一个基本图形的应用
一个“基本图形”的研究
高二（1）班空间中一个“基本图形”的探究教学目标：1、认识、熟悉、理解“基本图形”的构成要素及几何特征；2、在“基本图形”的框架下，会找（证）空间直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角并计算；3、培养学生规范作图，严谨地论证；进一步提高学生的空间想象力，将空间几何的问题转化到平面上解决的能力。
教学重点：理解“基本图形”的构成要素教学难点：会找“基本图形”中的空间角教学过程：引言：前一段时间，我们已经学习了“第14章空间直线与平面”，通过学习我们已经学会及掌握了：空间位置关系的判别，空间垂直与平行的判别与证明；空间角与距离的求解。
考虑到有一些同学在空间论证及求解空间角和距离时，还存在一些困难，还没有摸索到几何图形的特征，在这里，我给同学们提供一个“空间的基本图形”，大家一起跟着我对这个“基本图形”进行探究。
一、提出问题，引入“基本图形”引例：若平面α的斜线l 与平面α所成的角为θ，平面α的斜线l 与平面α内任一直线所成的角为θ1，试比较θ和θ1的大小关系，并给与证明。
问题1：如图所示，已知平面α，PA A α⋂=，l 是平面α内的任一直线，试探究直线PA 与平面α所成角为θ，PA 与直线l 所成角为θ1，PA 在平面α内的射影与直线l 所成的角θ2之间的关系。
12cos cos cos θθθ=⋅二、“基本图形”的应用例：已知BOC ∠在平面α内，OA 是平面α的斜线，60AOB AOC BOC ∠=∠=∠=，求直线OA 与平面α所成的角。
变式1：已知BOC ∠在平面α内，OA 是平面α的斜线，60,AOB AOC ∠=∠=90BOC ∠=，求直线OA 与平面α所成的角。
变式2：已知BOC ∠在平面α内，OA 是平面α的斜线，60,45AOB AOC ∠=∠=90BOC ∠=，求直线OA 与平面α所成的角。
三、“基本图形”再探究问题2：把“基本图形”看成是由四个面围成的几何体， 设二面角P AC H --的平面角为β，那么β的大小与θ、θ1及θ2是否有关系呢？1sin sin sin θβθ= 探究应用：你能利用θ、θ1及θ2的大小求出二面角C AP H --的平面角ϕ的大小吗？21sin sin sin θϕθ= 四、总结五、作业布置：1、基础作业：习题册P19复习题B 组2、补充作业：（1）已知直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，AC 和BC 与平面α所成的角分别为30,45︒︒，CD 是斜边AB 上的高，求CD 与平面α所成的角。
一个基本图形的应用---k形图
练习2.如图,已知ΔABC中∠ABC=90° AB=BC，三角形ABC三个顶点在相互平行 的三条直线上，且 l1与 l2 之间的距离为2， l2 与 l3之间的距离为3，则AC的长是多少？
练习3：如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐 标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半 轴上，运动点D在线段BC上移动（不与BC重合）， 连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连结OE， 记CD的长为t ． 1 （1）当t = 时，求直线DE的函数表达式；
A
E
D
F
B
C
练习：正方形ABCD的边长为1cm，点P是BC 上不与点B、C重合的任意一点，连结AP， 过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm， CQ的长为ycm。 ①求点P在BC上运动的过程中，求y的最大 值 1 ②当y = 4 cm时，求x的值。
课后练习：
练习1.如图在平面直角坐标系中，矩形OABC的边 OA在轴正半轴上，OC在x轴正半轴上，OA=2 OC=3 过原点作∠AOC的平分线，交AB于点D，连 结DC过点D作DE⊥DC交OA于点E （1）DE与DC相等吗？ （2）∠EDC绕D顺时针 方向旋转后，角的一边 与y轴交于点F，另一边 与x轴交于点G，这时 DF与DG还相等吗，若 相等求当FE=2时的G点 坐标。
---------- “K型图”专题
“K型图”是数学中的基本图形，我们 要能从较复杂的图形中分解出基本图形， 找出基本数学模型，通过分析期中的基 本元素来解决问题
一、直角梯形中K型 问题1：如图，已知梯形ABCD中， AD//BC,∠A=90°, E是AB上一点，且 AE=BC,∠1=∠2, （1）请问图中还有哪些相 等的线段或角？ （2）根据以上等量关系，你 可以得到什么结论？ （3） 将AE=BC,∠1=∠2,换 成△DEC是等腰直角三角形， 你可以得到什么结论？
专题 勾股定理证明中几种基本图形的拓展应用
专题 勾股定理证明中几种基本图形的拓展应用一、勾股数1.如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5，则,,,A B C D 四个小正方形的面积之和等于 .2.如图，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AB =，分别以,AC BC 为直径作半圆，面积分别记为12,S S ，则12S S +等于 .3.如图，已知ABC ∆为直角三角形，分别以直角边,AC BC 为直径作半圆AmC 和BnC ，以AB 为直径作半圆ACB ，记两个月牙形阴影部分的面积之和为1S ，ABC ∆的面积为2S ，则1S 与2S 的大小关系为 . 4.如图，以Rt ABC ∆的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边3AB =，则图中阴影部分的面积为 .5.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形ABCD ，正方形CEFG ，正方形KHIJ ，正方形JLMN 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形ROPQ 的面积是 .二、弦图6.如图是“赵爽弦图”，其中ABH ∆，BCG ∆，CDF ∆和DAE ∆是四个全等的直角三角形， 四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理.设,,AD c AE a DE b ===，取10,2c a b =-=.(1)求正方形EFGH 的面积以及四个直角三角形的面积和;(2)求2()a b +的值.7. (1)如图①是《赵爽弦图》.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积.(2)现有一张长为6.5 cm ，宽为2 cm 的纸片，如图②，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形. (要求:先在图②中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据)8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”后人称其为“赵爽弦图”(如图①).图②是弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ，若12310S S S ++=，求2S 的值.第8题图 9. 如图①，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形.① ② ③第9题图(1)拼成的正方形的面积是多少?(2)在如图②的33⨯方格图中，画出一个面积为5的正方形; (3)如图③，请你把十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形，在原图上用虚线画出剪拼示意图.参考答案一、勾股数1. 502. 2π3.12S S =4.925. 47 二、弦图6.(1) 4EFGH S =正方形四个直角三角形的面积和为 96.(2) 2()196a b +=7. (1)小正方形的面积为1(2)如图所示8. 2103S =9. (1)拼成正方形的面积为5(2)如图①所示(3)如图②所示。
区公开课一个基本图形的应用 初中几何
1
（3）我们在几何证明中，一般不单独研究角，大多数都是 借助图形， 比如在三角形中研究问题， 上面问题如果放在三 角形中， 我们可以作三角形中一个角的角平分线， 然后过角 平分线上一点，作这个角的一边的平行线，如图所示：
A
E
D
B
C
（动态演示，引导学生观察在变化中,什么变了,什么没变.） 随着点动，平行线的位置变了，不管位置如何变，角之间的 关系没有变，形成等腰三角形这个结论不会变. 探究： 如果增加三角形的一个角的角平分线， 比如增加一条内角平 分线，请看问题一.
