【配套K12】高中数学学业分层测评14向量的加法含解析新人教B版必修4

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人教B版高中数学-必修4-课时跟踪检测(十四)向量的加法(Word)

5．O为三角形ABC内一点，若＋＋＝0，则O是三角形ABC的________心．
解析：∵＋＋＝0，
∴＋＝－＝，
此时与共起点，
∴以，为边构造一平行四边形，设AB的中点为D点，
则＋＝2，
即2＝，
∴O是三角形ABC的重心．
答案：重
6．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
C．当向量a与向量b同向时，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|
D．如果向量a＝b，那么a，b有相同的起点和终点
解析：选D根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确；D错误，如平行四边形ABCD中，有＝，起点和终点都不相同．
3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是()
6．＋＋＋＝________.
解析：原式＝＋＋＋＝＋＋＝.
答案：
7．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|＝________.
解析：|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
答案：2
8.如图，在平行四边形ABCD中，
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
所以||即|a＋e|最大，最大值是3.
A．2B．4
C．12D．6
解析：选B因为＋＝A，所以＋＋的长度为的模的2倍，故答案是4.
5．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是()
A．①③B．②③
C．②④D．①②
解析：选A∵在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．

高中数学人教B版必修4作业：2.1.2 向量的加法 Word版含解析

一、选择题1．a 、b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同B ．a 、b 是方向相反的向量C ．a ＝－bD ．a 、b 无论什么关系均可【解析】只有a ∥b ，且a 与b 方向相同时才有|a ＋b |＝|a |＋|b |成立．故A 项正确．【答案】 A2．已知菱形的两邻边OA →＝a ，OB →＝b, 其对角线交点为D ，则OD →等于( ) A.12a ＋bB.12b ＋aC.12(a ＋b ) D ．a ＋b【解析】作出图形，OA →＋OB →＝OC →＝a ＋b ，∴OD →＝12(a ＋b )．【答案】 C3．(2019·阜阳高一检测)下列向量的运算结果为零向量的是( )A.BC →＋AB →B.PM →＋MN →＋MP →C.BC →＋CA →＋AB →＋CD →D.MP →＋GM →＋PQ →＋QG →【解析】 A 项，BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →；B 项，PM →＋MN →＋MP →＝PM →＋MP →＋MN →＝MN →；C 项，BC →＋CA →＋AB →＋CD →＝(AB →＋BC →＋CA →)＋CD →＝0＋CD →＝CD →；D 项，MP →＋GM →＋PQ →＋QG →＝(GM →＋MP →)＋(PQ →＋QG →)＝GP →＋PG →＝0.【答案】 D4．(2019·济南高一检测)在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定【解析】 ∵|BC →＋BA →|＝|BD →|，|BC →＋AB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|，∴|BD →|＝|AC →|，∴▱ABCD 是矩形．【答案】 B5．(2019·嘉兴高一检测)已知P 为△ABC 所在平面内一点，当P A →＋PB →＝PC→成立时，点P 位于( )A ．△ABC 的AB 边上B ．△ABC 的BC 边上 C ．△ABC 的内部D ．△ABC 的外部【解析】如图P A →＋PB →＝PC →，则P 在△ABC 的外部．【答案】 D二、填空题6．化简(AB →＋MB →)＋BC →＋OM →＋BO →＋CA →＝__________.【解析】 (AB →＋MB →)＋BC →＋OM →＋BO →＋CA →＝AB →＋(BO →＋OM →)＋MB →＋(BC →＋CA →)＝AB →＋BM →＋MB →＋BA →＝AB →＋0＋BA →＝0.【答案】 07．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝2，则|AB →＋BC →|＝__________.【解析】因为AB →＋BC →＝AC →，又AC ＝AB 2＋BC 2＝32＋22＝13，∴|AB →＋BC →|＝13.【答案】 138．当非零向量a ，b 满足________时，能使a ＋b 平分a 与b 的夹角．【解析】以a ，b 为邻边构成的平行四边形为菱形时，a ＋b 平分a 与b 的夹角，此时|a |＝|b |.【答案】 |a |＝|b |三、解答题9．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |.【解】如图，∵|OA →|＝|OB →|＝3，∴四边形OACB 为菱形．连OC 、AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为D .∵∠AOB ＝60°，∴AB ＝|OA →|＝3.∴在Rt △BDC 中，CD ＝332.∴|OC →|＝|a ＋b |＝332×2＝3 3.10．如图所示，在▱ABCD 的对角线BD 的延长线上取点E 、F ，使BE ＝DF ，求证：四边形AECF 是平行四边形．图2－1－18【证明】 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，又∵AB →＝DC →，BE →＝FD →.∴AE →＝FC →.∴AE 綊FC ，∴四边形AECF 是平行四边形．11．如图所示，中心为O 的正八边形A 1A 2…A 7A 8中，a i ＝A i A i ＋1(i ＝1,2，…，7)，b j ＝OA j →(j ＝1,2，…，8)，试化简a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7.图2－1－19【解】因为OA 3→＋OA 7→＝0，所以a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7＝A 2A 3→＋A 5A 6→＋OA 2→＋OA 5→＋OA 7→＝(OA 2→＋A 2A 3→)＋(OA 5→＋A 5A 6→)＋OA 7→＝OA 6→＝b 6.。

