高中必修第一册《1.1 集合的概念》优质课教案教学设计
教学设计5：1.1.1 集合的概念
1.1.1 集合的概念
【教学目标】
知识目标：
（1）理解集合、元素及其关系；
能力目标：
通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.
【教学重点】
集合的概念．
【教学难点】
集合的概念．
【教学设计】
（1）通过生活中的实例导入集合与元素的概念；
（2）引导学生自然地认识集合与元素的关系；
（3）通过练习，巩固知识．
（4）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学．【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
1课时．(45分钟)
【教学过程】
的解集．
强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
）本次课学了哪些内容？
）通过本次课的学习，你会解决哪些新问题了？
）在学习方法上有哪些体会？。
1.1集合的概念教学设计-高一上学期数学人教A版
集合的概念教学设计一、课标分析在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具。
本单元的学习，可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。
二、教材分析本节内容选自高中数学人教A版必修第一册第一章第1节，也是高中数学学习的第一节。
本节内容是在小学和初中的基础上，引入集合的含义及其表示。
为学生在解决之后的数学问题时，能够更加简洁，准确地表述数学对象及研究范围作铺垫。
三、学情分析本节内容属于高中数学的“预备知识”，定位是帮助学生完成初高中数学学习的过渡。
在初中学生基础的集合知识较为零散，在本节课中，学生首次系统学习描述数学内容的语言和工具。
通过学习，学生能够在现实情境或数学情境中概括出数学对象的一般特征，并用集合语言予以表达、初步学会用三种语言——自然语言、符号语言表达数学研究对象、并进行交流。
因此在本节教学中特别注重通过抽象的数学符号语言的学习，提升学生表达抽象的层次，从而做好初高中数学学习的过渡。
四、教学目标1.了解集合的含义，能判断给定元素组成的全体是否是集合;理解素与集合“属于”与“不属于”的关系;熟记常用数集专用符号;掌握集合的表示法并根据情况选择。
2.在小组交流中深刻理解集合元素间的确定性，互异性与无序性。
3.密切数学与生活之间的联系，感受集合语言的作用。
五、教学重、难点重点：集合元素的三个特征；元素与集合的关系；集合的表示方法。
难点：用描述法表示集合。
六、评价设计1.任务一：通过让学生判断下列元素的全体是否组成集合来了解学生对元素与集合关系的掌握程度。
（采取学生互评，学生所评题目对的举手检验）2.任务二：请用描述法表示奇数集、偶数集、有理数集。
（学生互评）3.任务三：用适当的方法描述下列集合，课本练习3（请学生上黑板写，老师查看下面学生的回答情况）七、教学过程八、板书设计§1.1集合的概念1、含义:研究对象称为元素，用a、b、c表示；把一些元素组成的总体叫做集合用A、B、C表示。
高一数学必修一教学设计 1.1 第1课时 集合的含义
第1课时集合的含义明目标、知重点 1.通过实例理解并掌握集合的有关概念.2.初步理解集合中元素的三个特征.3.体会元素与集合的属于关系.4.掌握常用数集及其专用记号，初步认识用集合语言表示有关数学对象．1．集合与元素的概念一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．元素的特性集合元素的特性有：确定性、互异性、无序性．3．常用数集及表示符号非负整数集(自然数集)：N，正整数集：N*或N＋，整数集：Z，有理数集：Q，实数集：R. 4．元素a与集合A的关系如果a是集合A的元素，记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，记作a A或a∈A，读作“a不属于A”．5．集合相等的概念如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．[情境导学]军训前学校通知：今天上午八点高一年级在体育场集合进行军训动员；那么这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生呢？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合．探究点一集合概念的形成过程思考1在初中，我们学过哪些集合？用集合描述过什么？答在初中代数里学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合．在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．思考2数学中的“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？答数学中的“集合”与我们日常生活中“全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”等意义相近．思考3你在和朋友聊天时，往往会向朋友介绍你的家庭、原来读书的学校、现在的班级情况，那么像“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同的特征？答它们都含有一定范围内某些确定的、不同的对象．思考4通过以上讨论，你能给集合及元素下个定义吗？答一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．例1判断下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2013年在校的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体．解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；(2)能构成集合；(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1考察下列每组对象能否构成一个集合．(1)中国的大城市；(2)young中的字母；(3)高一(3)班16岁以下的学生；(4)高一(3)班所有个子高的学生．解(1)不能构成一个集合；(2)“young中的字母”能构成一个集合，该集合的元素是“y，o，u，n，g”；(3)“高一(3)班16岁以下的学生”能构成一个集合；(4)“高一(3)班所有个子高的学生”不能构成一个集合，个子高这个标准不可量化．探究点二集合与集合中的元素的关系及表达思考1集合及集合中的元素用怎样的字母来表示？答我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合；用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．思考2集合与元素之间的关系如何表示？答如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A或a∈A，读作“a不属于A”．思考3常用的数集有哪些？如何表示？答自然数集记作N；正整数集记作N*或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R.例2下面有三个命题，正确命题的个数为________．(1)集合N中最小的数是1；(2)若－a不属于N，则a属于N；(3)若a∈N，b∈N*，则a＋b的最小值为2.答案0解析(1)最小的数应该是0，(2)反例：－0.5N，且0.5N，(3)当a＝0，b＝1时，a＋b＝1.反思与感悟集合可以用大写的字母表示，但自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集有专用字母表示，一定要牢记，以防混淆．跟踪训练2用符号“∈”或“”填空．(1)－3________N；(2)3.14________Q；(3)3______Q；(4)1________N*；(5)π________R.答案∈∈∈探究点三集合元素的特征思考1某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合定义中“某些确定的”含义是什么？答某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准，高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．“某些确定的”含义是：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．思考2集合定义中“不同的对象”含义是什么？答一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，这就是集合的互异性．思考3“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？答两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性，只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的．思考4通过思考3的讨论，你能给两个集合相等下个定义吗？答如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A 的元素)，那么称这两个集合相等．例3已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．答案－1解析若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝－1或1.(1)当a＝1时，集合A的元素是1和1，不符合集合元素的互异性，故a≠1.(2)当a＝－1时，集合A含有两个元素1和－1，符合集合元素的互异性．故a＝－1.反思与感悟(1)集合元素特性中的互异性，指的是一个集合中不能有两个相同的元素，利用其可以解决一些实际问题，如三角形中的边长问题及元素能否组成集合问题．(2)求解字母的取值范围：当一个集合中的元素含有字母，求解字母的取值范围时，一般可先利用集合中元素的确定性解出集合中字母的所有可能的值或范围，再根据集合元素的互异性进行检验．跟踪训练3已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若a∈A，则实数a的值是________．答案 1解析若a∈A，则a＝a－3或a＝2a－1，当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立；当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时集合A 含有两个元素－2,1符合题意．综上可知a ＝1.1．下列所给关系正确的个数是________．①π∈R ；②3Q ；③0∈N *；④|－4| N *.答案 2解析 ∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.2．下列各条件中能构成集合的是________．①世界著名科学家；②在数轴上与原点非常近的点；③所有等腰三角形；④全班成绩好的同学．答案 ③解析 在①、②、④中，由于都没有确定的标准，因此不能构成集合．3．一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素．答案 10解析 由集合元素的互异性知：集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有10个元素．4．方程x 2－4x ＋4＝0的解集中，有________个元素．答案 1解析 易知方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．5．已知由1，x ，x 2三个实数构成一个集合，求x 应满足的条件．解 根据集合元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠1x 2≠1x ≠x 2，所以x ∈R 且x ≠±1，x ≠0.[呈重点、现规律]1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系.一、基础过关1．下列各项中，不可以组成集合的是________．①所有的正数②等于2的数③接近于0的数④不等于0的偶数答案③解析由于无法判断一个数是否接近于0，故接近于0的数不能组成一个集合．2．