数y ＝tan的图象与x 轴交点π4k π2π8(2x ＋π4)的坐标是.(k π2－π8，0)答案：(k ∈Z )(k π2－π8，0)5．[人教A 版教材P46A 组T2改编]y ＝3sin在区间上的值域是________．(2x －π6)[0，π2]解析：当x ∈时，2x －∈，[0，π2]π6[－π6，5π6]sin ∈，故3sin ∈，即y ＝3sin 的值域为.(2x －π6)[－12，1](2x －π6)[－32，3](2x －π6)[－32，3]答案：[－32，3]考点一　三角函数的定义域、值域问题(自主练透)[命题角度1]　三角函数的定义域问题(1)函数y ＝的定义域为__________．sin x －cos x (2)函数y ＝lg(sin 2x )＋的定义域为______________________________________．9－x 2解析：(1)法一(利用三角函数图象)：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以函π45π4数y ＝的定义域为{x |2k π＋≤x ≤2k π＋，k ∈Z }．sin x －cos x π45π4法二(利用三角函数线)：画出满足条件sin x ≥cos x 的角x 的终边范围(如图阴影部分所示)，∴函数y ＝的定义域为{x |2k π＋≤x ≤2k π＋，k ∈Z }．sin x －cos x π45π4法三(利用整体思想)：sin x －cos x ＝sin≥0，将x －视为一个整体，由正弦函数2(x －π4)π4y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －≤π＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋≤x ≤2k π＋，k ∈Z .所π4π45π4以函数y ＝的定义域为{x |2k π＋≤x ≤2k π＋，k ∈Z }．sin x －cos x π45π4(2)由Error!得Error!∴－3≤x ＜－，或0＜x ＜.π2π2∴函数y ＝lg(sin 2x )＋的定义域为Error!.9－x 2答案：(1){x |2k π＋≤x ≤2k π＋，k ∈Z }π45π4(2)Error!求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解．[命题角度2]　三角函数的值域(最值)问题(1)(2019·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin－3cos x 的最小值为________．(2x ＋3π2)(2)函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域为____________．解析：(1)f (x )＝sin －3cos x ＝－cos 2x －3cos x ，(2x ＋3π2)∴f (x )min ＝－4.(2)设t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝(－≤t ≤)，y ＝t ＋t 2－＝(t ＋1)2－1.t 2－1222121212当t ＝时，y 取最大值＋；当t ＝－1时，y 取最小值－1.2212∴函数的值域为.[－1，12＋2]答案：(1)－4(2)[－1，12＋2]1．求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．考点二　三角函数的单调性(师生共研)[典例]　(1)y ＝sin 的单调递减区间为________．(π3 －2x )[解析]　y ＝－sin的减区间是(2x －π3)y ＝sin的增区间．(2x －π3)由2k π－≤2x －≤2k π＋，k ∈Z ，π2π3π2得k π－≤x ≤k π＋，k ∈Z .π125π12故所给函数的减区间为，k ∈Z .[k π－π12，k π＋5π12][答案]　，k ∈Z[k π－π12，k π＋5π12](2)若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω＞0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是[－π2，2π3]____________．逻辑推理——三角函数单调性中应用的核心素养具体见下表：信息提取信息解读逻辑推理已知f (x )＝2sin ωx ＋1(ω＞0)在区间上是增函数[－π2，2π3]解读一：是函数f (x )[－π2，2π3]单调递增区间的子区间．解读二：ωx 的取值范围是的子区间．[－π2，π2]解读三：原点到区间两端点的距离不超[－π2，2π3]过T4求参数ω的取值范围建立关于ω的不等式组推理一：由函数y ＝sin x 在区间[2k π－π2，2k π＋π2]上单调递增，求得f (x )＝2sin ωx ＋1(ω＞0)的单调递增区间．推理二：由不等式的基本性质求出ωx 的取值范围．推理三：由正弦函数y ＝sin x 的图形与性质知原点到区间两端点的距离等于[－π2，π2]T 4[解析]　方法一：第一步，求出f (x )＝2sin ωx ＋1(ω＞0)的单调递增区间．由2k π－≤ωx ≤2k π＋，k ∈Z ，π2π2得f (x )的增区间是，k ∈Z .[2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω]第二步，转化为集合之间的关系，即是函数f (x )单调递增区间的子区间．[－π2，2π3]∵f (x )在上是增函数，[－π2，2π3]∴⊆.[－π2，2π3][－π2ω，π2ω]第三步，利用数轴，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围．∴－≥－且≤，∴ω∈.π2π2ω2π3π2ω(0，34]方法二：第一步，由x 的取值范围求出ωx (ω＞0)的取值区间．∵x ∈，ω＞0.∴ωx ∈，[－π2，2π3][－ωπ2，2πω3]第二步，由f (x )在区间上是增函数得ωx (ω＞0)的取值区间是的子区间．[－π2，2π3][－π2，π2]又f (x )在区间上是增函数，[－π2，2π3]∴⊆，[－ωπ2，2πω3][－π2，π2]第三步，利用数轴，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围．则Error!又ω＞0，得0＜ω≤.34方法三：第一步，由f (x )在区间上是增函数得原点到区间端点的距离不[－π2，2π3][－π2，2π3]超过.T 4∵f (x )在区间上是增函数，故原点到区间端点的距离不超过，[－π2，2π3]T 4第二步，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围．所以Error!得T ≥，即≥.又ω＞0，得0＜ω≤.8π32πω8π334[答案]　ω∈(0，34][互动探究]在本例(1)中函数不变，求函数在[－π，0]上的单调递减区间．解析：法一：x ∈R 时，y ＝sin 的减区间为，k ∈Z .令k ＝0得(π3－2x)[k π－π12，k π＋5π12]－≤x ≤；π125π12令k ＝－1得－≤x ≤－，13π127π12故x ∈[－π，0]时，y ＝sin 的减区间为(π3－2x )，.[－π，－7π12][－π12，0]法二：因为－π≤x ≤0，所以－π≤2x －≤－，结合正弦曲线，73π3π3由－π≤2x －≤－π，解得－π≤x ≤－π；73π332712由－≤2x －≤－，解得－≤x ≤0，π2π3π3π12所以单调减区间为，.[－π，－7π12][－π12，0]求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图象法：函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间．　提醒：求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．[跟踪训练]1．函数f (x )＝tan的单调递增区间是( )(2x －π3)A.(k ∈Z )[k π2－π12，k π2＋5π12]B.(k ∈Z )(k π2－π12，k π2＋5π12)C.(k ∈Z )(k π＋π6，k π＋2π3)D.(k ∈Z )[k π－π12，k π＋5π12]解析：B [由k π－＜2x －＜k π＋(k ∈Z )得，－＜x ＜＋(k ∈Z )，所以函数f (x )π2π3π2k π2π12k π25π12＝tan的单调递增区间为(k ∈Z )，故选B.](2x －π3)(k π2－π12，k π2＋5π12)2．(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A. B. C. D ．ππ4π23π4解析：A [因为f (x )＝cos x －sin x ＝ cos ，所以由2k π≤x ＋≤π＋2k π(k ∈Z )得－2(x ＋π4)π4＋2k π≤x ≤＋2k π(k ∈Z )，因此，[－a ，a ]π43π4⊆，∴－a <a ，－a ≥－，a ≤，∴0<a ≤从而a 的最大值为，选A.][－π4，3π4]π43π4π4π4考点三　三角函数的奇偶性、周期性和对称性(多维探究)[命题角度1]　三角函数的周期性1．(2017·山东卷)函数y ＝sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )3A. B. C ．π D ．2ππ22π3解析：C [由题意y ＝2sin，其周期T ＝＝π.](2x ＋π6)2π22．若函数f (x )＝2tan的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为(kx ＋π3)________．解析：由题意知，1＜＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，πk 所以k ＝2或k ＝3.答案：2或3求三角函数周期的方法(1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为，y ＝tan(ωx ＋φ)的最2π|ω|小正周期为；π|ω|(3)利用图象：对含绝对值的三角函数的周期问题，通常要画出图象，结合图象进行判断．[跟踪训练](2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2 x －sin 2 x ＋2，则( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：B [f (x )＝2cos 2x －(1－cos 2x )＋2＝3cos 2x ＋1＝cos 2x ＋，∴最小正周期为π，最3252大值为4.故选B.][命题角度2]　三角函数的对称轴或对称中心3．当x ＝时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ( )π4(3π4－x )A ．