(成才之路)人教A版数学必修2练习3.23.2.1强化作业

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成才之路人教A版数学必修2-3.2.2

)
第三章
3.2
3.2.2
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5．已知直线的斜截式方程是y＝x－1，那么此直线的斜率
45° 是_______ ，倾斜角是__________. 1
6 ．已知直线 l 在y 轴上的截距等于它的斜率，则直线l 一定 (－1,0) ．经过点__________
第三章
直线与方程
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1
预习导学
3
随堂测评
2
互动课堂
4
课后强化作业
第三章
3.2
3.2.2
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预习导学
第三章
3.2
3.2.2
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(2)说明：一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在 x轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式．
第三章 3.2 3.2.2
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[破疑点]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)截距式是两点式的特例，当已知直线上的两
点分别是与两坐标轴的交点(原点除外)时，由两点式可得直线 x y 方程的形式为a＋b＝1(ab≠0)，即为截距式．用截距式可以很方便地画出直线．
(0，b) y＝kx＋b ②过点 P_________ ，斜率为 k 的直线方程为 ___________ (斜截式)
第三章
3.2
3.2.2
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第三章
3.2
3.2.1
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新知导学
1．直线的点斜式方程 (1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k， y－y0＝k(x－x0) 叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜则把方程 _______________ 式．
线l上的两点．
(3)斜率与倾斜角的关系：一条直线必有唯一的倾斜角，但
斜率不一定有_________( 倾斜角为90°时无斜率)． (4) 斜率的意义：斜率间接反映了直线对 x 轴正向的倾斜程度．
第三章
3.2
3.2.1
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2．确定直线的几何要素：直线上的一点和直线的 _______ 倾斜两点．角或直线上不同的_______ 3 ．一次函数及其图象：函数 y ＝ kx ＋ b(k≠0) 称为一次函一条直线，该直线斜率为 k ，与 y 轴的交点为数，其图象是 __________ (0，b) __________ ．
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路漫漫其修远兮吾将上下而求索
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第三章
直线与方程
第三章
直线与方程
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第三章
3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
●课标展示 1．掌握直线方程的点斜式和斜截式及其适用条件． 2．了解直线方程的斜截式与一次函数的关系． 3．会求直线的点斜式方程与斜截式方程．

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[分析] 一般式化成斜截式方程建立关于解之即 → → → 方程和截距方程 k的方程得k值
第三章
3.2
3.2.3
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[解析] (1)因为直线 l 的斜率存在，所以直线 l 的方程可化 2 2 为 y＝－ x＋2，由题意得－＝－1，解得 k＝5. k－3 k －3 x y (2)直线 l 的方程可化为＋2＝1，由题意得 k－3＋2＝0， k－3 解得 k＝1.
●课标展示 1．掌握直线方程的一般式，明确各系数的意义． 2．掌握一般式与其它形式的互化． 3．了解二元一次方程与直线的对应关系．
第三章
3.2
3.2.3
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●温故知新旧知再现 1．直线方程的四种形式：
(1) 点斜式：当直线斜率 k 存在时，则过点 P(x0 ， y0) 的直线 y－y0＝k(x－x0) 方程为__________________ ；
[答案] x－3y＋16＝0
x y [解析] 直线2＋6＝1 的斜截式为 y＝－3x＋6 故斜率是－ 1 3，所以所求直线的斜率是3， 1 所以所求直线方程是 y－5＝3(x＋1)，即 x－3y＋16＝0.
第三章 3.2 3.2.3
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第三章
3.2
3.2.3
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3．直线方程五种形式的比较
名称一般点斜式情况方程常数的几何意义适用条件
y－y0＝ (x0，y0)是直线上的一直线不垂直 k(x－x0) 个定点，k 是斜率 y 轴上的截距于x轴于x轴 k 是斜率， b 是直线在直线不垂直

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＝4π
6 2 2 ＝ 6π a . a 2
[答案] B
第一章
1.3
1.3.2
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规律总结：常见的几何体与球的切、接问题的解决
策略： (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
4 3 32 [解析] (1)3πR ＝ 3 π，故 R＝2，球的表面积为 4πR2＝16π. (2)体积之比是 8∶27，则半径之比是 2∶3，表面积之比是 4∶9. 4 8 4 3 (3)两个小铁球的体积为 2×3π×1 ＝3π，即大铁球的体积3 8 3 π×R ＝3π，所以半径为 2.
3
[答案] (1)B (2)B (3) 2
迎刃而解了．
(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方，两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．
第一章
1.3
1.3.2
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(1)已知球的表面积为64π，求它的体积． (2)木星的表面积约为地球表面积的 120 倍，木星的体积约是地球体积的多少倍？
第一章
1.3
1.3.2
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(2012· 广东 ) 某几何体的三视图如图所示，它的体积为
( )
A．72π
B．48π
C．30π
D．24π
第一章 1.3 1.3.2
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成才之路人教A版数学必修2-3.3.1

A1x＋B1y＋C1＝0，方程组 A2x＋B2y＋C2＝0
的解即为定点坐标．
第三章
3.3
3.3.1
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直线(2m－1)x－(m＋2)y＋m＝－3(m∈R)恒过定点( 1 A．(2，2) 3 4 C．(5，5)
[答案] D
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第三章
3.3
3.3.1
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●典例探究
两直线的交点问题
判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
)
B．(2,3) D．(－3，－2)
A．(3,2) C．(－2，－3) [答案] B
[解析]
2x－y－1＝0，解方程组 x＋3y－11＝0.
x＝2，得 y＝3.
故选 B.
第三章
3.3
3.3.1
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路漫漫其修远兮吾将上下而求索
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第三章
直线与方程
第三章
直线与方程
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第三章
3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
第三章