集合A中只含有元素a，则下列各式正确的是________．①0∈A②a∉A③a∈A④a＝A答案③解析由题意知A中只有一个元素a，∴0A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含元素的个数为________．答案 2解析由于|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．4．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．答案 ①④解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.5．如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________．答案 x ≠0,1,2，1±52. 解析 由集合元素互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52. 6．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素； (4)某校的年轻教师．解 (1)正确．因为参加2012年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为年轻没有明确的标准．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 二、能力提升8．已知集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是下面给出的________．①锐角三角形 ②直角三角形③钝角三角形 ④等腰三角形答案 ④解析 由元素的互异性知a ，b ，c 均不相等．9．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 等于________．答案 3解析 由2∈A 可知：若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，这与m 2－3m ＋2≠0相矛盾； 若m 2－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，与m ≠0相矛盾，当m ＝3时，此时集合A 的元素为0,3,2，符合题意．10．方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是a ，b ，则a ＋b ＝________. 答案 2解析 方程x 2－2x －3＝0的两根分别是－1和3，由集合相等的概念知a ＋b ＝－1＋3＝2.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？ 解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．12．已知集合M 是由三个元素－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4组成的，若2∈M ，求x . 解 当3x 2＋3x －4＝2时，即x 2＋x －2＝0，则x ＝－2，或x ＝1.经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意．当x 2＋x －4＝2时，即x 2＋x －6＝0，则x ＝－3或2.经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．∴x ＝－3或x ＝2.三、探究与拓展13．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．证明 (1)若a ∈A ，则11－a∈A . 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A . ∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴集合A不可能是单元素集．。
人教版高中数学必修1第1章1.1.1 集合的含义与表示(1)教案
第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示（一）教学目标分析：知识目标：1、了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。
2、掌握集合中元素的特性。
3、能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。
过程与方法：通过实例，从集合中的元素入手，正确表示集合，结合集合中元素的特性，学会观察、比较、抽象、概括的思维方法，领悟分类讨论的数学思想。
情感目标：在运用集合语言解决问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学思维方法解决问题。
重难点分析：重点：集合的含义与表示方法。
难点：集合表示方法的恰当选择及应用。
互动探究：一、课堂探究：1、情境引入军训前学校通知：8月13日上午8点，高一年级学生在学校操场集合前往军训基地；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
2、集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。
在学习集合之前，我们先来简单了解这位著名数学家的生平。
1845年3月3日，乔治••康托尔生于俄国的一个丹麦——犹太血统的家庭。
1856年康托尔和他的父母一起迁到德国的法兰克福。
像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。
他的父亲力促他学工，因而康托尔在1863年带着这个目的进入了柏林大学。
这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。
康托尔很早就向往这所由外尔斯特拉斯占据着的世界数学中心之一。
所以在柏林大学，康托尔受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。
他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。
1874年康托尔在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。
高中数学必修一 《1 1 集合的概念》优质课教案教学设计
《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3， ；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④π的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a，则a或者是集合A的元素，或者不是集合A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．（b）不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的．（4）元素与集合的关系；（a）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（b）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A例如：A表示方程x2＝1 的解．2∉A，1∈A（5）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．（a）列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列表法．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；思考2，引入描述法答案：（1）1~9内所有偶数组成的集合（2）不能，因为集合中元素的个数是无穷多个．说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．（b）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．如：{x|x-3>2}，{（x，y）|y=x2+1}，{直角三角形}，…；思考3：描述法表示集合应注意集合的代表元素{（x，y）|y= x2+3x+2}与{y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z．（6）常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}．下列写法{实数集}，{R}也是错误的．如果写{实数}是正确的．说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．（7）集合的分类问题2：我们看这样一个集合：{ x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？显然这个集合没有元素．我们把这样的集合叫做空集，记作∅．练习：（1）0 ∅（填∈或∉）（2）{ 0 } ∅（填＝或≠）集合的分类：（1）按元素多少分类：有限集、无限集；（2）按元素种类分类：数集、点集等（三）例题讲解例1．用集合表示：①x 2－3＝0的解集；②所有大于0小于10的奇数；③不等式2x －1＞3的解．例2．已知集合S 满足：1S ∉，且当a S ∈时11S a ∈-，若2S ∈，试判断12是否属于S ，说明你的理由．例3．设由4的整数倍加2的所有实数构成的集合为A ，由4的整数倍再加3的所有实数构成的集合为B ，若,x A y B ∈∈，试推断x +y 和x -y 与集合B 的关系．（四）归纳小结本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法．。
高中数学必修1公开课教案1.1.1集合的含义与表示
模块纵览课标要求1.知识与技能认识和理解集合、映射、函数、幂函数、指数函数、对数函数等概念,认识和理解它们的有关性质和运算 .具有一定的把函数应用于实际的能力.2.过程与方法通过背景的给出 ,通过经历、体验和实践探索过程的展现 ,通过数学思想方法的渗透 ,让学生体会过程的重要 ,并在过程中学习知识 ,同时领会一定的数学思想和方法 .3.情感、态度与价值观教育的根本目的是育人 .通过对本模块内容的教学 ,使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣 ,并在初中函数的学习基础上 ,对数学有更深刻的感受 ,提高说理、批判和质疑精神 ,形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯 ,树立良好的情感态度和价值观 .内容概述本模块共三章 :第一章集合与函数概念 ;第二章基本初等函数 (Ⅰ );第三章函数的应用 . 本模块为了用集合与对应的语言刻画函数概念,先在第一章给出集合的有关概念、表示、关系和运算等 ;然后从函数实例出发深化函数概念及其表示,并研究映射概念 ; 进而又给出了函数的性质 :单调性、最值、奇偶性 ,这也是对函数的深化 ;接下来再回到特殊的函数——几个基本初等函数 ,继续认识函数 ,本模块重点涉及了指数函数、对数函数、幂函数 ;最后专门给出了函数在数学和实际中的一些应用实例,使函数的价值得到体现 ,也是进一步巩固函数的概念 ,更加强了数学应用 .概括地说 ,本模块的核心内容是“函数”函.数是描述现实世界最重要、最常用的数学模型,是贯穿整个高中数学的纽带 ,是学生进一步学习的准备 ,是未来公民的必需 ,因此 ,整个模块以函数作为中心 ,以函数思想作为指导思想 .本模块无论是数还是形都用函数观点来研究,研究它们的变化及其规律 .对方程的认识和研究也是从函数出发 ,把它与两个函数相结合 ,把它的解看成两个函数图象的交点的横坐标.这里把函数作为整体来认识 ,方程则被看成是包含于函数的局部.教学建议教师 ,对数学应该有自己深入的想法 ,只有教师深入了才能有教学的浅出;教师 ,对于教学也应该有自己的想法 ,唯其有自己的想法 ,才能发挥自己的特长 ,教出具有独到想法的学生 .1.抓住核心 ,重点突破由于函数是本模块的重点和核心,因此教师要重视函数的教学 ,向学生贯彻函数的数学思想 ,逐步让学生掌握学会函数 ,更会用函数的思想去解决数学和实际问题.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质,教学中可引导学生联系生活常识,尝试列举具体函数 ,构建函数的一般定义 .