高中数学苏教版必修4学业分层测评 2.2.1 向量的加法

学业分层测评(十五) 向量的加法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若a 与b 是互为相反向量，则a ＋b ＝________. 【解析】由题意可知，a ＋b ＝0. 【答案】 02．下列等式不成立的是________． ①0＋a ＝a ；②a ＋b ＝b ＋a ； ③AB →＋BA →＝2AB →；④AB →＋BC →＝AC →. 【解析】 ∵AB →，BA →是互为相反向量， ∴AB →＋BA →＝0，故③错误．【答案】 ③3．(2016·南通高一检测)在▱ABCD 中，|AB →|＝3，|BC →|＝4，则： (1)|AC →|________7(填“＞”“＜”或“≥”“≤”)； (2)若|AC →|＝5，则此四边形为________．【解析】 (1)三角形两边之和大于第三边；(2)由|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2，可知△ABC 为直角三角形，所以应填“矩形”．【答案】 (1)＜ (2)矩形4．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是________．图2-2-6①AB →＝CD →，BC →＝AD →； ②AD →＋OD →＝DA →；③AO →＋OD →＝AC →＋CD →； ④AB →＋BC →＋CD →＝DA →.【解析】因为AO →＋OD →＝AD →，AC →＋CD →＝AD →，所以AO →＋OD →＝AC →＋CD →. 【答案】 ③5．设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图2-2-7所示，化简下列各式：图2-2-7(1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝________； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________. 【解析】 (1)DE →＋EA →＝DA →；(2)BE →＋AB →＋EA →＝EA →＋AB →＋BE →＝EB →＋BE →＝0； (3)DE →＋CB →＋EC →＝DE →＋EC →＋CB →＝DB →；(4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝BA →＋AE →＋EC →＋DB →＝BC →＋DB →＝DC →. 【答案】 (1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →6．某人在静水中游泳，速度为4 3 km/h.如要他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为4 km/h ，他实际沿________方向前进，速度为________．【解析】如图所示，∵OB ＝43，OA ＝4， ∴OC ＝8，∴∠COA ＝60°. 【答案】与水流方向成60° 8 km/h(答案不唯一)7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，向量|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________.【导学号：06460044】【解析】在△ABD 中，AD ＝AB ＝1，∠DAB ＝60°，△ABD 是等边三角形，则BD ＝1，则|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1.【答案】 18．(2016·苏州高一检测)已知△ABC 是正三角形，给出下列等式： ①|AB →＋BC →|＝|BC →＋CA →|； ②|AC →＋CB →|＝|BA →＋BC →|； ③|AB →＋AC →|＝|CA →＋CB →|； ④|AB →＋BC →＋AC →|＝|CB →＋BA →＋CA →|.其中正确的有________．(写出所有正确等式的序号) 【解析】 AB →＋BC →＝AC →，BC →＋CA →＝BA →，而|AC →|＝|BA →|，故①正确； |AB →|≠|BA →＋BC →|，故②不正确；画图(图略)可知③，④正确．【答案】 ①③④ 二、解答题9．如图2-2-8所示，两个力F 1和F 2同时作用在一个质点O 上，且F 1的大小为3 N ，F 2的大小为4 N ，且∠AOB ＝90°，试作出F 1和F 2的合力，并求出合力的大小．图2-2-8【解】如图所示，OA →表示力F 1，OB →表示力F 2，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则OC →是力F 1和F 2的合力．在△OAC 中，|OA →|＝3，|AC →|＝|OB →|＝4，且OA ⊥AC ，则|OC →|＝|OA →|2＋|AC →|2＝5，即合力的大小为5 N.10．已知任意四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点．求证：EF →＋EF →＝AB →＋DC →.【证明】如图所示，在四边形CDEF 中，EF →＋FC →＋CD →＋DE →＝0，∴EF →＝－FC →－CD →－DE → ＝CF →＋DC →＋ED →.① 在四边形ABFE 中，EF →＋FB →＋BA →＋AE →＝0，∴EF →＝BF →＋AB →＋EA →.② ①＋②得EF →＋EF →＝CF →＋DC →＋ED →＋BF →＋AB →＋EA →＝(CF →＋BF →)＋(ED →＋EA →)＋(AB →＋DC →)．∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴CF →＋BF →＝0，ED →＋EA →＝0， ∴EF →＋EF →＝AB →＋DC →.[能力提升]1．(2016·南京高一检测)下列命题中正确命题的个数为________． ①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．【解析】 ①假命题，当a ＋b ＝0时，命题不成立；②真命题； ③假命题，当A ，B ，C 三点共线时，也可以有AB →＋BC →＋CA →＝0； ④假命题，只有当a 与b 同向时才相等．【答案】 12．若|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的取值范围是________．【解析】当a 与b 同向时，|a ＋b |取最大值13；当a 与b 反向时，|a ＋b |取最小值3. 【答案】 [3,13]3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的序号是________．①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |. 【解析】 ∵a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，∴①③⑤正确．【答案】 ①③⑤4．如图2-2-9所示，∠AOB ＝∠BOC ＝120°，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，求OA →＋OB →＋OC →.图2-2-9【解】如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，由向量加法的平行四边形法则知OA →＋OB →＝O D →.由|OA →|＝|OB →|，∠AOB ＝120°，知∠BOD ＝60°，|OB →|＝|OD →|. 又∠COB ＝120°，且|OB →|＝|OC →|， ∴OD →＋OC →＝0，故OA →＋OB →＋OC →＝0.。

人教B数学必修四课时分层作业向量的加法含解析

课时分层作业(十四) 向量的加法(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2A [依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A.]2.如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →C [设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.]3．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有( ) A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形D [根据题意，由于在四边形ABCD 中， AC →＝AB →＋BC →. 又∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD 一组对边平行且相等，故其为平行四边形．]4．在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B [如图，∵AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， ∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝ 2|AO →|＝2|AB →|＝2.]5．下列结论中，正确结论的个数为( )(1)如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；(2)在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；(4)若a ，b 均为非零向量，则a ＋b 的长度与a 的长度加b 的长度的和一定相等．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个B [当a ＋b ＝0时，知①不正确；由向量加法的三角形法则知②正确；当A ，B ，C 三点共线时知③不正确；当向量a 与向量b 方向不相同时|a ＋b|≠|a|＋|b|，故④不正确．]二、填空题6．若|a |＝|b |＝1，则|a ＋b |的取值范围为________． [0,2] [由||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |，知0≤|a ＋b |≤2.]7．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________．8 2 km 东北方向 [如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →. 所以|a ＋b |＝|OB →| ＝82＋82＝82(km)，因为∠AOB ＝45°，所以a ＋b 的方向是东北方向．]8．当非零向量a ，b 满足________时，a ＋b 平分以a 与b 为邻边的平行四边形的内角．|a|＝|b| [当|a|＝|b|时，以a 与b 为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a ＋b 平分此菱形的内角．]三、解答题9.如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.[证明] 连接EF (图略)，由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →.由平面几何可知，EF →＝CD →，BF →＝F A →.∴AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →) ＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →) ＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0 ＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋F A →＝0， ∴AD →＋BE →＋CF →＝0.10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．[解] 如图，作OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，且|OC →|＝300 (N)，所以|OA →|＝|OC →|·cos 30°＝1503(N)，|OB →|＝|OC →|·cos 60°＝150(N)，故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.[等级过关练]1．在以下各命题中，不正确的命题个数是( ) (1)任一非零向量的方向都是唯一的； (2)|a |－|b |<|a ＋b |；(3)若|a |－|b |＝|a |＋|b |，则b ＝0；(4)已知A 、B 、C 为平面上任意三点，则AB →＋BC →＋CA →＝0. A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [(1)(3)(4)正确，只有(2)不正确．]2．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，则下面结论正确的是( )A.AE →＝AD →＋F A →B.DE →＋AF →＝0C.AB →＋BC →＋CA →≠0D.AB →＋BC →＋AC →≠0D [容易判断AB →＋BC →＋AC →＝2AC →≠0.故选D.]3．在静水中划船的速度是20 m/min ，水流速度是10 m/min ，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________，3 [如图，设AB →为水流的速度，AD →为划船的速度，则AC →＝AB →＋AD →，其中AC →为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的和速度，在Rt △ABC 中，|AB →|＝10，|BC →|＝20，∴tan ∠ABC ＝|AC →||AB →|＝|BC →|2－|AB →|2|AB →|＝202－10210＝3， ∴tan ∠ADC ＝tan ∠ABC ＝ 3.]4.如图所示，△ABC 中，AD DB ＝AE EC ＝12，且BC ＝3，则|BC →＋ED →|＝________.2 [∵AD DB ＝AE EC ＝12， ∴DE ∥BC ，且DE ＝13BC ＝1. 如图所示，作CF →＝ED →，连接DF ，则BC →＋ED →＝BC →＋CF →＝BF →， ∴|BC →＋ED →|＝|BF →|＝|BC →|－|CF →|＝2.]5．如图所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[解] 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB→＋BC→＝AC→.依题意，有|AB→|＋|BC→|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东80°.。

