2017届人教A版 圆锥曲线 专题突破训练
高中数学第三章圆锥曲线的方程 双曲线的几何性质课后提能训练新人教A版选择性必修第一册
第三章 3.2 3.2.2A 级——基础过关练1．双曲线x 216－y 233＝1的焦点坐标是( )A ．(±17,0)B ．(0,±17)C ．(±7,0)D ．(0,±7)【答案】C【解析】由题意可知c 2＝16＋33＝49,所以c ＝7．由双曲线方程可知焦点在x 轴上．故选C ．2．与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是( )A ．x 23－y 212＝1B ．x 212－y 23＝1C ．x 24－y 216＝1D ．x 212－y 248＝1【答案】A【解析】依题意设双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0),将点(2,2)代入求得λ＝3,所以所求双曲线的标准方程为x 23－y 212＝1．3．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍,则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4D ．14【答案】A【解析】双曲线方程化为标准形式y 2－x 2－1m＝1,则有a 2＝1,b 2＝－1m ,由题设条件知2＝－1m ,所以m ＝－14． 4．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0,则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0,对比3x ±2y ＝0得a ＝2．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的一个焦点为F (2,0),且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切,则双曲线的方程为( )A ．x 29－y 213＝1B ．x 213－y 29＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1【答案】D【解析】由双曲线的渐近线bx ±ay ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知2ba 2＋b 2＝3,又因为c ＝a 2＋b 2＝2,所以有a ＝1,b ＝3,故双曲线的方程为x 2－y 23＝1．6．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为14,则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±32xB ．y ＝±152x C ．y ＝±154x D ．y ＝±225x【答案】C【解析】因为e ＝c a ＝14,不妨设a ＝4,c ＝1,则b ＝15,所以对应双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±154x ．7．(多选)已知双曲线9y 2－4x 2＝－36,则( ) A ．该双曲线的实轴长为6 B ．该双曲线的虚轴长为4 C ．该双曲线的离心率为133D ．该双曲线的渐近线方程为±23x【答案】ABCD【解析】将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程x 29－y 24＝1,即x 232－y 222＝1,所以a ＝3,b ＝2,c ＝13,所以实轴长2a ＝6,虚轴长2b ＝4,离心率e ＝c a＝133,渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x ．故选ABCD ．8．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2),则k 的取值范围是__________．【答案】(－12,0)【解析】双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1,则a 2＝4,b 2＝－k ,c 2＝4－k ,e ＝c a ＝4－k 2,又因为e ∈(1,2),则1＜4－k2＜2,解得－12＜k ＜0． 9．双曲线的离心率为2,则双曲线的两条渐近线的夹角为________． 【答案】90°【解析】因为e ＝c a ＝2,所以a 2＋b 2a ＝2,即a ＝b ,所以双曲线的渐近线方程为y ＝±x ．∴所以双曲线两条渐近线的夹角为90°．10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的一个焦点是F (2,0),离心率e ＝2．(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为1的直线与双曲线C 交于两个不同的点M ,N ,线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积等于4,求直线l 的方程．解：(1)由已知得c ＝2,e ＝2,∴a ＝1,b ＝3． ∴双曲线C 方程为x 2－y 23＝1．(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ,点M (x 1y 1),N (x 2,y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0,①设MN 中点为(x 0,y 0),则x 0＝x 1＋x 22＝m2,y 0＝x 0＋m ＝32m ,∴线段MN 的垂直平分线方程为 y －32m ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2,即x ＋y －2m ＝0, 与坐标轴交点为(0,2m ),(2m,0),得12|2m |·|2m |＝4,则m 2＝2,即m ＝±2, 代入①得Δ＞0,所以l 的方程为y ＝x ±2．B 级——能力提升练11．(多选)下列说法正确的是( )A ．以直线2x ±3y ＝0为渐近线,过点(1,2)的双曲线的标准方程为y 2329－x 28＝1B ．与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线,且过点M (3,－2)的双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1C ．过点(2,0),与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等的双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1D ．与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点,离心率为32的双曲线的标准方程为x 25－y24＝1【答案】ABC【解析】对于A,设所求双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0),将点(1,2)的坐标代入方程,解得λ＝－32,因此所求双曲线的标准方程为y 2329－x 28＝1,A 正确．对于B,设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0),由点M (3,－2)在双曲线上,得44－93＝λ,λ＝－2,故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1,B 正确．对于C,当所求双曲线的焦点在x 轴上时,可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ＞0),将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116,故所求双曲线的标准方程为x24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时,可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ＞0),将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14＜0(舍去),所以所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1,C 正确．对于D,由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0),(3,0),即c ＝3且焦点在x 轴上,设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a＞0,b ＞0),因为e ＝c a ＝32,所以a ＝2,则b 2＝c 2－a 2＝5,故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1,D 错误．故选ABC ．12．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b ＞0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,其一条渐近线方程为y ＝x ,点P (3,y 0)在双曲线上,则PF 1→·PF 2→＝( )A ．0B ．1C ． 2D ．2【答案】A【解析】由渐近线方程为y ＝x 知,b2＝1,所以b ＝2．因为点P (3,y 0)在双曲线上,所以y 0＝±1．y 0＝1时,P (3,1),F 1(－2,0),F 2(2,0),所以PF 1→·PF 2→＝0；y 0＝－1时,P (3,－1),PF 1→·PF 2→＝0．13．具有某种共同性质的所有曲线的集合,称为一个曲线系．已知双曲线C 1：x 29－y 23＝1与双曲线C 2有共同的渐近线,双曲线C 2的渐近线方程是__________；若双曲线C 2还经过点M (3,4),则双曲线C 2的离心率为__________．【答案】y ＝±33x 2 【解析】C 1：x 29－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±33x ,双曲线C 1,C 2有共同的渐近线,所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±33x ．设双曲线C 2的方程为x 29－y23＝k (k ≠0),将点M (3,4)代入得39－163＝k ,解得k ＝－5,所以双曲线C 2的方程为y 215－x 245＝1,离心率e ＝6015＝2．14．如图,已知F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的左焦点,E 是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．【答案】(1,2)【解析】△ABE 是等腰三角形,AE ＝BE ,所以只需∠AEB 为锐角,所以∠AEF ＜45°,所以b 2a＝AF ＜FE ＝a ＋c ,所以e 2－e －2＜0,所以－1＜e ＜2．又因为e ＞1,所以1＜e ＜2,所以e ∈(1,2)．15．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的左顶点为A ,右焦点为F ,动点B 在C 上,当BF ⊥AF 时,|AF |＝|BF |．(1)求双曲线C 的离心率；(2)若点B 在第一象限,求证：∠BFA ＝2∠BAF ．(1)解：设双曲线的半焦距为c ,则F (c,0),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ． ∵|AF |＝|BF |,故b 2a＝a ＋c ,故c 2－ac －2a 2＝0,即e 2－e －2＝0．∴e ＝2．(2)证明：设B (x 0,y 0),其中x 0＞a ,y 0＞0． ∵e ＝2,故c ＝2a ,b ＝3a ． 故渐近线方程为y ＝±3x ,∴∠BAF ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3,∠BFA ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3．又∵tan ∠BFA ＝－y 0x 0－c＝－y 0x 0－2a,tan ∠BAF ＝y 0x 0＋a, ∴tan2∠BAF ＝2y 0x 0＋a1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0x 0＋a 2＝2y 0x 0＋ax 0＋a 2－y 20＝2y 0x 0＋ax 0＋a 2－b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2－1＝2y 0x 0＋ax 0＋a2－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20a 2－1＝2y 0x 0＋ax 0＋a 2－3x 20－a 2＝2y 0x 0＋a －3x 0－a＝－y 0x 0－2a＝tan ∠BFA ．而2∠BAF ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3,故∠BFA ＝2∠BAF ．。
人教A版高中数学选修一第三章《圆锥曲线的方程》提高训练 (1)(含答案解析)
14．(多选)已知椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（）
A． B．
C． D．
三、填空题
15．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点 与双曲线 的左焦点重合，若两曲线相交于 ， 两点，且线段 的中点是点 ，则该双曲线的离心率等于______.
3．椭圆 的左、右焦点分别为 ，过焦点 的倾பைடு நூலகம்角为 直线交椭圆于 两点，弦长 ，若三角形 的内切圆的面积为 ，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
4．已知直线 垂直于抛物线 的对称轴，与E交于点A，B（点A在第一象限），过点A且斜率为 的直线与E交于另一点C，若 ，则p=（ ）
A． B．
C． D．
5．已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）
A． B．
C． D．
6．已知椭圆C： 的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为 ，当 时，则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知椭圆C：x2＋ ＝1(b>0，且b≠1)与直线l：y＝x＋m交于M，N两点，B为上顶点．若BM＝BN，则椭圆C的离心率的取值范围是（）
33．设椭圆 的的焦点为 是C上的动点，直线 经过椭圆的一个焦点， 的周长为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求 的最小值和最大值．
34．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点在坐标轴上，且经过 和 两点；
（2）过点 ，且与椭圆 有相同的焦点．
35．已知动点 到直线 的距离与到定点 的距离的差为 ．动点 的轨迹设为曲线 ．
新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程章末复习练习含解析新人教A版选择性必修第一册
章末复习一、圆锥曲线的定义及标准方程 1．求圆锥曲线方程的常用方法(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系,只需把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型,可设出方程形式,再根据条件确定待定的系数． 2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．例1 (1)已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|,则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上都不对答案 C解析 把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点,直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．(2)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ,设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时,动点M 满足PD →＝2MD →,动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程．解 方法一 由PD →＝2MD →,知点M 为线段PD 的中点,设点M 的坐标为(x ,y ),则点P 的坐标为(x ,2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上, 所以x 2＋(2y )2＝4,所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.方法二 设点M 的坐标为(x ,y ),点P 的坐标是(x 0,y 0), 由PD →＝2MD →,得x 0＝x ,y 0＝2y , 因为点P (x 0,y 0)在圆x 2＋y 2＝4上, 所以x 20＋y 20＝4,(*)把x 0＝x ,y 0＝2y 代入(*)式,得x 2＋4y 2＝4, 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决．跟踪训练1 (1)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为________． 答案 x 2－y 23＝1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝3,因此双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点,F 是抛物线的焦点,点M 的坐标是(2,3),求|PM |＋|PF |的最小值,并求出此时点P 的坐标．解 抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2,那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离,过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2,垂足为D ,那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如图所示,根据平面几何知识,当M ,P ,D 三点共线时,|PM |＋|PF |的值最小, 且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4, 所以|PM |＋|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3,所以其横坐标为98,即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3. 二、圆锥曲线的几何性质1．本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质,其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点． (2)已知圆锥曲线的性质求其方程,基本方法是待定系数法,其步骤可以概括为“先定位、后定量”．2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．例2 (1)如图,F 1,F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析 由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4,|F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形, 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12,所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4, 所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8, 所以|AF 2|－|AF 1|＝22,因此对于双曲线有a ＝2,c ＝3, 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.(2)已知a >b >0,椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1,双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1,C 1与C 2的离心率之积为32,则C 2的渐近线方程为________． 答案 x ±2y ＝0解析 设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2,则e 1＝a 2－b 2a ,e 2＝a 2＋b 2a.因为e 1·e 2＝32,所以a 4－b 4a 2＝32,即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14,所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x , 即x ±2y ＝0.反思感悟 求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a,已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观．跟踪训练2 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ,A ,B 分别是长轴、短轴的一个端点,O 为原点,若△ABO 的面积是3c 2,则此椭圆的离心率是( ) A.12 B.32 C.22 D.33 答案 A解析 12ab ＝3c 2,即a 2(a 2－c 2)＝12c 4,所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0,所以a 2＝4c 2,a ＝2c ,故e ＝c a ＝12.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的焦距为2c ,右顶点为A ,抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ,且|FA |＝c ,则双曲线的渐近线方程为_________．答案 x ±y ＝0 解析 c 2＝a 2＋b 2,①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知, 双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫c ，－p 2,即c 2a 2－p 24b2＝1.② 由|FA |＝c ,得c 2＝a 2＋p 24,③由①③得p 2＝4b 2.④将④代入②,得c 2a 2＝2.∴a 2＋b 2a 2＝2,即ba＝1,故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ,即x ±y ＝0. 三、直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式．2．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的数学核心素养．例 3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0,3),离心率为12,左、右焦点分别为F 1(－c ,0),F 2(c ,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ,B 两点,与以F 1F 2为直径的圆交于C ,D 两点,且满足|AB ||CD |＝534,求直线l 的方程． 解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2,b ＝3,c ＝1, ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知,以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1,∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5, 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0,由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ,x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4m 2－3]＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534,得 4－m25－4m2＝1, 解得m ＝±33,满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.反思感悟 (1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断． (2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具．跟踪训练3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0),其焦点为F 1,F 2,离心率为22,直线l ：x ＋2y－2＝0与x 轴,y 轴分别交于点A ,B .(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点,求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,求a 的取值范围． 解 (1)由椭圆的离心率为22,得a ＝2c , 由A (2,0),得a ＝2, ∴c ＝2,b ＝2, ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由e ＝22,设椭圆方程为x 2a 2＋2y2a2＝1,联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0,若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,则线段AB 与椭圆E 有公共点,等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解． 设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f 0≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4, 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤233，2. 四、圆锥曲线的综合问题1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题,解决的基本思路是利用代数法,通过直线与圆锥曲线的方程求解．2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．例4 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)经过点P (2,2),A ,B 是抛物线C 上异于点O 的不同的两点,其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程； (2)若OA ⊥OB ,求△AOB 面积的最小值．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (2,2)知4p ＝4,解得p ＝1. 则抛物线C 的方程为y 2＝2x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,准线方程为x ＝－12.(2)由题意知,直线AB 不与y 轴垂直,设直线AB ：x ＝ty ＋a ,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝2x ，消去x ,得y 2－2ty －2a ＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝2t ,y 1y 2＝－2a . 因为OA ⊥OB ,所以x 1x 2＋y 1y 2＝0,即y 21y 224＋y 1y 2＝0,解得y 1y 2＝0(舍去)或y 1y 2＝－4. 所以－2a ＝－4,解得a ＝2.所以直线AB ：x ＝ty ＋2. 所以直线AB 过定点(2,0)．S △AOB ＝12×2×||y 1－y 2＝y 21＋y 22－2y 1y 2＝y 21＋y 22＋8≥2||y 1y 2＋8＝4. 当且仅当y 1＝2,y 2＝－2或y 1＝－2,y 2＝2时,等号成立． 所以△AOB 面积的最小值为4.反思感悟 (1)解决最值问题常见的题型,可用建立目标函数的方法求解．(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手,利用直线系或曲线系方程或函数方程思想,通过联想与类比,使问题获解．跟踪训练4 已知动圆P 与圆O 1：x 2－x ＋y 2＝0内切,且与直线x ＝－1相切,设动圆圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上一点M (2,y 0)(y 0>0)作两条直线l 1,l 2与曲线C 分别交于不同的两点A ,B ,若直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,且k 1k 2＝1.证明：直线AB 过定点．(1)解 由题意可知,动圆圆心P 到点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与到直线x ＝－12的距离相等,所以点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点,直线x ＝－12为准线的抛物线,所以曲线C 的方程为y 2＝2x .(2)证明 易知M (2,2),设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为x ＝my ＋b ,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2x ，得y 2－2my －2b ＝0,所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m 2＋2b ，x 1x 2＝b 2，因为k 1k 2＝y 1－2x 1－2·y 2－2x 2－2＝1, 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2), 所以b 2－2b －4m 2＋4m ＝0, 所以(b －1)2＝(2m －1)2, 所以b ＝2m 或b ＝－2m ＋2.当b ＝－2m ＋2时,直线AB 的方程为x ＝my －2m ＋2过定点(2,2)与M 重合,舍去； 当b ＝2m 时,直线AB 的方程为x ＝my ＋2m 过定点(0,－2),所以直线AB 过定点(0,－2)．1．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( ) A ．2sin 40° B ．2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°答案 D解析 由题意可得－b a＝tan 130°, 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130° ＝1＋sin 2130°cos 2130° ＝1|cos 130°|＝1cos 50°.2．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点,则p 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．8 答案 D解析 由题意知,抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0,椭圆的焦点坐标为(±2p ,0), 所以p2＝2p ,解得p ＝8,故选D.3．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |,|AB |＝|BF 1|,则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0),连接F 1A ,令|F 2B |＝m ,则|AF 2|＝2m ,|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知,4m ＝2a ,得m ＝a2,故|F 2A |＝a ＝|F 1A |,则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点),则sin θ＝c a＝1a.在等腰三角形ABF 1中,cos 2θ＝2m2＋3m 2－3m 22×2m ·3m＝13,因为cos 2θ＝1－2sin 2θ,所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2,得a 2＝3.又c 2＝1,所以b 2＝a 2－c 2＝2,椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1,故选B.4．(2019·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为(1,0),且经过点A (0,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点,直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2,求证：直线l 经过定点． (1)解 由题意,得b 2＝1,c ＝1, 所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0,得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1.又y 1＝kx 1＋t ,从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1.同理,|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0,则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2,x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2.所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k t －1x 1＋x 2＋t －12＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t .又|OM |·|ON |＝2,所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0,所以直线l 经过定点(0,0)．。
2017版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习课件：高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题
解析
因为MF1的中点P在双曲线上，|PF2|－|PF1|＝2a，
△MF1F2 为正三角形，边长都是 2c，所以 3c－c＝2a，
2 c 所以 e＝a＝ ＝ 3＋1，故选 D. 3－1
1 2 3 4 5
解析答案
x2 y2 x2 y2 4.已知双曲线a2－b2＝1 (a>0，b>0)和椭圆16＋ 9 ＝1 有相同的焦点，且 双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 x2 y2 ____________. 4 － 3 ＝1
解析答案
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试
判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论.
解析答案
题型三
最值问题
(2014· 山东 ) 已知抛物线 C ： y2 ＝ 2px(p>0) 的焦点为 F ， A 为 C 上异
例3
于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D， 且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.
解 2 2 3 设 F(c,0)，由条件知， c＝ 3 ，得 c＝ 3.
3 c 又a＝ 2 ，所以 a＝2，b2＝a2－c2＝1. x2 2 故 E 的方程为 4 ＋y ＝1.
解析答案
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程.
解析答案
题型二
圆锥曲线的几何性质
解析
不妨设 P 为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，
3b＋2a 3b－2a 得 r1－r2＝2a， 又 r1＋r2＝3b，故 r1＝ 2 ，r2＝ 2 .