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第三章 3.3 3.3.1一、选择题1．直线2x ＋3y ＋8＝0和直线x －y －1＝0的交点坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，－2) C ．(1,2) D ．(2,1)[答案] B[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，即交点坐标是(－1，－2)． 2．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y ＝1，和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于( ) A ．－2 B ．－12C ．2D ．12[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝12x ＋3y ＋8＝0得交点(－1，－2)，代入x ＋ky ＝0得k ＝－12，故选B.3．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1)[答案] C[解析] 方程可化为y －1＝k (x －3)，即直线都通过定点(3,1)．4．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(－2，－3)B ．(2,1)C ．(2,3)D ．(－2，－1) [答案] C[解析] 将A 、B 、C 、D 四个选项代入x －y ＋1＝0否定A 、B ，又MN 与x ＋2y －3＝0垂直，否定D ，故选C.5．过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )A ．x －3y ＋7＝0B ．x －3y ＋13＝0C ．2x －y ＋7＝0D ．3x －y －5＝0[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得交点(－1,4)．∵所求直线与3x ＋y －1＝0垂直， ∴所求直线斜率k ＝13，∴y －4＝13(x ＋1)，即x －3y ＋13＝0.6．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( ) A ．24 B ．20 C ．0 D ．－4[答案] B[解析] ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1，∴－m 4·25＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )，∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12，∴m －n ＋p ＝20. 二、填空题7．在△ABC 中，高线AD 与BE 的方程分别是x ＋5y －3＝0和x ＋y －1＝0，AB 边所在直线的方程是x ＋3y －1＝0，则△ABC 的顶点坐标分别是A ________；B ________；C ________.[答案] (－2,1) (1,0) (2,5)[解析] 高线AD 与边AB 的交点即为顶点A ，高线BE 与边AB 的交点即为顶点B ，顶点C 通过垂直关系进行求解．8．两条直线x ＋my ＋12＝0,2x ＋3y ＋m ＝0的交点在y 轴上，则m 的值是________． [答案] ±6[解析] 设交点坐标为(0，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧mb ＋12＝0，3b ＋m ＝0，解得m ＝±6.9．已知直线l 1：a 1x ＋b 1y ＝1和直线l 2：a 2x ＋b 2y ＝1相交于点P (2,3)，则经过点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是________．[答案] 2x ＋3y ＝1[解析] 由题意得P (2,3)在直线l 1和l 2上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＝1，2a 2＋3b 2＝1，则点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的坐标是方程2x ＋3y ＝1的解，所以经过点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋3y ＝1.三、解答题10．已知直线x ＋y －3m ＝0和2x －y ＋2m －1＝0的交点M 在第四象限，求实数m 的取值范围．[分析] 解方程组得交点坐标，再根据点M 在第四象限列出不等式组，解得m 的取值范围．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3m ＝0，2x －y ＋2m －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝m ＋13，y ＝8m －13.∴交点M 的坐标为(m ＋13，8m －13)．∵交点M 在第四象限， ∴⎩⎨⎧m ＋13>0，8m －13<0，解得－1<m <18.∴m 的取值范围是(－1，18)．11．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程．[解析] 解法1：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0，2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0－2x 0＋(2－y 0)－8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4y 0＝2， ∴k AP ＝1－20＋4＝－14，故所求直线l 的方程为：y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0.解法2：设所求直线l 方程为： y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于M 、N .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1x －3y ＋10＝0⇒N (73k －1，10k －13k －1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12x ＋y －8＝0⇒M (7k ＋2，8k ＋2k ＋2)∵M 、N 的中点为P (0,1)则有： 12(73k －1＋7k ＋2)＝0⇒∴k ＝－14. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.解法3：设所求直线l 与l 1、l 2分别交于M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，P (0,1)为MN 的中点，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝0，y 1＋y 2＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－x 1，y 2＝2－y 1.代入l 2的方程，得：2(－x 1)＋2－y 1－8＝0即2x 1＋y 1＋6＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3y 1＋10＝02x 1＋y 1＋6＝0⇒M (－4,2)．由两点式：所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 解法4：同解法1，设A (x 0，y 0)，⎩⎪⎨⎪⎧x 0－3y 0＋10＝02x 0＋y 0＋6＝0，两式相减得x 0＋4y 0－4＝0，(1) 考察直线x ＋4y －4＝0，一方面由(1)知A (x 0，y 0)在该直线上；另一方面，P (0,1)也在该直线上，从而直线x ＋4y －4＝0过点P 、A .根据两点决定一条直线知，所求直线l 的方程为：x ＋4y －4＝0.12．m 为何值时，直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3＝2x －3my －4＝0不能围成三角形？[解析] (1)先考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况． ①若m ≠0，则k 1＝－4，k 2＝－m ，k 3＝23m，当m ＝4时，k 1＝k 2；当m ＝－16时，k 1＝k 3；而k 2与k 3不可能相等．②若m ＝0，则l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：y ＝0，l 3：2x －4＝0，这时三条直线能围成三角形． ∴当m ＝4或m ＝－16时，三条直线不能围成三角形．(2)再考虑三条直线共点的情况．将y ＝－mx 代入方程4x ＋y －4＝0，得(4－m )x ＝4，当m ≠4时，x ＝44－m，即l 1与l 2交于点P (44－m ，－m 4－m )，将P 点坐标代入l 3的方程得84－m ＋12m 24－m －4＝0，解得m ＝－1或m ＝23.∴m ＝－1或m ＝23时，l 1，l 2，l 3交于一点，不能围成三角形．综上所述，当m ＝－1，－16，23，4时，三条直线不能围成三角形．。