一个基本图形的应用
北京市第一零一中学 张迎春
教材：人教版《义务教育课程标准实验教材》八年级上册第 12.3．
1．能够利用角平分线+平行线，形成等腰三角形这个基本规律解决有关问题；
教 学 目 标
2．体会研究问题中用到的分类思想，经历由基本图形问题的解决，发展对问题的 进一步探究，认识到在几何问题中，位置关系和数量关系是有必然联系的，位置关 系可得出一定数量关系，反之，特殊的数量关系也能推出一定位置关系. 3．通过交流和研讨，使学生在探索的同时得到成功的喜悦，提高学生学习数学的 兴趣和信心. 角形方面的有关问题.
F B E
A
D
C
D
B E F
C
让学生回答基 本图形的结论 是如何得到的， 然后教师通过 基本图形说明： 角平分线+ 平行 线能形成等腰 三角形 . 角的大 小改变， 或是平 行线的位置改 变， 结论仍然成 立. （课件拖动直 角、钝角情况） 师： 从刚才的基 本图形以及它 的变式中， 我们 已知角平分线 和平行线的条 件， 能够形成等 腰三角形的结 论 . 板书：角平 分线+平行线 等腰三角形
认识基本图形
认识基本图形图形是我们日常生活中常见的元素，无处不在。
我们通过观察和学习，不仅可以认识各种图形的形状和特征，还能发现它们在实际应用中的作用。
本文将介绍一些常见的基本图形，以及它们在我们生活中的应用。
1. 圆形圆形是最基本的图形之一，具有无限个点到圆心的距离相等的特点。
在我们日常生活中，圆形的应用广泛，例如轮胎、饮料瓶盖、硬币等都是圆形。
此外，在建筑设计中，圆形的窗户和拱门等也被广泛使用，给人以柔和、温暖的感觉。
2. 正方形正方形是四边相等、四个角都是直角的特殊四边形。
在我们的生活中，正方形也随处可见。
例如电视屏幕、纸张、书籍以及家具等都常用正方形作为基本形状，给人以稳定和整齐的感觉。
3. 矩形矩形是一个拥有四个内角都是直角，相对边两两相等的四边形。
它与正方形相似，但边长可以不相等。
在我们的生活中，矩形的应用非常广泛。
例如电视、计算机屏幕，书桌等通常都是矩形的形状。
4. 三角形三角形是一个拥有三个内角和三条边的图形。
根据其边长和角度的不同，我们可以将三角形分为等腰三角形和直角三角形等。
三角形在我们的生活中也有很多应用。
例如，指南针是一个由三角形构成的形状，道路的交通标志中也常见到三角形的图案。
5. 梯形梯形是一个拥有两对平行边的四边形。
梯形的上底和下底可以是不等长的。
在我们的生活中，梯形的形状也常见。
例如，电视塔、摩天大楼的外形往往呈现梯形，给人以稳重的感觉。
认识基本图形不仅仅是了解其形状，还要掌握它们在几何学和实际生活中的应用。
通过对图形的认识，我们可以更好地理解数学和几何学的知识，同时也能够更好地理解和使用我们身边的各种事物。
希望本文能为大家提供一些关于基本图形的认识和启发。
以上是对基本图形的简要介绍。
在日常生活中，我们可以通过观察和学习，不断探索和认识更多的图形。
了解基本图形的形状和特征，能够帮助我们在解决实际问题时更准确地把握和运用几何学的知识。
通过不断地学习和实践，我们可以培养自己独特的观察力和创造力，加深对图形及其应用的理解，同时也为我们的未来学习和职业发展打下坚实的基础。
圆的认识认识圆的基本概念和性质
圆的认识认识圆的基本概念和性质圆的认识：认识圆的基本概念和性质圆，作为几何学中的一个基本图形，具有独特的性质和定义。
在本文中，我们将深入了解圆的基本概念和性质，进一步认识这个几何形状。
一、圆的概念圆是平面上所有到圆心距离相等的点的集合。
其中，圆心是圆的中心点，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
圆上的点与圆心的距离都相等，这就是圆的特征之一。
二、圆的性质1. 圆的直径与半径圆的直径是通过圆心的一条线段，且它的两个端点都在圆上。
直径的长度是圆的半径的两倍。
圆的半径是从圆心到圆上的任意一点的距离。
2. 圆的周长与面积圆的周长是圆上所有点之间的距离之和，也可以称为圆的周长。
它的计算公式为C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。
而圆的面积是圆内部所有点组成的区域的大小，它的计算公式为A=πr²，其中A表示面积，r表示半径。
3. 圆与其他图形的关系圆与其他图形之间有着紧密的联系。
当一个正方形的对角线长度与一个圆的直径长度相等时，这个正方形被称为内切圆。
而当一个正方形的边长与一个圆的直径长度相等时，这个正方形被称为外接圆。
4. 圆的轴对称性圆具有轴对称性，也就是说，以圆心为对称中心，圆上的两个对称点之间的距离都相等。
这意味着，如果在圆上选择一点，与圆心连线的中垂线将通过这个点，并且将它分成两个相等的部分。
三、圆的应用由于圆的性质和特点，它在各个领域都有着广泛的应用。
1. 圆的运动学应用圆的运动学应用在航空航天、机械工程等领域非常重要。
通过研究圆的运动轨迹，我们可以确定物体的圆周运动的速度、加速度等参数。
2. 圆的建筑设计应用在建筑设计中，圆形具有稳定和美观的特点。
圆形的建筑物，如圆形礼堂、圆形广场等，能够给人一种流畅和和谐的感觉。
3. 圆的数学推理应用圆形是几何学中的重要概念，在其他数学学科中也有广泛应用。
例如，通过圆的相交关系，我们可以解决许多数学推理和几何证明问题。
四、总结通过对圆的认识，我们了解了圆的基本概念和性质。
基本图形分析法--逆平行线型相似三角形(2)
