专题4.3+折叠与探究性问题问题(理科)-高考数学备考之百强校大题狂练

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第四篇 立体几何（理科）专题03 折叠与探究性问题问题
1．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形， 0120BAD ∠=， 2AB =， ,E F 为1,CD AA 中点. （1）求证： //DF 平面1B AE ；
（2）若1AA ⊥底面ABCD ，且直线1AD 与平面1B AE 所成线面角的正弦值为
3
4
，求1AA 的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)2.
【解析】试题分析：（1）设G 为1AB 的中点，根据平几知识可得四边形DEGF 是平行四边形，即得//DF EG ，再根据线面平行判定定理得结论，
（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面1B AE 一个法向量，根据向量数量积求向量夹角，再根据线面角与向量夹角互余关系列等式，解得1AA 的长.
所以//DF 平面1B AE .
（2）因为ABCD 是菱形，且060ABD ∠=， 所以ABC ∆是等边三角形 取BC 中点G ，则AG AD ⊥， 因为1AA ⊥平面ABCD ， 所以1AA AG ⊥， 1AA AD ⊥
建立如图的空间直角坐标系，令1(0)AA t t =>，
则()
330
n AE x y ⋅=+=u u u
v v 且130n AB x y tz ⋅=-+=u u u v v ， 取()
3,,4n t t =-v
，设直线1AD 与平面1B AE 所成角为θ，
则()
12
163
sin 424
n AD t t n AD θ⋅===+⋅u u u u v v u u u u v v ， 解得2t =，故线段1AA 的长为2.
2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形， PD DA ⊥, PD DC ⊥. （Ⅰ）若E 是PA 的中点，求证： //PC 平面BED ；
（Ⅱ）若PD AD =， 2PE AE =，求直线PB 与平面BED 所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)
23
. 【解析】试题分析： ()1连接AC 交BD 于G ，中位线 //EG PC ，从而证明()2分别以,,DA DC DP 为
,,x y z 轴的正方向建立坐标系，求出法向量为n v
，利用sin cos ,n PB α=u u u v v 计算结果
（Ⅱ）设2CD =，则2AB BC AD PD ====，且2
3
PE PA =.分别以,,DA DC DP 为,,
x y z 轴的正方向建立坐标系，则()()()()()4
20,0,0,2,0,0,,0,,0,2,0,2,2,0,0,0,23
3D A E C B P ⎛⎫
⎪⎝⎭ ∴()()422,2,0,,0,,2,2,23
3DB DE PB ⎛⎫===-
⎪⎝⎭u u u v
u u u v u u u v ，设平面BED 的一个法向量为(),,n x y z =v
，则2200{ { 42
00
33
x y n DB x z n DE +=⋅=⇒+=⋅=u u u
v v u u u v v ,令1x =-，则1y =，∴2z =∴()1,1,2n =-v
设直线PB 与平面BED 所成的角为α，则2sin cos ,3PB n n PB PB n
α⋅===
⋅u u u v v u u u
v v u u u v v 所以PB 与平面BED 所成角的正弦值为
2
3
3．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证： 11DA ED ⊥；
（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o
，请你确定点E 的位置，并证明你的结论.