高中数学 212 向量的加法课件新人教B版必修4

在△ADC 中，∠ADC＝90°，|D→C|＝60，所以|A→C|＝ |AD―→|2＋|DC―→|2 ＝ (20 3)2＋602＝40 3(n mile)．因为|A→C|＝2|A→D|，所以∠CAD＝60°.
答：轮船此时位于 A 港东偏北 60°，且距 A 港 40 3n mile 的 C 处．
(3)对于向量求和的三角形法则与平行四边形法则，要注意它们的应用条件．当两个向量不共线时，它们是一致的．但当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则就不适用了．向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义．
(4)向量加法适合交换律和结合律，这两个运算律可以推广到多个向量的加法运算．
4km/h，方向与水流方向约成 60°角．
雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是3.464m/s，现在有风，如果雨滴以4m/s的速度着地，且这个速度的方向是偏西，求这时的风速．
[解析] 设风速为A→B，无风时雨滴下落的速度是B→C，雨滴着地速度为A→C，
因为A→B＋B→C＝A→C，所以A→B＝A→C－B→C 在 Rt△ABC 中， | A→B | ＝ |AC―→|2－|BC―→|2 ＝ 42－3.4642 ≈2(m/s)，所以这时的风速为 2m/s，方向向西．
2．向量加法的平行四边形法则 (1)方法与步骤：第一步：先把两已知向量a与b的始点平移到同一点；第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形．则两邻边所夹的对角线所表示的向量即为a与b的和． (2)图示：如图所示
பைடு நூலகம்．学习中应注意的问题 (1)两个向量的和仍然是一个向量； (2)向量的加法与数的加法是不同的．利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．在运用此法则时，要注意“首尾相接”，即求两个向量的和是以第一个向量的终点为第二个向量的起点，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量．

数学人教B版必修4优化训练：2.1.2向量的加法含解析

2.1.2 向量的加法5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列命题中正确命题的个数为( )①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a、b之一的方向相同②△ABC中，必有++=0 ③若++=0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点④若a、b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等A.0B.1C.2D.3解析：①假命题，当a+b=0时，命题不成立；②真命题；③假命题，当A、B、C三点共线时，也可以有++=0；④假命题，只有当a与b同向时才相等.答案：B2.向量(+)+(+)+化简后等于( )A. B. C. D.解析：原式=(+)+(+)+=++=.答案：C3.如图2-1-7，在平行四边形ABCD中，++等于( )图2-1-7A. B. C. D.解析：BC+DC+BA=BC+(DC+BA)=BC=AD.答案：A4.如图2-1-8，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形.图2-1-8(1)若AE=a，则DB=_______________；(2)若CE=b，则AB=______________；(3)和相等的所有向量为______________；(4)和AB 共线的所有向量为______________.答案：(1)-a (2)b 21 (3)ED 、DC (4) ED 、DC 、EC 、DE 、CD 、CE 、BA 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.如图2-1-9，AB +BC +CD +DE +EF +FA 等于( )图2-1-9A.0B.0C.2ADD.-2解析：利用向量封闭性原理.答案：B2.已知正方形ABCD 的边长为1，=a ，=b ，=c ，则|a +b +c |等于( )A.0B.3C.2D.22解析：如图，a +b +c =2c ，|c |=2，∴|a +b +c |=|2c |=22.答案：D3.设a 、b 为非零向量，下列说法不正确的是( )A.a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a +b 与a 的方向相同B.a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a +b 与a 的方向相同C.a 与b 同向，则a +b 与a 同向D.a 与b 同向，则a +b 与b 同向解析：两个向量反向，则哪个向量的模长两向量之和的方向就与哪个向量方向一致. 答案：B4.在五边形A 1A 2A 3A 4A 5中，31A A +53A A +25A A +42A A =________________.解析：原式=51A A +45A A =41A A . 答案：41A A5.平行四边形ABCD 中，||=3，||=4，则：(1)||_____________7(填“>”“<”或“≥”“≤”)；(2)若|AC |=5，则此四边形为_____________形.解析：（1）由三角形两边之和大于第三边.（2）由|AB|2+|BC|2=|AC|2可知△ABC为直角三角形，所以应填“矩形”.答案：(1)＜(2)矩6.一艘船以垂直河岸方向8 km/h的速度驶向对岸，水流速度为8 km/h，方向向东，问船实际沿什么方向行驶？速度为多少？解：如图，代表水流速度，代表船速度，则为船实际速度.∵||=||=8 km，8.∴∠DAB=45°且||=28km/h.∴船实际沿东偏北45°方向行驶，且速度为230分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列各式中结果为0的个数为( )①AB+BC+CA②AB+MB+BO+OM③OA+OC+BO+CO④AB+CA+BD+DCA.1B.2C.3D.4解析：①是；②原式=(AB+BO)+(OM+MB)=AO+OB=AB；③原式=OA+(BO+OC)+ CO=OA+(BC+CO)=OA+BO=BA；④原式=(AB+BD)+(DC+CA)=AD+DA=0. 答案：B2.四边形ABCD中，若AB=DC且|AC|=|BD|，则四边形ABCD为( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由=可判断四边形ABCD为平行四边形，由||=||进一步判断该四边形的对角线相等，所以四边形ABCD为矩形.答案：C3.如图2-1-10,在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )图2-1-10A.AB=DCB.AD+AB=ACC.=+D.+=0解析：因为AD +DB =AB ,所以AB =AD +BD 错误.答案：C4.设向量a ，b 为非零向量，若|a +b |=|a |+|b |，则a 的方向与b 的方向一定为_____________. 解析：由向量加法的定义知，a ，b 方向相同.答案：相同5.如图2-1-11,已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则+++=___________________.图2-1-11解析：原式=(+)+(+)= +=. 答案：6.当非零向量a ,b 满足______________时，能使a +b 平分a 与b 的夹角.解析：平行四边形OBCA 中，只有OA=OB 时，OC 才平分∠AOB.答案：|a |=|b |7.正△ABC 中，边长为a ，则|+|=_______________.解析：作正△ABC 的边AC 、AB 的平行线，得到一个平行四边形ABEC ，可知+=，易知||=2||=2×323 . 答案：38.平行四边形ABCD 中，O 为对角线AC 、BD 的交点，则a =+与b =+有什么关系？解析：由三角形法则知OA 与OC ，OB 与OD 大小相等方向相反，可得结果.答案：a 与b 模相等，方向相反.9.我们知道△ABC 中，AB +BC +CA =0，反过来，三个不共线的非零向量a 、b 、c 满足什么条件时，顺次将它们的终点与起点相连而成一个三角形？解：当a +b +c =0时，顺次将它们的终点与起点相连而成一个三角形. 可作=a ，=b ，=c ，则+=， ∴+c =0，即c 与方向相反，大小相同，即c =，∴a 、b 、c 可构成一个三角形.10.已知向量a 、b ，比较|a +b |与|a |+|b |的大小.解：(1)当a 、b 至少有一个为零向量时，有|a +b |=|a |+|b |；(2)当a 、b 为非零向量:①a 、b 不共线时，有|a +b |＜|a |+|b |；②a、b同向共线时，有|a+b|=|a|+|b|；③a、b异向共线时，有|a+b|＜|a|+|b|. 总之，|a+b|≤|a|+|b|.。

