一轮复习-直线的方程

y2－y1 (x1≠x2)； k＝ x2－x1
③直线都有倾斜角，但不一定都有斜率．
直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角与斜率的关系
倾斜角 斜 取值 0 0 π (0， ) 2 (0，＋∞) 递增 π 2 不存在 π ( ，π) 2 (－∞，0) 递增
率 增减性
2．两条直线平行与垂直 (1)两条直线平行： 对于两条不重合的直线 l1、 l2，若其斜率分别为 k1、 k2，则有 l1∥l2⇔ k1＝k2 . 特别地，当直线 l1 、 l2 的斜率都不存在时，亦有 l 1∥ l 2 ； (2)两条直线垂直：
本节内容主要考查直线的斜率，直线方程的求法，在高考 中，本节内容单独命题并不多见，主要考查直线与圆，直线与圆 锥曲线的问题，其试题难度为中高档题．
[ 例 5]
(2010· 福建高考 ) 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过
点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C的方程； (2) 是否存在平行于 OA 的直线 l ，使得直线 l 与椭圆 C 有公共 点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不 存在，说明理由．
∵直线 l 与椭圆 C 有公共点， ∴Δ＝(3t)2－4×3(t2－12)≥0， 解得－4 3≤t≤4 3. 另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d＝4 可得 |t| ＝4，从 9 4＋1
而 t＝± 2 13. 由于± 2 13∉[－4 3，4 3]，∴符合题意的直线 l 不存在．
1 ． (2009· 安徽高考 ) 直线 l 过点 ( － 1,2) 且与直线 2x － 3y ＋ 4 ＝0
y＋ 3 试求： 的最大值与最小值． x＋ 2
考点三、两条直线的平行与垂直 1．应注意两条直线的位置关系包括三种：平行、重合、相交． 2．若用直线的斜率判定两条直线的平行、垂直等问题要注意其 斜率不存在的情况． 3．可利用直线的方向向量或法向量判定两直线的平行或垂直． 4.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为 Ax＋By＋D＝0 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为 Bx－Ay＋D＝0 [例3] 已知两条直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8.
3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0
考点二、求斜率 y2－ y1 (1)已知直线上两点， 根据斜率公式 k＝ (x1≠ x2)求斜率． x2－ x1 (2)已知直线的倾斜角 α 或 α 的某种三角函数值根据 k＝ tanα 来求斜率．
[例 2]
已知实数 x， y 满足 y＝ x2－ 2x＋2(－1≤x≤ 1)．
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 解析： ∵ x2 ＋ 2x ＋ y2 ＝ 0 可化为 (x ＋ 1)2 ＋ y2 ＝ 1 ， ∴ 圆心 C( － 1,0)，又∵过点C的直线与x＋y＝0垂直，∴其斜率为1， 故所求直线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0. 答案：A
考点一、求直线方程 [例 1]根据所给条件求直线的方程． 10 (1)直线过点 (－ 4,0)，倾斜角的正弦值为 ； 10
x＋3y＋4＝0或且在两坐标轴上的截距之和为 12；
4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0 (3)求与直线3x＋4y＋12＝0平行，且与坐标轴构成的 三角形的面积是24的直线l的方程。
当且仅当 k＝－1 时取等号，所求直线 l 的方程为 y－1＝－(x －2)，即 x＋y－3＝0. x y (2)设直线 l 的方程为a＋b＝1(a>0，b>0)． 2 1 ∵P∈l，∴ ＋ ＝1. a b
∴ab＝2b＋a≥2 2ab. ∴ab≥8.由题设|OA|· |OB|＝ab. 当且仅当 a＝2b，即 a＝4，b＝2 时取等号， x y 所求直线 l 的方程为4＋2＝1， 即 x＋2y－4＝0.
x 2 y2 [解] (1)依题意，可设椭圆 C 的方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)，且 a b 可知左焦点为 F′(－2,0)．
c＝2， 从而有 2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，
2 2 2 2
c＝2， 解得 a＝4.
x2 y2 又 a ＝b ＋c ，∴b ＝12，故椭圆 C 的方程为16＋12＝1. 3 (2)假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y＝ x＋t. 2 y＝3x＋t， 2 由 2 得 3x2＋3tx＋t2－12＝0. 2 x ＋ y ＝1 16 12
如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有
l1⊥l2⇔
k1·k2＝－1
.特别地，当其中一条直线的斜率不
存在，而另一条直线的斜率为0时，亦有l1⊥l2.
