二元一次方程组加减法
加减法解二元一次方程
参数消元法
矩阵方法
对于二元一次方程组，也可以通过构 建增广矩阵并进行行变换来求解，这 种方法称为矩阵方法。
参数消元法是将方程中的一个未知数 表示为另一个未知数的参数形式，然 后通过消去参数来求解的方法。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
解的求法
通过加减消元法或代入消元法求 解二元一次方程。
02 加减消元法的基本原理
加减消元法的定义
• 加减消元法是通过加减消元的方式，将二元一次 方程组转化为一元一次方程，从而求解出未知数 的方法。
加减消元法的步骤
01
1. 将方程组中的两个方 程进行相加或相减，以 消除其中一个未知数。
02
2. 将得到的一元一次方 程进行求解，得到一个 未知数的值。
精度损失
在消元过程中，由于舍入 误差的影响，可能会造成 解的精度损失。
对初始值要求高
加减消元法对初始值的要 求较高，初始值选择不当 可能导致解的不准确或无 解。
其他解法介绍
代入消元法
代入消元法是通过将一个方程中的一 个未知数表示为另一个未知数的函数， 然后将其代入另一个方程来消除一个 未知数的方法。
01
02
03
简单易行
加减消元法是一种直观且 易于理解的解法，不需要 复杂的代数变换，适合初 学者学习。
适用范围广
加减消元法适用于各种形 式的二元一次方程组，不 受方程具体形式限制。
易于掌握
通过简单的加减运算即可 消除一个未知数，求解过 程相对简单，容易掌握。
加减消元法的局限性
对负数敏感
加减消元法在处理包含负 数系数方程时可能产生较 大的误差，因为加减运算 可能导致误差的累积。
综合练习题
二元一次方程组的解法---加减法(课件格式)
x=4
D y=2
二、填一填.
1、已知方程组
5x+2y=4 ① 5x-3y=14 ②
可用 ① - ② 得到一元一次方程
5y=-10
__________
3x-2y=2 ①
2、方程组 3x+2y=6 ②
既
y + 可以用_①___②___消去未知数_______ ，
x - 也可以用_①___②___消去未知数_______ 。
①－ ②得
9y＝－18
① + ②，得 7x = 14
结论要点
将两个二元一次方程相加（或相减）， 消去一个未知数， 将方程组转化为一元一次方程来解，
这种解二元一次方程组的方法叫做加 减消元法，简称加减法。
思考：
用加减法解二元一次方程组的时候，什 么条件下用加法、什么条件下用减法？
结论要点
相同未知数的系数相同时用减法，互 为相反数时用加法。
学习目标
知识与能力 1.进一步理解解二元一次方程组的基本思想（消元）。 2.会用加减法解某个未知数的系数的绝对值相等的二元 一次方程组． 数学思考与问题解决 经历解决数学问题的过程，培养观察、比较、类比、归 纳、联想以及分析问题和解决问题的能力；通过对解决问 题过程与方法的反思，获得解决问题的经验． 情感与态度 在独立思考的基础上学会交流，敢于发表个人见解，并 能与他人共享成果，体验成功的快乐，同时锻炼克服困难 的意志，建立学习的自信心．
7x +7y ＝14, x－y＝- 4 则x +y ＝2
六、说一说:（能力拔高题.）
已知方程组 2x+5y=-26 和
ax-by=-4
方程组 3x-5y=36 ax+by=8
用加减消元法解二元一次方程组
用加减消元法解二元一次方程组
加减消元法是一种同时解决多个方程的技术，是乘法消元法的一种，通过加减来解决方程的系数使之变为0，是解决线性方程组的一种简单有效的方法。
一、定义：
加减消元法是指用一组线性方程组，利用加减法，将系数相同的项加减消去，形成新的方程，以求出未知数的值。
二、步骤：
（1）首先把给定的二元一次方程组先写出来，格式要明确；
（2）把所有未知数自然地从小到大排列，写成一个矩阵形式；
（3）开始消元，从矩阵左下角（也可以从右上角）开始，将每行的首项的系数都变为1，同时将原有的等式的右边也作适当的系数改变；
（4）之后将相同系数的相邻项进行加减，消去其中一项；
（5）一直重复上述步骤，最终形成有关未知数的线性矩阵形式，然后
就可以求出未知数的值。
三、原理：
加减消元法的原理可以表述为：使用加减操作、乘除操作，将所有未知数归约至一行，从而解得一组方程组的解。
也就是将，原矩阵中，有关某个未知数的项的系数变为0，从而消除掉它，最终形成只有最后一个未知数的矩阵，再将这个未知数带入原等式中即可求得最后的未知数的值。
四、简单例题：
求解下列方程组：
3x+2y=7
x-y=1
解：
设方程组的右边如下：
（7）（1）
将左边也写出来：
（3 2）（1 -1）
将未知数y的系数项由+2变为-2，即多一步变换3x-2y=7，右边为：（7）（-1）
由此将右边的-1和1相加消去，即得到：
d）（7）
（3 0）
联立上下两个方程可解出：x=2, y=1
从而得 2x+2y=7 的解为：x=2, y=1。
《二元一次方程组解法》(二)--加减法 配套知识讲解 人教七年级下
二元一次方程组解法（提高）知识讲解【学习目标】1. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；2. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；3．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．【要点梳理】要点一、加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．要点二、选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．【典型例题】类型一、加减法解二元一次方程组1.（2020春•澧县期末）用加减消元法解方程组34659 23x y x y++==【思路点拨】先将原方程写成方程组的形式后，再求解. 【答案与解析】解：此式可化为：349(1) 2659(2) 3x yx y+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩由(1)：3x+4y=18 (1) 由(2)：6x+5y=27 (2) (1)×2：6x+8y=36 (3) (3)－(2)：3y=9y=3代入(1)：3x+12=183x=6x=2∴23 xy=⎧⎨=⎩【总结升华】先将每个式子化至最简，即形如ax+by=c的形式再消元. 举一反三：【变式】方程组201020092008200820072006x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为：.【答案】12x y =-⎧⎨=-⎩2.已知关于x 、y 的方程组ax by cex dy f+=⎧⎨+=⎩的解为31x y =⎧⎨=⎩，求关于x 、y 的方程组()()()()a x y b x y ce x y d x y f-++=⎧⎨-++=⎩的解． 【思路点拨】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数相同，只是未知数的呈现方式不同，如果我们把x -y ，x+y 看作一个整体，则两个方程同解． 