甘肃2014年10月自考《2008拓扑学基础》真题
上学期拓扑学考试试卷答案（B）
中南大学拓扑学考试试卷参考答案（B ）2009--2010学年 二 学期 拓扑学 课程 48 学时，3.0学分，闭卷，总分100分，占总评成绩 70 %时间:100分钟, 专业年级：数学与应用数学2008级一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分)1、B2、C3、A4、D5、C二、简答题（每题4分，共20分）1、1 A 空间答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为1 A 空间.2、0T 空间答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是0T 空间.3、列紧空间答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个列紧空间.4、同胚映射答案：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.5、正则空间答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正则空间.三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）1、设 1 2,T T 是集合X 的两个拓扑，则 1 2⋂T T 不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由：因为(1) 1 2,T T 是X 的拓扑，故 1,X φ∈T ， 2,X φ∈T ，从而1 2,X φ∈⋂T T ；(2)对任意的 1 2,A B ∈⋂T T ，则有 1,A B ∈T 且 2,A B ∈T ，由于 1 2,T T是X 的拓扑，故 1A B ⋂∈T 且 2A B ⋂∈T ，从而 1 2A B ⋂∈⋂T T ；(3)对任意的 1 2'⊂⋂T T T ，则 1 2,''⊂⊂T T T T ，由于 1 2,T T 是X 的拓扑，从而A A '∈∈U T 1T , A A '∈∈U T 2T ,故A A '∈∈⋂U T 12T T ；综上有 1 2⋂T T 也是X 的拓扑．2、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )答案:√ 理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.3、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则d A φ= （ ）答案:√ 理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-= ，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.4、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )答案：√ 理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令c B A =，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空间.四、证明题（共40分）1、设{}i x 是2T 空间X 的一个收敛序列,证明：{}i x 的极限点唯一. (10分)证明：若极限点不唯一，不妨设1lim i i x y →∞=,2lim i i x y →∞=,其中12y y ≠，由于X 是2T 空间，故1y 和2y 各自的开邻域,U V ，使得U V φ⋂=.因1lim i i x y →∞=，故存在10N >，使得当1i N >时，i x U ∈；同理存在20N >，使得当2i N >时，i x V ∈.令12max{,}N N N =,则当i N >时，i x U V ∈⋂，从而U V φ⋂≠,矛盾，故{}i x 的极限点唯一.2、设(,)X T 为拓扑空间，证明X 是1T 空间的充分必要条件是X 的每一独点集都为闭集.(10分)证明：（必要性）设x X ∈，{}c y x ∀∈，由(,)X T 为1T 空间，故有y 的开领域V ，..s t x V ∉，所以{}c V x ⊂，所以{}c x 为开集，从而{}x 为闭集。
全国2014年10月自学考试《数据结构》试题和标准答案【在最后】
大题共4小题，每小题5分。
共20分)
请在答题卡上作答。
26．设Q是有N个存储空间的循环队列，初始状态front=rear=0，约定指针rear指向的单元始终为空，回答下列问题。
请根据最优二叉树的基本原理，采用类C语言，描述你所设计的成绩判定过程。
29．给定有向无环图G如题29图所示，写出G的5种不同的拓扑排序序列。
的单链表定义如下，其中freq域记录本结点被访问的次数，初值为0，单链表始终以freq 序。
函数f3l完成的功能是：查找给定关键字所在结点，若查找成功，则该结点的freq域加值调整结r旨位置。
请将空白处(1)～(3)补充完整。
在答题卡上作答。
回答下列问题。
五、算法设计题(本大题共l小题，共“l0分) 请在答题卡上作答。
34．已知带头结点的单链表类型定义如下：
- 10 -。
答案-拓扑学基础
东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校课程名称： 拓扑学基础 （答案） 试卷： A 考试形式：闭卷授课专业：数学与应用数学 考试日期： 2013年 7月 试卷：共 3 页一、填空题：（每空2分，共20分）1．设{1,2,3}X =，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链 平凡拓扑 ，{,,{3},{1,3}}X ∅，{,,{1}}X ∅， {,,{2}}X ∅，{,,{3}}X ∅。
（注：答案不唯一，正确即可）2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ，抛物线的连通分支的个数是 1 。
3．字母Y 的割点个数为 无穷 。
字母T 中指数为3的点个数为 1 。
4．叙述同胚映射的定义 拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也是连续的 。
二、选择题：（每题2分，共8分） 1．下列说法中正确的是（ B ）A 连通空间一定是道路连通空间B 道路连通空间一定是连通空间C 道路连通空间一定局部道路连通D 以上说法都不对 2．下列说法正确的是（ A ）A 紧空间的闭子集紧致B 紧致空间未必局部紧致C 有限空间一定不紧致D 列紧空间是紧致空间 3．下列说法错误的是（ A ）A 离散空间都是1T 空间B 2T 空间中单点集是闭集C ¡赋予余有限拓扑不是2T 空间D 第二可数空间可分 4．下列不具可乘性的是（ D ）A 紧致性B 连通性C 道路连通性D 商映射三、计算题：（共16分）1．在¡上赋予余有限拓扑，记¤为有理数集合，[0,1]I =。
试求'¤和I 。
（4分） 答：'=ぁ，I =¡。
2．确定欧式平面上子集22{(,)|01}A x y x y =<+≤的内部、外部、边界和闭包。
（8分）答：内部，22{(,)|01}x y x y <+<； 外部，22{(,)|1}x y x y <+ 边界，22{(,)|1}x y x y +=； 闭包 A A =。
拓扑学基础试题及答案
拓扑学基础试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 拓扑空间中，以下哪个概念不是基本的？A. 开集B. 闭集C. 连续函数D. 距离函数答案：D2. 以下哪个选项不是拓扑空间的性质？A. 空集和整个空间是开集B. 任意开集的并集是开集C. 有限个开集的交集是开集D. 任意集合的补集是闭集答案：D3. 在拓扑学中，两个拓扑空间之间的映射被称为？A. 同胚B. 连续映射C. 同伦D. 同调答案：B4. 拓扑空间中的邻域系统是指？A. 包含某点的所有开集的集合B. 包含某点的任意集合的集合C. 包含某点的有限个开集的交集D. 包含某点的任意开集答案：A5. 拓扑空间中的连通性是指？A. 空间不能被分割成两个不相交的非空开集B. 空间中的任意两点都可以通过连续路径相连C. 空间中的任意两点都可以通过直线相连D. 空间中的任意两点都可以通过曲线相连答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果拓扑空间中任意两个不同的点都存在不相交的邻域，则称该空间为________。
答案：豪斯多夫空间2. 拓扑空间中的紧致性是指该空间的任意开覆盖都有________。
答案：有限子覆盖3. 拓扑空间中的连通空间是指不能表示为两个不相交的非空开集的并集的空间，这种性质也称为________。
答案：不可分割性4. 拓扑空间中的基是指由开集构成的集合，使得空间中的每一个开集都可以表示为基中集合的________。
答案：并集5. 拓扑空间中的同胚是指两个拓扑空间之间存在一个双射的连续映射，并且其逆映射也是连续的，这种映射也称为________。
答案：同胚映射三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述拓扑空间中闭集的定义。
答案：在拓扑空间中，如果一个集合的补集是开集，则称该集合为闭集。
2. 请解释什么是拓扑空间中的同伦等价。
答案：如果存在两个拓扑空间之间的连续映射，使得这两个映射的复合与各自空间上的恒等映射是同伦的，则称这两个空间是同伦等价的。
拓扑学基础答案
拓扑学基础（数学教育本科）试卷参考答案一、单项选择题1、C2、A3、B4、A5、A6、C7、D 8、A 9、B 10、D二、填空题11、满射 12、同胚 13、A 的补集A '是一个开集 14 、Y B 15、可分 16、一 17、x 和y 连通18、X ，)(x f 19、Y 中每一个开集U 的原象)(1U f -是X 中的一个开集三、名词解释题1、如果存在一个从集合X 到正整数集Z +的单射，则称集合X 是一个可数集。
2、设X 是一个集合，T 是X 的一个子集族，如果T 满足如下条件：（1）∈φ,X T ，（2）若A ，∈B T ，则∈B A T ，（3）若T ⊂1T ，则1A ∈∈ T T ，则称T 是X 的一个拓扑。
偶对（X ，T ）是一个拓扑空间。
3、设X 和Y 是两个拓扑空间，如果f:X →Y 是一个一一映射，并且f 和f -1:Y →X 都是连续的，则称f 是一个同胚映射。
4、设X 是一个拓扑空间，如果对于任何x 、y ，存在X 中的一条从x 到y 的道路（或曲线），则称X 是一个道路连通空间。
5、一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个A 1空间。
6、一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个A 2空间。
7、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X 是一个Lindel öff 空间。
8、设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域，它们互不相交，则称拓朴空间X 是一个正则空间。
