2020届浙江省绍兴一中高三上学期期中数学试题解析

绝密★启用前2020届浙江省绍兴一中高三上学期期中数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设集合{|12},{|}.A x x B x x a =<<=<若,A B ⊆则a 的范围是（ ） A ．2a ≥ B ．1a ≤ C ．1a ≥ D ．2a ≤答案：A试题分析：由,A B ⊆可知满足12x <<的数x 都在x a <内，所以2a ≥ 2．设1z i =-（i 为虚数单位），则2z z-=（ ） A ．2 B ．2iC ．2i -D ．8答案：B 把复数z 代入2z z-，然后直接利用复数代数形式的除法运算化简求值. 解：1z i =-Q22(1)1(1)21z i i i i z i∴-=--=+--=- 故选：B. 点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题. 3．若双曲线的一条渐近线为，则实数( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案：B 根据双曲线方程，可得它的渐近线方程为y=±x ，比较系数得m=4. 解：∵双曲线的方程为，∴双曲线的渐近线方程为y=±x 又∵一条渐近线方程为y=x∴m=4故选：B点评：本题给出双曲线的方程和一条渐近线方程，求参数m的值，属于基础题．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．3 B．6C．8 D．12答案：B试题分析：根据题意可知，该三视图对应的几何体是四棱柱截取了个四棱锥，那么可知四棱柱的底面是边长为2的正方形，高度为2，那么可知四棱锥的体积为地面是个矩形，长为2，宽为1，高为2，那么借助于体积公式可知为31212262-⨯⨯⨯=,故答案为B. 【考点】三视图还原几何体点评：解决的关键是对于几何体的理解和公式的准确运用，属于基础题．5．已知,x y满足404x yx yx-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y-的最小值为（）A．4 B．8 C．12 D．16答案：A作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x=，结合图象，可得最值．解：作出x、y满足404x yx yx-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABCV），变形目标函数可得3y x z=-，平移直线3y x=可知，当直线经过点(2,2)A时，截距z-取得最大值，此时目标函数z取得最小值3224⨯-=.故选：A.点评：本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题． 6．随机变量X 的分布列如表所示，若1()3E X =，则(32)D X -=（ ） X1- 01P16abA ．59B ．53C ．5D ．7答案：C 由1()3E X =，利用随机变量X 的分布列列出方程组，求出13a =，12b =，由此能求出()D X ，再由(32)9()D X D X -=，能求出结果． 解： 1()3E X =Q ∴由随机变量X 的分布列得：1161163a b b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1312a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2221111115()(1)(0)(1)3633329D X ∴=--⨯+-⨯+-⨯=，5(32)9()959D X D X ∴-==⨯=故选：C ． 点评：本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．数列{}n a 满足11a =，22a =，222(1cos)sin (1,2,3)22n n n n a a n ππ+=++=⋯，则22020a =（ ） A ．1010 B ．2020C ．10102D ．20202答案：C利用二倍角余弦公式，计算化简可知，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，代入可求2020a . 解：2221cos 1cos (1cos )sin (1)2222n n n n n n n a a a ππππ++-=++=++Q ∴当n 为偶数时，22n n a a +=，即偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，101020202a ∴=.故选：C. 点评：本题考查了二倍角余弦公式的应用，由数列递推公式求通项公式，属于基础题. 8．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ）A ．13B ．38C ．37D ．1答案：A根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.解：0x Q >，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-Q ， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13.