高考数学一轮复习第三章导数及其应用第四节定积分与微积分基本定理课后作业理(2)

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高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.4 定积分与微积分基本定理真题演练集训理新人教A版(

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本定理真题演练集训理新人教A版1．[2014·陕西卷］定积分错误!(2x＋e x）d x的值为( )A．e＋2 B．e＋1C．e D．e－1答案：C解析：错误!(2x＋e x)d x＝(x2＋e x）错误!错误!＝（1＋e）－（0＋e0）＝e，故选C。

2．[2014·山东卷]直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（) A．2错误!B．4错误!C．2 D．4答案：D解析：由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2（舍去),根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为错误!(4x－x3）d x＝错误!错误!错误!＝4.3．[2015·天津卷］曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．答案：错误!解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由错误!得A（1,1）．故所求面积为S＝错误!(x－x2)d x＝错误!｜错误!＝错误!。

4．[2015·湖南卷］错误!(x－1）d x＝________.答案：0解析：错误!(x－1）d x＝错误!错误!错误!＝(2－2)－0＝0。

5．［2015·陕西卷］如图,一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．答案:1.2解析：建立如图所示的平面直角坐标系．由抛物线过点(0,－2），(－5，0），（5，0)，得抛物线的函数表达式为y＝225x2－2，抛物线与x轴围成的面积S1＝错误!－5错误!d x＝错误!，梯形面积S2＝错误!＝16。