(成才之路)人教A版数学必修2练习2.32.3.2强化作业

第2章 2.3 2.3.2一、选择题1．正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于( )A.33B.22C.2D. 3[答案] C[解析] 设AC 、BD 交于O ，连A 1O ，∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥平面AA 1O ，∴BD ⊥AO ，∴∠A 1OA 为二面角的平面角． tan ∠A 1OA ＝A 1A AO＝2，∴选C.2．在二面角α－l －β中，A ∈α，AB ⊥平面β于B ，BC ⊥平面α于C ，若AB ＝6，BC ＝3，则二面角α－l －β的平面角的大小为( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120° [答案] D[解析] 如图，∵AB ⊥β，∴AB ⊥l ，∵BC ⊥α，∴BC ⊥l ，∴l ⊥平面ABC ，设平面ABC ∩l ＝D ，则∠ADB 为二面角α－l －β的平面角或补角， ∵AB ＝6，BC ＝3，∴∠BAC ＝30°，∴∠ADB ＝60°， ∴二面角大小为60°或120°.3．(2010·重庆文，9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( ) A ．只有1个 B ．恰有3个 C ．恰有4个 D ．有无穷多个[答案] D[解析] 过两条互相垂直的异面直线的公垂线段中点且与两条直线都成45°角直线上所有点到两条直线的距离都相等，故选D.4．ABCD 是正方形，以BD 为棱把它折成直二面角A －BD －C ，E 为CD 的中点，则∠AED 的大小为( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．90°[答案] D[解析] 设BD 中点为F ，则AF ⊥BD ，CF ⊥BD∴∠AFC ＝90°，∴AF ⊥面BCD ∵E 、F 分别为CD 、BD 的中点， ∴EF ∥BC ，∵BC ⊥CD ，∴CD ⊥EF ，又AF ⊥CD ，∴CD ⊥平面AEF ，∴CD ⊥AE .故选D. 5．已知l ⊂β，m ⊥α，有下列四个命题： ①α∥β⇒l ⊥m; ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确的命题是( ) A ．②与④ B ．③与④ C ．①与② D ．①③[答案] D [解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αα∥β⇒m ⊥β l ⊂β⇒m ⊥l ，∴①正确否定A 、B ，⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫又m ⊥α l ∥m ⇒l ⊥αl ⊂β⇒β⊥α，∴③正确否定C ，故选D. 6．已知三棱锥S －ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC ＝2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π[答案] D[解析] 此三棱锥的高为球的半径，ABC 所在大圆面积为πr 2，三棱锥的底面易知为等腰直角三角形．腰长为2r ，所以三棱锥底面面积为12(2r )2＝r 2，V 球V 锥＝43πr 313r 3＝4π，∴球体积与三棱锥体积之比为4π，故选D.7．在空间四边形ABCD 中，AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，且△BCD 是锐角三角形，那么必有( ) A ．平面ABD ⊥平面ADC B ．平面ABD ⊥平面ABC C ．平面ADC ⊥平面BCD D ．平面ABC ⊥平面BCD [答案] C8．已知m 、l 是直线，α、β是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β； ⑤若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l . 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①④D ．②③[答案] C[解析] 由直线与平面垂直的判定定理知，①正确；对于②，若l ∥α，m ⊂α，则l 与m 可能平行，也可能是异面直线，故②不正确；对于③，满足题设的平面α、β有可能平行或相交，也有可能垂直，故③是错误的；由面面垂直的判定定理知，④是正确的；对于⑤，m 与l 可能平行，也可能是异面直线，故⑤是错误的．故正确的命题是①、④. 二、填空题9．(09·全国Ⅰ文)已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．[答案] 16π[解析] 设球的半径为R ，截面圆的半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧πr 2＝3π⎝⎛⎭⎫R 22＋r 2＝R 2解得R ＝2，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π.10．如图，ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ＝a .(1)二面角A －PD －C 的度数为________； (2)二面角B －P A －D 的度数为________；(3)二面角B －P A －C 的度数为________； (4)二面角B －PC －D 的度数为________． [答案] 90°；90°；45°；120°[解析] (1)P A ⊥平面ABCD ∴P A ⊥CD又ABCD 为正方形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ，又CD ⊂平面PCD ，∴平面P AD ⊥平面PCD ， ∴二面角A －PD －C 为90°.(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥P A ，AD ⊥P A ∴∠BAD 为二面角B －AP －D 的平面角又∠BAD ＝90°，∴二面角B －AP －D 为90° (3)P A ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥P A ，AC ⊥P A ∴∠BAC 为二面角B －P A －C 的平面角又ABCD 为正方形，∴∠BAC ＝45° 即二面角B －P A －C 为45° (4)作BE ⊥PC 于E ，连DE则由△PBC ≌△PDC 知∠BPE ＝∠DPE 从而△PBE ≌△PDE∴∠DEP ＝∠BEP ＝90°，且BE ＝DE ∴∠BED 为二面角B －PC －D 的平面角 ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，又AB ⊥BC ， ∴BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥PB ， ∴BE ＝PB ·BC PC ＝63a ，BD ＝2a∴取BD 中点O ，则sin ∠BEO ＝BO BE ＝32，∴∠BEO ＝60°，∴∠BED ＝120° ∴二面角B －PC －D 的度数为120°.11．已知二面角α－AB －β为120°，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AB ＝AC ＝BD ＝a ，则(1)CD 的长为________；(2)CD 与AB 所成的角为________． [答案] (1)2a (2)60°[解析] 在平面β内，作AD ′綊BD ，连DD ′，则DD ′綊AB(1)∵AC⊥AB，D′A⊥AB，∴∠D′AC为二面角α－AB－β的平面角即∠D′AC＝120°∵AB＝AC＝BD＝a，∴CD′＝3a又AB⊥平面ACD′，DD′∥AB，∴DD′⊥平面ACD′∴DD′⊥D′C，又DD′＝a∴CD＝DD′2＋D′C2＝2a(2)∵DD′∥AB∴∠D′DC为异面直线CD与AB所成的角在Rt△DD′C中，DD′＝a，CD＝2a∴∠D′DC＝60°，即CD与AB所成的角为60°.12．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，E是P A的中点，则E到平面PBC的距离为________．[答案]3 4a[解析]如图，设AC交BD于O，连EO，∵E、O分别为P A、AC的中点，∴EO∥PC，又EO⊄面PBC，PC⊂面PBC，∴EO∥平面PBC，于是EO上任一点到平面PBC的距离都相等，则O点到平面PBC的距离即为所求．在平面ABCD内过O作OG⊥BC于G，∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥OG，∴OG⊥平面PBC.∵ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴OG＝3a2sin∠OBC＝3a2×sin30°＝34a.即E到面PBC距离为3 4a.三、解答题13．已知P A⊥圆O所在平面，AB是⊙O直径，C是圆周上任一点，①图中有几个直角三角形？证明你的结论；②有几对平面互相垂直？证明你的结论．[解析] ①图中有四个直角三角形∵P A ⊥⊙O 所在平面，∴P A ⊥AC P A ⊥AB ∴△P AC 、△P AB 都为直角三角形 ∵AB 为⊙O 直径，∴BC ⊥AC ，又P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AC ，从而BC ⊥PC ∴△ABC 、△PBC 都为直角三角形②图中有三对互相垂直的平面，∵P A ⊥⊙O 所在平面α P A ⊂平面P AB ，P A ⊂平面P AC ∴平面P AB ⊥α，平面P AC ⊥α又BC ⊥AC ，BC ⊥PC ，∴BC ⊥平面P AC ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面P AC .14．已知P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，P A ＝AD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：①MN ∥平面P AD ； ②平面PMC ⊥平面PDC .[解析] (1)取PD 的中点Q ，连结AQ 、QN∵PN ＝NC ，∴QN 綊12DC∵四边形ABCD 为矩形， ∴QN 綊AM ∴MN ∥AQ ，又∵AQ ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴∠P AD ＝90° ∴△P AD 为等腰直角三角形 ∵Q 为PD 中点，∴AQ ⊥PD∵CD ⊥AD ，CD ⊥P A ，∴CD ⊥平面P AD ， ∵AQ ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AQ ，∴AQ ⊥平面PDC 由①MN ∥AQ ，∴MN ⊥平面PDC ，又∵MN ⊂平面PMC ，∴平面PMC ⊥平面PDC .15．(2010·安徽文，19)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ；(2)求证：AC ⊥平面EDB (3)求四面体B －DEF 的体积．[解析] (1)证明：设AC 与BD 交于点G ，联结EG 、GH . 则G 为AC 中点，∵H 是BC 中点，∴GH 綊12AB又∵EF 綊12AB ，∴四边形EFHG 为平行四边形．∴FH ∥EG . 又EG ⊂平面EDB ，而FH ⊄平面EDB ， ∴FH ∥平面EDB .(2)证明：∵EF ∥AB ，EF ⊥FB .∴AB ⊥FB . 又四边形ABCD 为正方形， ∴AB ⊥BC ，又FB ∩BC ＝B ， ∴AB ⊥平面BFC .∵FH ⊂平面BFC ，∴AB ⊥FH .又∵FB ＝FC ，H 是BC 中点，∴FH ⊥BC . 又AB ∩BC ＝B ，∴FH ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥AC . 又EG ∥FH ，∴EG ⊥AC ，又AC ⊥BD ，BD ∩EG ＝G ， ∴AC ⊥平面EDB .(3)解：∵EF ⊥BF ，BF ⊥FC 且EF ∩FC ＝F ， ∴BF ⊥平面CDEF ，即BF ⊥平面DEF .∴BF 为四面体B —DEF 的高．又∵BC ＝AB ＝2，∴BF ＝FC ＝ 2.四边形CDEF 为直角梯形，且EF ＝1，CD ＝2. ∴S △DEF ＝12(1＋2)×2－12×2×2＝22∴V B —DEF ＝13×22×2＝13.*16.(08·湖南)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面P AB；(2)求二面角A－BE－P的大小．[解析](1)如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角．在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB＝3，∠PBA＝60°.故二面角A－BE－P的大小是60°.高╔考|试题*库。