△ABC中，D是AB上的一点，∠ACD=∠ABC=> △ACD∽△ABC => AC²=AD•AB，AC与△BCD的外接圆相切于C显然，这个基本图形是将三角形一条边的逆平行线平移到过三角形的一个顶点得到的，所以一组重叠在一直线上的相乘线段的积，就成为了一条边的平方。
在几何问题中，出现了两组相乘两线段分别重叠在一直线上，且其中的一组是线段的平方，就可以应用或添加过三角形顶点的逆平行线得到的逆平行线型相似三角形进行证明，这时过端点和内分点和重合顶点的连线就是逆平行线。
当这个三角形是一个直角三角形的时候，这条过三角形顶点的一条边的逆平行线就是直角三角形斜边上的高。
△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB是D => AC²=AD•AB，BC²=BD•BA.在几何问题中，出现了两组相乘两线段分别重叠在一直线上，且其中的一组是一个直角三角形的直角边的平方，就可以应用或添加过三角形顶点的逆平行线得到的逆平行线型相似三角形，也就是直角三角形斜边上的高的基本图形进行证明，这时斜边上的高和另一条直角边就是两条逆平行线。
例1，已知：△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线交AD于E、交BC的延长线于F．求证：FD2=FC•FB分析：本题要证明的结论〖FD〗^2=FC•FB是线段之间的比例关系，所以首先进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，经过描图可以发现两组相乘线段FD、FD和FC、FB都重叠在一直线上，所以可应用或添加逆平行线型相似三角形进行证明，由于现在FD这两条相乘线段也重叠在FB上，所以它们不可能直接组成相似三角形，所以必须要使FD离开这条FB，又因为EF是AD的垂直平分线，所以就想到要应用线段的垂直平分线的性质，也就是等腰三角形中重要线段的基本图形的性质进行证明，由于这个等腰三角形有底边AD和一条腰FD，而另一条腰尚未出现，所以应先将这条腰添上，也就是连结FA，也就可得FA=FD，并可进一步推得∠FAD=∠FDA，所以问题转化为要证FA²=FC•FB，由于现在这两组重叠的相乘线段有公共端点F，且比例关系中出现了FA的平方，所以可应用由过三角形顶点的逆平行线得到的逆平行线型相似三角形进行证明，找相似三角形的方法是由端点B、内分点C与重合的端点A的连线组成相似三角形，于是就可找到AC、BA就是两条逆平行线，也就可以发现△ABF和△CAF是由过三角形顶点的逆平行线得到的逆平行线型相似三角形，从而问题就成为要证FA²=FC•FB的等价性质∠FAC=∠FBA，由于现在这两组重叠的相乘线段有公共端点F，且比例关系中出现了FA的平方，所以可应用由过三角形顶点的逆平行线得到的逆平行线型相似三角形进行证明，找相似三角形的方法是由端点B、内分点C与重合的端点A的连线组成相似三角形，于是就可找到AC、BA就是两条逆平行线，也就可以发现△ABF和△CAF是由过三角形顶点的逆平行线得到的逆平行线型相似三角形，从而问题就成为要证FA²=FC•FB的等价性质∠FAC=∠FBA，由于∠FAC=∠FAD-∠CAD，而已知B、D、F成一直线，∠FDA是△ABD的一个外角，所以∠FDA=∠FBA+∠DAB，也就可得∠FBA=∠FDA-∠DAB，由于条件给出∠CAD=∠DAB，且已经证明∠FAD=∠FDA，所以∠FBA=∠FAC就可以证明，而∠BFA=∠AFC是公共角，从而就可以证明△ABF和△CAF相似，分析就可以完成。
初中关于图形的教案
初中关于图形的教案一、教学目标1. 让学生掌握基本图形的性质和特征，包括三角形、四边形、五边形、六边形等。
2. 培养学生观察、分析、解决问题的能力，能够运用图形知识解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象力，提高学生的数学思维能力。
二、教学内容1. 图形的定义和分类2. 图形的性质和特征3. 图形的应用三、教学重点与难点1. 重点：让学生掌握基本图形的性质和特征，培养学生的空间想象力。
2. 难点：如何让学生能够将图形知识应用于实际问题中。
四、教学方法1. 采用直观演示法，让学生通过观察实物图形，了解图形的形状和特征。
2. 采用案例教学法，让学生通过分析实际问题，运用图形知识解决问题。
3. 采用小组合作学习法，让学生通过讨论、交流，共同探讨图形的性质和特征。
五、教学步骤1. 导入新课：通过展示一些生活中的实物图形，如建筑物、家具等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同特征？2. 讲解新课：介绍基本图形的定义和性质，如三角形的稳定性、四边形的易变性等。
通过示例，让学生了解图形的应用，如三角形在建筑中的作用、四边形在平面设计中的应用等。
3. 练习巩固：布置一些有关图形性质和特征的练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的理解和掌握程度。
4. 拓展提高：引导学生思考：如何运用图形知识解决实际问题？以案例形式展示一些应用实例，如设计一个三角形桌布、计算一个四边形的面积等。
5. 总结反馈：对本节课的内容进行总结，强调图形的性质和特征，以及图形在实际生活中的应用。
布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习完成情况：检查学生练习题的完成情况，评估学生对知识的理解和掌握程度。
3. 课后作业：布置适量的课后作业，要求学生在规定时间内完成，通过作业反馈了解学生的学习效果。
