(完整word版)2018年高考南通市数学学科基地密卷(2)
(2021年整理)2018年高考南通市数学学科基地密卷(9)
(完整版)2018年高考南通市数学学科基地密卷(9)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)2018年高考南通市数学学科基地密卷(9)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整版)2018年高考南通市数学学科基地密卷(9)的全部内容。
(完整版）2018年高考南通市数学学科基地密卷(9)编辑整理：张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望 (完整版)2018年高考南通市数学学科基地密卷(9) 这篇文档能够给您的工作和学习带来便利。
同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区，这将是我们进步的源泉，前进的动力.本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为 <（完整版)2018年高考南通市数学学科基地密卷(9)〉这篇文档的全部内容。
（第3题）2018年高考模拟试卷(9）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共70分．1． 设集合A = ｛1，x ｝，B = {2，3，4},若A ∩B =｛4}，则x 的值为 ▲ ． 2． 若复数z 1＝2+i ，z 1·z2()2z ＝5,则z 2＝ ▲ ．3． 对一批产品的长度(单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200,右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间［25，30）的为一等品，在区间［20,25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品,则样本中三等品的件数为 ▲ ．4． 执行如图所示的流程图,会输出一列数，则这列数中的第3个数为 ▲ ．5． 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为9.9元，随机分配成5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元， 0.73元，2。
2018年高考南通市数学学科基地密卷(7)
2018年高考模拟试卷（7）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 复数i z a =+（a ∈R ，i 是虚数单位），若2z 是实数，则实数a 的值为 ▲ ． 2． 在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为射线Ox ，点()12P -，在其终边上，则sin α的值为 ▲ ．3． 设全集U 是实数集R ，{}3M x x =>，{}2N x x =>，则图中阴影部分所表示的集合为 ▲ ．4． 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右上图．若某高校 A 专业对视力要求不低于，则该班学生中最多 有 ▲ 人能报考A 专业．5． 袋中共有大小相同的4只小球，编号为1，2，3，4．现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和 是奇数的概率为 ▲ ．6． 执行如图所示的算法，则输出的结果是 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2213x y k k -=-频率组距视力（第3题）US ≥2S+log 2MSn+1n Mn+1n2nS是否输出S 结束开始（第6题）的一个焦点为(5,0)，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 8． 现用一半径为10 cm ，面积为80cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3． 9． 平行四边形ABCD 中，已知AB ＝4，AD ＝3，∠BAD ＝60°，点E ，F 分别满足AE →＝2ED →，DF →＝FC →，则AF BE ⋅的值为 ▲ ．10．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若满足a 4 + 3a 11= 0，则2114S S = ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y kx =被圆22223310x y mx my m +--+-=截得的弦长是定值（与实数m 无关），则实数k 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13．设F 是椭圆22x a ＋24y ＝1(a ＞0，且a ≠2)的一焦点，长为3的线段AB 的两个端点在椭圆上移动．则当AFBF 取得最大值时，a 的值是 ▲ ．14．设函数2172 2 044()()3 0k x x f x g x k x x x ⎧+⎛⎫-+⎪⎛⎫ ⎪==-⎝⎭⎨ ⎪⎝⎭⎪>⎩≤，，，，，其中0k >．若存在唯一的整数x ，使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，A 为锐角，且3sin 5A =． （1）若2AC =，65BC =，求AB 的长； （2）若()1tan 3A B -=-，求tan C 的值．（第16题）AB16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，AC BC =，点D 在AB 上，点E 为AC 的中点，且BC //平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ； （2）若平面PCD ⊥平面ABC ，求证：平面PAB ⊥平面PCD ．17．(本小题满分14分设1l ，2l ，3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1 m ，2l 与3l 间的距离 是2 m ，△ABC 的三个顶点分别在1l ，2l ，3l ． （1）如图1，△ABC 为等边三角形，求△ABC 的边长；（2）如图2，△ABC 为直角三角形，且B 为直角顶点，求4AB BC +的最小值．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设P 为圆O ：222x y +=上的动点，过P作x 轴的BCAl 3l 2l 1 图1 BCl 3l 2l 1 图2A垂线，垂足为Q ，点M 满足2PQ MQ =．（1）求证：当点P 运动时，点M 始终在一个确定的椭圆上； （2）过点T ()2()t t -∈R ，作圆O 的两条切线，切点分别 为A ，B ．① 求证：直线AB 过定点（与t 无关）；② 设直线AB 与（1）中的椭圆交于C ，D两点，求证：ABCD19．(本小题满分16分)设等差数列{}na 是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，． （1）设数列{}na 其前n 项和为n S ，1n n nSb a =-，*n ∈N ．① 若25a =，540S =，求2b 的值； ② 若数列{}nb 为等差数列，求n b ；（2）求证：数列{}n a 中存在三项（按原来的顺序）成等比数列．20．(本小题满分16分)已知函数()e x f x =，2()g x mx =．（1）若直线1y kx =+与()f x 的图象相切，求实数k 的值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，试讨论函数()h x 在(0)+∞，上的零点个数；（3）设12x x ∈R ，，且12x x <，求证：122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-．2018年高考模拟试卷（7）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应．．．．．．．的答题区域内作答．．．．．．．．． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD =，BA 、CD 的延长线交于点E ． 求证：AE 平分DAF ∠．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换T M 把直线l ：23x y -=变换为自身，求实数a b ，的值．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知直线l ：cos sin x t m y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（为参数）的右焦点，求实数m 的值．ABFC DE（第21—A 题）D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)设123a a a ，，均为正数，且1231111a a a ++=，求证：1239a a a ++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．(本小题满分10分)设随机变量ξ的分布列为!()k k P k cξ⋅==，其中*6k k ∈<N ，，c 为常数． （1）求c 的值；（2）求ξ的数学期望E (ξ )．23．(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足123012323C C C C 222n n n n na +++=++++…*C 2n n nn n ++∈N ，． （1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．2018年高考模拟试卷（7）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 【答案】0【解析】()222i 12i z a a a =+=-+是实数，则0a =．2．【解析】根据三角函数定义，sin α==．3． 【答案】(]2,3【解析】图中阴影部分所表示的集合为()U C M N ，即为(]2,3．4． 【答案】18【解析】校A 专业对视力要求不低于的学生数为45()10.750.250.218⨯++⨯=． 5． 【答案】23【解析】从4只小球中任取2只小球共有6种取法，其中2只球的编号之和是奇数的有4种，则所求概率为23．6． 【答案】2【解析】根据循环，依次得到,,n M S 的值分别为2443,,log 33；225454,,log log 434+，…，22212451211,,log log log 113411+++，因为2224512log log log 223411S =+++=≥，所以最后的输出结果为2．7．【解析】由题意，235k -=，即4k =，所以双曲线为2214x y -=． 8． 【答案】128π【解析】设圆锥底面半径为r ，高为h ，由题意，π1080πr ⨯=，得8r =． 所以6h =，容积为2211ππ8633128πr h =⨯⨯=．9． 【答案】6-因为23AE AD =，12AF AD DF AD AB =+=+；23BE BA AE AD AB =+=-，那么AF BE ⋅=()()1223AD AB AD AB +⋅-22212323AD AB AB AD =--⋅6846=--=-． 10． 【答案】76【解析】由a 4 + 3a 11= 0，知713q =-，所以212114147116S q S q -==-．11．【解析】由2222310x y mx m +--+-=得，()()2221x m y m -+=+，则圆心()m 到直线y kx =2km -，设截得的半弦长为p ，则()221pm =+-(2221k mk -=+)2222111m k k -+++（与实数m无关），10-=，k =．12． 【答案】1【解析】由cos 2sin sin A B C =得，()cos 2sin sin B C B C -+=， 即cos cos sin sin 2sin sin B C B C B C -+=，所以tan tan 1B C =-， 所以()tan tan 2tan tan 1tan tan 111B C A B C B C +-=-+===---．13．【答案】 83或3．【分析】当a ＞2时，设椭圆的另外一个焦点为F ′，联结AF ′，BF ′． 则AF ′＋BF ′≥|AB |＝3．故AF ＋BF ＝4a －(AF ′＋BF ′)≤4 a －3．所以AFBF ≤(AFBF2)2≤(4 a －32)2．当且仅当线段AB 过点F ′，且AF ＝BF ＝4 a －32时， 上式等号成立，此时，AB ⊥x 轴，且AB 过点F ′．于是 4c 2＝|FF ′|2＝(4 a －32)2－(32)2＝4a 2－6a ，即c 2＝a 2－32a ．则a 2＝4＋(a 2－32a )，得a ＝83．类似地，当0＜a ＜2时，可得a ＝3．14． 【答案】1763⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【分析】当163k =时，()()f x g x ，的图象相切；6k =时，()()f x g x ，的图象均过点()24，， ()416，，故唯一的正整数3x =，同时174k k +≤，从而1763k ≤≤．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分14分)解：（1）因为3sin 5A =，()π02A ∈，，所以4cos 5A ==． ……3分 在△ABC 中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=得，()2226254522c c+-=⨯⨯，解得85c =，所以AB 的长为85． ……6分（2）由（1）知，3sin 35tan cos 445A A A ===， ……8分所以()()()31tan tan 1343tan tan 3191tan tan 143A AB B A A B A A B +--=--===⎡⎤⎣⎦+--⨯． ……11分 在△ABC 中，πA B C ++=，所以()313tan tan 7949tan tan tan tan 13133149A B C A B A B ++=-+===-⨯-． ……14分16．(本小题满分14分)证明：（1）因为BC //平面PDE ， BC ⊂平面ABC ，平面PDE平面ABC =DE ，所以BC ∥DE . ……3分 因为DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ． ……6分 （2）由（1）知，BC ∥DE ．在△ABC 中，因为点E 为AC 的中点，所以D 是AB 的中点．因为AC BC =，所以AB CD ⊥， ……9分因为平面PCD ⊥平面ABC ，平面PCD平面ABC =CD ，AB ⊂平面ABC ，则AB ⊥平面PCD ． ……12分 因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． ……14分 17．(本小题满分14分 解：（1）如图1，过点B 作2l 的垂线，分别交1l ，3l ，于点D ，E ，设DBA θ∠=，则23EBC θπ∠=-．则1cos AB θ=，()22πcos 3BC θ=-．……2分 因为AB BC =，所以()12cos 2πcos 3θθ=-，化简得5cos θθ=，所以tan θ=，则cos θ=，B CAl 3l 2 l 1图1D E所以边长1cos AB θ==． ……6分 （2）如图2，过点B 作2l 的垂线，分别交1l ，3l 于点D ，E ． 设DBA θ∠=，则π2EBC θ∠=-，则1cos AB θ=，2sin BC θ=． 于是184cos sin AB BC θθ+=+．……8分记18()cos sin f θθθ=+，()π02θ∈，．求导，得333222221sin 8cos sin 8cos tan 8()cos sin sin cos sin cos f θθθθθθθθθθθθ---'=-==．……10分 令()0f θ'=，得tan 2θ=．记0tan 2θ=， 列表：当0θθ=时，()f θ取最小值，此时sin θ=，cos θ，0()f θ=……12分 答：（1）边长AB ；（2）4AB BC +长度的最小值为．……14分18．(本小题满分16分)解：（1）设点()M x y ，PQ =，得()P x ．因为P 为圆O ：222x y +=上的动点， 所以)222x +=，即2212x y +=，所以当点P 运动时，点M 始终在定椭圆2212x y +=上． ……4分 （2）①设11()A x y ，，22()B x y ，，BCAl 3l 2l 1 图2 DE当10y ≠时，直线AT 的方程为：()1111x y y x x y -=--，即221111x x y y x y +=+， 因为22112x y +=，所以112x x y y +=，当10y =时，直线AT的方程为：x = 综上，直线AT 的方程为：112x x y y +=． 同理，直线BT 的方程为：222x x y y +=．又点T ()2()t t -∈R ，在直线AT ，BT 上， 则1122x ty -+=，① 2222x ty -+=，② 由①②知，直线AB 的方程为：22x ty -+=．所以直线AB 过定点()10-，． ……9分 ②设33()C x y ，,44()D x y ，， 则O 到AB的距离d =AB ==． ……11分 由222212x ty x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(8)440t y ty +--=， 于是34248t y y t +=+，34248y y t -=+，所以34CD y =-， ……13分于是AB CD ，AB CD ⇔⇔()222(8)2t t ++2≤()222(4)4t t ++ ⇔42(6)t t +≥0（显然）所以AB CD． ……16分19．(本小题满分16分) 解：设等差数列{}na 的公差为d ．因为无穷数列{}n a 的各项均为互不相同的正整数，所以*1a ∈N ，*d ∈N ．（1）①由25a =，540S =得，15a d +=，1545402a d ⨯+=， ……2分解得12a =，3d =．所以21222215S ab a a =-==． ……4分 ②因为数列{}n b 为等差数列，所以2132b b b =+，即()3212132111S S Sa a a -=-+-．所以()()111122312a d a d a d a d++=+++，解得1a d =（0d =已舍）． ……6分 此时，()11112112n n n n n a S n b a na +-=-=-=． ……8分 （2）因为()111111a a a a d +=++-⎡⎤⎣⎦是数列{}n a 的第()11a +项， ()1(2)111(2)11a d a a a d d ++=+++-⎡⎤⎣⎦是{}n a 的第()1(2)1a d ++项，且()()1222111a a a d +=+，[]11(2)1111(2)a d a a a a a d d ++⋅=⋅++，所以()121a a +11(2)1a d a a ++=⋅．又1111(2)1a a a d <+<++， 所以数列{}na 中存在三项1a ，11a a +，1(2)1a d a ++按原来的顺序）成等比数列． ……16分 20．(本小题满分16分)解：（1）设直线1y kx =+与()f x 的图象的切点为00(e )x x ，． 因为()e xf x '=，所以000e e 1x x kkx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩， ……2分所以00e (1)10x x -+=．令()e (1)1x x x ϕ=-+，()e x x x ϕ'=⋅．令()0x ϕ'=得0x =．所以min ()(0)0x ϕϕ==，所以00x =，所以1k =． ……4分（2）2()e x h x mx =- (0)x >．令()0h x =得2e xm x=． 令2e ()xt x m =- (0)x >，3e (2)()x x t x -'=．当2x =时，()t x 有最小值2e (2)4t m =-．因为()t x 在(0)+∞，上的图象是连续不断的，当2e 4m <时，()0t x >在(0)+∞，上恒成立，所以()h x 在(0)+∞，无零点； 当2e 4m =时，min ()0t x = 所以()h x 在(0)+∞，有且仅有一个零点； 当2e 4m >时，此时min ()(2)0t x t =<，因为()112211e e 0m m t m m m m m ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭，所以()t x 在(02)，上有且仅有一个零点．又因为33322e 1(3)(e 9)99mm t m m m m m=-=-，令31()e 3x u x x =-，(2,)x ∈+∞， 则2()e x u x x '=-，()e 2x u x x ''=-，所以()e 20x u x '''=->． 所以()u x ''在(2)+∞，上单调递增，所以2()(2)e 40u x u ''''>=->， 所以()u x '在(2)+∞，单调递增，所以2()(2)e 40u x u ''>=->，所以()u x 在(2)+∞，单调递增，所以28()(2)e 03u x u >=->，所以31e 3x x >在(2)+∞，恒成立，所以33e 9m m >，即(3)0t m >，所以()t x 在(2)+∞，上有且仅有一个零点． 所以()h x 在(0)+∞，上有两个零点．综上所述，2e 4m <时，()h x 在(0)+∞，无零点；2e 4m =时，()h x 在(0)+∞，有且仅有一个零点；2e 4m >时，()h x 在(0)+∞，有两个零点． ……10分 （3）因为()e x f x =在()-∞+∞，上单调增，且21x x >， 所以21()()f x f x >，210x x ->，所以122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-122121e e e e 2x x x x x x +-⇔>-212121e e 2e e x x x x x x --⇔>+ 2121211e 1()2e 1x x x x x x ---⇔->+212112()1()2e 1x x x x -⇔->-*+． 令2()12e 1x x x ϕ=+-+(0)x >，222(e 1)12e ()2(e 1)2(e 1)x x x x x ϕ-'=-=++． 因为0x >，所以()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(0)+∞，上单调递增， 所以()(0)0x ϕϕ>=， 所以()*式成立，所以122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-． ……16分 数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．C ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分) 证明：因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以EAD BCD ∠=∠． …… 2分 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠． …… 4分 又BAC EAF ∠=∠， …… 6分 BAC BDC ∠=∠， …… 8分所以EAD EAF ∠=∠，即AE 平分DAF ∠． …… 10分 D ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)解：设()P x y ，是l ：23x y -=上任意一点，在矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应的变换得到点为()x y ''，， 由13a x x b y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得3x x ay y bx y '=-+⎧⎨'=+⎩，， …… 5分 代入直线l ：23x y -=，得(2)(23)3b x a y --+-=， …… 7分 所以22231b a --=⎧⎨-=-⎩，，解得14a b ==-，． …… 10分C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：将直线l 化为普通方程，得tan ()y x m α=- …… 3分将椭圆C 化为普通方程，得221259x y +=． …… 6分 因为5,3,4a b c ===，则右焦点的坐标为(4,0). …… 8分 而直线l 经过点(,0)m ，所以4m =. …… 10分D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：因为123 a a a ，，均为正数，且1231111a a a ++=， 所以123a a a ++()123123111()a a a a a a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（当且仅当1233a a a ===时等号成立） …… 8分所以1239a a a ++≥. …… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．(本小题满分10分)解：（1）因为[]!(1)1!(1)!!(1)!!k k k k k k k k k ⋅=+-⋅=+⋅-=+-， 又由概率分布的性质可知51()1k P k ξ===∑，即()[]()555111!111719!(1)!!6!1!1k k k k k k k k k c c c c c ===⋅=⋅=+-=-==∑∑∑，所以c 719． (3)分（2）由（1）知!()719k k P k ξ⋅==，*6k k ∈<N ，，于是22!4(2)719719P ξ⨯===，1(1)719P ξ==，33!18(3)719719P ξ⨯===，44!96(4)719719P ξ⨯===，55!600(5)719719P ξ⨯===． …… 8分 所以ξ的数学期望E (ξ )14189660012345719719719719719=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3447719=． ……10分23．(本小题满分10分)解：（1）12a =，24a =，38a =． …… 3分 （2）猜想：2n n a =． 证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； …… 5分 ②假设n k =时结论成立， 则有123012323C C C C C 22222k k k k k k k k kk a ++++=+++++=． 则1n k =+时，123101112131111231C C C C C2222k+k k k+k+k+k k k+a ++++++++=+++++． 由111C C C k k k n n n +++=+得102132112233123C C C C C C C 222k k k k k k k ka ++++++++++=++++11111C C C 22k k -k+k+k k+k k+k+k k+++++0121112311231C C C C C 222222k k+k k k k k k k+k+k k+-+++++=++++++， 12110231111121C C C C 12(C )22222k k+kk k k k k+k+k k k k a -++++++-=++++++ 121102311111121C C C C C 12(C )22222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k+-+++++++-=++++++． 又111111(21)!(22)(21)!(21)!(1)12C C !(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!2k+k+k+k k+k k k k k k =k k k k k k k ++++++++===+++++ 12110231111111211C C C C C 12(C )222222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k k -++++++++-+=+++++++， 于是11122k k k a a ++=+．所以112k k a ++=， 故1n k =+时结论也成立．由①②得，2n n a =*n ∈N ，． …… 10分。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷2理含答案
