2022届山东省济南市高二第二学期数学期末达标检测试题含解析

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2022-2023学年山东省济南市历城二中数学高三第一学期期末达标检测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（） A ． B ．C ．D ．2．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,3,033O A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（） A ．22B 1121-C 521+D ．233．若函数12log ,01,()(1)(3),1,x x f x x x x x <⎧⎪=⎨⎪--->⎩函数()()g x f x kx =+只有1个零点，则k 的取值范围是（） A ．(1,0)-B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(,1)(0,)-∞-+∞D ．(0,1)4．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为（） A ．32-B ．32C ．23-D ．235．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的两支分别交于,A B 两点（A 在右支，B 在左支）若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A B C D 6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（）A ．y x =±B ．2y x =±C ． y =D ．y =7．已知非零向量a ，b 满足||a b |=|，则“22a b a b +=-”是“a b ⊥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解:8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=（）A ．31log 5+B ．6C ．4D ．59．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，SC =则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π10．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（）A ．8B ．4C ．2D ．111．下列命题中，真命题的个数为（） ①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0B ．1C ．2D ．312．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年山东省临沂市第十九中学高二上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年山东省临沂市第十九中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．曲线43y x x =-在点（1，－2）处的切线的倾斜角为（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】B【分析】根据导数的几何意义求解．【详解】因为343y x '=-，所以11x y ='=，故所求切线的倾斜角为4π．故选：B ．2．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是（） A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0 D ．2x ＋3y －1＝0【答案】A【分析】求出抛物线的焦点坐标和直线3x －2y ＋5＝0的斜率，由点斜式方程即可求出答案.【详解】因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为3122y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化为一般式，得6x －4y －3＝0. 故选：A.3．若等差数列{}n a 满足234a S +=，3512a S +=，则47a S +=（） A ．72 B ．36 C ．24 D ．20【答案】C【分析】由等差数列的性质转化2324a S a +=，3536a S a +=，求出2a 、3a 的值，利用等差中项的性质求出4a 的值，进而可得出4748a S a +=的值. 【详解】由等差中项的性质可得()1323223442a a a S a a ++=+==，得21a =，同理可得35336122a S a a +==⇒=，由等差中项的性质得3242a a a =+，43223a a a ∴=-=，因此，47444788324a S a a a +=+==⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查利用等差中项求值，考查计算能力，属于基础题.4．椭圆2212516x y +=上一点P 到左焦点F 的距离为6，若点M 满足()12OM OP OF =+，则OM =（）A ．6B ．4C ．2D ．52【答案】C【分析】根据222a c b -=求出左焦点F 的坐标，然后设P 的坐标00(,)P x y ，根据两点间的距离公式求出P 到左焦点的距离以及代入椭圆方程中解得P 的坐标，由1()2OM OP OF =+得到M 为PF 的中点，根据中点坐标公式求出M 的坐标，利用两点间的距离公式求出||OM 即可．【详解】解：由椭圆2212516x y +=得5a =，4b =，左焦点(3,0)F -，设00(,)P x y ，则()2200336x y ++=又220012516x y +=解得053x =或0553x =-（舍去）；又P 在椭圆上，则将053x =代入到椭圆方程中求出0y =所以点5(3P ，；由点M 满足1()2OM OP OF =+，则得M 为PF 中点，根据中点坐标公式求得2,3M ⎛- ⎝⎭，所以||(2OM =-= 故选：C【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，会利用两点间的距离公式及中点坐标公式、点到直线的距离公式化简求值，同时也考查学生掌握向量的运用法则及向量模的求法，属于中档题．5．已知曲线()()xf x x a e =+在点()()1,1f --处的切线与直线210x y +-=垂直，则实数a 的值为（）A ．2ae B ．12e+C ．e 2-D ．2e【答案】D【解析】求出函数的导数和在1-处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为1-可得答案.【详解】()()()1x x xf x e x a e x a e '=++=++，()11(1)f a e --=-，切线的斜率为()11f ae k -'-==，因为切线与直线210x y +-=垂直，所以()121ae --=-，解得2e a =. 故选：D.6．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为（）A ．23B ．34C ．12D 2【答案】A【分析】将AM 用,AB AC 表示，CN 用,AD AC 表示，再利用向量法求解即可. 【详解】解：在正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，π3BAC BAD CAD ∠=∠=∠=，因为M ，N 分别为BC ，AD 的中点，所以()11,22AM AB AC CN AN AC AD AC =+=-=-，且3AM CN == 则()1122AM CN AB AC AD AC ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭2111222AB AD AB AC AC AD AC ⎛⎫=⋅-⋅+⋅- ⎪⎝⎭11111124242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，所以2cos ,3AM CN AM CN AM CN⋅==，即直线AM 和CN 夹角的余弦值为23. 故选：A.7．已知过抛物线2:8C y x =的焦点F 且倾斜角为45︒的直线交C 于A ，B 两点，Q 为弦AB 的中点，P 为C 上一点，则||||PF PQ +的最小值为（） A ．53B ．8C ．112D ．5【答案】B【分析】根据给定条件，求出直线AB 的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求解作答.【详解】抛物线28y x =，焦点(2,0)F ，准线:2l x =-，直线AB 的方程为2y x =-，由228y x y x=-⎧⎨=⎩消去y 并整理得：21240x x -+=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212x x +=，弦AB 中点Q 的横坐标1262Q x x x +==，过点Q 作准线l 的垂线，垂足为点D ，如图，令QD 交抛物线于点P ，在抛物线上任取点P '，过P '作P D l ''⊥于点D ，连接,,P Q P F QD '''，即有,PF PD P F P D '==''，P F P Q P D P Q QD QD PD PQ PF PQ +=+≥≥=''''''+=+，当且仅当点P '与P 重合时取等号，所以||||PF PQ +的最小值为||(2)8Q QD x =--=. 故选：B8．已知数列{}n a 满足11a =，()*121n na a n =+∈N ＋，记数列11(2)(2)n n n a a a +⎧⎫+⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为n T ，若对于任意*n ∈N ，不等式n k T >恒成立，则实数k 的取值范围为（） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由已知得()1+112n n a a =+＋，根据等比数列的定义得数列{}+1n a 是首项为2，公比为2的等比数列，由此求得n a ，然后利用裂项求和法求得n T ，进而求得k 的取值范围. 【详解】解：依题意()1+112n n a a =+＋，当1n =时，11a =，则1+12a =，所以数列{}+1n a 是首项为2，公比为2的等比数列，+12n n a =，即21nn a =-，所以()()()()111+12112221212121n n n n n n n n a a a +++==-++++++，所以12231111111212121212121n n n T +=-+-++-++++++ 11113213n +=-<+，所以k 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C.二、多选题9．已知双曲线C ：2213x y-=，下列对双曲线C 判断正确的是（）A ．实轴长是虚轴长的2倍B ．焦距为4C D ．渐近线方程为0x =【答案】BD【分析】根据双曲线的标准方程求出a 、b 、c ，可以求出实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线方程，对四个选项一一验证即可.【详解】∵双曲线C ：2213x y -=∴23a =.21b =.∴2224c a b =+=∴2c =.∴双曲线的实轴长是2a =21b=，A 错误；焦距为24c =.B 正确；离心率为c a =C 错误：渐近线方程为y x =，D 正确. 故选：BD10．已知两圆方程为224x y +=与222(3)(4)(0)x y r r -++=>，则下列说法正确的是（） A ．若两圆外切，则3r =B ．若两圆公共弦所在的直线方程为3420x y --=，则=5rC ．若两圆的公共弦长为rD ．若两圆在交点处的切线互相垂直，则4r =【答案】AB【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设圆224x y +=为圆1C ，圆1C 的圆心为()10,0C ，半径12r =. 设圆222(3)(4)(0)x y r r -++=>为圆2C ，圆2C 的圆心为()23,4C -，半径1r r =.125C C =.A 选项，若两圆外切，则1212,52,3C C r r r r =+=+=，A 选项正确.B 选项，由()()22222434x y x y r⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩两式相减并化简得2293402r x y --+=，则22292,25,52r r r -=-==，此时2121123,7,37r r r r C C -=+=<<，满足两圆相交，B 选项正确.C 选项，由()()22222434x y x y r ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩两式相减并化简得2293402r x y --+=， ()10,0C 到直线2293402r x y --+=的距离为2229229510r r d --==，所以223,1d d -==，即22291,291010r r -=-=，则解得r =r C 选项错误. D 选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为D ，根据圆的几何性质可知12C D C D ⊥，所以2222212125421,r C D C C r r ==-=-=，D 选项错误. 故选：AB11．已知平面上一点()5,0M ，若直线上存在点P 使4PM =，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（） A ．1y x =+ B ．2y =C ．43y x =D ．21y x =+【答案】BC【分析】所给直线上的点到定点M 距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离来分析，分别求出定点M 到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于4，即可得出答案.【详解】所给直线上的点到定点M 距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离来分析．A ．因为4d ==，故直线上不存在点到M 距离等于4，不是“切割型直线”；B ．因为24d =<，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”；C ．因为4d ==，直线上存在一点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”；D ．因为4d ==>，故直线上不存在点到M 距离等于4，不是“切割型直线”．故选：BC.12．若直线3y x m =+是曲线()30y x x =>与曲线()260y x nx x =-+->的公切线，则（）A ．2m =-B ．1m =-C ．6n =D ．7n =【答案】AD【分析】设直线3y x m =+与曲线()30y x x =>相切于点()3,a a ，与曲线()260y x nx x =-+->相切于点(),3b b m +，再由导数为3求解.【详解】解：设直线3y x m =+与曲线()30y x x =>相切于点()3,a a ，与曲线()260y x nx x =-+->相切于点(),3b b m +，对于函数()30y x x =>，23y x '=，则()2330a a =>，解得1a =，所以313m =+，即2m =-.对于函数()260y x nx x =-+->，2'=-+y x n ，则()230b n b -+=>，又2632b nb b -+-=-，所以()232632b b b b -++-=-，又0b >，所以2b =，7n =. 故选：AD三、填空题13．已知椭圆2213x y +=的上顶点为A ，左顶点为B ，则直线AB 的斜率为___________.【分析】依题意可得a =1b =，即可得到上顶点A ，左顶点B 的坐标，即可求出AB 的斜率；【详解】解：因为椭圆方程为2213x y +=，所以23a =，21b =，即a =1b =，所以椭圆的上顶点为()0,1A ，左顶点为3,0B ，所以AB k =；14．各项均为正数的等比数列，若19563924a a a a a a ++=，则65a a +=___________. 【答案】2【解析】根据等比数列性质化简为()2564a a +=，开方即可.【详解】解：由各项均为正数的等比数列得()219563956252566224a a a a a a a a a a a a ++=++==+ 所以562a a +=. 故答案为：2【点睛】应用等比数列性质解题时的2个关注点：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅⋅=”，可以减少运算量，提高解题速度；（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.15．过点()4,3作圆22(2)1x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为__________. 【答案】2350x y +-=【分析】先求得切线长，然后结合圆与圆的位置关系求得正确答案. 【详解】圆22(2)1x y -+=的圆心为()2,0C ，半径1r =，设()4,3D ，CD =以D 为圆心，半径为()()224312x y -+-=，即2286130x y x y +--+=①，圆22(2)1x y -+=即22430x y x +-+=②，由①-②得直线AB 的方程为46100x y --+=，即2350x y +-=. 故答案为：2350x y +-=16．已知曲线C ：()3f x x ax a =-+，若过曲线C 外一点1,0A 引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a 的值为______．【答案】278【分析】设切点为()3,t t at a -+，由导数的几何意义求切线的斜率，根据倾斜角关系求a .【详解】设切点坐标为()3,t t at a -+．由题意，知()23f x x a '=-，切线的斜率为23k t a =-①，所以切线的方程为()()()323y t at a t a x t --+=--②．将点()1,0代入②式，得()()()3231t at a t a t --+=--，解得0=t 或32t =．分别将0=t 和32t =代入①式，得k a =-和274k a =-．由题意，得274a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，得278a =．故答案为：278.四、解答题17．直线l 经过两直线1l ：0x y +=和2l ：2320x y +-=的交点. (1)若直线l 与直线310x y +-=平行，求直线l 的方程； (2)若点()3,1A 到直线l 的距离为5，求直线l 的方程. 【答案】(1)340x y ++= (2)125340x y -+=或2x =-【分析】（1）求出交点坐标，设直线l 的方程为：30x y m ++=，代入交点即可求出；（2）当直线l 的斜率不存在时，符合条件，当l 斜率存在时，设直线l 的方程为：()22y k x -=+，利用点到直线的距离公式列方程求解.【详解】（1）直线1l 方程与2l 方程联立02320x y x y +=⎧⎨+-=⎩,得交点坐标为()2,2- 设直线l 的方程为：30x y m ++=，代入交点()2,2-得4m =，所以l 的方程为340x y ++=（2）当直线l 的斜率不存在时，得l 的方程为：2x =-，符合条件. 当l 斜率存在时，设直线l 的方程为：()22y k x -=+，根据5d ==，解得125k =，所以直线l 的方程为125340x y -+=. 综上所述，l 为125340x y -+=或2x =-18．已知函数3(),(1)2,(1)2f x ax ax b f f =-+=='． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,(1))f --处的切线方程．【答案】(1)3()2f x x x =-+； (2)240x y -+=.【分析】(1)对函数()f x 求导，利用给定条件列式计算即可得解.(2)利用(1)的结论求出切点坐标、切线斜率，再由直线的点斜式方程即可求出切线方程.. 【详解】（1）由3()f x ax ax b =-+求导得：2()3f x ax a '=-，又(1)2,(1)2f f =='，则222b a =⎧⎨=⎩，解得1,2a b ==，所以()f x 的解析式为3()2f x x x =-+.（2）由(1)得，2()31x f x '=-，则(1)2,(1)2f f -=-='，()f x 在(1,(1))f --处的切线方程为22(1)y x -=+，即240x y -+=，所以f (x )在(1,(1))f --处的切线方程是：240x y -+=. 19．已知数列{}n a 是等差数列，其中24a =，且459a a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设142n a n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)2n a n =；(2)144133n n n T n +=+-+.【分析】（1）利用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；（2）由（1）有1141n n n n b +=-+，应用分组求和、裂项相消法及等比数列前n 项和公式求n T . 【详解】（1）由题设，1114278a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，可得12a d ==，所以{}n a 的通项公式22(1)2na n n =+-=. （2）由（1）知：11144(1)1n n n n n n n b -+=+=++，所以12...n n T b b b =+++，令111111...22311n M n n n =-+-++-=++，24(14)4(41)44 (4143)n n n N --=+++==-，所以144133n n n T n +=+-+. 20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱2PA PD ==，PA PD ⊥，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==，O 为AD 的中点．（1）求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；（2）求B 点到平面PCD 的距离．【答案】（16（23 【解析】（1）利用面面垂直的性质定理可得PO ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量计算所求；（2）利用PB 在平面PCD 的法向量上的投影计算求解.【详解】解：（1）在PAD 中，PA PD =，O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥．又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ．在PAD 中，PA PD ⊥，2PA PD ==，所以2AD =．在直角梯形ABCD 中，O 为AD 的中点，所以1OA BC ==，所以OC AD ⊥．以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()()0,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0P A B C D --，所以()1,1,1PB =--．因为OA OP ⊥，OA OC ⊥，OP OC O ⋂=，所以OA ⊥平面POC ．所以()0,1,0OA =-为平面POC 的一个法向量，3cos ,3||PB OA PB OA PB OA ⋅〈〉==∣，所以PB 与平面POC 所成角的余弦值为63．（2）因为()1,1,1PB =--，()1,0,1CP =-，()0,1,1PD =-，设平面PCD 的一个法向量为(),,u x y z =，则00u CP x z u PD y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-=⎩．取1z =，得()1,1,1u =．则B 点到平面PCD 的距离33PB ud u ⋅==．【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，利用空间向量求线面角和点到平面的距离，求平面的法向量是关键点，易错点，利用向量在平面的法向量上的投影求点到平面的距离是常用的方法. 21．已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =-，其中*N n ∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n b n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*N n ∈且2n ≥，使得()()()2111n T n n n λ-≤-+成立，求实数λ的最小值．【答案】(1)123n n a -=⋅；(2)3.【分析】（1）根据给定前n 项和，利用n a 与n S 的关系求解作答.（2）利用错位相减法求出n T ，再借助数列单调性求出最小值作答.【详解】（1）依题意，当2n ≥时，111(31)(31)23n n n n n n a S S ---=-=---=⋅，而1112a S =-=满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是123n n a -=⋅.（2）由（1）知，1(21)3212n n n b a n n --==-⋅， 0121133353(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯，则有12313133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减得：231212(3333)(21)3n nn T n --=+++++--⨯13(13)12(21)3(22)3213n n n n n --=+⨯--⨯=--⨯--，于是得(1)31n n T n =-⋅+，*N n ∈且2n ≥，()()()2111n T n n n λ-≤-+23(1)n n n λ⋅⇔≥+，令23(1)n n c n n ⋅=+，2n ≥，则136331222n n c n c n n +==-≥>++，即1n n c c +>，当2n ≥时，数列{}n c 是递增数列，即min 2()3n c c ==，因此，3λ≥，所以实数λ的最小值是3.【点睛】方法点睛：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}·n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>C经过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）已知过点()4,0P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，与直线1x =交于点Q ，设AP PB λ=，(,)AQ QB μλμ=∈R ，求证：λμ+为定值．【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）证明见解析【解析】（Ⅰ）由离心率得c a =，由椭圆过一点．得221614a b +=，两者结合可解得,a b ，得椭圆方程；（Ⅱ）设直线l 方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入椭圆方程后可得1212,x x x x +，由AP PB λ=，AQ QB μ=，把,λμ用12,x x 表示，然后计算λμ+并代入1212,x x x x +即可得证．【详解】（Ⅰ）由题意2221614ab =⎨⎪+=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆方程为22142x y +=；（Ⅱ）易知直线l 斜率存在，设其方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22142(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消元y 整理得2222(12)163240k x k x k +-+-=， ∴21221612k x x k +=+，212232412k x x k -=+，把1x =代入(4)y k x =-得3y k =-，即(1,3)Q k -，由AP PB λ=，得124(4)x x λ-=-，1244x x λ-=-，由AQ QB μ=，得121(1)x x μ-=-，1211x x μ-=-， ∴11121222224125()841(4)(1)x x x x x x x x x x λμ---+++=+=----22222264880812120(4)(1)k k k k x x --+++==--， ∴λμ+为定值．【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得1212,x x x x +，把它代入题中需求的量化简可得结论．。

