第4章 动量和角动量

τ
0
N
f
Mg
u
θ mg y x
∫ (Mg + mg + N + f )dt = Mv + m(v +u) −0 τ (1) x方向： ∫ fdt = −Mv + m(−v + u cosθ )— 方向： 方向 τ y方向： 方向： 方向 ∫ (N − Mg − mg)dt = musinθ —(2)
mv = ( M + m)u
m
m M
细绳张力始终垂直于其位移方向，不作功； 细绳张力始终垂直于其位移方向，不作功； 只有重力作功 机械能守恒！ 机械能守恒！ 1 ( m + M ) u 2 = ( m + M ) g l (1 − c o s α ) 2 入射物体的速度： 入射物体的速度：
N
dP F= dt
∑ F + ∑∑
i =1 i i =1 j ≠ i
N
N
dpi d N f ij = ∑ = ∑ pi dt i =1 iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=1 dt
N
质点系的动量定理： 质点系的动量定理：
∫ (∑ F )dt = ∑ p − ∑ p
tf ti i f i i i
i
或： I = ∑ I i = P f − P i
P = ∑ pi = 常矢量
i= i =1
N
注意
——质点系动量守恒定律 质点系动量守恒定律
1. 合外力沿某一方向为零；可得到该方向上的动量守恒。 合外力沿某一方向为零；可得到该方向上的动量守恒。 尽管总动量不守恒） （尽管总动量不守恒）
∑ p α = const.
i i
2. 在某些情况下，如碰撞、打击、爆炸等过程，外力 在某些情况下，如碰撞、打击、爆炸等过程， 与内力相比小很多。 与内力相比小很多。 在极短的时间内，外力的时间积累（冲量） 在极短的时间内，外力的时间积累（冲量）相比之 下可以忽略不计。 下可以忽略不计。 我们可以有近似的动量守恒。 我们可以有近似的动量守恒。 3. 动量定理只适用于惯性系 4. 在牛顿力学的理论体系中，动量守恒定律是牛顿定 在牛顿力学的理论体系中， 律的推论。 律的推论。 但动量守恒定律是更普遍、更基本的定律， 但动量守恒定律是更普遍、更基本的定律，它在宏观 和微观领域、低速和高速范围均适用。 和微观领域、低速和高速范围均适用。
2 m1 v = v1 m1 + m 2
' 2
2. 完全非弹性碰撞
以冲击摆为例： 以冲击摆为例： 通常用来测量高速运动物体的速度。 通常用来测量高速运动物体的速度。 碰撞后，两者一起运动， 碰撞后，两者一起运动，速度为 u v 碰撞前后，水平方向动量守恒： 碰撞前后，水平方向动量守恒：
l
v
α
M+m
但是： 碰撞”前后， 物体” 但是：“碰撞”前后，“物体”的性质是容易测量 的。 通常根据“碰撞”前后“物体” 通常根据“碰撞”前后“物体”性质的变化来研究 物体”间的相互作用性质。 “物体”间的相互作用性质。 如：高能粒子对撞机可用来 （1）产生新粒子 ）产生新粒子(BEP)， ， （2）研究粒子间的基本相互作用(LEP)。 ）
二、碰撞分类
1. 弹性碰撞
按照“碰撞”前后“物体”的性质分类 按照“碰撞”前后“物体” “碰撞”后的“物体”与“碰撞”前相同， 碰撞”后的“物体” 碰撞”前相同， 碰撞
且“物体”内部状态无变化。 物体”内部状态无变化。 宏观物体无形变，无发热等； 如：宏观物体无形变，无发热等； 微观粒子（有内部结构）的状态同碰撞前。 微观粒子（有内部结构）的状态同碰撞前。 特点： 碰撞 前后“物体”总能量保持不变。 特点： “碰撞”前后“物体”总能量保持不变。 碰撞” 宏观物体指动能，微观粒子指广义能量） （宏观物体指动能，微观粒子指广义能量）
牛顿定律是瞬时的规律。 牛顿定律是瞬时的规律。 但在有些问题中， 碰撞（宏观）、散射（ ）、散射 但在有些问题中， 如：碰撞（宏观）、散射（微 观）… 我们往往只关心过程中力的效果，即只关心始末 我们往往只关心过程中力的效果， 对过程的细节不感兴趣； 态间的关系 ，对过程的细节不感兴趣；而有些问题我 们甚至尚弄不清楚过程的细节。 们甚至尚弄不清楚过程的细节。 作为一个过程，我们关心的是力对时间和空间的积累 作为一个过程，我们关心的是力对时间和空间的积累 效应。 效应。 力在空间 上的积累 力在时间 上的积累 作功， 作功，改变动能 (1) 平动 冲量，改变动量 平动=>冲量， 冲量 (2) 转动 冲量矩，改变角动量 转动=>冲量矩， 冲量矩
i
∑∫
i
tf
ti
Fi dt = P f − P i
与单个质点的动量定理形式上相同。 与单个质点的动量定理形式上相同。