要注意：①构成函数的要素和相同函数的含义,②函数的三种表示法的联系、区别与适用性 ,③分段函数的意义 ,④映射的概念和判断 .教学中应强调对函数概念本质的理解 ,在求函数定义域、值域时 ,要控制难度 .2.用课本教 ,而非教课本《普通高中数学课程标准》是在《基础教育课程改革纲要 (试行 )》的指导下编写的 ,是数学学科教育目标的具体化 ,体现数学学科对学生最起码的要求 ,是编制高考大纲的依据 ,是数学教学和培养学生数学素质的主要依据,具有指导性 .《普通高中数学课程标准》的目标是包含“双基”在内的三维发展目标 :知识与技能 ,过程与方法 ,情感、态度与价值观 .在这种教学过程中, 课本仅仅是一种学习工具 ,是课程标准的具体化 ,课本内容仅仅是帮助学生实现三维发展目标的一种载体 ,并不要求学生将课本内容全部掌握 .由于高中数学课本版本的多样化 ,高考数学只能依据高中数学课程标准而不是某个版本的课本来命题 .因此在处理新课标课本时 ,首先要考虑高中数学课程标准的培养目标和具体要求.就课本来说 ,版本不同 ,对课程标准的理解就有不同,其处理的方式也就不同 ,因此,在教学中 ,要深入钻研课程标准、课本、学生,找准三者的连接点 .这样在新课程改革的形势下 ,课本仅仅是教学的素材 ,在教学过程中 ,以课本为依托 , 把课本当作指导教学的素材和蓝本,创造性地使用、改造课本 ,最终突破课本 ,即变“教课本”为“用课本教”树,立“用课本教”的课本观 .同时这也要求提醒学生 ,不要把课本看得过于神圣 .3.把学生当成学习的主人独立自主地思考是学习数学的需要,但是合作交流更不能少 .在课堂上 ,教师尽量不要大包大揽 ,以先知先觉出现 ,把结论告诉学生 ,而是推出判断 ,引导学生独立思考 ,并在此基础上进行合作和交流 ,努力实现师生的互动 ,这是课标的要求也是时代发展的必然.4.强调应用 ,突出提出、分析和解决问题的能力数学是美的 ,这正是数学使人兴趣盎然、乐此不疲之处 .数学的美 ,有两个方面 :一是其中的思维之美 ,内在的逻辑和运用逻辑的机智 ,外在的形式 ,莫不充满着思维之美 ;另一方面则是它的作用 ,它在方方面面的应用 .新课标要求强化数学应用 ,在应用中 , 应该特别重视实践能力和创造能力的培养 ;在教学中 ,要重视动手和一题多解的能力 .第一章集合与函数概念本章教材分析通过本章的学习 ,使学生会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象 ,并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换 ,体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性,帮助学生学会用集合语言描述数学对象 ,发展学生运用数学语言进行交流的能力 .通过本章的学习 ,使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还会用集合与对应的语言刻画函数,为后续学习奠定基础 .函数是高中数学的核心概念 ,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习 ,强调结合实际问题 ,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而发展学生对变量数学的认识 ,培养学生的抽象概括能力 ,增强学生应用数学的意识 . 课本力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识,通过列举丰富的实例 ,强调从实例出发 ,让学生对集合和函数概念有充分的感性认知基础,再用集合与对应语言抽象出函数概念.课本突出了集合和函数概念的背景教学,这样比较符合学生的认识规律 .教学中要高度重视数学概念的背景教学 .课本尽量创设使学生运用集合语言和数学符号进行表达和交流的情境和机会, 并注意运用 Venn 图表达集合的关系及运算 ,用图象表示函数 ,帮助学生借助直观图示认识抽象概念 .课本在例题、习题的教学中注重运用集合和函数的观点研究、处理数学问题,这一观点 ,一直贯穿到以后的数学学习中 .在例题和习题的编排中 ,渗透了分类讨论思想 ,让学生体会到分类讨论思想在生活中和数学中的广泛运用 ,这是学生在初中阶段所缺少的 .函数的表示是本章的主要内容之一 ,课本重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法）,目的是丰富学生对函数的认识 , 帮助理解抽象的函数概念 .在教学中 ,既要充分发挥图象的直观作用,又要适当地引导学生从代数的角度研究图象,使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.课本将函数推广到了映射 ,体现了由特殊到一般的思维规律 ,有利于学生对函数概念学习的连续性.在教学中 ,要坚持循序渐进 ,逐步渗透数形结合、分类讨论这方面的训练 .对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解 ,而对定义域、值域的繁难计算 ,特别是人为的过于技巧化的训练不作提倡 ,要准确把握这方面的要求 ,防止拔高教学 .重视函数与信息技术整合的要求 ,通过电脑绘制简单函数动态图象 ,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.为了体现课本的选择性 ,在练习题安排上加大了弹性 ,教师应根据学生实际情况 ,合理地取舍 . 本章教学时间约需 13课时,具体分配如下（仅供参考）:1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示整体设计教学分析集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中 ,集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础 .课本从学生熟悉的集合（自然数的集合、有理数的集合等）出发 ,结合实例给出元素、集合的含义 ,课本注重体现逻辑思考的方法 ,如抽象、概括等.值得注意的问题 :由于本小节的新概念、新符号较多 ,建议教学时先引导学生阅读课本 ,然后进行交流 ,让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用.在信息技术条件较好的学校可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识;也可以由教师给出问题 ,让学生读后回答问题,再由教师给出评价 .这样做的目的是培养学生主动学习的习惯,提高阅读与理解、合作与交流的能力 .在处理集合问题时 ,根据需要 ,及时提示学生运用集合语言进行表述. 三维目标1.通过实例了解集合的含义 ,体会元素与集合的“属于”关系 ,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题 ,提高语言转换和抽象概括能力 ,树立用集合语言表示数学内容的意识.2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号 ,并能够用其解决有关问题 ,提高学生分析问题和解决问题的能力 ,培养学生的应用意识 .重点难点教学重点 :集合的基本概念与表示方法 .教学难点 :选择恰当的方法表示一些简单的集合.课时安排1 课时设计方案（一）教学过程导入新课思路 1.军训前学校通知 :8月15日 8点,高一年级学生到操场集合进行军训 .试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里 ,集合是我们常用的一个词语 ,我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体 ,而不是个别的对象 ,为此 ,我们将学习一个新的概念——集合.思路 2.首先教师提出问题 :在初中 ,我们已经接触过一些集合 ,你能举出一些集合的例子吗 ?引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子 .与此同时 ,教师对学生的活动给予评价 .接着教师指出 :那么,集合的含义是什么呢 ?这就是我们这一堂课所要学习的内容.推进新课新知探究提出问题①请我们班的全体女生起立！接下来问 : “咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在 1.75 以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实 ,生活中有很多东西能构成集合 ,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等. 那么 ,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义 .④如果用 A 表示高一（3）班全体学生组成的集合 ,用 a 表示高一（3）班的一位同学 ,b 是高一（4）班的一位同学 ,那么 a、b与集合 A 分别有什么关系 ?由此看见元素与集合之间有什么关系？⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？⑥世界上的高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？⑧由实数 1、 2、 3、1 组成的集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？⑩由实数 1、2、3组成的集合记为 M,由实数 3、1、2 组成的集合记为 N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？讨论结果：①能.②能.③我们把研究的对象统称为“元素”那,么把一些元素组成的总体叫“集合”.④a是集合 A的元素,b不是集合 A的元素 .学生得出元素与集合的关系有两种 :属于和不属于 . ⑤能 ,是珠穆朗玛峰 .⑥不能 .⑦确定性 .给定的集合 ,它的元素必须是明确的 ,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中 ,这就是集合的确定性 .⑧3 个 .⑨互异性 .一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性 .⑩集合 M 和 N 相同 .这说明集合中的元素具有无序性 ,即集合中的元素是没有顺序的 .可以发现: 如果两个集合中的元素完全相同 ,那么这两个集合是相等的 .提出问题阅读课本 P3中 :数学中一些常用的数集及其记法 .快速写出常见数集的记号 . 活动：先让学生阅读课本 ,教师指定学生展示结果 .学生写出常用数集的记号后 ,教师强调 :通常情况下 ,大写的英文字母 N、Z、 Q、 R 不能再表示其他的集合 ,这是专用集合表示符号 ,类似于 110、 119 等专用电话号码一样 .以后 , 我们会经常用到这些常见的数集 ,要求熟练掌握 . 讨论结果：常见数集的专用符号 .N:非负整数集（或自然数集）（全体非负整数的集合）;N*或 N+:正整数集（非负整数集 N 内排除 0 的集合）;Z:整数集（全体整数的集合）; Q:有理数集（全体有理数的集合）;R:实数集（全体实数的集合）. 提出问题①前面所说的集合是如何表示的？②阅读课本中的相关内容 ,并思考 : 除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合？③集合共有几种表示法 ?活动：①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示.②教师可以举例帮助引导 :例如 ,24 的所有正约数构成的集合,把 24 的所有正约数写在大括号“{} ”内 ,即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24} 的形式 ,这种表示集合的方法是列举法 .注意：大括号不能缺失 ;有些集合所含元素个数较多 , 元素又呈现出一定的规律 ,在不至于发生误解的情况下 ,亦可用列举法表示 , 如: 从 1 到 100 的所有整数组成的集合 :{1,2,3, ⋯,100}自, 然数集 N:{0,1,2,3,4, ⋯,n, ⋯区};分 a 与{a}:{a} 表示一个集合 ,该集合只有一个元素 ,a 表示这个集合的一个元素 ; 用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序 ;相同的元素不能出现两次 .又例如 ,不等式 x-3>2 的解集 ,这个集合中的元素有无数个 ,不适合用列举法表示 .可以表示为 {x ∈ R|x-3>2} 或{x|x-3>2}, 这种表示集合的方法是描述法 .③让学生思考总结已经学习了的集合表示法 .