山东省济南市2024届高三下学期高考针对性训练(5月模拟)数学试题含答案

绝密★启用并使用完毕前高考针对性训练数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设12i2iz -=+，则z =（）A ．iB ．i-C ．4i 5+D ．4i 5-2．若sin cos αα-=，则tan α=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A ．5-B ．5C ．15D ．354．已知{}n a 是等比数列，且27844a a a a =-=-，则3a =（）A ．B ．C ．2-D ．2±5．某单位设置了a ，b ，c 三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c 档高，乙的工资比b 档高，丙领取的不是b 档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（）A ．a ，b ，cB ．b ，a ，cC ．a ，c ，bD ．b ，c ，a6．三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（）A B C ．18D ．367．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P在C 上，且2122PF PF a ⋅= ，PO = ，则C 的离心率为（）A B C ．3D ．28．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()yf x xf y xy x y -=-，则下列结论一定成立的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 有最小值D ．()f x 在[]0,1上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学投篮两次，第一次命中率为23．若第一次命中，则第二次命中率为34；若第一次未命中，则第二次命中率为12．记()1,2i A i =为第i 次命中，X 为命中次数，则（）A ．22()3P A =B ．4()3E X =C ．4()9D X =D ．123(|)4P A A =10．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ．若1a =，且()sin sin sin A b B c b C -=+，则（）A ．3sin 2A =B ．ABC △面积的最大值为34C ．3R =D ．BC 边上的高的最大值为611．已知函数()sin ln f x x x =⋅，则（）A ．曲线()y f x =在πx =处的切线斜率为ln πB ．方程()2024f x =有无数个实数根C ．曲线()y f x =上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于1eD ．2()2x y f x =-在()1,+∞上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为______．13．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，16AA =，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，则平面1MNC 截该四棱柱所得截面的周长为______．14．已知抛物线22x y =与圆()()22240x y rr +-=>相交于四个不同的点A ，B ，C ，D ，则r 的取值范围为______，四边形ABCD 面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y a bx =+和2y c dx =+哪一个适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；1221ˆni ii ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，52155i i x ==∑，541979ii x ==∑，51390i i y ==∑，511221i i i x y ==∑，5214607.9i i i x y ==∑16．（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ABC ⊥平面BCFE ，AF DE ⊥，45ABC CBF ∠=∠=︒，1AC AB >=．（1）求三棱台ABC DEF -的高；（2）若直线AC 与平面ABF 所成角的正弦值为155，求BC ．17．（本小题满分15分）已知函数()22xxf x a =+-，其中0a >且1a ≠．（1）若()f x 是偶函数，求a 的值；（2）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围．18．（本小题满分17分）已知点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，A 到E的两焦点的距离之和为．（1）求E 的方程；（2）过抛物线()2:1C y x m m =->上一动点P ，作E 的两条切线分别交C 于另外两点Q ，R ．（ⅰ）当P 为C 的顶点时，求直线QR 在y 轴上的截距（结果用含有m 的式子表示）；（ⅱ）是否存在m ，使得直线QR 总与E 相切．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设,y q ∈R ，*n ∈N ，记[]11n n q q-=++⋅⋅⋅+，[][][][]!11n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯，并规定[]0!1=．记1(,)()()()()n n q F x n x y x y x qy x q y -=+=++⋅⋅⋅+，并规定()0,0()1q F x x y =+=．定义[][][](,),0(,)11(),1,2,,kqn kq F x n k D F x n n n n k x y k n-=⎧⎪=⎨-⋅⋅⋅-++=⋅⋅⋅⎪⎩（1）若1y q ==，求(),2F x 和1(,2)q D F x ；（2）求[][]!(0,)!k qn k D F n n -；（3）证明：[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑．2024年5月济南市高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ABACBCDC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDADBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．21013．14．4)；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）2y c dx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：52211()115i i x x ===∑，511785i i y y ===∑，52215222221553905()4607.95317.9550.8537455()5()9795ˆ5i ii ii xy x ydx x ==-⨯-⨯⨯====⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，239055()0.8568.655ˆ5ˆcy d x =-⨯=-⨯=，所以，268.65ˆ0.85y x =+．（3）令6x =，268.650.85699.25ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为99.25亿元．另解（此种解法酌情给分）：（1）y a bx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：1234535x ++++==，511785i i y y ===∑，()()515222151221537851 5.13ˆ555105i ii i i x yx ybx x==-⨯-⨯⨯====-⨯-⨯∑∑，()78 5.1362.7ˆˆa y b x =-⨯=-⨯=，所以，7ˆ62. 5.1yx =+．（3）令6x =，62.7 5.1693.3ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为93.3亿元．16．【解析】解：（1）作FO BC ⊥于点O ，因为平面ABC ⊥平面BCFE ，所以FO ⊥平面ABC ，FO 即为三棱台ABC DEF -的高．又因为AB ⊂平面ABC ，所以FO AB ⊥．连接AO ，因为AB DE ∥，AF DE ⊥，所以AB AF ⊥，FO AF F = ，所以AB ⊥平面AFO ，又AO ⊂平面AFO ，所以AB AO ⊥．45ABC CBF ∠=∠=︒，1AB =．所以1AO =，BO FO ==ABC DEF -．（2）以O 为原点，在面ABC 内，作OG BC ⊥，以OG ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B，F，,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，FB =，设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =则022n FB n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()1,1,1n = ，设BC BO λ=，则22,022AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线AC 与平面ABF 所成角为α，15sin cos ,5AC n α===，化简得281890λλ-+=，解得32λ=或34λ=（舍去，因为AC AB >，所以1λ>），所以BC =．17．【解析】（1）由题意，()()11f f -=，即112222a a +-=+-，解得，12a =或2a =-（舍）又经检验，12a =时，()f x 是偶函数．所以，a 的值为12．（2）当12a =时，0x ∀>，1()22202x xf x ⎛⎫=+->= ⎪⎝⎭成立；当12a >且1a ≠时，0x ∀>，1()22222xx x xf x a ⎛⎫=+->+- ⎪⎝⎭，又12202xx⎛⎫+-> ⎪⎝⎭已证，故此时符合题意；当102a <<时，()ln 2ln 2x xf x a a '=+，易知，此时()f x '在R 上单调递增，且(0)ln(2)0f a =<'．故存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，从而()f x 单调递减，所以，存在02x >，使得0(0)02x f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故此时不合题意．综上所述，12a ≥且1a ≠．18．【解析】（1）由题意2a =，得a =又21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在E 上，得221112a b +=，从而1b =．故E 的方程为2212x y +=．（2）（ⅰ）当P 为C 的顶点时，()0,P m ，不妨设R 在第一象限，直线PR 的方程为y kx m =-，联立E 的方程为2212x y +=可得222(21)4220k x kmx m +-+-=．由22222Δ(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m =-+-=-+=可得2221k m +=．联立直线PR 的方程y kx m =-与抛物线2:C y x m =-的方程可得x k =，则R 点的纵坐标为22212122R m m m y k m m ---=-=-=，由对称性知2212Q m m y --=，故直线QR 在y 轴上的截距为2212m m --．（ⅱ）要使（2）中的直线QR 与E 相切，必有22112m m b --==，即2230m m --=，解得3m =或1-（舍去）．设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,R x y ，则2113y x =-，2223y x =-，2333y x =-．直线PQ 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，即1212()3y x x x x x =+--．联立椭圆方程2212x y +=可得222121212122()14()(3)2(3)20x x x x x x x x x x ⎡⎤++-++++-=⎣⎦．由[]22212121212Δ4()(3)42()12(3)2x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-+++-⎣⎦⎣⎦22221212128(2228)0x x x x x x =+---=可得222212*********x x x x x x +---=，即121212250x x y y y y ++++=．同理可得131313250x x y y y y ++++=．因为直线1112(1)50x x y y y ++++=同时经过点QR ，所以QR 的直线方程为1112(1)50x x y y y ++++=．联立椭圆方程2212x y +=可得222111118(1)8(5)16480x y x x y x y ⎡⎤++++++=⎣⎦，于是[]2222211111111Δ8(5)48(1)(1648)64(1)(3)0x y x y y y x y ⎡⎤=+-+++=+--=⎣⎦．故直线QR 与椭圆相切，因此3m =符合题意．19．【解析】（1）若1y q ==，222(,2)()()(1)(1)F x x y x qy x q xy y x =++=+++=+，而[]11(,2)2()(1)()2(1)q q D F x x y q x y x =+=++=+．（2）当0k =时，[][](1)2!(0,)(0,)(0,)!n n k n q q n k D F n D F n F n q y n --===．当0k ≠时，由[][][](0,)11(0)kn kq qD F n n n k y -=-⋅⋅⋅++[][][][][]()(1)()(1)/22!11!n k n k n k n k n kn k n n n n k qyqy n k --------=-⋅⋅⋅-+=-，可得[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=．因此[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=，0,1,2,,k n = ．（3）要证[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑，只需证[][][][][]1()(1)/2(1)/200!!()()()![]!!!nnn n k n k n k kk k n k k k k n n x y x qy x qy q y x q x y n k k n k k -------==++⋅⋅⋅+==--∑∑．令1()()()()nn k k k G y x y x qy x q y a y -==++⋅⋅⋅+=∑，一方面，110101()()()()n nkkk k k n n k k k n k k x y G qy x y a q y xa xq a q a y a q y -+-==+=+=+++∑∑，另一方面，10101()()()()n nnnkn k n n k k k n k k x q y G y x q y a y xa xa q a y a q y +-==+=+=+++∑∑，当1q ≠且0x ≠时，由于()()()()nx y G qy x q y G y +=+，比较两式中ky 的系数可得111k k n k k k k xq a q a xa q a ---+=+，则[]1111(1)[]k n k k kk q n k a q q a x q x k ----+-==-⋅，由0na x =可知[][][](1)1120120!!!k k n k k k k k k n a a a a a q x a a a n k k -----=⋅⋅⋅⋅⋅=-．当1q =时，由[]11n n q qn -=++⋅⋅⋅+=，[]!!n n =可知()[][]00!C ![]!nn nn k k k n k kn k k n x y y x yx n k k --==+==-∑∑，此时命题也成立．当0x =时，[](1)/2(0,)(,)(0,)!k nq n n nk qk D F n F x n qy D F n x k -====∑也成立．综上所述，()()[]00,,!knq k k D F n F x n x k ==∑．。

山东省济南市第二高级中学2022年高二数学理月考试题含解析

山东省济南市第二高级中学2022年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线的斜率为A. B. C. D.参考答案：A2. 图中的图象所表示的函数解析式是（）A. B.C. D.参考答案：B3. 买4枝郁金香和5枝丁香的金额小于22元，而买6枝郁金香和3枝丁香的金额和大于24元，那么买2枝郁金香和买3枝丁香的金额比较，其结果是（）A．前者贵 B．后者贵 C．一样 D．不能确定参考答案：A 解析：设郁金香x元／枝，丁香y元／枝，则，∴由不等式的可加（减）性，得x>3，y<2，∴2x>6,3y<6，故前者贵。

4. 下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件②若、为两个事件，则③若事件两两互斥，则④若事件满足则是对立事件.其中错误命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3参考答案：D5. 设表示三条直线，、表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是 ( )A.⊥，若⊥，则∥；B.β，是在内的射影，若⊥，则⊥；C.β，若⊥则⊥；D.，，若∥，则∥；参考答案：C略6. 正方体AC1中，点P、Q分别为棱A1B1、DD1的中点，则PQ与AC1所成的角为( )A．30o B．45o C．60o D．90o参考答案：D略7. 用“辗转相除法”求得333和481的最大公约数是（）A．3 B．9 C．37 D．51参考答案：C【考点】用辗转相除计算最大公约数．【专题】转化思想；算法和程序框图．【分析】利用“辗转相除法”即可得出．【解答】解：481=333×1+148，333=148×2+37，148=37×4．∴333和481的最大公约数是37．故选：C．【点评】本题考查了“辗转相除法”，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8. 已知椭圆，则椭圆的焦距长为（）(A). 1 (B). 2 (C). (D). 参考答案：D略9. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5 B．C．D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∴，即b=2a，∴，∴离心率e=．故选：D．10. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（）A．AC⊥BF B．直线AE、BF所成的角为定值C．EF∥平面ABC D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【分析】通过直线AC垂直平面平面BB1D1D，判断A是正确的；通过直线EF垂直于直线AB1，AD1，判断A1C⊥平面AEF是正确的；计算三角形BEF 的面积和A到平面BEF的距离是定值，说明C是正确的；只需找出两个特殊位置，即可判断D是不正确的；综合可得答案．【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，又BE?平面BB1D1D，∴AC⊥BE，故A正确；∵当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠OEB，当E在上底面的中心时，F在C1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠OE1B，显然两个角不相等，B不正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故C正确；∵由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF的距离为，故V A ﹣BEF为定值．D正确；故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知＝2，＝3，＝4…，若＝6，(a，t为互质的正整数)，由以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.参考答案：41根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为，所以当n＝6时，，.12. 若直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则的最小值为．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．【专题】计算题．【分析】由题意可知圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣8=0的圆心（2，1）在直线ax+2by ﹣2=0上，可得a+b=1，而=（）（a+b），展开利用基本不等式可求最小值【解答】解：由圆的性质可知，直线ax+2by ﹣2=0即是圆的直径所在的直线方程∵圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=13，∴圆心（2，1）在直线ax+2by﹣2=0上∴2a+2b﹣2=0即a+b=1∵=（）（a+b）==3+2∴的最小值故答案为：【点评】本题主要考查了圆的性质的应用，利用基本不等式求解最值的问题，解题的关键技巧在于“1”的基本代换13. 用等值算法求294和84的最大公约数时，需要做次减法.参考答案：414. 设，将个数依次放入编号为的个位置，得到排列．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列，将此操作称为变换．将分成两段，每段个数，并对每段作变换，得到；当时，将分成段，每段个数，并对每段作变换，得到．例如，当时，，此时位于中的第4个位置．（1）当时，位于中的第个位置；（2）当时，位于中的第个位置．参考答案：（1）6；（2）15. 已知直线曲线相切则 .参考答案：16. 已知 -3+2 i是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，（p、q∈R），则p+q=________;参考答案：3817. 一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的3个人中恰有1人被治愈的概率为__________（用数字作答）．参考答案：0.027恰有人被治愈的概率．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

山东省青岛第二中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题

山东省青岛第二中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合{N |16}A x x =∈<<，{}2|log (1)2B x x =-<，则A B =I （） A ．{|16}x x << B ．{|15}x x << C ．{3,4,5}D ．{2,3,4}2．已知复数z 满足()()1i i 3i z --=+（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（） A ．12i --B ．12i -+C ．1i --D ．1i -+3．函数()2()ln 23f x x x =--的单调递减区间是（）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()3,+∞4．在ABC V 中，已知D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，若AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则实数λμ+=（）A ．14B ．12C ．34D ．15．设直线l 被圆C ：22240x y x y +--=所截得弦AB 的中点为()2,1M ，则直线l 的方程为（）A ．30x y ++=B ．30x y -+=C ．30x y +-=D ．10x y --=6．南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm ，则该杯盏的高度为（）A ．23cm 6B ．13cm 4C ．11cm 3 D ．7cm 27．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列说法中正确的有（）①若3692S S S +=，则q =②4S ，84S S -，128S S -成等比数列； ③若12n n S a -=+，则1a =-；④若{}n a 有偶数项，11a =，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则{}n a 有10项． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时()'f x π>，则不等式()sin f x x π≤在[]3,3-上的解集为（） A ．[][]2,02,3-⋃ B ．[]1,3- C ．[]1,2-D ．[][]3,20,2--⋃二、多选题9．在某影评网站上随机选取六位专业影评人给《流浪地球2》的评分，得到一组样本数据如下：9.1，9.2，9.4，9.4，9.6，9.7，则下列关于该样本的说法中正确的有（） A ．极差为0.6 B ．均值为9.4C ．方差为0.026D ．第80百分位数为9.610．在11x⎛+ ⎝的展开式中，下列结论正确的是（）A ．第7项和第8项的二项式系数相等B ．奇数项的二项式系数和为1024C ．含1x项的系数为165D ．展开式中不含常数项11．某地工业化工厂排风扇发生故障，在抢修人员到来前测得工厂内部空气中有毒物质含量达到了危险状态．经过抢修人员的抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得工厂内的有毒物质浓度为128ppm ，继续排气4分钟后又测得浓度为64ppm ．由检验知该工厂内有毒物质浓度y （单位：ppm ）与排气时间t （单位：分）之间满足函数关系()y f t =，其中()()f t R f t ='（R 为常数）．当有毒物质浓度不高于0.5ppm 时称空气质量为合格等次，则下列说法正确的是（）A ．0.25e R =B ．4ln 2R =-C ．排气32分钟后，工厂内部空气质量为合格等次D ．排气36分钟后，工厂内部空气质量为合格等次12．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，以正方体中心O 为球心的球与正方体的各条棱都相切，点P 为球面上的动点，则下列说法正确的是（）A ．球O 的半径R =B ．球O 1-C ．若点P 在球O 的正方体外部（含正方体表面）运动，则13,44PA PB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r D ．若点P 在球O 的正方体外部（含正方体表面）运动，则17,44PA PB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r三、填空题13．2022年10月梦天实验舱发射，标志着中国空间站三舱“T”字的基本构型完成.除了梦天实验舱外，中国空间站的基本构型还包括天和核心舱和问天实验舱．假设要安排3名中国航天员和2名国际航天员前往中国空间站开展实验，每个舱段必须安排至少一人，天和核心舱需要安排3人，且两名国际航天员不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有种． 14．已知一个各侧面均为全等的等腰梯形的正四棱台，其上下底面面积之比为1:4，一个侧面的面积为15．已知,1a x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，()23cos ,cos b x x =r ，0ω>，()f x a b =⋅r r ，1x ，2x 满足()()1212f x f x ωω==，且12min πx x -=，则ω=． 16．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且213PF PF =，12PF F △的内切圆圆心为I ，与12F F 切于点A ，直线PI 交x 轴于点Q ，若1294FQ AF =u u u r u u u u r，则双曲线的离心率为．四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足312n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记1n n n b a S +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c tan tan B C =+．(1)求角C 的值；(2)若c =D 为AB 的中点，求中线CD 的范围．19．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AC 与BD 交于点O ，点E 在线段SD 上，且//OE 平面SAB ，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD ．(1)求证：SE DE =；(2)若2SA AD ==，且平面ABE 与平面BEC ，求AB 的值． 20．目前新冠病毒依然危害着人民的生命健康，国家大力研发新冠疫苗，普及接种来降低新冠病毒对人民的危害程度.现有A ，B ，C ，D 四种成熟疫苗且每种都供应充足，某社区组织居民接种新冠疫苗，前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有A ，B ，C ，D 四种号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，社区李医生接种A 种疫苗后，再为居民们接种，记第n 位居民（不包含李医生）接种A ，B ，C ，D 四种疫苗的概率分别为()n P A ，()n P B ，()n P C ，()n P D ． (1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；(2)李医生认为，一段时间后接种A ，B ，C ，D 四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种A ，B ，C ，D 四种的概率，解释李医生观点的合理性．参考数据：1051 1.7103-⎛⎫-≈⨯ ⎪⎝⎭21．已知函数()()211ln 12f x x x ax =+-+-，(1)若2x =是()f x 的极值点，求()f x 在区间3,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值；(2)若方程()2131022f x ax ax a -+-+=有两个不同的根1x ，2x ．（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）若112e x x λ-<恒成立，求实数λ的取值范围．22．已知定点()2,0F -，关于原点O 对称的动点P ，Q 到定直线l ：8x =-的距离分别为P d ，Q d ，且||||P QPF QF d d λ==，记P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程，并说明C 是什么曲线； (2)当12λ=时，过点F 的两条互相垂直的直线与曲线C 分别交于A ，B ，C ，D 两点，弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 过定点；(3)在（2）条件下，当M ，N ，F 三点可构成三角形时，求MNF S V 的取值范围．。

2022年山东省济宁市喻屯第二中学高二数学理下学期期末试题含解析

2022年山东省济宁市喻屯第二中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 命题“对任意的”的否定是（）A．不存在 B．存在C．存在 D．对任意的参考答案：C2. 把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则P（B|A）等于（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题．【分析】本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是，代入条件概率的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是，∴P（B|A）=故选A．【点评】本题考查条件概率，本题解题的关键是看出事件AB同时发生的概率，正确使用条件概率的公式．3. 已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线的方程为A. B.C. D.参考答案：A略4. 已知三边满足，且，则的值为（）A．4 B． C．3 D．参考答案：A5. 点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（）A．B. C. D.参考答案：B6. 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作x轴的垂线，交椭圆于A，B两点.若等边的周长为，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.参考答案：A由题意可得等边的边长为，则，由椭圆的定义可得，即，由，即有，则，则椭圆的方程为，故选A．7. 用演绎法证明函数是增函数时的小前提是A．函数满足增函数的定义B．增函数的定义C．若，则D．若，则参考答案：A8. 已知f（x）是定义在区间（0，+∞）上的函数，其导函数为f'（x），且不等式xf'（x）＜2f （x）恒成立，则（）A．4f（1）＜f（2）B．4f（1）＞f（2）C．f（1）＜4f（2）D．f（1）＜2f'（2）参考答案：B【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】令g（x）=，（x＞0），求出函数的导数，得到函数的单调性，求出g（1）＞g （2），从而求出答案．【解答】解：令g（x）=，（x＞0），则g′（x）=，∵不等式xf'（x）＜2f（x）恒成立，∴xf'（x）﹣2f（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）递减，故g（1）＞g（2），故4f（1）＞f（2），故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．9. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为A. B. C. D.参考答案：C10. 若方程Ax+By+C=0表示与两条坐标轴都相交的直线，则（）．A．B．C．D．参考答案：B∵方程表示与两条坐标轴都相交的直线，∴直线的斜率存在且不等于，∴且．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知xy>0，x≠y，则x4+6x2y2+y4与4xy(x2+y2)的大小关系是______________．参考答案：x4+6x2y2+y4>4xy(x2+y2)解析：x4+6x2y2+y4－4xy(x2+y2)＝（x-y）4>012. 已知数列{a n}满足a n a n+1=（﹣1）n（n∈N*），a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，则S2015= ．参考答案：﹣1【考点】数列递推式．【分析】由数列{a n }满足，a 1=1，可得a 4k ﹣3=1，a 4k ﹣2=﹣1，a 4k ﹣1=﹣1，a 4k =1，k∈N *．即可得出．【解答】解：∵数列{a n }满足，a 1=1，∴a 2=﹣1，a 3=﹣1，a 4=1，a 5=1…，∴a 4k ﹣3=1，a 4k ﹣2=﹣1，a 4k ﹣1=﹣1，a 4k =1，k∈N *．即数列各项的值呈周期性出现 ∴S 2015=503×（1﹣1﹣1+1）+（1﹣1﹣1）=﹣1．故答案为：﹣1．13. 不等式组所表示的平面区域的面积为．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】利用二元一次不等式组的定义作出对应的图象，找出对应的平面区域，结合相应的面积公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则由得，即A （0，），由得，即B （0，3），由得，即C （1，1），则三角形的面积S=|AB|?h=（3﹣）×1==，故答案为：【点评】本题主要考查一元二次不等式组表示平面区域，利用数形结合是解决本题的关键．14. 如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水。