3b＋2a 3b－2a 9 9 又 r1 · r2＝4ab，所以 2 · 2 ＝4ab， 2 2 a ＋ b b 4 c 解得a＝3(负值舍去)，故 e＝a＝ a2 ＝
人教A版高中数学选修一第三章《圆锥曲线的方程》提高训练 (3)(含答案解析)
选修一第三章《圆锥曲线的方程》提高训练 (3)一、单选题1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别是1F 和2F ，点1F 关于渐近线0bx ay -=的对称点恰好落在圆222()x c y c -+=上，则双曲线的离心率为（ ）AB ．2C ．D ．32．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>过点12P ⎛ ⎝⎭，且离心率为2，F 为双曲线右焦点，双曲线位于第一象限的渐近线与抛物线()220y px p =>相交于点A （异于原点O ）．若OA OF =，则p 的值为（ ）A B C D ．3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为l与C 在第一象限交于N 点，若17NF a =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．64．已知1F ､2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，双曲线C 的右支上一点Q 满足1||OQ OF =，直线1F Q 与该双曲线的左支交于P 点，且P 恰好为线段1F Q 的中点，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =±D ．y =±5．已知椭圆M 的左､右焦点分别为12,F F ，若椭圆M 与坐标轴分别交于,,,A B C D 四点，且从12,,,,,F F A B C D 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为（ ）A B C D ．126．.如图为陕西博物馆收藏的国宝一唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> 的右支与直线0,4,2x y y ===-围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BCD ．37．过双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点F 作渐近线b y x a =的垂线，垂足为A ，交另外一条渐近线于点B ，若3FB FA =，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 8．点A ，B 的坐标分别是()()1010-，，，，直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 与BM 的斜率的商是()1λλ≠，则点M 的轨迹是（ ） A ．有一个间断点的直线 B ．圆 C ．椭圆D ．抛物线9．直线2y x =与抛物线W ：22y px =交于A ，B 两点，若AB A ，B 两点到抛物线W 的准线的距离之和为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线为1l ，2l ，若双曲线C 的右支上存在一点P ，使得点P 到1l ，2l 的距离之和为b ，则双曲线C 离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．C ．[2,)+∞D ．(1,2]11．设抛物线)(220y px p =>的焦点为)(1,0F ，准线为l ，过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，若4AF BF =，则CDF 的面积为（ ） A ．254B ．203C ．5D ．25312．已知1F ，2F 是双曲线Ω：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，曲线Γ：2222x y a b +=+与曲线Ω在二、四象限的交点分别是P ，Q ，四边形12PFQF 的周长L 和面积S 满足L =Ω的离心率是（ ）A ．2B CD13．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，且12//PF QF ．若12PF QF b +≥，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭14．已知双曲线22221x y a b-=的左右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线交双曲线于M ，N 两点(M 在第一象限），若12MF F △与12NF F △的内切圆半径之比为3：2，则直线MN 的斜率为（ ）AB ．CD ．15．P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF x ⊥轴，若1tan 2PAF ∠=，则椭圆的离心率e 为（ ）A B C D ．1216．椭圆2222:1(0,0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆M 上任一点，且12PF PF ⋅最大值取值范围为222,3c c ⎡⎤⎣⎦（其中222c a b =+），则椭圆M 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎣⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭ C ．⎤⎥⎣⎦D ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦172222:1(,0)x y C a b a b-=>，恒有两个公共点，则双曲线的离心率的取值范围（ ）A ．(1,2)B ．(2,)+∞C ．(D ．18．过原点O 的直线l 与椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>交于M ，N 两点，P 是椭圆C 上异于M ，N 的任一点.若直线PM ，PN 的斜率之积为13-，则椭圆C 的方程可能为（ ）A ．2212x y +=B ．2213x y +=C ．22132x y +=D ．22143x y +=二、多选题19．已知曲线222:1()2x y C m R m m+=∈+，则下列结论正确的是（ ）A ．若曲线C 是椭圆，则其长轴长为B ．若0m <，则曲线C 表示双曲线C ．曲线C 可能表示一个圆D ．若1m =，则曲线C 20．已知直线l 过抛物线()2:20C y px p =->的焦点，且与该抛物线交于M ，N 两点.若线段MN 的长是16，MN 中点到y 轴的距离是6，O 为坐标原点，则（ ） A ．抛物线C 的方程是28y x =- B ．抛物线C 的准线为3x =C ．直线l 的斜率为1D ．MON △的面积为21．已知直线l 过抛物线2:4C x y =-的焦点F ，且直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，过,A B 两点分别作抛物线C 的切线，两切线交于点G ，设(),A A x y Λ，(),B B B x y ，(),G G G x y .则下列选项正确的是（ ） A ．4A B y y ⋅=B ．以线段AB 为直径的圆与直线32y =相离 C ．当2AF FB =时，92AB =D ．GAB △面积的取值范围为[4,)+∞ 22．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为6π的直线分别交y 轴、双曲线右支于点M 、点P ，且1||MP MF =，下列判断正确的是（ ） A ．123F PF π∠=B ．EC ．12PF F △1D ．若,A B 为E 上的两点且关于原点对称，则,PA PB 的斜率存在时其乘积为2三、填空题23．过抛物线M ：24y x =的焦点F 作两条相互垂直的弦AB ，CD ，分别交M 于A ，B ，C ，D ，则AB CD +的最小值为___________.24．如图，焦点在x 轴上的椭圆2221(0)2x ya a +=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF △的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若14FQ =，则该椭圆的离心率为___________.25．已知12F F 、是椭圆22196x y +=的左、右焦点，P 在椭圆上运动，当1214PF PF +的值最小时，12PF F △的面积为_______．26．已知抛物线2y x =上一点(1,1)A ，过点A 作抛物线的两条弦AB ，AC ，且AC AB ⊥，则直线BC 经过定点为________．四、解答题27．设椭圆22:195x y C +=长轴的左，右顶点分别为A ，B ．（1）若P 、Q 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AP BQ 的斜率分别为()1212,0k k k k ≠，求12k k +的最小值；（2）已知过点()0,3D -的直线l 交椭圆C 于M 、N 两个不同的点，直线,AM AN 分别交y 轴于点S 、T ，记,DS DO DT DO λμ==（O 为坐标原点），当直线1的倾斜角θ为锐角时，求λμ+的取值范围．28．已知动点P 到点()11,0F -的距离与到点()21,0F的距离之和为P 形成的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过1F 作直线l 与曲线C 分别交于两点M ，N ，当22F M F N ⋅最大时，求2MF N 的面积. 29．椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>右焦点为()2,0F c ，点P 在椭圆上运动，且2PF 的最大值为2 （1）求椭圆E 的方程；（2）过()0,1A 作斜率分别为1k ，2k 的两条直线分别交椭圆于点M ，N ，且124k k +=，证明：直线MN 恒过定点．30．已知圆22:(1)16,(1,0)A x y B ++=，M 为圆A 上任意一点，线段BM 的垂直平分线交AM 于点N，点N 的轨迹为W .（1）求轨迹W 的方程；（2）过点B 的直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，121k k +=-，1l 交W 于点C D 、，2l 交W 于点E F 、，线段CD 与EF 的中点分别是G H 、，判断直线GH 是否过定点，若过定点，求出该定点，若不过定点，说明理由.31．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率e =y x =+C 的左焦点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若不经过右焦点F 的直线l ：()0,0y kx m k m =+><与椭圆C 相交于A ，B 两点，且与圆O ：221x y +=相切，试探究ABF 的周长是否为定值，若是求出定值；若不是请说明理由.32．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2，椭圆C 的上顶点为D ，12DF F △为正三角形，过点1F 的直线l 与椭圆相交于A B 、两点（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若112AF F B →→=，求直线AB 的一般方程.33．已知双曲线C ：2221x y a-=（0a >）的左､右焦点分别为1F ，2F ，(0,1)E ，过焦点2F ，且斜率为16的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且满足12AF BO =. （1）求C 的方程；（2）过点3,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率不为0的直线2l 交C 于M ，N 两点，且EM EN =，求直线2l 的方程.34．已知抛物线T ：()22y px p N +=∈和椭圆C ：2215x y +=，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点．（1）若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；（2）若MN 恰好被AB 平分，求OAB 面积的最大值．35．已知抛物线C ：()220y px p =>经过点()1,2.（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设过点()2,0P 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若2AB AM =，MN y ⊥轴.垂足为N ，求证：PM PN ⊥.36．已知椭圆C ：22213x y b+=，直线l 经过椭圆C 的左焦点()1,0F -与其交于点A ，B .（1）求椭圆C 的方程和离心率；（2）已知点()1,0M ，()2,0N ，直线MA ，MB 与直线2x =分别交于点P ，Q ，若1NP NQ =，求直线l 的方程.37．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为4，且过点(2,-. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于,M N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN △的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.38．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点到直线l ：440x y -+=（1）求抛物线C 的方程及准线方程；（2）设P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ､B ，求PAB △面积的最小值.39．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）直线:l y kx m =+与椭圆E 交于,A B 两点，G 为椭圆E 上的点，且满足OG OA OB =+，求证：四边形OAGB 的面积为定值．40．已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的焦距是 4.（1）椭圆C 的方程；（2）过点1(F 的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，2F 是椭圆的右焦点，求2F MN 的面积.41．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 的距离为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 不同两点，且1OA OB ⋅>（O 为坐标原点），求m 的取值范围．42．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>（1）求椭圆C 的方程；（2）若P 为椭圆C 上异于椭圆C 端点的任意一点，过点()0,2Q -且平行于OP 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点（点O 为坐标原点），是否存在实数λ，使得2QA QB OP λ⋅=⋅成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．43．设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上的任意一点动点M ，上顶点为A .（1）当上顶点A 坐标为()0,1MA 的最大值； （2）过点M 作圆2223b x y +=的两条切线，切点分别为P 和Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ，求EOF △面积的最小值.44．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴交于D 点，过点F 的直线与抛物线C交于A ，B 两点，且FA FB FA FB ⋅=+. （1）求抛物线C 的方程；（2）设P ，Q 是抛物线C 上的不同两点，且PF x ⊥轴，直线PQ 与x 轴交于G 点，再在x 轴上截取线段GE GD =，且点G 介于点E 点D 之间，连接PE ，过点Q 作直线PE 的平行线l ，证明l 是抛物线C 的切线.45．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F ，2F 是椭圆C 的左右焦点，P 为椭圆上的一个动点，且12PF F △面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点2F 作与x 轴不垂直的直线1l 交椭圆于A ，B 两点，第一象限点M 在椭圆上且满足2MF x ⊥轴，连接MA ，MB ，记直线AB ，MA ，MB 的斜率分别为k ，1k ，2k ，探索122k k k +-是否为定值，若是求出；若不是说明理由．46．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，一条渐近线方程为0x -=．（1）求双曲线C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为A B 、，过F 的直线l 交C 的右支于,M N 两点，连结MB 交直线32x =于点Q ，求证：A Q N 、、三点共线．47．在直角坐标系xOy 中，过动点(,)P x y 的直线与直线1y =-垂直，垂足为Q ，点(0,1)F 满足FP FQ QP QF ⋅=⋅．（1）求点(,)P x y 的轨迹方程；（2）直线l 与（1）中的轨迹交于A B 、两点，如果线段AB 的中点为(1,1)，求直线l 的方程．48．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，抛物线2C ：24y x =-的准线被椭圆1C 截（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A ，F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M ，N （M ，N 都在x 轴上方）.且AFM OFN ∠=∠.直线l 是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若否，说明之.49．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+->>的左、右焦点分别是F 1、F 2，上、右顶点分别是A 、B ，满足∠F 1AF 2＝120°，||AB = (1)求椭圆C 的标准方程；(2)与圆x 2+y 2＝1相切的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，求|PQ |的最大值及此时直线l 的斜率．50．已知椭圆E ：2222x y a b +＝1（a ＞b ＞1，依次连结E 的四个顶点所构成的四边形面积为O 为坐标原点． （1）求E 的方程；（2）设F 为E 的右焦点，A 是E 上位于第一象限的点，且AF ⊥x 轴，直线l 平行于OA 且与E 交于B ，C 两点，设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1+k 2＝0．【答案与解析】1．B 【解析】首先求出F 1到渐近线的距离,利用F 1关于渐近线的对称点恰落在圆上,可得直角三角形,利用勾股定理得到关于ac 的齐次式，即可求出双曲线的离心率由题意可设()()12,0,,0F c F c -,则1F 到渐近线0bx ay -=b =.设1F 关于渐近线0bx ay -=的对称点为M ,F 1M 与渐近线交于A , ∴MF 1=2b ,A 为F 1M 的中点. 又O 是F 1P 的中点,∴OA ∥F 2M , ∴12F MF ∠为直角,所以△12F MF 为直角三角形，由勾股定理得：22244c c b =+，所以()22234c c a =-，所以224c a =，所以离心率2ce a== 故选:B. 2．A 【解析】根据2ce a==，得到双曲线过第一象限的渐近线方程为y =，与抛物线联立，求得点A ，再根据OA OF c ==，得到43p c =，从而23p a =，b =12P ⎛ ⎝⎭代入双曲线方程求解. 依题2ce a==， 所以22222243c a a b a b a =⇒+=⇒=．又0a >，0b >，所以b =，所以双曲线过第一象限的渐近线方程为y =，联立2223232p y x px x y px ⎧=⎪⇒=⇒=⎨=⎪⎩或0x =（舍去）．当23p x =时，y =23p A ⎛ ⎝⎭．又因为OA OF c =⇒=， 解得43p c =，从而23p a =，b = 所以双曲线方程为222293144x y p p -=．因为点12P ⎛ ⎝⎭在双曲线上，所以22129344144p p ⨯⨯-=，解得p = 故选：A 3．B 【解析】由双曲线的定义可知25NF a =，再由余弦定理建立,a c 的关系，即可求解 作出双曲线的大致图象，如图所示：由题意可知：213F NF π∠=，212725NF NF a a a a =-=-=，122F F c =，由余弦定理可得：222212112212cos 2NF F F NF F N NF F F F +-=⨯⨯∠即()()()22252712252a c a a c+-=⨯⨯，整理得：2225120c ac a --=， 所以225120e e --=，解得4e =或32e =-（舍），故选：B 4．C 【解析】根据给定条件导出12QF QF ⊥，再利用双曲线定义结合勾股定理计算作答. 依题意，令12||||||OQ OF OF c ===，则有12QF QF ⊥，令2||2QF t =，由双曲线定义得1||22QF a t =+，而点P 是QF 1中点且在双曲线左支上，则12||||,||3PQ PF a t PF a t ==+=+，在2Rt PQF 中，22222||||||PQ QF PF +=，即222()(2)(3)a t t a t ++=+，解得2t a =，则2||4QF a =，1||6QF a =，在12Rt FQF 中，2221212||||||QF QF F F +=，即22236164a a c +=，2213c a =，于是得2212b a =，ba=所以双曲线C 的渐近线方程为y =±. 故选：C 5．A 【解析】结合椭圆的对称性，只需要考虑三种情况：2DC CF ⊥，12CF CF ⊥，22CF AF ⊥，分别计算每一种情况的离心率即可求解.结合椭圆的对称性，只需要考虑三种情况：若以2,,D C F 作为直角三角形的三个顶点，则2DC CF ⊥，由勾股定理可得：()()2222a b a a c ++=+，将222b a c =-代入可得：220c ac a +-=，所以210e e +-=，因为01e <<，所以e =若以12,,C F F 作为直角三角形的三个顶点，则12CF CF ⊥，所以245OCF ∠=，则c e a ==若以2,,C A F 作为直角三角形的三个顶点，则22CF AF ⊥， 所以245CF O ∠=，c e a ==， 综上所述：椭圆M， 故选项A 正确； 故选：A. 6．A 【解析】由已知得出点M ，N 的坐标，然后代入双曲线方程求出a ，b 的值，由此求出c 的值，即可求解．解：由题意可知M 4)，N 2)-， 故双曲线C 经过M ，N 两点，则222257161921419a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得a =3b =，所以c =则双曲线的离心率为2c e a ===， 故选：A ． 7．B 【解析】求出渐近线方程，设直线AB 的方程为()ay x c b=--，联立直线AB 与渐近线方程可得,A B 两点坐标，由3FB FA =可得3B A y y =，结合222b c a =-即可求解. 如图，因为直线AB 经过右焦点F 且与渐近线by x a=垂直， 所以直线AB 的方程为()ay x c b=--， 由()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得A ab y c =，由()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得22B abc y b a =-，因为3FB FA =，所以3B A y y =，即223abc abb a c=-即()2223b a c -=，因为222b c a =-，所以223c a =，解得e = 故选：B. 8．A 【解析】设点M 的坐标，利用直线AM 与BM 的斜率的商是()1λλ≠，建立方程，即可求得点M 的轨迹方程． 设点M 的坐标为()x y ，，则点A ，B 的坐标分别是()()1010-，，，， 直线AM 与BM 的斜率的商是()1λλ≠，1111yx x y x x λλ-+∴==+-，，可得10x x λλ-++=，即()()1100x y λλ-++=≠．则点M 的轨迹是有一个间断点的直线． 故选：A 9．C 【解析】直线2y x =与抛物线W ：22y px =联立，可得()0,0A ，,2p B p ⎛⎫⎪⎝⎭，再利用两点之间的距离公式求得2p =，再利用抛物线的性质即可得解.联立222y x y px =⎧⎨=⎩，整理得：220x px -=，解得：120,2p x x ==即直线与抛物线交于()0,0，,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭两点，且0p >由AB 2245p p ，解得：2p =或2p =-（舍）所以抛物线方程为24y x =，准线方程为1x =-故A ，B 两点到抛物线W 的准线的距离之和为()1113++=，故选：C.关键点点睛：解题的关键是熟悉抛物线的性质. 10．C 【解析】设()00,P x y ，求出两条渐近线方程，根据点到直线的距离公式求出点P 到1l ，2l 的距离之和，再根据点P 到1l ，2l 的距离之和为b ，化简整理结合0x a ≥即可求出答案. 解：两条渐近线方程为：by x a=±，设()00,P x y ，则点P 到1l ，2l 的距离之和为12d d b +==P 在双曲线C 的右支上一点，故000bx ay +>，000bx ay ->， 所以0122bx d d b c +==，所以02cx a =≥， 所以2ca≥，即双曲线C 离心率的取值范围是[2,)+∞ 故选：C. 11．C 【解析】根据给定条件写出抛物线方程，借助抛物线定义及已知求出直线AB 方程，联立直线AB 与抛物线方程，求出A ，B 的纵坐标即可作答. 依题意，12p=，即2p =，抛物线方程为：24y x =，准线l ：1x =-， 如图，过点B 作直线BM//l 交AC 于M ，由抛物线定义知：||||4||4||AC AF BF BD ===，显然四边形BMCD 是矩形，则||AM =||||||||3||AC CM AC BD BF -=-=，而||5||AB BF =，则4BM BF =，于是得直线AB 的斜率4tan 3k BAM =∠=，直线AB 方程314x y =+，由23144x y y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 得：2340y y --=，解得14y =，21y =-，于是得点A ，B 纵坐标分别为4，-1，则(1,4),(1,1)CD ---，从而得||5CD =，而点F 到直线l 的距离为h =2， 所以CDF 的面积为11||52522S CD h =⋅=⋅⋅=. 故选：C 12．C 【解析】由双曲线的定义知212PF PF a -=，结合四边形的周长知122LPF PF +=，得到1PF ，2PF 的长度，从而得到矩形12PFQF的面积，再利用L =2221212PF PF F F +=得到,a c 关系，即可求得离心率.由双曲线的定义可知212PF PF a -=，又OP OQ =，12OF OF =，可知四边形12PFQF 是平行四边形，所以122LPF PF += 联立解得24L PF a =+，14LPF a =-， 又线段12F F 为圆的直径，由双曲线的对称性可知四边形12PFQF 为矩形，所以四边形12PFQF 的面积221216L S PF PF a =⋅=-，又L =248L S =，即2224816L L a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2224L a =，由2221212PF PF F F +=，得222248L a c +=，即2254a c =，即e =故选：C. 13．C 【解析】根据题意延长1PF 交椭圆另一交点为A ，由条件结合椭圆性质可知11PF F A PA +=， 再通过通径的性质有2min2PA b b a=≤即可得解. 由点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点， 延长1PF 交椭圆另一交点为A ， 由12//PF QF 再结合椭圆的对称性，易知11PF F A =， 所以11PF F A PA +=， 由椭圆过焦点的弦通径最短， 所以当PA 垂直x 轴时，PA 最短， 所以2min2PA b b a=≤， 所以22ab b ≤，解得0e <≤. 故选：C 14．B 【解析】数形结合，设MA MC m ==，11AF BF n ==，22BF CF t ==，依据双曲线定义可知n a c =+，利用直线l 的倾斜角θ与21O O D ∠大小相等，简单计算即可设圆1O 与12MF F △的三边的切点分别为,,A B C ，如图， 令MA MC m ==，11AF BF n ==，22BF CF t ==，根据双曲线的定义可得()()22m n m t an t c +-+=⎧⎨+=⎩，化简得n a c =+，由此可知，在12F F M ∆中，1O B x ⊥轴于B ，同理2O B x ⊥轴于B ，12O O x ∴⊥轴过圆心2O 作1CO 的垂线，垂足为D ，易知直线l 的倾斜角θ与21O O D ∠大小相等，不妨设圆1O 的半径13R =，设圆2O 的半径22R =，则215O O =，11O D =，所以根据勾股定理，2O D =所以，tan θ= 故选：B关键点睛：得到n a c =+是关键，说明12O O x ⊥轴，同时直线l 的倾斜角θ与21O O D ∠大小相等便于计算 15．D 【解析】求出PF 、AF ，由1tan 2PAF ∠=可求得e 的值. 不妨设点P 在第一象限，因为PF x ⊥轴，所以P x c =，将P x c =代入椭圆方程得22221P y c a b +=，因为0P y >，可得2P b y a =，即2b PF a=，因为AF a c =+，所以，()2221tan 12b PF ac a c a PAF e AF a c a a c a --∠=====-=++，解得12e =.