江苏省南通基地2018年高考数学密卷（2）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A={1，4}，B={}，则A∩B= ．2．设复数（为虚数单位），则的共轭复数为．3．函数的定义域为．4．阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为．5．如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为．6．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为．7．在平面直角坐标系xOy中，将函数的图象向右平移个单位得到的图象，则的值为．8．在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为．9．若，则的值为．10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R都有f(x+4)= f(x)+ f(2)，f(1)= 4，则f(3)+ f(10)的值为．11．已知为数列{a n}的前n项和，且，，则{a n}的首项的所有可能值为．12．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，为轴上一动点，则△ABP周长的最小值为．13．已知函数记，若，则实数的取值范围为．14．若△ABC中，AB=，BC=8，45°，D为△ABC所在平面内一点且满足，则AD长度的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在△ABC中，为所对的边，CD⊥AB于D，且．（1）求证：；C（2）若，求的值．A D B（第15题）16．（本小题满分14分）在正四棱锥中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：平面VBD ⊥平面BEF ．17．(本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为90cm 3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥的底面半径都为r cm ．圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为；圆柱的高为h 2 cm ．已知圆柱底面的造价为2a 元/cm 2，圆柱侧面造价为a 元/cm 2，圆锥侧面造价为a 元/cm 2．（1）将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系中，椭圆C ：离心率为，其短轴 长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为，，且， ，（为非零实数），求的值．19．（本小题满分16分）ACBD（第16题）VE FPEx y OAQD设数列的前n项和为，已知，（）．（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列满足：，．①求数列的通项公式；②是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数，．（1）当时，①若曲线与直线相切，求c的值；②若曲线与直线有公共点，求c的取值范围．（2）当时，不等式对于任意正实数x恒成立，当c取得最大值时，求a，b的值．2018年高考模拟试卷（2）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，ABCD为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E，F．M，N为AB，CD上两点，EM＝EN，点F在MN的延长线上．求证：∠BFM＝∠AFM．B．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知在二阶矩阵对应变换的作用下，四边形变成四边形，其中，，，，，．（1）求矩阵；（2）求向量的坐标．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x >0，y >0，z >0，，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同 学数学获一等奖的概率为，物理，化学，生物获一等奖的概率都是，且四门学科 是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量表示该同学获得一等奖的总数，求的概率分布和数学期望．23．（本小题满分10分）已知函数，记，当． （1）求证：在上为增函数；（2）对于任意，判断在上的单调性，并证明．2018年高考模拟试卷（2）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{1}【解析】依题意，A∩B={1}2．【解析】由于，所以的共轭复数为．3．【解析】由，解得．4． 36【解析】，，输出的结果．5．【解析】由茎叶图可知，，所以甲的方差为；同理乙的方差为，所以比较稳定的是甲．6．【解析】所有等可能的基本事件总数为种，“黑白两球均不在1号盒子”有种，所以概率为．7．【解析】，所以．8．【解析】一条渐近线与右准线的交点为，其到另一条渐近线的距离为．9．【解析】由，得．10． 4【解析】令f(x+4)= f(x)+ f(2)中x，得f(2)= f f(2)，所以f，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2)=0，所以f(x+4)= f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(3)+ f(10)= f f(2)= f(1)+0= 4．11．【解析】因为，所以，所以，，…，，将以上各式相加，得，又，所以，获解．12． 14【解析】设直线l与圆C的一个交点B（5，5）关于x轴的对称点为，易知B恰为圆C的直径，记A与x轴交于点Q，则，所以△ABP的周长的最小值为，易求得结果为14.13．【解析】条件可转化为函数在上存在零点，所以方程有根，所以函数的图象C x yOBA（第12题）PBQ有交点的横坐标在上， 注意到函数的图象为顶点（a ，a ）在直线y =2x 上移动的折线，再考虑临界位置不难求解．14． 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，，， 设，所以，，， 所以，即，令，则，所以mn =4， 所以．当且仅当5m =n =时，AD 取得最小值． 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分） （1）证明：因为， 所以， …… 3分 由正弦定理，得， 所以． …… 6分（2）解：由（1）得，， …… 8分 所以，化简，得． …… 10分又，所以，所以，， …… 12分所以． …… 14分 16．（本小题满分14分）（1）因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF ∥AC ， …… 3分 又因为，，所以EF ∥平面ABCD ． …… 6分（2）连结，交于点，连结．因为为正四棱锥， 所以．又，所以．…… 8分 又因为，EF ∥AC ，Cx y A BD（第14题）CDVE FO所以EF⊥VO，EF⊥BD．…… 10分又，，所以，…… 12分又，所以平面VBD⊥平面BEF．…… 14分17．（本小题满分14分）（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为，所以，圆锥的体积为，圆柱的体积为．…… 2分因为，所以，所以．…… 4分因为，所以．因此．所以，定义域为．…… 6分（2）圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，底面积．…… 8分容器总造价为．…… 10分令，则．令，得．当时，，在上为单调减函数；当时，，在上为单调增函数．因此，当且仅当时，有最小值，y有最小值90元．…… 13分所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm．…… 14分18．（本小题满分16分）（1）解：因为短轴长2b=2，所以b=1，…… 2分又离心率，所以，…… 4分所以，所以，所以椭圆C的标准方程为．…… 6分（2）由（1），点A，设，则因为，所以，…… 8分由①得，，由②得，，所以，…… 11分PExyOAQD两边同时乘以k1得，，所以，，代入椭圆的方程得，，…… 14分同理可得，，所以．…… 16分19．（本小题满分16分）（1）解：由，得（），两式相减，得，即（）．…… 2分因为，由，得，所以，所以对任意都成立，所以数列为等比数列，首项为1，公比为2．……4分（2）①由（1）知，，由，得，…… 6分即，即，因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．…… 8分所以，所以．…… 10分②设，则，所以，两式相减，得，所以．…… 12分由，得，即．显然当时，上式成立，设（），即．因为，所以数列单调递减，所以只有唯一解，所以存在唯一正整数，使得成立．…… 16分20．（本小题满分16分）（1）解：当时，，所以．①设切点为，则…… 2分由②③得，由①得代入④得，所以．…… 4分②由题意，得方程有正实数根，即方程有正实数根，记，令，当时，；当时，；所以在上为减函数，在上为增函数；所以．…… 6分若，则，不合；若，由①知适合；若，则，又，所以，由零点存在性定理知在上必有零点．综上，c的取值范围为．…… 9分（2）由题意得，当时，对于任意正实数x恒成立，所以当时，对于任意正实数x恒成立，由（1）知，，两边同时乘以x得，①，两边同时加上得，②，所以（*），当且仅当时取等号．对（*）式重复以上步骤①②可得，，进而可得，，，……，所以当，时，，当且仅当时取等号．所以．…… 12分当取最大值1时，对于任意正实数x恒成立，令上式中得，，所以，所以对于任意正实数x恒成立，即对于任意正实数x恒成立，所以，所以函数的对称轴，所以，即，所以，． …… 14分 又由，两边同乘以x 2得，， 所以当，时，也恒成立，综上，得，． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：因为EM ＝EN ，所以∠EMN ＝∠ENM ， …… 3分 因为ABCD 为圆内接四边形，所以∠FCN ＝∠A ，…… 6分 又因为∠EMN ＝∠AFM ＋∠A ，∠ENM ＝∠BFM ＋∠FCN ，所以∠AFM ＝∠BFM ． …… 10分B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） （1）解：设，则有， …… 2分故 解得，所以．…… 5分 （2）由，知，易求， …… 7分 由，得， 所以． …… 10分C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3 (t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，…… 2分圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． …… 5分 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝12＝． …… 7分又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝14． …… 10分D．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：因为，…… 5分所以，又因为，所以．…… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）（1）解：记“该同学获得个一等奖”为事件，，则，，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为．…… 4分（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，所以的概率分布为23．（本小题满分10分）（1）证明：因为，所以，因为所以，，所以，所以，所以在上为增函数．…… 4分（2）结论：对于任意，在上均为增函数．证明：①当n=1时，结论显然成立；②假设当n=k时结论也成立，即在上为增函数，所以当时，在上恒成立．当n=k+1时，，所以又当时，，，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上为增函数．由①②得证，对于任意，在上均为增函数．…… 10分。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷(2)理
甲 乙 8 9 79 01398 210 （第5题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（2）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合A ={1，4}，B ={|13x x ≤≤}，则A ∩B = ▲ ． 2． 设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ． 3．函数的y =定义域为 ▲ ．4． 阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为 ▲ ．5． 如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 ▲ ．6． 将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，则(2g π的值为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214y x -=的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 ▲ ． 9． 若()πtan 34x +=-，则sin 2cos 3sin 4cos x x x x++的值为 ▲ ． 10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f (x +4)= f (x )+ f (2)，f (1)= 4，则f (3)+ f (10)的值为 ▲ ．11．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有s ←0t ←1For I From 1 To 3 s ←s +I t ←t ⨯I End For r ←s ⨯t Print r（第4题）可能值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:3450l x y -+=与圆22:100C x y x +-=交于A ，B 两点，P 为x 轴上一动点，则△ABP 周长的最小值为 ▲ ．13．已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+-⎪=⎨++<-⎪⎩≥，，，．记{|()0}A x f x ==，若(2)A -∞≠∅，，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．若△ABC 中，ABBC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足 ()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．16．（本小题满分14分）在正四棱锥V ABCD -中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：平面VBD ⊥平面BEF ．17．(本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为90πcm 3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥ACBD（第16题）VE FCADB（第15题）h 1rh 2（第17题）45° 的底面半径都为r cm ．圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为o 45；圆柱的高为h 2 cm ．已知圆柱底面的造价为2a 元/cm 2，圆柱侧面造价为a 元/cm 2，元/cm 2．（1）将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)y xa b a b+=>>，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，AD DP λ=，AE EQ μ=（λμ，为非零实数），求22λμ+的值．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=（*n ∈N ）． （1）求证：数列{}n a 为等比数列； （2）若数列{}n b 满足：11b =，111nn n b b ++=+． ① 求数列{}n b 的通项公式；② 是否存在正整数n ，使得14ni i b n ==-∑成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数*()ln k f x x x k =∈N ，，()1g x cx c =-∈R ，． （1）当1k =时，①若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求c 的值；②若曲线()y f x =与直线()y g x =有公共点，求c 的取值范围．（2）当2k ≥时，不等式2()()f x ax bx g x +≥≥对于任意正实数x 恒成立，当c 取得最大值时，求a ，b 的值．2018年高考模拟试卷（2）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E ，F ．M ，N 为AB ，CD 上两点，EM ＝EN ，点F 在MN 的延长线上．求证：∠BFM ＝∠AFM ．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A B C D ''''，其中 (11)A ，，(11)B -，，(11)C --，，(33)A '，，(11)B '-，，(11)D '-，． （1）求矩阵M ； （2）求向量DC '的坐标．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中 取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x >0，y >0，z >0，221x y z ++=，求证：135xy yz zx ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同 学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知函数2()1f x x x =-+，记1()()f x f x =，当12()(())n n n f x f f x -=≥时，． （1）求证：2()f x 在(1)+∞，上为增函数； （2）对于任意*N n ∈，判断()n f x 在(1)+∞，上的单调性，并证明．2018年高考模拟试卷（2）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． {1}【解析】依题意，A ∩B ={1}2． 34i -【解析】由于2(2i)34i z =+=+，所以z 的共轭复数为34i -． 3． (]0,8【解析】由23log 0x -≥，解得08x <≤．4． 36【解析】1236s =++=，1236t =⨯⨯=，输出的结果6636r =⨯=． 5． 2【解析】由茎叶图可知，8889909192905x ++++==，所以甲的方差为52211()25i i s x x ==-=∑；同理乙的方差为4，所以比较稳定的是甲．6． 49【解析】所有等可能的基本事件总数为339⨯=种，“黑白两球均不在1号盒子”有224⨯=种，所以概率为49．7． 12-【解析】()()cos 23g x x π=-，所以()1()cos 232g ππ=π-=-．8． 4【解析】一条渐近线2y x =与右准线x，其到另一条渐近线2y x =-的距离为45．9． 2【解析】由()ππ31tan tan 2441(3)x x --⎡⎤=+-==⎢⎥+-⎣⎦，得sin 2cos tan 22x x x ++==．10． 4【解析】令f (x +4)= f (x )+ f (2)中x，得f (2)= ff (2)，所以f ，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2)=0，所以f (x +4)= f (x )， 所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (3)+ f (10)= ff (2)= f (1)+0= 4．11． 34-，【解析】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-，所以222211a a a -=-，223321a a a -=-，…，221313121a a a -=-，将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-， 又21313S a =，所以211120a a --=，获解．（第12题）12． 14【解析】设直线l 与圆C 的一个交点B （5，5）关于x 轴的对称点为B '，易知B B '恰为圆C 的直径，记A B '与x 轴 交于点Q ，则PA PB PA PB AB ''+=+≥，所以△ABP 的周长的最小值为AB AB '+，易求得结果为14. 13． (14⎤-∞⎦，在(2)-∞，所以方程2|x x =所以函数()g x =注意到函数(h x a ，a ）在直线14．【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，设()D x y ，，所以(11)AB =--，(71)AC =-，(AD x = 所以()()()(7)4AB AD AC AD x y x y ⋅⋅⋅=---=，即()(7)4x y y x +-=，令7x y m y x n +=⎧⎨-=⎩，则1()81(7)8x m n y m n ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，所以mn =4，所以AD 当且仅当5m =n =±AD 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分（第14题）CADB（第15题）所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B+=-， 化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．（本小题满分14分）（1）因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF ∥AC ， …… 3分 又因为EF ABCD ⊄平面，AC ABCD ⊂平面，所以EF ∥平面ABCD ． …… 6分（2）连结AC ，BD 交于点O ，连结VO ．因为V ABCD -为正四棱锥，所以VO ABCD ⊥平面．又AC ABCD ⊂平面，所以VO AC ⊥．…… 8分又因为BD AC ⊥，EF ∥AC ，所以EF ⊥VO ，EF ⊥BD ． …… 10分 又VO BD VBD ⊂，平面，=VO BD O ∩，所以EF VBD ⊥平面， …… 12分又EF BEF ⊂平面，所以平面VBD ⊥平面BEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为o 45，所以1h r =，圆锥的体积为231111ππV r h r ==，圆柱的体积为222πV r h =． …… 2分因为1290πV V +=，所以23221π90ππ3V r h r ==-，所以32222709033r r h r r-==-． …… 4分 因为311π90π3V r =<，所以r <0r <<．所以32222709033r r h r r -==-，定义域为{|0r r <<． …… 6分 ACBD（第16题）VE FO（2）圆锥的侧面积21πS r r =，圆柱的侧面积222πS rh =，底面积23πS r =． …… 8分容器总造价为1232y aS aS =++2222π2π2πr a rh a r a =++2222π()a r rh r =++()22902π2r a r r r ⎡⎤=+-⎣⎦()210π543a r r=+． …… 10分令254()f r r r =+，则254()2f r r r '=-．令()0f r '=，得3r =． 当03r <<时，()0f r '<，()f r 在(0 3)，上为单调减函数；当3r <<()0f r '>，()f r在(3上为单调增函数． 因此，当且仅当3r =时，()f r 有最小值，y 有最小值90πa 元．…… 13分 所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm ． …… 14分18．（本小题满分16分）（1）解：因为短轴长2b =2，所以b =1，…… 2分又离心率c a =a =， …… 4分 所以222222()a c ab ==-，所以22a =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…… 6分 （2）由（1），点A (0)，设1100()()P x y D x y ，，，， 则111020y k x y k x ==，，因为AD DP λ=，所以010010()()x x x y y y λλ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩①②， …… 8分由①得，011+x x λλ=， 由②得，101+y y λλ=，所以1120211+(k x k x k x λλ==， …… 11分两边同时乘以k 1得，21112111((2k x k k x x ==-，所以11x，1121(12)y k λ=+，代入椭圆的方程得，221112k λ=+， …… 14分 同理可得，()2212222112111212112k k k μ===+++-， 所以221λμ+=． …… 16分19．（本小题满分16分）（1）解：由121n n S S +-=，得121n n S S --=（2n ≥）， 两式相减，得120n n a a +-=，即12n na a +=（2n ≥）． …… 2分 因为11a =，由121()21a a a +-=，得22a =，所以212a a =， 所以12n na a +=对任意*n ∈N 都成立， 所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为2． ……4分 （2）① 由（1）知，12n n a -=， 由1112n n nb b a ++=+，得1122n n n bb +=+， …… 6分 即11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=， 因为11b =，所以数列{}12n n b -是首项为1，公差为1的等差数列． …… 8分 所以121(1)1n n b n n -=+-⨯=，所以12n n n b -=． …… 10分 ② 设1nn i i T b ==∑，则012111111()2()3()()2222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯，所以123111111()2()3()()22222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，两式相减，得0121111111()()()()()222222n n n T n -=++++-⨯11()12()1212nn n -=-⨯-12(2)()2n n =-+⨯， 所以14(24)()2n n T n =-+⨯． …… 12分由14ni i b n ==-∑，得14(24)()42n n n -+⨯=-，即122n n n -+=．显然当2n =时，上式成立，设12()2n n f n n-+=-（*n ∈N ），即(2)0f =．因为11322(1)()(2)(2)201(1)n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤+++-=---=-+<⎢⎥++⎣⎦，所以数列{}()f n 单调递减， 所以()0f n =只有唯一解2n =，所以存在唯一正整数2n =，使得14ni i b n ==-∑成立． …… 16分20．（本小题满分16分）（1）解：当1k =时，()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+．①设切点为00()P x y ，，则0000001ln ln 1x c y x x y cx +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩①②③…… 2分由②③得，0001ln cx x x -=④由①得0ln 1x c =-代入④得，001(1)cx x c -=-所以011x c ==，． …… 4分 ②由题意，得方程ln 1x x cx =-有正实数根，即方程1ln 0x c x+-=有正实数根，记1()ln h x x c x =+-，令22111()x h x x x x -'=-=， 当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>； 所以()h x 在(01)，上为减函数，在(1)∞，+上为增函数； 所以min ()(1)1h x h c ==-． …… 6分 若1c <，则()(1)10h x h c =->≥，不合； 若1c =，由①知适合；若1c >，则(1)10h c =-<，又11(e )0e e c cch c c =+-=>， 所以(1)(e )0c h h ⋅<，由零点存在性定理知()h x 在(1e )(0)c ⊆+∞，，上必有零点． 综上，c 的取值范围为[1)∞，+． …… 9分（2）由题意得，当2k ≥时，ln 1k x x cx -≥对于任意正实数x 恒成立， 所以当2k ≥时，11ln k c x x x -+≤对于任意正实数x 恒成立，由（1）知，1ln 1x x+≥，两边同时乘以x 得，ln 1x x x +≥①， 两边同时加上1x得，11ln 12x x x x x +++≥≥②，所以1ln 1x x x +≥（*），当且仅当1x =时取等号．对（*）式重复以上步骤①②可得，21ln 1x x x +≥，进而可得，31ln 1x x x +≥，41ln 1x x x+≥，……，所以当2k ≥，*N k ∈时，11ln 1k x x x -+≥，当且仅当1x =时取等号．所以1c ≤． …… 12分 当c 取最大值1时，2ln 1k x x ax bx x +-≥≥对于任意正实数x 恒成立， 令上式中1x =得， 00a b +≥≥，所以0a b +=， 所以21ax ax x --≥对于任意正实数x 恒成立，即2(1)10ax a x -++≥对于任意正实数x 恒成立， 所以0a >，所以函数2(1)1y ax a x =-++的对称轴102a x a+=>， 所以2(1)40a a ∆=+-≤，即2(1)0a -≤，所以1a =，1b =-． …… 14分 又由21ln 1k x x x-+≥，两边同乘以x 2得，2ln k x x x x +≥，所以当1a =，1b =-时，2ln k x x ax bx +≥也恒成立，综上，得1a =，1b =-． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：因为EM ＝EN ，所以∠EMN ＝∠ENM ， …… 3分 因为ABCD 为圆内接四边形，所以∠FCN ＝∠A ，…… 6分又因为∠EMN ＝∠AFM ＋∠A ，∠ENM ＝∠BFM ＋∠FCN ，所以∠AFM ＝∠BFM ． …… 10分B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） （1）解：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则有13111311a b a b c d c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，， …… 2分 故3311a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩ 解得2112a b c d ====，，，，所以2112M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…… 5分 （2）由21131213--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，知(33)C '--，， 易求12133=1233M -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， …… 7分 由211133121133⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，得(11)D -，， 所以=(42)DC '--，． …… 10分C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3 (t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，…… 2分圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． …… 5分 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝12＝…… 7分又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝14． …… 10分D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：因为222151(22)5(3)()(2)044x y z xy yz zx x y x y z ++-++=-++-≥，…… 5分所以2(22)5(3)x y z xy yz zx ++++≥， 又因为221x y z ++=，所以135xy yz zx ++≤． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）（1）解：记“该同学获得i 个一等奖”为事件i A ，01i =，， 则()021111(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=，()31213212115(1)(1)(1)P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为()()0115124244P A P A +=+=． …… 4分（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===，()12223321121132(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，()2233332112173()(1)(1)()P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=，()32114()3212P X ==⨯=， 所以X 的概率分布为故()15972130123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …… 10分23．（本小题满分10分）（1）证明：因为22()(())(1)f x f f x f x x ==-+，所以22()(21)(1)f x x f x x ''=--+， 因为1x >，所以210x ->，211x x -+>，所以22(1)2(1)10f x x x x '-+=-+->，所以2()0f x '>，所以2()f x 在(1)+∞，上为增函数． …… 4分 （2）结论：对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数． 证明：①当n =1时，结论显然成立；②假设当n =k 时结论也成立，即()k f x 在(1)+∞，上为增函数， 所以当1x >时，()0k f x '>在(1)+∞，上恒成立． 当n =k +1时，21()(())(1)k k k f x f f x f x x +==-+， 所以21()(21)(1)k k f x x f x x +''=--+ 又当1x >时，210x ->，211x x -+>，所以2(1)0k f x x '-+>在(1)+∞，上恒成立， 所以21()(21)(1)0k k f x x f x x +''=--+>在(1)+∞，上恒成立， 所以1()k f x +在(1)+∞，上为增函数． 由①②得证，对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．…… 10分。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷1理
