拓扑学复习题与参考答案精讲

点集拓扑学练习题

一、单项选择题（每题2分）

1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.

① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T

② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T

③ {,,{},{,}}X a a b φ=T

④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T

2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.

① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T

③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T

3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.

① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T

③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T

4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.

① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T

③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T

5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.

① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T

③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T

6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.

① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T

③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T

7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）

①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d

8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）

①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d

9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）

①φ ② X ③ {}a ④ {}b

10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）

①φ ② X ③ {}a ④ {}b

11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）

①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d

12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）

①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d

13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为

（ ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

15、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为

（ ）

① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3

16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）

① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3

17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

18、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集

的个数为（ ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）

① φ ② Q ③ R -Q ④ R

20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ?是（ ）

① φ ② Q ③ R -Q ④ R

21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）

① φ ② Z ③ R -Z ④ R

22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ?是（ ）

① φ ② Z ③ R -Z ④ R

23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）

① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)

24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）

① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3)

25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）

① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)

26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（

） ① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B ?=?

③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A =

27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（

） ① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B -=-

③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A =

28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）

① ()d A B A B ?=? ② A B A B -=-

③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ (())()d d A A d A ??

29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① ()d A φ= ② ()d A X A =-

③ ()d A A = ④ ()d A X =

30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（ ）

① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-

③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠

31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）

① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =

③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A =

32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ）

① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}

② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}

③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}

④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}

33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=?∈?T 是X 的拓扑，

则（ ）是T 的基.

① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈

③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈-

34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.

① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}

③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }

35、离散空间的任一子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭

36、平庸空间的任一非空真子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭

37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )

① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭

38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,4

1,……},则A ＝（ ） ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A

39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）

① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集

40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）

① 整数集Z ② 有理数集

③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '

41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）

① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个

43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个

① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9

44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )

①T , T X φ∈? ② T ,T X φ?∈

③当T T '?时,

T T U U '∈∈ ④ 当T T '?时,T T U U '∈∈

45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）

① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭

46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ?,且满足()d A B A ??,则B 是（ ）

① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭

47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A

的拓扑为( )

① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=

③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=

48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A

的拓扑为( )

① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=

③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=

49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A

的拓扑为( )

① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=

③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=

50、设{

1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )

① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=

③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=

51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )

① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=

③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=

52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )

① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=

③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=

53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）

① {,}T Z φ= ② ()T P Z =

③ T Z = ④ {}T Z =

54、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，

则1P 是（ ）

① 单射 ② 连续的单射

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射

55、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则

2P 是（ ）

① 单射 ② 连续的单射

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射

56、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ）

① 单射 ② 连续的单射

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射

57、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ）

① 单射 ② 连续的单射

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射

58、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ）

① 单射 ② 连续的单射

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射

59、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，

则6P 是（ ）

① 单射 ② 连续的单射

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射

60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ?是它们的积空间,1A X ?，2B X ?，

则有（ ） ① A B A B ?≠? ② A B A B ?=?

③()A B A B ?≠? ④ ()()()A B A B ??=???

61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）

① 不连通子集 ② 连通子集

③ 开集 ④ 以上都不对

62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）

① 不连通子集 ② 连通子集

③ 开集 ④ 以上都不对

63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）

① 不连通子集 ② 连通子集

③ 开集 ④ 以上都不对

64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ??, 则Z 为( )

①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集

65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ?是（ ）

① 离散空间 ② 不一定是平庸空间

③ 平庸空间 ④ 不连通空间

66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ?是（ ）

① 离散空间 ② 不一定是离散空间

③ 平庸空间 ④ 连通空间

67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ?是（ ）

① 离散空间 ② 不一定是连通空间

③ 平庸空间 ④ 连通空间

68、实数空间R 中的连通子集E 为( )

① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对

69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )

① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对

70、实数空间R 中的连通子集E 为( )

① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点

71、下列叙述中正确的个数为（ ）

（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的

（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

72、实数空间R ( )

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理

③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理

③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理

③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

75、无理数集作为实数空间R 的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理

③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理

③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理

③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

78、2维欧氏间空间2R （ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理

③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

79、3维欧氏间空间3R （ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理

③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）

① 平庸性 ② 连通性

③ 离散性 ④ 第一可数性公理

81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）

① 第一可数性公理 ② 连通性

③ 第二可数性公理 ④ 平庸性

82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）

① 第一可数性公理 ② 可分性

③ 第二可数性公理 ④ 离散性

83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）

① 平庸性 ② 可分性

③ 离散性 ④ 第二可数性公理

84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ?∈≠,均有{}{}x y ≠,

则X 是( )

① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对

85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )

① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对

86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )

① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间

87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )

① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对

88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )

① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对

89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )

① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对

90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )

① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对

91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )

①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对

92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，

则X 是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间

93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，

则X 是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间

94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ?∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域

V ,使得V U ?,则X 是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间

95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A

的一个开邻域V ,使得V U ?,则X 是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间

96、设{1,23}X =，

，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间

97、设{1,23}X =，

，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间

98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )

①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间

99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )

①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间

100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )

①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间

101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )

①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间

102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（

） ① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间

103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）

① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对

104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（ ）

① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对

105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（ ）

① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对

106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（ ）

① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集

107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（ ）

① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集

108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（ ）

① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集

109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（ ）

① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间

二、填空题（每题2分）

1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;

2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;

3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;

4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.

5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;

6、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则()

d A= ;

7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则A= ;

8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则()

d A= ;

9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则A= ;

10、设{1,2,3}

X=,X的拓扑{,,{2},{2,3}}

=,则X的子集{1,2}

A=的内部

T Xφ

为 ;

11、设{1,2,3}

A=的内部

=,则X的子集{1,3} X=,X的拓扑{,,{1},{2,3

T Xφ

为 ;

12、设{1,2,3}

A=的内部

=,则X的子集{1,2}

T Xφ

X=,X的拓扑{,,{1},{2,3

为 ;

13、设{1,2,3}

A=的内部

=,则X的子集{1,3} X=,X的拓扑{,,{2},{2,3}}

T Xφ

为 ;

14、设{,,}

=,则X的平庸拓扑为 ;

X a b c

15、设{,,}

=,则X的离散拓扑为 ;

X a b c

16、设{1,2,3}

A=的内部

=,则X的子集{1,3}

T Xφ

X=,X的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}

为 ;

17、设{1,2,3}

A=的内部

=,则X的子集{1,2}

T Xφ

X=,X的拓扑{,,{1},{3},{1,3}

为 ;

18、:f X Y

→是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集()

f X的一个同胚，则称映射f是一个 .

19、:f X Y

→是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个 .

20、设,

→是一个映射，若X中任何一个开集U的象集X Y是两个拓扑空间，:f X Y

f U是Y中的一个开集，则称映射f是一个;

()

21、设,

→是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集X Y是两个拓扑空间，:f X Y

()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;

22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=,则X 是一

个 ；

23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=,则X 是一

个 ；

24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 ；

25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ?满足Y Z Y ??，则Z 也是X 的一

个 ;

26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射

下的象所具有，则称这个性质是一个 ；

27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所

具有，则称这个性质是一个 ；

28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ???也具

有性质P ，则性质P 称为 ;

29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ?=,则称

X 是一个 ；

30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ?满足 ;

31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ?也满足 ;

32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;

33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个 ；

34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；

35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个 ；

36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质

P 为 ;

37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质

P 为 ;

38、设X 是一个拓扑空间，如果

则称X 是一个0T 空间;

39、设X 是一个拓扑空间，如果

则称X 是一个1T 空间;

40、设X 是一个拓扑空间，如果

则称X 是一个2T 空间;

41、正则的1T 空间称为 ；

42、正规的1T 空间称为 ；

43、完全正则的1T 空间称为 ；

44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间

X 是一个 .

45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，

则称Y 是拓扑空间X 的一个 .

46、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空

间X 是一个 .

47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是

一个 .

48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑

空间X 是一个 .

三．判断（每题3分，判断1分，理由2分）

1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )

2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( )

3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）

4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）

5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）

6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）

7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得

,A B A B X φ?=?=（ ）

8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )

9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）

10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理

（ ）

11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理

（ ）

12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )

13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )

14、设{1,23}X =，

，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )

15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )

16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）

17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）

18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ?是一个紧致子集.( )

19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )

四．名词解释(每题2分)

1．同胚映射

2、集合A 的内点

3、集合A 的内部

4．拓扑空间(,)T X 的基

5．闭包

6、序列

7、导集

8、不连通空间

9、连通子集

10、不连通子集

11、1 A 空间

12、2 A 空间

13、可分空间

14、0T 空间：

15、1T 空间：

16、2T 空间：

17、正则空间：

18、正规空间：

19、完全正则空间：

20、紧致空间

21、紧致子集

22、可数紧致空间

23、列紧空间

24、序列紧致空间

五．简答题（每题4分）

1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ?.试说明()()d A d B ?.

2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也

是连续映射.

3、设X 是一个拓扑空间，A X ?.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.

4、设X 是一个拓扑空间，A X ?.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.

5、在实数空间R 中给定如下等价关系：

~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x

设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .

6、在实数空间R 中给定如下等价关系:

~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x

设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 7、在实数空间R 中给定如下等价关系：

~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x

设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .

8、在实数空间R 中给定如下等价关系：

~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x

设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .

9、在实数空间R 中给定如下等价关系:

~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x

设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 10、在实数空间R 中给定如下等价关系:

~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x

设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 11、在实数空间R 中给定如下等价关系:

~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x

设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .

12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.

13、试说明实数空间R 是可分空间.

14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.

15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.

16、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.

17、设(,)X T 是一个1T 空间，∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =?∞和

*X =?*T T {}，试说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间.

18、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ?∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ?.

19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ?.

20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.

21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.

22、如果X Y ?是紧致空间，则X 是紧致空间.

23、如果X Y ?是紧致空间，则Y 是紧致空间.

24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.

六、证明题（每题8分）

1、设:f X Y →

是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.

2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ??,则或者A Y ?,或者B Y ?.

3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ??,则或者A Y ?,或者B Y ?.

4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ?满足Y Z Y ??，则Z 也是X 的一个连通子集.

5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.

6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果

A B φ?≠,则A B ?.

7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ?≠.

8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.

9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.

10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公

理，证明：Y 也满足第二可数性公理.

11、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公

理，证明：Y 也满足第一可数性公理.

12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。求证：A 至少有一个凝聚点.

13、证明满足第二可数性公理的空间中每一个由两两无交的开集构成的集族都是可数

族.

14、设X 是一个1T 空间,A X ?,()x d A ∈,证明：x 的每一个邻域U 中都含有A 中的无限

多个点.

15、设X 是一个1T 空间,A X ?,()x d A ∈,证明：对x 的每一个邻域U 有U A ?是无限集.

16、设{}i x 是2T 空间X 的一个收敛序列,证明：{}i x 的极限点唯一.

17、设X 是一个拓扑空间，证明X 是hausdorff 空间当且仅当积空间X X ?的对角线

{(,)|}x x X X x X ?=∈?∈是一个闭集.

18、设X 是Hausdorff 空间，:f X X →是连续映射.证明{|()}A x X f x x =∈=是X 的

闭子集.

19、设X 是一个正则空间，A 是X 的闭子集,A x ?，证明：x 和A 分别有开邻域U 和V 使得φ=?V U .

20、设X 是一个正规空间，A ，B 是X 的两个无交的闭子集.证明：A 和B 分别有开邻

域U 和V 使得φ=?V U .

21、设X 是一个拓扑空间，[0,1]是闭区间，若对X 的任何两个无交的闭集,A B 都存在

一个连续映射:[0,1]f X →,使得当x A ∈时，()0f x =,当x B ∈时，()1f x =.证明：X 是一个正规空间.

22、若4T 空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集.

23、X 是4T 空间，B 为X 的一个拓扑基，则对于每一个B ∈B 及x ∈B ,都有一个1B ∈B

使得x ∈1B ?B .

24、设X 为Hausdorff 空间 ,X X f →:是一个连续映射, 且f f f = ．证明:)

(X f 是X 的闭集．

25、设X 是1T 空间，A 是X 的至少含有两点的连通子集，则A 一定是无 限集．

26、若拓扑空间的每一个紧致子集都是闭集，则X 的每个收敛序列{}i x 的极限点唯一.

27、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个连续映射.如果A 是X 的一个紧致子集，证明()f A 是Y 的一个紧致子集.

28、设X 是一个正则空间，A 是X 的一个紧致子集，X Y ?.证明：如果A Y A ??,则Y 也是X 的一个紧致子集.

29、设X 是一个正则空间，A 是X 的一个紧致子集.证明：A 也是X 的一个紧致子集.

30、设X 是一个Hausdorff 空间，A 是它的一个非空集族，由X 的紧致子集构成，证明：A A ∈A 是X 的一个紧致子集.

31、设:f X Y →是连续的一一对应，其中X 是紧致空间，Y 是一个Hausdorff 空间，证明:f X Y →是一个同胚映射.

32、Y 是拓扑空间X 的子空间，A 是Y 的紧致子集，证明A 是X 的紧致子集. 33、Y 是拓扑空间X 的子空间，若A 是X 的紧致子集，证明A 是Y 的紧致子集.

34、设X 是一个Hausdorff 空间.如果A 是X 的一个不包含点x X ∈的紧致子集，则点x 和紧致子集A 分别有开邻域,U V 使得U V φ?=.

35、证明Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭子集.

36、证明每一个紧致的Hausdorff 空间都是正则空间．

37、设X 是一个Hausdorff 空间．如果,A B 是X 的两个无交的紧致子集，则它们分别

有开邻域U 和V 使得U V φ?=．