9、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间。
10、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间。
四、判断题1、√2、√3、×4、×5、√6、×7、√ 8、× 9、√ 10、× 11、√ 12、×五、解答与证明题1、解：（1）1T 不是X 的拓扑，这是因为∈},{b a 1T ，∈},{d b 1T ，但∈/=}{},{},{b d b b a 1T（2）2T 是X 的拓扑，满足拓扑的定义2、证∵()()()()A B A B d A B A B d A d B ==B A B d B A d A ==))(())((3、证：∵B B A A B A ⊂⊂ ,，故A B A ⊂ ，B B A ⊂∴B A B A ⊂5、设Y 是紧致空间X 中的一个闭子集，如果A 是Y 的一个覆盖，它由X 中的开集构成，则B =A {Y '}是X 的一个开覆盖，设1B 是2B 的一个有限子族并且覆盖X ，则1B }{Y '-便是A 的一个有限子族并且覆盖Y ，这说明Y 是X 的一个紧致子集。
拓扑学复习题与参考答案
点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题2分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T②{,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③{,,{},{,}}X a a b φ=T④{,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ②{,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③{,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ②{,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③{,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④{,,{},{}}X a b φ=T4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ②{,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③{,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.①{,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ②{,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③{,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④{,,{},{},{,}}X a c a c φ=T6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ②{,,{,},{,}}X a b b c φ=T③{,,{},{,}}X a a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）①φ②X ③{}b ④{,,}b c d8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）①φ②X ③{}b ④{,,}b c d9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ②X ③{}a ④{}b10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）①φ②X ③{}a ④{}b11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ②X ③{,}a b ④{,,}b c d12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）①φ②X ③{,}a c ④{,,}b c d13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 414、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 415、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 0②1③ 2④ 316、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0②1③ 2④ 317、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 418、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 419、在实数空间中，有理数集Q 的部Q 是（ ）①φ②Q ③R -Q ④R20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）①φ②Q ③R -Q ④R21、在实数空间中，整数集Z 的部Z 是（ ）①φ②Z ③R -Z ④R22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ）①φ②Z ③R -Z ④R23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）①φ②[2,3]③{2,3}④(2,3)25、在实数空间中，区间[0,1)的部是（ ）①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ） ①()()()d A B d A d B ⋃=⋃②A B A B ⋃=⋃③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④A A =27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ①()()()d A B d A d B ⋃=⋃②A B A B -=-③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④A A =28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ①()d A B A B ⋃=⋃②A B A B -=-③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④(())()d d A A d A ⊂⋃29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ①()d A φ=②()d A X A =-③()d A A =④()d A X =30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（）①若A φ=,则()d A φ=② 若0{}A x =,则()d A X A =-③若A={12,x x },则()d A X =④ 若A X ≠, 则()d A X ≠31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（）①若A φ=,则()d A φ=② 若0{}A x =,则()d A X =③若A={12,x x },则()d A X A =-④若12{,}A x x =,则()d A A =32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③{ X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.①{{,}|{}}B p x x X p =∈-②{{}|}B x x X =∈③{{,}|}B p x x X =∈④{{}|{}}B x x X p =∈-34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（）以{,,{}}S X a φ=为子基.①{ X ,φ,{a },{a ,c }} ② {X ,φ,{a }}③{ X ,φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ}35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭④非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭④非开非闭37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ②R ③A ∪{0}④A39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（）①整数集②[)b a ,③有理数集④无理数集40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（）①整数集Z ②有理数集③ 无理数集④ 整数集Z 的补集Z '41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）①1 ②2 ③3 ④442、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）①1个 ②2个③3个④4个43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3② 5③ 7④ 944、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉②T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}φ=T ②{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③{,,{1},{2}}T A φ=④{,,{1},{2}}T X φ=48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )①{,{1},{3},{1,3}}T φ=②{,,{1}}T A φ=③{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=④{,,{1}}T X φ=49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )①{,{3},{2,3}}φ=T ②{,,{2},{3}}T A φ=③{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=④{,,{3}}T X φ=50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{1}}T