2021-2022学年山东省济南市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省济南市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知空间向量()1,,2a m m =+-，()2,1,4b =-，且a b ⊥，则m 的值为（） A ．103-B ．10-C ．10D ．103【答案】B【分析】根据向量垂直得2(1)80m m -++-=，即可求出m 的值. 【详解】,2(1)8010a b m m m ⊥∴-++-=⇒=-. 故选：B. 2．抛物线214x y =的准线方程为（） A ．1x =- B ．116x =-C ．1y =-D ．116y =-【答案】D 【解析】求出1216p =，即得抛物线214x y =的准线方程. 【详解】因为124p =，所以1216p =，故准线方程为116y =-．故选：D310+=的倾斜角为（） A ．3π B ．23π C ．6πD ．56π 【答案】C【分析】将直线方程转化为斜截式，进而可得倾斜角.【详解】10+=，即y =，所以倾斜角α满足tan α=，[)0,απ∈，所以6πα=，故选：C.4．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比2q ，且满足2616a a =，则5a =（）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】A【分析】根据{}n a 是等比数列，则通项为11n n a a q -=，然后根据条件可解出112a =，进而求得58a =【详解】由{}n a 为等比数列，不妨设首项为1a由2616a a =，可得：26261216a a a =⋅=又0n a >，则有：112a = 则451282a =⨯=故选：A5．如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，2CQ QB =，P 为线段OA 的中点，则PQ 等于（）A ．112233a b c ++B ．112233a b c --C ．112233a b c -++D ．121233a b c -++【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算求解．【详解】由已知2132PQ OC CQ OP c CB OA =+-=+-2121()()3232c OB OC a c b c a=+--=+--121233a b c =-++，故选：D ．6．若圆()()22235x y r -++=上至少有三个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是（） A ．()6,+∞ B ．[)6,+∞C ．(]4,6D ．[]4,6【答案】B【分析】先求出圆心()3,5-到直线4320x y --=的距离为5，由此可知当圆的半径为516r =+=时，圆上恰有三点到直线4320x y --=的距离为1，当圆的半径516r >+= 时，圆上恰有四个点到直线4320x y --=的距离为1，故半径r 的取值范围是51=6r ≥+，即可求出答案.【详解】由已知条件得()()22235x y r -++=的圆心坐标为()3,5-，圆心()3,5-到直线4320x y --=为()2243352543d ⨯-⨯--==+，∵圆()()22235x y r -++=上至少有三个点到直线4320x y --=的距离为1， ∴圆的半径的取值范围是51r ≥+，即6r ≥，即半径r 的取值范围是[)6,+∞. 故选：B .7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且213PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（） A ．(]1,4 B ．[)4,+∞ C ．(]1,2 D ．[)2,+∞【答案】C【分析】根据双曲线的定义求得2PF ，利用2PF c a ≥-可得离心率范围．【详解】因为122PF PF a -=，又213PF PF =，所以13PF a =，2PF a =，又2PF c a ≥-，即a c a ≥-，2ca≤，所以离心率(1,2]e ∈．故选：C ．8．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME —7）的会徽图案，其主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知1122334455667782OA A A A A A A A A A A A A A A ========⋅⋅⋅=，1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{}n a ，令22n n b a =-，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则99S =（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B【分析】由题意可得n OA 的边长，进而可得周长n a 及n b ，进而可得n S ，可得解. 【详解】由1122334455667782OA A A A A A A A A A A A A A A ========⋅⋅⋅=，可得2OA =3OA =⋅⋅⋅，n OA =所以112n n n n n a OA OA A A ++=++=， 22n n b a ===-所以前n 项和12213211n n S b b b n n n =+++=-+-+++-=+，所以9919S =，故选：B. 二、多选题9．已知椭圆221169x y +=与椭圆()22190169x y t t t +=-<<++，则下列说法错误的是（）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【答案】ABC【分析】分别求出这两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，比较即可得到答案.【详解】由已知条件得椭圆221169x y +=中，4a =，3b =，c =则该椭圆的长轴长为28a =，短轴长为26b =，离心率为c e a ==，焦距为2c =椭圆()22190169x y t t t+=-<<++中，焦点在x 轴上，a b =c =.故选：ABC .10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（）A ．若2111n S n n =-+，则212n a n =-B ．若()2,n S pn qn p q =+∈R ，则{}n a 是等差数列C ．若数列{}n a 为等差数列，10a >，69S S =，则78S S >D ．若数列{}n a 为等差数列，150S >，160S <，则8n =时，n S 最大【答案】BD【分析】根据等差数列的性质，逐项分析即可得到结果.【详解】由于2111n S n n =-+，当1n =时，211111119a S ==-⨯+=-，若212n a n =-，则当1n =时，1211210a =⨯-=-，又091-≠-，故A 错误；因为()2,n S pn qn p q =+∈R ，当1n =时，11a S p q ==+；当2n ≥且*n N ∈时，()()()221112n n n a S S pn qn p n q n pn q p -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦，当1n =时，上式亦满足，所以2n a pn q p =-+；所以()()()*12122,n n a a p n q p pn q p p n +-=+-+--+=∈⎡⎤⎣⎦N ，所以{}n a 是首项为p q +，公差为2p 的等差数列；故B 正确；若数列{}n a 为等差数列，10a >，69S S =，则96789830S S a a a a -=++==，即80a =，所以78S S =，故C 错误；若数列{}n a 为等差数列，150S >，160S <，所以()115158151205S a a a+==>⨯，()()()1161168916160882a a a a a a S +⨯==++<=，所以80a >，890a a +<，即80a >，90a <，设等差数列{}n a 的公差为d ，所以980d a a =-<，所以等差数列{}n a 是递减数列，所以在等差数列{}n a 中，当8n ≤且*n N ∈时0n a >，当9n ≥且*n N ∈时0n a <，所以8n =时，n S 最大，故D 正确. 故选：BD.11．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个顶点A ，B 距离之比是常数()0,1λλλ>≠的点M 的轨迹是圆.若两定点()2,0A -，()2,0B ，动点M 满足MA =，则下列说法正确的是（）A ．点M 的轨迹围成区域的面积为32πB ．ABM 面积的最大值为C ．点M 到直线40x y -+=距离的最大值为D ．若圆()()222:11C x y r ++-=上存在满足条件的点M ，则半径r 的取值范围为【答案】ABD【分析】根据直接法求点M 的轨迹方程，再根据直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系分别判断各选项.【详解】由题意，设点(),M x y ，又2MA MB =，所以()()2222222x y x y ++=⋅-+，化简可得()22632x y -+=，所以点M 的轨迹为以点()6,0N 为圆心，42为半径的圆，所以点M 的轨迹围成的区域面积为32π，A 选项正确；又点(),M x y 满足42,42y ⎡⎤∈-⎣⎦，所以(10,822ABMSAB y ⎤=⋅∈⎦，B 选项正确；点()6,0N 到直线40x y -+=的距离()22604524211d -+==>+-，所以直线与圆相离，所以点M 到直线40x y -+=距离的最大值为524292+=，C 选项错误；由D 选项可知圆C 与圆N 有公共点，所以4242r CN r -≤≤+，且()()22610152CN =++-=，即425242r r -≤≤+，所以292r ≤≤，D 选项正确；故选：ABD.12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为侧面11BCC B 的中心，F 是棱11C D 的中点，若点P 为线段1BD 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．PE 的长最小值为12B ．PE PF ⋅的最小值为148-C ．若12BP PD =，则平面PAC 截正方体所得截面的面积为98D ．若正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，则θ的值可以是23π 【答案】BCD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设1(,,)BP BD λλλλ==--，(01)λ≤≤，得(1,1,)P λλλ--，然后用空间向量法求得PE ，判断A ，求得数量积PE PF ⋅计算最小值判断B ，由线面平行得线线平行，确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积，判断C ，结合正方体的对称性，利用1BD 是正方体的外接球直径判断D ．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为1，则11(,1,)22E ，(1,1,0)B ，1(0,0,1)D ，1(0,,1)2F ，1(1,1,1)BD =--，设1(,,)BP BD λλλλ==--，(01)λ≤≤，所以(1,1,)P λλλ--，11(,,)22PE λλλ=--，(PE λ==13λ=时，min PE =，A 错；1(1,,1)2PF λλλ=---，111()(1)()()(1)222PE PF λλλλλλ⋅=--+-+--2713()1248λ=--，所以712λ=时，min 1()48PE PF ⋅=-，B 正确；12BP PD =，则P 是1BD 上靠近1D 的三等分点，112(,,)333P ，取AC 上靠近C 的三等分点G ，则12(,,0)33G ，12(0,,)33PG =-，显然PG 与平面11CDD C 的法向量(1,0,0)垂直，因此//PG 平面11CDD C ，所以截面PAC 与平面11CDD C 的交线与PG 平行，作//CM PG 交11C D 于点M ，设(0,,1)M k ，则(0,1,1)CM k =-，由//CM PG 得21(1)33k --=，解得12k =，则M 与F 重合，因此取11A D 中点N ，易得//NF AC ，截面为ACFN ，它是等腰梯形，2AC =，22NF =，52AN CF ==，梯形的高为22225222h ⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭324=，截面面积为12329(2)2248S =+⨯=，C 正确；(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，1(1,1,1)B ，(1,1,0)AC =-，1(1,1,1)BD =--，11100AC BD ⋅=-+=，1AC BD ⊥，同理11AB BD ⊥，所以1BD 是平面1ACB 的一个法向量，即1BD ⊥平面1ACB ，设垂足为1O ，则111123AO C CO B B OA π∠=∠=∠=，1BD 是正方体的外接球的直径，因此正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，至少旋转23π．D 正确．故选：BCD ．三、填空题13．已知直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行，则实数m 的值为___________. 【答案】1-【分析】根据直线平行的充要条件即可求出实数m 的值. 【详解】由直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行，得()()132012620m m m m ⎧⨯--=⎪⎨⨯--≠⎪⎩，即1m =-. 故答案为：1-.14．已知等差数列{}n a 的公差为1，且3a 是2a 和6a 的等比中项，则{}n a 前10项的和为___________. 【答案】40【分析】利用等比中项及等差数列通项公式求出首项1a ，再利用等差数列的前n 项和公式求出{}n a 前10项的和.【详解】设等差数列的首项为1a ，由已知条件得2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++，()()()2111215a a a +=++，解得112a =-，则10110910402S a d ⨯=+=. 故答案为：40.15．如图，把正方形纸片ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，则折纸后异面直线AB ，CD 所成的角为___________.【答案】π630° 【分析】过点E 作CE ∥AB ，且使得CE =AB ，则四边形ABEC 是平行四边形，进而DEC ∠（或其补角）是所求角，算出答案即可.【详解】过点E 作CE ∥AB ，且使得CE =AB ，则四边形ABEC 是平行四边形，设所求角为02πθθ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，于是cos |cos |DEC θ=∠.设原正方形ABCD 边长为2，取AC 的中点O ，连接DO ,BO ，则2BO DO =,BO AC DO AC ⊥⊥，而平面ACD ⊥平面ABC ，且交于AC ，所以DO ⊥平面ABEC ，则DO OE ⊥.易得，22BE AC ==//BE AC ，而,BO AC ⊥则.BO BE ⊥于是，2210OE BO BE =+=2223DE DO OE +=在DCE 中，2DC CE ==，取DE 的中点F ，则CF DE ⊥，所以3cos FE DEC CE ∠==即3cos θ6πθ=.故答案为：6π.16．抛物线的聚焦特点：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面，根据光路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处.已知抛物线()220y px p =>，一条平行于抛物线对称轴的光线从点()3,1A 向左发出，先经抛物线反射，再经直线3y x =-反射后，恰好经过点A ，则该抛物线的标准方程为___________. 【答案】216y x =【分析】根据抛物线的聚焦特点，()3,1A 经过抛物线后经过抛物线焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，再经直线3y x =-反射后经过点A ，则根据反射特点，列出相关方程，解出方程即可.【详解】设光线与抛物线的交点为B ，抛物线的焦点为F ，则可得：1,12B p ⎛⎫⎪⎝⎭抛物线的焦点为：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭则直线BF 的方程为：11222p y x p p ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭设直线BF 与直线3y x =-的交点为M ，则有： 112223p y x p p y x ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪=-⎪⎪⎝⎭⎨ ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩解得：2222436,2121p p p M p p p p ⎛⎫-- ⎪+-+-⎝⎭则过点M 且垂直于3y x =-的直线的方程为： 222222436563212121p p p p p y x x p p p p p p ----=-++=-++-+-+-根据题意可知：点()3,1A 关于直线2256321p p y x p p --=-++-的对称点1A 在直线BF 上设点()122,A x y ，1AA 的中点为C ，则有： 2231,22x y C ++⎛⎫ ⎪⎝⎭直线1AA 垂直于2256321p p y x p p --=-++-，则有：22113y x -=- 点C 在直线2256321p p y x p p --=-++-上，则有：2222135632221y x p p p p ++--=-++- 点1A 在直线BF 上，则有： 2211222p y x p p ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭化简得：()80p p -= 又0p > 故8p =故答案为：216y x =【点睛】直线关于直线对称对称，利用中点坐标公式和直线与直线垂直的特点建立方程，根据题意列出隐含的方程是关键四、解答题17．已知()1,2A -，以点A 为圆心的圆被y轴截得的弦长为(1)求圆A 的方程；(2)若过点()1,2B -的直线l 与圆A 相切，求直线l 的方程. 【答案】(1)()()22124x y ++-= (2)1x =或3450x y ++=【分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；（2）根据直线l 的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为1x =的直线满足题意，斜率存在时，利用直线l 与圆相切，即()1,2A -到直线l 的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可. (1)不妨设圆的半径为R ，根据垂径定理，可得：()22213R =+解得：2R =则圆的方程为：()()22124x y ++-= (2)当直线l 的斜率不存在时，则有：1x = 故此时直线l 与圆相切，满足题意当直线l 的斜率存在时，不妨设直线l 的斜率为k ，点()1,2B -的直线l 的距离为d 直线l 的方程为：()12y k x =--则有：22421k d k--==+解得：34k =- ，此时直线l 的方程为：3450x y ++=综上可得，直线l 的方程为：1x =或3450x y ++=18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段AB ，11B C 的中点.(1)求点F 到平面1A CE 的距离；(2)求平面1A CE 与平面11BCC B 夹角的余弦值. 【答案】6 6【分析】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.可根据题意写出各个点的坐标，进而求出平面1A CE 的法向量和EF 的坐标，点F 到平面1A CE 的距离||||EF n d n ⋅=.计算即可求出答案. （2）由（1）知平面1A CE 的法向量，在把平面11BCC B 的法向量表示出来，平面1A CE 与平面11BCC B 夹角的余弦值为cos ||||m nm n θ⋅=⋅，计算即可求出答案.(1)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.由于正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2和E ，F 分别为线段AB ，11B C 的中点知，1(2,0,2),(2,1,0),(0,2,0),(1,2,2)A E C F =.设平面1A CE 的法向量为(,,)n x y z =.11(2,2,2),(0,1,2)AC A E =--=-.则1122200(1,2,1)200x y z n AC n y z n A E ⎧-+-=⋅=⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎩. =(1,1,2)EF -.故点F 到平面1A CE 的距离122||6||141EF n d n -++⋅===++.(2)平面11BCC B 的法向量(0,1,0)m =，平面1A CE 与平面11BCC B 夹角的余弦值26cos ||||6m n m n θ⋅===⋅19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()2,0F -，点F 到短袖的一个端点的6.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A ，B 两点，若2OA OB ⋅>-，求k 的取值范围.【答案】(1)22162x y += (2)12k >或12k <-【分析】（1）根据焦点坐标可得2c =，根据点F，然后根据222a b c =+即可；（2）先设联立直线l 与椭圆的方程，然后根据韦达定理得到A ，B 两点的坐标关系，然后根据2OA OB ⋅>-建立关于直线l 的斜率k 的不等式，解出不等式即可. (1)根据题意，已知椭圆C 的左焦点为()2,0F -，则有：2c = 点Fa =则有：b =故椭圆C 的方程为：22162x y += (2)设过点F 作斜率为k 的直线l 的方程为：()2y k x =+ 联立直线l 与椭圆C 的方程可得： ()222162y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 则有：()222231121260k x k x k +++-=,直线l 过点F ，所以0∆>恒成立，不妨设A ，B 两点的坐标分别为：()()1122,,,A x y B x y ，则有：21221231k x x k +=-+ 212212631k x x k -=+ 又1212OA OB x x y y ⋅=+且()()2121222y y k x x =++则有：()()()()222212121212121222142OA OB x x y y x x k x x k x x k k x x ⋅=+=+++=++++将21221231k x x k +=-+，212212631k x x k -=+代入后可得：2210631k OA OB k -⋅=+ 若2OA OB ⋅>-，则有：22164031k k ->+ 解得：12k >或12k <- 20．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，112AD CD BC CF AB =====.(1)求证：EF BC ⊥；(2)点M 在线段BF （不含端点）上运动，设直线BE 与平面MAC 所成角为θ，求sin θ的取值范围.【答案】(1)证明见解析 (2)510⎝⎦【分析】（1）过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，利用正余弦定理可证AC BC ⊥，再利用线线垂足证明线面垂直，进而可得证；（2）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角的正弦值. (1)证明：由已知可得四边形ABCD 是等腰梯形，过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，则21122BH -==，在Rt BCH 中，221314CH BC BH =-=-=，则332sin 1CBH ∠==60CBH ∠=°，在ABC 中，由余弦定理可得，22212cos 4122132AC AB BC AB BC CBH =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥，又CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，CF AC ∴⊥，BC CF C ⋂=，BC ，CF ⊂平面BCF ，AC ∴⊥平面BCF ，又ACFE 为矩形，//AC EF ∴，则EF ⊥平面BCF ，而BC ⊂平面BCF ，EF BC ∴⊥；(2)CF ⊥平面ABCD ，且AC BC ⊥，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则)A，()0,1,0B ，()0,0,1F，)E，M BF ∈，∴设()0,1,M a a -，则()0,1,CM a a =-，又()3,0,0CA =，设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =，由()1030n CM a y az n CA x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取y a =，得()0,,1n a a =-，又()3,1,1BE =-，sin cos ,5BE n a BE n BE na θ⋅-∴=====⋅，()0,1a ∈，21112,1222a ⎛⎫⎡⎫∴-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，则sin θ∈⎝⎦.21．已知等差数列{}n A 的首项为2，公差为8.在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a . (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若1k a ，2k a ，⋅⋅⋅，nk a ，⋅⋅⋅是从{}n a 中抽取的若干项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，11k =，23k =，令n n b nk =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)2,()n a n n N +=∈； (2)11()3424n n n S =+-⋅ 【分析】（1）由题意在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a ，可知{}n a 的公差824d ==，进而可求出其通项公式；（2）根据题意可得1=23n n k a -⨯，进而得到1=3n n k -，再代入n b 中得1=3n n b n -⋅，利用错位相减即可求出前n 项和n S . (1)由于等差数列{}n A 的公差为8，在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a ，则{}n a 的公差824d ==，{}n a 的首项和{}n A 首项相同为2，则数列{}n a 的通项公式为22(1)2,()n a n n n N +=+-=∈. (2)由于1k a ，2k a 是等比数列的前两项，且11k =，23k =，则132,6a a ==，则等比数列的公比为3，则1=23n n k a -⨯，即112=23=3n n n n k k --⨯⨯⇒，1=3n n n b nk n -=⋅.01221132333(1)33n n n S n n --∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯①.12313132333(1)33n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ②.①减去②得11213(13)1121333313()31322n n nn n n S n n n --⨯--=++++-⋅=+-⋅=-+-⋅-.11()3424n n n S ∴=+-⋅. 22．已知圆()22:24F x y -+=，点()2,0E -，点G 是圆F 上任意一点，线段EG 的垂直平分线交直线FG 于点T ，点T 的轨迹记为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 上一点()()002,0M y y >，动圆()()222:20N x y r r -+=>，且点M 在圆N外，过点M 作圆N 的两条切线分别交曲线C 于点A ，B . （i ）求证：直线AB 的斜率为定值；（ii ）若直线AB 与2x =交于点Q ，且2BQM AQM S S =△△时，求直线AB 的方程. 【答案】(1)2213y x -=(2)（i ）答案见解析（ii ）4623310x y ++=或2211130x y +-=【分析】（1）通过几何关系可知2ET TF -=，且42EF =>,由此可知点T 的轨迹是以点E 、F 为焦点，且实轴长为2的双曲线，通过双曲线的定义即可求解；（2）（i ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为y kx m =+，将直线方程与双曲线方程联立利用韦达定理及0MA MB k k +=求出()()2230k k m ++-=，即得到直线AB 的斜率为定值；（ii ）由（i ）可知124x x m +=，由已知可得122122AQM BQMS x S x -==-△△，联立方程即可求出1x ，2x 的值，代入2123x x m =+即可求出m 的值，即可得到直线方程.(1)由题意可知2ET TF TG TF FG -=-==, ∵4EF ==,且2EF >,∴根据双曲线的定义可知，点T 的轨迹是以点E 、F 为焦点，且实轴长为2的双曲线，即1a =，2c =，2223b c a =-=，则点T 的轨迹方程为2213y x -=； (2)（i ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为y kx m =+，联立2213y x y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()2223230k x kmx m ----=，其中230k -≠，且()()22224433k m k m ∆=+-+()221230m k =-+>，12223km x x k +=-，212233m x x k+=--， ∵曲线C 上一点()()002,0M y y >，∴()2,3M ，由已知条件得直线MA 和直线MB 关于2x =对称，则0MA MB k k +=，即121222033x x y y --+=--，整理得()()()()121223320x y y x --+--=， ()()()()121223320x kx m kx m x -+-++--=()()()1212223430kx x m k x x m +--+--=， ()()()2222322343033k m km m k m k k +---+--=--，()()221230k m k m +++-=，即()()2230k k m ++-=，则2k =-或32m k =-，当32m k =-，直线方程为()3223y kx k k x =+-=-+，此直线过定点()2,3，应舍去，故直线AB 的斜率为定值2-.（ii ）由（i ）可知124x x m +=，2123x x m =+由已知得12AQM BQMS S =△△，即122122AQM BQM S x S x -==-△△，当122122x x -=-时，2122x x =-， 1211224x x x x m +=+-=，即1423m x +=，2823m x -=， 2124282333m m x x m +-=⋅=+，解得1m =或3123m =-，但是当1m =时，0∆=，故应舍去，当3123m =-时，直线方程为4623310x y ++=，当122122x x -=--时，2162x x =-，即164x m =-，286x m =-， ()()21264863x x m m m =--=+，解得1m =（舍去）或1311m =，当1311m =时，直线方程为2211130x y +-=,故直线AB 的方程为4623310x y ++=或2211130x y +-=.。

淮南市2024年数学六年级第一学期期末调研试题含解析

淮南市2024年数学六年级第一学期期末调研试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、认真填一填。

(每小题2分，共20分）1．5.2升=（____________）立方分米 4.1千克=（____________）克2．用一根长12.56米的绳子围成一个圆，这个圆的半径是（______）米，它的面积是（___________）平方米．3．四个连续自然数的积为1680，则这四个自然数中最小的1个数是____.4．一个数的13是1.2，这个数是_____。

5．把5米长的钢筋锯成一样长的6段，每段占全长的________，每段长________米。

如果锯一次需要2分钟，一共需要________分钟。

6．一种商品现价是原价的70%，表示降价了（____）．一项工程，甲单独修要10天完成，乙单独修要15天完成，两队合修3天能完成了这项工程的（____）．7．第19届亚运会将于2022年在中国杭州举行。

作为亚运会主场馆的杭州奥体博览核心区占地1543700平方米，合（________）公顷。

核心区建筑总面积约2700000平方米，改写成用“万平方米”作单位的数是（________）万平方米。

8．把33，51，65，77，85，91六个数分为两组，每组三个数，使两组的积相等，则这两组数之差为______．9．六（1）班今天缺勤2人，出勤48人，六（1）班这一天的缺勤率为（______）。