北师大版版高考数学一轮复习第三章导数及其应用定积分与微积分基本定理教学案理

一、知识梳理１．定积分的概念在错误!f（x）d x中，a，b分别叫作积分下限与积分上限，区间[a，b]叫作积分区间，f（x）叫作被积函数，x叫作积分变量，f（x）d x叫作被积式．２．定积分的性质（１）错误!kf（x）d x＝k错误!f（x）d x（k为常数）；（２）错误![f１（x）±f２（x）]d x＝错误!f１（x）d x±错误!f２（x）d x；（３）错误!f（x）d x＝错误!f（x）d x＋错误!f（x）d x（其中a<c<b）．３．微积分基本定理一般地，如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，且F′（x）＝f（x），那么错误!f（x）d x＝F（b）—F（a），这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼茨公式．其中F（x）叫作f（x）的一个原函数．为了方便，常把F（b）—F（a）记作F（x）错误!，即错误!f（x）d x＝F（x）错误!＝F（b）—F （a）．常用结论１．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．２．若函数f（x）在闭区间[—a，a]上连续，则有（１）若f（x）为偶函数，则错误!f（x）d x＝２错误!f（x）d x.（２）若f（x）为奇函数，则错误!f（x）d x＝0．二、教材衍化１．设f（x）＝错误!则错误!f（x）d x的值是（）Ａ．错误!x２d xＢ．错误!２x d xＣ．错误!x２d x＋错误!２x d xＤ．错误!２x d x＋错误!x２d x解析：选Ｄ．由分段函数的定义及定积分运算性质，得错误!f（x）d x＝错误!２x d x＋错误!x２d x.故选Ｄ．２．错误!错误!d x＝________．解析：错误!错误!d x＝ln（x—１）|错误!＝ln e—ln １＝１．答案：１３．若错误!（sin x—a cos x）d x＝２，则实数a等于________．解析：由题意知（—cos x—a sin x）错误!＝１—a＝２，a＝—１．答案：—１４．汽车以v＝（３t＋２）m/s作变速直线运动时，在第１s至第２s间的１s内经过的位移是________m.解析：s＝错误!（３t＋２）d t＝错误!错误!１＝错误!×４＋４—错误!＝１0—错误!＝错误!（m）．答案：错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）设函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，则错误!f（x）d x＝错误!f（t）d t.（）（２）若f（x）是偶函数，则错误!f（x）d x＝２错误!f（x）d x.（）（３）若f（x）是奇函数，则错误!f（x）d x＝0．（）（４）曲线y＝x２与直线y＝x所围成的区域面积是错误!（x２—x）d x.（）答案：（１）√（２）√（３）√（４）×二、易错纠偏错误!错误!（１）误解积分变量致误；（２）不会利用定积分的几何意义求定积分；（３）f（x），g（x）的图象与直线x＝a，x＝b所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错．１．定积分错误!（t２＋１）d x＝________．解析：错误!（t２＋１）d x＝（t２＋１）x|错误!＝２（t２＋１）＋（t２＋１）＝３t２＋３．答案：３t２＋３２．错误!错误!d x＝________解析：错误!错误!d x表示以原点为圆心，错误!为半径的错误!圆的面积，故错误!错误!d x＝错误!π×（错误!）２＝错误!.答案：错误!３．如图，函数y＝—x２＋２x＋１与y＝１相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是________．解析：由错误!得x１＝0，x２＝２．所以S＝错误!（—x２＋２x＋１—１）d x＝错误!（—x２＋２x）d x＝错误!错误!＝—错误!＋４＝错误!.答案：错误![学生用书P５３]定积分的计算（多维探究）角度一利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!cos x d x；（３）错误!错误!d x.【解】（１）因为（ln x）′＝错误!，所以错误!错误!d x＝２错误!错误!d x＝２ln x错误!＝２（ln ２—ln １）＝２ln ２．（２）因为（sin x）′＝cos x，所以错误!cos x d x＝sin x错误!＝sin π—sin 0＝0．（３）因为（x２）′＝２x，错误!′＝—错误!，所以错误!错误!d x＝错误!２x d x＋错误!错误!d x＝x２错误!＋错误!错误!＝错误!.角度二利用定积分的几何意义求定积分计算下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!（３x３＋４sin x）d x.【解】（１）根据定积分的几何意义，可知错误!错误!d x表示的是圆（x—１）２＋y２＝１的面积的错误!（如图中阴影部分）．故错误!错误!d x＝错误!.（２）设y＝f（x）＝３x３＋４sin x，则f（—x）＝３（—x）３＋４sin（—x）＝—（３x３＋４sin x）＝—f（x），所以f（x）＝３x３＋４sin x在[—５，５]上是奇函数．所以错误!（３x３＋４sin x）d x＝—错误!（３x３＋４sin x）d x.所以错误!（３x３＋４sin x）d x＝错误!（３x３＋４sin x）d x＋错误!（３x３＋４sin x）d x＝0．错误!计算定积分的解题步骤（１）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．（２）把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．（３）分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．（４）利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[提醒] 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分．１．错误!e|x|d x的值为（）Ａ．２Ｂ．２eＣ．２e—２Ｄ．２e＋２解析：选Ｃ．错误!e|x|d x＝错误!e—x d x＋错误!e x d x＝—e—x错误!＋e x错误!＝[—e0—（—e）]＋（e—e0）＝—１＋e＋e—１＝２e—２，故选Ｃ．２．错误!错误!d x＝________．解析：错误!错误!d x＝错误!错误!d x＋错误!错误!x d x，错误!错误!x d x＝错误!，错误!错误!d x表示四分之一单位圆的面积，为错误!，所以结果是错误!.答案：错误!利用定积分求平面图形的面积（师生共研）（一题多解）求由抛物线y２＝２x与直线y＝x—４围成的平面图形的面积．【解】如图所示，解方程组错误!得两交点的坐标分别为（２，—２），（8，４）．法一：选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和，即S＝２错误!错误!d x＋错误!（错误!—x＋４）d x＝１8．法二：选取纵坐标y为积分变量，则图中阴影部分的面积S＝错误!错误!d y＝１8．错误!设阴影部分的面积为S，则对如图所示的四种情况分别有：（１）S＝错误!f（x）d x.（２）S＝—错误!f（x）d x.（３）S＝错误!f（x）d x—错误!f（x）d x.（４）S＝错误!f（x）d x—错误!g（x）d x＝错误![f（x）—g（x）]d x.１．已知曲线C：y＝x２＋２x在点（0，0）处的切线为l，则由C，l以及直线x＝１围成的区域的面积等于________．解析：因为y′＝２x＋２，所以曲线C：y＝x２＋２x在点（0，0）处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝２，所以切线方程为y＝２x，所以由C，l以及直线x＝１围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S＝错误!（x ２＋２x—２x）d x＝错误!x２d x＝错误!错误!＝错误!.答案：错误!２．已知函数f（x）＝—x３＋ax２＋bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为错误!，则a的值为________．解析：f′（x）＝—３x２＋２ax＋b，因为f′（0）＝0，所以b＝0，所以f（x）＝—x３＋ax２，令f （x）＝0，得x＝0或x＝a（a＜0）．S阴影＝—错误!（—x３＋ax２）d x＝错误!a４＝错误!，所以a＝—１．答案：—１定积分在物理中的应用（师生共研）（１）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7—３t＋错误!（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）Ａ．１＋２５ln ５B．8＋２５ln 错误!Ｃ．４＋２５ln ５D．４＋５0ln ２（２）一物体在力F（x）＝错误!（单位：N）的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝４（单位：m）处，则力F（x）做的功为________J.【解析】（１）令v（t）＝0得，３t２—４t—３２＝0，解得t＝４错误!.汽车的刹车距离是错误!错误!d t＝[7t—错误!t２＋２５ln（t＋１）]错误!＝４＋２５ln ５．（２）由题意知，力F（x）所做的功为W＝错误!F（x）d x＝错误!５d x＋错误!（３x＋４）d x＝５×２＋错误!错误!＝１0＋错误!＝３6（J）．【答案】（１）C （２）３6错误!定积分在物理中的两个应用（１）求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v（t），那么从时刻t＝a 到t＝b所经过的路程s＝错误!v（t）d t.（２）变力做功，一物体在变力F（x）的作用下，沿着与F（x）相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F（x）所做的功是W＝错误!F（x）d x.１．物体A以v＝３t２＋１（m/s）的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方５m处，同时以v＝１0t（m/s）的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t （s）为（）Ａ．３B．４Ｃ．５D．6解析：选Ｃ．因为物体A在t秒内行驶的路程为错误!（３t２＋１）d t，物体B在t秒内行驶的路程为错误!１0t d t，因为（t３＋t—５t２）′＝３t２＋１—１0t，所以错误!（３t２＋１—１0t）d t＝（t３＋t—５t２）错误!＝t３＋t—５t２＝５，整理得（t—５）（t２＋１）＝0，解得t＝５．２．设变力F（x）作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝１运动到x＝１0，已知F（x）＝x２＋１且方向和x轴正向相同，则变力F（x）对质点M所做的功为________J（x的单位：m；力的单位：N）．解析：变力F（x）＝x２＋１使质点M沿x轴正向从x＝１运动到x＝１0所做的功为W＝错误!F（x）d x＝错误!（x２＋１）d x，因为错误!′＝x２＋１，所以原式＝３４２（J）．答案：３４２[学生用书P２7４（单独成册）][基础题组练]１．定积分错误!（３x＋e x）d x的值为（）Ａ．e＋１Ｂ．eＣ．e—错误!Ｄ．e＋错误!解析：选Ｄ．错误!（３x＋e x）d x＝错误!错误!＝错误!＋e—１＝错误!＋e.２．若f（x）＝错误!f（f（１））＝１，则a的值为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．—１Ｄ．—２解析：选Ａ．因为f（１）＝lg １＝0，f（0）＝错误!３t２d t＝t３错误!＝a３，所以由f（f（１））＝１得a３＝１，所以a＝１．３．若f（x）＝x２＋２错误!f（x）d x，则错误!f（x）d x＝（）Ａ．—１Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．１解析：选Ｂ．因为f（x）＝x２＋２错误!f（x）d x，所以错误!f（x）d x＝错误!|错误!＝错误!＋２错误!f（x）d x，所以错误!f（x）d x＝—错误!.４．设f（x）＝错误!则错误!f（x）d x的值为（）Ａ．错误!＋错误!Ｂ．错误!＋３Ｃ．错误!＋错误!Ｄ．错误!＋３解析：选Ａ．错误!f（x）d x＝错误!错误!d x＋错误!（x２—１）d x＝错误!π×１２＋错误!错误!＝错误!＋错误!，故选Ａ．５．由曲线y＝x２和曲线y＝错误!围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由错误!解得错误!或错误!所以阴影部分的面积为错误!（错误!—x２）d x＝错误!.故选Ａ．6．定积分错误!（x２＋sin x）d x＝________．解析：错误!（x２＋sin x）d x＝错误!x２d x＋错误!sin x d x＝２错误!x２d x＝２·错误!错误!＝错误!.答案：错误!7．错误!（x２tan x＋x３＋１）d x＝________．解析：因为x２tan x＋x３是奇函数．所以错误!（x２tan x＋x３＋１）d x＝错误!１d x＝x|错误!＝２．答案：２8．一物体受到与它运动方向相反的力：F（x）＝错误!e x＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝１时F （x）所做的功等于________．解析：由题意知W＝—错误!错误!d x＝—错误!错误!＝—错误!—错误!.答案：—错误!—错误!9．求下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!（cos x＋e x）d x.解：（１）错误!错误!d x＝错误!x d x—错误!x２d x＋错误!错误!d x＝错误!错误!—错误!错误!＋ln x错误!＝错误!—错误!＋ln ２＝ln ２—错误!.（２）错误!（cos x＋e x）d x＝错误!cos x d x＋错误!e x d x＝sin x错误!＋e x错误!＝１—错误!.１0．已知函数f（x）＝x３—x２＋x＋１，求其在点（１，２）处的切线与函数g（x）＝x２围成的图形的面积．解：因为（１，２）为曲线f（x）＝x３—x２＋x＋１上的点，设过点（１，２）处的切线的斜率为k，则k＝f′（１）＝（３x２—２x＋１）|x＝１＝２，所以过点（１，２）处的切线方程为y—２＝２（x—１），即y＝２x.y＝２x与函数g（x）＝x２围成的图形如图中阴影部分所示，由错误!可得交点A（２，４），O（0，0），故y＝２x与函数g（x）＝x２围成的图形的面积S＝错误!（２x—x２）d x＝错误!错误!＝４—错误!＝错误!.[综合题组练]１．由曲线xy＝１，直线y＝x，x＝３所围成的封闭平面图形的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．４—ln ３Ｃ．４＋ln ３Ｄ．２—ln ３解析：选Ｂ．画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy＝１，直线y＝x，x＝３所围成的封闭的平面图形如图所示：由错误!得错误!或错误!由错误!得错误!故阴影部分的面积为错误!错误!d x＝错误!错误!＝４—ln ３．２．设函数f（x）＝ax２＋c（a≠0），若错误!f（x）d x＝f（x0），0≤x0≤１，则x0的值为________．解析：错误!f（x）d x＝错误!（ax２＋c）d x＝错误!错误!＝错误!a＋c＝f（x0）＝ax错误!＋c，所以x错误!＝错误!，x0＝±错误!.又因为0≤x0≤１，所以x0＝错误!.答案：错误!３．错误!（错误!＋e x—１）d x＝________．解析：错误!（错误!＋e x—１）d x＝错误!错误!d x＋错误!（e x—１）d x.因为错误!错误!d x表示单位圆的上半部分的面积，所以错误!错误!d x＝错误!.而错误!（e x—１）d x＝（e x—x）错误!＝（e１—１）—（e—１＋１）＝e—错误!—２，所以错误!（错误!＋e x—１）d x＝错误!＋e—错误!—２．答案：错误!＋e—错误!—２４．若函数f（x）在R上可导，f（x）＝x３＋x２f′（１），则错误!f（x）d x＝________．解析：因为f（x）＝x３＋x２f′（１），所以f′（x）＝３x２＋２xf′（１）．所以f′（１）＝３＋２f′（１），解得f′（１）＝—３．所以f（x）＝x３—３x２.故错误!f（x）d x＝错误!（x３—３x２）d x＝错误!错误!＝—４．答案：—４５．如图，在曲线C：y＝x２，x∈[0，１]上取点P（t，t２），过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x＝0，x＝１及直线l围成的图形包括两部分，面积分别记为S１，S２.当S１＝S２时，求t的值．解：根据题意，直线l的方程是y＝t２，且0＜t＜１．结合题图，得交点坐标分别是A（0，0），P（t，t２），B（１，１）．所以S１＝错误!（t２—x２）d x＝错误!错误!＝t３—错误!t３＝错误!t３，0＜t＜１．S２＝错误!（x２—t２）d x＝错误!错误!＝错误!—错误!＝错误!t３—t２＋错误!，0＜t＜１．由S１＝S２，得错误!t３＝错误!t３—t２＋错误!，所以t２＝错误!.又0＜t＜１，所以t＝错误!.所以当S１＝S２时，t＝错误!.。