φ=②{,,{1,2}}T A φ=③{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=④{,,{1}}T X φ=51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}T φ=②{,}T A φ=③{,,{2}}T X φ=④{,,{1,2}}T X φ=52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}T φ=②{,{},{1,3}}T X φ=③{,,{3}}T X φ=④{,{3}}T φ=53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）①{,}T Z φ=②()T P Z =③T Z =④{}T Z =54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ） ①A B A B ⨯≠⨯②A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯④()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）①不连通子集② 连通子集③开集④以上都不对62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）①不连通子集② 连通子集③开集④以上都不对63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）①不连通子集② 连通子集③开集④以上都不对64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 区间或一点71、下列叙述中正确的个数为（ ）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③3 ④ 472、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对75、无理数集作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对78、2维欧氏间空间2R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对79、3维欧氏间空间3R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ②连通性③离散性④第一可数性公理81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ②连通性③第二可数性公理④平庸性82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ②可分性③第二可数性公理④ 离散性83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ②可分性③离散性④第二可数性公理84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④以上都不对85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 道路连通空间87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈与x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 与A 的每一个开邻域U ，都存在A的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④正规空间97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④正规空间98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④正则空间99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ②正则空间③4T 空间④正规空间100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ②正则空间③4T 空间④正规空间101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ②正则空间③4T 空间④正规空间102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（） ① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（ ）①1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间二、填空题（每题2分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的部为 ;11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的部为 ;13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的部为 ; 18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个.20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 ;21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 ；25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ;26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ;29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个；34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个 ；36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;38、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个0T 空间;39、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个1T 空间;40、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个2T 空间;41、正则的1T 空间称为 ；42、正规的1T 空间称为 ；43、完全正则的1T 空间称为 ；44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个 .46、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .47、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个 .48、设X 是一个拓扑空间.如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .三．判断（每题3分，判断1分，理由2分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（ ）11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )四．名词解释(每题2分)1．同胚映射2、集合A 的点3、集合A 的部4．拓扑空间(,)T X 的基5．闭包6、序列7、导集8、不连通空间9、连通子集10、不连通子集11、1 A 空间12、2 A 空间13、可分空间14、0T 空间：15、1T 空间：16、2T 空间：17、正则空间：18、正规空间：19、完全正则空间：20、紧致空间21、紧致子集22、可数紧致空间23、列紧空间24、序列紧致空间五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →,:g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.13、试说明实数空间R 是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.16、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.17、设(,)X T 是一个1T 空间，∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =⋃∞和*X =⋃*T T {}，试说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间.18、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ∀∈与x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 与A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.22、如果X Y ⨯是紧致空间，则X 是紧致空间.23、如果X Y ⨯是紧致空间，则Y 是紧致空间.24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.六、证明题（每题8分）1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集.5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理，证明：Y 也满足第二可数性公理.11、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理，证明：Y 也满足第一可数性公理.12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。
《拓扑学》课程考试试题
《拓扑学》课程考试试题学年第学期班级
时量：100分钟总分100分考试形式开卷一、判断题：（每
题3分，共30分）
1.两个连通子集的并仍是连通子集.（）.包含不可数多个点的离散空间是4空间.（）
2.乂为42空间，那么X必为可分空间.（）.每一个满足第二可数性公理的正那么空间都是完
全正那么的.（）
3. 7；空间的收敛序列有惟一的极限.（）. R中的开区间是实数集合的开集.（）
4.紧致的右空间是正规空间.（）.拓扑空间中的子集不是开集就是闭集.（）
5.紧致空间中,任一子集均有凝聚点.（）. X'X2均为Lindeldf空间，A x人分别为X1，X2中的闭子集，那么A x &也是LindelGf
的（）二、填空题（每题5分，共10分）
1.当X为时,X的子集A的凝聚点的每一个邻域中都含有无穷多个点.
