2.1无理数背景知识

无理数在中国的发现
• 中国古代在处理开方问题时，不可避免 地碰到了无理根数。中国早期的开方术见 于刘徽的《九章算术》少广、勾股两章， 起源于长度的测度。已知面积求正方形边 长；已知体积求立方体棱长；已知圆面积 求圆的直径；已知球体积求球的直径或直 角三角形勾、股、弦互求。《九章算术》 “少广”章的开(平)方术有“若开之不尽 者，为不可开，当以面命之”，“令不加 借算而命分，则常微少；其加借算而命分 ，则又微多。
无理数的由来
正方形的对角线和边长的比是这种新数、给这种新 数起个什么名字呢？当时人们觉得，整数和分数是人 们已经习惯的，容易理解，就把整数和分数合称“有 理数”，而把希伯索斯发现的新数起名叫“无理数” 。
无理数与有理数
区别①：把有理数和无理数都写成小数形 式时，有理数能写成整数、小数或无限循 环小数，比如4=4.0， 4/5=0.8， 1/3=0.33333……。而无理数只能写成无 限不循环小数，比如 √2=1.414213562…………。根据这一点, 人们把无理数定义为无限不循环小数。 区别②：无理数不能写成两整数之比。
• 希伯索斯是大约公元前500年的一位古希 腊哲学家、自然科学家，生於小亚细亚西 南海岸米粒都，早年是商人，曾游历过巴 比伦、埃及等地，泰勒斯是希腊最早的哲 学学派－伊奥尼亚学派的创始人，他几乎 涉猎了当时人类的全部思想和活动领域， 其被尊为"希腊七贤"之首，而他更是以数 学上的发现而出名的第一人，他认为处处 有生命和运动，并以水为万物的本源。作 为毕达哥拉斯的门徒，他发现平方根具有 一些很有趣的性质。
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贾宪的“增乘开方法”不仅适用于开 任意高次方，而且能得出高次方程的数值 解法。经过200多年的不断改善，到13世 纪上半叶，由秦九韶最后完成完整的体系 ——秦九韶求实根法，即解高次方程的“ 正负开方术”。
• 其方程的各系数可正可负，可以是整数或 小数，开方得到无理根时，秦九韶发挥了 刘徵首创的计算“微数”的思想，用十进 小数作无理根的近似值。这一时期，数学 人才辈出，有北宋的沈括、贾宪和刘益; 南宋的秦九韶、杨辉；元代的李冶、朱世 杰、郭守敬等，使宋元时期的数学达到了 中国古代数学的顶峰，尤其在代数领域达 到了西方望尘莫及的水平。
名人介绍
• 毕达哥拉斯（Pythagoras，572 BC—497 BC）古希腊数学家、哲学家。无论是解说外在 物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没 有数学！最早悟出万事万物背后都有数的法则 在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯 。毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛（今 希腊东部小岛），自幼聪明好学，曾在名师门 下学习几何学、自然科学和哲学。以后因为向 往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印 度和埃及（有争议），吸收了阿拉伯文明和印 度文明（公元前480年）。
• 接下来给大家几道关于无理数的题目： • 1、设P为不等于零的有理数,q为无理数,那么下数中哪 几个可能是有理数 1.(p+q)^2 2.(p+q)q 3.p(q+p)
• 2、如果m，n都是有理数，且m^2+2n-20+(n2)√5=0,求m+2n的值。
• 解：1、（p+q)^2 =p^2+2pq+q^2 (p+q)q=pq+q^2 p(q+p)=p^2+pq 因为不等于零 的有理数*无理数=无理数所以没有 • 解：2、由于m、n均为有理数 根据有理数四则运算的 封闭性可知： n-2=0且m^2+2n-20=0 ∴n=2，m=4 或-4 m+2n=0或8
• 其数不可得而定。……故惟以面命之，为 不失耳”，这说明刘徽认识到“加不加借 算命分”都得到的不是精确值，只有用被 开方数的方根表示才是精确的，接着他在 “开方术注”中提出一种更为精确的表示 方根近似值的方法，即求微数法：“不以 面命之，加定法如前，求其微数。
• 微数无名者以为分子，其一退以十为母 ，其二退以百为母。退之弥下，其分弥细 ，则朱幂虽有所弃之数，不足言之”，就 是用 10 进制小数来无限逼近无理数。中 算学家没有像希腊人那样在发现无理数时 出现逻辑上的困难，又能顺利地将有理数 运算规则推广到无理数，因此把数学向前 推进的同时，并没有深究无理数与有理数 实质上的不同。
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毕达哥拉斯认为，世界上只存着整数和分数， 除此之外，就再也没有什么别的数了，可是，他 有一个学生，叫希伯索斯，就发现了这样的一种 数，比如，一个边长是1的正方形，从一个Fra Baidu bibliotek到 对着它的一个角之间的线段长度是多少呢？ 毕达哥拉斯知道了学生的这个发现，大惊失 色，因为如果承认了这个发现，那他们学派的基 础就没有了，毕达哥拉斯这位伟大的数学家，在 这上面的表现却很不光彩；他禁止希伯索斯把这 个发现传出去，否则就要用学园的戒律来处置他 ——活埋。
无理数在西方的发现
大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥 拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中 不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四 艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙 间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯 学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发 现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之 比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三 角形就是如此。