故选：A. 点评：本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题. 9．已知关于x-=k 的取值范围（ ） A ．3(0,)4B ．3(,1]4C ．5(,1]12D ．53(,)124答案：B将方程变形，转化成两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合法，求出k 的取值范围. 解：-=得2(1)[1,1))k x x +-=∈-，方程有两个解等价于直线2(1)y k x =+-与半圆y =点，易知直线过定点(1,2)，如图所示，两个极端情况：“一切”，“一交”，直线与半圆相切时，由2211kk-+=+得34k=，直线与半圆交两个点时，过点(1,0)-，此时1k=，所以3(,1]4k∈.故选：B.点评：本题考查了直线与圆的位置关系，将方程的解的个数转化为直线与半圆的交点个数问题是本题的解题关键，属于中档题.10．已知ABCV中，AC BC≥，D E、分别是AC BC、的中点，沿直线DE将CDE△翻折成C DE'V，设1C DAθ'∠=，2C EBθ'∠=，二面角C DE A'--的平面角为3θ，则（）A．123θθθ≥≥B．132θθθ≥≥C．213θθθ≥≥D．312θθθ≥≥答案：A过C作AB（或其延长线）的垂线，垂足为H，交DE（或其延长线于G），找出二面角C DE A'--的平面角3θ，连接C C'，在C GC'V，C DC'V，C EC'V中，由已知结合三角形的边角关系可得C DC C EC C GC'''∠≤∠≤∠，从而得到123θθθ≥≥．解：过C作AB（或其延长线）的垂线，垂足为H，交DE（或其延长线于G），则C GH'∠为二面角C DE A'--的平面角为3θ，1C DAθ'∠=，2C EBθ'∠=，连接C C'，在C GC'V，C DC'V，C EC'V中，C C C C''=Q,CD CE CG≥≥，C D C E C G'''≥≥，则C DC C EC C GC'''∠≤∠≤∠，123θθθ∴≥≥.故选：A．点评：本题考查二面角的平面角及其求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．二、填空题11．现有一根7节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则公差为______，这7节竹子中最小容积为______升.答案：16；12.设最上面一节的容积为1a，每节的容积自上而下组成等差数列{}n a，公差为d，由题意可得：12343a a a a+++=，5674a a a++=，解出再利用求和公式即可得出．解：设每节的容积自上而下组成等差数列{}n a，公差为d，由题意可得：123456734a a a aa a a+++=⎧⎨++=⎩，即114633154a da d+=⎧⎨+=⎩，解得11216ad⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由公差106d =>，知该数列是递增数列，则最小项为112a =， 所以该数列公差为16，这7节竹子中最小容积为12.故答案为：16；12.点评：本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知函数2235,4()log (4),4x x f x x x -⎧-<=⎨+≥⎩，若()4f m =，则(())f f m =_____，(10)f m -=_____.答案：3； 4-.分类讨论，求出m 的值，进而求出(())f f m ，(10)f m -的值. 解：2235,4()log (4),4x x f x x x -⎧-<=⎨+≥⎩Q ，若()4f m =，则2439m m -<⎧⎨=⎩，或24log (4)4m m ≥⎧⎨+=⎩，44m m <⎧∴⎨=⎩或412m m ≥⎧⎨=⎩，则12m =，2(())(4)log 83f f m f ∴===， 22(10)(2)354f m f --==-=-点评：本题考查了分段函数已知函数值，求自变量的问题，注意对m 的值进行分类讨论，属于基础题.13．已知3()(1)x a x ++展开式中所有项的系数之和为2-，则a =_____，2x 项的系数为_____.答案：2-； 6.利用赋值法，先求出a 的值，再把3()(1)x a x ++按照二项式定理展开，可得结论． 解：令1x =可得3()(1)x a x ++展开式中所有项的系数之和为32(1)2a +=-，11a ∴+=-，则2a =-，3333()(1)(2)(1)(2)(2)x a x x x x x x ∴++=-+=-+-故2x 项的系数为221133(2)(2)6C C -+-= 故答案为：2-；6． 点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则cos A =_____，ABC V 的面积是______.答案：2；（1）由已知结合正弦定理可求sin A ，结合同角平方关系及余弦定理判断cos A 的符号，可求解cos A ；（2）由已知及余弦定理可求bc ，然后代入三角形的面积公式即可求解． 