【答案与解析】解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把(x -y )与(x+y )分别看成一个整体当作未知数，可得3,1.x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得：2,1.x y =⎧⎨=-⎩【总结升华】本例采用了类比的方法，若把其中的x+y 和x -y 分别看作整体，则第二个方程组与第一个方程组相同，即x+y ＝1，x -y ＝3． 举一反三：【变式】三个同学对问题“若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是：． 【答案】 解：由方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，得1112223434a b c a b c +=⎧⎨+=⎩，上式可写成111222352105352105a b c a b c ⨯+⨯=⎧⎨⨯+⨯=⎩，与111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩比较，可得：510x y =⎧⎨=⎩．类型二、用适当方法解二元一次方程组3.解方程组36101610x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩【思路点拨】解决本题有多种方法：加减法或代入法，或整体代入法，整体代入法最简单. 【答案与解析】解：设,610x y x ym n +-==，则原方程组可化为31m n m n +=⎧⎨-=-⎩①②解得12m n =⎧⎨=⎩即16210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ，所以620x y x y +=⎧⎨-=⎩解得137x y =⎧⎨=-⎩所以原方程组的解为137x y =⎧⎨=-⎩．【总结升华】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根据方程组的特点选择最简便的求解方法. 举一反三：【变式】【答案】解：去分母，整理化简得，9112061925x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，②×3－①×2得，3535y =，即1y =， 将1y =代入①得，99x =，即1x =， 所以原方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩. 4.试求方程组27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩的解．【答案与解析】解：27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩①②①－②，整理得513y y -=-③ ∵50y -≥，∴13－y ≥0，即y ≤13，当513y ≤≤时，③可化为513y y -=-，解得9y =； 当5y ≤时，③可化为513y y -=-，无解. 将9y =代入②，得23x -=，解得15x =-或.综上可得，原方程组的解为：19x y =-⎧⎨=⎩或59x y =⎧⎨=⎩.【总结升华】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分类讨论求出解. 举一反三：【变式】（2020春•杭锦后旗校级期末）若二元一次方程组和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值． 【答案】 解：方程组，①×3+②得：11x=22， 解得：x=2，将x=2代入①得：6﹣y=7， 解得：y=﹣1， ∴方程组的解为，将代入y=kx+9得：k=﹣5，则当k=﹣5时，（k+1）2=16． 第二课时 【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a>，x a≤等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点二、一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【典型例题】类型一、不等式1.（2020春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；（4）若ac2＞bc2，则a＞b；（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．（6）若a＞b＞0，则＜．．【答案与解析】解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a＞b，当c=0时则 ac2＞bc2错误，故错误；（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；（5）若a＞b，根据c2+1，则 a（c2+1）＞b（c2+1）正确．（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．2. 设x>y ，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x 或y 的值是多少?【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法。
8.2.3 加减法解二元一次方程组
②左边
= ①右边 ②右边
左边与左边相减所得到的代数式 和右边与右边 相减所得到的代数式有什么关系？
解方程组: 3x 5 y 5 3x 4 y 23 分析:
①左边
① ②
②左边 = ①右边
②右边
3x 5 y 3x 4 y = 5 23
将y=-2代入①,得: 3x 5 2 5
3x 5 y 3x 4 y 18 9 y 18 y 2 即
3 x 10 5 3 x 5 10 3x 15
即
x5
x 5 所以方程组的解是 y 2
3x 7 y 9 例2：解方程组: 4 x 7 y 5
8.2.2解二元一次方程组—加减法
1、根据等式性质填空: <1>若a=b,那么a±c= b±c . (等式性质1) 思考:若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗? <2>若a=b,那么ac= bc .(等式性质2) 2、用代入法解方程的关键是什么？ 消元 二元 一元 转化 3、解二元一次方程组的基本思路是什么？ 消元: 二元 一元
1 、下列方程组求解过程对吗？若 有错误，请给予改正：
7x 4 y 4 （ 1） 5 x 4 y 4
① ②
解：①一②，得：2x=4-4 x=0
（2）
3x 4 y 14 5x 4 y 2
①
②
解：①一②，得：-2x=12 x=-6
（ 3）
3x 4 y 16 5x 6 y 33
③
解：①×3，得：9x+12y=16
②×2，得：5x-12y=66
第5章 2.第2课时 用加减法解二元一次方程组
【规范解答】(1)①－②，得 3x＝－9，解得 x＝－3.把 x＝－3 代入①得－15
－6y＝1，解得 y＝－83.所以，原方程组的解为yx＝＝－－833 .