是奇函数且图象关于点对称(π2，0)B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝对称π2D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称解析：C [∵当x ＝时，函数f (x )取得最小值，π4∴sin ＝－1，∴φ＝2k π－(k ∈Z )．(π4＋φ)3π4∴f (x )＝sin＝sin .(x ＋2k π－3π4)(x －3π4)∴y ＝f ＝sin(－x )＝－sin x .(3π4－x )∴y ＝f 是奇函数，且图象关于直线x ＝对称．](3π4－x )π2若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝＋k π(k ∈Z )，求x ；若求f (x )π2＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可．[跟踪训练]设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(|φ|<)，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )3π2A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在上为增函数(0，π2)B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在上为减函数(0，π2)C ．y ＝f (x )的最小正周期为，且在上为增函数π2(0，π4)D ．y ＝f (x )的最小正周期为，且在上为减函数π2(0，π4)解析：B [∵函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin 的图象关于直线3(2x ＋φ＋π6)x ＝0对称，∴函数f (x )为偶函数，∴φ＋＝＋k π(k ∈Z )．π6π2∵|φ|<，∴φ＝，∴f (x )＝2cos 2x ，π2π3∴T ＝＝π.∵0<x <，∴0<2x <π，2π2π2∴函数f (x )在上为减函数．故选B.](0，π2)[命题角度3]　三角函数奇偶性、对称性的应用4．(2019·拉萨市一模)使函数f (x )＝sin (2x ＋θ)＋cos (2x ＋θ)是偶函数，且在上是3[0，π4]减函数的θ的一个值是( )A.B.C.D.π6π32π35π6解析：B [∵函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos (2x ＋θ)＝2sin是偶函数，3(2x ＋θ＋π6)∴θ＋＝k π＋，即θ＝k π＋，k ∈Z ，因此可取θ＝，π6π2π3π3此时，f (x )＝2sin＝cos 2x ，且在上，即2x ∈时，f (x )是减函数．故选B.](2x ＋π2)[0，π4][0，π2]5．(2019·雅安市模拟)函数f (x )＝sin的图象在区间上的对称轴方程为3(2x ＋π3)(0，π2)________．解析：对于函数f (x )＝sin的图象，令2x ＋＝k π＋，得x ＝＋，k ∈Z ，令3(2x ＋π3)π3π2k π2π12k ＝0，可得函数在区间上的对称轴方程为x ＝.(0，π2)π12答案：x ＝π12函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、对称性的应用(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．[跟踪训练](2019·全国Ⅰ卷)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数　②f (x )在区间单调递增(π2，π)③f (x )在[－π，π]有4个零点　④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( )A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③解析：C [∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |，∴f (x )是偶函数，①对；f (x )在区间上单调递减，②错；(π2，π)f (x )在[－π，π]上有3个零点，③错；f (x )的最大值为2，④对．故选C.]1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝的最小正周期为( )tan x1＋tan2x A. B. C ．π D ．2ππ4π2解析：C [f (x )＝＝＝＝sin x cos x ＝sin 2x ，∴f (x )的周期tan x1＋tan2x sin x cos x1＋sin2xcos2x sin x cos xsin2x ＋cos2x 12T ＝＝π.故选C.]2π22．(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝sin＋cos 的最大值为( )15(x ＋π3)(x －π6)A.B ．1C.D.653515解析：A [由诱导公式得cos＝(x －π6)cos ＝sin ，则f (x )＝[π2－(x ＋π3)](x ＋π3)sin ＋sin ＝sin ，所以函数f (x )的最大值为.故选A.]15(x ＋π3)(x ＋π3)65(x ＋π3)653．函数f (x )＝1－2sin2是( )(x －π4)A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为的偶函数π2D ．最小正周期为的奇函数π2解析：B [因为函数y ＝1－2sin 2＝(x －π4)cos＝sin 2x ，所以该函数是最小正周期为π的奇函数．故选B.](2x －π2)4．(2019·昆明市一模)若直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x ≥2a 的解集为( )A.{x |k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z }B.{x |k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈Z }C.{x |k π＋π3≤x <k π＋π2，k ∈Z }D.{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z }解析：B [直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，∴a ＝，∴不等式化12为tanx ≥1，解得k π＋≤x ＜k π＋，k ∈Z ；∴所求不等式的解集为π4π2{x |k π＋≤x ＜k π＋，k ∈Z }．]π4π25．(2019·长春市一模)已知函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(0＜φ＜π)，且f (0)＝1，则下列结论中正确的是( )A ．f (φ)＝2B.是f (x )图象的一个对称中心(π6，0)C ．∅＝π3D ．x ＝－是f (x )图象的一条对称轴π6解析：A [函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)，且f (0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝.又0＜φ＜π，∴φ＝或；12π65π6当φ＝时，f ＝2sin ＝2，当φ＝时，f ＝2sin＝2，故π6(π6)(2×π6＋π6)5π6(5π6)(2×5π6＋5π6)A 正确．]6．(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝cos在[0，π]的零点个数为________．(3x ＋π6)解析：由f (x )＝cos＝0，有3x ＋＝k π＋(k ∈Z )，解得x ＝π＋，由(3x ＋π6)π6π2k 3π90≤π＋≤π得k 可取0,1,2，∴f (x )＝cos在[0，π]上有3个零点．k 3π9(3x ＋π6)答案：37．函数f (x )＝的定义域为________．3＋2cos x 解析：要使函数f (x )＝有意义，则＋2cos x ≥0即cos x ≥－，由余弦函数3＋2cos x 332的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－的解集为，32{x |－5π6≤x ≤56π}所以，在实数集上不等式的解集为，{x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z}即函数的定义域为.{x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z}答案：{x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z }8．(2019·鄂伦春自治旗一模)若函数f (x )＝1＋a sin (ax ＋(a ＞0))的最大值为3，则f (x )的π6最小正周期为______．解析：函数f (x )＝1＋a sin 的最大值为3，(ax ＋π6)∴1＋a ＝3，解得a ＝2.∴f (x )＝1＋2sin，(2x ＋π6)∴f (x )的最小正周期为T ＝＝π.2πω答案：π9．(2019·玉溪市模拟)设函数f (x )＝2sin x cos x －cos 2x ＋1(1)求f (π2)(2)求f (x )的最大值和最小正周期．解：(1)函数f (x )＝2sin x cos x －cos 2x ＋1＝sin 2x －cos 2x ＋1＝sin ＋1，2(2x －π4)∴f ＝sin＋1＝×＋1＝2.(π2)2(2×π2－π4)222(2)由f (x )＝sin＋1，2(2x －π4)当2x －＝＋2k π，k ∈Z ，即x ＝＋k π，k ∈Z 时，π4π23π8f (x )取得最大值为＋1，2最小正周期为T ＝＝π.2πω10．(2019·泸州市模拟)已知函数f (x )＝sin x cos x －cos 2x ＋a 的最大值为.22(1)求a 的值；(2)求使f (x )≥0成立的x 的集合．解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －cos 2x ＋a ＝sin 2x －＋a ＝sin ＋a －，121＋cos 2x222(2x －π4)12∴f (x )max ＝＋a －＝，∴a ＝.22122212(2)由(1)知，f (x )＝sin.22(2x －π4)由f (x )≥0，得sin≥0，22(2x －π4)即2k π≤2x －≤π＋2k π，k ∈Z ，π4∴＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z ，π85π8∴f (x )≥0成立的x 的集合为，k ∈Z .[π8＋k π，5π8＋k π]。

