(第2讲)充要条件的理解及判定方法

题目高中数学复习专题讲座充要条件的理解及判定方法高考要求充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系重难点归纳(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念当“若p则q”形式的命题为真时，就记作p⇒q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质(4)从集合观点看，若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性)典型题例示范讲解例1已知p|1－31-x|≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若⌐p是⌐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围命题意图本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性知识依托本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了错解分析对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难技巧与方法利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决解由题意知命题若⌐p是⌐q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为p是q的充分不必要条件p:|1－31-x|≤2⇒－2≤31-x－1≤2⇒－1≤31-x≤3⇒－2≤x≤10 q:x2－2x+1－m2≤0⇒［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0 *∵p是q的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集 又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞)例2已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p ≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件 命题意图 本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性 知识依托 以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定 错解分析 因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明 技巧与方法 由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n关系式去寻找a n 与a n +1的比值，但同时要注意充分性的证明 解a 1=S 1=p +q当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p 若{a n }为等比数列，则nn a a a a 112+==p ∴qp p p +-)1(=p , ∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1这是{a n }为等比数列的必要条件下面证明q =－1是{a n }为等比数列的充分条件当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p －1)∴a n =(p －1)p n －1 (p ≠0,p ≠1)211)1()1(-----=n n n n pp p p a a =p 为常数 ∴q =－1时，数列{a n }为等比数列即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1例3已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0有两个实数根α、β， 证明|α|<2且|β|<2是2|a |<4+b 且|b |<4的充要条件 证明(1）充分性由韦达定理，得|b |=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >－(4+b ) 又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b(2)必要性由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根∵α，β是方程f (x )=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2例4 写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.（1）若x 、y 都是奇数，则x +y 是偶数；（2）若xy =0，则x =0或y =0；（3）若一个数是质数，则这个数是奇数.解：（1）命题的否定：x 、y 都是奇数，则x +y 不是偶数，为假命题. 原命题的否命题：若x 、y 不都是奇数，则x +y 不是偶数，是假命题.（2）命题的否定：xy =0则x ≠0且y ≠0，为假命题.原命题的否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0，是真命题.（3）命题的否定：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题. 原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题. 例5 有A 、B 、C 三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条.A 盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，B 盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，C 盒子上的纸条写的是“苹果不在A 盒内”.如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？ 解：若苹果在A 盒内，则A 、B 两个盒子上的纸条写的为真，不合题意. 若苹果在B 盒内，则A 、B 两个盒子上的纸条写的为假，C 盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B 盒内.同样，若苹果在C 盒内，则B 、C 两盒子上的纸条写的为真，不合题意. 综上，苹果在B 盒内. 学生巩固练习 1函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是( ) A ab =0 B a +b =0 C a =b D a 2+b 2=0 2 “a =1”是函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为“π”的( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既非充分条件也不是必要条件 3 a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a －1)y =a －7平行且不重合的___ 4命题A 两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B 曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件 5设α，β是方程x 2－ax +b =0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？ 