(2)②×3，得 51x－9y＝222③，①＋③，得 59x＝295，解得 x＝5，把 x＝5
代入②，得 85－3y＝74，y＝131.所以，原方程组的解为xy＝＝1531 .
D．①×2－②×(－3)，消去 y
11．若方程 mx＋ny＝6 的两个解是xy＝＝11 ，xy＝＝－2 1 ，则 m、n 的值为( A )
A．4,2
B．2,4
C．－4，－2
D．－2，－4
12．若二元一次方程 2x＋y＝3,3x－y＝2,2x－my＝－1 有公共解，则 m 的值
是( D )
A．－2
B．－1
C．4
D．3
13．用加减消元法解方程组23xx＋ ＋32yy＝ ＝65① ② ，由①×2－②×3，得 －5x＝－3 .
x＝3
ax＋by＝3
14．已知y＝－2 的方程组bx＋ay＝－7 的解，则代数式(a＋b)(a－b)的值
为 －8 .
15．当 x＝2 时，代数式 x2＋ax＋b 的值为 3；当 x＝－3 时，其值为 4，则当
x＝1 时，其值是 －45
.
16．已知|2a－b－3|＋(a＋2b＋1)2＝0.求(2a＋b)2017 的值． 解：根据非负数的性质，得2a＋a－2bb－ ＋31＝ ＝00 ，解得ab＝＝1－1 ，所以(2a＋b)2017 ＝(2－1)2017＝1
Байду номын сангаас
17．若xy＝＝34 是关于 x、y 的二元一次方程组aaxx＋ －bbyy＝ ＝－ －17 的解．求 a＋b 的值．
加减法解二元一次方程组
主要步骤有哪些？
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤： 变形
加减 求解 写解
同一个未知数的系 数相同或互为相反数 消去一元
分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
2. 二元一次方程组解法有 代入法、加减法。
拓展挑战 请仔细观察哦！
解方程组 11x9 y26 9 x11y14 不解方程组，直接求x＋y 与x－y的值。
解： ①×3得 6x+9y=36 ③
②×2得 6x+8y=34 ④
③-④ 得:
y=2
把y ＝2代入①，得
2x+3×2=12
解得:
x＝3
x=3
∴原方程组的解是
y=2
追问1 能直接加减消元吗？ 为什么？
追问2 能否对方程变形，使得 两个方程中某个未知数的系数相
反或相同？
追问3 如何用加减法消去x？
解法二：
求解二元一次方程组（加减消元法）
王莉欣
1、根据等式性质填空:
<1>若a=b,那么a±c=
.(等式性质1)
思考:若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗?
<2>若a=b,那么ac= 2.相反数:
. (等式性质2)
重点：探索加减消元法解二
元一次方程组。
难点：会灵活运用加减法解二
元一次方程组。创设情景来自②－④得x＝－1，从而可得y＝2，x＝-1
∴原方程组的解是
y＝2
2018x 2017 y 2016 2016x 2015y 2014
作业
1、课本P-113[习题5.3] 2、预习鸡兔同笼
二元一次方程组加减法(一)
例1：解方程组
3 x 5 y 5 3 x 4 y 23
除了利用代入消元 法解题之外还有其 他的解题方法吗?
解方程组:
3 x 5 y 5 3 x 4 y 23
① ②
如果把这两个方程的左边与左边相加,右边与右边相加, 能得到什么结果?