高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理理

第三章导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理理1．定积分的概念在ʃb a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)；(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x；(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|b a，即ʃb a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则ʃa－a f(x)d x＝2ʃa0f(x)d x.(2)若f(x)为奇函数，则ʃa－a f(x)d x＝0.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.( √)(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃb a f(x)d x>0.( √)(3)若ʃb a f(x)d x<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．( ×)(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的．( ×)(5)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )1．(2017·福州质检)ʃ10(e x＋2x )d x 等于( ) A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1 答案 C解析 ʃ10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝e ＋1－1＝e.2．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4 答案 D解析如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点为A (2,8)，图中阴影部分即为所求图形面积．S 阴＝ʃ20(4x －x 3)d x＝(2x 2－14x 4)|20＝8－14×24＝4，故选D.3．(教材改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是( )A.132 m B ．6 m C.152 m D ．7 m 答案 A解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝(32t 2＋2t )|21＝32×4＋4－(32＋2) ＝10－72＝132(m)．4．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13T 3＝9，∴T ＝3.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ，e](e 为自然对数的底数)，则ʃe0f (x )d x 的值为________．答案 43解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11xd x＝13x 3|10＋ln x |e1＝13＋ln e ＝43.题型一定积分的计算例1 (1)(2016·九江模拟)若ʃ10(2x ＋λ)d x ＝2(λ∈R )，则λ等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－1 (2)定积分ʃ2－2|x 2－2x |d x 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 (1)B (2)D解析 (1)ʃ10(2x ＋λ)d x ＝(x 2＋λx )|10＝1＋λ＝2，所以λ＝1. (2)ʃ2－2|x 2－2x |d x＝ʃ0－2(x 2－2x )d x ＋ʃ20(2x －x 2)d x ＝(x 33－x 2)|0－2＋(x 2－x 33)|20 ＝83＋4＋4－83＝8. 思维升华运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．(1)若π20(sin cos )d 2x a x x ⎰－＝，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－ 3 D. 3(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D.67 答案 (1)A (2)C 解析 ππ220(1)(sin cos )d (cos sin )|x a x x x a x ⎰－＝－－＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2， ∴a ＝－1.(2)ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x ＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21 ＝13＋(4－12×4)－(2－12) ＝56. 题型二定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例2 (1)计算：ʃ313＋2x －x 2d x ＝________. (2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 答案 (1)π (2)－1解析 (1)由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积，∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π. (2)根据定积分的几何意义ʃm－2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1. 命题点2 求平面图形的面积例3 (2017·青岛月考)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为______．答案 4－ln 3解析由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(13，3)．由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)，由y ＝x ，y ＝3得交点坐标为(3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为1312311113311(3)d (3)d (3ln )|(3)|2x x x x x x x x -+-=-+-⎰⎰ ＝(3－1－ln 3)＋(9－92－3＋12)＝4－ln 3.思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分； (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(1)定积分ʃ39－x 2d x 的值为( ) A ．9π B ．3π C.94π D.92π (2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．答案 (1)C (2)163解析 (1)由定积分的几何意义知ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故ʃ39－x 2d x ＝π·324＝94π，故选C.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为ʃ1－1(2x 2＋4x ＋2)d x ＝(23x 3＋2x 2＋2x )|1－1＝(23×13＋2×12＋2×1)－[23×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝163. 题型三定积分在物理中的应用例4 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案 C解析令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t )d t ＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t )]|4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 思维升华定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃba v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃba F (x )d x .一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 J C.433 J D ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3×3221＝433，∴F (x )做的功为43 3 J.4．利用定积分求面积典例由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．错解展示解析所求面积S ＝ʃ20(x 2－1)d x ＝(13x 3－x )|20＝23.答案 23现场纠错解析如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1,0)．所以S ＝ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ＝(x －x 33)|1＋(x 33－x )|21＝(1－13)＋[83－2－(13－1)]＝2.答案 2纠错心得利用定积分求面积时要搞清楚定积分和面积的关系；定积分可正可负，而面积总为正．1．π220sin d 2xx ⎰等于( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14 D.π2－1 答案 B 解析ππ222001cos sin d d 22x x x x -=⎰⎰π2011π1(sin )|.2242x x =-=- 2．ʃ101－x 2d x 的值为( ) A.14 B.π4 C.12 D.π2 答案 B解析 ʃ11－x 2d x 的几何意义为以(0,0)为圆心，以1为半径的圆位于第一象限的部分，圆的面积为π，所以ʃ101－x 2 d x ＝π4. 3．(2016·南昌模拟)若ʃa1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 A解析由题意知ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2.4．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 A解析 ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x ＝(x －x 22)|10＋(x 22－x )|21＝(1－12)＋(222－2)－(12－1)＝1.5．由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8 答案 A解析 22333200228(()|,333m m S m x mx x m m ==-=-=⎰解得m ＝2.6．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73，S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x，y ＝e x与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3.7．π)d 4x x +=________.答案 2解析依题意得π)d 4x x +ππ220(sin cos )d (sin cos )|x x x x x =+=-⎰＝(sin π2－cos π2)－(sin 0－cos 0)＝2.8．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________．答案3解析所求面积ππ33ππ33cos d sin |S x x x --==⎰＝sin π3－(－sin π3)＝ 3.*9.(2016·湖北省重点中学高三阶段性统一考试)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则ʃ20f (x )d x ＝________.答案－4解析因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3. 所以f (x )＝x 3－3x 2.故ʃ2f (x )d x ＝ʃ20(x 3－3x 2)d x ＝(x 44－x 3)|20＝－4.10．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，则函数f (a )的最大值为________．答案 29解析 f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝－12a 2＋23a ，由二次函数的性质可得f (a )max ＝－232－12＝29. 11．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B(3，－1)．故所求面积S ＝ʃ10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x 32123201211()|(2)|363x x x x =++- ＝23＋16＋43＝136. 12．(2016·武汉模拟)如图，矩形OABC 的四个顶点依次为O (0，0)，A (π2，0)，B (π2，1)，C (0,1)，记线段OC ，CB 以及y ＝sin x (0≤x ≤π2)的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，求点M 落在区域Ω内的概率．解阴影部分的面积为π20π(1sin )d 1,2x x -=-⎰矩形的面积是π2×1＝π2，所以点M 落在区域Ω内的概率为π2－1π2＝1－2π. *13.已知函数y ＝F (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B (12，5)，C (1,0)，求函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积．解由题意，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12<x ≤1，则xF (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12<x ≤1，所以函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为11122323122101022101010d (1010)d |(5)|33x x x x x x x x +-+=+-⎰⎰ ＝103×18＋(5－103)－(54－103×18)＝54.。

第三章导数及其应用3-4定积分与微积分基本定理(理)

(4)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐的运算，是求定积分常用的方法． (5)定义法：用定义求定积分是最基本的求定积分方法．

[例1] 用定积分的定义求由y＝3x，x＝0，x ＝1，y＝0
[解析] (1)分割：把区间[0,1]等分成n个小区间
i－1 i 1 n ，n (i＝1,2，…，n)．其长度为Δx＝ n ，把曲边
2x
1 2 1 1－1|x|dx＝2 xdx＝2× x |0 ＝1；解析：(1) 2
1 0
1 1 3 1 －3 2 (2) x ＋x4dx＝ 3x －3x 1
2 1

2
8 1 1 1 21 ＝－－＋＝ . 3 3 3×8 3 8
＝(x
2
1 3 3 32 3 ＋3x)|－1 － x |－1 ＝ . 3 3
32 答案： 3

点评：利用定积分求平面图形的面积时，关键是将待求面积的平面图形看成可求积分的平面图形的和或差，还要注意待求面积的平面图形在y轴上方还是下方，以确定积分的正负．
由曲线y＝ x，y＝x2所围成图形的面积为____．
b a b a
n －1 i ＝0
分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．
对定义的几点说明：
b f(x)dx是一个常数． (1)定积分
a
(2)用定义求定积分的一般方法是： ①分割区间：将区间分为n个小区间，实际应用中常常是n等分区间[a，b]； ②近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
b－a ③求和： f(ξi)· ； n i＝1

近年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3定积分与微积分基本定理练习理(2021年整理)

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§3。

3 定积分与微积分基本定理考纲解读分析解读1。

了解微积分基本定理，会求函数的定积分。

2。

理解定积分的几何意义，会求曲边梯形的面积。

3.本节在高考中分值为5分左右,属中低档题。

五年高考考点一定积分的计算1。

(2014陕西,3，5分)定积分（2x+e x）dx的值为( ）A.e+2 B。

e+1C.eD.e—1答案C2。

（2013江西,6,5分）若S1=（）A.S1〈S2〈S3B。

S2〈S1〈S3C。

S2〈S3〈S1 D.S3〈S2〈S1答案B教师用书专用（5-7）3.（2014湖北,6,5分）若函数f(x），g(x）满足f(x）g（x）dx=0，则称f(x）,g（x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f(x)=sinx，g（x)=cosx；②f（x)=x+1,g(x）=x-1;③f(x)=x，g(x)=x2。

其中为区间［—1，1]上的正交函数的组数是（）A。

0 B。

1 C.2 D.3答案C考点二定积分的意义1.（2014山东,6,5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A.2B.4C.2D.4答案D2。

(2013湖北，7，5分)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v （t)=7-3t+（t的单位:s，v的单位:m/s)行驶至停止。

高考数学一轮复习第三章第4课时定积分与微积分基本定理理

(3)2|3－2x|dx 1
(4)y＝ 1－x2，∴x2＋y2＝1，y≥0.
∴1
1－x2dx 几何意义为14个圆的面积．
0
∴1
1－x2dx＝14π.
0
【答案】
(1)134－ln2
(2)－14
1 (3)2
π (4)4
探究1 (1)计算一些简单的定积分，解题的步骤是： ①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； ②把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分； ③分别用求导公式找到一个相应的原函数； ④利用微积分基本定理求出各个定积分的值； ⑤计算原始定积分的值． (2)对于不便求出被积函数的原函数的，可考虑用定积分的几何意义求解．
1．定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝ x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个区间[xi－1，xi]上取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式
＝
，当n→＋∞时，
上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在
区间[a，b]上定积分，记作
A．e＋2
B．e＋1
C．e
D．e－1
答案 C
解析选 C.
1(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，因此
0
4．若1f(x)dx＝1，2f(x)dx＝－1，则2f(x)dx＝________.
0
0
1
答案－2
解析 ∵2f(x)dx＝1f(x)dx＋2f(x)dx，
0
0
，即
b
f(x)dx＝
a