[推荐学习]高中数学学业分层测评14向量的加法含解析新人教B版必修4

学业分层测评(十四) 向量的加法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A.5B.4C.3D.2【解析】依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A. 【答案】 A2.如图2115所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝( )图2115A.CD →B.OC →C.DA →D.CO →【解析】 OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →. 【答案】 B3.如图2116所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )图2116A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →【解析】设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.【答案】 C4.下列结论中，正确结论的个数为( )【导学号：72010044】①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；④若a ，b 均为非零向量，则a ＋b 的长度与a 的长度加b 的长度的和一定相等.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】当a ＋b ＝0时，知①不正确；由向量加法的三角形法则知②正确；当A ，B ，C 三点共线时知③不正确；当向量a 与向量b 方向不相同时|a ＋b|≠|a|＋|b|，故④不正确.【答案】 B5.在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是( ) A.菱形 B.矩形 C.正方形D.不确定【解析】 ∵|BC →＋BA →|＝|BD →|， |BC →＋AB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|， ∴|BD →|＝|AC →|，∴▱ABCD 是矩形. 【答案】 B 二、填空题6.若a 表示“向东走8 km”，b 表示“向北走8 km”，则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________.【解析】如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →. 所以|a ＋b |＝|OB →| ＝82＋82＝82(km)，因为∠AOB ＝45°，所以a ＋b 的方向是东北方向. 【答案】 8 2 km 东北方向7.(2016·济南高一检测)当非零向量a ，b 满足________时，a ＋b 平分以a 与b 为邻边的平行四边形的内角.【解析】当|a|＝|b|时，以a 与b 为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a ＋b 平分此菱形的内角.【答案】 |a|＝|b| 三、解答题8.已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |. 【解】如图，∵|OA →|＝|OB →|＝3，∴四边形OACB 为菱形.连接OC 、AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为D . ∵∠AOB ＝60°，∴AB ＝|OA →|＝3， ∴在Rt △BDC 中，CD ＝332，∴|OC →|＝|a ＋b |＝332×2＝3 3.9.如图2117，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点.求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.图2117【证明】由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →. 由平面几何可知，EF →＝CD →，BF →＝FA →.∴AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →) ＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →) ＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0 ＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋FA →＝0， ∴AD →＋BE →＋CF →＝0.[能力提升]1.在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( ) A.1 B.2 C.3D.4【解析】如图，∵AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →，∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2|AO →| ＝2|AB →|＝2.故选B. 【答案】 B2.如图2118，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力.图2118【解】如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°. 设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，且|OC →|＝300(N)， ∴|OA →|＝|OC →|cos 30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|cos 60°＝150(N).故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.。

2021_2022学年高中数学课时分层作业14向量的加法(含解析)北师大版必修4

课时分层作业(十四) 向量的加法(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．向量a 表示“向东航行1 km 〞，向量b 表示“向南航行1 km 〞，那么a ＋b 表示( )A ．向东南航行 2 kmB ．向东南航行2 kmC ．向东北航行 2 kmD ．向东北航行2 km[答案] A2.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，以下结论正确的选项是()A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →[答案] C3．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，那么( )A ．a ∥b ，且a 与b 方向一样B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可[答案] A4.如下图，在正六边形ABCDEF 中，假设AB ＝1，那么|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C. 3D. 5B [BC →＝FE →，∴AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →，∵AB ＝1，∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2.]5．假设在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，|AB →＋AC →|＝2，那么△ABC 的形状是( )A ．正三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形D [以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，∵AB ＝AC ＝1，AD ＝2，∴∠ABD 为直角，那么该四边形为正方形．∴∠BAC ＝90°.]二、填空题6．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________.0 [注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →＝0.]7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，那么|BC →＋CD →|＝________.1 [在菱形ABCD 中，连接BD (图略)，∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形，又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1，|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1.]8．|OA →|＝3，|OB →|＝3，∠AOB ＝90°，那么|OA →＋OB →|＝________.3 2 [以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，由∠AOB ＝90°，|OA →|＝|OB →|＝3，所以该四边形为正方形，那么|OA →＋OB →|＝32＋32＝3 2.]三、解答题9．如下图，P ，Q 是三角形ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.[证明] AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，所以AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →.因为PB →与QC →大小相等，方向相反，所以PB →＋QC →＝0，故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →.10.如下图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出以下向量：(1)OA →＋OC →；(2)BC →＋FE →；(3)OA →＋FE →.[解] (1)由图知，四边形OABC 为平行四边形，∴OA →＋OC →＝OB →.(2)由图知BC →＝FE →＝OD →＝AO →，∴BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.(3)∵OD →＝FE →，∴OA →＋FE →＝OA →＋OD →＝0.[等级过关练]1．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，那么以下结论中正确的选项是( ) ①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＝|a |－|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |.A ．①②B ．①③C ．①③⑤D ．③④⑤C [a ＝0，∴a ∥b ，a ＋b ＝b ，|a ＋b |＝|a |＋|b |，应选C.]2．四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →，那么四边形ABCD 为() A ．正方形 B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形C [AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →，∵AO →＝OC →，DO →＝OB →，∴AB →＝DC →.∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．假设|AB →|＝10，|AC →|＝8，那么|BC →|的取值范围是________．[2,18] [如图，固定AB ，以A 为起点作AC →，那么AC →的终点C在以A 为圆心，|AC →|为半径的圆上，由图可见，当C 在C 1处时，|BC→|取最小值2，当C 在C 2处时，|BC →|取最大值18.]4．小船以10 3 km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，那么小船实际航行速度的大小为________km/h.20 [如图，设船在静水中的速度为|v 1|＝10 3 km/h.河水的流速为|v 2|＝10 km/h ，小船实际航行速度为v 0，那么由|v 1|2＋|v 2|2＝|v 0|2，得(103)2＋102＝|v 0|2，所以|v 0|＝20 km/h ，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.]5.如图，D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.[证明] 由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →.由平面几何知识可知：EF →＝CD →，BF →＝FA →.所以AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →)＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →)＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋FA →＝0.。

向量的加法课件新人教B版必修4

的速度,用向量A B 表示水流的速度
C
D
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 A D
就是船实际驶的速度
在 R tA B D 中 ,A B 2 ,B D 23
A
B
A D A B B D
AD 4
tanDAB 3 D AB60
答:船实际行驶速度的大小为4km/h,方向与水流速度间的夹角 6 0 .
a
c
bb
a
a+ b
a ab
b
c bc
abc
b+ a a
b
向量加法的运算律
交换律： abba 结合律：(ab)ca(bc) 想一想
1.若两向量互为相反向量,则它们的和为什么?
a （ a ）（ a ） a0
2.零向量和任一向量 a 的和为什么?
a00aa
练习：判断下列命题是否正确
（1）两向量相等，则它们的起点相同，终点也相同;
（2）若
a

b
,则
ab
或
ab
（3）若 AB DC ，则A，B，C，D四点是平行四边形
的四个顶点。
（4）平行四边形ABCD中一定有AB DC
(5) 若 mn,nk ，则 m k
（6）若 a ∥ b ，b ∥ c ，则 a ∥ c
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律向量加法的运算
b
b
O
a
A
向量加法的平行四边形法则
A
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
O
b
b
b C共
a

