高等数学上册复习

取 z 的虚部,得到原方程一个解
3 1 y0 ( x ) cos 3 x sin 3 x 10 10
[解法二] 设方程的一个解为
y0 ( x ) a cos3 x b sin3 x
代入方程, 比较系数, 定出 a 和 b 思考题1:
y y 2 y 1
思考题2: ay by cy k (k为常数)
连续： 点连续—— lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
在[a, b]每一点连续，称在[a, b]区间连续
分段函数在分段点连续性
x x0
lim f ( x ), lim f ( x ), f ( x0 )
x x0
[例4] 求方程 y 4 y 13 y 4 sin3 x 的一个解.
i3x z 4 z 13 z 4 e [解法一] 考虑方程
设该方程的一个解为
z ae
i3x
特征根 2 3i
i3x
代入方程
9ae
i3x
12iae
i3x
13ae
4e
i3x
i3x i3x ( 1 3 i ) ae e 整理得 1 1 3i a 比较系数得到 1 3i 10 1 3i i 3 x 1 3 z e ( i )(cos 3 x i sin 3 x ) 10 10 10
2 2 1 0
1 2 1
y e t (C1 C2t )
1 y (C1 C2 ln x ) x
原方程的通解
例5 (经济发展模型)
国民收入通常分为消费和储蓄两部分，
储蓄用于投资，可以增加生产，生产增加后消费、储蓄增加，又可 以反过来促进生产,试建立数学模型分析这种关系。 符号说明：记国民收入为Y(t) (产出), 消费为C(t), 储蓄为I(t), k为边 际资本产出比(即单位边际产出所需资本)；s为边际储蓄倾向(单位 产出产生的储蓄)；1－s为边际消费倾向(单位产出用于消费的量)； 基本假设：1.产出增长率与资本投入成正比；2.储蓄全部用于投资
基本方程：Y C I (1) ；I sY (2)；C (1 s )Y dY I dC 假设方程： (4)， I (5) dt k dt
(3)
dY dC dI (1)(2)式求导 dt dt dt 并代入(4)(5)式，得：
dI dY (6)， s dt dt
积分得 C1 ( x ) 1 e x (sin 2 x sin 2 x 2)
10 1 x 2 C 2 ( x ) e (sin x sin 2 x 2) 10 1 y0 ( x ) (sin 2 x sin 2 x 2)e x e x 10 1 1 2 x x (sin x sin 2 x 2)e e (sin 2 x 2) 10 5
整理后得到
( x ) y1 C2 ( x ) y a[C1 by1 cy1 ] 2 ] C1 ( x )[ay1 C2 ( x)[ay 2 by2 cy2 ] f ( x )
y1 ( x ), y2 ( x ) 均为齐次方程的解 ,故
by1 cy1 0 ay1
怎样求一个解 y0 ?
3
三、 二阶常系数非齐次线性方程 ——常数变易法
ay by cy f ( x)
已知齐次通解为
y( x) C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
设非齐次一个解为 y0 ( x ) C1 ( x ) y1 ( x ) C 2 ( x ) y2 ( x )
基本方程：Y C I；I sY ；C (1 s )Y 根据假设 dY I dY s ，得微分方程： Y，Y (0) Y0 dt k dt k
s t k
方程的解为：Y Y0e 。这是一个持续增长的生产函数，要求增加的 产出全部被需求吸收(包括消费需求和投资需求)。
上述模型是一个简单模型。只考虑了自发投资，即消费剩余, 而实际上消费增加也会刺激投资(称为引致投资)，进而刺激生产。 假设引致投资与消费增长率成正比，则得到新的经济增长模型。
财
高等数学
西南财经大学 经济数学学院 孙疆明
精
函数：概念、复合函数、反函数、函数分类 概念：定义域、函数值
定义域：函数关系有意义的集合 初等函数
分段函数
复合函数
函数性质：奇偶性 单调性 周期性 有界性 连续性 可导(可微 )性 可积性 奇偶性——f ( x ) 单调性——f ( x )
周期性——f ( x T )
d 2Y 1 dY s(1 s ) Y 0 2 2 k dt k dt Y (0) Y ，Y '(0) sY 0 0 这是一个二阶微分方程。特征方程： 2 / k s(1 s ) / k 2 0 特征根：1,2 1 1 4 s(1 s ) 1 (2 s 1) s / k 2k 2k (1 s ) / k
有界性—— lim f ( x ),lim f ( x )
x a x b
a , b为定义域各区间端点
连续性—— lim f ( x ), f ( x0 ) x x0 可导性—— f ( x0 x ) f ( x 0 ) f ( x ) f ( x0 ) lim , lim x 0 x x0 x x x0 可积性——连续性 函数分类：基本初等函数, 初等函数, 分段函数 x 例 f (e ) sin x , 求f ( x ); f (arcsin x ) 1 , 求f ( x ) x f ( x ) sinln x; f ( x ) ln csc x cot x c