故选：D. 16．A 【解析】根据基本不等式可得12PF PF ⋅的最大值，根据题意，列出不等式，即可求得答案. 由基本不等式及椭圆定义可知2122122PF PF PF PF a ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，12PF PF ∴⋅的最大值为2a ，由题意知22223c a c ≤≤，a ≤≤，e ≤≤故选：A 17．D 【解析】的直线与双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>由此可求离心率的范围.∵2222:1(,0)x y C a b a b-=>恒有两个公共点，∴ba>∴ca> ∴双曲线的离心率的取值范围是)+∞， 故选：D. 18．B 【解析】设()(),,,M x y N x y --，()00,P x y ，求得,PM PN 的斜率，根据直线,PM PN 的斜率之积为13-列方程，求得22b a的值，即可得解.设()(),,,M x y N x y --，()00,P x y ，则222222220022,b x b x y b y b a a=-=-，所以222000222222200220022022PM PNy y y y y y b x b x b b a b k k x x x x x x x x aa -+-⋅=⋅==⎛⎫---=- ⎪-⎝⎭-+-， 所以2213b a -=-即2213b a=.故选：B. 19．BD 【解析】因为220m m +->恒成立，所以22m m +≠，曲线C 不可能为圆，可判断选项C 错误，当0m >时为椭圆，且焦点在x 轴上，可判断选项A 错误，0m <时为双曲线，所以选项B 正切，1m =时，曲线方程确定，需要用弦长公式求解弦长的最小值解：由题意，若曲线C 是椭圆，则0m >，因为220m m +->恒成立，所以椭圆222:12x y C m m+=+的焦点在x轴上，所以其长轴长为，故A 错误；若0m <，根据双曲线的定义可知曲线C 表示双曲线，故B 正确；因为220m m -+>对任意的m 恒成立，所以曲线C 不可能表示一个圆，故C 错误； 若1m =，则曲线C 为椭圆，方程为2213x y +=，焦点坐标为(，若过焦点的直线斜率为0时，此时该直线截椭圆C的弦长为若过焦点的直线斜率不为0时，不妨设该直线过椭圆C的右焦点，方程为x ny =C 的两个交点分别为()()1122,,,A x y B x y ，由2213x y x ny ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得22(3)10n y ++-=，则有2221212284(3)12(1)012n n n y y y y n ⎧=++=+>⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪+⎩12|||AB y y =-==22212)33n n n +==-≥++当0n =时，上式不等式可取等号，即min ||AB =综上，可知椭圆22:13x C y +=D 正确；故选：BD 20．AD 【解析】结合抛物线的定义求得p ，由此判断AB 选项的正确性.设出直线l 的方程，联立直线l 的方程和抛物线方程，结合弦长求得直线l 的斜率，由此判断C 选项的正确性.求得MON △的面积，由此判断D 选项的正确性.依题意直线l 过抛物线的焦点，16MN =，MN 中点到y 轴的距离是6，结合抛物线的定义可知621642p p ⎛⎫+⨯=⇒= ⎪⎝⎭，所以抛物线方程为28y x =-，准线为2x =，所以A 正确，B 错误. 抛物线焦点坐标为()2,0F -，设直线l 的方程为2x my =-， 228x my y x=-⎧⎨=-⎩，消去x 并化简得28160y my +-=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则()21212128,484y y m x x m y y m +=-+=+-=--.所以284416MN m =++=，解得1m =±.所以C 错误.当1m =时，直线l 的方程为2x y =-，即20x y -+=，原点到直线l=，所以1162MON S=⨯=当1m =-时，同理求得MONS =D 正确.故选：AD 21．BCD 【解析】求出抛物线的焦点及准线，设直线l 的方程为1y kx =-，与抛物线方程联立，利用韦达定理，计算可判断A ；利用定义及直线与圆的位置可判断B ；由向量共线求出弦长判断C ；求出点G 的坐标及GAB △面积的函数式即可判断作答.抛物线2:4C x y =-的焦点(0,1)F -，准线方程为1y =，设直线l 的方程为1y kx =-，由214y kx x y=-⎧⎨=-⎩消去y 得：2440x kx +-=，于是得4,4A B A B x x k x x +=-=-， 22144A BA B x x y y ⋅=⋅=--，A 不正确；以线段AB 为直线的圆的圆心00(,)x y ，则20()22122A B A B y y k x x y k ++-===--，点 00(,)x y 到直线32y =距离2522d k =+， 由抛物线定义得2||||||2()44A B AB AF BF y y k =+=-+=+，显然1||2d AB >，即以线段AB 为直径的圆与直线32y =相离，B 正确； 当2AF FB =时，有02(0)A B x x -=-，即2A B x x =-，而4,4A B A B x x k x x +=-=-，于是得218k =，29||442AB k =+=，C 正确；由214y x =-求导得12y x '=-，于是得抛物线C 在A 处切线方程为：()2A A A x y y x x -=--，即2124A A x y x x =-+， 同理，抛物线C 在B 处切线方程为：2124B B x y x x =-+，联立两切线方程解得1()22G A B x x x k =+=-，114G A B y x x =-=，点(2,1)G k -到直线l ：10kx y --=的距离h ==，于是得GAB △面积322211||(44)4(1)422GABSAB h k k ==+⋅=+≥，当且仅当0k =时取“=”，GAB △面积的取值范围为[4,)+∞，D 正确. 故选：BCD 22．ABD 【解析】根据题意画出对应的图像，A 选项根据图像可得，B 选项要结合图像以及双曲线的定义，性质进行化简计算，C 选项根据内切圆半径的公式计算即可，D 选项设点表示斜率，结合双曲线方程进行化简如上图所示，因为,M O 分别是112,PF F F 的中点，所以12PF F △中，2//PF MO ，所以2PF x ⊥轴 A 选项中，因为直线1PF 的倾斜角为6π，所以123F PF π∠=，故A 正确B 选项中，12Rt PF F 中，12212,,F F c PF PF ===，所以122PF PF a -==，得：==c e a B 正确C 选项中，12PF F △的周长为(2c +，设内切圆为r ，根据三角形的等面积法，有(22cr c =，得：1r c ⎛= ⎝⎭，是与c 有关的式子，所以C 错误D 选项中，,A B 关于原点对称，可设()(),,,A m n B m n --，P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，根据==ce a),2Pa ，所以当斜率存在时，PAk =，PB k =，222243PA PB a n k k a m -⋅=-，因为,A B 在双曲线上，所以22221m n a b -=，即222212m n a a-=，得：22222n m a =- ， 所以22222222462233PA PB a n a m k k a m a m --⋅===--，故D 正确 故选：ABD题目比较综合，涉及到图像特点的应用；通过找到,a c 之间的等量关系求解离心率；等面积法计算内切圆半径；设点法证明斜率乘积为定值 23．16 【解析】设出直线AB 的方程()()10y k x k =-≠，与抛物线方程联立，消元，写出两根之和； 根据焦点弦公式求出弦AB 和CD ，从而利用基本不等式求AB CD +的最小值. 易知直线AB 的斜率存在且不为0，所以设直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠，()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程与抛物线方程24y x =联立，消y ，得：()2222240k x k x k -++=，∴212224k x x k ++=，12244AB x x p k =++=+， 同理244=+CD k ，∴2248416AB CD k k +=++≥，当且仅当1k =±时等号成立. 故答案为：16.24【解析】由1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，根据切线长定理，可得12||||||F M PQ PF =+，再结合1||4F Q =，求得12||||8PF PF +=，即4a =，再由隐含条件求得c ，则可求椭圆的离心率． 解：如图，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q∴根据切线长定理可得||||AM AN =，11||||4F M FQ ==，||||PN PQ = 12||||AF AF =，12||||||||||AM F M AN PN PF ∴+=++，122||||||||||4F M PN PF PQ PF ∴=+=+=，则1212111||||||||||||||2||8PF PF FQ PQ PF FQ F M FQ +=++=+==，即28a =，4a =， 又22b =，22214c a b ∴=-=，则c∴椭圆的离心率4c e a ==．25． 【解析】根据椭圆定义得出12||||6PF PF +=，进而对()121214||||||||PF PF PF PF ⎛⎫++ ⎪⎝⎭进行化简，结合基本不等式得出1214||||PF PF +的最小值，并求出12||,||PF PF 的值，进而求出面积. 由椭圆定义可知，12||||26PF PF a +==，所以()21121212||4||14||||559||||||||PF PF PF PF PF PF PF PF ⎛⎫++=++≥+⎪⎝⎭， 121493=||||62PF PF +≥，当且仅当2112||4||||||PF PF PF PF =，即12||2,||4PF PF ==时取“=”.又2223c a b c =-=⇒=12||F F =所以2221122||||||PF F F PF +=，由勾股定理可知：112PF F F ⊥，所以12122PF F S=⨯=故答案为：26．()2,1- 【解析】设211(,)B y y ，222(,)C y y ，应用直线方程的两点式并整理得直线BC 为1212()0x y y y y y -++=，再由12221211111y y y y --⋅=---确定1212,y y y y +的关系，即可知BC 的定点坐标. 由题设，令211(,)B y y ，222(,)C y y ，则直线BC 为112222112y y y y x y y y --=--，又12y y ≠且均不为1， ∴BC ：121121y y x y y y -=-+，整理得1212()0x y y y y y -++=， 又12221212111111(1)(1)y y y y y y --⋅==---++，即121220y y y y +++=，得1212(2)y y y y =-++， ∴BC 为12()(1)2x y y y =+++，即BC 经过定点()2,1-. 故答案为：()2,1-关键点点睛：通过设,B C 的坐标，利用两点式化简整理出直线BC 的方程，再由垂直关系有1⋅=-AC AB k k 确定参数关系，并代入所得BC 的方程，即可确定定点坐标.27．（1（2）4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）设点()00,P x y ，则可表示出12k k +，然后结合椭圆的性质即可求出最小值；（2）由题意可设直线():3,0l y kx k =->，与椭圆方程联立，设()()1122,,M x y N x y 、，则利用韦达定理可得两根和、两根积，及斜率的取值范围，然后结合条件可以用斜率表示出λμ+，即可求出其取值范围.（1）设点()00,P x y ，由椭圆的对称性知()00,Q x y -，不妨令00y >， 由已知()(),3,03,0A B -，则001200,33y y k k x x -==+-，显然有033x <<-， 则0001220006339y y y k k x x x +=+=+--， 22220000919955x y y x +=⇒-=，则120103k k y +=，因为00y <120103k k y +=≥当且仅当0y 12k k +（2）当直线l 的倾斜角θ为锐角时，设()()1122,,M x y N x y ，，设直线():3,0l y kx k =->， 由223195y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，从而22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>，又0k >，得23k >，所以1212225436,9595k x x x x k k +==++， 又直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，令0x =，解得1133y y x =+，所以点S 为1130,3y x ⎛⎫⎪+⎝⎭； 直线AN 的方程是：()22333y y x x =++，同理点T 为2230,3y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭· 所以()1212330,3,0,3,0,333y y DS DT DO x x ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 因为,DS DO DT DO λμ==，所以12123333,3333y y x x λμ+=+=++， 所以()()()12121212121212122311833222333339kx x k x x y y kx kx x x x x x x x x λμ+-+---+=++=++=++++++++ ()222223654231181019595223654921399595k k k k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪+++⎝⎭=+=-⨯+++⎛⎫+⨯+ ⎪++⎝⎭()()2110101229911k k k +=-⨯+=-⨯+++ ∵23k >，∴4,23λμ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 综上，所以λμ+的范围是4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭．28．()(221122x y +=；【解析】(1)根据椭圆的定义可得动点P 的轨迹是以12F F 、为焦点的椭圆，求出a 、b 的值即可得出结果. (2)对直线l 的斜率分类讨论，若斜率不存在，直接求出22F M F N ⋅和2MF NS的值；若斜率不存在，设直线方程和点M 、N 坐标，联立方程组并消元得到一元二次方程，根据韦达定理表示出121212x x x x y y +、、，进而表示出22F M F N ⋅，化简求值即可得出结果.(1)动点P 到两定点12(10)(10)F F -，，，的距离之和为所以12122PF PF F F +=>=， 则动点P 的轨迹是以12F F 、为焦点的椭圆，所以21a c ==，即2221a b a c ==-=，(2)①当直线l 的斜率不存在时，x =-1，则(1(1M N --，，，此时2272F M F N ⋅=，212()2MF NS =⨯-=②当直线l 的斜率存在时，设为(1)(0)y k x k =+≠，()()1122M x y N x y ，，，， 联立方程222222(1)(21)422012y k x k x k x k x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 所以2212122242(1)2121k k x x x x k k -+=-=++，，有22121212122(1)(1)(1)21k y y k x k x k x x x x k =+⨯+=+++=-+，221212(1)(1)F M F N x x y y ⋅=--+121212()1x x x x y y =-+++222222222(1)42121212121k k k k k k k k -+=++-++++ 22271797=212422k k k -=-<++， 综合①②可得，当直线l ：x =-1时22F M F N ⋅取得最大值，所以2MF NS=29．（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）根据2max 2PF a c =+=c e a ==（2）当直线MN 斜率不存在时，设直线方程为x m =，由124k k +=求解；当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx t =+，联立方程组2244x y y kx t⎧+=⎨=+⎩，由124k k +=，利用韦达定理，求得k ，t 的关系，代入y kx t =+求解.（1）由题意得2max 2PF a c =+=①又c a =c =，②由①②得2a =，c = 又2221b a c =-=，（2）当直线MN 斜率不存在时，设直线方程为x m =，则(,)M m n ，(,)N m n -， 则11n k m -=-，21n k m +=-，所以121124n n k k m m m-++=+==---， 解得12m =-．当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx t =+， 联立方程组2244x y y kx t ⎧+=⎨=+⎩，得()222418440k x ktx t +++-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则122841kt x x k +=-+，21224441t x x k -⋅=+，则()1212121212121211y x x y x x y y k k x x x x +-+--+=+==()12122122(1)88444kx x t x x kt kx x t +-+-==-， 即(22)(1)0k t t ---=，依题可知1t ≠，所以()21k t =+，代入直线MN 方程，得()()21212y t x t t x x =++=++， 即()2120t x x y ++-=，联立方程组1210221x x y x y ⎧+==-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=-⎩， 综上所述可知直线MN 恒过定点1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭．30．（1）22143x y +=；（2）过定点31,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）根据椭圆的定义可得N 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，从而得到24,22a c ==，即可得答案； （2）由题意设直线12,l l 的方程分别是：12(1),(1)y k x y k x =-=-，设()33,C x y ，()44,D x y .根据直线斜率关系和韦达定理，可求得直线GH 的方程为221111221133434434k k y k k x k k ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，并整理得21133(1)44y k k x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭，即可得答案；（1）解：4AN BN AN BM AB +=+=>N ∴的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，24,22a c == 2,1a b c ∴=== W ∴的方程为22143x y +=（2）由题意设直线12,l l 的方程分别是：12(1),(1)y k x y k x =-=-，设()33,C x y ，()44,D x y . 联立122(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22221113484120k x k x k +-+-=，所以213421834k x x k +=+，则211221143,3434k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理222222243,3434k k H k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 所以12221212221212221233334344443434GHk k k k k k k k k k k k k ----++==+-++， 由121k k +=-得()11314GH k k k =++， 所以直线GH 的方程为221111221133434434k k y k k x k k ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭整理得21133(1)44y k k x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭，所以直线GH 过定点31,4⎛⎫⎪⎝⎭.31．（1）2214x y +=；（2）ABF 的周长为定值4.【解析】（1）先由直线方程，得到左焦点坐标，得出c =a ，b ，进而可得椭圆方程；（2）根据直线与圆相切，得到221m k =+；设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式，表示出AB ；根据两点间距离公式，分别表示出AF ，BF ，三角形三边求和，即可得出结果.（1）因为直线y x =C 的左焦点， 所以椭圆C的左焦点坐标为()，故c =又∵e =∴2a =，1b =，故椭圆的标准方程为：2214x y +=；（2）是定值，理由如下：因为直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与圆221x y +=相切，1=，即221m k =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 整理得()222418440k x kmx m +++-=，所以()2221641480k m k ∆=-+=>，122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+，所以AB === 又221m k =+，所以AB =由于0k >，0m <，所以102x <<，202x <<，因为12AF x =，同理22BF =，所以)122844441km AF B k F x x =+==++，所以44AF BF AB ++==， 故ABF 的周长为定值4. 思路点睛：求解椭圆中的定值问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式，以及题中条件等，进行求解即可.32．（1）22143x y +=；（2）550x -+=或550x ++=.【解析】（1）由题知1c =，2a =，进而根据222b a c =-即可得答案；（2）设直线AB 的方程为1x my =-，()12,A x x ，()22,B x y ，进而根据向量关系得122y y =-，再将直线与椭圆联立方程组并结合韦达定理可解得m =，进而得答案.。
人教A版高中数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程-圆锥曲线基本题型总结习题
圆锥曲线基本题型总结：提纲：一、定义的应用：1、定义法求标准方程：2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：3、焦点三角形问题：二、圆锥曲线的标准方程：1、对方程的理解2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）3、各种圆锥曲线系的应用：三、圆锥曲线的性质：1、已知方程求性质：2、求离心率的取值或取值范围3、涉及性质的问题：四、直线与圆锥曲线的关系：1、位置关系的判定：2、弦长公式的应用：3、弦的中点问题：4、韦达定理的应用：一、定义的应用：1.定义法求标准方程：（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段【注：2a>|F1 F2|是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】A.x 225＋y 29＝1 (y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C.x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D.y 216＋x 29＝1 (y ≠0) 【注：检验去点】3.已知A (0，－5)、B (0,5)，|P A |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为( ) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线，2a=|F 1 F 2|是射线，注意一支与两支的判断】4.已知两定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，是双曲线的是( ) A.||PF 1|－|PF 2||＝5 B.||PF 1|－|PF 2||＝6 C.||PF 1|－|PF 2||＝7D.||PF 1|－|PF 2||＝0 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线】5.平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216－y 29＝1(x ≤－4)B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4)D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【注：双曲线的一支】 6.如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程.7.已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．（2）涉及圆的相切问题中的圆锥曲线：8.已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3，0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程. 已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 24－y 212＝1 (x >0)B.x 24－y 212＝1 (x <0) C.x 24－y 212＝1D.y 24－x 212＝1 【注：由题目判断是双曲线的一支还是两支】 9.若动圆P 过点N (－2,0)，且与另一圆M ：(x －2)2＋y 2＝8相外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程. 【注：双曲线的一支，注意与上题区分】10.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.11.若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线12.已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 【注：同上题做比较，说法不一样，本质相同】13.已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.（M 的横坐标非负） (1)求点M 的轨迹方程； 【注：体现抛物线定义的灵活应用】(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【注：抛物线定义的应用，涉及抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】（3）其他问题中的圆锥曲线：14.已知A ，B 两地相距2 000 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【注：双曲线的一支】2.15.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ． 双曲线D ．抛物线【注：体现抛物线定义的灵活应用】2.涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：16.设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )A.22 B.12 C.2－12 D.3417.椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．418.已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m19.若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________.20.设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形21．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．【注：椭圆上的点到焦点的距离，最小是a -c ，最大是a+c 】22.已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________.【注：注意结果的取舍，双曲线上的点到焦点的距离最小为c -a 】23.已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点). 【注：O 是两焦点的中点，注意中位线的体现】24.设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF u u u u r ·2PF u u u u r ＝0，则|1PF u u u u r ＋2PF u u u u r |等于( ) A ．3 B ．6 C ．1 D ．225.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A.172B.3C. 5D.92【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】26.已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A.125 B.65 C ．2 D.55【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到准线的距离转化成到焦点的距离】27.设点A 为抛物线y2＝4x 上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A 的横坐标的值为( )A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或2 【注：抛物线的焦半径，即定义的应用】3.焦点三角形问题：椭圆的焦点三角形周长2c 2a 2C PF PF C 21F PF 21+∆＝＋＋＝ 椭圆的焦点三角形面积：推导过程：2tan sin cos 121sin 21cos 1 -)cos (12 (1)-(2)(2)2a (1)COS 2-2 1 b 2b PFPF S 2bPFPF 4c 4a PFPF PF PF 4c PF PF PF PF 2221F PF 22122212212212221θθθθθθθ=+==+==+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∆得双曲线的焦点三角形面积：2tanbS 2F PF 21θ=∆28.设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．【注：小题中可以直接套用公式。