4. 学生评价：鼓励学生自我评价，反思自己在学习过程中的优点和不足，提出改进措施。
一个基本图形的应用
一个基本图形的应用汉中市汉台区望江初中田朝伟在几何教学中，常常对一些几何图形进行分析后再解答，有时需要对复杂图形进行分解成学过的定理的基本图形，在八年级教学中，我遇到了这样一个基本图形，在数学题目中，只要识别出这个基本图形，再利用这个基本图形的结论，可以使问题变得简单。
基本图形及其结论：如图所示，则有∠BDC（小于平角的角）=∠A+∠B+∠C。
下面先证明这个基本图形的结论。
证明：延长BD，交AC于点E∵∠BDC是△DCE的一个外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC，∵∠DEC是△ABE的一个外角，∴∠DEC=∠A+∠B，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C例1、如图，在△ABC中，E是BD上的一点，∠A=62°，∠ABD=30°，∠DCE=48°，则∠BEC的度数为（）。
A、140°B、120°C、100°D、80°解析：找出“基本图形ABEC”，得，∠BEC=∠A+∠ABD+∠DCE=62°+30°+48°=140°，故选AABCDEABC DE例2、一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B=32°，∠C=21°，检验工人量得∠BDC=148°，就断定零件不合格。
说明理由。
解析：根据基本图形的结论，得∠BDC=∠A+∠B+∠C=90°+32°+21°=143°，所以工人量得∠BDC=148≠143°，因此，零件不合格。
例3、如图，∠B=60°，∠C=20°，∠1=3∠A，则∠A=（）度。
解析：根据基本图形的结论，得∠BDC（小于平角的角）=∠A+∠B+∠C，所以，3∠A=∠A+60°+20°，所以，∠A=40°。
例4，已知：△ABC的∠B和∠C的角平分线交于点D，∠A=40°，求∠1的度数。
浅谈在几何教学中“基本图形”的作用
1浅谈在几何教学中“基本图形”的作用学生在做几何题时，看到题目首先想到的是这个题目有没有做过，而不是想如何根据已有的知识方法去分析它。
做几何题最关键的是根据已知条件，联系到所学过的知识定理，经过推理论证，最后解决问题。
但有些知识定理学生不一定就能很好的理解，这时就可引导学生看到题目中的条件就想到相应的基本图形。
利用这种方法分析问题时，学生可以把抽象的问题形象化，在解决问题时可以起到事半功倍的效果。
下面就谈谈在几何教学中如何发挥“基本图形”的作用。
1．建立基本图形与几何知识的双向联系在教学过程中把基本的定义定理以基本图形的形式反映出来，建立最基本的基本图形库，引导学生用几何语言表述相关的定义定理。
想到几何知识就联想到与之相关的几何图形，看到几何图形就想到相应的几何知识。
改变那种把性质定理的文字表述与图形割裂开的学习方法。
建立基本图形与几何知识的双向联系，是分析解决问题的先决条件，没有这种基本的关联，训练思维能力就缺少了必要的载体。
教师在平时的课堂教学中，就渗透这种理解、记忆几何知识的方法。
如三角形外角基本图（图1）， 学习三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角和的时候，想到三角形的外交相关的性质，就想到图1，看到图1的形状就想到∠1=∠A+∠B ，再如三线八角基本图（图2），同位角基本图（图3），内错角基本图（图4）等，看到这种图形就能以这些图形为索引，联想到相关联的知识。
2．把经常在习题中出现的基本形态作为基本图形。
尽管数学练习千变万化，但是绝大多数题目都能从中提炼出一些基本元素，在教学中帮助学生梳理、提炼这些基本图形，遇到问题时分离这些基本图形，基本图形残缺时，构造基本图形，这样可以以这些基本图形为载体，培养学生的空间想象能力，分析推理能力。
_ 图1 _1图2_2_1图3_2_1图4AB2一种是简单的基本图形。
例如，三角形全等的基本图形（如图5）；直角三角形斜边上中线等于斜边的一半的基本图形；三角形相似的基本图形，（如图5、6、7），还有弦切角定理、切线长定理基本图形等，这些都是比较简单的常见的全等、相似的基本形状，易于掌握和应用。
一个基本图形产生的背景及应用
’ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
． ‘
解： 过 Ｃ作 Ｃ Ｇ ＿ Ｌ Ａ Ｄ， 交Ａ Ｄ的延长线与 Ｇ
Ａ Ｄ／ ／ Ｂ Ｃ ， ／ ＿ Ａ＝／Ｂ＝９ ０ 。 ，
又 Ｃ Ｇ Ａ ＝９ ０ 。 。 Ａ Ｂ ＝Ｂ Ｃ
‘ ． ．
解： 过 Ｄ作 Ｄ Ｅ上Ｂ Ｃ于 Ｅ， 垂足为 Ｅ 将 Ｒ ｔ △Ｄ 雎、 Ｒ ｔ
设Ｄ Ｅ＝ ， 贝 ０ Ｄ Ｇ＝ 一 ４ ．
正方形 ， 如图 ４所示．
团
‘ ． ．
Ａ Ｄ＝ Ａ Ｇ～ Ｄ Ｇ＝１ ２ 一（ 一 ４ ）＝１ ６一 ．
致， 属于一种具有特 殊条件 要求 的 几何 题 ， 解题 方法 比
在Ｒ ｔ ＡＡ Ｅ Ｄ中， 由勾 股定理 可得 Ｄ Ｅ ＝Ａ Ｄ ＋ Ａ ，
Ｇ
图４
得到 Ｒ ｔ ＡＡ Ｅ Ｂ， 同样把 Ｒ ｔ △Ａ 沿Ａ Ｆ 向外 翻转 ， 得 到 Ｒ ｔ △Ａ 肋 ， 分别延长 Ｂ Ｅ 、 Ｄ Ｆ相 交 于 Ｃ点 ， 得 到 正 方 形
设正方形边长 Ｆ Ｇ＝ ， 则Ｂ Ｇ＝ 一 ６， Ｃ Ｇ＝ 一 ４ ，
在Ｒ ｔ ＡＢ Ｃ Ｇ中， Ｂ Ｇ ２ ＋Ｃ Ｇ ２ ＝ Ｂ Ｃ ２ ， 即（ 一 ６ ） ＋（ 一 ４ ） ＝１ ０ ，