2.当X为且为正那么时X为正规的.
三、证明题（每题12分，共60分）.证明：拓扑空间的可分性是开遗传的.
空间中任一个连通子集如果包含着多于一个的点,那么它一定是一个不可数集.
1. 1
4
3•设X是一个正那么空间,A是X的一个紧致子集，丫 UX,证明：如果Az）Y =）工，那么丫是
一个紧致子集.
4.假设X为紧致的T2空间，那么X可度量当且仅当X是4空间.
5.假设X是拓扑空间，Y是连通空间，映射f: X-Y是开且闭映射，那么映射f是满射.。
大学数学拓扑真题试卷
大学数学拓扑真题试卷# 大学数学拓扑真题试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 拓扑空间中的开集，其任意并集还是开集。
这个性质称为：A. 并集公理B. 有限覆盖性质C. 邻域系统D. 闭集性质2. 在度量空间中，下列哪一项不是完备性的定义？A. 任何柯西序列都收敛B. 空间中的每个闭子集都是完备的C. 空间中的每个有界序列都有收敛子序列D. 空间是完备的3. 以下哪个概念不是拓扑空间的基本元素？A. 点B. 开集C. 距离D. 邻域4. 连续映射的定义是：A. 映射的逆像包含开集B. 映射的逆像是闭集C. 映射的逆像包含闭集D. 映射的逆像是邻域5. 以下哪个命题是正确的？A. 任何有限个开集的并集是开集B. 任何无限个开集的交集是开集C. 任何有限个闭集的并集是闭集D. 任何无限个闭集的交集是闭集6. 拓扑空间中的紧性是指：A. 空间是局部紧的B. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖C. 空间是度量空间D. 空间是可分的7. 以下哪个命题是闭区间套定理？A. 闭区间套的交集可能是空集B. 闭区间套的交集至少包含一个点C. 闭区间套的交集是开集D. 闭区间套的交集是闭集8. 度量空间中的完备性与紧性的关系是：A. 完备性蕴含紧性B. 紧性蕴含完备性C. 完备性与紧性无关D. 完备性与紧性总是等价的9. 以下哪个命题是正确的？A. 任何紧空间都是可分的B. 任何可分空间都是紧的C. 任何紧空间都是度量空间D. 任何度量空间都是紧的10. 同胚空间具有相同的：A. 维数B. 体积C. 面积D. 长度二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是同胚，并给出一个例子说明两个空间如何是同胚的。
2. 解释什么是紧空间，并给出一个例子说明一个空间是紧的。
三、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：在度量空间中，如果一个序列的每个元素都包含在某个紧子集中，那么这个序列有一个收敛子序列。
2. 证明：在欧几里得空间中，闭区间是紧的。
拓扑学基础试题及解答
“拓扑学基础”试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共20分）1、设{1,2,3}X =，则下列是X 的拓扑的是【 A 】A 、{,,{1}}X φB 、{,,{1,2},{2,3}}X φC 、{,,{2},{3}}X φD 、{,,{1},{2},{3}}X φ2、下列有关连续映射:f X Y →正确的是【 B 】A 、对X 中的任意开集U ，有()f U 是Y 中的一个开集B 、Y 中的任何一个闭集B ，有1()f B -是X 中的一个闭集C 、Y 中的任何一个子集A ，有11()()f A f A --⊂D 、若f 还是一一映射，则f 是一个同胚映射3、设X 和Y 是两个拓扑空间，A 是X 的一个子集，则下列错误的是【 C 】A 、若:f X Y →是连续的，则|:A f A X →也是连续的B 、若:f X Y →是一个同胚，则|:()A f A f A →也是一个同胚。
C 、:()f X f X →是一个连续映射，则:f X Y →不一定是一个连续映射D 、若X 可嵌入Y ，则X 的任何一个子空间也可嵌入Y4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，则()A ∂=【 D 】A 、A A -'⋂B 、00A A ''⋃C 、0()A ∂D 、()X A ∂-5、下列有关连通性的命题正确的是【 C 】A 、若A 和B 是拓扑空间X 中的两个隔离子集，且X A B =⋃，则X 是不连通的。
B 、有理数集Q 作为实数空间子空间是一个连通空间C 、若12,Y Y 均为X 的连通子集，且12Y Y φ⋂≠，则12Y Y ⋃也是X 的一个连通子集D 、设Y 是X 的一个连通子集，Z X ⊂，若Y Z ⊂，则Z 也是X 的一个连通子集6、下列拓扑性质中，没有继承性的是【 D 】A 、1T 空间B 、2T 空间C 、3T 空间D 、4T 空间7、下列有关命题，正确的是【 B 】A 、若拓扑空间X 是连通的，则X 一定是局部连通的B 、若拓扑空间X 是道路连通的，则X 一定是连通的C 、若拓扑空间X 是局部连通的，则X 一定是道路连通的D 、若拓扑空间X 是连通的，则X 一定是道路连通的8、下列有关实数空间，不正确的是【 D 】A 、它满足第一可数性公理B 