高三一轮第三章3.3 定积分与微积分基本定理

思维升华
计算定积分的解题步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差. (2)把定积分变形为求被积分函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数. (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和.
多维探究
题型二定积分的几何意义
(3)ʃ 20|1－x|dx；
解 ʃ 20|1－x|dx＝ʃ 10(1－x)dx＋ʃ 21(x－1)dx ＝x－12x210＋12x2－x21 ＝1－12－0＋12×22－2－12×12－1＝1. (4)ʃ 21e2x＋1xdx；解 ʃ 21e2x＋1xdx＝ʃ 12e2xdx＋ʃ 121xdx ＝ 12e2x21＋ln x21＝12e4－12e2＋ln 2－ln 1 ＝12e4－12e2＋ln 2.
x 轴下方.( × ) (4)曲线 y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积是 ʃ 01(x2－x)dx.( × )
1 2 3 4 5 67
题组二教材改编 2.[P66A 组 T14]ʃ e2＋1x－1 1dx＝__1__. 解析 ʃ e2＋1x－1 1dx＝ln(x－1)|e2＋1＝ln e－ln 1＝1.
为__2__3_－__2_3π__.
解析令 2sin x＝1，得 sin x＝12，
当 x∈[0，π]时，得 x＝6π或 x＝56π，
5π
所以所求面积S＝
6 π
(2sin x－1)dx
6
5π
＝(－2cos x－x) |π6 2
6
3 2π . 3
师生共研
题型三定积分在物理中的应用
例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t) ＝7－3t＋ 25 (t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续

课标通用2018年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4定积分与微积分基本定理学案理2017101

§3.4 定积分与微积分基本定理考纲展示► 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义．考点1 定积分的计算1.定积分的定义一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个________，这个________叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .答案：常数常数 2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，________与________分别叫做积分下限与积分上限，区间________叫做积分区间，函数________叫做被积函数，________叫做积分变量，________叫做被积式．答案：a b [a ，b ] f (x ) x f (x )d x 3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝________(k 为常数)；(2)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________；(3)________＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．答案：k ⎠⎛a b f (x )d x ⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x⎠⎛abf (x )d x 4．定积分的几何意义如图：设阴影部分面积为S . (1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)S ＝________； (3)S ＝____________；(4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .答案：(2)－⎠⎛a b f (x )d x (3)⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x5．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则⎠⎛ab f (x )d x ＝________.其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．可以把F (b )－F (a )记为F (x ) b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x ) ba ＝________.答案：F (b )－F (a ) F (b )－F (a )奇函数、偶函数的定积分．(1)如果f (x )是[－a ，a ]上的连续的偶函数，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝________.(2)如果f (x )是[－a ，a ]上的连续的奇函数，则⎠⎛-aa f (x )d x ＝________. 答案：(1)2⎠⎛0a f (x )d x (2)0[典题1] 求下列定积分： (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ； (4) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x .[解] (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x ＝－13x 310＋x 210＝－13＋1＝23.(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x ) π0－sin x π0＝2. (3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2xd x ＋⎠⎛121xd x＝12e 2x 21＋ln x 21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (4) ⎠⎜⎛0 π21－sin 2x d x ＝⎠⎜⎛0π4|sin x －cos x |d x＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.[题点发散1] 若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”换为“|2x －1|”，如何求解？解：⎠⎛01|2x －1|d x ＝⎠⎜⎛012 (1－2x )d x ＋⎠⎜⎛121(2x －1)d x ＝(x －x 2) ⎪⎪⎪⎪12＋(x 2－x ) ⎪⎪⎪⎪112＝14＋14＝12. [题点发散2] 若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”改为“－x 2＋2x ”，如何求解？解：⎠⎛01－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y＝－x 2＋2x ，得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，故⎠⎛01－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，即⎠⎛01－x 2＋2x d x ＝π4.[点石成金] 1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错． 2．根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．1.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈，2]，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.34 B ．45 C.56 D ．不存在答案：C 解析：如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.2．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________．答案：9π4解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y＝0围成的封闭图形的面积．故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4.3．[2017·湖北重点中学高三阶段性统一考试]若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.答案：－4解析：因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x44－x 320＝－4.考点2 运用定积分求平面图形的面积[典题2] (1)已知曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为S ，则S ＝________.[答案]136[解析] 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32 ＋16x 210＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 231＝23＋16＋43＝136. (2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.[答案] 2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2. [点石成金] 1.利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤： (1)画出图形； (2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．2．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.1.由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形的面积是( )A ．1B ．π4C.223D ．22－2答案：D解析：由sin x ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得x ＝π4，故图中阴影部分的面积S ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝sin π4＋cos π4－cos 0＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π2－sin π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π4－sin π4 ＝22－2.(本题也可利用图形的对称性求解)2．[2017·山东日照模拟]如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为________．答案：43解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得交点A (－1，－1)，B (1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x 2，y ＝－1得交点C (－2，－1)，D (2，－1)．∴面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋1d x ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3410＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 31221＝43.考点3 定积分在物理中的应用[典题3] [2017·湖北武汉调研]一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2[答案] C[解析] 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋＋t 4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m)． [点石成金] 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦．答案：36解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(焦)．[方法技巧] 1.求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )．(3)利用定积分的几何意义求定积分． 2．求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和． (4)计算定积分．[易错防范] 1.被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷．真题演练集训1．[2014·陕西卷]定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1答案：C解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x ) 10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，故选C.2．[2014·山东卷]直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4答案：D解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 420＝4.3．[2015·天津卷]曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．答案：16解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝16. 4．[2015·湖南卷]⎠⎛02(x －1)d x ＝________. 答案：0解析：⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x 20＝(2－2)－0＝0. 5．[2015·陕西卷]如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．答案：1.2解析：建立如图所示的平面直角坐标系．由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为y ＝225x 2－2，抛物线与x 轴围成的面积S 1＝⎠⎛5－5⎝ ⎛⎭⎪⎫2－225x 2d x ＝403，梯形面积S 2＝＋2＝16.最大流量比为S 2∶S 1＝1.2.课外拓展阅读探究定积分与不等式交汇问题[典例][2016·湖南长沙模拟]如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )＝sin x ；x ∈(0，π)及直线x ＝a ，a ∈(0，π)与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A.7π12 B ．2π3 C.3π4 D ．5π6[审题视角] 先运用定积分求出阴影部分的面积，再利用几何概型概率计算公式求出概率．[解析] 由已知S 矩形OABC ＝a ×6a＝6，而阴影部分的面积为S ＝⎠⎛0a sin x d x ＝(－cos x ) a0＝1－cos a ，依题意有SS 矩形OABC ＝14，即1－cos a 6＝14，解得cos a ＝－12，又a ∈(0，π)，所以a ＝2π3.故选B. [答案] B定积分还可与其他知识交汇，如与二项式定理、数列等知识交汇．方法点睛。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4定积分与微积分基本定理习题理