人教A版高中数学选修一第三章《圆锥曲线的方程》提高训练 (22)(含答案解析)
选修一第三章《圆锥曲线的方程》提高训练 (22)一、单选题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为,F 经过点F 的直线l 的倾斜角为45︒,且直线l 交该椭圆于,A B 两点，若2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D 2．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.该圆称为椭圆的“蒙日圆”若椭圆()22:10,44x y C m m m+=≠＞的离C 的“蒙日圆”方程为（ ） A ．225x y +＝或227x y +＝ B ．227x y +＝或2220x y +＝ C ．225x y +＝或2220x y +＝D ．227x y +＝或2228x y +＝3．直线l 与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，若l 与OM (O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C D4．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，直线l 为准线，点E 在拋物线上.若点E 在直线l 上的射影为Q ，且Q 在第四象限，||2FQ p =，则直线FE 的斜率为（ ）A B C D ．15．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，双曲线上存在一点P 使得12PF PF +=1282,3b PF PF ab =，则该双曲线的离心率为（ ）A B ．3 C ．52D6．“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕､着陆､巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测．2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里．若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3395公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为（ ） A ．0.61B ．0.67C ．0.71D ．0.777．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()442222a c x y a c ++-=所截得的弦长为，则双曲线C 的离心率为（ ）A B 352C D 8．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，8AB ＝，过,A B 两点分别作抛物线的切线，交于点Q .下列说法不正确的是（ ）A ．QA QB ⊥B ．AOB (O 为坐标原点)的面积为C ．112AF BF+= D ．若()1,1,M P 是抛物线上一动点，则PM PF +的最小值为29．已知点F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过点F 且斜率为1的直线与双曲线的右支交于点M ，与y 轴交于点N ，若点N 为MF 的中点，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D ．110．已知双曲线2213y x -=的右焦点为F ，M ，直线MF 与y 轴交于点N ，点P 为双曲线上一动点，且p y <直线MP 与以MN 为直径的圆交于点M ､Q ，则PM PQ ⋅的最大值为（ ） A ．48B ．49C ．50D ．4211．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线22221(0,0)x y a b a b +=>>上点()00,P x y 处的曲率半径公式为3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法： ①对于半径为R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R ②椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点处的曲率半径的最大值为a③椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点处的曲率半径的最小值为2b a④对于椭圆2221(1)x y a a+=>上点01,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的曲率半径随着a 的增大而减小其中正确的是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．已知点P 是抛物线22y x =上的动点，过点P 作直线1x =-的垂线，垂足为M ，点A 的坐标是7,42⎛⎫⎪⎝⎭，则AP PM +的最小值是（ ） A ．72 B ．5 C ．92D ．11213．己知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，虚轴长为1的点P 恰好满足120PF PF ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B C ．4D 14．已知1F ､2F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左右焦点，M 为双曲线左支上一点，1F 与y 轴上一点P 正好关于2MF 对称，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．1e <<B ．e >C ．e >D ．1e <<二、多选题15．已知点F 为椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，点M 是椭圆上异于P ，Q 的一点，直线MP ，MQ 分别为1k ，2k ，椭圆的离心率为e ，若3PF QF =，23PFQ π∠=，则（ ）A ．e =B ．e =C ．12916k k =-D ．12916k k =16．已知椭圆()222:1309x y C b b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是椭圆上一点，延长2PF 与椭圆交于点A ，若1OF OA =，1OF A 的面积为2，则1AF 的值可以为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．417．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F 为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在P 点处变轨进入以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在Q 点处变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R ，圆形轨道Ⅲ的半径为r ，则以下说法正确的是（ ）A ．椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离最大为2RB ．椭圆轨道Ⅱ的焦距为R r -C ．若r 不变，则R 越大，椭圆轨道Ⅱ的短轴越短D ．若R 不变，则r 越小椭圆轨道Ⅱ的离心率越大18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，那么下列说法中正确的有（ ）A ．若点P 在双曲线C 上，则1222PF PF b k k a⋅= B ．双曲线22221y x a b-=的焦点均在以12F F 为直径的圆上C ．双曲线C 上存在点P ，使得122PF PF a +=D ．双曲线C 上有8个点P ，使得12PF F △是直角三角形三、填空题19．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点为12,F F ，点P 是圆222:O x y a +=上且在x 轴上方的任一点，若12PF F △的面积为212,b 则双曲线离心率的取值范围是___________.20．一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线含有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖.那么下列命题中，正确的是___________.(填写序号) （1）任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖； （2）与抛物线对称轴不平行､不共线的射线不能被该抛物线覆盖；（3）射线绕其端点转动一个锐角所扫过的角形区域可以被某二条抛物线覆盖； （4）任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面.21．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 引一条渐近线的垂线，垂足为点A ､在第二象限交另一条渐近线于点B ，且||||(1)AB AF λλ=≥，则双曲线的离心率的取值范围是___________． 22．已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.若椭圆1C 与抛物线2C 相交于点A 、B ，且直线AB 经过点F ，则椭圆1C 的离心率为___________.23．已知椭圆C ：()22211x y a a +=>的左，右焦点分别是12,,F F P 是椭圆C 上第一象限内的一点，且12PF F △的周长为4+过点P 作C 的切线l ，分别与x 轴和y 轴交于,A B 两点，O 为原点，当点P在C 上移动时，AOB 面积的最小值为___________.四、双空题24．如图所示，1F 与2F 是椭圆方程：()222210y x a b a b+=>>的焦点，P 是椭圆上一动点（不含上下两端点），A 是椭圆的下端点，B 是椭圆的上端点，连接1PF ，2PF ，记直线P A 的斜率为1k ．当P 在左端点时，△12PF F 是等边三角形．若△12PF F 是等边三角形，则1k =__________；记直线PB 的斜率为2k ，则12k k +的取值范围是________．五、解答题25．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，其短轴为2，离心率为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的右焦点为F ，过点()2,0G 作斜率不为0的直线交椭圆E 于M ，N 两点，设直线FM 和FN 的斜率为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．26．已知双曲线C ：()222210,0x y m n m n-=>>上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为19. （1）求双曲线的渐近线方程；（2）椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，过椭圆上任意一点P 作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆E 于M ，N 两点，若225PM PN +=，求椭圆E 的方程.27．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=＞＞的左顶点为A ，右焦点为,F 点()()000,0B x y y ≠是椭圆上一动点，当点B 为椭圆的上顶点时，AOB 的面积为,b 且AB =（1）求椭圆E 的标准方程；（2）直线l 过点F ，且与AB 平行，过A B 、两点作l 的垂线，垂足分别为,D C 、当矩形ABCD 的面积为92时，求直线AB 的方程. 28．已知抛物线1C ：22y px =(0p >)的焦点与双曲线2C ：221412x y -=右顶点重合.（1）求抛物线1C 的标准方程；（2）设过点()0,1的直线l 与抛物线1C 交于不同的两点A ，B ，F 是抛物线1C 的焦点，且1FA FB ⋅=，求直线l 的方程.29．已知点P 为椭圆2222:1x W y m+=（0m >）上任一点，椭圆的一个焦点坐标为()．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点Q 是抛物线2:2C x my =的准线上的任意一点，以PQ 为直径的圆过原点O ，试判断2211OPOQ+是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．30．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点()0,1P 在椭圆上，12F PF △是直角三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．31．已知椭圆C 的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为1F 、2F ，抛物线M ：()240y mx m =>的准线与x 轴交于1F ，椭圆C 与抛物线M 的一个交点为P . （1）当1m =时，求椭圆C 的方程；（2）在（1）的条件下，直线l 过焦点2F ，与抛物线M 交于A 、B 两点，若弦长AB 等于12PF F △的周长，求直线l 的方程；（3）由抛物线弧22403m y mx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤和椭圆弧()22222120433x y m x m m m m ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭≤≤合成的曲线叫做“抛椭圆”，是否存在以原点О为直角顶点，另两个顶点1A 、2A 落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形12OA A ，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由.32．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）和圆O ：221x y +=．C ，过C 的右顶点作圆O （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆O 的切线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB 面积的最大值．33．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，圆22:4230Q x y x y +--+=的圆心Q 在椭圆C 上，点()0,1P 到椭圆C 的右焦点的距离为2，过点P 作直线l 交椭圆于A ､B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若AB =l 的方程； （3）若tan AQB S t AQB =⋅∠△，求t 的取值范围.34．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，P 是椭圆上一动点(与左右顶点不重合)，已知12PF F △椭圆的离心率是12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过()4,0H 作斜率不为0的直线l 交椭圆于,A B 两点，过B 作垂直于x 轴的直线交椭圆于另一点Q ，连接AQ ，设ABQ △的外心为G ，求证：2AQ GF 为定值.35．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足120BF BF ⋅=． （1）求椭圆C 的离心率e ；（2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，试问是否存在过点2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，请说明理由． 36．在平面直角坐标系xOy 内，已知抛物线2y x 的焦点为F ，P 为平面直角坐标系内的点，若抛物线2yx 上存在点A ，使得AF AP ⊥，则称A 为P 的一个“垂足点”.（1）若P 点有两个“垂足点”为()1,1M 和()2,4N ，求P 点的坐标；（2）是否存在P 点，使得P 点有且仅有三个不同的“垂足点”，且P 点也是双曲线22182-=y x 上的点？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由.37．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =A ，B ，N 分别为椭圆的左右顶点和上顶点，且1AN NB ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不过原点O 直线l 与椭圆C 交于不同的P ，Q 两点，且直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列.椭圆C 上是否存在一点M ，使得以,OP OQ 为邻边的平行四边形OPMQ 的面积为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.38．设椭圆2222:1x y a b Γ+=(0)a b >>点A ，B ，C 分别为Γ的上、左、右顶点，且||4BC =.（1）求Γ的标准方程；（2）点D 为直线AB 上的动点，过点D 作//l AC ，设l 与Γ的交点为P ，Q ，求||||PD QD ⋅的最大值.39．已知双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b-=>>，且经过(0,2)A .（1）求双曲线C 的方程；（2）若过点(2,0)B 的直线交双曲线C 于x 轴下方不同的两点P ､Q ，设P ､Q 中点为M ，求三角形BOM 面积的取值范围.40．已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =41．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．动点G 到()1F ，)2F 两点的距离之和为4．（1）试判断动点G 的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程；（2）过点1,0A 作直线l 与G 点轨迹交于C ，D 两点，设AOC △的面积为1S ，AOD △的面积为2S ，求12S S -的取值范围．42．如图，椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,1P -1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中，1l 交圆2C ：224x y +=于A ，B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D ．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）若ABD 1l 的方程． 43．已知椭圆C ：2214x y +=.（1）椭圆C 是否存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦？若存在，求出弦所在的直线l 的方程，若不存在，请说明理由；（2）已知椭圆C 的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆C 上的点，若直线AP ，BP 分别与直线3y =交于G ，H 两点，求线段GH 的长度取得最小值时直线GP 的斜率.44．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e ，焦距为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点F 的动直线l 交椭圆于､A B 两点，P 为直线3x =上的一点，是否存在直线l 与点P ，使得ABP △恰好为等边三角形，若存在求出ABP △的面积，若不存在说明理由． 45．设抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点为F ，点P (4，m )(m >0)是抛物线C 上一点，且|PF |=5. （1）求抛物线C 的方程；（2）若A ，B 为抛物线C 上异于P 的两点，且P A ⊥PB .记点A ，B 到直线y =-4的距离分别为a ，b ，求证：ab 为定值.46．已知直线0x +=经过椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)左顶点和上顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若A ，B 为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，已知直线3y x =-上存在一点P ，使得三角形PAB 为正三角形，求AB 所在直线的方程.47．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>P (1在椭圆上．不过原点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程； （2）试判断2211OAOB+是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．48．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>2.（1）求双曲线C 的方程；（2）四边形MNPQ 的四个顶点均在双曲线C 上，且//MQ NP ，MQ x ⊥轴，若直线MN 和直线QP 交于点()4,0S ，四边形MNPQ 的对角线交于点D ，求点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和. 49．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为()1,0,F O 为坐标原点，线段OA 的中点为D ，且BD DF =. （1）求C 的方程；（2）已知点,M N 均在直线2x =上，以MN 为直径的圆经过O 点，圆心为点T ，直线,AM AN 分别交椭圆C 于另一点,P Q ，证明直线PQ 与直线OT 垂直.50．已知过点,02p M ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与抛物线()220y px p =>交于A 、B 两点，且3OA OB ⋅=-，其中O为坐标原点. （1）求p 的值；（2）当4AM BM +最小时，求直线l 的方程.【答案与解析】1．C 【解析】写出直线l 的方程为y x c =-，与椭圆联立，写出韦达定理，结合条件2AF FB →→=，求得A ，B 的横坐标，代入到韦达定理中的12x x 中，化简求得a 与c 的关系，从而求得离心率. 由题知，直线l 的方程为y x c =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 联立22221y x c x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22222222()20a b x a cx a c a b +-+-=，则212222a cx x a b +=+，2221222()a c b x x a b-=+ 又2AF FB →→=，则1122(,)2(,)c x y x c y --=-， 则1223x x c +=，结合韦达定理知，221223a c b c x a b -=+，222223a c b cx a b+=+，则22222221222222233()a cbc a c b c a c b x x a b a b a b -+-=⨯=+++，整理得2229a c =，则离心率c e a ==故选：C 2．C 【解析】分类讨论4m >和04m <<，当4m >时，根据离心率求出16m =，然后在椭圆上取两点，并写出对应的切线方程求出交点，进而求出圆半径即可；对于04m <<的情况与4m >的方法步骤一致. 若4m >=，即16m =，所以22:1416x y C +=， 由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，不妨取两点()()2,0,0,4，则两条切线为2x =和4y =，所以两条切线的交点为()2,4，且点()2,4在2220x y +＝； 若04m <<=1m =，所以22:14x C y +=， 由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，不妨取两点()()2,0,0,1，则两条切线为2x =和1y =，所以两条切线的交点为()2,1，且点()2,1在蒙225x y+＝；综上：椭圆C的“蒙日圆”方程为225x y+＝或2220x y+＝故选：C.3．D【解析】因为点A，B在双曲线上，利用点差法将点代入双曲线做差化简可得：2121221212y y y yba x x x x+-=⋅+-，利用l 与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，可得221ba=，利用a b c、、的平方关系可求出离心率.解：设()11,A x y，()22,B x y，则有直线AB的斜率为1212y yx x--，直线OM的斜率为1212y yx x++，即121212121y y y yx x x x+-⋅=+-.因为点A，B在双曲线上，所以有2211221x ya b-=，2222221x ya b-=，化简可得：2121221212y y y yba x x x x+-=⋅+-，所以有221ba=，离心率为e=故选：D.思路点睛：涉及到直线斜率，直线与双曲线交点的中点与原点连线斜率，以及双曲线离心率时，常采用点差法解题，利用点在双曲线上，代入化简可得2121221212y y y yba x x x x+-=⋅+-，（其中1212y yx x--为直线斜率，1212y yx x++为直线与双曲线交点的中点与原点连线斜率）知其中两个量可求第三个量.4．A【解析】根据题意先确定出E点所在象限，然后作出图示，根据FQ的长度以及抛物线的定义确定出E点坐标，由此可求直线EF的斜率.因为E在l上的射影点Q在第四象限，所以E在第一象限，设l与y轴的交点为M点，如下图所示：因为FM p=，2FQ p=，所以1cos2FMMFQFQ∠==，所以60MFQ∠=︒，又因为//EQ y轴，所以60MFQ FQE∠=∠=︒，又因为EF EQ=，所以EFQ△为等边三角形，所以3,2E p⎫⎪⎭,所以31EFp pk-==EF故选：A.5．A【解析】设P点在双曲线右支上，由双曲线定义，122PF PF a-=，解得1PF a b=+，2PF b a=-，代入1283PF PF ab=，化简得到3b a=，从而求得离心率.设P点在双曲线右支上，由双曲线定义知，122PF PF a-=，则由题知，1PF a b=+，2PF b a=-则128()()3PF PF b a b a ab=+-=，化简得(3)(3)0b a b a+-=，则3b a=，则c=，离心率cea==故选：A6．A【解析】根据题中的信息列出关于,a c的方程，然后解方程并求离心率即可．设椭圆的方程为22221x ya b+=(0a b>>)，由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a c-，最大值为a c+，根据题意可得近火点满足33952653660a c-=+=，33951194515340a c+=+=，解得9500a=，5840c=，所以椭圆的离心率为58400.619500c e a ==≈， 故选：A ． 7．D 【解析】根据几何法表示出圆的弦长，得到关于,a c 的方程，即可求出离心率. 由题意，可得双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，则圆心()0,a22a c =，又渐近线被圆截得的弦长为，则=，整理可得422430c a c a -+=，即42310e e -+=，解得2e =或2e =（舍），∴)2214e =，e ∴=故选：D. 8．C 【解析】设直线l 的方程、()()1122,,,A x y B x y ，并与抛物线方程联立利用韦达定理和8AB =得p ，再利用求导判断A ；利用()1212=+=⋅+⋅AOBAOFFOBSSSOF y OF y 可判断B ； 由()()12811811+==⨯++AF BF AF B x x F 可判断C ；过M 作PN l ⊥与N ，利用+=+PM PF PM PN 可判断D.