成才之路人教A版数学必修2-2.3.2

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路漫漫其修远兮吾将上下而求索
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
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第二章
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平
面角是(
)
A．∠ABC B．∠ABB1 C．∠ABA1 D．∠ABC1 [答案] C [解析]
第二章
2.3
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3 ．如图所示，已知 AB⊥平面 BCD ， BC⊥CD ，则图中互
面的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关．
(2)平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．
第二章
2.3
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2．平面与平面垂直
(1) 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直， __________ α⊥β 记作__________. (2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成横边垂直．如图所示．与水平平面的__________
2.3.2
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●课标展示 1 ．了解二面角及其平面角的概念，并会求二面角的大小． 2．掌握两个平面互相垂直的定义和画法．

成才之路人教A版数学必修2-3.3.2

(2)若已知两定点，常以两点的中点(或一个定点)为原点，
两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系； (3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系；
第三章
3.3
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(4)若已知一定点和一定直线，常以定点到定直线的垂线段的中点为原点，以定点到定直线垂线段的反向延长线为 x 轴建立直角坐标系； (5)若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线
第三章
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已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P 的坐标为________．
[答案] (－5,0)或(11,0)
[分析] 设出点P的坐标，根据两点间距离公式，列方程求解．
第三章
3.3
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第三章 3.3 3.3.2
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4 ．直线 l1：2x ＋3y ＋4＝ 0与 l2 ：4x ＋6y ＋ 8＝ 0 的位置关系是( ) A．重合 C．垂直 B．平行 D．相交但不垂直
[答案] A
第三章
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2．用坐标法证明：矩形的对角线相等．
[证明]
ห้องสมุดไป่ตู้
如图所示，以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB所
在直线为x轴建立直角坐标系．
设|AB|＝m，|AD|＝n，则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．

(成才之路)人教A版数学必修2练习第3章末强化作业

3章末一、选择题1．两条直线mx ＋y －n ＝0和x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( )A ．m ＝1B ．m ＝±1 C.⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ≠－1 D.⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ≠－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ≠1 [答案] D[解析] 由m 2－1＝0得m ＝±1当m ＝1时，由－n ≠1知n ≠－1；当m ＝－1时，n ≠1，故选D.2．若直线x ＋ay －a ＝0与直线ax －(2a －3)y －1＝0垂直，则a 的值为( )A ．2B ．－3或1C ．2或0D ．1或0 [答案] C[解析] 解法1：a ＝0时，显然两直线垂直；a ≠0时，由－1a ·a 2a －3＝－1，得a ＝2 故选C.解法2：据A 1A 2＋B 1B 2＝0得：a －a (2a －3)＝0，∴a ＝0或2.3．直线ax ＋3y －9＝0与直线x －3y ＋b ＝0关于原点对称，则a 、b 依次是( )A ．1,9B ．－1，－9C ．1，－9D ．－1,9 [答案] B[解析] 直线ax ＋3y －9＝0上的点A (0,3)关于原点对称点A ′(0，－3)在直线x －3y ＋b ＝0上，∴b ＝－9.直线x －3y －9＝0上点B (9,0)关于原点对称点B ′(－9,0)在直线ax ＋3y －9＝0，∴a ＝－1，∴选B.二、填空题4．已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＋1＝0，则(a －2)2＋(b －3)2的最小值是________．[答案] 18[解析] 点(2,3)到直线x ＋y ＋1＝0的距离为 |2＋3＋1|2＝3 2 故(a －2)2＋(b －3)2的最小值为18.5．若直线l 1：2x －5y ＋20＝0和直线l 2：mx －2y －10＝0与两坐标轴所围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为________．[答案] －5[解析] 由已知得：l 1⊥l 2，即2m ＋10＝0，∴m ＝－5.6．已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边，若点P (m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为__________．[答案] 4[解析] 由题设a 2＋b 2＝c 2，m 2＋n 2表示直线l ：ax ＋by ＋2c ＝0上的点P (m ，n )到原点O 的距离的平方，故当PO ⊥l 时，m 2＋n 2取最小值d ，∴d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2c a 2＋b 22＝4c 2a 2＋b 2＝4. [点评] 注意形式联想，思维要灵活敏捷、再迅速从题目提供的条件中抓住问题的关键点．平时解题后要多反思一下，能提高思维的敏捷性．三、解答题7．已知点A (3,1)，在直线x －y ＝0和y ＝0上分别有点M 和点N ，使△AMN 的周长最短，求点M 、N 的坐标．[解析] 作点A 关于直线y ＝0的对称点A 1(3，－1)，点A 关于直线x －y ＝0的对称点A 2(1,3)，连接A 1A 2，与y ＝0及x －y ＝0的交点分别为N 、M ，此时△AMN 即为所求周长最短的三角形，所以A 1A 2的方程为2x ＋y －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0x －y ＝0得，M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫53，53，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0y ＝0得，N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫52，0. 所以M ⎝⎛⎭⎫53，53，N ⎝⎛⎭⎫52，0. 8．△ABC 中，有两边的中线所在直线方程分别为3x －2y ＋2＝0,3x ＋5y －12＝0，顶点A (－4,2)，求BC 边所在直线方程．[分析] 经过验证，顶点A 不在两条已知中线上，则AB 边的中点在AB 边中线CF 上，AC 边的中点在AC 边中线BE 上．[解析] ∵点A 不在两条已知中线上，∴AC 边上中线BE 方程为3x －2y ＋2＝0，AB 边上中线CF 方程为3x ＋5y －12＝0.设点B (x ，y )，则AB 中点为⎝⎛⎭⎫x －42，y ＋22.于是可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝2＝03·x －42＋5·y ＋22－12＝0 求得点B 坐标为(2,4)．同理可求得C 点坐标为(4,0)，再利用两点式求得BC 边所在直线方程为2x ＋y －8＝0.9．(1)已知直线方程为(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0，求证不论m 为何实数，此直线必过定点．(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线的方程．[解析] (1)证明：直线方程可写为m (x －2y －3)＋2x ＋y ＋4＝0由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －3＝02x ＋y ＋4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2， ∴点(－1，－2)适合方程(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0，因此，直线(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0过定点(－1，－2)．(2)解：设过点(－1，－2)所引的直线与x 轴、y 轴分别交于A (a,0)、B (0，b )点， ∵(－1，－2)是线段AB 的中点，∴⎩⎨⎧ a ＋02＝－10＋b 2＝－2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－4， ∴所求直线方程为x －2＋y －4＝1，即2x ＋y ＋4＝0. 10．求证：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则从对角线交点到一边中点的线段长等于圆心到该边对边中点的距离．[解析] 以两条对角线的交点为原点O 、对角线所在直线为坐标轴建立直角坐标系．(如图所示)设A (－a,0)，B (0，－b )，C (c,0)，D (0，d )，则CD 的中点E ⎝⎛⎭⎫c 2，d 2，AB 的中点H ⎝⎛⎭⎫－a 2，－b 2，又圆心G 到四个顶点的距离相等，故圆心G 的横坐标等于AC 中点的横坐标，圆心G 的纵坐标等于BD 中点的纵坐标，即圆心G ⎝⎛⎭⎫c －a 2，d －b 2， ∴|OE |2＝c 2＋d 24，|GH |2＝c 2＋d 24， ∴|OE |＝|GH |，结论成立．高ω考≧试)题я库。