高一数学人教B版必修4学案：2.1.2 向量的加法 Word版含解析

2.1.2 向量的加法[学习目标] 1.理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．[知识链接]1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？答不是．两个向量的和仍是一个向量，所以两个向量相加要注意两个方面，即和向量的方向和模．2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？答向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和．联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的． [预习导引] 1．向量的加法法则 (1)三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和(或和向量)，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a . (2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量OC →＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 2．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a＋b )＋c＝a＋(b＋c ).要点一向量的加法运算例1 化简或计算：(1)CD →＋BC →＋AB →＝________. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝________.(3)▱ABCD 中(如图)，对角线AC 、BD 交于点O . 则①AD →＋AB →＝________； ②CD →＋AC →＋DO →＝________； ③AB →＋AD →＋CD →＝________； ④AC →＋BA →＋DA →＝________.答案 (1)AD → (2)0 (3)①AC → ②AO → ③AD →④0 解析 (1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋F A → ＝AC →＋CF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0. (3)①AD →＋AB →＝AC →，②CD →＋AC →＋DO →＝CO →＋AC →＝AO →， ③AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →， ④AC →＋BA →＋DA →＝DC →＋BA →＝0.规律方法 (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．跟踪演练1 如图，E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，化简下列各式： (1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →.解 (1)DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0. 要点二利用向量证明几何问题例2 在▱ABCD 的对角线BD 的延长线及反向延长线上，取点F 、E ，使BE ＝DF (如图)．用向量的方法证明：四边形AECF 也是平行四边形．证明 ∵AE →＝AB →＋BE →， FC →＝FD →＋DC →.又∵AB →＝DC →，BE →＝FD →，∴AE →＝FC →，即AE 、FC 平行且相等， ∴四边形AECF 是平行四边形．规律方法用向量证明几何问题的一般步骤： (1)要把几何问题中的边转化成相应的向量； (2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系．跟踪演练2 下列命题①如果a ，b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同； ②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①如果a ，b 的方向相同则a ＋b 的方向必与a ，b 相同．如果a ，b 的方向相反，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，若|a |＝|b |，则a ＋b ＝0，它的方向任意，①错误．②正确．③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 三点可能共线，③错误．④错误．要点三向量加法的实际应用例3 如图所示，在抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°，所以|AC →|＝ |AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.规律方法解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题—作出解答．跟踪演练3 已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h ，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在河南岸M 处，对岸北偏东30°有一码头N ，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)解 (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km /h ；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h ，此时小船是静止的．(2)如图所示，设MA →表示水流的速度，MN →表示小船实际过河的速度．设MC ⊥MA ，|MA →|＝|MB →|＝10，∠CMN ＝30°. ∵MA →＋MB →＝MN →， ∴四边形MANB 为菱形．则∠AMN ＝60°， ∴△AMN 为等边三角形．在△MNB 中，|BN →|＝|MN →|＝|MB →|＝10，∴∠BMN ＝60°，而∠CMN ＝30°，∴∠CMB ＝30°， ∴小船要由M 直达码头N ，其航向应为北偏西30°.1．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．与向量b 方向相反答案 A解析 a ∥b 且|a |>|b |>0，∴当a 、b 同向时，a ＋b 的方向与a 相同，当a 、b 反向时，∵|a |>|b |，∴a ＋b 的方向仍与a 相同． 2．下列等式不正确的是( )①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →≠0； ③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A ．②③ B ．② C ．① D ．③ 答案 B解析 ①满足向量加法的交换律与结合律，①正确． AB →＋BA →＝AA →＝0，②不正确．DC →＋AB →＋BD →＝DC →＋(AB →＋BD →)＝DC →＋AD → ＝AD →＋DC →＝AC →，③正确． 3.设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式： (1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝______； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________. 答案 (1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →4．如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC . 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 证明 ∵AP →＝AB →＋BP →， AQ →＝AC →＋CQ →，∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →. 又∵BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反， ∴BP →＋CQ →＝0， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →，即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．一、基础达标1．下列三个命题：①若a ＋b ＝0，b ＋c ＝0，则a ＝c ；②AB →＝CD →的等价条件是点A 与点C 重合，点B 与点D 重合；③若a ＋b ＝0且b ＝0，则－a ＝0.其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 答案 B解析 ①中，∵a ＋b ＝0，∴a 、b 的长度相等且方向相反．又b ＋c ＝0，∴b 、c 的长度相等且方向相反，∴a 、c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ，①正确．②中，当AB →＝CD →时，应有|AB →|＝|CD →|及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定要有点A 与点C 重合，点B 与点D 重合，故②错．③显然正确．2．如图，在▱ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA → 答案 C3．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可答案 A 4.如图所示，在▱ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( ) A.BD → B.DB → C.BC → D.CB → 答案 C解析 BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →.5．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM → 答案 D解析因为点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以点M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则知OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，故OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →. 6．已知|OA →|＝|OB →|＝1，且∠AOB ＝60°，则|OA →＋OB →|＝________. 答案3解析如图所示，OA →＋OB →＝OC →， |OA →＋OB →|＝|OC →|，在△OAC 中，∠AOC ＝30°， |OA →|＝|AC →|＝1，∴|OC →|＝ 3.7．设O 是△ABC 内任一点，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．证明：OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →. 证明如图所示，因为OA →＝OD →＋DA →，OB →＝OE →＋EB →，OC →＝OF →＋FC →，所以OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →＋DA →＋EB →＋FC →. 因为D ，E ，F 分别为各边的中点，所以DA →＋EB →＋FC →＝12(BA →＋CB →＋AC →)＝0.所以OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →. 二、能力提升8．已知四边形ABCD 是一菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB →＋BC →＝CA → B.AB →＋AC →＝BC → C.AC →＋BA →＝AD → D.AC →＋AD →＝DC → 答案 C解析对于A ，AB →＋BC →＝AC →≠CA →；对于B ，AB →＋AC →≠BC →；对于C ，AC →＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →，又AD →＝BC →，∴AC →＋BA →＝AD →；对于D ，AC →＋AD →≠DC →.9．设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________．答案 20,4解析当a 与b 共线同向时，|a ＋b |max ＝20；当a 与b 共线反向时，|a ＋b |min ＝4. 10．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______. 答案 0解析如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0.11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．解如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5.∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10，∴水流速度大小为5 3 km /h ，船实际速度为10 km/h.12．已知四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，且AO →＝OC →，DO →＝OB →. 求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明如图所示．高中数学必修四AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →.又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →，∴AB ∥DC ，且AB ＝DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形．三、探究与创新13．在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到B 地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置．解如图所示，设AB →、BC →分别是直升飞机两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →，在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km ，在Rt △ACD 中，|AC →|＝ |AD →|2＋|DC →|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40 3 km 处．。

