[推荐学习]高中数学第一章坐标系1.1平面直角坐标系1.1.1平面直角坐标系与曲线方程课后训练北师大

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高中数学第一章坐标系1.1.1直角坐标系学案苏教版

直角坐标系1．掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用．2．对具体问题，能建立适当的坐标系，使所刻画的代数形式具有更简便的结果．[基础·初探]1．直线坐标系在直线上，取一个点为原点，并确定一个长度单位和直线的方向，就建立了直线上的坐标系，即数轴．数轴上任意一点P都可以由惟一的实数x确定，x称为点P的坐标．2．平面直角坐标系在平面上，取两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．平面上任意一点P都可以由惟一的有序实数对(x，y)确定，(x，y)称为点P的坐标．3．空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，取这三条直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这三条直线的方向，就建立了空间直角坐标系．空间中任意一点P都可以由惟一的三元有序实数组(x，y，z)确定，(x，y，z)称为点P 的坐标．[思考·探究]1．建立适当的坐标系一般有哪些规则？【提示】(1)如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；(3)使图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上．2．由坐标(x，y)怎样确定点的位置？【提示】在平面直角坐标系中，分别过点M(x,0)，N(0，y)作x轴和y轴的垂线，两条直线的交点P即(x，y)所确定的点．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________【自主解答】法一以正方形的一个顶点为原点，两条邻边为坐标轴，且把第四个顶点放在第一象限，建立平面直角坐标系，如图(1)所示．此时，其四个顶点的坐标分别为O(0,0)、A(4,0)、B(4,4)、C(0,4)，中心为M(2,2)．法二以正方形的中心为原点，且使两条坐标轴平行于正方形的边，建立平面直角坐标系，如图(2)所示．此时，正方形的顶点坐标分别为A(2，－2)、B(2,2)、C(－2,2)、D(－2，－2)，中心为O(0,0)．法三以正方形的两条对角线为坐标轴建立直角坐标系，如图(3)所示．此时，正方形的顶点坐标分别为A(22，0)、B(0,22)、C(－22，0)、D(0，－22)，中心为O(0,0)．(作图时只要以图(2)中的原点O为圆心，OA为半径作圆，该圆与坐标轴的四个交点即是图(3)中正方形的各个顶点)[再练一题]1．选择适当的坐标系，表示两条直角边长都为1的直角三角形的三个顶点的坐标．【导学号：98990000】【解】法一以直角三角形的两条直角边AC、BC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图(1)所示的平面直角坐标系，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)．法二以斜边AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立如图(2)所示的平面直角坐标系．则A (－22，0)，B (22，0)，C (0，22)．用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点，到两腰的距离之差等于一腰上的高．【自主解答】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为BC 延长线上一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设A (0，b )，B (－a,0)，C (a,0)(a ＞0，b ＞0)，则直线AB 的方程为bx －ay ＋ab ＝0，直线AC 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，取P (x 0,0)，使x 0＞a ，则点P 到直线AB 、AC 的距离分别为PD ＝|bx 0－0＋ab |a 2＋b 2＝bx 0＋ab a 2＋b 2，PE ＝|bx 0＋0－ab |a 2＋b 2＝bx 0－aba 2＋b 2.点C 到直线AB 的距离为CF ＝|ab ＋ab |a 2＋b 2＝2aba 2＋b2，则PD －PE ＝2aba 2＋b 2＝CF .故所需证明命题成立． [再练一题]2．已知△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 分别为两腰上的高，求证：BD ＝CE .【证明】如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．设B (－a,0)，C (a,0)，A (0，h )．则直线AC 的方程为y ＝－hax ＋h ，即：hx ＋ay －ah ＝0. 直线AB 的方程为y ＝h ax ＋h ，即：hx －ay ＋ah ＝0. 由点到直线的距离公式得：BD ＝|2ah |a 2＋h 2， CE ＝|2ah |a 2＋h 2.∴BD ＝CE .如图411所示，过点P (2,4)有两条互相垂直的直线l 1，l 2.l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 满足的方程．图411【思路探究】法一法二法三【自主解答】法一设点M 的坐标为(x ，y )，因为M 为线段AB 的中点，所以点A 的坐标为(2x,0)，点B 的坐标为(0,2y )．因为l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)，所以k AP ·k PB ＝－1.而k AP ＝4－02－2x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0，所以21－x ·2－y1＝－1(x ≠1)，整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．