(成才之路)人教A版数学必修2练习第三章综合检测题

第三章综合检测题时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)则此直线的倾斜角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] A[解析] 斜率k ＝(2＋3)－24－1＝33，∴倾斜角为30°. 2．若三点A (3,1)，B (－2, b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( )A ．2B ．3C ．9D ．－9 [答案] D[解析] 由条件知k BC ＝k AC ，∴b －11－2－8＝11－18－3， ∴b ＝－9.3．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为( )A ．(－2,1)B ．(2,1)C ．(1，－2)D ．(1,2) [答案] A[解析] 直线变形为m (x ＋2)－(y －1)＝0，故无论m 取何值，点(－2,1)都在此直线上，∴选A.4．已知ab ＜0，bc ＜0，则直线ax ＋by ＋c ＝0通过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 [答案] A[解析] ∵ab <0，bc <0，∴a ，b ，c 均不为零，在直线方程ax ＋by ＋c ＝0中，令x ＝0得，y ＝－c b >0，令y ＝0得x ＝－c a ，∵ab <0，bc <0，∴ab 2c >0，∴ac >0，∴－c a<0，∴直线通过第一、二、三象限，故选A.5．过点(3,4)且与两点(4，－2)、(－2,2)等距离的直线方程是( )A ．2x ＋3y －18＝0和2x ＋y －2＝0B ．3x －2y ＋18＝0和x ＋2y ＋2＝0C ．2x ＋3y －18＝0和2x －y －2＝0D ．3x －2y ＋28＝0和2x －y －2＝0[答案] C[解析] 两点(4，－2)、(－2,2)的中点A (1,0)，直线过A 时与两点距离相等，此时直线方程为2x －y －2＝0；两点连线斜率k ＝2－(－2)－2－4＝－23. 当所求直线与两点连线平行时，符合题意，∴方程为y －4＝－23(x －3)，即2x ＋3y －18＝0，故选C.6．两条直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1[答案] D[解析] ∵两直线互相垂直，∴a ·(a ＋2)＝－1，∴a 2＋2a ＋1＝0，∴a ＝－1.7．过点M (2,1)的直线与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，且|MP |＝|MQ |，则l 的方程是( )A ．x －2y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x ＋y ＋5＝0D ．x ＋2y －4＝0 [答案] D[解析] 由过点M ，排除A 、C ；由|MP |＝|MQ |，及M (2,1)知，直线与x 轴、y 轴的正半轴相交，排除B ，故选D.8．函数y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)的图象有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜1B ．a ＞1C ．a ＝1D ．a ＞0 [答案] B[解析] 如图，当a ＝1时，只有一个交点，故欲使其有两个交点，应有a >1.9．已知等腰直角三角形ABC 的斜边所在的直线是3x －y ＋2＝0，直角顶点是C (3，－2)，则两条直角边AC ，BC 的方程是( )A ．3x －y ＋5＝0，x ＋2y －7＝0B ．2x ＋y －4＝0，x －2y －7＝0C ．2x －y ＋4＝0,2x ＋y －7＝0D ．3x －2y －2＝0,2x －y ＋2＝0[答案] B[解析] ∵两条直角边互相垂直，∴其斜率k 1，k 2应满足k 1k 2＝－1，排除A 、C 、D ，故选B.10．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4 B ．－4≤k ≤34 C ．－34≤k ≤4 D ．以上都不对 [答案] A[解析] k P A ＝－4，k PB ＝34，画图观察可知k ≥34或k ≤－4.11．以A (－2，－2)，B (－3,1)，C (3,5)，D (7，－7)为顶点的四边形是( )A ．正方形B ．矩形C ．平行四边形D ．梯形 [答案]D[解析] k AB ＝－3，k BC ＝23，k CD ＝－3，k AD ＝－59， ∴AB ∥CD ，BC ∥\ AD ，故选D.12．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[答案] B[解析] 由平面几何知，与A 距离为1的点的轨迹是以A 为圆心，以1为半径的⊙A ，与B 距离为2的点的轨迹是半径为2的⊙B ，显然⊙A 和⊙B 相交，符合条件的直线为它们的公切线有2条．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．直线5x ＋12y ＋13＝0与直线10x ＋24y ＋5＝0的距离是____________．[答案] 2126 14．过(3,5)且与原点距离为3的直线方程是______．[答案] x ＝3和8x －15y ＋51＝015．已知三条直线4x ＋y －4＝0，mx ＋y ＝0,2x －3my －4＝0不能构成三角形，则m ＝____________.[答案] －1，－16，23，4 [解析] (1)当有两条直线平行时，构不成三角形．由m 4＝11得，m ＝4；由24＝－3m 1≠－4－4得，m ＝－16；由m 2＝1－3m 得，m 2＝－23无解； (2)当三条直线交于同一点时，构不成三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y －4＝0mx ＋y ＝0得，⎩⎨⎧ x ＝44－m y ＝4m m －4，代入2x －3my －4＝0中得，84－m －12m 2m －4－4＝0，解之得m ＝－1或23.综上m ＝－1，－16，23或4. 16．若△ABC 面积等于3，且A (1,1)，B (3,6)，则点C 的轨迹方程为____________．[答案] 5x －2y ＋3＝0和5x －2y －9＝0[解析] |AB |＝29，设C 到直线AB 距离为d ，则12|AB |·d ＝3，∴d ＝629， ∵直线AB ：5x －2y －3＝0，设C 点轨迹所在直线方程为5x －2y ＋b ＝0，则应有|b ＋3|52＋(－2)2＝629，∴b ＝3或－9，故C 点的轨迹方程为5x －2y ＋3＝0和5x －2y －9＝0.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)求经过点A (－2,3)，B (4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式，斜截式和截距式．[解析] 过AB 两点的直线方程是y ＋13＋1＝x －4－2－4. 点斜式为：y ＋1＝－23(x －4) 斜截式为：y ＝－23x ＋53截距式为：x 52＋y 53＝1. 18．(本小题满分12分)已知正方形边长为4，其中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边所在直线方程．[解析] 如右图，∵|AB |＝4∴|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |＝2 2∴A 、B 、C 、D 的坐标分别为A (22，0)B (0,22)，C (－22，0)，D (0，－22)∴AB ：x 22＋y 22＝1，即x ＋y －22＝0 CD ：x －22＋y －22＝1，即x ＋y ＋22＝0 BC ：x －22＋y 22＝1，即x －y ＋22＝0 AD ：x 22－y 22＝1，即x －y －22＝0. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知点A (5，－2)，B (7,3)，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程．[解析] (1)设C (x ，y )，由AC 的中点M 在y 轴上得，x ＋52＝0，解得x ＝－5. 由BC 中点N 在x 轴上，得3＋y 2＝0， ∴y ＝－3，∴C (－5，－3)(2)由A 、C 两点坐标得M (0，－52)．由B 、C 两点坐标得N (1,0)．∴直线MN 的方程为x ＋y －52＝1.即5x －2y －5＝0. 20．(本小题满分12分)过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2： x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被P 点平分，求此直线方程．[解析] 设点A 的坐标为(x 1，y 1)，因为点P 是AB 中点，则点B 坐标为(6－x 1，－y 1)，因为点A 、B 分别在直线l 1和l 2上，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 1－y 1－2＝06－x 1－y 1＋3＝0解得⎩⎨⎧ x 1＝113y 1＝163由两点式求得直线方程为8x －y －24＝0.21．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个顶点A (4，－6)，B (－4,0)，C (－1,4)，求(1)AC 边上的高BD 所在直线方程；(2)BC 边的垂直平分线EF 所在直线方程；(3)AB 边的中线的方程．[解析] (1)直线AC 的斜率k AC ＝－6－44－(－1)＝－2 ∴直线BD 的斜率k BD ＝12， ∴直线BD 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x －2y ＋4＝0 (2)直线BC 的斜率k BC ＝4－0－1－(－4)＝43∴EF 的斜率k EF ＝－34线段BC 的中点坐标为(－52，2) ∴EF 的方程为y －2＝－34(x ＋52) 即6x ＋8y －1＝0.(3)AB 的中点M (0，－3)，∴直线CM 的方程为：y ＋34＋3＝x －1，即：7x ＋y ＋3＝0(－1≤x ≤0)．22．(本小题满分14分)当m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.(1)倾斜角为45°；(2)在x 轴上的截距为1.[解析] (1)倾斜角为45°，则斜率为1.∴－2m 2＋m －3m 2－m＝1，解得m ＝－1，m ＝1(舍去) 直线方程为2x －2y －5＝0符合题意，∴m ＝－1(2)当y ＝0时，x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝－12，或m ＝2 当m ＝－12，m ＝2时都符合题意， ∴m ＝－12或2.高⌒考`试α题.库。