分析:
3 x 5 y 3 x 4 y = 5
①左边
23
②左边பைடு நூலகம்
= ①右边 ②右边
6 x y 28
左边与左边相加所得到的代数式和右边与右边 相加所得到的代数式有什么关系？
解方程组:
3 x 5 y 5 3 x 4 y 23
① ②
如果把这两个方程的左边与左边相减,右边与右边相减, 能得到什么结果?
分析:
3 x 5 y 3 x 4 y = 5
ax by 2 3、在解方程组 cx 3 y 5
x 1 时，小张正确的解是 ,小李由于看错 y 2
了方程组中的c得到方程组的解为
x 3 ，试求方程组中的a、b、c的值。 y 1
你能把我们今天内容小结一下吗？ 1、 本节课我们知道了用加减消元法解 二元一次方程组的基本思路仍是“消 元”。主要步骤是：通过两式相加（减） 消去其中一个未知数。
四、练习:用加减法解下列方程组
小结 ：
1.加减消元法解方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤： 变形 加减 求解 写解
同一个未知数的系 数相同或互为相反数
消去一个元 求出两个未知数的值 写出方程组的解
2. 二元一次方程组解法有 代入法、加减法.
二元一次方程组-加减法
回代求解另一个未知数的值
03
将得到的未知数的值代入原方程中的一个，解出另一个未知数
的值。
消元法适用条件与注意事项
适用条件：当二元一次方程组中两个方 程的系数成比例或可以凑成整数倍时， 可以使用加减法消元法。
得到一组解后，要验证这组解是否满足 原方程组，以确保解的准确性。
在求解过程中，要注意计算的准确性， 避免误差；
根据工程问题的具体背景和要求，选 择合适的物理量作为决策变量，然后 根据物理定律或经验公式建立二元一 次方程组。
求解步骤
在求解工程问题中的二元一次方程组 时，一般采用代入法或加减法。其中 ，代入法适用于一个方程较容易解出 某个未知数的情况，可以将该未知数 代入另一个方程中求解。加减法适用 于两个方程中未知数的系数成比例的 情况，可以通过相加或相减消去一个 未知数，然后求解另一个未知数。
注意事项：在使用加减法消元法时，需 要注意以下几点
确保消元后得到的一元一次方程是正确 的；
03
典型例题分析与求解过程
加法消元法应用举例
01
例题1：解方程组 {x + y = 5, x - y = 1}
02
解题思路：通过加法消元法，将两个方程相加，消去y， 得到一个关于x的一元一次方程，解得x的值，再代入原方 程求得y的值。
复杂问题转化技巧
对于含有分数或小数系数的方程组，可以先进行化简或通分处理，再应用加减法消 元。
对于含有多个未知数的方程组，可以先选择两个方程进行消元求解，再将得到的解 代入其他方程进行验证和求解。
在应用加减法消元时，需要注意观察方程的特点和系数关系，选择合适的消元方法 。同时，在求解过程中要保持细心和耐心，确保计算准确无误。
求解得到一个未知数的值
二元一次方程组加减法
二元一次方程组加减法
二元一次方程组的加减法是一种求解二元一次方程组的方法。
首先，我们需要确保两个方程中的某个未知数的系数是相反的，这样我们就可以通过加法或减法消去一个未知数。
例如，我们有两个方程：
1. 2x + 3y = 7
2. 3x - 3y = 8
我们可以看到，在第一个方程中，y的系数是3，而在第二个方程中，y的系数是-3，它们是相反的。
因此，我们可以通过加法消去y。
我们将第一个方程和第二个方程相加，得到：
(2x + 3y) + (3x - 3y) = 7 + 8
这样，y就被消去了，我们得到：
5x = 15
然后，我们可以解出x的值：
x = 15 / 5
x = 3
接下来，我们可以将x的值代入任何一个原方程中，解出y的值。
例如，我们可以将x=3代入第一个方程：
2*3 + 3y = 7
这样，我们就可以解出y的值：
6 + 3y = 7
3y = 1
y = 1/3
所以，方程组的解是x=3, y=1/3。
这就是使用加减法求解二元一次方程组的基本步骤。
需要注意的是，如果两个方程中的未知数的系数不是相反的，我们可能需要通过乘以适当的数来使它们成为相反的。
二元一次方程组加减法例题
二元一次方程组加减法例题
将第二个方程两边乘以-1，得到-x-y=-5，然后将两个方程相加，得到x=2。
将x=2代入任何一个方程中，得到y=3。
因此，方程组的解为(x,y)=(2,3)。
例题2：
解方程组
3x + 2y = 8
2x - y = 3
解法：
将第二个方程两边乘以2，得到4x-2y=6，然后将两个方程相加，得到7x=14，即x=2。
将x=2代入任何一个方程中，得到y=1。
因此，方程组的解为(x,y)=(2,1)。
例题3：
解方程组
2x + 3y = 12
4x - y = 11
解法：
将第二个方程两边乘以3，得到12x-3y=33，然后将两个方程相加，得到14x=45，即x=45/14。
将x=45/14代入任何一个方程中，得到y=2/7。
因此，方程组的解为(x,y)=(45/14,2/7)。
以上就是二元一次方程组加减法的例题，希望对你有帮助。
- 1 -。
加减法解二元一次方程组
解方程组：
2x+5y＝1
3x+2y＝7
(1) 2x+y＝3
3x－5y＝11
(2) 5x+2y＝3 3x+5y＝-2
上面这些方程组的特点是什么? 解这类方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？
特点: 同一个未知数的系数相同或互为相反数