讨论结果：①方法一（字母表示法）:大写的英文字母表示集合 ,例如常见的数集 N、 Q,所有的正方形组成的集合记为 A 等等 ;方法二（自然语言）:用文字语言来描述出的集合 ,例如“所有的正方形”组成的集合等等 .②列举法 :把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{} 括”起来表示集合 ,这种表示集合的方法叫做列举法 ;描述法 :在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值（或变化）范围 ,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 .这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法 .注 :在不致混淆的情况下 ,也可以简写成列举法的形式 ,只是去掉竖线和元素代表符号 ,例如 :所有直角三角形的集合可以表示为 {x|x 是直角三角形 }, 也可以写成 {直角三角形 }.③表示一个集合共有四种方法 : 字母表示法、自然语言、列举法、描述法.应用示例思路 11.下列各组对象不能组成集合的是（）A.大于 6 的所有整数B.高中数学的所有难题1C.被 3 除余 2 的所有整数D.函数 y= 图象上所有的点x活动：学生先思考、讨论集合元素的性质,教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对象能否构成集合 ,关键是看是否满足集合元素的确定性 .在选项 A、C、D中的元素符合集合的确定性 ;而选项 B 中,难题没有标准 ,不符合集合元素的确定性 ,不能构成集合答案： B变式训练1. 下列条件能形成集合的是 （ ） A.充分小的负数全体 C.中国的富翁 答案： D2.2007 浙江宁波高三第一次 “十校联考 ”理, 1 在数集 {2x,x 2-x} 中 ,实数 x 的取值范围是 .分析 :实数 x 的取值满足集合元素的互异性 ,则 2x ≠x 2-x,解得 x ≠0且 x ≠ 3∴,实数 x 的取值范围 是 {x|x<0 或 0<x<3 或 x>3}.答案： {x|x<0 或 0<x<3 或 x>3}B.爱好足球的人D.某公司的全体点评： 本题主要考查集合的含义和元素的性质 .当所指的对象非常明确时就能构成集合 ,若元素不明确 ,没有判断的标准就不能构成集合 .2. 用列举法表示下列集合 :(1) 小于 10 的所有自然数组成的集合 ;(2) 方程 x 1 2=x 的所有实数根组成的集合 ;(3) 由 1~20 以内的所有质数组成的集合 .活动：学生先思考或讨论列举法的形式 ,展示解答过程 .当学生出现错误时 ,教师及时加以纠正 利用相关的知识先明确集合中的元素 ,再把元素写入大括号 “{} 内” ,并用逗号隔开 .所给的集合均是用自然语言给出的 .提示学生注意以下方面 :(1) 自然数中包含零 ;(2) 解一元二次方程有公式法和分解因式法 ,方程 x 2=x 的根是 x=0,x=1;(3) 除去 1 和本身外没有其他约数的正整数是质数 ,1~20 以内的所有质数是 2、3、5、7、11、1 所有绝对值等于 8 的数的集合 A;2 所有绝对值小于 8 的整数的集合 B. 答案： (1)A={-8,8};(2) B={-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}.3. 试分别用列举法和描述法表示下列集合 :(1) 方程 x 2-2=0 的所有实数根组成的集合 ;(2) 由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合 .活动： 先让学生回顾列举法表示集合的步骤 ,思考描述法的形式 ,再找学生到黑板上书写 .当学生出现错误时 ,教师指导学生书写过程 .用描述法表示集合时 ,要用数学符号表示集合元素的 特征 .大于 10 小于 20 的所有整数用数学符号可以表示为 10<x<20,x ∈ Z.(重点引导用描述法表示集合 )用描述法表示集合时 ,用一个小写英文字母表示集合中的元素 ,作为集合中元素的代表符号找到集合中元素的共同特征 ,并把共同特征用数学符号来表达 ,然后写在大括号 “{} 内”,在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值 (或变化 )范围 ,再画一条竖线 ,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 .在(1) 中利用条件中现有元素代表符号 x,集合中元素的共同特征就是满足方程x 2-2=0.13、 17、19. 解： (1)设小于 10的所有自然数组成的集合为A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2) 设方程 x 2=x 的所有实数根组成的集合为 A={0,1}.(3) 设由 1~20 以内的所有质数组洁性和严谨性 ,以后我们尽量用集合来表示数学内容 如果一个集合是有限集 ,并且元素的个数较少时 表示出了集合中的元素 ,是常用的表示法 ; 列举法表示集合的步骤 :(1) 用字母表示集合 大括号 “{}内”,并写成 A={⋯⋯}的形式 . 变式训练 用列举法表示下列集合 :成的集合为C={2,3,5,7,11,13,17,19}.点评：本题主要考查集合表示法中的列举法A,那么B,那么C,那么.通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简,通常选择列举法表示 ,其特点是非常显明地 ;(2) 明确集合中的元素 ;(3)把集合中所有元素写在在 (2)的条件中没有元素代表符号 ,故要先设出 ,用一个小写英文字母表示即可 ;集合中元素的 共同特征有两个 : 一是大于 10 小于 20(用不等式表示 ),二是整数 (用元素与集合的关系符号 “∈”来表示 ).解： (1)设方程 x 2-2=0 的实根为 x,它满足条件 x 2-2=0,因此,用描述法表示为 A={x ∈R|x 2-2=0}.方程 x 2-2=0 的两个实数根为 2 , 2 ,因此 ,用列举法表示为 A={ 2 , 2 }.(2) 设大于 10 小于 20 的整数为 x,它满足条件 x ∈Z,且 10<x<20,因此 ,用描述法表示为 B={x ∈ Z |10<x<20}.大于 10 小于 20 的整数有 11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此 ,用列举法表示为 B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.描述法表示集合的步骤 :(1) 用字母分别表示集合和元素 ;(2)用数学符号表达集合元素的共同 特征 ;(3) 在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值 (或变化 )范围 ,再画一条竖线 ,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 .并写成 A={⋯| ⋯}的形式 .描述法适合表示有无数个元素的集合 .注意： 当集合中的元素个数较少时 ,通常用列举法表示 ,否则用描述法表示 .思路 21. (1)A={1,3}, 判断元素 3,5 和集合 A 的关系 ,并用符号表示 . (2) 所有素质好的人能否表示为集合 ? (3) A={2,2,4} 表示是否准确 ?(4) A={ 太平洋 ,大西洋 },B={ 大西洋 ,太平洋 } 是否表示同一集合 ? 活动： 如果学生没有解题思路 ,让学生思考以下知识 : (1) 元素与集合的关系及其符号表示 ; (2) 集合元素的性质 ; (3) 两个集合相同的定义 .解：(1)根据元素与集合的关系有两种 :属于(∈)和不属于 ( ),知3属于集合 A,即 3∈A,5 不属 于集合 A, 即 5 A. (2) 由于素质好的人标准不可量化 ,不符合集合元素的确定性 ,故 A 不能表示为集合 (3) 表示不准确 ,不符合集合元素的互异性 ,应表示为 A={2,4}. (4) 因其元素相同 ,A 与 B 表示同一集合 . 变式训练 1.数集{3,x,x 2-2x}中,实数 x满足什么条件 ? 解： 集合元素的特征说明 {3,x,x 2-2x} 中元素应满足x 3, x 3, x 3,x 2 x 2x,即 2 x 3x,也就是 x 0, 即满足 x ≠-1,0,33 2 x2x, 2 x 2x 3 0, x 1, 2.方程 ax 2+5x+c=0 的解集是{ 11, }, 则___,c= ____ .231 11 1 分析 :方程 ax 2+5x+c=0 的解集是 { , }, 那么 、 是方程的两根2 32 31 15,2 3 a a -6,即有 2 3 a得那么 a=-6,c=-1.1 ?1 c, c -1,2?3 a,答案： 6 -13.集合 A 中的元素由关于 x 的方程 kx2-3x+2=0 的解构成 ,其中 k∈ R,若 A 中仅有一个元素 ,求 k 的值 .解：由于 A 中元素是关于 x 的方程 kx2-3x+2=0(k ∈R)的解,2若 k=0, 则 x= ,知 A 中有一个元素 ,符合题设 ;3若 k≠ 0则, 方程为一元二次方程 ,9当Δ=9-8k=0 即 k= 时 ,kx2-3x+2=0 有两相等的实数根 ,此时 A 中有一个元素 .89综上所述 k=0 或 k= .84.2006山东高考 ,理1定义集合运算 :A ⊙B={z|z=xy(x+y),x ∈A,y∈B}, 设集合A={0,1},B={2,3}, 则集合 A ⊙ B 的所有元素之和为⋯( )A.0B.6C.12D.18 分析 :∵x∈ A, ∴ x=0 或 x=1.当 x=0,y ∈B 时 ,总有 z=0;当 x=1 时 ,若 x=1,y=2 时 ,有 z=6;当 x=1,y=3 时 ,有 z=12.综上所得 ,集合 A ⊙ B 的所有元素之和为 0+6+12=18.答案： D注意：①判断元素与此集合的关系时 ,用列举法表示的集合 ,只需观察这个元素是否在集合中即可 .用符号∈ , 表示 ,注意这两个符号的左边写元素 ,右边写集合 ,不能互换它们的位置 ,否则没有意义 .②如果有明确的标准来判断元素在集合中,那么这些元素就能构成集合 ,否则不能构成集合 .③用列举法表示的集合 ,直接观察它们的元素是否完全相同,如果完全相同 , 那么这两个集合就相等 ,否则不相等 .2.用列举法表示下列集合 :(1)小于 5 的正奇数组成的集合 ;(2)能被 3整除且大于 4 小于 15的自然数组成的集合 ;(3)方程 x2-9=0 的解组成的集合 ;(4){15 以内的质数 };6(5){x| 6∈Z,x∈Z}.3x活动：教师指导学生思考列举法的书写格式,并讨论各个集合中的元素 .明确各个集合中的元素,写在大括号内即可 .提示学生注意：(2)中满足条件的数按从小到大排列时 ,从第二个数起 ,每个数比前一个数大 3; (4)中除去 1 和本身外没有其他的约数的正整数是质数 ;(5)中 3-x 是 6 的约数 ,6 的约数有±1, ±2, ±3, ±6.解： (1)满足题设条件小于 5的正奇数有 1、3,故用列举法表示为 {1,3};(2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数有 6、9、12,故用列举法表示为{6,9,12};(3)方程 x2-9=0 的解为 -3、 3,故用列举法表示为 {-3,3};(4)15 以内的质数有 2、 3、5、7、11、13,故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13};(5)满足6∈Z 的 x 有 3-x=±1、±2、±3、±6,解之,得 x=2、4、1、5、0、 6、-3、9,故用列3x举法表示为 {2,4,1,5,0,6,-3,9}. 变式训练用列举法表示下列集合 :(1)x 2-4 的一次因式组成的集合 ;(2){y|y=-x 2-2x+3,x ∈R,y∈N};(3)方程 x2+6x+9=0 的解集 ;(4){20 以内的质数 };(5){(x,y)|x 2+y2=1,x∈ Z ,y∈ Z };(6){ 大于 0 小于 3 的整数 };(7){x ∈ R |x2 +5x-14=0};(8){(x,y)|x ∈N 且 1≤ x<4,y-2x=0};(9){(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y∈N}.思路分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素 ,要注意不重不漏,不计次序地用“,隔”开放在大括号内 .