10．将圆形纸片沿直线滚动一圈，测得经过的长度是15.7厘米，这个圆的直径是________厘米。

常州市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题含答案

常州市教育学会学业水平监测高二数学 2023年6月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z 为复数，z 为z 的共轭复数，且||15i z z =−+，则z 的虚部是A ．5iB ．5i −C ．5D ．-52．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中能得出a ⊥b 的是A ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β3．投掷3枚质地均匀的正方体骰子，观察正面向上的点数，则对于这3个点数，下列说法正确的是A ．有且只有1个奇数的概率为18B ．事件“都是奇数”和事件“都是偶数”是对立事件C ．在已知有奇数的条件下，至少有2个奇数的概率为47D ．事件“至少有1个是奇数”和事件“至少有1个是偶数”是互斥事件4．已知平面上的三点A ，B ，C 满足||2||AB BC = =，，向量AB 与BC 的夹角为45°，且()BC AB AB λ−⊥，则实数λ= A ．0B ．1C ．-2D ．25．一个不透明的盒子里装有10个大小形状都相同的小球，其中3个黑色、7个白色，现在3个人依次从中随机地各取一个小球，前一个人取出一个小球记录颜色后放回盒子，后一个人接着取球，则这3个人中恰有一人取到黑球的概率为A ．310B ．21733103A A A ⋅ C ．3210C 0.70.3⨯⨯ D ．123C 0.70.3⨯⨯6．已知圆锥的高为1，体积为π，则过圆锥顶点作圆锥截面的面积最大值为AB ．2C．D ．3π7．对一个十位数1234567890，现将其中3个数位上的数字进行调换，使得这3个数字都不在原来的数位上，其他数位上的数字不变，则可以得到不同的十位数（首位不为0）的个数为 A ．120B ．232C ．240D ．3608．正四棱锥S ABCD −，各侧棱长为2，各顶点都在同一个球面上，则过球心与底面平行的平面截得的台体体积是 ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知复数123z z z ，，，则下列说法正确的有 A ．123231z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅B ．11222()(0)z zz z z =≠ C ．若1212||||z z z z −=+，则120z z ⋅= D ．若1223z z z z ⋅>⋅，则13||||z z >10．下列说法正确的有A ．在ABC ∆中，0BC CA ⋅<，则ABC ∆为锐角三角形B ．已知O 为ABC ∆的内心，且o o 3060A B = =，，则320OA OB OC ++=C ．已知非零向量，a b 满足：242⋅= =+ ，a b a c a b ，则||||⋅b c b c 的最小值为12D ．已知(12)(11)= = ，，，a b ，且a 与λ+a b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是5()3−∞−，11．某课外兴趣小组在探究学习活动中，测得()x y ，的10组数据如下表所示：由最小二乘法计算得到线性回归方程为11ˆˆy a b x =+，相关系数为；经过观察散点图，分析残差，把数据(16889) ，去掉后，再用剩下的9组数据计算得到线性回归方程为22ˆˆˆy a b x =+，相关系数为．则 A ．12ˆˆaa < B ．12ˆˆb b < C ．2212r r <D ．12ˆˆ00b b > >， 12．已知在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D −中，点O 为正方形1111A B C D 的中心，点P 在棱1CC 上，下列说法正确的有 A ．BD PO ⊥B ．当直线AP 与平面11BCC B 所成角的正切值为45时，3PC =C ．当1PC =时，点1C 到平面1APD 的距离是32D ．当2PC =时，以O 为球心，OP 为半径的球面与侧面11ABB A 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．101(2)2x +的展开式中二项式系数最大的项的系数是．（用数字作答）14．在平面直角坐标系xOy 中，已知0)(01)A B ，，，以A 为旋转中心，将线段AB 按顺时针方向旋转30°，得到线段AC ，则向量AB 在向量AC 上的投影向量的坐标是． 15．已知平面四边形ABCD ，o 90ADC ∠=，34AB BC CD AD === =，，则AC BD ⋅= ．16．已知在矩形ABCD 中，2AB BC = =，P 为AB 的中点，将ADP ∆沿DP 翻折，得到四棱锥1A BCDP −，则二面角1A DC B −−的余弦值最小是．12r四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设z 是虚数，在平面直角坐标系xOy 中，1z z z，，对应的向量分别为OA OB OC ，，．（1）证明：O B C ，，三点共线；（2）若31z =，求向量OA OC +的坐标．18．（12分）如图，在六面体1111ABCD A B C D −中，11AA CC ，平面11AAC C ⊥菱形ABCD ．证明：（1）11B B D D ，，，四点共面；（2）1BD DD ⊥．19．（12分）在平面直角坐标系中三点A ，B ，C 满足(12)(23)AB AC = =− ，，，，D E ，分别是线段BC AC ，上的点，满足22BD CD CE AE = =，，AD 与BE 的交点为G ．（1）求BGD ∠的余弦值；（2）求向量AG 的坐标．A 1B 1C 1D 1DCBA20．（12分）某种季节性疾病可分为轻症、重症两种类型，为了解该疾病症状轻重与年龄的关系，在某地随机抽取了患该疾病的3s 位病人进行调查，其中年龄不超过50岁的患者人数为s ，轻症占56；年龄超过50岁的患者人数为2s ，轻症占13．（1）完成下面的22⨯列联表．若要有99%以上的把握认为“该疾病症状轻重”与“年龄”有关，则抽取的年龄不超过50岁的患者至少有多少人？附：2()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++(其中n a b c d =+++)，2 6.6350.01()P χ=>．（2）某药品研发公司安排甲、乙两个研发团队分别研发预防此疾病的疫苗，两个团队各至多安排2个周期进行疫苗接种试验，每人每次疫苗接种花费t （0t >）元．甲团队研发的药物每次疫苗接种后产生抗体的概率为p （01p <<），根据以往试验统计，甲团队平均花费为236tp t −+．乙团队研发的药物每次疫苗接种后产生抗体的概率为q （01q <<），每个周期必须完成3次疫苗接种，若第一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个疫苗接种周期．假设两个研发团队每次疫苗接种后产生抗体与否均相互独立．若p q <，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应如何选择团队进行药品研发？21．（12分）记1011()(1)n n n n n n f x x a x a x a x a −−=+=++++，*n ∈N ．（1）化简：1(1)ni i i a =+∑；（2）证明：12()2()()()n n n k n f x f x kf x nf x +++2+++++（*n ∈N ）的展开式中含项的系数为221(1)C n n n +++．22．（12分）如图，在多面体EF ABCD −中，底面ABCD 是菱形，且CE ⊥底面ABCD ，AFCE ，1AC CD CE AF ====，点M 在线段EF 上．（1）若M 为EF 的中点，求直线AM 和平面BDE 的距离；（2）试确定M 点位置，使二面角D AM B −−的余弦值为3567−．F EDCBA常州市教育学会学业水平监测高二数学（参考答案）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．D 2．A 3．C 4．D 5．D 6．B 7．B 8．C 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 9．AB10．BD11．BCD12．ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．25214．3()2，15．7216四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）设i 0z a b b =+ ≠，，则i z a b =−，a b ∈R ，，所以()OB a b = −，． ……………………2分 2211i i a b z a b a b −==++，所以222211()OC a b OB a b a b= −=++，．所以OB OC ．……………………4分又因为O 为公共点，所以O B C ，，三点共线． ……………………5分（2）因为31z =，则2(1)(1)0z z z −++=，又因为z 是虚数，所以210z z ++=． ……………………8分2111z z z z++==−，所以(10)OA OC +=− ，． ……………………10分 18．证明：（1）由11AA CC ，1AA ⊄平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以1AA 平面11BCC B ．……………………2分又因为1AA ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A ⋂平面111BCC B BB =，所以11AA BB ． ……………………4分同理：11AA DD ，所以11BB DD ，所以11B B D D ，，，四点共面． ……………………6分（2）菱形ABCD 中AC BD ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面ABCD ，且平面11AAC C平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ．……………………10分因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥，由（1）有11AA DD ，所以1BD DD ⊥． ……………………12分19．解：（1）因为22BD CD BD CD = =，，所以128(1)333AD AB AC =+=− ，． ……………………2分又125(,1)333BE BC BA =+=−−． ……………………4分5833cos BGD −+∠==．……………………6分（2）由A G D ，，三点共线，1233AG AD AB AC λλλ==+，又1(1)(1)3AG AB AE AB AC μμμμ=+−=+−． ……………………8分由平面向量基本定理，得1321(1)33λμλμ⎧= ⎪⎨⎪=−⎩，．……………………10分所以17μ=，所以1238()7777AG AB AC =+=− ，． ……………………12分 20. （1）列联表如下：……………………2分要有99%以上的把握认为“该疾病症状轻重”与“年龄”有关，则225423()26363 6.635333222s s s s s s s s s s χ⨯−⨯==>⨯⨯⨯． ……………………4分解得9.9525s >，由题意知，s 的最小整数值为12．所以抽取的年龄不超过50岁的患者至少有12人． ……………………6分（2）甲研发团队试验总花费为X 元，根据以往试验统计得2()36E X tp t =−+，设乙研发团队试验总花费为Y 元，则Y 的可能取值为3t ，6t ，所以223323(3)(1)23P Y t C q q q q q ==−+=−+，32(6)123P Y t q q ==+−，所以323232()3(23)6(123)696E Y t q q t q q tq tq t =−+++−=−+． ……………………10分因为01p q <<<，所以3222()()696(36)6(1)0E Y E X tq tq t tp t tq q −=−+−−+<−<，所以乙团队试验的平均花费较少，所以该公司应选择乙团队进行研发． ……………………12分21．（1）11(1)(1)nnii n i i i a i C ==+=+∑∑． ……………………2分1211(1)23(1)nin nn n n n n i i CC C nC n C −=+=+++++∑，012111(1)23(1)n i n nn n n n n n i i C C C C nC n C −=++=++++++∑． ……………………4分右侧倒序相加得，012112(1(1))(2)()(2)2ni n nn nn n n n n i i C n C C C C C n −=++=++++++=+∑，所以11(1)(2)21nn i i i a n −=+=+−∑． ……………………6分（2）(1)2(2)()()f x n f x n kf x n k f x n ++ +++ +++ 2，，，，的展开式中含n x 项的系数为123223n n nnn n n n C C C nC +++++++，因为1()!()!()!(1)(1)!!!(1)!(1)!(1)!nn n k n k n k n k n k kC kn n C n k n k n k ++++++===+=+−+−． …………………9分所以含n x 项的系数为：1111123212322111223223(1)()(1)()n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C n C C C C +++++++++++++++++++++=+++++ =+++++ 211332221(1)()(1).n n n n n n n n n C C C n C +++++++ =++++ =+……………………12分22．（1）连接BD 交AC 于O ，取EF 中点G ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，O 为AC 中点．因为AFCE ，AF CE =，所以四边形ACEF 为平行四边形．因为O G ，分别为AC EF ，中点，所以OG CE ．因为CE ⊥平面ABCD ，AC BD ⊂，平面ABCD ，所以CE AC CE BD ⊥ ⊥，，所以OG AC OG BD ⊥ ⊥，． ……………………3分以O 为原点，建立如图空间直角坐标系O xyz −，则3311(00)(001)(00)(00)(01)2222A MB D E − − ，，，，，，，，，，，，，，，所以31(300)(1)22BD BE = = − ，，，，，，设平面BDE 的法向量0000()n x y z = ，，， 0000n BD n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以00003031022x x y z ⎧=⎪⎨−+=⎪⎩，，所以01(021)(01)2n AM = = − ，，，，，． ……………5分 0102102n AM =−+=，设A 到平面BDE 距离为d ，00||351(0)225||AB n AB d n = ==，，，，所以直线AM 和平面BDE 的距离为55． ………7分（2）设11(01)[]22M m m ∈− ，，，，，31(0)(011)22AD AM m = − = − ，，，，，，31(0)22AB =− − ，，，设平面ADM ，平面ABM 的法向量分别为11112222()()n x y z n x y z = = ，，，，，， 12120000AD n AB n AM n AM n ⎧⎧= = ⎪⎪⎨⎨= = ⎪⎪⎩⎩，，，，取1233(133)(133)22n m n m = −+ = − −，，，，，．………9分因为二面角D AM B −−的余弦值为3567−，所以2121221213()2352|cos |||167||||3()42m n n n n n n m −+< >===−+，．解得1344m = ，（舍），即14FM FE =． ……………………12分OABCDEFxyz G。

山东省菏泽第一中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

高二数学下学期期末考试试题(文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i 是虚数单位，ii -1= A.i 2121+ B.i 2121+- C.i 2121- D. i 2121-- 2.设集合A={-1,0,1},B={x|x>0}，则A B=A.{-1,0}B.{-1}C.{0,1}D.{1}3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f （x ），若0)(0='x f ，则x=0x 是函数f （x ）的极值点，由于f （x ）=3x 在x=0处的导数值为0，所以x=0是f （x ）=3x 的极值点，以上推理中（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确4.用反证法证明命题：“已知a 、b 是自然数，若a+b ≥3，则a 、b 中至少有一个不小于2”提出的假设应当是（）A.a 、b 至少有二个不小于2B.a 、b 至少有一个不小于2C.a 、b 都小于2D. a 、b 至少有一个小于25．已知x 、y 的值如图所示，假如y 与x 呈现线性相关且回归直线方程为y=bx+27，则b=A.21-B.21C.101-D. 1016. 函数f （x ）的导函数()x f '，满足关系式()x x f x x x f ln 3)(2-'+=，则)2(f '的值为A.47 B.-47 C.49 D.-49 7.执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为A.7B.6C.5D.48. 某班主任对全班50名同学进行了作业量调查，数据如下表；依据表中数据得到k=059.526242327981518502≈⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯）（，由于P(024.52≥k )=0,025 则认为宠爱玩电脑玩耍与认为作业量的多少有关系的把握大约为A.97.5％B.95％C.90％D.无充分依据9. 甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话。

2022年山东省济南市中考数学试题及答案解析

2022年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.−7的相反数是( )A. −7B. −17C. 7 D. 172.如图是某几何体的三视图，该几何体是( )A. 圆柱B. 球C. 圆锥D. 正四棱柱3.神舟十三号飞船在近地点高度200000m，远地点高度356000m的轨道上驻留了6个月后，于2022年4月16日顺利返回．将数字356000用科学记数法表示为( )A. 3.56×105B. 0.356×106C. 3.56×106D. 35.6×1044.如图，AB//CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1=65°，则∠2的度数为( )A. 45°B. 50°C. 57.5°D. 65°5.下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B.C. D.6.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )A. ab>0B. a+b>0C. |a|<|b|D. a+1<b+17.某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是( )A. 19B. 16C. 13D. 238.若m−n=2，则代数式m2−n2m ⋅2mm+n的值是( )A. −2B. 2C. −4D. 49.某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m.如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是( )A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 反比例函数关系D. 二次函数关系10.如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF=3，AE=5，以下结论错误的是( )A. AF=CFB. ∠FAC=∠EACC. AB=4D. AC=2AB11.数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B 在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为( )(精确到1m.参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60)A. 28mB. 34mC. 37mD. 46m12.抛物线y=−x2+2mx−m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M(m−1,y1)，N(m+1,y2)为图形G上两点，若y1<y2，则m的取值范围是( )A. m<−1或m>0B. −12<m<12C. 0≤m<√2D. −1<m<1二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.因式分解：a2+4a+4=______．14.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．15. 写出一个比√2大且比√17小的整数______． 16. 代数式3x+2与代数式2x−1的值相等，则x =______．17. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD 是矩形ABCD 的对角线，将△BCD 分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a =4，b =2，则矩形ABCD 的面积是______．18. 规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O(0,0)按序列“011…”作变换，表示点O 先向右平移一个单位得到O 1(1,0)，再将O 1(1,0)绕原点顺时针旋转90°得到O 2(0,−1)，再将O 2(0,−1)绕原点顺时针旋转90°得到O 3(−1,0)…依次类推．点(0,1)经过“011011011”变换后得到点的坐标为______．三、解答题（本大题共9小题，共78.0分。

2021-2022学年山东省临沂市大学第二附属中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2021-2022学年山东省临沂市大学第二附属中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知在等比数列中，有，，则A.7B.5C.-5D.-7参考答案：D略2. 命题“，使得”的否定形式是（）A．，使得B．，使得C．，使得D．，使得参考答案：D命题“，使得”的否定形式是，使得故选：D3. 函数y=xlnx在区间（）A．（0，+∞）上单调递减B．（，+∞）上单调递减C．（0，）上单调递减D．（0，+∞）上单调递增参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，从而得到函数的单调区间．【解答】解：∵y′=x′lnx+x（lnx）′=lnx+1，令y′＞0，解得：x＞，令y′＜0，解得：0＜x＜，∴函数在（0，）递减，在（，+∞）递增，故选：C．4. 已知函数，则（）A. B. 1 C. D.参考答案：B【分析】求出导函数，由，可得，从而可得结果.【详解】，又因为，所以，解得，故选B.5. 如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（）A、 B、2 C、4 D、1参考答案：B略6. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是( )参考答案：C7. 设计用32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是（）A．（38－3m2 B．16 m2 C． 4m2 D．14 m2参考答案：B解析：设长方体的长为xm,高为hm，则V=2xh而2x+2h×2＋xh×2=32∴可求得B。

8. 复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为（）A．﹣5i B．5i C．﹣5 D．5参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得的答案．【解答】解：∵z=（1﹣i）（4﹣i）=3﹣5i，∴，则复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为5．故选：D．9. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，，点P在线段B1D1上，的方向为正（主）视方向，当AP最短时，棱锥P-AA1B1B的左（侧）视图为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】在中，根据最短距离得到，确定的位置，在得到左视图.【详解】在中：当最短时，最短即在中通过长度关系知道P靠近B1：左视图为B故答案选B【点睛】本题考查了最短距离，三视图，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.10. 在如图的程序图中，输出结果是（）A． 5 B． 10 C． 15 D． 20参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知复数名（i为虚数单位），则_________.参考答案：1012. 若过椭圆内一点（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_______________．参考答案：设弦AB的两个端点,则,两式作差变形可得,所以该弦所在直线的方程为,即.13. 已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A，B，C，D，E这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.参考答案：45【分析】通过分步乘法原理即可得到答案.【详解】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有个不同的编号.【点睛】本题主要考查分步乘法原理的相关计算，难度很小.14. 已知数列为，依它的前10项的规律，则____.参考答案：略15. ______参考答案：【分析】利用定积分的几何意义可求的值，再由微积分基本定理求得的值，从而可得结果.【详解】根据题意，，等于半径为1的圆的面积的四分之一,为，所以，，则；故答案为．【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.16. 若z1=1﹣3i，z2=6﹣8i，且z=z1z2，则z的值为．参考答案：﹣18﹣26i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的乘法的运算法则化简求解即可．【解答】解：z1=1﹣3i，z2=6﹣8i，z=z1z2=（1﹣3i）（6﹣8i）=6﹣8i﹣18i+24i2=﹣18﹣26i．故答案为：﹣18﹣26i．17. 如图所示，正方形OABC 的边长为1，则对角线OB 与函数y=x 3围成的阴影部分的面积为．参考答案：考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：首先由图形利用定积分表示阴影部分的面积，然后计算定积分．解答：解：依题意可知，阴影部分面积为S==（）|=；故答案为：．点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是利用定积分正确表示面积．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2022-2023学年山东省济南第二中学高一数学第一学期期末预测试题含解析

A.平行
B.相交但不垂直
C.垂直相交
D.异面且垂直
11． sin1080 （）
A. 1 2
C.0
B.1 D.﹣1
12．已知集合 A {x | x2 5x 6 0}，集合 B {x | 2x 4}，则集合 A B
A.{x | 2 x 3}
B.{x | 2 x 3}
C.{x | 2 x 3}
3
∵直线 l 经过点 P1, 2
∴直线 l 的方程为 y 2 4 x 1 ，即 y 4 x 1 2
3
3
故选 D 2、C 【解析】由斜二测画法得到原三角形，结合其几何特征易得答案.
5 / 15
【详解】由题意得到原△ABC 的平面图为：
其中，AD⊥BC，BD＞DC，
∴AB＞AC＞AD，
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A B x x 1
故选：C 【点睛】本题考查集合的交集运算，指数函数的值域，属于基础题. 10、D
【解析】由菱形 ABCD 平面内,则对角线 AC BD ,又 PC , 可得 BD 平面 ACP ,进而可得 BD AP ,又显
然，PA 与 BD 不在同一平面内，可判断其位置关系.
,在【详解】假设 PA与 BD共面，根据条件点P和菱形 ABCD都在平面内，
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）