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤：加减
消去一个元
求解
分别求出两个未知数的值
写解
写出原方程组的解
用加减消元法解方程组：
x
x 2
1 y 1 32 1 y2
4
① ②
解：由①×6，得
2x+3y=4 ③
由②×4，得
2x - y=8 ④
由③-④得: y= -1
把y=
-1代入②
解得: x
，7 2
所以原方程组
的解是
x
7 2
y 1
通过本课的学习，你有什么收获？
用加减法解下列方程组：
x y 22 ① 2x y 40 ②
还有别的方法吗？
认真观察此方程组中各个未知数的系数有 什么特点，并分组讨论看还有没有其它的解法. 并尝试一下能否求出它的解
x y 22 ① 2x y 40 ②
解方程组
2x-5y=7 ① 2x+3y=-1 ②
5 y和 5 y
互为相反数……
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
3m 2n 16, 3m n 1;
2x 3y 4, 4x 4 y 3;
5x 2y 3, x 6y 11;
x3 2
y5 3
7,
x
34ຫໍສະໝຸດ 2y 53
用加减法解二元一次方程组的步骤
用加减法解二元一次方程组的步骤嘿，咱今儿个就来讲讲用加减法解二元一次方程组的步骤，这可是数学里挺重要的一块儿呢！咱先得搞清楚啥是二元一次方程组，不就是有两个未知数，然后每个未知数都是一次方的一堆等式嘛。
就好像生活里的一些难题，有两个关键因素在那儿搅和。
那怎么用加减法来搞定它呢？就好比咱收拾房间，得一步步来。
第一步，观察方程组里的两个方程，看看那些未知数的系数有没有啥特别的。
要是有一个未知数的系数在两个方程里正好相等或者互为相反数，那可就太棒啦！这就像找到了收拾房间的关键入口一样。
第二步，要是系数相等，那就把两个方程相减；要是互为相反数，那就相加。
这就好像把房间里相似的东西归归类，或者把相反的东西区分开。
第三步，经过这么一加一减，嘿，其中一个未知数就被消掉啦！就像把房间里的一堆杂物清理掉了，一下子清爽了不少。
第四步，解出剩下的那个未知数的值。
这就好比终于找到了房间里最重要的那件东西。
第五步，再把这个解出来的值代回到原来的方程里，就能求出另一个未知数的值啦！这就像根据找到的关键东西，又顺藤摸瓜找到了其他相关的东西。
比如说有个方程组，x + 2y = 5，2x - y = 1。
你看，这里的 y 的系数2 和-1 不就是互为相反数嘛！那咱就把这两个方程相加，一下子就把 y 给消掉了，就能求出 x 啦！然后再代回去求出 y，这不就大功告成了嘛！用加减法解二元一次方程组，就像是在数学的迷宫里找路，每一步都得走得稳稳当当。
虽然有时候可能会遇到一些小麻烦，比如系数不太好处理啥的，但咱别怕呀！多琢磨琢磨，总能找到解决办法的。
这就跟咱过日子一样，遇到问题别怕，一步步去解决，总能把日子过得顺顺当当的。
数学的世界多奇妙呀，这加减法解方程组就是其中一个小小的精彩之处。
咱可得好好掌握，以后遇到更难的数学问题也不怕啦！你说是不是呀？所以呀，大家可得把这步骤好好记住咯，在数学的海洋里畅游吧！。
浅谈“加减法”解二元一次方程组
浅谈“加减法”解二元一次方程组安徽省金寨县金城学校七（1）班简肇鑫“二元一次方程组”即含有两个未知数，并由两个一次方程组成的方程组。
要解这样的题目，就要把“没学过的”转化为“学过的”——把“二元”转化为“一元”，即“消元”。
具体的消元方法有两种，一种是“代入法”，另一种是“加减法”。
何谓“加减法”？便是把方程组中各个方程互相加减，来达到“消元”目的的方法。
在运用加减法的过程中，要注意“同类项加减”，抵消系数绝对值相同的相同未知数，从而来求解。
运用加减法解方程组时，有两个基本条件：一是方程组必须标准化；二是两个方程中相同未知数的系数绝对值要相等。
我们在求解时会遇到以下四种情况：一、两个方程中相同未知数的系数绝对值相等。
这种方程组，就非常好解，只需把两个方程相加或相减。
如：x＋y＝15, ①x－y＝7. ②根据观察，本题可将①+②，消去y；也可将①-②，消去x。
二、两个方程中相同未知数的系数是倍数关系。
这样的方程组，要将其中一个方程变形，使之与另一个方程联列起来，变为上述“第一种情况”的方程组，再加减。
如：4x-5y=11 , ①x+10y=2 . ②1本题可将①×2+②，消y；也可将②×4-①，消x。
三、两个方程中的相同未知数，绝对值既不相同，又不具有倍数关系。
这时，只能将两个方程都变形到可直接相加或相减消元的情况（即“第一种情况”），再加减。
如：3x-2y=18，①5x+7y=256. ②本题仍有两种解法：一是②×3-①×5，消x；二是①×7+②×2，消y。
四、方程组根本没有标准化。
这就需要通过移项、化简（整）等方法，把方程组标准化转换为上述“第一、二、三种情况”后，再用相应的解法求解。
如：15%x=10085y+1.08, ①5478+-yx=3 . ②这一题非常零乱，需要整理。
解法如下：①×100，得15x=85y+108.移项，得15x-85y=108. ③②×5，得8x-7y+4=15，2移项并合并同类项，得8x-7y=11. ④联列③、④，得15x-85y=108,8x-7y=11.之后再变形，加减即可。
二元一次方程组(加减法)