核按钮（新课标）高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4定积分与微积分基本定理习题理1．定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )作和式∑=-ni i f n ab 1)(ξ．当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作__________，即⎠⎛abf (x )d x ＝∑=∞→-ni i n f nab 1)(limξ．其中f(x)称为________，x 称为__________，f(x)dx 称为__________，[a ，b]为__________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号．(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、___________.2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝____________(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________________； (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝____________(其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x) ，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝____________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．常常把F (b )－F (a )记作__________，即⎠⎛ab f (x )d x＝__________＝__________.4．定积分在几何中的简单应用(1)当函数f(x)在区间[a ，b]上恒为正时，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝____________.(2)当函数f(x)在区间[a ，b]上恒为负时，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝____________.(3)当x∈[a，b]有f(x)＞g(x)＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝____________.一般情况下，定积分⎠⎛abf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(4)若f(x)是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝__________(其中a >0)；若f(x)是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝____________(其中a >0)．5．定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V(t)，速度方向不变)在时间区间[a ，b]上所经过的路程S ＝____________.(2)在变力F ＝F(x)的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b(a ＜b)，则力F 对物体所做的功W ＝____________.(3)在变力F ＝F(x)的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b(a ＜b)，则力F 对物体所做的功W ＝____________.自查自纠1．(1)⎠⎛ab f (x )d x 被积函数积分变量被积式积分区间(2)分割取极限2．(1)k ⎠⎛a b f (x )d x (2)⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x(3)⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x3．F(b)－F(a) F(x)|b a F(b)－F(a) F(x)|ba 4．(1)⎠⎛ab f (x )d x (2)－⎠⎛ab f (x )d x(3)⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x (4)2⎠⎛0a f (x )d x 05．(1)⎠⎛a b V (t )d t (2)⎠⎛a b F (x )d x (3)⎠⎛ab F (x )cos θd x定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e)－(0＋1)＝e.故选C .已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ＜1，2，1≤x ≤2. 则⎠⎛02f (x )dx ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛011d x ＋⎠⎛122d x ＝x |10＋2x |21＝(1－0)＋(4－2)＝3.故选D .(2014·江西)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13 C.13D ．1解：⎠⎛01f (x )d x 为常数，不妨设a ＝⎠⎛01f (x )d x . 则f (x )＝x 2＋2a ，∴a ＝⎠⎛01(x 2＋2a )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2ax |10，∴a ＝13＋2a ，∴a ＝－13.故选B .(2015·天津)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解：由题意画出图形如图，得到积分上限为1，积分下限为0，因此直线y ＝x 与曲线y ＝x 2所围图形的面积S＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝12－13＝16.故填16.从平衡位置开始，如果1 N 能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，需做功________ J. 解：设F (x )＝kx ，又F (0.01)＝1，∴k ＝100，W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝100×12x 2|0.060＝0.18 J ，故填0.18.类型一计算简单函数的定积分计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ；(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ；(3)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x .解：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x ) |3－1＝24.(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x |21＝32－ln2.(3)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x ) |π0－sin x |π0＝2.【点拨】求定积分的步骤：①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；②利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；③分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；④利用牛顿一莱布尼兹公式求出各个定积分的值；⑤计算所求定积分的值．计算下列定积分：(1)⎠⎛02x (x ＋1)d x ；(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1x d x ； (3)⎠⎛0π(1－cos x )d x .解：(1)⎠⎛02x (x ＋1)d x ＝⎠⎛02(x 2＋x )d x＝⎠⎛02x 2d x ＋⎠⎛02x d x ＝13x 3|20＋12x 2|20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－0＝143. (2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1x d x ＝⎠⎛12e x d x ＋⎠⎛121xd x ＝e x |21＋ln x |21 ＝e 2－e ＋ln2.(3)⎠⎛0π(1－cos x )d x ＝⎠⎛0π1d x －⎠⎛0πcos x d x＝x |π0－sin x |π0 ＝π.类型二计算分段函数的定积分求⎠⎛－22|x 2－2x |d x .解：∵|x 2－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2|20＝8. 【点拨】对分段函数f(x)求定积分，关键是找到分段点c 后利用定积分性质⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cbf (x )d x 求解．求函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，|x|≤2，1＋x 2，2＜x≤4 在区间[－2，4]上的定积分．解：⎠⎛－24f (x )d x ＝⎠⎛－22(2x ＋1)d x ＋⎠⎛24(1＋x 2)d x＝(x 2＋x ) |2－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 3|42＝743.类型三利用定积分求平面图形的面积(1)⎠⎛011－（x －1）2d x ＝________.解：根据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－（x －1）2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14(如图中阴影部分)．故⎠⎛011－（x －1）2d x ＝π4.故填π4.(2)由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．解：如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1，0)．所以S ＝⎠⎛02|x 2－1|d x＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x |21 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫83－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝2.故填2. 【点拨】用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意：对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．(2013·北京)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B ．2C.83D.1623解：由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝1，得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －112x 3|20＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－812＝83.故选C .类型四定积分在物理中的简单应用一质点在直线上从时刻t ＝0开始以速度v (t )＝t 2－4t ＋3(m/s)做减速运动，则质点初次减速到0时经过的路程为________ m.解：由v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)＝0，得t ＝1或3(舍去)．所以路程s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t |10＝43(m)．故填43.【点拨】物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．(2015·杭州模拟)设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ，力的单位：N)．解：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |101＝342(J)．故填342.1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．1．定积分⎠⎛013x d x 的值为( )A ．3B ．1C.32 D.12解：⎠⎛013x d x ＝32x 2|10＝32.故选C .2.⎠⎛－21|x |d x 等于( )A ．－1B ．1C.32D.52解：⎠⎛－21|x |d x ＝⎠⎛－20(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ＝－12x 2|0－2＋12x 2|1＝2＋12＝52.故选D .3．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围成图形的面积为( )A.154B.174 C.12ln2 D ．2ln2解：因为所围图形在x 轴的上方，所以S ＝∫2121x d x ＝ln x |212＝ln2－ln 12＝2ln2.故选D .4．(2015·大庆检测)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v (t )＝5－t ＋551＋t (t的单位：s ，v 的单位：m/s)紧急刹车至停止．在此期间火车继续行驶的距离是( )A ．55ln10 mB ．55ln11 mC ．12＋55ln7 mD ．12＋55ln6 m解：令5－t ＋551＋t ＝0，注意到t >0，得t ＝10，即经过的时间为10 s ；行驶的距离s ＝⎠⎛010⎝ ⎛⎭⎪⎫5－t ＋551＋t d t ＝[5t －12t 2＋55ln(t ＋1)]|100＝55ln11，即紧急刹车后火车继续行驶的路程为55ln11 m ．故选B .5．若y ＝⎠⎛0x (sint ＋costsint)d t ，则y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．－72D ．0解：y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t ＝⎠⎛0x sin t d t ＋12⎠⎛0x sin2t d t ＝(－cos t ) |x0＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos2t |x 0＝－cos x ＋1－14cos2x ＋14＝－12(cos x ＋1)2＋2，故当cos x ＝－1时，y max ＝2.故选B .6．(2015·衡水调研)在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx (k >0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机投一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为( )A.13B.23C.12D.34解：令x －x 2＝0得x ＝0或x ＝1，令kx ＝x －x 2得x ＝0或x ＝1－k .∴M 的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝16，A 的面积为⎠⎛01－k (x －x 2－kx )d x ＝(12x 2－13x 3－k 2x 2)|1－k 0＝16(1－k )3，∴16（1－k ）316＝827，∴k ＝13.故选A . 7．(2014·河南月考)设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若⎠⎛03f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0＝________.解：因为⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛03(ax 2＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋bx |30＝9a ＋3b ，3f (x 0)＝3ax 20＋3b ，所以9a ＋3b ＝3ax 20＋3b ，所以x 20＝3，x 0＝± 3.故填±3.8.⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x d x ＝________. 解：⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＋⎠⎛0112x d x ，⎠⎛0112x d x ＝14，⎠⎛011－x 2d x 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以计算结果是π＋14.故填π＋14. 9．计算下列定积分的值：(1)⎠⎛－111－x 2d x ；(2)⎠⎛－12|x 2－x |d x .解：(1)被积函数y ＝1－x 2，即x 2＋y 2＝1，y ≥0.根据定积分的几何意义，所围成的图形如图所示，⎠⎛－111－x2d x ＝π2.(2)⎠⎛－12|x 2－x |d x＝⎠⎛－10(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22|0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22|21 ＝56＋16＋56＝116. 10．有一动点P ，在时间t 时的速度为v(t)＝8t －2t 2(m /s )．求从t ＝0到t ＝4时，点P 经过的路程．解：由v(t)＝8t －2t 2＝2t(4－t)，可知当0≤t≤4时，v (t)≥0.因此，路程S ＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3|40＝643(m)． 11．在曲线y ＝x 2(x≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．解：如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，得过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，S 曲边△AOB ＝⎰02x x d x ＝13x 3x ＝13x 30， S △ABC ＝12||BC ·||AB ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.∴x 0＝1，从而切点A (1，1)，切线方程为y ＝2x －1.抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．解：如图所示，所求面积S ＝S A ＋S B ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，得交点坐标为(2，2)，(8，－4)．A 部分：由于抛物线的上半支方程为y ＝2x ，下半支方程为y ＝－2x ，所以：S A ＝⎠⎛02[2x －(－2x )]d x ＝22⎠⎛02x 12d x＝22·23x 32|20＝163.B 部分：S B ＝⎠⎛28[4－x －(－2x )]d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －12x 2＋223x 32|82＝383.于是S ＝163＋383＝18.故填18.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(教材习题改编题)函数f (x )＝cos π2x ，则f ′(1)＝( )A ．－π2B ．－π4C ．0 D.π2解：f ′(x )＝－sin π2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ′＝－π2sin π2x .∴f ′(1)＝－π2.故选A .2．已知曲线y ＝x 24－ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解：y ′＝x 2－1x ，令x 2－1x ＝－12，解得x ＝1或x ＝－2(舍去)．