由已知的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为2p y x =-，设()()()112212,,,0,0>>A x y B x y x x ，直线方程与抛物线方程联立222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得22304p x px -+=， 所以123x x p +=，2124p x x ⋅=，由1283＝++=+=x x p p p AB ，得2p =，代入22304p x px -+=得 126x x +=，121x x ⋅=，所以24y x =，开方可得y =)0=->y x ， 可得()11,A x y在y =y '==QA k ，()22,B x y在y =-y '==QB k ，所以1⋅===-QA QB k k ，QA QB ⊥，故A 正确； 由1212-=-==y y x x得()121211122=+=⋅+⋅=⨯⨯-=AOBAOFFOBSSSOF y OF y y y B 正确； 因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()12111188++++===⨯⨯AF BF AF BF AF BF x F x AF B 121288118==+++=x x x x ，故C 错误；由241=⨯y 得2y =±，所以M 在抛物线内部，抛物线的准线方程为:1l x =-， 如图过M 作PN l ⊥与N ，交抛物线与点P ，所以PN PF =，所以+=+PM PF PM PN ， 当,,M P N 在一条直线上时PM PN +最小，此时2+=+=PM PF PM PN ， 故D 正确. 故选：C. 9．D 【解析】先设直线方程y x c =+，过点M 作MH x ⊥轴于H ，由已知条件得22bMH c a==，利用c e a =可求得离心率.设直线方程为+y x c =，依题意得ON OF c ==，过点M 作MH x ⊥轴于H ，点N 为MF 的中点，则2MH FH c ==， 所以OH c =，又当x c =，代入双曲线()222210,0x y a b ab-=>>中得22221c y a b -=，解得2b y a=±，所以22b MH c a==，即有22ca b =，所以2220ca c a --=，等式两边同除以2a ，有2210e e --=，解得e =1所以双曲线的离心率ce a==故选：D.10．A 【解析】由已知可确定N 点坐标，从而确定以MN 为直径的圆，连接,,NQ NP PF ，可将PM PQ ⋅转化为PM PN -⋅，进一步利用向量的线性运算得到249PM PQ PF ⋅=-，由双曲线性质可确定结果；由双曲线方程知：右焦点()2,0F ，(M 在双曲线上，直线MF 方程为)2y x =-，令0x =，解得：y =-，(0,N ∴-； ∴以MN 为直径的圆的圆心为F ，且7MF =．连接,,NQ NP PF ，Q 在以MN 为直径的圆上，MQ NQ ∴⊥，()cos PQ PN MPN π∴=⋅-∠，()()()cos PM PQ PM PN MPN PM PN PF FM PF FNπ∴⋅=⋅-∠=-⋅=-+⋅+22249FM PF PF =-=-；P 为双曲线上一点，且P y <min 211PF c a ∴=-=-=，49148PM PQ ∴⋅≤-=；故选：A关键点点睛：本题考查双曲线中的最值问题的求解，解题关键是能够将所求式子进行转化，可采用几何法转化为关于PF 的最值的求解，或利用坐标运算将问题转化为关于P 点横坐标的函数的最值的求解. 11．A 【解析】根据曲率的意义及曲率半径公式计算求解即可.①由题设知，圆的方程可写22221x y R R+=，所以圆上任一点()00,P x y 处的曲率半径为3322222440044x y R R R R R R R ⎛⎫⎛⎫+'=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确； ②③由22221(0)x y a b a b+=>>弯曲最大处为(,0)a ±，最小处为(0,)b ±，所以在(,0)a ±处有322222440a b R a b a b a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，在(0,)b ±处有322222440b a R a b a b b ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即22,b a R a b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故②错误，③正确； ④由题意，01,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的曲率半径32220414R a y a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，而202114y a =-， 所以38232433223421114444a a R a a a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+=+-⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，令824333()44a a f a a --=+-，则在1a >上有()11342()8406a f a aa -'=+->恒成立，故R 在1a >上随着a 的增大而增大，错误.故选：A 12．D 【解析】设抛物线22y x =的焦点为F ，由抛物线的定义可得12PM PF =+，可得12AP PM AP PF +=++，利用A 、P 、F 三点共线时，AP PM +取最小值可得结果. 如下图所示：抛物线22y x =的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，由抛物线的定义可得12PM PF =+，111112222AP PM AP PF AF +=++≥+==.当且仅当A 、P 、F 三点共线时，等号成立， 因此，AP PM +的最小值为112. 故选：D.方法点睛：抛物线定义的两种应用：（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 13．A 【解析】先求得b 的值，利用一条渐近线方程求得点P 坐标，然后利用数量积得2122310PF PF c a ⋅=-+=，结合222c a b =+求得离心率.解：虚轴长为b =:bl y x a =，则P ⎛ ⎝⎭，1231,,1,PF c PF c a ⎛⎫⎛=--=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 2122310PF PF c a ⋅=-+= 又222c a b =+，解得21a =，24c = 故2ce a==， 故选：A. 14．B 【解析】设点()1,0F c -，设点M 在第二象限，则点P 在y 轴正半轴上，由对称性可得21122PF PF F F c ===，利用勾股定理求PO ，从而求得2130MF F ∠=︒，利用渐近线的倾斜角的范围求得b a>利用齐次式求得离心率的范围.设点()1,0F c -，设点M 在第二象限，则点P 在y 轴正半轴上，由对称性可得21122PF PF F F c ===，PO ==，所以2160PF F ∠=︒，则2130MF F ∠=︒， 所以，双曲线的渐近线by x a=-的倾斜角α满足90150α︒<<︒，则tan150b a -<︒=，即b a >因此，该双曲线的离心率为c e a ===>， 故选：B. 15．AC 【解析】设出右焦点F '，根据椭圆定义结合对称性以及余弦定理可求得,a c 的关系，则离心率可求；设出,P M 的坐标，根据对称性写出Q 的坐标，利用点差法可求得12k k 的表示，结合,a c 的关系可求解出12k k 的值.设椭圆的右焦点F '，连接PF '，QF '，根据椭圆对称性可知四边形PFQF '为平行四边形， 则QF PF '=，且由120PFQ ∠=︒，可得60FPF '∠=︒， 所以42PF PF PF a ''+==，则12PF a '=，32PF a =． 由余弦定理可得()22222931122cos 60244222a c PF PF PF PF a a a ''=+-⋅=+-⨯⋅⋅°，所以22716c a =，所以椭圆的离心率e == 设()00,M x y ，()11,P x y ，则()11,Q x y --，01101y y k x x -=-，01201y y k x x +=+，所以220101011222010101y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=-+-，又2200221x y a b+=，2211221x y a b +=，相减可得2220122201y y b x x a -=--． 因为22716c a =，所以22916b a =，所以12916k k =-．故选：AC ．关键点点睛：解答本题的关键在于合理运用焦点三角形的知识以及点差法设而不求的思想去计算；椭圆是一个对称图形，任何过原点的直线（不与焦点所在轴重合）与椭圆相交于两点，这两点与椭圆的焦点构成的四边形为平行四边形. 16．BD 【解析】连接1AF ，分析得出122F AF π∠=，记1AF m =，2AF n =，利用三角形的面积公式以及椭圆的定义可得出关于m 、n ，解出m 的值，即为所求.连接1AF ，因为12OA OF OF ==，则11OAF OF A ∠=∠，22OAF OF A ∠=∠，因为1122122OAF OF A OAF OF A F AF π∠+∠+∠+∠=∠=，122F AF π∠=，记1AF m =，2AF n =，则1211242F AF OAF S S mn ===△△，由椭圆的定义可得6m n +=， 所以，86mn m n =⎧⎨+=⎩，解得42m n =⎧⎨=⎩或24m n =⎧⎨=⎩，所以12AF =或4.故选：BD. 17．BD 【解析】根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为a c +与a c -，分别结合两圆的半径R 和r 分析选项即可求解.设椭圆轨道Ⅱ的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c . 依题意得a c R a c r+=⎧⎨-=⎩，解得2R r a +=，2R rc -=. 椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离的最大值为2a R r =+，故A 错误； 椭圆轨道Ⅱ的焦距为2c R r =-，故B 正确；椭圆轨道Ⅱ的短轴长2b =r 不变，R 越大，则2b 越大，故C 错误； 椭圆轨道Ⅱ的离心率21c R r R e a R r R r-===-+++，若R 不变，r 越小，则e 越大，故D 正确. 故选：BD.关键点点睛：根据示意图理解并找出椭圆中,,a b c 与两圆半径,R r 的关系，是解决问题的关键. 18．BD 【解析】设()00,P x y ，利用斜率公式以及双曲线的方程可判断A 选项的正误；求出两曲线的焦点坐标以及圆的方程，可判断B 选项的正误；利用双曲线的定义求出1PF 、2PF ，可判断C 选项的正误；数形结合可判断D 选项的正误.对于A 选项，设点()00,P x y ，则2200221x y a b-=，所以，()122220222000222220000PF PF b x a y y yb a k k xc x c x cx c a-⋅=⋅==≠+---，A 选项错误；对于B 选项，双曲线22221y x a b-=的焦点为()0,c ±，易知()1,0F c -、()20,F c ，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，则点()0,c ±在圆222x y c +=上，B 选项正确； 对于C 选项，若双曲线C 上存在点P ，使得122PF PF a +=， 由双曲线的定义可得122PF PF a -=，不妨设122PF PF a -=，解得12PF a =，20PF =，C 选项错误； 对于D 选项，以12F F 为直径的圆222x y c +=与双曲线C 有4个交点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线C 有2个交点，过点2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线C 有2个交点.综上所述，双曲线C 上有8个点P ，使得12PF F △是直角三角形，D 选项正确.故选：BD. 19．(1⎤⎦ 【解析】根据题意利用P 点纵坐标P y 表示出12PF F △的面积，根据条件可得P y 满足的不等式关系结合P y的取值范围求解出离心率的取值范围. 因为122121122PF F P SF F y b =⋅⋅=，所以22P b y c=， 又因为0p y a <≤，所以22ba c≤，所以22b ac ≤，所以2220c ac a --≤，所以2210e e --≤且1e >，所以(1e ⎤∈⎦，故答案为：(1⎤⎦. 20．（1）（2）（4） 【解析】由平面图形被该抛物线覆盖的定义逐项分析判断即可解：由抛物线的图像和性质可知，由于任意一个多边形所围区域沿着抛物线顶点出发向抛物线对称轴所在直线平移，总能把有限的区域放入抛物线内部，所以（1）正确；由于过抛物线内部一点的直线（不平行于轴）与抛物线都有两个交点，故抛物线无法覆盖一条直线，也不能覆盖与轴不平行、不共线的射线，所以（2）正确；由于锐角是由两条不平行的射线组成，故抛物线不能覆盖任何一个锐角，所以（3）错误； 取一条直线，使它不平行于任一抛物线的对称轴，根据抛物线的图像和性质可知直线上的点不能被完全覆盖，如图，因为一条直线若被抛物线覆盖，它必须是抛物线的对称轴，所以任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面，所以（4）正确故答案为：（1）（2）（4）关键点点睛：此题考查新定义，考查抛物线的性质的应用，解题的关键是对新定义的正确理解，属于中档题21．2⎤⎦【解析】由垂线与另一条渐近线交于第二象限，所以22b a >1，所以e >2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、22222,⎛⎫- ⎪--⎝⎭a c abc B a ba b ，从而根据AB AF λ=即可建立关于,,a b c 的方程，又1λ，即可建立离心率e 的不等关系，从而可解.解：因为垂线与另一条渐近线交于第二象限，所以a b b a ->-，所以22b a>1，所以e >在直角AOF 中，,,OA a AF b OF c ===，所以2,A A ab a y x c c ==，即2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 联立()a y x c b b y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22222,⎛⎫- ⎪--⎝⎭a c abc B a b a b ，因为AB AF λ=，所以22222a a c a c c a b c λ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，故2222a b aλ=-222e =-，因为1λ，所以2212e -，解得 2.e综上，可得2.e ⎤∈⎦故答案为：2⎤⎦221 【解析】作出图形，分析可得2AF MF c ==，AM =，利用椭圆的定义可得出关于a 、c 的齐次等式，由此可解得椭圆1C 的离心率的值. 如下图所示：过点A 作抛物线2C 的准线的垂线AH ，垂足为点H ，设点M 为椭圆1C 的左焦点， 由抛物线的定义可得AH AF =，易知点A 、B 关于x 轴对称，则AF x ⊥轴，又因为MH x ⊥轴，所以，四边形AFMH 为正方形，可得AM =，因为2AF MF c ==，由椭圆的定义可得2AM AF a +=，即22c a +=，因此，椭圆1C 的离心率为1c e a ===.1. 23．2 【解析】设出直线l 的方程()0,0y kx m k m =+<>，根据焦点三角形的周长求解出,a c 的值，则椭圆方程可求，联立椭圆方程与抛物线方程并根据相切关系对应的0∆=求解出,k m 的关系式，然后表示出AOB 面积并结合基本不等式求解出面积的最小值. 设直线方程为()0,0y kx m k m =+<>，因为12PF F △的周长为4+224a c +=+221a c =+，所以2,a c ==22:14x C y +=，联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=， 所以()()222264161140k m m k ∆=--+=，所以2214k m +=，。
人教A版选择性必修1第三章 圆锥曲线基础达标与能力提升必刷检测卷(全解全析)
第三章：圆锥曲线基础达标与能力提升必刷检测卷-全解全析1．A 【详解】因为焦点坐标为()，设方程为222215x y a a +=-，将()3,2-代入方程可得229411a a +=-，解得215a =，故方程为2211510x y +=，故选：A.2．B解：设双曲线的左焦点(),0F c -，离心率ce a==2222222c c a a b a =⇒=⇒+=，a b =，所以双曲线的渐近线方程为by x x a=±=±，则经过F (),0c -和()0,4P 两点的直线的斜率4040k c c-==+，则41c=，4c =，则a b ==，∴双曲线的标准方程：22188x y -=．故选：B 3．B如图所示：设点P 到准线的距离为d ，准线方程为12x =-，所以17322PA PF PA d AB +=+≥=+=，当且仅当点P 为AB 与抛物线的交点时，PA PF +取得最小值，此时点P 的坐标为()2,2．故选：B ．4．C 【详解】设(,)P x y，由题意可得12(F F ,因为12F PF ∠是钝角，所以2221212PF PF F F +<，所以2222((20x y x y +++<，所以225x y +<，所以224159x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，得295x <，所以55x -<<，故选：C 5．B由题意，221123PF PF PF PF ∴=>由双曲线定义可知，122PF PF a -=21,46aPF a PF ==∴222222221212122212||||||36164524cos 2||||4848PF PF F F a a c a c F PF PF PF a a +-+--∴∠===又122cos 3c e c F PF a ===∴∠=又1212(0,)sin 3F PF F PF π∠∈∴∠==1221212115||||sin 24223PF F SPF PF F PF a =∠=⨯⨯=221,a ∴=又02a a >∴=故双曲线C故选：B 6．A 【详解】取椭圆的右焦点1F ，连接11,F P FQ ，由椭圆的对称性以及直线PQ 经过原点，所以OP OQ =，且1OF OF =，所以四边形1FQF P 为平行四边形，故1FQ F P =，又因为2PF QF =，则12PF PF =，而12PF PF a +=，因此142,33a aPF PF ==，由于120PFQ ∠=︒，则160FPF ∠=︒，在1FPF 中结合余弦定理可得2222112cos 60FF PF PF PF PF =+-⋅⋅，故2221644214299332a a a a c =+-⋅⋅⋅，即223c a =3c a =，因此333c e a c==，故选：A.7．C 【详解】如图，作1OA F M ⊥于点21,A F B F M ⊥于点B ，因为1F M 与圆222x y a +=相切，所以21||,2||2,2OA a F B OA a F B b ====，在2Rt BMF 中，1260F MF ∠=︒，所以2222343||,3F B a a aBM F M ===︒又点M 在双曲线上，由双曲线的定义可得：所以1212||22F M F M F B BM F M b a -=+-=+=，整理得：b =，所以b a =所以双曲线的渐近线方程为y =．故选C ．8．D设点A (x 1，y 1)，B (-x 1，-y 1)，P (x 0，y 0)则2211221x y a b-=，且2200221x y a b -=，两式相减得2222101022x x y y a b --=，所以2220122201y y b x x a -=-，因为01010101()()1()()4PA PB y y y y k k x x x x -+⋅=⋅=-+，所以2214b a =，12b a =故双曲线C 的渐近线方程1=2y x ±因为焦点(c ，0)到渐近线1=2y x 的距离为1，1=，c =，所以2a =，1b =，故A ，B 错误．对于C ，不妨设P 在右支上,记2,PF t =则14PF t =+因为12PF PF ⊥,所以22(4)20t t ++=解得2t -或2t =(舍去）,所以12PF F △的面积为12112)2)22PF PF =⨯1=，故C 不正确；对于D ，设P (x 0，y 0)，因为1200122PF F S c y ∆=⋅==，所以02y =，将02y =带入C ：2214x y -=，得2020x =，即0x =由于对称性，不妨取P 得坐标为(2)，则23PF ==，17PF ==因为222212121212cos 02PF F F PF PF F PF F F +-∠==<所以∠PF 2F 1为钝角，所以PF 1F 2为钝角三角形，故D 正确故选：D 9．ABD 【详解】由题意可知，抛物线22x y =的焦点1(0,2F ，准线为：12y =-，且直线l 斜率一定存在，不妨设直线l ：12y kx =+，由22221012x y x kx y kx ⎧=⎪⇒--=⎨=+⎪⎩，从而122x x k +=，121x x =-，所以21212121211111()()22244y y kx kx k x x k x x =++=+++=，故A 正确；因为212121211()12122y y kx kx k x x k +=+++=++=+，所以由抛物线定义可知，21211||2(1)22AB y y k =+++=+，且AB 中点M 221(,)2k k +，从而M 到直线12y =-的距离为211||2k AB +=，从而以AB 为直径的圆与直线12y =-相切，故B 正确；因为当0k =时，易得1(1,)2A -，1(1,)2B ，故OA OB +<C 错误；由题意,易知直线OA ：11y y x x =，经过点B 与x 轴垂直的直线为：2x x =，从而经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 的交点为2121(,x y x x ，因为2112x y =，所以211211122x y x x x ==-，所以经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 的交点为21(,)2x -，即21(,)2x -在直线12y =-上，故D 正确.故选：ABD.10．BD 【详解】由已知c ==，不妨设00(,)bM x x a，00x >，OM c =，0x a =，所以(,)M a b ，(,)N a b -，因为ME ON ⊥，所以31b b a a -⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，223a b b =-，又22220a b c +==，解得4b =或52b =-（舍去），28b =，A错；2a =，ce a==，B 正确；双曲线的渐近线为2y x =±，因此直线1211y x =+与双曲线有一个交点．C 错；由上面讨论知(2,4)M ，(2,4)N -，所以18282OMN S =⨯⨯=!．D 正确．故选：BD ．11．BD 对于A ，当52t =时，曲线C 是圆，故A 错误；对于B ，当4t >时，曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，当1t <时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，故B 正确；对于C ，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得512t <<，故C 错误；对于D ，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩，解得4t >，故D 正确．故选BD ．12．BD 【详解】由题设，2a =，则22214x y b+=，又)P在椭圆内部，则21112b+<，即224b <<，∴22e a==，故A 错误；当4e =时，有272b =，易得12(2F -，2(2F .∴由12||||4QF QF +=，则1222||4||4(2222QF QF =-≤--=+，故B 正确；由222420c b b -=-<，即c b <，以原点为圆心，c 为半径的圆与椭圆无交点，∴椭圆上不存在点Q 使得210QF QF ⋅=，故C 错误；由1221212121211441()2QF QF QF QF QF QF QF QF QF QF ++==≥=+，当且仅当12||||2QF QF ==时等号成立，即Q 为短轴端点取等号，∴1211QF QF +的最小值为1，故D 正确.故选：BD 13．163∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =-代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-=解法二：10036640∆=-=>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=,过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1631423如图所示，由题意可得|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ，∵∠MAN=60°，∴32，∴22223||||4OA PA a b -=-设双曲线C 的一条渐近线y=b a x 的倾斜角为θ，则tan θ=223||2||34bAP OP a b -．又tan θ=b a，223234bb a a b =-，解得a 2=3b 2，∴22123113b a +=+231515方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=，联立方程22195x y +=可解得321,22x x =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得315,22P ⎛- ⎝⎭，所以1521512PFk ==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-求得3152P ⎛- ⎝⎭，所以1521512PF k ==.1651+【详解】设焦距为2c在三角形PF 1F 2中，根据正弦定理可得2121212sin sin PF F F F PF PF F =∠∠因为1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，代入可得1222F F PF =，所以2PF c=在椭圆中，1212PF PF PF c a +=+=在双曲线中，1212PF PF PF c m -=-=所以112,2PF a c PF m c =-=+即22a c m c -=+所以a m c=+因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1即1c c a m ⨯=，即2c a m =所以2c m c m+=化简得220c m mc --=，等号两边同时除以2m 得210c c m m⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为c m 即为双曲线离心率所以若双曲线离心率为e ，则上式可化为210e e --=由一元二次方程求根公式可求得e =因为双曲线中1e >所以12e +=17．（1）12870x y --=；（2）3.【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++=1252x x ∴+=联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+=则()2212121440m m ∆=-->12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --=（2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y ty x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --=则4120t ∆=+>13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t=-3A P P B=123y y ∴=-21y ∴=-，13y =123y y ∴=-则AB ===18．（1）连结1PF ，由2POF V 为等边三角形可知：在12F PF △中，1290F PF ∠=，2PF c =，1PF =，于是122a PF PF c =+=+，故椭圆C的离心率为1c e a ==；（2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在，当且仅当12162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b +=，即16c y =①222x y c +=②22221x y a b +=③由②③以及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =；由②③得22222()a x c b c =-，所以22c b ≥，从而2222232a b c b =+≥=，故a ≥当4b =，a ≥P .故4b =，a的取值范围为)+∞.19．解：（1）因为2c a =，222a c b -=，所以2a b =.因为原点到直线1:B x a A y b -=的距离5d =，解得4a =，2b =.故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.（2）由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=.可知0∆>.设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2234214M x x k x k +-==+，21114M M y kx k =+=+，因为E ，F 都在以B 为圆心的圆上，且()0,2B -，所以21M My k x +⋅=-，所以20M M x ky k ++=.即224201414k k k k k -++=++.又因为0k ≠，所以218k =.所以4k =±20．（1）由22221b a c a c b ⎧=⎪-=⎨⎪-=⎩得21b a c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆C 交于不同的两点分布在x 轴两侧，不合题意.所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+.