八上培优半角模型

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半角模型(八年级人教版)

半角模型（八上人教版）

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夹半角模型是初二全等几何另一个非常重要的模型，其证明过程值巧妙，图形变化之丰富，还能与很多知识点（如角平分线定理，勾股定理）相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的常客。其辅助线的思路有两种：一是截长补短，二是旋转。学会截长补短可以解决基本问题，而理解旋转才能真正理解这种模型．

已知如图：

1. 1

AOB 2

∠∠ 2. OA OB =。

连接FB ，将△FOB 绕点O 旋转至△FOA 的位置，连接F ′E 、FE ，可得△OEF ′≌△OEF 。

模型分析

（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；夹半角模型分类：（1）90度夹45度；（2）120度夹60度；（3）2α夹α．

题型一 90度夹45度

例1.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠B =∠C =∠D =90°，AB =BC =CD =AD ，E 在BC 上，F 在

CD 上，且∠EAF =45°，求证：（1）BE +DF =EF （

2）∠AEB =∠AEF ．

例2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，45

∠=︒．

EAF

（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；

（2）如图（2），若AH EF

⊥于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．

例3. 如图，正方形ABCD中，1

AB=，以线段BC、CD上两点P、Q和方形的点A为顶点作正方形的内接等边APQ

∆的边长．

苏科版八年级数学上册期中培优：全等、等腰与勾股定理综合：手拉手模型、半角模型与鸡爪模型应用

《八年级数学期中培优》全等、等腰与勾股综合：手拉手模型、半角模型与鸡爪模型应用

1．在△ABC 和△DEC 中，AC =BC ，DC =EC ，∠ACB =∠ECD =90°．（1）如图1，当点A 、C 、D 在同一条直线上时，AC =12，EC =5．

①求证：AF ⊥BD ， ②求AF 的长度；

（2）如图2，当点A 、C 、D 不在同一条直线上时．求证：AF ⊥BD ；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF 并延长CF 交AD 于点G ，∠AFG 是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG

的度数，若不是，请说明理由．

2、如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=900

，D 在AB 边上一点。（1）求证：△ACE ≌ △BCD ；(2)已知：AD=5，BD=12. 求：DE 的长.

F E

B C

图1 图2 图3

3、如图，ΔABC，ΔCDE是边等三角形，C为线段AE上一不动点，下列结论：①CN∥AB；②AD=BE；

③∠AOE=120°；④CM=CN；⑤OC平分∠AOE；⑥OB+OC=OA；⑦DM=CN其中正确的有

4、（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方

作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？

八上培优半角模型

八上培优5 半角模型方法：截长补短

往往出现90。套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有2 求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造

勤学早和新观察均有专题。勤学早在第 49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。

4.如图 1.在四边形 ABCD 中. AB=AD / B+Z D=180，E 、F 分别是边 BC CD

上的点，且/ BAD 二龙EAF

全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。图形中, 套的情况。求五边形ABCD 的面积.

(1)求证：EF 二BE+DF

(2)在(1)问中，若将△ AEF 绕点A 逆时针旋转，当点 E 、F 分别运动到BC

顶点作一个60°的角，角的两边分别交 AB AC 于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE CF EF 之间的数量关系，并加以证明.

勤学早第40页试题

1. (1)如图，已知 AB=?AC, / BAC=90，?/?MAN=4°5 ,过点 C 作 NC?t AC 交AN 于点N,过点B 作BM 垂直AB 交AM 于点M,当/ MANS / BAC 内部时，求证：BM+CN?=MN;

G,使 BG 二CN 连接 AG 证^ABd A ACN(SAS)「AN 二AC /

CD 延长线上时，如图 2所示，试探究EF 、BE DF 之间的数量关系.

3.如图3, 在四边形 ABDC 中, Z B+Z C=180，DB=DC / BDC=120，以 D 为

八上培优5 半角模型

欢迎共阅八上培优5 半角模型方法：截长补短图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有2α套α

的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。

勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。

2. 如图，△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,E为AB上一点，∠DCE=60°,∠DAE= 120°，

求证:DE=BE

证明:(补短法)延长EB至点F,使BF=AD,连接CF,则△CBF≌△CAD，

△CED≌△CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.