2020高考数学课后作业 3-3 三角函数的图象与性质新人教A版

2020高考数学人教A 版课后作业1.(文)(2020·四川文)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20[答案] C[解析] ∵向右平移π10个单位，∴用x －π10代替y ＝sin x 中的x ；∵各点横坐标伸长到原来的2倍，∴用12x 代替y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10中的x ，∴得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.(理)(2020·大纲全国卷理，5)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A.13 B ．3 C ．6 D ．9 [答案] C[解析] 由题意知，π3＝2πω·k (k ∈Z)，∴ω＝6k ，令k ＝1，∴ω＝6.2．(文)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为( ) A ．2π，－1 B ．2π，0 C ．π，0 D ．π，1 [答案] C[解析] ∵f (x )＝sin 2x ＝1－cos2x 2，∴周期T ＝2π2＝π，又f (x )＝sin 2x ≥0，∴最小值为0，故选C.(理)(2020·济南模拟)函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R)的最小正周期和最大值分别为 ( )A ．2π，3B ．2π，1C ．π，3D ．π，1 [答案] C[解析] 由题可知，f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin(π6－2x )＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π，最大值为3，故选C.3．(2020·衡水市高考模拟)设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则它们的大小关系为( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c [答案] A[解析] ∵tan70°>tan45°＝1>cos25°>sin25°>0，log 12x 为减函数，∴a <c <b .4．(2020·衡水质检)函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则φ的可能取值是( )A.3π4 B ．－3π4 C.π4 D.π2[答案] A[解析] ∵y ＝cos x 的对称轴为x ＝k π(k ∈Z)，∴x ＋φ＝k π，即x ＝k π－φ，令π4＝k π－φ得φ＝k π－π4(k ∈Z)，显然在四个选项中，只有3π4满足题意．故正确答案为A.5．(文)为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A ．98π B.1972π C.1992π D ．100π [答案] B[解析] 由题意至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，∴4914·T ＝1974·2πω≤1，∴ω≥1972π，故选B.(理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波峰，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的周期T ＝4，∴t ≥54T ＝5，故选C.6．(2020·安徽巢湖质检)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋5π6(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π6，k π＋11π6(k ∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z) [答案] C[解析] 由条件知，T ＝2πω＝π，∴ω＝2，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，故选C. 7．(2020·福建质检)已知将函数f (x )＝2sin π3x 的图象向左平移1个单位长度，然后向上平移2个单位长度后得到的图象与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称，则函数g (x )＝________.[答案] 2sin π3x ＋2[解析] 将f (x )＝2sin π3x 的图象向左平移1个单位长度后得到y ＝2sin[π3(x ＋1)]的图象，向上平移2个单位长度后得到y ＝2sin[π3(x ＋1)]＋2的图象，又因为其与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝g (x )＝2sin[π3(2－x ＋1)]＋2＝2sin(π－π3x )＋2＝2sin π3x ＋2.8．(2011·济南调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.[答案] －π6[解析] ∵函数y ＝2sin(2x ＋π3)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，∴2sin(2x 0＋π3)＝0，∵x 0∈[－π2，0]∴x 0＝－π6.1.(文)(2020·湖南张家界月考)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2 [答案] B[解析] f (x )＝(1＋3tan x )cos x＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3，∴12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为2.(理)(2020·湖北文，6)已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R.若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A ．{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}B ．{x |k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z}C ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z}D ．{x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z}[答案] A[解析] f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)≥1，即sin(x －π6)≥12，∴2k π＋π6≤x －π6≤2k π＋5π6k ∈Z ， ∴2k π＋π3≤x ≤2k π＋π(k ∈Z)．2．(文)(2020·北京大兴区模拟)已知函数f (x )＝3sin πxR图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.(理)(2020·北京西城模拟)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )A ．10B ．8 C.87 D.47 [答案] B[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解．[解析] 如图，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∴∠APB ＝α＋β，y ＝sin(πx ＋φ)，T ＝2ππ＝2，tan α＝ACPC＝121＝12，tanβ＝BCPC＝321＝32，则tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝12＋321－12×32＝8，∴选B.3．(文)(2020·湖南长沙一中月考)下列函数中，图象的一部分如图所示的是( ) A．y＝sin(2x＋π6)B．y＝sin(2x－π6)C．y＝cos(2x＋π3)D．y＝cos(2x－π6)[答案] D[解析] 将(－π6，0)代入选项逐一验证，对A项，y＝sin(－π3＋π6)≠0，A错；对B 项，y＝sin(－π2)＝－1≠0，B错；对C项y＝cos0＝1≠0，C错；对D项，y＝cos(－π3－π6)＝cosπ2＝0符合，故选D.(理)(2020·吉林一中月考)函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4[答案] C[解析] ∵T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴选C. 4．(2020·北京海淀期中)如果存在正整数ω和实数φ，使得函数f (x )＝cos 2(ωx ＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] f (x )＝12＋12cos(2ωx ＋2φ)，由图可知T2<1<34T ，∴43<T <2，43<2π2ω<2，π2<ω<34π，又ω∈N *，∴ω＝2.故选B.5．(2020·安徽百校论坛联考)已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．[答案] [1,2)[解析] f (x )在[0，π2]上有两个不同零点，即方程f (x )＝0在[0，π2]上有两个不同实数解，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈[0，π2]与y ＝m 有两个不同交点，∴1≤m <2. 6．(2020·长沙一中月考)已知f (x )＝sin x ＋sin(π2－x )．(1)若α∈[0，π]，且sin2α＝13，求f (α)的值；(2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． [解析] (1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin2α＝13＝2sin α·cos α>0，α∈[0，π]，∴α∈(0，π2)，sin α＋cos α>0.由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝43，得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝23 3.(2)由(1)知f (x )＝2sin(x ＋π4)，又0≤x ≤π， ∴f (x )的单调递增区间为[0，π4]．7．(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值． [解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B . 又sin A ≠0，∴cos B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx ＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)，由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π6)，当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π6]，sin(2x ＋π6)∈[－12，1]．因此，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值 3.当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－32.(理)(2020·湖北黄冈)已知a ＝(3，cos x )，b ＝(cos 2x ，sin x )，函数f (x )＝a ·b －32. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，求函数f (x )的取值范围；(3)函数f (x )的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数？ [解析] (1)函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos2x 2＋12sin2x －32＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∴由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z 得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，(k ∈Z)(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6∴当2x ＋π3＝π2即x ＝π12时f (x )max ＝1当2x ＋π3＝5π6即x ＝π4时，f (x )min ＝12，∴12≤f (x )≤1.(3)将f (x )的图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到y ＝sin2x 的图象，则其对应的函数即为奇函数．(答案不唯一)1．(2020·合肥质检)对任意x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 [答案] B[解析] 取函数y ＝1＋sin x ，则1＋sin x 1x 1的几何意义为过原点及点(x 1,1＋sin x 1)的直线斜率，1＋sin x 2x 2的几何意义为过原点及点(x 2,1＋sin x 2)的直线斜率，由x 1<x 2，观察函数y ＝1＋sin x 的图象可得y 1>y 2.选B.2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6B ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3D ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 [答案] A[解析] 由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2得，T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2在函数图象上得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－11π6.又φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.3．(2020·安徽马鞍山二中)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2020)的值为( )A ．2020 B.40172 C ．2020 D.40192[答案] D[解析] 由f (x )的图象可以得到A ＝12，b ＝1，T ＝4，所以ω＝π2，故f (x )＝12sin(π2x ＋φ)＋1，再由点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在f (x )的图象上，可得φ＝2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝12sin πx2＋1.所以f (1)＝12＋1，f (2)＝0＋1，f (3)＝－12＋1，f (4)＝0＋1，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝4，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2020)＝2020＋f (2020)＝2020＋f (1)＝40192.4．(2020·浙江金华十校)M 、N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( )A ．π B.2π C.3π D ．2π[答案] C[解析] 其中与原点最近的两交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2π2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－2π2，∴|MN |＝3π.5．已知函数f (x )＝x ·sin x ，x ∈R.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，f (1)及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系为( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>f (1) [答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，由于π3>1>π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，故选C.6．(2020·山东肥城联考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，－π2<φ<π2)的图象如图所示，若点A 是函数f (x )的图象与x 轴的交点，点B 、D 分别是函数f (x )的图象的最高点和最低点，点C ⎝⎛⎭⎪⎫π12，0是点B 在x 轴上的射影，则AB →·BD →的值是( )A ．8B ．－8C.π28－8 D ．－π28＋8 [答案] C[解析] 由图可知T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2，由2·π3＋φ＝π知，φ＝π3，从而A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－4，∴AB →·BD →＝π28－8.7．(2020·福建莆田市质检)某同学利用描点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0,0<ω<2，－π2<φ<π2)的图象，列出的部分数据如下表：x 0 1 2 3 4 y11－1－2y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式应是________．[答案] y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6[解析] ∵(0,1)和(2,1)关于直线x ＝1对称，故x ＝1与函数图象的交点应是最高点或最低点，故数据(1,0)错误，从而由(4，－2)在图象上知A ＝2，由过(0,1)点知2sin φ＝1，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，再将点(2,1)代入得，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ω＋π6＝1， ∴2ω＋π6＝π6＋2k π或2ω＋π6＝5π6＋2k π，k ∈Z ，∵0<ω<2，∴ω＝π3，∴解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6.8．(2020·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2x . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标；(3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值． [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)，(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z)得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)，∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z)，(2)由sin(2x ＋π6)＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z)，即x ＝k π2－π12(k ∈Z)， ∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)．(3)由f (α)＝f (β)得：2sin(2α＋π6)＝2sin(2β＋π6)，又∵角α与β的终边不共线，∴(2α＋π6)＋(2β＋π6)＝2k π＋π(k ∈Z)，即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z)，∴tan(α＋β)＝ 3.。