在Ｒ ｔ ＡＥ Ｆ Ｃ中， Ｃ Ｅ ２ ＋Ｃ ＝ Ｅ Ｆ ２ ，
即（ 一 ３ ） ＋（ 一２ ） ＝ ５ ， 化简整理得 一５ ｘ一 ６＝ ０，
梯形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ的面积为
Ｓ ￣ ｒ ｃ ａ ｎ ∞＝ １（ Ａ Ｊ Ｄ＋ｎ ｏ ）・ Ｄ Ｅ＝ １（ ６＋１ ０ ）×１ ２＝ ９ ６ （ 平 方单 位）
例 ２ 如图 ３ 所示 ， 在梯形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， Ａ Ｄ∥Ｂ Ｃ， Ａ Ｂ上 Ｂ Ｃ， ／Ｂ Ｄ Ｃ＝ ４ ５ 。 ， Ａ Ｄ＝ ６ ， Ｂ Ｅ＝１ ０ ． 求梯形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的面积．
一个基本图形的探究与应用
每 一 类 数 学 问题 都 能找 到它 的基 本 图形 ．如 果 能 对 基 本 图形 进 行 探究 与开 发 、 申与 挖 掘 ， 现 其 规 律 ， 引 发 总结 其 方 法 ， 揭 示 其 有 价 值 的结 论 ． 样 做 不 仅 能 产 生 触 类 旁 通 、 一 反 三 这 举 的效 果 ， 而且 能 开 阔 学 生 的思 路 ， 培养 学 生 的 发 散 思维 ． 原 题 呈 现 。 远 流 长 源 原 型 题 ： 图 １ 点 Ｂ、 、 在 一 条 直 如 ， ＣＤ 线 ｍ上 ， Ａ 且 Ｂ上ｍ， Ｅ上ｍ， Ｃ上Ｃ 垂 Ｄ Ａ Ｅ， 足分 别 为 Ｂ Ｄ、 ！ ＝ Ｅ， 、 Ｃ，Ｉ ￣ Ｃ ＡＣ
一
形 的 “ 子 ” 我 们 把 满 足 “ Ｂ ＝ＬＣ Ｅ 影 ， ＬＡ Ｃ Ｄ ＝ＬＡ Ｅ＝ ０ ， Ｃ Ｃ ９。Ａ ＝ Ｃ ” 一 条 件 的 两 个 全 等 三 角形 。 “ Ｂ ￣ Ａ Ｃ Ｅ 称 之 为 Ｅ这 即 ＡＡ Ｃ Ｄ ” 基本 图形 ， 还可 以改 变 条 件 ， 原 图进 行 变 化 和 拓 展 ． 把 在 上 题 中 ， 果 将 直 线ｍ绕 点 Ｃ 转 一 定 的角 度 ， 直 线ｍ 如 旋 当 与Ａ Ｅ有 一 个 交 点 时 ． 问题 的 结 论 、 导 推 方法 会 有 何 变 化 呢 ？ 变化 题 ： 图２ Ａ Ｅ ９ 。 且 Ａ ＝ 如 ， Ｃ ＝０ ， Ｃ Ｃ Ｅ，直 线 ｍ 过 点 Ｃ， Ｂ上ｍ，Ｄ上ｍ， 经 Ａ Ｂ 证
２１ 第 ２ 试 周 ０年 ９ １ 期考 刊
一
个 基 本 图 形 的 探 究 与 应 用
刘 志
（ 苏 省 淮 阴 中学 ， 苏 淮 安 江 江 ２３０ ） ２０ １
例谈一个基本图形在解题中的应用
中学数 学杂 志
２ １ 第 ２期 ０ ０年
所 ＝＝ × 一＋＝ ．Ｂ＝时 以 Ｑ ｙ÷ ３ ３４ Ｐ ３，
则有 Ｐ Ｃ＝Ａ Ｐ Ｍ， Ｃ＝ＭＤ， 四边 形 Ｃ 则 Ｄ和 四边形
又 Ａ ： Ｂ ＝４√ ｃ ｓ ５ ＝４， Ｃ Ｃ 乏 ｏ 。 ４
所以ｃ ４一 ＝÷，Ｆ＝ ３：１ Ｇ＝ ｃ ４— ，
数；
如 图 １ 在等 腰 ＡＡ Ｃ中 ， ， Ｂ
＝ ＬＢ， 边 Ａ Ｄ是 Ｂ
上一点 ， ＤＦ ＝ ＬＡ ＝ ＬＢ， △Ａ ＬＥ 则 一 △ Ｄ ．
证明： 因为 Ｅ Ｂ ＝ ＬＥ Ｆ＋ＬＢ Ｄ Ｄ ＤＦ ： Ａ＋
ＬＡ Ｄ，又 因 为 Ｅ Ｆ ＝ ＬＡ，所 以 ＬＡ Ｄ ＝ Ｅ Ｄ Ｅ
Ｌ ＡＭ Ｂ ＝ Ｌ Ｍ ＢＣ ： ６ ０。， ＤＭ Ｃ ＝ Ｌ Ｍ ＣＢ ： ６ ０。，
Ｊ ｐ
所 以 ＡＡ Ｍ ＡＤ ， 以 Ａ ＝ ＤＣ 所 以 梯 形 Ｂ ＭＣ 所 Ｂ ，
ＡＣ Ｂ Ｄ是等腰 梯形．
图３
图４
进 一步推 广 ， 图 ２ 当 Ａ ＝ ＬＢ ＝ Ｃ Ｄ ＝ 如 ， Ｅ
下 面分别 举例说 明这三 个基本 图形在解 题 中的
应 用．
例 １ （０ ９年 烟 台）如 图 ４ 等边 ＡＡ Ｃ的边 ２０ ， Ｂ
＝
长为 ３ 为上 一点 ， ， 上一 点 ， ， 的长 为 ， 且 为 若 则
（ ）
＝
等 因 Ｐ Ｍ ＝Ｎ ＝ Ｑ ．为 ｃ Ｑ ｙ；Ｐ ４ Ｃ ２ Ｂ ４ｙ 以 ｝ ， ） 一＋ 一， 寺＝ 所 ， ４ 所 以＝ ．
个．
例 ４ （ ０ ９年湛 江）已知矩 形纸 片 Ｏ Ｂ ２０ Ａ Ｃ的长
② ＡＰ Ｃ为直角三角形． Ｑ
两圆外切的一个基本图形及其应用
证 明 ： １ 延 长 Ｃ 交 ｏ０。于 （） Ａ
Ｄ， 结 ＤＢ， 长 Ｂ 交 ｏ ２于 连 延 Ａ ０ 基本 性质 ．如 果我 们熟 悉 这一 基本 图形 及其 性 质并 能 连 Ｅ， ＡＣ＝９ 。 ０， 在证 题 时巧妙 的运 用或 构 造 它 ， 往往 可 以获 得 证题 的 Ｅ， 结 Ｃ 易证 Ｂ
解 析 ： 题 的 证 明 ， 意 到 △ＡＰＢ 是 直 角 三 角 此 注
又 ‘ ＢＡＣ＝ ＢＡＤ 一 ９ 。 ． ’ ０， ． △ ＢＡ Ｃ∽ △ ＤＡＢ． ． ．
・ ． ．
点 Ｃ， 连结 ＡＰ、 ＡＣ， 证 ： ２ Ｐ ・ Ｂ． 求 ＡＣ 一Ｃ Ｃ 形， 就很 容 易发 现 ＡＣ是 ｏ １ ０ 的直 径 ， 而 Ｃ 从 Ａ上ＡＢ，
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湖北 省襄 樊市 第 四 中学初 中部 李 继承
陕 西 长 安 师 范 学 校 郝锐 利
学 习平 面几 何 ， 如果 能 积 累 一 些 重 要 的 、 常见 的
这 时只需 在 Ｒｔ ＡＡＢ 内应 用 射 影 定 理 ， 可 以证 明 Ｃ 便
证 明 ： 证 △ＡＰ 为 直 角 三 易 Ｂ