2022-2023学年山东省济南市长清区九年级数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．如果23x y =，那么下列比例式中正确的是（）A ．23x y =B ．23x y =C ．32x y =D ．23x y = 3．在平面直角坐标系中，抛物线(5)(3)y x x =+-经过变换后得到抛物线(3)(5)y x x =+-，则这个变换可以是（） A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移8个单位D ．向右平移8个单位4．一元二次方程x 2－8x －1=0配方后为( )A ．(x －4)2=17B ．(x ＋4)2=15C ．(x ＋4)2=17D ．(x －4)2=17或(x ＋4)2=175．已知一组数据:2，5，2，8，3，2，6，这组数据的中位数和众数分别是（）A ．中位数是3，众数是2B ．中位数是2，众数是3C ．中位数是4，众数是2D ．中位数是3，众数是4 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝125，则cosB 的值为（）A ．1213B ．512C ．125D ．5137．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：抽取件数50100 150 200 500 800 1000合格频数4288 141 176 448 720 900 估计出售2000件衬衣，其中次品大约是（）A ．50件B ．100件C ．150件D ．200件 8．二次根式x 3-中，x 的取值范围是（）A ．x 3≥B ．x 3>C ．x 3≤D ．x 3<9．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（）A ．49B ．13C ．29D ．1910．如图，已知矩形ABCD 和矩形EFGO 在平面直角坐标系中，点B ，F 的坐标分别为(－4,4)，(2,1)．若矩形ABCD 和矩形EFGO 是位似图形，点P (点P 在GC 上)是位似中心，则点P 的坐标为( )A ．(0,3)B ．(0,2.5)C ．(0,2)D ．(0,1.5)二、填空题(每小题3分,共24分)11．若抛物线y ＝x 2﹣4x+m 与直线y ＝kx ﹣13（k≠0）交于点（2，﹣9），则关于x 的方程x 2﹣4x+m ＝k （x ﹣1）﹣11的解为_____．12．如图，ABC 与ADB △中，90ABC ADB ︒∠=∠=，C ABD ∠=∠，5AC =，4AB =，AD 的长为________.13．某厂一月份的总产量为500吨，通过技术更新，产量逐月提高，三月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是，则可列方程为__．14．如图，抛物线y ＝﹣2x 2+2与x 轴交于点A 、B ，其顶点为E ．把这条抛物线在x 轴及其上方的部分记为C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B 、D ，C 2的顶点为F ，连结EF ．则图中阴影部分图形的面积为______．15．将抛物线y =x 2先沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴方向向下平移3个单位，所得抛物线的解析式是__．16．如果关于x 的方程x 2﹣5x+k=0没有实数根，那么k 的值为________17．如图，平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，32AD AB =.以A 为圆心，AB 为半径画弧，交AD 于点E ，以D 为圆心，DE 为半径画弧，交CD 于点F .若用扇形ABE 围成一个圆维的侧面，记这个圆锥的底面半径为1r ；若用扇形DEF围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为2r ，则12r r 的值为______.18．若a 、b 、c 、d 满足，则=_____．三、解答题(共66分)19．（10分）我们规定：方程20ax bx c ++=的变形方程为2(1)(1)0a x b x c ++++=．例如：方程22340x x -+=的变形方程为22(1)3(1)40x x +-++=．（1）直接写出方程2250x x +-=的变形方程；（2）若方程220x x m ++=的变形方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（3）若方程20ax bx c ++=的变形方程为2210x x ++=，直接写出a b c ++的值．20．（6分）解方程或计算（1）解方程：3y(y-1)=2(y-1)（2）计算：2sin60°cos45°＋tan30°．21．（6分）在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 边上的点，连接BE ．（1）如图1，若BE 平分∠ABC ，BC ＝8，ED ＝3，求平行四边形ABCD 的周长；（2）如图2，点F 是平行四边形外一点，FB ＝CD ．连接BF 、CF ，CF 与BE 相交于点G ，若∠FBE +∠ABC ＝180°，点G 是CF 的中点，求证：2BG +ED ＝BC ．22．（8分）定义:有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”.例如:凸四边形ABCD 中，若,A C B D ∠=∠∠≠∠，则称四边形ABCD 为准平行四边形.（1）如图①，,,,A P B C 是O 上的四个点，60APC CPB ∠=∠=︒，延长BP 到Q ，使AQ AP =.求证:四边形AQBC 是准平行四边形；（2）如图②，准平行四边形ABCD 内接于O ，,AB AD BC DC +=，若O 的半径为5,6AB =，求AC 的长；（3）如图③，在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=︒∠=︒=，若四边形ABCD 是准平行四边形，且BCD BAD ∠≠∠，请直接写出BD 长的最大值.23．（8分）如图，已知O 是ABC ∆的外接圆，AB 是O 的直径，D 为O 外一点，AC 平分BAD ∠，且2AC AB AD =⋅．（1）求证：ABC ACD ∆∆∽；（2）求证：CD 与O 相切．24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝12x +2的图象与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，⊙P 的半径5P 在x 轴上运动．（1）如图1，当圆心P的坐标为（1，0）时，求证：⊙P与直线AB相切；（2）在（1）的条件下，点C为⊙P上在第一象限内的一点，过点C作⊙P的切线交直线AB于点D，且∠ADC＝120°，求D点的坐标；（3）如图2，若⊙P向左运动，圆心P与点B重合，且⊙P与线段AB交于E点，与线段BO相交于F点，G点为弧EF上一点，直接写出12AG+OG的最小值．25．（10分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向点D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．（1）求证：AEB CGB△≌△；（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值；（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时有BEH BAE∽？26．（10分）空地上有一段长为am的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为110m．（1）已知a＝30，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了110m木栏，且围成的矩形菜园而积为1000m1．如图1，求所利用旧墙AD的长；（1）已知0＜a＜60，且空地足够大，如图1．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.2、C 【分析】根据比例的性质，若a cb d =，则ad bc =判断即可. 【详解】解：23x y =32x y ∴= 故选：C.【点睛】本题主要考查了比例的性质，灵活的利用比例的性质进行比例变形是解题的关键.3、B【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5），故选B ．【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．4、A【解析】x 2－8x －1=0，移项，得x 2－8x =1，配方，得x 2－8x +42=1+42，即（x －4）2=17.故选A.点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.5、A【分析】先将这组数据从小到大排列，找出最中间的数，就是中位数，出现次数最多的数就是众数．【详解】解：将这组数据从小到大排列为：2，2，2，3，5，6，8，最中间的数是3，则这组数据的中位数是3；2出现了三次，出现的次数最多，则这组数据的众数是2；故选：A.【点睛】此题考查了众数、中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．6、A【分析】根据正切的定义有tan A 125BC AC ==，可设BC =12x ，则AC =5x ，根据勾股定理可计算出AB =12x ，然后根据余弦的定义得到cos B BC AB =，代入可得结论．【详解】如图，∵∠C =90°，tan A 125=， ∴tan A 125BC AC ==．设BC =12x ，则AC =5x ，∴AB 2222(12)(5)BC AC x x =+=+=13x ， ∴cos B 12121313BC x AB x ===．故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了勾股定理．7、D【分析】求出次品率即可求出次品数量．【详解】2000×4288141176448720900 (1)200501001502005008001000++++++-≈++++++(件)．故选：D ．【点睛】本题考查了样本估计总体的统计方法，求出样本的次品率是解答本题的关键．8、A【解析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数解答即可.【详解】∵x3是二次根式，∴x-3≥0，解得x≥3.故选A.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．熟记二次根式的被开方数是非负数是解题关键．9、A【解析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．【详解】画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，∴两次都摸到黄球的概率为49，故选A．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．10、C【分析】如图连接BF交y轴于P ，由BC∥GF可得GPPC＝GFPC，再根据线段的长即可求出GP，PC，即可得出P点坐标.【详解】连接BF交y轴于P，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为(－4,4)，(2,1)，∴点C 的坐标为(0,4)，点G 的坐标为(0,1)，∴CG ＝3，∵BC ∥GF ， ∴GP PC ＝GF PC ＝12， ∴GP ＝1，PC ＝2，∴点P 的坐标为(0,2)，故选C.【点睛】此题主要考查位似图形的性质，解题的关键是根据位似图形的对应线段成比例.二、填空题(每小题3分,共24分)11、x 1＝2，x 2＝1【分析】根据抛物线y ＝x 2﹣1x+m 与直线y ＝kx ﹣13（k≠0）交于点（2，﹣9），可以求得m 和k 的值，然后代入题目中的方程，即可解答本题．【详解】解：∵抛物线y ＝x 2﹣1x+m 与直线y ＝kx ﹣13（k≠0）交于点（2，﹣9），∴﹣9＝22﹣1×2+m ，﹣9＝2k ﹣13，解得，m ＝﹣5，k ＝2，∴抛物线为y ＝x 2﹣1x ﹣5，直线y ＝2x ﹣13，∴所求方程为x 2﹣1x ﹣5＝2（x ﹣1）﹣11，解得，x 1＝2，x 2＝1，故答案为：x 1＝2，x 2＝1．【点睛】本题主要考查的是二次函数与一次函数的交点问题，交点既满足二次函数也满足一次函数，带入即可求解.12、165【分析】先证明△ABC ∽△ADB ，然后根据相似三角形的判定与性质列式求解即可.【详解】∵90ABC ADB ︒∠=∠=，C ABD ∠=∠，∴△ABC ∽△ADB ，∴AB AD AC AB=, ∵5AC =，4AB =， ∴454AD =， ∴AD=165. 故答案为：165. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．13、2500(1)720x +=【分析】根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：500(1)x +，三月份的产量为：2500(1)720x +=.【详解】二月份的产量为：500(1)x +，三月份的产量为：2500(1)720x +=.【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟练理解增长率的表示方法，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）.14、1【分析】由S 阴影部分图形＝S 四边形BDFE ＝BD×OE ，即可求解．【详解】令y ＝0，则：x ＝±1，令x ＝0，则y ＝2，则：OB ＝1，BD ＝2，OB ＝2，S 阴影部分图形＝S 四边形BDFE ＝BD×OE ＝2×2＝1．故：答案为1．【点睛】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S 阴影部分图形＝S 四边形BDFE 是本题的关键．15、y=（x+2）2-1【分析】根据左加右减，上加下减的变化规律运算即可．【详解】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，向左平移2个单位，将抛物线y ＝x 2先变为y ＝（x ＋2）2，再沿y 轴方向向下平移1个单位抛物线y ＝（x ＋2）2即变为：y ＝（x ＋2）2−1，故答案为：y ＝（x ＋2）2−1．【点睛】本题考查了抛物线的平移，掌握平移规律是解题关键．16、k ＞254【解析】据题意可知方程没有实数根，则有△=b 2-4ac ＜0，然后解得这个不等式求得k 的取值范围即可．【详解】∵关于x 的方程x 2-5x+k=0没有实数根，∴△＜0，即△=25-4k ＜0，∴k ＞254，故答案为：k ＞254．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式（△=b 2-4ac ）判断方程的根的情况：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有：当△＜0时，方程无实数根．基础题型比较简单．17、1【分析】设AB=a ，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF 与弧长BE ，即可求出12r r 的值. 【详解】设AB=a ， ∵32AD AB = ∴AD=1.5a ，则DE=0.5a ，∵平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，∴∠D=120°，∴l 1弧长EF=12020.5360a π⨯⨯⨯=13a π l 2弧长BE=602360a π⨯⨯⨯=13a π ∴12r r =12l l =1 故答案为：1.【点睛】此题主要考查弧长公式，解题的关键是熟知弧长公式及平行四边形的性质.18、【解析】根据等比性质求解即可．【详解】∵， ∴=．故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了等比性质．等比性质：在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等. 对于实数a ，b ，c ，d ，且有b ≠0，d ≠0，如果，则有.三、解答题(共66分)19、（1）2420x x +-=；（2）1m <；（3）1【分析】(1)根据题目的规定直接写出方程化简即可.(2)先将方程变形,再根据判别式解出范围即可.(3)先将变形前的方程列出来化简求出a 、b 、c,相加即可求解.【详解】（1）由题意得()()212150x x +++-=,化简后得:2420x x +-=.（2）若方程220x x m ++=的变形方程为2(1)2(1)0x x m ++++=，即24(3)0x x m +++=.由方程220x x m ++=的变形方程有两个不相等的实数根，可得方程24(3)0x x m +++=的根的判别式>0∆，即244(3)0m -+>.解得1m <（3）2210x x ++=变形前的方程为: ()()212110x x -+-+=,化简后得:x 2=0,∴a =1,b =0,c =0,∴a +b +c =1.【点睛】本题考查一元二次方程的运用,关键在于读题根据规定变形即可.20、（1）y 1=1 , y 2=23;（2 【分析】（1）先移项，再用提公因式法解方程即可；（2）将三角函数的对应值代入计算即可.【详解】（1）3y(y-1)=2(y-1)，()()31210y y y ---=，（3y-2）（y-1）=0，y 1=1 , y 2=23；（2sin60°cos45°＋tan30°，=，. 【点睛】此题考查计算能力，（1）是解方程，解方程时需根据方程的特点选择适合的方法使计算简便；（2）是三角函数值的计算，熟记各角的三角函数值是解题的关键.21、（1）26；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD ＝BC ＝8，AB ＝CD ，AD ∥BC ，由平行线的性质得出∠AEB ＝∠CBE ，由BE 平分∠ABC ，得出∠ABE ＝∠CBE ，推出∠ABE ＝∠AEB ，则AB ＝AE ，AE ＝AD ﹣ED ＝BC ﹣ED ＝5，得出AB ＝5，即可得出结果；（2）连接CE ，过点C 作CK ∥BF 交BE 于K ，则∠FBG ＝∠CKG ，由点G 是CF 的中点，得出FG ＝CG ，由AAS 证得△FBG ≌△CKG ，得出BG ＝KG ，CK ＝BF ＝CD ，由平行四边形的性质得出∠ABC ＝∠D ，∠BAE +∠D ＝180°，AB ＝CD ＝CK ，AD ∥BC ，由平行线的性质得出∠DEC ＝∠BCE ，∠AEB ＝∠KBC ，易证∠EKC ＝∠D ，∠CKB ＝∠BAE ，由AAS 证得△AEB ≌△KBC ，得出BC ＝BE ，则∠KEC ＝∠BCE ，推出∠KEC ＝∠DEC ，由AAS 证得△KEC ≌△DEC ，得出KE ＝ED ，即可得出结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ＝8，AB ＝CD ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∵AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝8﹣3＝5，∴AB＝5，∴平行四边形ABCD的周长＝2AB+2BC＝2×5+2×8＝26；（2）连接CE，过点C作CK∥BF交BE于K，如图2所示：则∠FBG＝∠CKG，∵点G是CF的中点，∴FG＝CG，在△FBG和△CKG中，∵FBG CKGBGF KGC FG CG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FBG≌△CKG（AAS），∴BG＝KG，CK＝BF＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D＝180°，AB＝CD＝CK，AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，∵∠FBE+∠ABC＝180°，∴∠FBE+∠D＝180°，∴∠CKB+∠D＝180°，∴∠EKC＝∠D，∵∠BAE+∠D＝180°，∴∠CKB＝∠BAE，在△AEB和△KBC中，∵BAE CKBAEB KBC AB CK∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB≌△KBC（AAS），∴BC＝EB，∴∠KEC＝∠BCE，在△KEC 和△DEC 中，∵KEC DEC EKC D CK CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△KEC ≌△DEC （AAS ），∴KE ＝ED ，∵BE ＝BG +KG +KE ＝2BG +ED ，∴2BG +ED ＝BC ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理和平行四边形的性质定理的综合应用，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.22、（1）见解析；（2）72（3）232【分析】（1）先根据同弧所对的圆周角相等证明三角形ABC 为等边三角形，得到∠ACB=60°，再求出∠APB=60°，根据AQ=AP 判定△APQ 为等边三角形，∠AQP=∠QAP=60°，故∠ACB=∠AQP ，可判断∠QAC ＞120°，∠QBC ＜120°，故∠QAC≠∠QBC ，可证四边形AQBC 是准平行四边形；（2）根据已知条件可判断∠ABC≠∠ADC ，则可得∠BAD=∠BCD=90°，连接BD ，则BD 为直径为10，根据BC=CD 得△BCD 为等腰直角三角形，则∠BAC=∠BDC=45°，在直角三角形BCD 中利用勾股定理或三角函数求出BC 的长，过B 点作BE ⊥AC ，分别在直角三角形ABE 和△BEC 中，利用三角函数和勾股定理求出AE 、CE 的长，即可求出AC 的长.（3）根据已知条件可得：∠ADC=∠ABC=60°，延长BC 到E 点，使BE=BA ，可得三角形ABE 为等边三角形，∠E=60°，过A 、E 、C 三点作圆o ，则AE 为直径，点D 在点C 另一侧的弧AE 上（点A 、点E 除外），连接BO 交弧AE 于D 点，则此时BD 的长度最大，根据已知条件求出BO 、OD 的长度，即可求解.【详解】（1）∵60APC CPB ∠=∠=︒∴∠ABC=∠BAC=60°∴△ABC 为等边三角形，∠ACB=60°∵∠APQ=180°-∠APC-∠CPB=60° 又AP=AQ∴△APQ 为等边三角形∴∠AQP=∠QAP=60°∴∠ACB=∠AQP∵∠QAC=∠QAP+∠PAB+∠BAC=120°+∠PAB ＞120° 故∠QBC=360°-∠AQP-∠ACB-∠QAC ＜120° ∴∠QAC≠∠QBC∴四边形AQBC 是准平行四边形（2）连接BD ，过B 点作BE ⊥AC 于E 点∵准平行四边形ABCD 内接于O ，,≠=AB AD BC DC∴∠ABC≠∠ADC ，∠BAD=∠BCD∵∠BAD+∠BCD=180°∴∠BAD=∠BCD=90°∴BD 为O 的直径 ∵O 的半径为5∴BD=10∵BC=CD,∠BCD=90°∴∠CBD=∠BDC=45°∴BC=BD ⨯ sin ∠BDC=102=52⨯，∠BAC=∠BDC=45° ∵BE ⊥AC∴∠BEA=∠BEC=90°∴AE=AB ⨯sin ∠BAC=6⨯∵∠ABE=∠BAE=45°∴BE=AE=在直角三角形BEC 中，=∴AC=AE+EC=（3）在Rt ABC 中，90,30∠=︒∠=︒C A∴∠ABC=60°∵四边形ABCD 是准平行四边形，且BCD BAD ∠≠∠∴∠ADC=∠ABC=60°延长BC 到E 点，使BE=BA ，可得三角形ABE 为等边三角形，∠E=60°，过A 、E 、C 三点作圆o ，因为∠ACE=90°，则AE 为直径，点D 在点C 另一侧的弧AE 上（点A 、点E 除外），此时，∠ADC=∠AEC=60°，连接BO 交弧AE 于D 点，则此时BD 的长度最大.在等边三角形ABE 中，∠ACB=90°，BC=2∴AE=BE=2BC=4∴OE=OA=OD=2∴BO ⊥AE∴BO=BE ⨯sin ∠E=42⨯∴BD=BO+0D=2+即BD 长的最大值为2+【点睛】本题考查的是新概念及圆的相关知识，理解新概念的含义、掌握圆的性质是解答的关键，本题的难点在第（3）小问，考查的是与圆相关的最大值及最小值问题，把握其中的不变量作出圆是关键.23、（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）由角平分线的定义得出BAC CAD ∠=∠，再根据2AC AB AD =⋅即可得出ABC ACD ∆∆∽；（2）由相似三角形的性质可得出90ADC ACB ∠=∠=︒，然后利用等腰三角形的性质和等量代换得出OCA CAD ∠=∠ ，从而有//OC AD ，根据平行线的性质即可得出90OCD ADC ∠=∠=︒ ，则结论可证．【详解】（1）∵AC 平分BAD ∠，∴BAC CAD ∠=∠2AC AB AD =⋅ AB AC AC AD∴= ∴ABC ACD ∆∆∽（2）连接OC∵AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒∵ABC ACD ∆∆∽90ADC ACB ∴∠=∠=︒AO OC =OAC OCA ∴∠=∠∵BAC CAD ∠=∠OCA CAD ∴∠=∠//OC AD ∴90ADC ∠=︒90OCD ADC ∴∠=∠=︒OC CD ∴⊥∴CD 与O 相切．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，切线的判定，掌握相似三角形的判定及性质，切线的判定方法是解题的关键．24、（1）见解析；（2）D （233，33+2）；（3）372．【分析】（1）连接PA ，先求出点A 和点B 的坐标，从而求出OA 、OB 、OP 和AP 的长，即可确定点A 在圆上，根据相似三角形的判定定理证出△AOB ∽△POA ，根据相似三角形的性质和等量代换证出PA ⊥AB ，即可证出结论；（2）连接PA ，PD ，根据切线长定理可求出∠ADP ＝∠PDC ＝12∠ADC ＝60°，利用锐角三角函数求出AD ，设D （m ，12m+2），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出m 的值即可；（3）在BA 上取一点J ，使得BJ ＝52，连接BG ，OJ ，JG ，根据相似三角形的判定定理证出△BJG ∽△BGA ，列出比例式可得GJ ＝12AG ，从而得出12AG +OG ＝GJ +OG ，设J 点的坐标为（n ，12n +2），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出n ，从而求出OJ 的长，然后根据两点之间线段最短可得GJ +OG ≥OJ ，即可求出结论．【详解】（1）证明：如图1中，连接PA ．∵一次函数y＝12x+2的图象与y轴交于A点，与x轴交于B点，∴A（0，2），B（﹣4，0），∴OA＝2，OB＝4，∵P（1，0），∴OP＝1，∴OA2＝OB•OP，AP=225+=OA OP∴OAOP＝OBOA，点A在圆上∵∠AOB＝∠AOP＝90°，∴△AOB∽△POA，∴∠OAP＝∠ABO，∵∠OAP+∠APO＝90°，∴∠ABO+∠APO＝90°，∴∠BAP＝90°，∴PA⊥AB，∴AB是⊙P的切线．（2）如图1﹣1中，连接PA，PD．∵DA，DC是⊙P的切线，∠ADC＝120°，∴∠ADP＝∠PDC＝12∠ADC＝60°，∴∠APD＝30°，∵∠PAD＝90°∴AD＝PA•tan3015设D（m，12m+2），∵A（0，2），∴m2+（12m+2﹣2）2＝159，解得m＝±233，∵点D在第一象限，∴m＝233，∴D（233，33+2）．（3）在BA上取一点J，使得BJ＝52，连接BG，OJ，JG．∵OA＝2，OB＝4，∠AOB＝90°，∴AB22OA OB+2224+＝5∵BG＝5BJ5，∴BG2＝BJ•BA，∴BGBJ＝BABG，∵∠JBG＝∠ABG，∴△BJG∽△BGA，∴JGAG＝BGAB＝12，∴GJ＝12 AG，∴12AG+OG＝GJ+OG，∵BJ ，设J 点的坐标为（n ，12n +2），点B 的坐标为（-4,0） ∴（n+4）2+（12n +2）2＝54，解得：n=-3或-5（点J 在点B 右侧，故舍去）∴J （﹣3，12），∴OJ 2 ∵GJ +OG ≥OJ ，∴12AG +OG∴12AG +OG ．．【点睛】此题考查的是一次函数与圆的综合大题，掌握相似三角形的判定及性质、切线的判定及性质、切线长定理、勾股定理、锐角三角函数和两点之间线段最短是解决此题的关键．25、（1）见解析；（2）当12x =，y 有最大值14；（3）当点E 是AD 的中点【分析】（1）由同角的余角相等得到∠ABE=∠CBG ，从而全等三角形可证；（2）先证明△ABE ∽△DEH ，得到AB AE DE DH=，即可求出函数解析式y=-x 2+x ，继而求出最值．（3）由（2）12EH HD BE EA ==，再由12AE AB =，可得12EH AE BE AB ==，则问题可证．【详解】（1）证明： ∵∠ABE+∠EBC=∠CBG+∠EBC=90°∴∠ABE=∠CBG在△AEB 和△CGB 中：∠BAE=∠BCG=90°，AB=BC ， ∠ABE=∠CBG∴△AEB ≌△CGB （ASA ）（2）如图∵四边形ABCD ，四边形BEFG 均为正方形∴∠A=∠D=90°, ∠HEB=90° ∴∠DEH+∠AEB=90°，∠DEH+∠DHE=90°∴∠DHE=∠AEB∴△ABE ∽△DEH ∴AB AE DE DH= ∴11x x y=- ∴2211()24y x x x =-+=--+故当12x =，y 有最大值14 （3）当点E 是AD 的中点时有 △BEH ∽△BAE ．理由：∵ 点E 是AD 的中点时由（2）可得1124AE DH ==，又∵△ABE ∽△DEH∴12EH HD BE EA ==，又∵12AE AB = ∴12EH AE BE AB == 又∠BEH=∠BAE=90°∴△BEH ∽△BAE【点睛】本题结合正方形的性质考查二次函数的综合应用，以及正方形的性质和相似三角形的判定，解答关键是根据题意找出相似三角形构造等式．26、（1）旧墙AD 的长为10米；（1）当0＜a ＜40时，围成长和宽均为1204a +米的矩形菜园面积最大，最大面积为21440024016a a ++平方米；当40≤a ＜60时，围成长为a 米，宽为1202a -米的矩形菜园面积最大，最大面积为（60﹣212a ）平方米．【分析】(1)按题意设出AD=x 米，用x 表示AB ，再根据面积列出方程解答；(1)根据旧墙长度a 和AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论S 与菜园边长之间的数量关系．【详解】解：(1)设AD ＝x 米，则AB ＝1202x -，依题意得，(120)2-x x ＝1000，解得x 1＝100，x 1＝10，∵a ＝30，且x ≤a ，∴x ＝100舍去，∴利用旧墙AD 的长为10米，故答案为10米；(1)设AD ＝x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米，①如果按图1方案围成矩形菜园，依题意得，S ＝2(120)1(60)1800(0)22-=--+<<x x x x a ， ∵0＜a ＜60，∴x ＜a ＜60时，S 随x 的增大而增大，当x ＝a 时，S 最大为21602-a a ； ②如按图1方案围成矩形菜园，依题意得，S ＝22(1202)120(120)120()()24162+-+++=--+<<x a x a a a x a x ，当a ＜12012042++<a a 时，即0＜a ＜40时，则x ＝120+4a 时，S 最大为22(120+)144002401616++=a a a ，当120+4≤a a ，即40≤a ＜60时，S 随x 的增大而减小， ∴x ＝a 时，S 最大＝222120(120)1()604162++--+=-a a a a a ，综合①②，当0＜a ＜40时，2221440024019(40)(60)016216++---=>a a a a a ，此时，按图1方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为214400+24016+a a 平方米，当40≤a ＜60时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．∴当0＜a ＜40时，围成长和宽均为120+4a 米的矩形菜园面积最大，最大面积为214400+24016+a a 平方米；当40≤a ＜60时，围成长为a 米，宽为1202a -米的矩形菜园面积最大，最大面积为21602-a 平方米．【点睛】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．。