、它满足第二可数性公理C 、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理D 、它的任何一个子空间都是连通的9、下列有关Lindel öff 空间的描述正确的是【 A 】A 、任何一个满足第二可数性公理的空间都是Linde öff 空间B 、任何一个Lindel öff 空间都是第二可数性空间C 、Lindel öff 空间的子空间还是Linde öff 空间D 、满足第一可数性公理的空间的每一个子空间都是Linde öff 空间10、设A 是度量空间（,X ρ）中的一个非空子集，则下列命题错误的是【 C 】A 、()x d A ∈当且仅当(,{})0x A x ρ-=B 、()x d A ∈当且仅当(,)0x A ρ=C 、对x A ∀∈，且有(,)B x A εφ⋂≠，则A 为X 中的一个开集D 、x A ∈当且仅当(,)0x A ρ=二、填空题（每空2分，共20分）请将答案写在横线上。
拓扑学基础试卷1
拓扑学基础试卷1拓扑学基础（数学教育本科）试卷一、单项选择题（每小题2分，共20分）1、设X 是拓扑空间，A 、B ?X ，则下列等式成立的是A 、)()()(B A d B d A d = Ｂ、)())((A d A d d = Ｃ、B A B A = Ｄ、B A BA =2、设Ｒ是实数空间，A=（0，1）是开区间，则A 、]1,0[=AB 、)1,0(=AC 、)1,0[=AD 、]1,0(=A3、如果拓扑空间X 中每一个单点集都是闭集，那么A 、X 是T 0空间，非T 1空间B 、X 是T 1空间C 、X 是正则空间D 、X 是正规空间4、下列哪个条件成立时，拓扑空间X 是连通空间A 、X 中不存在两个非空的开子集A 、B ，使得：φ=B A ，且X B A = 成立B 、X 中存在两个非空的闭子集A 、B ，使得：φ=B A 且X B A = 成立C 、X 中存在着一个既开又闭的非空真子集D 、存在X 的子集A 、B ，使得X=B A5、设R 是实数空间，X 是含多于一点的离散空间，则A 、R 是道路连通空间B 、X 是道路连通空间C 、R 是不连通空间D 、X 是连通空间6、下列拓扑空间中，哪个空间不是可分空间A 、实数空间B 、平庸空间C 、包含着不可数多个点的离散空间D 、满足第二可数性公理的空间7、下列有关满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴含关系中，能成立的是A 、正规?正则B 、正则?正规C 、正则?T 2D 、完全正则?正则8、下列拓扑性质中，哪一个是可遗传性质A 、第一可数性B 、连通性C 、紧致性D 、可分性9、关于几种紧致性，下列蕴含关系哪一个成立A 、可数紧致?紧致B 、紧致?可数紧致C 、列紧?紧致D 、局部紧致?紧致10、下列命题错误的是A 、A 是闭集?A A =B 、A 是闭集A A d ??)(C 、A 是闭集?A '是开集D 、A 是闭集?A A =二、填空题（每空2分，共20分）11、集合X 是一个可数集当且仅当存在从正整数集Z +到集合X 的一个。
拓扑学基础测试卷
拓扑学基础测试题1、叙述拓扑空间的定义。
叙述一点紧化的定义，并验证定义的合理性。
2、叙述邻域的定义。
设W是拓扑空间X的邻域。
证明W是开集当且仅当它是它的每一点的邻域。
3、叙述聚点的定义。
设X={a,b,c},T={X,{a},ф}，A={a}。
求A的聚点。
4、叙述拓扑基以及第二可数空间的定义。
请给出一个不是第二可数空间的例子。
5、叙述并证明粘接引理。
6、叙述T1空间的定义并证明拓扑空间X是T1空间当且仅当X的单点集是闭集。
7、叙述紧致空间的定义并证明紧致空间的闭子集紧致。
8、叙述Hausdorff空间的定义并证明Hausdorff空间的紧致子集是闭集。
9、证明拓扑空间X和Y的乘积空间X ×Y是Hausdorff空间当且仅当X和Y都是Hausdorff空间。
注：此份试卷只做参考，大家低调传阅各位同学：大家好！拓扑学基础试卷已印制完毕，现将试卷结构通报给大家，以期有益于大家的复习。
一、填空共10空，20分二、判断共10题，20分三、计算共三类题，16分四、问答共3题，25分五、证明共3题，19分，其中最后一题5分，与拓扑群相关，想拿高分者可做准备。
提前给大家祝贺新年，最后祝大家考试成功！李彦博拓扑学试卷结构：一、填空，共10空，20分；二、判断，共10题，20分；三、计算，共三类题，16分；四、问答，共3题，25分；五、证明，共3题，19分，其中最后一题5分，与拓扑群相关，想拿高分者可做准备。
考试时间：1月7日下午2点半至4点半，地点G721.考试结束后请同学们留在考场与李彦博老师合影。
时间紧迫，希望大家积极配合，不要耽误老师回家。
拓扑学习题