解： (1)因 x2-4=(x-2)(x+2), 故符合题意的集合为 {x-2,x+2};(2)y=-x 2-2x+3=-(x+1) 2+4,即 y≤ 4又. y∈N,∴y=0、1、2、3、4, 故{y|y=-x 2-2x+3,x ∈R,y∈N}={0,1,2,3,4};(3)由 x2+6x+9=0 得 x1=x2=-3,∴方程 x2+6x+9=0 的解集为 {-3};(4){20 以内的质数 }={2,3,5,7,11,13,17,19};(5)因 x∈Z ,y∈ Z ,则 x=-1、0、1 时,y=0、1、-1, 那么 {(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}={(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,0)};(6){ 大于 0 小于 3 的整数 }={1,2};(7)因 x2+5x-14=0 的解为 x1=-7,x 2=2,则{x ∈ R |x2+5x-14=0}={-7,2};(8)当 x∈N 且 1≤x<4时,x=1、2、3,此时 y=2x,即 y=2、4、6,那么 {(x,y)|x ∈N 且 1≤x<4,y-2x=0}={(1,2),(2,4),(3,6)};(9){(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y∈N}={(0,6)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}. 点评：本题主要考查集合的列举法表示 .列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合.用列举法表示集合 :先明确集合中的元素 ,再把元素写在大括号内并用逗号隔开, 相同的元素写成一个.3.用描述法分别表示下列集合 :(1)二次函数 y=x2图象上的点组成的集合 ;(2)数轴上离原点的距离大于 6 的点组成的集合 ;(3)不等式 x-7<3 的解集 . 活动：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标。
1.1集合的概念(第二课时)教学设计高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
高一数学教案科目数学授课时间2023年秋第1周主备人课题第1节集合的概念（第二课时）教学目标数学核心素养1. 了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号．2. 深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．3. 会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。
感受集合语言的意义和作用。
教学重点集合的两种表示方法，会正确表述和理解集合的含义；教学难点用描述法表示集合教学过程教学实施记要环节一【新知引入】1．列举法把集合的元素出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．点睛：列举法表示集合时的 4 个关注点：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开(2)集合中的元素必须是明确的.(3)集合中的元素不能重复(4)集合中的元素可以是任何事物.2．描述法(1)定义：用集合所含元素的表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的及，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的．[点睛]描述法表示集合时的3 个关注点(1)写清楚集合中元素的符号。
如数或点等(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等(3)不能出现未被说明的字母用列举法表示集合的步骤及注意点（1）分清元素：用列举法表示集合，要分清是数集还是点集，或是其他元素.（2）书写集合：列元素时要做到不重复、不遗漏.提醒:二元方程组的解集、函数的图象上的点形成的集合都是点的集合，一定要写成有序实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.环节二例1 用列举法表示下列集合：（1）单词“<m>s ee</m>”中的字母组成的集合；（2）所有正整数组成的集合；（3）直线<m>y=x</m>与<m>y=2x−1</m>的交点组成的集合. 例2 用描述法表示下列集合：（1）函数<m>y=−x</m>图象上的点组成的集合；（2）数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；（3）不等式<m>x−2<3</m>的解组成的集合.环节三【小组合作与展示】1.集合{x|x2−4x+3=0}用列举法表示为( @54 ).A. {1,3}B. {(1,3)}C. {x2−4x+3=0}D. {x=1,x=3}2.方程组{x+y=3,x−y=−1的解集不能表示为( @56 ).A. {(x,y)∣{x+y=3,x−y=−1} B. {(x,y)∣{x=1,y=2}C. {1,2}D. {(x,y)|x=1,y=2}3、用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．课堂小结1、列举法2、描述法3、例举法和描述法需要注意的问题板书设计1、元素与集合的关系符号书写2、集合的表示方法：列举法和描述法3、注意事项作业布置1、用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合．变式1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？变式2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？2、用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的正整数的集合；(2)坐标平面内第一象限的点的集合；(3)大于4的所有偶数．教学反思。
人教版高中必修1(B版)1.1.1集合的概念教学设计
人教版高中必修1(B版)1.1.1集合的概念教学设计一、教学目标1.理解集合的概念、元素和符号表示方法。
2.能够根据集合的定义和运算规则解决简单的集合问题。
3.培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
二、教学重点和难点1.集合的概念、元素和符号表示方法。
2.集合的包含关系和运算规则。
三、教学内容1. 集合的引入教师用故事引入集合的概念，如小明家有3个苹果，4个橘子和2个葡萄，这些水果可以构成一个集合，集合的元素就是这些水果。
然后教师引领学生发现集合可以用花括号{}表示，如集合{苹果，橘子，葡萄}。
2. 集合的定义教师引导学生从实际中发现集合的概念，如一所学校所有学生构成一个集合，或者全国所有男生和女生分别构成两个集合。
然后教师引导学生发现集合的定义：将一些确定的对象组成的整体叫做集合，其中的每一个对象都叫做集合的元素。
例如，{1，2，3，4}是一个集合，1，2，3，4是集合的元素。
3. 集合的符号表示法教师在黑板上写出集合的符号表示法，如集合A={1，2，3}，集合B={x|x是小于5的偶数}。
然后教师引导学生理解符号表示法的意义和用途。
4. 集合的包含关系教师引导学生发现集合的包含关系，如一个集合A包含另一个集合B，当且仅当A中所有的元素都属于B。
例如，{1，2，3}包含{1，2}和{}，但不包含{1，2，3，4}。
然后教师引导学生理解子集和真子集的概念。
5. 集合的运算规则教师引导学生发现集合的运算规则，包括集合的并、交、差和补等。
然后教师提供简单的例题，让学生应用集合的定义和运算规则解决问题。
四、教学方法1.演示法：用故事、图示等形式演示集合的概念和运算规则。
2.体验法：让学生通过实际操作，感受集合的定义和运算规则。
3.对话法：通过对话，引导学生理解集合的概念和运算规则。
4.问题导向法：提出问题，让学生应用集合的知识解决问题。
五、教学评价1.在教学过程中，教师要注意观察学生的学习情况，及时调整教学策略。
新课标必修一示范教案(1.1集合的含义与表示)
1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示整体设计三维目标1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.重点难点教学重点:集合的基本概念与表示方法.教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.课时安排1课时设计方案（一）教学过程导入新课思路1.军训前学校通知:8月15日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合.思路2.首先教师提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子.与此同时,教师对学生的活动给予评价.接着教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.推进新课新知探究提出问题①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.④如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a表示高一(3)班的一位同学,b是高一(4)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？⑥世界上的高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？讨论结果：①能.②能.③我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集合”.④a是集合A的元素,b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于.⑤能,是珠穆朗玛峰.⑥不能.⑦确定性.给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.⑧3个.⑨互异性.一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.⑩集合M和N相同.这说明集合中的元素具有无序性,即集合中的元素是没有顺序的.可以发现:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.提出问题阅读课本P3中:数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号.活动：先让学生阅读课本,教师指定学生展示结果.学生写出常用数集的记号后,教师强调:通常情况下,大写的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,这是专用集合表示符号,类似于110、119等专用电话号码一样.以后,我们会经常用到这些常见的数集,要求熟练掌握.讨论结果：常见数集的专用符号.N:非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合);N*或N+:正整数集(非负整数集N内排除0的集合);Z:整数集(全体整数的集合);Q:有理数集(全体有理数的集合);R:实数集(全体实数的集合).提出问题①前面所说的集合是如何表示的？②阅读课本中的相关内容,并思考:除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合？③集合共有几种表示法?活动：①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示.②教师可以举例帮助引导:例如,24的所有正约数构成的集合,把24的所有正约数写在大括号“{}”内,即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式,这种表示集合的方法是列举法.注意：大括号不能缺失;有些集合所含元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如:从1到100的所有整数组成的集合:{1,2,3,…,100},自然数集N:{0,1,2,3,4,…,n,…};区分a 与{a}:{a}表示一个集合,该集合只有一个元素,a表示这个集合的一个元素;用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序;相同的元素不能出现两次.