2024届山东省邹城市实验中学高一数学第二学期期末达标检测试题含解析

2024届山东省邹城市实验中学高一数学第二学期期末达标检测试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若2a c b +=，3sin 5sin B A =，则角C =（） A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π 2．函数sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<图象的一条对称轴在(,)63ππ内，则满足此条件的一个ϕ值为（） A ．12πB ．6π C ．3π D ．56π 3．在ABC ∆中，0120B =，2AB =，角A 的平分线3AD =，则BC 长为( )A ．1B ．2C ．3D ．6 4．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（） A ．B ．2C ．3D ．5．如图，在ABC 中，已知D 是BC 边延长线上一点，若2B C C D =，点E 为线段AD 的中点，34AE AB AC λ=+，则λ=（）A ．14B ．14-C ．13D ．13-6．在0°到360°范围内，与角－130°终边相同的角是（） A ．50°B ．130°C ．170°D ．230°7．书架上有2本数学书和2本语文书，从这4本书中任取2本，那么互斥但不对立的两个事件是（）A ．“至少有1本数学书”和“都是语文书”B ．“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书”C ．“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书”D ．“至多有1本数学书”和“都是语文书”8．等差数列{}n a 中，50a <，且60a >，且65a a >，n S 是其前n 项和，则下列判断正确的是（）A ．1S 、2S 、3S 均小于0，4S 、5S 、6S 、均大于0B ．1S 、2S 、、5S 均小于0，6S 、7S 、均大于0C ．1S 、2S 、、9S 均小于0，10S 、11S、均大于0 D ．1S 、2S 、、11S 均小于0，12S 、13S、均大于09．在平面直角坐标系xOy 中，直线:0l x y -=的倾斜角为（） A ．0︒B ．45︒C ．90︒D ．135︒10．设函数()122,1 1,1x x f x log x x -⎧≤=⎨->⎩，则()()4f f =（）A ．2B ．4C ．8D ．16二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年山东省泰安市高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

高二年级考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线与直线平行，则实数k 的值为（）1:1l y kx =+2:3l y x =A. B. D. 313-13【答案】D 【解析】【分析】利用两直线平行斜率相等，求出实数k 的值.【详解】因为直线与直线平行，1:1l y kx =+2:3l y x =所以两直线斜率相等，即.3k =故选：D.2. 已知等差数列的首项，公差，则（）{}n a 13a =2d =5a=A. 7 B. 9C. 11D. 13【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式可算出答案.【详解】因为等差数列的首项，公差，所以{}n a 13a =2d =5143811aa d =+=+=故选：C【点睛】本题考查的是等差数列的通项公式，较简单.3. 已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一焦点的距离为2212516x y +=P P （）A. 2 B. 3C. 5D. 7【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的定义列方程，求得到另一个焦点的距离.P 【详解】根据椭圆定义可知，到两个焦点的距离之和为，所以到另一P 22510a =´=P 个焦点的距离为.1073-=故选：B.【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.4. 已知空间向量，满足，则实数的值是（）()2,1,2a =-()4,2,b x =-a b ⊥x A. B. C. D. 5-4-45【答案】D 【解析】【分析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.0a b ⋅=x 【详解】由已知条件得出，解得.()241222100a b x x ⋅=⨯--⨯+=-=5x =故选：D.5. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）2260x y x +-=A. 1 B. 2C. 3 D. 4【答案】B 【解析】【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.(1,2)【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，2260x y x +-=22(3)9x y -+=C (3,0)C 3设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的(1,2)P P CP P弦长最短，此时||CP ==根据弦长公式得最小值为.2==故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.6. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺…”其大意为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织了5尺布…”．那么该女子第一天织布的尺数为（）A. B. C. D. 4315316311031【答案】B 【解析】【分析】设第一天织布的尺数为，则由题意有，据此可x ()234122225x ++++=得答案.【详解】设第一天织布的尺数为，则x ()234122225x ++++=.52153152131x x x -⇒⋅==⇒=-故选：B7. 设、是轴上的两点，点P 的横坐标为2，且，若直线PA 的方程为A B y PA PB=，则直线PB 的方程为（）10x y -+=A. B. 50x y +-=210x y --=C. D. 270x y +-=30x y +-=【答案】A 【解析】【分析】根据直线PA 的方程，确定出的倾斜角，利用且、在轴上，PA PA PB=A B y 可得的倾斜角，求出的坐标，然后求出直线的方程．PB P PB 【详解】解：由于直线的方程为，故其倾斜角为，PA 10x y -+=45︒又，且、是轴上两点，故直线的倾斜角为，||||PA PB =A B y PB 135︒又当时，，即，2x =3y =(2,3)P 直线的方程为，即．∴PB 3(2)y x -=--50x y +-=故选：A ．8. 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平,,PA PB PC 60︒PC 面所成角的余弦值是（）PABD. 12【答案】B 【解析】【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之PC PAB 间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分,,PA PB PC 析.【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为，PC PAB PD作于点G ，于点H ，连接，CG PD ⊥CH PA ⊥HG 易得，又平面，则平面，又CG PA ⊥,,CH CG C CH CG ⋂=⊂CHG PA ⊥CHG 平面，则，HG ⊂CHG PA HG ⊥有cos cos cos PH CPA PC PG PH PH CPD APD PC PG PC ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠⨯∠=⋅=⎪⎩故．cos cos cos CPA CPD APD ∠=∠⨯∠已知，60,30APC APD ∠=︒∠=︒故为所求．cos cos60cos cos cos30CPA CPD APD ∠︒=∠︒∠==解法二：如图所示，把放在正方体中，的夹角均为．,,PA PB PC ,,PA PB PC 60︒建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)P C A B 所以，(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)PC PA PB =-==-设平面的法向量，则PAB (,,)n x y z =00n PA y z n PB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令，则，所以，1x =1,1y z ==-(1,1,1)n =-所以．cos ,||||PC n PC n PC n ⋅〈〉===⋅设直线与平面所成角为，所以，PC PABθsin |cos ,|PC n θ=〈〉=所以cos θ=故选B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（）A. 直线必过定点()24R y ax a a =-+∈()2,4B. 直线在y 轴上的截距为1310x y --=C. 过点且垂直于直线的直线方程为()2,3-230x y -+=210x y ++=D. 直线的倾斜角为120°10x +=【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；对于B ，将代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；0x =对于C ，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案；对于D ，根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案.【详解】对于A ，由直线方程，整理可得，当时，24y ax a =-+()24y a x =-+2x =，故A 正确；4y =对于B ，将代入直线方程，可得，解得，故B 错误；0x =310x y --=10y --=1y =-对于C ，由直线方程，则其垂线的方程可设为，将点230x y -+=20x y C ++=代入上式，可得，解得，则方程为，故C()2,3-()2230C ⨯-++=1=C 210x y ++=正确；对于D ，由直线方程，可得其斜率为，则10x ++=θ，解得，故D 错误.tan θ=150θ= 故选：AC.10. 已知椭圆内一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，22:142x y C +=11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭且M 是线段AB 的中点，椭圆的左，右焦点分别为，，则下列结论正确的是（）1F 2F A. 椭圆C 的焦点坐标为，()2,0()2,0-B. 椭圆C 的长轴长为4C. 直线与直线的斜率之积为1MF 2MF 14-D.AB =【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的几何性质、点差法、以及弦长公式求得正确答案.【详解】依题意，椭圆，22:142x y C +=所以，所以焦点坐标为，A 选项错误.2,a b c ===)()12,F F 长轴长，B 选项正确.24a =，C 选项正确.1214MF MF k k ⋅==-设，则，()()1122,,,A x y B x y 222211221,14242x y x y +=+=两式相减并化简得，12121212121212121212,,1412y y y y y y y y x x x x x x x x +----=⋅⋅=-=-+---即直线的斜率为，直线的方程为，AB 1-AB ()131,22y x y x -=--=-+由消去并化简得，2232142y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 261210x x -+=所以，所以.121212,6x x xx +=⋅=AB ==故选：BCD11. 已知数列的前n 项和，则下列结论正确的是（）{}n a ()2*123N 43n S n n n =++∈A. 数列是递增数列 B. 数列不是等差数列{}n a {}n a C.，，成等差数列 D.，，成等差2a 4a 6a 63S S -96S S -129S S -数列【答案】BCD 【解析】【分析】由与的关系推导出数列的通项公式，判断选项A ，B ，分别计算出，n a n S {}n a 2a ，和，，，结合等差数列的定义判断选项C ，D.4a 6a 63S S -96S S -129S S -【详解】，()2*12S 3N 43n n n n =++∈ 时，，2n ∴≥()()22112121531134343212n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎢⎥⎣⎦时，，即，.1n =114712a S ==47,11215,2212n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩*N n ∈，因此数列不是单调递增数列，故A 错误；2117471212a a =<= {}n a 又时，不满足，1n =15212n a n =+数列不是等差数列，故B 正确；∴{}n a ，，，21712a =42912a =64112a =因此，，成等差数列，故C 正确；2a 4a 6a ，()63456153545632124S S a a a -=++=⨯+++⨯=，()96789155378932124S S a a a -=++=⨯+++⨯=．()129101112157110111232124S S a a a -=++=⨯+++⨯=成等差数列，故D 正确.6396129,,S S S S S S ∴---故选：BCD.12. 平行六面体中，各棱长均为2，设，ABCD A B C D -''''A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=则下列结论中正确的有（）A. 当时，2πθ=AC '=B. 和BD 总垂直AC 'C. θ的取值范围为2(0,3πD. θ=60°时，三棱锥的外接球的体积是C C B D -'''【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，求正方体对角线即可判断；对于B ，利用空间向量数量积运算即可判断；对于C ，由正三棱锥的高与斜高的关系即可计算判断；对于D ，求出正四面体外接球体积A A BD '-C C B D -'''判断作答.【详解】平行六面体中，各棱长均为2，设ABCD A B C D -''''，A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=对于A ，时，该平行六面体为正方体，其体对角线长，A 正确；2πθ=AC '=对于B ，，，因此，AC AB AA AD '=++' BD AD AB =-22()()AC BD AB AA AD AD AB AD AB AA AD AA AB '⋅++--⋅'''=-⋅⋅=+ ，B 正确；22224cos 4cos 0θθ=-+=-对于C ，连接，如图，依题意，为正三棱锥，取中点E ，,,BD A B A D ''A A BD '-BD 令为正的中心，连，有平面，O A BD ' ,,AE AO EO AO ⊥A BD '正三棱锥的斜高，，则A A BD '-cos2cos22AE AB θθ==2sin4sin22BD AB θθ==，2OE BD θ==显然，，即，则，从而得AE OE >2cos22θθ>tan 2θ<(0,)23θπ∈，C 正确；2(0,)3πθ∈对于D ，当时，三棱锥为正四面体，三棱锥也是正四面体，60θ= C C B D-'''A A BD '-它们全等，由C 选项知，的外接AO ===A A BD '-球球心在线段AO 上，设球半径为，r 则有，整理得，解得222()r AO r OB =-+222(2)AO rAO OE ⋅=+r =于是得三棱锥外接球的体积，D 不正确.C C BD -'''343V π=⨯=故选：ABC【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 准线方程为的抛物线的标准方程是_______．2x =【答案】28y x =-【解析】【详解】抛物线的准线方程为，说明抛物线开口向左，且，所以抛物线2x =224p =⨯=的标准方程是．28y x =-14. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为，请写出C 43y x=±双曲线的一个离心率______．C 【答案】（答案不唯一）53【解析】【分析】分类讨论双曲线的焦点在轴、轴两种情况，结合双曲线的渐近线方程及离C x y 心率公式计算可得.【详解】当双曲线的焦点在轴时，其渐近线为，则，C x b y xa =±43b a =所以离心率，53c e a ====当双曲线的焦点在轴时，其渐近线为，则，即，C y a y x b =±43a b =34b a =所以离心率，54c e a ====综上，可得双曲线的离心率为或.5354故答案为：（答案不唯一）.5315. 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案7ICME -是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，11223781OA A A A A A A ===== 如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，12,,,n OA OA OA ⋅ {}n a 则此数列的通项公式为_____．n a =【解析】【分析】由图可知，由勾股定理可得,利1122378...1OA A A A A A A =====2211n n a a -=+用等差数列的通项公式求解即可.【详解】根据图形，1122378...1OA A A A A A A =====因为都是直角三角形，122378...OA A OA A OA A ∆∆∆、,2211n n a a -∴=+是以1为首项，以1为公差的等差数列，2n a ∴，()2111n a n n∴=+-⨯=故答案为.na ∴=【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.16. 已知过点的直线与椭圆相交于不同的两点A 和B ，在线段AB()4,1P 22:142x y C +=上存在点Q ，满足，则的最小值为______．AP QB AQ PB ⋅=⋅ OQ【解析】【分析】设，，，由四点共线，用向量共线关系表()11,A x y ()22,B x y (),Q x y ,,,A P B Q 示两点坐标，又点在椭圆上，把坐标代入椭圆方程，得出点在一条定直线上，,A B ,A B Q 再求最短距离即可.【详解】设，，，由，记()11,A x y ()22,B x y (),Q x y AP QB AQ PB⋅=⋅，又四点共线，设，则由已知，且，AP PB AQ QB = ,,,A P B Q PA AQ λ= 0λ>1λ≠.PB BQ λ=- 由，得，PA AQ λ=()()11114,1,x y x x y y λ--=--解得，同理，得，114111x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩PB BQ λ=- ()()22224,1,x y x x y y λ--=---解得，因为点在椭圆上，所以，即224111x x yy λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩A 224111142x y λλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，①()()()22241142x y λλλ+++=+同理点在椭圆上，所以，即B 224111142x y λλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=，②()()()22241142x y λλλ--+=-①-②得，因为164442x yλλλ+=0λ>所以，故点在定直线上，220x y+-=Q 220x y +-=的最小值为点到直线的距离.OQO 220x y +-=d ==故答案为.【点睛】解析几何中线段定比分点问题方法点睛：1.在平面直角坐标系中，已知，，，且，,()11,A x y ()22,B x y (),P x y AP PB λ=0λ≠且，那么我们就说P 分有向线段AB 的比为，则有:1λ≠-λ，这就是定比分点坐标公式.121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩当P 为内分点时，；0λ>当P 为外分点时， ().0λ<1λ≠-2.这个公式在解决解析几何中向量共线或者点共线问题有着很强大的作用，运用好往往可以几步就解决一个大题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，直线与抛物线相交于A ，B 两点．2y x =-22y x =（1）求线段AB 的长；（2）证明：．OA OB ⊥【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）联立直线的方程和抛物线的方程，结合根与系数关系求得.AB（2）根据根与系数关系、向量数量积等知识证得结论成立.【小问1详解】设，，由，得．()11,A x y ()22,B x y 222y x y x =-⎧⎨=⎩2640x x -+=，126x x +=124x x =所以．AB ==【小问2详解】由（1）知：，，126x x +=124x x =所以，()121212122240OA OB x x y y x x x x ⋅=+=-++=所以，OA OB ⊥ 所以．OA OB ⊥18. 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，O ABC -OA OB OC ，．3OA OC ==2OB =（1）求点到直线的距离；B AC（2）求直线与平面所成角的正弦值．OB ABC 【答案】（1（2【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点与直线距离的空间向量法计算可得.（2）利用直线与平面夹角的空间向量法计算可得【小问1详解】解：以为坐标原点，，，方向分别为，，轴正方向，建立如图所示的O OB OC OAx y z 空间直角坐标系，则，，，所以，，()0,0,3A ()2,0,0B ()0,3,0C ()2,0,3AB =-()0,3,3AC =-．()2,0,0OB =取，，则，()2,0,3a AB ==-AC u AC ⎛== ⎝ 213a = a u ⋅= 所以点到直线．B AC ==【小问2详解】解：设是平面的一个法向量，则，所以，(),,n x y z = ABC 00AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 230330x z y z -=⎧⎨-=⎩取，解得，所以．2z =32x y =⎧⎨=⎩()3,2,2n = 设直线与平面所成角为，OB ABC θ则，sin cos ,OB n OB n OB n θ⋅====⋅所以直线与平面OB ABC 19. 在数列的首项为，且满足．{}n a 11a =132nn n a a ++=⋅（1）求证：是等比数列．{}2n na-（2）求数列的前n 项和．{}n a n S 【答案】（1）证明见解析；（2）.1122,23,n n n n S n ++⎧-=⎨-⎩为偶数为奇数【解析】【分析】（1）由，化简得到，结合等比数列的定义，即132n n n a a +=-+⋅11212n n nn a a ++-=--可求解；（2）由（1）求得，分当为偶数和当为奇数，两种情况讨论，结合等(1)2n nn a =-+n n 比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）由题意，数列满足，即，{}n a 132n n n a a ++=⋅132nn n a a +=-+⋅则，111232221222n n n n n n nn n nn n n a a a a a a +++--+⋅--===----又由，可得，11a =1121a -=-所以数列表示首项为，公比为的等比数列.{}2n na -1-1-（2）由（1）知，所以，121(1)(1)n n n n a --=-⨯-=-(1)2n nn a =-+所以，12=222(1)1(1)n nn S ++++-+++- 当为偶数时，可得；n 12(12)=02212n n n S +-+=--当为奇数时，可得，n 12(12)=12312n n n S +--=--综上可得，.1122,23,n n n n S n ++⎧-=⎨-⎩为偶数为奇数20. 已知两个定点，，动点P 满足()1,0M -()1,0N MP =（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．【答案】（1）22610x y x +-+=（2）或1y x =-1y x =-+【解析】【分析】（1）设点，后由(),P x y MP =（2）由点N 到直线PM 的距离为1，可得，则可得直线PM 方程为30PMN ∠=︒或，将直线方程与轨迹方程联立可得点P坐标，后可得直)1y x =+)1y x =+线PN 方程.【小问1详解】设点P 的坐标为，因为(),xy MP ==整理得，所以点P 的轨迹方程为．22610x y x +-+=22610x y x +-+=【小问2详解】因为点N 到直线PM 的距离为1，，2MN =所以，直线PM 或30PMN ∠=︒所以直线PM 的方程为或.)1y x =+)1y x =+联立轨迹方程与，)1y x =+可得，)2226104101x y x x x y x ⎧+-+=⎪⇒-+=⎨=+⎪⎩解得或．得直线PM 的方程为时，2x =+2x =)1yx =+P 的坐标为或.直线PM 的方程为时，(2++(21-)1y x =+P 的坐标为或．(21+--(2-当P 的坐标为时，直线PN的方程为：(2+，即.11y x ==-1y x =-P 的坐标为时，直线PN的方程为：(21--+，即.11y x ==--1y x =-+P 的坐标为时，直线PN的方程为：(21+--，即.11y x ==--1y x =-+P 的坐标为时，直线PN的方程为：(2-，即.11y x ==-1y x =-综上可得直线PN 的方程为或1y x =-1y x =-+21. 歇山顶，即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称歇山顶，又名九脊顶，其屋顶（上半部分）类似于五面体形状．如图所示的五面体的底面ABCD 为一个矩形，EF ABCD -，，，棱，M ，N 分别是28AB EF ==6AD =//EF AB 5EA ED FB FC ====AD ，BC的中点．（1）求证：平面平面；EFNM ⊥ABCD （2）求平面与平面夹角的余弦值．BFC EFCD 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）证明以及，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；EM AD ⊥MNAD ⊥（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面与平面法向量，根BFC EFCD 据向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】因为，为的中点，所以．EA ED =M AD EM AD ⊥在矩形中，，分别是，的中点，所以．ABCD M N AD BC MNAD ⊥又，，平面，所以平面．EM MN M ⋂=EM MN ⊂EFNM AD ⊥EFNM 又平面，所以平面平面．AD ⊂ABCD EFNM ⊥ABCD 【小问2详解】在平面中，过作，为垂足．EFNM F FH MN ⊥H 因为平面平面ABCD ，平面平面，EFNM ⊥EFNM ⋂ABCD MN =平面，所以平面．FH ⊂EFNM FH ⊥ABCD 过作的平行线，交于点，则，，，H BC AB S 3HS =2HN=HF =以为坐标原点，以，，方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示H HS HN HF的空间直角坐标系，则，，，，()3,2,0B ()3,2,0C -()3,6,0D --(0,0,F 所以，，，．(3,2,BF =--()6,0,0BC =-(3,2,CF =-()0,8,0CD =-设平面EFCD 的一个法向量为，则，所以，(),,m x y z = 00CF m CD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩32080x y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩取，解得，所以，z =20x y =-⎧⎨=⎩(m =-同理可得平面的一个法向量为．BFC ()n =设平面与平面夹角为．则，BFC EFCDθcos cos ,m n m n m nθ⋅=<>==⋅ 所以平面与平面．BFC EFCD 22. 已知双曲线的左，右顶点分别为A ，B ，过点且不()2222:10,0x y C a b a b -=>>()6,0D 与x 轴重合的动直线交双曲线C 于P ，Q 两点，当直线PQ 与x 轴垂直时，．4PD BD ==（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设直线AP ，AQ 和直线分别交于点M ，N ，若恒成立，求t 的值．x t =MD ND ⊥【答案】（1）22142x y -=（2）或14t =103t =【解析】【分析】(1)由可得的值，再将点代入即可求解；4PD BD ==a ()6,4P (2) 设直线PQ 的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出直线AP 的方6x my =+程，求出点的坐标，利用即可求出结果.,M N MD ND ⊥【小问1详解】由题知，当PQ 与x 轴垂直时，，4PD BD ==所以，，642a OD BD =-=-=()6,4P 所以，解得，所以双曲线C 的方程为．2236414b -=22b =22142x y -=【小问2详解】设直线PQ 的方程为，，，6x my =+()11,P x y ()22,Q x y 由，得，226142x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22212320m my y -++=所以，．122122m y y m +=--122322y y m =-直线AP 的方程为，与联立，解得．同理可得()1122y y x x =++x t =()112,2t y M t x +⎛⎫ ⎪+⎝⎭．()222,2t y N t x +⎛⎫⎪+⎝⎭所以，，()1126,2t y DM t x +⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+ ()2226,2t y DN t x +=-+⎛⎫ ⎪⎝⎭ 因为恒成立，所以恒成立，MD ND ⊥0DM DN ⋅=又()()()()2212126222y y DM DN t t x x ⋅=-++++ ()()()()2212126288y y t t my my =-++++()()()21222112262864m y y m y y y y t t ++=++-+()()221624t t =--+所以，解得或．()()22462t t -=+14t =103t =。