拓扑学习题'一、选择题.1、在实数空间中，有理数集Q 的内部o Q 是（A ）A 、?；B 、Q ；C 、R Q -；D 、R .2、在实数空间中，有理数集Q 的边界Q ?是（D ）A 、?；B 、Q ；C 、R Q -；D 、R .3、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系正确的是（A ）A 、()()()d AB d A d B =； B 、A B A B -=-；C 、()()()d AB d A d B =； D 、A A =. !4、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系错误的是（C ）A 、()()()d AB d A d B =； B 、A B A B =；C 、()()()d A B d A d B =；D 、A A =.5、平庸空间的任一非空子集为（D ）A 、开集；B 、闭集；C 、既开又闭；D 、非开非闭.6、离散空间的任一子集为（C ）A 、开集；B 、闭集；C 、既开又闭；D 、非开非闭.7、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{1,3}A =的拓扑为（B ）*A 、{,{1},{3},{1,3}}T =?；B 、{,,{1}}T A =?；C 、{,,{1},{3},{1,3}}T X =?；D 、{,,{1}}T X =?.8、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{2,3}A =的拓扑为（B ）A 、{,{3},{2,3}}T =?；B 、{,,{2},{3}}T A =?；C 、{,,{2},{3},{2,3}}T X =?；D 、{,,{3}}T X =?.9、设126X X X X =…是拓扑空间126,,,X X X …的积空间，p 是X 到1X 的投射，则p 是（D ）A 、单射；B 、连续的单射；C 、满的连续闭映射；D 、满的连续开映射.10、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（B ）。
拓拓扑试卷——精选推荐
2007级函授专升本《点集拓扑》试卷题号一二三四五六七八九十十一总分评卷人分数一、填空题（36分，每空1分）1、拓扑学是数学中一个重要的、基础性的分支.它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支. 拓扑学经常被描述成“”.2、所有多边形和圆周在意义下是一样的.中国第一个拓扑学家是3、拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。
一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做；另一个分支是偏重于用代数方法来研究的 .4、_______、_______、________的关系是等价关系.5、()A B C⋃⋂=_____________________;()A B C-⋂=_____________________; ()A B C⋃-=____________________;()A B C-⋃=_____________________.；_____________________;R 称为传递的_____________________.7、设X 是度量空间, x∈X, U⊂X. U 称为x 的邻域_____________________.8、设T 是集合X 的子集族, 若T 满足(1) ;(2) ; (3) ;称T 是X 的一个拓扑. (X, T)是拓扑空间, T 的元称为X 的.9、平庸拓扑T=，离散拓扑T=，有限补拓扑T=，可数补拓扑T=.10、设U⊂X，U 是X 的开集，U是它的每一点的邻域.当且仅当.11、(1) d(∅)=;(2)A⊂B⇒;(3) d(A∪B)= .12、若, 则称x 是A 的内点.13、是A 所包含的所有开集之并, 是含于A 内的 .14、x 称为A 的边界点, 若 .15、所有单点集的族是的基；在度量空间中, 所有邻域的族是度量拓扑的基，所有的族是R 的基.二、单项选择题（14分，每小题2分）1、有理数集是（）.A不可数集；.B可数集；.C有限集；.D以上都不对.2、无理数集是（）.A不可数集；.B可数集；.C有限集；.D以上都不对.3、()()\\\A B C A B C=成立的充分必要条件是（）.A A B⊂；.B B A⊂；.C A C⊂；.D C A⊂.4、集合12{,,,}na a a的非空真子集的个数共有（）.A2n个；.B2n–1个；.C2n–2个；.D以上都不对.5、对A⊂X, A =( )..A A'.B A-'.CA-' .D A-''.6、对A⊂X, 有( )..A A A-⊂.B A A-⊃.C A A-=.D以上都不对.7、""<关系是（）.A. 自反的B. 对称的C. 传递的.D以上都不对.三、判断题（10分，每小题2分，正确的画√，错误的画×）.1、任意多个开集之并是开集( ); 任意多个闭集之并是闭集( ).2、(\)()\()A B C A B A C⋂=⋂⋂( ).3、实数集是不可数集( );可数集是有理数集( ).4、只含有有限个点的度量空间是离散的度量空间( ).5、平庸空间中任意序列收敛于空间中的任一点.（）.四、名词解释（20分，每题2分）1. Hilbert 空间H.2. 聚点3. 基4. 有限补拓扑5. 有限积空间五、（8分）6. 商空间7. 离散度量空间8.球形邻域9. 度量拓扑10. 闭集得分五、证明：1. ()()()A B A B B A A B ⋂⋃-⋃-=⋃ (5分)2. ()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ (5分)六、设{1,2,,8},A = R={（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A 且(mod3)x y ≡}问：R 是否是A 上的等价关系，若是写出A 的所有等价类及商集A/R. (10分)得分得分。