角形 ，‘ ＡＰＢ一９ 。 ． ． Ｏ，
。 ． ．
ＡＰＣ一 ９ ， Ｏ。
‘
．
．
在 ｏ ０１中 ， ＡＣ是 ｏ １的 ０
图３
直 径。 又 ‘ＡＢ切 ｏ 于 Ａ， ． ‘ ０１
．ＡＣ ＡＢ 即 Ｃ ． 上 ． ＡＢ＝９ 。 ０，
・
Ｂ ， 而 ＡＢ—Ｂ １ Ａ１从 Ｂ．
证 明 ： Ｔ作 两 圆的 内公 切 线交 ＡＡ 过 于 Ｏ， 结 连 点 Ｐ， 直线 ＡＢ是 两 圆 的外公 切线 ， Ｂ 为切 点 ， 判 ＡＴ、 Ｔ、 Ａ、 试 Ａ ＢＴ， 由切 线长 定理 得 Ｏ 则 Ａ＝ＯＴ＝Ｏ Ａ． 断 以线段 ＡＢ为 直 径 的 圆与 直线 Ｏ ０ ２的位 置关 系 ， △ＡＴ 是直 角三 角形 ， Ａ 并 给出证 明． Ａ ＴＡ１ ９ 。 — ０． 解析 ： 易证 以 ＡＢ 为直径 的 圆与 Ｏ ０ 相 切 ， 切 ２ 且 又 。ＡＢ是 ｏＯ 直径 ， ． ‘
数学公式知识：几何图形的序列、波纹、曲线、长度及其应用举例
数学公式知识：几何图形的序列、波纹、曲线、长度及其应用举例几何图形是数学中最基本的概念之一，涉及到许多重要的数学公式与知识点。
在本文中，我将结合几何图形的序列、波纹、曲线、长度等概念，向读者介绍这些知识点及其应用。
1.关于几何图形序列几何图形序列指的是在一个给定集合中，通过规律得到的一系列几何图形的排列。
常见的几何图形序列包括等比数列、等差数列等。
等比数列指的是一个数字序列，在其中每个数字都是前一个数字的相同倍数。
例如，序列1, 2, 4, 8, 16是一个等比数列，其中每个数字都是前一个数字的两倍。
同样的，等差数列指的是一个数字序列，在其中每个数字都是前一个数字加上相同的常数。
例如，序列1, 3, 5, 7, 9是一个等差数列，其中每个数字都是前一个数字加2。
几何图形序列广泛应用于建模、数据分析和统计学等领域。
对于一些固定模型（如金融建模），几何图形序列可以帮助我们预测未来的趋势和变化。
2.关于波纹波纹在几何图形中常用于表现波浪状的形态。
它们的主要特征是在两个高峰之间有一段平坦的区域。
波纹常用于测量声波、电磁波等波形的性质。
在声学中，波纹可以帮助我们定量地测量声波的频率和振幅。
在电子学中，波纹则可以用于测量电磁波的周期、波长和振幅。
3.关于曲线曲线是几何图形中的另一个基本概念。
它们通常被定义为平面上的任何连续变化的曲线。
曲线广泛应用于物理学和工程学中。
例如，在建筑设计中，我们需要使用曲线来描述房间和外立面的设计。
在航空和航天工程中，曲线则被用于描述飞行器的轨迹和路径。
4.关于长度长度是几何图形中另一个重要的基本概念。
它是指一个曲线或直线的长度或距离。
长度广泛应用于测量、建模和设计。
例如，在建筑工程中，我们需要使用长度来测量纵向和横向距离，以及房间的面积。
在物理学中，长度被用来测量光线或物体的位置和运动。
总结：几何图形中序列、波纹、曲线和长度是我们需要掌握的基本概念。
它们在物理学、建筑工程、金融建模等领域中都有广泛的应用，因此对于掌握这些方面的知识，对数学学习以及实际应用都具有很大的帮助。
基本图形数量关系和分类识别
基本图形数量关系和分类识别一、引言基本图形数量关系和分类识别是数学中的重要分支，涵盖了从小学到高中的数学学习内容。
本文旨在介绍基本图形数量关系和分类识别的概念、相关知识和应用。
二、基本图形数量关系在几何学中，基本图形是指平面几何中最基本的图形，如圆、三角形、正方形、长方形等。
基本图形数量关系是指在一个几何图形中，各个基本图形之间的数量关系。
例如，在一个长方形中，可以分成两个等大小的正方形，或者四个等大小的等边三角形。
这些数量关系可以通过各种解题方法进行计算，例如分割法、重叠法、同分比法等。
基本图形数量关系的应用十分广泛，例如在装修房屋时，需要计算墙壁和地面的面积，需要了解各种基本图形相互之间的数量关系，以便进行准确的面积计算。
在建筑设计中，也需要进行基本图形数量关系的分析，以保证建筑的稳定性和美观性。
三、分类识别在数学中，分类识别是指将各种不同的事物按照其特征或属性进行分类和归类的过程。
例如，在几何学中，可以将各种几何图形按照其形状和特征进行分类识别，如圆形、三角形、四边形等。
分类识别在每个学科和领域都具有重要的应用价值。
在数学、物理、化学等学科中，通过分类识别可以将各种概念和知识按照其相似性和关联性进行归类，从而更好地理解和应用这些知识。
在生物学、医学等学科中，分类识别可以用来研究不同物种间的区别和联系，从而深入研究生物学和医学的基本原理。
四、基本图形的分类识别在几何学中，基本图形的分类识别是数学学习的重要内容之一。
例如，可以将不同的三角形分为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等。
同样地，长方形、正方形等也可以按照其特征进行分类识别。
基本图形的分类识别是几何学中最基本也是最重要的内容之一，可以通过丰富的练习和应用来掌握和应用。
五、结论基本图形数量关系和分类识别是数学学习中的重要内容，具有广泛的应用价值。
对于学生来说，熟练掌握基本图形数量关系和分类识别的知识，可以应用到各种实际问题中，提高数学解题的能力和水平。
几种基本图形性质与作用
几种基本图形性质与作用一、线段的性质和线段中点的功能 应掌握好：1、线段的两种变换性质；2、线段中点的三项功能。
1、线段的变换性质从“变换”的角度说，线段既是轴对称图形（它所在的直线和它的垂直平分线都是对称轴），又是中心对称图形（中点就是对称中心）例1 如图，ABC ∆是任意三角形，请画出BC A '∆和ABC ∆具有全等的关系。
