拓扑学复习题与参考答案精讲

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拓扑学复习

性、对称性和三角不等式, 则称是X的一个度量. (X, )称为度量空间, (x, y)表示两点x, y之间的距离.
例实数空间R. (x,y)=|x-y|,
R的通常度量.
(2)定义设(X, )是度量空间. B(x, )={yX | (x, y)<} 称为以x为心, 为半径的球形邻域. (3)定义 X的子集A称为(X, )的开集, 若aA, ε>0, 使B(a, ε)A. 注：每一球形邻域是开集. 实数空间 R中的开区间是开集.
T ，则 A T ;
AT 1
则称 T 为X的一个拓扑. 称(X, T )为拓扑空间, T 的每一元素称为X的开集.
F X，F为空间X的闭集
X－F为X的开集.
定理设F 是空间X的全部闭集族, 则 (1) X, F; (2) A, BF A∪BF ; (3) ≠ F1 F BF
若x∈X,f在点x连续是指：对于f(x)的每一邻域V，
f-1(V)为点x的邻域。
注：若给出Y的基或子基，只须考虑基或子基中的成员
2、若f:X→Y为一一的连续映射,且f-1 Baidu Nhomakorabea连续,则称为同胚映射 3、若存在同胚映射f:X→Y ，则称X与Y同胚。
2、特殊集合与特殊点设(X, T )为拓扑空间，A X，x∈ X， 1）邻域、邻域系 A称为点x的邻域存在V ∈ T ，使得x∈ V A x的所有邻域构成的集族称为点x的邻域系，记为Ux （开邻域） 2）内点、内部 x称为A的内点存在V ∈ T ，使得x∈ V A A的所有内点构成的集合称为A的内部，记为A0 U ∈Ux使得U∩(A-{x})≠ 3） x称为A的凝聚点 A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记为d(A) 4)闭包 A∪ d(A)称为A的闭包，记为 A U ∈Ux使得U∩A≠ 注意：(闭包点的充要条件）x∈ A 5) 边界点、边界 x称为A的边界点 U∈Ux使得U∩A≠ 且U∩ A≠ A的所边界点构成的集合称为A的边界，记为 ( A)

《拓扑学》作业参考答案

14. (1) （a） P( X ), T *,又( X *) ' 有限， X * T * （ b ） A, B T * , 若或者 A P(x), 或者 B P(K) ，则 A A P(K),且B P(K),则A', B '是中有限子集， ( A B) ' A' B '为中有限子集， A B T *
B T * ，
（ c ）设 T 1 T ，若 T 1 ，则 T1 P ( x) ，从而
T 1 T * 若
T 1,则U0 T 1, s.t. U0,从而X * U0 为有限集，从而 ( T 1) ' U ' U '0 X * U0 为有限集， UT 1
T 1 T * 。
因此 X 是T2 空间。
10. （1） B R,且B1 (a1, b1) - E1, B2 (a2,b2 ) E2, x B1 B2 ，
则 x (a1,b1) (a2,b2) (E1 E2) (max( a1, a2), min( b1,b2 ) (E1 E2) ，而 E1 E2 E ，故存在 R 的
（2） x R Q, (x 1, x 1) B s.t. x (x 1, x 1) Q R Q ，故 R Q T
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以上仅为参考答案，简答、论述题均只列及主要的解题知识点，请您结合自我理解和课本内容进行知识掌握和巩固。如对答案等有疑义，请及时登录学院网站“辅导论坛”栏目，与老师交流探讨！

点集拓扑学期末考试练习题(含答案)

点集拓扑学期末考试

一、单项选择题（每题1分）

1、已知，下列集族中,( ）是上的拓扑.

①②

③④答案：③

2、设,下列集族中,（）是上的拓扑.

①②

③④答案：②

3、已知，下列集族中，（ )是上的拓扑.

①②

③④答案:①

4、设,下列集族中，（）是上的拓扑。

①② `

③④答案：②

5、已知,下列集族中,（）是上的拓扑.