拓扑习题解答
第一章朴素集合论1.1集合的基本概念1.解：B = DuAu Z、C = E =(j), C,E是疗的真子集，5D是4的真子集2.解：(2), (3)为正确3.解:因为&u 4+1, i = 1,2,3,..」—1,有传递性,4+] u 4 U九U 4,所以结论成立4.解：欽 X) = {^{a},{b},{c}9{a,b}9{a,c},{b,c},X}5.解：l + C,；+C；+.... + C：=2”1.2集合的基本运算1.证：(1)显然，(2)因为4u5所以4u5所以4 = = 从而B<J C=(A<J B)<J C= A<J CAcC = (4c3)cC = Ac(3cC)u3cC(3)因为AuB,则xwB_(B_A )当且仅当xeB且XE B—A当且仅当XG A,故B_(B_A) = A°2.证：(1) XG A-B当且仅当XG B当且仅当XG A,XE B'当且仅当xwAcZT,所以\A-B = AoB'(2)(45) —F = (45)c夕=(4cF23cB)= AcB，=A—B所以，A — B = (4uB) — 3 = 4 — (Ac3)(3)因为AcB = ©所以B-A=B.A'=X-A=(A<J B)-A=B-A=B因此A' = B从而B' = A(4)(A 一c(£ -毘)=(人 c B\ ')n(A, c BJ)=(A c4jc(3「cBJ) = (& c A2)r}(B l uB2)1= (Ac4j-(B]SJ3.证明：(1)兀w Bc(u&J o XG 3且Oxwu&O存在几使得O XG B且,=1/=iA-e A. <x>存在i,使得xeBnA j <=>xen),所以结论成立。
(2)x eB-(uA z) o xw B且x g ^4 o xw B且x 住 & = 1,2,..., n) o对任何r=l /=1i.x w 3且xw &• <=> 对任何eB- A i <=> x wc(3-4)。
《基础拓扑学试卷》Word版
《基础拓扑学试卷》试卷2一、填空题（每小题2分，共20分）1. 设A 为离散空间X 的子集, 那么()i A =_________________________.2. 设A 为度量空间(,)X ρ的子集, 若,(,)0x X x A ρ∈>, 则准确表示x 与A 的关系的式子是x ∈__________________.3. 拓扑空间X 的每一个有限集是闭集当且仅当X 是____________空间.4. 设X 为拓扑空间,A 为X 的子集, x X ∈, 如果_________________________________, 则称x 是A 的凝聚点.5. 点集拓扑学的中心任务是研究____________________________________________.6. 对于拓扑空间(,)X τ的一个子空间(,)Y τ', τ与τ'满足: (________________)τ'=.7. 设X 为满足第一可数公理的拓扑空间, 那么每一个x X ∈有一个的邻域基具有如下特点:_________________________________________.8. 设12n X X X X =⨯⨯⨯为拓扑空间12,,,n X X X 的积空间, X φ≠, X 是紧拓扑空间, 则每一个j X 为_______________________空间.9. 任何一族连通空间的积空间都是_________________________空间.10. 一个拓扑空间的可分性定义为________________________________.二、单项选择题 (每小题2分, 共20分)11. 设:,,f X Y A B Y →⊂, 则下面不正确的命题是（ ）A. 1(())A f fA -= B. 111()()()fA B f A f B ---= C. 111()()()fA B f A f B ----=- D. 111()()()f A B f A f B ---= 12. 设X 为拓扑空间, B A ⊂, 则下面不正确的命题是( ) A. dd B A ⊂ B. 00B A ⊂C. B A ''⊂D. B A ⊂13. 设X 为拓扑空间, {}n x 是X 中的收敛序列, 则下面正确的命题是( )A. 对于任何拓扑空间X , {}n x 的极限唯一.B. 若X 是Hausdorff 空间, 则{}n x 的极限唯一.C. 若X 是第一可数的, 则{}n x 的极限唯一.D. 若X 是正则空间, 则{}n x 的极限唯一.14. 