又例如,不等式x-3>2的解集,这个集合中的元素有无数个,不适合用列举法表示.可以表示为{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2},这种表示集合的方法是描述法.③让学生思考总结已经学习了的集合表示法.讨论结果：①方法一(字母表示法):大写的英文字母表示集合,例如常见的数集N、Q,所有的正方形组成的集合记为A等等;方法二(自然语言):用文字语言来描述出的集合,例如“所有的正方形”组成的集合等等.②列举法:把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法;描述法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x 是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.③表示一个集合共有四种方法:字母表示法、自然语言、列举法、描述法.应用示例思路11.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点 活动：学生先思考、讨论集合元素的性质,教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对象能否构成集合,关键是看是否满足集合元素的确定性.在选项A 、C 、D 中的元素符合集合的确定性;而选项B 中,难题没有标准,不符合集合元素的确定性,不能构成集合.答案：B变式训练1.下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工答案：D2.2007浙江宁波高三第一次“十校联考”,理1在数集{2x,x 2-x}中,实数x 的取值范围是.分析:实数x 的取值满足集合元素的互异性,则2x≠x 2-x,解得x≠0且x≠3,∴实数x 的取值范围是{x|x<0或0<x<3或x>3}.答案：{x|x<0或0<x<3或x>3}点评：本题主要考查集合的含义和元素的性质.当所指的对象非常明确时就能构成集合,若元素不明确,没有判断的标准就不能构成集合.2.用列举法表示下列集合:(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程x 2=x 的所有实数根组成的集合;(3)由1~20以内的所有质数组成的集合.活动：学生先思考或讨论列举法的形式,展示解答过程.当学生出现错误时,教师及时加以纠正.利用相关的知识先明确集合中的元素,再把元素写入大括号“{}”内,并用逗号隔开.所给的集合均是用自然语言给出的.提示学生注意以下方面:(1)自然数中包含零;(2)解一元二次方程有公式法和分解因式法,方程x 2=x 的根是x=0,x=1;(3)除去1和本身外没有其他约数的正整数是质数,1~20以内的所有质数是2、3、5、7、11、13、17、19.解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)设方程x 2=x 的所有实数根组成的集合为B,那么A={0,1}.(3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C,那么C={2,3,5,7,11,13,17,19}.点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性,以后我们尽量用集合来表示数学内容.如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={……}的形式.变式训练用列举法表示下列集合:(1)所有绝对值等于8的数的集合A;(2)所有绝对值小于8的整数的集合B.答案：(1)A={-8,8};(2)B={-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}.3.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.活动：先让学生回顾列举法表示集合的步骤,思考描述法的形式,再找学生到黑板上书写.当学生出现错误时,教师指导学生书写过程.用描述法表示集合时,要用数学符号表示集合元素的特征.大于10小于20的所有整数用数学符号可以表示为10<x<20,x∈Z.(重点引导用描述法表示集合)用描述法表示集合时,用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“{}”内,在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.在(1)中利用条件中现有元素代表符号x,集合中元素的共同特征就是满足方程x2-2=0.在(2)的条件中没有元素代表符号,故要先设出,用一个小写英文字母表示即可;集合中元素的共同特征有两个:一是大于10小于20(用不等式表示),二是整数(用元素与集合的关系符号“∈”来表示).解：(1)设方程x2-2=0的实根为x,它满足条件x2-2=0,因此,用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}.-,因此,用列举法表示为方程x2-2=0的两个实数根为2,2-}.A={2,2(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z,且10<x<20,因此,用描述法表示为B={x∈Z|10<x<20}.大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.描述法表示集合的步骤:(1)用字母分别表示集合和元素;(2)用数学符号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A={…|…}的形式.描述法适合表示有无数个元素的集合.注意：当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示,否则用描述法表示.思路21.(1)A={1,3},判断元素3,5和集合A 的关系,并用符号表示.(2)所有素质好的人能否表示为集合?(3)A={2,2,4}表示是否准确?(4)A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合?活动：如果学生没有解题思路,让学生思考以下知识:(1)元素与集合的关系及其符号表示;(2)集合元素的性质;(3)两个集合相同的定义.解：(1)根据元素与集合的关系有两种:属于(∈)和不属于(∉),知3属于集合A,即3∈A,5不属于集合A,即5∉A.(2)由于素质好的人标准不可量化,不符合集合元素的确定性,故A 不能表示为集合.(3)表示不准确,不符合集合元素的互异性,应表示为A={2,4}.(4)因其元素相同,A 与B 表示同一集合.变式训练1.数集{3,x,x 2-2x}中,实数x 满足什么条件?解：集合元素的特征说明{3,x,x 2-2x}中元素应满足⎪⎩⎪⎨⎧-≠-≠≠,23,2,322x x x x x x 即⎪⎩⎪⎨⎧≠--≠≠,032,3,322x x x x x 也就是⎪⎩⎪⎨⎧-≠≠≠,1,0,3x x x 即满足x≠-1,0,3. 2.方程ax 2+5x+c=0的解集是{21,31},则a=________,c=_______. 分析:方程ax 2+5x+c=0的解集是{21,31},那么21、31是方程的两根, 即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙-=+,3121,53121ac a 得⎩⎨⎧==-1,c -6,a 那么a=-6,c=-1.答案：6 -13.集合A 中的元素由关于x 的方程kx 2-3x+2=0的解构成,其中k ∈R,若A 中仅有一个元素,求k 的值.解：由于A 中元素是关于x 的方程kx 2-3x+2=0(k ∈R)的解,若k=0,则x=32,知A 中有一个元素,符合题设; 若k≠0,则方程为一元二次方程,当Δ=9-8k=0即k=89时,kx 2-3x+2=0有两相等的实数根,此时A 中有一个元素. 综上所述k=0或k=89. 4.2006山东高考,理1定义集合运算:A ⊙B={z|z=xy(x+y),x ∈A,y ∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A ⊙B 的所有元素之和为…( )A.0B.6C.12D.18分析:∵x ∈A,∴x=0或x=1.当x=0,y ∈B 时,总有z=0;当x=1时,若x=1,y=2时,有z=6;当x=1,y=3时,有z=12.综上所得,集合A ⊙B 的所有元素之和为0+6+12=18.答案：D注意：①判断元素与此集合的关系时,用列举法表示的集合,只需观察这个元素是否在集合中即可.用符号∈,表示,注意这两个符号的左边写元素,右边写集合,不能互换它们的位置,否则没有意义.②如果有明确的标准来判断元素在集合中,那么这些元素就能构成集合,否则不能构成集合. ③用列举法表示的集合,直接观察它们的元素是否完全相同,如果完全相同,那么这两个集合就相等,否则不相等.2.用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程x 2-9=0的解组成的集合;(4){15以内的质数}; (5){x|x-36∈Z ,x ∈Z }. 活动：教师指导学生思考列举法的书写格式,并讨论各个集合中的元素.明确各个集合中的元素,写在大括号内即可.提示学生注意：(2)中满足条件的数按从小到大排列时,从第二个数起,每个数比前一个数大3;(4)中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数;(5)中3-x 是6的约数,6的约数有±1,±2,±3,±6.解：(1)满足题设条件小于5的正奇数有1、3,故用列举法表示为{1,3};(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6、9、12,故用列举法表示为{6,9,12};(3)方程x 2-9=0的解为-3、3,故用列举法表示为{-3,3};(4)15以内的质数有2、3、5、7、11、13,故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13};(5)满足x-36∈Z 的x 有3-x=±1、±2、±3、±6,解之,得x=2、4、1、5、0、6、-3、9,故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6,-3,9}.变式训练用列举法表示下列集合:(1)x 2-4的一次因式组成的集合;(2){y|y=-x 2-2x+3,x ∈R ,y ∈N };(3)方程x 2+6x+9=0的解集;(4){20以内的质数};(5){(x,y)|x 2+y 2=1,x ∈Z ,y ∈Z };(6){大于0小于3的整数};(7){x ∈R |x 2+5x-14=0};(8){(x,y)|x ∈N 且1≤x<4,y -2x=0};(9){(x,y)|x+y=6,x ∈N ,y ∈N }.思路分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素,要注意不重不漏,不计次序地用“,”隔开放在大括号内.解：(1)因x2-4=(x-2)(x+2),故符合题意的集合为{x-2,x+2};(2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,即y≤4.又y∈N,∴y=0、1、2、3、4,故{y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}={0,1,2,3,4};(3)由x2+6x+9=0得x1=x2=-3,∴方程x2+6x+9=0的解集为{-3};(4){20以内的质数}={2,3,5,7,11,13,17,19};(5)因x∈Z,y∈Z,则x=-1、0、1时,y=0、1、-1,那么{(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}={(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,0)};(6){大于0小于3的整数}={1,2};(7)因x2+5x-14=0的解为x1=-7,x2=2,则{x∈R|x2+5x-14=0}={-7,2};(8)当x∈N且1≤x<4时,x=1、2、3,此时y=2x,即y=2、4、6,那么{(x,y)|x∈N且1≤x<4,y-2x=0}={(1,2),(2,4),(3,6)};(9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}={(0,6)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}.