解：ABC V 中，sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，由正弦定理得，sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C += 1sin 2A ∴=， 又2228b c a +-=，及余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，知cos 0A >，cos A ∴=bc =，ABC ∴V 的面积为111sin 222ABC S bc A ===V .3.点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，1210F F =，P 是y轴正半轴上一点，1PF 交椭圆于点A ，若21AF PF ⊥，且2APF V 的内切圆半径为22，则椭圆的离心率是______. 答案：53. 由题意，直角三角形的内切圆半径22r =可得21222AF AF -=，结合1210F F =，从而可求得12322AF AF a +==，即可求得椭圆的离心率.解：由题意，直角三角形的内切圆半径2221212222PA AF PF PA AF PF AF AF r +-+--====212AF AF ∴-= 1210F F =Q 221210AF AF ∴+=，1228AF AF ∴⋅=， 212()18AF AF ∴+=，12322AF AF a ∴+==，122F F c ==Q∴椭圆的离心率是3c e a ===．点评：本题考查椭圆的定义及离心率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 16．某中学安排,,,A B C D 四支小队去3所不同的高校参观，上午每支小队各参观一所高校，下午A 小队有事返回学校，其余三支小队继续参观.要求每支小队上下午参观的高校不能相同，且每所高校上午和下午均有小队参观，则不同的安排有_____种. 答案：72.本题属于分组分配问题，可按上午参观时A 是否与其他小队分在一组进行讨论，分上下午两步安排参观，即可得出答案. 解：若A 与B 、C 、D 中的某一支小队分在一组，上午有1333C A ⋅种参观方法， 下午参观时B 、C 、D 三支小队不去各自上午参观的高校，有2种方法， 故有1333236C A ⋅⋅=种；若B 、C 、D 中某两支队分在一组，上午有2333C A ⋅种参观方法， 下午再安排时，也有2种方法， 故有2333236C A ⋅⋅=种. 所以一共有363672+=种. 故答案为：72. 点评：本题考查考查分组分配问题，注意其中的分类分步，属于中档题.17．如图，已知Rt AOC V 的斜边2AC =，以AC 为直角边作等腰直角三角形ABC ，使,O B 位于AC 两侧，,P Q 分别是,AC AB 中点，则||OP OQOQ ⋅u u u r u u u r u u u r 的取值范围是______.答案：22. 以点C 为坐标原点，CA 、CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系.由题知，点O在以AC 为直径的半圆上，将||OP OQOQ ⋅u u u r u u u r u u u r 表示为数量积的坐标运算，结合y 的范围，即可求解. 解：以点C 为坐标原点，CA 、CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，2AC =Q ，ABC V 为等腰直角三角形，则2BC =(2,0)A ∴，(0,2)B又Q ,P Q 分别是,AC AB 中点，(1,0)P ∴，()1,1Q ，由Rt AOC V 知，点O 在以AC 为直径的下半圆上，∴设(,)O x y ，则22(1)1(10)x y y -+=-≤<，(1,)OP x y ∴=--u u u r ，(1,1)OQ x y =--u u u r，则22||(1)(1)OP OQ OQ x y ⋅=-+-u u u r u u u ru u u r 2222(1)21x y y =-+-+22y=-2=[1,0)y ∈-Q (1(,1]2||OP OQ OQ ⋅∴∈u u u r u u u r u u u r故答案为：(2点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，圆的轨迹方程，其中根据题意建立适当的直角坐标系是本题解题的关键，属于较难题.三、解答题18．已知函数()cos (sin cos )f x x m x x =+，且满足14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求m 的值； （2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值，并求出相应的x 的值.答案：（1）1m =；（2）最大值为12，此时8x π=，最小值为1，此时0x =或4π.（1）直接将4x π=代入解析式，解出m 的值即可；（2）利用二倍角公式及辅助角公式，化简已知函数，结合正弦函数的单调性，求出最值及对应的x 的值即可. 