人教版高中数学B版必修4练习2.1.2向量的加法

2.1.2 向量的加法一、基础过关1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示( )A ．向东南航行 2 kmB ．向东南航行2 kmC ．向东北航行 2 kmD ．向东北航行2 km2．如图在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →3． a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可4．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A.BD →B.DB →C.BC →D.CB →5．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 36．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________.7．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →.求证：四边形ABCD 是平行四边形．8．如图：平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一点．求证：PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →. 二、能力提升9．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是________． 10．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________.11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．12．如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF .求证：四边形AECF 是平行四边形．三、探究与拓展13．在日本3·11大地震后，一架救援直升飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到B地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置．答案1．A 2.C 3.A 4.C 5.B 6.07．证明 AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →. ∴AB ＝CD 且AB ∥DC .∴四边形ABCD 为平行四边形． 8．证明 ∵PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD → ＝4PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋OD →) ＝4PO →＋(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →) ＝4PO →＋0＋0＝4PO →. ∴PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →. 9． 8 10.011．解如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5. ∵四边形OACB 为矩形， ∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10，∴水流速度大小为5 3 km /h ，船实际速度为10 km/h.12．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →，所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等，所以四边形AECF 是平行四边形．13．此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40 3 km处。

2019-2020人教B版数学必修4课时分层作业14 向量的加法

课时分层作业(十四) 向量的加法(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2A [依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A.]2.如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →C [设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.]3．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有( ) A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形D [根据题意，由于在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋BC →. 又∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD 一组对边平行且相等，故其为平行四边形．]4．在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B [如图，∵AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， ∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝ 2|AO →|＝2|AB →|＝2.]5．下列结论中，正确结论的个数为( )(1)如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；(2)在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；(4)若a ，b 均为非零向量，则a ＋b 的长度与a 的长度加b 的长度的和一定相等．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个B [当a ＋b ＝0时，知①不正确；由向量加法的三角形法则知②正确；当A ，B ，C 三点共线时知③不正确；当向量a 与向量b 方向不相同时|a ＋b|≠|a|＋|b|，故④不正确．]二、填空题6．若|a |＝|b |＝1，则|a ＋b |的取值范围为________． [0,2] [由||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |，知0≤|a ＋b |≤2.]7．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________．8 2 km 东北方向 [如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →. 所以|a ＋b |＝|OB →| ＝82＋82＝82(km)，因为∠AOB ＝45°，所以a ＋b 的方向是东北方向．]8．当非零向量a ，b 满足________时，a ＋b 平分以a 与b 为邻边的平行四边形的内角．|a|＝|b| [当|a|＝|b|时，以a 与b 为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a ＋b 平分此菱形的内角．]三、解答题9.如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.[证明] 连接EF (图略)，由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →.由平面几何可知，EF →＝CD →，BF →＝F A →.∴AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →) ＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →) ＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0 ＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋F A →＝0， ∴AD →＋BE →＋CF →＝0.10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．[解] 如图，作OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，且|OC →|＝300 (N)，所以|OA →|＝|OC →|·cos 30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|·cos 60°＝150(N)，故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.[等级过关练]1．在以下各命题中，不正确的命题个数是( ) (1)任一非零向量的方向都是唯一的； (2)|a |－|b |<|a ＋b |；(3)若|a |－|b |＝|a |＋|b |，则b ＝0；(4)已知A 、B 、C 为平面上任意三点，则AB →＋BC →＋CA →＝0. A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [(1)(3)(4)正确，只有(2)不正确．]2．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，则下面结论正确的是( )A.AE →＝AD →＋F A →B.DE →＋AF →＝0C.AB →＋BC →＋CA →≠0D.AB →＋BC →＋AC →≠0D [容易判断AB →＋BC →＋AC →＝2AC →≠0.故选D.]3．在静水中划船的速度是20 m/min ，水流速度是10 m/min ，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________，3 [如图，设AB →为水流的速度，AD →为划船的速度，则AC →＝AB →＋AD →，其中AC →为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的和速度，在Rt △ABC 中，|AB →|＝10，|BC →|＝20，∴tan ∠ABC ＝|AC →||AB →|＝|BC →|2－|AB →|2|AB →|＝202－10210＝3，∴tan ∠ADC ＝tan ∠ABC ＝ 3.]4.如图所示，△ABC 中，AD DB ＝AE EC ＝12，且BC ＝3，则|BC →＋ED →|＝________.2 [∵AD DB ＝AE EC ＝12，∴DE ∥BC ，且DE ＝13BC ＝1. 如图所示，作CF →＝ED →，连接DF ，则BC →＋ED →＝BC →＋CF →＝BF →， ∴|BC →＋ED →|＝|BF →|＝|BC →|－|CF →|＝2.]5．如图所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[解] 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°，所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.。