2020年高三数学三轮复习回归基础专题三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质
三角函数的图象与性质
基本问题
定义
任意角的终边与单位圆交于点时，．
同角三角
函数关系
。
诱导公式
，，，“奇变偶不变，符号看象限”．
三角函数的性质与图象
值域
周期
单调区间
奇偶性
对称中心
对称轴
（）
增ห้องสมุดไป่ตู้
减
奇函数
（）
增
减
偶函数
( )
增
奇函数
无
图象变换
平移变换
上下平移
图象平移得图象，向上，向下。
左右平移
图象平移得图象，向左，向右。
伸缩变换
轴方向
图象各点把横坐标变为原来倍得的图象。
轴方向
图象各点纵坐标变为原来的倍得的图象。
对称变换
中心对称
图象关于点对称图象的解析式是
轴对称
图象关于直线对称图象的解析式是。

金典艺术生高考数学复习资料--3三角函数性质与图像

三角函数性质与图像备注：以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．．. 函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握. 如①sin y x=−−−−→图例变化为②sin()y A x ωϕ=+(A >0,ω>0)相应地，①的单调增区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦−−−→变为2222k x k πππωϕπ-+++≤≤的解集是②的增区间.注:⑴)sin(ϕω+=x y 或cos()y x ωϕ=+（0≠ω）的周期ωπ2=T ;⑵sin()y x ωϕ=+的对称轴方程是2x k ππ=+（Z k ∈），对称中心(,0)k π；cos()y x ωϕ=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈），对称中心1(,0)2k ππ+；)tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）. 课前预习1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 . 2．函数1π2sin()23y x =+的最小正周期T = ．4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是5．函数22cos()()363y x x πππ=-≤≤的最小值是6．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向平移个单位长度7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是 .8．函数sin y x x =在区间[0,2π]的最小值为______.9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；⑶求f (x )图象的对称轴，典型例题例1、三角函数图像变换将函数12cos()32y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4y x π=-的图像？例2、已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为例3、三角函数性质求函数34sin(2)23y x ππ=+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是变式2、下列函数中，既是（0，2π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( )(A)y =lg x 2(B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2变式3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求函数)125cos()12cos(x x y +--=ππ的值域变式4、已知函数12()log (sin cos )f x x x =-⑴求它的定义域和值域；⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性；⑷判断它的周期性.例4、三角函数的简单应用如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b . （Ⅰ）求这段时间的最大温差；（Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．例5、三角恒等变换函数y ＝xx cos sin 21++的最大值是．π2sin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭变式2：已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．求()f x 的最大值和最小值．实战训练1．函数x x f 2sin 21)(-=的最小正周期为2. 函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是____ 3．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 4．（07年浙江卷理2）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =，则 5．（2007年辽宁卷7）．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a = 6．（2007年江西卷文2）．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为 7．（2007年湖北卷理2）．将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为8．（2007年广东卷理3）．若函数21()sin ()2f x x x R =-∈，则f(x)是最小正周期为的函数9．（2007年福建卷理5）．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（）A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D ．关于直线x π=3对称 10．（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为2π的是（） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x = 11．（2007年江苏卷5）．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是（）A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 12．（2007年天津卷文9）设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （）A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数 B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数13．（07年山东卷文4）．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（）A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位14．（07年全国卷二理2）．函数sin y x =的一个单调增区间是（）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，15．（2007年北京卷文3）．函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是16．（2007年重庆卷文）（18）已知函数)2sin(42cos 2ππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 。

2020高考理数(北师大版)总复习第3章第3节三角函数的图像与性质

区间
课
堂
题
型
全
奇偶性
突
k_∈__Z__ 奇__函__数__
k∈Z 偶__函__数__
无
课
后
限
时
_奇__函__数_
集训
破
返首页
课
前知
对称
识
全
中心
通
关
对称轴
方程
课
堂
周期性
题
型
全
突
破
_(k_π_，__0_)_，_k_∈__Z_ x_＝__k_π_＋__2π_(k_∈__Z_ )
2π
真
__k_π_＋__π2_，__0_，__k_∈__Z_ ___k2_π_，__0_，__k_∈__Z___
课后限时集训
破
返首页
(1)(2019·珠海模拟)已知 ω＞0，函数 f(x)＝sinωx＋π4在π2，π
上递减，则 ω 的取值范围是( )
课
真
前
知识
A．(0,2]
全
B．0，12
题自主验
通关
C.12，34
D．12，54
课
堂题型
(π，－1) ，32π，0，(2π，1)．
全
突
课后限时集训
破
返首页
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质
课
函数
y＝sin x
前知Leabharlann 识图像全通
关
y＝cos x
y＝tan x
真
题
自
主
验
效
果
定义域
课
堂
题
型