故选C .3．(2015·皖南八校联考)函数f (x )＝x e x－e x ＋1的单调递增区间是( )A ．(－∞，e)B ．(1，e)C ．(e ，＋∞)D ．(e －1，＋∞)解：f ′(x )＝e x＋x e x－e x ＋1＝e x(1＋x －e)，由f ′(x )>0得x >e －1.故选D .4．(教材习题改编题)函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1，1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解：f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或2.∴f (x )在[－1，0)上是增函数，在(0，1]上是减函数．∴f (x )在区间[－1，1]上的最大值为f (0)＝2.故选C .5．(2014·湖北八校第二次联考)已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象是( )解：f (x )＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x ，令g (x )＝f ′(x )，则g (x )为奇函数，排除B ，D ；由g ′(x )＝12－cos x 知g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减，排除C.故选A .6．定积分⎠⎛04π(16－x 2)d x 的值等于( )A ．半径为4的球的体积B ．半径为4的四分之一球的体积C ．半径为4的半球的体积D ．半径为4的球的表面积解：⎠⎛04π(16－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16x －x 33π|40＝128π3，等于半径为4的半球的体积，故选C . 7．(2015·韶关联考)设a∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R ，有大于－1的极值点，则( ) A ．a <－1B ．a >－1C ．a <－1eD ．a >－1e解：由y ′＝e x ＋a ＝0得e x ＝－a ，∵函数有大于－1的极值点，∴a ＝－e x<－1e .故选C .8．已知函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2xf ′(2)，则f (－1)与f (1)的大小关系为( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)＞f (1) C ．f (－1)＜f (1)D ．以上答案都不对解：∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)，得f ′(2)＝－4， ∴f (x )＝x 2－8x ，∴f (－1)＝9，f (1)＝－7，f (－1)＞f (1)．故选B .9．一质点运动时速度(v )与时间(t )的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点直线运动，则此质点在时间[1，2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116解：质点在时间[1，2]内的位移为⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t |21＝176.故选A .10．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解：因为函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，可得f ′(－2)＝0，且当x ∈(a ，－2)(a <－2)时，f (x )单调递减，即f ′(x )<0；当x ∈(－2，b )(－2＜b ＜0)时，f (x )单调递增，即f ′(x )>0.所以函数y ＝xf ′(x )在x ∈(a ，－2)内的函数值为正，在区间(－2，b )内的函数值为负，由排除法可得只有选项C 符合，故选C .11．(2015·福建)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )＞k ＞1，则下列结论中一定错误．．的是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＜1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1解：令h (x )＝f (x )－kx ＋1，则h ′(x )＝f ′(x )－k ＞0，即h (x )在R 上单调递增，而h (0)＝0，1k －1＞0，∴h ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞1k －1，∴C 项一定错误．也可用特值法(如令f (x )＝2x －1及f (x )＝10x －1等排除A ，B ，D)．故选C . 12．(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1解：由a ＜1，易知存在整数x 0＝0，使得e x 0(2x 0－1)＜ax 0－a .设g (x )＝e x(2x －1)，h (x )＝ax －a ，则g ′(x )＝e x(2x ＋1)．可得g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，若存在唯一整数x 0，使得f (x 0)＜0，还须满足⎩⎪⎨⎪⎧h （0）＞g （0），h （－1）≤g （－1），即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，－2a ≤－3e ， ∴32e ≤a ＜1.故选D .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2015·江西检测)已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．解：∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a ，设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a＝2，解之得a ＝ln22.故填ln22.14．(2014·抚顺联考)已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )＞0的解集为________．解：由y ＝f (x )的图象可得y ＝f ′(x )的大致图象如图．f ′(x )＞0⇔x ＞1或x ＜－1； f ′(x )＜0⇔－1＜x ＜1.而x 2－2x －3＞0的解为x ＞3或x ＜－1；x 2－2x －3＜0的解为－1＜x ＜3. ∴原不等式的解为x ＞3或x ＜－1或－1＜x ＜1. 故填(－∞，－1)∪(－1，1)∪(3，＋∞)．15．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1，0)，函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．解：根据题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12＜x ≤1，从而得到y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12＜x ≤1，所以函数y ＝xf (x )与x 轴围成的图形面积为S ＝∫12010x 2d x ＋∫112(－10x 2＋10x )d x＝103x 3|120＋⎝⎛⎭⎪⎫5x 2－103x 3|112＝54.故填54.16．(2015·福州质量检测)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是____________．解：若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上无极值，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0或f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，易得y ＝x ＋1x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x 恒成立，a ≤2；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 上有极值点，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103.故填⎝⎛⎭⎪⎫2，103.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)函数f (x )＝x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为12，求实数a 的值；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，求实数a 的值．解：(1)f ′(x )＝2x （x ＋1）－x 2－a （x ＋1）2＝x 2＋2x －a（x ＋1）2，若f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为12，则f ′(1)＝12.所以f ′(1)＝3－a 4＝12，得a ＝1.(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，则f ′(1)＝0，即3－a4＝0，得a ＝3，经检验，合题意．18．(12分)已知函数y ＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，且其图象在x ＝1处的切线斜率为－3. (1)求函数的单调区间；(2)求函数的极大值与极小值的差．解：(1)∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，由题意得y ′|x ＝2＝12＋12a ＋3b ＝0，y ′|x ＝1＝3＋6a ＋3b ＝－3，解得a ＝－1，b ＝0，所以y ＝x 3－3x 2＋c ，y ′＝3x 2－6x . 令y ′＞0，得x ＜0或x ＞2，∴函数的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；单调递减区间是(0，2)．(2)由(1)可知函数在x ＝0处取得极大值c ，在x ＝2处取得极小值c －4，∴函数的极大值与极小值的差为c －(c －4)＝4.19．(12分)(2015·重庆)设函数f (x )＝3x 2＋axex(a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝（6x ＋a ）e x －（3x 2＋ax ）ex（e x ）2＝－3x 2＋（6－a ）x ＋a ex， ∵f (x )在x ＝0处取得极值，∴f ′(0)＝0，解得a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6xex， ∴f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e(x －1)，化为3x －e y ＝0.(2)解法一：由(1)可得f ′(x )＝－3x 2＋（6－a ）x ＋ae x，令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0，解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.当x ＜x 1时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，此时函数f (x )为减函数；当x 1＜x ＜x 2时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，此时函数f (x )为增函数；当x ＞x 2时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，此时函数f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，可知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞. 解法二：由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，∴f ′(x )≤0在[3，＋∞)上恒成立，可得a ≥－3x 2＋6xx －1，在[3，＋∞)上恒成立．令u (x )＝－3x 2＋6x x －1，u ′(x )＝－3[（x －1）2＋1]（x －1）2＜0，∴u (x )在[3，＋∞)上单调递减，a ≥u (x )max ＝u (3)＝－92，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞. 20．(12分)某景区为提高经济效益，现对景区进行升级改造，经过市场调查，旅游收入增加y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝20万元时，y ＝35.7万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点升级改造后利润增加的最大值(利润增加值＝旅游收入增加值－投入)．解：(1)由条件⎩⎪⎨⎪⎧a ×102＋10150×10－b ln1＝19.2，a ×202＋10150×20－b ln2＝35.7.解得a ＝－1100，b ＝1.则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10)．(2)设T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x10(x ≥10)．则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－（x －1）（x －50）50x.令T ′(x )＝0，得x ＝1(舍)或x ＝50.T (x )在[10，50)上是增函数；在(50，＋∞)上是减函数，∴x ＝50为T (x )的极大值点．即该景点改造升级后利润T (x )的最大值为T (50)＝24.4万元．21．(12分)(2015·北京)已知函数f (x )＝ln 1＋x1－x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求证：当x ∈(0，1)时，f (x )＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33； (3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33对x ∈(0，1)恒成立，求k 的最大值．解：(1)由1＋x1－x ＞0得－1＜x ＜1.因此f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x，f ′(0)＝2.又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .(2)证明：令g (x )＝f (x )－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33，则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x41－x2，因为g ′(x )＞0(0＜x ＜1)，所以g (x )在区间(0，1)上单调递增．所以g (x )＞g (0)＝0，x ∈(0，1)，即当x ∈(0，1)时，f (x )＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33.(3)由(2)知，当k ≤2时，f (x )＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33对x ∈(0，1)恒成立．当k ＞2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33，则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－（k －2）1－x2，所以当0＜x ＜4k －2k时，h ′(x )＜0，因此h (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，4k －2k 上单调递减．当0＜x ＜4k －2k 时，h (x )＜h (0)＝0，即f (x )＜k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33.所以当k ＞2时，f (x )＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33并非对x ∈(0，1)恒成立．综上可知，k 的最大值为2.22．(12分)(2015·宜昌模拟)已知函数f (x )＝x ＋1ex(e 为自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0，1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．解：(1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)假设存在x 1，x 2∈[0，1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，则2[φ(x )]min <[φ(x )]max (x ∈[0，1])．∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋（1－t ）x ＋1ex， ∴φ′(x )＝－x 2＋（1＋t ）x －tex＝－（x －t ）（x －1）ex. ①当t ≥1时，在[0，1]上φ′(x )≤0，φ(x )在[0，1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e2>1.②当t ≤0时，在[0，1]上φ′(x )≥0，φ(x )在[0，1]上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0.③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上单调递减；若x ∈(t ，1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t ，1]上单调递增，所以2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2·t ＋1e t <max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3－t e ，(*) 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1et 在[0，1]上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e，所以不等式(*)无解．综上所述，t 的取值范围是(－∞，3－2e )∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3－e 2，＋∞.第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ))1.基本初等函数Ⅱ(三角函数) (1)任意角、弧度制①了解任意角的概念和弧度制的概念． ②能进行弧度与角度的互化． (2)三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性． ④理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x .⑤了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2．三角恒等变换(1)两角和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．②会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．③会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．3．解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． (2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．。