《成才之路》2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二强化练习1.3.2球的体积和表面积

第一章 1.3 1.3.2一、选择题1．半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是( ) A ．22R 3 B ．43πR 3C ．893R 3D ．39R 3 [答案] C2．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( ) A ．6π6 B ．π2 C ．2π2D ．3π2π[答案] A [解析] 由6a 2＝4πR 2得a R＝2π3，∴V 1V 2＝a 343πR 3＝34π⎝⎛⎭⎫2π33＝6π6.3．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是( )A ．65B ．5 4C ．4 3D ．32[答案] D[解析] 设球的半径为R ，则圆柱的高h ＝2R ，底面的半径也为R ，∴S 柱S 球＝2πR 2＋4πR 24πR 2＝32. 4．(2013～2014·山东临清中学高一第三次月考试题)已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．20 2B ．25 2C ．50πD ．200π[答案] C[解析] 长方体的体对角线即为球的直径，∴2R ＝32＋42＋52，∴R ＝522，S 球＝4πR 2＝50π.5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π[答案] D[解析] 本题是三视图还原为几何体的正投影问题．．．．．，考查识图能力，空间想像能力．由题设可知，该几何体是圆柱的上面有一个球，圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，∴该几何体的表面积为2π×1×3＋2π×12＋4π×12＝12π.6．64个直径都为a4的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则( )A ．V 甲>V 乙且S 甲>S 乙B ．V 甲<V 乙且S 甲<S 乙C ．V 甲＝V 乙且S 甲>S 乙D ．V 甲＝V 乙且S 甲＝S 乙[答案] C[解析] 计算得V 甲＝16πa 3，S 甲＝4πa 2，V 乙＝16πa 3，S 乙＝πa 2，∴V 甲＝V 乙，且S 甲>S 乙．二、填空题7．(2013·陕西)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．[答案] 3π[分析] 由三视图可知该几何体为半个球，利用球的表面积公式求解即可．[解析] 由三视图，易知原几何体是个半球，其半径为1，S ＝π×12＋12×4×π×12＝3π.8．已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等，则球O 的半径为________． [答案]36π[解析] 设球O 的半径为r ，则43πr 3＝23，解得r ＝36π9．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为________．[答案] 31 2[解析] V 柱＝πR 2×2R ＝2πR 3， V 锥＝13πR 2×2R ＝2π3R 3，V 球＝43πR 3.V 柱V 锥V 球＝31 2.三、解答题10．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S 1、S 2、S 3，试比较它们的大小．[解析] 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底面半径为r ，则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2.由题意知，43πR 3＝a 3＝πr 2·2r ，∴R ＝334πa ，r ＝312πa ，∴S 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫334πa 2＝4π·3916π2a 2＝336πa 2， S 3＝6π⎝ ⎛⎭⎪⎫312πa 2＝6π·314π2a 2＝354πa 2， ∴S 2<S 3.又6a 2>332πa 2＝354πa 2，即S 1>S 3. ∴S 1、S 2、S 3的大小关系是S 2<S 3<S 1.11．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm ，圆柱筒高为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm 3(结果精确到0.1)?(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？[解析] (1)因为半球的直径是6 cm ，可得半径R ＝3 cm ，所以两个半球的体积之和为 V 球＝43πR 3＝43π·27＝36π(cm 3)．又圆柱筒的体积为V 圆柱＝πR 2·h ＝π×9×2＝18π(cm 3)．所以这种“浮球”的体积是：V ＝V 球＋V 圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm 3)． (2)根据题意，上下两个半球的表面积是 S 球表＝4πR 2＝4×π×9＝36π(cm 2)，又“浮球”的圆柱筒的侧面积为： S 圆柱侧＝2πRh ＝2×π×3×2＝12π(cm 2)，所以1个“浮球”的表面积为 S ＝36π＋12π104＝48104π(m 2)．因此，2500个这样的“浮球”表面积的和为2500S ＝2500×48104π＝12π(m 2)．因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为：100×12π＝1200π(克)． 12．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：m)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)． (2)求这个几何体的表面积及体积． [解析] (1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体．由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得P A 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝(22＋42) cm 2，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二强化练习3.2.2直线的两点式方程