2016高中数学人教B版必修四212《向量的加法》精选习题

第二章 2、1 2、1、2一、选择题1、向量（错误!＋错误!)＋(错误!＋错误!）＋错误!等于( ) A 、错误! B 、错误! C 、错误! D 、错误![答案］ C［解析] 原式＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋0＝错误!、 2、若a 、b 为非零向量,则下列说法中不正确的就是( ） A 、若向量a 与b 方向相反，且|a |〉|b |,则向量a ＋b 与a 的方向相同 B 、若向量a 与b 方向相反，且|a |<｜b ｜,则向量a ＋b 与a 的方向相同 C 、若向量a 与b 方向相同,则向量a ＋b 与a 的方向相同 D 、若向量a 与b 方向相同,则向量a ＋b 与b 的方向相同 [答案］ B[解析］ ∵a 与b 方向相反,且｜a ｜<|b ｜时，a ＋b 与a 的方向相反,a ＋b 与b 的方向相同,故B 不正确、3、a 、b 、a ＋b 为非零向量,且a ＋b 平分a 与b 的夹角,则( ) A 、a ＝b B 、a ⊥b C 、｜a |＝|b | D 、以上都不对［答案] C［解析] 由向量加法的平行四边形法则知,若a ＋b 平分a 与b 的夹角，则四边形就是菱形,因此|a ｜＝｜b |、4、（2015·四川德阳市第五中学高一月考)如图,D 、E 、F 分别就是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则（ )A 、AD →＋错误!＋错误!＝0 B 、错误!＋错误!＋错误!＝0 C 、错误!＋错误!＋错误!＝0 D 、错误!＋错误!＋错误!＝0[答案] A[解析]∵D、E、F分别就是△ABC的边AB、BC、CA的中点，∴DE∥AC,DF∥BC、∴四边形DECF就是平行四边形、∴错误!＝错误!、又错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝0,故选A、5、已知下列各式:①A错误!＋M错误!＋B错误!；②A错误!＋C错误!＋B错误!＋D错误!;③O错误!＋O错误!＋B错误!＋C错误!、其中结果为零向量的个数为(）A、0B、1C、2D、3[答案］ C［解析］A错误!＋M错误!＋B错误!＝0,A错误!＋C错误!＋B错误!＋D错误!＝A 错误!＋B错误!＋D错误!＋C错误!＝0,O错误!＋O错误!＋B错误!＋C错误!＝O错误!＋B 错误!,故选C、6、在四边形ABCD中,错误!＝错误!＋错误!，则四边形ABCD一定就是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、平行四边形[答案］ D［解析］在四边形ABCD中，错误!＝错误!＋错误!，又错误!＝错误!＋错误!，∴错误!＝错误!，∴四边形ABCD就是平行四边形、二、填空题7、如图所示，已知梯形ABCD,AD∥BC，则错误!＋错误!＋错误!＝________、［答案]错误![解析］错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!、8、根据右图填空:b＋c＝________；a＋d＝________；b＋c＋d＝________；f＋e＝________；e＋g＝________、[答案］a f f bδ[解析]由向量加法的多边形法则可知、三、解答题9、已知下图中电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力F1＝24 N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力F2＝12 N、求F1与F2的合力、[解析]如图,根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝错误!、在△OCA中,｜F1|＝24，|错误!|＝12，∠OAC＝60°，∴∠OCA＝90°、∴|错误!|＝12错误!、∴F1与F2的合力为12错误!N,与F2成90°角竖直向上、10、两个力F1与F2同时作用在一个物体上,其中F1＝40N,方向向东,F2＝40错误!N,方向向北，求它们的合力、［解析]如图所示，错误!表示F1，错误!表示F2,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB,则错误!表示合力F、易知F＝80N,合力F与F1的夹角为60°、一、选择题1、已知向量a表示“向东航行1 km”向量b表示“向南航行1 km”则a＋b表示(）A、向东南航行 2 kmB、向东南航行2 kmC、向东北航行错误!kmD、向东北航行2 km[答案］ A[解析］如图所示,故选A、2、在平行四边形ABCD中，设错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c，错误!＝d，则下列各式中不成立的就是（)A、a＋b＝cB、a＋d＝bC、b＋d＝aD、｜a＋b|＝｜c|[答案］ C[解析］如图,a＋b＝c，|a＋b|＝|c｜,a＋d＝b,b＋d≠a,故选C、3、已知正方形ABCD的边长为1,错误!＝a、错误!＝b、错误!＝c,则|a＋b＋c｜等于(）A、0B、3C、错误!D、2错误![答案] D［解析]∵错误!＋错误!＝错误!，∴｜a＋b＋c｜＝|2c｜，∵｜c｜＝错误!,∴|a＋b＋c|＝2错误!,故选D、4、如图，已知梯形ABCD，AD∥BC,则错误!＋错误!＋错误!＋错误!等于（)A、错误!B、错误!C、错误!D、错误![答案] B[解析]错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!、二、填空题5、在静水中划船的速度就是20 m/min ，水流速度就是10 m/min,如果船从岸边出发,径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________、［答案］错误![解析] 如图，设错误!为水流的速度,错误!为划船的速度，则错误!＝错误!＋错误!，其中错误!为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的与速度,在Rt △ABC 中，｜错误!｜＝10,|错误!｜＝20,∴tan ∠ABC ＝错误!＝错误! ＝错误!＝错误!,∴tan ∠ADC ＝tan ∠ABC ＝错误!、6、如图所示,△ABC 中，ADDB＝错误!＝错误!，且BC ＝3,则｜错误!＋错误!|＝________、［答案] 2［解析] ∵错误!＝错误!＝错误!， ∴DE ∥BC ,且DE ＝错误!BC ＝1, 如图所示，作错误!＝错误!,连DF ，则错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!,∴|错误!＋错误!|＝|错误!｜＝|错误!｜－|错误!｜＝2、三、解答题7、如图所示,在△ABC 中，P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 边的中点,求证错误!＋错误!＋错误!＝0、［解析]解法一：错误!＝错误!＋错误!,错误!＝错误!＋错误!,错误!＝错误!＋错误!、又∵P、Q、R分别为BC、CA、AB的中点,∴错误!＝错误!错误!,错误!＝错误!错误!,错误!＝错误!错误!，∴错误!＋错误!＋错误!＝（错误!＋错误!＋错误!)＋错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝错误!(错误!＋错误!＋错误!）＝0、解法二：错误!＝错误!（错误!＋错误!)，错误!＝错误!(错误!＋错误!）,错误!＝错误!(错误!＋错误!），∴错误!＋错误!＋错误!＝错误!(错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋C错误!＋错误!)＝0、8、轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 n mile（海里）到达B处,再由B处沿正北方向行驶40 n mile到达C处、求此时轮船关于A港的相对位置、［解析］如下图,错误!、错误!分别表示轮船的两次位移，则错误!表示轮船的与位移，错误!＝错误!＋错误!、在△ADB中，∠ADB＝90°，∠DAB＝30°,｜错误!|＝40，所以|错误!|＝20,|错误!|＝20错误!、在△ADC中，∠ADC＝90°，|错误!｜＝60,所以｜错误!|＝错误!＝(203)2＋602＝40错误!(n mile）、因为|错误!|＝2|错误!｜,所以∠CAD＝60°、答：轮船此时位于A港东偏北60°，且距A港403n mile的C处、。