N N
∑ F + ∑∑
i =1 i i =1 j ≠ i
dpi d N fij = ∑ = ∑ pi dt i =1 i =1 dt
N
三、动量守恒定律
若（1）质点系所有质点不受外力； ）质点系所有质点不受外力； （2）质点系所受合外力为零， ）质点系所受合外力为零， 质点系总动量不随时间改变
解： 根据动量定理： (1) 根据动量定理：
30 0
F/N
4
7
t/s
F/N 30 0 4 7 t/s
二、质点系的动量定理
设有N个粒子， 设有 个粒子，外力 个粒子 内力（ 用 Fi ，内力（即粒子 之间的相互作用） 之间的相互作用）为 fi j 则第 i 粒子的运动方程
Pi i
·
fj i
Fi
·
fi j
2. 非弹性碰撞 “碰撞”后的“物体”与“碰撞”前不 碰撞”后的“物体” 碰撞” 碰撞 相同; 相同 物体”内部状态有变化。 或“物体”内部状态有变化。 如：宏观物体有形变，有发热等； 宏观物体有形变，有发热等； 微观粒子（有内部结构）的状态不同于碰撞前， 微观粒子（有内部结构）的状态不同于碰撞前， 或产生新的粒子 特点： 碰撞 前后“物体” 特点：“碰撞”前后“物体”总机械能不守 碰撞” 恒。 （对微观粒子指部分或全部机械能转化为内部 能量） 能量） 注意：力学部分的碰撞限于宏观物体的碰撞。 注意：力学部分的碰撞限于宏观物体的碰撞。
作用时间短， 作用时间短， 碰撞” 无相互作用； 特点： 碰撞 特点：“碰撞”前，无相互作用； 作用力复杂。 作用力复杂。 接近时发生相互作用； 接近时发生相互作用； 碰撞” 相互作用消失。 “碰撞”后，相互作用消失。碰撞前后为 自由运动状态 相互作用结果： 相互作用结果： 有可能结合在一起； 有可能结合在一起； 或产生新的成份（如粒子间的碰撞） 或产生新的成份（如粒子间的碰撞） 由于碰撞过程中（ ）相互作用强，（ ，（2） 由于碰撞过程中（1）相互作用强，（ ）力的形式 复杂，（ ）无法直接测量和记录碰撞过程。难以 复杂，（3）无法直接测量和记录碰撞过程。 ，（ 直接研究“碰撞” 直接研究“碰撞”。
M h
H
θ
N
(M+m)g
冲击过程后， 地球系统机械能守恒： 冲击过程后，m、M、地球系统机械能守恒：
解得： 解得：
M gH + m 2 gh sin θ 2 V = gH + ( ) M +m
[例4-4] 炮车的质量为 ，炮弹的质量为 。若炮车与 例 炮车的质量为M，炮弹的质量为m。 地面有摩擦，摩擦系数为µ 炮弹相对炮身的速度为u 地面有摩擦，摩擦系数为 , 炮弹相对炮身的速度为 ， 求炮身相对地面的反冲速度 v 。 解：选取炮车和炮弹组成系统 外力分析。 内、外力分析。 水平的动量守恒吗？ 运用质点系的动量定理： 运用质点系的动量定理：
F = ∑ Fi
i =1
N
合外力。 为质点系所受到的合外力 为质点系所受到的合外力。
依牛顿第三定律，因内力总是成对出现（ 依牛顿第三定律，因内力总是成对出现（ fi j 和 fj i ）
∑∑ f
i =1 j ≠ i
N
ij
=0
d N ∑ Fi = dt ∑ pi i =1 i =1
1 1 1 1 2 2 2 2 m 1 v1 + m 2 v 2 = m1v '1 + m2 v '2 2 2 2 2
v '1
(1)m1 > m2 , v '1 > 0, m1 仍向前运动； 仍向前运动； (2) m1 < m2 , v '1 < 0, m1 向后运动； 向后运动； (3) m1 = m2 , v '1 = 0, v '2 = v1 m1 , m 2 速度互换。 速度互换。
三、碰撞理论 讨论限于两个质点的弹性碰撞和完全非弹性碰撞
其它情况同学们自学！ 其它情况同学们自学！ 如图所示 1. 弹性碰撞 v1 由动量守恒守恒和总动能守恒： 由动量守恒守恒和总动能守恒：
v '2
m2
m1 v1 + m2 v 2 = m1 v '1 + m2 v '2
m1
v2
这是 弹性碰撞所应遵循的两个一般关系。 m 1 − m 2 弹性碰撞所应遵循的两个一般关系。 v1' = v1 m1 + m 2 对一维碰撞： 对一维碰撞：并设 v2 = 0.
[例4-3] 已知高 ，傾角为θ 的斜面光滑。小车质量 例 已知高H， 的斜面光滑。小车质量 M，从顶端滑至中点时刚好有一钢球 m 从 h 高度掉 ， 求小车到达底部时的速度V 入。求小车到达底部时的速度 ? m 解：m、M 系统，冲击过程 、 系统， 由于m与 间的冲击作用 由于 与M间的冲击作用 力远大于重力在斜面上的 分量， 分量，重力在冲击过程中 可以忽略， 可以忽略，斜面方向动量 守恒! 守恒