第三章 3.2 3.2.2一、选择题1．过(x 1，y 1)和(x 2，y 2)两点的直线方程是( ) A ．y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1B ．y －y 1y 2－y 1＝x －x 2x 1－x 2C ．(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0D ．(x 2－x 1)(x －x 1)－(y 2－y 1)(y －y 1)＝0 [答案] C2．直线x a ＋yb ＝1过一、二、三象限，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0[答案] C3．已知△ABC 三顶点A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0 [答案] A[解析] 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x＋y －8＝0.4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32B ．－23C ．25D ．2[答案] A[解析] 直线方程为y －91－9＝x －3－1－3，化为截距式为x －32＋y 3＝1，则在x 轴上的截距为－32.5．已知2x 1－3y 1＝4,2x 2－3y 2＝4，则过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线l 的方程是( ) A ．2x －3y ＝4 B ．2x －3y ＝0 C ．3x －2y ＝4D ．3x －2y ＝0[答案] A[解析] ∵(x 1，y 1)满足方程2x 1－3y 1＝4，则(x 1，y 1)在直线2x －3y ＝4上．同理(x 2，y 2)也在直线2x －3y ＝4上．由两点决定一条直线，故过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线l 的方程是2x －3y ＝4.[点评] 利用直线的截距式求直线的方程时，需要考虑截距是否为零． 6．过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条[答案] B[解析] 解法一：设直线方程为y ＋3＝k (x －4)(k ≠0)．令y ＝0得x ＝3＋4kk ，令x ＝0得y ＝－4k －3.由题意，3＋4k k ＝－4k －3，解得k ＝－34或k ＝－1.因而所求直线有两条，∴应选B.解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a )，a ≠0，则直线方程为x a ＋ya＝1，把点P (4，－3)的坐标代入方程得a ＝1.∴所求直线有两条，∴应选B. 二、填空题7．已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)，N (－3,4)两点的直线上，则m ＝________. [答案] 32[解析] 方法1：MN 的直线方程为：y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0，代入P (－1,2m －1)得m ＝32.方法2：M 、N 、P 三点共线， ∴4－(2m －1)－3＋1＝4－(－1)－3－2，解得m ＝32.8．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________． [答案] 3x ＋2y －6＝0[解析] 设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＋b ＝5，解得a ＝2，b ＝3，则直线方程为x 2＋y3＝1，即3x ＋2y －6＝0.9．直线l 过点P (－1,2)，分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为________．[答案] 2x －y ＋4＝0 [解析] 设A (x,0)，B (0，y )．由P (－1,2)为AB 的中点， ∴⎩⎨⎧x ＋02＝－1，0＋y2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4由截距式得l 的方程为 x －2＋y4＝1，即2x －y ＋4＝0. 三、解答题10．已知点A (－1,2)，B (3,4)，线段AB 的中点为M ，求过点M 且平行于直线x 4－y2＝1的直线l 的方程．[解析] 由题意得M (1,3)，直线x 4－y 2＝1的方程化为斜截式为y ＝12x －2，其斜率为12，所以直线l 的斜率为12.所以直线l 的方程是y －3＝12(x －1)，即x －2y ＋5＝0.11．求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A (1,0)，B (m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．[分析]欲求直线的方程，关键是根据已知条件选择一种最合适的形式． [解析](1)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b .令y ＝0，得x ＝－43b ，∴12|b ·(－43b )|＝6，b ＝±3. ∴直线l 的方程为y ＝43x ±3.(2)当m ≠1时，直线l 的方程是 y －01－0＝x －1m －1，即y ＝1m －1(x －1)当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1. (3)设l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b . 当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为x a ＋yb ＝1；∵直线过P (4，－3)，∴4a －3b ＝1.又∵|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －3b ＝1，a ＝±b .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－7.当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3)， ∴l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－34x .[点评]明确直线方程的几种特殊形式的应用条件，如(2)中m 的分类，再如(3)中，直线在两坐标轴上的截距相等包括截距都为零的情况．12．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． (1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC 边上的高所在直线的方程； (5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程．[解析] (1)由A (0,4)，C (－8,0)可得直线AC 的截距式方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由A (0,4)，B (－2,6)可得直线AB 的两点式方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)设AC 边的中点为D (x ，y )，由中点坐标公式可得x ＝－4，y ＝2，所以直线BD 的两点式方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即2x －y ＋10＝0.(3)由直线AC 的斜率为k AC ＝4－00＋8＝12，故AC 边的中垂线的斜率为k ＝－2.又AC 的中点D (－4,2)，所以AC 边的中垂线方程为y －2＝－2(x ＋4)，即2x ＋y ＋6＝0.(4)AC 边上的高线的斜率为－2，且过点B (－2,6)，所以其点斜式方程为y －6＝－2(x ＋2)，即2x ＋y －2＝0.(5)AB 的中点M (－1,5)，AC 的中点D (－4,2)， ∴直线DM 方程为y －25－2＝x －(－4)－1－(－4)，即x －y ＋6＝0.。