因为当x ＝1时，点A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，所以线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 满足的方程是x ＋2y －5＝0.法二设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连接PM .因为l 1⊥l 2，所以PM ＝12AB .而PM ＝x －2＋y －2，AB ＝x2＋y2，所以2x －2＋y －2＝4x 2＋4y 2，化简，得x ＋2y －5＝0，即为所求方程．法三因为l 1⊥l 2，OA ⊥OB ，点M 为线段AB 的中点，所以O ，A ，P ，B 四点共圆，且该圆的圆心为M (x ，y )，所以PM ＝MO ，所以点M 的轨迹为线段OP 的垂直平分线．因为k OP ＝4－02－0＝2，OP 的中点坐标为(1,2)，所以点M 满足的方程为y －2＝－12(x －1)，化简得x ＋2y －5＝0.通过建立坐标系精确地刻画集合图形的位置和物体运动的轨迹的方法称为解析法．解决此类问题的关键：(1)建立平面直角坐标系； (2)设点(点与坐标的对应)；(3)列式(方程与坐标的对应，列出几何条件，并将几何条件代数化)； (4)化简(注意变形的等价性)；(5)证明(若保证等价变形，则此步骤可以省略)．[再练一题]3．设圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C ，过原点作圆的弦OA ，求OA 中点B 的轨迹方程．【解】法一 (直接法)：设B 点坐标为(x ，y )，由题意，得OB 2＋BC 2＝OC 2，如图所示，即x 2＋y 2＋[(x －1)2＋y 2]＝1，即OA 中点B 的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法二 (几何法)：设B 点坐标为(x ，y )，由题意知CB ⊥OA ，OC 的中点记为M (12，0)，则MB ＝12OC ＝12，故B 点的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法三 (代入法)：设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为(x 1－1)2＋y 21＝1，所以(2x －1)2＋(2y )2＝1，即(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法四 (交点法)：设直线OA 的方程为y ＝kx ，当k ＝0时，B 为(1,0)；当k ≠0时，直线BC 的方程为：y ＝－1k(x －1)，直线OA ，BC 的方程联立消去k 即得其交点轨迹方程：y 2＋x (x －1)＝0，即(x －12)2＋y 2＝14(x ≠0,1)，显然B (1,0)满足(x －12)2＋y 2＝14，故(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)为所求．[真题链接赏析](教材第16页习题4.1第4题)据气象台预报，在A 市正东方300 km 的B 处有一台风中心形成，并以每小时40 km 的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km 以内的地区将受其影响．问：从现在起经过多少时间，台风将影响A 市，持续时间多长？已知B 村位于A 村的正西方向1公里处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m .但在A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？【命题意图】本题主要考查合理建立直角坐标系，并能应用其解决实际问题的能力．【解】以A 村为原点，直线BA 为x 轴，建立如图所示的坐标系．则点B 坐标为(－1 000,0)，点W 坐标为(－2002，2002)，由题意，管线m 的斜率为k ＝tan 30°＝33，所以管线m 所在的方程为y ＝33(x ＋1 000)，化简得3x －3y ＋1 0003＝0，即x －3y ＋1 000＝0. 点W 到该直线m 的距离为d ＝|－2006－2002＋1 000|3＋1＝|500－1002－1006|＝100(5－2－6)．因为5－2－6＞1，所以d ＞100.故管线m 不会穿过禁区，故该计划不需要修改．1．已知点P (－1＋2m ，－3－m )在第三象限，则m 的取值范围是________．【解析】 ∵第三象限点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2m ＜0，－3－m ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜12，m ＞－3.∴－3＜m ＜12.【答案】 (－3，12)2．点P (2，－3，－1)关于yOz 坐标平面对称的点的坐标是________．【解析】 ∵P (x ，y ，z )关于平面yOz 坐标平面对称的为点P ′(－x ，y ，z )， ∴点(2，－3，－1)关于yOz 平面的对称点为(－2，－3，－1)．【答案】 (－2，－3，－1)3．△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程是________．【解析】 ∵BC ＝4，∴AB ＋AC ＝10－BC ＝6＞BC ，∴A 的轨迹为椭圆除去B 、C 两点，∴设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，故2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，∴b 2＝32－22＝5.故轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．【答案】x 29＋y 25＝1(y ≠0) 4．点(－2，－3)关于直线3x ＋4y ＋5＝0对称的点的坐标为________．【导学号：98990001】【解析】设所求对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3x ＋2＝43，3×x －22＋4×y －32＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2825，y ＝2925.所求对称点坐标为(2825，2925)．【答案】 (2825，2925)我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。