点评：本题主要考查集合的列举法表示.列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合.用列举法表示集合:先明确集合中的元素,再把元素写在大括号内并用逗号隔开,相同的元素写成一个.3.用描述法分别表示下列集合:(1)二次函数y=x2图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;(3)不等式x-7<3的解集.活动：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点？如何表示数轴上的点？如何表示不等式的解？学生板书,教师在其他学生中间巡视,及时帮助思维遇到障碍的同学.必要时,教师可提示学生:(1)集合中的元素是点,它是坐标平面内的点,集合元素代表符号用有序实数对(x,y)来表示,其特征是满足y=x2;(2)集合中元素是点,而数轴上的点可以用其坐标表示,其坐标是一个实数,集合元素代表符号用x来表示,其特征是对应的实数绝对值大于6;(3)集合中的元素是实数,集合元素代表符号用x来表示,把不等式化为x<a的形式,则这些实数的特征是满足x<a.解：(1)二次函数y=x2上的点(x,y)的坐标满足y=x2,则二次函数y=x2图象上的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x2};(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x∈R||x|>6};(3)不等式x-7<3的解是x<10,则不等式x-7<3的解集表示为{x|x<10}.点评：本题主要考查集合的描述法表示.描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合.用描述法表示集合时,集合元素的代表符号不能随便设,点集的元素代表符号是(x,y),数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质.变式训练用描述法表示下列集合:(1)方程2x+y=5的解集;(2)小于10的所有非负整数的集合;(3)方程ax+by=0(ab≠0)的解;(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;(6)方程组⎩⎨⎧==+1y -x 1,y x 的解的集合; (7){1,3,5,7,…};(8)x 轴上所有点的集合;(9)非负偶数;(10)能被3整除的整数.解：(1){(x,y)|2x+y=5};(2){x|0≤x<10,x ∈Z };(3){(x,y)|ax+by=0(ab≠0)};(4){x||x|>3};(5){(x,y)|xy<0};(6){(x,y)|⎩⎨⎧==+1y -x 1y x }; (7){x|x=2k-1,k ∈N *};(8){(x,y)|x ∈R ,y=0};(9){x|x=2k,k ∈N };(10){x|x=3k,k ∈Z }.知能训练课本P 5练习1、2.【补充练习】1.下列对象能否组成集合:(1)数组1、3、5、7;(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;(3)满足3x-2>x+3的全体实数;(4)所有直角三角形;(5)美国NBA 的著名篮球明星;(6)所有绝对值等于6的数;(7)所有绝对值小于3的整数;(8)中国男子足球队中技术很差的队员;(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.答案：(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能组成集合,(5)(8)不能组成集合.2.(口答)说出下面集合中的元素:(1){大于3小于11的偶数};(2){平方等于1的数};(3){15的正约数}.答案：(1)其元素为4,6,8,10;(2)其元素为-1,1;(3)其元素为1,3,5,15.3.用符号∈或∉填空:(1)1______N ,0______N ,-3______N ,0.5______N ,2______N ;(2)1______Z ,0______Z ,-3______Z ,0.5______Z ,2______Z ;(3)1______Q ,0______Q ,-3______Q ,0.5______Q ,2______Q ;(4)1______R ,0______R ,-3______R ,0.5______R ,2______R .答案：(1)∈ ∈ ∉ ∉ ∉(2)∈ ∈ ∈ ∉ ∉(3)∈ ∈ ∈ ∈ ∉(4)∈ ∈ ∈ ∈ ∈4.判断正误:(1)所有属于N 的元素都属于N *. ( )(2)所有属于N 的元素都属于Z . ( )(3)所有不属于N *的数都不属于Z . ( )(4)所有不属于Q 的实数都属于R . ( )(5)不属于N 的数不能使方程4x=8成立. ( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√5.分别用列举法、描述法表示方程组⎩⎨⎧==+273y -2x 2,y 3x 的解集.解：因⎩⎨⎧==+273y -2x 2,y 3x 的解为⎩⎨⎧==-7.y 3,x 用描述法表示该集合为{(x,y)|⎩⎨⎧==+273y -2x 2y 3x }; 用列举法表示该集合为{(3,-7)}.拓展提升问题:集合A={x|x=a+2b,a ∈Z ,b ∈Z },判断下列元素x=0、121-、231-与集合A 之间的关系.活动：学生先思考元素与集合之间有什么关系,书写过程,将元素x 化为a+2b 的形式,再判断a 、b 是否为整数.描述法表示集合的优点是突出显示了集合元素的特征,那么判断一个元素是否属于集合时,转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可.解：由于x=a+b 2,a ∈Z ,b ∈Z ,∴当a=b=0时,x=0.∴0∈A. 又121-=2+1=1+2,当a=b=1时,a+b 2=1+2,∴121-∈A. 又231-=3+2,当a=3,b=1时,a+b 2=3+2,而3∉Z, ∴231-∉A.∴0∈A,121-∈A,231-∉A.点评：本题考查集合的描述法表示以及元素与集合间的关系.课堂小结本节学习了:(1)集合的概念;(2)集合的表示法;(3)利用列举法和描述法表示集合的步骤. 作业课本P 11习题1.1A 组2、3、4.设计感想集合语言是现代数学的基本语言,在高中数学课程中,它也是学习、掌握和使用数学语言的基础.由于集合的概念较难理解,因此设计时采用渐进式学习,而集合的列举法和描述法的形式比较容易接受,在设计时注重让学生自己学习,重点引导学生学习这两种方法的应用.同时通过解决一系列具体问题,使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点;针对不同问题,能选用合适集合表示法.在练习过程中熟练掌握集合语言与自然语言的转换.教师在教学过程中时时监控,对学生不可能解决的问题,如集合常见表示法的写法,常见数集及其记法应直接给出,以避免出现不必要的混乱.对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨.引导学生养成良好学习习惯,最大限度地挖掘学生的学习潜力是我们教师的奋斗目标.。
人教新课标高中数学B版必修1《1.1.1 集合的概念》教学设计(表格式)
1.1.1 集合的概念一、教材分析1.知识来源：集合的概念选自人民教育出版社B版必修一第一章第一节集合与集合的表示方法的第一小节.2.知识背景：作为现代数学基础的集合论，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学中一些冗长的文字语言，高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，作为一种数学简单符号来探究.通过本节课的学习，是阶段性的要求，学生将领悟集合的抽象性及其具体性，学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，逐渐发展运用数学语言进行交流的能力.3.知识外延：集合相关知识的学习对于接下来函数的学习至关重要，高中函数的概念将建立在集合间关系的基础上的.二、学情分析1.学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过度知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度.再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理.因此本节授课方法就显得十分重要.2.学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力.对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣.三、教学目标：1、知识与技能（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法.（2）初步了解“属于”、“不属于”关系的意义.（3）初步了解有限集、无限集、空集的意义.2、过程与方法（1）通过实例，初步体会元素与集合之间的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确的理解集合.（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己思考举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义.（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）.3、情感、态度与价值观（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力.初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度.四、教学重难点重点：使学生了解集合的含义以及具体的表示方法.难点：区别较多的新概念和相应的新符号.五、课时分配：集合的学习约为6课时1、集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念 1课时1.1.2集合的表示方法 1课时1、2集合之间的关系和运算1.2.1集合之间的关系 1课时1.2.2集合的运算 2课时小结与复习 1课时六、教学建议集合是一个不加定义的概念，教学中应结合学生的生活经验和已有的数学知识，通过列举丰富的实例，是学生理解集合的含义.学习集合语言最好的方法是运用，在教学中要创设学生运用集合语言进行表达和交流的情景和机会，以使学生在实际运用中逐渐熟悉自然语言、集合语言、图形语言各自的特点，进行相互转换并掌握集合语言.在关于集合之间的关系和运算的教学中，使用Venn图是重要的，Venn图有助于学生学习、掌握、运用集合语言和其他数学语言.七、教学过程。
教学设计3：1.1.1集合的概念
在师生互动中，让学生了解或体会下例问题：
1．本节课我们学习过哪些知识内容?
2．你认为学习集合有什么意义？
3．选择集合的表示法时应注意些什么?
（五）课后练习
（六）板书设计
1.集合的含义
例题板演
2.元素与集合的关系
3.元素的特征3.常Biblioteka 数集及记法4.集合的表示法
教学
反思
(4)所有的正方形；
(5)浙江省在2009年9月之前建成的所有立交桥；
(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；
(7)方程 的所有实数根；
(8)不等式 的所有解；
(9)丽水中学2009年9月入学的高一学生的全体.
2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?
3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.
一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.
4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母 …表示.
5．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性、互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.
