广东省珠海市2017-2018学年高二下学期期末考试数学文试题(WORD版)

珠海市2017—2018学年度第二学期高二学业质量监测
文科数学
时间： 120 分钟 满分： 150 分
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂到答题卡上）
1.已知复数 z =i - 3 ，其中i 为虚数单位，则复数 z 所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2.点 P 的极坐标为（2，6
）， 以极点为原点， 极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系， 则它
的直角坐标是
A ． (1, )
B ． (1,
) C ． ( ,1) D ． (
3.已知曲线 C 的参数方程为
为参数），则曲线 C 与直线
的公
共点个数为
A.0
B.1
C.2
D. 不确定
4.通过随机询问 120 名性别不同的大学生是否爱好某项运动， 得到列联表， 计算出 K 2的观测值 k ≈6.8.请参照如图所示附表， 判断下列说法正确的是
A ．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；
B ．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”；
C ．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”；
D ．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”.
5. 产品销售量 y （件）与售价 x （元/件）负相关，则其回归直线方程可能是 A. y =－30x －600 B. y =30x+ 600 C. y =30x – 600 D. y =－30x+ 600
6.阅读右图所示的程序框图，输出的结果是 A.11 B ． 121 C ． 362 D ． 3
7.在极坐标系中，圆 ρ = 4sinθ 的圆心的极坐标是 A. (1,
2
π） B. (2,
2
π） C. (1,0) D. (0, 2)
8.已知i 为虚数单位， i + i 2 + i 3 +…+ i 2018 结果为 A.i B.i -1 C.0 D. -1
9.甲对乙说我们做个游戏，比如对于数字 25，约定第一次计算 23 + 53 = 133, 第二次计算 13 + 33 + 33 = 55, 第三次计算53 + 53 = 250, 如此反复计算，请你告诉我第 2018 次计算 后的结果是
A. 25
B. 250
C.133
D.55 10.设 P ( x , y ) 是曲线C ：为参数， 0 ≤θ < 2 π)上任意一点，则
的
取值范围是
11.已知直线 y =－tx －1与曲线 y = －x 3 －mx －n 相切于点 P (1, －3) 则 n 等于 A. -1 B. 4 C.1 D.3
12.若函数 f ( x ) = e 2x ， h ( x ) ＝2 x +2 ， 对于下列语句，正确的个数是 ⑴
恒成立；
⑵ 存在实数 x 1, x 2，使得 f (x 1) < h (x 2 ) 成立； ⑶存在实数 x ，使得 f (x ) = h (x )；
⑷ 存在实数t ，使得任意实数 x ，均有 f (t ) - h (t ) ≤ f (x ) - h (x ) . A.1 B.2 C.3 D.4 第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 5 分， 满分 40 分. 请将答案填在答题卡相应位置） 13.函数 y = lg( x －1) 的定义域是_________； 14.下列说法中不正确的序号为________； ⑴通过回归方程
可以估计和观测变量的取值和变化趋势
⑵任意两个变量之间都存在着线性相关关系
⑶因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验. 15.在复平面中， 若 a ∈ R ， 当复数为纯虚数时，｜z ｜= _______；
16.极坐标系内， 点 (4,
2
π)关于直线 ρcos θ ＝2 ＝ 的对称点的极坐标为_______；
17.已知点 P (x , y ) 是圆锥曲线上的一个动点，则 x +y 的最大值是_______；
18.函数
，则 y ' = ______ ；
19.已知 21 ×1 = 2 ， 22 ×1× 3 = 3× 4, 23×1× 3 ×5= 4×5×6， 以此类推， 第 n 个等 式为____________________________________； 20.已知函数
在 (0,+∞) 上无零点，则实数 a 的取值范围是_______.
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分） 21．（本小题满分10分）
已知,a b 均为正数，求证：22b a a b a b
+≥+
22．（本小题满分10分）
举世瞩目的港珠澳大桥开通在即，在东人工岛和西人工岛上有不少自动售货机，根据统计售货机上
产品的广告费支出x(单位:百元)与销售额y(单位:百元)之间有如下数据:
（1）求y 关于x 的回归直线方程；
（2）预测当售货机上产品投入的广告费为1000元时的销售额是多少?
23.（本小题满分10分）
已知函数32
()22f x x ax bx c =+++在x ＝－
1
2
与x ＝1时都取得极值. （1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间；
（2）若对]2,1[-∈x ，不等式2)(c x f <恒成立，求c 的取值范围.
24.（本小题满分10分） 已知直线l :2cos 4sin x t y t α
α=-+⎧⎨
=-+⎩
， (t 为参数，α为倾斜角).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C 的直角坐标方程为2240x y y ++=. （Ⅰ）将曲线C 的直角坐标方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）设点N 的直角坐标为()2,4--，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求NA NB +的取值范围.
25 .(本小题10分）已知函数,)1()(2
x
e x x x g +-=其中e 是自然对数的底数. （1）求曲线)(x g 在点))2(,2(g 处的切线方程;
（2）如果方程t x x x g ---=2
3
32)(有3个不同的根，求实数t 的取值范围.