2017年高中数学第一章坐标系1.1平面直角坐标系课件新人教A版选修4_4

一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2.
【证明】如图所示, 以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在
直线为y轴,建立平面直角坐标系,设
A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y), 则PA2=x2+y2,PB2=(x-a)2+y2, PC2=(x-a)2+(y-b)2,PD2=x2+(y-b)2.
线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化,通过伸缩变
换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系. 特别提醒:实数与数轴上的点是一一对应的,所以一个实数就能确定数轴上一个点的位置.
类型一
坐标法求轨迹方程
【典例】已知△ABC的边AB长为2a,若BC的中线为定长m, 求顶点C的轨迹方程.
【解题探究】求轨迹方程的一般步骤是什么? 提示:建系-设点-列条件-得方程、整理.
②相关概念: 向右的方向、竖直放数轴的正方向:水平放置的数轴_____
向上的方向分别是数轴的正方向. 置的数轴_____
水平的数轴. x轴或横轴:坐标轴_____ y轴或纵轴:坐标轴_____ 竖直的数轴. 公共原点O 坐标原点:坐标轴的__________.
有序实数对 ③对应关系:平面直角坐标系内的点与___________
【变式训练】1.已知点(5-m,3-2m)不在第四象限,求实数m的取值范围.
【解析】若点(5-m,3-2m)在第四象限, 则5-m>0,且3-2m<0,解得 3 <m<5, 2 故点(5-m,3-2m)不在第四象限时, 实数m的取值范围是m≤ 或m≥5.
3 2
2.四边形ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在平面内的任意

2020版高中数学第一讲坐标系1.1平面直角坐标系课件新人教A版选修4_4

3
又因为|PB|-|PA|=4,
所以点 P 必在以 A,B 为焦点的双曲线的右支上,
且双曲线的方程为 ��2 − ��2 = 1(��≥2).②
45
联立①②,解得
x=8
或
x=−
32 11
(舍去).
当 x=8 时,y=5 3.
所以点 P 的坐标为(8,5 3).
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题型一题型二题型三题型四
解:设点 P 的坐标为(x,y),则 A(3,0),B(-3,0),C(-5,2 3).
因为|PB|=|PC|,
所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.
因为 kBC=− 3, 线段BC 的中点 D 的坐标为(-4, 3), 所以直线 PD 的方程为 y− 3 = 1 (�� + 4). ①
= 2|��|, 试建立适当的平航 UBIAODAOHANG
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知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一题型二题型三题型四
解:建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(-1 000,0).由W位于A的西北方向及|AW|=400 m,
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1.1平面直角坐标系 (共31张PPT)

问题一：从点的轨迹角度分析点P应该在什么样的曲线上？问题二：请你在图中建立适当的坐标系，并说明你所建立坐标系的依据是什么？问题三：根据你所建立的坐标系，求出点P的坐标
问题四：在该坐标系中，说出点P在信息中心点的什么位置？
Office组件之word2007
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为 340m/s，各相关点均在同一平面上）
E
因此，BE与CF互相垂直.
O (A)
F
B
x
数学运用
Office组件之word2007
例3. 某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条高速公路，但在A村北偏西300方向距A村500m处，发现一古代文物遗址W。经过初步勘察，文物管理部门将遗址W周围200m范围划为禁区，已知B 地位于A村的正西方向1km 处，试问：修建高速公 y y 路和计划需要修改吗？ C 解决问题的关键：确定遗址W与高速公路BC的相对位置.
W
500
0 0 B 45 1000 60 A x O O
Office组件之word2007
课堂小结
平面直角坐标系建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
y
B
P o
C Ax
Office组件之word2007
解：以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系. 设A、B、C分别是西、东、北观测点，则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)

