2018届广东省高三理科数学专题突破训练：导数及其应用 精品

广东省2018届高三数学理专题突破训练：导数及其应用1、（2014广东高考）设函数()f x =，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D ；（用区间表示） （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合.2、（2013广东高考）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ). (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .3、（2012广东高考）设1a <，集合{}0A x R x =∈>，(){}223160B x R x a x a =∈-++>，D A B = .（Ⅰ）求集合D （用区间表示）；（Ⅱ）求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 4、（中山市第一中学等七校2018届高三第一次联考）1)(0:23),(,)(20)(,21,()(121212<<<∞+-=∈-=x f k x x x x x f x f k e R k x ke x f x ）的条件下，试证明）在（（的取值范围。

求有两个极值点）若函数（）上的单调性。

，在区间（判断函数）若（是自然对数的底数）其中已知函数5、（广州市第六中学2018届高三上学期第一次质量检测）已知函数ax x ax x f -++=2)2121ln()(（a 为常数，0>a ）（Ⅰ）若21=x 是函数)(x f 的一个极值点，求a 的值；（Ⅱ）求证：当20≤<a 时，)(x f 在),21[+∞上是增函数；（Ⅲ）若对任意的)2,1(∈a ，总存在]1,21[0∈x ，使不等式)1()(20a m x f ->成立，求正实数m 的取值范围.6、（广州市海珠区2018届高三摸底考试）已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3． （1）求实数a 的值；（2）若,k Z ∈不等式()()1k x f x -<在()1+x ∈∞，上恒成立，求k 的最大值；（3）当4n m >≥时，证明:()()mnn m mn nm >．7、（广州市执信中学2018届高三上学期期中考试）设函数()()ln ln 0,0f x x a x a a=->>且为常数. （Ⅰ）当1k =时，判断函数()f x 的单调性，并加以证明； （Ⅱ）当0k =时，求证：()0f x >对一切0x >恒成立； （Ⅲ）若0k <，且k 为常数，求证：()f x 的极小值是一个与a 无关的常数.8、（惠州市2018届高三第二次调研考试）已知0a >，函数2()ln f x x ax =-.（()f x 的图像连续不断）（1）求()f x 的单调区间；（2）当18a =时，证明：存在()02,x ∈+∞，使03()()2f x f =； （3）若存在均属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明.ln 3ln 2ln 253a -≤≤9、（惠州市2018届高三第一次调研考试）已知关于x 的函数321()3f x x bx cx bc =-+++，其导函数为()f x '．记函数()()g x f x '= 在区间[]11-,上的最大值为M ．(1) 如果函数()f x 在1x =处有极值43-，试确定b c 、的值；(2) 若1b >，证明对任意的c ，都有2M >；(3) 若M k ≥对任意的b c 、恒成立，试求k 的最大值．10、（江门市普通高中2018届高三调研测试）已知函数f （x ）=x 3+ax 2﹣1（a ∈R 是常数）．（1）设a=﹣3，x=x 1、x=x 2是函数y=f （x ）的极值点，试证明曲线y=f （x ）关于点对称；（2）是否存在常数a ，使得∀x ∈[﹣1，5]，|f （x ）|≤33恒成立？若存在，求常数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线y=f （x ）关于点M 对称是指，对于曲线y=f （x ）上任意一点P ，若点P 关于M 的对称点为Q ，则Q 在曲线y=f （x ）上．）11、（韶关市十校2018届高三10月联考）已知函数)(ln 1)(R a x x ax f ∈++=（1）当2=a 时，比较)(x f 与1的大小； （2）当29=a 时，如果函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，求实数k的取值范围；（3）求证：对于一切正整数n ，都有121715131)1ln(+++++>+n n12、（深圳市2018届高三上学期第一次五校联考）已知函数()()2ln 0f x x a x x a =--≠.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若0a >，设()11A x y ，，()22B x y ，是函数()f x 图像上的任意两点（12x x <），记直线AB 的斜率为k ，求证：'1223x x f k +⎛⎫> ⎪⎝⎭.13、（广东省实验中学2018届高三第一次阶段考）已知R λ∈，函数(1)()ln 1x f x x x λλ-=-+-，其中[1,)x ∈+∞．（Ⅰ）当2λ=时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）在函数ln y x =的图像上取点(,ln )nP n n ()n N *∈，记线段P n P n +1的斜率为k n ，12111n nS k k k =+++ ．