解二元一次方程组（加减法）（二）一、基础过关1．用加、减法解方程组436,43 2.x yx y+=⎧⎨-=⎩，若先求x的值，应先将两个方程组相_______；若先求y的值，应先将两个方程组相________．2．解方程组231,367.x yx y+=⎧⎨-=⎩用加减法消去y，需要（）A．①×2-② B．①×3-②×2 C．①×2+② D．①×3+②×2 3．已知两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（）A．266 B．288 C．-288 D．-1244．已知x、y满足方程组259,2717x yx y-+=⎧⎨-+=⎩，则x：y的值是（）A．11：9 B．12：7 C．11：8 D．-11：85．已知x、y互为相反数，且（x+y+4）（x-y）=4，则x、y的值分别为（）A．2,2xy=⎧⎨=-⎩B．2,2xy=-⎧⎨=⎩C．1,212xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩D．1,212xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩6．已知a+2b=3-m且2a+b=-m+4，则a-b的值为（） A．1 B．-1 C．0 D．m-17．若23x5m+2n+2y3与-34x6y3m-2n-1的和是单项式，则m=_______，n=________．8．用加减法解下列方程组：（1）3216,31;m nm n+=⎧⎨-=⎩（2）234,443;x yx y+=⎧⎨-=⎩（3）523,611;x yx y-=⎧⎨+=⎩（4）357,234232.35x yx y++⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩二、综合创新9．（综合题）已知关于x、y的方程组352,23x y mx y m+=+⎧⎨+=⎩的解满足x+y=-10，求代数m2-2m+1的值．10．（应用题）（1）今有牛三头、羊二只共1900元，牛一头、羊五只共850元，•问每头牛和每只羊各多少元？（2）将若干只鸡放入若干个鸡笼中，若每个鸡笼放4只，则有一只鸡无笼可放；•若每个鸡笼放5只，则有一个笼无鸡可放，那么有鸡多少只？有鸡笼多少个？11．（创新题）在解方程组2,78ax bycx y+=⎧⎨-=⎩时，哥哥正确地解得3,2.xy=⎧⎨=-⎩，弟弟因把c写错而解得2,2.xy=-⎧⎨=⎩，求a+b+c的值．12．（1）（2005年，苏州）解方程组11, 23 3210. x yx y+⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（2）（2005年，绵阳）已知等式（2A-7B）x+（3A-8B）=8x+10对一切实数x都成立，•求A、B的值．三、培优训练13．（探究题）解方程组200520062004, 200420052003.x yx y-=⎧⎨-=⎩14．（开放题）试在9□8□7□6□5□4□3□2□1=23的八个方框中，•适当填入“＋”或“－”号，使等式成立，那么不同的填法共有多少种？四、数学世界到底有哪些硬币？“请帮我把1美元的钞票换成硬币”．一位顾客提出这样的要求．“很抱歉”，出纳员琼斯小组仔细查看了钱柜后答道：“我这里的硬币换不开”．“那么，把这50美分的硬币换成小币值的硬币行吗？”琼斯小组摇摇头，她说，实际上连25美分、10美分、5美分的硬币都换不开．“你到底有没有硬币呢？”顾客问．“噢，有！”琼斯小组说，“我的硬币共有1.15美元．”钱柜中到底有哪些硬币？注：1美元合100美分，小币值的硬币有50美分、25美分、10美分、5美分和1美分．答案：1．加；减2．C3．B 点拨：设两数分别为x、y，则36,12.x yx y+=⎧⎨-=⎩解得24,12.xy=⎧⎨=⎩∴xy=24×12=288．故选B．4．C5．C 点拨：由题意，得4()4,0.x yx y-=⎧⎨+=⎩解得1,212xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故选C．6．A 点拨：23,2 4.a b m a b m+=-⎧⎨+=-+⎩②-①得a-b=1，故选A．7．1；-12点拨：由题意，得5226,321 3.m nm n++=⎧⎨--=⎩解得1,12mn=⎧⎪⎨=-⎪⎩8．（1）2,5.mn=⎧⎨=⎩（2）5,41.2xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（3）5,413.8xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（4）5,231.4xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩9．解：解关于x、y的方程组352,23x y mx y m+=+⎧⎨+=⎩得26,4.x my m=-⎧⎨=-+⎩把26,4.x my m=-⎧⎨=-+⎩代入x+y=-10得（2m-6）+（-m+4）=-10．解得m=-8．∴m2-2m+1=（-8）2-2×（-8）+1=81．10．（1）解：设每头牛x元，每只羊y元，依题意，得321900,5850.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解这个方程组，得600,50.x y =⎧⎨=⎩答：每头牛600元，每只羊50元．