毕达哥拉斯兴师问罪，然而希伯索斯事先已经得知 了消息，他抢先一步逃走了。毕达哥拉斯学派是不会 放过他的，他们在一条海船上发现了他，把希伯索斯 装进了口袋，扔进了大海，希伯索斯就这样被害死了 ！”。希伯索斯虽然被害死了，但是他发现的“新数 ”却还存在着，后来，人们从他的发现中知道了除去 整数和分数之外，世界上还存还着一种“新数”。
无理数的出现
背景故事
在古希腊，有一个很了不起的数学家，叫做 毕达哥拉斯，他开了一间学校，教了很多学生 ，他的学校的名字叫“毕达哥拉斯学园”。别 的人也给它起了个名字，叫“毕达哥拉斯学派 ”，他们认为，数是世界的法则，是主宰生死 的力量，他们就像崇拜天神一样崇拜数。毕达 哥拉斯和他的学生们在学园里研究数学，做出 了好多的数学发现，比如“毕达哥拉斯定理” 就是这么发现的。这个定理，在我们中国叫“ 勾股定理”。
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由于并没有经历过西方的数学危机革命 ，中国的数学仍停留在“算术”阶段，在 筹算开平方和开立方的基础上，我国从 11 世纪开始，逐渐摸索到数值解高次方 程的一般规律。
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11 世纪开始，逐渐摸索到数值解高次 方程的一般规律。北宋数学家贾宪，在前 人的基础上，发明了开任意高次幂的“增 乘开方法”，它是我国古代数学史上一项 杰出创造，是一个非常有效和高度机械化 的算法，公元1819年英国数学家霍纳才 得出同样的算法。
无理数的定义
• 有理数总可以用有限小数或无限循环小 数表示。 • 反之,任何有限小数或无限循环小数也都 是有理数。
• 无限不循环小数叫做无理数
无理数的分类
• 无理数是无限不循环小数。如 圆周率、√2（根号2）等。 有理数是由所有分数，整数组 成，它们都可以化成有限小数 ，或无限循环小数。如22/7 等。 实数（real number)分为有理数和无理 数(irrational number)。 有理数可分为整数（正整数、 0、负整数）和分数（正分数 、负分数）； 也可分为正有 理数（正整数、正分数），0 ，负有理数（负整数、负分数 ）。 除了无限不循环小 数以外的实数统称有理数。
随堂练习
• 哪些是有理数？哪些是无理数？
0.351
-5.232323…
2 3
4. 96
π 3
..
3.14159…
0.1234567891011…(由相继的正整数组成)
• 判断对错
• (1)有限小数是有理数;
• (2)无限小数都是无理数; • (3)无理数都是无限小数; • (4)有理数是有限小数.
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这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本 信条，导致了当时认识上的“危机”，从而 产生了第一次数学危机。 • 到了公元前370年，这个矛盾被毕氏 学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方 法解决了。他的处理不可通约量的方法， 出现在欧几里得《原本》第５卷中。
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欧多克斯和狄德金于1872年给出的无 理数的解释与现代解释基本一致。今天中 学几何课本中对相似三角形的处理，仍然 反映出由不可通约量而带来的某些困难和 微妙之处。
（√ ）
（ ╳） （√ ） （╳）
结束语
• 教训与反思：科学不等于圣洁。科学家不等于 道德高尚。这样的教训古今都有 。历史的教训 在于给人类以教益。科学完全走出政治强权的 阴影 。无理数这确实是一种新发现的数——应 该叫它“无理数”。这个名字反映了数学的本 来面貌，但也真实的记录了毕达哥拉斯学派中 学阀的蛮横无理。
无理数的分类
• （1）π，也就是3.1415926…………这 类的，只要和π有关系的基本上都是无理 数了。 • （2）开方开不尽的数。这里“开方开不 尽的数”一般是指开方后得到的数，而不 是字面解释的那个意思。例如根号2，三 次根号2……
• （3）还有一种就是这类的：例如： 0.101001000100001……，它有规律，但是这 个规律是不循环的，每次都多一个0，发现了没 。它是无限不循环小数。这个也是无理数。无 理数的概念：无理数是无限不循环小数和开方 开不尽的数。无理数，即非有理数之实数，不 能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小 数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数 ，无限不循环小数又叫做“无理数”。每一个 无理数都可以用数轴上的一个点表现出来。
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第一次数学危机对古希腊的数学观点有 极大冲击。这表明，几何学的某些真理与 算术无关，几何量不能完全由整数及其比 来表示，反之却可以由几何量来表示出来 ，整数的权威地位开始动摇，而几何学的 身份升高了。危机也表明，直觉和经验不 一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此 希腊人开始重视演译推理，并由此建立了 几何公理体系，这不能不说是数学思想上 的一次巨大革命。