①②

③④答案：④

6、设,下列集族中,（）是上的拓扑。

①②

③④答案：③

7、已知，拓扑,则=( ）

①φ②③④答案:④

8、已知,拓扑，则=（）

①φ②③④答案：④

9、已知，拓扑，则=（）

①φ②③④答案：②

10、已知,拓扑，则=（）

①φ②③④答案：④

11、已知，拓扑,则=（）

①φ②③④答案：②

12、已知，拓扑，则=（ )

①φ②③④答案：④

13、设,拓扑，则的既开又闭的非空真子集个数（ )

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

14、设,拓扑，则的既开又闭的非空真子集的个数为（）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②

15、设，拓扑，则的既开又闭的非空真子集的个数为（ )

① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:①

16、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数为（ )

① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:③

17、设，拓扑，则的既开又闭的子集的个数为( ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④

18、设,拓扑，的既开又闭的非空真子集个数（）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

19、在实数空间中，有理数集的内部是（）

①②Q③R —Q④R 答案:①

20、在实数空间中,有理数集的边界是（）

①②Q③R —Q④R 答案:④

拓扑学基础答案

拓扑学基础（数学教育本科）试卷参考答案

一、单项选择题

1、C

2、A

3、B

4、A

5、A

6、C

7、D 8、A 9、B 10、D

二、填空题

11、满射 12、同胚 13、A 的补集A '是一个开集 14 、Y B 15、可分 16、一 17、x 和y 连通

18、X ，)(x f 19、Y 中每一个开集U 的原象)(1U f -是X 中的一个开集

三、名词解释题

1、如果存在一个从集合X 到正整数集Z +的单射，则称集合X 是一个可数集。

2、设X 是一个集合，T 是X 的一个子集族，如果T 满足如下条件：（1）∈φ,X T ，（2）若A ，∈B T ，则∈B A T ，（3）若T ⊂1T ，则1

A ∈∈ T T ，则称T 是X 的一个拓

扑。偶对（X ，T ）是一个拓扑空间。

3、设X 和Y 是两个拓扑空间，如果f:X →Y 是一个一一映射，并且f 和f -1:Y →X 都是连续的，则称f 是一个同胚映射。

4、设X 是一个拓扑空间，如果对于任何x 、y ，存在X 中的一条从x 到y 的道路（或曲线），则称X 是一个道路连通空间。

5、一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个A 1空间。

6、一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个A 2空间。

7、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X 是一个Lindel öff 空间。

8、设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域，它们互不相交，则称拓朴空间X 是一个正则空间。

拓扑学基础复习题

《拓扑学基础》复习题

单项选择题

下列有关连续映射:f X Y →正确的是（ B ）

A 、对X 中的任意开集U ，有()f U 是Y 中的一个开集

B 、Y 中的任何一个闭集B ，有1()f

B -是X 中的一个闭集

C 、Y 中的任何一个子集A ，有1

1()()f A f A --⊂ D 、若f 还是一一映射，则f 是一个同胚映射

设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，则()A ∂=（ D ）

A 、A A -'⋂

B 、00A A ''⋃

C 、0()A ∂

D 、()X A ∂-

下列拓扑性质中，没有继承性的是( D )

A 、1T 空间

B 、2T 空间

C 、3T 空间

D 、4T 空间

下列有关实数空间，不正确的是（ D ）

A 、它满足第一可数性公理

B 、它满足第二可数性公理

C 、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理

D 、它的任何一个子空间都是连通的设A 是度量空间（,X ρ）中的一个非空子集，则下列命题错误的是（ C ）

A 、()x d A ∈当且仅当(,{})0x A x ρ-=

B 、()x d A ∈当且仅当(,)0x A ρ=

C 、对x A ∀∈，且有(,)B x A εφ⋂≠，则A 为X 中的一个开集

D 、x A ∈当且仅当(,)0x A ρ=

填空题

若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称是一个可分空间。

拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质。

实数空间中的有理数集Q ，则()d Q = 。

设Y 是拓扑空间(,)X J 的一个子空间，则Y 的拓扑为 |Y J 。

《拓朴学》题库及答案

《拓扑学》题库及答案

一、单项选择

1．关于笛卡儿积，下面等式成立的是

（A ）)()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯=-⨯- （B ）)()()()(D C B A D B C A I I I ⨯=⨯⨯ （C ）)()()()(D B C A D C B A ⨯⨯=⨯Y Y Y （D ）D B C A ⨯⊆⨯当且仅当D C B A ⊆⊆,