（2）解：设有鸡x 只，有鸡笼y 个，依题意，得41,5(1).y x y x +=⎧⎨-=⎩解这个方程组，得25,6.x y =⎧⎨=⎩答：有鸡25只，有鸡笼6个．11．解：把3,2.x y =⎧⎨=-⎩ 代入2,78ax by cx y +=⎧⎨-=⎩ 得322,3148.a b c -=⎧⎨+=⎩把2,2.x y =-⎧⎨=⎩ 代入ax+by=2 得-2a+2b=2．解方程组322,3148,22 2.a b c a b -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩ 得4,5,2.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴a+b+c=4+5-2=7．点拨：弟弟虽看错了系数c ，但2,2.x y =-⎧⎨=⎩是方程ax+by=2的解．12．（1）解：①×6，得3x-2y-2=6，即3x-2y=8．③②+③，得6x=18，即x=3．③-②，得4y=2，即y=12． ∴3,1.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ （2）65、-45点拨：∵（2A-7B ）x+（3A-8B ）=8x+10对一切实数x 都成立． ∴对照系数可得2A-7B=8，3A-8B=10．∴278, 3810.A BA B-=⎧⎨-=⎩解得6,54.5 AB⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即A、B的值分别为65、-45．13．解：200520062004, 200420052003.x yx y-=⎧⎨-=⎩①-②，得x-y=1，③③×2006-①，得x=2．把③代入①，得y=1．∴2,1. xy=⎧⎨=⎩点拨：由于方程组中的数据较大，所以正确解答本题的关键是将两方程相减得出x-y=1．14．解：设式中所有加数的和为a，所有减数的和为b，则a-b=23．又∵a+b=9+8+…+1=45，∴b=11．∴若干个减数的和为11．又11=8+3=7+4=6+5=8+2+1=7+3+1=6+4+1=6+3+2=5+4+2=5+3+2+1．∴使等式成立的填法共有9种．点拨：因为只填入“＋”或“－”号，所以可以把加数的和，•减数的和看作整体数学世界答案：如果琼斯小姐换不了1美元，那么她钱柜中的50美分硬币不会超过1枚．如果她换不了50美分，那么钱柜中的25美分硬币不会超过1枚，10美分硬币不会超过4枚，10•美分换不了，意味着她的5美分硬币不会超过1枚；5美分换不了，由她的1•美分硬币不超过4枚，因此，钱柜中各种硬币数目的上限是：50美分1枚 $0.5025美分1枚 0.2510美分4枚 0.405美分1枚 0.051美分4枚 0.04$1.24这些硬币还够换1美元（例如，50美分和25美分各1枚，10美分2枚，5美分1枚），•但是我们毕竟知道了钱柜中各种硬币的数目不可能比上面列出的更多，•上面这些硬币加起来总共有1.24美元，比我们所知道的钱柜中的硬币总值1.15美元正好多出9美分．现在，组成9美分的唯一方式是1枚5美分硬币加上4枚1美分，所以必须把这5枚硬币从上面列出的硬币中除去，余下的是1枚50美分、1枚25美分和4枚10美分的硬币．•它们既换不了1美元，也无法把50美分或者25美分、10美分、5•美分的硬币换成小币值的硬币，而且它们的总和正是1.15美元，于是我们便得到了本题的唯一答案．。
二元一次方程组加减法
1、将其中一个未知数的系数化成相同 或互为相 反数
2、通过相减 或相加 消去这个未知数,得一个一 元一次方程。
3、解这个一元一次方程,得到这个未知数的值。 4、将求得的未知数值代入原方程组中的任意一 个方程,求得另一个未知数的值。 5、写出方程组的解。
Excellent handout template
倍数1
Excellent handout template
Special lecture notes
用加减消元法解方程组
3x-2y=11 ① 2x+3y=16 ②
解：①×2得6x-4y=22 ③ ②×3得6x+9y=48 ④ ③-④得 -13y = -26
y=2
把y=2代入①得3 x - 2 ×2=11
25x+20y=45 20x+40y=60
复杂的方程先化简。
Excellent handout template
3a+2b=7 3a+b=5
5x+6y=11 5x-y=4
整体思想
Special lecture notes
Excellent handout template
1.关于x、y的二元一次方程组
倍数2
解得x=5,即
Excellent handout template
考考你
Special lecture notes
2x+5y=8 3X+2y=5
2x+3y=6 3X-2y=-2
能加法消元就不要用减法消元
Excellent handout template
Special lecture notes
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知
求得另一个未知数的值；
新
5、写出方程组的解。
解方程组
x+2y=15 ① 3x-2y=5 ②
方法一、将①中的x=15-2y代入②得
3（15-2y）-2y=5 解出y=5,把y=5代入
①,
x=5
y=5 解方出法x二=5、,即将①中的2y=15-x代入②得 3x-(15-x)=5解出x=5,把x=5代入①解
4（x-y-1)=3(1-y)-2
1.