B（第7题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（1）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合，，则 ▲ ．2． 复数（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ．3． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．4． 某地区连续5天的最低气温（单位：°C ）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为时，则输入的的值为 ▲ ．6． 在平面直角坐标系中，圆被直线所截得的弦长为 ▲ ．7． 如图，三个相同的正方形相接，则的值为 ▲ ．8． 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为上一点，且．设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 ▲ ．9． 已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若是的中点，则的长度为 ▲ ．10．若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ▲ ．11．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢 捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．( 第8题 )A BCD PE12．如图，在△ABC中，点为边BC的中点，且，点为线段的中点，若，则的值为▲．13．已知正数满足，则的最小值是▲．14．设等比数列{a n}满足：，其中，．则数列的前2 018项之和是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)已知，．（1）求的值；（2）设函数，，求函数的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在三棱柱中，已知，分别为线段，的中点，与所成角的大小为90°，且．求证：（1）平面平面；（2）平面．17．(本小题满分14分某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产（百套）的销售额（单位：万元）（1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润．（注：利润销售额成本，其中成本设计费生产成本）18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且过点．设为椭圆在第一象限上的点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，且交轴于点，交轴于点．（1）求的值；（2）若为椭圆的右焦点，求点的坐标；（3）求证：四边形的面积为定值．19．(本小题满分16分)设数列{a n}的前n项和为，且满足：．（1）若，求a1的值；（2）若成等差数列，求数列{a n}的通项公式．20．(本小题满分16分)已知函数，其中为自然对数的底数，．（1）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知，，若对任意都成立，求的最大值；A DP（3）设，若存在，使得成立，求的取值范围．2018年高考模拟试卷（1）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ， 交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知，．求满足方程的二阶矩阵．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为 （t 为参数），圆C 的参数方程为（为参数）.设直线l 与圆C 相切，求正实数a 的值．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)设，证明：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．(本小题满分10分)如图，在四棱锥中，棱，，两两垂直，且长度均为1，（）．（1）若，求直线与平面所成角的正弦值； （2）若二面角的大小为120°，求实数的值．23．(本小题满分10分)甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时，两人正在游戏，且知甲再赢m（常数m1）次就获胜，而乙要再赢n（常数nm）次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行次抛币，游戏结束．（1）若m，n，求概率；（2）若，求概率（…）的最大值（用m表示）．2018年高考模拟试卷（1）参考答案数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．2． 1 3．4．16 5．6．7．【解析】设最右边的正方形的右下角顶点为，则．8．【解析】因为，所以三棱锥的体积是三棱锥体积的，所以三棱锥的体积是体积的．因为三棱锥与三棱锥体积相等，所以．9． 6【解析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于点，所以，，所以．10．【解析】．由于是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是．11． 8【解析】设99根相同的圆钢捆扎成的尽可能大的1个正六边形垛的边长为根，则这个正六边形垛的层数是，每一层的根数从上往下依次为：则圆钢的总根数为：由题意≤99即≤0，设函数，则在上单调递增．因为所以．此时剩余的圆钢根数为．12．【解析】由极化恒等式知，，则，所以．13． 2【解析】设，，则．因为（当且仅当时取“”），所以，解得，所以的最小值是2．14．【解析】因为，所以，所以等比数列{a n}的公比．若，由知，当充分大，则，矛盾；若，由知，当充分大，则，矛盾，所以，从而，所以．则数列的前2 018项之和是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)解：（1）由，得，即，所以．因为，所以，所以，即．（2）由（1）知，，所以．令，得，所以函数的单调增区间是，．16．(本小题满分14分证明：（1）因为与所成角的大小为90°，所以⊥，因为，且N是A1C的中点，所以⊥．又，平面，故⊥平面，因为平面，所以平面⊥平面．（2）取AC中点P，连结NP，BP．因为N为A1C中点，P为AC中点，所以PN//AA1，且PNAA1．在三棱柱中，BB1 // AA1，且BB1AA1．又M为BB1中点，故BM // AA1，且BMAA1．所以PN // BM，且PNBM，于是四边形PNMB是平行四边形，从而MN // BP．又平面，平面，故平面．17．(本小题满分14分解：（1）考虑时，利润．令得，，从而，即．（2）当时，由（1）知，所以当时，（万元）．当时，利润．因为（当且仅当即时，取“=”），所以（万元）．综上，当时，（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为万元．18．(本小题满分16分)解：（1）依题意，，，其中，解得．因为，所以．（2）由（1）知，椭圆的右焦点为，椭圆的方程为，①所以．从而直线的方程为：．②由①②得，．从而直线的方程为：．令，得，所以点的坐标为．（3）设（），且，即．则直线的方程为：，令，得．直线的方程为：，令，得．所以四边形的面积．19．(本小题满分16分)解：（1）因为，所以，即，解得或．（2）设等差数列的公差为d．因为，所以，①，②．③②①，得，即，④③②，得，即，⑤⑤④，得，即．若，则，与矛盾，故．代入④得，于是．因为，所以，所以，即，整理得，于是．因为，所以，即．因为，所以．所以数列{a n}是首项为，公差为的等差数列．因此，．20．(本小题满分16分)解：（1）由，知．若，则恒成立，所以在上单调递增；若，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减；在上单调递增．（2）由（1）知，当时，．因为对任意都成立，所以，所以．设，（），由，令，得，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，所以在处取最大值，且最大值为．所以，当且仅当，时，取得最大值为．（3）设，即题设等价于函数有零点时的的取值范围．① 当时，由，，所以有零点．② 当时，若，由，得；若，由（1）知，，所以无零点．③ 当时，，又存在，，所以有零点．综上，的取值范围是或．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．C．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)证明：因为PA是圆O在点A处的切线，所以∠PAB＝∠ACB．因为PD∥AC，所以∠EDB＝∠ACB，所以∠PAE＝∠PAB＝∠ACB＝∠BDE．又∠PEA＝∠BED，故△PAE∽△BDE．D． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)21B.【解】设，因为，所以解之得，所以A－1＝．所以．C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：直线l的普通方程为，圆C 的参数方程化为普通方程为． 因为直线l 与圆C 相切，所以． 解得或，又，所以． D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：由柯西不等式，得， 即，所以．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．(本小题满分10分)解：（1）以为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ．因为，所以． 依题意，，，，， 所以， ，．设平面的一个法向量为， 则所以 取得，． 所以．所以直线与平面所成角的正弦值为． （2）依题意，，，，． 设平面的一个法向量为， 则即取得，． 设平面的一个法向量为， 则即取得， 所以，解得或，因为，所以． 23．(本小题满分10分)解：（1）依题意， ． （2）依题意，（…）． 设则．而（＊）．（＃）因为的判别式（显然在时恒成立），所以．又因为，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立．所以，即(当且仅当时，取“=”)，所以的最大值为，即的最大值为．“。
高三数学-2018年南通密卷二 精品
2018年数学学科高考模拟试卷（二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A ＝{a ，b ，c}，集合B ＝{－1，0，1}，f 是A 到B 的映射，且满足条件f(a)+f(b)+f(c)=0，这样的映射共有 （ ） A 、6个 B 、7个 C 、8个 D 、9个2.函数1,(0,)1x x e y x e +=∈+∞-的反函数是 （ ） A ．)1,(,11ln-∞∈+-=x x x y B. )1,(,11ln -∞∈-+=x x x y C. ),1(,11ln+∞∈+-=x x x y D. ),1(,11ln +∞∈-+=x x x y 3.已知方程0)81)(81(22=+-+-nx x mx x 的四个根组成一个首项为81的等比数列,则n m -= ( )A.89B. 1C. 43 D. 834.已知函数m x x x f +-=23212)(（m 为常数）图象上A 处的切线与03=+-y x 的夹角为45，则A 点的横坐标为 （ ） A ．0 B ．1 C ．0或61 D ．1或615.以棱长为a 的正方体的8个顶点中的4个为顶点构造一个正四面体,此正四面体的体积是( )A.321a B. 331a C ．3122a D ．3123a6.等边三角形ABC 和等边三角形ABD 在两个相互垂直的平面内，则∠CAD= （ ）A ．1arccos()2- B ．1arccos4C ．7arccos()16-D ．2π7.直线143x y +=与椭圆221169x y +=相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得△APB 的面积等于3，这样的点P 共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.有10件产品，其中4件为一等品，6件为二等品。
2018年高考南通市数学学科基地密卷(7)
2018年高考南通市数学学科基地密卷(7)高三数学试卷 第 1 页 共 32 页2018年高考模拟试卷（7）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 复数i z a =+（a ∈R ，i 是虚数单位），若2z 是实数，则实数a 的值为 ▲ ．2． 在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为射线Ox ，点()12P -，在其终边上，则sin α 的值为 ▲ ．3． 设全集U 是实数集R ，{}3M x x =>，{}2N x x =>，则图中阴影部分所表示的集合为 ▲ ．4． 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行 统计，若某高校0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 频率组距 视力0.250.50 0.75 1.001.75（第4题）（第3题）U高三数学试卷第 1 页共 32 页高三数学试卷 第 1 页 共 32 页AE →＝2ED →，DF →＝FC →，则AF BE ⋅的值为 ▲ ． 10．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若满足a 4 + 3a 11= 0，则2114S S= ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y kx =被圆2222310xy mx m +--+-=截得的弦长是定值（与实数m 无关），则实数k 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ．13．设F 是椭圆22x a ＋24y ＝1(a ＞0，且a ≠2)的一焦点，长为3的线段AB 的两个端点在椭圆上移动．则当AF ·BF 取得最大值时，a 的值是 ▲ ． 14．设函数2172 2 044()()3 0k x x f x g x k x x x ⎧+⎛⎫-+⎪⎛⎫ ⎪==-⎝⎭⎨ ⎪⎝⎭⎪>⎩≤，，，，，其中0k >．若存在唯一的整数x ，使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是 ▲ ．高三数学试卷 第 2 页 共 32 页（第16题）B 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，A 为锐角，且3sin 5A =．（1）若2AC =，65BC =，求AB 的长； （2）若()1tan 3A B -=-，求tan C 的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，AC BC =，点D 在AB 上，点E 为AC BC //平面PDE ． （1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面PCD ⊥平面ABC ，求证：平面PAB ⊥平面PCD ．高三数学试卷 第 3 页 共 32 页17．(本小题满分14分设1l ，2l ，3l 是同一平面内的三条平行直线，1l与2l 间的距离是1 m ，2l 与3l 间的距离是2 m ，△ABC 的三个顶点分别在1l ，2l ，3l ．（1）如图1，△ABC 为等边三角形，求△ABC 的边长；（2）如图2，△ABC 为直角三角形，且B 为直角顶点，求4AB BC +的最小值．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设P 为圆O ：222x y +=上的动点，过P 作x 轴的BC A ll l图1B C lll图2A高三数学试卷 第 4 页 共 32 页垂线，垂足为Q ，点M 满足2PQ MQ=．（1）求证：当点P 运动时，点M 始终在一个确定的椭圆上；（2）过点T ()2()t t -∈R ，作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．① 求证：直线AB 过定点（与t 无关）； ② 设直线AB 与（1）中的椭圆交于C ，D两点，求证：ABCD19．(本小题满分16分)设等差数列{}na 是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，．（1）设数列{}na 其前n 项和为nS ，1nnnS ba =-，*n ∈N ．① 若25a=，540S=，求2b 的值；高三数学试卷 第 5 页 共 32 页② 若数列{}nb 为等差数列，求nb ；（2）求证：数列{}na 中存在三项（按原来的顺序）成等比数列．20．(本小题满分16分)已知函数()e xf x =，2()g x mx =．（1）若直线1y kx =+与()f x 的图象相切，求实数k的值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，试讨论函数()h x 在(0)+∞，上的零点个数；（3）设12x x ∈R，，且12x x <，求证：122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-．2018年高考模拟试卷（7）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，高三数学试卷 第 6 页 共 32 页请选定．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD=，BA 、CD求证：AE 平分DAF ∠．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵13a b-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换T M把直线l ：23x y -=变换为自身，求实数a b ，的值．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)（第21—A 题）高三数学试卷 第 7 页 共 32 页已知直线l ：cos sin x t my t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数） 的右焦点，求实数m 的值．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分) 设123a aa ，，均为正数，且1231111aa a++=，求证：1239a a a ++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．22．(本小题满分10分)设随机变量ξ的分布列为!()k k P k c ξ⋅==，其中*6k k ∈<N ，，c 为常数．（1）求c 的值；（2）求ξ的数学期望E (ξ )．23．(本小题满分10分) 已知数列{}na 满足12312323C C C C 222n n n n na +++=++++…*C 2n n n n n ++∈N ，．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}na 的通项公式，并证明．2018年高考模拟试卷（7）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 【答案】0【解析】()222i 12iz a a a =+=-+是实数，则0a =．2．【解析】根据三角函数定义，sin α==．3． 【答案】(]2,3【解析】图中阴影部分所表示的集合为()U C M N，即为(]2,3．4． 【答案】18【解析】校A 专业对视力要求不低于0.9的学生数为45()10.750.250.218⨯++⨯=．5． 【答案】23【解析】从4只小球中任取2只小球共有6种取法，其中2只球的编号之和是奇数的有4种，则所求概率为23． 6． 【答案】2【解析】根据循环，依次得到,,n M S 的值分别为2443,,log 33； 225454,,log log 434+，…，22212451211,,log log log 113411+++，因为2224512loglog log 223411S =+++=≥，所以最后的输出结果为2．7．【解析】由题意，235k -=，即4k =，所以双曲线为2214x y -=8． 【答案】128π【解析】设圆锥底面半径为r ，高为h ，由题意，π1080πr ⨯=，得8r =．所以6h =，容积为2211ππ8633128πr h =⨯⨯=． 9． 【答案】6-因为23AE AD =，12AF AD DF AD AB =+=+；23BE BA AE AD AB =+=-，那么AF BE ⋅=()()1223AD AB AD AB +⋅-22212323AD AB AB AD =--⋅6846=--=-．10． 【答案】76【解析】由a 4 + 3a 11= 0，知713q=-，所以212114147116S q S q -==-．11．【解析】由2222310x y mx m +--+-=得，()()2221x m y m -+=+，则圆心()m 到直线y kx =的距离为2km ，设截得的半弦长为p ，则()221p m =+-(2221k m k =+)2222111m k k -+++（与实数m无关），10-=，k =．12． 【答案】1【解析】由cos 2sin sin A B C =得，()cos 2sin sin B C B C -+=， 即cos cos sin sin 2sin sin B C B C B C -+=，所以tan tan 1B C =-，所以()tan tan 2tan tan 1tantan 111B C A B C B C +-=-+===---． 13．【答案】 83或3．【分析】当a ＞2时，设椭圆的另外一个焦点为F ′，联结AF ′，BF ′．则AF ′＋BF ′≥|AB |＝3．故AF ＋BF ＝4a －(AF ′＋BF ′)≤4 a －3．所以AF ·BF ≤(AF ·BF 2)2≤(4 a －32)2．当且仅当线段AB 过点F ′，且AF ＝BF ＝4 a －32时，上式等号成立，此时，AB ⊥x 轴，且AB 过点F ′．于是4c 2＝|FF ′|2＝(4 a －32)2－(32)2＝4a 2－6a ，即c 2＝a 2－32a ．则a 2＝4＋(a 2－32a )，得a ＝83．类似地，当0＜a ＜2时，可得a ＝3．14． 【答案】1763⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【分析】当163k =时，()()f x g x ，的图象相切；6k =时，()()f xg x ，的图象均过点()24，， ()416，，故唯一的正整数3x =，同时174k k +≤，从而1763k ≤≤． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分14分)解：（1）因为3sin 5A =，()π02A ∈，， 所以4cos5A==．……3分在△ABC中，由余弦定理222cos2b c aAbc+-=得，()2226254522cc+-=⨯⨯，解得85c=，所以AB的长为85．……6分（2）由（1）知，3sin35tancos445AAA===，……8分所以()()()31tan tan1343tan tan3191tan tan143A A BB A A BA A B+--=--===⎡⎤⎣⎦+--⨯．……11分在△ABC中，πA B C++=，所以()313tan tan7949tan tantan tan13133149A BC A BA B++=-+===-⨯-．……14分16．(本小题满分14分)证明：（1）因为BC//平面PDE，BC⊂平面ABC，平面PDE平面ABC=DE，所以BC∥DE.……3分因为DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以//DE平面PBC．……6分（2）由（1）知，BC∥DE．在△ABC中，因为点E为AC 的中点，所以D是AB的中点．因为AC BC=，所以⊥，……9分AB CD因为平面PCD⊥平面ABC，平面PCD平面ABC=CD，AB⊂平面ABC，则AB⊥平面PCD．……12分因为AB ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PCD ． (14)分17．(本小题满分14分 解：（1）如图1，过点B 作2l 的垂线，分别交1l ，3l ，于点D ，E ，设DBA θ∠=，则23EBC θπ∠=-． 则1cos AB θ=，()22πcos 3BC θ=-． ……2分因为AB BC =，所以()12cos 2πcos 3θθ=-，化简得5cos θθ=，所以tan θ，则cos θ=，所以边长1cos AB θ==．……6分B C A l l l 图1 D E（2）如图2，过点B 作2l 的垂线，分别交1l ，3l 于点D ，E ．设DBA θ∠=，则π2EBC θ∠=-， 则1cos AB θ=，2sin BC θ=． 于是184cos sin AB BC θθ+=+．……8分记18()cos sin f θθθ=+，()π02θ∈，． 求导，得333222221sin 8cos sin 8cos tan 8()cos sin sin cos sin cos f θθθθθθθθθθθθ---'=-==．……10分 令()0f θ'=，得tan 2θ=．记0tan 2θ=，列表：当0θθ=时，()f θ取最小值，此时sin θ=，cos θ=，0()f θ=． BCA l ll图D E……12分 答：（1）边长AB为；（2）4AB BC +长度的最小值为．……14分 18．(本小题满分16分) 解：（1）设点()M x y ，PQ=，得()P x ．因为P 为圆O ：222x y +=上的动点，所以)222x +=，即2212x y +=，所以当点P 运动时，点M 始终在定椭圆2212x y +=上． ……4分（2）①设11()A x y ，，22()B x y ，，当10y ≠时，直线AT 的方程为：()1111x y y x x y -=--，即221111x x y y xy +=+，因为22112xy +=，所以112x x y y +=，当10y =时，直线AT的方程为：x = 综上，直线AT 的方程为：112x x y y +=．同理，直线BT 的方程为：222x x y y +=．又点T ()2()t t -∈R ，在直线AT ，BT 上， 则1122x ty -+=，①2222x ty -+=，②由①②知，直线AB 的方程为：22x ty -+=．所以直线AB过定点()10-，． (9)分②设33()C x y ，,44()D x y ，，则O 到AB 的距离d =，AB = ……11分由222212x ty x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(8)440ty ty +--=，于是34248ty y t +=+，34248y yt -=+，所以34CD y y -=， ……13分于是AB CD =，AB CD ⇔⇔()222(8)2t t ++2≤()222(4)4t t ++⇔42(6)t t +≥0（显然）所以AB CD．……16分19．(本小题满分16分) 解：设等差数列{}na 的公差为d ．因为无穷数列{}na 的各项均为互不相同的正整数，所以*1a ∈N ，*d ∈N ．（1）①由25a=，540S =得，15a d +=，1545402a d ⨯+=， ……2分 解得12a =，3d =．所以21222215S ab a a =-==． ……4分②因为数列{}nb 为等差数列，所以2132b b b =+，即()3212132111S SS aa a -=-+-．所以()()111122312a d a d a d a d++=+++，解得1a d =（0d =已舍）． ……6分此时，()11112112n n n n n a S n b a na +-=-=-=． (8)分（2）因为()111111a a a a d+=++-⎡⎤⎣⎦是数列{}na的第()11a +项，()1(2)111(2)11a d a a a d d++=+++-⎡⎤⎣⎦是{}na 的第()1(2)1a d ++项，且()()1222111a a a d +=+，[]11(2)1111(2)a d a a a a a d d ++⋅=⋅++，所以()121a a +11(2)1a d a a ++=⋅．又1111(2)1a a a d <+<++，所以数列{}na 中存在三项1a ，11a a +，1(2)1a d a ++按原来的顺序）成等比数列．……16分 20．(本小题满分16分)解：（1）设直线1y kx =+与()f x 的图象的切点为0(e )x x ，．因为()e xf x '=，所以000e e 1xx k kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩， ……2分 所以00e(1)10x x -+=．令()e (1)1xx x ϕ=-+，()e xx x ϕ'=⋅．令()0x ϕ'=得0x =．所以min ()(0)0x ϕϕ==，所以00x =，所以1k =． ……4分（2）2()e xh x mx =- (0)x >．令()0h x =得2e x m x=． 令2e ()x t x m=-(0)x >，3e (2)()x x t x -'=．当2x =时，()t x 有最小值2e (2)4t m =-．因为()t x 在(0)+∞，上的图象是连续不断的， 当2e 4m <时，()0t x >在(0)+∞，上恒成立，所以()h x 在(0)+∞，无零点； 当2e 4m =时，min()0tx = 所以()h x 在(0)+∞，有且仅有一个零点；当2e 4m >时，此时min ()(2)0t x t =<，因为()112211e e 0m m t m m m m m ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭，所以()t x 在(02)，上有且仅有一个零点．又因为33322e 1(3)(e 9)99mmt m m m m m=-=-， 令31()e 3xu x x =-，(2,)x ∈+∞，则2()exu x x '=-，()e 2xu x x''=-，所以()e20xu x '''=->．所以()u x ''在(2)+∞，上单调递增，所以2()(2)e 40u x u ''''>=->，所以()u x '在(2)+∞，单调递增，所以2()(2)e 40u x u ''>=->， 所以()u x 在(2)+∞，单调递增，所以28()(2)e 03u x u >=->， 所以31e3xx >在(2)+∞，恒成立，所以33e9mm >，即(3)0t m >，所以()t x 在(2)+∞，上有且仅有一个零点．所以()h x 在(0)+∞，上有两个零点．综上所述，2e 4m <时，()h x 在(0)+∞，无零点；2e 4m =时，()h x 在(0)+∞，有且仅有一个零点；2e4m >时，()h x 在(0)+∞，有两个零点． ……10分（3）因为()e xf x =在()-∞+∞，上单调增，且21x x >， 所以21()()f x f x >，210xx ->，所以122121()()()()2f x f x f x f x x x+->-122121e e e e 2x x x x x x +-⇔>-212121e e 2e e x x x x x x --⇔>+2121211e 1()2e 1x x x x x x ---⇔->+212112()1()2e 1x x x x -⇔->-*+．令2()12e 1x x x ϕ=+-+(0)x >，222(e 1)12e ()2(e 1)2(e 1)x x x x x ϕ-'=-=++．因为0x >，所以()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(0)+∞，上单调递增，所以()(0)0x ϕϕ>=， 所以()*式成立，所以122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-． ……16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．题区域内作答．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．C ． [选修4—1：几何证明选讲](分) 证明：因为四边形ABCD 所以EAD BCD∠=∠． …… 2分因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠． …… 4分又BAC EAF∠=∠， …… 6分BAC BDC∠=∠， …… 8分所以EAD EAF∠=∠，即AE平分DAF∠． …… 10分D ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)解：设()P x y ，是l ：23x y -=上任意一点，在矩阵13a b-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应的变换得到点为()x y ''，，（第21—A 题）由13a x x b y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得3x x ay y bx y '=-+⎧⎨'=+⎩，， (5)分代入直线l：23x y -=，得(2)(23)3b x a y --+-=， …… 7分所以22231b a --=⎧⎨-=-⎩，，解得14a b ==-，． (10)分C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：将直线l化为普通方程，得tan ()y x m α=- …… 3分将椭圆C 化为普通方程，得221259x y +=． …… 6分 因为5,3,4a b c ===，则右焦点的坐标为(4,0). …… 8分而直线l 经过点(,0)m ，所以4m =. ……10分D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：因为123a a a ，，均为正数，且1231111a a a++=， 所以123a a a ++()123123111()a a a a a a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（当且仅当1233a a a ===时等号成立） …… 8分所以1239a a a ++≥.…… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．(本小题满分10分)解：（1）因为[]!(1)1!(1)!!(1)!!k k k k k k k k k ⋅=+-⋅=+⋅-=+-， 又由概率分布的性质可知51()1k P k ξ===∑，即()[]()555111!111719!(1)!!6!1!1k k k k k k k k k c c c c c ===⋅=⋅=+-=-==∑∑∑，所以c= 719．…… 3分（2）由（1）知!()719k k P k ξ⋅==，*6k k ∈<N ，， 于是22!4(2)719719P ξ⨯===，1(1)719P ξ==，33!18(3)719719P ξ⨯===，44!96(4)719719P ξ⨯===，55!600(5)719719P ξ⨯===． (8)分所以ξ的数学期望E (ξ )14189660012345719719719719719=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3447719=．……10分 23．(本小题满分10分) 解：（1）12a =，24a =，38a =．…… 3分（2）猜想：2n na =．证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； …… 5分 ②假设n k =时结论成立， 则有123012323C C C CC 22222k kk k k k k kkka ++++=+++++=． 则1n k =+时，123101112131111231C C C CC 2222k+k k k+k+k+k k k+a ++++++++=+++++． 由111C C C k k k n n n+++=+得102132112233123C C C C C C C 222k k k k k k k ka ++++++++++=++++11111C C C 22k k -k+k+k k+k k+k+k k+++++0121112311231C C C C C222222k k+kk k k k k k+k+kk+-+++++=++++++，12110231111121C C C C 12(C )22222k k+kk k k k k+k+k k k ka -++++++-=++++++121102311111121C C C C C 12(C )22222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k+-+++++++-=++++++．又111111(21)!(22)(21)!(21)!(1)12C C !(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!2k+k+k+k k+k k k k k k =k k k k k k k ++++++++===+++++12110231111111211C C C C C 12(C )222222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k k -++++++++-+=+++++++，于是11122k k k aa ++=+．所以112k k a++=， 故1n k =+时结论也成立．由①②得，2n n a =*n ∈N ，． (10)分。