6已知数列{a n }、{b n }满足b n =nna a a n +++++++ 321221,求证数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列 7已知抛物线C y =－x 2+mx －1和点A (3，0)，B (0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件 8 p :－2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件(充要条件) 参考答案 1解析若a 2+b 2=0,即a =b =0,此时f (－x )=(－x )|x +0|+0=－x ·|x |=－(x |x +0|+b )=－(x |x +a |+b )=－f (x )∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充分条件，又若f (x )=x |x +a |+b 是奇函数，即f (－x )=(－x )|(－x )+a |+b =－f (x ),则必有a =b =0,即a 2+b 2=0∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的必要条件 答案 D 2解析若a =1,则y =cos 2x －sin 2x =cos2x ,此时y 的最小正周期为π故a =1是充分条件，反过来，由y =cos 2ax －sin 2ax =cos2ax 故函数y 的最小正周期为π,则a =±1,故a =1不是必要条件 答案 A 3解析当a =3时，直线l 1:3x +2y +9=0;直线l 2:3x +2y +4=0∵l 1与l 2的A 1∶A 2=B 1∶B 2=1∶1，而C 1∶C 2=9∶4≠1,即C 1≠C 2,∴a =3⇔l 1∥l 2 答案 充要条件 4解析若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点，则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0，即F (x ,y )+λG (x ,y )=0，过P (x 0,y 0); 反之不成立答案充分不必要 5解根据韦达定理得a =α+β,b =αβ 判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a ，结论是q :⎩⎨⎧>>11βα (注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2－4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα，得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p(2)为证明pq ,可以举出反例取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4×21=2>1,但q 不成立 综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件 6证明①必要性设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列 1212(12)[1223(1)]1231n n a a na a n d n n b n n n+++++++⋅+⋅++-∴==+++++++ 12(1)3a n d =+-⋅ 从而b n +1－b n =a 1+n ·32d －a 1－(n －1) 32d =32d 为常数 故{b n }是等差数列，公差为32d ②充分性:设{b n }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d ′∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n① b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n② ①－②得na n =2)1(2)1(--+n n b n n n b n －1 111111113[(1)][(2)](1)22222n n n n n n n a b b b n d b n d b n d -+-+-'''=-=+--+-=+-⋅ 从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列 综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列 7解 ①必要性由已知得，线段AB 的方程为y =－x +3(0≤x ≤3)由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解 消元得x 2－(m +1)x +4=0(0≤x ≤3)设f (x )=x 2－(m +1)x +4,则有2(1)440(0)40(3)93(1)401032m f f m m ⎧∆=+-⨯>⎪=≥⎪⎪⎨=-++≥⎪+⎪<<⎪⎩ 1033m ⇒<≤ ②充分性当3＜x ≤310时， x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >0 3216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x ∴方程x 2－(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解因此，抛物线y =－x 2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件是3＜m ≤310 8解 若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，设为x 1,x 2 则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1,有0＜x 1+x 2＜2且0＜x 1x 2＜1, 根据韦达定理 ⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m n x x m x x 得 有－2＜m ＜0;0＜n ＜1即有q ⇒p反之，取m =－21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x x n ＜0 方程x 2+mx +n =0无实根，所以p q综上所述，p 是q 的必要不充分条件 课前后备注1.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析：依题意有p ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，∴p ⇒r ⇒s ⇒q .但由于r p ，∴q p .答案：A2. “cos2α=－23”是“α=k π+12π5，k ∈Z ”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 解析：cos2α=－23⇔2α=2k π±6π5⇔α=k π±12π5. 答案：A3.在△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞B ⇔cos A ＜cos B （余弦函数单调性）.答案：C4.命题A ：两曲线F （x ，y ）＝0和G （x ，y ）=0相交于点P （x 0，y 0），命题B ：曲线F （x ，y ）+λG （x ，y ）＝0（λ为常数）过点P （x 0，y 0），则A 是B 的__________条件.答案：充分不必要5.函数f （x ）=x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是A.a ∈（－∞，1］B.a ∈［2，+∞）C.α∈［1，2］D.a ∈（－∞，1］∪［2，+∞）解析：∵f （x ）=x 2－2ax －3的对称轴为x =a ，∴y =f （x ）在［1，2］上存在反函数的充要条件为［1，2］⊆（－∞，a ］或［1，2］⊆［a ，+∞），即a ≥2或a ≤1.答案：D6.已知数列{a n }的前n 项和S n =p n +q （p ≠0且p ≠1），求数列{a n }成等比数列的充要条件.分析：先根据前n 项和公式，导出使{a n }为等比数列的必要条件，再证明其充分条件.解：当n =1时，a 1=S 1=p +q ；当n ≥2时，a n =S n －S n －1=（p －1）·p n －1.由于p ≠0，p ≠1，∴当n ≥2时，{a n }是等比数列.要使{a n }（n ∈N *）是等比数列，则12a a =p ，即（p －1）·p =p （p +q ），∴q =－1，即{a n }是等比数列的必要条件是p ≠0且p ≠1且q =－1.再证充分性：当p ≠0且p ≠1且q =－1时，S n =p n －1，a n =（p －1）·p n －1，1n n a a =p （n ≥2）， ∴{a n }是等比数列.。