高中数学第一章坐标系第1节平面直角坐标系课件新人教A版选修4_42

的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设B(－a，0)，C(a，0)，A(0，h)．则直线AC的方程为 h y＝－ax＋h，即：hx＋ay－ah＝0. h 直线AB的方程为y＝ax＋h，即：hx－ay＋ah＝0. 由点到直线的距离公式：|BD|＝ |2ah| 2 2， a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即BD＝CE. |2ah| a2＋h2 ，|CE|＝
∴由|MA|· |MB|＝|MC|· |MD|，可得 [（x＋4）2＋y2][（x－4）2＋y2] ＝ [x2＋（y－2）2][x2＋（y＋2）2]. 化简，得y2－x2＋6＝0. ∴点M的轨迹方程为x2－y2＝6.
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.
[精讲详析] 本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题．
1．已知线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝8， |CD|＝4，动点M满足|MA|· |MB|＝|MC|· |MD|，求动点M的轨迹方程．
解：以O为原点，分别以直线AB，CD为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(－4，0)，B(4，0)，C(0，2)，D(0，－2)．设M(x，y)为轨迹上任一点，则 |MA|＝（x＋4）2＋y2，|MB|＝（x－4）2＋y2， |MC|＝ x2＋（y－2）2，|MD|＝ x2＋（y＋2）2，
(1)建立适当的直角坐标系，将平面几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形” 中，此为坐标法的基本思想，务必熟练掌握． (2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．

高中数学第一讲坐标系1.1平面直角坐标系课件新人教A版选修4_4

则E
�� 2
,0
,F
��+�� 2
,
�� 2
,G
��+�� 2
,
��+�� 2
,H
�� 2
,
�� 2
,M
�� 2
,
�� 2
,N
��+�� 2
,
�� 2
.
由中点坐标公式求得线段EG,FH,MN的中点坐标都是
= =
��,�� > 0, ��,�� > 0,
将其代入方程 2x'-y'=4,得 2λx-μy=4.
将其与 x-2y=2,即 2x-4y=4 比较,可得 λ=1,μ=4.
故满足条件的伸缩变换为
��' ��'
= =
��, 4��.
一平面直角坐标系
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求轨迹的常用方法
1.直接法.如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系,那么可用求曲线方程的步骤直接求解.
2.定义法.如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,那么可依据定义写出轨迹方程.
2.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
��' = ��,�� > 0, ��' = ��,�� > 0 的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