高考南通密卷二(南通市数学学科基地命题).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．已知集合{1,1}A k =-，{2,3}B =，且{2}A B =，则实数k 的值为 ． 2．设2(12)(,R)i a bi a b +=+∈，其中i 是虚数单位，则ab = ． 3．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()(R)f x x ax a =+∈，且(2)6f =， 则a = ．4．右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 ．5．设点P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两互相垂 直，且1PA PB PC cm ===，则球的表面积为 2cm ．6．已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+<>>，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =<>->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ． 7．将参加夏令营的500名学生编号为：001,002,,500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为 ．8．ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“sin (3cos sin )cos C A A B =+”成立的的 条件． (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1:2的两部分，则双曲线的离心率为 ．10．已知442cos sin ,(0,)32πααα-=∈，则2cos(2)3πα+= ．11．已知正数1234,,,a a a a 依次成等比数列，且公比1q ≠．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则公比q 的取值集合是 ． 12． 如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==， 若12AC BD ⋅=-uu u r uu u r ，则AD BC ⋅=uuu r uu u r．D C 0,1s n ←←第4题图13．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则sin sin BA 的取值范围是 ．14．设函数()f x 满足()(3)f x f x =，且当[1,3)x ∈时，()ln f x x =．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数123,,x x x ，使得312123()()()f x f x f x t x x x ===，则实数t 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，2C A π-=，3sin 3A =． （1）求sin C 的值；（2）若6BC =，求ABC ∆的面积． 16．（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC 是边长为2的菱形，160A AC ∠=．在面ABC 中，23AB =，4BC =，M 为BC 的中点，过11,,A B M 三点的平面交AC 于点N ． （1）求证：N 为AC 中点；（2）求证：平面11A B MN ⊥平面11A ACC ．A 1B 1C 117．（本小题满分14分）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为cm x ，体积为3cm V ． （1）求V 关于x 的函数关系式；（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．18．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，并且椭圆经过点(1,1)，过原点O 的直线l与椭圆C 交于A B 、两点，椭圆上一点M 满足MA MB =． （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：222112OA OB OM++为定值； （3）是否存在定圆，使得直线l 绕原点O 转动时，AM 恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．(第17题图)图y B19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且满足1239a a a ++=，12327b b b =． （1）若43a b =，43b b m -=．①当18m =时，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； ②若数列{}n b 是唯一的，求m 的值；（2）若11a b +，22a b +，33a b +均为正整数，且成等比数列，求数列{}n a 的公差d 的最大值． 20．（本小题满分16分）设函数2()()x f x ax e a =+∈R 有且仅有两个极值点1212,()x x x x <． （1）求实数a 的取值范围； （2）是否存在实数a 满足2311()f x e x =？如存在，求()f x 的极大值；如不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．． 内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AD 是∠BAC 的平分线，圆O 过点A 且与边BC 相切于点D ，与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，求证：EF ∥BC ． B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知1 0 4 31 2 4 1-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B ，求矩阵B ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C 是以点(2,)6C π-为圆心，2为半径的圆．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）求圆C 被直线5:12l πθ=-所截得的弦长．A BDCEF O·D ．（选修４－５：不等式选讲） 设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =. D 是BC 的中点. （1）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.23.（本小题满分10分）设*n N ∈且4n ≥，集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A ．（1）求集合312,,,nC A A A 中所有元素之和S ；（2）记i m 为i A 3(1,2,,)ni C =中最小元素与最大元素之和，求32015132015C ii mC=∑的值．1A 1B 1C DACB2015年高考模拟试卷(2) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．3； 2．12-； 3．5； 4．27； 5．3π； 6．29； 7．14； 8．充分不必要；【解析】条件“角,,A B C 成等差数列”⇔3B π=；结论 “sin (3cos sin )cos C A A B =+”⇔sin()3cos cos sin cos A B A B A B +=+⇔cos sin 3cos cos A B A B =⇔cos 0A =或sin 3cos B B =⇔2A π=或3B π=．所以条件是结论的充分不必要条件．9．233； 10．1526+-；11．1515,22⎧⎫-++⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭；【解析】若删去2a ，则134,,a a a 成等差数列，3142a a a ∴=+， 即231112a q a a q =+，1q ∴=（舍去）或152q +=或152q -=（舍去）；若删去3a ，则124,,a a a 成等差数列，2142a a a ∴=+，即31112a q a a q =+，1q ∴=（舍去）或152q -+=或152q --=（舍去）∴152q +=或152-+．12．0；【解析】0AD DC CB BA +++=，∴AD BC AB CD -=+，22()()()()AD DC BC CD AD BC CD AD BC CD AD BC CD AB CD CD ∴+⋅+=⋅+⋅--=⋅+⋅+-，12AC BD ⋅=-，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==，0AD BC ∴⋅=．13．5151(,)22-+；【解析】由条件得2b ac =，不妨设a b c ≤≤，则2b c a b a=<+，即2210b b a a --<；同理得当a b c ≥≥时，5112b a -<≤．而sin sin B b A a =，∴sin sin BA的取值范围是5151(,)22-+． 14．ln 31(,)93e ．【解析】()(3)f x f x =，()()3x f x f ∴=，当[3,9)x ∈时，[1,3)3x ∈，()ln 3x f x ∴=，在直角坐标系内作出函数()f x 的图象，而()f x x表示的是该图象上的点与原点的连线的斜率．图象上的点(9,ln3)与与原点的连线的斜率为l n 39；当过原点的直线与曲线()l n ,[3,9)3x f x x =∈相切时，斜率为13e（利用导数解决）．∴由图可知，满足题意得实数t 的取值范围为ln 31(,)93e．二、解答题15．（1）因为在ABC ∆中，2C A π-=，所以A 为锐角，且2236cos 1sin 1()33A A =-=-=． 所以6sin sin()cos 23C A A π=+==；（2）由正弦定理得sin sin BC AB A C =，所以66sin 323sin 33BC C AB A ⨯===． 因为在ABC ∆中，2C A π-=，所以C 为钝角，且2263cos 1sin 1()33C C =--=--=-． 因为在ABC ∆中，()B A C π=-+，所以33661sin sin()sin cos cos sin ()33333B AC A C A C =+=+=⨯-+⨯=． 所以ABC ∆的面积为111sin 2362223ABC S AB BC B ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=．16． (1)由题意，平面//ABC 平面111A B C ，平面11A B M 与平面ABC 交于直线MN ， 与平面111A B C 交于直线11A B ，所以11//MN A B ．因为11//AB A B ，所以//MN AB ，所以CN CMAN BM=． 因为M 为AB 的中点，所以1CNAN=，所以N 为AC 中点．(2)因为四边形11A ACC 是边长为2的菱形，160A AC ∠=．在三角形1A AN 中，1AN =，12A A =，由余弦定理得13A N =， 故22211A A AN A N =+，从而可得190A NA ∠=，即1A N AC ⊥． 在三角形ABC 中，23AB =，2AC =，4BC =，则222BC AB AC =+，从而可得90BAC ∠=，即AB AC ⊥． 又//MN AB ，则AC MN ⊥．因为1MN A N N =，MN ⊂面11A B MN ，1A N ⊂面11A B MN ， 所以AC ⊥平面11A B MN ． 又AC ⊂平面11A ACC ，所以平面11A B MN ⊥平面11A ACC ． 17．正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大． 设正三棱锥侧面的高为0h ，高为h ．由题意得03106x h +=，解得03106h x =-． 则222203103(10)100126123x x h h x x =-=--=-， D''D'OCABD(0,103)x ∈．所以，正三棱锥体积2211310331031001003343123V Sh x x x x ==⨯⨯-=-． 设445210310010(100)48348483x x x y V x ==-=-，求导得341005012483x x y '=-，令0y '=，得83x =， 当(0,83)x ∈时，0y '>，∴函数y 在(0,83)上单调递增， 当(83,103)x ∈时，0y '<，∴函数y 在(83,103)上单调递减， 所以，当83cm x =时，y 取得极大值也是最大值． 此时15360y =，所以3max 3215cm V =．答：当底面边长为83cm 时，正三棱锥的最大体积为33215cm ． 18．（1）由题设：222221,2111,b a a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2233,2a b ==， ∴椭圆C 的方程为2221;33x y += （2）①直线l 的斜率不存在或为0时，222221122224233OA OB OM a b ++=+=+=； ②直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为(0)y kx k =≠，则MA MB =，∴直线OM 的方程为1y x k=-，由2223y kx x y =⎧⎨+=⎩得22(12)3k x +=，222312A B x x k ∴==+， 同理22232M k x k ∴=+，222112O A O B O M ∴++= 22222221123313(1)(1)(1)12122k k k k k k k +++⋅+⋅+⋅+++ 22222(12)2(2)3(1)3(1)k k k k ++=+++ 2=，2221122OA OB OM ∴++=为定值； （3）由（2）得：①直线l 的斜率不存在或为0时，2222111112133OA OM a b +=+=+=； ②直线l 的斜率存在且不为0时， 22222222222111112213133(1)3(1)(1)(1)122k k k OA OM k k k k k k +++=+=+=+++⋅+⋅++ ∴原点O 到直线AM 的距离22221111OA OM d OA OM OA OM ⋅===++，∴直线AM 与圆221x y +=相切，即存在定圆221x y +=，使得直线l 绕原点O 转动时，AM 恒与该定圆相切． 19．（1）①由数列{}n a 是等差数列及1239a a a ++=，得23a =，由数列{}n b 是等比数列及12327b b b =，得23b =． 设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，若18m =，则有2323,3318d q q q +=⎧⎨-=⎩，解得3,3d q =⎧⎨=⎩ 或9,22d q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩． 所以，{}n a 和{}n b 的通项公式为133,3n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或2912,23(2)n n na nb -⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ ② 由题设43b b m -=，得233q q m -=，即2330q q m --=（*）．因为数列{}n b 是唯一的，所以若0q =，则0m =，检验知，当0m =时，1q =或0（舍去），满足题意；若0q ≠，则2(3)120m -+=，解得34m =-，代入（*）式，解得12q =，又23b =，所以{}n b 是唯一的等比数列，符合题意．所以，0m =或34-．（2）依题意，113336()()a b a b =++，设{}n b 公比为q ，则有336(3)(33)d d q q=-+++， （**）记33m d q=-+，33n d q =++，则36mn =． 将（**）中的q 消去，整理得2()3()360d m n d m n +-++-=， d 的大根为22()12()144(6)3622n m m n m n n m m n -+--++-++--= 而,m n N *∈，所以 (,)m n 的可能取值为：(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4)12,3),(18,2),(36,1)． 所以，当1,36m n ==时，d 的最大值为355372+ ． 20．(1)()2x f x ax e '=+．显然0a ≠，12,x x 是直线12y a =-与曲线()x xy g x e==两交点的横坐标．由1()0xxg x e -'==，得1x =．列表： x(,1)-∞ 1(1,)+∞()g x ' +-()g x↗max 1()g x e=↘此外注意到：当0x <时，()0g x <；当[0,1]x ∈及(1,)x ∈+∞时，()g x 的取值范围分别为1[0,]e 和1(0,)e ．于是题设等价于1102a e <-<<⇒2e a <-，故实数a 的取值范围为(,)2e-∞-． (2)存在实数a 满足题设．证明如下：由(1)知，1201x x <<<，111()20x f x ax e '=+=，故1112213111()+2x x x x f x =ax e e e e x =-=，故11231102x x e e e x --=．记231()(01)2x x e R x e e x x =--<<，则2(1)1()02x xe x R x e x -'=-<，于是，()R x 在(0,1)上单调递减．又2()03R =，故()R x 有唯一的零点23x =．从而，满足2311()f x e x =的123x =．所以，1231324x e a e x =-=-． 此时2233()4x f x e x e =-+，233()2x f x e x e '=-+，又(0)0f '>，(1)0f '<，(2)0f '>，而12(0,1)3x =∈，故当2334a e =-时,2312()()3f x f x e ==极大.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21.A . 如图，连结DF ．因为BC 与圆相切，所以CDF DAF ∠=∠． 因为EFD ∠与EAD ∠为弧DE 所对的圆周角， 所以EFD EAD ∠=∠．又因为AD 是BAC ∠的平分线，所以EAD DAF ∠=∠． 从而CDF EFD ∠=∠．于是//EF BC ． B ．设 , a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 则1 0 1 22 2a b a c b d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦B ， 故4,4,3,3,4 3.24,4, 4 221, 2.a ab b ac c bd d =-=-⎧⎧⎪⎪==-⎡⎤⎪⎪=⎨⎨⎢⎥+==-⎣⎦⎪⎪⎪⎪+=-=-⎩⎩解得故B C ．（1）圆C 是将圆4cos ρθ=绕极点按顺时针方向旋转6π而得到的圆，所以圆C 的极坐标方ABDCEF O·程是4cos()6πρθ=+．（2）将512πθ=-代入圆C 的极坐标方程4cos()6πρθ=+，得22ρ=， 所以，圆C 被直线5:12l πθ=-所截得的弦长为22． D. 因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是由均值不等式可知()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++33133(32)(32)(32)9(32)(32)(32)a b c a b c ≥⋅+++=+++，当且仅当13a b c ===时，上式等号成立．从而1111323232a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===．22．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，∴分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ,D 是BC 的中点，∴(1,2,0)D ，（1）111(0,4,0),(1,2,3)AC A D ==-，设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z =，则111110n AC n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-，111111335cos ,35n DB n DB n DB ⋅∴<>==⋅， ∴直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值为33535； （2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z =，则2112100n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取22232x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =，121212130cos ,65n n n n n n ⋅∴<>==⋅， ∴二面角111B A D C --的大小的余弦值13065． 23．（1）因为含元素1的子集有21n C -个，同理含2,3,4,,n 的子集也各有21n C -个，于是所求元素之和为22211(123)(2)(1)4n n C n n n -++++⨯=--； （2）集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21n C -个，以n 为最大元素的子集有21n C -个；以2为最小元素的子集有22n C -个，以1n -为最大元素的子集有22n C -个；以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有22C 个． 31nC i i m =∴∑312nC m m m =+++222122(1)()n n n C C C --=++++22231233(1)()n n n C C C C --=+++++ 22231244(1)()n n n C C C C --=+++++3(1)n n C ==+，3131nC ii nmn C =∴=+∑． 32015132015201512016C ii mC=∴=+=∑．。
(完整版)2018年南通市数学学科基地密卷(1)
B（第7题）2018年高考模拟试卷（1）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{}11A x x =-<<，{}102B =-，，，则A B = ▲ ．2． 复数2i1iz =-（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ． 3． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．4． 某地区连续5天的最低气温（单位：°C ）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为12时，则输入的x 的值为 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦长为 ▲ ．7． 如图，三个相同的正方形相接，则tan ABC ∠的值为 ▲ ．8． 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED =．设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ ．9． 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 是FN 的中点，则FN 的长度为 ▲ ．（第5题）( 第8题 )ABCD PE（第10题）A BCMN（第12题）10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．11．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢 捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．12．如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13．已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 14．设等比数列{a n }满足：1cos n n n a a θθ==，其中π02n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，*n ∈N ．则 数列{}n θ的前2 018项之和是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．。
高三数学-2018年南通高考密卷(数学二) 精品