高考数学一轮复习第3章导数及其应用4定积分与微积分基本定理课件新人教A版

是求出物体做变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系,
确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即
得所求.
-23考点1
考点2
考点3
对点训练3(1)某物体做变速直线运动,其v-t曲线如图所示,则该物
体在
1
2
49
~6 s间的运动路程为
4
m.
1
(2)某物体受到与它运动方向相反的力F(x)= 10 ex+x的作用,则它
= ,故选 C.
3
解析
答案
-20考点1
考点2
考点3
(2)如图,在边长为2的正方形ABCD中,M是AB的中点,则过C,M,D
关闭
三点的抛物线与CD围成的阴影部分的面积是 (
)
由题意,建立如图所示的平面直角坐标系,则 D(2,1),设抛物线方程为
1
y2=2px(p>0),将 D(2,1)代入,可得 p= ,
4
∴y=±
1
2
.
∴所求阴影部分面积 S=2
A.
2
3
B.
4
3
2
0
1
2
2
dx=√2 ·3
C.
5
2
3
2
|20
8
3
8
= 3,故选 D.
D.
关闭
D
解析
答案
-21考点1
考点2
考点3
考点 3
定积分在物理中的应用
例3(1)从空中自由下落的一个物体,在第一秒末恰好经过电视塔
顶,在第二秒末物体落地.已知自由落体的运动速度为v=gt(g为常
=1
i=1
f(ξi),

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第四节定积分与微积分基本定理课件理

④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
n
f(ξi)Δx＝
i＝1
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，
这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作bf(x)dx. a
2．定积分的相关概念
在bf(x)dx 中， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限， a
区间 [a,b] 叫做积分区间，函数 f(x) 叫做被积函数， x 叫做
由yy＝＝x－x，2 得交点 A(4,2)．因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为4 x－x－2dx＝

0
(2)
建立如图所示的平面直角坐标系，由抛物线过点(0，－2)，(－
5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为 y＝225x2－2，抛物线与 x 轴
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/12
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7－3t＋12＋5 t
dt
＝
7t－32t2＋25ln1＋t
4 0
＝
4
＋
25ln 5.
(2)由题意知，力 F(x)所做的功为

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第四节定积分与微积分基本定理课后作业理(2)

【创新方案】2017届高考数学一轮复习第三章导数及其应用第四节定积分与微积分基本定理课后作业理[全盘巩固]一、选择题1．∫π20sin 2x2d x ＝( )A ．0 B.π4－12C.π4－14D.π2－12．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x∈[0，1]，1x ，，e ](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f(x)d x 的值为( )A.43 B ．2 C ．1 D.233．曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 24．若S 1＝⎠⎛121x d x ，S 2＝⎠⎛12(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠⎛12x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 1<S 3<S 2D ．S 3<S 1<S 25．曲线y ＝x 2＋2与直线5x －y －4＝0所围成的图形的面积为( ) A.12 B.13 C.16 D.19二、填空题6．已知函数f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f(x)d x ＝2f(a)(a>0)成立，则a ＝________.8．设a>0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 三、解答题 9．求下列定积分．10．已知函数f(x)＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x 2围成的图形的面积．[冲击名校]1.如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t<1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )A.14B.12 C ．1 D ．22．若函数f(x)，g(x)满足⎠⎛1－1f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1； ③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．曲线y ＝1x ＋2x ＋2e 2x，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．4.如图所示，由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A(0，－3)和点B(3，0)处的切线所围成的图形的面积为________．5.已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t(其中0≤t≤2，t 为常数)，若直线l 1，l 2与函数f(x)的图象以及l 2，y 轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求阴影面积S 关于t 的函数S(t)的解析式．答案 [全盘巩固]一、选择题 1．2．3．解析：选D 由曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1联立，解得x ＝－1，x ＝2，如图所示，故所求图形的面积为S ＝⎠⎛24（x －1－2x ）d x ＝＝4－2ln 2.4．解析：选A 如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A .5．二、填空题6．解析：∵⎠⎛1－1f(x)d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x) ＝4，∴2(3a 2＋2a ＋1)＝4，即3a 2＋2a －1＝0，解得a ＝13或a ＝－1(舍去)，所以a ＝13.答案：137.答案：π28．解析：由题意知⎠⎛0a x d x ＝a 2，又⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32′＝x ，则23x 32a0＝a 2，即23a 32＝a 2，所以a ＝49. 答案：49三、解答题 9．10．解：∵(1,2)为曲线f(x)＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f′(1)＝ (3x 2－2x ＋1)| x ＝1＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x.y ＝2x 与函数g(x)＝x 2围成的图形如图：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A(2,4)．∴y＝2x 与函数g(x)＝x 2围成的图形的面积 S ＝∫20(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3| 20＝4－83＝43.[冲击名校]1.解析：选A 设图中阴影部分的面积为S(t)，则S(t)＝∫t0(t 2－x 2)dx ＋∫1t (x 2－t 2)dx ＝43t 3－t 2＋13.由S′(t)＝2t(2t －1)＝0，得t ＝12为S(t)在区间(0,1)上的最小值点，此时S(t)min ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14.2．3．解析：由题意得，所求面积为∫e 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x ＋2e 2x dx ＝∫e 11x dx ＋∫e 12xdx ＋∫e 12e 2x dx ＝ln x |e 1＋x 2|e 1＋e 2x |e 1＝(1－0)＋(e 2－1)＋(e 2e －e 2)＝e 2e. 答案：e 2e4.解析：由题意，知抛物线y ＝－x 2＋4x －3在点A 处的切线斜率是k 1＝y′|x ＝0＝4，在点B 处的切线斜率是k 2＝y′|x ＝3＝－2.因此，抛物线过点A 的切线方程为y ＝4x －3，过点B 的切线方程为y ＝－2x ＋6.设两切线相交于点M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －3，y ＝－2x ＋6，消去y ，得x ＝32，即点M 的横坐标为32.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上，直线y ＝4x －3在曲线y ＝－x 2＋4x －3的上方；在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上，直线y ＝－2x ＋6在曲线y ＝－x 2＋4x －3的上方．因此，所求的图形的面积是答案：945.解：(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f(x)的最大值为16，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a·82＋b·8＋c ＝0，4ac －b 24a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0，即a 的值为－1，b 的值为8，c 的值为0.(2)由(1)知，f(x)的解析式为f(x)＝－x 2＋8x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x ，得x 2－8x －t(t －8)＝0，∴x 1＝t ，x 2＝8－t.∵0≤t≤2，∴直线l 2与f(x)的图象的位于l 1左侧的交点坐标为(t ，－t 2＋8t)，由定积分的几何意义知：S(t)＝∫t0[(－t 2＋8t)－(－x 2＋8x)]d x ＋∫2t [(－x 2＋8x)－(－t 2＋8t)]d x ＝(－t 2＋8t)x －－x 33＋4x 2t0＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 2－－t 2＋2t＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403.。