3．直线方程的几种形式
名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 方程形式 y－ y0＝k(x－ x0) y＝ kx＋ b y－ y1 x－ x1 ＝ y 2 － y 1 x 2 －x 1 x y ＋ ＝1 a b Ax＋ By＋ C＝ 0 (A2＋ B2≠ 0) 适用条件 不表示垂直于 x 轴 的直线 不表示垂直于 x、 y 轴 的直线 不表示垂直于坐标轴 和过原点的直线 直线方程最终都 可化为一般式
即时训练
通过已知点P(1,4)的一条直线，要使它在两个坐标
轴上的截距都为正，且它们的和最小，求这条直线的方程．
解：设该直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a、b(a>0，b>0)， x y 1 4 则所求直线方程为 ＋ ＝1.将(1,4)代入方程得 ＋ ＝1，解得 a＝ a b a b b . b－4
热点之四
直线方程的应用
利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便 简化运算． 1．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式 或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式． 2．从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积 或周长，常选用截距式或点斜式．
[例4]
过点P(2,1)作直线l分别交x，y正半轴于A、B两点．
当m分别为何值时，l1与l2：(1)相交？(2)平行？(3)垂直？
考点四、直线的方程
求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直
线方程的形式准确写出直线方程．求直线方程的一般方法有：
1．直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写 出直线的方程． 2．待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系 数，最后代入求出直线方程． 特别警示：求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应 对斜率存在与不存在加以讨论．在用截距式时，应先判断截距是否为 0.若不确定，则需分类讨论
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点 的直线斜率的计算公式；
2．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行
或垂直； 3．掌握确定直线位置的几何要素； 4．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及 一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角：
①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向 与直线l
向上方向之间所成的角即为直线l的倾斜角；
②当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角 为
0°
；
③直线倾斜角θ的范围为
0°≤θ<180°.
(2)直线的斜率： ①若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝
tanθ
；
②若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则
因为 a>0，所以 b>4. b 4 设截距之和为 M，则 M＝a＋b＝ ＋b＝1＋ ＋b－4＋ b－4 b－4 4 4＝5＋(b－4)＋ ≥5＋2 b－4 4 b－4· ＝5＋2×2＝9，当且仅 b－4
4 当 b－4＝ ，即(b－4)2＝4 时等号成立． b－4
b 因为 b>4， 故当 b－4＝2， 即 b＝6 时， M 取最小值， 且 a＝ b－4 6 ＝ ＝3. 2 x y 故所求直线方程为 ＋ ＝1 3 6 即 2x＋y－6＝0.
垂直，则l的方程是( )
A．3x＋2y－1＝0
B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
3 解析：由题意知：直线 l 的斜率为－2， 3 ∴直线 l 的方程为 y－2＝－2(x＋1)， 即 3x＋2y－1＝0.
答案：A
2．(2008·广东高考)经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线 x＋y＝0垂直的直线方程是( )
(1)若|PA|·|PB|取得最小值时，求直线l的方程；
(2)若|OA|·|OB|取得最小值时，求直线l的方程． [课堂记录] (1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，
显然k不存在时的直线不符合题意．
1 令 y＝0，得点 A(2－ ，0)， k 令 x＝0，得点 B(0,1－2k)． ∴|PA|· |PB|＝ 1 k2＋14＋4k2＝ 1 8＋4k2＋k2≥4.