2018年南通高考密卷（数学二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．共150分，考试时间120分钟．第 Ⅰ 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题p ：若a ≥b ，则c d >．命题q ：若e f ≤，则a b <．若p 为真且q 的否命题为真，试判断“c d ≤”是“e f ≤”的（ ）Ａ.充分条件 Ｂ.必要条件 Ｃ.充要条件 Ｄ.既不充分也不必要条件 2．等比数列{}n a 的首项11a =-,前n 项和为,n S 若3231510=S S ，则公比q 等于( ) 11A. B.22- C.2 D.－2 3．有一个容量为45的样本数据,分组后各组的频数如下:(](](](](](]12.5,15.5,3;15.5,18.5,8;18.5,21.5,9;21.5,24.5,11;24.5,27.5,10;27.5,30.5,4.根据累积频率分布,估计不大于27.5的数据约为总体的 ( ) A.91% B.92% C.95% D.30%4．设函数()f x =2(1)(1)22(11)11(1)x x x x x x⎧+≤-⎪⎪⎪⎨+-<<⎪⎪-≥⎪⎩，已知()f a ＞1，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(－21，+∞) B.(－21，21) C.(－∞，－2)∪(－21，1) D.(－2，－21)∪(1，+∞)5．已知集合(){}{}25log 5112,121A x x x B x m x m =-+≤=+<<-,若A B A =，则( )A.34m -≤≤B.34m -<<C.4m ≤D.24m <≤6．将一张建有坐标系的坐标纸折叠一次，使得点（1，0）与点（-1，2）重合，且点 （6，1）与点(),m n 重合，则m n +的值是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．97．在AOB ∠的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共1m n ++个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )1212111121212121211211C C C D.C C C C C C C.C C C C .C B C C C A.C nm n m n m mn nm m n n m m n n m +++++++++8．在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱11A B 上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是( )A.6πB.4πC.3πD.2π9．若关于x 320kx k -+=有且只有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53,124⎛⎤⎥⎝⎦ B ．5,112⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．已知方程()24310,1x ax a a +++=为大于的常数的两根为tan ,tan αβ，且α、β∈（－2π，2π），则tan 2βα+的值是（ ）A.21或－2B.21C.－2D.34 11．三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为( ) A.15 B.30 C.36 D.7212．已知△ABC 中，()0,1,A ()()2,4,7,1B C ，O 为平面上任一点，点,M N 分别使1()2OM OA OB =+，1()3ON OA OB OC =++，则下列命题中真命题是（ ） A ．//MN BCB ．直线MN 的方程是x+4y-11=0C ．直线MN 必过ΔABC 的外心D ．向量()||||AB ACAB AC λ+（R λ∈+）所在射线必过ΔABC 的重心第 Ⅱ 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．已知向量a =（2，4），则与向量a 垂直的单位向量b 的坐标为_________________. 14．用五种不同的颜色，给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色，每部分涂一色，相邻部分涂不同色，则涂色的方法共有___________-种． 15．在二项式()0,,0,0)(12≠>>+n m b a bx ax n m 中有02=+n m ，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项，则ba的取值范围为_____________________________.16．若直线y x =是曲线323y x x px =-+的切线，则实数p 的值为_______________.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）一名学生骑车上学校，从他的家到学校的途中有4个交通岗，如果他在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是13． （１）求这名学生过第三个交通岗时是首次遇红灯的概率； （２）求这名学生在途中恰好遇到三次红灯的概率．18．（本小题满分12分）已知2()f x x x c =++，且()()21f f x f x x =++⎡⎤⎣⎦（１）设()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，求()g x 的解设式；（２）设()()()x g x f x ϕλ=-，试问：是否存在实数λ，使得()x ϕ在(),1-∞-上是减函数，并且在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上是增函数．19．（本小题满分12分）如图所示：正四棱锥P ABCD 中，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为26， (1)求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；(3)在侧面PAD 上寻找一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，试确定点F 的位置，并加以证明．ABCDOEP20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足2n n nS a =(n ∈N *),n S 是{}n a 的前n 项的和，并且21a =．(1)求数列{}n a 的前n 项的和；(2)证明：23≤11112n a n a ++⎛⎫+ ⎪⎝⎭2<．21．（本小题满分12分）已知定点(1,0)F ，动点P （异于原点）在y 轴上运动，连接PF ，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PN PM =. （１）求动点N 的轨迹C 的方程；（２）若直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-且||AB ≤≤l 的斜率k 的取值范围．22．（本小题满分14分）已知函数()f x sin cos a x b x ωω=+部分图象，如图(,,a b R ω∈，且0ω>)(1)求,,a b ω的值； (2)关于t 的方程20t mt n ++=（,m n R ∈，且0n ≠ ①若1,m n +<证明()()20f x mf x n ++= 在（－65π，6π）内有两个不等实数根； ②上述①的逆命题是否成立，并证明．x2018年南通高考密卷（数学二）答案1．解：命题p 为真⇔“若a b ≥，则c d >”真⇔“若c d ≤，则a b <”真． 命题q 的否命题为真⇔“若e f >，则a b ≥”真⇔“若a b <，则e f ≤”真． 于是，c d ≤⇒a b <⇒e f ≤，故“c d ≤”是“e f ≤”的充分条件． 答案：Ａ2．解：利用等比数列和的性质.依题意，3231510=S S ，而11a =-,故1q ≠, ∴3213232315510-=-=-S S S ,根据等比数列性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10,…,也成等比数列，且它的公比为q 5,∴q 5=－321,即q =－21.答案：B 3．解：38911104191%4545++++=≈答案：A4．解：由()f x 及()f a ＞1可得：⎩⎨⎧>+-≤1)1(12a a ① 或⎩⎨⎧>+<<-12211a a ② ⎪⎩⎪⎨⎧>-≥1111aa ③ 解①得a ＜－2，解②得－21＜a ＜1，解③得x ∈∅ ∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－21，1)答案：C5.解：∵(){}25log 5112A x x x =-+≤{}27x x =-≤≤又A ∪B=A ，∴B ⊆A,∴⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤--≥+12171221m m m m 或121m m +≥-即m ≤4. 答案：C6．解：将一张建有坐标系的坐标纸折叠一次，使得点（1，0）与点（-1，2）重合．坐标系中所有的点关于直线1y x =+对称．点()6,1关于直线1y x =+对称点为()5,2．则5,2m n ==．所以7m n +=答案：B7．解法一：第一类办法：从OA 边上(不包括O)中任取一点与从OB 边上(不包括O)中任取两点，可构造一个三角形，有C 1m C 2n 个；第二类办法：从OA 边上(不包括O)中任取两点与OB 边上(不包括O)中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 2m C 1n 个；第三类办法：从OA 边上(不包括O)任取一点与OB 边上(不包括O)中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 1m C 1n 个.由加法原理共有N=C 1m C 2n +C 2m C 1n +C 1m C 1n 个三角形.解法二：从m+n+1中任取三点共有C 31++n m 个，其中三点均在射线OA(包括O 点)，有C 31+m 个，三点均在射线OB(包括O 点)，有C 31+n 个.所以，个数为N=C 31++n m －C 31+m －C 31+n 个.答案：C8．解：(特殊位置法)将P 点取为A 1，作OE ⊥AD 于E ，连结A 1E ，则A 1E 为OA 1的射影，又AM ⊥A 1E ，∴AM ⊥OA 1，即AM 与OP 成90°角. 答案：D9．解：关于x320kx k -+=()23k x =-+.关于x的方程320kx k --+=有且只有两个不同的实数根等价于两个函数()23y y k x ==-+的图象有两个不同的交点.函数y =的图象是位于x 轴上方的以原点为圆心半经为2的半个圆,函数()23y k x =-+的图象是过点()2,3P 的直线.直线()23y k x =-+与半圆y =相切时512k =.直线()23y k x =-+过点()2,0A -时34k =.故53.124k <≤ 答案:A10．已知方程()24310,1x ax a a +++=为大于的常数的两根为tan ,tan αβ， 由韦达定理得tan tan 40tan tan 310a a αβαβ⎧⎪⎨⎪⎩+=-<=+>．tan 0,tan 0.αβ∴<<又α、β∈（－2π，2π），故α、β∈（－2π，０）． ()()tan tan 44tan 01tan tan 1313a a αβαβαβ+-+===>--+()3,,cos ,,.25224παβππαβπαβ+⎛⎫⎛⎫∴+∈--+=-∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan2.2αβ+==-答案：Ｃ11．解：设三角形的另外两边长为x,y,则⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<≤<11110110y x y x 点(x,y)应在如右图所示区域内当x=1时，y=11；当x=2时，y=10,11；当x=3时，y=9,10,11；当x=4时，y=8,9,10,11; 当x=5时，y=7,8,9,10,11.以上共有15个，x,y 对调又有15个，再加上(6，6)，(7，7)， (8，8)，(9，9)，(10，10)、(11，11)六组，所以共有36个. 答案：C 12．解：由1()2OM OA OB =+知点M 为线段AB 的中点，坐标 为51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；由1()3ON OA OB OC =++知点N 为三角形ABC 重心．所以直线MN 的方程是x+4y-11=0 答案：B13．解：设与向量a =（2，4）垂直的单位向量b ()cos ,sin θθ=则12cos 4sin 0,tan 2cos θθθθ+=∴=-===当cosθ=sin tan cos θθθ==； 当cosθ=sin tan cos θθθ==；答案：(或.14．解：(1)(4)或(2)(4)可以涂相同的颜色.分类：若(1)(4)同色，有A 35种，若(2)(4)同色，有A 35种，若(1)(2)(3)(4)均不同色，有A 45种.由分类计数原理，共有N =2A 35+A 45=240种.答案：24015．解：由02=+n m 得2n m =-，二项式()0,,0,0)(12≠>>+n m b a bx ax n m 的展开式中最大项为第1r +项 又()()()121231211212rrr mrm n r r r r T C axbx C a b x ---+==则由提设得()1230, 4.r m r -==48439348457512121212,.C a b C a b C a b C a b ≥≥解得45.98b a ≤≤答案：45,98⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．解 设直线y x =过曲线323y x x px =-+上点32(,3)m m m pm -+的切线， ∵ 236y x x p '=-+ ∴ 2361m m p -+= ① 又切点32(,3)m m m pm -+也在其切线y x =上，∴ 323m m pm m -+= ② 因此，根据①②解得：1p =或134． 答案：1或13417．解：（1）这名学生第一、二个交通岗未遇到红灯，第三个交通岗遇到红灯的概率为Ｐ＝（１－13）×（１－13）×13＝427； 6分 （2）Ｐ＝3314118()(1)3381C ⨯⨯-=． 12分18．解：（1）因为2()f x x x c =++，且()()21f f x f x x =++⎡⎤⎣⎦所以()()222222111x c cx x c c x x x x ++++++=++++++，()()22222220c x c x c c -+-++-= 故1c =，所以()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦4322433x x x x =++++． 4分（2）假设存在实数λ，使得()x ϕ在(),1-∞-上是减函数，并且在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上是增函数．()()()x g x f x ϕλ=-4322433x x x x =++++()21x x λ-++()()()4322433x x x x λλλ=++-+-+-()()()'3246243x x x x ϕλλ∴=++-+-由()x ϕ在(),1-∞-上是减函数，并且在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上是增函数可得()'10ϕ-= 所以468230λλ-+-++-=，解得3λ=. 8分()()()'3324622211x x x x x x x ϕ∴=++=++()()()()()()()()()()'332'332,146222110,,111,46222211011,2x x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕϕϕϕ∴∈-∞-=++=++<-∞-⎛⎫∈--=++ ⎪⎝⎭=++>⎛⎫-- ⎪⎝⎭当时，此时在上是减函数；当时，此时在上是增函数．存在实数3λ=，使得()x ϕ在(),1-∞-上是减函数，并且在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上是增函数． 12分19．解：(1)取AD 中点M ，设PO ⊥面ABCD ，连MO 、PM ，则∠PMO 为二面角的平面角， ∠PAO 为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角，tan ∠PAO=26, 设AB=a ，AO=22a PO=AO ·tan ∠POA=23atan ∠PMO=MOPO=3 ∴∠PMO=60°. 4分 (2)连OE ，OE ∥PD ，∠OEA 为异面直线PD 民AE 所成的角， AO ⊥BD AO ⊥平面PBD ⇒ AO ⊥OE AO ⊥PO OE ⊂平面PBD OE=21PD=2122DO PO +=45a ∴tan ∠AEO=EO AO =5102. 8分 3)延长MO 交BC 于N ，取PN 中点G ，连EG 、MG ，BC ⊥MN⇒ BC ⊥平面PMN BC ⊥PN⇒平面PMN ⊥平面PBCPM=PN ⇒△PMN 为正△⇒MG ⊥PN ∠PMN=60°平面PMN ∩平面PBC=PN ⇒ MG ⊥平面PBC 取AM 中点F ，因为EG ∥MF MF=21MA=EG EF ∥MG ∴EF ⊥平面PBC. 12分 20．解：(1)由题意2n n n S a =得1112n n n S a +++= 两式相减得()()111211n n n n n a n a na n a na +++=+--=即 所以()121n n n a na +++=再相加121222n n n n n n na na na a a a ++++=+=+即 所以数列{}n a 是等差数列． 又111102a a a =∴= 又21a = 1n a n ∴=-所以数列{}n a 的前n 项的和为()122n n n n n S a -==． 4分 ⇒()()()11201211(2)112211112222111111,2,22!2n a nn rnr n n n n n n rr n r rr a n C C C C C n n n n n n n r C r n n r n ++⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭--+⎛⎫=⋅<= ⎪⎝⎭ 8分111111112112212242212n nnn n +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴+<++++==-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 10分而011131222nn n C C n n ⎛⎫+≥+⋅= ⎪⎝⎭∴ 23≤11112n a n a ++⎛⎫+ ⎪⎝⎭2<. 12分21．解 (1)设动点N 的的坐标为(,)N x y ，则(,0),(0,),(0)2y M x P x ->，(,),(1,)22y y PM x PF =--=-，由0PM PF ⋅=得，204y x -+=，因此，动点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x =>. 5分 (2)设直线l 的方程为y kx b =+，l 与抛物线交于点1122(,),(,)A x y B x y ，则由4OA OB ⋅=-，得12124x x y y +=-，又2211224,4y x y x ==，故128y y =-.7分又224440(0)y xky y b k y kx b⎧=⇒-+=≠⎨=+⎩， ∴216(12)048k b k⎧∆=+>⎪⎨=-⎪⎩，2222116||(32)k AB k k +∴=+， ∴||AB ≤≤22211696(32)480k k k +≤+≤ 解得直线l 的斜率k 的取值范围是11[1,][,1]22--. 12分22．解：1）由图象易知函数()f x 的周期为4T =（67π23π-）=2π ∴1ω=，上述函数的图象是由sin y x =的图象沿x 轴负方向平移3π个单位得到的，其解析式为()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．∴1,22a b == 4分 2）①由1,m n +<得|m n +|≤1,m n +<∴m n +＞－1 同样|m n -|≤1,m n +< ∴m n -＜１令()2g t t mt n =++显然()()110,110.g m n g m n =++>-=-+> 而二次函数()g t 的对称轴t =2m∈(-1,1) ∴二次方程20t mt n ++=两实根在（－1，1）中 ∴关于x 的方程2sin sin 033x m x n ππ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在（－65π，6π）内有两个不同实根. ９分②逆命题不成立 反例，关于t 的方程为251066t t ++= 显然方程2sin sin 033x m x n ππ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在（－65π，6π） 内有两个不等的实根，并m n +=61+65=1. 12分.。
2018年南通基地密卷(1)
B（第7题）2018年高考模拟试卷（1）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{}11A x x =-<<，{}102B =-，，，则A B = ▲ ．2． 复数2i1iz =-（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ． 3． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．4． 某地区连续5天的最低气温（单位：°C ）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为12时，则输入的x 的值为 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦长为 ▲ ．7． 如图，三个相同的正方形相接，则tan ABC ∠的值为 ▲ ．8． 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED =．设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ ．9． 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 是FN 的中点，则FN 的长度为 ▲ ．（第5题）( 第8题 )ABCD PE（第10题）A BCMN（第12题）10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．11．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢 捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．12．如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13．已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 14．设等比数列{a n }满足：1cos n n n a a θθ==+，其中π02n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，*n ∈N ．则数列{}n θ的前2 018项之和是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．ABCB 1C 1A 1MN （第16题）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知M ，N 分别为线段1BB ，1AC 的中点，MN 与1AA 所成角的大小为90°，且1MAMC =． 求证：（1）平面1A MC ⊥平面11A ACC ； （2）//MN 平面ABC ．17．(本小题满分14分某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为 1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，， （1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． （注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）（第18题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：222210x y a b a b +=>>()且过点1⎛⎝⎭．设P 为椭圆C 在第一象限上的点，A ，B 分别为椭圆C 的左顶点和 下顶点，且PA 交y 轴于点E ，PB 交x 轴于点（1）求a b ，的值；（2）若F 为椭圆C 的右焦点，求点E 的坐标； （3）求证：四边形ABFE 的面积为定值．19．(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足：()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，．（1）若29p =，求a 1的值； （2）若123a a a ，，成等差数列，求数列{a n }的通项公式．20．(本小题满分16分)已知函数()e (1)xf x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； （3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围．2018年高考模拟试卷（1）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ， 交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦N ．求满足方程=MX N 的二阶矩阵X ．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， （t 为参数），圆C 的参数方程为2cos 22sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）.设直线l 与圆C 相切，求正实数a 的值．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)设0x y z >，，，证明：222111x y z y z x x y z++++≥．（第21—A 题）ABDP（第22题）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P ABCD -中，棱AB ，AD ，AP 两两垂直，且长度均为1，BC AD λ=（01λ<≤）．（1）若1λ=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）若二面角B PC D --的大小为120°，求实数λ的值．23．(本小题满分10分)甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时， 两人正在游戏，且知甲再赢m （常数m >1）次就获胜，而乙要再赢n （常数n >m ） 次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行ξ次抛币，游戏结束． （1）若m 2=，n 3=，求概率()4P ξ=；（2）若2n m =+，求概率()P m k ξ=+（23k =，，…1m +，）的最大值（用m 表示）．2018年高考模拟试卷（1）参考答案数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{}0 2． -1 3．0.5 4． 16 5．6．7． 17【解析】设最右边的正方形的右下角顶点为D ，则()11tan tan 123tan tan 1tan tan 1171BCD BAD ABC BCD BAD BCD BAD -∠-∠∠=∠-∠===+∠∠+⨯．8． 23【解析】因为2PE ED =，所以三棱锥E ACD -的体积是三棱锥P ACD -体积的13，所以三棱锥P ACE -的体积是P ACD -体积的23．因为三棱锥P ABC -与三棱锥P ACD -体积相等，所以12:V V =23．9． 6【解析】如图，过点M 作准线的垂线，垂足为T ，交y 轴于点P ，所以11MP OF ==，3MF MT ==，所以26FN MF ==．10． (,e)-∞-【解析】11()ln 1,(0,),(,),(e)e e ef x x f '=++∞=为减区间为增区间．由于()f x 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,e)-∞-．11． 8【解析】设99根相同的圆钢捆扎成的尽可能大的1个正六边形垛的边长为n 根，则这个正六边形垛的层数是21n -，每一层的根数从上往下依次为： 12(2)(1)(2)21n n n n n n n n n n n n ++⋅⋅⋅+-+-+-⋅⋅⋅++，，，，，，，，，，， 则圆钢的总根数为：()222(1)2(21)33 1.2n n n n n n +--⨯+-=-+由题意2331n n -+≤99即299n n --≤0，设函数299()3f x x x =--，则299()3f x x x =--在[)1+∞，上单调递增．因为(6)0(7)0f f <>，，所以6n =．此时剩余的圆钢根数为299(36361)8-⨯-⨯+=．12． 54-【解析】由极化恒等式知，22AB AC AM BM ⋅=-，则342BM =，所以()222235124NB NC MN BM ⋅=-=-=-． 13． 2【解析】设1a x =+，19b y x =+，则10a b +=．因为ab =()1x y +⋅()1191091016y xy x xy +=+++≥（当且仅当19xy xy =时取“=”），所以()1016a a -≥，解得28a ≤≤，所以1x y +的最小值是2．14． 1009π6【解析】因为()π02n θ∈，，所以()(]πcos 2sin 126n n n n a θθθ==+∈，，所以等比数列{a n }的公比0q >．若1q >，由1a 知，当n 充分大，则2n a >，矛盾；若01q <<，由1a 知，当n 充分大，则1n a <，矛盾，所以1q =，从而1n a a =，所以π12n θ=．则数列{}n θ的前2 018项之和是1009π6．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)解：（1）由sin cos θθ+2(sin cos )1θθ+=即22sin 2sin cos cos 1θθθθ++=，所以sin 2θ=．ABCB 1C 1A 1MN 因为()ππ44θ∈-，，所以()ππ222θ∈-，，所以π23θ=-，即π6θ=-． （2）由（1）知，()22π()sin sin 6f x x x =--，所以()()11π()1cos21cos 2223f x x x ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦()1πcos 2cos223x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦112cos2x x ⎫=-⎪⎭()1πsin 226x =-． 令πππ2π22π+262k x k --≤≤，得ππππ+63k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调增区间是ππππ+k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．16．(本小题满分14分证明：（1）因为M N 与1AA 所成角的大小为90°，所以M N ⊥1AA ，因为1MA MC =，且N 是A 1C 的中点，所以M N ⊥1A C ． 又111AA AC A =，1AC ，1AA ⊂平面11A ACC ，故M N ⊥平面11A ACC ，因为MN ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11A ACC ． （2）取AC 中点P ，连结NP ，BP ．因为N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，所以PN //AA 1，且PN 12=AA 1．在三棱柱111ABC A B C -中，BB 1 // AA 1，且BB 1=AA 1． 又M 为BB 1中点，故BM // AA 1，且BM 1=AA 1．所以PN // BM ，且PN =BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN // BP ．又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，故//MN 平面ABC ． 17．(本小题满分14分 解：（1）考虑05x <≤时，利润()()22()20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x =-+=-+--+=-+-． 令20.4 3.2 2.80y x x =-+-≥得，17x ≤≤，从而15x ≤≤，即min 1x =． （2）当05x <≤时，由（1）知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x =-+-=--+， 所以当4x =时，max 3.6y =（万元）．当5x >时，利润()()()99()214.729.7333y P x x x x x x =-+=--+=--+--．因为9363x x -+=-≥（当且仅当933x x -=-即6x =时，取“=”）， 所以max 3.7y =（万元）． 综上，当6x =时，max 3.7y =（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元． 18．(本小题满分16分)解：（1）依题意，221314a b +=，c =222(0)c a b c =->，解得2241a b ==，．因为0a b >>，所以21a b ==，． （2）由（1）知，椭圆C 的右焦点为)0F，椭圆C 的方程为221x y +=，①所以()()2001A B --，，，．从而直线BF 1y -=．②由①②得，)17P ，．从而直线AP 的方程为：2)y x =+．令0x =，得7y =-E 的坐标为(07-，． （3）设()00P x y ，（0000x y >>，），且220014x y +=，即220044x y +=．则直线AP 的方程为：00(2)2y y x x =++，令0x =，得0022y y x =+． 直线BP 的方程为：0011y y x x ++=，令0y =，得001xx y =+．所以四边形ABFE 的面积S =()()00002121212x y y x ++++00000022221212x y x y y x ++++=⋅⋅++ ()2200000000004222441222x y x y x y x y x y +++++=⋅+++00000000224422x y x y x y x y +++=+++ 2=． 19．(本小题满分16分)解：（1）因为29p =，所以()211129a S a ==+，即211540981a a -+=，解得119a =或49．（2）设等差数列123a a a ，，的公差为d ． 因为()()2*n n S a p n p =+∈∈N R ，，所以()211a a p =+， ①()2122a a a p +=+， ②()21233a a a a p ++=+． ③②-①，得()()22221a a p a p =+-+，即()2122a d a a p =++， ④③-②，得()()22332a a p a p =+-+，即()3232a d a a p =++， ⑤⑤-④，得()()32231222a a d a a p a a p ⎡⎤-=++-++⎣⎦，即22d d =．若0d =，则230a a ==，与0n a >矛盾，故12d =． 代入④得()1111112222a a a p +=+++，于是1p =．因为()()2*14n n S a n =+∈N ，所以()21114n n S a ++=+， 所以()()221111144n n nn na S S a a +++=-=+-+，即()()221111044n n n a a a +++--+=，整理得()()22111044n na a +--+=，于是()()11102n n n na a a a +++--=．因为0n a >，所以1102n n a a +--=，即112n n a a +-=．因为()21114a a =+，所以114a =．所以数列{a n }是首项为14，公差为12的等差数列．因此，*1121(1)()424n n a n n -=+-=∈N ．20．(本小题满分16分)解：（1）由()e (1)x f x a x =-+，知()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增； 若0a >，令()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(ln )a -∞，上单调递减；在(ln )a +∞，上单调递增． （2）由（1）知，当0a >时，min ()(ln )ln f x f a a a ==-．