解：解：（1）由14f π⎛⎫=⎪⎝⎭，得1222m +=， 1m ∴= ；（2）()cos (sin cos )f x x x x =+11cos 2sin 222x x +=+21sin(2)242x π=++ [0,]4x π∈Q ，32[,]444x πππ∴+∈则当244x ππ+=或34π时，()f x 取得最小值1， 当242x ππ+=时，()f x 取得最大值212+， 故()f x 的最大值为21+，此时8x π=，()f x 的最小值为1，此时0x =或4π. 点评：本题考查了三角函数恒等变换，三角函数解析式的求法，三角函数最大值和最小值的求法，属于基础题.19．如图，多面体P ABCD -中，//AB CD ，90BAD PAB ︒∠=∠=，12AB PA DA PD DC ====，2PM MB =u u u u r u u u r .（1）求证：PA CD ⊥；（2）求直线PC 与平面CDM 所成角的正弦值. 答案：（1）见解析；（2105. （1）可通过线面垂直来证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值． 解：（1）由90BAD PAB︒∠=∠=知AB AD⊥,AB AP⊥，又AD AP A=Q I，AB∴⊥平面PAD，则由//AB CD，知CD⊥平面PAD，PA⊂Q平面PADPA CD∴⊥；（2）设122AB PA DA PD DC=====，以点D为原点，DP、DC所在直线分别为x轴、z轴，建系如图，则(0,0,0)D，3,0)A，(2,0,0)P，3,2)B，(0,0,4)C，由2PM MB=u u u u r u u u r解得4234(,)333M设平面CDM的一个法向量为(,,)m x y z=u r(0,0,4)DC=u u u r，434(,)333DM=u u u u r，则由m DCm DM⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u u vv得40423433zx y z=⎧⎪⎨+=⎪⎩取(3,2,0)m=-u r，又(2,0,4)PC=-u u u r，设直线PC与平面CDM所成角为θ，则sin cos,m PCθ=<>u r u u u rm PCm PC⋅=u r u u u ru r u u u r==故直线PC 与平面CDM. 点评：本题考查空间中直线与直线、直线与平面的垂直关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，考查了利用空间向量求线面角的正弦值，是中档题． 20．已知数列{}n a 满足()*1112,2n n n n na a a n n N a a -+-=≥∈-且1231a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意*n N ∈，都有2n nna λ≥恒成立，求实数λ的最小值. 答案：（1）1()21n a n N n *=∈-；（2）158. （1）利用倒数法，构造数列1{}na ，通过等差中项证得其为等差数列，求出其通项，进而求出{}n a 的通项公式；（2）结合第（1）题的结论，将不等式等价变形，构造新数列.通过解不等式组，找出该数列的最大的项，进而得到λ的取值范围. 解：解：（1）()*1112,2n n n n na a a n n N a a -+-=≥∈-Q 11112121n n n n n n n a a a a a a a -+---∴==-， 即11112(2,)n n n n n N a a a *+-+=≥∈ 1{}na ∴是等差数列，又1231a a ==，即111a =，213a =，1{}n a ∴的公差2d =，112(1)21nn n a ∴=+-=- 1()21n a n N n *∴=∈-； （2）由（1）知1021n a n =>- 则2n n n a λ≥等价于(21)22n n nn n n a λ-≥= 设(21)2n nn n b -=，则max ()n b λ≥ 由11n n n n b b b b -+≥⎧⎨≥⎩即11(21)(1)(23)22(21)(1)(21)22n n n n n n n n n n n n -+---⎧≥⎪⎪⎨-++⎪≥⎪⎩，解得：9944n n n ⎧+≤≤⎪⎪⎨⎪≤≥⎪⎩又n N *∈Q3n ∴=，则max 333(231)15()28n b b ⨯⨯-===，158λ∴≥， 故λ的最小值为158. 点评：本题考查了由等差中项判断等差数列，求数列的最大项，其中构造新的数列是解题的关键，属于中档题.21．已知F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上一点过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为32.（1）求抛物线C 的方程；（2）若点M 的横坐标为4，过F 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，直线l 与圆Q 交于点,E F ，且点E 的横坐标大于4，求当||||AB EF ⋅取得最小值时直线l 的方程.答案：（1）24x y =；（2）7411y x -=+. （1）由抛物线方程知(0,)2p F ，知圆心Q 在线段OF 的中垂线4py =上，点Q 到 准线2py =-的距离为32，则可求出p 的值，进而求得抛物线C 的标准方程； （2）由题意设出直线方程1y kx =+，分别在抛物线和圆Q 中求出弦长AB 和EF ，将||||AB EF ⋅表示成关于k 的函数()f k ，且由点E 的横坐标大于4可得出k 的取值范围3(1,)4-，利用导函数分析函数()f k 在3(1,)4-上的单调性，求出其取得最小值时k 的值，进而求出直线l 的方程. 