设集合{0,1,2}X =, 那么下面不是X 上的拓扑的集族是( )A. {{1},{1,2},,}X φB. {{0},,}X φC. {{2},{2,0},{0,1},,}X φD. {{1},{1,2,0},{2,1},}φ15. 设X 为拓扑空间, 下面不正确的命题是( )A. 若X 是第二可数的, 则X 是第一可数的.B. 若X 是第二可数的, 则X 是可分的.C. 若X 是可分的度量空间, 则X 是Lindel öf 的.D. 若X 是Lindel öf 的空间, 则X 是可分的.16. 对任意集合,,X Y Z , 下面命题正确的是( )A. 若card X ≤card Y , 则X 是Y 的子集.B. 若X 是Y 的子集, 则card X ≤card Y .C. 若X 是Y 的子集, 则card X <card Y .D. 若X Y ≠, 则card X ≠card Y .17. 设X 为拓扑空间, 下面正确的命题是( )A. 若X 是正规空间, 则X 是1T 空间.B. 若X 是0T 空间且正则, 则X 是1T 空间.C. 若X 是正则空间, 则X 是1T 空间.D. 若X 是完全正则空间, 则X 是1T 空间.18. 设X 为拓扑空间, A 是X 的子集, 下面不正确的命题是( )A. A 是列紧的当且仅当A 是序列紧的.B. 若A 是序列紧的, 则A 是可数紧的.C. 若A 是可数紧的, 则A 是列紧的.D. 若A 是紧的, 则A 是列紧的.19. 设1(,)X τ, 2(,)Y τ为拓扑空间, 关于X Y ⨯的积拓扑τ, 12,p p 分别是X Y ⨯到X 和Y 的投射, 则下面不正确的命题是( )A. 12{:,}U V U V ττ⨯∈∈是积拓扑τ的一个基.B. 12{:,}U V U V ττ⨯∈∈是积拓扑τ的一个子基.C. 111122{():}{():}p U U p V V ττ--∈∈是积拓扑τ的一个基.D. 111122{():}{():}p U U p V V ττ--∈∈是积拓扑τ的一个子基.20. 设X 为拓扑空间, 为实数空间, 则:f X →为连续映射的充分必要条件是( )Ａ. 对任意实数,,{:()}a b x X b f x a ∈<<是X 的开集.Ｂ. 对任意实数a , 集合{:()}x X f x a ∈≠是X 的开集.Ｃ. 对任意实数a , 集合{:()}x X f x a ∈<是X 的开集.Ｄ. 对任意实数,,{:()}a b x X b f x a ∈≤≤是X 的闭集.三、简答题 (每小题5分, 共20分)21. 证明n 维实数空间n 的每一个子空间都是可分空间.22. 证明:若X 是3T 空间, 则X 是2T 空间.23. 证明:在一维实数空间的子空间[0,5)中, [0,2)是开集.24. 叙述度量的定义.四、反例论证题 (本题10分)25. 举例说明存在这样的一个集合X 和X 上的两个拓扑1τ和2τ, 使得12ττ不是X 上的一个拓扑.五、论证题 (每小题15分, 共30分)26. 证明:若A 是2T 空间中的紧集, 则A 是闭集.27. 设,X Y 为拓扑空间, 映射:f X Y →是一个满的连续开映射, X 满足第二可数性公理, 则Y 也满足第二可数性公理. 请证明.。
拓扑学试题
2015——2016学年度下期 拓扑学 期末考试试题一、选择题(4’⨯5)1、设X 是一个基础集，若A 、B 为X 的子集，则 （ ）A 、A=B B 、A ⊂BC 、B ⊂AD 、()A B A B '''=2、若A ，B 都是集合，则下列叙述错误的是 （ ）A 、AB A B '-= B 、A B A A B -=-C 、,()A B B B A A ⊂--=若则D 、11221212（A -B ）(A -B )=(A A )-(B B )3、下列叙述错误的是 （ ）A 、实数集合R 是不可数集B 、有限补空间的有限补拓扑为离散拓扑C 、可数补空间的可数补拓扑为平庸空间D 、度量空间X 中的任意两个开集的交是一个开集4、下列叙述错误的是 （ ）A 、集合X 本事和空集都是开集B 、任意一个开集族的并是一个开集C 、任意两个开集的交是一个开集D 、任意多个开集之并是一个闭集5、下列叙述正确的是 （ ）A 、集合A 的所有凝集点构成的集合称为A 的导集B 、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，则d （A B ）=d(A)d(B)C 、Cantor 集是实数空间R 中的一个开集D 、一个集合的闭包乃是包含着这个集合最大的闭集二、填空题(6’⨯5)1、Cantor 集是实数空间R 中的一个 集。
2、设X 和Y 是两个集合，f ：X →Y ，如果Y 中的每一个点都有原像，那么称f 为 。
3、集合X 中的一个关系如果是 ， 和 的，则称为集合X 的一个等价关系。
4、设集合A 、B 、C 是三个集合，则=C B A )( ;=C B A )( ; =')(B A ;=')(B A ;5、设R 是从集合X 到Y 集合的一个关系，S 是从集合Y 到Z 集合的一个关系，T 是从集合Z 到集合U 的一个关系。
则：=--11)(R ；=-1)(R S ；=)(R S T ；三、计算与证明(50’)1、设X={a ，b}，Y={c ，d ，e}。