2．设Y X f →:是映射，)(,,X B A P ∈，)(,Y D C P ∈，则下面结论不成立的是：（A ）)()()(111D f C f D C f ---=Y Y （B ）)()()(111

D f C f D C f

---=I I

（C ）)()()(B f A f B A f Y Y = （D ）)()()(B f A f B A f I I =

3．在字典序拓扑空间++⨯Z Z 中，子集+⨯Z }2{是：

（A ）开集，非闭集（B ）闭集，非开集（C ）即开，且闭集（D ）即非开集，也非闭集

4．设R R →2

:d 为映射，（R 表示实数集合），R ∈∀y x ,，下面关于d 的定义中是R 的度量的是：

（A ）2

(,)()d x y x y '=- （B ）2

2),(y x y x d -=

（C ）||||),(y x y x d += （D ）⎩⎨

⎧=≠=y

x y

x y x d 01),(

5．设)T ,(X 是平庸拓扑空间，b a X b a ≠∈,,，则交错序列Λb a b a ,,,在拓扑空间)T ,(X 中的收敛点集合是：（A ）∅ （B ）}{a （C ）},{b a （D ）X

答案-拓扑学基础

东北大学秦皇岛分校

课程名称：拓扑学基础（答案）试卷： A 考试形式：闭

卷

授课专业：数学与应用数学考试日期： 2013年 7月试卷：共 3 页

一、填空题：（每空2分，共20分）

1．设{1,2,3}X =，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链平凡拓扑，{,,{3},{1,3}}X ∅，{,,{1}}X ∅， {,,{2}}X ∅，

{,,{3}}X ∅。（注：答案不唯一，正确即可）

2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ，抛物线的连通分支的个数是 1 。 3．字母Y 的割点个数为无穷。字母T 中指数为3的点个数为 1 。 4．叙述同胚映射的定义拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一

对

应

且

它

的

逆

也

是

连

续

的。二、选择题：（每题2分，共8分） 1．下列说法中正确的是（ B ）

A 连通空间一定是道路连通空间

B 道路连通空间一定是连通空间

C 道路连通空间一定局部道路连通

D 以上说法都不对 2．下列说法正确的是（ A ）

A 紧空间的闭子集紧致

B 紧致空间未必局部紧致

C 有限空间一定不紧致

D 列紧空间是紧致空间 3．下列说法错误的是（ A ）

A 离散空间都是1T 空间

B 2T 空间中单点集是闭集

C ¡赋予余有限拓扑不是2T 空间

D 第二可数空间可分 4．下列不具可乘性的是（ D ）

A 紧致性

B 连通性

C 道路连通性

D 商映射

三、计算题：（共16分）

1．在¡上赋予余有限拓扑，记¤为有理数集合，[0,1]I =。试求'¤和I 。（4分）答：'=

点集拓扑学期末考试练习题(含答案)

① T 二{X, ,{a},{ a,b},{ c}} ② T 二{X, ,{a},{ a, b},{a,c}}

③ T ={X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④ T ={X, ,{a},{ b},{ c}}

3、已知X 二｛a,b,c,d ｝,下列集族中，（）是X 上的拓扑.

② T ={X, ,{a},{b},{ a,b},{a,c}}

③ T ={X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④ T ={X, ,{a},{ b},{ c}}

5、已知X 二{a,b,c,d},下列集族中，（）是X 上的拓扑.

① T 二{X, ,{a,b},{a,c,d}} ② T

③ T ={X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④ T ={ X, ,{a},{ c},{ a,c}}

答案：④ 6设X ={ a, b, c}，下列集族中，（）是X 上的拓扑.