3.如图,△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°，点E为AB上一点，∠DCE=∠DAE= 60°，求证:AD+DE= BE.

证明:(截长法)在BE上截取BF=AD,连接CF，易证△CBF≌△CAD，

△CED≌ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.

比较：新观察培优版27页

例4如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角，∠BDC= 120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于M、N, 连结MN, 试求△AMN的周长.

分析:由于∠MDN=60°,∠BDC=120°，所以∠BDM十∠CDN=60°，注意到DB=DC，考虑运用“旋转法”将∠BDM和∠CDN移到一起，寻找全等三角形。另一方面,△AMN的周长AM+AN + MN= AB+ AC+MN-BM- CN. 猜想MN= BM+CN,证三角形全等解决.

培优：半角模型之90°和45°-120°和60°经典例题巩固提升（三）

培优：半角模型之90°和45°-120°和60°经典例题巩固提升

（三）

几何培优：半角模型之90°和45°-120°和60° 经典例题+巩固提升（三）

【巩固提升】

【分析】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE,由旋转得出∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE= ∠ACD，∠EAB= ∠CAN，求出∠EAM=∠MAN,根据SAS推出△AEM≌△ANM，根据全等得出MN=ME，求出MN=CN+BM，解直角三角形求出DC,即可求出△DMN的周长=BD+DC，代入求出答案即可.

【分析】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE,由旋转得出∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE= ∠ACD，∠EAB= ∠CAN,求出∠EAM=∠MAN，根据SAS推出△AEM≌△ANM，根据全等得出MN=ME，求出MN=CN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周长=BD+DC，代入求出即可.

【小结】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等:对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角:旋转前、后的图形全等.也考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系.

八年级数学全等三角形“半角”模型

一、什么叫半角模型

定义：

我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

1、常见的图形

正方形，正三角形，等腰直角三角形等。

2、解题思路

① 将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形；

② 证明与半角形成的三角形全等；

③ 通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。

二、基本模型

1、正方形内含半角

例题1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。

例题1图

证明：

将△ADF 绕点 A 顺时针旋转90° ，使点 D 与点 B ，点 F 与点 G 重合（△ADF ≌ △ABG），如下图所示：

例题1旋转图

在△AGE 和△AFE 中

∵ AG = AF , ∠GAE = ∠EAF = 45° ， AE = AE

∴ △AGE ≌ △AFE ∴ GE = EF

∵ GE = GB + BE = DF + BE

∴ EF= BE + DF

2、等边三角形内含半角

例题2、如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D 是△ABC 外一点，DB = DC 且∠BDC = 120° ，∠EDF = 60° ，DE ，DF 分别交 AB ，AC 于点 E , F 。

求证： EF = BE + CF

例题2图

证明：

将△BDE 绕点 D 旋转至△CDG ，使△BDE ≌ △CDG

（注：题目中已知条件 DB = DC 且∠BDC = 120°，易证∠EBD = ∠GCD = 90°，F、C、G 三点共线）

中考数学压轴必刷专题2半角模型(学生版)

【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题2半角模型

【例1】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，分别连接EF、BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N

（1）求证：EF＝BE+DF

为了证明“EF＝BE+DF”，小明延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程．

（2）若BE＝2，DF＝3，请求出正方形ABCD的边长．

（3）请直接写出线段BN、MN、DM三者之间的数量关系

【例2】如图，ABC是边长为2的等边三角形，BDC是顶角为120°的等腰三角形，以点D为顶点作60

MDN

∠=︒，点M、N分别在AB、AC上．

（1）如图①，当//

MN BC时，则AMN的周长为______；

（2）如图②，求证：BM NC MN

+=．

【例3】．如图，在四边形ABCD中，90

B D

∠=∠=︒，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，AF，EF．典例题

（1）如图①，AB AD =，120BAD ∠=︒，60EAF ∠=︒．求证：EF BE DF =+；

（2）如图②，120BAD ∠=︒，当AEF 周长最小时，求AEF AFE +∠∠的度数；

（3）如图③，若四边形ABCD 为正方形，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且45EAF ∠=︒，若3BE =，2DF =，

请求出线段EF 的长度．

【例4】（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝100°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝50°．探究图中线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．

(完整word版)八上培优5半角模型

八上培优5 半角模型方法：截长补短图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有2α套α的情况。求

证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。

勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。

下面是新观察第34页1~4题

1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD上，且∠EBF=60゜．求证：EF=AE+CF．

2.如图2，在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF．

3.如图，∠A=∠B=90°, CA=CB=4, ∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE 的面积.