x/2+y/3=2
2 . 0.4x+0.3y=2.4 (x-3）/3=（y+6)/5
复杂的方程先化简。
3x-2y=0 30x+10y=90
25x+20y=45 20x+40y=60
复杂的方程先化简。
3a+2b=7 3a+b=5
5x+6y=11 5x-y=4
3.书本95页例题
4.已知m为正整数，且二元一次方程组
mx+2y=10 3x-2y=0
有正整数解，求m.
2x+⊙y=3
5.小明给小刚出了道数学题 ⊿x+y=3
①中y的系数被遮住，②中x的系数被遮住,并且 告诉你 X=2
y=1
是这个方程组的解，请求出原来的方程组。
一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公 司的甲乙两种货车，货车情况表如下：现用3辆甲 车和5辆乙车一次刚好运完，如果按每吨付费30元 计算，货主应付运费多少元？
3x-2y=0 3x+y=9
2a+b=0 4a-b=9
2x+3y=5 X+y=2
m+3n=7 3m+n=5
倍数1
用加减消元法解方程组
3x-2y=11 ① 2x+3y=16 ②
解：①×2得6x-4y=22 ③ ②×3得6x+9y=48 ④ ③-④得 -13y = -26
y=2
把y=2代入①得3 x - 2 ×2=11
解二元一次方程组的基本思想是：“消元”—— 把“二元”变为“一元”
代入消元法的步骤：
1、将其中一个方程的某个未知数用含有 另一个未知数的代数式表示出来；
2、将这个代数式代入另一个方程中，从
温 而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一
次方程式；
3、解这个一元一次方程；
故
4、把求得的一次方程的解代入方程中，
出y=5,即
x=5 y=5
在这个方程组的两个方程中y的系数有什么关系？利用这
种关系你能发现新的消元方法吗？
上面两个方程中y的系数相反，①+②可 以消去未知数y得x+3x=20解出x=5,把 x=5代入①得5+2y=15解出
y=5,即 x=5
y=5
联系上面的解法，想一想怎样解方程组 2x+3y=10 ① 2x-5y= -6 ②
甲 乙 累计吨数
第一次 2 3
15.5
第二次 5 6 35
作业：
1、若方程组
x+y=8m x-y=2m
的解满足
2x-5y=-1，则m 为多少？
2.I2x-1+3yI=-I3x+6-2yI，求出x和y的值。
谢谢
倍数2
解得x=5,即
2x+5y=8 3X+2y=5
2x+3y=6 3X-2y=-2
能加法消元就不要用减法消元
加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1、将其中一个未知数的系数化成相同（或互为 相反数）
2、通过相减（或相加）消去这个未知数，得一 个一元一次方程。
3、解这个一元一次方程，得到这个未知数的值。 4、将求得的未知数值代入原方程组中的任意一 个方程，求得另一个未知数的值。 5、写出方程组的解。
1.关于x、y的二元一次方程组
与
的解相同，求a、b的值。
解：2×①得4x+6y=8 ③, ②-③得-11y= -11解得 y=1,
把y=1代入①解得x=1/2,
把x=1/2和y=1代入
得
①+②得a=6,把 a=6 代入①解得b=-1即
2、若方程组
x+y=8m x-y=2m
的解满足
2x-5y=-1，则m 为多少？
这两个方程中x的系数相同，①-②可以消 去未知数x得3y-(-5y)=10-(-6)解出y=2，
把y=2代入①解出x=2,即 。
从上面行相加（或相减）， 就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
两个二元一次方程中同一未知数的系 数相反或相同时，将两个方程的两边分 别相加或相减，就能消去这个未知数， 得到一个一元一次方程，这种方法叫做 加减消元法，简称加减法。