2021-2022学年山东省“学情空间”联考高二年级下册学期5月质量检测数学试题(A)【含答案】

2021-2022学年山东省“学情空间”联考高二下学期5月质量检测数学试题（A ）一、单选题1．已知全集R U =，集合{}2P x x =≥，{}4M x x =<，则()UP M =（）A ．PB ．MC ．{}24x x ≤<D ．{}4x x ≥【答案】A【分析】求出U M ，从而得到(){}2U P M x x P ⋃=≥=.【详解】{}4U M x x =≥，(){}{}{}242U P M x x x x x x P ⋃=≥⋃≥=≥=. 故选：A2．设命题:R,e cos(3)0x p x x ∀∈+-<，则p ⌝为（） A ．R,e cos(3)0x x x ∀∈+-> B ．R,e cos(3)0x x x ∀∈+-≥ C ．R,e cos(3)0x x x ∃∈+-> D ．R,e cos(3)0x x x ∃∈+-≥【答案】D【分析】全称量词的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】p ⌝为“R,e cos(3)0x x x ∃∈+-≥”. 故选：D3．某次数学考试成绩近似服从正态分布()270,X N σ~，若(60)0.872P X >=，则可以估计考试成绩大于或等于80分的概率为（） A ．0.372 B ．0.256C ．0.128D ．0.744【答案】C【分析】根据正态分布的对称性求解.【详解】由正态分布的对称性可知：(80)(60)0.872P X P X <=>=，故估计考试成绩大于或等于80分的概率为(80)1(60)10.8720.128P X P X ≥=-<=-=. 故选：C4．某小区流感大爆发，当地医疗机构使用中西医结合的方法取得了不错的成效，每周治愈的患者人数如表所示：由表格可得y 关于x 的线性经验回归方程为3648ˆy x =-，则测此回归模型第4周的治愈人数为（）A ．105B ．104C ．103D ．102【答案】A【分析】设出第4周的治愈人数为m ，得到样本中心点，代入回归方程，即可求出m . 【详解】设第4周的治愈人数为m ， 1234535x ++++==，5153514019555m my +++++==样本中心点为1953,5m +⎛⎫⎪⎝⎭将1953,5m +⎛⎫⎪⎝⎭代入3648ˆy x =-中，19536348605m +=⨯-=，解得：105m =. 故选：A5．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽取两张，若已知其中一张是A 牌，则两张都是A 牌的概率为（） A ．113B ．3102C ．166D ．133【答案】D【分析】先根据题意及组合的意义，求得其中一张是A 牌的概率，两张都是A 牌的概率，从而再利用条件概率公式求得所求.【详解】依题意，不妨设事件M 为抽取的两张牌中其中一张是A 牌，事件N 为抽取的两张牌都是A 牌，则()222485248225252C C C 1C C P M -=-=，()24252C C P N =，则()()24252C C P MN P N ==，所以()()2225244222225252485248C C C 61C C C C C 19833P MN P N M M==⨯===--，故已知其中一张是A 牌，则两张都是A 牌的概率为133. 故选：D.6．计算机内部采用每一位只有0和1两个数字的记数法，即二进制．其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制构成．某计算机程序每运行一次都随机出现一个字节，记为12345678a a a a a a a a ，其中(1,2,3,4,5,6,7,8)k a k =出现0的概率为13，出现1的概率为23，记12345678X a a a a a a a a =+++++++，则当程序运行一次时，X 的均值为（） A ．89B ．83C ．163D ．169【答案】C【分析】得到28,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，利用二项分布求期望公式求出答案.【详解】X 的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8，且X 的值即为1出现的次数，故28,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以216833EX =⨯=.故选：C7．给定全集U ，非空集合,A B 满足A U ⊆，B U ⊆，且集合A 中的最大元素小于集合B 中的最小元素，则称(,)A B 为U 的一个有序子集对，若{1,2,3,4}U =，则U 的有序子集对的个数为（） A ．16 B ．17 C ．18 D ．19【答案】B【详解】{}1A = 时，B 的个数是1233337C C C ++=， {}2A =时，B 的个数是1222 3C C ，+={}3A = 时，B 的个数是1，}2{1A =，时，B 的个数是1222 3C C ，+={}13A =，时，B 的个数是1，}3{2A =，时，B 的个数是1，3{}12A =，，时，B 的个数是1，U ∴ 的有序子集对的个数为：17个，8．某生即将参加《奔跑吧兄弟》打靶比赛海选活动，每人有7次打靶机会，打中一次得1分，不中得0分，若连续打中两次则额外加1分，连续打中三次额外加2分，以此类推……，连续打中七次额外加6分，假设该生每次打中的概率是23，且每次打中之间相互独立，则该生在比赛中恰好得7分的概率是（） A ．7623B ．8723C ．6623D ．6723【答案】B【分析】考虑三种情况，求出每种情况下的概率，相加得到答案.【详解】若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中排序，共有1343C C 4=种选择，故概率为436722241333⎛⎫⎛⎫⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若连中3次，额外加2分，剩余4次，两次打中，两次没打中，且两次打中不连续，故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况：中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，则概率为525136222C 1333⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若有两次连中两回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，满足要求，则概率为525136222C 1333⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，综上：该生在比赛中恰好得7分的概率为6558766722223333++=故选：B二、多选题9．下列命题正确的是（） A ．“||x y ≥”是“22x y ≥”的充要条件 B ．“21x =”是“=1x -”的必要不充分条件C ．若集合{}2,Z P x x k k ==∈，{}4,Z Q x x k k ==∈，则P Q ⊆D ．对任意R,[]x x ∈表示不大于x 的最大整数，例如[1.1]1,[ 1.1]2=-=-，那么“||1x y -<”是“[][]x y =”的必要不充分条件【答案】BD【分析】A 选项，可举出反例；B 选项，解方程21x =，得到1x =±，故B 正确；C 选项，根据集合间的关系得到Q P ⊆；D 选项，举出反例得到充分性不成立，推理出必要性成立，得到答案. 【详解】当1,0x y =-=时，满足22x y ≥，但不满足||x y ≥，故A 错误；21x =，解得：1x =±，因为=1=1x x -⇒±，但1x =±⇒1x =-，故“21x =”是“=1x -”的必要不充分条件，B 正确；{}(){}4,Z 22,Z Q x x k k x x k k ==∈==⨯∈，其中2k 为偶数，故Q P ⊆，C 错误；令0,0.5x y ==-，满足||1x y -<，但[]0,[]1x y ==-，[][]x y ≠，充分性不成立，由[][]x y =得：11x y -<-<，故||1x y -<，必要性成立，故“||1x y -<”是“[][]x y =”的必要不充分条件，D 正确. 故选：BD10．如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，…10，用X 表示小球落入格子的号码，则（）A ．5(1)512P X == B ．1(9)1024P X ==C ．()5D X = D ．5()2D X =【答案】AD 【分析】分析得到110,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，进而利用二项分布求概率公式求出相应的概率，利用二项分布求方差公式求出方差.【详解】设A =“向右下落”， A =“向左下落”，则()()12P A P A ==，因为小球最后落入格子的号码X 等于事件A 发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以110,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是9110115(1)C 22512P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，同理可得：9910115(9)C 22512P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，A 正确，B 错误；由二项分布求方差公式得：115()101222D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，C 错误，D 正确.故选：AD11．下列选项中正确的有（）.A ．随机变量14,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则()318D X += B ．将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数不相同”， B =“至少出现一个6点”，则概率()511P A B =C ．口袋中有7个红球、2个蓝球和1个黑球.从中任取两个球，记其中含红球的个数为随机变量ξ.则ξ的数学期望()75E ξ=D ．已知某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为2764【答案】AC【分析】对于A ，利用二项分布定义求解即可；对于B ，代入条件概率公式即可；对于C ，写出ξ的所有可能取值，列出分布列计算即可；对于D ，代入n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率公式即可．【详解】对于A ，随机变量X 服从二项分布14,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，118()4(1)393D X ∴=⨯⨯-=．则(31)9()8D X D X +==，故A 正确；对于B ，根据条件概率的含义，(A |B)P 其含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率， “至少出现一个6点”的情况数目为665511⨯-⨯=， “两个点数都不相同”则只有一个6点，共12510C ⨯=种，故10(|)11P A B =，故B 错误；对于C ，ξ的所有可能取值为0，1，2，273210()k kC C P k C ξ-==，可得1(0)15P ξ==，7(1)15P ξ==，7(2)15P ξ==．ξ的分布列1777()0121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=，故C 正确；对于D ，某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为123339(1)4464C ⨯⨯-=，故D 错误．故选：AC ．【点睛】本题考查了二项分布、条件概率、相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式、n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率等，知识点较多，但难度不大，仔细分析每一个选项即可． 12．甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用1A ，2A 表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B ，C 表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是（） A ．()15|21P B A = B ．()212|21P C A = C ．()1742P B =D ．()4384P C =【答案】BCD【分析】在各自新的样本空间中求出()1|P B A ，()2|P C A 判断A ，B ；利用全概率公式计算()P B ，()P C 判断C ，D 作答.【详解】在事件1A 发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则()25127C 10|C 21P B A ==，A 不正确；在事件2A 发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则()1143227C C 12|C 21P C A ==，B 正确；因1253(),()88P A P A ==，()110|21P B A =，()24272C 6|C 21P B A ==，则()()()12215103617||821821(2)()4P B P B A P B A P A P A =+=⨯+⨯=，C 正确；因()212|21P C A =，()1152127C C 10|C 42P C A ==，则()()()121251031243||821821()8)(4P C P C A P C A P A P A =+=⨯+⨯=，D 正确.故选：BCD三、填空题13．已知集合[],21A a a =-，{}12B x x =-≤≤，若A B A =，则a 的取值范围是________________．【答案】31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据交集运算的结果得到A B ⊆，从而得到不等式组，求出a 的取值范围. 【详解】因为A B A =，所以A B ⊆，因为[],21A a a =-，{}12B x x =-≤≤，所以211212a a a a <-⎧⎪≥-⎨⎪-≤⎩，解得：31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：31,2⎛⎤⎥⎝⎦14．某工厂为研究某种产品的产量x （吨）与所需某种原材料y （吨）的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：根据表中数据，得出y 关于x 的经验回归方程为.75ˆ0ˆy bx =+．据此计算出在样本(4,3)处的残差为0.15-，则表中m 的值为__________．【答案】3.8##195【分析】先由样本(4,3)处的残差求得ˆ0.6b=，再由样本中心落在回归直线上得到关于m 的方程，解之即可.【详解】因为回归方程为.75ˆ0ˆybx =+，在样本(4,3)处的残差为0.15-，所以()340.755ˆ0.1b -+=-，得ˆ0.6b =，故回归方程为0.6075ˆ.x y=+，因为()13456 4.54x =⨯+++=，()11023544my m +=⨯+++=，所以100.6 4.50.754m+=⨯+，解得 3.8m =，故m 的值为3.8. 故答案为：3.8.四、解答题15．如图，在全国中学生智能汽车总决赛中，某校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能等可能的向上或向右移动一个单位，共移动8次，则该智能汽车恰好能移动到点(5,3)M 的概率为________________．【答案】732##0.21875 【分析】将智能汽车的移动情况转化为组合问题，求出智能汽车移动的所有情况种数，再求出移动到点(5,3)M 的情况种数，从而利用古典概率的概率的求法即可得解.【详解】因为智能汽车每次只能等可能的向上或向右移动一个单位，共移动8次，所以智能汽车可能在这8次移动中向上移动8次，向右移动0次，共有88C 种情况，智能汽车可能在这8次移动中向上移动7次，向右移动1次，共有78C 种情况，智能汽车可能在这8次移动中向上移动6次，向右移动2次，共有68C 种情况， ……智能汽车可能在这8次移动中向上移动0次，向右移动8次，共有08C 种情况，一共有876088888C C C C 2++++=种情况，其中该智能汽车恰好能移动到点(5,3)M （记为事件M ），即在这8次移动中向上移动3次，向右移动5次，共有38876C 87321⨯⨯==⨯⨯⨯种情况，所以()8877232P M ⨯==. 故答案为：73216．已知条件:121p m x m -≤≤+，条件q ：________________，若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．试从下列两个条件中选择一个补充在上面横线处，并完成题目．（1）(){}2()lg 28x x f x x x ∈=-++（2）312x >- 【答案】答案详见解析【分析】根据所选条件求得条件q 对应的x 的取值范围，结合必要不充分条件的知识列不等式，从而求得m 的取值范围.【详解】因为q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，设满足条件p ，q 的x 构成集合,A B ，则A B ，其中{}121A m m m m =-≤≤+.若选条件（1）：(){}2()lg 28x x f x x x ∈=-++，()()22280,28420x x x x x x -++>--=-+<，解得24-<<x ，所以{}|24B x x =-<<，当A =∅，即211m m +<-，2m <-时满足题意；当A ≠∅，即12121412m m m m -≤+⎧⎪+<⎨⎪->-⎩，312m -<<时满足题意；..综上所述，m 的取值范围是3212m m <--<<或. 若选条件（2）：312x >-， ()()332510520222x x x x x x x -+--==>⇔--<---，解得25x <<，所以{}|25B x x =<<，当A =∅，即211m m +<-，2m <-时满足题意；当A ≠∅，即12121512m m m m -≤+⎧⎪+<⎨⎪->⎩，此时方程组无解；综上所述，m 的取值范围是2m <-.17．已知命题p ：方程e x mx =无解，命题2:(0,),10q x x mx ∀∈+∞++>恒成立．若命题p 和q 均为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】(],2-∞-【分析】得到e x mx =有解，转化为()e xf x =与y mx =有交点，画出两函数图象，数形结合得到：e m ≥或0m <，再根据题意得到2(0,),10x x mx ∃∈+∞++≤为真命题，参变分离后得到12x x ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭，得到2m ≤-，最后求交集得到实数m 的取值范围.【详解】命题p 为假命题，故方程e x mx =有解，即()e xf x =与y mx =有交点，画出()e xf x =与y mx =的图象，显然当0m <时，()e xf x =与y mx =有交点，符合要求，当0m >时，令()e x f x =，则()e xf x '=，设切点为()00,e x x ，则()e xf x =在()00,e x x 的切线斜率为()00e x f x '=，故()e xf x =在()00,e x x 的切线方程为()000e e x x y x x -=-，又切线过原点，故()0000e e 0x xx -=-，解得：01x =，所以()e xf x =在()00,e x x 的切线斜率为e ，故要想()e xf x =与y mx =有交点，需要满足e m ≥，综上：e m ≥或0m <，命题q 为假命题，故2(0,),10x x mx ∃∈+∞++≤为真命题，所以1(0,),x m x x ⎛⎫∃∈+∞≤-+ ⎪⎝⎭，其中1122x x x x ⎛⎫-≤-- ⎪⋅⎝⎭+，故2m ≤-，将e m ≥或0m <与2m ≤-取交集得：实数m 的取值范围为(],2-∞-.18．某车间一天生产了100件产品，质检员为了解产品质量，随机不放回地抽取了20件产品作为样本，并一一进行检测．假设这100件产品中有40件不合格品，60件合格品，用X 表示样本中合格品的件数．(1)求X 的分布列（用式子表示）和均值；(2)用样本的合格品率估计总体的合格品率，求误差不超过0.1的概率．参考数据：设(),0,1,2,,20k P X k p k ===⋯．则8910110.02667,0.06376,0.11924,0.17483p p p p ====121314150.20078,0.17972,0.12422,0.06530p p p p ====【答案】(1)分布列见解析，12 (2)0.79879【分析】（1）根据题意得到随机变量X 服从超几何分布，得到分布列及数学期望；（2）样本合格品率2020Xf =，故()()200.60.11014P f P X -<=≤≤，再根据题目条件得到其概率，得到答案.【详解】（1）由于质检员是随机不放回的抽取20件产品，各次实验结果不相互独立，所以随机变量X 服从超几何分布.X 的分布列为()20604020100C C ,0,1,220C k kP X k k -⋅===；X 的均值为()602012100E X np ==⨯=. （2）样本中合格品率2020Xf =是一个随机变量， ()()200.60.11014P f P X -<=≤≤0.119240.174830.200780.179720.124220.79879=++++=，所以误差不超过0.1的概率为0.79879.19．某高科技公司对其产品研发年投资额x （单位：百万元）与其年销售量y （单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①y bx a =+和②e bx a y +=两种方案作为年销售量y 关于年投资额x 的回归分析模型，经计算方案①为ˆ 1.2 1.3yx =-，请根据表2的数据，确定方案②的回归模型；表2： x12 345ln z y = -0.7 0 0.4 1.1 1.7(2)根据下表中数据，用决定系数2R 比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为7百万元时的年销售量．经验回归方程ˆ 1.2 1.3yx =- e bx a y +=()521ˆii i yy=-∑1.90.1122参考公式及数据：()()()1122211ˆˆˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nxybay bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑，()()()2222.86112221111.e 17.5nni ii ii i n n i ii i y y y y R y y yny ====--=-=-≈--∑∑∑∑【答案】(1)0.59 1.27e x y -=；(2)选择方案②，理由见详解，17.5（千件）.【分析】（1）e bx a y +=两边取对数，求出3x =，0.5z =，代入公式求出ˆ0.59b =，ˆˆ 1.27a z bx=-=-，求出回归方程；（2）求出 2.3y =，计算出2221R R >，得到案②的回归模型精度更高、更可靠，并代入7x =求出预测当研发年投资额为7百万元时的年销售量为17.5（千件）. 【详解】（1）对e bx a y +=两边取对数得：ln y bx a =+，令ln z y =，其中1234535x ++++==，0.700.4 1.1 1.70.55z -++++==，则()222222ˆ0.5910.72030.44 1.15 1.7530.51234553b⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯-+==⨯⨯+++-⨯， ˆˆ0.50.593 1.27az bx =-=-⨯=-，所以ln 0.59 1.27z y x ==-，即0.59 1.27e x y -=；（2）方案①ˆ 1.2 1.3yx =-中，0.51 1.53 5.52.35y ++++==，()5221122512222220.51 1.53 5.551.9 1.91110.88316.32.35iii ii y y R yy ==-=-=-=-≈-++++-⨯∑∑，方案②0.59 1.27e x y -=中，同理可得：0.51 1.53 5.52.35y ++++==，()2212221550.1122110.99316.35i ii ii y y R yy ==-=-=-≈-∑∑，显然2221R R >，故方案②的回归模型精度更高、更可靠，令0.59 1.27e x y -=中7x =得：0.597 1.27 2.86e e 17.5y ⨯-==≈，所以预测当研发年投资额为7百万元时的年销售量为17.5（千件）.20．某商场为了促销规定顾客购买满600元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，20元，30元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次抽中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小王购买了600元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为211,,323，选择继续抽奖的概率均为12，且每次是否抽中互不影响．(1)求小王第一次抽中，但所得奖金归零的概率；(2)设小王所得奖金总数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】(1)29(2)分布列见解析，数学期望为152【分析】（1）设出事件，分为两种情况，第一次抽中，第二次没抽中和前两次均抽中，第三次没抽中，利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式进行求解；（2）写出X 的可能取值及相应的概率，得到分布列及数学期望. 【详解】（1）记小王第i 次抽中为事件(1,2,3)i A i =，则有()123P A =,()212P A =,()313P A =，并且123A A A ，，两两相互独立.小王第一次抽中但奖金归零记为事件A ，则A 的概率()()()12123P A P A A P A A A =+ 211211121132232239=⨯⨯-+⨯⨯⨯-=（）（）. （2）小王所得奖金总数为随机变量X ，则X 的可能取值为0，10，30，60， ()()122501399P X P A A ⎛⎫==+=-+= ⎪⎝⎭，()()11211102323P X P A ==⨯=⨯=， ()()12121111302322212P X P A A ==⨯=⨯⨯⨯=， ()()123211111603222336P X P A A A ===⨯⨯⨯⨯=.随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()51111501030609312362E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.21．2022年新型冠状“奥密克戎”病毒肆虐，冠状肺炎感染人群年龄大多数是50岁以上的人群．该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对200个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.1，方差为5.06．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：(1)依据小概率值0.05α=的独立性检验，可否认为“长潜伏期”与年龄有关？ (2)假设潜伏期Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；(3)以题日中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有()*∈N k k 个属于“长潜伏期”的概率是()g k ，当k 为何值时，()g k 取得最大值？附：22())n ad bc b d χ-=+．若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-≤≤+≈，(22)0.9545P Z μσμσ-≤≤+≈，(33)0.9973P Z μσμσ-≤≤+≈ 2.25≈．【答案】(1)认为“长潜伏期”与年龄无关． (2)答案见解析 (3)k ＝250【分析】（1）计算出卡方，与3.841比较后得到结论；（2）求出()27.1,2.25ZN ，由正态分布的对称性求出()10.997313.850.001352P Z -≥≈=，根据小概率事件得到相应结论；（3）表达出()g k ，得到()()11001113g k g k k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，从而得到()g k 的单调性，得到()g k 取得最大值时k的值.【详解】（1）零假设为H 0：“长潜伏期”与年龄无关，依据表中数据，得： 22200(304011020) 3.175 3.8411406050150χ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，依据小概率值0.05α=的独立性检验，没有充分证据推断H 0不成立，因此认为H 0成立，故认为“长潜伏期”与年龄无关；（2）由题意知潜伏期()27.1,2.25ZN ，由()10.997313.850.001352P Z -≥≈=，得知潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的；（3）由于200个病例中有50个属于长潜伏期，若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是14，于是()1000100013C44k kk g k -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()()10001000100011001110001100013C C 1100144113C 313C 44kkk kk k k k g k g k k -----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===- ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当100104k <<且N k *∈时，()()11g k g k >-；当100110004k <≤且N k *∈时，()()11g k g k <-； ∴()()()12250g g g <<<，()()()2502511000g g g >>>．故当k ＝250时，g (k )取得最大值．五、双空题22．某生将参加创新知识大赛，答题环节有6道题目，每答对1道得2分，答错减1分，已知该生每道题目答对的概率是23，且各题目答对正确与否相互之间没有影响，X 表示该生得分，则()E X =____，()D X =__________【答案】 6 12【分析】根据题意可知该生答对问题的个数Y 服从二项分布，利用二项分布求得()(),E Y D Y ，再由X 与Y 的关系求得(),E X ()D X 即可.【详解】依题意，设Y 表示该生答对问题的个数，则Y 服从二项分布26,3Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()()221464,63333E Y D Y =⨯==⨯⨯=，又因为()2636X Y Y Y =--=-，所以()()363466E X E Y =-=⨯-=，()()2439123D X D Y ==⨯=. 故答案为：6；12.。