3 2 1 x e 如 lim , lim ( 1 x x ),lim ,lim x 1 1 x x x 0 x 0 x sin x x
2 x x 2
x x0
1 x
x
2.运算项数无限增加极限 方法：初等方法,夹逼定理，定积分
例 lim[ 1 2 n 1 2 ( n 1)]
1 s 1 s I I I，解得： k k k d 2Y 1 dI dI d 2Y (4)式求导 ，得 k 2 2 dt k dt dt dt 代(7)(5)(2)入(6)式，得：
(7)，
dY s(1 s ) d 2Y Y k 2 ，整理得微分方程： dt k dt
C1 ( x) y1 C2 ( x) y y0 2 C1 ( x ) y1 C2 ( x ) y2
代入方程得到
( x) y1 C2 ( x) y a[C1 2 C1 ( x ) y1 C2 ( x ) y2 ]
C2 ( x ) y b[C1 ( x ) y1 2 ] c[C1 ( x ) y1 C 2 ( x ) y2 ] f ( x )
y1 y1 y2 0 y 2
( x) 和 C2 ( x )后, 再积分便 故方程组有解, 解出C1 可得到C1 ( x )和 C 2 ( x )
[例1] 求方程 y y sin2 x 的一个解 2 1 0 [解] 对应齐次方程的特征方程
1, 2 1
齐次通解 y( x) C1e C2e
x x
设非齐次方程的一个解 y0 ( x ) C1 ( x )e C 2 ( x )e
x
x
将 y1 e x , y2 e x , a 1, f ( x ) sin2 x 代入下列 方程组
( x ) y2C2 ( x) 0 y1C1 1 C1 ( x ) y2 C2 ( x) f ( x) y1 a
d y dy t a 2 ( b a) cy f ( e ) dt dt
2
2 d y dy 2 [例5] 求方程 x 3x y 0 的通解 2 dx dx
[解 ] 令 x e t
2
代入方程，得
d y dy 2 y 0 (1) 2 dt dt
特征方程为 特征根 方程(1)的通解
( x) C1 ( x) y1 ( x) C2 ( x) y2 ( x) y0
( x ) C2 ( x ) y2 ( x) C1 ( x ) y1
附加条件 于是
( x ) y1 ( x ) C2 ( x ) y2 ( x ) 0 (1) C1
C1 ( x) y1 C2 ( x ) y y0 2
ay 2 by2 cy2 0
1 ( x ) y1 C2 ( x ) y2 f ( x ) ( 2) C1 a 将 (1)式与( 2) 式联立, 即得
因为y1 ( x )与y2 ( x )线性无关, 所以上述方程组的 系数行列式不等于零
( x ) y2C2 ( x) 0 y1C1 1 C1 ( x ) y2 C2 ( x) f ( x) y1 a
n
ax b, x 0 3.极限方程 在 x 0 可导，求 a , b x e ax b 例 lim A，求a, b, A 2 x 0 x
n n n lim( 2 2 2 ) 2 2 2 n 1 n 2 n n n 1 1 1 lim( ) 2 2 2 n 1 n 2 n n n 1 2 n 1 n lim (e e n e n ) 1 sin x , x 0 n n f ( x)
例 f ( x )定义域[1,2], 求f ( x 1)定义域
2
3 x 2 或 2 x 3
极限：
概念： lim f ( x ) A 0, >0, 当0< x x0 时, f ( x ) A
性质：唯一性 有界性(局部) 保号性 极限无穷小关系 0 计算——1.不定式极限 , , ,0 ,1 , 0 ,00 0 方法：初等方法,两个重要极限，等价无穷小，罗必达法则
( x) e C2 ( x) 0 e C 1 x x 2 e C1 ( x ) e C 2 ( x ) sin x
x x
1 x 2 ( x ) e sin x , 解得 C1 2
1 x 2 ( x ) e sin x C2 2
பைடு நூலகம்、欧拉方程
d y dy ax bx cy f ( x ) 2 dx dx dy dy du du 1 若 = , 则一阶导项可消去变系数 dx du dx dx x t
2 2
作变量代换
令 xe
dy dy dt dy 1 dx dt dx dt x 2 2 d y d dy 1 d y 1 dy 1 ( ) 2 2 2 2 dx dx dt x dt x dt x 代入欧拉方程，得 常系数二阶线性非齐次
st k (1 s ) t k
方程通解为：Y A1e A2e 方程特解为：
( 1s ) t k
y( t )
y0 s ( k 1 ) e
2 s1

y0 ( s k 1s ) e 2 s1
st k