因为()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，所以ln b a a -≤， 所以2ln ab a a -≤．设2()ln t a a a =-，（0a >），由21()(2ln )(2ln 1)t a a a a a a a '=-+⋅=-+，令()0t a '=，得1e a -=，当120e a -<<时，()0t a '>，所以()t a 在()120e-，上单调递增；当12e a ->时，()0t a '<，所以()t a 在()12e -∞，+上单调递减，所以()t a 在12e a -=处取最大值，且最大值为12e．所以21ln 2e ab a a -≤≤，当且仅当12e a -=，121e 2b -=时，ab 取得最大值为12e ．（3）设()()()F x f x g x =-，即()e e 2x F x x ax a =--- 题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围．① 当0a ≥时，由(1)30F a =-≤，1(1)e e 0F a --=++>，所以()F x 有零点． ② 当e 0a -<≤时，若0x ≤，由e 20a +≥，得()e (e 2)0x F x a x a =-+->；若0x >，由（1）知，()(21)0F x a x =-+>，所以()F x 无零点． ③ 当e 2a <-时，(0)10F a =->，又存在010e 2a x a -=<+，00()1(e 2)0F x a x a <-+-=，所以()F x 有零点．综上，a 的取值范围是e 2a <-或0a ≥．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．题区域内作答．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)证明：因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ． 又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ． B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)21B.【解】设1 -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a c b d A ，因为12 -1 1 02 1 0 1-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a cb d AA ， 所以2a b 1,2c d 0,2a b 0,2c d 1,-=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解之得1a 41b 1c 41d 2⎧=⎪⎪=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩ ，所以A －1＝11 4411- 22⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．所以12131111 16164444()111131- - 222288-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ． C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：直线l 的普通方程为3y =+，圆C 的参数方程化为普通方程为22()(2)4x a y -+-=．因为直线l 与圆C2=．解得a =a =0a >，所以a = D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：由柯西不等式，得()()2222111y x z x y zy z x ++++≥，即()()()2222111111yx z x y z x y z y z x++++++≥，所以222111yx z x y z y z x++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．(本小题满分10分)解：（1）以{}AB AD AP ，，为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ．因为1λ=，所以BC AD =． 依题意，()110C ，，，()001P ，，，()100B ，，，(D 所以()111PC =-，，， ()101PB =-，，，(1PD =0，设平面PBD 的一个法向量为n ()x y z =，，，则00PB PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 所以00x z y z -=⎧⎨-=⎩，． 取1z =得，n ()111=，，．所以1 cos3PC PC PC ⋅〈〉===⋅，n n n ．所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为13．（2）依题意，()10C λ，，，()101PB ，，=-，()11PC λ，，=-，()011PD ，，=-． 设平面PBC 的一个法向量为1n ()111x y z ，，=，则1100PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即1111100x z x y z λ-=⎧⎨+-=⎩，，取11z =得，()1101=，，n ．设平面PCD 的一个法向量为2n ()222x y z ，，=，则2200PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即2222200x y z y z λ+-=⎧⎨-=⎩，，取21z =得，2n ()111λ=-，，．所以121212 cos⋅〈〉=⨯，n n n n n n 1 cos120 2==， 解得1λ=或5λ=，因为01λ<≤，所以1λ=． 23．(本小题满分10分)解：（1）依题意， ()()31343128P ξ==⨯⨯=．（2）依题意，()()()11111C C2m km m m k m k P m k ξ+-++-+-=+=+⋅（23k =，，…1m +，）．设()()()11111CC2m km m m k m k f k +-++-+-=+⋅()()()()()()1!1!121!!1!2!m km k m k m k m k ++-+-⎡⎤=+⋅⎢⎥-+-⎣⎦()()()()()1111!21!!m km m k k m k m k +++-=⋅⋅+-+则()()1f k f k +()()()()()()()()()(()1111!1!1!1111!1!!m k m k m m k k m k m k m m k k m k m k ++++++⋅⋅+++=++-⋅⋅+-+()()()()()()112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦．而()()()1112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦+++-⎡⎤⎣⎦≥ （＊） ()()()32221220k m k m k m m m ⇔-++----≤()()2220k m k k m m ⇔--+--≤．（＃） 因为2220k k m m -+--=的判别式()21420m m ∆=---<2704m m ⇔--<（显然在*1m m >∈N ，时恒成立）， 所以2220k k m m -+-->．又因为k m ≤，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立． 所以()()11f k f k +≥，即()()1f k f k +≥(当且仅当k m =时，取“=”)， 所以()f k 的最大值为()()()()21112211C C2m m m mmf m f m +-+=+=+⋅，即()P m k ξ=+的最大值为()()2111221C C2m m m mm+-++⋅．。
2018年高考南通市数学学科基地密卷(6)(2021年整理)
2018年高考南通市数学学科基地密卷(6)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年高考南通市数学学科基地密卷(6)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年高考南通市数学学科基地密卷(6)(word版可编辑修改)的全部内容。
2018年高考模拟试卷（6）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题,共160分)一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则UA = ▲ ．2．已知复数z ＝错误!－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一,高二，高三在校生数分别为1200,1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力,测视力的人数为 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>纵坐标为1的一点到焦点的距离为4,焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为错误!，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-(0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲ ．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合,但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么,两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x ++=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则｜错误!＋t 错误!｜的最小值为 ▲ ． 11．若函数()1()log 1a x f x ax=+-（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 ▲ ．12．数列｛a n }满足a 1＝错误!，a 2＝错误!，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则错误!＋错误!＋…＋错误!的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x ef x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点,则实数m 的取值范 围是 ▲ ．14．在△ABC 中,角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．(1）若3m =,1n =-，且()λ⊥+a a b ，求实数λ的值； （2）若5+=a b ,求⋅a b 的最大值．16．(本小题满分14分）在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点．（1）求证：AF ⊥DD 1； （2）求证:AD //平面1MBC ．BA（第16题）B 1A 1C 1MCFDD 117．(本小题满分16分)如图，设椭圆C :x 2a2＋错误!＝1（a ＞b ＞0)，离心率e ＝错误!，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴,线段PF ＝32．（1)求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ,B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．18．(本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路, 休息亭P与入口的距离为米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步 行带，步行带交两条小路于E 、F 处,已知045BAP ∠=,12tan 5CAB ∠=． （1）设AE x =米，AF y =米,求y 关于x 的函数关系式及定义域; (2)试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF地皮购价最低．A OB OCOP O（17题图）F E19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈。
南通市数学学科基地密卷
2018年南通市数学学科基地密卷(1)高三数学试卷 第 1 页共 27 页A BC（第7题） 2018年高考模拟试卷（1）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 已知集合{}11A x x =-<<，{}102B =-，，，则A B = ▲ ．2． 复数2i 1i z =-（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ． 3． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ． 4． 某地区连续5天的最低气温（单位：°C ）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为12时，则输入的x 的值为 ▲ ．（第5题）( 第8题 )A B CD PE高三数学试卷 第 2 页 共 27 页6． 在平面直角坐标系xOy 中，圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦长为 ▲ ．7． 如图，三个相同的正方形相接，则tan ABC ∠的值为 ▲ ．8． 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED =．设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ ．9． 已知F 是抛物线C ：28yx=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 是FN 的中点，则FN 的长度为 ▲ ．10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x=，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．高三数学试卷 第 3 页 共 27 页（第10题）A BCM N（第12题）11．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢 捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．12．如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13．已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ．14．设等比数列{a n }满足：12cos 3sin n n na a θθ==，其中π02n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，*n ∈N ．则数列{}nθ的前2 018项之和是 ▲ ．高三数学试卷 第 4 页 共 27 页AB CB 1C 1A 1MN （第16题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，． （1）求θ的值； （2）设函数()22()sinsin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知M ，N 分别为线段1BB ，1AC 的中点，MN 与1AA 所成角的大小为90°，且1MA MC =．求证：（1）平面1A MC ⊥平面11A ACC ；（2）//MN 平面ABC ．高三数学试卷 第 5 页 共 27 页17．(本小题满分14分某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，，（1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润．高三数学试卷 第 6 页 共 27 页（第18题）（注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：222210x y a b a b+=>>()过点12⎛⎫⎪⎝⎭，．设P 为椭圆C 在第一象限上的点，A，B 分别为椭圆C 下顶点，且PA 交y （1）求a b ，的值；（2）若F为椭圆C的右焦点，求点E 的坐标；（3）求证：四边形ABFE 的面积为定值．高三数学试卷 第 7 页 共 27 页19．(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为nS ，且满足：()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，．（1）若29p =，求a 1的值；（2）若123aa a ，，成等差数列，求数列{a n }的通项公式．20．(本小题满分16分)已知函数()e(1)xf x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成高三数学试卷 第 8 页 共 27 页立，求ab 的最大值；（3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得0()()f xg x =成立，求a 的取值范围．2018年高考模拟试卷（1）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题．．．．．．．．．．区．域内作答．．．．． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点高三数学试卷 第 9 页 共 27 页PAE ∽△BDE ．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦N ．求满足方程=MX N 的二阶矩阵X ．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， （t 为参数），圆C 的参数方程为2cos 22sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）.设直线l 与圆C 相切，求正实数a 的值．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)A B C DP（第22题） 设0x y z >，，，证明：222111x y z y z x x y z++++≥． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P ABCD -中，棱AB ，AD ，AP 两两垂直，且长度均为1，BC AD λ= （01λ<≤）．（1）若1λ=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）若二面角B PC D --的大小为120°，求实数λ的值．23．(本小题满分10分)甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时， 两人正在游戏，且知甲再赢m （常数m >1）次就获胜，而乙要再赢n （常数n >m ）次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行ξ次抛币，游戏结束．（1）若m 2=，n 3=，求概率()4P ξ=；（2）若2n m =+，求概率()P m k ξ=+（23k =，，…1m +，）的最大值（用m 表示）．2018年高考模拟试卷（1）参考答案数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． {}2． -1 3．0.54． 16 5．6．7． 17【解析】设最右边的正方形的右下角顶点为D ， 则()11tan tan 123tan tan 1tan tan 117123BCD BAD ABC BCD BAD BCD BAD -∠-∠∠=∠-∠===+∠∠+⨯．8． 23【解析】因为2PE ED =，所以三棱锥E ACD -的体积是三棱锥P ACD -体积的13，所以三棱锥 P ACE-的体积是P ACD -体积的23．因为三棱锥P ABC-与三棱锥P ACD -体积相等，所以12:V V =23． 9． 6【解析】如图，过点M 作准线的垂线，垂足为T ，交y 轴于点P ，所以112MP OF ==，3MF MT ==， 所以26FN MF ==．10． (,e)-∞-【解析】11()ln 1,(0,),(,),(e)e e ef x x f '=++∞=为减区间为增区间． 由于()f x 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,e)-∞-．11． 8【解析】设99根相同的圆钢捆扎成的尽可能大的1个正六边形垛的边长为n 根，则这个正六边形垛的层数是21n -，每一层的根数从上往下依次为：12(2)(1)(2)21n n n n n n n n n n n n ++⋅⋅⋅+-+-+-⋅⋅⋅++，，，，，，，，，，，则圆钢的总根数为：()222(1)2(21)33 1.2n n n n n n +--⨯+-=-+由题意2331nn -+≤99即2993n n --≤0，设函数299()3f x xx =--，则299()3f x xx =--在[)1+∞，上单调递增．因为(6)0(7)0f f <>，，所以6n =．此时剩余的圆钢根数为299(36361)8-⨯-⨯+=． 12． 54-【解析】由极化恒等式知，22AB AC AM BM ⋅=-，则2342BM AB AC -⋅=，所以()222235124NB NC MN BM ⋅=-=-=-． 13． 2【解析】设1a x y=+，19b y x =+，则10a b +=． 因为ab =()1x y +⋅()1191091016y xy x xy+=+++=≥（当且仅当19xy xy =时取“=”），所以()1016a a -≥，解得28a ≤≤，所以1x y +的最小值是2． 14．1009π6【解析】因为()π02n θ∈，，所以()(]πcos 2sin 126n n n n a θθθ==+∈，，所以等比数列{a n }的公比0q >． 若1q >，由1an 充分大，则2na>，矛盾；若01q <<，由1an 充分大，则1na<，矛盾，所以1q =，从而1naa ==，所以π12nθ=．则数列{}nθ的前2 018项之和是1009π6． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分) 解：（1）由sin cos θθ+=2(sin cos )1θθ+=即22sin 2sin cos cos 1θθθθ++=，所以sin 2θ=．因为()ππ44θ∈-，，所以()ππ222θ∈-，，所以π23θ=-，即π6θ=-． （2）由（1）知，()22π()sinsin 6f x x x =--，所以()()11π()1cos21cos 2223f x x x ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦()1πcos 2cos223x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦112cos222x x ⎫=-⎪⎭()1πsin 226x =-．令πππ2π22π+262k x k --≤≤， 得ππππ+63k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调增区间是ABCB 1C 1A 1M N ππππ+63k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈．16．(本小题满分14分证明：（1）因为MN 与1AA 所成角的大小为90°，所以MN ⊥1AA ， 因为1MA MC =，且N 是A 1C 的中点，所以MN ⊥1A C ．又111AAAC A =，1AC ，1AA ⊂平面11A ACC ，故MN ⊥平面11A ACC ， 因为MN ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11A ACC ．（2）取AC 中点P ，连结NP ，BP ．因为N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，所以PN //AA 1，且PN 12=AA 1． 在三棱柱111ABC A B C -中，BB 1 // AA 1，且BB 1=AA 1．又M 为BB 1中点，故BM // AA 1，且BM 12=AA 1． 所以PN // BM ，且PN =BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形，从而MN // BP ．又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，故//MN 平面ABC ． 17．(本小题满分14分 解：（1）考虑05x <≤时，利润()()22()20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x =-+=-+--+=-+-．令20.4 3.2 2.80y x x =-+-≥得，17x ≤≤，从而15x ≤≤，即min1x =． （2）当05x <≤时，由（1）知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x =-+-=--+，所以当4x =时，max3.6y=（万元）．当5x >时，利润()()()99()214.729.7333y P x x x x x x =-+=--+=--+--． 因为9363x x -+=-≥（当且仅当933x x -=-即6x =时，取“=”）， 所以max3.7y=（万元）．综上，当6x =时，max3.7y=（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元． 18．(本小题满分16分) 解：（1）依题意，221314a b+=，c a =222(0)ca b c =->，解得2241ab ==，．因为0a b >>，所以21a b ==，． （2）由（1）知，椭圆C的右焦点为)0F ，椭圆C的方程为2214x y+=，①所以()()2001A B --，，，．从而直线BF的方程为：1y =． ②由①②得，)17P ，．从而直线AP 的方程为：2)y x +．令0x =，得7y =-E的坐标为(07-，． （3）设()0P x y ，（0000xy >>，），且220014x y +=，即220044xy +=．则直线AP 的方程为：00(2)2y y x x =++，令0x =，得0022y y x =+． 直线BP 的方程为：011y y x x ++=，令0y =，得01x x y =+．所以四边形ABFE 的面积S =()()00002121212x y y x ++++00000022221212x y x y y x ++++=⋅⋅++ ()2200000000004222441222x y x y x y x y x y +++++=⋅+++00000000224422x y x y x y x y +++=+++2=．19．(本小题满分16分)解：（1）因为29p =，所以()211129a S a ==+，即211540981aa -+=，解得119a=或49． （2）设等差数列123a a a ，，的公差为d ． 因为()()2*nn S a p n p =+∈∈N R ，，所以()211a a p =+，①()2122a a a p +=+，②()21233a a a a p ++=+．③ ②-①，得()()22221aa p a p =+-+，即()2122ad a a p =++， ④③-②，得()()22332a a p a p =+-+，即()3232a d a a p =++， ⑤⑤-④，得()()32231222a ad a a p a a p ⎡⎤-=++-++⎣⎦，即22d d =．若0d =，则230a a ==，与0na>矛盾，故12d =． 代入④得()1111112222a a a p+=+++，于是14p =． 因为()()2*14n n S a n =+∈N ，所以()21114n n S a ++=+，所以()()221111144n n n n na S S a a +++=-=+-+， 即()()221111044n n n a a a +++--+=，整理得()()22111044n na a +--+=， 于是()()11102n n n na a a a +++--=． 因为0na >，所以1102n n aa +--=，即112n n aa +-=．因为()21114a a =+，所以114a =．所以数列{a n }是首项为14，公差为12的等差数列． 因此，*1121(1)()424nn an n -=+-=∈N ．20．(本小题满分16分) 解：（1）由()e(1)xf x a x =-+，知()exf x a'=-．若0a ≤，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增；若0a >，令()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(ln )a -∞，上单调递减；在(ln )a +∞，上单调递增．（2）由（1）知，当0a >时，min()(ln )ln f x f a a a==-．因为()f x b≥对任意x ∈R 都成立，所以ln b a a -≤，所以2ln ab a a -≤．设2()ln t a a a =-，（0a >），由21()(2ln )(2ln 1)t a a a aa a a'=-+⋅=-+，令()0t a '=，得12e a -=，当120e a -<<时，()0t a '>，所以()t a 在()120e -，上单调递增；当12e a ->时，()0t a '<，所以()t a 在()12e-∞，+上单调递减，所以()t a 在12e a -=处取最大值，且最大值为12e． 所以21ln 2eab a a -≤≤，当且仅当12e a -=，121e 2b -=时，ab 取得最大值为12e． （3）设()()()F x f x g x =-，即()e e 2x F x x ax a =--- 题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围．① 当0a ≥时，由(1)30F a =-≤，1(1)e e 0F a --=++>，所以()F x 有零点． ② 当e 02a -<≤时，若x ≤，由e 20a +≥，得()e (e 2)0x F x a x a =-+->；若0x >，由（1）知，()(21)0F x a x =-+>，所以()F x 无零点．③ 当e 2a <-时，(0)10F a =->， 又存在010e 2a xa-=<+，0()1(e 2)0F x a x a <-+-=，所以()F x 有零点．综上，a 的取值范围是e 2a <-或0a ≥．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．题区域内作答．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分． C ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)证明：因为PA 是圆O 在点A 处的切线，所以∠PAB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ，所以∠PAE ＝∠PAB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△PAE ∽△BDE ． D ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分) 21B.【解】设1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a cb d A，因为12 -1 1 02 1 0 1-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a cb d AA，所以2a b 1,2c d 0,2a b 0,2c d 1,-=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解之得1a 41b 21c 41d 2⎧=⎪⎪=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩ ，所以A －1＝11 4411- 22⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．所以12131111 16164444()111131- - 222288-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：直线l 的普通方程为3y =+，圆C 的参数方程化为普通方程为22()(2)4x a y -+-=．因为直线l 与圆C 相切，所以2=．解得a =a =0a >，所以a = D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：由柯西不等式，得()()2222111y x z x y z y z x ++++≥，即()()()2222111111y x z x y zx y z y z x ++++++≥，所以222111y x z x y zy z x ++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．(本小题满分10分)解：（1）以{} AB AD AP ，，所示的空间直角坐标系A所以BC AD =．依题意，()110C ，，，()001P ，，，()100B ，，，()010D ，，， 所以()111PC =-，，，()101PB =-，，，()11PD =-0，，．设平面PBD 的一个法向量为n ()x y z =，，，则00PB PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 所以00x z y z -=⎧⎨-=⎩，．取1z =得，n ()111=，，．所以1 cos 3PC PC PC ⋅〈〉===⋅，n n n ． 所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为13． （2）依题意，()10C λ，，，101PB，，，11PCλ，，，011PD，，．设平面PBC 的一个法向量为1n ()111x y z ，，=，则1100PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即1111100x z x y z λ-=⎧⎨+-=⎩，，取11z =得，()1101=，，n ． 设平面PCD 的一个法向量为2n()222x y z ，，=，则2200PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即2222200x y z y z λ+-=⎧⎨-=⎩，，取21z =得，2n ()111λ=-，，．所以121212cos⋅〈〉==⨯，n n n n n n 1cos120 2==，解得1λ=或5λ=，因为01λ<≤，所以1λ=．23．(本小题满分10分) 解：（1）依题意， ()()31343128P ξ==⨯⨯=． （2）依题意，()()()11111CC2m km m m k m k P m k ξ+-++-+-=+=+⋅（23k =，，…1m +，）． 设()()()11111CC2m km m m k m k f k +-++-+-=+⋅()()()()()()1!1!121!!1!2!m km k m k m k m k ++-+-⎡⎤=+⋅⎢⎥-+-⎣⎦()()()()()1111!21!!m km m k k m k m k +++-=⋅⋅+-+则()()1f k f k +()()()()()()()()()()()1111!21!1!1111!21!!m k m k m m k k m k m k m m k k m k m k ++++++⋅⋅+++=++-⋅⋅+-+()()()()()()112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦．而()()()()()()1112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦+++-⎡⎤⎣⎦≥ （＊） ()()()32221220k m k m k m m m ⇔-++----≤()()2220k m k k m m ⇔--+--≤．（＃）因为2220k k m m -+--=的判别式()21420m m ∆=---< 2704m m ⇔--<（显然在*1m m >∈N ，时恒成立），所以2220kk m m -+-->．又因为k m ≤，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立．所以()()11f k f k +≥，即()()1f k f k +≥(当且仅当k m =时，取“=”)，所以()f k 的最大值为()()()()21112211CC2m m m mmf m f m +-+=+=+⋅，即()P m k ξ=+的最大值为()()2111221CC2m m m mm+-++⋅．。