(成才之路)人教A版数学必修2练习本册综合能力检测

本册综合能力检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．直线3x ＋3y －1＝0的倾斜角为( ) A ．60° B ．30° C ．120°D ．150°[答案] C[解析] 斜率k ＝－3，由tan α＝3，0°<α<90°知α＝60°，∴倾斜角为180°－60°＝120°. 2．设E 、F 、G 分别为四面体ABCD 的棱BC 、CD 、DA 的中点，则此四面体中与过E 、F 、G 的截面平行的棱有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条[答案] C[解析] 如图，显见EF 是△BCD 中位线，BD ∥EF ，∴BD ∥平面EFG ，同理AC ∥平面EFG .3．(09～10学年江门一中高一期末)直线3x ＋4y －13＝0与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法判定[答案] C[解析] 圆心(2,3)到直线3x ＋4y －13＝0的距离d ＝1，圆半径为1，∴直线与圆相切． 4．已知A (0,8)，B (－4,0)，C (m ，－4)三点共线，则实数m 的值是( ) A ．－6 B ．－2 C ．2D ．6[答案] A[解析] k AB ＝8－00＋4＝2，k BC ＝0＋4－4－m∵k AB ＝k BC ∴m ＝－6.故选A.5．已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是( ) A ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β [答案] B[解析] 如图(1)α∩β＝l ，l ⊥γ，则α⊥γ，β⊥γ，故A 错；由线面垂直的性质知B 正确；如图(2)β∥α，m ⊂β，n ⊂β，则m ∥α，n ∥α，但m 与n 可相交，故C 错；如图(3)，α∩β＝l ，m ⊄α，m ⊄β，m ∥l ，有m ∥α，m ∥β，∴D 错． 6．下列说法中正确的个数有( )①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等； ②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行； ③两条直线被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例； ④如果夹在两平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[答案] B[解析] ①②可类比夹在平行线间的线段．①正确，如图(一)，∵AB ∥CD ，∴AB 与CD 确定一个平面γ，γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，而α∥β，∴AC ∥BD ，∴四边形ABDC 是平行四边形，∴AB ＝CD ；②错，如图(一)设C 在β内射影为O ，以O 为底面圆心，CD 为母线的圆锥任一母线长度都等于AB ，但只在CD 位置，有AB ∥CD ；③正确，如图(二)平面α∥β∥γ，直线l 1与三个平面交于A 、B 、C ，l 2与三个平面交于D 、E 、F ，连结AF 交β于M (或连结DC )，则由平行平面的性质及相似三角形知识有：AB BC ＝AM MF ＝DEEF ；也可过A 作直线l ∥l 2分别交β，α于K ，S ，同理AB BC ＝AK KS ＝DEEF(或过B ，C 作直线与l 2平行，或过D 、E 、F 中任一点作直线与l 1平行均可)．(可类比平行线截得比例线段定理)；④错，如图(三)，∵AB 綊CD 綊EF ，∴四边形ABDC ，CDFE ，ABFE 均为平行四边形，从而AC ∥BD ，CE ∥DF ，∴AC ∥α，CE ∥α，又AC ∩CE ＝C ，∴β∥α.但在图(四)情形下A 1C 1綊A 2C 2綊AC ，但两平面ABB 1A 1与BCC 1B 1相交．7．(09～10学年山东烟台高一期末)若a >0，b <0，c <0，则直线ax ＋by ＋c ＝0必不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 直线ax ＋by ＋c ＝0化为截距式为 x －c a ＋y－c b＝1 ∵a >0，b <0，c <0，∴－c a >0，－cb <0，故直线过一、三、四象限，故选B.8．三条直线l 1：x －y ＝0；l 2：x ＋y －2＝0；l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形，则k 的取值范围( )A ．k ≠±5且k ≠1B ．k ≠±5且k ≠－10C ．k ≠±1且k ≠0D ．k ≠±5[答案] B[解析] l 1与l 2相交，交点P (1,1)，若围成三角形，则P 不在l 3上，∴5－k －15≠0，∴k ≠－10；由l 3∥l 1，即51＝－k－1，∴k ＝5，由l 3∥l 2，即51＝－k1，∴k ＝－5.因此欲围成三角形，则k ≠±5且k ≠－10，∴选B.9．(2010·广东文，6)若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5[答案] D[解析] 设圆心C (a,0)，由题意r ＝5＝|a |5，∴|a |＝5，a <0，∴a ＝－5，∴方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.10．(2010·江西理，8)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A ．[－34，0]B ．(－∞，－34]∪[0，＋∞)C ．[－33，33]D ．[－23，0][答案] A[解析] 如图，设MN 中点为H ，连CH ，CN ，则△CHN 为Rt △，又HN ≥ 3.R ＝2，故CH ≤1.由圆心到直线的距离等于CH 可得：|3k ＋1|k 2＋1≤1.解得－34≤k ≤0，故斜率范围是[－34，0]，选A.11．在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E 、交CC ′于F ，则以下结论中错误的是( )A ．四边形BFD ′E 一定是平行四边形B ．四边形BFD ′E 有可能是正方形C ．四边形BFD ′E 有可能是菱形D ．四边形BFD ′E 在底面投影一定是正方形 [答案] B[解析] 平面BFD ′E 与相互平行的平面BCC ′B ′及ADD ′A ′交线BF ∥D ′E ，同理BE ∥D ′F ，故A 正确．特别当E 、F 分别为棱AA ′、CC ′中点时，BE ＝ED ′＝BF ＝FD ′，四边形为菱形，其在底面ABCD 内的投影为正方形ABCD ，∴选B.12．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠A ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( )A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．△ABC 内部 [答案] B二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q在CD 上，则PQ ＝__________.[答案]223a[解析] 上、下底面平行与截面相交的交线PQ ∥MN ，又MN ∥A 1C 1∥AC ，∴PQ ∥AC ， ∵DP ＝2a 3，∴DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223a .14．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是________． [答案] 10x ＋15y －36＝0 [解析] 设方程为2x ＋3y ＋m ＝0 由已知得：－m 3－m 2＝6 ∴m ＝－365方程为10x ＋15y －36＝0.15．设α和β为不重合的两个平面，给出下列结论：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； (2)若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；(3)设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； (4)直线l 与α垂直等价于l 与α内的两条直线垂直．其中正确结论的序号是________． [答案] (1)(2)[解析] (1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β是正确的；(2)由线面平行判定定理知(2)正确；(3)由α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，不能推出α和β垂直；(3)不正确；(4)直线l 与α垂直能够推出l 与α内的两条直线垂直，而l 与α内的两条直线垂直不能推出直线l 与α垂直，∴(4)不正确．16．(2010·浙江理，12)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm 3.[答案] 144[解析] 由三视图知，该几何体是一个正四棱台和一个正四棱柱的组合体，四棱台下底面边长为8，上底面边长为4，高为3，上面正四棱柱底面边长为4，高为2，则体积为V ＝13(42＋82＋4×8)×3＋4×4×2＝144cm 3.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)如图所示，已知A (1,3)，B (－1，－1)，C (2,1)．求△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程．[解析] 设BC 边上的高为AD ，∵k BC ＝1－(－1)2－(－1)＝23，∴k AD ＝－1k BC ＝－32，∴高线AD 所在直线方程为y －3＝－32(x －1)即3x ＋2y －9＝0.18．(本小题满分12分)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 分别是AD 1、BD 上的点，且AP ＝BQ ，求证：PQ ∥平面DCC 1D 1.[解析] 解法1：过P 作PM ∥AD 交D 1D 于M ，过Q 作QN ∥BC 交CD 于N .∵正方体中AP ＝BQ ，∴D 1P ＝DQ ，由作法知：PM AD ＝D 1P D 1A ＝DQ DB ＝QN BC ＝QNAD，∴PM ＝QN ，又PM ∥QN ，∴四边形PQNM 为平行四边形，∴PQ ∥MN ，又PQ ⊄平面CDD 1C 1，MN ⊂平面CDD 1C 1，∴PQ ∥平面DCC 1D 1.解法2：过P 作PK ∥D 1D 交AD 于K ，连QK ，可证平面PQK ∥平面DCC 1D 1，于是PQ ∥平面DCC 1D 1.解法3：连结AQ 并延长交直线CD 于E ，可证PQ ∥D 1E 得证．其它证法就不再介绍了．[点评] 方法1是通过平行四边形的对边平行得到线线平行，从而证得“线面平行”；方法2是通过构造平面平行，运用平行平面的性质定理来证，即先由“线线平行”得到“面面平行”，再进而得到“线面平行”；方法3是利用三角形平行于一边的直线截三角形两边，对应线段成比例的性质．其中方法1和3，归根结缔是找(或作)一个经过已知直线的平面与已知平面相交，证明它和交线平行．19．(本小题满分12分)(09～10学年湖南邵阳市高一期末)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当直线l 过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长． [解析] (1)圆心C (1,0)，因为直线l 过点P (2,2)与圆心，所以直线l 的方程为y －02－0＝x －12－1，化简得：2x －y －2＝0.(2)直线l 的方程为：x －y ＝0 圆心到直线l 的距离d ＝|1－0|2＝22，又圆的半径r ＝3， ∴弦AB 的长＝2r 2－d 2＝29－12＝34. 20．(本小题满分12分)直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等 ∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0；若a ≠2，则a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1∴a ＝0 即方程为x ＋y ＋2＝0， ∴a 的值为0或2.(2)∵过原点时，y ＝－3x 经过第二象限不合题意，∴直线不过原点，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝0a －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0a －2a ＋1>0∴a ≤－1.21．(本小题满分12分)如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE . [解析] (1)由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由BE 綊12AF ，G 是F A 的中点知，BE 綊GF ，所以EF ∥BG ，由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．又点D 直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面．(3)连结EG ，由AB ＝BE ，BE 綊AG ，及∠BAG ＝90°知ABEG 是正方形，故BG ⊥EA .由题设知，F A 、AD 、AB 两两垂直，故AD ⊥平面F ABE ， ∴BG ⊥AD ，∴BG ⊥平面ADE ，∴BG ⊥ED . 又EC ∩EA ＝E ，所以BG ⊥平面ADE .由(1)知，CH ∥BG ，所以CH ⊥平面ADE .由(2)知F ∈平面CDE ，故CH ⊂平面CDE ，得平面ADE⊥平面CDE.22．(本小题满分14分)(09·江西文)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正切值；(3)求点O到平面ABM的距离．[解析](1)证明：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BM⊥PD.因为P A⊥平面ABCD，则P A⊥AB，又AB⊥AD.所以AB⊥平面P AD，则AB⊥PD，因此有PD⊥平面ABM，所以平面ABM⊥平面PCD.(2)设平面ABM与PC交于点N，因为AB∥CD，所以AB∥平面PCD，则AB∥MN∥CD，由(1)知，PD⊥平面ABM，则MN是PN在平面ABM上的射影∴∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，且∠PNM＝∠PCD，tan∠PNM＝tan∠PCD＝PDDC＝2 2.(3)因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半．由(1)知，PD⊥平面ABM于M，则|DM|就是D点到平面ABM的距离．因为在Rt△P AD中，P A＝AD＝4，PD⊥AM，所以M为PD中点，DM＝22，则O点到平面ABM的距离等于 2.高[考γ试╚题库。