设11(,)E x y 、22(,)F x y ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=，所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+.因为APE OPF ∠=∠，所以0PE PF k k +=，即121202233y y x x +=--，整理得1212242()()033m kx x m k x x +-+-=化简得6m k =-，所以直线l 的方程为6(6)y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点(6,0).21．（1）由题意可知：23a =，又椭圆1C 的上顶点为()0,b ，双曲线2C的渐近线为：0y x x =⇔±=，1b ⇒=，所以椭圆的方程为2213x y +=．（2）易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入2213x y -=，消去y 并整理得：()222136330k x kmx m ----=，要与2C 相交于两点，则应有：()()2222213036413330k k m k m ⎧-≠⎪⎨---->⎪⎩22213013k m k ⎧-≠⇒⎨+>⎩设()()111222,,,Q x y Q x y ，则有：122613km x x k +=-，21223313m x x k --⋅=-.又12OQ OQ ⋅=()()12121212x x y y x x kx m kx m +=+++()()2212121k x x km x x m =++++.又：125OQ OQ ⋅=-，所以有：()()2221[13313k m k +--+-()2222613]5k m m k +-=-，22190m k ⇒=-≥，②将y kx m =+，代入2213x y +=，消去y 并整理得：()222136330k x kmx m +++-=，要有两交点，则()22236413k m k ∆=-+()22233031m k m ->⇒+>.③由①②③有：2109k <≤设()133,M x y 、()244,M x y .有：342613km x x k -+=+，23423313m x x k -⋅=+12M M==.将2219mk =-代入有：12M M =12M M ⇒12M M ⇒=令2t k =,10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦令()()()2113t t f t t +=+()()31'13t f t t -⇒=+,10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.所以()'0f t >在10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内恒成立，故函数()f t 在10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内单调递增，故()50,72f t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦(12M M ⇒∈.22．（1）由已知得()2,0E ，且F 为OE 的中点，所以()1,0F .所以12p =，解得2p =，故抛物线Ω的方程为24y x =.（2）证明：联立22404x y y x --=⎧⎨=⎩，解得()4,4P ，()1,2B -，由E 为DG 的中点得0ED EG +=.不妨设()2,0D t -，()2,0G t +，其中0t >.则142k t =+，242k t =-.所以121122144t t k k +-+=+=，即1211k k +为定值.（3）由（2）可知直线PC 的方程为44(4)2y x t-=--，即()42480x t y t ----=，与抛物线联立()2442480y x x t y t ⎧=⎪⎨----=⎪⎩，消x 可得()22480t y y t ---=-，解得2y t =--或4y =（舍），所以()224t x +=，即()22,24t C t ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，故点C 到直线PB的距离d =设过点P 的抛物线的切线方程为()44y k x -=-，联立()2444y k x y x⎧-=-⎨=⎩得2416160ky y k -+-=，由0∆=，得12k =，所以切线方程为240x y -+=，令0y =，得4x =-，所以要使过P 点的直线与抛物线有两个交点，24t ->-，则有06t <<，又PB =所以236124PBC t t S +=⨯=△，即054PBC S <<△，故PBC 的面积的取值范围为()0,54.。
专题9.2 圆锥曲线-2017年高考数学冲刺专题卷 含解析 精品
一、选择题1．已知错误！未找到引用源。
是抛物线错误！未找到引用源。
的焦点，错误！未找到引用源。
是该抛物线上的两点，错误！未找到引用源。
，则线段错误！未找到引用源。
的中点到错误！未找到引用源。
轴的距离为（）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】C考点：抛物线的性质.【题型】选择题【难度】一般2．过双曲线错误！未找到引用源。
的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
【答案】C【解析】当直线方程为错误！未找到引用源。
时，代入双曲线方程中并整理得错误！未找到引用源。
，由题设可得错误！未找到引用源。
，即错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
；当直线方程为错误！未找到引用源。
时，代入双曲线方程中并整理得错误！未找到引用源。
，由题设可得错误！未找到引用源。
，即错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
.故双曲线离心率的取值范围为错误！未找到引用源。
，故选C.考点：双曲线的性质.【题型】选择题【难度】一般3．过点错误！未找到引用源。
的直线与椭圆错误！未找到引用源。
交于错误！未找到引用源。
两点，且点错误！未找到引用源。
平分弦错误！未找到引用源。
，则直线错误！未找到引用源。
的方程为( )A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】B考点：椭圆的中点弦直线方程.【题型】选择题【难度】一般4．若坐标原点到抛物线错误！未找到引用源。
的准线的距离为2，则错误！未找到引用源。
( )A. 8B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
天津市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：圆锥曲线(含答案)
天津市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、选择、填空题1、（2016年天津市高考）已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y - 2、（2015年天津市高考）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=3、（天津市八校2016届高三12月联考）抛物线：212y x =-的准线与双曲线：22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )．A ．33B ．23C ．2D ．34、（和平区2016届高三第四次模拟）已知双曲线2213x y -=的渐近线上的一点A 到其右焦点F 的距离等于2，抛物线()220y px p =>过点A ，则该抛物线的方程为（ ）A ．22y x =B ．2y x =C ．212y x =D ．214y x =5、（河北区2016届高三总复习质量检测（三））双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的右焦点F 是抛物线28y x =的焦点，两曲线的一个公共点为P ，且5PF =，则该双曲线的离心率为 （A ）233（B ）52 （C ）5 （D ）26、（河北区2016届高三总复习质量检测（一））已知双曲线22221(00)x y =a >b >a b，-的一条渐近线平行于直线l ：+2+5=0x y ，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（A ）22=1205x y - （B ）22=1520x y -（C ）2233=125100x y - （D ）2233=110025x y -7、（河东区2016届高三第二次模拟）已知双曲线的一个焦点为)0,5(1F 它的 渐近线方程为x y 34±=，则该双曲线的方程为( ) A ．191622=-y x B ． 191622=-x y C ．116922=-y x D ． 116922=-x y 8、（河西区2016届高三第二次模拟）已知双曲线1C ：1163222=-py x 0(>a ，)0>b 的左焦点在抛物线2C ：)0(22>=p px y 的准线上，则双曲线1C 的离心率为（A ）34（B ）3（C ）332 （D ）49、（河西区2016届高三下学期总复习质量调查（一））已知双曲线1C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的焦距是实轴长的2倍，若抛物线2C ：py x 22=（0>p ）的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（A ）y x 3382=（B ）y x 33162=（C ）y x 82=（D ）y x 162=10、（红桥区2016届高三上学期期末考试）已知双曲线2219x y m -=的一个焦点在圆22450x y x +--=上，则它的渐近线方程为（A ） 43y x =±（B ）223y x =±（C ）23y x =± （D ）34y x =±11、（天津市六校2016届高三上学期期末联考）已知双曲线1:2222=-by a x C )0,0(>>b a 与抛物线)0(22>=p px y 的交点为A 、B ，直线AB 经过抛物线的焦点F ，且线段AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为12、（天津市十二区县重点高中2016届高三毕业班第一次联考）已知双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b-=>>的离心率52e =，点P 是抛物线24y x =上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点1(0,)F c 的距离与到直线1x =-的距离之和的最小值为6，则该双曲线的方程为A ．22123y x -=B ． 2214y x -=C ．2214x y -= D ．22132y x -= 13、（天津市十二区县重点学校2016届高三下学期毕业班联考（二））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为3,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()1,1--,则双曲线的标准方程为A ．22122x y -=B ．22144x y -=C ．2214x y -= D ．2212x y -= 14、（武清区2016届高三5月质量调查（三））已知双曲线()0,012222>>=-b a by ax 的左、右焦点分别为21,F F ，以点2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，切点为P ．若3221π=∠PF F ，则双曲线的离心率为（ ）（A ）313 （B ）321（C ）5 （D ）37二、解答题1、（2016年天津市高考）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.2、（2015年天津市高考）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为F -c （,0）,离心率为33，点。
四川省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：圆锥曲线 含答案
四川省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、选择、填空题1、(2016年四川省高考）设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点,M 是线段PF 上的点,且PM =2MF ，则直线OM的斜率的最大值为（A （B)23 （C ）2（D ）12、（2015年四川省高考）过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则||AB =A.B 。
C. 6 D 。
3、（四川省2016届高三预测金卷）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、,过2F 的直线交双曲线于Q P ,两点且1PF PQ ⊥，若||||1PF PQ λ=，34125≤≤λ，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）。
A.]210,1( B.]537,1( C. ]210,537[D 。
),210[+∞ 4、(成都市2016届高三第二次诊断）已知抛物线y=x 2的焦点为F ，经过y 轴正半轴上一点N 作直线l 与抛物线交于A ，B 两点,且OA OB ⋅ =2（O 为坐标原点），点F 关于直线OA 的对称点为C ，则四边形 OCAB 面积的最小值为(A ）3 （B)（D)325、（成都市都江堰2016届高三11月调研）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的一个焦点与抛物线xy 122=的焦点重合，且双曲线的离心率等于3,则该双曲线的标准方程为（ )A ．1182722=-y x B ．1271822=-x y C ．1241222=-y x D ．16322=-y x6、（乐山市高中2016届高三第二次调查研究）抛物线24yx =的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分交于点A,与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于点K ，如果|AF|=|BF|,那么△AKF 的面积为A.B 。
上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：圆锥曲线 含解析
上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、填空、选择题1、（2016年上海高考）已知平行直线012:,012:21=++=-+y x ly x l ，则21,l l 的距离_______________2、（2015年上海高考)抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= 2 ．3、（2014年上海高考）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 。
4、（虹口区2016届高三三模）若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线的距离为22则该双曲线的焦距等于________.5、(浦东新区2016届高三三模)抛物线214y x =-的准线方程是6、（杨浦区2016届高三三模）已知双曲线22214x y a -=*()a N ∈的两个焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上一点，满足21212||||||F F PF PF =⋅,P 到坐标原点O 的距离为d ，且59d <<,则2a =7、(虹口区2016届高三三模）过抛物线28xy=的焦点F 的直线与其相交于A ，B 两点,O 为坐标原点．若6,AF =则OAB ∆的面积为 8、(浦东新区2016届高三三模)直线1y kx =+与抛物线22y x=至多有一个公共点,则的取值范围是9、（浦东新区2016届高三三模)设P 为双曲线()22210x y a a-=>上的一点，12F F 、是左右焦点,1223F PFπ∠=，则12F PF ∆的面积等于（ )A.23a B.23 C 。
3D 。
23310、（崇明县2016届高三二模）已知双曲线22221x y a b -=00a b >>（,）的一条渐近线方程是3y x=，它的一个焦点与抛物线216yx=的焦点相同，则双曲线的标准方程为 ．11、(奉贤区2016届高三二模）双曲线2241x y -=的一条渐近线与直线10tx y ++=垂直，则t =________． 12、（虹口区2016届高三二模)如图, 2222+1(0)x y A B a b a b =>>、为椭圆的两个顶点，过椭圆的右焦点F 作轴的垂线，与其交于点C 。
广东省2017届高三数学文一轮复习专题突破训练：圆锥曲线
广东省2017届高三数学文一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、选择、填空题1、（2016年全国I 卷高考）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）342、（2016年全国II 卷高考）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ ）（A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）23、（2016年全国III 卷高考）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）13（B ）12（C ）23（D ）344、（2015年全国I 卷）已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = （A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）125、（2015年全国I 卷）已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，()0,66A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．6、（2016年全国I 卷高考）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为 .7、（2016年全国III 卷高考）已知直线l ：360x y -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________.8、（广东省2016届高三3月适应性考试）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为53，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为12，则b =（ ）A ．8B ．6C ．5D ．49、（广东佛山市2016届高三二模）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c ，左焦点为F ，若直线y x c =+与椭圆交于,A B 两点，且3AF FB =,则该椭圆的离心率是（ ）A ．14B ．12C ．22D ．3210、（广东佛山市2016届高三二模）已知点P 是抛物线24y x =上的点，且P 到该抛物线焦点的距离为3，则P 到原点的距离为 ．11、（广东广州市2016届高三二模）已知1F , 2F 分别是椭圆C ()2222:10x y a b a b+=>>的左, 右焦点, 点31,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上, 124AF AF +=, 则椭圆C 的离心率是(A)12 (B) 54 (C) 23(D) 3212、（广东深圳市2016届高三二模）已知点F 为抛物线E ：24y x =的焦点，点(2,)A m 在抛物线上，则AF = ．13、（广东珠海市2016届高三二模）已知点P 是双曲线2214x y -=上任意一点，A 、B 分别是双曲线的左右顶点，则PA PB ⋅uu r uu r的最小值为（ ） A.-3 B.0 C.1 D.214、（广东珠海市2016届高三二模）直线80x my --=与抛物线28y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OAB V 面积的取值范围是15、（广东揭阳市2016届高三二模）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60，则该双曲线的离心率为（A ）233 （B ）43（C ）233或2 （D ）4二、解答题1、（2016年全国I 卷高考）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（I ）求OH ON；（II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.2、（2016年全国II 卷高考）已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当AM AN =时，证明：32k <<. .3、（2016年全国III 卷高考）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点． （I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.4、（2015年全国I 卷）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .5、（广东省2016届高三3月适应性考试）已知点1(,0)2F 及直线1:2l x =-．P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ， 且QP QF FP FQ ⋅=⋅．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设圆M 过点(1,0)A 且圆心M 在P 的轨迹C 上，12E E 是圆M 在y 轴上截得的弦，证明弦长12E E 是一个常数．6、（广东佛山市2016届高三二模）已知点M 为圆22:4C x y +=上一个动点，点D 是M 在x 轴上的投影，P 为线段MD 上一点，且与点Q 关于原点O 对称，满足QP OM OD =+． (1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点P 作E 的切线l 与圆相交于,A B 两点，当QAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．7、（广东广州市2016届高三二模）已知动圆P 的圆心为点P ,圆P 过点()1,0F 且与直线:l 1x =-相切.(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)若圆P 与圆()22:11F x y -+=相交于,M N 两点，求MN 的取值范围.8、（广东深圳市2016届高三二模）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点P 在圆22:(2)9C x y ++=上，且椭圆的离心率为32． （1）求椭圆E 的方程；（2）若过圆C 的圆心是直线l 与椭圆E 交于A 、B 两点，且1PA PB ⋅=，求直线l 的方程．9、（广东珠海市2016届高三二模）已知点P 为圆2225x y +=上任意一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为H ，且满足35MH PH =uuu u r uuu r，若M 的轨迹为曲线E .⑴ 求E 的方程；⑵ 设过曲线E 左焦点的两条弦为MN 、PQ ，弦PQ MN ,所在直线的斜率分别为12k k 、，当121k k =时，判断11||||MN PQ +是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由.10、（惠州市2016届高三第三次调研）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线2260x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 标准方程；（Ⅱ）已知点,A B 为动直线(2)(0)y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使EB EA ⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．11、（揭阳市2016届高三上学期期末学业水平考试）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴的长为4，离心率等于22. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值．12、（清远市2016届高三上学期期末）已知椭圆C 焦点在x 轴上，中心在原点，长轴长为4，离心率23，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点． （1）若P 是第一象限内椭圆C 上的一点，1254PF PF ∙=-，求点P 的坐标；（2）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．13、（韶关市2016届高三上学期调研）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点为()()122,0,2,0F F -，且过点(2,1)Q（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P(0,2)的直线l 交椭圆于M,N 两点,以线段MN 为直径的圆恰好过原点，,求出直线l 的方程;参考答案一、选择、填空题 1、【答案】B【解析】由题意得12bc a b =⨯，所以椭圆的离心率1e 2=，故选B ． 2、D 3、A 4、【答案】B5、【答案】1266、【答案】4π【解析】圆22:220C x y ay +--=，即222:()2C x y a a +-=+，圆心为(0,)C a ，由||23,AB C =到直线2y x a =+的距离为|02|2a a -+， 所以由22223|02|()()222a a a -++=+得22,a = 所以圆的面积为2(2)4a ππ+=．7、48、D 9、【答案】C【解析】22221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20a b y b cy b c a b +-+-=，∴22224()20a b y b cy b +--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，∴24121222222,b c b y y y y a b a b -+==++．∵3AF FB =，∴123y y =-，∴24222222222,3b c b y y a b a b-==++，∴2223a b c +=， ∴222a c =，∴2212c a =，∴22e =．10、【答案】23【解析】设00(,)P x y ，则032px +=，∴013x +=，∴02x =，208y =，∴P 到原点的距离为22001223x y +==． 11、D12、【答案】3 【解析】02132pAF x =+=+=． 13、【答案】B.【解析】 A 点坐标为(2,0)，B 点坐标为(2,0)-，设点P 坐标为(,)x y ，则(2,)PA x y =--u u r，(2,)PB x y =---u u r ，故2223434PA PB x y x ⋅=--=-uu r uu r ，而22x x ≥≤-或，故最小值为014、【答案】[64,)+∞【解析】联立方程288x my y x=+⎧⎨=⎩，得28640y my --=，0∆>，128y y m +=，1264y y =-，因为80x my --=过定点(8,0),22121212184()44644642OAB S y y y y y y m =-⋅=+-=+⋅，当0m =时，min 64S = 故答案为[64,)+∞. 15、C二、解答题1、【解析】（Ⅰ）由已知可得(0,)M t ，2(,)2t P t p又∵N 与M 关于点P 对称，故2(,)t N t p∴ 直线ON 的方程为py x t=，代入22y px =，得： 2220px t x -=解得：10x =，222t x p =∴22(,2)t H t p． ∴N 是OH 的中点，即2OHON=． （Ⅱ）直线MH 与曲线C 除H 外没有其它公共点．理由如下： 直线MH 的方程为2py t x t-=，即2()t x y t p =-，代入22y px =，得22440y ty t -+=，解得122y y t ==，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 外没有其它公共点． 2、解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=.（2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故2212121||1|2|34k AM k x k +=++=+.由题设，直线AN 的方程为1(2)y x k=-+，故同理可得22121||43k k AN k +=+. 由2||||AM AN =得2223443k k k=++，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥， 所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又(3)153260,(2)60f f =-<=>， 因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在(3,2)内，所以32k <<. 3、（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分 4、【解析】试题分析：（I ）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k 的不等式，即可求出k 的取值范围；（II ）设1122M(,y ),N(,y )x x ，将直线l 方程代入圆的方程化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理将1212,x x y y 用k 表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ON ⋅=列出关于k 方程，解出k ，即可求出|MN|.