2020届新高考艺术生数学复习冲关训练：第三章第3节三角函数的图象与性质

第三章　第3节1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝的最小正周期为( )tan x1＋tan2x A. B. C ．π D ．2ππ4π2解析：C [f (x )＝＝＝＝sin x cos x ＝sin 2x ，∴f (x )的周期tan x1＋tan2x sin x cos x1＋sin2xcos2x sin x cos xsin2x ＋cos2x 12T ＝＝π.故选C.]2π22．(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝sin＋cos 的最大值为( )15(x ＋π3)(x －π6)A.B ．1C. D.653515解析：A [由诱导公式得cos＝(x －π6)cos ＝sin ，则f (x )＝[π2－(x ＋π3)](x ＋π3)sin ＋sin ＝sin ，所以函数f (x )的最大值为.故选A.]15(x ＋π3)(x ＋π3)65(x ＋π3)653．函数f (x )＝1－2sin2是( )(x －π4)A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为的偶函数π2D ．最小正周期为的奇函数π2解析：B [因为函数y ＝1－2sin 2＝(x －π4)cos＝sin 2x ，所以该函数是最小正周期为π的奇函数．故选B.](2x －π2)4．(2019·昆明市一模)若直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x ≥2a 的解集为( )A.{x |k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z }B.{x |k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈Z }C.{x |k π＋π3≤x <k π＋π2，k ∈Z }D.{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z }解析：B [直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，∴a ＝，∴不等式12化为tanx ≥1，解得k π＋≤x ＜k π＋，k ∈Z ；∴所求不等式的解集为π4π2{x |k π＋≤x ＜k π＋，k ∈Z }．]π4π25．(2019·长春市一模)已知函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(0＜φ＜π)，且f (0)＝1，则下列结论中正确的是( )A ．f (φ)＝2B.是f (x )图象的一个对称中心(π6，0)C ．∅＝π3D ．x ＝－是f (x )图象的一条对称轴π6解析：A [函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)，且f (0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝.又0＜φ＜π，∴φ＝或；12π65π6当φ＝时，f ＝2sin ＝2，当φ＝时，f ＝2sin＝2，π6(π6)(2×π6＋π6)5π6(5π6)(2×5π6＋5π6)故A 正确．]6．(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝cos 在[0，π]的零点个数为________．(3x ＋π6)解析：由f (x )＝cos ＝0，有3x ＋＝k π＋(k ∈Z )，解得x ＝π＋，由(3x ＋π6)π6π2k3π90≤π＋≤π得k 可取0,1,2，∴f (x )＝cos在[0，π]上有3个零点．k3π9(3x ＋π6)答案：37．函数f (x )＝的定义域为________．3＋2cos x解析：要使函数f (x )＝有意义，则＋2cos x ≥0即cos x ≥－，由余弦函3＋2cos x 332数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－的解集为，32{x |－5π6≤x ≤56π}所以，在实数集上不等式的解集为，{x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z}即函数的定义域为.{x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z}答案：{x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z}8．(2019·鄂伦春自治旗一模)若函数f (x )＝1＋a sin (ax ＋(a ＞0))的最大值为3，则f (x )π6的最小正周期为______．解析：函数f (x )＝1＋a sin 的最大值为3，(ax ＋π6)∴1＋a ＝3，解得a ＝2.∴f (x )＝1＋2sin，(2x ＋π6)∴f (x )的最小正周期为T ＝＝π.2πω答案：π9．(2019·玉溪市模拟)设函数f (x )＝2sin x cos x －cos 2x ＋1(1)求f (π2)(2)求f (x )的最大值和最小正周期．解：(1)函数f (x )＝2sin x cos x －cos 2x ＋1＝sin 2x －cos 2x ＋1＝sin＋1，2(2x －π4)∴f ＝sin＋1＝×＋1＝2.(π2)2(2×π2－π4)222(2)由f (x )＝sin＋1，2(2x －π4)当2x －＝＋2k π，k ∈Z ，即x ＝＋k π，k ∈Z 时，π4π23π8f (x )取得最大值为＋1，2最小正周期为T ＝＝π.2πω10．(2019·泸州市模拟)已知函数f (x )＝sin x cos x －cos 2x ＋a 的最大值为.22(1)求a 的值；(2)求使f (x )≥0成立的x 的集合．解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －cos 2x ＋a ＝sin 2x －＋a ＝sin＋a －，121＋cos 2x222(2x －π4)12∴f (x )max ＝＋a －＝，∴a ＝.22122212(2)由(1)知，f (x )＝sin.22(2x －π4)由f (x )≥0，得sin≥0，22(2x －π4)即2k π≤2x －≤π＋2k π，k ∈Z ，π4∴＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z ，π85π8∴f (x )≥0成立的x 的集合为，k ∈Z .[π8＋k π，5π8＋k π]。

2020高考数学总复习第三章三角函数、解三角形3.3三角函数的图象与性质课件理新人教A版

1.求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解． (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． 2．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法 (1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．
又由 4k－52－2k－14≤0，k∈Z 且 2k－14＞0，k∈Z，得 k＝1，
所以 ω∈32，74.
【条件探究 2】本典例(2)中，将条件变为“若函数 f(x)＝sinωx(ω
＞0)在0，3π上单调递增，在区间3π，π2上单调递减”，则 ω＝
3 2
∴－3≤x＜－2π或 0＜x＜2π.
∴函数 y＝lg(sin2x)＋ 9－x2的定义域为－3，－π2∪0，π2.
三角函数定义域、值域(最值)的求法 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求三角函数的值域(最值)的三种类型及解法思路： ①形如 y＝asinx＋bcosx＋c 的三角函数化为 y＝Asin(ωx＋φ) ＋k 的形式，再求值域(最值)； ②形如 y＝asin2x＋bsinx＋c 的三角函数，可先设 sinx＝t，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)； ③形如 y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c 的三角函数，可先设 t ＝sinx±cosx，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)．
(2)已知函数 f(x)＝－4sin2x＋6π－1，g(x)＝fx＋π2且 lgg(x)＞0，则
g(x)的单调递增区间是 kπ，kπ＋π6，k∈Z
.
解析：由题意得， g(x) ＝ f x＋2π ＝－ 4sin 2x＋76π － 1 ＝

2019-2020年高考数学一轮复习第三章第3讲三角函数图像与性质资料(艺术班)

2019-2020年高考数学一轮复习第三章第3讲三角函数图像与性质资料（艺术班）一、必记1个知识点正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中k ∈Z ).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件．三、必会2个方法1．三角函数单调区间的求法：先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两题的单调增区间的不同：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x . 2．求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图像写出函数的值域； (2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决．1.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3π2时，2x－π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin⎝⎛⎭⎫2x－π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，解析：选B当x∈⎣⎡⎦⎤0，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 2．函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．解析：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2(sin x －54)2＋98.故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． [类题通法]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解． 2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．[典例] (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4；(2)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x . [解] (1)由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z .故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． (2)把函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<2x <k π＋5π6，k ∈Z ，即k π2－π12<x <k π2＋5π12，k ∈Z .故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调减区间为 ⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．[类题通法]三角函数的单调区间的求法(1)代换法：所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图像法：函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图像，结合图像易求它的单调区间．提醒：求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． [针对训练]1．(xx·安徽师大附中3月月考)设ω>0，若函数f (x )＝sin ωx 2cos ωx2在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π3上单调递增，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎦⎤0，32C.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ D ．[1，＋∞) 解析：选B f (x )＝sinωx 2cos ωx 2＝12sin ωx ，若函数在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π3上单调递增，则T 2＝πω≥π3＋π3＝2π3，即ω∈⎝⎛⎦⎤0，32，故选B.2．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的单调递增区间为________．解析：函数y ＝cos x 的单调递增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z .由2k π－π≤2x ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z .答案：⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z )角度一 1．(xx·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ( ) A ．是奇函数且图像关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．是偶函数且图像关于点(π，0)对称 C ．是奇函数且图像关于直线x ＝π2对称 D ．是偶函数且图像关于直线x ＝π对称解析：选C ∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )． ∴f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2k π－3π4＝A sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4.∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝A sin(－x )＝－A sin x . ∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是奇函数，且图像关于直线x ＝π2对称．角度二由三角函数的对称性求参数值2．(xx·辽宁六校联考)已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω有( )A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1 解析：选A 由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2πω≤π，ω≥2，故选A.[类题通法]1．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.2．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．课后作业[试一试]1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是( D )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π4，x ∈RB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π4，x ∈R C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π－3π4，k ∈Z ，x ∈R D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R 2．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，0B.⎝⎛⎭⎫0，π2C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π 解析：选B 由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，故只有B 满足． [练一练]1．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 解析：选C 作出函数y ＝|sin x |的图像观察可知，函数y ＝|sin x |在⎝⎛⎭⎫π，3π2上递增． 2．(xx·天津高考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．0 解析：选B 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最小值为－22. [做一做]1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2 解析：选B 选项A 、D 中的函数均为偶函数，C 中函数的最小正周期为π2，故选B.2．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ) 解析：选D 根据已知得2πω＝π，得ω＝2.由不等式2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为________．解析：由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是________．解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0. 答案：⎝⎛⎭⎫k π2－π8，05．(xx·洛阳统考)如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图像关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选A 依题意得，sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6，选A.6．(xx·陕西高考)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期．(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·( 3 sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值－12.因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. .。