平面直角坐标系

平面直角坐标系平面直角坐标系是指利用两个垂直的数轴（x轴和y轴）来确定平面上的点位置的一种坐标系统。

它是数学中常用的一种工具，用于描述平面上的几何图形和解决各种问题。

在平面直角坐标系中，点的位置由两个数值（x，y）表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。

一、坐标轴平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，分别是x轴和y轴。

坐标轴的交点称为原点，记作O。

x轴向右延伸为正方向，向左延伸为负方向。

y轴向上延伸为正方向，向下延伸为负方向。

x轴和y轴的单位长度可以任意选择，常用的单位长度是1。

二、坐标表示在平面直角坐标系中，每个点的位置都可以用一个有序数对（x，y）表示。

x表示点在x轴上的位置，可以是正数、负数或零。

y表示点在y轴上的位置，也可以是正数、负数或零。

由于存在四个象限，具体的位置表示可能是不同的。

三、象限划分平面直角坐标系将平面划分为四个象限，如下所示：第一象限：x轴和y轴的正半轴构成，x和y均为正数。

第二象限：x轴的负半轴和y轴的正半轴构成，x为负数，y为正数。

第三象限：x轴和y轴的负半轴构成，x和y均为负数。

第四象限：x轴的正半轴和y轴的负半轴构成，x为正数，y为负数。

四、坐标变换在平面直角坐标系中，可以进行坐标变换来描述图形的移动、旋转和缩放等操作。

常见的坐标变换包括平移、旋转和缩放。

平移：平移是将图形沿着x轴或y轴方向进行移动。

平移图形的x坐标和y坐标分别加上相应的平移量。

旋转：旋转是将图形绕着原点或其他点旋转一定角度。

旋转图形可以利用旋转矩阵进行计算。

缩放：缩放是将图形在x轴和y轴方向上进行拉伸或压缩。

缩放图形可以将图形的每个点的x坐标和y坐标分别乘以缩放因子。

五、应用领域平面直角坐标系被广泛应用于各个学科和领域中。

在几何学中，平面直角坐标系被用于描述图形的性质和计算图形的面积、周长等。

在物理学中，平面直角坐标系用于描述物体的运动轨迹和力的作用方向等。

在经济学和社会科学中，平面直角坐标系被用于建立数学模型和分析数据等。

高中数学第一章坐标系1.1平面直角坐标系1.1.1平面直角

题型一题型二题型三
解:(1)设
��
=
��,
得y=kx,所以
k
为过原点的直线的斜率.
又 x2+y2-4x+1=0 可化简为(x-2)2+y2=3,
它表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆,如图所示.
当直线 y=kx 与已知圆相切,且切点在第一象限时,k 最大,
此时,|CP|= 3, |��| = 2,
(2)曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,由此我们可借助坐标系,研究曲线与方程间的关系.
名师点拨1.两点间的距离公式:在平面直角坐标系中,P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离公式为
|P1P2|= (��1-��2)2 + (��1-��2)2.
所以
-1 + 2�� < -3-�� < 0,
0,
即
��
<
1 2
,
�� > -3.
所以-3<m< 12.
答案:-3<m<
1 2
2.曲线与方程在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲线. 名师点拨求曲线的方程一般有以下五个步骤:(1)建立适当的平面直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件p的点M的集合p={M|P(M)};(3)用坐标表示条件p(M),写出方程 f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须等价);(5)证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上.一般地,方程的变形过程若是等价的,则步骤 (5)可以省略.

平面直角坐标系

平面直角坐标系在数学中，平面直角坐标系是一种常用的坐标系，用于描述平面上的点的位置。

它由两条垂直于彼此的直线所构成，其中一条被称为x 轴，另一条被称为y轴。

本文将介绍平面直角坐标系的概念、性质以及在数学和几何中的应用。

一、平面直角坐标系的定义平面直角坐标系由两条垂直于彼此的直线组成，其中x轴和y轴相交于一个点，被称为坐标原点O。

x轴和y轴将平面分成四个象限，分别为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

平面直角坐标系中的每个点都可以用一对有序实数(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。

这种表示方式被称为点的坐标。

二、平面直角坐标系的性质1. 对称性：平面直角坐标系关于坐标原点O对称，即如果点P(x, y)在坐标系中，则点P'(-x, -y)也在坐标系中。

2. 距离：平面直角坐标系中，两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的距离可以通过勾股定理计算：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]3. 倾斜角：平面直角坐标系中，直线与坐标轴之间的夹角被称为倾斜角。

对于x轴，倾斜角为0°或180°；对于y轴，倾斜角为90°或270°。

4. 坐标轴：x轴和y轴分别垂直于彼此，且不相交。

三、平面直角坐标系的应用1. 图形绘制：平面直角坐标系可以用于绘制平面上的各种几何图形，如点、线段、直线、多边形等。

通过给定坐标，可以准确地确定图形的位置和大小。

2. 函数图像：平面直角坐标系常用于绘制函数图像。

函数图像是由平面上满足某一特定函数关系的点组成的曲线或线段。

通过在坐标系中绘制函数的图像，可以直观地了解函数的性质和变化规律。

3. 解析几何：平面直角坐标系在解析几何中具有重要的应用。

通过使用坐标系，可以进行直线的方程、圆的方程、角的度量等相关计算。

4. 数据分析：平面直角坐标系也被广泛应用于数据分析和可视化。

数学平面直角坐标系的知识点

数学平面直角坐标系的知识点漫长的学习生涯中, 是不是听到知识点, 就立刻清醒了？知识点也不一定都是文字, 数学的知识点除了定义, 同样重要的公式也可以理解为知识点。