试题解析：（I ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+.因为l 与C 交于两点，所以2|231|11k k-+<+.解得474733k -+<<. 所以k 的取值范围是.（II ）设1122M(,y ),N(,y )x x . 将1y kx =+代入方程()()22231x y -+-=,整理得22(1)-4(1)70k x k x +++=,所以1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++ ()()21212121224(1)OM ONy 1181k k x x y k x x k x x k +?+=++++=++,由题设可得24(1)8=121k k k+++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+. 故圆心在直线l 上，所以|MN |2=. 5、解：（Ⅰ）从题意知，设点P 的坐标为(),x y ，则Q 的坐标为1,2y ⎛⎫-⎪⎝⎭，因此 ()1,0,1,,2QP x QF y ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭()1,,1,2FP x y FQ y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.因QP QF FP FQ ⋅=⋅，得 ()()11,01,,1,22x y x y y ⎛⎫⎛⎫+⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即21122x x y +=-+，故动点(,)P x y 的坐标满足方程22y x = 设00(,)N x y 是22y x =的任一点，过N 作直线l 的垂线，垂足为Q ，则有FN FQ QN QF ⋅=⋅,即22y x =上的任一点都具有所需的性质. 综上，动点P 的轨迹方程为22y x =.（Ⅱ）设(),M a b 为圆M 的圆心，则22b a =.圆M 过点()1,0A ，∴圆M 上的点(,)x y 满足 ()()()22221x a y ba b-+-=-+. 令0,x =得22210,y by a -+-=于是可得圆M 与y 轴的交点为()110,E y 和()220,E y ，其中21,2211y b b a b =±-+=±，故12122E E y y =-=是一个常数. 6、【解析】（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)D x ． ∵点P 与点Q 关于原点O 对称，∴2QP OP =． ∵QP OM OD =+，∴2OP OM OD =+， ∴0002(,)(,)(,0)x y x y x =+，∴002x x y y=⎧⎨=⎩，∵22004x y +=，∴2244x y +=，∴动点P 的轨迹方程：2214x y +=． （2）当直线l 的斜率不存在时，显然不符合题意， ∴设直线l 的方程为y km m =+，由2244y km m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(41)8440k x kmx m +++-=． ∵直线l 与椭圆相切，………12分 ………6分∴2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+-=，∴2241m k =+．原点O 到直线l 的距离21m d k =+，则224AB d =-，∴212242QAB S AB d d d ∆=⋅=- 22222(4)2(2)44d d d =-=--+≤，当22d =，即2d =时，QAB ∆的面积取得最大值4．此时221m d k ==+，即2222m k =+，由22222241m k m k ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得322m k ⎧=±⎪⎨=±⎪⎩， ∴直线l 的方程为232y x =+或232y x =-或232y x =-+或232y x =--． 7、(Ⅰ)解法1:依题意,点P 到点()1,0F 的距离等于点P 到直线l 的距离, ………1分 ∴点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线:l 1x =-为准线的抛物线. …………2分 ∴曲线C 的方程为24y x =. ………………………………………3分 解法2:设点P 的坐标为(),x y ，依题意,得1PF x =+， ………………………1分 ∴()2211x y x -+=+. ………………………………………2分化简得24y x =.∴曲线C 的方程为24y x =. ………………………………………3分 (Ⅱ) (Ⅱ)解法1：设点P ()00,x y ，则圆P 的半径为01r x =+.………………………4分 ∴圆P 的方程为()()()2220001x x y y x -+-=+. ① ………………………5分 ∵圆()22:11F x y -+=, ②①-②得直线MN 的方程为()20000212210x x y y y x --+--=. …………6分∵点P ()00,x y 在曲线2:4C y x =上,∴2004y x =,且00x ≥.∴点F 到直线MN 的距离为()()200022002121414x y x d x y-+--=-+=()22001414x y-+.……………………………………7分∵圆()22:11F x y -+=的半径为1,∴MN ()2220012121414d x y=-=--+. …………………8分()2001214116x x =--+()2012141x =-+. …………………9分∵00x ≥,∴()2011x +≥. ∴()20110441x <≤+. ………………………………………………………10分 ∴()203111441x ≤-<+. ………………………………………………………11分 ∴32MN ≤<.∴MN 的取值范围为)3,2⎡⎣. ……………………………………12分解法2：设点P ()00,x y ，点F 到直线MN 的距离为d ,则点P 到直线MN 的距离为PF d -. ……………………………………4分 ∵圆()22:11F x y -+=的半径为1,圆P 的半径为PF ,∴MN ()222212d PF PF d =-=--. ……………………………5分∴()2221d PF PF d-=--,化简得12d PF=. …………………6分 ∴MN 22121214d PF=-=-. ……………………………………7分∵点P ()00,x y 在曲线2:4C y x =上,∴2004y x =,且00x ≥.∴()222001PFx y =-+ …………………………………………………8分 2000214x x x =-++()201x =+1≥. ………………………………………………………9分∴211044PF<≤. ………………………………………………………10分 ∴2311144PF≤-<. ………………………………………………………11分 ∴32MN ≤<.∴MN 的取值范围为)3,2⎡⎣. …………………………………………12分8、【解析】（1）依题意，令0x =，得220(2)9y ++=，解得1y =或5y =， ∴点P 的坐标为(0,1)，即1b =．∵22213112c b e a a a ==-=-=，∴2a =，∴椭圆E 的方程为2214x y +=． （2）∵直线l 经过圆心(0,2)C -，①当直线l 的斜率不存在时，不合题意； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，1122(,),(,)A x y B x y ． 由22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(14)16120k x kx +-+=，∵2225648(14)0k k ∆=-+>，∴234k >．1212221612,1414k x x x x k k +==++， ∵11222,2y kx y kx =-=-， ∴1212()4y y k x x +=+-，212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =--=-++，∴1122121212(,1)(,1)()1PA PB x y x y x x y y y y ⋅=-⋅-=+-++22212122212(1)48(1)3()991414k k k x x k x x k k +=+-++=-+++221114k==+， 解得5k =±，满足234k >， ∴直线l 的方程为52y x =-或52y x =--．9、【解析】⑴ 设P 点坐标为00(,)x y ，M 点坐标为(,)x y ，由35MH PH =uuu u r uuu r 得，035x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，而P 点在2225x y +=上，代入得221259x y +=. …………5分⑵由题设知，1(40)F -，，则1:(4)MN y k x =+，2:(4)PQ y k x =+ 将MN 与C 的方程联立消y 得：2222111(259)2004002250k x k x k +++-=*“”设1122()()M x y N x y ，，，，则12x x 、是“*”的二根则211221211221200259400225259k x x k k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩…………7分则22221212112||()()(1)()MN x x y y k x x =-+-=+-4222221111121212214004(400225)(259)(1)[()4](1)(259)k k k k x x x x k k --+=++-=+⋅+ 212190(1)259k k +=+ …………8分 同理：222290(1)||259k PQ k +=+ Q 121k k =∴22122212111190(1)90(1)||||259259k k MN PQ k k +=+++++ …………10分 22222212122122221212259259(259)(1)(259)(1)90(1)90(1)90(1)(1)k k k k k k k k k k +++++++=+=++++ 2222212121222222121218343450()68343490[1()]90(2)k k k k k k k k kk k k +++++==+++++ 2212221234(2)1790(2)45k k k k ++==++∴11||||MN PQ +为定值，值为1745． …………12分 （2）解法2：由上知，||MN 212190(1)259k k +=+，222290(1)||259k PQ k +=+ Q 121k k =2121212121212121925909092590909125)11(90||k k k k k k k k PQ ++=++=++=∴ 45179090925)1(90925||1||121212121=+++++=+∴k k k k PQ MN 10、【解析】（I ）由36=e ，得36=a c ，即a c 36=，① （1分） 以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为222x y a +=， （2分） 此圆与直线2260x y -+=相切，所以22662(2)a ==+，代入①得c=2, （4分）所以2222b a c =-=,所以椭圆的方程为12622=+y x ． （5分） （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(12622x k y y x 得061212)31(2222=-+-+k x k x k ， （6分） 设1122(,),(,)A x y B x y ,所以22213112k k x x +=+，222131612kk x x +-=⋅，（7分） 根据题意,假设x 轴上存在定点)0,(m E ,使得EB EA ⋅为定值， 则有EB EA ⋅11221212(,)(,)()()x m y x m y x m x m y y =-⋅-=-⋅-+)2)(2())((21221--+--=x x k m x m x )4())(2()1(22212212m k x x m k x x k ++++-+=)4(3112)2(31612)1(22222222m k kk m k k k k +++⋅+-+-⋅+=13)6()10123(2222+-++-=k m k m m （9分）要使上式为定值，即与k 无关，则应有)6(31012322-=+-m m m ， （10分）即37=m ， （11分） 此时EB EA ⋅9562-=-=m 为定值，定点为)0,37(． （12分）11、解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221(0)y x a b a b+=>>--------------------------------1分由题意2222422a b c a c a ⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2,2a b ==．-----------------------------------------4分所以，椭圆的方程为22142y x +=．-------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由椭圆的方程22142y x +=，得(1,2)P ．-------------------------------------6分 由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PA 的斜率为k ，则PA 的直线方程为2(1)y k x -=-．--------------------------------------------7分由222(1)124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得：222(2)2(2)(2)40k x k k x k ++-+--=．-------------8分 设A (x A , y A )，B (x B , y B )，则2222212A A k k x x k --=⋅=+，-------------------------------9分同理可得222222B k k x k +-=+----------------------------------------------------10分则2422B A k x x k -=+，28(1)(1)2B A B A ky y k x k x k-=----=+． 所以直线AB 的斜率2A BAB A By y k x x -==-为定值．----------------------------------12分12、解：（1）易知2a =，23==a c e ，3c =，1b =．…… …1分 所以椭圆的方程是1422=+y x …………………………………………………… …2分 ∴1(3,0)F -，2(3,0)F ．…… …3分； 设(,)P x y (0,0)x y >>．…… …4分则22125(3,)(3,)34PF PF x y x y x y ⋅=-----=+-=-，又2214x y +=，…… 5分 联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22113342x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，3(1,)2P ．……………………… …6分 （2）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，…………………… …7分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k =+，1221614kx x k+=-+………………………………………………… …8分 由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>22163(14)0k k -+>，2430k ->，得234k >．① ……………………………… …9分 又AOB ∠为锐角||||01cos 0cos OB OA OB OA OB OA AO AOB ⋅≠⋅>⋅⇔≠∠>∠⇔且，且…… …10分∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k=+⋅+⋅-+++ 22212(1)21641414k k kk k +⋅=-+++224(4)014k k -=>+∵ 1+4k 2>0 , ∴ 4-k 2>0 即 k 2<4 ② ……………………… …11分综①②可知2344k <<，经检验A 、O 、B 三点不共线 ∴k 的取值范围是33(2,)(,2)22--…… …12分13、解： (Ⅰ)由题意可得()()()()()2222222102210422a AC BC =+=--+-+-+-=>……………………2分2=∴a 224222=-=-=∴c a b .∴椭圆的标准方程是.12422=+y x ………………………………………………4分 (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y . 设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x联立方程:⎩⎨⎧=++=42222y x kx y ………………………………………………………………5分 消去y 整理得,()0482122=+++kx xk有221221214,218kx x k k x x +=+-=+………………………………………………7分 若以MN 为直径的圆恰好过原点,则ON OM ⊥,所以02121=+y y x x ,…………8分所以,()()0222121=+++kx kx x x , 即()()042121212=++++x x k xx k………………………………………………9分所以,()0421*******222=++-++kk k k 即,0214822=+-k k ………………………………………………………………………10分 得.2,22±==k k所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y .所以过P(0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点. …………………………………………………………………………………………12分。
北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：圆锥曲线 含答案
北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、选择、填空题 1、(2016年北京高考）双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA,OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________。
2、（2015年北京高考）已知双曲线()01222>=-a y ax 的一条渐近线为03=+y x ,则=a．3、(2014年北京高考）设双曲线C 经过点()2,2,且与2214y x -=具有相同渐近线,则C 的方程为________; 渐近线方程为________. 4、(朝阳区2016届高三二模）双曲线22:13x C y -=的渐近线方程是 ；若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线C 的一个焦点重合，则p = ． 5、（东城区2016届高三二模）若点O 和点2(2,0)F -分别为双曲线2221x y a-=（>0）的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点,则222+1PF OP 的取值范围为___． 6、（丰台区2016届高三一模)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为3y x =，那么双曲线的离心率为_________.7、（石景山区2016届高三一模)双曲线2212x y -=的焦距是________,渐近线方程是________．8、（西城区2016届高三二模)设双曲线C 的焦点在x 轴上,渐近线方程为y x =,则其离心率为____；若点(4,2)在C 上，则双曲线C 的方程为____。
9、(朝阳区2016届高三上学期期末）已知点)0,22(Q 及抛物线24xy =上一动点(,)P x y ,则y PQ +的最小值是A ． 12B ．1C ． 2D ． 310、（大兴区2016届高三上学期期末）双曲线222x y -=的一条渐近线的方程是（A)y =（B)y x =(C ）y x =- （D ） 2y x =-11、（海淀区2016届高三上学期期末）抛物线24x y=的准线与y 轴的交点的坐标为 A.1(0,)2- B 。
福建省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：圆锥曲线 含答案
福建省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、选择、填空题1、（2016年全国I 高考）已知方程错误!–错误!=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）（–1，3） （B ）(–1,错误!） （C)（0，3） （D ）(0,错误!）2、（2016年全国I 高考)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知｜AB ｜=｜DE|=则C 的焦点到准线的距离为(A ）2 （B)4 （C)6 (D ）83、（2015年全国I 卷）已知M （x 0，y 0)是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF •2MF ＜0，则y 0的取值范围是（A ）（-3，3） （B ）(-6，6（C ）（3-，3） （D)(）4、（福建省2016届高三4月质检）已知12,F F 分别为双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左、右焦点，若点P 是以12F F 为直径的圆与C 右支的一个交点，1PF 交C 于另一点Q ，且12PQ QF =，则C 的渐近线方程为5、（福州市2016届高三5月综合质量检测）双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ，P 是E 左支上一点，112PF F F =，直线2PF 与圆222xy a +=相切,则E 的离心率为 （A ）54(B (C)53（D6、（龙岩市2016届高三3月质量检查)已知,A B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点，P 是双曲线C 右支上位于第一象限的动点，设,PA PB 的斜率分别12,k k ，则12k k +的取值范围是 A ．2(,)b a+∞ B ．(,)b a+∞ C ．[,)b a+∞ D ．2[,)b b a a7、（南平市2016届高三3月质量检查）若双曲线12222=-by a x ()00>>b ,a 的一条渐近线方程是023=+y x ，则它的离心率等于（A ）25(B ）35（C ）213（D ）313 8、（莆田市2016高中毕业班3月质量检测)点A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b 的右顶点，过右焦点(1,0)F 且倾斜角为6的直线与直线2x a 交于点P ．若APF 为等腰三角形,则双曲线的离心率为A ．2 BC ．3D 9、（泉州市2016届高三第二次（5月）质量检查) 已知抛物线2:4C yx =，若等边三角形PQF 中，P 在C 上，Q 在C 的准线上，F 为C 的焦点, 则PF =(）A ．8B ．4C ．3D ．210、（泉州市2016届高中毕业班3月质量检查）已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点为F,P 为C 上一点,若，4=PF 点P 到y 轴的距离等于等于3，则点F 的坐标为A.（—1，0） B.(1，0) C 。
高考数学二轮复习 疯狂专练11 圆锥曲线 理-人教版高三全册数学试题
圆锥曲线1．[2017·达州零诊]若方程C ：221y x a+=（a 是常数），则下列结论正确的是（ ） A ．a +∀∈R ，方程C 表示椭圆 B ．a -∀∈R ，方程C 表示双曲线 C ．a -∃∈R ，方程C 表示椭圆 D ．a ∃∈R ，方程C 表示抛物线【答案】B【解析】∵当1a =时，方程C ：221y x a+=即221x y +=，表示单位圆，a +∴∃∈R ，使方程C 不表示椭圆．故A 项不正确；∵当0a ＜时，方程C ：221y x a+=表示焦点在x 轴上的双曲线，a -∴∀∈R ，方程C 表示双曲线，得B 项正确；a -∀∈R ，方程C 不表示椭圆，得C 项不正确；∵不论a 取何值，方程C ：221y x a+=中没有一次项，a ∴∀∈R ，方程C 不能表示抛物线，故D 项不正确，故选B ．2．[2017·某某二中]以221124y x -=的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（ ） A ．2216452x y += B ．2211612x y += C ．221164x y +=D ．221416x y += 【答案】D【解析】∵双曲线221124y x -=的焦点为()0,4，()0,4-，顶点为()()0,230,23-、，∴双曲线的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆中，4a =，23c =，2b ∴=，∴椭圆的方一、选择题（5分/题）程为221164y x +=，故选D ． 3．[2017·某某十八中]若双曲线()22x my m m +=∈R 的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A B C．D 【答案】D【解析】m <0，∴21a =，2b m =-，又2c =， ∴14m -=，∴3m =-，∴该双曲线的渐近线方程为D ． 4．[2017·某某一中]动点P 到点()0,2A 的距离比它到直线:4l y =-的距离小2，则动点P 的轨迹方程为（ ） A ．24y x = B ．28y x = C ．24x y=D ．28x y =【答案】D【解析】动点P 到()0,2A 点的距离比它到直线：:4l y =-的距离小2，∴动点M 到点()0,2A 的距离与它到直线2y =-的距离相等，根据抛物线的定义可得点M 的轨迹为以()0,2A 为焦点，以直线2y =-为准线的抛物线，其标准方程为28x y =，故选D ．5．[2017·某某一中]已知过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若3AF FB =，则直线l 的斜率为（ ）A B C D ．2【答案】A【解析】设过抛物线24y x =焦点F 的直线:1l x ty =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，因为点A 在第一象限且3AF FB =，所以1230y y =->，联立24 1y xx ty ==+⎧⎨⎩，得2440y ty --=，则12221222434y y y t y y y +=-==-=-⎧⎨⎩，即直线l 的斜率为故选A ．6．[2017·资阳期末]的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值X 围是（ ） A ．()1,2BC．D ．()2,+∞【答案】B【解析】由题意得，(),0A a ，()2,0F a ，由AP FP ⊥， 得0AP PF ⋅=⇒，因为在E 的渐近线上存在点P ，则0∆≥，又因为E 为双曲线，则B ． 7．[2017·湖师附中]已知圆O 的方程为229x y +=，若抛物线C 过点()1,0A -，()1,0B ，且以圆O 的切线为准线，则抛物线C 的焦点F 的轨迹方程为（ ）AB C ．D 【答案】D【解析】设抛物线的焦点为(),F x y ，准线为l ，过点A ，B ，O 分别作AA l '⊥，BB l '⊥，OP l ⊥，其中A '，B '，P 分别为垂足，则l 为圆的切线，P 为切点，且，因为抛物线过点A ，B BB FB '=，所以，所以点F 的轨迹是以,,A B 为焦点的椭圆，且点F 不在轴上，所以抛物线C 的焦点F 的轨迹方程为D ． 8．[2017·某某二模]在ABC △中，()2,0B -，()2,0C ，(),A x y ，给出ABC △满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为（ ） A ．1C ，2C ，3CB ．3C ，1C ，2CC ．3C ，2C ，1CD ．1C ，3C ，2C【答案】B【解析】ABC △周长为10，动点A 的轨迹方程为椭圆方程②ABC △面积为10，则A 到BC 的距离为5，即5y =±，动点A 的轨迹方程为225y =；③ABC △中，90A ∠=︒，则，动点A 的轨迹方程为()2240x y y +=≠，故选B ．9．[2017·新津中学]如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆的顶点，2F 为右焦点，延长12B F 与22A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值X 围是（ ）A ．52⎫-⎪⎪⎝⎭B ．52⎛- ⎝⎭C ．51⎛- ⎝⎭D ．51,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】如图所示，12B PB ∠为22A B 与21F B 的夹角，设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为,,a b c ，则()()2221,,,A B a b F B c b =-=--，向量的夹角为钝角时，22210A B F B ⋅<，20ac b ∴-<，又222b a c =-，220a ac c ∴-->，两边除以2a 得210e e -->，即210e e +-<，解得155122e -<<， 又01e <<，510e -∴<<，故选C ． 10．[2017·某某二中]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，A 是双曲线的左顶点，2,p a P y c ⎛⎫- ⎪⎝⎭在双曲线的一条渐近线上，M为线段1F P 的中点，且1F P AM ⊥，则该双曲线C 的渐近线为（ ）A．