2020年高考数学专题讲解：三角函数的图像与性质

2020年高考数学专题讲解：三角函数的图像与性质（一）高考目标考纲解读1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．考向预测1．三角函数的值域、最值、单调性、周期性等性质是高考考查的重点． 2．三角函数图像的对称性也是高考的一个热点． 3．主要以选择题、填空题的形式考查．（二）课前自主预习知识梳理 1．“五点法”作图原理在确定正弦函数y=sinx 在[]0,2π上的图像形状时，起关键的五点是：、、、、。

余弦函数呢？2．三角函数的图像和性质3．周期函数及最小正周期一般地对于函数f (x )，如果存在一个不为0的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0且为常数)的周期T ＝2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期T ＝πω.（三）基础自测1．(湖北文)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] D[解析] 本题主要考查三角函数中的周期性．∵ω＝12，T ＝2π|ω|＝4π.2．(理)(陕西理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在(，)上是递增的B ．f (x )的图像关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2 [答案] B[解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关于原点对称，B 正确；函数的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A.(文)(陕西文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C[解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且f (x )是奇函数． 3．已知－π6≤x <π3，cos x ＝m －1m ＋1，则m 的取值范围是( )A ．m <－1B ．3<m ≤7＋4 3C ．m >3D ．3<m <7＋43或m <－1[答案] C[解析] 由－π6≤x <π3，12<cos x ≤1，∴12<m －1m ＋1≤1，∴m >3.4．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1 [答案] B[解析] 根据已知条件：ω<0，且|ω|≤1，因此－1≤ω<05．(湖洲中学月考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图像如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝________.[答案] 23[解析] 由图可知，T 2＝π3，∴T ＝2π3，∴ω＝3，故f (x )＝A cos(3x ＋φ)．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，∴A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋φ＝－23，∴A sin φ＝－23.又∵f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝0，∴A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4＋φ＝0，∴sin φ＝－cos φ，∴f (0)＝A cos φ＝－A sin φ＝23.6．sin1，sin2，sin3的大小关系为________． [答案] sin3<sin1<sin2[解析] sin2＝sin(π－2)，sin3＝sin(π－3)．因为0<π－3<1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以sin(π－3)<sin1<sin(π－2)，即sin3<sin1<sin2.7．求y ＝sin2x －cos x ＋2的最值．[分析] 解析式中只有sin2x ，cos x ，可以考虑转化为关于cos x 的二次函数形式． [解析]y ＝sin2x －cos x ＋2＝1－cos2x －cos x ＋2＝－cos2x －cos x ＋3＝－⎝⎛⎭⎫cos x ＋122＋134，又∵－1≤cos x ≤1，－1<－12<0，∴1≤y ≤134.故函数的最大值与最小值分别为134与1.（四）、典型例题1.命题方向：三角函数的定义域 [例1] 求下列函数的定义域：（1）y =2lg(36)x -（2）y =[分析] 先转化为三角不等式，再利用单位圆或三角函数图像求解．[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2cos 2x ＋3cos x －1≥036－x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －x －－6<x <6，也即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≥12－6<x <6.解得⎩⎪⎨⎪⎧－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈－6<x <6(*)取k ＝－1,0,1，可分别得到x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－6，－5π3或x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3或x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π3，6.即所求的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－6，－5π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π3，6.(2)要使函数有意义，只要即0<x <π2或π≤x ≤4.所以函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫0，π2∪[π，4]．[点评] (1)求三角函数定义域常借助两个工具，即单位圆中的三角函数和三角函数的图像，有时也利用数轴，对于含有正弦、余弦函数的复合函数的定义域，仍然是使解析式有意义即可． (2)求三角函数定义域时，通常归结为解三角不等式或不等式组．跟踪练习1求下列各函数的定义域：(1) y ＝11－cos x； (2)y ＝sin x ＋1－tan x .[解析] (1)函数y ＝11－cos x 有意义时，1－cos x ≠0，即cos x ≠1，所以x ≠2k π(k ∈Z)，所以函数的定义域为{x |x ≠2k π，x ∈R ，k ∈Z}．(2) 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，1－tan x ≥0.由图知道，函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z).2.命题方向：求函数的值域和最值 [例2] 求下列函数值域：(1)y ＝2cos 2x ＋2cos x ； (2)y ＝3cos x －3sin x ； (3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x .[分析] (1)令t ＝cos x ，得y ＝2t 2＋2t ，t ∈[－1,1]，再配方求值域．(2)利用辅助角公式可化为y ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再求值域． (3)令t ＝sin x ＋cos x ，平方可用t 表示sin x cos x ，即可转化为t 的二次函数求解．[解析] (1)y ＝2cos 2x ＋2cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋122－12.当且仅当cos x ＝1时，得y max ＝4，当且仅当cos x ＝－12时，得y min ＝－12，故函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4. (2)y ＝3cos x －3sin x ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1，∴该函数值域为[－23，23]． (3)y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x ＝sin x ＋cos x 2－12＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋222－1，所以当sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1时，y 取最大值1＋2－12＝12＋ 2.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22时，y 取最小值－1， ∴该函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12＋2.[点评] 求三角函数的值域(或最值)的常见题型及解法为：1．y ＝a sin x ＋b cos x 型可引用辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝ba)．2．y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型可通过降次整理化为y ＝A sin2x ＋B cos2x . 3．y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 型可换元转化为二次函数． 4．sin x cos x 与sin x ±cos x 同时存在型可换元转化． 5．y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d (或y ＝a cos x ＋bc cos x ＋d)型，可用分离常数法或由 |sin x |≤1来解决．6．y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d型，可用斜率公式来解决．跟踪练习2求y ＝sin2x －sin x cos x ＋2的值域．[解析] y ＝sin 2x －sin x cos x ＋2＝1－cos2x 2－12sin2x ＋2＝－12(sin2x ＋cos2x )＋52＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋52.3.命题方向：求三角函数的单调区间[例3] 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调增区间． [分析] 思路一：由y ＝sin x 的单调区间来求本题的单调区间．思路二：将y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 看作复合函数来求单调区间．[解析] 方法一：∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调增区间就是方法二：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可看作是由y ＝2sin u 与u ＝π3－2x 复合而成的．∵u ＝π3－2x 是减函数，∴y ＝2sin u 是减函数时，复合后的函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 才是增函数．∴2k π＋π2≤u ≤3π2＋2k π，k ∈Z.∴2k π＋π2≤π3－2x ≤3π2＋2k π.∴2k π＋π6≤－2x ≤7π6＋2k π.∴－k π－7π12≤x ≤－π12－k π，即k π－7π12≤x ≤－π12＋k π.∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，－π12＋k π，k ∈Z.∴－k π－7π12≤x ≤－π12－k π，即k π－7π12≤x ≤－π12＋k π.∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，－π12＋k π，k ∈Z.[点评] 求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)或y ＝A tan(ωx ＋φ)的单调区间时，一定要注意到函数中A 与ω的符号，一般是将ω化为正或用复合函数单调性来求解，否则极易出现将单调区间求反的错误．跟踪练习3：已知函数f (x )＝sin2x ＋2sin x cos x ＋3cos2x ，x ∈R.求： (1)函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合； (2)函数f (x )的单调增区间．[解析] (1)∵f (x )＝1－cos2x2＋sin2x ＋＋cos2x 2=2＋sin2x ＋cos2x ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z)时，f (x )取得最大值2＋ 2.因此，f (x )取得最大值时自变量x 的集合是{x |x ＝k π＋π8，k ∈Z}(2)f (x )＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 由题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2 (k ∈Z)，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)，因此f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8(k ∈Z).4.命题方向：三角函数的奇偶性与周期性[例4] (陕西)已知函数f (x )＝2sin x 4cos x4－23sin 2x4＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f (x ＋π3)，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．[解析] (1)∵f (x )＝sin x 2＋3(1－2sin 2x 4)＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin(x 2＋π3)， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.当sin(x 2＋π3)＝－1时，f (x )取得最小值－2；当sin(x 2＋π3)＝1时，f (x )取得最大值2.(2)由(1)知f (x )＝2sin(x 2＋π3)，又g (x )＝f (x ＋π3)，∴g (x )＝2sin[12(x ＋π3)＋π3]＝2sin(x 2＋π2)＝2cos x2.∵g (－x )＝2cos(－x 2)＝2cos x2＝g (x )，∴函数g (x )是偶函数．跟踪练习4(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的非奇非偶函数[答案] C[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos2x . (2)(辽宁文)函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图像向右平移4π3个单位后与原图像重合，则ω的最小值是( )A.23 B.43 C.32D ．3[解析] 要想图像平移后与原图像重合，至少需平移1个周期 ∴(2πω)max ＝43π，∴ωmin ＝2π43π＝32.故选C.（五）、思想方法点拨1．函数y ＝sin x 在[2k π－π2，2k π＋π2]，(k ∈Z )的每一个区间上都是增函数，但在k 取不同值时，对应的两个区间的并集上不单调．y ＝cos x ，y ＝tan α都有类似特点．如函数y ＝tan α在第一象限内是增函数是错误的，你能说明原因吗？ 2．函数y ＝sin x 、y ＝cos x 的对称轴经过图像的最高点或最低点． 3．y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间的确定：(1)当A >0，ω>0时，由于U ＝ωx ＋φ是增函数，故y ＝A sin U 单增(减)时，复合函数y ＝A sin(ωx ＋φ)单增(减)．