解：解：（1）由题意可知(0,)2p F ， 过,,M F O 三点的圆的圆心Q 应在线段OF 的中垂线4py =上， 又因为点Q 到准线2py =-的距离为32， 解得2p =，故所求抛物线的方程为：24x y =；（2）Q 过F 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B∴直线l 的斜率存在，设l 为：1y kx =+由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y由韦达定理得121244x x kx x +=⎧⎨=-⎩故焦点弦12AB y y p =++12112kx kx =++++12()4k x x =++ 24(1)k =+Q 圆Q 过点(4,4)M ，(0,1)F 及点(0,0)O ，∴可求得圆Q 的方程为227125()()222x y -+-=由2217125()()222y kx x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩得22(1)(7)0k x k x ++-=，(0,1)F ∴，22771(,)11k k E k k -+++ ， Q 点E 的横坐标大于4，2741k k -∴>+，解得314k -<<则EF ==2||||4(1)AB EF k ∴⋅=+=设22()(1)(7)f k k k =+-22()2(7)(1)2(7)(1)f k k k k k '=-++⋅-⋅- 22(7)(271)k k k =--+令()0f k '=，得74k ±=或7k =， 又3(1,)4k ∈-Q ()f x ∴在7(1,4--单调递减，73()44-单调递增，故min 7()(4f k f -=即当k =时，AB EF ⋅取得最小值， 故所求直线l的方程为：714y x =+. 点评：本题考查了抛物线标准方程的求法，抛物线的焦点弦长公式，直线与圆相交的弦长的求法，考查了利用导函数求函数的最值问题，注意化归转化思想的应用，是一道综合性较强的题.22．已知函数()2ln f x x ax =+，2()12()g x x f x =+-. （1）讨论函数()f x 在[4,)+∞上的单调性； （2）若()g x有唯一零点，证明：16a <<. 答案：（1）0a ≥时，函数()f x 在[4,)+∞上单调递增； 12a ≤-时，函数()f x 在[4,)+∞上单调递减；102a -<<时，函数()f x 在2[4,)a -上单调递增，在2(,)a -+∞上单调递减；（2）见解析.（1）先求导，然后根据a 的取值范围对()f x '符号的影响进行讨论，进而确定函数的单调性；（2）通过求导，求得()0g x '=的根0x ，函数()g x 在0(0,)x 单调递减，0(,)x +∞单调递增，由()g x 有唯一零点知，0()0g x =. 联立求得0x 满足的方程2004ln 50x x +-=，利用导函数求出0x 的范围，再由002a x x =-得出a 的范围，从而命题得证. 解：解：（1）由题意，22()ax f x a x x+'=+=，定义域为：(0,)+∞若0a =，则2()0f x x'=>恒成立， 故()f x 在[4,)+∞上单调递增，若0a ≠，令()0f x '=，得2x a =-， ①当0a >，即20a-<时，()0f x '>， 则()f x 在[4,)+∞上单调递增， ②当12a ≤-，即24a-≤时，()0f x '≤， 则()f x 在[4,)+∞上单调递减， ③当102a -<<，即24a ->时， ()f x 在2[4,)a -上单调递增，在2(,)a-+∞上单调递减， 综上所述，0a ≥时，函数()f x 在[4,)+∞上单调递增，12a ≤-时，函数()f x 在[4,)+∞上单调递减， 102a -<<时，函数()f x 在2[4,)a -上单调递增，在2(,)a -+∞上单调递减； （2）证明：由题意，2()14ln 2g x x x ax =+--， 242(2)()22x ax g x x a x x--'=--=，令()0g x '=，解得0x =是唯一的变号正根， 且20020x ax --=①当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，min 0()()g x g x ∴=，要使()g x 有唯一零点，只需0()0g x =，即200014ln 20x x ax +--=②由①②可知，2004ln 50x x +-=，令2000()4ln 5h x x x =+-，显然0()h x 在(0,)+∞上单调递增，393311()4ln 54ln 24224h =+-=-Q, 31ln 22<=， 3111()40224h ∴<⨯-<又352ln 320h =+=->03(2x ∴∈ 由①知002a x x =-，其在3(2上单调递增，32322a ∴-<<即16a <<得证. 点评：本题考查了利用导函数判断函数单调性，求函数的最值，函数零点所在区间的判断问题，注意分类讨论思想，转化和化归思想的应用.。