高考数学试题南通市2018届高三模拟卷(二)
南通市2021届高三模拟卷〔二〕数学------------------南通数学学科基地命题------------------一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．.1 .假设集合A{x|2x4}a,▲．，那么a=2.复数z12ai,z22i，假设|z1|＜|z2|，那么实数a的取值范围是．为了了解高三学生的身体状况．抽取了局部男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图〔如图〕，图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，那么抽取的男生人数是．频率组距0．03750．012550 55 60 65 70 75体重4.数列—1，a1，a2，—4成等差数列,—1，b1,b2,b3,—4成等比数列，那么a2a1的值为b25.抛掷一颗骰子的点数为a，得到函数f(x)sin aπx，那么“y f(x)在[0，4]上至少有5个零点〞的概3率是．6.一个棱长为6cm的正方体盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5cm的球，那么球心到盒底的距离为cm.π1pp 4.7．对于x(0,),不等式sin2xcos2x≥9恒成立,那么正实数p的取值范围为28.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，那么AD＝．Read xAIf x<5Theny←x2+1ElseD y←5xC B Printy9.如图是由所输入的x值计算y值的一个算法程序，假设x依次取数列{2n}，n≤2021〕的项，n+4〔n N*那么所得y值中的最小值为.10.直线y x b是曲线y lnx1的一条切线，那么b_______.11.双曲线x2y21(a0,b0)的左、右焦点分别为12121 a2b2F、F，P是双曲线上一点，且PF⊥PF，PFPF2=4ab，那么双曲线的离心率是.12.在周长为16的PMN中，MN6，那么PMPN的取值范围是.x*13.设函数f(x)x11,A0为坐标原点，A n为函数y=f〔x〕图象上横坐标为n(n N)2x1n的点，向量a nk1A k1A k，向量i=〔1，0〕，设n为向量a n与向量i的夹角，那么满足n5的最大整数n是.tan kk1314.l1和l2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，动点B、C分别在l1和l2上，且BC32，过A、B、C三点的动圆所形成的区域的面积为.二．解答题:本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或．．．．．．．．演算步骤．15〔此题总分值14分〕(0,),(,),cos277 ,sin().2299(Ⅰ)求cos的值；(Ⅱ)求sin的值.16〔此题总分值14分〕如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，且PA PD 2AD，假设E、F分别为PC、BD的中点.(Ⅰ)求证：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求证：2EF 平面PDC.PED CFA B第16题17〔此题总分值15分〕等差数列{a n}满足：a18,a50。
江苏省南通市2018届高考第二次调研数学试卷及答案
i <4i ←i + 1结束N YS ←S ×5输出S 开始 S ←1i ←1南通市2018届高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲． 2．已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为▲． 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示， 则成绩不低于60分的人数为▲．4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲．5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32 cm 2的概率为▲．6．在ABC △中，已知1245AB AC B ==︒，，则BC 的长为▲．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()23P -，，则双曲线C 的焦距为▲．成绩/分 组距40 5060 70 80 90 100 0.0050.010 0.0150.025 0.030 （第3题）8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲． 10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲． 11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组3330330x x x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲．12．设函数31e 0()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 m 的取值范围是▲．13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅的值为▲． 14．已知a 为常数，函数22()1xf x a x x =---的最小值为23-，则a 的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()312=-，c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于 端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为42 （1）求椭圆的标准方程；AA 11C 1B CFE（第16题）l 1l 2 AB C（第18题）（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆 柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形 （各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，．记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由．20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f xb x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数． （第17题）0B 1B 2PQOP xy①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．南通市2018届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）换1T ，2T 在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变对应的矩阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=()122a c c a b-++．ABDOC（第21—A 题）i < 4i ←i + 1N YS ←S ×5 输出S开始 S ←1i ←1【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张 如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元， 点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X 元． （1）求概率(600)P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除．南通市2018届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲．【答案】{}13，2．已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为▲． 【答案】433．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为▲．【答案】30组距0.0150.025 0.0304．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲． 【答案】1255．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为▲． 【答案】136．在ABC △中，已知1245AB AC B ==︒，，则BC 的长为▲．26+7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()23P -，，则双曲线C 的焦距为▲． 【答案】438．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．【答案】99．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲． 【答案】6-10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲． 【答案】811．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组3330330x x x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲． 【答案】22(1)4x y -+=12．设函数31e 0()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点， 则实数m 的取值范围是▲．【答案】()1+∞，13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅的值为▲． 【答案】1014．已知a 为常数，函数22()1xf x a x x =---的最小值为23-，则a 的所有值为▲．【答案】144，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ， ()312=-c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．解：（1）因为()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()31=-c ，所以1===a b c ，且cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b ． ……3分因为+=a b c ，所以22+=a bc ，即a 2+ 2a ⋅b + b 2= 1，所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2αβ-=-．……6分（2）因为5π6α=，所以()31=，a ．依题意，()31sin cos 2ββ+=--，b c ．……8分因为()//+a b c ，所以)()3311cos sin 0ββ---=．化简得，311sin ββ=，所以()π1sin β-=．…… 12分因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<．所以ππ36β-=，即π2β=．…… 14分16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异 于端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．AB CFE证明：（1）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1 // CC 1． 因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1．…… 2分 又AE ⊥BB 1，AEAF A =，AE ，AF ⊂平面AEF ，所以BB 1⊥平面AEF ．…… 5分又因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ．…… 7分 （2）因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE =∠ACF ，AB = AC ， 所以Rt △AEB ≌Rt △AFC ． 所以BE = CF ．…… 9分 又由（1）知，BE // CF ． 所以四边形BEFC 是平行四边形． 从而BC // EF ．…… 11分又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以BC // 平面AEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为42 （1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值． 解：设()00P x y ，，()11Q x y ，．（1）在3y x =+中，令0x =，得3y =，从而b = 3． …… 2分由222193y x a y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222319x x a ++=． 所以20269a x a =-+．…… 4分因为()22100032PB x y x =+-，所以2264229a a +，解得218a =． 所以椭圆的标准方程为221189y x +=．…… 6分 （2）方法一： 直线PB 1的斜率为1003PB y k -=， （第17题）0由11QB PB ⊥，所以直线QB 1的斜率为100QB x k =-． 于是直线QB 1的方程为：003x y x =-+． 同理，QB 2的方程为：0033x y x y =--+．…… 8分 联立两直线方程，消去y ，得20109y x x -=．…… 10分因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而22009x y -=-． 所以012x x =-．…… 12分 所以1212012PB B QB B S xS x ∆∆==．…… 14分 方法二：设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k '，则直线PB 1的方程为3y kx =+． 由11QB PB ⊥，直线QB 1的方程为13y x k=-+．将3y kx =+代入221189y x +=，得()2221120k x kx ++=， 因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以00x ≠，从而0x =21221k k -+．…… 8分 因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-． 所以2000200033912y y y k k x x x -+-'⋅=⋅==-，得12k k '=-．…… 10分 由22QB PB ⊥，所以直线2QB 的方程为23y kx =-．联立1323y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，则2621k x k =+，即12621k x k =+．…… 12分 所以121220112212621PB B QB B k S x k kk ∆∆-+===+．…… 14分18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿 虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方l 1l 2 AB C（第18题）形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？ 解：（1）设所得圆柱的半径为r dm ，则()2π24100r r r +⨯=， …… 4分 解得()()52π1r +=．…… 6分（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ， 则21004x a a a x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤，，即220.x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，…… 9分 方法一：所得正四棱柱的体积3202104400210.x x V a x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤≤，，……11分 记函数302104()400210.x x p x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤，， 则()p x 在(0210⎤⎦，上单调递增，在)210⎡+∞⎣上单调递减，所以当210x =max ()2010p x =所以当210x =10a =max V =2010dm 3．…… 14分 方法二：202a x a≤≤，从而10a 11分所得正四棱柱的体积()2220202010V a x a a ==≤≤．所以当10a =210x =max V =2010dm 3．…… 14分答：（1()()52π1+dm ；（2）当x 为210 16分 【评分说明】①直接“由()21002x x x ⋅+=得，210x =2分；②方法一中的求解过程要体现()210p x V ≤≤()210p x V =≤的最多得5分， 其它类似解答参照给分．19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 解：（1）假设数列123c c c ，，是等差数列，则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++．因为12b b ，，3b 是等差数列，所以2132b b b =+．从而2132a a a =+．……2分 又因为12a a ，，3a 是等比数列，所以2213a a a =． 所以123a a a ==，这与1q ≠矛盾，从而假设不成立．所以数列123c c c ，，不是等差数列．……4分 （2）因为11a =，2q =，所以12n n a -=．因为2213c c c =，所以()()()2222214b b d b d +=+-++，即223b d d =+，……6分 由2220c b =+≠，得2320d d ++≠，所以1d ≠-且2d ≠-．又0d ≠，所以223b d d =+，定义域为{}120d d d d ∈≠-≠-≠R ，，．……8分 （3）方法一：设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1， 则1111111221111331111=2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=⎧⎪++⎪⎨++⎪⎪++⎩①②③④，，，……10分将①+③－2×②得，()()2211111a q c q -=-，⑤将②+④－2×③得，()()22111111a q q c q q -=-，⑥……12分 因为10a ≠，1q ≠，由⑤得10c ≠，11q ≠． 由⑤⑥得1q q =，从而11a c =．……14分 代入①得10b =．再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾． 所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列．……16分方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c ==．……10分 所以32432132c c c c c c c c --=--，即32432132a a d a a d a a d a a d -+-+=-+-+．两边同时减1得，321432213222a a a a a a -+-+=．……12分 因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ()1q ≠，所以()321321213222q a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+．又()23211210a a a a q -+=-≠，所以()2132q a a d a a d -+=-+，即()10q d -=． ……14分这与1q ≠，且0d ≠矛盾，所以假设不成立．所以数列1234c c c c ，，，不能为等比数列．……16分20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f x b x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <． 解：（1）由题意，()1cos 0f x a x '=-≥对x ∈R 恒成立，因为0a >，所以1cos x a≥对x ∈R 恒成立，因为()max cos 1x =，所以11a ≥，从而01a <≤．……3分（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b g x x x'=-+．若0b <，则存在02b ->，使()()11cos 0222b b g '-=---<，不合题意，所以0b >．……5分 取30ebx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．所以存在00x >，使()00g x <．……8分 ②依题意，不妨设120x x <<，令21x t =，则1t >． 由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-． 从而2121sin sin x x x x ->-．……10分因为()()12g x g x =，所以11122211sin ln 1sin ln 1x x b x x x b x -++=-++，所以()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-．所以212120x x b -->>．……12分下面证明211221x x x x ->1t t ->()1ln 0t t t-<*．设()()1ln 1t h t t t t-=>，所以()2102t h t t t-'=<在()1+∞，恒成立．所以()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证．所以122b x x ->2124x x b <．……16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=． 证明：延长AO 交⊙O 于点E ，则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-．……5分因为OE OA =，所以()()22DB DC OA OD OA OD OA OD ⋅=+⋅-=-． 所以22DB DC OD OA ⋅+=．……10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变换1T ，2T 对应的矩 阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积．ABDC（第21—A 题）EO解：依题意，依次实施变换1T ，2T 所对应的矩阵=NM 201020010202⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．……5分则20000200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20360200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20240224⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 所以(00)(30)(22)A B C ，，，，，分别变为点(00)(60)(44)A B C '''，，，，，． 从而所得图形的面积为164122⨯⨯=．……10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ．则点P 的直角坐标为()13，．……2分将直线l ：()sin 23ρθπ-=的方程变形为：sin cos cos sin 2ρθρθππ-=，340x y -+=．……5分 所以()13P ，到直线l 340x y -+=()()224231=+-．故所求圆的普通方程为()(22134x y -+=．……8分化为极坐标方程得，()π4sin 6ρθ=+．……10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=()122a c c a b-++．证明：因为a ，b ，c 为正实数， ()()12322a c a b cc a b c a b-+++=++2a cbc +++=2=（当且仅当a b c ==取“=”）．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X 元． （1）求概率()600P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．解：（1）从3⨯3表格中随机不重复地点击3格，共有39C 种不同情形． 则事件：“600X =”包含两类情形： 第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含34C 种情形，第二类包含111144C C C ⋅⋅种情形． 所以()3111414439C C C C 560021C P X +⋅⋅===．……3分 （2）X 的所有可能值为300，400，500，600，700．则()3439C 41300C P X ====，()121439C C 242400C P X ⋅====， ()1212144439C C C C 3055008414C P X ⋅+⋅====，()121439C C 637008442C P X ⋅====． 所以X 的概率分布列为：X 300 400 500 600 700 P12127514 521 342……8分所以()12553300400500600700500217142142E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． ……10分23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除． 解：由二项式定理，得21C i i n a +=（i =0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=；…… 2分（2）因为()()()()()12121!1C 11!!n kn n n k n k n k n k ++++++=++⋅++-()()()()212!!!n n n k n k +⋅=+-()221C n kn n +=+， …… 4分所以()021nn n k k T k a -==+∑()21021C nn kn k k -+==+∑ ()121021C nn k n k k +++==+∑ ()()12102121C nn k n k n k n +++==++-+⎡⎤⎣⎦∑ ()()112121021C21C nnn kn kn n k k n k n ++++++===++-+∑∑()()12210221C21C nnn kn knn k k n n ++++===+-+∑∑()()()2212112212C 21222n n n n n n +=+⋅⋅+-+⋅⋅ ()221C n n n =+． …… 8分()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+． 因为21C n n *-∈N ，所以n T 能被42n +整除．…… 10分。
高考南通市数学学科基地密卷