想要一份整理好的知识点吗？下面是店铺精心整理的数学平面直角坐标系的知识点, 供大家参考借鉴, 希望可以帮助到有需要的朋友。

数学平面直角坐标系的知识点11.平面直角坐标系:（1）在平面内两条有公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系, 通常把其中水平的一条数轴叫横轴或轴, 取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫纵轴或轴, 取向上的方向为正方向；两数轴的交点叫做坐标原点。

（2）建立了直角坐标系的平面叫坐标平面．x轴和y轴把坐标平面分成四个部分, 称为四个象限, 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限说明: 两条坐标轴不属于任何一个象限。

2.点的坐标:对于平面直角坐标系内任意一点P, 过点P分别向x轴和y轴作垂线, 垂足在x轴, y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标, 纵坐标, 有序数对（a, b）叫做P的坐标。

3.点与有序实数对的关系：坐标平面内的点可以用有序实数对来表示, 反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点, 即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系。

数学平面直角坐标系的知识点2一、平面解析几何的基本思想和主要问题平面解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门数学学科, 其基本思想就是用代数的方法研究几何问题。

例如, 用直线的方程可以研究直线的性质, 用两条直线的方程可以研究这两条直线的位置关系等。

平面解析几何研究的问题主要有两类：一是根据已知条件, 求出表示平面曲线的方程;二是通过方程, 研究平面曲线的性质。

二、直线坐标系和直角坐标系直线坐标系, 也就是数轴, 它有三个要素: 原点、度量单位和方向。

如果让一个实数与数轴上坐标为的点对应, 那么就可以在实数集与数轴上的点集之间建立一一对应关系。

点与实数对应, 则称点的坐标为, 记作, 如点坐标为, 则记作;点坐标为, 则记为。

数学平面直角坐标系的知识点

数学平面直角坐标系的知识点数学平面直角坐标系是我们学习数学中的一个重要概念，它为我们解决各种几何和代数问题提供了强大的工具。

在这篇文章中，我们将深入探讨数学平面直角坐标系的基本概念及其应用。

一、数学平面直角坐标系的定义数学平面直角坐标系是由平面上的两条相互垂直的直线所确定的。

我们将这两条直线分别称为x轴和y轴，并将它们交点的位置定义为原点O。

这个坐标系能够将平面上的每个点唯一地表示为一个有序的数对(x, y)，其中x代表点在x轴上的位置，y代表点在y轴上的位置。

二、数学平面直角坐标系的要素数学平面直角坐标系包括原点、x轴、y轴以及四个象限。

原点是坐标系的起点，位于坐标系的中心。

x轴沿着水平方向延伸，正方向是从左向右。

y轴沿着垂直方向延伸，正方向是从下向上。

四个象限分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，右上方为第一象限，右下方为第四象限，左上方为第二象限，左下方为第三象限。

三、数学平面直角坐标系的性质1. 对称性：数学平面直角坐标系是关于原点O对称的。

即，如果一个点的坐标为(x, y)，那么与它关于原点的对称点的坐标为(-x, -y)。

2. 距离公式：在坐标系中，两点之间的距离可以使用距离公式来计算。

假设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，那么点A和点B之间的距离d可以用下面的公式表示：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]3. 圆方程：在坐标系中，圆的方程可以表示为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。