【观察与思考】如果把要画的BC A '∆看作是由ABC ∆变换而来的，那么这个变换使线段BC 变成自身，联想到线段的变换性质，就应有三种结果。
（1）（2）解：如图（2）（其中直线1l 是BC 所在的直线，点1A 为点A 关于直线1l 的对称点；直线2l 是线段BC 的垂直平分线，点2A 为点A 关于直线2l 的对称点；点O 是线段BC 的中点，点3A 和点A 关于点O 为对称。
BC A BC A BC A 321,,∆∆∆都和ABC ∆全等。
【证明】正是线段的变换性质成为本题解法的基础和向导的。
2、线段中点的三项功能（1）构造三角形的中线，特别是直角三角形的中线三角形的中线，特别是直角三角形斜边上的中线，在相关问题的解决中常有重要的作用。
例2 如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AG//DB ，交CB 延长线于点G 。
若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论。
【观察与思考】首先，由，GB//AD ，AG//DB ，知四边形AGBD 已是平行四边形，其次， 由四边形BEDF 是菱形，而点E 是AB 的中点，即ED 是ABD ∆中AB 边上的中线，且 DE=EB=AE ，立刻知道︒=∠90ADB ，即四边形AGBD 是矩形。
解：（略）BACABC1A3AO1l2l2ACF【说明】正是由对直角三角形斜边上中线性质的深刻认识，直接诱发出 从DE=EB=AE ，导出︒=∠90ADB 。
（2）构造三角形的中位线例3 如图（1），已知，AD 是ABC ∆的中线，E 是AD 上一点，连结CE 并延长交AB 于点F 。
利用基本图形解题
利用基本图形解题：原型题：如图，两个大小不同的等腰直角三角形三角板，如图（1)放置,图（2）是抽象出来的几何图形，A 、B 、E 在同一直线上，①试判断AD 与CE 的关系；②如果A 、B 、E 不在同一直线上,其它条件不变，则上述结论是否成立，请画出图形并说明理由．变形题：如图,△ABC 中,H 是高AD 、BE 的交点,且BH=AC ，则∠ABC= ．变形题：已知，如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D 为AB 边上一点．求证：BD=AE ．变形题：已知:如图,ABC △中，45ABC ∠=°,CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠， 且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1)判断AC 与图中的那条线段相等,并证明你的结论；（2）若CE 的长为3，求BG 的长。
原型题:.如图所示,已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，下列结论:①AE=CD ；②BF=BG ；③BH 平分∠AHD ；④∠AHC=60°；⑤△BFG 是等边三角形；⑥FG ∥AD ，其中正确的有（ ）A ．3个B 。
4个 C. 5个 D. 6个变形题：如图,△ABD 、△ACE 都是正三角形，BE 和CD 交于O 点，则∠BOC=__________．变形题：（1）如图1，已知△ABC，以AB 、AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE,连接BE ，CD ，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；并判断BE 与CD 的大小关系为:BE _________ CD ．(不需说明理由）(2）如图2,已知△ABC，以AB 、AC 为边向外作正方形ABFD 和正方形ACGE ，连接BE 、CD,BE 与CD 有什么数量关系？并说明理由；（3）运用（1)、（2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B 、E 的距离．已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE ，求BE 的长．H G F E D C BAHG FA D C E B变形题：如图，已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE，连接DC与BE．G、F分别是DC与BE的中点．（1）求证：DC=BE;(2）当∠DAB=80°,求∠AFG的度数；（3）若∠DAB=α,则∠AFG与α的数量关系是．变形题：．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A（0，a）,P（b，c），且（a﹣2)2+｜b﹣|+c2﹣2c+1=0，点B为y轴上一动点，以BP为边作等边三角形△PBC．（1)求证：OB=AC；(2）求a,b,c的值；（3)当点B运动时,AE的长度是否发生变化?为什么？(4）在x轴上是否存在点F，使得△OPF是等腰三角形？若存在，求出F点坐标；若不存在，说明理由．变形题：探究题：(1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；直接写出结论，不用证明．②线段AD、BE之间的数量关系是．直接写出结论，不用证明．（2）拓展探究：如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高,连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由．