对任意正整数n ，试证明：（ⅰ）(2)2n n n S +<； （ⅱ）(35)6n n n S +>．14、（阳东一中、广雅中学2018届高三第一次联考）已知函数||ln )(b x x ax x f ++=是奇函数，且图像在点))( , (e f e 处的切线斜率为3（e 为自然对数的底数）． （1）求实数a 、b 的值； （2）若Z k ∈，且1)(-<x x f k 对任意1>x 恒成立，求k 的最大值；15、（湛江市2018届高中毕业班调研测试）已知函数（a ∈R ）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；（Ⅱ）当时，讨论f （x ）的单调性．参考答案1、解：（1）依题意有222(2)2(2)30x x k x x k +++++->()()222+3210xx k x x k ++⋅++->2,31,13k k k <-∴+<-<- 故222+3=021=0x x k x x k ++++-，均有两根记为12341111x x x x =-=-=-=-注意到3124x x x x >>>，故不等式()()222+3210xx k x x k ++⋅++->的解集为()()()4213,,,x x x x -∞⋃⋃+∞ ，即()()()4213,,,D x x x x =-∞⋃⋃+∞ （2）令()222=(2)2(2)3,g x xx k x x k x D +++++-∈则()()()()'22=2(2)222(22)412+1g x x x k x x x x x k ++⋅+++=+⋅++ 令()'0g x =，注意到2,11k k <-+<-，故方程2210x x k +++=有两个不相等的实数根记为5611x x =-=-71x =-注意到3512641x x x x x x >>>->>>结合图像可知 在区间()()23,1,,x x -+∞上()'0g x >，()g x 单调递增在区间()()41,,1,x x -∞-上()'0g x <，()g x 单调递减故()f x 在区间()()23,1,,x x -+∞上单调递减，在区间()()41,,1,x x -∞-上单调递增. （3）(1)f ==在区间D 上，令()()1f x f =，即，即2222(2)2(2)3=812x x k x x k k k +++++-++()()222(2)2(2)350x x k x x k k k +++++-+⋅+=()()2223250x x k k x x k k ⎡⎤⎡⎤++-+++++=⎣⎦⎣⎦ 22232250x x x x k ⎡⎤⎡⎤+-+++=⎣⎦⎣⎦()*方程22250x x k +++=的判别式8160k ∆=-->，故此方程()*有4个不相等的实数根，记为8910111,3,11x x x x ==-=-=-注意到6k <-，故，1211,13x x =->=-<-，故89,x x D ∈(103110x x -=-+-+=>，故10x D ∈4112420k k x x -----==>故11x D ∈结合()()()4213,,,D x x x x =-∞⋃⋃+∞和函数的图像 可得()(1)f x f >的解集为()()()()1142981310,,,,x x x x x x x x ⋃⋃ 2、【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x =当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表()f x ()0,ln 2为(),0-∞,()ln 2,+∞.(Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k kk-'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增,所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311k h k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-, 令()3k k e k ϕ=-,则()330k k e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>, 当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.3、解析：（Ⅰ）考虑不等式()223160x a x a -++>的解. 因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦，且1a <，所以可分以下三种情况：①当113a <<时，0∆<，此时B =R ，()0,D A ==+∞.②当13a =时，0∆=，此时{}1B x x =≠，()()0,11,D =+∞ .③当13a <时，0∆>，此时()223160x a x a -++=有两根，设为1x 、2x ，且12xx <，则1x =2x=，于是{}12B x x x x x =<>或.当103a <<时，()123102x x a +=+>，1230x xa =>，所以210x x >>，此时()()120,,D x x =+∞ ；当0a ≤时，1230x x a =≤，所以10x ≤，20x >，此时()2,D x =+∞.综上所述，当113a <<时，()0,D A ==+∞；当13a =时，()()0,11,D =+∞ ；当103a <<时，()()120,,D x x =+∞ ；当a ≤时，()2,D x =+∞.其中1x 2x （Ⅱ）()()26616f x x a x a '=-++，令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <，所以()0f x '=有两根1m a =和21m =，且12m m <.