四、数学平面直角坐标系的应用1. 几何应用：数学平面直角坐标系可以用来解决各种几何问题，例如计算两点之间的距离、判断两条线段是否相交等。

2. 代数应用：数学平面直角坐标系可以用来解决各种代数问题，例如表示线性方程、二次方程等。

我们可以通过在坐标系中绘制方程的图像来观察方程的性质和解的情况。

平面直角坐标系的基本概念

平面直角坐标系的基本概念在数学中，平面直角坐标系是用来描述平面上点的位置的一种方法。

它由两条互相垂直的直线组成，称为x轴和y轴，它们的交点被定义为原点O。

下面将介绍平面直角坐标系的基本概念和相关术语。

1. 坐标轴和原点：平面直角坐标系由两条相交于原点的直线组成，水平的直线称为x 轴，垂直的直线称为y轴。

原点O表示坐标轴的交点，同时也是平面上所有坐标的起点。

2. 坐标和有序对：在平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序对(x, y)表示。

其中，x是该点在x轴上的投影距离，y是该点在y轴上的投影距离。

有序对(x, y)的x称为横坐标或x坐标，y称为纵坐标或y坐标。

通过横纵坐标的组合，可以唯一确定平面直角坐标系上的每个点。

3. 象限：平面直角坐标系将平面分为四个象限，分别记作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

第一象限位于x轴和y轴的正半轴部分，第二象限位于y轴的正半轴和x轴的负半轴部分，第三象限位于x轴和y轴的负半轴部分，第四象限位于x轴的正半轴和y轴的负半轴部分。

4. 距离公式：在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以使用距离公式来计算。

设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则两点之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]5. 中点公式：中点公式用于计算连接两点的线段的中点坐标。

设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则中点的坐标为：(x, y) = [(x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2]6. 斜率公式：斜率公式用于计算两点之间连线的斜率。

设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则连线的斜率k可以通过以下公式计算：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)7. 图形的方程：在平面直角坐标系中，各种图形（如直线、曲线、抛物线等）可以通过方程来表示。

例如，一条直线的方程可表示为y = mx + b，其中m 为斜率，b为y轴截距。

认识和使用平面直角坐标系

认识和使用平面直角坐标系平面直角坐标系是数学中一种常用的坐标系，用于描述平面上的点的位置。

它由两条垂直于对方的坐标轴组成，通常我们称它们为x轴和y轴。

本文将详细介绍平面直角坐标系的定义、特点以及如何认识和使用它。

一、平面直角坐标系的定义平面直角坐标系是由两条垂直于对方的直线组成的坐标系，其中一条直线被称为x轴，另一条直线被称为y轴。

这两条直线的交点被称为坐标系的原点，通常用字母O表示。

原点将平面分成了四个象限，分别为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

二、平面直角坐标系的特点1. 坐标轴：x轴和y轴是平面直角坐标系的两条坐标轴，它们相互垂直于对方。

2. 原点：坐标轴的交点被定义为原点，坐标系中所有点的坐标都是相对于原点而言的。

3. 象限：平面直角坐标系将平面划分为四个象限，第一象限位于x 轴和y轴的右上方，顺时针依次为第二、第三、第四象限。

三、认识和使用平面直角坐标系在平面直角坐标系中，我们可以通过两个坐标数来确定平面上的一个点的位置。

一个坐标数表示点在x轴上的位置，另一个坐标数表示点在y轴上的位置。

这两个坐标数被称为点的x坐标和y坐标，通常用一个有序对(x, y)来表示。

平面直角坐标系可以用于解决各种实际问题，例如求两点之间的距离、求线段的斜率、解决几何图形的性质等等。

下面将以求两点之间的距离作为例子来介绍如何使用平面直角坐标系。

假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要求点A和点B之间的距离d。

根据勾股定理，我们可以利用平面直角坐标系中点的坐标来计算距离。

计算公式如下：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，(x1, y1)和(x2, y2)分别是点A和点B的坐标。

通过使用平面直角坐标系，我们可以轻松地计算出点A和点B之间的距离。

这只是平面直角坐标系在实际问题中的应用之一，它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

总结：平面直角坐标系是数学中常用的坐标系，它由x轴和y轴组成，通过两个坐标数可以确定平面上的点的位置。

数学知识点平面直角坐标系-word文档资料

数学知识点平面直角坐标系聪明出于勤奋，天才在于积累。

我们要振作精神，下苦功学习。

小编准备了数学知识点平面直角坐标系，希望能帮助到大家。

一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系：(1)在平面内两条有公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫横轴或轴，取向右的方向为正方向;铅直的数轴叫纵轴或轴，取向上的方向为正方向;两数轴的交点叫做坐标原点。

(2)建立了直角坐标系的平面叫坐标平面.x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图所示.说明：两条坐标轴不属于任何一个象限。

2.点的坐标：对于平面直角坐标系内任意一点P，过点P分别向x轴和y 轴作垂线，垂足在x轴，y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标，纵坐标，有序数对(a，b)叫做P的坐标。