4．如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF．

（1）求证：EF=BE+DF；

（2）在（1）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系．

3.如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

八年级数学上培优辅导讲义拔尖训练第3讲夹半角的模型导学案及课时练习

夹半角模型培优辅导讲义

模块一夹半角的模型

夹半角模型分类：

（1）90度夹45度

（2）120度夹60度

（3）2α夹α

题型一90度夹45度

【例1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，E在BC上，F在CD上，且∠EAF=45°，求证：（1）BE+DF=EF（2）∠AEB=∠AEF

【练】在例1的条件下，若E在CB延长线上，F在DC延长线上，其余条件不变，证明：（1）DF-BE=EF

（2）∠AEB+∠AEF=180°

【例2】已知△ABC为等腰三角形，∠ACB=90°，M、N是AB上的点，∠MCN=45°，求证：AM2+BN2=MN2

【练】在例2中，若M在BA延长线上，N在AB上，其余条件不变，试探究AM、BN、NM 之间的关系．

【知识扩充】

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

夹边角和勾股定理结合会产生很多有趣的结论，比如：

【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD．F为CD中点，点E在BC上，且∠EAF=45°，求证：点E为线段BC靠近B的三等分点．

【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD．F为CD中点，点E在BC上，点E为线段BC靠近B的三等分点，求证：∠EAF=45°．

【变式3】已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，M是AD的中点，在CM的右侧作∠MCN=45°交BD于点N，求证：N是线段BD靠近D的三等分点．

八上培优半角模型

八上培优5 半角模型方法：截长补短图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有2α套α的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。

勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。

下面是新观察第34页1~4题

1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD上，且∠EBF=60゜．求证：EF=AE+CF．

2.如图2，在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF．

3.如图，∠A=∠B=90°, CA=CB=4, ∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE 的面积.

勤学早第40页试题

1.（1）如图，已知AB= AC, ∠BAC=90°，∠ MAN=45°,过点C作NC ⊥AC交AN于点N，过点B作BM 垂直AB交AM于点M，当∠MAN在∠BAC内部时，求证：BM+CN =MN;

证明: 延长MB到点G，使BG=CN,连接AG，证△ABG≌△ACN(SAS),∴AN=AG,∠BAG= ,∠NAC. L∵∠GAM=∠GAB + ∠BAM=∠CAN+ ∠BAM=45°= L∠MAN,

证△AMN≌△AMG(SAS), '∴MN= MG= BM + BG= BM十NC.

初中数学半角模型专题讲解(最全最新)

变式训练：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边 BC、CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，证明：EF＝BE+FD
变式训练：在四边形ABCD中，AFra Baidu bibliotek＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且2∠EAF＝∠BAD，证明：EF＝BE﹣FD．
再见！谢谢大家的聆听!
初中数学模型：半角模型专题
学校：永州博闻高级中学数学组（八年级）主讲：蒋老师
一、等边三角形中的半角模型
例1、如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝ 120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交 AC于点N，连结MN，求△AMN的周长
变式训练：在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N， P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．当点M、N 分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．
变式训练：已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求 AH的长．
变式训练：如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且∠EAF ＝45°，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连接BD交AF于点M， DE＝2，BF＝3，求GM

部编数学八年级上册专题15半角模型证全等(解析版)含答案

专题15半角模型证全等

1．【问题背景】

如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　EF＝BE+DF　．

【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD

上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

【学以致用】

如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长

．

【解答】（1）解：如图1，

在△ABE和△ADG中，

∵，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

∵，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

故答案为：EF＝BE+DF．

（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；

理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，

在△ABE和△ADG中，

∵，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，

专题4 全等模型——半角模型

初

中数学︵八年级︶

培优篇

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握．

半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半．思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化．