【答案】(1)见解析(2) 直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o 时，点E 在线段AB 中点处
【解析】试题分析： ()1要证明11DA ED ⊥，只需要证明110DA ED =u u u u r u u u u r
n 即可，建立空间直角坐标系，写出
有关点的坐标，得到向量1DA u u u u r 和1ED u u u u r
的坐标，利用向量的数量积的计算公式进行计算即可；另解：容易得
到1AE A D ⊥，又因为11A D AD ⊥，得到1A D ⊥平面1D AE ，从而证得()112DA ED ⊥先利用求平面法向量的计算公式，求出平面1CED 的法向量，由已知直线1DA 与平面1CED 所成的角是45︒，利用甲角公式得到方程，解方程即可得到点E 的位置
所以DA 1⊥ED 1
另解： 1AE ADA ⊥平面，所以1AE A D ⊥. 又11A D AD ⊥，所以11A D D AE ⊥平面. 所以11DA ED ⊥
（2）以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴、AA 1为z 轴建立空间直角坐标系 所以()10,0,1A 、()0,1
,0D 、()1,1,0C 、()10,1,1D ，设AE t =，则(),0,0E t 设平面CED 1的法向量为(),,n x y z =v
，由10{ 0
n CD n CE ⋅=⋅=u u u u v v u u u v v 可得()0{
10x z t x y -+=--=， 所以(){
1z x y t x
==-，因此平面CED 1的一个法向量为()1,1,1t -
由直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o
，可得11sin45DA n DA n ⋅︒=u u u u v v u u u u v v
()21122111
t t -+=⋅+-+，解得1
2t =
由于AB =1，所以直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o 时，点E 在线段AB 中点处
4．如图所示，在四棱台ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，AB ＝AA 1＝2A 1B 1＝2.
(1)若M 为CD 中点，求证：AM ⊥平面AA 1B 1B ； (2)求直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）15
∵四边形ABCD 为菱形， ∠BAD ＝120°， ∴△ACD 为等边三角形， 又M 为CD 中点， ∴AM ⊥CD ，由CD ∥AB 得，
AM ⊥AB .
∵AA 1⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，∴AM ⊥AA 1. 又AB ∩AA 1＝A ， ∴AM ⊥平面AA 1B 1B .
(2)∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，AB ＝AA 1＝2A 1B 1＝2，
∴DM＝1，AM＝，
∴∠AMD＝∠BAM＝90°，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则n＝(1，，1)，
∴|cos〈n，〉|＝＝＝.
∴直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值为.
5．如图，在直角梯形中，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面.
(Ⅰ)求证：平面平面；
(Ⅱ)延长至点，使为平面内的动点，若直线与平面所成的角为，且，求点到点的距离的最小值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析：（1）由于直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，,利用面面垂直的性质可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（2）由(Ⅰ)可知
两两垂直.分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，的坐标为，求得，
利用向量垂直数量积为零求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得
，进而可
得
，进而可得结果. 试题解析：(Ⅰ)直角梯形中，
，直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋
转得到，
,又平面
平面
，
平面
，
平面
平面
.
，得. 设的坐标为
，则
,由
,
得,,,
,所以，
当
时，
,
点到点的距离的最小值为
.
6．已知如图， PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形， //AD BC ，
2224BC AB AD PA ====.
（1）求证：平面PAC ⊥平面PAB ；
（2）已知E 为PC 中点，求AE 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（221
【解析】试题分析：（1）连接AC ，过A 作AG BC ⊥于G ，过D 作DH BC ⊥于H ，由三角形内角和定
理可得AC B ⊥A ，由PA ⊥平面ABCD ，可得PA AC ⊥，从而可得AC ⊥平面PAB ，由面面垂直的判定定理可得结论；（2）由（1）知， PA AC ⊥，∴PAC ∆为直角三角形， E 为PC 中点，设A 到平面PBC 距离为h ，根据“等积变换”P ABC A PBC V V --=可求得
221
7
h =，进而可得AE 与平面PBC 所成角的正弦值.
试题解析：（1）连接AC ，过A 作AG BC ⊥于G ，过D 作DH BC ⊥于H . 在等腰梯形ABCD 中，∵24BC AD ==，∴1BG CH ==.
∴60ABC DCB ∠=∠=o ，则120ADC BAD ∠=∠=o ， 30ACD DAC ∠=∠=o ， ∴90BAC ∠=o 即AC B ⊥A ，
∵PA ⊥平面ABCD ， AC ⊂平面ABCD ， ∴PA AC ⊥，∴AC ⊥平面PAB ，
又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PAB .
即1143232⨯
⨯ 11
221432
h =⨯⨯，∴221h =. ∴AE 与平面PBC 所成角的正弦值等于221
21
72=。