山东省聊城市2021--2022学年高二数学下学期期中教学质量检测试题(解析版)

解：由于男女相间，可先让2名男生站好，有种站法，
再将，
再由分步计数原理可得男生和女生相间的站法有种；
【小问3详解】
解：当男生甲在排尾时，有种排法，
当男生甲既不在排头又不在排尾时，
男生甲有种排法，女生乙有种排法，其余3人有种排法，
此时共有种排法，
所以男生甲不在排头，女生乙不在排尾的站法有种.
18. 甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取．在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是．
（1）甲单独答题三轮，求甲恰有两轮通过测试的概率；
（2）在甲，乙两人中任选一人进行测试，求通过测试的概率．
1. 用数字1，2，3，4组成没有重复数字三位数，其中奇数的个数为（）
A.6B.12C.16D.18
【答案】B
【解析】
【分析】先排个位，再排百位和十位，即得结果.
【详解】先排个位，有2种选法，再排百位和十位，有种排法，
因此共有种排法，
故选：B
2. 设曲线在点处的切线方程为，则（）
A. 1B. C. D.
先涂区域，有4种方法，再涂区域，有3种方法，然后涂区域，有2种方法，再涂区域，有1种方法，再涂区域，有1种方法，最后涂区域，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域涂不同颜色的涂色方法有种，即48种方法，
由分类加法计数原理可得涂色方法总数是48+24+48种方法，即120种方法.
故答案为：120.
∴ .
故选：A.
4. 冬奥会越野滑雪项目比赛共分组，现安排名志愿者负责这组的服务工作，每人至少负责组，每组的服务工作由人完成，则不同的安排方式共有（）

山东省齐鲁名校大联考2022-2023学年高三下学期第二次学业质量检测数学试题附答案

齐鲁名校大联考2023届山东省高三第二次学业质量联合检测数学本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 在复平面内的对应点为()2,1，则10z z +=（） A ．63i +B ．6i +C ．63i -D ．6i -2．设集合{}21002xM x x =∈<<Z ，则M 的所有子集的个数为（）A ．3B ．4C ．8D ．163．设随机变量()2,X N μσ~，且()0.5P X a ≥=，()()3P X b P X b <=≥，则()2P X a b ≤-=（） A ．0.25B ．0.3C ．0.5D ．0.754．抛掷一枚质地均匀的骰子3次，则向上的点数为3个互不相同的偶数的概率为（） A ．13B ．19C ．118D ．1365．已知等边三角形ABC 的边长为1，动点P 满足1AP =．若AP AB AC λμ=+，则λμ+的最小值为（）A ．B ．C ．0D ．36．克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师·托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，且AC =。

2ADC BAD ∠=∠．若AB CD BC AD ⋅+⋅=，则圆O 的半径为（）A ．4B ．2CD ．7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点M 满足13CC CM =．若在正方形1111A B C D 内有一动点P 满足BP ∥平面1AMD ，则动点P 的轨迹长为（）A ．3B C D ．8．设sin0.2a =，0.2cos0.1b =，2sin0.1c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知双曲线C ：2212x y -=和圆P ：()2223x y r +-=（0r >），则（）A ．双曲线C 的离心率为2B ．双曲线C 的渐近线方程为20x y ±=C ．当r =C 与圆P 没有公共点D ．当r =C 与圆P 恰有两个公共点10．已知函数()sin cos ,0f x a x b x ab =+≠．若曲线()y f x =经过点π,26⎛⎫- ⎪⎝⎭，且关于直线π6x =对称，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．b =C ．()f x 的最大值为2D ．()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 11．在数列{}n a 中，若对于任意*n ∈N ，都有1641n n a a ++=+，则（） A ．当11a =或12a =时，数列{}n a 为常数列B ．当12a >时，数列{}n a 为递减数列，且12n a a <≤C ．当112a <<时，数列{}n a 为递增数列D ．当101a <<时，数列{}n a 为单调数列 12．已知函数()f x 的定义域为R ，12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有()23f x -=()3f x ，则（）A ．()()1f x f x +=B ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．()2f x +为偶函数D ．12f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．写出曲线33y x x =-过点()2,2的一条切线方程______．14．已知椭圆C ：22163x y +=，直线l ：1y x =+交C 于M ，N 两点，点()0,3P ，则PMN △的周长为______．15．设奇函数()f x 的定义域为R ，且对任意1x ，()20,x ∞∈+∞，都有()()()1212f x x f x f x =+．若当1x >时，()0f x <，且124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()()lg 20f x +<的解集为______．16．已知三棱锥P ABC -的体积为6，且236PA PB PC ===．若该三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，则三棱锥O ABC -的体积为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}n a 满足121n n a a +=-，123a a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若21n b n =-，数列{}n c 满足4321n n c b --=，4221n n c a --=，412n n c a -=，42n n c b =，求{}n c 的前41n +项和41n S +．18．（12分）在ABC △中，2AB AC =，D 是边BC 上一点，2CAD BAD ∠=∠．（1）若3π4BAC ∠=，求BD CD的值；（2）若1AC =，求AD 的取值范围．19．（12分）为了促进地方经济的快速发展，国家鼓励地方政府实行积极灵活的人才引进政策，被引进的人才，可享受地方的福利待遇，发放高标准的安家补贴费和生活津贴．某市政府从本年度的1月份开始进行人才招聘工作，参加报名的人员通过笔试和面试两个环节的审查后，符合一定标准的人员才能被录用．现对该市1～4月份的报名人员数和录用人才数（单位：千人）进行统计，得到如下表格．（1）求出关于的经验回归方程；（2）假设该市对被录用的人才每人发放2万元的生活津贴．（ⅰ）若该市5月份报名人员数为8000人，试估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额；（ⅱ）假设在参加报名的人员中，小王和小李两人被录用的概率分别为p ，31p -．若两人的生活津贴之和的均值不超过3万元，求p 的取值范围．附：经验回归方程ˆˆˆya bx =+中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1122ˆni iii ni x y nx yb xnx==-=-∑∑；ˆˆa y bx =-；421128.5i i x ==∑，418.24i ii x y ==∑． 20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等边三角形，M 为PA 的中点，PD AB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）证明：平面MCD ⊥平面PAB ；（2）若AD BC ∥，2AD BC =，2CD AB =，求平面MCD 与平面PBC 夹角的余弦值． 21．（12分）已知F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，O 为坐标原点，M 为C 的准线l 上的一点，直线MF 的斜率为1-，OFM △的面积为1．（1）求C 的方程；（2）过点F 作一条直线l '，交C 于A ，B 两点，试问在l 上是否存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（12分）已知0a >，函数()23ln f x x a x =-，()2ln g x ax a x =-．（1）若()f x 和()g x 的最小值相等，求a 的值；（2）若方程()()f x g x =恰有一个实根，求a 的值．参考答案及解析2023届山东省高三第二次学业质量联合检测·数学1．D 【解析】由题意，得2i z =+，所以()()()()102i 10102i 2i 2i 22i 6i 2i 2i 2i z z -+=++=++=++-=-++-． 2．C 【解析】由题意，得{}7,8,9M =，故集合M 的所有子集的个数为328=．3．A 【解析】由已知得a μ=，()0.25P X b ≥=，故由正态曲线的对称性可得()20.25P X a b ≤-=． 4．D 【解析】抛掷一枚质地均匀的骰子3次共有36个不同的结果，设“向上的点数为3个互不相同的偶数”为事件A ，则事件A 共包含33A 个不同的结果，故所求概率()333A 1636P A ==．5．B 【解析】因为1AP =，所以1AB AC λμ+=，得221λμλμ++=，则()2212λμλμλμ+⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，整理得()243λμ+≤，得λμ≤+≤λμ+的最小值为6．B 【解析】由托勒密定理，得AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅=AC =，所以2BD =．设圆O 的半径为R ，由正弦定理，得2sin sin AC BDR ADC BAD==∠∠．又AC =，所以sin ADC BAD ∠=∠．因为2ADC BAD ∠=∠，所以2sin cos BAD BAD BAD ∠∠=∠，所以cos 2BAD ∠=，1sin 2BAD ∠=，则24sin BD R BAD==∠，故2R =． 7．C 【解析】在11A D 和1AA 上分别取点E ，F ，使得11113A E A D =，1113A F AA =，连接EF ，1BC ，BF ，1C E ，则1EF AD ∥．又1AD ⊂平面1AMD ，EF ⊄平面1AMD ，所以EF ∥平面1AMD ，同理可得BF ∥平面1AMD ，所以平面1BC EF ∥平面1AMD ．又平面1BC EF ⋂平面11111A B C D C E =，故动点P的轨迹为线段1C E 8．A 【解析】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由三角函数线及几何知识可得sin tan x x x <<，所以sin0.10.1tan0.1<<．又cos0.10>，所以sin0.1cos0.10.1cos0.1<<sin0.1，即sin0.20.2cos0.12sin0.1<<，故a b c <<．9．ACD 【解析】由已知得a =1b =，则c =C的离心率c e a ==，故选项A 正确；双曲线C的渐近线方程为y x =，即0x ±=，故选项B 错误；因为圆心()0,3P 到双曲线C，所以当r =P 与双曲线C 的渐近线相切，此时双曲线C 与圆P 没有公共点，故选项C 正确；设双曲线C 上的点Q 的坐标为(),x y ，则圆心P 到点Q 的距离为==P 到双曲线C 上的点的距离的最小值为，且双曲线C上只有两个点到圆心P 的距离为r =C 与圆P 恰有两个公共点，故选项D 正确．10．ABD 【解析】由曲线()y f x =关于直线π6x =对称，得()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则b =，所以()πsin cos 2sin 3f x a x x a x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．又π26f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π2sin 26a =，解得2a =，则b =，()π4sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选项AB 正确、选项C 错误；当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项D 正确． 11．ABC 【解析】由1641n n a a ++=+，得1641n n a a +=-+，当11a =时，231a a ==⋅⋅⋅=；当12a =时，232a a ==⋅⋅⋅=，故选项A 正确；又()12262211n n n n a a a a +--=-=++， ()()1126411n n n n n n n a a a a a a a +---=--=-++，当12a >时，得22a >，同理可得32a >，…，2n a >．又可得10n n a a +-<，即1n n a a +<，则数列{}n a 为递减数列，且12n a a <≤，故选项B 正确；当112a <<时，()()112111201a a a a a ---=->+，即211aa >>．又()12122201a a a --=<+，故22a <，所以212a <<，同理可得312a <<，…，12n a <<，所以10n n a a +->，即1n n a a +>，则数列{}n a 为递增数列，故选项C 正确；当101a <<时，()()112111201a a a a a ---=-<+，则211aa <<．又12115161511a a a a -+=-=++，其符号不能确定，所以32a a -的符号不能确定，故选项D 错误． 12．BCD 【解析】由()()233f x f x -=，得()()2f x f x -=．由12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数，得1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()1f x f x =--，所以()()21f x f x -=--，即()()1f x f x +=-，所以()()2f x f x +=，故选项A 错误；由()()1f x f x =--，得102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，由()()1f x f x +=-，得1122f f ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选项B 正确；由()()2f x f x +=，()()2f x f x -=，得()()22f x f x -=+，故选项C 正确；由()()1f x f x =--，()()2f x f x +=，得()()1f x f x =---，则1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确．三、填空题13．2y =或9160x y --=（写出其中的一个答案即可）【解析】因为点()2,2在曲线33y x x =-上，所以曲线33y x x =-在点()2,2处的切线方程符合题意．因为233y x '=-，所以曲线33y x x =-在点()2,2处的切线方程为()292y x -=-，即9160x y --=．因为当1x <-或1x >时，0y '>；当11x -<<时，0y '<，所以函数33y x x =-在1x =-处取得极大值2．又极大值恰好等于点()2,2的纵坐标，所以直线2y =也符合题意． 14．【解析】设1F ，2F 分别是C的左、右焦点，由已知得a =b =c =()1F，)2F ．因为()0,3P ，所以12PF F △为等边三角形．又直线l 经过点1F 且倾斜角为30°，所以直线l 垂直平分2PF ，则2PM MF =，2PN NF =，故PMN △的周长等于2F MN △的周长，即为4a =15．()11,2,424⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭【解析】设120x x <<，则211x x >，所以210x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故()()()222111110x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=⋅-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()21f x f x <，所以()f x 在区间()0,+∞上单调递减．又()f x 是R 上的奇函数，所以()f x 在区间(),0-∞上单调递减．由()()()111f f f =+，得()10f =，()10f -=，所以当0x >时，()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．由124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()42f =-，124f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．由111422f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()21f =-．因为()()lg 20f x +<可化为()21f x -<<-，所以1124x -<<-或24x <<．16．3 【解析】由已知得6PA =，3PB =，2PC =．设点A 到平面PBC 的距离为h ，则111sin 332PB P ABC A PBC C S h PB PC BPC h V V ∠--⋅=⨯⨯⨯⨯⨯==△三三棱锥棱锥11666PB PC h PB PC PA ≤⋅⋅≤⋅⋅=．又 6P ABCV -=三棱锥，所以PA ，PB ，PC 两两垂直．取BC 的中点M ，连接PM 并延长至点D ，使MD PM =，连接AD ，则AD 的中点即为球心O ．因为点O 到平面ABC 的距离等于点D 到平面ABC 的距离的12，而点D 到平面ABC 的距离等于点P 到平面ABC 的距离，所以132O ABC P ABC V V --==三棱锥三棱锥．四、解答题17．解：（1）由121n n a a +=-，得2121a a =-，3143a a =-．因为123a a a +=，所以1112143a a a +-=-，解得12a =．又由121n n a a +=-，得()1121n n a a +-=-，而1110a -=≠，所以数列{}1n a -为等比数列，所以112n n a --=，故121n n a -=+．（2）由已知得数列{}n c 的各项依次为1b ，1a ，2a ，2b ，3b ，3a ，4a ，4b ，…，所以()()411221221n n n S a a a b b b ++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+．因为0122112222222412n n n a a a n n -++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++=-+，()()21221134121n b b b n n +++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++=+，所以241446n n S n n +=++．18．解：（1）由3π4BAC ∠=，2CAD BAD ∠=∠，得π4BAD ∠=，π2CAD ∠=．在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AD BADBD B⋅∠=；在ACD △中，由正弦定理，得sin sin AD CADCD C⋅∠=；在ABC △中，由正弦定理，得sin sin C ABB AC=，所以πsinsin sin 42πsin sin sin 2BD BAD C AB CD CAD B AC ∠=⋅=⋅==∠ （2）由1AC =，得2AB =．设BAD α∠=，则2CAD α∠=，3BAC α∠=，所以1sin sin32ABC S AB AC BAC α=⋅∠=△，1sin sin 2ABD S AB AD BAD AD α=⋅∠=△， 1sin sin cos 2ACD S AC AD CAD AD αα=⋅∠=△，则()sin3sin sin cos AD αααα=+，故2sin3sin cos2cos sin24cos 1sin sin cos sin sin cos 1cos AD ααααααααααααα+-===+++．设1cos t α+=，则348AD t t=+-．因为0πBAC <∠<，所以π03α<<，则322t <<．设()348f t t t =+-，322t <<，则()234f t t=-'．因为当322t <<时，()0f t '>，所以函数()f t 在区间3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增．因为302f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()322f =，所以()302f t <<，故AD 的取值范围为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 19．解：（1）由题意得 3.55 6.57 5.54x +++==，0.20.330.40.470.354y +++==，所以222414148.244 5.50.350.072128.54 5.54ˆi ii i i x y x yb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆ0.350.072 5.50.046ˆay bx =-=-⨯=- 故y 关于x 的经验回归方程为0.0720.046ˆyx =-．（2）（ⅰ）将8x =代入0.0720.046ˆyx =-，得3ˆ0.07280.0460.5y =⨯-=，所以20.5310001060⨯⨯=（万元），故估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额为1060万元．（ⅱ）设小王和小李两人中被录用的人数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，则()()()201131352P X p p p p ==---=-+⎡⎤⎣⎦， ()()()()21131131661P X p p p p p p ==--+--=-+-⎡⎤⎣⎦，()()22313P X p p p p ==-=-，所以()()()()222035216612341E X p p p p p p p =⨯-++⨯-+-+⨯-=-，则()2413p ⨯-≤，解得58p ≤．又01,0311,p p <<⎧⎨<-<⎩所以1233p <<，则1538p <≤．故p 的取值范围是15,38⎛⎤ ⎥⎝⎦．20．（1）证明：如图，取AD 的中点O ，连接OP ．因为PAD △为等边三角形，所以OP AD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD ．因为AB ⊂平面ABCD ，所以OP AB ⊥．因为PD AB ⊥，PD OP P ⋂=，PD ，OP ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ．又MD ⊂平面PAD ，所以AB MD ⊥．因为M 是PA 的中点，所以MD PA ⊥．又PA AB A ⋂=，PA ，AB ⊂平面PAB ，所以MD ⊥平面PAB ．因为MD ⊂平面MCD ，所以平面MCD ⊥平面PAB ．（2）解：如图，连接OC ，因为AD BC ∥，2AD BC =，O 是AD 的中点，所以四边形ABCO 是平行四边形．由（1）知AB ⊥平面PAD ，而AD ⊂平面PAD ，所以AB AD ⊥，所以OC AD ⊥，所以OD ，OC ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OC ，OD ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设1AB =，则1OC =，OD OA BC ===3OP =，所以()0,A，()D ，()1,0,0C，()1,B ，()0,0,3P，30,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则()1,DC =，30,2DM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()BC =，()1,0,3CP =-．设平面MCD 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m DC m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,30.2x y z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，得x z ==MCD的一个法向量为(3,1,m =．设平面PBC 的法向量为(),,n x y z '=''，则0,0,n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,30.x z =-+=⎪''⎩' 令1z '=，得3,0x y ='='，所以平面PBC 的一个法向量为()3,0,1n =．因为33cos ,357m nmn m n ⋅===⨯ 所以平面MCD 与平面PBC 夹角的余弦值为35． 21．解：（1）由题意知,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点M 的坐标为,2p a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线MF 的斜率为022a a p p p -=---．因为直线MF 的斜率为1-，所以1a p -=-，即a p =，所以OFM △的面积21124p S OF a ===，解得2p =或2p =-（舍去），故C 的方程为24y x =．（2）假设存在点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方．由（1）得()1,0F ，抛物线C 的准线l 的方程为1x =-．设直线l '的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()1,N t -，联立21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=，所以216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =-．因为0112NF t t k -==-+， ()()()12121221212122241124NA NB my y tm y y t y t y t k k x x m y y m y y +-+---+=+=+++++ ()()()()2224124424424441t m m m tm t t m m m m -+⋅-+--===--+⋅++，所以22t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得0t =或4t =-．故存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方，其坐标为()1,0-或()1,4--． 22．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()23232a x a f x x x x-=-='．令()0f x '=，得x =因为当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>，所以()f x 在区间⎛⎝上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，所以当x =()f x 有极小值，且极小值也是最小值，则()min 333ln 222a a a f x f ==-．函数()g x 的定义域为()0,+∞，()22a ax a g x a x x -=-='，令()0g x '=，得12x =．因为当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以当12x =时，()g x 有极小值，且极小值也是最小值，则()min 1ln22g x g a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．由()()minmin f x g x =，得333ln ln2222a a a a a -=+，解得a = （2）设()()()22ln 2h x f x g x x a x ax =-=--，0x >，则()()22222x ax a a h x x a x x--=--='．设()2x x ax a ϕ=--，0x >，则()x ϕ在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．又()00a ϕ=-<，所以存在0,2a x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，使得()00x ϕ=，且当()00,x x ∈时，()0x ϕ<；当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ>，所以()00h x '=，且当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增，故()()20000min 2ln 2h x h x x a x ax ==--．又()20000x x ax a ϕ=--=，所以()()00min 12ln h x a x x =--．由方程()()f x g x =恰有一个实数根，得函数()h x 恰有一个零点，又当0x →时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞，所以()()00min 12ln 0h x a x x =--=，即0012ln 0x x --=．设()12ln x x x γ=--，显然()x γ在区间()0,+∞上单调递减，且()10γ=，所以01x =．将01x =代入2000x ax a --=，解得12a =．。