解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论．

【模型展示】 1）正方形半角模型

条件：四边形ABCD 是正方形，∠ECF =45°；

结论：①△BCE ≌△DCG ；②△CEF ≌△CGF ；③EF ＝BE ＋DF ；④ AEF 的周长=2AB ；⑤CE 、CF 分别平分∠

BEF 和∠

EFD

．

）等腰直角三角形半角模型

初中数学︵八年级︶

培优篇条件： ABC 是等腰直角三角形，∠DAE =45°；

结论：①△BAD ≌△CAG ；②△DAE ≌△GAE ；③∠ECG==90°；④DE 2＝BD 2＋EC 2；

例1．如图，正方形ABCD 中，45MAN ，MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．

（1）当MAN 绕点A 旋转到BM DN 时（如图1），证明：2M N BM ；（2）绕点A 旋转到BM DN 时（如图2），求证：M N BM DN ；

例2．如图，在Rt ABC 中，AB AC

八年级上册数学同步培优：第4讲全等辅助线(二)--尖子班

第4讲全等辅助线（二）

知识点1 半角模型

我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型. 常见的图形为正方形，正三角形等.

（1）正方形内含半角:

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，易证：EF=BE+DF. （2）正三角形内含半角:

如图，在四边形ABCD中，AB=AC=BC,BD=DC，E、F分别是AB、AC边上的点，∠BDC=120° , ∠EDF=60°，易证：EF=FC+BE.

【典例】

1.已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，它的两边分别交线段CB DC 、于点M N 、.求证

BM DN MN +=.

【方法总结】

本题考查了全等三角形的性质和判定，此题比较典型，具有一定的代表性，且证明过程类似，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题.

【随堂练习】

1.（2017秋•河西区校级月考）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ABCD 以D 为顶点作∠MDN ，交边AC 、BC 于M 、N ．

（1）若∠ACD=30°，∠MDN=60°，当∠MDN 绕点D 旋转时，AM 、MN 、BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；

（2）当∠ACD+∠MDN=90°时，AM 、MN 、BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；

（3）如图③，在（2）的结论下，若将M 、N 分改在CA 、BC 的延长上，完成图3，其余条件不变，则AM 、MN 、BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）

八年级上册数学半角模型

半角模型是指以等腰三角形顶角的顶点为端点，引两条射线，与等腰三角形顶角相邻的边重合，这两条射线所形成的夹角为等腰三角形顶角的一半。在八年级上册的数学中，半角模型可以用于解决一些几何问题。

例如，在一个等边三角形ABC中，点D是BC的中点，连接AD并延长到E 点，使得DE等于AE。求证：角BAE等于角BCE。

这个问题可以通过半角模型来解决。首先，将三角形ABD绕点A旋转到三角形ACD'的位置，使得AD'与AE重合。由于旋转过程中只改变了角度，所以旋转前后的图形全等，因此角BAE等于角D'CE。而由于DE等于AE，所以角D'CE 等于角BCE。因此，角BAE等于角BCE。

总之，半角模型是一种有用的几何工具，可以用于证明一些等角、等线段的问题。

初中数学一轮复习培优微课半角模型模型探究系列

图（1）
（1）当，且时，如图（2）.
图（2）
① 判断，，之间的数量关系，并加以证明.
[答案] .证明：将绕点逆时针旋转，得到，如图，
则，，， .又，， .
② 若，则 ____ .
60
（2）当时，如图（3）.
图（3）
（2）类比探究：如图（2），在中，，，点，为边上的点，且，，，求的长.
[答案] 由题意，得是等边三角形， .
如图，将绕点顺时针旋转，得到，过点作，交的延长线于点，连接，则，，，，
.又，， . ，， Hale Waihona Puke Baidu ，， .
图（1）
证明：连接 . ，，，
，，， .又，， .
② 如图（3），将绕点顺时针旋转，得到，请画出，并证明 .
图（3）
[答案] 如图（2）.
图（2）
证明：连接 .由题意得，， . , ， , ， .又 , .
（2）当点在线段的延长线上时.
解法提示：∵四边形是正方形，， .又，，， .
剪一剪：将图（3）中的正方形纸片沿对角线剪开，如图（4）．
（4）求证：．
证明：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接．
，，
. ，， .又，，， . ，，，．

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