创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习练习：9-6双曲线(含答案解析)

9-6

A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)

1．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )

A.5 B ．2 C. 3 D. 2

【解析】 结合图形，用a 表示出点M 的坐标，代入双曲线方程得出a ，b 的关系，进而求出离心率．

不妨取点M 在第一象限，如图所示，

设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)，

则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°， ∴M 点的坐标为()2a ，3a . ∵M 点在双曲线上， ∴4a 2a 2－3a 2

b 2＝1，a ＝b ， ∴

c ＝2a ，e ＝c

a ＝ 2.故选D.

【答案】 D

2．(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线

的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )

A.x 221－y 228＝1

B.x 228－y 2

21

＝1

C.x 23－y 24＝1

D.x 24－y 2

3

＝1 【解析】 利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解．

由双曲线的渐近线y ＝b

a x 过点(2，3)，

可得3＝b

a

×2.①

由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上， 可得a 2＋b 2＝7.② 由①②解得a ＝2，b ＝3， 所以双曲线的方程为x 24－y 2

3＝1.

【答案】 D

3．(2015·湖南)若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率

为( )

A.

73 B.54

C.43

D.53

【解析】 由渐近线过点(3，－4)可得b

a 的值，利用a ，

b ，

c 之间的关系a 2＋b 2＝c 2可消

去b 得a ，c 之间的关系，求出离心率e .

由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，∴b 2a 2＝16

9.

又b 2

＝c 2

－a 2

，∴c 2－a 2a 2＝16

9

，

即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝5

3.

【答案】 D

4．(2014·江西)过双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交

于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )

A.x 24－y 212＝1

B.x 27－y 2

9＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 2

4

＝1

【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b a x ，得⎩⎪⎨

⎪⎧x ＝a ，

y ＝－b ， ∴A (a ，－b )．

由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4，

∴（a －4）2＋（－b ）2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16. 而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 2

12＝1.

【答案】 A

5．(2015·山东)过双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直

线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．

【解析】 先表示出直线的方程和点P 的坐标，再将点P 的坐标代入直线的方程可得关于a ，b ，c 的方程，化简可以求出离心率．

如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b

a

，

又直线l 过右焦点F (c ，0)， 则直线l 的方程为y ＝b

a

(x －c )．

因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2

b 2＝1，

化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)， 故点P 的坐标为(2a ，－3b )， 代入直线方程得－3b ＝b

a (2a －c )，

化简可得离心率e ＝c

a ＝2＋ 3.

【答案】 2＋ 3

6．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2

＝1具有相同渐近线，则C 的方程

为____________；渐近线方程为____________．

【解析】 设双曲线C 的方程为y 24－x 2

＝λ(λ≠0)，

将点(2，2)代入上式，得λ＝－3，

∴C 的方程为x 23－y 2

12＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .

【答案】 x 23－y 2

12

＝1 y ＝±2x

7．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分

别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．

【解析】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b

a x .

由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0

得A ⎝⎛⎭⎫am 3b －a ，bm

3b －a ，

由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0

得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b ，

所以AB 的中点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2

m 9b 2－a 2，3b 2

m 9b 2－a 2.

设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2， 所以e ＝c a ＝5

2.

【答案】

52

8．(2015·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2

－y 2

8＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，

66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．

【解析】 根据双曲线的定义等价转化|PF |，分析何时△APF 的周长最小，然后用间接法计算S △APF .

由双曲线方程x 2

－y 2

8

＝1可知，

a ＝1，c ＝3，故F (3，0)，F 1(－3，0)．

当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知 |PF |－|PF 1|＝2，