①当113a <<时，()0,D A ==+∞，此时()0f x '=在D 内有两根1ma =和21m =，列表可得x ()0,aa(),1a1 ()1,+∞()f x '+ 0 - 0 + ()f x递增极小值递减极大值递增所以()f x 在D 内有极大值点1，极小值点a .②当13a =时，()()0,11,D =+∞ ，此时()0f x '=在D 内只有一根113m a ==，列表可得 x 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 13 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞()f x ' + 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点. ③当103a <<时，()()120,,D x x =+∞ ，此时1201a xx <<<<（可用分析法证明），于是()0f x '=在D 内只有一根1ma =，列表可得x ()0,aa()1,a x ()2,x +∞()f x ' + 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点. ④当0a ≤时，()2,D x =+∞，此时21x>，于是()f x '在D 内恒大于0，()f x 在D 内没有极值点.综上所述，当113a <<时，()f x 在D 内有极大值点1，极小值点a ；当103a <≤时，()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点.当0a ≤时，()f x 在D 内没有极值点.4、【答案解析】(I) 函数f （x ）在区间（0，+∞）上是单调递减函数(II)解析：解：（Ⅰ）若k=﹣2，f （x ）=﹣2e x ﹣x 2，则f'（x ）=﹣2e x﹣2x ，当x ∈（0，+∞）时，f′（x ）=﹣2e x﹣2x ＜0， 故函数f （x ）在区间（0，+∞）上是单调递减函数． （Ⅱ）函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是f′（x ）=ke x﹣2x=0的两个根，即方程有两个根，设，则，当x ＜0时，φ′（x ）＞0，函数φ（x ）单调递增且φ（x ）＜0；当0＜x ＜1时，φ′（x ）＞0，函数φ（x ）单调递增且φ（x ）＞0；当x ＞1时，φ′（x ）＜0，函数φ（x ）单调递减且φ（x ）＞0．要使有两个根，只需，故实数k的取值范围是．（Ⅲ）由（Ⅱ）的解法可知，函数f （x ）的两个极值点x 1，x 2满足0＜x 1＜1＜x 2，由，得，所以，由于x 1∈（0，1），故，所以0＜f （x 1）＜1． 5、解析：ax a a x ax a x ax ax f +--=-++=1)22(22212121)('2（Ⅰ）由已知，得0)21('=f 且0222≠-a a ，022=--∴a a ， 0>a ，2=∴a （Ⅱ）当20≤<a 时，02)1)(2(22212222≤+-=--=--aa a a a a a a a a 22212-≥∴，∴当21≥x 时，0222≥--a a x 又012>+axax ， 0)('≥∴x f ，所以)(x f 在),21[+∞上是增函数；（Ⅲ）当)2,1(∈a 时，由（Ⅱ）知，f(x)在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的最大值为()111ln 122f a a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭则问题转化为对于任意的)2,1(∈a ，不等式()211ln 11022a a m a ⎛⎫++-+-> ⎪⎝⎭恒成立，令()()()211ln 111222g a a a m a a ⎛⎫=++-+-<< ⎪⎝⎭，则()()121'1221211112a ma g a ma ma m a a a a m ⎡⎤⎛⎫=-+=--=--⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦+++⎝⎭⎣⎦，因为m ＞0，若1112m->，可知g(a)在区间11,min 2,12m ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上递减，在此区间上有g (a) ＜g(1)=0，与g(a) ＞0恒成立矛盾，所以1112m-<，此时()'0g a >，g(a)在(1,2)递增，恒有g(a) ＞g(1)=0，满足题意，所以01112m m>⎧⎪⎨-≤⎪⎩ ，解得14m ≥，所以实数m 的取值范围为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.6、解析：（1）因为()()ln ,ln 1f x ax x x f x a x '=+=++所以 ----1分()ln 3f x ax x x x e += 函数的图像在处切线斜率为 ()3f e '∴=，即a+lne+1=3，1a ∴= ----3分（2）即()11f xk x x =>-对任意恒成立，由（1）知()ln f x x x x =+所以ln 1x x x k x +<-对任意x>1恒成立 --------4分令()()()2ln ln 2,11x x x x x g x g x x x +--'==--则 ------5分 令()()()11ln 2,110x h x x x x h x xx-'=-->=-=>则∴函数()h x 在()1,+∞上单调递增 。