教辅资源
课程标准，指导意见，网上材料，教师参考书，幻灯片等
教学
目标
分析
知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
(2)知道常用数集及其专用记号；
(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；
(4)会用集合语言表示有关数学对象；
高中数学人教A版必修1《1.1.1集合的含义与表示》教案4
必修一1.1.1集合的含义与表示课型：新授课课时： 1课时一、教学目标：1、知识与技能(1) 掌握集合的概念，通过实例，正确理解集合的含义。
会判断所给对象能否构成集合。
知道并掌握常用数集及其专用记号。
(2) 了解集合中元素的概念，掌握集合中元素的三个基本特征（确定性、互异性、无序性），会运用元素的特征来解决集合中含有参数的问题。
(3) 体会元素与集合的属于关系，能判断某一元素“属于”或“不属于”某一集合。
(4) 掌握集合的表示方法，会运用集合语言表示有关数学对象。
(5) 理解两个集合相等的概念，会判断两个集合是否相等。
(6) 了解集合的分类。
2、过程与方法通过让学生从一些集合的实例中概括出集合的含义，了解集合与元素的关系，并且学会灵活正确的运用集合中元素的三个基本特征解决集合问题。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，使我们对集合的概念有了个基本的了解，明确集合与元素的概念及其基本关系，使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性。
二、重点与难点重点：集合的基本概念与表示方法，集合中元素的三个基本特征的灵活运用。
难点：运用集合的两种常用表示方法列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。
三、学法与教学用具学法：(1) 会判断所给对象能否构成集合。
能够正确理解和掌握元素与集合的属于关系，会判断某一元素“属于”或“不属于”某一集合。
(2) 给出一个含有参数的集合，会运用集合中元素的三个基本特征解决问题。
(3) 给出两个集合，能够写出两个集合相等的条件。
(4) 能结合日常生活中的一些具体事例，感受和理解集合含义，体会并熟悉集合语言的特点，并会运用集合的语言、选择正确的表示方法来描述有关数学对象。
教学用具：电脑ppt四、教学设想（一）导入新课先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合的概念，你能举出一些集合例子么？引导学生回忆初中不等式组的解集问题。
再举个实际生活中的例子：军训前学校通知：高一年级在体育馆集合进行军训动员。
高中数学人教版(新教材)必修1教学设计2：1.1 集合的概念
1.1 集合的概念教材分析本课是本节的第一课，也是同学们刚进入高中阶段的第一课.常言道“良好的开端是成功的一半”.本课主要是让学生从已有的集合知识和实际生活中的例子入手，体会集合的含义.集合作为一种基本的数学语言，学习并掌握它的最好方法是使用.因此，教学中要多引导学生使用集合语言描述对象，进行自然语言与集合语言间的转换. 养成良好的数学习惯。
集合语言是现代数学的基本语言，可以简洁、准确、规范的表达数学内容.本节学习集合的一些基本知识，用最基本的集合语言表示有关数学对象和数学问题等，并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换，初步运用集合的观点和思想来分析数学，解决简单的数学问题.教学目标与核心素养A.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题.B.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题.C.会用集合语言表示有关数学对象：描述法，列举法。
教学重难点1.教学重点：集合的含义与表示方法，元素与集合的关系；2.教学难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合。
课前准备 多媒体 教学过程『解析』不能。
但是可以看出，这个集合中的元素满足性质：（1）集合中的元素都小于10.（2）集合中的元素都是实数． 这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示， 写作:{}10,.x x x <∈R思考：所有奇数的集合怎么表示？偶数的集合怎样表示？有理数集怎么表示呢？奇数集、偶数集表示方法是否唯一？21{|,}∈=+∈Z Z x x k k ，21{|-,}∈=∈Z Z x x k k ；2{|,}∈=∈Z Z x x k k0{|,,,}=∈=∈≠R Z qQ x x p q p p问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗？在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.如：)}(|{x p A x ∈或)}({x p A x ：∈或)}({x p A x ；∈。
高中新课程数学新课标人教B版必修一111 集合的概念教案.doc
1.1.1集合的概念教学目标：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念教学过程：1.引入（1）章头导言（2）集合论与集合论的创始者-----康托尔（有关介绍可引用附录中的内容）2.讲授新课阅读教材，并思考下列问题：（1）有那些概念？（2）有那些符号？（3）集合中兀素的特性是什么？（4）如何给集合分类？（一）有关概念：1、集合的概念（1）对象：我们町以感觉到的客观存在以及我们思想屮的事物或抽象符号，都可以称作对象（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.（3）元素：集合屮每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用人写的拉丁字母表示，如A、B、C、……兀素通常用小写的拉丁字母表示, 如1a、b、c、.....2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作a GA（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作a A要注意“丘”的方向，不能把ae A颠倒过来写.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的兀素是确定的了.（2）互异性：集合屮的元素一定是不同的.（3）无序性：集合屮的元素没有固定的顺序.4、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集。
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集注：应区分①，{①}, {0}, 0等符号的含义5、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全休实数的集合.记作R注：（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集內排除0的集, 也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z” 课堂练习：教材第5页练习A、B 小结：本节课我们了解集合论的发展，学习了集合的概念及有关性质课后作业：第十页习题1-1B第3题附录：集合论的诞生韩雪涛集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分.在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动屮，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作…个整体，就称为•个集合，其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.康托尔的不朽功绩前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”. 因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了•片未开垦的处女地，开辟岀… 个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根木无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的.所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了…个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想.由丁潜无限思想在微积分的基础重建中己经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在为时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷. 他在实无限观念基础上进…步得出…系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了…个难以捉摸的奇特的无限世界. 最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势.由于…个无穷集可以与它的真子集建立一一对应一一例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系一一也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他乂证明了代数数血集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成而当他得出这•结论吋，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论屮康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次.他所要做的下…步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系K, X2 &3 “它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了•毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱” •作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.公理化集合论的建立集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学己被算术化了.今天，我们可以说绝对的严格已经达到了然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R?如杲R属于R,则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另…方面，如果R 不属于R,则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R 属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作屮去」908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的•种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园屮赶出去.从康托尔提岀集合论至今，时间已经过去了…百多年，在这…段吋间里，数学乂发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进•步发展的模糊集合论的岀现等等.而这•切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之….超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴屮人类活动的最美的表现之….这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.康托尔的无穷集合论是过去两千五百年屮对数学的最令人不安的独创性贡献之….注：整系数一元n次方程的根，叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程X2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下，超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔T- 1844年给出的.关丁n是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.。
_1.1集合的概念教案— 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
1.1集合的概念教案一、内容和内容解析1.内容集合和集合相等的含义；元素与集合的关系及记号（属于“∈”、不属于“”）；集合元素的三个特性（确定性、互异性、无序性）；常用数集及其记法；集合的表示方法：列举法和描述法等。
2.内容解析集合论是现代数学的基础，集合语言是现代数学的基本语言。
在高中数学中，集合是作为一种语言和工具来学习的。
集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础，对整个高中学习起着奠基的作用。
同时，教科书对于集合的研究经历了一个完整的数学思考过程，作为一个范例，它向学生完整展示了研究数学问题的“基本套路”，这将为后续的教学提供思维方式的示范及学习方法的引领。
教科书关于集合一共安排了三节内容，“集合的概念”是其第一节课，也是学生进入高中阶段的第一节数学课。
教科书首先在义务教育阶段学习的相关知识的基础上，从6个实例入手，通过对比分析共同特征，从中抽象概括出元素和集合的含义（描述性概念），在渗透抽象概括思想的同时，提升数学抽象素养。
由于集合是一个原始的、不定义的概念，教科书通过研究集合中元素的性质、元素与集合的关系等帮助学生深入了解集合的含义。
其中元素与集合的关系是后续研究集合之间的关系和集合运算的基础，其实质是个体与整体间的关系，其本质是基于集合概念基础上的判断，是推理的初级阶段，也是进一步学习逻辑思维的基础和前提。
列举法和描述法是集合的两种重要表示方法，既相互对立，又相辅相成。
列举法可直接清晰地认识集合中元素的个性特点，在此基础上可进一步抽象概括出集合中元素的特征性质；描述法可更加凸显集合中元素的公共属性，也可通过列举其中的特殊元素从而对集合中元素的公共属性有更加具体的认识。
教科书通过实例分析和应用不断地强化学生对这两种表示方法的理解。
通过不同表示方法的相互转换，引导学生体会自然语言、列举法和描述法各自的特点，并初步学会用集合语言简洁、准确地表述数学的研究对象，在渗透化归转化思想的同时，提升数学抽象素养。
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《集合的概念》教案
教材分析
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．
教学目标
【知识与能力目标】
1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
2．知道常用数集及其专用记号；
3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；
4．会用集合语言表示有关数学对象；
5．培养学生抽象概括的能力．
【过程与方法目标】
1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．
2．让学生归纳整理本节所学知识．
【情感态度价值观目标】
使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．
教学重难点
【教学重点】
集合的含义与表示方法．
【教学难点】
对待不同问题，表示法的恰当选择．
课前准备
学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．
教学过程
（一）创设情景，揭示课题
请分析以下几个实例：
1．正整数1，2，3， ；
2．中国古典四大名著；
3．2018足球世界杯参赛队伍；
4．《水浒》中梁山108好汉；
5．到线段两端距离相等的点．
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．
（二）研探新知
1．集合的有关概念
（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．
思考：上述5个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？
练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？
①很小的数②不超过30的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④π的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2的整数
⑧正三角形全体
（2）关于集合的元素的特征
（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a，则a或者是集合A的元素，或者不是集合A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．
（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．
（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．
（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．
答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．（b）不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的．
（4）元素与集合的关系；
（a）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A
（b）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A
例如：A表示方程x2＝1 的解．2∉A，1∈A
（5）集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列
举法和描述法来表示集合．
（a）列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列表法．
如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；
思考2，引入描述法
答案：（1）1~9内所有偶数组成的集合（2）不能，因为集合中元素的个数是无穷多个．说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．
（b）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
如：{x|x-3>2}，{（x，y）|y=x2+1}，{直角三角形}，…；
思考3：描述法表示集合应注意集合的代表元素
{（x，y）|y= x2+3x+2}与{y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z．
（6）常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}．下列写法{实数集}，{R}也是错误的．如果写{实数}是正确的．
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．
（7）集合的分类
问题2：我们看这样一个集合：{ x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？
显然这个集合没有元素．我们把这样的集合叫做空集，记作∅．
练习：（1）0 ∅（填∈或∉）
（2）{ 0 } ∅（填＝或≠）
集合的分类：（1）按元素多少分类：有限集、无限集；
（2）按元素种类分类：数集、点集等
（三）例题讲解
例1．用集合表示：
①x 2－3＝0的解集；
②所有大于0小于10的奇数；
③不等式2x －1＞3的解．
例2．已知集合S 满足：1S ∉，且当a S ∈时11S a ∈-，若2S ∈，试判断12是否属于S ，说明你的理由．
例3．设由4的整数倍加2的所有实数构成的集合为A ，由4的整数倍再加3的所有实数构成的集合为B ，若,x A y B ∈∈，试推断x +y 和x -y 与集合B 的关系．
（四）归纳小结
本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法．。