2019高考数学一轮复习第3章导数及应用第4课时定积分与微积分基本定理练习理

第4课时定积分与微积分基本定理1．(2018·山东师大附中月考)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)dx 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1答案 C解析原式＝(x 2＋e x)|10＝(1＋e)－1＝e.2．(2018·辽宁鞍山一模)⎠⎛024－x 2dx ＝( )A ．π B.π2C.π4 D ．0答案 A解析由定积分的几何意义可知，所求的定积分是以原点为圆心、2为半径的圆在第一象限的面积，即⎠⎛024－x2dx ＝14×π×22＝π.3．(2018·河南新乡月考)⎠⎛0π|sinx －cosx|dx ＝( )A ．2＋2 2B ．2－ 2C ．2D ．2 2答案 D解析 ⎠⎛0π|sinx －cosx|dx ＝∫π40(cosx －sinx)dx ＋∫ππ4(sinx －cosx)dx ＝(sinx ＋cosx)|π40＋(－cosx －sinx)|ππ4＝2 2.故选D. 4．求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x)dxB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y)dy D ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy答案 B5．若函数f(x)＝x 2＋2x ＋m(m ，x ∈R )的最小值为－1，则⎠⎛12f(x)dx 等于( )A ．2 B.163C ．6D ．72好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析答案 B解析 f(x)＝(x ＋1)2＋m －1，∵f(x)的最小值为－1，∴m －1＝－1，即m ＝0.∴f(x)＝x 2＋2x. ∴⎠⎛12f(x)dx ＝⎠⎛12(x 2＋2x)dx ＝(13x 3＋x 2)|21＝13×23＋22－13－1＝163.6．(2018·苏北四市模拟)若⎠⎛01(2x ＋k)dx ＝2，则k 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B7.⎠⎛35x 2＋1x dx 等于( )A ．8－ln 53B ．8＋ln 53C ．16－ln 53D ．16＋ln 53答案 B解析 ⎠⎛35x 2＋1x dx ＝⎠⎛35xdx ＋⎠⎛351xdx ＝12x 2 |Ｋ53＋lnx |Ｋ53＝12(52－32)＋ln5－ln3＝8＋ln 53，故选B.8.⎠⎛－22e |x|dx 值等于( )A ．e 2－e －2B ．2e 2C ．2e 2－2 D ．e 2＋e －2－2答案 C 9.⎠⎛0222x 1＋x2dx ＝( )A ．4B ．6C ．3D ．1答案 A解析 ∵(1＋x 2)′＝12(1＋x 2)－12·(1＋x 2)′＝2x 21＋x 2＝x 1＋x 2，∴⎠⎛0222x 1＋x2dx ＝2⎠⎛022x 1＋x2dx ＝21＋x 2|Ｋ 2 2＝2(1＋8－1)＝4.故选A.10.如图所示，由函数f(x)＝e x－e 的图像，直线x ＝2及x 轴所围成阴影部分的面积等于( ) A ．e 2－2e －1 B ．e 2－2e C.e 2－e 2D ．e 2－2e ＋1答案 B解析 f(x)＝e x－e ＝0时，x ＝1，3∴S ＝⎠⎛12(e x－e)dx ＝(e x－ex)|21＝e 2－2e.11．(2013·江西)若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S 2＝⎠⎛121x dx ，S 3＝⎠⎛12e xdx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73，S 2＝lnx |21＝ln2<lne ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.12．(2017·东北三校联考)∫π20sin 2x2dx ＝( )A ．0 B.π4－12 C.π4－14 D.π2－1 答案 B解析 ∫π20sin 2x2dx ＝∫π20(12－12cosx)dx＝(12x －12sinx)|π20＝π4－12.选B. 13．(2018·安徽蚌埠摸底)⎠⎛－11(|x|＋sinx)dx ＝________．答案 1解析 ⎠⎛－11(|x|＋sinx)dx ＝⎠⎛－11|x|dx ＋⎠⎛－11sinxdx.根据定积分的几何意义可知，函数y ＝|x|在[－1，1]上的图像与x 轴，直线x ＝－1，x ＝1围成的曲边图形的面积为1.y ＝sinx 为奇函数，根据定积分的几何意义，⎠⎛－11sinxdx ＝0，所以⎠⎛－11(|x|＋sinx)dx ＝1.14．(2018·广东七校联考)⎠⎛02(4－x 2＋x)dx 的值等于________．答案 π＋2解析 ⎠⎛02(4－x 2＋x)dx ＝⎠⎛024－x 2dx ＋⎠⎛02xdx ，其中⎠⎛024－x 2dx 表示半径为2的圆的面积的14，⎠⎛024－x 2dx＝14π×22＝π，⎠⎛02xdx ＝12x 2|20＝2，因此原式等于π＋2. 15．(2018·衡水调研卷)已知⎠⎛01(x 2＋m)dx ＝1，则函数f(x)＝log m (2x －x 2)的单调递减区间是________．答案 (0，1]4好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析解析 ∵⎠⎛01(x 2＋m)dx ＝1，∴(13x 3＋mx)|10＝1，解得m ＝23，∴f(x)＝log m (2x －x 2)＝log 23(2x －x 2)．令g(x)＝2x －x 2＝x(2－x)，由g(x)>0，解得0<x<2.∵g(x)的图像的对称轴方程为x ＝1，∴g(x)在(0，1]上单调递增，在(1，2)上单调递减，∴f(x)的单调递减区间为(0，1]．16．(2018·河北唐山质检)已知曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为S ，则S ＝________．答案136解析由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A(1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－13x ，y ＝2－x ，得交点B(3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01(x ＋13x)dx ＋⎠⎛13(2－x ＋13x)dx ＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －13x 2)|31＝23＋16＋43＝136.。

[精品]2019高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3定积分与微积分基本定理练习理

§3.3定积分与微积分基本定理考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.定积分的计算①了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念;②了解微积分基本定理的含义掌握2015湖南,11;2014陕西,3;2013湖南,12选择题★☆☆2.定积分的意义了解2015天津,11;2014山东,6;2013湖北,7选择题★☆☆分析解读 1.了解微积分基本定理,会求函数的定积分.2.理解定积分的几何意义,会求曲边梯形的面积.3.本节在高考中分值为5分左右,属中低档题.五年高考考点一定积分的计算1.(2014陕西,3,5分)定积分(2x+e x)dx的值为( )A.e+2B.e+1C.eD.e-1答案 C2.(2013江西,6,5分)若S1=( )A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3C.S2<S3<S1D.S3<S2<S1答案 B教师用书专用(5—7)3.(2014湖北,6,5分)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( )A.0B.1C.2D.3答案 C考点二定积分的意义1.(2014山东,6,5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.2B.4C.2D.4答案 D2.(2013湖北,7,5分)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( )A.1+25ln 5B.8+25lnC.4+25ln 5D.4+50ln 2答案 C3.(2015陕西,16,5分)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.答案 1.2教师用书专用(5)三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一定积分的计算1.(2018北师大附中期中,5)若a=e x dx,b=xdx,c=dx,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a答案 D2.(2017湖南摸底联考,5)设实数a=log23,b=lo ,c=,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a答案 A考点二定积分的意义3.(2017山西大学附中第二次模拟,13)曲线y=2sin x(0≤x≤π)与直线y=1围成的封闭图形的面积为. 答案2-B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:25分时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018湖南衡阳联考,10)如图,函数f(x)=的图象与x轴围成一个山峰形状的图形,设该图形夹在两条直线x=t,x=t+2(-2≤t≤2)之间的部分的面积为S(t),则下列判断正确的是( )A.S(0)=4ln 2+2B.S(-2)=2S(2)C.S(t)的最大值为S(1)D.S(t)在[-2,2]上的最大值与最小值之差为6-4ln 2答案 D2.(2017湖北百所重点校联考,5)“b≤dx”是“函数f(x)=为R上的单调函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B3.(2016河北保定一模,7)若二项式的展开式中的常数项为-540,则(3x2-1)dx=( )A.24B.3C.6D.2答案 AC组2016—2018年模拟·方法题组方法 1 定积分的求解1.(2017江西仿真模拟,3)设f(x)+g(x)=2tdt,x∈R,若函数f(x)为奇函数,则g(x)的解析式可以为( )A.x3B.cos xC.1+xD.xe x答案 C2.(2016安徽池州二模,5)dx=( )A.-ln 2B.2ln 2C.-2ln 2D.ln 2答案 C方法 2 求曲边梯形的面积3.(2017湖南衡阳第二次联考,14)我国古代数学家祖暅提出原理:“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”是几何体的高.原理的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被任一平行于这两个平行平面的平面所截,若所截的两个截面的面积恒相等,则这两个几何体的体积相等.如图所示,在空间直角坐标系的xOy平面内,若函数f(x)=的图象与x轴围成一个封闭的区域A,将区域A沿z轴的正方向平移4个单位,得到几何体如图(1),现有一个与之等高的圆柱如图(2),其底面积与区域A的面积相等,则此圆柱的体积为.答案π+4。

近年高考数学一轮复习第3章导数及应用第4课时定积分与微积分基本定理练习理(2021年整理)

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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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第4课时定积分与微积分基本定理1．(2018·山东师大附中月考）定积分错误!（2x＋e x）dx的值为( )A．e＋2 B．e＋1C．e D．e－1答案C解析原式＝(x2＋e x）|，，错误!0＝(1＋e）－1＝e.2．(2018·辽宁鞍山一模）错误!错误!dx＝（)A．πB。

错误!C.错误!D．0答案A解析由定积分的几何意义可知，所求的定积分是以原点为圆心、2为半径的圆在第一象限的面积,即错误!错误!dx＝错误!×π×22＝π。

3．(2018·河南新乡月考)错误!｜sinx－cosx｜dx＝( ）A．2＋2 2 B．2－错误!C．2 D．2错误!答案D解析错误!|sinx－cosx|dx＝∫错误!0(cosx－sinx）dx＋∫π错误!（sinx－cosx）dx＝（sinx ＋cosx)错误!错误!0＋(－cosx－sinx)错误!错误!错误!＝2错误!。

故选D.4．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是（）A．S＝错误!(x2－x）dx B．S＝错误!(x－x2)dxC．S＝错误!（y2－y）dy D．S＝错误!(y－错误!）dy答案B5．若函数f(x）＝x2＋2x＋m（m，x∈R)的最小值为－1，则错误!f(x）dx等于( ）A．2 B.错误!C．6 D．7答案B解析f(x)＝(x＋1）2＋m－1，∵f（x)的最小值为－1,∴m－1＝－1,即m＝0。

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