从而解不等式2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z)求出x 取值范围，即该函数的增区间，解不等式2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z)可得该函数的单调减区间． (2)当A >0，ω<0时，∵U ＝ωx ＋φ为减函数，故再如(1)的解法，求出单调区间则会导致错误，同样A <0，ω<0时也有类似情况，这时要紧扣复合函数单调性的判定方法进行．余弦、正切函数都有类似情形一般地，求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，若ω<0，先用诱导公式化为x 的系数为正的，然后利用复合函数判单调性的方法，解关于ωx ＋φ的一个不等式即可求得．4．函数＝A sin(ωx ＋φ)(ωx ≠0)为奇函数的充要条件为φ＝k π，k ∈Z ，为偶函数的充要条件为 φ＝k π＋π2，k ∈Z.函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)为奇函数的充要条件为φ＝k π＋π2，k ∈Z.为偶函数的充要条件为φ＝k π，k ∈Z.函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)为奇函数的充要条件为φ＝k π2，k ∈Z.它不可能是偶函数．5．三角函数的周期(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)的周期T ＝2π|ω|，y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)的周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx＋φ)(A ，ω≠0)的周期T ＝π|ω|(2)y ＝A |sin(ωx ＋φ)|、y ＝A |cos(ωx ＋φ)|、y ＝A |tan(ωx ＋φ)|的周期都为T ＝π|ω|.6．直线y ＝a 与函数y ＝tan x 的图像交点中任两点距离的最小值为周期．函数y ＝sin x (y ＝cos x )相邻两个最大(小)值点之间距离为半周期，与x 轴相邻两交点之间距离为半周期．（六）课后强化作业一、选择题1．(江西文)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54][答案] C[解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的一元二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－54≤y ≤1，选C.2．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，则a 的值为( )A. 2B ．－ 2C ．1D ．－1[答案] D[解析] 解法1：由y ＝sin2x ＋a cos2x 可联想到形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数．又知其对称轴为x ＝－π8，故此直线必经过函数图像的波峰或波谷．从而将x ＝－π8代入原式，可使函数取最大值或最小值．即－22＋22a ＝±a 2＋1，∴a ＝－1. 解法2：由于函数图像关于直线x ＝－π8对称∴f (0)＝f (－π4)，∴a ＝－1，故选D.3．(重庆文)下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin (2x ＋π2)B ．y ＝cos (2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)[答案] A[解析] 本题考查三角函数的周期性、单调性以及诱导公式．选项A ：y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x ，周期为π，在[π4，π2]为减函数；选项B ：y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x ，周期为π.在[π4，π2]为增函数；选项C ：y ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，周期为2π；选项D ：y ＝cos(x ＋π2)＝－sin x ，周期为2π.故选A.4．已知函数f (x )＝3sin πxR 图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR ＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.5．函数y ＝2tan x －1tan x 的图像关于( )A ．点⎝⎛⎭⎫－π8，0对称 B ．点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．直线x ＝－π4对称D ．直线x ＝π2对称[答案] B[解析] y ＝2tan x －1tan x＝2tan xtan 2x －1＝－tan2x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π4，k ∈Z . 函数图像大致如下图，显见它不是轴对称图形，而是关于点⎝⎛⎭⎫k π4，0对称的中心对称图形，故选B.6．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图像与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1、x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4[答案] A[解析] y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数且0<θ<π，所以θ＝π2，y ＝2cos ωx ，∴y ∈[－2,2]．又∵|x 1－x 2|min ＝π，故y ＝2与y ＝2cos ωx 的交点为最高点，于是最小正周期为π.即2πω＝π，所以ω＝2.故选A.7．(新课标理)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为( )[答案] C[解析] 本小题考查了任意角的三角函数的概念、三角函数的图像，结合物理学的角速度问题，考查学科知识交汇点，解答此题的关键是找到点P 运动后对应的坐标．方法一：(排除法)当t ＝0时，P 点到x 轴的距离为2，排除A 、D ，由角速度为1知，当t ＝π4或t ＝3π4时，P点落在x 轴上，即P 点到x 轴的距离为0，故选C.方法二：由题意知P ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫t －π4，2sin ⎝⎛⎭⎫t －π4， ∴P 点到x 轴的距离为d ＝|y 0|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫t －π4，当t ＝0时，d ＝2；当t ＝π4时，d ＝0.故选C.8．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ等于( ) A ．k π (k ∈Z )B ．k π＋π6 (k ∈Z )C ．k π＋π3(k ∈Z )D ．k π－π3(k ∈Z )[答案] D[解析] 解法1：由两角和与差的三角公式得 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ＋θ. 由f (x )是奇函数得π3＋θ＝k π(k ∈Z ) ⇒θ＝k π－π3(k ∈Z )．故选D.解法2：∵函数f (x )为奇函数，定义域为R . ∴f (0)＝0，即3cos θ＋sin θ＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝0，∴θ＋π3＝k π，∴θ＝k π－π3(k ∈Z )．二、填空题9．比较大小：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－23π5________cos ⎝⎛⎭⎫－17π4. [答案] (1)> (2)<[解析] (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π10<sin ⎝⎛⎭⎫－π18，即sin ⎝⎛⎭⎫－π18>sin ⎝⎛⎭⎫－π10. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－23π5＝cos 23π5＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋3π5＝cos 3π5， cos ⎝⎛⎭⎫－17π4＝cos 17π4＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， ∴cos π4>cos 3π5，即cos ⎝⎛⎭⎫－17π4>cos ⎝⎛⎭⎫－23π5，即cos ⎝⎛⎭⎫－23π5<cos ⎝⎛⎭⎫－17π4. 10．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．[答案] (1,3)[解析] f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ， 0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π.在同一坐标系中，作出函数f (x )与y ＝k 的图像可知1<k <3.11．(安徽理)动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是________．[答案] [0,1]和[7,12][解析] 设点A 的纵坐标y 关于t 的函数为y ＝sin(ωt ＋φ)． ∵T ＝12＝2πω，∴ω＝π6.当t ＝0时，sin φ＝32，cos φ＝12，∴φ可取π3. ∴y ＝sin(π6t ＋π3)，由正弦函数的单调性知．2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )2k π－5π6≤π6t ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴12k －5≤t ≤12k ＋1(k ∈Z )．当k ＝0时，－5≤t ≤1；当k ＝1时，7≤t ≤13又∵0≤t ≤12，∴单调增区间为[0,1]和[7,12]．三、解答题12．(深圳模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos 2x 2，a 为常数，a ∈R ，且x ＝π2是方程f (x )＝0的解．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的值域． [解析] (1)f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋a cos 2π4＝0，则1＋12a ＝0，解得a ＝－2.所以f (x )＝sin x －2cos 2x2＝sin x －cos x －1，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4－1. 所以函数f (x )的最小正周期为2π. (2)由x ∈[0，π]，得x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，则sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，则2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4－1∈[－2，2－1]，所以y ＝f (x )值域为[－2，2－1]．13．(北京理)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．[解析] 本题考查了三角函数的化简求值及二次函数在区间上的最值．(1)可直接求解，(2)化简后转化为关于cos x 的二次函数，求值即可．(1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23时，取最小值－73.14．(福建四地六校联考)已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2x . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)求f (x )图像上与原点最近的对称中心的坐标；(3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值． [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， (1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． (2)由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π2－π12(k ∈Z )，∴f (x )图像上与原点最近的对称中心坐标是⎝⎛⎭⎫－π12，0. (3)由f (α)＝f (β)得：2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2β＋π6，又∵角α与β不共线，∴⎝⎛⎭⎫2α＋π6＋⎝⎛⎭⎫2β＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z )，∴tan(α＋β)＝ 3.15．已知函数f (x )＝log 12(sin x －cos x )．(1)求它的定义域和值域； (2)求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．[分析] 对于(1)，(2)可以从sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4入手．对于(3)则看f (x )的定义域是否关于原点对称．对于(4)可利用f (x ＋T )＝f (x )先验证T 是一个周期，再证T 是最小正周期．[解析] (1)由题意得sin x －cos x >0，即2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0，从而得2kπ<x －π4<2kπ＋π(k ∈Z )．∴函数f (x )的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2kπ＋π4<x <2kπ＋54π，k ∈Z .∵0<sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤1，∴0<sin x －cos x ≤2，即有log 122≤log 12(sin x －cos x )．故函数f (x )的值域是⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. (2)∵sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4在f (x )的定义域上的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2kπ＋π4，2kπ＋3π4(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎡⎭⎫2kπ＋3π4，2kπ＋5π4(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫2kπ＋3π4，2kπ＋5π4(k ∈Z )；单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2kπ＋π4，2kπ＋3π4(k ∈Z )． (3)∵f (x )的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称， ∴函数f (x )是非奇非偶函数．(4)∵f (x ＋2π)＝log 12[sin(x ＋2π)－cos(x ＋2π)]＝log 12(sin x －cos x )＝f (x )，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π.[点评] 本题综合考查了三角函数的性质，解题的关键是把sin x －cos x 化为A sin(ωx ＋φ)的形式．。