【精品卷】2019—2020年最新北师大版高中数学必修四《向量的加法》课时提升练习及答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四课时提升作业向量的加法一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·长春高一检测)向量(+)+(+)+等于( )A. B. C. D.【解析】选C.原式=++++=.2.如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则++= ( )A. B. C. D.【解题指南】根据图形,由向量加法的三角形法则依次求和,即可得到和向量的表达式,从图形中找出相对应的有向线段即可.【解析】选B.由题图可得,++=+=.故选B.3.(2014·合肥高一检测)P为四边形ABCD所在平面上一点,+++=+,则P为( )A.四边形ABCD对角线交点B.AC中点C.BD中点D.CD边上一点【解题指南】利用向量的三角形法则可得:=+,=+.由于+++=+,可得+=+,即+=0.即可得出.【解析】选B.因为=+,=+.又+++=+,所以+=+,所以+=0.所以点P为线段AC的中点.故选B.4.在平行四边形ABCD中,++等于( )A. B. C. D.【解析】选C.++=+=.故选C.5.(2014·青岛高一检测)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+= ( )A. B. C. D.【解析】选D.设图中H左侧的点为I,连接OPIQ,易知四边形OPIQ为平行四边形,故+=,又=,故选D.【误区警示】本题容易出现误选A的错误,原因是误认为OPHQ为平行四边形,因此观察图形时应仔细.6.若|a|=3,|b|=4,且a,b方向相反,则|a+b|= ( )A.3B.4C.5D.1【解析】选D.由题意可知|a+b|=|b|-|a|=1.二、填空题(每小题4分,共12分)7.在矩形ABCD中,+= ,+= ,+= .【解析】由向量加法的三角形法则可知,+=,+=0.由向量加法的平行四边形法则可知,+=.答案:08.若a表示“向东走8km”,b表示“向北走8km”,则|a+b|= ,a+b的方向是. 【解析】在平面内任意取一点O(如图),作=a,=b,则=a+b,||=||=8,所以||===8(km),向量的方向是东北方向.答案:8km 东北方向9.根据图示填空:(1)c+d= .(2)f+e= .(3)a+b+d= .(4)c+d+e= .【解析】(1)c+d=+==f.(2)f+e=+==g.(3)a+b+d=(+)+=+==f.(4)c+d+e=(+)+=+==g.答案:(1)f (2)g (3)f (4)g三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·沈阳高一检测)如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:(1)++.(2)+++.【解析】(1)++=++=++=+=.(2)+++=+++=++=+=0.11.在静水中船的速度为20m/min,水流的速度为10 m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.【解析】作出图形如图:船速v船与岸的方向成α角,由图可知v水+v船=v实际,结合已知条件,可知四边形ABCD为平行四边形.在Rt△ACD中,||=||=|v水|=10m/min,||=|v船|=20m/min,所以cosα===,所以α=60°,即船行进的方向与水流方向成120°角.【变式训练】一条小船要渡过一条两岸平行的小河,河的宽度d=100m,船的静水航行速度为4m/s,水流的速度为2m/s,试问当船头与水流方向的夹角为多大时,小船行驶到对岸所用的时间最少?此时小船的实际航行速度与水流速度的夹角的正切值是多大?【解析】设小船行驶到对岸所用的时间为ts,如图(1),设表示水流的速度,表示船的航行速度,以AD,AB 为邻边作▱ABCD,则就是船实际航行的速度.设∠BAC=α,∠BAD=θ,则相对于垂直对岸的速度为v=sinθ,小船行驶到对岸所用的时间为t=d||v =θ=θ=θ,θ∈(0,π).故当sinθ=1,即θ=90°时,小船行驶到对岸所用的时间最少,为25s.当θ=90°,如图(2),在Rt△ABC中,||=2,||=||=4,所以tanα=2.答:当船头与水流方向的夹角为90°时,小船行驶到对岸所用的时间最少,为25s,此时小船的实际航行速度与水流速度的夹角的正切值是2.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·济宁高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算的结果与向量共线的有( )①(+)+;②(+)+;③(+)+;④(+)+.A.1个B.2个C.3个D.4个【解题指南】由向量的运算可得4个结果均为向量,由向量的共线可得答案.【解析】选D.由向量的运算可得①( + )+ = + = ,与向量共线; ②(+)+=+=,与向量共线; ③(+)+=+=,与向量共线;④(+)+=+=,与向量共线.故选D.2.河水的流速为5m/s,一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s 的速度驶向对岸,则小船的静水速度大小为 ( ) A.13m/sB.12m/sC.17m/sD.15m/s【解析】选A.设河水的流速|v 2|=5m/s, 静水速度与河水速度的合速度|v |=12m/s, 小船的静水速度为|v 1|,因为为了使航向垂直河岸,船头必须斜向上游方向,即:静水速度v 1斜向上游方向,河水速度|v 2|=5m/s 平行于河岸,静水速度与河水速度的合速度|v |=12m/s 指向对岸,所以静水速度|v 1|=222+v v = =13(m/s).3.在平行四边形ABCD 中,若| + |=| +|,则必有 ( ) A.平行四边形ABCD 为菱形 B.平行四边形ABCD 为矩形 C.平行四边形ABCD 为正方形 D.以上都不正确【解析】选B.因为+=,=, 所以+=+= .由|+|=|+|可知||=||, 所以四边形ABCD 是矩形.4.设a=(+)+(+),b是任一非零向量,则在下列结论中,正确的为( )①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|;⑥|a+b|>|a|+|b|.A.①②⑥B.①③⑥C.①③⑤D.③④⑤⑥【解析】选C.因为a=(+)+(+)=+++=+=0,故只有①③⑤正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·青州高一检测)已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点,则下列说法正确的是(填序号)(1)+=(2)+=(3)+=(4)+++≠0【解析】根据题意可得:(1)+=+=≠,所以(1)错误.(2)+=+=≠,所以(2)错误.(3)+=+=,所以(3)正确.(4)+++=0+0=0,所以(4)错误.答案:(3)6.当非零向量a,b(a,b不共线)满足时,能使a+b平分a与b的夹角.【解析】菱形的对角线平分对角,由平行四边形法则可得,当|a|=|b|时,a+b平分a与b的夹角.答案:|a|=|b|三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·合肥高一检测)如图,点D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点,求证:(1)+=+.(2)++=0.【证明】(1)因为+=,+=,所以+=+.(2)由向量加法的平行四边形法则可得:++=(+)+(+)+(+)=(+)+(+)+(+)=0. 【拓展延伸】用向量证明几何问题的一般步骤(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量.(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.(3)还原成几何问题.【变式训练】设E是平行四边形ABCD外一点,如图所示,化简下列各式:(1)+.(2)++.(3)++.(4)+++.【解析】(1)+=.(2)++=++=0.(3)++=++=+=.(4)+++=+++=.8.重为|G|的物体系在OA,OB两根等长的轻绳上,轻绳挂在半圆形支架上.如图所示,若A端位置固定不变,将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中.OA绳和OB绳的拉力如何变化?【解题指南】OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中,物体始终处于平衡状态,找出不变的物理量,画出平行四边形进行分析.【解析】对结点O受力分析如图:结点O始终处于平衡状态,所以OB绳和OA绳上的拉力的合力大小保持不变,方向始终是竖直向上的.所以OA绳和OB绳的拉力变化为:OA绳受力大小变化情况:变小;O B绳受力大小变化情况是:先变小后变大. 【变式训练】如图,在重300N的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,当整个系统处于平衡状态时,求两根绳子拉力的大小.【解析】如图,作▱OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°,和分别表示两根绳子的拉力,则表示这两根绳子拉力的合力,则||=300N.在△OAC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,则||=||cos30°=300×=150(N),||=||sin30°=300×=150(N),即||=||=150(N).则可得与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.。

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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2.1.2 向量的加法一、基础过关1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示( )A ．向东南航行 2 kmB ．向东南航行2 kmC ．向东北航行 2 kmD ．向东北航行2 km2．如图在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →3． a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可4．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A.BD →B.DB →C.BC →D.CB →5．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 36．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________.7．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →.求证：四边形ABCD 是平行四边形．8．如图：平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一点．求证：P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →. 二、能力提升9．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是________． 10．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________.11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．12．如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF .求证：四边形AECF 是平行四边形．三、探究与拓展13．在日本3·11大地震后，一架救援直升飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到B地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置．答案1．A 2.C 3.A 4.C 5.B 6.07．证明 AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →. ∴AB ＝CD 且AB ∥DC .∴四边形ABCD 为平行四边形． 8．证明 ∵P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD → ＝4PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋OD →) ＝4PO →＋(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →) ＝4PO →＋0＋0＝4PO →. ∴P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →. 9． 8 10.011．解如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5. ∵四边形OACB 为矩形， ∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10，∴水流速度大小为5 3 km/h ，船实际速度为10 km/h.12．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →，所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等，所以四边形AECF 是平行四边形．13．此时直升飞机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40 3 km 处。

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