猜想：①∠AEB=°；②（CM、AE、BE的数量关系）．证明：(3）解决问题：如果，如图2，AD=x+y，CM=x﹣y，试求△ABE的面积（用x，y表示）．中点已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB （或它们的延长线）于E、F．（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时(如图1）,易证S△DEF+S△CEF=S△ABC；（2）当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?若成立,请给予证明；若不成立，S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．三垂图应用1。
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数量关系？
练习1.如图梯形ABCD中，AB//CD， AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm，以BC上 一点O为圆心的圆经过A、D两点，且 ∠AOD=90° 则圆心O到弦AD的距离是 多少？
M
练习2.如图四边形ABCD，EFGH ，NHMC 都是正方形 ，A、B、N、E、F五点在同 一直线上，若四边形ABCE,EFGH的边长分 别为3，4，求四边形NHMC的边长。
练习3.如图在平面直角坐标系中，矩形OABC的边 OA在轴正半轴上，OC在x轴正半轴上，OA=2 OC=3 过原点作∠AOC的平分线，交AB于点D，连 结DC过点D作DE⊥DC交OA于点E （1）DE与DC相等吗？ （2）∠EDC绕D顺时针 方向旋转后，角的一边 与y轴交于点F，另一边 与x轴交于点G，这时 DF与DG还相等吗，若 相等求当FE=2时的G点 坐标。
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问题3：如图，已知梯形ABCD中， AD//BC,∠A=90°,E是AB上一点，且 ∠DEC=90°.
△ADE与△BEC还全等 吗？
练习：正方形ABCD的边长为1cm，点P是BC 上不与点B、C重合的任意一点，连结AP， 过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm， CQ的长为ycm。 ①求点P在BC上运动的过程中，求y的最大 值
一个基本图形的应用
太原市第三十六中学
成炎森
问题1：如图，已知梯形ABCD中， AD//BC,∠A=90°, E是AB上一点，且 AE=BC,∠1=∠2, （1）请问图中还有哪些相 等的线段或角？ （2）根据以上等量关系，你 可以得到什么结论？
问题2：如图，已知梯形ABCD中， AD//BC,∠A=90°, E是AB上一点，且 若△DEC是等腰直角三角形， 则AD,BC,AB之间有什么
练习3.如图,已知ΔABC中∠ABC=90° AB=BC，三角形ABC三个顶点在相互平行 的三条直线上，且 l1与 l 2 之间的距离为2， l2 与 l3之间的距离为3，则AC的长是多少？
1 练习4.如图,已知直线 y 2 x＋1 交坐标轴 于A、B两点，以线段AB为边，向上作正 方形ABCD，过点A、D、C的抛物与直线 交另一个点E，求C、D的坐标
1 1
我听了! 谢谢！
3
（2）如果记梯形COEB的面积为 S，求S关于t的函数关系式；
（3）S是否存在的最大值？ 若存在，请求出这个最大值 及此时t的值；若不存在，请 说明理由．
思考：如图，梯形ABCD 中，AD//BC， AB=AD+BC，你可以得到 什么结论？
• 已知抛物线C1的函数解析式为 y ax 2 bx 3a(b 0) 若抛物线C1经过点 (0, 3),方程 2 的两根 ax bx 3a 0 x ，x 2，且 x1 x 2 4 。 为 1 • （1）求抛物线C1的顶点坐标. 1 • （2）已知实数x 0，请证明：x x ≥ 2 ,并 x为何值时才会有 x 1 2 . 说明 x • （3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移 B(n, 1个单位后得到抛物线C2，设 A(m, y1 ) ， y 2 ) 是 C2上的两个不同点，且满足： AOB 900 ， 0 ，. 0 n m 请你用含有m的表达式表示出△AOB的面积S，并 求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函 数解析式。 • （参考公式：在平面直角坐标系中， (x 2 x1 ) 2 (y 2 y1 ） )2 若P(x , y ) ， 2 , y，则P，Q两点间距离 Q(x 2 )
②当y =
1 4
cm时，求x的值。
练习：如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐 标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半 轴上，运动点D在线段BC上移动（不与BC重合）， 连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连结OE， 记CD的长为t ． 1 （1）当t = 时，求直线DE的函数表达式；