① T ={X, ,{a},{ b},{ b,c}} ② T ={X, ,{a,b},{ b,c}}

③ T ={X, ,{a},{ a,c}} ④ T ={X, ,{a},{ b},{ c}}

答案：③ 7、已知 X ={a,b,c,d}，拓扑 T ={X, ,{a}},则{b}=（）

①© ②X ③｛b ｝ ④｛b, c, d ｝

答案：④

8、已知 X 二{a,b,c,d}，拓扑 T 二{X, ,{a}},则{b, c,d}=（）点集拓扑学期末考试

一、单项选择题（每题1分） 1、已知X =｛a,b,c,d,e ｝,下列集族中,（）是X 上的拓扑• ① T ={X, ,{a},{ a,b},{ a,c,e}} ② T ={X, ,{a,b,c},{ a,b,d},{ a,b,c,e}}

《基础拓扑学讲义》部分习题解答

《基础拓扑学讲义》部分习题解答六

1．设(,)X Γ是空间，是任何一个不属于1T ∞X 的元素。

令*{}X X =∞∪和*{}*X Γ=Γ∪。证明：

（1）**(,X )Γ是一个拓扑空间。

（2）**(,X )Γ是一个空间但不是空间。

0T 1T 证明（1）（略）

（2）先证(,X ∗∗)Γ是空间：由于0T X 是空间，故也是

空间，对1T 0T X ∗中的任意两个不相同的点，如果这两个点都不是，则有一个点有一个开邻域不包含另一个点；如果这两个点有一个是∞，则对另一点记为∞p （p ≠∞）而

言，X 是包含点p 的一个开邻域，

并且X ∞∉，所以是T 空间．

(,X ∗∗Γ))0再说明(,X ∗∗Γ不是空间：由于1T {}X ∗∗Γ=Γ∪ ，故包含的开邻域只有一个，就是∞{}X X ∗=∪∞，因此对X 中一点p 而言，包含∞的开邻域一定包含p ，所以不是空间．

(,X ∗∗Γ)1T 2.设和Γ Γ

是集合X 上的两个拓扑，并且 Γ⊂Γ。证明：如果拓扑空间(,)X Γ是一个或空间，则拓扑空间0T 1T (,)X Γ

相应也是一个或空间。

0T 1T

证明（1）若是空间，则对(,)X Γ0T X 中任意两个不同的点，存在一个点的一个开邻域不包含另外一个点，

又 Γ⊂Γ，故上述开邻域也是该点在拓扑空间 (,)X Γ

下的一个开邻域，它同样不包含另一个点，得到 (,)X Γ也是空间．

T （2）若(,)X Γ是空间，则对1T X 中任意两个不同的点x 与，分别各自存在一个开邻域不包含另外一点，又

y Γ⊂Γ

，这两个开邻域也是点x 与在拓扑空间y (,)X Γ下的开邻域，它们同样不包含另一个点，得到 (,)X Γ也是空间．

拓扑学期末考试题及答案

一、选择题（共20题，每题2分，共40分）

1. 拓扑学的基本研究对象是：

A. 点

B. 线

C. 面

D. 拓扑空间

答案：D

2. 拓扑学中的同胚关系是指：

A. 相似但不完全相同的两个拓扑空间

B. 可由连续映射建立起来的两个拓扑空间

C. 有相同的拓扑结构的两个拓扑空间

D. 具有同样的几何性质的两个拓扑空间

答案：C

3. 拓扑学中的紧集是指：

A. 有界闭合集

B. 无限集合

C. 有限集合

D. 开集

答案：A

4. 拓扑空间中的度量是用来衡量：

A. 点的位置关系

B. 集合的大小

C. 集合的连接性

D. 集合中元素之间的距离

答案：D

5. 拓扑学中的连通性是指：

A. 一个集合内部的连接性

B. 一个集合外部的连接性

C. 一个集合与其他集合的连接性

D. 一个集合内部和外部的连接性答案：A

6. 拓扑空间中的完备性是指：

A. 所有点都能找到相邻点

B. 所有点都能找到非相邻点

C. 不存在孤立点

D. 所有柯西序列都有极限点答案：D

7. 拓扑学中的邻域是指：

A. 包含某点的开集

B. 包含某点的闭集

C. 与某点连通的集合

D. 与某点不相交的集合

答案：A

8. 拓扑学中的连续映射是指：

A. 映射后保持拓扑结构不变

B. 映射后改变拓扑结构

C. 映射前后的关系

D. 映射的性质

答案：A

9. 拓扑学中的嵌入是指：

A. 一种映射关系

B. 一种集合运算

C. 一种连通性

D. 一种对应关系

答案：A

10. 拓扑学中的同伦是指：

A. 具有相同基本形状的两个拓扑空间

B. 可以通过连续变形相互转换的两个拓扑空间

C. 有相同拓扑结构但不是同胚的两个拓扑空间

点集拓扑学期末考试练习题(含答案)

点集拓扑学期末考试

一、单项选择题（每题1分）

1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.

① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T

③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③

2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.

① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T

③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T

答案：② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.

① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T

③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T

答案：① 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.

① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T `

③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T

点集拓扑学考试题目及答案

下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试

有帮助。

二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例）

1、拓扑空间中有限集没有聚点。

答：这个说法是错误的。

反例：x = abQ，规定拓扑，%,⑨，则当

A = ：a 1时，匕和都是A的聚点。因为b和C的领域只有X 一个，它包含a，a不是A的聚点，因为A '。

2、欧式直线E1是紧致空间。

答：这个说法是错误的。

反例：对E1而言，有开覆盖」1-n,n|n Z ］而对于该开覆盖没有有限子覆盖。

3、如果乘积空间X Y道路连通，则X和Y都是道路连通空间。

答：这个说法是正确的。

证明：对于投射有RX Y = X , P2 X Y=Y，由投射是连续的，又知X Y是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以X和Y都是道路连通空间。

4、单位闭区间I与S1不同胚。

答：这个说法是正确的。

下面用反证法证明，反设I与S1同胚，则f|2 {1；：2 {pTS1{f茁也是同胚映射，I石不连通，则S1 {2}不连通，故矛盾，所以单位闭区间I与S1不同胚。

5、紧致性具有可遗传性质。

答：这个说法是错误的。

反例：Q11紧致但0,1不紧致。

三、证明题（每题10分，共50分）

x x v. 0

1、规定f ：E1f0,1h E1为f（x）补x才，证明f是连续映射，但不是同胚映射。

证明：由于f限制在,0与1「：上连续，由粘接引理，f连续。但f _1不连续，如,0是E1 0,1的闭集，但f 一1一1 - 二,0 = f - ,0 = - ,0不是E1的闭集，

点集拓扑学期末考试练习题(含答案)

点集拓扑学期末考试

一、单项选择题（每题1分）

1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.

① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T

③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③

2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.

① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T

③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T

答案：② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.

① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T

③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T

答案：① 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.

① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T

③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T

《点集拓扑学》复习题

《点集拓扑》复习题

一、概念叙述

1、拓扑空间

2、邻域、邻域系

3、集合A 的凝聚点

4、闭包

5、基子基

6、子空间

7、（有限）积空间

8、隔离子集

9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、1A 空间 14、2A 空间 15、可分空间 16、Lindeloff 空间 17、i T 空间（1,2,3,4i =） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间二、判断题

1、有限集不可能有聚点（）

2、拓扑空间X 的子集A 是闭集的充要条件是A A = （）

3、如果A B ⋂≠∅，则A B A B ⋂=⋂ （）

4、设Y 是拓扑空间X 的子空间，A 是Y 的子集，则A 在Y 中的导集是A 在X 中的导集与Y 的交。（）５、若:f X Y →是同胚映射，则()f X Y = （）６、离散空间中任意子集的导集都是空集（）

７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集（）８、度量空间必是2A 空间（）９、在l R 中，(],a b 是开集（）

１０、映射:f X Y →是连续映射的⇔若拓扑空间Ｘ中序列{}i x 收敛于

x X ∈，则扑拓空间Ｙ中相应序列(){}i f x 收敛于()f x （）

１１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y C ⊂ （）１２、2A 空间必为可分空间（）１３、正则且正规空间必为0T 空间（）１４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集（）

师园拓扑学考试复习题

一、单项选择题（每题2分）选20题考

2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ② ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T

3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ①）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T

19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ① ） ① φ ② Q ③ R -Q ④ R

20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ④ ） ① φ ② Q ③ R -Q ④ R

21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ① ） ① φ ② Z ③ R -Z ④ R

23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ③ ）

① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)

25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ④ ）

① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)

29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ① ）

① ()d A φ= ② ()d A X A =-

点集拓扑习题与参考答案

点集拓扑学练习题

一、单项选择题（每题1分）

1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T

② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T

③ {,,{},{,}}X a a b φ=T

④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T

答案：③

2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.

① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T

答案：②

3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案：①

4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.

① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T

拓扑学复习题与参考答案精讲