高考南通市数学学科基地密卷LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08-（第3题）2018年高考模拟试卷（9）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A ∩B ={4}，则x 的值为 ▲ ． 2． 若复数z 1＝2+i ，z 1·z2()2z ＝5，则z 2＝ ▲ ．3． 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．4． 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为 ▲ ．5． 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为元，随机分配成5份，金额分别为元，元，元， 元，元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为 ▲ ．6． 函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．（第4题）7． 已知P -ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO＝30°，则三棱锥的体积为 ▲ ．8． 已知双曲线2214y x -=的左、右顶点为A 、B ，焦点在y 轴上的椭圆以A 、B为顶点，且离心率为2，过A 作斜率为k 的直线l 交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，若AN NM =，则k 的值为 ▲ ．9． 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )12-，若()6f α=，则cos(2)4πα-的值为 ▲ ．10．已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++1121n n n a a a a a --++++++（2,n n *∈N ≥），若(28)2018m m a b +-=，则m的值为 ▲ ．11．定义在[]1,1-上的函数()sin (1)f x x ax b a =-+>的值恒非负，则a b -的最大值 为 ▲ ． 12．在△ABC 中，若352115CA AB AB BC BC CA==⋅⋅⋅，则cos C 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：221x y +=，直线:l 30x ay +-=，过直线l 上一点Q 作圆O 的切线，切点为,P N ，且23QP QN ⋅=，则正实数a 的取值范围是 ▲ ．14．已知偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且在[]2,0x ∈-时，2()1f x x =-+，若存在12n x x x ，，，满足120n x x x <<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12017n n f x f x -+-=，则n x 最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ϕϕ=+><<π的最小值是－2，其图象经过 点(,1)3M π． （1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2αβπ∈，且8()5f α=，24()13f β=，求()f αβ-的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，90BAD ∠=︒，AD BC ∥，2AD BC =，AB PA ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PD 的中点，求证：CE ∥平面（第16题）17．（本小题满分14分）有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O百米的D 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(18．（本小题满分16分）如图，点128n n a a +=+，{}n b ，n S 分别为椭圆2214+25n n n b b S ++=的左、右顶点和右焦点，过点n *∈N 的直线{}n a （异于{}n b 轴）交椭圆C 于点{}n b ，n n n c a b =+．（1）若3AF =，点4r s t ，，与椭圆C 左准线的距离为5，求椭圆C 的方程；（2）已知直线()r s t <<的斜率是直线r s t ，，斜率的()()f m x f x +<倍． ① 求椭圆C 的离心率；② 若椭圆C 的焦距为()()f m x f x +<，求△AMN 面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x x x ax =+．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线过点(22)A -，．① 求实数a 的值；② 设函数()()f x g x x =，当0s >时，试比较()g s 与1(g s的大小； （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），求证：11()2f x >-．20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为n S ，我们称满足条件“对任意的*m n ∈N ，，均有()()()n m n m n m S n m S S +-=+-”的数列{}n a 为“好”数列．（1）试分别判断数列{}n a ，{}n b 是否为“好”数列，其中21n a n =-，12n n b -=，*n ∈N ，并给出证明；（2）已知数列{}n c 为“好”数列．① 若20172018c =，求数列{}n c 的通项公式；② 若1c p =，且对任意给定正整数p s ，（1s >），有1s t c c c ，，成等比数列，求证：2t s ≥．2018年高考模拟试卷（9）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．区域内作答．．．．．．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，BD 是⊙O 的切线，连接AD 交⊙O 于E ，若BD ∥CE ，AB 交CE 于M ，求证：2AB AE AD =⋅DA（第21-B ．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90︒，得到点B ．若点B 的坐标为(34)-，，求点A 的坐标．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），若直线l与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知正数,,a b c 满足2362a b c ++=，求321a b c++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域．．．．．．．内．作答．22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等边三角形，延长1BB 至M ，使11BB B M =，连接11,,A M AC CM ，若190MA C ︒∠=． （1）求直线1C M 与平面1CA M 所成角的正弦值； （2）求平面1CA M 与平面11AAC C 所成的锐二面角．23．（本小题满分10分）（1）求证：11()k k n k n k kC n k C ----=-；（2）求证：100820170(1)120172017n nnn C n-=-=-∑． 2018年高考模拟试卷（9）参考答案数学Ⅰ一、 填空题： 1．【答案】4【解析】因为A ∩B ={4}，所以4∈A ，故x ＝4． 2．【答案】2+i【解析由z 1·－z 2＝5，得－z 2＝52+i ＝2－i ，所以z 1＝2+i ． 3．【答案】50MC 1B 1A 1CBA（第22【解析】三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=． 4．【答案】30【解析】3A =，1N =，输出3；6A =，2N =，输出6；30A =，3N =，输出30；则这列数中的第3个数是30． 5．【答案】15【解析】两名同学抢红包的事件如下：（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，），共10种可能，其中金额不低于5元的事件有（，）（，），共2种可能，所以不低于5元的概率21105P ==． 6．【答案】(],2-∞【解析】因为(]2232(1)40,4x x x --=-++∈，所以(]22log (32),2x x --∈-∞，即值域为(],2-∞．7934【解析】设球的半径为R ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，则由球的表面积为16π， 可知4πR 2＝16π，所以R ＝2.设△ABC 的边长为2a ， 因为∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，OB ＝OP ＝2， 所以BO ′＝32R ＝3，OO ′＝OB 2－BO ′2＝1， PO ′＝OO ′＋OP ＝3.在△ABC 中，O ′B ＝23×32×2a ＝3，所以a ＝32，所以三棱锥P ABC 的体积为V ＝13×12×32×sin60°×39348．【答案】2300(,)N x y ，则由AN NM =得00(21,2)M x y +．因为点M 在双曲线上，点N 在椭圆上，所以220014x y +=，2200(21)414x y +-=，解得，001,2x y ==l 的斜率k =．9．【答案】13解析一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为()f α=，所以1sin(2)43πα+=，所以1cos(2)cos (2)sin(2)42443ππππ⎡⎤-α=-α+=α+=⎢⎥⎣⎦。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
甲 乙 8 9 79 01398 210 （第5题）2018年高考模拟试卷（2）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合A ={1，4}，B ={|13x x ≤≤}，则A ∩B = ▲ ． 2． 设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ． 3．函数的y =定义域为 ▲ ．4． 阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为 ▲ ．5． 如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 ▲ ．6． 将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，则()2g π的值为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214y x -=的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 ▲ ．s ←0t ←1For I From 1 To 3 s ←s +I t ←t ⨯I End For r ←s ⨯t Print r（第4题）9． 若()πtan 34x +=-，则sin 2cos 3sin 4cos x xx x++的值为 ▲ ． 10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f (x +4)= f (x )+ f (2)，f (1)= 4，则f (3)+ f (10)的值为 ▲ ．11．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:3450l x y -+=与圆22:100C x y x +-=交于A ，B 两点，P 为x 轴上一动点，则△ABP 周长的最小值为 ▲ ．13．已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+-⎪=⎨++<-⎪⎩≥，，，．记{|()0}A x f x ==，若(2)A -∞≠∅I ，，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．若△ABC 中，AB，BC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．CADB（第15题）h 1rh 2（第17题）45° 16．（本小题满分14分）在正四棱锥V ABCD -中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：平面VBD ⊥平面BEF ．17．(本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为90πcm 3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥的底面半径都为r cm ．圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为o45；圆柱的高为 h 2 cm ．已知圆柱底面的造价为2a 元/cm2，圆柱侧面造价为a 元/cm 2，圆锥侧面造价a 元/cm 2．（1）将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)y x ab a b+=>>，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，ACBD（第16题）VE F直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，AD DP λ=u u u r u u u r，AE EQ μ=u u u r u u u r （λμ，为非零实数），求22λμ+的值．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=（*n ∈N ）． （1）求证：数列{}n a 为等比数列； （2）若数列{}n b 满足：11b =，1112nn n b b a ++=+． ① 求数列{}n b 的通项公式；② 是否存在正整数n ，使得14ni i b n ==-∑成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数*()ln k f x x x k =∈N ，，()1g x cx c =-∈R ，． （1）当1k =时，①若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求c 的值；②若曲线()y f x =与直线()y g x =有公共点，求c 的取值范围．（2）当2k ≥时，不等式2()()f x ax bx g x +≥≥对于任意正实数x 恒成立，当c 取得最大值时，求a ，b 的值．（第18题）2018年高考模拟试卷（2）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E ，F ．M ，N 为AB ，CD 上两点，EM ＝EN ，点F 在MN 的延长线上．求证：∠BFM ＝∠AFM ．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A B C D ''''，其中 (11)A ，，(11)B -，，(11)C --，，(33)A '，，(11)B '-，，(11)D '-，． （1）求矩阵M ； （2）求向量DC 'u u u u r的坐标．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x >0，y >0，z >0，221x y z ++=，求证：135xy yz zx ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同 学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知函数2()1f x x x =-+，记1()()f x f x =，当12()(())n n n f x f f x -=≥时，． （1）求证：2()f x 在(1)+∞，上为增函数；（2）对于任意*N n ∈，判断()n f x 在(1)+∞，上的单调性，并证明．2018年高考模拟试卷（2）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． {1}【解析】依题意，A ∩B ={1}2． 34i -【解析】由于2(2i)34i z =+=+，所以z 的共轭复数为34i -． 3． (]0,8【解析】由23log 0x -≥，解得08x <≤．4． 36【解析】1236s =++=，1236t =⨯⨯=，输出的结果6636r =⨯=． 5． 2【解析】由茎叶图可知，8889909192905x ++++==，所以甲的方差为52211()25i i s x x ==-=∑；同理乙的方差为4，所以比较稳定的是甲．6． 49【解析】所有等可能的基本事件总数为339⨯=种，“黑白两球均不在1号盒子”有224⨯=种，所以概率为49．7． 12-【解析】()()cos 23g x x π=-，所以()1()cos 232g ππ=π-=-．8． 45【解析】一条渐近线2y x =与右准线x的交点为，其到另一条渐近线2y x =-的距离为45．9． 25【解析】由()ππ31tan tan 2441(3)x x --⎡⎤=+-==⎢⎥+-⎣⎦，得sin 2cos tan 223sin 4cos 3tan 45x x x x x x ++==++．10． 4【解析】令f (x +4)= f (x )+ f (2)中x =-2，得f (2)= f (-2)+ f (2)，所以f (-2)=0， 又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2)=0，所以f (x +4)= f (x )， 所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (3)+ f (10)= f (-1) + f (2)= f (1)+0= 4．11． 34-，【解析】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-，所以222211a a a -=-，223321a a a -=-，…，221313121a a a -=-， 将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-， 又21313S a =，所以211120a a --=，获解．12． 14【解析】设直线l 与圆C 的一个交点B （5，5）关于x对称点为B '，易知B B '恰为圆C 的直径，记A B '与x 轴 交于点Q ，则PA PB PA PB AB ''+=+≥，所以△ABP 的周长的最小值为AB AB '+，易求得结果为14. 13． (14⎤-∞⎦，在(2)-∞，所以方程2|x x =所以函数()g x =注意到函数(h x 14．设()D x y ，，所以(11)AB =--，(71)AC =-，(AD x =， 所以()()()(7)4AB AD AC AD x y x y ⋅⋅⋅=---=u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()(7)4x y y x +-=，令7x y m y x n +=⎧⎨-=⎩，则1()81(7)8x m n y m n ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，所以mn =4， 所以AD == 当且仅当5m =n =±AD ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，（第14题） CADB（第15题）所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分 所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．（本小题满分14分）（1）因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF ∥AC ， …… 3分 又因为EF ABCD ⊄平面，AC ABCD ⊂平面，所以EF ∥平面ABCD ． …… 6分（2）连结AC ，BD 交于点O ，连结VO ．因为V ABCD -为正四棱锥，所以VO ABCD ⊥平面．又AC ABCD ⊂平面，所以VO AC ⊥．…… 8分 又因为BD AC ⊥，EF ∥AC ，所以EF ⊥VO ，EF ⊥BD ． …… 10分 又VO BD VBD ⊂，平面，=VO BD O ∩，所以EF VBD ⊥平面， …… 12分又EF BEF ⊂平面，所以平面VBD ⊥平面BEF ．…… 14分ACBD（第16题）VE FO17．（本小题满分14分）（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为o45，所以1h r=，圆锥的体积为231111ππ33V r h r==，圆柱的体积为222πV r h=．……2分因为1290πV V+=，所以23221π90ππ3V r h r==-，所以32222709033r rhr r-==-．……4分因为311π90π3V r=<，所以r<0r<<．所以32222709033r rhr r-==-，定义域为{|0r r<<．……6分（2）圆锥的侧面积21πS r r==，圆柱的侧面积222πS rh=，底面积23πS r=．……8分容器总造价为1232y aS aS=++2222π2π2πr a rh a r a=++2222π()a r rh r=++()22902π23ra r rr⎡⎤=+-⎣⎦()210π543a rr=+．……10分令254()f r rr=+，则254()2f r rr'=-．令()0f r'=，得3r=．当03r<<时，()0f r'<，()f r在(0 3)，上为单调减函数；当3r<<()0f r'>，()f r在(3上为单调增函数．因此，当且仅当3r=时，()f r有最小值，y有最小值90πa元．……13分所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm．……14分18．（本小题满分16分）（1）解：因为短轴长2b=2，所以b=1，……2分又离心率caa=，……4分所以222222()a c a b==-，所以22a=，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…… 6分（2）由（1），点A (0)，设1100()()P x y D x y ，，，，则111020y k x y k x ==，，因为AD DP λ=u u u r u u u r，所以010010()()x x x y y y λλ⎧+-⎪⎨=-⎪⎩L L L L ①②， …… 8分由①得，011+x x λλ= 由②得，101+y y λλ=，所以1120211+(k x k x k x λλ==， …… 11分两边同时乘以k 1得，21112111((2k x k k x x ==-，所以11x =，11y =， 代入椭圆的方程得，221112k λ=+， …… 14分 同理可得，()22122221121112121122k k k k μ===+++-， 所以221λμ+=． …… 16分19．（本小题满分16分）（1）解：由121n n S S +-=，得121n n S S --=（2n ≥）， 两式相减，得120n n a a +-=，即12n na a +=（2n ≥）． …… 2分 因为11a =，由121()21a a a +-=，得22a =，所以212a a =， 所以12n na a +=对任意*n ∈N 都成立， 所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为2． ……4分 （2）① 由（1）知，12n n a -=，由1112n n n b b a ++=+，得1122n n nbb +=+， …… 6分 即11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=， 因为11b =，所以数列{}12n n b -是首项为1，公差为1的等差数列． …… 8分 所以121(1)1n n b n n -=+-⨯=，所以12n n n b -=． …… 10分 ② 设1nn i i T b ==∑，则012111111()2()3()()2222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ，所以123111111()2()3()()22222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯L ，两式相减，得0121111111()()()()()222222n n n T n -=++++-⨯L 11()12()1212nn n -=-⨯-12(2)()2n n =-+⨯， 所以14(24)()2n n T n =-+⨯． …… 12分由14ni i b n ==-∑，得14(24)()42n n n -+⨯=-，即122n n n -+=．显然当2n =时，上式成立，设12()2n n f n n-+=-（*n ∈N ），即(2)0f =．因为11322(1)()(2)(2)201(1)n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤+++-=---=-+<⎢⎥++⎣⎦，所以数列{}()f n 单调递减， 所以()0f n =只有唯一解2n =，所以存在唯一正整数2n =，使得14ni i b n ==-∑成立． …… 16分20．（本小题满分16分）（1）解：当1k =时，()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+．①设切点为00()P x y ，，则0000001ln ln 1x c y x x y cx +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩①②③…… 2分由②③得，0001ln cx x x -=④由①得0ln 1x c =-代入④得，001(1)cx x c -=-所以011x c ==，． …… 4分 ②由题意，得方程ln 1x x cx =-有正实数根，即方程1ln 0x c x+-=有正实数根，记1()ln h x x c x =+-，令22111()x h x x x x-'=-=， 当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>； 所以()h x 在(01)，上为减函数，在(1)∞，+上为增函数；所以min ()(1)1h x h c ==-． …… 6分 若1c <，则()(1)10h x h c =->≥，不合； 若1c =，由①知适合；若1c >，则(1)10h c =-<，又11(e )0e e c c ch c c =+-=>， 所以(1)(e )0c h h ⋅<，由零点存在性定理知()h x 在(1e )(0)c ⊆+∞，，上必有零点． 综上，c 的取值范围为[1)∞，+． …… 9分（2）由题意得，当2k ≥时，ln 1k x x cx -≥对于任意正实数x 恒成立， 所以当2k ≥时，11ln k c x x x -+≤对于任意正实数x 恒成立，由（1）知，1ln 1x x+≥，两边同时乘以x 得，ln 1x x x +≥①， 两边同时加上1x得，11ln 12x x x x x +++≥≥②，所以1ln 1x x x +≥（*），当且仅当1x =时取等号．对（*）式重复以上步骤①②可得，21ln 1x x x +≥，进而可得，31ln 1x x x +≥，41ln 1x x x+≥，……，所以当2k ≥，*N k ∈时，11ln 1k x x x -+≥，当且仅当1x =时取等号．所以1c ≤． …… 12分 当c 取最大值1时，2ln 1k x x ax bx x +-≥≥对于任意正实数x 恒成立， 令上式中1x =得， 00a b +≥≥，所以0a b +=， 所以21ax ax x --≥对于任意正实数x 恒成立， 即2(1)10ax a x -++≥对于任意正实数x 恒成立， 所以0a >，所以函数2(1)1y ax a x =-++的对称轴102a x a+=>， 所以2(1)40a a ∆=+-≤，即2(1)0a -≤，所以1a =，1b =-． …… 14分 又由21ln 1k x x x -+≥，两边同乘以x 2得，2ln k x x x x +≥，所以当1a =，1b =-时，2ln k x x ax bx +≥也恒成立，综上，得1a =，1b =-． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：因为EM ＝EN ，所以∠EMN ＝∠ENM ， …… 3分 因为ABCD 为圆内接四边形，所以∠FCN ＝∠A ，…… 6分 又因为∠EMN ＝∠AFM ＋∠A ，∠ENM ＝∠BFM ＋∠FCN ，所以∠AFM ＝∠BFM ． …… 10分B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） （1）解：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则有13111311a b a b c d c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，， …… 2分 故3311a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩ 解得2112a b c d ====，，，，所以2112M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…… 5分 （2）由21131213--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，知(33)C '--，， 易求12133=1233M -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， …… 7分 由211133121133⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，得(11)D -，， 所以=(42)DC '--u u u u r ，． …… 10分C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3 (t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，…… 2分圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． …… 5分 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝12＝． …… 7分 又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝14． …… 10分D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：因为222151(22)5(3)()(2)044x y z xy yz zx x y x y z ++-++=-++-≥，…… 5分所以2(22)5(3)x y z xy yz zx ++++≥， 又因为221x y z ++=，所以135xy yz zx ++≤． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）（1）解：记“该同学获得i 个一等奖”为事件i A ，01i =，， 则()021111(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=，()31213212115(1)(1)(1)3232224P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为()()0115124244P A P A +=+=． …… 4分（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===，()12223321121132(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，()2233332112173()(1)(1)()3223224P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=，()32114()3212P X ==⨯=， 所以X 的概率分布为故()15972130123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …… 10分23．（本小题满分10分）（1）证明：因为22()(())(1)f x f f x f x x ==-+，所以22()(21)(1)f x x f x x ''=--+， 因为1x >，所以210x ->，211x x -+>，所以22(1)2(1)10f x x x x '-+=-+->，所以2()0f x '>，所以2()f x 在(1)+∞，上为增函数． …… 4分（2）结论：对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．证明：①当n =1时，结论显然成立；②假设当n =k 时结论也成立，即()k f x 在(1)+∞，上为增函数， 所以当1x >时，()0k f x '>在(1)+∞，上恒成立． 当n =k +1时，21()(())(1)k k k f x f f x f x x +==-+， 所以21()(21)(1)k k f x x f x x +''=--+ 又当1x >时，210x ->，211x x -+>，所以2(1)0k f x x '-+>在(1)+∞，上恒成立，所以21()(21)(1)0k k f x x f x x +''=--+>在(1)+∞，上恒成立， 所以1()k f x +在(1)+∞，上为增函数．由①②得证，对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．…… 10分。