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文科数学答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1-5 BCACD 6-10 ABBDA 11-12 DC
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分）
13. (1,)+∞ 14. （2）（3） 15. 1 16. )4
π
18. 1
(1)x
e x x
+-
19. 21357(21)(1)(2)2n
n n n n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=+⨯+⨯⨯ (*
n N ∈) 20. 1
(
,)2e
+∞
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分） 21．（本小题满分10分）
已知,a b 均为正数，求证：22b a a b a b
+≥+
证明：22
-=b a a b a b
-+-左边右边 ┄┄┄┄┄┄┄2分
2222
b a a b a b
--=+
┄┄┄┄┄┄┄4分 ()2211
()a b b a =-- ┄┄┄┄┄┄┄6分
()22
2
()()
a b a b a b a b ab ab
--+=-=
┄┄┄┄┄┄┄8分 2()()
0,0,0a b a b a b ab
-+>>≥ 所以
原命题得证. ┄┄┄┄┄┄┄10分 22．（本小题满分10分）
举世瞩目的港珠澳大桥开通在即，在东人工岛和西人工岛上有不少自动售货机，根据统计售货机上
产品的广告费支出x(单位:百元)与销售额y(单位:百元)之间有如下数据:
（1）求y 关于x 的回归直线方程；
（2）预测当售货机上产品投入的广告费为1000元时的销售额是多少?
解：（1）设y 关于x 的回归直线方程为：ˆy bx
a =+ 其中，5,70x y ==，2
602403505408005570
ˆ1241625366455
b
++++-⨯⨯==++++-⨯ ┄┄2分 则12y x a =+，而回归直线过点（5,70），所以70125a =⨯+, ┄┄4分
10a = ,1210.y x y x =+关于的回归方程为： ┄┄6分
(2)10121010130()x y ==⨯+=时，单位：百元 ┄┄8分
答：当售货机上产品投入的广告费为1000元时的销售额为13000元. ┄┄10分 23.（本小题满分10分）
已知函数3
2
()22f x x ax bx c =+++在x ＝－
1
2
与x ＝1时都取得极值. （1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间；
（2）若对]2,1[-∈x ，不等式2
)(c x f <恒成立，求c 的取值范围. （1）依题意：2
'()64f x x ax b =++，
因为 函数在x ＝－
1
2
与x ＝1时都取得极值， 所以当'()0f x =时，两根为1
12
-和 ┄┄1分
由韦达定理得到： 1
2123
1*12
6a b
⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3,34a b =-=- ┄┄3分
所以2
'()633f x x x =--，
()11
'()0,1,()1+2211
'()0,1,()122
f x x x f x f x x f x >><-∞∞-<-<<-令则或所以的增区间为，和（-，）
令则所以的减区间为（，）.
┄┄5分
（2）由（1）可知3
2
()22f x x ax bx c =+++在11,2⎛
⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递减，因此函数()f x 在()1,1-上的最大值为17
()2
8
f c -=
+， ┄┄6分 因为函数()f x 在（1,2）上单调递增，所以(2)4f c =+，而1
()(2)2
f f -<，所以()f x 在[1,2]-上
的最大值为(2)4f c =+， ┄┄8分 因为不等式2
)(c x f <恒成立，所以2
4c c +<恒成立，
解得c c >
<
┄┄10分 24.（本小题满分10分） 已知直线l :2cos 4sin x t y t α
α
=-+⎧⎨
=-+⎩， (t 为参数，α为倾斜角).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C 的直角坐标方程为2
2
40x y y ++=.
（Ⅰ）将曲线C 的直角坐标方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）设点N 的直角坐标为()2,4--，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求NA NB +的取值范围. (1)因为 cos ,sin x y ρθρθ== ，所以 ┄┄1分
222
(cos )(sin )4sin 0,
4sin 0,4sin 0
ρθρθρθρρθρθ++=+=+= ┄┄4分
（2）将直线的参数方程代入C 的直角坐标方程得到：
22(2cos )(4sin )4(4sin )0t t t ααα-++-++-+=
24(sin cos )40t t αα-++= ┄┄6分
设其两根为：12,t t ，则：124(sin cos )t t αα+=+
由直线参数方程t 的几何意义可知：直线跟圆的交点在定点的上方，所以120,0t t >>
(
124(sin cos ))
4
3,
244
4
sin()1,........................844)4
4,............................................NA NB t t NA NB π
αααππππαααπ
απ
α+=+=+=+<<+
<
<+≤<+≤+又因为为直线倾斜角，当直线与圆有两个公共点时，0<分所以所以的取值范围为..........................10分
25 .(本小题10分）已知函数,)1()(2x
e x x x g +-=其中e 是自然对数的底数. （1）求曲线)(x g 在点))2(,2(g 处的切线方程;
（2）如果方程t x x x g ---=2
332)(有3个不同的根，求实数t 的取值范围.
解：（1）因为,)1()(2x
e x x x g +-=所以2'()(),x g x x x e =+ ┄┄1分 所以曲线)(x g 在点))2(,2(
f 处的切线斜率为2'(2)6k
g e == ┄┄2分 又,3)2(2
e g =所以所求的切线方程为),2(632
2-=-x e e y
即0962
2
=+-e x e y ┄┄4分 （2）因为2'()(),x g x x x e =+
当10'()0,x x g x <->>或时，当10'()0,x g x -<<<时，
所以，)(x g 在)1,(--∞上单调递增，在)0,1(-上单调递减，),0(+∞上单调递增 所以，)(x g 在1-=x 处取得极大值e
g 3
)1(=
-，在0=x 处取得极小值1)0(=g ┄┄6分 令t x x x f ---=2332)(得2'()66f x x x =--
当10'()0,x x f x <-><或时，当10'()0,x f x -<<>时，
所以，)(x f 在)1,(--∞上单调递减，在)0,1(-上单调递增，),0(+∞上单调递减 所以)(x f 在1-=x 处取得极小值t f --=-1)1(，在0=x 处取得极大值t g -=)0(
┄┄8分
因为方程t x x x g ---=2
3
32)(有3个不同的根， 即函数)(x g 与)(x f 的图象有3个不同的交点，
所以⎩⎨⎧<->-)0()0()1()1(f g f g ，即⎪⎩⎪⎨⎧-<-->t
t e 113
所以13
1-<<--t e
┄┄10分。