2020届高三数学一轮复习：第3章第3节三角函数的图象与性质

第三节三角函数的图象与性质[考纲传真] 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( ) (2)函数y ＝sin x 的图象关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)y ＝sin |x |是偶函数．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．(2017·云南二次统一检测)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象关于( )A ．原点对称 B.y 轴对称C ．直线x ＝5π2对称D.直线x ＝－5π2对称A [函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝－sin 2x 是奇函数，则图象关于原点对称，故选A.]3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈ZD [由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ， ∴y ＝tan 2x的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z.] 4．(2017·长沙模拟(一))函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π C [令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，由2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，而x ∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3，故选C.]5．(教材改编)函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是________，取得最小值时，x 的取值集合为________．2 {x |x ＝6k π，k ∈Z } [f (x )min ＝4－2＝2，此时，13x ＝2k π(k ∈Z )，x ＝6k π(k ∈Z )，所以x 的取值集合为{x |x ＝6k π，k ∈Z }．](1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪π2－x 的最大值为( )A ．4B.5C.6D.7(2)函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________．(1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 [(1)∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos 2x ＋6sinx＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎨⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3，∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2， ∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.][规律方法] 1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x ，cos x ，sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求解．[变式训练1] (1)已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )A ．2B.3C.3＋2D.2－ 3(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值.【导学号：01772113】(1)B [∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，∴b －a ＝3.](2)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22，3分∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22，7分 ∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22.12分(1)(2017·洛阳模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.(0,2](2)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________． (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) [(1)由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.(2)由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．][规律方法] 1.求三角函数单调区间的两种方法(1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化x 的系数为正数，以防止把单调性弄错．2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．[变式训练2] (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________．(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.【导学号：01772114】(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) (2)32 [(1)由－π2＋k π＜2x －π3＜π2＋k π(k ∈Z )，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )． (2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.](1)(2014·全国卷Ⅰ)在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．②④ B.①③④ C ．①②③D.①③(2)函数y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数(1)C (2)A [(1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图象知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.(2)y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝－sin 2x ，所以f (x )是最小正周期为π的奇函数．]☞角度2 求三角函数的对称轴、对称中心(2016·安徽江南十校3月联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 A [由f (x )＝sin (ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，由|φ|＜π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的一个对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A.]☞角度3 三角函数对称性的应用(1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2(2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A ．－3 B.－33 C.2D.22(1)A (2)B [(1)由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6. (2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3，即sin 0＋a cos 0＝sin 10π3＋a cos 10π3，解得a ＝－33.][规律方法] 1.对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数周期的方法： (1)利用周期函数的定义．(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(3)借助函数的图象．[思想与方法]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝A sin(ωx＋φ)(ω＞0)的形式，再用换元法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．2．求三角函数值域(最值)的常用方法：(1)将函数变形化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．(2)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题．3．若f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．[易错与防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．求y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0)的单调区间，要注意ω的正负，只有当ω＞0时，才能将“ωx＋φ”整体代入相应单调区间．3．利用换元法求三角函数最值时，注意cos x(或sin x)的有界性．4．正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上；正切函数的图象只是中心对称图形．。

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