人教版物理选修3-4 第十一章 机械振动 章末总结

章末总结
一、简谐运动的图象
如图1所示，简谐运动的图象反映的是位移随时间的变化规律，图象不代表质点运动的轨迹．由图象可以获得以下信息：
图1
(1)可以确定振动物体在任一时刻的位移．如图中对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝＋7 cm，x2＝－5 cm.
(2)确定振动的振幅．图中最大位移的值就是振幅，由图可以看出振动的振幅是10 cm.
(3)确定振动的周期和频率．振动图象上一个完整的正弦(或余弦)函数图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期．
由图可知，OD、AE、BF的时间间隔都等于振动周期，T＝0.2 s，频率f＝1
T＝5 Hz.
(4)确定各时刻质点的振动方向．例如图中的t1时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动．
(5)比较不同时刻质点加速度的大小和方向．例如在图中，t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负；t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1|＞|x2|，所以|a1|＞|a2|.
例
1(多选)一质点做简谐运动的位移x与时间t 的关系图象如图2所示，由图可知()
图2 A．频率是2 Hz
B．振幅是5 cm
C．t＝1.7 s时的加速度为正，速度为负
D．t＝0.5 s时质点的回复力为零
E．图中a、b两点速度大小相等、方向相反F．图中a、b两点的加速度大小相等，方向相反答案CDE
解析由题图可知，质点振动的振幅为5 m，周期为2 s，由f＝1
T
得频率为0.5 Hz，A、B选项错误．t＝1.7 s时的位移为负，加速度为正，速度为负，C选项正确．t＝0.5 s时质点在平衡位置，回复力为零，D选项正确．a、b两点速度大小相等、方向相反，但加速度大小相等、方向相同，加速度方向都为负方向，指向平衡位置，故E正确，F错误．
结合图象分析描述简谐运动的物理量的关系，分析的顺序为：
位移x ――→F ＝－kx
回复力F ――→F ＝ma
加速度a ――――――――――――――→加速度和速度方向之间的关系
速度v ――――→E k ＝1
2m v 2
动能 E k ――――→总能量守恒
势能E p 或者按下列顺序分析：
位移x
⎣
⎢⎢⎡
→回复力F →加速度a →势能E p
→动能E k
→速度v
针对训练1 (多选)一个质点做简谐运动的图象如图3所示，下列说法中正确的是( )
图3
A ．质点振动频率为4 Hz
B ．在10 s 内质点经过的路程是20 cm
C ．在5 s 末，质点的速度为零，加速度最大
D ．t ＝1.5 s 和t ＝4.5 s 两时刻质点的位移大小相等 答案 BCD
解析 由简谐运动的图象可知，质点振动的周期T ＝4 s ，故质点振动的频率为f ＝1
T ＝0.25 Hz ，
A 错误；10 s 内质点经过的路程为s ＝t T ×4A ＝10
4×4×2 cm ＝20 cm ，B 正确；在5 s 末，质
点运动到最大位移处，故速度为零，加速度最大，C 正确；在t ＝1.5 s 和t ＝4.5 s 两时刻质点的位移大小相等、方向相同，D 正确． 二、简谐运动的周期性和对称性
1．周期性：做简谐运动的物体在完成一次全振动后，再次振动时则是重复上一个全振动的形式，所以做简谐运动的物体经过同一位置可以对应不同的时刻，做简谐运动的物体具有周期性． 2．对称性
(1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率．
(2)加速度和回复力的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力．
(3)时间的对称性：系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等．振动过程中通过任意两点A 、B 的时间与逆向通过的时间相等．
例
2 物体做简谐运动，通过A 点时的速度为v ，
经过1 s 后物体第一次以相同速度v 通过B 点，再经过1 s 物体紧接着又通过B 点，已知物体在2 s 内所走过的总路程为12 cm ，则该简谐运动的周期和振幅分别是多大？ 答案 T ＝4 s ，A ＝6 cm 或T ＝4
3
s ，A ＝2 cm
解析 物体通过A 点和B 点时的速度大小相等，A 、B 两点一定关于平衡位置O 对称．依题意作出物体可能的振动路径图如图甲、乙所示，在图甲中物体从A 向右运动到B ，即图中从1运动到2，时间为1 s ，从2运动到3，又经过1 s ，从1到3共经历了0.5T ，即0.5T ＝2 s ，T ＝4 s,2A ＝12 cm ，A ＝6 cm.
在图乙中，物体从A 先向左运动，当物体第一次以相同的速度通过B 点时，即图中从1运动到2时，时间为1 s ，从2运动到3，又经过1 s ，同样A 、B 两点关于O 点对称，从图中可以
看出从1运动到3共经历了1.5T ，即1.5T ＝2 s ，T ＝4
3 s,1.5×4A ＝12 cm ，A ＝2 cm.
针对训练2 (多选)一个质点在平衡位置O 点附近做机械振动．若从O 点开始计时，经过3 s 质点第一次经过M 点(如图4所示)；再继续运动，又经过2 s 它第二次经过M 点；则该质点第三次经过M 点还需要的时间是( )
图4
A ．8 s
B ．4 s
C ．14 s D.103
s 答案 CD
解析 设图中a 、b 两点为质点振动过程的最大位移处，若开始计时时刻，质点从O 点向右运动，O →M 过程历时3 s ，M →b →M 运动过程历时2 s ，显然，T
4＝4 s ，T ＝16 s ．质点第三
次经过M 点还需要的时间Δt 3＝T －2 s ＝(16－2) s ＝14 s ，故选项C 正确．若开始计时时刻，质点从O 点向左运动，O →a →O →M 运动过程历时3 s ，M →b →M 运动过程历时2 s ，显然，T ′2＋T ′4＝4 s ，T ′＝163 s ．质点第三次经过M 点还需要的时间Δt 3′＝T ′－2 s ＝(16
3－2) s ＝10
3
s ，故选项D 正确．
三、单摆周期公式的应用
1．单摆的周期公式T＝2πl
g，是在单摆摆角不大于5°的情况下才成立，该公式提供了一种
测定重力加速度的方法．
2．注意：(1)单摆的周期T只与摆长l和g有关，而与振子的质量及振幅无关．
(2)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离，要区分摆长和摆线长．小球在光滑圆周轨道上小角度振动和双线摆也属于单摆，“l”实际为摆球重心到摆动所在圆弧的圆心的距离．(3)g为当地的重力加速度，当单摆处于超重或失重状态时g为等效重力加速度．
例
3 有两个同学利用假期分别去参观北京大
学和南京大学的物理实验室，并各自在那里利用先进的DIS 系统较准确地探究了“单摆的周期T 与摆长l 的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T 2－l 图线，如图5甲所示，去北大的同学所测实验结果对应的图线是________(填“A ”或“B ”)．另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了两个单摆(位于同一地点)的振动图象(如图乙)，由图可知，两单摆摆长之比 l a ∶l b ＝________.
图5
答案 B 4∶9
解析 纬度越高，重力加速度g 越大，由于T 2l ＝4π2
g ，所以B 图线是在北大的同学做的．
从题图乙中可以看出T a ＝4
3
s ，T b ＝2 s
所以l a l b ＝T 2
a
T 2b ＝49
.
例
4根据单摆周期公式T＝2πl
g，可以通过
实验测定当地的重力加速度．如图6所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆．
图6
(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图7所示，读数为________ mm.
图7
(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________．
a ．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些
b ．摆球尽量选择质量大些、体积小些的
c ．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度
d ．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置的角度不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt 即为单摆周期T
e ．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置的角度不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平
衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt ，则单摆周期T ＝ΔT 50
答案(1)18.6(2)abe。