3.点与有序实数对的关系：坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系。

常见考法(1)由点的位置确定点的坐标，由点的坐标确定点的位置;(2)求某些特殊点的坐标。

误区提醒(1)求点的坐标时，容易将横、纵坐标弄反，还容易忽略坐标符号;(2)思考问题不周，容易出现漏解。

(如点P到x轴的距离为1，这里点P的纵坐标应当是，而不是1)。

【典型例题】（2019江苏常州）点p(1,2)关于x轴的对称点p1的坐标是，点p(1,2)关于原点O的对称点P2的坐标是。

【解析】关于x轴的对称点的坐标是横坐标不变，纵坐标相反，关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标都要乘以-1，故本题应当填(1,-2),(-1,-2)。

上面就是为大家准备的数学知识点平面直角坐标系，希望同学们认真浏览，希望同学们在考试中取得优异成绩。

高中数学-选修4-4 1.1.1 平面直角坐标系

解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ， y
边AB所在的直线x轴，建立直角
C
坐标系，由已知，点A、B、F的
E
坐标分别为
c
A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ).
O (A)
F
Bx
设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为（
x 2
，y ）. 2
由b2 c2 5a2，可得到| AC |2 | AB |2 5 | BC |2 ，
W
500
B
O
450
1000
600 O
A
x
课后作业
思考: 一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸的时间比
在B处晚2s，已知A、B两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程。
F
Bx
数学运用
例3. 某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条
高速公路，但在A村北偏西300方向距A村500m处，
发现一古代文物遗址W。经过初步勘察，文物管理
部门将遗址W周围200m范围划为禁区，已知B地
位于A村的正西方向1km 处，试问：修建高速公路
和计划需要修改吗？
y
Cy
解决问题的关键：
确定遗址W与高速公路BC的相对位置.
平面直角坐标系
1、直角坐标系
1º数轴(直线坐标系)： 2º平面直角坐标系：任意 3º空间直角坐标系：点P
确定确定确定
实数x 有序实数对(x, y) 有序实数组(x, y, z)
建立坐标系目的是确定点的位置. 求出此点在该坐标系中的坐标.
数学运用
例1、选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点.

1.1 直角坐标系

第一章平面直角坐标系1.1 平面直角坐标系【知识精华点击】课标要求1. 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；2. 在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；3.掌握不同象限内的点、两坐标轴上的点、特殊位置的点的坐标特征，理解两点间的距离公式.本节重点是直角坐标系的有关概念、根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标以及点的坐标特征.难点：点的坐标特征的运用.教材详解1. 平面直角坐标系平面直角坐标系的概念是建立在数轴基础上的，在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，通常两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，水平的数轴向右为正叫做x轴（横轴），铅直的数轴向上为正叫做y轴（纵轴）。

x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点，建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面.说明：（1）x轴、y轴的长度单位“1”可以相同，也可以不同，其单位长度应根据需要规定.（2）由于x轴、y轴都是数轴，其上表示刻度的数后一律不带单位，如果两个坐标轴具有实际意义时，就在表示两轴的字母后面标注单位.2. 坐标平面的划分坐标平面由两条坐标轴和四个象限构成，如图1.1-1，可以看成坐标平面的六个区域；x轴，y轴，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。

说明：坐标轴上的点不属于任何一个象限.图1.1-1 图1.1-23. 点的坐标平面内的点的位置由它的坐标确定。

对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标.（1）平面内点的坐标是有序实数对，即表示点的坐标的两个实数是有顺序的，横坐标在前，纵坐标在后，位置不能颠倒，如图1.1-2中P点的坐标只能写成（a，b），而不能写成（b，a）；坐标平面内的点与有序实数对一一对应，即对于坐标平面内的任意一点P都有惟一的有序实数对（a，b）与它对应；对于任意一对有序实数（a，b）在坐标平面内都能找到惟一的点P与它对应.（2）根据坐标确定平面直角坐标系内的点：先在x轴上找到与横坐标对应的点，然后过该点作x轴的垂线；再在y轴上找到与纵坐标对应的点，然后过该点作y轴的垂线。