y = B ．2y x =± C．y =D．y =【答案】A【解析】取渐近线为b y x a =，则当2a x c =-时，p aby c =-，即点P 坐标为2(,)a ab c c --，∴点M 坐标为2(,)222c a ab c c ---，即22(,)22a c abc c +--． ∴22221(,)(2,)222a c ab AM a a c ac ab c c c +=-+-=-+-， 2221(,)(,)(,)a ab c a ab bF P c b a c c c c c-=-+-=-=-．∵1F P AM⊥，∴10F P AM ⋅=，即22222(,)(2,)(2)0b a a c ac ab b a c ac a b -⋅+-=+--=，整理得2c a =，∴22223b c a a =-=，∴渐近线方程为by x a=±=．选A ． 11．[2017·某某模拟]（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2(0)c c >，抛物线22y cx =的准线交双曲线左支于,A B 两点，且120AOB ∠=︒（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ） AB ．2 C．D【答案】A【解析】,2c B ⎛ - ⎝，又因为120AOB ∠=︒，则()22242242244244tan 384084032ca b c c a c a c a c a a-π==⇒-+=⇒-+=，()42228404234231,4+2331e e e e e ∴-+=⇒=±-<⇒=⇒=+舍去．12．[2017·某某调研]已知抛物线24y x =的焦点为，直线l 过点F 交抛物线于A ，B 两点，且3AF FB =．直线12l l 、分别过点,A B ，且与x 轴平行，在直线12l l 、上分别取点M N 、（M N 、分别在点,A B 的右侧），分别作ABN ∠和BAM ∠的平分线且相交于P 点，则PAB △的面积为（ ） A ．643B ．323 C ．3239D ．6439【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()1,0F ，则由抛物线的定义可得11AF x =+，21BF x =+，故由题设可得1232x x =+；设直线:(1)AB y k x =-代入24y x =整理可得2222(24)0k x k x k -++=，则由根与系数的关系可得12242x x k +=+，121x x =，联立1212321x x x x =+⎧⎨=⎩，可得12313x x =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入12242x x k +=+，可解得3k =±，则弦长1241611433AB AF BF x x =+=+++=+=；不妨设3k =，则60ABN ∠=︒，30PAB ∠=︒，又依题意ABN ∠和BAM ∠互补，故90APB ∠=︒，即ABP △是直角三角形，所以sin 3083AP AB ==︒，cos30833BP AB =︒=，则1188332322339ABP S AP BP =⋅=⨯⨯=△，应选答案C ．二、填空题（5分/题）13．[2017·某某质检]的左顶点、上顶点，右焦点分别为A ，B ，F ，则AB AF ⋅=_____．【答案】6【解析】由椭圆方程知()2,0A-，(B ，()1,0F ，则(2,AB =()3,0AF =，所以6AB AF ⋅=，故填6．14．[2017·樟树中学]已知双曲线的右焦点F 为圆22430x y x +-+=的圆心，且其渐近线与该圆相切，则双曲线的标准方程是__________．【解析】圆22430x y x +-+=的圆心为()2,0，半径为1，即有()2,0F ，即2c =，即224a b +=15．[2017·某某中学]已知点()4,0A ，抛物线C ：22y px =（04p <<）的准线为l ，点P 在C 上，作PH l ⊥于H ，且，120APH ∠=︒，则p =__________． 【解析】设焦点为F，由题可32222P P Ppx p p x x +=+⇒=，所以16．[2017·某某实验]已知抛物线2:4C y x =焦点为F ，直线MN 过焦点F 且与抛物线C 交于M N 、两点，P 为抛物线C 准线l 上一点且PF MN ⊥，连接PM 交y 轴于Q 点，过Q 作QD MF ⊥于点D ，若2MD FN =，则MF =__________．2【解析】设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为()1y k x =-， 代入抛物线方程可得()2222240k x k x k -++=，12242x x k∴+=+①， 由2FN MD =，可得()221x MD +=，MD MQMF MP =，()21112111x x x x +∴=++，21112x x ∴=-②， 联立①②可得12823x k=+，2122k x k ++=，2228223k k k ++∴+=， 234k ∴=，11x ∴，2MF∴=2．。
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高三数学理一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、选择、填空题1、（2016年全国I 高考）已知方程x 2m 2+n –y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)2、（2016年全国I 高考）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为 （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）83、（2016年全国II 高考）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43-（B ）34- （C （D ）2 4、（2016年全国II 高考）圆已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A （B ）32（C （D ）25、（2015年全国I 卷）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF ∙2MF＜0，则y 0的取值范围是（A ）（ （B ）（（C ）（3-，3） （D ）（3-3）6、（2015年全国I 卷）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。
7、（佛山市2016届高三二模）已知双曲线C 的两条渐近线为l 1 , l 2，过右焦点F 作 FB // l 1 且交l 2于点B ，过点B 作BA ⊥l 2 且交l 1于点 A .若 AF ⊥x 轴，则双曲线C 的离心率为( ) ）A B C D ．8、（广州市2016届高三二模）已知点O 为坐标原点，点M 在双曲线22:C x y λ-=（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则ON MN ⋅的值为(A)4λ(B)2λ(C) λ (D) 无法确定9、（茂名市2016届高三二模）若动圆的圆心在抛物线2112y x =上，且与直线y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点 ( )A. (0,2) B ．(0，－3) C. (0,3) D ．(0,6)10、（茂名市2016届高三二模）已知双曲线：22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c , 直线)y x c =+与双曲线的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠, 则双曲线的离心率为 （ ）A B C ．2 D 111、（深圳市2016届高三二模）以直线 y =为渐近线的双曲线的离心率为为（ ）A ．2B ．3 C ．2或3D 12、（珠海市2016届高三二模）已知以原点为中心，实轴在 x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为y =34x ，焦点到渐近线的距离为 6，则此双曲线的标准方程为 A ．221169x y -= B ． 221916x y -= C ．2216436x y -= D ．2213664x y -=二、解答题1、（2016年全国I 高考）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.2、（2016年全国II 高考）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．3、（2016年全国III 高考）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.4、（2015年全国I 卷）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =24x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。
5、（佛山市2016届高三二模）已知点C 是圆F : ( x -1) 2 + y 2 = 16 上任意一点,点F 与点F 关于原点对称.线段CF 的中垂线与CF 交于P 点.(Ⅰ) 求动点P 的轨迹方程E ；(Ⅱ) 设点 A ( 4,0 ) ,若直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q ,直线 AQ 与直线PF 交于点B .(1) 证明:点B 恒在曲线E 上； (2) 求 △PAB 面积的最大值．6、（广州市2016届高三二模）已知点()1,0F ，点A 是直线1:1l x =-上的动点，过A 作直线2l ，12l l ⊥，线段AF 的垂直平分线与2l 交于点P .(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)若点,M N 是直线1l 上两个不同的点, 且△PMN 的内切圆方程为221x y +=，直 线PF 的斜率为k ，求k MN的取值范围.7、（茂名市2016届高三二模）已知椭圆)30(,19222<<=+b b y x 的左右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，过点1F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆相交于B A ,两点.当直线l 垂直x 轴时,38=AB .（I ）求椭圆的标准方程；（II ）求2ABF ∆内切圆半径的最大值.8、（深圳市2016届高三二模）过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，且,A B 两点的纵坐标之积为4-．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知点D 的坐标为(4,0)，若过D 和B 两点的直线交抛物线C 的准线于P 点，求证：直线AP 与x 轴交于一定点．9、（潮州市2016届高三上期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右顶点与右焦点的距离为1，短轴长为（I ）求椭圆的方程；（II ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若△OAB （O 为直角坐标原点）的面积AB 的方程。
10、（佛山市2016届高三教学质量检测（一））已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的一个顶点为)0,2(A ，且焦距为2，直线l 交椭圆Γ于E 、F 两点（点E 、F 与点A 不重合），且满足AF AE ⊥．（1）求椭圆的标准方程；（2）O 为坐标原点，若点P 满足OF OE OP +=2，求直线AP 的斜率的取值范围．参考答案一、选择、填空题 1、【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得：21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ． 2、【答案】B 【解析】试题分析：如图，设抛物线方程为22y px =，圆的半径为r ,,AB DE 交x 轴于,C F 点，则AC =A点纵坐标为，则A 点横坐标为4p ，即4OC p=，由勾股定理知2222DF OF DO r +==，2222AC OC AO r +==，即22224()()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B.3、【答案】A4、【答案】A【解析1】 离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin sin sin F F Me MF MF F F ====--．故选A ．【解析2】5、【答案】A6、【答案】22325()24x y ±+=【解析】试题分析：设圆心为（a ，0），则半径为4||a -，则222(4||)||2a a -=+，解得32a =±，故圆的方程为22325()24x y ±+=.7、B 8、B 9、C10、 答案D ，提示：∵直线y ＝3(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为60°，∴∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°.∴∠F 1MF 2＝90°，即F 1M ⊥F 2M . ∴|MF 1|＝121||2F F c = ，|MF 2| 012||sin60FF == 由双曲线的定义有： |MF 2|－|MF 1|c -＝2a ， ∴离心率1c e a===11、【答案】C【解析】∵双曲线的渐近线方程为y =，∴b a =，或a b =224c a =，或2243c a =． ∴2e =，或e = 12、C二、解答题1、【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[ 【解析】利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
试题解析：（Ⅰ）因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）.2、【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）).【解析】 ⑴当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，， 则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k +++-= 解得2x =-或228634k x k -=-+，则212234AM k =+=+ 因为AM AN ⊥21212413341k kk =⋅⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭因为AM AN =，0k >，212124343k k k=++，整理得()()21440k k k --+=， 2440k k -+=无实根，所以1k =． 所以AMN △的面积为221112144223449AM⎫==⎪+⎭． ⑵直线AM的方程为(y k x =+，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222223230tk x x t k t +++-=解得x =或x =所以AM =+所以AN = 因为2AM AN =所以2=，整理得，23632k k t k -=-． 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-2k <<．3、【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．4、【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）存在【解析】（Ⅰ）由题设可得)M a ，()N a -，或()M a -，)N a .∵12y x '=，故24x y =在x =C 在,)a 处的切线方程为y a x --0y a --=.故24x y =在x=-处的到数值为C在(,)a -处的切线方程为y a x -=+0y a ++=.0y a --=0y a ++=. ……5分 （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k .将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a +.当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意. ……12分5、所以点B 恒在椭圆E 上.…………………………8 分6、 (Ⅰ)解:依题意,点P 到点()1,0F 的距离等于它到直线1l 的距离, ………………1分 ∴点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线1:l 1x =-为准线的抛物线. …………2分 ∴曲线C 的方程为24y x =. ………………………………………………3分 (Ⅱ)解法1：设点P ()00,x y ，点()1,M m -，点()1,N n -， 直线PM 方程为：()0011y my m x x --=++， ………………………4分 化简得，()()()()0000110y m x x y y m m x --++-++=.∵△PMN 的内切圆方程为221x y +=， ∴圆心()0,0到直线PM 的距离为11=. ………5分故()()()()()()222220000001211y m x y m m y m x mx -++=-+-+++.易知01x >，上式化简得，()()20001210x m y m x -+-+=.………………6分 同理，有()()20001210x n y n x -+-+=. ………………………………7分 ∴,m n 是关于t 的方程()()20001210x t y t x -+-+=的两根. ∴0021y m n x -+=-， ()0011x mn x -+=-. (8)分 ∴MN m n =-==……………9分∵2004y x =，0y =，∴MN == 直线PF 的斜率001y k x =-，则001y k x ==-.∴k MN==………………………………10分 ∵函数1y x x=-在()1,+∞上单调递增， ∴001110x x ->-=. ∴00144x x -+>. ∴00110144x x <<-+. ………………………………………………11分∴102kMN <<. ∴k MN的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ………………………………………………12分解法2：设点P ()00,x y ，点()1,M m -，点()1,N n -，直线PM 的方程为()11y m k x -=+，即110k x y k m -++=，………………4分 ∵ 直线PM 与圆221x y +=相切， ∴1=.∴ 2112m k m -=. ………………………………………………5分∴ 直线PM 的方程为()2112m y m x m--=⋅+. ∵ 点P 在直线PM 上,∴ ()200112m y m x m--=⋅+. 易知01x >，上式化简得，()()20001210x m y m x -+-+=. …………………6分 同理，有()()20001210x n y n x -+-+=. ………………………………………7分 ∴,m n 是关于t 的方程()()20001210x t y t x -+-+=的两根. ∴0021y m n x -+=-， ()0011x mn x -+=-. …………………………………………8分 ∴MN m n =-==……………9分∵2004y x =，0y =∴MN ==直线PF 的斜率001y k x =-，则001y k x ==-.∴k MN==……………………………………10分 ∵函数1y x x=-在()1,+∞上单调递增， ∴001110x x ->-=. ∴00144x x -+>. ∴0011044x x <<-+. ………………………………………………11分 ∴102kMN <<. ∴k MN的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ………………………………………………12分7.解：（1）由已知条件可设)34,(c A -,)34,(--c B 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+9191692222c b b c ……………2分解得⎩⎨⎧==52c b …………………………………………3分所以椭圆的标准方程为14922=+y x …………………………………………4分 （2）法1：设()()2211,,,y x B y x A ,直线l的方程为x ty =……………………5分联立22194x ty x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去x 并化简得()2249160t y +--=………………6分由韦达定理得121221649y y y y t +==-+ (7)分. 那么()()()()2222222122122194124249416494584++⨯⨯=+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+=-t t t t t y y y y y y 所以941242221++⨯=-t t y y ………………………………8 分而2121522121212y y y y c S S S F BF F AF ABF -=-⨯⨯=+=∆∆∆ ()1145245141524941524222222+++=+++⋅=++⋅=t t t t t t …………9 分 6545241514252422==+⋅+≤t t , 当且仅当151422+=+t t ,即21±=t 时等号成立 …………………………10分 又因为()22211126622ABF S AB F A F B r r r ∆=⨯++⨯=⨯⨯=≤……11分 所以2ABF ∆内切圆半径的最大值为1. ……………………12分法2： ①当直线l 的斜率不存在时5385238212212=⨯⨯=⨯⨯=∆c AB S ABF 又因为()2221112622ABF S AB F A F B r r r ∆=⨯++⨯=⨯⨯=所以这时594=r ………………………………………………………5分 ②当直线l 的斜率存在时，设),(),,(2211y x B y x A ，()5:+=x k y l把()5+=x k y 代入14922=+y x 得14)5(9222=++x k x 得()03645518492222=-+++k x k x k由韦达定理得493645,4951822212221+-=+-=+k k x x k k x x …………………………6分()()()()[]21221222122141x x x x k y y x x AB -++=-+-=()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⨯-⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=49454364495181222222k k k k k ()()()491244911694222222++⨯=++⨯⨯⨯=k k kk ……………………………7分 点2F 到直线l 的距离为1522+⨯=k k d …………………………………………8分=⨯⨯=∆d AB S ABF 212()⨯++⨯⨯491242122k k 1522+⨯k k 49152422+⨯+=k k k ………9分511411524941152449152422222222+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=++⨯=+⨯+⨯=k k k k k k k kk 6541524115114152422=⨯≤+++⨯=k k当且仅当11511422+=+k k 即2±=k 时等号成立………………………10分 由()2221112622ABF S AB F A F B r r r ∆=⨯++⨯=⨯⨯= 得66≤r 解得1≤r ………………………………………………………11分又因为5941>所以2ABF ∆内切圆半径的最大值为1. …………………12分 8.【解析】（1）抛物线的焦点为(,0)2pF ，故可设直线AB 的方程为2px my =+，由222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y pmx p --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212y y p =-，∴24p -=-，由0p >，可得2p =．∴抛物线C 的方程为24y x =．（2）【方法1】依题意，直线BD 与x 轴不垂直，∴24x ≠． ∴直线BD 的方程可表示为22(4)4y y x x =--，① ∵抛物线C 的准线方程为1x =-，② 由①，②联立方程组可求得P 的坐标为225(1,)4y x ---， 由（1）可得124y y =-， ∴P 的坐标可化为1215(1,)1y y --， ∴1121121151411APy y y y k x y --==---，∴直线AP 的方程为111214()1y y y x x y -=--， 令0y =，可得222111111114444y y x x y --=-=-=， ∴直线AP 与x 轴交于定点1(,0)4．【方法2】直线AP 与x 轴交于定点1(,0)4M ． 证明如下：依题意，直线BD 与x 轴不垂直，∴24x ≠． ∴直线BD 的方程可表示为22(4)4y y x x =--，① ∵抛物线C 的准线方程为1x =-，② 由①，②联立方程组可求得P 的坐标为225(1,)4y x ---， 由①，②联立方程组可求得P 的坐标为225(1,)4y x ---，由（1）可得124y y =-，∴214y y =-． ∴P 的坐标可化为1215(1,)1y y --， ∴,P M 两点连线的斜率为12112150141114PMy y y k y --==---,∴,A M 两点连线的斜率为1121104114AM y yk y x -==--, ∴PM AM k k =，∴P 、A 、M 三点共线， 即直线AP 与x 轴交于定点1(,0)4．9、解：（Ⅰ）由题意得2221a c b a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩……………………………………………….1分解得a =1c =. ……………………………………………………3分所以所求椭圆方程为22132x y +=………………………………………4分 （Ⅱ）方法一：当直线AB 与x轴垂直时，||AB =此时AOB S ∆=不符合题意故舍掉；…………………………………..5分 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为(1)y k x =+，由22132(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=………6分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，………………….…..7分∴||AB ======分原点O到直线的AB距离d=，…………………………..…10分∴三角形的面积1||2AOBS AB d∆===．由4AOBS∆=得22k=，故k=………………………………..11分∴直线AB的方程为1)y x=+，或1)y x=+．y-=，y+=…………………………….12分方法二：由题意知直线AB的斜率不为O，可设其方程为1ny x=+．………….5分由221132ny xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x得22(23)440n y ny+--=．…………………….6分设1122(,),(,)A x yB x y，则122423ny yn+=+，122423y yn-=+．…….7分∴121||||2AOBS OF y y∆=⋅-=…………….….8分又4AOBS∆=，所以212129()42y y y y+-=．…………………….……..9分∴2224169()23232nn n+=++．解得n=．………………..…….….11分∴直线AB的方程为12y x=+，或12y x-=+，即：210x+=，或210x+=．………………………..12分10、【解析】(Ⅰ)依题意,2a=,22c=,则1c=…………………1分解得23b=,所以椭圆Γ的标准方程为22143x y+=.…………………3分(Ⅱ)当直线l垂直于x轴时,由2223412y xx y=-+⎧⎨+=⎩消去y整理得271640x x-+=, 解得27x=或2,此时2,07P⎛⎫⎪⎝⎭,直线AP的斜率为0；………………5分.当直线l不垂直于x轴时,设()()1122,,,E x yF x y,直线l:y kx t=+(2t k≠-),第 21 页 共 21 页 由223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩,消去y 整理得()2223484120k x ktx t +++-=,………………6分 依题意()()2222644344120k t k t ∆=-+->,即22430k t -+>(*), 且122834kt x x k +=-+,212241234t x x k -=+,…………………7分 又AE AF ⊥,所以()()()()()()121212122222AE AF x x y y x x kx t kx t ⋅=--+=--+++ 2227416034t k kt k ++==+, 所以2274160t k kt ++=,即()()7220t k t k ++=,解得27k t =-满足(*),………………8分所以2OP OE OF =+ ()1212,x x y y =++=2286,3434kt t k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,故2243,3434kt t P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,…9分 故直线AP 的斜率22233344846234AP t t k k kt k kt k +==-=++--+217878k k k k =++,…………10分当0k <时,78k k +≤-此时056AP k -≤<； 当0k >时,78k k +≥此时0AP k <≤； 综上,直线AP的斜率的取值范围为⎡⎢⎣⎦.………………………………………12分。